( 多元函数微分法及其应用 )
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( 多元函数微分法及其应用 ). 第八章 多元函数微分法及其应用. 本章主要讨论二元函数的微分法及其应用. 第一节 多元函数的基本概念. 一 . 平面点集 n 维空间. 1. 平面点集. 当在平面上引入一个直角坐标系后 , 平面上的点 P 与有序二元. 实数组 (x,y) 之间建立一一对应 . 这样我们把有序实数组和平面. 上的点等同起来 . 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 , 称为平面点集 ,. 记作 E = {(x,y)|(x,y) 具有性质 P}. 邻域:. 与点. 的距离小于 δ 的. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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第八章 多元函数微分法及其应用本章主要讨论二元函数的微分法及其应用 .
第一节 多元函数的基本概念
一 . 平面点集 n 维空间
1. 平面点集
当在平面上引入一个直角坐标系后 , 平面上的点 P 与有序二元 实数组 (x,y) 之间建立 一一对应 . 这样我们把有序实数组和平面
上的点等同起来 . 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 .
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坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 , 称为平面点集 ,
记作 E = {(x,y)|(x,y) 具有性质 P}.
称为点
})()(|),{(}|{),( 20
2000 yyxxyxppppU
)( 0,00 yxp
0p
p(x,y) 的全体 ,
),( 0 pU
邻域:与点 的距离小于 δ 的
的 δ 邻域 , 记作
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从几何图形看 , U(p0,δ) 表示以点δ
p0(x0,y0)
x
y
p E
为中心 ,δ>0 为半径的圆的内
部所有的点如果不强调邻域半径 δ,
用 U(p) 表示点 . 0P
)( 0,00 yxp
的邻域
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内点 外点 边界点 聚点
E
p
.
是 E 的内点 .
设 E 是平面上的一个点集 ,p 是平面上的一个点
如果存在点 p 的某一个邻域 U(p), 使 U(p) E,∈ 则
称 p 为 E 的内点 .( 如图 ). 显然 ,E 的内点属于 E, 但 E 的点不一定
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外点 如果存在点 P 的任一邻域 U(p), 使 U(p)∩E=φ, 则称 P
为 E 的外点 .
若点集 E 的点都是 E 的内点 , 则称 E 为开集 , 例如 , 点集
E1={(x,y)|4<
开集 .
若点 p 的任一邻域内既有属于 E 的点 , 又有不属于 E 的点 ( 点 p
本身可以属于 E 也可以不属于 E). 则称 p 为 E 的边界点 .E 的边
界点的全体称为 E 的边界 .
上面 E1 的边界是圆周 22 yx
22 yx
22 yx
<9} 中每个点都是 E1 的内点 , 因而 E1 为
=9=4 和
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因此 , 点集 E 的聚点可以属于 E, 也可以不属于 E.
如果点 p 的任一邻域内总有无限多个点属于点集 E, 则称 p 为 E
的聚点 . 显然 E 的内点一定是 E 的聚点 ,E 的边界点也可能是 E
的聚点 . 例如 , 设
一点既是
2E
2E2E 2E 的聚点 . 并且它们不属于的边界点又是
={(x,y)|0<x+y≤1} 那么 , 直线 x+y=0 上的任
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区域 .
闭区域 . 例如 {(x,y)|0≤x+y≤1}
开区域 ,( 它又有一边包含边界 ) 又不是闭区域
区域
若对于集合 D 内的任意两点都可以用完全位于 D 内的折线连接起来 , 则称集合 D 为连通集 . 连通的开集称为开区域 . 简称
例 ,
不是开区域 . 因为它不是开集 . 区域连同它的边界一起 , 称为
22 yx 1E
2E 2E
2E
既不是不是闭区域 ,( 因为它有一边不包含边界 ) 因而
={(x,y)|0<x+y≤1 }<9} 是开区域 ;={(x,y)|4<
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{(x,y)|x+y>0} 是无界点集 .
若存在正实数 r, 使点集
表示 E 内的一切点到原点的距离不超过 r. 则称点集 E 为有界
点集 ; 否则 ( 表示找不到 r) 称为无界点集 . 例如1E 是有界开区域
, 其中 O 为坐标点 ,),( roUE ),( roUE
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2. n 维空间
1. 定义 设 n 为取定的一个自然数 , 我们用 Rn 表示 n 元有序
实数组
Rn=R× R×... × R={
Rn 中的元素 ,
),,,( 21 nxxx
),,,( 21 nxxx
),,,( 21 nxxx ),,,( 21 nxxx
的全体所构成的集合 , 即
|xi R,∈ i=1,2,..n}
也用 x 表示 , 即 x=
当所有的 xi=0(i=1,2…n) 时 , 称这样的元素为零元 , 记为 0 或 O.
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称为坐标原点或 n 维零向量 .
在解析几何中通过直角坐标系 ,
平面或空间中的点或向量建立一一对应 , 这样在
也称为
为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 , 在
2R 3R
nR
nR
nR
),,,( 21 nxxx ix
中的零元 0
中的一个点或一个 n 维向量 , 而称
中的元素
) 中的元素分别与( 或
X
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ρ(x,y), 规定22
222
11 )(..)()(),( nn yxyxyxyx
2. 在 Rn 中定义线性运算 . 设 x=
y=
规定 x+y=
3. Rn 中点 x =
),,,( 21 nxxx
),,,( 21 nxxx
),,,( 21 nyyy
),,,( 21 nyyy
),,,( 21 nxxx
),,,( 2211 nn yxyxyx
为 Rn 中任意两个元素 ,λ R∈
之间的距离和点 y =
λx=
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),()(..)()( 2222
211 yxyxyxyxyx nn
222
21 .. nxxxx
结合向量的线性运算 , 我们得到
中两点之间距离一致 .
显然 ,n=1,2,3 时 , 上述的规定与数轴上 , 直角坐标系下平面及空间
Rn 中元素 x=
为‖ x‖, 即
),,,( 21 nxxx 与零元 0 之间的距离 ρ(x,0), 记
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,,...,, 2211 nn axaxaxax
由于线性运算和距离的引入 , 前面研究的邻域 , 内点 , 开集 ,
记作 x→a
4. Rn 中变元的极限
设 x=
‖x-a‖→0, 则称变元 x 在 Rn 中趋于固定元 a,
闭集等一系列概念都可定义 .
),,,( 21 nxxx ),,,( 21 naaa ∈Rn 如果a=
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二 . 多元函数的概念
一对数值 (a,b) 时 , 面积 S 的对应值就随之确定了 .
1. 多元函数的定义在实际问题及科技活动中 , 经常遇到多个变量之间的依赖
关系 . 看下面的两个例子 .
例 1 椭圆的面积 S 取决于它的长 , 短半轴长 a 与 b, 它们之间有
如下关系
S=πab (a>0,b>0) 这里的 a,b 在一定范围内取定
我们从这里就可以得到二元函数的定义 .
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, 数集 f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为该函数的值域 .
定义 1 设 D 是
的二元函数 , 通常记为 Z=f(x,y), (x,y) D ∈ 或
z=f(p) P D∈
其中点集 D 称为该函数的定义域 ,x,y 称为自变量 ,z 称为因变量
记 .
2R
fR
的一个非空子集 , 称映射 f:D→R 为定义在 D 上
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类似地可以定义三元及三元以上的函数 . 三元函数记
u=f(x,y,z).
点函数 z=f(p)(p∈D) 是定义在点集 D 上的一个函数 . 这
里设 D 是平面点集 , 则 z=f(p) 定义的是一个二元函数 . 如果 D
是数轴上的点集 ( 或空间内的点集 ), 则 z=f(p) 定义的是一
元 ( 或三元 ) 函数 .
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)1,2
(
2 |:,1)sin( zyxyz 求设
例 2 圆柱体的体积 V和它的底半径 R,高h的关系为 :V=πR2h
(R>0,h>0).
例 3
2111)12
sin(|: 2
)1,2
(
z解
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在上述函数概念中 , 关键的两点为 : (1) 自变量 x,y 的变化范围 , 称为定义域 ; (2) 对应法则 , 即函数关系 . 关于函数概念 , 我们主要研究三方
面的问题 : (1)求函数的定义域 ; (2) 建立函数关系 ; (3)求函数值 .
o
x
y
z Z=f(x,y)
M
px
y
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2. 二元函数的定义域 :
二元函数中自变量 x,y 的取值范围称为函数的定义域 .
围成平面区域的曲线称为该区域的边界 , 包括边界在内的区
域称为闭区域 ;不包括边界在内的区域称为开区域 ;包括部
分边界在内的区域称为半开区域 . 如果区域延伸到无穷远处 ,
称为无界区域 , 否则称为有界区域 .
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3. 多元函数的定义域
函数的定义域与函数的实际意义有关 . 我们约定 :在没
有明确指出定义域 D 时 , 函数的定义域是使函数有定义的点
的全体 . 这样的定义域叫做函数的自然定义域 .
注意 :二元函数 z=f(x,y) 中 , 自变量在定义域内可以独立地
取值 , 即 x 取值与 y 取值没有必然联系 , 而且有可能出现 x可
以取不同的值 , 而 y 的值不变 , 或 y 可以取不同的值 , 而 x的值
是不变的情况 .
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例 3 求下列函数的定义域 :
2
1arccos)2(,1)1(
22
yxzyxz
解 :(1) 要使根号内的数有意义 ,
因此函数的定义域为
{(x,y)| x+y-1≤0} 图形为右所示
x+y=1
x
y
(2) 要使2
1arccos
22 yx
有意义 ,必须 x2+y2-1≥0, 并且 512
1 2222
yxyx
y
x
55
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多元函数的定义域的求法 :
要先写出构成部分的各简单函数的定义域 ,再联立不
等式组 , 即得到所求的定义域 .
其图形为以原点为中心 , 半径分别为 1 和 5
此函数的定义域为 {(x,y)|1≤x2+y2≤5}
分 , 包括两个圆
之间的部
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o
x
y
z Z=f(x,y)
M
p
x
y
4. 二元函数的几何意义 :
设二元函数 z=f(x,y) 的定义域
xoy 平面上的某一区域 D, 对于
D 上的每一点 p(x,y), 在空间可以
作出一点 M(x,y,F(x,y)) 与它对应 .
当点 p(x,y) 在 D 中变动时 , 点 M(x,
y,F(x,y)) 就在空间作相应地变动
它的轨迹是一个曲面 .
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例如线性函数 z=ax+by+c 是一个平面 . x2+y2+z2=a2 确定的函数
222 yxaz
点集 D={(x,y)|x2+y2≤a2} 为闭区域 . 当p
在 D 中
变动时 , 它对应的两个函数值 ,
分别表示两个图形 . 一个是上
半球面 ,另一个是下半球面 . 以后我们
讨论的函数是单值的 .
当遇到多值函数时 , 可分成几个单
值分支来讨论 .
p
p0(x0,y0)
x
y
z 222 yxaz
222 yxaz
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1. 多元函数极限的定义
多元函数极限与一元函数存在形式上一致 , 但确实有着
本质区别 .先研究二元函数的极限
三 多元函数的极限
0pp
)( 0,00 yxp
)( 0,00 yxp
0xx 0yy . 又因为时等阶于 ,
显然 ,
时的极限p(x,y)→
为其一聚点 .选择一动点 p(x,y).现在讨论当
∈D(1) 二元函数的极限 设 z=f(x,y),
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0,)()( 02
02
00 ppyyxxpp
直观定义 :和一元函数极限一样 , 如果在 p→p0 的过程中 , 对应
的函数值 f(x,y) 无限接近一个确定的常数 A. 就说A为当 p→p0 ,
或 x →x0 ,y →y0 Ayxfyxfyyxxpp
),(lim),(lim0
00
)或 0(
时的极限
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p
p0(x0,y0)
p(x,y)ρ
0 x
y
例如 ),0,0(),(,),( 22 Oyxpyxyxf 当
现在我们用 ε--δ来定义这个概念 : ε--δ 语言定义设函数 z=f(x,y) 的
定义域为 D.p0(x0,y0) 是 D 的聚点 . 如果
对于任意给定的正数 ε, 总存在 δ>0, 2
02
00 )()(0 yyxxpp
0)(lim,0 22
00
222
yxyxyx
使适合不等式的一切点 p(x,y)∈D, 都 |f(x,y)-A|<ε成立 . 则称 A为函数
z=f(x,y). 当 x→x0,y→y0 时的极限 . 记作Ayxf
pp
),(lim
0
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)0,(),(),(lim 0
0
0
ppAyxfAyxfyyxx
或
二元函数的极限称为二重极限 .
研究二元函数极限定义时 , 我们注意以下两点 :
(1) 不研究 p0(x0,y0)处的状态 ,仅研 p(x,y)→p0(x0,y0)
的过程中 , 函数 f(x,y) 的变化趋势 . 所以定义中规定 ,
函数 z=f(x,y) 在点 p0(x0,y0) 的某个邻域内有定义 , 但
不要求函数在点 p0(x0,y0) 有定义 .
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(2)极限值 A应是一个确定的常数 , 它与 p(x,y) 趋近
p0(x0,y0) 的方式无关 . 也就是说 :p(x,y) 以任何方式趋
于 p0(x0,y0) 时 , 函数都无限接近于 A.
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22
)2
1()(0
2
102
222222 xx
yx
xy
yx
xyyxxy
2
)(lim22x
yx yx
xy
)0.(1
sin)(),( 2222
22
yxyx
yxyxf
例 4 求极限
例 5 设
证明 0),(lim0,0
yxfyx
0)2
1(lim)(lim
22
22
x
yx
x
yx yx
xy
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证明 : 2222
2222
22 1sin0
1sin)( yx
yxyx
yxyx
成立
化成一元函数求极限2
22
2222 1
sin1
sin)(022
yx
yxyx
有界量和无穷小的乘积为无穷小
,)()(0).,0( 20
20
22 yyxxyx
2222
22 1sin)( yx
yxyx
01
sin)(lim..01
sin,022
22
0
22
2
yx
yx
两边夹当
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例 6 考察函数 f(x,y)=00
0
22
2222
yx
yxyx
xy的极限
解 : (1) 当点 p(x,y)沿 x 轴趋于点 (0,0) 时 ,
00lim)0,(lim00
xx
xf 这是一种特殊的趋近方式
(2) 当点 p(x,y)沿 y 轴趋近点 (0,0) 时
00lim),0(lim00
yy
yf 这也是一种特殊的趋近方式
(3) 当点 p(x,y)沿直线 y=kx 趋近点 (0,0) 时
2222
2
022
00 1
limlimk
k
xkx
kx
yx
xyx
kxyx
随着 k 的不同 ,极限值也不同 . 所以 ),(lim00
yxfyx
不存在
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例 8 求 : x
xy
yx
)sin(lim
20
221lim)sin(
lim)sin(
lim:20
0,2,0
20
yt
t
x
xyyt
tyxtxy
yx
解
例 7 求 :xy
xy
yx
11lim
00
2
1
11
1lim
)11(
11lim
11lim:
00
00
00
xyxyxy
xy
xy
xy
yx
yx
yx
解
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20. 关于二元函数极限的说明 首先所谓的二重极限存在 . 是指 p 以任何方式 ( 或沿任何径 )
趋于 p0 时函数的极限都要存在 , 且相等于常数 A. 因此 , 当p 以
某一特殊方式 . 例如沿某一条 ( 也可能是几条 ) 直线或曲线无
限接近 p0 时 , 即使函数无限接近某一确定的常数 A,还不能由
此判断该函数存在极限 . 这就是说当 p沿某一特定方式趋向
p0 时 ,f(x,y) 的极限不存在 , 或 p沿某两条特定的方式趋向p0
时 , 函数极限存在但不相等 . 则该函数极限不存在 .
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p0-p p
而一元函数中 p 趋向 p0 的方式只有两种 . 一是沿 x 轴某一方向
趋近二是左 ,右方向
四 . 多元函数的连续性
定义 4: 设多元函数 f(p) 定义在 D 上 ,,p0 是 D 的聚点 .p∈D,
如果当 p→p0 时函数 f(p) 的极限存在 , 且等于该函数在点 p0处
的函数值 , 即)()(lim 0
0
pfpfpp
就称函数 f(p) 在点 p0处连续 .
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如果函数 f(p) 在点集M的各点处都连续 , 就称函数 f(p)在M
上连续 . 可以证明 : 一切多元初等函数在其定义域内是连续的 .
若函数 f(x,y) 在点 P0(x0,y0) 不连续 , 则 p0 称为函数的间断
点 . 这里指出如果在开区域 ( 或闭区域 )D 内某些孤立点 , 或者
沿 D 内某些曲线 , 函数 f(x,y)没有定义但在 D 内其余部分 ,函
数都有定义 , 那么这些孤立点或这些曲线上的点 , 都是函数
f(x,y) 的不连续点 , 即间断点 .
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例 9 求 .11
lim00
xy
xy
yx
和闭区间上一元函数的性质相似 , 在有界闭区域上多元
函数也有下列主要性质 .
性质 1(最值定理 ) 在有界闭区域上的多元连续函数 , 在该
闭区域上必定达到它的最大值与最小值 .
2)11(lim11
)11(lim
11lim
00
00
00
xyxy
xyxy
xy
xy
yx
yx
yx
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性质 2(介值定理 ) 在有界闭区域上的多元连续函数 , 如
果取得两个不同的函数值 , 则它在该区域上取得介于这两
个值之间的任何值至少一次 .
性质 3( 一致连续性定理 ) 在有界闭区域 D 上的多元连续
函数必定在 D 上一致 连续 .性质 3表示若 f(P) 在有界闭区域 D 上连续 , 则对于任意给定
1p 2p
1p 2p
的正整数 ε, 总存在正数 δ, 使对于 D 上的任意两点
只要当 | |<δ 时都有
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|f(P1)-f(P2)|<ε 成立 .
这里我们补充三个内容 : (1) 求二元函数的表达式 . 这方面的问题有二种情况 , 一
是已知函数 f(x,y) 的表达式 ,求复合函 f[φ(x,y),ψ(x,y)]
的表达式 , 这情况比较简单 .只需要把 φ(x,y),ψ(x,y) 分
别替换 f(x,y) 中的 x,y 即可 .
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),,(),0()ln(),(.1 22 yxyxfyxyxxyxf 求已知例
另一种是它的反问题 , 即已知 f[φ(x,y),ψ(x,y)] 求 f(x,y).
其一般的方法是令 u= φ(x,y),v= ψ(x,y), 从中解出 x,y,
代入 f[φ(x,y),ψ(x,y)]中 , 把 u,v 换成 x,y 即可 , 但有时不
能从 u,v中解出 x,y 时 ,往往需要用凑成 φψ的函数 .
., 的表达式并把它表示称为 yx
.:这是第一种情况分析
)4ln())()(ln(),( 22 xyyxyxyxyxyxyxf
)ln(2)ln( 2 yxyx
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.),(),0(),(:2 22 的表达式求设例 yxfxyxx
yyxf
v
uvy
v
uxv
x
yuyx
1,
1,:令分析
)1(1
1)
1()
1(),( 222
vv
vu
v
uv
v
uvuf
y
yxyxf
1
1),( 2
x
yx
yx
xyxyxyxyx
x
yyxf
222 )())((),(
y
yxyxf
x
y
x
yyx
1
1),()1(
1
1)( 22
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( 一 ) 求二元函数极限的方法 1. 化二元函数为一元函数极限
例 3 求11
lim00
yx
yx
yx
.0,0,0, tyxtyx 时则当令
2)11(
lim11
lim11
lim00
00
t
tt
t
t
yx
yxtt
yx
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)0()1
1(lim5
2
),(),(
a
xyyx
x
ayx求例
2. 应用二元函数极限的夹逼准则计算
夹逼准则 :若 g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y), 且
limg(x,y)=limh(x,y)=A, 则 limf(x,y)=A.
ax
yyyxy
x
xyxy ayxayx
yxy
x
xyyx
x1
)1(
1lim
)(lim,])
11[()
11(
),(),(),(),(
)(
2
ayx
x
ayx
t
t
txyxy
ayxe
xye
txy
1
),(),(),(),(
2
)1
1(lim)1
1(lim)1
1(lim
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x
xy
yx
sinlim7
00
计算极限例
注意 : 这里不能把x
xysiny
xy
xy
sin
该定义域为 x≠0, 该定义域为 x,y 同时≠ 0如果 x→0,y→a 就可以采用这个方法 .
本题采用的是两边夹的方法 .
0limsin
limsin
0|sin
|sin00
00
yx
xyy
x
xyy
x
xyy
x
xyxyxy
yx
yx
变成
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3. 利用连续函数的函数值即是极限值性质 .( 一切多元初等函
数在其定义域内都是连续函数 )
2ln)ln(
lim822)0,1(),(
yx
ex y
yx例
因为分子 , 分母是多元初等函数 , 当 x→1,y→0 时恰好在它的定
义域内 , 所以我们用它的函数值表示它的极限值 .
( 二 ) 证明二元函数极限不存在的方法
证明二元函数极限不存在我们也有几种方法 ,
(1)证明 (x,y)沿某一路线趋于点 (x0,y0) 时 ,f(x,y) 的极限
不存在 .
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(2)证明 (x,y)沿不同路线趋于点 (x0,y0) 时 ,f(x,y) 的极限存
在 , 但趋于不同的值 .
(3)利用二次极限存在 , 但不相等 .
),(limlim),(limlim0000
yxfyxfxxyyyyxx
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例 9 证明极限
证明 :当 (x,y)沿 x 轴 ( 即 y=0) 趋向于点 (0,0) 时 , 原式 =0 当 (x,y)沿 y=x 的直线趋向于点 (0,0) 时 ,
10
lim)(
lim4
4
0222
22
00
x
x
yxyx
yxxy
yx
由于 f(x,y)沿不同的路线趋向于点 (0,0) 时的极限不相同 ,故
它极限不存在 .
222
22
00 )(
limyxyx
yx
yx
不存在
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武汉科技学院数理系
这里我们举两个例子说明二重极限和二次极限之间区别 例 10
考察函数 f(x,y)=00
0
22
2222
yx
yxyx
xy
的极限
解 : (1) 固定 y≠0, 点 p(x,y)沿 x 轴趋于点 (0,y) 时 ,
00
0lim),(lim
200
y
yyxf
xx
可见二次极限是存在它为 0
0limlim),(limlim220000
yx
yxyxf
xyxy
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(2) 固定 x≠0, 点 p(x,y)沿 y 轴趋于点 (x,0) 时 ,
00
0lim),(lim
200
x
xyxf
xy 可见二次极限是存在的它为 0
(3) 当点 p(x,y)沿直线 y=kx 趋近点 (0,0) 时
2222
2
022
00 1
limlimk
k
xkx
kx
yx
xyx
kxyx
随着 k的不同 ,极限值也不同 . 所以 ),(lim00
yxfyx
不存在
0limlim),(limlim220000
yx
yxyxf
yxyx
这例子说明尽管两个二次极限存在且相等 , 但二重极限却不
存在
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这说明二重极限与二次极限没有什么必然的联系 , 即二重极限
的存在不能保证二次极限的存在 , 而两个二次极限的存在 , 并且
相等 , 也不能保证二重极限的存在但当二重极限和二次极限都
存在时 , 它们必相等 , 即有 ),(lim0
0
yxfyyxx
),(limlim00
yxfyyxx
定理 若存在二重极限
则它们必相等 .
与二次极限 ( 之一 )
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证明 :因为二重极限的存在 , 设 Ayxfyyxx
),(lim0
0
20
20 )()(0 yyxx
时有 |f(x,y)-A|<ε (1)
又由于二次极限的存在 , 对上述 P(x0,y0) 的邻域中的任意 x,
存在极限 )(),(lim0
xyxfyy
在 (1)式中 ,令 y→y0, 得到 Ax)( 即证明
),(lim),(limlim),(limlim,)(lim0
000000
yxfyxfAyxfAxyyxxyyxxyyxxxx
ε>0, 存在 δ>0, 使得当
即对任意
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由定理可得到两个推理 :当 (x,y)→(x0,y0) 时
(1) 如果函数 f(x,y) 的二重极限和它的两个二次极限均存在 ,
则这些极限都相等
(2) 如果两个二次极限都存在 , 但不相等 , 则二重极限必不存在 .
(3) 二元函数的连续性 二元函数的连续的概念及性质和一元函数相似 . 但要注意 ,若
二元函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 关于 x 或 y 都连续 , 但 f(x,y) 在点
(x0,y0) 不一定连续 . 例如 , 函数
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f(x,y)=00
02
22
2222
yx
yxyx
xy
我们先证明函数 f(x,y) 关于 x 轴是连续的 (1)先固定 y=b≠0, 则在平面 y=b 上得到 x 的函数
)(2
),()(22
xbx
xbbxfxg
它是处处有定义的有理函数 , 因此它是连续的 . 当 y=0 时 ,f(x,0)=0
也是连续的 . 于是 , 当变量 y 固定时 , 函数 f(x,y) 对于变量 x 是连续
的 , 同理可证明函数 f(x,y) 对于变量 y 也是连续的 .
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2222
2
022
00 1
22lim
2lim
k
k
xkx
kx
yx
xyx
kxyx
(2) 当函数 f(x,y) 在 x,y≠0 时是初等函数 , 且有定义 ,它
是连续的 . 但当 (x,y)→(0,0) 点时 ,x→0,y=kx→0 时
同一元函数的情形相同 , 对于多元初等函数 , 在它的定义的
地方都是连续的 . 在几何上 , 一元函数连续 , 它的图象是一根
连绵不断的曲线 , 而二元函数的图象是一张既没有断层又没
有“细眼”的曲面 . 因此 , 关于多元函数的连续性讨论 , 主要是
.)0,0(),()0,0(01
2,0
2不连续在点由连续的定义知 yxff
k
kk
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求极限的方法除了上面讲的三点外 , 其方法可用定义求 ,
利用运算法则求 , 可作变量代换 , 用一元函数中的已知极限求 ,
可利用连续函数性质求 , 可进行分母有理化等 .
分段函数在分段点处的连续性讨论 ,方法是根据函数在一
点连续的定义 .
同学在学习二元函数的理论时 , 要多注意它和一元函数的
联系和类比 , 在学过的一元函数的理论是学习二元函数的基
础 , 但二元函数毕竟比一元函数复杂 , 存在一些本质上的差异 .
学习时应该时刻注意比较它们的异同 .