第八章多元函数微分法及其应用

第八章第八章

多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用

返回返回

高等数学（ XAUAT）

练习题解答练习题解答

重点难点重点难点

基本概念基本概念

计算方法计算方法练习题

典型例题

定理结论

习题课结构


一 . 本章的重点、难点、此次习题课达到的目的

重点：偏导数的概念；全微分的概念；多元函数求偏导数；多元函数求极值。

难点：二元函数极限的计算；多元符合函数的求导法则、隐函数求导法则的运用；条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。

习题课达到的目的：使学生理解偏导数、全微分的概念，熟练掌握偏导函数的计算方法。


2.二元函数偏导数

0 0 0 00 0 0 0

, ,, lim limx

x x x

f x x y f x yzf x y

x x

记

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

, ,

, lim , ,

, , .

x xy y

f x y D P x y D

P D f x y f x y

f x y P x y

设函数在区域内有定义，是的内点

或边界点，且如果则称函数

在点连续

0 0 0

0 0 0 00 0

0 0

, , .

, ,lim ,

,

x

z f x y P x y y

f x x y f x yy z f x y

xx y x

设函数在点的某一邻域内有定义当固定在

而极限存在，称在

关于的偏导数存在.

1.二元函数连续.二基本概念


0 0 0 00 0

0 0

, ,, lim limy

yy y

z f x y y f x yf x y

y y

0 0 0 00 0

0

, ,, lim x x

xyy

f x y y f x yf x y

y

二元函数偏导数的几何意义。

同理有

轴 0 0 0 0. , ,x y f x y x 0 0,xf x y 是曲线在点的切线与

tan x正向夹角的正切（即切线对

0

,{z f x yy y

轴的斜率）

3. 全微分若函数 ,z f x y 在点 ,x y 的全增量 z 可表为

( , ) ( , ) ( )z f x x y y f x y A x B y o

其中,A B 与 ,x y 无关，仅与有关，,x y 2 2x y


'

0

2

0

'

2

( , ) ( , ) ( ) (lim l

( , ) ( , ) ( )

,

( , )

imf x x y y f

z f x y P x y p

p l x l

p x x

x y f p f p

y y l

x y

设函数在点的某一邻域U

内有定义。自点引射线设轴正向到射线的转角

为，并设为上另一点

若

存在

）

，（ = ）

( , ) , )z f x y x y x B y 在点（的微分 dz=Ay z

dz dx dyx y

全微分公式:

4.方向导数

称函数 .f

f x y P ll

（，）在点沿方向的方向导数存在,记为

, )x y称函数在点（可微，而函数


x

y

y

x

'p

p

l

0

0

'lim

f p f pf

l

既

cos si

, ,

nf f f

l x

z f y y

y

x p x

方向导数计算公式：若在是可微的

则

,

1 2

1 2

, , . ,

{1,0}, {0,1}

' { 1,0} ' {0, 1}

x yf x y p x y f f f x y p

x e y e x

e y e

若在点的偏导存在则在点

沿轴正向轴正向，轴负方向

，轴负方向的方向导数存在

1 1

2 2

x x

y

f ff f

e e

f ff f

e e

且


( , ) D

( , ) ( , )

z f x y

f fi j z f x y p x y

x y

设函数在平面区域内具有一阶连续偏导

数,称为函数在点的梯度.

22

( , )f f

f x yx y

梯度的模：grad

( , )f f

f x y i jx y

gra d 记

5.梯度

22

max

( , )f f f

f x yl x y

grad

梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值，

即

tan

fxx f

y

梯度与轴正向转角的正切为


z f u f v f w

x u x v x w x

Z W y v U x

三.计算方法

,z f x y1.多元显函数偏导数的计算

2.多元复合函数求偏导

注意：分段表示的函数求偏导数时，各段上用公式求，分段点一般而言，分段函数的偏导数仍为

处用定义求.

分段函数.

. . . , . , . ,

[ , , , , , ]

z f u v w u u x y v v x y w w x y

xz f u x y v x y w x y

若其中

那么. 的偏导公式为

x y y x对（或）求偏导.把（或）看成常量。


（1）先画出复合函数的连锁图（如上页图）

3

d

dx x

（）公式中的复合函数的中间变量、自变量只有一个时.

求导记号用，多于一个时用。

求多元复合函数的偏导数时，可用连锁规则：具体做法

（2）连线图中从复合函数到达某自变量的路线有几条，公式中就有几项相加.每条线有几段则该项就有几个偏导数（或导数）因子相乘。


' ' ', , ,x y zF F F x y z求、、时，将看作注意：相互独立的。

3. 隐函数求导

( ) ( ) ( )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

u v w

u x y v x y w x y

dz f du f dv f dw

f u dx u dy f v dx v dy f w dx w dy

g x y dx h x y dy

u ug x y h x y

x y

则

（4）利用一阶全微分形式的不变性质

''

' '

yx

z z

FFz z

x F y F

( , , ) 0

( , , ) 0 , ( , )

F x y z

F x y z z x y z f x y

a. 如果方程满足隐函数存在定理的条件可由方程确定是的函数：


( , ) 0

( , ) 0 x

y

F x y

FdyF x y

dx F

b. 方程满足隐函数存在定理的条件

确定函数 y=f（x）且

F X Y z X

Y

以上公式可利用复合函数求导推得

{ , , ( , )} 0 ,

'' ' ' 0 '

'

'' ' ' 0 '

'

xx z x x

z

xy z y y

y

F x y f x y x y

FzF F f f

x F

FzF F f f

y F

方程两边分别对求偏导

有得

得

''

'

.

xxy x

z

xy

Ff f y

F

z y f

2.求二阶偏导数时，方程继续对

求偏导，是x, 的函数，解出其他同理。

1. , , .x y z x y注意：方程两边求导时，相互独立，是的函数


0 0 0 0

1 , ,

( , , )

x t y t z w t

t t M x y z

（）若向量曲线由方程给出

则曲线上对应于的点的切向量为

, ,

( , )0

( , )u v

u v

u v x y

F FF GG GU V

F（x，y，u，v）=0c. 如果方程组满足隐函数存

G（x，y，u，v）=0

在定理条件则方程组可确定是的函数，这时，

若 J =

, ,

x

u v u v

x x y y

则：方程组中的每个方程两边对求偏导数，

得到新方程组，解出同理可得

4. 空间曲线的切线和法平面方程


0{ }T t ��

0 0（t），（t），（）

0 0

0 0) ( ) 0

y y z z

t z z

0

0 0 0

0 0 0

x-x切线方程：

（t）（t）（t）法平面方程：（ )(x-x）+ (t )(y-y

( , , ) 0

( , , ) 0

F x y z

G x y z

若曲线为

曲线的切向量为

, ,y z x yz x

y z x yz x MM M

F F F FF FT

G G G GG G


5. 曲面的切平面与法线

0 0 0

z xy z x y

z xy z x yMM M

x x y y z zF FF F F F

G GG G G G

切线：

0 0

0 0

0 0

0

( , , ) 0 ( , ,

, ,

)

x y zn F M F

F x y z M x y z

M F M

若曲面由方程给出，则曲面在点

法向量为处的

0 0 0 0y z x yz x

y z x yz x MM M

F F F FF Fx x y y z z

G G G GG G 法平面：


0 0 00 0 0( , ) , , , , 1x yn f x y f x yM x y 在点处的法向量:

0 0 0 0 0 0x y zF M x x F M y y F M z z 切平面：

0 0 0

0 0x y z

x x y y z z

F M F M F M

法线：

0 0( , ) ( , )z f x y M x y 特殊：若由给出，则在点处

0 0 0

0 0 0 0, , 1x y

x x y y z z

f x y f x y

法线：

0 0 0 0 0 0 0, , 0x yf x y x x f x y y y z z 切平面：


+ +注意：根号前要取“ ” 号都取“ ” 号，表示法线的一个方向。根号前要取“ -” 号都取“ -” 号，表示法线的另一个方向。

0 0 0 0 0

0 0

0

0

0

( , ) ,

, ( , )

, , , , ,xx xy yy

z f x y x y

x y f x

f x y B f x f x y

y

y C

1 设在点的某邻域内存在直到二阶连续偏导，

且为的驻点

A= 记

2 2 2 2

2 2 2

2 2

cos ,cos1 1

1cos cos cos cos 1

1

yx

x y x y

x y

ff

f f f f

r rf f

有

法向量的方向余弦为

6. 求多元函数极值


该驻点处的函数值即为所求的最值。

2) 0ACi i Bi 时,不能判断。

20 0) 0 ,AC B fii x y 时, 处不取极值。

20 00 ,

0

)i AC B f x y

A

时, 在点处取极限。且A< 0时为极大

值, 时为极小值。

,

D

f x y D D

f

注：把函数在定义内所有驻点处的函数值与的边

界上的最值进行比较，可得在上的最值。

Df D

在实际问题中，可根据该问题的实际意义判断,若已知目标函数的最值一定再内取得，又内的驻点唯一,

则可直接下结论：


0 0) ,iii x y f判断是否为的极值点。一般实际问题中往往由

问题本身性质来判断

,) , ,F x y x y x yi f 作辅助函数

, , 0y f x y x y 用拉格朗日数乘法求函数在条件

限制下的极值。

（2）求条件极值

0 0

0

, 0

,0)

x x

y y

Ff

xF

ii x yfy

Fx y

解方程组求出可能的极值点


. 四定理及结论：

连续

可微

可偏导偏导连续

二重极限存在

0 0, ,f x y x y在点处

高等数学（ XAUAT）1

22 2 3 2 2 2

(2, )

cos 2 2 sin 2u

e e ex y

1sin cos .x xu x x

e ex y y y

解：

2 1sin . 2x x u

u ey x y

1. 设求在点，处的

. 五典型例题

2

2 2 2

2 3 2

2 3

1 1cos . sin . . cos

cos sin cos

1 cos sin

x x x

x x x

x x

u x x x x xe e e

x y y y y y y y y

xe x xe x e x

y y y y y y

e x xe xx

y y y y

=

=


2

2

2

1 1( ) ( ) ( )

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

zf xy f xy y y x y

x x x

zf xy x f xy f xy x y x y

x y x x x

y x y

yf xy x y y x y

解：

sin sin

sin

cos cos

cos

xy xy

xy

z zdz dx dy

x y

e xy y dx e xy x dy

e xy y dx x dy

解：

sin2. ,xyz e dz设求

213. ( ) ( ), .

zz f xy y x y f

x x y

设具有二阶连续导数，求


2 2 2( , , ) 2 0F x y z xyz x y z 解：令

2 2 2

2 2 2

( )

)(

2 2

yxz

z zx y zxyy x y z

z z zdz dx dy dx dy

x x y

(1, 0, -1)

由轮换对称性知:

2 2 2 2 ( , )xyz x y z z z x y 4. 由方程所确定的函数

在点(1, 0, -1)处的全微分。

1z

x

(1, 0, -1)

2 2 2

2 2 2

( )

)(x

z

xyz

Fz zx y zxyx F x y z


2 '

0,1, 1

2

2

0,1, 1

: , , , 0,1, 1

2

, , 0

11

2 1

1

1

xx

x x

x

z

xx

uu f x y z e yz f

x

u f f z ze yz yze

x x z x xF x y z x y z xyz

Fz yzxyx F

yze yzue yz

x xy

u

x

解令则即为

令

uf

x

y

zx

y

=

2

'

, , , ,

0 , 0,1, 1 .

x

x

f x y z e yz z z x y

x y z xyz f

5. 设其中是由方程

确定的隐函数求


2

1 2

1 2

1 2

y

z

vcz v y

u vy a bu z v z

ac bcz za b c

x y a b

u

v

x

z

z

y

, ,

, .

u v cx az cy bz

z zz f x y a b c

x y

6. 设具有连续偏导数,证明方程 =0

所确定的函数满足

1 1

1 2 1 2

x

z

uz u x

u vxu z v zc c

a b a b

, , ,x y z cx az cy bz 解： =0


, ,x y t

y x

y x t x

分析：题目中两个方程组成的方程组中含有三个未知量而两个方程只能确定两个未知量. 因此，这两个未知量是第三未知量的函数，而题目的证明结论中出现了对的导数，说明应确定方程组是的函数，是的函数.

, , , , 0 , ,

, ,

y f x t t F x y t x y

f F

f F f Fdy x t t x

f F Fdxt y t

7. 设而是由所确定的的函数

其中都具有一阶连续偏导数试证明


F f Fdt x x y

f F Fdxt y t

也可得：

,dy dt

dx dx 将看成未知量

0

0

y x t x

x

dy f f dt f F f Fdydx x t dx x t t x

f F FF F dy F dt dxt y tx y dx t dx

y- f (x, t)=0 方程组确定了、，方程

F(x, y, t)=0

两端对求导

- 得

解：


1 1

1

z y x

z y x

x edz dx dy

xe

所以

, 0

.

z y xz f x y z y x xe

dz

8. 设是由方程所确定的

二元函数，求

0z y x z y xdz dy dx dxe xe dz dy dx

将方程两端取微分,得：

解:

1 1 1z y x z y x z y x z y xxe dz xe e dx xe dy

整理后得:


2

12 2 222 2

2 12 222 2 3

1 1cos sin

1cos sin

z x xxy yx xy

x y y y y y

x xxy xy xy

y y y

2

9. sin , ,

.

x zz xy x u v

y x y

设，求，其中

有二阶偏导数

11 2cos y

zy xy

x

解：


3 2

4 3 6 20

y z

x

法线为:

2

0

2 1210.

0

, 2

yy

z

M

23x求由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面

在 0, 3 处的法线方程.

0 0

2 2 2

0

3 2 3 12 0

6 ,4 ,6 0,4 3,6 2M M

x y z

M

n x y z

旋转曲面的方程为曲面在点的法向量为

解：


1

2

1 1 1:

1 2 31 11

3 1 9 1 27 13 274:2 11 1 6 93 3

x y zl

x zy x y zl

即

2 311. , , 2 4x t y t z t x y z 曲线的所有切线中，与平面平行的切线有几条？写出这几条切线的方程.

0

0

2 20 01, 2 ,3 1, 2 ,3

t t

t

T t t t t

曲线对应于处的切线的方向向量为

解:

2 4

1,2,1

x y z

T n

因为切线与平面平行

所以与该平面的法向量垂直

20 0 0 0

10 4 3 1

3t n t t t t 有即1 =0 解出或

故，与平面平行的切线有两条，方程分别为：


2212. 4 1

4

xx y y 求直线与椭圆之间的最短距离.

22 1

4

xy

1

1

4x y

2o x

y

2 2 1 1 4 14 1 , ,

5 5 5 5y y y y x y （舍去）得：

2 02 4

x xyy y

y

解一:先求椭圆各点的切线斜率:

1 4 .4

xx y

y

直线 x+y=4 的斜率为-1，椭圆上与该直线距离最短的点处的切线必与该直线平行.因而有：

即：代入椭圆方程得

4 14

55 5 2 222

d

由几何图形可以看出这是椭圆与直线最近的一点，最短

距离为：


2

2 2

2

, , 4 14

(

xx y x y y

d

d

作拉格朗日函数:

为了计算方便，将求的取得最大值的点转化为求

2 的取得最大值的点.）

,

22

4, 4

2

4

2

14

x y

x yx y x y d

x yd

xy

解二：点到直线的距离为：

问题转化为求直线在条件

下的条件极值.


2 2

2 4

1 14 1

5 5

x y

y y y y

由 1 得代入 3 得

（舍去）

2

2

, , .

2 4 0 12

2 4 2 0 2

1 0 34

x y

xx y

x y y

xy

求出并令它们皆为零

（）

得（）

（）

4 14

4 55 5 2 225 2

x d

得:


六 . 练习题

2 2 2 2

2 2

2 2

4 1z= ln arcsin

x +y x +y

0f(x,y)=

0 0

0 0 f(x) 0 0

U=sinxsinysinz x+y+z=2

x y

x y

2 22 2

3 3

1. 求二元函数的定义域。

1(x +y )si n

x +y2. 求函数

在（，）点的两个偏导数，并判断在（，）点的连续性。

3. 求二元函数 z=3(x+y)-x -y 的极值。

4. 求函数满足条件（x>0, y>0

z>0)的条件极值。极值。


2

u

1 2 ( , )

dU.

, f

.

=e cos , sin , , , .

13 4 5

u

x y

z

x y

z zv y e v z uv

x y

x y z

l ny

y

5. 求下列函数的一阶偏导数

（） z=x （）U=f (x, xy, xyz), z=

6. 设 U=f (x, z), z(x, y)是有方程z=x+y (z)确定的隐函数，求

7. z=f (u, x, y), u=xe 其中具有连续的二阶偏导

数，求

8. 设 x 求

9. 求平面和 2 2柱面 X +Y =1的交线上

到 XOY平面距离最短的点。


七 . 练习题答案

2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2

ln 1 ln

1 2 3

2 3

1.1 4

1 2 12 sin cos 0

2. ( , )

0 0

( , ) 0

14.

8ln

5. (1) (ln )

(2) ( )

( )

y yx y

x x

y y

x y

xx x y

x y x y x yf x y

x y

f x y

xz y x z x

y

U f yf yz xyz f

U f xz xyz f

在（，0）点连续.

3. z(1, 2)=0


2 21

22

( )6. ( )

( ) 1 ( ) 1

7.

8. ( cos sin )

( cos sin )

4 3 359.( , , )

5 5 12

y y y yuu uy xu u

u

u

f f zdu f dx dy

y z y z

zxe f e f xe f e f

x y

zv v u v e

xz

u v v v ey

第八章 多元函数微分法 及其应用

Documents

第八章多元函数微分法及其应用