中学数学教学论文中学数学教学论文

写作指导与点评写作指导与点评

普陀区教育局教研室 俞 凯 普陀区教育局教研室 俞 凯

一、教学研究（教材教法） 一、教学研究（教材教法） 二、课例评介（案例评说） 课堂教学实录及评析二、课例评介（案例评说） 课堂教学实录及评析

三、解题研究（试题研究）思路、方法、技巧三、解题研究（试题研究）思路、方法、技巧

四、命题研究（中考指南）四、命题研究（中考指南）五、争鸣与探索（问题争鸣）五、争鸣与探索（问题争鸣）

六、调查与实验六、调查与实验七、怎样修改文章七、怎样修改文章

目录｜ Contents

八、现场写作八、现场写作

一、教学研究（教材教法）一、教学研究（教材教法）

1 、“多元智能理论”在数学教学中的应用

2 、初中数学优质课堂教学策略的研究与实践

3 、反差缘何而来？4 、授人鱼，不如授人以渔

多元智能理论在数学教学中的运用 一、多元智能理论——时代的需要 “ 多元智能”理论是在 1983 年，由美国哈佛大学加德纳教授提

出来的。该理论对传统的智力定义和测量手段提出了挑战，拓展了对人的智能的研究领域，特别对教育、教学方法和教育评价产生了很大的冲击。

“ 多元智能”认为每个人除了语言智能和逻辑—数学智能外，至少还有其他 7 种智能——“空间智能”、“音乐智能”、“人际关系智能”、“自我认识智能”、“身体运动智能”、“自然观察者智能”、“存在智能”。它关注的问题是：“你的智能类型是什么？”学生的智能无高低之分，只有智能倾向的不同和强弱的差别。同时，它从心理学的角度阐述了学生与生俱来就不相同，他们没有相同的心理倾向，也没有完全相同的智力，但具有自己的智力强项，有自己的学习风格。所以，加德纳的多元智能理论的提出，不仅对整个教育领域有着深刻的影响，而且对我们的数学教学改革有着较多的启示。

周舟就是一个典型的例子。他平时行动那么不协调，可是一站在指挥台上，竟那么投入，那么协调，充满悟性。他的音乐潜能得到开发，使他具有了安身立命、奉献社会的条件。教育就应当为每一个孩子搭建平台，创设情境，开掘、发展他们的各项智能，扬长避短，使他们的智能形成优化的机构。 中小学中，原本不乏对数学畏难、少兴趣的学生，一些学生学数学的积极性和自信心又常常受到这样那样的挫伤，课堂上他们常常成为旁观者、局外人，使数学教学的分化越演越烈 .这就从一个侧面提醒我们：数学教学需要全面考虑促进学生各种智能的协调发展，数学教师尤应懂得为“多元智能”而教，着眼于个体的智能发展的新的理念 .

二、多元智能理论指导教学的主要方法 多元智能理论与初中数学教学实践的密切结合，不仅为教师开

启了新的思维空间，而且为教师的数学教育教学活动提供了崭新的视角，更为数学教学提供了新的策略，由此来挖掘每一个学生的数学智力潜能，满足每一个学生的数学学习需求，促进每一个学生的发展。

1 、实施个性化教学 多元智能理论强调每个个体不可能拥有完全相同的智能，单个个

体有很高的某种智能，却不一定有同样程度的其它智能。这种内隐的智能差异的外显化就是学生的个体差异性，只有当这种差异性被考虑到时，教学才是有效的。因此，在进行数学教学时，教师应了解每个学生的智能特点，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要。如对逻辑—数学智能差的学生，学数学有困难的学生，教师要给予及时的关照与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题、发表自己的看法，并及时肯定他们的点滴进步，从而增强学习数学的兴趣和信心；对学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师应为他们提供足够的学习材料，满足他们学习的需要，促进数学智能的进一步发展。

教学中教师应尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，而不能人为地扼杀学生的独立思考。因此，教师应鼓励学生解决问题策略的多样化，使不同的学生得到不同的发展。

案例 1. 初二学生学习完第十六章《函数及其图象》后，笔者在一节复习课上出示了这样一道开放题：

阅读函数图示（如图 1），并根据你所获得的信息回答问题： （ 1）折线 OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题； （ 2）根据你给出的应用题分别指出 x轴、 y轴所表示的意义，并写出A、 B两点的坐标； （ 3）求出图象 AB的函数解析式，并注明自变量 x的取值范围。

学生答案 1 ：张老师从家里出发，乘汽车去学校，汽车的速度为每小时 25千米，经过 0.5 小时到达学校，到校后由于家中有事，立即骑自行车返回，再经过 1.2 小时到家。

学生答案 2 ：小明从家骑车去离家 800米的学校，用了 5 分钟，立即又用了 10 分钟步行回到家中 .

学生答案 3：一容积为 5m3 的蓄水池有一进水管和一出水管。现单独开放进水管用 20 分钟把空蓄水池注满，又立即单独开放出水管，用了 30 分钟把水放光 .

学生答案 4 ：小明用 5 分钟把一杯冰水混合物加热到 500C后，立即把它放入冰柜中，又经过 10 分钟，杯中的水又降到 00C.

学生答案 5 ：某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后 2 小时血液中含药量最高，达每毫升 6微克（ 1微克 = 10-3毫克），接着逐步衰减，服药后 6 小时时血液中含药量为 0.

由此可见，每个学生对问题都有自己的思考，并能用不同的策略解决问题。让学生比较不同策略的特点，使他们体会解决问题策略的多样化与灵活性，从中反思自己解法的优劣，促进元认知的发展，这实际上也是发展学生自我认识智能的过程。本案例中它要求学生自己设计一个情境，把一个数学模型返还成一个实际问题，其实也是一个调动语言智能并结合逻辑数学智能等学数学的一个过程 . 使每个学生不断丰富对数学的理解，不断提高选择合理的解决问题策略的能力。

2 ．给学生提供自选的学习方式 加德纳提出的多元智力理论，认为每个人同时具有九种智能，并

以各自不同的方式和组合形式表现出来，具有自己的特点和独特的表现方式。这给我们的启发是：课堂上应当让学生选择适合自己的学习方式，让每个人都参与到课堂中来，发挥每个人的智能特长。

案例 2.笔者曾设计了这样一堂数学研究性课例课程内容：测量旗杆的高度。 活动工具：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为 2.5米的标

杆一根；④高度为 1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架；⑤小镜子。

课程目标：让学生通过九种方式学习测量旗杆的高度，或选择九种中的几种学习。

这几种方式是：语言：阅读测量旗杆高度过程的课文章节和关键活动步骤，并要求学生用语言叙述测量步骤。

逻辑 - 数学：制作测量旗杆高度的测量方案并列出相关算式。

人际关系：测量旗杆的高度是学生进行户外的实际测量活动，可以很好地体现学生个性化的学习特征，实现学生之间的合作与交流。

空间：描绘出测量旗杆高度的示意图。身体 - 运动：角色扮演测量旗杆的高度过程中所涵盖的相

关角色。自我认识：写一篇日记，反省个人所积累数学活动经验并

和测量旗杆的高度的成功体验比较。

下面四个示意图是通过分组活动，全班同学交流研讨后得出的测量旗杆高度的四种方案：

方案一：利用阳光下的影子（图 2 ）方案二：利用标杆（图 3）

方案三：利用镜子的反射（图 4 ）方案四：利用测角仪（图 5）

这种课型离我们似乎还很遥远，但却给我们重要的启示：设计出多元化的课堂实践活动，提供多样化的学习方式，使每个学生的智力都能得到开发，在学习中获得成功的愉悦和乐趣，这是我们新课改中所要努力的方向。

3 ．给学生提供动手“做数学”的时间 对数学学习过程的深入研究已表明：数学学习并非一个被

动的吸收过程，而是一个以学习者已有的知识和经验为基础的主动建构的过程。按照这种观点，最好的学习方法就是做中学，也即所谓的“学数学就是做数学”，这其实也是一个调动身体——运动智能并结合逻辑数学智能、自然观察者智能等学数学的一个过程 .案例 3. 在初一的兴趣小组活动中，笔者开设了一堂有趣的七巧板的活动课 .活动目的：动手制作一副七巧板，并用它拼出不同的图案。活动材料：一块 12cm×12cm 的正方形硬纸板、剪刀、直尺、

一副三角尺。做法：按图 6 所示的方式制作一副七巧板，并涂上不同的颜色 .

拼图：利用你所做的七巧板拼出两个不同的图案，并分别与各自的四人学习小组进行交流 .

当教师对七巧板的制作和拼摆提出要求后，学生纷纷动手制作起来，过了十分钟后，班内多数同学完成了拼图任务，接着在小组里交流各自的拼图方案，最后全班交流并在投影仪上展示。有的学生拼出一条金鱼，有的学生拼出一只兔子，有的学生拼出一只帆船等等。

通过七巧板的制作、拼摆等活动，进一步丰富对平行、垂直及角等有关内容的认识，积累数学活动经验。通过活动使学生能用适当的图形和语言表达自己的思考结果。通过活动使学生之间的交流得到了进一步的加强。它充分地调动了学生的动手操作的能力，加深了学生对知识的理解。在这一节数学活动课中，促进了学生的多种智能的提高。

4 、给学生提供合作交流的空间 笔者认为，给学生提供合作交流的方式是多样的。比如在一节数学课上，我请一名学生起来回答问题，他回答得特别精彩，特别棒，这同时也是在培养其他学生认真倾听，欣赏他，接纳他，发现他回答问题的闪光点，从而向他学习，这本身就是一个很好的合作学习。当然，为了使合作学习更有效，在实践中，老师可能会觉得需要对学生进行分组，比如，让学生四人一个小组开展合作学习，这样学生的交往会更丰富，交流的面更广，表达的机会更多，对学生的促进也就会更大。这个时候，四人小组就会成为很好的合作的方式了。在数学的新课改中，教师尤其要树立全新的理念，那就是在数学课堂教学中，应该把数学交流列入到教学目标之中，应该使所有的学生能够：通过交流组织和巩固数学思维；与同学、老师和其他人进行清楚的数学交流；分析和评价别人的数学思维的策略；使用数学语言确切地表述数学思想。这克服了传统数学教学中教师“满堂灌”，学生只能被动地听的局面，它实际上是充分地调动了学生的语言智能、人际关系智能来促进数学的学习，这一点值得借鉴和推广的。

加德纳的“多元智能”理论在当前的新课程改革中产生了广泛的积极影响，已经成为二十一世纪教育教学改革的重要指导思想。“多元智能”理论以其独特的智能诠释和极大的整合性，为数学教师的专业发展提供了理论依据，尤其在更新教师的教育理念和丰富其教学实践方面，更开拓了一个崭新的视野。相信加德纳的“多元智能”理论能促使我们以新的视角重新思考当前的数学教育、教学问题，对教学观和评价观的改进提供新视点、新思路，同时将为我们构建 21世纪的数学教育和教学体系提供有益的借鉴。

参考文献[1]童莉 . 加德纳多元智能理论与数学教育改革 . 数学教育学报， 2002.4[2] 义务教育课程标准实验教科书《数学》（七年级上册、八年级下册） .北京师范大学出版社， 2003． 1[3]孔凡哲 .近几年数学中考命题的特色与发展趋势 . 中学数学教学参考， 2003.5

初中数学优质课堂教学策略的研究与实践

一 . 问题的提出 课程改革的核心理念是“以学生的发展为本” , 其具体目标

就是倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手 ,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力 .这就要求教师的教学要帮助每一个学生进行高效地学习 , 使每一个学生得到充分发展 .

课堂教学是教学的基本形式 , 是学生获取信息、锻炼提高多种能力和养成一定思想观念的主渠道 . 然而课堂教学的时间是有限的 ,要实现用最少的时间使学生获得最大的进步与发展 , 中小学课程改革必须面对的一个问题就是如何使课堂教学效益最大化 ,优质教学是一重要途径 .

所谓优质教学，即高质、高效、高水平、高境界的教学，优质教学必然是有效教学，但有效教学未必是优质教学 . 有效教学只是对教学的基本要求，优质教学才是我们的追求目标 .优质教学坚持三维目标整合的整体发展观，秉承注重思维过程、生活经验、开放建构和整体联系的知识观，倡导主动性、交往性、创新性和体验性学习的学习观，要求教师由传授者走向促进者，由拥有知识到拥有智慧 . 优质教学的核心是学生的优质发展，而促进学生的优质发展则需要优质的知识、优质的学习和优质的教师 .

然而，在课堂教学层面上面临的最大挑战就是课堂教学的无效和低效问题 . 课堂教学改革就其总体而言，大方向是正确的，并取得了实质性的进展，但是对课程理念的理解、领悟不到位以及实施者缺乏必要的经验和能力的原因，课堂教学改革也出现了形式化、低效化现象 . 可以说，提升课堂教学的有效性是当前深化课程改革的关键和根本要求 .

如何从有效教学走向优质教学 , 如何促进学生积极高效的学习 ,全新的教学理念如何走进课堂，转化为可操作的教学行为等等 .历来是教学实践的基本追求 , 也是我们开展对优质课堂教学的策略研究的意义所在 .

二．数学优质课堂教学的主要策略 2.1 优质课堂教学的前提是提高教师的自身素质 教师是一切教育活动的主要组织者，教师在教学过程

中所表现出来的知识、才能、气质、情感、意志和道德面貌都将在教学过程中显露于学生的面前而产生影响，所以要提高学生的素质，教师首先要提高自己的素质 .要打造优质课堂，教师必须有深厚的业务基础 . 一个业务水平较高的教师才能赢得学生的信赖，甚至成为学生崇拜的偶像 .这种崇拜可以变成学生学习的强大动力 . 只有教师知识广博，教学才能深刻独到，富有启发性 .要真正使有效教学变为优质教学，很重要的一点是教师真正热爱自己的职业，真正在心里装着学生，关爱学生 . 只有具备这些，教育才能从学生出发，为了学生去思考怎样能更好的去帮助学生，教师才会不断反思教学中存在的问题，才能在不断改进中去探索优质教学，实现优质教学 .

策略：我认为作为优质教师，一是吃透教材 .这是有效教学走向优质教学的必由之路 . 只有吃透才能理解深刻 .二是要勤学善思 . 当今是知识不断更新时代，学习让我们知识广博、见解独到，多学多思让我们教学智慧更加丰富 .三是全面了解学生 . 只有知道了学生需要什么，学生的基础怎样，才能制定教学目标和教学方法 .四是热爱学生 . 调动学生学习积极性 ,使学生有浓厚的兴趣，主动、自觉地进行学习内容的探索 .五是发挥学生主体作用和教师的主导作用 . 学生是课堂教学中的主体，在课堂教学中，学生主动参与学习过程、实践过程，一切为学生的学习服务 .作为教师，我们要不断学习，经常反思，积极进取，这样才能使我们的教学走向优质 .

2.2 优质课堂教学应创设宽松、民主、平等、和谐的学习环境

教师的作用在于“激励、唤醒和鼓励” ,让学生在宽松、民主、和谐的环境中学习 . 他们可以在课堂上自由地发表见解，必要时可以获得同学和老师的帮助，犯了认识上的错误，能得到老师和同学的谅解，并有改错的机会 . 在课堂上，每个人都在积极、主动、高效地学习 .听到的不是教师的训斥声 .

[ 案例 1] 那是在 2008 年，在我教的九年级一个班上有位男同学，在学习上有他自己的性格和特点：听课时思想很集中，可是有了想法就立即随口讲出来 . 就是说听课要插嘴 . 时间长了，同学对他有意见 . 我和他谈过话，首先肯定他上课思想集中，积极发言是好的，也指出他没有遵守课堂纪律，并和他约定：“讲话先举手，我一定让你发言 .” 他说保证做到 . 在这以后的两个多星期，他既不举手也不发言 .记得在《二次函数》一章的习题课上我出示了这样一道题 :

有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线 x=4；乙：与 x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点

的三角形面积为 3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解式： .课堂上我先让学生自己独立思考， 5 分钟后，四人学习小组

成员交流，我在各小组交流的基础上 ,请两位学生板演自己的思考过程 ,最后这两位学生的答案依次为 :

17

8

7

1 2 xxy 17

8

7

1 2 xxy

全班都在安静地欣赏两位同学的演算，突然他又大叫起来：“ ”——难道我的错了吗？ 他的答案与黑板上不一致 .当时我有点恼

“ ”火，至少我可以批评他 大声喧哗！破坏课堂纪律！ 而我没有这样做，

我先去看看他的答案 ( ； ) ，

发现与黑板上不一致，但也对，只是表达形式不同 .为什么他要大叫呢？我想，他很不容易把问题解决，结果与黑板答案不

“ ” “同，不就失望了吗？所以他不是 故意破坏课堂纪律 ，而是 情不”自禁 ，这可能就是他当时的心理状态 . “如果我批评他 破坏课堂纪

”律 ，这也是可以的，但他口服不一定心服 .

35

8

5

1 2 xxy 35

8

5

1 2 xxy

其实，这一位学生是“情不自禁”，是发现自己的答案与黑板上的答案出入太大时脱口而出的 .这时他已很不好意思，需要的不是教师的“呵斥”，而是关怀——错在何处？为什么错？教师上课时学生能否插嘴、能否自由地发表意见？我认为不仅可以，还应鼓励，因为这是学生思维开始活跃的表现 .看来教学还是民主点好 . 策略：教师应努力营造一种民主、平等、和谐的课堂讨论氛围，课堂上教师积极鼓励学生参与学习 ,鼓励质疑问难 ,发表不同意见 , 使每位学生不用担心自己的意见被批评，而是坚信自己的观点是受欢迎的，小组中的成员不是批评别人的意见，而是倾听、补充、完善所提出问题的解决方案．只有这样，学生讨论起来才心无疑虑，才能互相启发，取长补短，不同层次的学生才能各有发展．

2.3 优质的课堂教学应该是学生的高度参与跟教师的适时指导的完美结合 传统的数学课堂教学中，提问和出题几乎是教师的专利，即使学生偶尔有

这方面的机会，也大多只是停留在形式层面，思维参与的层次不高 .因此，教师一方面要切实更新教育观念，少一些权威意识，努力在课堂上营造民主宽松的氛围，另一方面要积极创设让学生参与提问与编题的机会，留下思维的“空白”让学生尝试 .

[ 案例 2] 在准备《全等三角形的判定和性质》复习课时，我事先布置学生进行“一剪、二拼、三编题”的学习初级准备和研究，让学生剪好两个全等的三角形纸片，做拼图变换，并适当编题 .复习课上，我让学生充分展示其拼图成果，在这基础上由计算机动态演示两个全等三角形的翻折、平移、旋转变换，然后由学生小组自由选择典型图形，合作编题，交流成果，修改完善，交换证题 . 整节课充分让学生进行一图多变、一图多用、一题多变、多图归一、多题归一的动手、动脑之中 .通过教师的组织、引导与合作，进一步提高学生互相提问与编题的广度和深度，让各层次学生有不同程度的收获 . 课后学生仍热衷于互相提问交流，从而由课内延伸到了课外，学生带着“问题”进教室，带着更多“问题”走出教室，真正使学生思维参与的积极性调动了起来 .

策略：教师要以平等的态度、赏识的目光、开放的胸怀激发学生的参与热情，以鲜活的氛围、真实的情景、多样的手法促进学生的参与效度 . 在课堂教学中，只有学生的高度参与跟教师的适时指导趋于和谐，才算是优质教学 . 教师不失时机地引导、启发、指导、点拨、评价、矫正，起到拓展思路、开阔视野、提炼精要、升华情感、化繁为简、点石成金的作用，让师生对话得以持续，将学生思维引向深刻 .健康的、富有创造性的师生交往、沟通的方式既能体现教师权威与纪律，又能体现平等与关爱的师生关系，它是提高优质课堂教学的关键因素 .

2.4 优质课堂教学要教给学生学习的方法，学会数学的思维和思想方法伟大的数学家——波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是“教

会年轻人思考” . 教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力 . 为了使学生的学习更符合学习规律，并在知识学习过程中发展能力，学会学习 . 我在教学中，加强了知识形成过程的教学，并使学生更多地参与教学过程 . 学生如果掌握了这些学习新知识的基本方法和途径，他们就掌握了打开知识宝库的金钥匙，获得了学习的主动权 .

[ 案例 3]笔者曾开设了一节“二元一次方程组的解法”的公开课 . 我是这样进行新授的：

我通过实际问题得到了二元一次方程组：

73

1232

yx

yx

然后，向同学们提出了问题 .师：今天学习二元一次方程组的解法 .按照以前研究和学习新知识的方法，应该怎么办？生：（几乎是异口同声）转化成已知的问题来解决 .

师：那么，我们已知哪些与之有关的知识？生：一元一次方程的解法 .师：那么，二元一次方程组与一元一次方程区别在什么地方？生：二元一次方程组比一元一次方程多了一个未知量，多了一

个方程 .师：要实现“转化”，关键要解决什么问题？生：关键是消掉一个未知量 .师：有没有办法做到这一点呢？几分钟的讨论，同学们不仅想到了用代入消元法，而且也用到

了加减消元法 . 在我进一步引导下，学生通过讨论，也弄懂了为什么可以代入消元法和加减消元法 . 体会了“等量替换”的思想 .

然后，在安排例题和练习时，有意识强调代入消元法，使同学们进一步巩固和掌握它 .

上课给学生一个思想，而不是一道题目 .通过数学中的类比，对于一类问题，给学生一个模式 .让学生有据可依，在这个通用的模式下，以不变应万变 .触类旁通，这样可以提高学习的效率 .引导学生总结题型，一类问题该如何解决，每一节都有很多固定的题型，帮助学生总结 .

策略：教师必须指导学生“会”学习，使他们能主动地、积极地、创造性地学，教师要摆正自己在教学中的位置，真心诚意地把学生当作学习的主人，恰当地发挥主导作用，要努力提高“导”的艺术，从而在教学中恰到好处地去启发、点拨、设疑、解惑 .要大力提倡教师在课堂教学过程中，少一点讲解、分析、提问，多一些引导、点拨、激励，彻底改变那种牵着学生走的状况 . 课堂上要尽可能给学生多一点思考的时间，多一点活动余地，多一点表现自己的机会，多一点体验成功的快乐 . 为了促使学生主动学习，可以改变习惯的、固定的课堂模式，采取班级集中授课、小组合作交流和个别辅导学习相结合的综合模式，从而使课堂更有利于学生主动学习，促使学生不断掌握学习方法，逐步从“学会”到“会学”，最后达到“好学”的美好境界 .

2.5 优质课堂教学强化有效教学研究 , 切实提高课堂效率提高课堂教学质量，减轻学生负担，关键是要在课堂教学中

实施有效教学，充分发挥学生潜能，自主探究，勇于质疑，大胆创新，切实改变低效的教学状态 . “ 建构主义”理论认为，学习不是简单地通过教师传授得到的，而是学习者在一定的问题情境下，对已有的生活经验和认知结构的“同化”、“顺应” . 数学问题就是学生“面对数、形等纷繁复杂的信息而不能用现有的知识和技能来解决时所面临的困境” .

[ 案例 4] 笔者在新授《确定位置》一课时是这样引入新课的：

师：你会下五子棋吗？如图，老师执白棋，为了不让老师在短时间内获胜，你认为黑棋应下在哪里？请一学生上台用手指出下棋位置 .师：还可以下在那里？

很多学生迫不及待的伸长了手：这里，这里，……那里，那里！……这个白子旁边，……哪个黑子右边，……师：不用手指，你能把位置准确告诉给大家吗？学生说不

清楚 .师：今天让我们一起来学习《确定位置》……本例充分挖掘现实生活因素，化难为易，化理为趣，激起

学生学习的信心和兴趣，形成课堂教与学的合力 . 它引起学生的情感体验，高效率解决数学问题 .

策略：优质课堂教学，教师应积极创设真实、有效的教学情境；应引导学生积极、主动探索知识的形成过程；应给学生提供动手“做数学”的时间和独立思考的空间 . 引导学生处处留心生活中的数学知识，用数学的思维去思考生活中的问题，加强数学的应用意识，真正提高学生运用数学知识、分析和解决实际生活问题的能力 .这样，教学就会事半功倍，减负增效就会真正落到实处 .

[ 案例 5 ] 笔者曾亲身目睹过一件“孩子逃学了”的事：一天，有一位数学成绩很好的班干部的妈妈来到数学组的办公室，说孩子逃学了，原因是数学老师（班主任）布置作业时要求学生在一张坐标系内只准画一个函数的图象，这位同学却画了两个函数的图象 .作业本掷回后，赫然出现一个巴掌大的“ ×”.于是，事情越演越烈，终于“孩子逃学了”，这位家长问他们的数学老师怎么办？

这个事例从一个方面说明：巴掌大的“ ×”（本来只是不合教师个人要求！），严重地挫伤了这个学生的积极性和主动性 .于是事情越演越烈，最后导致“孩子逃学” .这个事例告诉我们：教师对学生的数学作业的处理要妥善，数学教师应（在学生的作业中）懂得激励的艺术 . 经过近几年的教学实践我体会到：如果能在作业批改的同时，针对学生学习态度、个性特点、作业情况等给一个恰如其分的评语，那么对激励学生的学习干劲，沟通师生的感情，必会收到意想不到的教育效果 . 比如“你有敏锐的观察力，解题思路不同凡响！你这种解法是令人赏心悦目的好解法！”又如，“作业比以前有进步”，“只要你保持目前的学习势头，你定会不断获得进步！”，“失去的并不可怕，可怕的是不再进取 .”

策略：学习评价的多样化主要表现在：一是过程评价，以提问、测验、口答、板演等多种检查的形式，及时了解学生在尝试活动过程中的进展和得失，看到他们的能力，发现他们的潜力 .二是因人评价，采用“同一试卷，分层要求，差异记分，自然升降”的做法，试题分 A 、 B 、 C三类， A 指基础知识， B指中等难度知识， C 指较高难度知识 . 对于 20％的优秀生，测试成绩 =A×0.2+B×0.4+C×0.4；对于 30％的后进生，测试成绩=A×0.6+B×0.2+C×0.2；对于 50％的中间生，测试成绩 =A×0.4+B×0.4+C×0.2 ，这样，不同层次的学生只与自己比较，他们能够看到自己的进步，从中感到愉快，获得自信与成功 .三是自我评价，学生在尝试活动中，对思考问题的方法、解决问题的途径、对问题解决的心态及与学习目标的差距进行评价 . 实践证明，当教师评价转化成学生自我评价，教师的指导就转化成学生的内在的学习动力 . 教师在评价过程中还应注意恰当使用鼓励性语言 ,进行适当的表扬 . 对不同学生要采用不同的评价策略 .

以上仅从几个方面探讨了初中数学课堂优质教学的策略 ,但是教学策略具有动态生成性、选择性、综合性、灵活性和创新性等特点 , 教师应根据课堂教学目标、教学内容、师生的实际、学校的条件等因素 ,精心选择、设计适宜的教学策略 ,最大限度地促进学生的优质高效学习 . 而且优质高效学习不仅牵涉到课堂上的问题 , 还有课外的因素 , 如作业安排、教学管理、时间安排等 .总之，只有我们教师不断学习先进的教育教学理论，不断

反思自己的课堂教学行为，合理运用优质课堂教学的策略，从有效走向优质，追求优质教学 ,才能真正提高和发展学生数学能力，才能真正培养出具有创新素质的人才，才能真正使教育成为学生幸福成长的奠基石！参考文献：

[1][ 美 ]Frederick J.Stephenson,Ph.D.主编 .非常教师——优质教学的精髓 [M]. 北京 : 中国轻工业出版社， 2002

[2] 高正华著 . 和谐：教育的追求与理想 [M].吉林大学出版社， 2007[3]俞剑波 .新课程背景下初中数学有效课堂教学的策略 [J]. 中学数学杂志 ,2007,

(4)[4]俞剑波 . 和谐教学原理在数学教学中的运用 [J]. 中学数学教学参考 ,2009,（ 7）

反差缘何而来？

CA

OO O

CAC

B

A

图3图2图1

1 缘起在本学期末全市的统考中，命题者出了一道证明圆周角定理的题，题目是这样的：在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，有一位同学首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）。如图（ 1 ）所示：

∵∠AOC 是△ ABO 的外角， ∴∠ AOC= ABO+ OBA∠ ∠ ，又∵ OA=OB ， ∴∠ OAB= OBA∠ ； 即∠ AOC=2 AB∠

O ，

∴∠ABC= 2

1∠AOC

请你帮这位同学想一想还有其他的情况吗？如果有请你在图（ 2）、（ 3）中画出图形，猜想结论又将如何，并请你说明理由。

这道题目的呈现方式同教材 [1] 中的完全一致，一般教师在上课时对该定理的猜想及证明应该都置于十分重要的地位。回想自己上课时为了使学生明确该定理为什么要进行分类证明，还特意用几何画板进行过演示，使学生观察到当 B点在圆周上运动时，圆周角在不同位置的证明方法是不同的，学生应该掌握得不错。因此，考前我们预计中等以上的学生应该都能顺利的做出来，但考后反馈出来的情况令备课组所有教师都大跌眼镜。以自己所任教的两个平行班为例，两种情况都证明出来的， 84 个学生中只有区区 8 个同学，证明了一种情形的也只有近一半同学，甚至一些学生连题目的意思也没搞明白。而整个年级段的情况也大致如此，到底是什么原因使师生间的认识产生如此大的反差？

2 访谈带着巨大的疑问对自己所任教的两个班级中的一些学生进行

了访谈。T ：拿到该题是如何思考的？上课时对于该定理的证明思路

是否清晰？以下是访谈学生中一些比较典型的想法。

S1 ：上课时老师是先画出一个一般的情形让我们猜，然后引导我们先证明特殊情况，再证明一般情况，因此，上课时对于该定理的猜想及证明思路还是比较清晰的，对课本中的叙述也就没去看。考试中拿到该题目，根本没想到是考定理证明 ，看看题目比较长，还要画图，就认为它难，心情就比较紧张，审题也没审清楚，一看到有不同情况，就把 B点画到弧 AC 上，并直接用圆周角与弧的关系证明了…

S2 ：做这道题目时，记得老师好像在课堂上讲过，但自己怎么想也想不起来，所以，只好画了两个图，写上猜想应付了。

S3 ：一开始没看懂题意，再仔细读了一遍，想起上课时老师是引导转化成特殊情形来做的，就模仿例子做了第一种情形，感觉还挺简单的，又思考第二种情形，连续添了几条辅助线但就是找不到转化的方法，现在感觉自己当时上课时还是没有真正理解。

S4 ：考课本内容实在出乎我的意料，读完题目有点慌，不知道还有哪种情况，该怎样证。上课的印象只留下证明时好像要做一条直径，别的实在想不起来了，就瞎蒙了两种情形，结果全错了。

S5 ：题目的意思我也根本没弄懂，但圆周角与圆心角的关系还是知道的，没有别的办法，就直接用它们与弧的关系进行了证明…

3 分析与思考从学生反馈的信息看，以下几点应是造成师生之间认识迥异

的主要原因所在。

3.1 学生的数学阅读习惯问题 材料的叙述并不复杂，研究对象也十分清晰，况且还是教材中的内容，竟然还有那么多的学生看不懂题意，实在令人惊讶。究其原因，是我们常常认为培养阅读能力是语文教学的任务，更不要说指导学生阅读数学课本了，以致于经常出现这样的现象：一堂课下来，学生的课本始终不曾打开或仅仅是为了做课堂练习时才打开；有时为了多讲些例题，还没等一些学生仔细阅读完题目，充分理解题意，教师就开始分析了；课后作业中也几乎不会涉及阅读教材的内容，学生看书往往只是为了参考课本中例题的解法……。长此以往，学生的数学阅读习惯不良、阅读能力不强是很自然的事，曾有教师进行过调查，目前学生的数学阅读习惯已接近“零阅读”的尴尬。因此，部分学生对整个教材的体系与内容往往了解得一鳞半爪，前因后果都没搞清楚；遇到信息量稍大的阅读材料就会心存恐惧，不知如何去收集、分析、处理信息，不知如何沟通条件与结论之间的桥梁……，这些现象确实值得我们在平时的教学中加以重视。如在课堂上对出示的问题应给予足够的时间供学生阅读与思考，并通过师生、生生之间的交流让他们反思自己在阅读方面的问题与不足，不断提高自己的阅读能力，课后应布置一定的阅读作业，同时，教师应加强对如何指导学生阅读课本等问题的研究，毕竟读数学课本不像读小说，要指导学生边读边思边动手，要鼓励学生尽可能独立思考，努力尝试自己解决问题，并将自己的思路与课本的思路加以对照，以期对自己有所修正、补充，有所启示，从而提高阅读效果，让教材在学生的学习过程中发挥它应有的作用。

3.2 数学本质的理解问题 学习数学需要理解。数学理解的含义，按皮亚杰的发生认识论学说，就是学生从现有的认知结构出发，对外来信息进行同化、顺应及相互平衡，化归到已知或已解问题网络的加工过程。对于具体数学问题的解决而言，理解的更朴素认识通常是，明白了问题的条件与结论，弄清了由条件到结论间每一步骤的语义与根据，领悟了体现在步骤与过程中的思想方法 [2] 。就本案例而言，部分学生显然对本题的证明方法只是停留在机械的模仿程度，对为什么要这样证，如何转化还一知半解，没有充分领悟其中的证明思想与转化策略；而另一些学生干脆连问题的条件也没弄清楚，于是便发生了把由圆周角定理引申出来的结果当作条件的逻辑错误。反思自己当时教这个定理时，从圆周角概念的引出、辨析，到两种角之间关系的猜想、实验，再由特殊到一般的证明思路，在整个教学过程中看似让学生充分经历了知识的发生、发展过程，但从实际情况分析，效果却并不好。究其原因，我们往往只是按照自己对内容的理解出发进行设计，缺乏换位思考，忽略了学生的认知基础与思维方式，如本题的分类讨论，虽然通过几何画板的演示，使学生直观发现分类的必要性，但该怎样分类，总体感受还是不深刻，关键在演示过程中缺少无限到有限的思想方法引领，即弧 AC 所对的圆周角有无数个，怎样证明这无数个圆周角都等于圆心角的一半？能否把证明无限个情形成立的问题转化成证明有限个情形成立的问题 [3] ？

学生当可从演示过程中发现，圆心 O 与圆周角∠ ABC 有且仅有三种位置关系；还有对圆心在圆周角外的情况，设计时总感觉它的证明思路与圆心在圆周角内的情况完全一致，为了急于完成教学任务，便采取了降低教学认知水平的行为，却忽略了这时图形的复杂性会给学生证题带来一定的困难；另外本课教学时给予学生的交流空间狭窄，没有充分暴露学生中的思维障碍等等。这些都是导致学生对所学的知识联系松散，仅仅靠记忆纽带维系，难以透彻理解数学内容本质的根本原因。因此，教师必须在教学设计时进行换位思考，以学生现有的认知基础为出发点，在学生思维的最近发展区设计知识的生长过程，并努力监控这个过程，及时合理调整，使之和谐生成，切实使学生在数学思想方法的引领下达到新旧知识的融会贯通，形成有机的、多功能认知网络。

3.3 考试的评价问题 立足教材、重视双基、重视基本思想方法，一直是我国数学教学的优良传

统。它有利于学生重视知识的形成过程，有利于学生充分理解基础知识的本质与内在联系。在考试中适度的引入对重要定理的考查，就是在这一方面的体现。但由于受到中考指挥棒的影响，特别是近年来，各地中考试题中许多所谓的创新题铺天盖地，这些试题中也确实不乏重视思考、重视过程，反映学生思维能力的好题。但那些情境为多数学生不熟悉的试题；那些只是从陈题稍作改变 ,而思路又很奇特的试题；那些会有失背景的公平，无意中鼓励题海训练的试题却也为数不少，而各类杂志上连篇累牍的解读声、赞扬声总是不绝于耳，大量所谓名师编制的模拟试题充斥市场。在这种背景下，各地中考试题的命题组无形之中也会受到一定的影响，加上中考题量与时间的不匹配，这些因素都导致教师特别是初三教师花大量精力去研究试题的类型与解法，并在课堂上不断呈现，以便让自己的学生见多识广，到时遇到新型新题不至于惊慌失措。在教师的教学行为影响下，学生学习数学的主要目的已聚焦于考试与升学，导致学生用大量时间和精力花在“记”数学、“套”公式而非理解数学上，还误以为题目做得越多越好、公式记得越周详越好，误认为会解数学题就是学好了数学的标志 [4] 。

这里对双基的理解已异化为解题的熟练程度和正确性与否上，过程的理解与运用已不再重要，至于课本更是已变得可有可无。这也是对该定理的证明反差极大的缘由之一。希望通过这一帖清醒剂，提醒我们要重新正确认识双基的作用，要切实重视知识的形成和探究，要帮学生形成正确的数学观念。当然，也希望中考命题时能考虑：考基础（考一点课本上的东西）； 考能力（考一点思维的过程）；也考一点对双基的理解。 总之，只有我们认真学习，加强研究，不断反思，深刻理解数学教学的本质，才能切实改进教学行为，不断提高课堂教学的效率。 【参考文献】1. 义务教育数学课程标准研制组 . 义务教育课程标准实验教科书—数学（九年级下册）[M].北京 :北京师范大学出版社 ,2001.2.罗增儒 . 数学理解的案例分析 . 中学数学教学参考 ,2003 ， 3.3.陈泽 .几何定理教学中的“四重四轻”现象 . 中学数学教学参考 ,2003 ， 4.4.杨新荣 ,李忠如 . 初中生数学学习观的年级差异调查研究 . 数学教育学报 [J],2005,2.

授人鱼，不如授人以渔 一、问题缘起在教学中，经常会碰到这样一个见怪不怪的现象：同一个数学

问题，在保持题目内涵基本不变的情况下，从形式或内容上进行一下改编，许多学生却会因此而犯难．

“因为数学教学只停留在进行现成知识——数学结果的教学上．”有一天，偶然在一本书上看到这么一句话，感触良多．反思我们的教学策略，没有或很少涉及知识的发生过程，没有意识到知识发生过程所反映出来的数学思想和方法在教学中的重要性．只是一味地给学生做大量练习，讲了又练，练了又讲，反反复复，岂不是有古人所说的授人“鱼”的嫌疑？而理应成为学生头脑中富有活力的思维元素——解决这些问题所用的思想和方法，这种“渔鱼”的能力的培养却被我们忽略或轻视了．

如何改变这一现状？令人可喜的是，新课程已把数学学习内容中所渗透的数学思想和方法列入教学目标中，其主要的目的就是让教师在进行教学设计时，更自觉地关注和重视这一点．

鉴于此，在新课程背景下，教师在教学理念、教学方法和教学方式上应当做何改变？又如何培养学生解决数学问题的能力？《我和学生抢三十》这一教学案例给了我们较多的思考．二、案例描述：某日，因同班教师外出学习，这天我有二节课，新课已经上完，

所以最后一节课我决定安排数学活动课．冥思苦想，忽然想起自己读书时，曾有一位老师在课余给我们玩过“抢三十”的数学游戏，一直到现在，仍觉得挺有意思，不妨就安排这个内容！

上课铃一响，我说，“这节课我们不上新课，来做个小游戏．不过，既然我是教数学的，这个游戏也当然跟数学有关．”

学生一听，来了精神，就连平时对数学不感兴趣的几个学生也不例外．

我问：“谁听说过“抢三十”这个数学游戏？”有学生回答：“我听说过．”

“ 你知道游戏的规则吗？”学生：“两人轮流报数，好象是每人可以报 1 至 3 个数，谁先

抢到三十，谁就获胜．”我说，“基本上如此，可能还有同学不明白这个规则，我们俩

先来抢几次吧！”……抢的结果当然是我赢了，其中有位不服气的，我一看是小亮，

这位学生平时很会动脑子，数学成绩一向不错，是班内公认的数学尖子．

可能是想到每次都是同学先报数，这次他提出让我先报数．

为避免暴露规律，我决定还是先蒙学生一下．因为几次下来，学生均没有先报 1 ， 2 ， 3 的．于是我先报了这三个数．他停顿了一下，报 4 ， 5 ， 6 ，我心里咯噔一下，难道他发现规律了？但不管怎样，我总不能现在就认输吧！

“7 ，”我报了一个数．他停了一下，报出 8 ， 9．我心中暗喜，这下又有了，赶紧报 10．接下来自然和前几次一样，我飞快地报着数，小亮则想一想报一次，最终又是被我抢到了 26 ，他马上认输，没再继续报数．

“怎么又是 26！”有些同学在小声私语着．再看其他学生，高高举着手，脸上一幅迫不及待，跃跃欲试的神情．

为了吊学生的胃口，我宣布：“接下来请同学们与同伴玩几次，然后四人小组交流经验，我们来比一比，哪个小组最先能找到这个游戏的致胜秘诀！”这一下，学生可热闹了，捉对互抢，不时传出“我赢了”，

“你又输了”，“我抢到 26 了”……．和往常一样，我来回刺探“军情”，发现有几个小组已经在进行交流了，而且讨论非常激烈．

大约过了五分钟，刚才和我挑战的小亮那一组率先举手了．但为了给学生有充分的讨论时间，我决定再等一会儿．又有一小组举手，我宣布全班交流．因为是比赛，当然由小

亮那一组先说思路．“ 我们小组在讨论之前，已经发现要想抢得 30 ，必须先抢

得 26．另外，通过游戏，我们还发现，要想抢得 26 ，则一定要抢到 22 ，这个弯我们研究了好久才发现，以后以此类推就是了”．

在他叙述的同时，我已经在黑板上写下了 1-30这三十个数字．我问到，“你能把你想要抢的数字告诉大家吗？”“可以，分别是 26 ， 22 ， 18 ， 14 ， 10 ， 6 ， 2”．

“ 那么，你们认为先报数者有利还是后报数的有利？”我追问道．

“ 我们试过了，只要起先报 1 ， 2 ，然后按照上面提供的数字依次报数就可以了．”

“ 为叙述方便，这些数字我们不妨称之为关键数．”我补充了一句．

“按照上面提供的关键数报数，就一定能抢到三十而赢得游戏．”学生继续说道．

“好，不知大家是否听懂了，下面我们各组按照他们提供的方法再试试！”

……在学生抢试的间隙，为明白起见，我把关键数字都用彩色粉笔标注起来．看学生玩得差不多了，我说：“我们已经知道，在这样的游戏规则下，先抢得 2 ，以后就能稳操胜券，赢得游戏．若对方报 3 ，你应该报什么数？”

“4 ， 5 ， 6！”“若对方报 3 ， 4呢？”“报 5 ， 6呀．”学生异口同声地答道．“若对方报 3 ， 4 ， 5呢？”“ 那就报 6 一个数呗！”“若对方报 k 个数，你该报几个数，能用 k 来表示这个结果

吗？”我问道有学生立刻答道：“ 4-k 个”．旁边同学自言自语地插了一句：

“就象跟互补似的， 70 度的补角是（ 180-70）度”．“哦，怪不得老师报数报得那么快，而我们总是报一次要停一

下，老师肯定用了这种方法”．“哪位同学能把大家的意见归纳一下！”我重申了这两位同学

看法的同时提出了这个问题．学生小颖：“赢的秘诀是先报者赢，只要先抢得 2 ，以下依

次抢得关键数字或按两人所报数字个数加起来是 4 就可以了”．“ 在这个问题的解决过程中，用一个字总结的话，就是

‘退’．”我突然脑中闪过大数学家华罗庚的一段话，于是就势而谈．

著名的数学家华罗庚指出：“善于‘退’，足够地‘退’，退到原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”从这席话中，我们可以学到这样一种数学思想方法，即解决问题时不能只想到“进”，虽然“进”是我们一般常用的方法，但“退”一步有时能起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的效果．所谓的“退”，就是把一个比较复杂的问题“退”成最简单，最原始的问题，由此获得解题的思路，简单问题的解决也将带来原问题的最后解决．看到同学们意犹未尽，何不把这个问题作进一步引申！可是

在课前自己没想到过这点呀，念头一滑而过．心想，按特殊到一般的数学思想考虑绝对可行！于是我向学生提出：“如果我们抢的是 100 ，你知道如何做才能赢得游戏？”

“ 一样啊，‘退’！要抢到 100 ，关键是抢到 96 ， 92 ， 88 ，……太多了！”回答的声音越来越小，有的学生干脆用笔在纸上写了起来……

“先应该抢到 4．”不到一分钟，同学们又开始议论开了．“ 不行，先报的人不可能抢到 4 ，最多说 3 个数呀！“马上

有学生提出异议．“哦，我明白了，先报的人肯定要输．” “ 不错，大家按照‘退’这个思想方法，把问题的起点找到了．

大家认为这个起先报的关键数应该和什么有关？”我继续提问．“ 和 100 有关”．“为什么？”“刚才抢三十时，不是先抢 4

而是 2．”“ 对呀，那么还有其它相关的因素吗？”“老师，我想还应该和最多可报的数的个数有关”．“这个猜想正确吗？你能验证它吗？”“老师，可找一个小的数来试试！”我马上对这个想法给予了肯定，并说这位同学已学会运用华罗庚先生的“退”字之精髓了，全班响起热烈的掌声．

“好，现在我们就以 10 为所抢数，若最多可报 2 个数，起先第一个应抢的关键数是—— 1；若最多可报 3 个数，起先第一个应抢的关键数是—— 2．看来，第一个关键数确实与最多所报的数字个数有关．”我和学生一同验证后，继续向学生提出更一般的问题．

“既然如此，若所要抢的数不是 30 ，也不是 100 ，而是用字母 n表示的一个数，最多可报的数的个数用字母 k 来表示，你能用这两个字母来表示第一个应抢的关键数吗？”

由于涉及字母，可能学生会觉得比较抽象，我决定再次安排小组合作讨论．

……大概过了四分钟时间，已有好几个小组举手了，我让讨论最

热烈的小组作代表发言．

“ 只要求出 n 除以 k+1 的余数，这个余数即是第一个关键数”．我在黑板上写上这个结论后说：“这个归纳是否正确？请同学们用笔算一下，抢 30游戏中用这个方法计算出来的第一关键数是不是 2．”

“ 没错，一点没错，果真是 2”．学生众口答道．我说：“有了这个结论，大家就可以自己制定抢数字游戏的规则了，而且你绝对是一个掌握游戏秘诀的诸葛亮！”此时，铃声正好响起……三、诠释与研究：本数学活动课虽然有别于事先设计的新授课教学，但在整个数

学问题的解决过程中，始终体现了《课程标准》关于 “数学教学是数学活动的教学，是师生交往、互动、共同发展的过程．学生是学习的主人，教师是学生数学学习的组织者、引导者和合作者！”的理念．

1 、注重知识探究的过程化．波利亚说：“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现．因为这种发现、理解最深刻．”传统教学“教师讲，学生听；教师示范，学生模仿”这种被动式的教学方式的弊端已形成教育界的共识．如何培养学生具有“独自取得知识”的本领呢？笔者认为发挥学生学习的主动性，亲历问题解决的过程，让学生体验问题解决过程中每一步的得与失，进而内化为自己的方法很重要．而这些，都只能通过新课标所强调的“学习的过程化”才能做到的．如在本案例中，学生探索过程中的顿悟——双方所抢之数与互补概念的同化；通过亲自实践，发现抢数要领——关键数的把握上，等等．

2 、突出培养学生的数学思想方法．数学思想方法是凌驾于数学解题技能之上的起指导或策略性作用的一种要素．教师在教学中不应只着眼于一个数学问题的解决，而应有意识地自觉挖掘问题解决过程中所蕴含的数学思想方法是什么？如何通过适当的设计，把这些思想方法渗透其中．如，本案例中的退化思想的运用，将问题从局部上后退，化为较易解决的简化问题或特殊问题——抢 10 ，从中获得解决问题的经验或思想方法，以此指导源问题——抢 30 的解决．还有，从特殊到一般的思想，等等．如果学生能比较好地领会这些数学思想方法，许多数学问题就容易找到破题思路．如 2005 年全国初中数学竞赛的最后一题：从 1 ，2 ，…， 205共 205 个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数 a ， b ， c（ a<b<c），都有 ab≠c．学生不妨先取 1～ 10 个数来进行研究和探索．

3 、学习是学生主动建构知识的过程．本案例通过抢三十这样的一个数学实验，把数学知识与数学思想融入其中，并提供给学生充分的从事数学活动的机会．通过自我思考、自我实践、小组合作交流等方式，让学生参与知识的发生和发展过程．在这个过程中，学生不是简单地被动地接受信息，而是对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得知识的意义．学习的过程是自我生成的过程，这种生成是他人无法取代的，是由内向外的生长，而不是灌输．案例中最后结论的获得，不是由教师强加给学生，而是由学生主体自己发现、归纳和总结的．

4 、案例引发的再思考．由于案例所涉及的问题非教材规定内容，教师可以在课堂上充分地对问题进行深入的挖掘和组织学生探索．但是，在许多知识的课堂教学中，迫于课时压力，教师是否经常会设计一些有意义的教学情景让学生先行摸索与探求？是否会耐心等待学生思考并提出问题？是否觉得这样的学习方式太费时？如何做到基本知识与能力培养的双赢？这些仍是当前许多数学教师感觉困惑的地方．另外，本案例中少了事先教学设计的桎梏，可谓自由驰骋，即兴而谋，但却使此数学问题的解决过程变得更加原汁原味，毫无雕琢之象，成功之处或许正是在无计划的原因中！这是否可以说，教学设计根本不必做到精雕细刻，而只要粗线条即够了？四、主要参考资料：全日制义务教育《数学课程标准》，北京师范大学出版社．张奠宙：《数学素质教育教案精编》，中国青年出版社．徐利治：《数学解题策略精编》，上海科技出版社． 张明甡 / 关文信：《新课程理念与初中数学课堂教学实施》，首都师范大学出版社．

1 、从一节课的设计谈新课标理念的体现2 、起始教学 贵在创新3 、在实验几何中培养学生探究能力的一次尝试

4 、凸显函数认知线索，有效提升思维能力5 、自主中引领，深化中发展

二、课例评介（案例评说） 课堂教学实录及评析二、课例评介（案例评说） 课堂教学实录及评析

从一节课的设计谈新课标理念的体现 2004 年 9月 15日，浙江省举行初中青年教师数学课堂教学评比暨观摩

活动，笔者参与了《平行四边形的识别》的教案设计并参加了课堂观摩，现将从一节观摩课的设计谈谈新课标理念的体现。

一、课堂教学片段实录和设计思想与意图。浙江省普陀第二中学洪秀捷老师上的是华东师大版数学八年级（上）第 1

2.1.2《平行四边形的识别》（第 1 课时），这是一堂通过组织学生观察、实验、猜想、验证与交流等数学活动，引导学生主动探究、合作、交流的学习方式的探究课，很有探讨价值。以下是教学设计与教学实录：

片段一1 、 探索活动的导引——“玻璃打碎了……”⑴ 多媒体课件 (两个孩子在踢足球。突然，一块平行四边形的玻璃被打

碎了 )演示 !提出问题：“新楼房里的一块平行四边形的玻璃被打碎了，要重配一块以

补全，该怎么配呢？”

B C

DA

AD

CB

E

玻璃（补全）的两种方法。（学生小品展示：三个学生上台，两个学生扮伙计。）一个学生手里拿着一块破玻璃，边走边说学生 A：带着这块破碎的玻璃去玻璃店，要照着同样的大小配一块。(向伙计说明了配的要求。 )

玻璃店伙计甲：配的方法是：把 AB平移到 CD，连接 AD，四边形 ABCD就是你所要配的平行四边形；玻璃店伙计乙：配的方法是：过 A点作 BC的平行线 AE，在 AE上取一点 D，使 CD=AB，四边形 ABCD就是所要配的平行四边形。

［设计思想与意图］通过学生参与表演、观看小品，在实际背景中创设课堂情境，激发学生的求知欲。通过体验，让学生在具体活动中体会与感悟生活中的数学。

片段二2 、提出课题：《平行四边形的识别》——辨别“平行四边形的识别条件”的方法T ：刚才的小品中，甲、乙两伙计所补全的两个四边形，一定都是平行四边形吗？你如何来说理？小组合作交流，动手操作，思考探讨。然后，鼓励学生发表自己的见解：S1 ：根据定义，伙计甲所配的四边形是平行四边形。S2 ：可以画出反例图 ( 上台画图 ) ，伙计乙所配的四边形不一定是平行四边形。（教师归纳出辨别“平行四边形的识别条件”的方法）

“ 识别条件”的辨别

条件 定义 肯定结论

条件 反例 否定结论

转化

［设计思想与意图］让学生动手操作，体验新知，尝试成功。在学生合作交流的基础上，教师归纳出辨别平行四边形的识别条件的方法：对于认为正确的识别条件，要考虑怎样来说理；否则，就要举出反例来否定它。目的是为后面的小组探索活动作好铺垫。

片段三3 、课堂探索活动——“怎样识别一个四边形是平行四边形？” 学生的自主探索活动：教师利用等腰三角形特征与识别的互逆关系，引导学生运用类比思想，猜想平行四边形识别的可能条件组合。多媒体课件显示下表，教师边读边讲：

图 形 条件 结 论

△ABC是等腰三角形 ∠B= C∠

∠B= C∠ △ABC是等腰三角形： AB=AC

ABCD是平行四边形

①AD BC AB CD∥ ② ∥ ③AD=BC AB=CD④

角 ⑤∠ A= C B= D∠ ⑥∠ ∠ 对角线 ⑦ AO=CO

⑧BO=DO

等腰三角

形

平行四边

形

特征

识别

特征

边

T ：猜想一下，识别一个四边形是平行四边形，一般需要几个条件？只一个条件 ( 如一组对角相等；一组对边平行等 )够吗？( 一一画图检验，否定这个猜想 )⑵ 教师提出探索的目标： “怎样的两个条件组合起来，能识别一个四边形

是平行四边形？” 教师顺次演示如下三个模型，引导学生一一思考探索：① 两组平行线 ( 每组两条 ) 相交， ( 学生分别画图 ) ，交成的总是什么四边

形？这说明了什么？② 一个四边形，一组对边是两根等长的木棒，另一组对边是皮筋。当这两根木棒平行地移动时，四边形的形状作何变化？这说明了什么？③ 一个四边形，对角线是互相平分的用螺帽固定在交点的木条，四边由皮筋构成。当对角线的夹角变动时，四边形的形状作何变化？这又说明了什么？

[ 设计思想与意图 ] 倡导自主探索，动手实践的学习方式。但考虑到学生在短时间内完成探索的困难，设计安排了模型引导，通过类比与操作，使学生部分经历与体验“平行四边形识别条件”的形成过程，感悟知识的生成、发展与变化。以后还可继续活动，将学生的思维一歩步引向深入，由感性认识上升到理性认识。

的四边形，是平行四边形

片段四4 、 师生小结，理性归纳——平行四边形的识别条件

① 两组对边分别平行边 ② 一组对边平行且相

等 ③ 两组对边分别相等

角 ④两组对角分别相等

对角线 ⑤对角线互相平分 T ：这一课，我们学到了，要探索一个图形是某种形状的条件，可以分两歩做：

先探索要有几个条件才能识别这种图形？ (比如说是两个 )然后，把所有条件，两个两个地组合起来，一一进行试验 !

[ 设计思想与意图 ] 在教师指导下，引导学生对前面的探索、发现活动的过程与成果进行自我评价，自我总结，自我反思，养成学习——回顾反思——学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，同时培养学生的语言表达能力。

小小设计师：如图，四边形 ABCD 是玻璃店的某伙计补全的一个四边形，现在只有刻度尺和量角器两种工具，请你设计多种能够验证它是平行四边形的方案 !

B

A

C

D

[ 设计思想与意图 ] 尽可能让学生设计多种方案，并由学生自己来陈述理由，培养学生分析问题、解决问题的能力，与应用数学的意识。

A

B C

片段五5 、课堂探索活动的延伸——思考题聪明的小伙计：

“ ”学习了 平行四边形的识别 后，如果你是玻璃店的伙计，你还有哪些办法来补全这个平行四边形？小小数学家 ( 部分学生完成 ) ：符合哪些条件的四边形是平行四边形？（取下列八个条件中的两个，作为你

所猜想的识别条件。然后，一一画图检验之）

O

DA

CB

① AD BC AB CD∥ ② ∥ ③ AD= BC AB=CD ④

⑤∠A= C B= D ∠ ⑥∠ ∠ ⑦ AO=CO BO=DO⑧

请写出两组条件 ( 每组要有两个条件 ) ① ； ② ，画反例图说明，它们不是平行四边形的识别条件。

[ 设计思想与意图 ] 以学生感兴趣的问题作为课堂教学的自然延伸。要求学生根据已学知识进行探究。由于条件、结论的开放性，不同思维水平的同学，或多或少能说出自己的组合方式，并进行有效的推理说明。学生需要具备一定的数学分类讨论与综合运用的能力。

二、新课程理念在本节课中的体现1 、寓教学于情境之中，体现数学与现实生活的联系。在片段一中，先以一个小品情景来引入，这样设计的情景活动比较恰当，即具

生活化，也具有挑战性、开放性，能让学生产生实验、探究的欲望。这样的情景，学生自然地进入了实验活动。

2 、合作学习自然贴切，卓有成效。合作学习是新课程积极倡导的学习方式，但在具体操作过程中，则较多

地流于形式，往往场面热闹，效果欠佳。但本节课 4 人一组的合作学习，由于问题设计较好，先围绕辨别“平行四边形的识别条件”的方法，小组讨论、动手操作，再为后面的怎样识别四边形是平行四边形的小组探索活动作了铺垫。通过分小组动手实验，培养学生实际操作能力和小组协作精神，使不同层次的同学能够掌握不同的方法，做到人人学有用的数学。

3 、问题设计开放新颖，重视数学思想方法的渗透。学生原有的知识和经验是学习的基础，学生的学习是在原有的知识和经验

基础上自我生成的过程。在学习平行四边形前，学生已学过三角形等知识的识别和探究，教学中应善于类比相应的知识方法。本节课中，教师从方法上给予了适当的引导，通过回忆复习等腰三角形的识别途径，利用等腰三角形特征与识别的互逆关系，引导学生自然运用类比思想，从角、边等角度进行猜想平行四边形识别的活动。在学生合作交流的基础上，教师归纳出识别平行四边形的条件，即渗透了转化思想与归纳方法。由于条件、结论的开放性，学生需要具备一定的数学分类讨论与综合运用的能力。

4 、运用所学知识解决实际问题。在探究得到平行四边形的五个识别方法后，鼓励学生做一个小小设计师，

运用所学知识解决实际问题自然恰当。教师引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以加深理解所学知识及其应用价值，使学生在面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。

三、对新课程课堂教学的几点思考1 、教师要转变对教材的认识教材是知识的载体，是教学内容的案例，老师从事数学教学，不是教教材、

教教案，应是用教材教数学。教材只是一条线索，它的功能是为学生的数学学习活动提供一个路径。至于教材上的具体素材，包括知识发生的背景、例题等都是可以改变的，这也正是教学创造性得以产生的重要原因。教师要学会全方位地解读教材，要多角度地分析教材，把握编者意图，熟悉知识体系，并与自身素质和学生实际相结合。

2 、教师要在教学设计之中体现新课程理念数学教学的基本目标是使学生通过数学学习促进自身的整体发展，数学

教学设计的基本目的是帮助学生个体进行有效的数学学习，教学设计是一个课的“灵魂”。教学设计的根本使命就是给学生提供一个良好的受教育环境，为他们的发展设计一个“系统”的发展计划，使学生们能在这样的情境中得到适合发展的机会，能够最充分地运用自己的潜能发展自我。

3 、教师要在课堂互动中体现新课程理念课堂教学有了师生互动，生生互动及相互间的动静结合，更能促成学生

的成功学习。新课程标准明确指出，观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析和整理等是学生学习数学的重要方式，教师如何引导学生自主参与、动手实践和分析交流是学生能否进行探索和实现问题解决的关键。因此，在课堂教学过程中合理地设计学生动手操作、实践活动、突破静态学习，很有必要。

起始教学 贵在创新 —— 一元一次方程应用起始教学实录及评析

摘要 :列方程解应用题，是整个初中阶段数学教学的重点。因此起始课教学让学生掌握好它的原理、方法及实质显得十分重要。它的重要性在于培养和提高学生分析问题、解决问题的能力。本课例运用“分步组合式”教学设计，在教学过程中始终贯穿一条主线 ,即：为什么要列方程、怎样列方程、怎样简捷地列方程等来阐明列方程的优越性、实质性及规律性。

关键词： 列方程解应用题； 起始教学实录； 教学反思 起始教学应理解为对学习某一章节或某一知识块时开始设计的教学问题，

一个好的起始教学设计，是一节课或一知识块的“灵魂”所在。初中数学应用问题的起始教学，主要是建立框架，实现思维方式的转变，尽可能地实现认知结构的调整——实现由综合的算术思维向分析的代数思维（即“假设——演绎”思维）的转变，这种转变，不仅能适应解应用题的需要，而且这种转变的本身就标志着思维能力的质的飞跃。本文笔者结合浙教版《义务教育课程标准实验教科书 · 数学》七年级（下册）第七章，一元一次方程应用第 1节课的教学，对应用题的起始教学作一次尝试，供同行参考。

1 、四个相关的教学片断1.1 片断 1 为什么要列方程？学校组织学生去参观舟山跨海大桥。 [ 展示舟山跨海大桥图片 (岑港大

桥、响礁门大桥、桃夭门大桥、金塘大桥等 )]师：在途中，我们遇到了一些有趣的数学问题，希望同学们一起帮助

解决。在参观西喉门大桥时，小丽感叹道：“这座桥真是雄伟壮观，不知道刚才参观的桃夭门大桥有多长？”小明马上说：“我知道，西喉门大桥长 2588米，是桃夭门大桥的 2倍还多 812米。”小丽心想：“那么桃夭门大桥有多长呢？”同学们能帮小丽解决这个问题吗？

问题 1 ：西喉门大桥长 2588米，是桃夭门大桥的 2倍还多 812米，那么桃夭门大桥有多长呢？ [ 课件演示 ( 以下简称演示 )]

生 1：桃夭门大桥长为： )(8882

8122588 米

师：除了列算式外，还有别的方法吗？生 2：列方程。师：如果用列方程的方法来解 ,设哪个未知数为 x ?生 2：设桃夭门大桥的长为 x米。师：根据怎样的相等关系来列方程 ?方程的解是多少 ?[演示 ]生 2：根据西喉门大桥长 2588米，是桃夭门大桥的 2倍还多 812米， 列出方程： 2588=2x+812 ，解得： x=888[板演 ]

[ 教师板演 ( 以下简称板演 )]

师：两种方法，比较、体会一下，我们为什么要用列方程的方法来解决实际问题呢？ [演示：为什么要列方程？ ] 也就是说，列方程有什么优越性？

生 3 ：列方程是正向思考。师：正确，列方程是顺向思考 [演示 ] ，而算术方法是逆向思考，较繁琐，

且易出错。所以我们需要学习：一元一次方程应用 (1) [演示 ]师：有的同学习惯了算术方法，不愿意列方程，但有的实际问题数量关系

较复杂，用算术方法不易解决。比如以下这个问题……[ 评析 ] 根据新课程的教学理念，教师创造性地使用教材，以舟山跨海大

桥为背景作为本课的引入，可以激发学生的学习兴趣。本节课为列方程解应用题的起点，教学内容并不陌生，关键是要让学生清楚为什么要用方程来解决问题，列方程有什么优越性，小学算术不可以吗？为什么要换个角度来研究？

1.2 片断 2 怎么样来列方程？师：参观完大桥后，在途中我们遇到一位老大爷正在吃力地拉着一辆装

满大米和面粉的手推车上坡，几位同学立即上前帮助推车。有位同学问道：车上的面粉一袋几斤啊？大爷很风趣，说：

问题 2 ：一辆手推车满载时，可装半袋面粉加 180斤大米，或者 4袋面粉加 5斤大米，求 1袋面粉的重量。 [演示 ]

师：同学们能很快的用算术方法解决吗？

……生：思考师：那能否列方程解决？生 1：设 1袋面粉的重 x斤。则：

54180x2

1 x

[板演 ]师：请问等式的左边表示什么量？等式的右边表示什么量？生 1：都表示手推车满载时的重量。师：这就告诉了我们怎么样来列方程？ [演示 ]师：列方程的实质——在题目描述的过程里，随便“拉出”一个量，根据题

意用两种不同的方式表示“它”，中间连一“等号”，方程即列成。 [演示 ]师：对此能理解吗？有什么疑问？生 2 “ ‘ ’ ”： 随便 拉出 一个量 好像不妥。

“ ”师：是吗？那么请一位同学随便 拉出 一个量，我们来试试看。生 2： 4袋面粉的重量 [板演 ]

x2

1

x2

1

x2

1

师： 4袋面粉的重量可以用 4x表示，也可以用 +180-5表示，所以可得方程

师：你能否用这种方法来列方程呢？请动笔做，并请小组合作，列出的方程越多越好。学生合作、讨论后，得出下列方程： [板演 ]表示：半袋面粉的重量，得： =4x+5-180；

4x = +180-5 [板演 ]

x2

1 x2

1

2

118054

x

x4

51802

1

x

x

表示： 180斤，得： 180=4x+5- ；表示： 5斤，得： 5= +180-4x ；

或

。

表示： 1袋面粉的重量，得：

共列出了 7 个方程师：黑板上 7 个方程，哪个思维最方便快捷？生 3 ：表示“满载”。师：这说明，拉出的量是否适当，对列方程的快捷方便有很大的影响。因此，

对“列方程的实质”这段话，可以作出怎样的改进？生 3 ：可以把随便“拉出”一个量改为选择一个合适的量。 [演示 ]师：为便于记忆，可概括为：选择一合适量，两种方法表示，再用等号连接。 [演示 ]生：噢。 (纷纷默记 )师：现在我们来求出本题的答案。师生互动，写出解题过程，强调检验、作答。师：接下来请同学们帮助解决老师在参观大桥博览馆时碰到的一个问

题：

问题 3 ：我们 5位教师和同学们一起去参观大桥博览馆，教师按全票价每人 7 元，学生只收半价 . 如果门票总价计 206.50 元，那么学生有多少人？[演示 ]师：请同学自行在草稿纸上写出解题过程。绝大多数学生做完后，请学生口述解题过程，教师板演。其间追问：设

什么为未知数？选择什么量？用哪两种方法表示？强调检验、作答。师：那么同学们是否能归纳出列方程解决实际问题的一般步骤 [演示 ]呢？

同桌互动一下。生 1 ： (1)审题：分析题意，找出题中的数量及其关系 .生 2 ： (2) 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如 x） .生 3 ： (3)列方程：选择一个量，用两种不同的方式表达，再用等号连接 .生 4 ： (4)解方程：求出未知数的值 .生 5 ： (5)检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案 . 师生共同概括：审、设、列、解、验、答 [演示 ]师：现在我们已经对怎样列方程有了比较多的了解，下一步我们要提升

一个层次，来探讨：怎么样简捷的列方程？ [演示 ]这就需要我们对常见的各种类型应用题熟知数量关系，掌握解题思路。

[ 评析 ] 教学设计符合初中生认知水平，一个合适量的“拉出”，衍生了问题的一系列不同解法，同时，归纳出列方程解决实际问题的一般步骤。学生的思维始终处于活跃状态。他们不仅充分利用已知，圆满解决了未知，并在解决未知过程中，还有效拓展了思维，有利于培养学生的发散性思维，从而引导学生怎么来列方程。

1.3 片断 3 怎么样简捷的列方程？师：回程中，路上车来车往，作为数学老师的我就出了这样一个数学题问题 4 ：甲、乙两人从 A ， B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，

沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经 3 时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了 90千米，相遇后经 1 时乙到达 A地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？ [演示 ]师：请一位同学读一下本题，其他同学请边听边想。生：甲、乙两人……师：这是应用题中哪种类型的应用题？生 1 ：相遇问题生 2 ：行程问题中的相遇问题师：很好，是行程问题 [演示 ] ，那么行程问题的三个基本数量是什么？生齐答：路程、速度、时间。师：它们之间有什么关系？生齐答：路程 = 时间 ×速度 速度 =路程 ÷ 时间 时间 =路程 ÷速度师：关于行程问题，我们通常借助什么数学工具理清数量之间的关系？生：画线段图。师：现在我们一起画出本题的线段图吧。师生合作，完成线段图 [演示 ]

师：未知数如何设？生：设甲的速度为 x师：注意单位！生：设甲的速度为 x千米 / 时 [板演 ]师：那么乙的速度如何用含 x 的代数式来表示呢？生：因为 3 小时乙比甲多行了 90千米，所以 1 小时乙比甲多行了 30千

米，即乙的速度可表示为： (x+30)千米 / 时 [板演 ] 。师：好极了，那么我们选择哪个量来列方程呢？路程？速度？还是时间？生 1 ：选择路程方面的量，比如： A 、 B两地间的路程，可得方程： 4×3x=3(x+x+30) [板演 ]生 2 ：选择：相遇前甲行的路程，得： 3x=1×(x+30) [板演 ]生 3 ：选择：相遇前乙行的路程，得： 3(x+30) =4(x+30)-3x [板演 ]师：请同学们选择一个方程，解决这个实际问题，注意检验、作答。学生书面解题，教师组织全班核对。师：解完此题后，让我们再次审视一下整个解题过程，看看有什么启发？

为了实现简捷的列方程，我们发现：首先，线段图可使我们更简明地理清实际问题中的数量关系；其次，应该选择什么量来列方程呢？本题中，速度为所求量，用 x表示，时间给出的数值较具体，是完全已知的，都已发挥了作用。那么怎样发挥路程这个数量的作用呢？

生：用来列方程。

师：很正确。因此，我们可以归纳：一量设，一量已知，一量列方程。[演示 ]师：这样思考可使列方程更简捷，更好地解决行程问题。实际上含有三个

基本数量的应用题都可以照此办理，如：工程问题。[ 评析 ] 在探讨怎样简捷的列方程时，归纳出解决行程问题时解题方法，

若一量为所求量（设为未知数），另一量给出的数值较具体，则选择第三量列方程，即：一量设，一量已知，一量列方程。这使学生在解行程问题时，思路更明确，思维更清晰，从而更快捷地列出方程。

1.4 片断 4 你会列一元一次方程吗？师：现在我们已经解决了老师带来的 4 个实际问题，并且共同探讨了为什

么要列方程？怎么样来列方程？怎么样简捷的列方程？那么，你会列一元一次方程了吗？ [演示 ]

生：会了。师：请大家来谈谈在本节课里你的收获与体会。生 1 ：我知道了列方程的一般步骤是……师：这就是列方程的规律性。 [演示 ]生 2 ：列方程的实质就是：……师：你所谈的就是：列方程的实质性。 [演示 ]

生 3 ：我知道了为什么要列方程解应用题……师：嗯，这是列方程的优越性。 [演示 ]生 4 ：对于行程问题，可以一量设，一量已知，一量列方程。师：这也是列方程的规律性。 [演示 ]师 : 现在你会列方程了吗 ?[ 评析 ] 引导学生对所学知识，学习方法进行全面的归纳总结，使学生在这节课中体验了列方程解应用题的优越性，理解了列方程的实质性，掌握了列方程的规律性。

2 、教学反思2.1 小学阶段已接触的方程解决问题的方法，却是将它与算术方法置于平行的位置上进行，既考虑到算术方法对培养数感和垒实数学基础的价值，又放眼于未来发展的需要，培养学生适应于用方程解决问题的代数思维。小学时，提出的问题一般较为简单，通常两种方法都可以解决，体会用两种不同的思维方式解决问题。但真正让学生领略方程的代数思维超越算术思维，应当还是在初中数学教学中体现。因为本节课是列方程解应用题的起始课，所以教师站在更高的学术背景下审视着这节课，设计了这节课，也较好地把握了这节课。在教学过程中，教师不仅关注最佳教学方案，而且关注了寻找规律的方法；教师不仅关注了学生的认知起点，而且关注了学生思考问题的历程。

2.2 教师抓住了起始课的特点，深刻揭示了起始问题教学的功能。本课尝试以问题为主线，用为什么要列方程？怎么样来列方程？怎么样简捷的列方程？你会列一元一次方程了吗？这四个层层递进的问题引导学生深入思考，在提出问题，师生协作解决问题的过程中，不断深化问题，不断接近目标，使学生产生学习的内在动力，主动地投入到学习过程中去，解决其中蕴含的各类实际问题，形成 “提出问题——学习新知——解决问题”的教学活动过程，并完成本课的实际目标。

2.3 关于列方程解应用题，课本中的说法是：分析题意，找出等量关系，据此列出方程。这种说法对于初学者来说，把等量关系神秘化了，易产生畏惧心理。因此，本课借用孙维刚先生的说法：，在题目描述的过程里选择一个合适的量，根据题意用两种不同的方式表示“它”，中间连一“等号”，方程即列成。力争使学生感觉列方程是唾手可得的事情。另外，在问题 2 中，任意拉出一个量列方程时，还可以有多种方法，如：

x

51802

1

4

x

x

x 18054

2

1

2

14

5180

x

“表示： 4”，得： “ ”；表示： 半 ，得

表示： 1袋面粉的重量，且不容许在等式右边出现 x,得：

……限于时间和学生现有的知识水平，就没有进行介绍。2.4 在探讨怎样简捷的列方程时，对于行程问题，教师提出了解决

行程问题时，若一量为所求量 ( 设为未知数 ) ，另一量给出的数值较具体，则选择第三量列方程。即：一量设，一量已知，一量列方程。这是为使学生在解行程问题时，思路更明确，思维更清晰，从而更快速简明的列出方程。同样由于教学时间的限制，本题没有过多展开，如：可以利用乙 1 小时行完相遇前甲行的路程，把乙的速度表示为 3x千米 / 时，那么就可以列出不同的方程。

2.5 使学生自己体会列方程的优越性之一就是思维的顺向性。从而使学生认识到可以摆脱思考逆向、繁琐的算术方法。并用具体的实际问题巩固了列方程的优越性。在小结部分，尝试用独特的方法帮助学生再次强化理解列方程的优越性、实质性、规律性。 参考文献：[1]孙维刚 .孙维刚导学初中数学 [M].北京 . 教育科学出版社 ,1999.5

在实验几何中培养学生探究能力的一次尝试贵刊 2006年第 5 ——期刊登《此处花开香满堂 记一次意外的求面积探究活

动》一文，读后颇受启发，尤其可贵的是该课注重一题多解及精彩的课堂表现。遗憾的是作者只是探究解法，而没有更好地引导学生作深层次的探索。其实，

“此例不需要学生用相似三角形、直角坐标系等知识来解决，可在学完 整式的”运算 后，从实验几何的角度作些探究。为此，笔者在一次下校蹲点课堂教学

中作了一次尝试，给学生提供了自主探索学习的一个平台，从而培养学生的探究能力和创新思维能力。以下是笔者的一次课堂教学尝试。教学片段一1、静态图形中探究三角形面积的求法。原文例，（ 1）如图 1， ABCD和 EFGC是两个边长分别为 a， b的正方

形，用 a、 b表示阴影部分的面积，并计算当 a=4cm， b=6cm时，阴影部分的面积。（ 2）把阴影部分改成如图 2所示的三角形 BDF，在其它条件都不变的情况下，计算△ BDF的面积。

[ 设计意图 ] 利用“探求几何图形的面积”作为“整式运算的复习与应用”的载体，实现了数与形的有机结合。引导学生一题多解，培养学生发散性思维能力，也为学生探究提供了良好的素材。

教学片段二2 、动态图形中探究三角形面积的变化规律。 探究 1 图 2 的两个正方形中，如果大正方形的边长是可以变化的，当其

边长 CG 的长度变化时，△ BDF 的形状随之而变，那么△ BDF 的面积变大了，变小了，还是不变？

这个问题的结论不知道，需要同学们去探索，学生各抒己见，各尽其才。有的说“变大”，有的说“变小”，我借助多媒体制作的动画片，不断地演示着△ BDF 的变化过程，演示的画面强烈地吸引着学生去探究，通过探究，说“变大”或“变小”的学生逐渐发现了自己的错误，有个学生说“不变”，但却说不出理由，我就让学生分小组分别取 CG=1 ， 2 ， a ， x计算 S BDF△ 的值，结果每个小组都有同学算出是

a2 ，各组派代表在全班作交流。 1

2

T ：从 S1 与 S2 的回答中，你得到了什么启示？谁能作一般性的归纳？S3 ：从上述分析过程发现（如图 3 所示），当右边的正方形 CGFE或 CG1F1E1

随着边长的增大或减小，点 F（或 F1）的位置都在同一条直线上移动，并且这条直线平行于正方形 ABCD 的对角线 BD ，虽然阴影部分的形状变了，但面积的大小不变，是一个定值，也是正方形 ABCD面积的一半。

T ：归纳得真好！我不禁赞叹！我鼓励了这位同学的精彩归纳，同时又提出了新的问题。

[ 设计意图 ] 从静态图形到动态图形的探究过程，是展示思维的过程及结果的探究过程。通过观察、分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，培养学生归纳能力和探究能力。

教学片段三3 、动态图形中探究多边形面积的变化规律 探究 2 在图 4两个正方形中，当小正方形 CGFE 的边长变得越来越大，超过

原来大正方形 ABCD 的边长时（即从图 4变化到图 5 时），探究图 5 的阴影部分面积是变大了，变小了，还是不变？

[ 设计意图 ] 从一题多解到一题多变，使学生的思维得到相当程度的提升，让学生在图形变化过程中感悟到静与动、动变与不变的辨证统一关系。以学生感兴趣的问题从课内自然引伸到课外，要求学生根据已学知识进行探究。

4、动态图形中探究三角形面积最值的规律。

探究 3 在图 2的两个正方形中，设正方形 ABCD的边长为 a，正方形 CGFE的边长为 b，把正方形 CGFE绕点 C旋转任意角度，在旋转的过程中， S BDF△ 是否存在最大值、最小值？如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。本题是一个开放性的探究问题，我就引导学生根据上面动态图形求面积的解答，

观察图形思考，并借助多媒体演示。S6：我发现正方形 CGFE在旋转过程中，△ BDF的大小、形状在变，而△ BDF

的一条边 BD始终没变。 T ：通过观察，你还有什么发现？S6 ：当点 F 到 BD 的距离最大或最小时， S BDF△ 随之最

大或最小。当正方形 CGFE旋转到如图 6 的位置时，点 F 在 AC 的

延长线上，点 F 到 BD 的距离最大，三角形 BDF 的面积最大。连接 AF ， S BDF△ 最大值 =S BCF△ +S DCF△ +S BDC△ ，即 S BDF△ =ab+ a2

1

2

T ：那么 S BDF△ 有最小值吗？S8 ：当正方形 CGFE绕点 C旋转时，点 F 到 BD 的距离最小时，应该有 S BDF△ 的

最小值。T ：这位同学的答案对吗？有什么不同的看法吗？同学们七嘴八舌，都感到没有什么不对，但却说不出理由来。于是，我一边借助多媒

体作演示，一边组织小组合作交流，过了一会儿，有一小组代表作了回答：S9 ：老师，我们认为 S8回答不正确，当正方形 CGFE绕点 C旋转时，点 B 、 D 、

F三点在同一条直线上时，△ BDF 不存在，所以三角形 BDF 的面积没有最小值。T ：你们真聪明，很有自己的看法和见解，我表扬了他们，顿时，教室里爆发出雷鸣

般的掌声。 [ 设计意图 ] 变换图形，激励探索，通过旋转图形和一题多解的发散性变化，让

学生在图形变化过程中感悟到静与动的辩证观点及由特殊——一般——特殊的数学思想方法。 教学反思

1 、重在预设，贵在生成。随着新课程改革的逐步推进，课堂教学正发生着实质性的变化，课堂是开放的，教学是生成的。课堂的预设和生成都很重要，两者是相互联系、相互依存的，没有预设的课堂教学犹如打无准备之仗，将严重影响教学效果；只有预设没有生成的课堂教学会扼杀课堂的生命力。教师既要加强教学设计，提高自己的教学设计能力，把握好课堂预设的“度”，也要给生成留下一定的空间。本节课很好地处理了预设与生成的相互关系，数学认知结构的建构离不开老师课前的精心预设，即探求“几何图形的面积”作为“整式运算的复习与应用”的载体。学生从静态图形到动态图形的探究过程，生成了学习数学的激情和进行主动探索新问题的自信心。

2 、教师要转变对教材的认识。教材是知识的载体，是教学内容的案例，老师从事数学教学，不是教教材，教教案，应是用教材教数学。教材只是一条线索，它的功能是为学生的数学学习活动提供一个路径。至于教材上的素材，包括知识发生的背景、例题等都可以改变的，这也正是教学创造性得以产生的重要原因。如本节课使用的是人教版义务教育课程标准实验教科书的数学（八年级上册）“整式”（第十五章）这一章。本章教材的一些法则、公式均用几何图形来验证其正确性，以体现代数与几何之间的内在联系和统一。所以教师要学会全方位地解读教材，要多角度地分析教材，把握编者意图，熟悉知识体系，并与自身素质和学生实际相结合。

3 、突出培养学生的数学思想方法。数学思想方法是凌驾于数学解题技能之上的起指导或策略性作用的一种要素。教师在教学中不应只着眼于一个数学问题的解决，而应有意识地自觉挖掘问题解决过程中所蕴含的数学思想方法是什么？如何通过适当的设计，把这些思想方法渗透其中。如本课中的数形结合、辩证统一、从特殊到一般的数学思想方法等，使学生在感受和理解代数与几何之间的内在联系和统一的基础上，深刻体会其中蕴涵的数学思想方法。

《数学课程标准》明确指出：让学生“经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程”。传统数学比较注重结果而忽视探索过程，本文从静态图形到动态图形的探究过程，不仅为学生展示思维的过程及结果的探索过程，而且为学生提供了自主探索学习的一个平台。很好地发挥了他们的学习主动性，培养学生的探究能力和创新思维能力。

凸显函数认知线索，有效提升思维能力

1 引言2009年 10月 23—24日 , “由浙江教育学院与省名师名校长工作站举办的

智慧课堂 -2009 ”西湖之秋 初中数学名师教学峰会在教育学院小礼堂如期举行.期间 , “笔者作为省首届初中数学高端班的学员应邀执教了一节 二次函数复习

”课 ,受到了与会 700多名听课老师的一致好评 .鉴于此 ,现将课堂教学实录与自己对教学设计的思考过程整理如下 ,供各位同仁参考 .

2 课堂教学实录2.1 情境引入 ,凸显认知线索师 :……,右图是舟山五座跨海大桥之一的西堠门大桥 ,同

学们请看 ,大桥主悬索的形状像什么 ?生 (齐答 ):抛物线 .师 :一看到抛物线 ,你就会想到什么 ?生 (齐答 ):二次函数 .师 :这就说明 ,一来二次函数在生活中有广泛的应用 ,二来同学们在学习数学中常会把数与形结合起来 .对于数形结合 ,著名数学家华罗庚曾精辟地说过 :“数缺形时少直观 ,形缺数时难入微 ,两者结合万般好 ,隔离分家万事休 .”下面就让我们从二次函数的图像入手进入到今天的学习活动之中！

2.2 读图识图 ,有效梳理知识例 1 如图 1是抛物线 )0(2 acbxaxy 的图像 , 请尽可能多地说出一些结论 .

Ox

y

图 1-1

1

4

a x生 1:开口向下 ,故 ＜ 0;对称轴是直线 =-1,顶点坐标为 (-1,4).

xy

生 2:顶点坐标是图像的最高点 ,故当=-1时 ,有最大值是 4, 1

2

a

b同时 ＜ 0,而a＜ 0,所以b＜ 0.

生 3:把 x=1 得 a+b+c=0, 还有抛物线是轴对称图形 , 所以它与 x轴的另一点交点坐标为 (-3,0); 与 y轴交点在 y轴的正半轴 ,故 c＞ 0.师 : 那么点 (-3,0) 与 (1,0) 的实际意义是什么 ?

生 3: 就是当 y=0 时 , 方程 ax2+bx+c=0 的解为 x=-3或 1.生 4: 我从图像观察出 , 当 -3＜ x＜ 1 时 ,y＞ 0; 当 x＜ -3或 x＞ 1 时 ,y＜

0.

师 : 也就是说 , 不等式 ax2+bx+c=0 的解为 -3＜ x＜ 1; ax2+bx+c＜ 0 的解为 x＜ -3或 x＞ 1. 以上说明 , 方程、不等式与函数之间有着密切的关系 .好 !同学们还能得到什么结论 ?

生 5: 我能求出函数解析式 . 设 y=a(x+1)2+4,把 (1,0)点代入 , 得 a=-1, 所以y=-(x+1)2+4.这样还可得 c=3.

师 : 你还有别的求解方法吗 ?生 5:把 (-3,0),(1,0),(-1,4)都代入到 y=ax2+bx+c,列方程组求出 a,b,c生 6: 也可设 y=a(x+3)(x-1),再把 (-1,4)代入求解 .师 : 还有结论吗 ?譬如函数的变化规律 .生 7: 当 x≤-1 时 ,y随 x 的增大而增大 ; 当 x≥-1 时 ,y随 x 的增大而减少 .……师 :刚才我们通过研究一个具体的函数图像得出了二次函数的一些性质 .归

纳起来 ,主要有以下几点 :

1.a决定了开口方向 ;2.轴对称性——研究对称轴 ,顶点坐标 ,最大（小）值 ;3.增减性——研究 y随 x变化而变化的规律 ;同时 , 可以根据特殊点的坐标灵活求解函数解析式 , 还发现方程 ( 不等式 ) 与

函数之间有紧密的联系 .下面让我们对一般情形下二次函数的性质进行梳理 ( 略 ).点评 : 在二次函数图象中添置了几个特征的数值 , 以开放性的问题形式 , 使学

生有话要说 ,又有话好说 ,说明教师准确把握了学情 ; 在启发引导中围绕二次函数的知识和性质 , 体现数形结合的思想和方法 , 反映了教师对知识理解的深度和教学基本功 .知识的回顾不以提纲式的罗列知识点来展开 , 而结合问题解决进行回顾和总结是本课教学设计的一个亮点。

2.3 层层深入 , 提炼思想方法师 :通过例题我们发现 ,图像直观反映了函数的性质 , 而数据又精确刻画了

图像的大小与位置 , 数形结合 , 相得益彰 .下面就让我们继续遵循这个方法 , 对二次函数作进一步的深入研究 .请看问题 .

例 2 如图 1,把此抛物线先绕它的顶点旋转 180°,则该抛物线对应的解析式为 ;若把新抛物线再向右平移 2 个单位 , 向下平移 3 个单位 ,则此时抛物线对应的函数解析式为 .

生 8: 这两个抛物线对应的函数解析式应分别为 y=(x+1)2+4 与 y=(x-1)2+1.师 : 理由是什么 ?生 8: 抛物线先它的顶点旋转 180°,则开口向上 , 但形状不变 ,故 a=1, 而

顶点坐标仍为 (-1,4), 所以由顶点式得 y=(x+1)2+4; 而把新抛物线再向右平移2 个单位 , 向下平移 3 个单位 ,顶点坐标变为 (1,1), 但抛物线的开口方向与大小都不变 ,则 a仍为 1, 而于是 y=(x-1)2+1师 :这就是说 ,a 的符号决定了抛物线的开口方向 ,绝对值决定了抛物线

的形状大小 ; 同时 ,抛物线的平移规律本质上就是把握点的平移 .好 ,让我们继续研究下去 !前面由图像我们已经知道 : 当 x=1或 -3 时 ,y=0;当 -3＜ x＜ 1 时 ,y＞ 0; 当 x＜ -3或 x＞ 1 时 ,y＜ 0. 那么进一步 ,

例 3 问题 1 结合图 1思考 , 当 y=1 时 ,即方程 -（ x-1） 2+4=1 有几个实数根 ?

生 9: 当 y=1 时 , 在图像上就是过 (0,1) 的一条平行于 x轴的直线与抛物线有两个交点 ,则方程 -（ x-1） 2+4=1 有两个不相等的实数根 .师 :( 在屏幕上演示后 )这个方程解的个数实际上也常用判别式△判断 , 但

显然利用图像更直观 ,这充分说明了数形结合的优越性 .请看更一般的情形 .问题 2 进一步思考，当 m 为何值时 , 方程 -（ x-1） 2+4=m有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根？生 10: 当 m＜ 4 时 ,直线 y=m 与抛物线都有两个交点 ; 当 m=4 时 ,直线 y

=m 与抛物线只有一个交点 ; 当 m＞ 4 时 ,直线 y=m 与抛物线没有交点 . 所以 , 当 m＜ 4 时 , 方程有两个不相等的实数解 ; 当 m=4 时 , 方程有两个相等的实数解 ; 当 m＞ 4 时 , 方程没有实数解 .

Ox

y

图 2

-11

4

A

B师 :这位同学解释得太好了 .下面让我们研究更一般的情形 ,就是把平行于 x轴的直线变化成一次函数的图像 .请看 ,

问题 3 如图 2,若直线 y1=kx+m(k≠0) 与该抛物线 y2=ax2+bx+c交于 A（ 1 ， 0）， B（ -1 ， 4）两点 ,

mkxcbxax 2

cbxax 2 mkx

cbxax 2mkx

mkxcbxax 2 x cbxax 2 mkx x cbxax 2 mkx x x

则 (1)方程 的解为 ;

＞(3)不

等式 ＜

的解为 .

的解为 =-1或 1; ＞

的解为 -1＜ ＜ 1; ＜ 的解为 ＜ -1或 ＞ 1.

(2) 不等式

生 10:

的解为 ;

师 : 理由呢 ?生 10:ax2+bx+c=kx+m 的解在图像上就是 y1=y2 时 , 对应的 x 的值 ,同样 ,ax2+bx+c＞ kx+m 的解在图像上就是看 y2＞ y1 时对应的 x 的

值 ; ax2+bx+c＜ kx+m 的解在图像上就是看 y2＜ y1 时对应的 x 的值 ;

师 :说的真好 .比较两个函数值的大小实际上就是比较同一个 x值所对应的两个点的位置高低 , 而这由图像可以非常直观的得到 . 所以 , 我们对于方程 , 不等式等数的问题 , 除考虑直接用代数方法求解之外 , 也往往可以转化成函数 ( 形 ) 来解决 ,即方程 , 不等式的图像解法 .这也正是数形结合的价值所在 .下面让我们通过两个练习来进行巩固与深化 .

点评 :这一阶段以函数图象的旋转和平移、方程不等式与函数有关知识的紧密联系为背景展开 ,突出了二次函数中有关系数的本质意义 ,借助数形结合的思想和方法 , 使函数、方程、不等式的内在联系得到了有机的统一 , 提升了学生解决问题的能力 . 而要做到这些 , 就需要教师对数学知识的深入钻研！

xx

112

12 xyx

y1

2.4 巩固反馈 ,促进方法内化

练习 1 实数解的个数为 (

)

与我画了草图 ,发现有 3个交点 ,所以 ,应选 (A).生 12:我也画了图像 ,但发现只有 1个交点 ,所以应选 (C).师 :到底哪个同学的结论正确呢 ?不妨让我们画得精确一点再看看 .师生共同完成 ,发现正确结果应是 (C).师 :这说明在用图像法画草图时 ,也不能马虎了事 .下面我们再来看一个问

题 .

(A) 3 个 (B) 2 个 (C) 1 个 (D) 0 个 教师巡视后 , 发现有些学生在用图像法解 , 也有部分学生用代数方法解不下去了……师 :老师发现一些同学想到了直接去分母转化成整式方程的方法 ,思路正常 , 但具体在解的过程中由于出现陌生的一元三次方程而解不下去了 .这时 , 你会如何进行策略上的调整呢 ? 生 11: 那就用图像法 . 问题就是求函数

的交点个数 ,

(2)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的系数满足 a+b+c＜ 0,a-b-c=2,则该方程 ( )

(A) 必有两个不相等的实数根 ; (B) 必有两个相等的实数根 ; (C) 必无实数根 ; (D) 无法确定 . 生 13: 我选 (A). 可以把问题看成求抛物线 y=ax2+bx+c 与 x轴的交点个数 .

当 x=-1,y =2; 当 x=1 时 ,y＜ 0,说明抛物线经过点 (-1,2) 与第四象限的某一点 ,这样无论抛物线的开口向上还是向下 , 它与 x轴总有两个交点 .师 : 同学们理解得非常好 ,下面让我们进入最后一个版块 .点评 :这两个练习进一步拓展了学生的解题思路 ,把数形结合提升到一个

新的高度 , 体现了数学的灵活性与趣味性 .画“草图”过程中的有效指导又一次使学生感受到数与形的“血肉”关系和具体方法，

2.5 应用拓展 ,提升思维水平

开始

输入 x

y与 x的关系式

输出 y

结束

按右图所示的流程，输入一个数据 x，根据 y与 x的关系式就输出一个数据 y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20～ 100（含 20和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下

列两个要求：（Ⅰ）新数据都在 60 ～ 100 （含 60 和 100 ）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

若按关系式 y=a(x+m)2+k(a＞ 0)将数据进行变换 ,请写出一个满足上述要求的这种关系式。 师 :请同学们仔细阅读 , 认真理解 ,并请用自己的语言解释题意 .生 14: 就是求一个二次函数的解析式 , 但要满足条件 (1)20≤x≤100,60≤y≤100;

(2)y随 x 的增大而增大 . 师 : 那怎样的抛物线才能同时满足这两个条件呢 ? (看到学生还有点茫然 )师 :这两个条件之间有联系吗 . 也就是说 , 条件 1 中

的 x,y 如何搭配 , 就满足条件 2呢 ? 不妨在坐标系中画画看 ?生 15:让抛物线经过 (20,60) 与 (100,100)这两个点 , 如果它们都在对称轴的

右侧就满足条件了 .师 : 那这样的抛物线有多少 ?生 (齐答 ): 无数个 .师 :根据题意只要写出其中一个 , 你如何选取可以简捷一些呢 ?生 16: 我把对称轴选为 y轴 ,即设 y=ax2+k,再把 (20,60),(100,100)代入即

可 .生 17: 我取顶点坐标为 (20,60),则可设 y=a(x-20)2+60,再把 (100,100)代入

即可 .师 :好 ,下面老师把条件改变一下 ,即把条件中的 a＞ 0 改为 a＜ 0, 关系式

又是怎样的？生 18: 那抛物线应该经过 (20,100) 与 (100,60)吧 !师 :真是这样吗 , 还是请同学们在坐标系中画一下试试看 ?生 18: 我知道了 ,图像仍经过 (20,60),(100,100), 但它们都在对称轴的左侧

就同时满足条件了 .

师 : 那如何求解呢 ?生 18: 可把 (100,100) 当顶点坐标 ,即设 y=a(x-100)2+100,再把 (20,60)代入

即可 .师 :若再将条件（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致

改为相反，即原数据越大的对应的新数据越小 . 那关系式又如何 ?请同学们在课后思考解决 .点评 : 用数学知识解决问题是学习数学的主要目的 .此题新颖 ,又具有一定难

度 , 对学生具有挑战性 , 也是对本课学习效果的有效检测 , 问题解决的过程又一次使学生体会了数形结合的“威力”！ 而引入变式有助于学生更好理解抛物线的特点 .2.6 分享收获 ,完善认知结构……师 :同学们都总结得很好 ,这里老师也提炼了一下 ,供同学们参考 .一个核心——数形结合思想（用数表达，用形释义）； 二项性质——轴对称性（图像特征），增减性（变化规律）； 三种表达—— y=ax2+bx+c=a(x+m)2+k=a(x-x1)(x-x2) ；四点注意： (1)a 决定了抛物线的开口方向与大小； (2) 抛物线的平移要抓住点的平移规律；

转化

(3) 比较二次函数中函数值的大小关系从图形上看就是比较对应点的位置高低；

(4) 方程 , 不等式问题（数）　　　　函数问题（形） .

3 教学设计时的思考 众所周知 ,二次函数知识点多又杂 , 方法灵活 , 对学生思维的要求高 .可以说 ,这一章是初中学生数学学习中普遍感觉最困难的 .因此 ,要想在短短一堂课内既完成对基础知识与基本方法的梳理 ,又能有效提升学生的认知水平与思维能力 , 难度很大 ,怎么办 ?于是设计时首先就思考应该用一条主线把复习的内容有机的串联起来 .考虑到数形结合是函数学习的灵魂 ,因此 , 我把整个设计定位于二次函数与数形结合的专题研究 ,这样主题就清晰了 .接下来便是考虑例题的呈现方式与合理链接问题 , 由于担心时间不够 , 所以设计时就一直思考怎样把知识点尽量浓缩在有限的几个问题之中 , 一来减少阅读量 , 能留给学生更多的思考时间 ;二来也可以使知识间的联系更加紧密 ,突出反映二次函数的本质 .这样去伪存真 ,最后形成了围绕图 1 而展开的 3 个问题串设计 .层层深入 ,步步逼近 ,目的就是突出数形结合的认知线索 ,通过读图识图 , 在不断提高学生获取信息的基础上 , 使学生达到对二次函数基础知识与基本方法的本质理解 .另外 , 为帮助学生更好内化所学方法 ,根据数学学习的特点 ,精选了 2 个习题让学生进行必要的巩固与深化 ,促进学生深入体会二次函数图像的作用与数形结合的思想方法 , 有效提高认知水平 ;最后 , 为避免学生形成程序化的求解模式 , 不断提高学生的思维水平 , 我安排了一个应用拓展的环节 ,选择的问题涉及数据分析、图像表征以及对函数单调性的理解 , 能突出数形结合的问题解决策略 ,起了画龙点睛的作用 , 使本节课的主题更加明确 , 也凸显了函数学习的核心所在 .

4 评析复习课的主要目的是梳理基本数学知识 , 构建知识网络 , 有效提高学生的

认知水平 ,巩固并优化解决问题的方法 , 从而提高学生的数学素养和能力 .本节公开课内容组织合理 ,重点突出 , 教学过程流畅 , 学生参与性高 ,思维

活跃 , 课堂效率高 , 得到了听课教师和专家的广泛好评 .4.1浅入深出，夯实基础 二次函数是初中阶段代数领域知识综合程度较高

的知识交汇点，包含的知识点多 ,二次函数的对称性 ,增减性 (最值 )等具有一般函数性质的主要特征 , 其表达式灵活多样 ,怎样处理函数、方程、不等式这三者的关系等问题是我们必须深入思考并作出选择的 .复习课 , 很多教师往往采用先提纲式的归纳整理知识 , 然后选择几道比较经典例题进行讲解 ,最后学生练习的形式 ,这样容易使教学过程显得程式化 , 也不易调动学生学习的积极性 . 本节课张老师把一个常见的图象问题设计成开放题 , 由此 ,有效地回顾了二次函数的性质 ,把二次函数中最基本的知识巧妙而紧凑地糅合在一起 , 在教师的启发引导下学生积极思考 ,思维活跃 ,效率非常高 . 同时 ,也把函数、方程、不等式这三者之间的联系自然的串连并得以深化 .选择一个看似普通的问题 , 由此深入展开 ,这反映了教师对教材和知识的深刻理解 ,也反映了教师对学生知识掌握程度的了解 .

4.2 重视方法，渗透思想 数形结合是数学的重要思想也是解决问题的有效方法 ,在函数问题中显得尤为重要和普遍 ,以数形结合这条主线串连有关知识是本课主要特征 .本课在回顾基础知识阶段 ,教师的一句“那么 (-3,0),(1,0)点的实际意义是什么 ?” ，使形和数得到了很好的统一 ,并为方程、不等式与函数的关系做了自然的铺垫 .依赖数形结合的方法 ,后面教学中利用函数图象得到方程和不等式问题中的有关结论就变得很自然了 .不仅如此，“…我们对于方程 , 不等式等数的问题 , 除考虑直接用代数方法求解之外 , 也往往可以转化成函数 (形 )来解决 , 即方程 , 不等式的图像解法 . 这也正是数形结合的价值所在 .” 对此 ,我想学生也肯定深有同感！

“练习 1 实数解的个数为 ( )”x

x1

12

使数形结合思想赋予了新的内涵 , “ ”解决过程中指导学生画 草图 的方法具体而有实效 ,使学生切实掌握了画图方法 , “ ”体会到 画草图不等于乱画图 .在此基础上 , “学生解决 ”应用拓展，提升思维水平 的问题时，出现的解题思路

“ ”和数形结合的方法就有 水到渠成 的感觉 .综观教学过程 ,教师有效地渗透了数形结合的思想 ,很好地体现了方法 ,扎实提升了学生的数学能力 .

4.3 脉络清晰，教法灵活 本课从跨海大桥的图形引入 , 以数学家华罗庚关于数形结合的精辟论述为开场白 ,紧紧围绕数形结合的数学思想展开对二次函数有关知识的回顾和深化，线索清楚 , 设置的问题难度适当 ,符合学生的认知规律 ;层层展开 , 反映了教师对知识本质的深刻理解 . 教学过程中 , 设问恰当 ,抓住本质 ,解释清楚 , 多媒体和板书结合 , 开放性的提问方式中隐含着明确的思考方向 , 体现出教师厚实的教学基本功和对课程改革方向的准确把握 . 总之 , 本课较好地处理了教学过程中“基础、方法和能力”这三者之间的关系 ,淡化了复习课中解题为主的机械训练 , 使学生既加深了对“数形结合”这一般有用的思想和方法的理解 ,又达到了深化知识的目的 .

自主中引领，深化中发展 —— 一堂“全等三角形复习课”的教学实录与说明

1 引言文 [1] 不仅明确阐述了数学复习课的五个显著特点 ,即重复性、概括性、系统性、综合性与反思性 ,还从学生复习数学的心理过程入手给出了理想的数学复习课的基本设计策略 :

那么 ,如何根据具体的教学内容进行合理的设计 ,进而在课堂上完美地体现这些特点呢 ?文 [2]从系统论 , “创造心理学等角度提供了 发现式复习课

”型 的一般操作模式 ,有理有据、操作易行 ,使人顿时眼前一亮 .今年 3月下旬 ,借初三第一轮复习之际 ,笔者以上述理论与方案为依据 ,用全等三角形复习为载体为全校数学教师开设了一堂展示课 ,获得了广泛好评 .现把它整理出来 ,以飨读者 ,也欢迎广大同仁批评指正 .

2 教学实录2.1 呈现开放问题 ,建构知识体系

O

D

A

B C

E

图 1

师 :大家都知道 ,全等三角形是研究几何性质的一个重要工具 .本节课我们就对此进行温故而知新 ,下面先请看一个问题 .

问题 1: 如图 1, 点 D,E 分别在线段 AB,AC上， BE,CD相交于点O ， AE=AD, 要使△ ABE ACD,≌△ 可以添加的一个条件是 　 .(请提供仅可能多的方法 )生 1: 可以添加 AB=AC(或 BD=CE),也可添加∠ B= C(∠ 或∠ ADC= AEB, BDC= CEB)∠ ∠ ∠

师 :请说明理由 ?生 1:……, 前者是利用 SAS,后者是利用 ASA(或 AAS).师 :很好 ,还有其它不同的方法吗 ?生 2:还可以添加 DO=EO.师 : 说说你的理由 ?生 2:连结 AO,由 AD=AE,AO=AO,DO=EO, 可利用 SSS证得△ ADOAEO,≌△ 则有∠ ADC= AEB,∠ 再用 ASA就可证得△ ABE ACD.≌△师 :非常好 ,刚才生 1 是直接利用全等三角形的判定方法给出条件 , 而

生 2则利用二次全等间接的给出了条件 ,充分说明不同的方法来自于深入的思考 .那还有不同想法吗 ?

生 3(欲言又止 ,吞吞吐吐的 ): 可以添加 BO=CO.师 :那你把证明思路说一下 ?生 3:连结 AO……, 不行 ;连结 BC,也不行… .看来证不了 !师 :证明需结合图形把条件与结论综合起来加以分析 , 有些条件看似可

行 ,但从逻辑上并不一定行得通 .下面让我们对全等三角形的相关知识进行一番全面的回顾 .

全等三角形给你留下多少 ?请尝试填写以下知识点 (构建知识体系 ).1.全等三角形的概念 : 能够完全重合的两个三角形全等 .2.全等三角形的性质有哪些 ?3.请说出全等三角形的判定方法 ?4. 角平分线的性质及逆定理是什么 ? 线段中垂线的性质及逆定理又是什么 ?5. 如果用运动的观点看 ,全等三角形可以用哪些变换 (或变换组合 )产生 ?( 学生回答略 )

2.2 解剖病理档案 ,提高认知水平师 :结合上面的知识梳理 ,让我们在具体的运用中加以巩固与提高 ,请再

看下面的问题 .

图 2EDB C

A

问题 2. 下列各题已有解答的有“病”吗 ? 如果有“病” , 请写出“病因” ; 如果没有解答的 , 你认为易让别人犯错的“陷阱”在哪儿 ?

(1) 如图 2, 已知 B 、 D 、 E 、 C 四点共线 , 且△ ABD ACE,≌△ 求证 : ABE△ACD . ≌△

证明：∵△ ABD ACE≌△∴△ABD+ ADE ACE+ ADE, ABE ACD.△ ≌△ △ ∴△ ≌△

▲错因分析或陷阱是 ; ▲正确解答是： .生 4(笑着说 ): 不能这样证 ,虽然图形相同 ,但拼法不同 ,拼出来的图形未

必全等 . 师 :你能举一个例子吗 ?生 4: 例如两块全等的且含 30° 的直角三角板 ,既可以拼出等边三角形 ,也

可以拼出顶角为 120° 的等腰三角形 ,还可以拼出矩形 .师 :那你说本题应该如何证 ?生 4:这个简单 . 因△ ABD ACE,≌△ 故有 AB=AC,BD=CE, B= C,∠ ∠ 进

而可以得到 BE=CD,便有△ ABE ACD.≌△

图 3

21

B C

A

O

图 4

B C

A

D

(2) 如图 3, 已知 AO 平分∠ BAC, 且∠ 1= 2,∠ 求证 : ABC△ 是等腰三角形 .

证明：∵∠ 1= 2 , OB=OC.∠ ∴ ∵AO 平分∠ BAC, BAO= CAO.∴∠ ∠ ∴在△ AOB AOC≌△ 中 ,∵OB=OC , BAO= CAO, OA=OA∠ ∠

∴△AOB AOC, AB=AC,≌△ ∴ 即△ ABC 是等腰三角形 .

▲错因分析或陷阱是 ;▲正确解答是： .

生 5: 不能用 SSA 来证明全等 .

图 5

21

B C

A

OE F

图 6

A

B C C'B'

A'

D D'

师 :为什么不能用 SSA证 ,你能上黑板来画一个反例吗 ?( 过了一分钟 )生 5在黑板上画了如图 4的反例 . 并解释道 :已知 AB=AB,

∠B=∠B,AD=AC,但△ ABC与△ ABD显然不全等 .师 :正如生 5所画的那样 .由于 SSA不能惟一确定三角形 ,因此 ,不能用它来

证明全等 .这告诉我们 ,数学学习中 ,既要知其然 ,更要知其所以然 .那正确的方法又是怎样的呢 ?

( 学生都在静静的思考中 , 过了一会儿 )师 :看来是条件不能有效聚集的缘故 ,那么已知中有什么条件可以引申呢 ?生 6:可以利用角平分线的性质 ,即过分别 O作 OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为 E,F(如图 5).则 OE=OF,再结合 OB=OC,由 HL就得到△ OEB≌△OFC,

于是∠ABO=∠ACO,从而∠ ABC=∠ACB,故 AB=AC,即△ ABC是等腰三角形 .

师 :大家应该都清楚了吧 !这也说明证明中若有些条件不能直接用 ,就须进行必要的转化 ,这样才能把分散的条件有效的聚集起来 ,从而形成正确的思维路径 .

(3)判断 :两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 . 解 : 如图 6,通过两次全等 , 可以证明这个命题是正确的 . ▲错因分析或陷阱是 _______; ▲正确解答是 _______.

生 7:老师 ,这个证明错了 .因为三角形的高可能在三角形内 ,也可能在三角形外 .师 :请你举一个反例 ?生 7:就是图 4中的△ ABD与△ ABC,它们的两边 (AB与 AB,AC与 AD)

对应相等 ,且第三边上的高是同一条 ,但不全等 .师 :非常好 ,通过对上面三个错误证明的分析 ,同学们对全等的证明方法

想必理解得更深刻了 ,同时也发现了图 4这个非常有用的反例 .下面就请同学们自己来解决问题 ,查一查自己还存在什么漏洞 .

2.3 查漏洞写病因 ,完善认知结构问题 3: 下列例题请先做做，看自己有无“漏洞” . 如果有 , 请尝试写出“

病因” .

图 10D

A

B C图 11

B'

D

A

B C

43

21

图 12

O

ED

B C

A

43

21

图 13

OED

B C

A

F

43

21

图 14

E

O

D

B C

A

H

G

图 15

DE

A

B C

O

图 16

DE

A

B C

G

O

F

图 17

DE

A

B C

O

F

首先思考的是引入部分 .由于全等三角形的知识点不多且系统性较强 ,加上学生也比较熟悉 .因此 ,若直接呈现学会看病部分 ,由于问题较散 , 可能会造成教学节奏拖沓 , 主题不突出 .既影响了知识建构的效果 ,也会给后面的拓展带来思维时间与空间上的限制 .所以 ,便设计了开放性较强的问题 1,期望通过问题解决的多样性 , 方法的灵活性给学生概括知识 ,建构知识体系提供足够的条件支撑 . 从实践过程分析 ,过程顺利 , 效果良好 .其次 ,把学会看病的内容安排在第二部分 , 主要是基于两点思考 , 一是要对学生认知方法上的误区进行纠正 ; 二是要对学生的知识漏洞予以弥补 ,于是给出了学生学习过程中比较典型的几个错误来提高学生的认知水平 .再次 , 例题先做部分设计的三个问题 , 一是用来巩固知识 , 二是突出几何变换思想 , 以引导学生从运动而非静止的观点来认识全等图形 ,这样既能促进学生思维的有效生长 ,也能强化学生对几何图形的本质理解 .同时 ,还能为拓展问题的解决提供了高水平认知的坚实基础 .最后 , 要体现复习课的综合性与反思性特点 ,就不能仅停留在上述过程 ,必须为学生提供富有内涵的思维载体 ,但考虑课堂时间有限 , 要让学生有相对充裕的思维时间与空间 , 问题的选择与串联至关重要 .于是 ,笔者设计了以变式呈现的三个问题串 , 以充分体现夯实知识基础 ,消除知识盲区 ;揭示本质特征 ,提炼数学方法 , 提升思维水平的复习要求 .

从复习课的总体目标 , 结合理想复习课的策略分析 , 本设计或许能为“发现式复习课型”操作体系的完善提供一个有益的启示 .（说明 : 本设计借鉴了江苏泗阳县实验中学老师提供的课件素材 [3],这里一并表示感谢 ! ）参考文献 :[1]吴越 ,周元锋 . 新课程数学复习课的设计 [J]. 中学数学教学参考(下半月 ),2007,1-2[2]符永平 .老歌新唱 ,浅印深痕——“发现式复习课型”操作体系构建的研究与实践 [J]. 中学数学教学参考 ( 中旬 ),2009,11[3]见凤凰教育网 .http://res.fhedu.cn/index.asp

1、一道中考题的推广及其应用2、从一道中考题的解答谈一类规律型探索题的求解方

法3、从一道中考题的剖析谈梯形中面积的求解方法4、从一道中考题的剖析谈直线上最短距离的求解方法5、从不同角度探求一道试题的本质

三、解题研究（试题研究）思路、方法、技巧三、解题研究（试题研究）思路、方法、技巧

一道中考题的推广及其应用

从一道中考题的解答谈一类规律型探索题的求解方法

⑴若把 n作为点的横坐标， S作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；⑵根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？如果在，求出该函数的解析式；⑶根据⑵中给出的函数关系式，求该班 56名同学间共通了多少次电话。

评析：本题在素材的选择、题型的设计等方面都别具一格。学生经历了动手实验，已经对知识获得了感性认识，再经过对以上问题的思考猜想，得出结论，并加以应用；从本题中设计的层次来看，它实质上是向学生讲述了认识问题和解决问题的规律和方法，即特殊——一般——特殊，它考查学生的实验操作能力、猜想能力和探索规律能力。⑴操作、实验根据题意，通过画图、实验把模型中的

数据列表，并画出函数图像。⑵观察、猜想 n与 s 有何关系

二、建立函数模型在两个变量关系的探索过程中，建坐标、画图象是比较烦琐又费时的，考

虑到初中范围内一般只会涉及一次关系或二次关系，故提出如下简化方法：1．列表．根据题意确定两个变量并列表（若题中已提供则可省去）．对

于表中的数对，若猜想为一次关系，则一般需三对（二对用于待定系数，一对用于验证），二次关系及三次关系可类推．

2．猜想函数关系式．一般可先尝试一次关系，若不对，再尝试二次关系，甚至三次关系．

3．求所设关系式．一般用小数据代入，用待定系数法求解．4．验证所得关系式．用表中未用数对代入关系式，若所求未获通过，在能

保证表中数据正确和计算过程无误的情况下，则可能是所猜想关系不对，应重新假设和求证．

5．用所得关系式回代所需求解情形．

在以上步骤的第二步——猜想函数关系式，若把一次关系看成是二次关系的退化情形（ a=0），则设成二次关系也能求得最终结果，但解方程组稍稍复杂点．另外，我们在这里避开了每一种情形内在变化规律的考察和寻找，主要是考虑对基础一般的学生也能适用．

通过上述的解答，读者不难发现，一类与计数问题有关的规律型探索题，一般均可采用上述化简方法 (即函数模型 ) ，从中找到一般规律，得到结论，然后，进行适当的验证，得以确认。

从一道中考题的剖析谈梯形中面积的求解方法

评析：试题将传统的几何证明题改编成要求学生实验、归纳、猜想和证明的几何题，从比较简单的特殊情形入手，逐步引导得出一般性结论，给学生提供了一个自主探索的平台，引导学生由易到难、由简单到复杂，循序渐进地进行数学活动，从而经历数学知识的发生、形成与探索过程。从本题设计的层次来看，它实质上向学生讲述了从特殊到一般的归纳推理方法，考查学生实验探究能力、归纳猜想能力和逻辑推理能力。

“ 数学是一门系统的演绎科学，而在它形成的过程中又是一门实验性的归纳科学”。让学生在实验探索的基础上猜想、归纳和证明，既有利于考查学生的创新意识和实践能力，发展学生的合情推理能力，同时也培养学生逻辑思维能力和数学建模能力。

通过对上述问题的探究，让学生经历“问题情境——建立模型——求解、解释、应用与拓展”的数学过程，使学生理解数学问题是怎样提出的，数学知识是怎样形成的，数学理论是怎样发展的，从中领悟到数学的精髓与本质。

从一道中考题的剖析谈直线上最短距离的求解方法

如图（ 2），如果直线上有 3 台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床 A2处最合适。因为如果 P放在 A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为 A1 到 A3 的距离。而如果把 P放在别处，例如 D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是为 A1 和 A3 的距离，可是乙还得走从 A2 到 D 的这一段，这是多出来的。因此 P放在 A2处是最佳选择。

不难知道，如果直线上有 4 台机床， P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地方；有 5 台机床， P 应设在第 3 台位置。

问题（ 1）：有 n 台机床时， P 应设在何处？问题（ 2）：根据问题（ 1）的结论，求 |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617| 的最

小值。评析：试题材料提供的背景新颖，有丰富的数学内涵，直观形象，应用性

强，即用数学知识（绝对值的几何意义）解决生活中的问题，体现数学来源于生活又服务于生活的新理念。同时这道题在激活学生思维，给学生提供探索、猜想、验证的机会方面提供了一个平台，它以直线为载体，实现了数与形的有机结合，起到了化抽象为直观、融会贯通的作用。引导学生由易到难、由简单到复杂、循序渐进地进行探索、猜想、归纳的学习过程，从而达到对知识的深层理解，使学生发现、认识、理解并掌握数学的一般方法。从本题中设计的层次来看，它实质上向学生讲述了认识问题和解决问题的规律和方法。即特殊——一般——特殊，它考查学生特殊化的化归能力和类比归纳能力，并对绝对值的几何意义进行了深化，是一道难得的好题。（ 1）实验、探索

以退为进，从最简单情形入手，进行特殊化的化归分析。如果直线上有 4台机床呢？如图（ 3），通过题设中 2 台、 3 台机床问题的分析，我们发现P 只能设在线段 A1A4 上，此时 d4=PA1+PA2+PA3+PA4=A1A4+PA2+PA3 ，而A1A4 是定值，只须使 PA2+PA3最小，于是 d4 的最小值问题就化归为 d2 的最小值问题， P 应设在线段 A2A3 的任意处。同理：如果直线上有 5 台机床，d5 的最小值问题化归为 d3 的最小值问题， P 应设在 A3处。

ͼ£¨3£©

A4A3A2A1

P

最小值是： |309-1|+|309-2|+…+|309-617| =308+307+…+2+1+0+1+2+…+307+308 =309×308=95172 。这又是一般到特殊的回归。 从本题的分析得到启发，当问题比较难以入手解决时，应先找出一种简单情形或者特殊化，由此获得启示或为一般情形提供某种类比或对比，然后通过特殊化的化归分析、归纳、演绎，给出一种求解方法（建立数学模型），从而达到解决问题的目的。

从不同角度探求一道试题的本质

1 、贴近现实生活 注重应用意识

2 、变出创意，变出精彩3 、简约而不简单

四、命题研究（中考指南）四、命题研究（中考指南）

贴近现实生活 注重应用意识 ——简析一道中考压轴题

1. 试题的背景特色本考题揭示了数学与生活实际密切相关，让学生认识到数学就在自己身

边，数学与人们的生活密不可分，从而激发学生学习数学的浓厚兴趣，同时也提醒学生平时要关注数学与现实生活的相互关系，做个有心人 .这对平时在教学中启发学生多接触自然、深入了解社会、鼓励学生积极参加形式多样的课外活动等，都起到了积极的导向作用 .这道压轴题，设计新颖别致，通过车用“千斤顶”螺旋装置 (通过手柄

的摇动 )顺时针方向旋转的操作，探索“千斤顶”增高中存在的数学规律，综合考查有关菱形、函数、数形结合等基本知识和方法，考查学生解决问题的策略和能力 .考查学生的阅读理解能力和数学建模能力 . 同时，本题学生借助计算器就能轻松地完成较为繁杂的计算，计算器进入中考试卷，发挥了它的作用 .

2. 来自考生的妙解试题（ 1）（ 2）小题略，第（ 3）小题第 2 问，由于只有极少数的学生能解决，现摘录比较有创意的两种解法。

5. 反思及启示本道压轴题突出数学的应用，使学生切实体会到数学在生产、生活

实践中的作用，引导学生仅会“做数学”，而且会“用数学”，体现数学的应用价值，增强数学应用意识，考查学生解决简单实际问题能力。

从阅卷的情况看，前面两小问得分率较高，第（ 3）问得分率较低，究其原因，除了审题不仔细外，一方面，学生应用意识淡薄，阅读理解能力差，另一方面，学生应用所学的知识解决实际问题的能力欠强。只有小部分优秀学生能正确解答此题。象上述来自考生的妙解，这不得不使我们在教学中进行反思，要改变这种情形，必须加强以下几点方面的教学。（ 1）努力使学生享受到解决压轴题的成功的体验，以使其树立解

题信心。（ 2）在教学中渗透数学思想方法，使学生掌握基本思想方法，如

配方法，换元法，待定系数法，方程思想，函数思想，数形结合思想方法。（ 3）培养学生的思维能力，使学生掌握重要的思维方式，如抽象、

概括、归纳、类比、联想、转化、分析、综合等。（ 4）要重视学生应用所学的知识解决实际问题的能力的培养。（ 5）要重视学生阅读理解能力和数学建模能力的培养。

变出创意，变出精彩 纵观近年来各地中考数学试卷中的压轴题 ,基本上都属于原创性试题 .但仔细研究发现 ,这些试题中借用成题创编的比例非常高 ,对于它们学生肯定会觉得似曾相识 ,但却又都蕴藏着不同程度的变化 ,这样既保证了学生在中考时的心理不致于产生大的波动 ,能正常发挥出学习水平 ;同时 ,试题的变化又使学生无法进行简单的模仿与复制 ,能较好考查学生的基本数学能力与基本的数学素养 ,使试题承载了良好的信度与效度 .下面笔者试图通过对两个源于课本且又不断拓展变化的中考试题的对比分析 ,一方面明晰试题的创意与精彩之处 ,另一方面也为教师在教学活动中切实把握数学本质 ,有效推进轻负优质 ,提供一些有益的启示 .

H

CD GFB

A

E

图 1

评析 : 本题的新颖之处就在于把基本图形置于一次函数的背景之中 ,这样函数问题与几何问题就有机的结合起来 .并且随着 P点的运动 , 正方形 PQMN与△ OAB重叠部分的图形将发生改变 , 不知不觉中分类讨论思想就渗透其中 ,于是问题变得生动起来 .第 4 问的设置是本题的亮点 , 它对学生的想象能力与基本数学素养有良好的考查功能 .

评析 : 本题的编制又独辟蹊径 , 它把问题原型与轴对称变换巧妙结合起来 ,这样随着 D点的运动 ,重叠部分的图形就在三角形与梯形之间变化 ,这样 ,考查基本数学方法与数学思维能力的目的就凸显出来 . 当然 , 命题者在设问中把自变量的范围直接给出 ,固然降低了求解的难度 , 但无形中也使问题的思维价值少了很多 , 从这一点讲 , 可谓是一个败笔 .

评析：本题与变例 2 有异曲同工之妙 , 可以说是对变例 2 的改进 , 但思维的价值更高 .源于△ PEF 不像例 2直接翻折下来那么直观 , 而通过学生自己画图 ,结合图形的性质研究分类的范围 ,思维的含量无疑就比变例 2 大了许多 .

变例 4.(08 年山东 )如图 5,在△ ABC中，∠ A＝ 90°， AB＝ 4， AC＝ 3，M是 AB上的动点（不与 A， B重合），过M点作MN∥BC交 AC于点 N．以MN为直径作⊙ O，并在⊙ O内作内接矩形 AMPN．令 AM＝ x ．（ 1）用含 x的代数式表示△Ｍ NP的面积 S ；（ 2）当 x为何值时，⊙ O与直线 BC 相切？（ 3）在动点M的运动过程中，记△Ｍ NP与梯形 BCNM重合的面积为 y，试求 y关于 x的函数表达式，并求 x为何值时， y的值最大，最大值是多少？

评析 : 本题明显借鉴了变例 2 的构思 , 但却巧妙的把圆的相关知识渗透其中 ,韵味十足 , 使知识的覆盖面更广 ,考查也更全面 , 对学生的能力要求也更高 .唯一不足的是 ,第 (2) 问与第 (3) 问之间没有丝毫联系 , 相对生涩 , 使学生解答时转弯过多 , 且容易造成学生的误解 , 使试题的效度降低 .因此 ,笔者认为如果本例能与变例 3 的设计结合起来 ,即在圆中不是构造内接矩形 , 而是构造以 MN 为斜边的等腰直角△MNP,这样 (2),(3) 的问题就有机地结合起来 ,效果可能更好 .

评析 : 本题的构思非常巧妙 , 对学生的数学素养要求也很高 .试题的 (1),(2)两问基本属于常规证明题 , 难度不大 , 但第 (3) 问涉及三个难点 , 其一是对以 AE,BF 和 AB 为边建构成新△ ABG的认识 ; 其二是对等积变形的理解运用 ; 其三就是构成 SSA 不一定全等的条件分析 . 由于学生对建构新的图式难以理解 , 而后两个知识点又均属于初中数学核心知识的边缘 , 在教学中容易被忽视 ,于是考试中便出现了绝大多数学生对此束手无策的情况 , 还出现了很多学生认为题目出错了的困惑 ,因此 , 本问的低得分率也就可以想象 .

我们无从知晓命题者在试题创编时的心路历程 , 但通过对上述两个问题的深入探讨 ,留给我们的启示却是耐人寻味的 . 那就是 ,教学设计时要多挖掘教材中例题的价值 ,适度拓展其内涵 ; 课堂教学中要切实引导学生关注数学问题的本质特征 ,重视学生的思维能力培养 ; 关注细节 ,消除学生思维的盲点 , 我想这些应是每位数学教师在平时教学中应遵循的教学准则吧 !

简约而不简单 ——09年浙江初中毕业生学业考试 (嘉兴卷 )第 24 题评析

1 试题特色 命题方向仍是近年来十分流行的动点问题 , 但问题背景变换成两圆

(弧 ) 相交 ,意料之外 , 情理之中 .既给试题赋予了新意 , 但确又为学生所熟悉 , 一定程度上保证了命题编制的起点公平 .另外 ,试题叙述简约 ,图形直观清晰 , 问题指向明确 , 没有过多的干扰信息 , 有利于学生正确理解题意 ,也有利于学生解答 .考查内容的载体放在三角形 (直角三角形 ) 与二次函数等问题的研究上 ,突出了初中几何与代数中核心知识的考查 ;计算面积过程中的方法运用 ,又能充分反映了学生的基本技能 ; 而思考解决问题的策略中 ,转化、数形结合、分类讨论等基本数学思想的运用 ,又使试题的高度凸显出来 , 充分体现了考有价值的数学的理念 . 同时 ,三个问题的设置层层递进 ,互有关联 ,既为学生顺利解决问题提供了一定的信息暗示 , 也能较好反映出不同学生的基本数学能力与数学素养 , 使试题承载良好的信度与效度 .

评析 : 本解法为命题者提供 . 其中第 (3) 问的解决过程实质上反映了命题者设置问题 (2)进行铺垫的初衷 ( 分类讨论及分类区间的暗示 ), 但是 , 在求面积的过程中 , 出现了含两个二次根式的的字母方程 (新课标已不作要求 ); 而在求解过程中 ,又运用了整体的处理技巧 ,因此 ,这里的解法对学生的要求很高 .

评析 :解法 2 是对解法 1 的改进 . 一是已知三边求面积时 ,按照作最长边上的高的原则 ,这时垂足就一定在这条边上 .这样 , 一来分类更清晰明确 ,二来分类后的计算方法得到统一 .更为重要的是 ,这种方法有时可以回避对三角形形状的讨论 ,因此更具一般性 ;二是在求高的过程中循序渐进 ,回避了要求很高的根式化简 , 应该更符合学生的认知要求 .

评析 : 本法直接运用面积计算公式—海伦公式 , 实质上就是省略了前两种解法中面积的推导过程 . 既回避了分类讨论 , 又消除了繁琐的字母运算 , 使问题的解决过程得到了简化 . 上述三种方法本质上都是相同的 ,核心就是充分利用数形结合思想 ,先把几何问题转化成二次函数问题 ,再利用二次函数的性质求解 .那么 ,能否直接利用几何性质求解呢 ?

评析 :这里充分利用几何图形的直观特性 ,即一边确定 ,另两边的和不变的所有三角形中 ,这边上的高最长 ,即面积最大 . 从而产生寻求 B点轨迹的想法 ( 实际上 B点的轨迹是一个椭圆 ).因此 ,先由对称性猜想等腰三角形时的高最长 , 然后运用几何知识对其它情形进行分析、验证 , 从而得出结论 .这就需要学生具备良好的直觉能力与严谨的分析能力 .

3 试题的价值及教学启示目前 , 学业考试的甄别、选拔功能仍很突出 .考什么 ,怎么考 ?都会直接影响一

线教师的教学行为 .因此 , 命题 ( 特别是压轴题 ) 的导向就尤为重要 .近年来 , 对于压轴题 ,考查核心知识 ,突出过程方法 ,重视实践探究等已成为各地学业考试命题的共识 . 但具体分析试题 ,背景复杂 ,叙述冗长 , 人为拼凑 ,知识点堆砌等现象仍时有发生 . 那么 , 什么是核心知识 ? 如何突出过程方法 ? 从知识内容的意义上看 , 数、式、方程、不等式、函数这个代数学的知识线索中 , 形成根基的是式 , 形成最高上位 ,凸显能力的是函数 , 而函数必然关联着方程与不等式 ; 同样 , 从点线面到基本的几何图形三角形、四边形等一系列几何知识线索来看 , 化归的目标是三角形 .这些就是知识的核心 . 而从基本数学思想方法和数学活动经验的角度看 ,基于核心知识内容的 ,蕴藏着重要思想方法的东西应成为教学的核心 [1]. 也就是说 , 命题应该围绕这个核心展开 . 从这个意义上说 , 本试题以两圆相交为背景 ,点的运动为载体 ,三角形研究为内容 ,函数建模为线索 ,勾股定理为工具 ,突出数形结合、分类、化归等数学思想方法的运用 ,重视基本运算能力的考查 , 使核心知识内容、基本技能及主要的思想方法和能力有机的融合起来 ; 同时 ,试题背景清晰 , 入口浅显 ,坡度适中 , 方法明确 ,思维层次不断提升 ,简约而不简单 , 能真实反映各类学生在数学学习中的能力差异 , 有效地体现了课程标准要求的基础性、普及性和发展性要求 ,为压轴题的编制提供了一个很好的范例 , 也为教师的教学带来了诸多有益的启示 .

3.1 切实把握基础与能力的辩证关系 从本题的解答可以发现 ,切入口是三角形的转化与分类 , 运用的方法是

数形结合 , 而具体的解题工具是勾股定理与二次函数的性质 ,这就离不开代数式的化简、变形及方程的求解方法 .因此 , 数学问题的解决既离不开基础 ,更离不开方法 , 那种一味只重视基础的做法 , 就像是在花岗石上建茅草屋 , 没有实质的作用 ; 而忽视基础谈能力 ,则更像空中楼阁 , 中看不中用 .必要的基础加良好的方法才是提升学生数学能力的有效途径 .

3.2 善于引导学生提炼问题的本质就本题而言 , 如果说利用二次函数性质求三角形面积的最大值只是基于

一种数学事实的话 , 那么方法 4则恰恰抓住了图形变化的特点 , 有助于学生更好理解问题的本质 .因此 , 在平时的教学中 , 教师要充分利用教材 ,抓住典型问题 ,既要善于从不同角度引导学生进行一题多解 ,培养学生思维的广阔性 ;更要善于对解法进行归纳、类比与引申 , 提炼其本质 , 不断提高学生思维的灵活性与创造性 .

3.3 渗透数学史 , 有效培植学生数学素养“ 数学是什么 ?”“ 为什么要学数学 ?”“怎样学数学 ?”. 对这些问题的

认识即学生的数学观直接影响学生学习的动机、兴趣 ,直接影响他们解决问题和思考问题的方式、方法 ,进而影响学生学习数学的表现 . 研究表明 ,把数学史融入数学教学中 , 可以有效改善学生的数学对象观、数学价值观与数学学习观 [2]. 从小处说 , 就会产生像本例方法 3 的精彩解法 ; 而从大处着眼 ,融入数学史 ,既可以让学生了解数学的发展、演变 , 了解数学家发现数学原理的过程及治学态度 , 有效拓展学生视野 ,更好把握数学本质 , 不断培植学生数学素养 ; 还能让学生发现数学源于生活的道理 ,消除对数学的神秘感和生疏感 , 在心理上愿意亲近数学 ,产生积极的数学学习动机 . 就目前学生数学学习的现状而言 ,把数学学习等同于解题等错误的观念还大量存在 ,这些现象确实值得我们广大教师深思 .

参考文献[1] 张远增 ,缴志清 ,冯国卫 .渐行渐变——谈中考改革 (J). 数学教学 ,

2006(5).[2] 李晓晴 .综合运用数学史 , 改善初中生数学观 (J). 上海中学数学 ,

2008(6).

1 、“借术”问题要合乎科学性2 、精彩来自不断的争鸣与探索3 、“精彩”来自不断的争鸣与探索

五、争鸣与探索（问题争鸣）五、争鸣与探索（问题争鸣）

“借术”问题要合乎科学性 数学具有高度的科学性。作为数学学科，教学中应该将科学性和艺术性

给合在一起，使学生既获得数学知识，又学得生动活泼；如果只注意艺术性，看起来学得很有趣，但经不起科学的推敲，那将会误导学生。贵刊 2004 年第 4期刊登《从分马“术”得到的启示》一文中，分别举

了“分马群问题”及“借桃之术趣析”等“借术”解法，给人们带来“柳暗花明”的感觉。但笔者认为，原文中“分马群问题”及“借桃之术趣析”的分析是不合乎科学性的。因此，本文将对上述两问题进行剖析。

这是一个还没学过级数求和的初中学生无法接受的解法，也是原文作者不想说明的原因所在吧！ 如果说方法一使人们在钦佩之余还带有一丝怀疑的话，方法三终于使我们用审慎的态度肯定了分马的结论是正确的！真的如此吗？笔者认为，方法三的第一步是符合题意的，而继续分第二次，第三次……却偏离了原题的要求，因为遗嘱没有这个意思，其解答改变了原题条件。因此症结仍然是偷换命题，其解答当然也是错的。

可能是这个故事的趣味性激发了人们对它的兴趣，此题流传很广，在很多书籍或刊物中出现过，如文 [1] 、 [2] 、 [3] 、 [4] 、 [5] 、 [6]等。许多学生（包括小学生）接触过这类题目，而且知道“借一还一”的解法，这在数学教学中是有负面影响的。那么，怎样处理才会更合乎科学性呢？我们不妨对此题作适当的改造。如将原题和几种典型“解法”一同给出，要求学生指出其错误，并探讨其正确解法。这倒是十分有益的，它能让学生懂得，偷换命题是不允许的，且并非每题都有解。当然，无解也是解，判断一个题无解，也就解决了这道题。也许这种题型更具有开放性和挑战性，同时培养了学生思维批判性，也符合新课标教育理念。

2 、“借桃还核”问题原题：一角钱一个桃子，三颗桃子核可以换一个桃子，问：一元钱可以吃

到多少个桃子？改述：约定，若“每 3颗桃子核可以换 1 个桃子，买了 10 个桃子，实际

可以吃到多少个桃子”？解法一（原解答改变形式叙述）：10 个桃子—→ 3 个桃子 +1颗桃子核—→ 4颗桃子核—→ 1 个桃子 +1颗

桃子核—→ 2颗桃子核。结论 1 ：能吃到 14 个桃子，余 2颗桃子核。得到 2颗桃子核后，再向卖桃的人借一个桃子来吃，吃后一共就剩下 3颗

桃子核， 3颗桃子核就能换 1 个桃子。结论 2 ：共吃到 15 个桃子。剖析：从结论 1—→结论 2 ，即得到 2颗桃子核后，再要 1 个桃子（借

一还一），吃完后，将 3颗桃子核换回 1 个桃子。从而得出：每买 2 个桃子便可吃 3 个桃子。于是， 10÷2×3=15（个）。

一般地：买 2k 个桃子，便可吃 3k 个桃子。根据上述分析，不难得出买桃子个数和吃桃子个数的关系：即：买 2 个桃子就能吃到 3 个桃子；吃 3 个桃子只要买 2 个桃子，也就

是：

那么，这类问题是否都可以用“有借有还”这种“借术”方法来解决呢？并非全然。例如，约定：“每 4颗桃子核可换 1 个桃子，买 32 个桃子，可吃多少个桃子？”用上述解法思路，即用“土”法解此题。

这时如果要借 2 个桃子，吃掉后把 4 个桃子核再去换 1 个桃子，那只能还 1 个桃子了。这是不允许的，即不能用“有借有还”法。

笔者认为，对于这类问题需要指出两点：一是不能一概而论采用“借术”法，只有当买的个数或吃的个数是关系式中分率的分母的整数倍时，才能用“借术”法；二是应该利用关系式加以推广，并指出何时用去尾法，何时用进一法，这样思维的层次提高了，解题的思路拓宽了，科学性也更强了。

参考文献：[1]《趣味算术》，上海教育出版社， 1997 年版， P154[2]《历史数学名题赏析》，上海教育出版社， 2002 年版， P1175[3]《世界数学名题趣题选》，湖南教育出版社， 1998 年版， P265[4]《数学万花筒》，中国少年儿童出版社， 1980 年版， P4[5]黄家礼，对“分牛”问题解答的意见，数学教学， 2003（ 7）[6]王晓峰，数“ 1” 的应用，初中数学教与学， 2004（ 6）

精彩来自不断的争鸣与探索 —— 在实验几何中培养学生探究能力的一次尝试

中学数学杂志（初中） 2006 年第 5期、 2007 年第 6期和中学数学教学参考（初中） 2007 年第 6期、第 9期分别刊登了文 [1] 、 [2] 、 [3] 、[4] 、 [5] ，拜读后受益匪浅，文 [1] 、 [3] 注重一题多解及精彩的课堂表现，文 [2] 、 [4] 、 [5] 为了对文 [1] 、 [3] 的进一步完善，分别提出了自己的看法，使文 [1] 、 [3] 在不断的争鸣与探索中得到更好的升华。遗憾的是文 [1] 、[3] 只是探究解法，文 [2] 、 [4] 、 [5] 只作理论上的探讨，而没有系统地引导学生作深层次的探索。其实，此例不需要学生用相似三角形、直角坐标系等知识来解决，可在学完“整式的运算”后，从实验几何的角度作些探究。为此，笔者结合文 [1]～ [5] 提出的教学建议，组织一次课堂教学尝试。给学生提供了自主探索学习的一个平台，从而培养学生的探究能力和创新思维能力。以下是笔者的一次课堂教学尝试：

教学片段一1、静态图形中探究三角形面积的求法。原文例，（ 1）如图 1， ABCD和 EFGC是两个边长分别为 a， b的正方

形，用 a、 b表示阴影部分的面积，并计算当 a=4cm， b=6cm时，阴影部分的面积。（ 2）把阴影部分改成如图 2所示的三角形 BDF，在其它条件都不变的情况下，计算△ BDF的面积。

[ 设计意图 ] 利用“探求几何图形的面积”作为“整式运算的复习与应用”的载体，实现了数与形的有机结合。引导学生一题多解，培养学生发散性思维能力，也为学生探究提供了良好的素材。

T ：从 S1 与 S2 的回答中，你得到了什么启示？谁能作一般性的归纳？S3 ：从上述分析过程发现（如图 3 所示），当右边的正方形 CGFE或 C

G1F1E1随着边长的增大或减小，点 F（或 F1）的位置都在同一条直线上移动，并且这条直线平行于正方形 ABCD 的对角线 BD ，虽然阴影部分的形状变了，但面积的大小不变，是一个定值，也是正方形 ABCD面积的一半。

T ：归纳得真好！我不禁赞叹！我鼓励了这位同学的精彩归纳，同时又提出了新的问题。

[ 设计意图 ] 从静态图形到动态图形的探究过程，是展示思维的过程及结果的探究过程。通过观察、分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，培养学生归纳能力和探究能力。

T ：在图 1 中，当 CG变化时，你还能不能找出哪些部分的面积是不变的，哪些是变化的？如果改变变化的量，即左边的正方形变化，右边的正方形不变时，你又能找到哪些面积变化的部分，哪些面积不变的部分？

由于时间关系，我把这些问题留作课后思考，这样就把探索能力的培养从课内引伸到了课外。

[ 设计意图 ] 从一题多解到一题多变，使学生的思维得到相当程度的提升，让学生在图形变化过程中感悟到静与动、动变与不变的辨证统一关系。以学生感兴趣的问题从课内自然引伸到课外，要求学生根据已学知识进行探究。

[ 设计意图 ] 变换图形，激励探索，通过旋转图形和一题多解的发散性变化，让学生在图形变化过程中感悟到静与动的辩证观点及由特殊——一般——特殊的数学思想方法。

教学反思1 、教学设计需要再创造本节课的教学设计，笔者试图在原文 [1]~ [5] 的基础上充分挖掘教材内涵和拓

展。（ 1）由原来的一堂习题课到开放性的探究课，从不同的角度、层次探索和体

验解决问题的方法与过程。问题的设计具有开放性，给学生充分展示自己思维的空间，体现了数学教学的本质——“思维过程”，同时又体现探究价值。（ 2）站在系统的高度把握知识，设计了四个大的问题，通过这四个问题将本

节课的知识关键点串联起来，并逐层推进，体现了知识之间的本质联系。（ 3）从学生已有的认知发展水平和已有的知识与经验出发，从实验几何的角

度进行大胆尝试，变革课堂教学模式，体现了开拓创新精神。2 、教学过程中突出以下几个特点（ 1）注重学生充分经历探索的过程教学中，通过在片段二、三、四的教学，让学生由静态到动态的探索过程，即

探求动态图形中三角形面积变化规律的探索过程，在教学活动中，学生充分经历观察、归纳、猜想的过程，学生在自主探究中发展，在合作交流中成长。（ 2）关注教学活动的评价笔者试图改变学生一题多解的教学，取而代之的是探究学习加发现创新，让学

生自己说思路，讲过程，探方法，找规律，经历了数学知识发生和发展过程。学生的思维方法和个性得到充分展示，教师始终是教学的组织者，引导者，合作者。

（ 3）注重渗透数学思想方法教学从一题多解到一图多变，利用“探求几何图形的面积”作为“整式运算

的复习与应用”的载体，实现了数与形的有机结合，让学生在图形变化过程中感受静与动，变与不变及特殊到一般再到特殊的辩证统一，在感受和理解代数与几何之间的内在联系和统一的基础上，深刻体会其中蕴涵的数学思想方法。

3 、从课堂教学反馈看教学的不足 本节课固然收获颇多，但还存在一些需要反思和改进的地方，例如，教学片段四的设计，没有充分考虑到八年级学生的认识发展水平，思维跨度较大，课堂教学中发现，一般学生很难发现 S GEA△ 没有最小值。若改为把“正方形 ABCD绕点 C旋转任意角度……”。这样来找最值，学生容易发现。当点 A 到 GE 的距离增大或减小时， S GEA△ 也随之增大或减小，即点A 到 GE 的距离最小。△ GEA 的面积有最小值，即 S GEA△ 最小值 = b2-ab 。若课堂时间有余的话，可以进行两种旋转方法的比较，这样教学有利于学生思维得到更好的升华。也可把这些问题留作课后思考，把问题从课内自然引伸到课外。

1

2

或改为文 [5] 中 P51 所提出的（ 4）位置变化（旋转变换）的例题（略），适当降低了要求，这样处理是否更能照顾全体，让更多的学生体验成功的喜悦。总之，本节课力求体现新课程的教学理念，对新课程下课堂丰富内涵进行

积极的探索和有益的尝试，也为学生提供了自主探索学习的一个平台，很好地发挥了他们的学习主动性，培养学生的探究能力和创新思维能力。

参考文献：[1]赖闻晓，此处花开香满堂——记一次意外的求面积探究活动 [J] ，中学

数学杂志（初中）， 2006 ， 5[2]罗全民、胡 军，“花开满堂”并未“圆”—— 对“一次意外的求面积

探究活动数学课”的思考 [J] ，中学数学杂志（初中）， 2007 ， 6[3]蒋柏孟，一堂节外生枝的数学课——由一道习题引发的思考 [J] ，中学

数学教学参考（初中）， 2007 ， 6[4]渤海风，“节外生枝”的精彩，期待教师的引领 [J] ，中学数学教学参

考（初中）， 2007 ， 9[5]陈德前，即要关注生成，又能要重视预设 [J] ，中学数学教学参考（初

中）， 2007 ， 9

“精彩”来自不断的争鸣与探索 —— 对阿凡提分马数学故事教学的浅析

《中小学数学》（小学版） 2011 年第 9期刊登《“质疑”后的“精彩” 》一文，江瑞华老师对阿凡提分马的数学故事改变了教学策略，并大胆地进行课堂教学的尝试、质疑、探究、比较，读后受益匪浅。但笔者认为，原文中的教学片断与思考有待商榷。笔者试从数学的问题解决和小学数学教学这两个层面对原文作简要的分析，与大家探讨。

一 从数学的问题解决角度来分析

由表 1 所示，如果从抽象的数学角度去分析，通常问题的解答结果有两种 ,一是有解，二是无解，当然无解也是解。如果从情景数学的角度去分析，也有两种结果，一是有精确解或无精确解，二是有近似解或无近似解。通常情况下，求数学问题的解，先分清是抽象问题还是情景问题。如果是抽象问题，就按抽象数学的思想去解，如果是情景问题，先将其转化为抽象问题求解，然后再结合情景得到合理的解决方案。这样就不会产生“情”与“理”的矛盾，进而在解答上做到既合“情”又合“理”，可谓情理之中。

由表 2 可见，现在的学生课外阅读情况应该说是比较好的，对于这样的经典数学问题，六年级学生已不是一张白纸。调查发现有 59位学生，在课外阅读中已能用“阿凡提的方法”解。有 22位学生能用学过的分数知识和取近似值法得出问题结论。因此在这一教学过程中，如果老师等到学生合符情理的尝试完以后，在学生没有更好的方法时，再介绍其它的方法以比较，真实地“以学定教”，这样可能更有效。教师尽量不要中途取代学生思路，而是在学生有疑惑时再为学生解惑，这样也许能更好地激发学生的求知欲。

2．对于片断二“质疑”的剖析 原文中的质疑是由教师提醒，如果学生仅仅是看了阿凡提解法，引起学生

质疑的动因应该不会太大，也就是不会有太多的学生会引起质疑，因为学生缺乏认知冲突。笔者认为，教师如果能在学生尝试的基础上多展示出几种方法，然后再进行比较，如学生自己的四舍五入法、按比例分配解等与阿凡提的借一还一法比较后再来质疑，这样更为合理。再有质疑不应仅仅停留在就题论题，应该举一反三，这样更有普遍性，而不再会局限于特殊性。

3．对于片断三“探究“的剖析 笔者认为，江老师着力培养学生的探究精神值得学习，这也是新课

程所创导的发展性目标。但原文中介绍的探究结果，从“一生的恍然大悟”，想到了按比例分配解，结果刚好分完，到“这时教室里响起了热烈的掌声”。之后就没了下文。笔者认为，这里十分需要引导学生再次质疑。同样有“片断一尝试”，学生尝试后，听了老师所介绍的阿凡提的分法，学生只有“惊叹阿凡提的方法很神奇”，即没有一个学生提出质疑，阿凡提的分法不合题意啊，因为 11 的 1/2≠6 。按江老师“思考（ 3）”所说的，“要让学生质疑，老师首先要学会质疑”，也许是在这些环节中老师没想到要质疑，所以也没有学生质疑，如果这里不通过讨论、质疑，这样就显然把错误的解法教给了学生，这就违背了数学教学的科学性原则。再说，我们在日常教学所提倡的“质疑”，是引导学生“有疑而质”，而不是老师要学生质疑而质疑，我想这应该也是老师写原文的本意之一吧。

这个经典的数学故事，流传很广。一直以来，人们对它怀有极大的兴趣，在很多书籍刊物及网上出现过，有些资料上介绍的是古印度时期的一个农村“智叟”分牛的故事，有些介绍如原文那样的“阿凡提”分马的故事，不管哪一种，在古代能有象“智叟” 、“阿凡提”这样的智者，用借一还一的方法，解决分牛分马问题，的确令后人敬佩。但在今天知识不断更新的时代，编者把此题编入教材的本意大概是为了激发学生学习数学的兴趣，了解数学历史，培养学生的质疑精神和解决具体问题的能力，还有重要的一点就是培养学生的数学科学精神。因此，对于经典的数学问题的教学，我们既要关注数学知识，又要适度地关注数学的历史、数学的文化、古代劳动人民的数学智慧等等。同时不仅要历史地看问题，而且还要科学地看问题，这样也许更有益于我们今天的数学教学。

参考文献[1]潘建辉，陈继林，张晓斌《对一道数学趣题的解答的剖析与思考》 . 人教网 2010》初中数学》教师中心》个人专辑》教研员专辑》张晓斌老师。

1 、初中生数学学习方式的调查与研究2 、一次关于“落实新课程理念”的调查与分析

3 、关于初中数学新课程实施中若干问题的思考

六、调查与实验六、调查与实验

初中生数学学习方式的调查与研究 一．问题的提出：众所周知：每一位学生从小学到初中不仅有一个教学内容衔接的问题，

而且还应有一个学习方式如何调适的问题，数学学科尤其如此 . 我们时常听到家长对我

们这样说：孩子在小学时，数学那么优秀，到了初中怎么就不行呢？教师的直觉与责任感告诉我们：事情远非如此简单，而教育界在此方面

的研究还不够，同时每个学段都程度不同地存在类似的问题。如许多中考和高考尖子进入高中和高校后，他们的成绩远没有他们早期那么出色 .因此，任何肯定本学段的教育方式，人为否定上一个学段的教育方式，都是不可取的，凭据自己的主观臆测下结论更是危险的。

关注学生，关注学生的学习方式，既是新课程的主旨；又是当代教学中最受忽视的一个环节 .

二．调查对象和方法调研对象为从本校初二年级的１２个班级中随机抽取了 8 个班级，采取现场问卷和个别访谈方式进行调查，共发放《数学学习方式状况问卷表》 450份，回收

450份，有效回收率 100%.通过对 450名初二学生的数学学习方式状况的深入调查与部分学生的个别访谈，以了解和分析这些学生的学习情况，选取新教材的实验点，更好地开展中小学数学教学研究，进而全面提高初中生的数学学习水平 .

三．调查结果分析1 ．课堂行为习惯在调查的学生中，“课堂提问很少思考听回答”的占 34.5% ，“很少思考很少回答”

的占 11.21% ，“听课持续能力在 25 分钟左右”的占 42.4%;“ 课堂接受能力听懂不到一半”的占 21.2%；“课堂练习不能独立完成”的占 16.7% 。以上数字表明：有不少学生他们的问题出在由于自信心不足而不善于动手动脑，平心而论，谁不想专心听讲而取得优异成绩呢？然而，他们却缺乏良好的行为——积极思考并主动回答问题。就由懒动懒说发展到不动不说，再到分心开“小差”，甚至过失性违犯课堂纪律，从而失去了获取知识、培养思维能力的良机。

2 ．作业习惯、课后复习 在调查的学生中“作业态度应付了事时有抄袭”占 31%；“作业很少订正和从不订

正”的占 32%；“作业有时或经常抄袭”的占 38%；对于某一天的作业，能独立完成的学生仅占 41%；做数学作业从不复习，应付了事的占有 17%；对于数学作业和课外练习有 86% 的学生有过抄袭行为，他们中有 31% 的学生认为“各课的作业量太多，来不及完成只得抄袭”，有 38.2% 的学生认为“数学作业多数自己做，少数难的问题是抄袭别人的”； 对数学“不经常预习或没有预习习惯”的共占 68% ，“课后很少复习和从不复习”的占 39.6%；上面的调查结果是我们每个教师所不愿看到的，我们从数字不难发现，学生的不良作业习惯，是造成数学学习成绩下降的不可忽视的一个原因，这从根本上影响了他们对待考试的态度，但我们也应看到，由于学生在自尊心驱使下，同时又在不科学的学习方法作用下，平时在慌忙中做作业，在考试前仍是挤出时间力争“上游”。从此意义上讲，他们是具有人格的，也是非常艰辛和了不起的；另一方也提醒我们必须对我们的教育观念和教学手段进行反思 .

3 ．有关课堂教学与学生解题调查的学生中有 60.1% 的学生最不喜欢课堂气氛沉闷，有 74% 的学生最

喜欢讲练结合和教师指导下的自主学习课堂形式，说明我们的课堂最需要争鸣与民主，课堂教学改革势在必行，研究性学生方式应占有重要的位置 .

23.2% 学生最不喜欢节奏太快，这昭示我们的课堂教学应遵循教育规律，从学生实际出发，恰当定位，及时对教学过程进行调控，出现 22.1% 的学生只能满足于听懂老师的例题已给我们敲响了警钟，仅有 24.8% 的学生去努力寻找解题规律，因此大部分学生的解题就只能套用老师讲过的类似例题、凭自己的感觉与不断盲目尝试就不足为怪了，这说明我们的教学至今还没有摆脱题海战术的阴影，同时说明我们的劳动是低效的，有 32.6% 的学生出现作业或试卷中的错误仍然不会订正就是明证，难怪有高达 34.3% 的学生只关心自己作业的正误 .

在学生遇到难题时，有 48.7 % 的学生选择与同学讨论，这一方面说明学生的独立与合作意识有了很大的增强，同时也向我们传递了学生有开展小组合作教学与研究性学习的可能和内在愿望 .

4. 有关学生感受数学在各学科中喜爱程度的排位有 59.5 % 的学生排在前两位，这对数学老师

无疑是鼓舞，因为人人都知道兴趣是最好的老师，真希望学生能保持这种热情 .“幽默风趣，妙语连珠”成了最喜欢的数学老师具备的特征，说明学生从关

注老师的学识转移到关注老师授课风格，从关心知识交流到关注情感交流，但学生对课堂外在观赏性的过分注意势必影响自身思维的发展，我们强烈意识到初中数学教师应有进一步引导学生走向成熟的责任 .

5.最喜欢的学习方式从调查中发现：初中学生最喜欢的学习方式和他们认为最有效的学习方式之间

有明显的差别 . 我们设计了一道相关的题目：在下列 11 种学习方式中，即“背诵、 实验 、考试 、参观 、听讲、看电视 、作业练习 、去图书馆 、读课外书 、运用电脑 、与朋友聊天”中，你最喜欢并认为最有效的一种学习方式是什么？调查结果表明：学生最喜欢的学习方式，排在前 3位的是实验（ 28.9%）、用电脑（ 24.2%）、读课外书（ 18.3%）；而学生评价最有效的学习方式则是听讲（ 21.9%）、作业练习 (18.5%) 、实验（ 17.0%）。可以看出，所谓“有效”的学习方式，其实也是应付目前考试和完成作业的主要方式 . 为数众多的学生还不能利用自己喜欢的学习方式来提高学习效率 . 家长对学生所喜欢的学习方式持什么态度呢？为此我们设计了两道相关的题目 .

其一是：“每周用一节数学课让学生走出教室走向社会去发现你身边的数学问题，对此你有何感想？”统计结果表明，持赞同态度的家长超过了半数。其二是：“教师让学生围绕某一学习内容去图书馆或网上查资料，进行实地实验、组织讨论，让学生得出自己的结论，不过花的时间稍微长一些。你对这样的做法有什么感想？”统计结果表明，持赞同态度的家长也超过了半数 .

这个调查反映出一些学生及其家长所倾向的学习方式，值得教师在教育教学中关注。为什么学生喜欢的学习方式与他们认为最有效的学习方式不一样？为什么家长与学生的选择不尽相同？这些调查结果说明了什么？难道对我们的课程改革和教学方式的改革没有一些启示吗？

四、思考与建议1.帮助学生建立起适应未来的学习方式 对于数学课中的每一个事实，包括定义、定理、法则的推导、例题的教

学、习题的处理等，教师都要给学生一定的时空，要先让学生观察、分析、归纳，后由学生发现、讨论。必要时，教师还要认真引导其学会延伸提高，拓展思维空间，培养学生的创新精神和实践能力。同时，要引导学生在获取知识的过程中学会学习、独立思考和与人合作 .

课改实验区的实践已充分得到证明：学生动手实践、自主探索、合作交流、阅读自学等多种学习方式，能够更大限度地调动学生学习的主动性、积极性，更能激发学生的内在学习动力，更能培养学生的创新精神和实践能力 . 大力提倡这样的新的学习方式，是现实的要求和未来的需要 .

2 ．减轻学生过重的作业负担学生的负担过重，主要是由超量的课外作业引起的。超量的作业不

仅严重损害学生全面发展，同时也对数学学习的本身构成障碍，因为疲劳造成精神和学习情绪上的强烈压抑，使大脑在学习时变得麻木，不仅难于激发思维，而且连记忆机能也严重受到束缚。而教师布置作业往往以学生完成的时间为依据，不同的学生做同样一份作业的时间差别很大。中等生 20~25 分钟能完成的作业，优等生通常 10~15 分钟做完。如果家庭作业太多或太难中等生要 45 分钟完成，那么对于学困生来说这作业负担实在太重了，也许他们几个小时也完不成。因为他们缺乏解题所需要的知识和思维操作能力。这样学习困难的学生，在情绪上会受到重大的打击。他们或者不得不抄袭别人作业，或者干脆乱写一通甚至不交作业。不好的学习习惯，就会对学生产生厌学情绪。又会促使学生数学能力退化等问题。所以过重的作业负担也是造成学生形成不良作业习惯的一个重要原因。对此，我们对学生的作业提倡“四留四不留”的要求，即：留适时适量的作业，留自主型作业，留分层型作业，留实践型作业；不留超时超量作业，不留机械重复作业，不留随意性作业，不留惩罚性作业 . 我们坚信作业改革必将会减轻学生过重的学习负担和心理负担，从而不断激发学生完成作业的乐趣。

３．处理好学习方式与教学方式的关系　 研究表明，教学方式与学习方式相匹配有利于促进学生的学习，而有意识地使二者有些错位则能弥补学习方式的欠缺或不足 . 例如，偏爱独立学习的学习者，在独立学习时能够集中注意进行记忆、思维等认知活动 , 学习效率高 . 如果与他人一起结伴学习或进行小组学习 , 他们却可能因认知过程受到干扰而降低学习效率 , 出现“社会干扰现象” . 而喜欢小组学习的学习者 , 在与其他同学一起学习时 ,则往往因为受益于相互激励、互相启发 ,而取得较好的学习效果 ,表现出“社会促进作用”或结伴效应 .因此 , 教师应该识别并帮助学生客观地认识自己所偏好的学习方式 . 对于学习方式不同的学生 , 教师应均衡地实施匹配策略 , 以使每一类学生均有机会按自己偏爱的方式接受教学的影响 , 避免只对一种学生实施过度的匹配而忽视其他学生的需要 . 同时 , 教师还应采用有意识的错位失配策略以鼓励学生以灵活多样的方式学习 , 使他们能够适应不同的学习任务和学习情境 . 例如 , 对于偏好独自学习、不善交际的学生 , 教师应鼓励其积极投入小组学习活动 , 学习、实践与他人合作、交流与表达 .面对那些不喜欢动手操作的学生教师应当要求他们一定要亲自操作 , 以确保学习质量 .因此，教师应采用有意识的错位失配策略以鼓励学生以灵活多样的方式学习，使他们适应不同的学习任务和学习情境 .

4 ．让学生体验成功，让学生主动学习，加快改进教育评价体系 成功的喜悦往往会带来一种无穷无尽的力量。这种喜悦可以使学生从成

功中品味到努力的价值。一位初二的学生在“我与数学”随感中谈到一件难忘的事：

“我在读小学一年级到五年级时，数学成绩一直很差劲，不过在六年级的第二学期一次单元测验中竟考了 92 分，当时，我高兴极了。也正是那次成功及老师的赞赏，使我信心倍受鼓舞而一头钻进数学中去。”实践证明，学生一旦达到目标，就会从成功的喜悦中增强对数学的学习兴趣。此时，教师要及时抓住机会给予表扬和鼓励。一两次鼓励可能会成为中差生转化的起点，成为他们急起直追的动力。那么如何运用成功机制，激励他们奋发向上，我们认为：①教师可在作业批改的同时，针对学生态度、个性特点、作业情况等给一个恰如其分的评语，则能激励学生的学习干劲，指导学习方法，沟通师生的感情，必会收到意想不到的教育效果；②除期末考试和统考外，一般性单元测验和考查，教师在了解学生掌握知识的真实情况和诊断出学生在学习中存在问题的基础上，可适当降低试题的难度，放宽评分标准，少记不及格的分数以增强数学后进生学习自信心；③适当设计一些难度较小的单元测验，多让他们尝试成功的滋味，从中感受到战胜困难的意义和乐趣。

要逐步培养学生的自信心，给学生以成功的体验，实施分层教学，对不同层次的学生提出不同的要求，为每一个学生创设不同水平的问题，让每个学生都能获得成功，使之都有进步。同时，要密切关注“失败者”，及时给予补救，及时调控教学过程，以适应所有的学生。课后作业量布置宜适中，难度要适宜，分层要求，分层评价，以吸引学生积极投入数学教学活动之中，逐步培养其学习兴趣。

当然我们必须要丰富教育评价体系，多层次、多角度去评价每一位学生，以便学生发现自我，更好地完善自我，表现自我 .

五．结论 数学教师是决定教改成功与否的关键。教师必须摒弃旧的观念和旧的

教学方式，必须采用新的探究、引导、促进的教学方法才能彻底转变学生学习数学的方式和学习数学的情感和态度 . 为了照顾个体差异和地区差异，教师必须对教材进行充分的再加工，比如寻找知识和概念的生活情景和教学资源，真正激发不同数学水平学生积极探索的欲望，因为，只有学生愿学，才能成为学习的主人，进而学到适合自己的不同程度的数学．

数学教育的目的并不是单纯地教一批定理和法则，让学生解题，而是让他们学会理解数学，培养学生的数学意识和直觉，并逐渐培养他们良好的数学学习方式。这次调查及分析告诉我们，在提倡素质教育的时候，我们应该对当前的教育现状作一番具体、仔细的反思与探讨，从中可以发现，有很多问题需要深入调查和研究的 .

一次关于“落实新课程理念”的调查与分析

舟山市普陀区初中段全面实施新课程标准已有 3 年的时间，广大初中数学教师在实施过程中是否全面贯彻了新课程倡导的理念？最近，笔者在普陀区作了一次抽样调查。调查的目的是：获取学生学习结果的信息，揭示教师在教学中存在的核心问题及其形成原因，唤醒教师的责任意识。

一、调查设计1 、调查对象：普陀区初三年级（九年级）学生。2 、调查方法：用统计调查的方法，从普陀区九年级学生 3100 个学生

作为调查研究的对象，其中 A 类学校学生 1900 人（城区学校）， B 类学校学生 1200 人（农村学校）。

3 、调查方式：借用 2006 年浙江省基础教育课程改革省级实验区初中数学学业水平考试调研试卷进行测试，并对 3100 个研究对象的测试数据用定量与定性相结合的方法进行分析。

4 、测试试卷：测试卷由浙江省教研室提供，测试内容是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）七年级至九年级规定的内容，试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，测试时间 60 分钟，满分 75分，试卷难度设计的期望值 0.70（测试卷附后）。

5 、调查时间： 2006 年 4月 26日测试， 4月 27日阅卷。

三、调查分析我们不评论试卷设计是否科学，是否符合新课程倡导的评价理念，但试

卷作为调查“落实新课程理念”的量表也能获得许多有价值的信息。首先，使用新教材后学生的基本水平没有降低，其次，使用新教材后学生的能力明显提高。但调查数据也折射出目前学生的数学生能力不尽人意，数学学习也停留在记忆与模仿水平。这些事实可能与教师“穿新鞋走老路”的行为有关，没有贯彻新课程“削枝强杆”的精神。具体可看以下一些事实：

1 、调查结果发现，学生的“双基”水平普遍较高。许多教师认为这份试卷的难度要高于学校平时考试试卷，但测试结果发现试题的实际通过率要高于试卷设计的期望值。在测试学生“双基”水平的试题中，通过率高于 0.9左右的试题有：题 1 、题 2 、题 3 、题 6 、题 9 ，即使是 B 类学校的学生，这些试题的通过率也在 0.8 以上，这充分说明使用新教材后学生的“双基”水平没有降纸。这个良好的态势可能与教师继承了我国数学教学的基本经验（变式教学）有关。

2 、调查结果也发现，学生对基本概念的理解、逻辑推理能力较高。题 7主要考查学生理解能力和逻辑推理的能力，测试结果发现被调查的所有学生通过率 0.68 ，被调查的 B 类学校的学生通过率是 0.562 ，这比预测情况要好得多。题 5考查学生能力的试题，测试结果发现被调查的所有学生通过率是 0.736 ，被调查的 B 类学校的学生通过率是 0.649 ，比预测情况也要好。这说明使用新教材后学生这方面能力有明显提高。

3 、调查结果显示，学生的数学能力有待提高。题 11主要考查学生的分析能力、推理能力与猜想能力的试题，测试结果显示被调查的 A 类学校学生的通过率也只有 0.862 ，被调查的 B 类学校学生的通过率有 0.71 ，题 12 是考查学生应用能力的试卷，试题要求学生两种设计方案，是很好的课题学习素材，可是测试结果显示被调查的所有学生通过率只有 0.38 ，被调查的 B 类学校学生通过率只有 0.29 。这充分说明学生的数学能力没有达到预期的目标。这种不良倾向可能与教师“满堂灌”的教学行为有关。目前课堂教学中教师唱“独角戏”的现象还是普遍存在。

4 、调查结果也显示，学生数学学习停留在记忆与模仿水平。题 10 学生只要理解坐标的意义、一次函数与三角形有关知识，该属于容易题，可是测试结果显示被调查的所有学生通过率只有 0.64 ，被调查的 B 类学校学生的通过率只有 0.52 ，如果求点 C10 ，通过率会更低，题 8 的测试结果更使人难以理解，被调查的所有学生通过率只有 0.39 ，被调查的 B 类学校学生的通过率只有 0.32 ，个别访谈发现许多学生认为，答两题做对概率会大些，但想不到更加失分了。

四、存在的主要问题及讨论1 、“双基”教学还有一定的问题，从试卷的抽样调查来看，学生的计算能

力和几何证明能力明显减弱。2 、数学解题格式和数学语言表达的规范性不够。从数学试卷看，学生数学

语言表达和解题格式的不规范、不准确，反映了课堂教学中缺乏严格的要求和规范的训练，这些都严重影响了学生数学能力的培养和提高。

3 、“应用问题”依然是教与学中的难点。本次调查卷中应用性试题达 20分，得分率相对偏低，这在一定难度上暴露了我们教学中薄弱环节。

调查结果与新课程预期目标的不和谐性表明教师没有全面贯彻新课程理念。在新课程理念已深入人心的今天是什么因素影响教师落实新课程理念？笔者出于一种改革的激情和高度负责的态度与部分市区学科带头人和部分校长进行了深入的讨论，以下是研讨结果的概括：（ 1）、评价方式跟不上教学改革与发展导致应试教育的阴霾久久不散，

特别是已有的“唯分数论”的培养人才模式迫使教师以分数为奋斗目标，再加一张最好的试卷也无法考查学生的综合素质的事实，从而大部分教师只好“急功近利”、“穿新鞋走老路”——不让学生有过多的“自由”学习的时间强化课题学习和课外阅读，取而代之的是超速完成教学任务为螺旋式“题海战术”提供时间保证，采用“大容量、快节奏、高强度”的应试模式来促进学生的记忆与模仿。就这样“培养学生创新精神和实践能力”的教学理念成了一句空洞的口号；“自主探索和合作交流”等教学操作成一种“教学秀”，并且这种虚伪的美丽现象还比较普遍；“创新教学内容的反映方式、善用元认知提示语暗示、适时为学生思维对撞与整合搭建平台、及时反馈评价”等教学艺术也被教师“掐头去尾烧中段”、唱“独角戏”等所替代。就这样许多教师通过培训刚刚更新的教学理念又被重新“格式化”了，许多学生纯真的、好奇的火花渐渐地熄灭了。

（ 2）、所谓与新课程配套的辅助资料不但起不到为课改保驾护航的作用，反而为应试教育推波助澜。我们发现被新课程削弱的内容在辅助资料中激活了，而新课程强化的内容（如数学与现实的结合、实践与探索、课题学习等）却在辅助资料中找不到好的题材，烦琐的计算、复杂的推理、缺少创新的形变而实质不变是一般辅助资料的基本特征。这些资料不但导致部分学生把握不了学习的重点，也导致许多青年教师把握不了教学的走向。而以考取重点中学为奋斗目标的许多家长、教师和学生视课外资料为宝，这样低质量的课外资料就成了扰乱课改向前推进的刽子手。

(3) 、各种招生试卷不但没有发挥课改的引领作用，反而成为课改向纵深发展的拦路虎。以考查能力为核心的部分重点中学提前招生试卷迫使许多教师重新拿起应试的武器。高中知道下放的试题出自部分重点中学提前招生试卷，违反初中学生认知规律性的烦琐的计算、复杂的推理、多层的讨论等出自部分重点中学提前招生试卷，偏题、难题、怪题出自部分重点中学提前招生试卷。而新课程倡导的也能考察学生能力的探索题、问题解决题、阅读理解题、数学与现实结合的情境题等反而很少见到。这样真正贯彻新课程理念的教师可能会成为历史的罪人。

五、总结与建议目前学生数学能力不尽人意，还不能满足进一步学习和参加社会工作的

需要具有普遍性。形成这样的事实的因素很多，不仅与教师课改的信念不坚定有关，也与评价方式跟不上教学改革与发展、参考资料市场混乱有关，更与考试指挥棒的指向有关。由此笔者呼吁：

1 、教育行政部门应加快评价方式的改革，尽快打破“唯分数论”的僵局，切实增加评价工作的科研含量，给教师有一个宽松的创新环境，给学生留一块自主探索的“自由地”。一张试卷定胜负不仅给一部分有创新潜力的学生带来了灾难，也给高中段教学带来了灾难。

2 、教材出版部门不仅要把好教材质量关，更要把好与新教材配套的辅助资料关。因为辅助资料比教材更显性、更具有可操作性，对教师把握教学走向更具有指向性。对那些以牟利为目的低质量资料应严格控制。

3 、“竞争”、“择校”是一个永恒的主题，在目前考试分数还是招生重要指标的条件下，招生试卷的命题单位应严格把好教学的导向关。命题要有利于考生发挥作用，考生是主体，是主动的；考试命题要从考生的实际出发，有利于考生发挥主观能动性。试题最简单对数学慢生来说也无济于事，脱离教学实际的试题也难以区分好生与慢生，可否改一题把关为多题把关，可否减少记忆与模仿的试题，适当增加理解性试题，可否出一些与课题学习和课外阅读有关的试题，可否出一些考查学生人文素养和科学素养方面的试题。重点中学提前招生是否必要？我们不加评伦，但招生试卷能否由教研部门组织力量来命题，以保证试卷更具有教学的导向性。

4 、数学教师应牢记育人的使命，坚定课改的信念，敢于与不良行为作斗争，坚持教育为学生的一生作规划的责任观，坚持“边学习、边实践、边研究”的工作模式，坚持帮助学生获得数量与空间关系的基础知识与基本技能以及获得这些关系的基本方法和观念的同时，帮助学生通过生动活泼的数学学习活动逐步学会思维、发展能力、树立理性精神，坚持用科研的武器来丰富自己的案例知识与策略知识，为课程改革的顺利推进作贡献。

关于初中数学新课程实施中若干问题的思考

摘 要：新课程实施以来，数学课程在内容标准、数学知识体系，以及教材的编写设计和中考命题改革等等方面，均存在一些问题和争议。笔者结合自己在新课程实施当中的教学实际，对其作了一定的剖析和思考。 关键词：课程改革；新教材；数学课程标准；中考命题。 从 2001 年 9月 1日全国基础教育课程改革实验区率先开始第八次课程教材改革到现在，时间转眼已经过去了七年．这以来，新课改大步迈进，取得了许多成果，但同时也伴随着各种各样的声音，大到教育专家、数学名人，小到普通一线教师；报刊、杂志、网上论坛偶见质疑，屡抒困惑．笔者拟结合平时个人教学实际，也谈谈这方面的感受与想法，就教于各位同行．

1 、内容标准与数学学习科学化，尚存许多质疑《数学课程标准》将内容标准分为四个领域，分别是“数与代数”、

“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”．按照这个标准设计编写的新教材，可谓面貌全新，初看各种版本都不错．但使用之后，觉得还是有许多不尽人意的地方，并非完美无缺．

首先教学内容还是显得偏多．从每册的教学执行情况看，按规定课时都能完成教学任务，但要让大多数学生掌握知识，并会运用知识，光靠这点课时，还是免为其难．现在教师争抢课外时间进行辅导，甚至抢课对学生进行补习的现象还是没有太大的改观。有的学校干脆将课外时间分段划给学科教师，以避免出现同事间人际关系紧张或学科辅导时间的不平衡。一句话，学科教学与素质教育在时间上的挤占与冲突，矛盾依然非常突出．试想，如果学科教学课时过于紧张的话，那么想成就素质教育，就是想实现让学生每天锻炼一小时也难．毕竟现在的家长、教育部门乃至整个社会对教育的主要评价依据，还是没能淡化考试成绩．再次是《数学课程标准》内容标准有待科学化．《数学课程标准》

内容标准部分，详细罗列了阶段必须掌握的具体知识目标．与以前的大纲相比，知识目标有增有减．不提增加的部分，删掉的部分是否科学呢？这里笔者想对三个问题作一个质疑与探讨．

问题 1 ：新标准删去了“在直角三角形中，如果一个角等于 30° ，则它所对的直角边等于斜边的一半”．众所周知，此定理在有关直角三角形、等边三角形的计算中有较多的应用，也是今后学习锐角函数的必需准备．虽然通过添辅助线或利用后面可以学到的三角形函数知识，相关的问题都可以得到解决．但是，这样的处理显然是给解决数学问题人为地制造了麻烦．不妨来看看浙教版八上第二章等腰三角形 2.5直角三角形的例 3便可体会这一点．

3 0 0

B

A

C

D

如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 30° 的斜坡，从 A滑行至 B．已知 AB=200m ，问这名滑雪运动员的高度下降了多少 m ？

本来利用定理一步能解决的问题，就因为标准的调整，竟然要添一条斜边上的中线 CD才能解决，这是何等痛苦的一件事！

问题 2 ：对于一元二次方程解法，现行标准删掉了最常用的十字相乘法．如此一来，致使学生解一元二次方程的能力大大下降．现在，解一道一元二次方程，很多学生要几分钟，有的还解不准确．

问题 3 ：新课程教材对于几何学习，均按照提出佐证，说理和证明的层次逐步展开．这样的安排是否科学有效？虽然，教材设计如此，但是很多教师实际的教法还是遵照老教材的做法．即从学习几何那天起，就直接以证明的格式要求学生，而抛弃通过佐证或说理的方式进行过渡．这样做的原因，一是觉得无论是提供佐证，还是说明过程，都需要写一大堆文字，让人怀疑究竟是在学一向被认为简单化的数学呢，还是在写一篇小型的语文作文．二是觉得提供佐证或说明，与数学所追求的逻辑严密有比较大的一段距离．如果数学结论通过实验、举举例子就可以得出的话，长此以往，对学生培养思维的严密性也是不利的．

《标准》或教材这样处理，将原来简单的问题显然变得复杂化，既失去了数学原有的科学性和简约性，也让数学的本质与其特有的魅力大打折扣．作为从事数学教育的一线教师来说，感到很难理解．

2 、新教材花样翻新，教师却难认同新课程比较大的一个亮点是“一标多本”，许多省市都在编写教材．笔者认

为，教材涉及到每一位学生和教师，其编写是否成功，同样也是新课程改革成败的重要指标．然而，这些实验教科书，都是一经编写完，就以实验的名义进入大面积的推广和使用．如此仓促搬上来的“新菜系”，存在问题也是情理之中了，自然也是难以赢得一线教师们的普遍认同．

2.1 教材诸侯争雄，教师无所适从教材一多，随之而来的就是教材的选择问题．从各地的情况看，都是行政干

预过多，缺乏真正的自主选择权．在笔者执教的学校是全市的新课程实验区，从 2002 年秋开始使用北师大版的新教材．当时心里想，反正尽早要改革的事，不如先接触新教材．不想，刚用了一届，换来全市普及新课程，都要改新浙教版了．教师们辛辛苦苦备好的电子教案、教学课件、编拟的试卷练习就这么一个决定，全给进回收站了，多年的心血毁于一旦，哪个不心疼呀！笔者的一位教师网友更惨，据说新课程实施以来，教材都换三套了．有的教师跨年级上课，同时要上两个版本的课程，其中滋味只有亲历教学的教师们才能体会．

当然，教育行政部门也有难处，如果一个市同一门学科几套教材．那么教学评价又如何进行？既然统一在所难免，那么在当初选择试验教材时，是否应当慎重考虑，尽量避免再次选择给教师带来的麻烦和损失．

2.2 教材体系编排科学性存在争议首先是新教材自身体系问题．比较不同版本的新教材，其编排体系不尽

相同，各有自己的体系．比如：浙教版把除二次根式外的大部分实数内容编排在七年级上册，这样处理，学生遇到 ， 之类的数，由于二次根式性质没学而无法化简，教师也只能说暂时保留这种形式．彻底解决化简问题则要等到八年级下册学完二次根式知识后才行．时间上前后相隔近两年，学生对根式的化简意识已很难再练就．既然众多的新教材都有各自不同的编排体系，那么拿数学的眼光来看问

题，有多种不一样的情形存在时，应该有一个优选的问题．试问，哪一套教村的体系最为科学呢？最有利于学生掌握知识呢？按数与代数、空间与图形、统计与概率和综合知识应用几个领域来组织安排每册教材的内容，正如“戴着镣铐跳舞”，如此深受形式桎梏的教材体系究竟能在多大程度上保证知识本身的内在联系与科学性？ 另外，学科之间体系也缺乏协调与衔接．俗话说数理不分家，均为浙版

教材的数学与科学，按理说知识上的互用应该不成问题．然而笔者发现，数学这边电功率公式、杠杆原理要用了，科学那边却没学；科学那边科学记数法、解分式方程要用了，数学这边却还没教．不熟悉学科知识体系被蒙在鼓里的老师呢，一个劲地指责学生太笨．知道这个问题的老师，则要花更多的时间，先去补教与本学科不相干的知识，然后再教学生怎么应用本学科的知识．因学科间体系不协调而给教材使用者带来的麻烦，怎一个累字了得！难道，教材的编写者们，就不考虑这一个？

8 12

华南师范大学课程教材研究所所长、高凌飚教授指出：教科书是学生学习的工具，因而在内容选择、结构组织、活动安排、文字撰写、插图使用等方面应符合学生的心理特点和认知发展规律．从这个意义上来说，新教材体系问题，确实尚需进一步科学化．

2.3 新课程网络资源亟待开发建设随着新课程改革的不断深入，现代信息技术在教育教学上的应用也逐渐

扩展．如今，教师除了要进行教学设计，很多情况下可能还要做课件．然而教师的时间何其多呀，书本的例题习题插图都上网搜寻，有时费了好大的劲，总算找到了，一点下载链接，却是这个要注册，那个要付费，无处觅时，软件技术过硬的教师干脆自己原创一下，然而对大多数教师来说，一则可能技术没那么好，二则可能也没那么多时间来搞创作，要上公开课多花点时间另当一回事．这方面很多教材的出版社，已经在关注这个问题，许多做法也是值得肯

定的．如：浙版的初中数学教材，可在网上下载到教材中所涉及的全部原图．不仅图片质量高，而且免费易找．北师大版、人教版和湘教版则在网上推出了所有教材的电子课本，但都是扫描的图片格式，无法供使用者二次编辑．另外，权威性的官方的交流平台有待建设和发展，目前人教版和北师大版都开设了教材论坛，在这方面做得最好．而其他省一级教材与之相配套的网络资源的建设亟待建设．

3 、中考命题缺乏有效约束，有待改革 纵观近两年的课改实验区中考试题，我们感受到了不少新的东西，

但同时也感受到了新课程背景下的中考试题的难以捉摸．尤其是新课程改革的交错阶段，上不封顶，下不封底，教师无所适从．各种教辅材料鱼目混珠，推波助澜．如此背景之下，中考试题频频超出标准，似乎什么知识都可以加工一下作为试题，大有海阔天空之嫌．

不妨来分析几道中考试题，就可以看出其中一些端倪．试题 1 （ 2006 年茂名市）先阅读，再填空解题：

本题以北师大版九年级教材复习题 C组第 1 题为背景编制．前三小题只对一元二次方程作了替换，最后一问则新增加了一般规律的猜想与证明．以教材中的习题为背景，来编拟中考试题，应该是一道好题．但仔细一想，却心生担忧．既然韦达定理属于繁、难、偏、旧的知识，已经不再要求列入标准范围了，那就不要再变着花样来考了．如此一来，教师讲学习解一元二次方程时，是不是全班也该补充学习十字相乘法呢？学习相似三角形时，要不要补充射影定理？

这两道试题以高中或大学知识为背景编拟．试题 2 以大学行列式知识入题，意图考查学生的自我习得知识并运用知识的能力，落脚点是考查学生解一元二次方程的情况．试题 3则以高中极限、数例等知识编制．从知识点分析，还是高中教材的极限、数列知识为重．虽然用估算结合排除法，有的学生也能找到答案．然而，试题高中知识份量不轻，如此出题，究竟要把考生引向何方？

毋庸晦言，这种抛弃教材，而在教材之外寻求命题的现象已屡见不鲜．不论这类试题的设计与编制多么的精妙绝伦，但其终究是以初中以外的知识为设计背景．这种做法长此以往，必然会引起一种误导，额外增加教与学两方面的压力，这也与当前提倡的减负精神背道而驰！

除此之外，中考的命题方向也有待改革．对中考命题人员来说，用绞尽脑汁四字来形容中考命题之艰辛与不易，一点也不为过．一位多年参加中考命题的教研员，给笔者讲起过这么一个例子：据说有位中考命题者，为了出好题，在一家啤酒厂里呆了一个多星期的时间，才发现了可用来命题的生产中的学科试题素材．中考命题的艰辛与不易可见一斑．诚然，中考试题需要创新！但也应当适可而止，不必花尽心思，追求道道

出彩．记得早在许多年前，看到一份重庆的中考试卷，很有它的独特之处．整张中考卷，都有本道试题出自教材或作业本哪一道的标注或说明．这种以学生所学教材和作业为本，换一下数据或稍加改编，就一二道题原创程度稍微高些．如此命题之法，笔者认为非常值得仿效和推广．一可以减轻中考命题者的压力．二来回归课本，可以极大地减轻学生的复习压力．试想，学生若是把教材中的知识点都掌握了，并且会应用，就已经足够了．

总而言之，新课程尚存在诸多值得探讨和研究的问题．由于篇幅有限，这里不再赘述．值得欣喜的是，一些与新课程有关的配套改革正在不断推进，不同版本的实验教材也在不断修订和完善．希望不远的将来，处于变革中的新课程，能让教师教得更自在，学生学得更轻松，让大家都能真切的感受到——“新课程，我们更喜欢你”！

参考文献：1．中华人民共和国教育部，数学课程标准（实验稿） [M] ，北京师范大学出版社． 20032．范良火主编，义务教育课程标准实验教科书（数学） [M] ，浙江教育出版社． 20043．马 复主编，义务教育课程标准实验教科书（数学） [M] ，北京师范大学出版社． 20034．严士健主编，义务教育课程标准实验教科书（数学） [M] ，湖南教育出版社． 2004

1 、初中概率题为什么颇有争议

2 、一道中考题的拓展与探究3 、对一道几何竞赛题的探究

七、怎样修改文章七、怎样修改文章

初中概率题为什么颇有争议

------兼谈可能性和概率教学初中的概率是建立在等可能性基础上的古典概率，又是统计学中概率

的理想结果。由于概率知识涉及到公平性，抛掷结果的偶然性及概率问题的不确定性等因素，较易受错误直觉的误导。虽然教材通过大量重复的实验，先获得频率稳定性，再概括概率定义，让学生经历实验、观察、猜想、验证活动，获得古典概率的计算方法，但学生在处理概率问题的计算时还是容易出错。概率问题为什么颇有争议，笔者结合自己在课堂内外或听课时，碰到对概率问题发生的争议，经历对有争议的概率问题的解决过程，谈些感受。

1 ．机械套用树状图[ 案例 1] 问题 1 ：同时抛掷两枚相同硬币一次 ,朝上的一面有多少种

可能 ?这是在一次带徒活动中的一个学员在上一堂诊断课临近下课时的一道

补充题，课题为浙教版七下第 3章《事件的可能性》的第 1 课时《认识事件的可能性》，教师让学生思考后叫学生回答。师生对话

教师：做好的同学请举手．（学生纷纷举手示意，并争相发言）学生 A ： 3 种，分别是：正、正，正、反，反、反．学生 B ： 4 种，分别是：正、正，正、反，反、正，反、反．

教师：同意学生 A 观点的同学请举手（学生举手，数了一下有十几个），同意学生 B 观点的学生请举手（学生举手，数了接近二十个，还有几个学生两次都没举手）．老师：到底是 3 种还是 4 种，我们可以借助树状图（教师画树状图，

并根据树状图得出 4 种可能）．同意这种观点学生再举一下手（又观察一下，有二十几个，比第一次多了几个，但还是有将近一半的学生没有举手，这时教师叫其中没举手且位置靠后的一名男生发言）．

学生 C ：我觉得一正一反和一反一正还是算一种．这时下课的铃声响了，同时又一个男生站了起来．学生 D ： 如果给两枚硬币做不同的记号，一正一反就有两种情况．学生 C ：（口气不甘示弱）那还不是一正一反吗（有部分学生发出笑

声，并开始骚动） ?教师：（有点慌乱）根据树状图应该是 4 种，由于时间关系，我们讨

论到此为止，下课．下课后，发现学生们还在争论……课后，笔者在反思为什么会出现两种不同的意见呢？

1.2 双方争议的疑点（ 1）“有多少种可能”与“有多少种等可能结果”意义是否相同？（ 2）设两枚硬币分别为 A 、 B ，“ A正 B 反 ,A 反 B正”与“一正一反”

意义是否相同？（ 3）同时抛两枚硬币能利用树状图分析么？列表呢？（ 4）“两枚硬币同时抛”与“两枚一先一后抛”结果一样么？（ 5）“两枚硬币同时抛”与“一枚硬币先后抛两次”一样么？1.3 如何破解疑点（ 1）结论显然不一样．教师给出问题 1 的答案是 4 种，他把结果理解为有

多少种等可能结果．而学生理解成 3 种情况．为了避免歧义，笔者认为最好把问题改为有多少种等可能结果．（ 2）意义也是不同，前者是排列，后者是组合．（ 3）解决方法不能硬套用树状图．我们可以这样理解，实际生活中的树木

生长它是有先后，因此，树状图它适用于事件发生有先后顺序的一类问题，但列表就没有这种限制．通过列表，得知同时抛掷两枚相同硬币一次 ,朝上的一面有 4 种等可能结果．

　 2.2 双方争议的焦点（ 1）一次摸两个球没有先后能不能用树状图 ?（ 2）摸到 R1R2 和 R2R1 到底算一种还是两种？看到同学们争论得如此激烈，出乎教师的意料．这时教师适时介入：教师：老师再问几个问题：如果我今天下午叫小明和小亮留下来做值日与今天下午叫小亮和小明留下来做值日一样吗？

学生：一样。教师：很好．我们在一次摸两个球的时候手指触摸到的两个球有先后，这种

情况可能发生吗？学生：可能．教师：这时能用树状图分析吗？学生（想了想）：可以．教师：那么观点一有错吗？学生：没错．教师：那问题出在那里？学生：老师，我知道，观点一出现了重复计数，答案应该是 6 种，观点五正确．

教师：第一个问题解决了，第二个问题就不难了．其实一次摸两个球，它等价于先摸一球，不放回再摸一球．观点二和三它等价于先摸一球放回再摸一球，那当然错了．今后解决此类问题，我们可以用树状图，也可以列表，但最后要避免重复计数．用枚举法要小心，它容易出错，比如观点四．

3 ．是直觉欺骗了我们[ 案例 3] 问题 3 ：有三个抽屉 A 、 B 、 C ， A抽屉放有 1 个红球 1 个蓝

球， B抽屉放有 2 个红球 1 个蓝球， C抽屉放有 2 个蓝球，（其中三个抽屉，小球的形状、大小分别一样）在一个抽屉里摸一个球，求摸到的是红球的概率．这是在问题 2这节课留的一个思考题．中午有不少学生纷纷到教师的办公

室来跟老师说他们的答案．

4 ．争议给我们带来了共识与启示4.1 达成一种共识通过以上案例，我们在可能性和概率教学时，要让学生达成一种共识：

首先要判断事件各种结果是否为等可能。符合古典概率模型的生活实际必须具备两条特征：（ 1）试验结果的有限性；（ 2）每一个结果出现的等可能性。虽然“等可能性”是一种假设，是一种理想状态，但在实际应用中，需要根据实际情况去判断是否可以认为基本事件是等可能的。其次根据题意，选择合适分析方法．具体如下：

通常我们采用列举法，一旦选择一种方法完成解题后，可以用其它方法验证，这样更有利我们理解问题、积累学习经验．

4.2 得到一些启示　　通过这三个案例，笔者认为：（ 1）教学要民主．教师要有师生平等的意识．课堂内外要留给学

生一定的思考时间和空间，鼓励学生大胆地表达自己的观点，耐心倾听学生的想法，提倡争论和质疑，在师生思维火花的碰撞中解疑析惑．（ 2）教师要善于讲题．会讲题不等同于普通的解题，教师不但告

知学生怎样解题，还要告诉学生为什么这样解，善于从不同的角度解释同一个问题，讲清问题的本质．（ 3）教师要有整体把握教材的本领．教师在课前预设时，既要研

读教材，又会整合教材，这样才能超越教材．要站在系统的高度，高屋建瓴，见树木，又见森林．只有这样，才能在课堂中做到浅入深出，深入浅出．

一道中考题的拓展与探究

综上所述，适当对问题进行拓展与探究，使学生能充分感知到知识间的内在联系，加深学生对知识的纵横向认识，开阔了学生的视野，也培养了学生探究和创新精神。参考文献[1] 罗增儒．巧思妙解与数学证明 [J]．中等数学， 2005 ， 3

对一道几何竞赛题的探究

这便是经典老题中的其中之一，也是 1956 年全国高考试题，若对该经典老题进行多角度、多途径、全方位地探索、挖掘、引申、变化，则可得到一系列“漂亮”的命题。

2 弱化条件，结论不变。若改变经典老题中的题设条件，将正三角形 ABC 改为等腰三角

形 ABC ，即 AB=AC ，上述（ 1） ~（ 10）结论仍然成立（证略），显然上述竞赛题第（ 2）小题就这样编拟出来了。

评析 本法利用平方差公式将等号左边进行因式分解 AD2―AB2=（ AD+AB） ·（ AD―AB），从而采用延长线段的方法。

评析 本法也是采用延长线段法，但较为巧妙地利用了三角形内切圆的性质，较为简单地证明了∠ DCE= F∠ ，从而得到△ DBF DE∽△C 。

评析 依据条件 AB=AC=AE ，联想到以 A 为圆心，以线段 AB 为半径作圆，交线段 DC 与点 F ，利用圆的对称性等，最后得到∠ DCE= K∠ ，从而得到△ DBK DEC∽△ 。

值得一提的是，余弦定理及韦达定理都没有在新课程教材内容中出现，但作为参加初中数学竞赛的同学，掌握教材外的一些常用的几何定理和代数公式也是必要的。如果学生能把余弦定理与韦达定理完美结合，就很简捷地解决了经典老题及上述的竞赛题第（ 2）小题。又由△ =（ 2AD·COS ADB∠ ） 2－ 4（ AD2－ AB2）≥ 0 ，化简得

BC2≥AD2·Sin2 ADB∠ 。当∠ ADB=60° 时，即得 4BC2≥3AD2 ，即为结论（ 6）。

1 、新课程理念下教师主体性的体现

2 、从一道考试题谈新课程的实施

八、现场写作八、现场写作

新课程理念下教师主体性的体现

“ 以学生为中心”的课堂教学，就是构建以人为本的课堂，把学生作为课堂的主体，让学生在课堂中发挥主体作用，把学生以听为主的教学模式改变为学生自主学习以师生、生生的多向互动、共同合作为主要方式，学生由“听众、观众、配角”的角色转化为主角，教师起“引导者、组织者、辅导者”的作用，师生在课堂学习中地位趋于平等了。因此，不少教师便感到了一种困惑——我干啥？ 笔者对“以学生为中心的”课堂教学过程中“教师干啥”的问题，谈谈自己的看法，与各位商榷。学习是人类个体在认识与实践过程中获取经验和知识、掌握客观规律、使身心获得发展的社会活动。学生的学习可以理解为以下过程：

根据上述的学习过程，在以学生为中心的课堂教学中，可将教师与学生的任务作如下分工：

因此笔者认为，在以学生为中心的课堂教学过程中，教师的“工作”应该包括以下内容：

一、提供有效的信息源 1. 信息源能激发学生的学习动机 学习动机是直接推动人进行学习的内部动力， 学习动机是由多种心理成分

构成的，其中兴趣是重要的心理成分。一个好的情境，常常有“一石激起千层浪”的效果，使学生感到心奋，能主动地参与，自主地探究。因此教师创设的情境要激发学生学习兴趣。

2. 信息源尽量让学生动手摄入摄入信息的方式一般有三种：“听”、“看”、“做”。从效果上看：听 <

看 <做，因为听过易忘，看过易记，做过才会。因此教师创设的情境尽量让学生动手做。 二、设置具有探究意义的问题 思维是由人们的认识需要引起的，没有认识的需要就不会引起积极的思维 .认识的需要常来于学习过程中出现新的问题，有的是学生似乎熟悉但又不清楚、不能立即解决的问题 .这时学生就会产生一种强烈的求知欲望而去积极思考 .因此，让学生探究的问题必须富有启发性、诱导性、趣味性、挑战性，这样的探究才有意义。 三、创设和谐的课堂氛围 陶行知说过：“惟独从心里发出来的，才能达到心的深处。”因此，平等、和谐、信任的师生关系，自由、宽松、民主、融洽的课堂气氛是唤起学生学习兴趣并促其主动学习的基础，也是实现以学为中心教学的前提。

四、搭建输出信息的平台 学生的信息输出主要有两种形式：（ 1）书面表达；（ 2）口头表达。书面表达要求能将表达的内容条理化，能较好地反映问题的要点和逻辑关系。口头表达要求在讲解、讨论和交流的过程中能用简洁、流利和通俗的语言表达自己的思想，能选择较好的切口阐述自己的观点。

五、对学生学习进行帮助与评价 人的本能是‘自我实现’，学生的学习过程，本身又是一个挑战自我、

实现自我的过程。在以学生为中心的课堂教学过程中，教师帮助和评价必不可少。对学生的帮助与评价，具体包括以下内容： 1.鼓励。在学生处理信息和输出信息过程中，教师千万不要吝啬鼓励，适当的鼓励能令孩子建立自信。

2.纠错。学生在解决问题的过程中，可能会出现各种各样的错误，教师通过“指出问题，要求其再思考、组织讨论、要求其再读书或讲解”的方式，纠正起出现的错误。 3. 引导。对学生认识不全面的问题，通过提问、提示、组织不同见解的交流等方式，使之认识全面。 4. 评价。对学生的评价具体包括：目标的完成情况、学习方法、过程以及各种学习品质等。评价应该是积极的，能引发学生积极的心理体验以及积极的态度。正确的适度表扬，使其体验成功感；不正确，不指向结果，而是指向其学习方法，提出疑问，进行商量，帮助其改进方法，求得正确。 在“以学生为中心的课堂教学中，教师要做的就是：让教室充满家园般的自由气氛，让课堂变成探究乐园，教师和学生是探究伙伴。

从一道考试题谈新课程的实施 一、背景太阳光线与地面成 60° 的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是20 cm 3

（ 1）请你求出皮球的半径；（ 2）如果把这样两只同样大小的皮球紧挨在一起，它们在地面上的投影总长为一只皮球在地面上的投影长的两倍吗？如果是，请证明；如果不是，请你算出这时的投影总长度 .

二、访谈1. 与学生对话2. 与教师对话3. 与命题者对话4. 与教研员对话三、教学反思

数学解题中思维起点的选择 数学解题过程是一个根据问题条件，利用有关的基础知识，基本技能，基

本思想和方法，进行有计划、有目的、有步骤的逻辑推理活动，要圆满完成这一活动到达胜利的终点，首要的是选择准确、恰当、合理的思维起点。好的起点让终点一览无疑，好的起点让解题坐上高速客车，好的起点就是终点。如何才能有效地选择数学解题思维的起点呢？

一、从题目的条件中寻找思维起点 1. 直接从题设条件出发运用定义、定理、公式、性质，通过正确的运算，

科学的分析，就可在题设条件和所求问题之间搭起一座桥梁，使思维从桥的这端通达另一端。

2. 挖掘隐含条件，细心审题，使题设条件明朗化，完备化，具体化一边明确方向，寻求解题方法。

二、分析目标的特征选择思维起点 目标是问题要求的结果，它不仅是解题的终点，也是解题的起点，调控着解题的全部思维过程，解题时要分析目标特征，并以此为突破口来建立思维起点。如目标是线段相等，可构造三角形全等、等腰三角形等。目标是线段的积相等，可变形成等比例线段，再找相似三角形，角平分线等。

三、从整体角度选择思维起点 整体代换的基本思想是根据问题的 条件和结论，选择一个或几个代

数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量之目的。一般在计算、化简、求证的消元中，若进行单独消元很繁琐或不可行，往往可以选择整体代换为思维起点。

四、从已知命题的结论和解法选择思维起点 许多数学问题是从已知命题拓展出来的，如果把千变万化的题目归

结到已知命题的结论和解法，思维就会像打开闸门的水流一样流畅。五、运用数学思想方法，选择思维起点、 1. 数学思维方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，运

用数学思想方法作为解题的突破口，往往能收到事半功倍的效果。运用“数形结合”的思想选择思维起点 2. 运用“分类讨论”的思想选择思维起点 分类讨论是一种“化整为零”各个击破的策略思想，它先根据题目

要求确定适当的分类标准，然后对划分的每一类分别求解，如有必要可再加以分类，然后进行综合，从而得出结果。在分类时，要求坚持采用同一标准，作到不重不漏。

六、抓等量关系，选择思维起点 数学解题的思路就是从寻找等量或者不等量开始的，如三角形的一个

外角等于和它不相邻的两个内角和，同底等高的两个三角形面积相等，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等。解题时，要善于根据这些基本关系及这些关系的变形，挖掘出扑朔迷离的题设条件和所求各数量之间的等量关系，由此找到思维起点。

七、由一般到特殊选择思维起点 由于普遍性总寓于特殊性之中，所以常先考虑它的某一特殊情况，从

而得到启迪发现思路，速解题目。特殊法是通过对研究对象的特殊情况，（如特殊数值，特殊图形，特殊位置，特殊判断等）的分析，达到选择或得到一般结论的解题技巧。

八、构建数学模型选择思维起点 借助于抽象或想象构建与问题相关的数学模型，把思维起点选择

在模型建立上，常能使问题化繁为简，化难为易。九、运用“运动与变化的思想”选择思维起点 运动与变化是解数学习题的题本思想方法，数学中的许多基本概

念，如函数、轨迹；许多方法，如换元，变形都体现运动与变化的思想，解数学题的过程中，要去分析理解解题的运动和变化过程，以求得解题思路获得成功。

思维起点的选择方法，远不止上述几种，数学学习的千变万化决定了思维起点的选择没有固定的模式，况且同一学习也可能存在多种选择方法，这就要我们在学习中不断总结，不断探索。

中学数学教学参考（中旬），初中版，月刊，邮发代号： 52----273 ，由陕西师范大学主办。

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