把握新课标，理解新教材，提高教学效益和效率

人民教育出版社中数室 李龙才

为什么改？• 引言——对数学课程改革的回顾• 基本观点——优点、问题及基本认识

改了什么？怎么教？• 课程标准（ 2011 年版）的主要变化• 教材的修订 ( 第三部分 )• 对教学的一些建议 ( 第四、五部分 )

1 、国际数学课程改革的大背景• 新数运动（ 20 世纪 50 、 60 年代）• 回到基础（ 20 世纪 70 年代）• 问题解决（ 20 世纪 80 年代）• 标准运动（ 20 世纪 90 年代至今）

引言——对数学课程改革的回顾

• 美国上世纪 80 年代以来的数学教育改革• 1980 《行动议程—— 80 年代数学教育的建议》• 1989 《学校数学课程和评估标准》• 2000 《中小学数学的原则和标准》• 2006 《学前班到八年级数学课程焦点：寻求课程

的一致性》• 2008 《高中数学的焦点：推理和数学意识》

求变——革新——反思——批判——回归

2 、新世纪我国基础教育课程改革• 上世纪的数学教育改革• 2001 义教数学课程标准实验稿颁布 2005 全部使用• 2004 普通高中数学课程标准实验稿颁布 2012 全部使用• 义教数学课程标准修订 2005 开始 2007 征求意见稿 2010 修改稿 2011 年颁布 2012 使用新教材学习理念 冷静思考 探索创新 实践提高

一、基本观点1 ．坚持我国数学教育的优良传统• 课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言叙述条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行基础训练等；• 教学强调概念理解和基本技能训练，强调为学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等；• 学生学习刻苦，基础扎实，运算能力和逻辑推理能力强等——重视双基，重视培养学生能力；。

2. 我国数学教育存在的（教学）问题要正视• 数学教学“不自然”，强加于人 , 对学生数学学习兴

趣与内部动机都有不利影响；• 缺乏问题意识，解答“结构良好”的问题多引导学

生主动提出问题少，对学生提出问题的能力培养不力 , 进而对学生的创新精神和实践能力培养不利；

• 重结果轻过程，结论记忆多关注知识背景和应用少，“掐头去尾烧中段”，学习过程不完整

• 重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；• “讲逻辑而不讲思想” ，强调细枝末节多 ,关注基本概念、核心数学思想少、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利；• 学生学习方法单一，被动。学生自主归纳抽象结论少，不利于创新精神的培养。

3. 数学课改中应处理好的几个关系把握平衡不走极端 (走中庸之道 ) ，而到达光辉顶点• 学生主体与教师主导• 接受学习与发现学习• 基础与创新• 数学知识、能力与情感态度• 数学化与情境化• 独立思考与合作交流• 过程与结果• 面向全体与因材施教• 书本知识与数学应用……

我们追求的课堂教学• 问题引导学习• 教学重心前移• 典型丰富例证• 提供概括时机• 保证思考力度• 加强思想联系• 使用变式训练• 强调反思迁移

（一）课程总体的变化 课程性质、基本理念、课程内容设计思路、总目标和分段目标等（二）课程内容具体变化　　数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践

二、课程标准（ 2011 年版）的主要变化

（一）课程总体的变化•什么是“数学” ；义教数学课程的定位　修订后：数学是研究数量关系和空间形式的科学 ; 修订后：数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面得到发展。

•核心理念（基本理念） 原课标： 人人学习有价值的数学 人人都能获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发展 修订后： 人人都能获得良好的数学教育 不同的人在数学上得到不同的发展。

• 课程内容及选择（基本理念） 课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的

认知规律。 数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结

果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。

课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系，要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。

• 数学教学（基本理念） 将 “ 数学学习”与“ 数学教学”合成一条，整体阐述数学教学的特征。• 教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。• 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

• 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。• 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，

使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。

• 学习领域及其重点关注内容 原课标： 数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用 数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力　修订后：• 数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践• 确立了“数感”“符号意识”“空间观念”“几何直观”

“数据分析观念”“运算能力” “推理能力” “模型思想”等八个义务教育阶段数学教育的关键词，并给出具体描述。

• 为了适应时代发展对人才培养的需要，义务教育阶段的数学教育要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。

• 课程目标 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知

识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 　通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，

建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界，产生了巨大效益，反过来促进数学科学的发展。

2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。

（二）课程内容具体变化 数与代数 1. 删去的内容•对大数的认识与应用“能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断”•“ 有效数字”的概念•列出一元一次不等式组解决简单的问题2.增加的内容•能用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等（新）•* 会利用待定系数法确定一次函数的解析表达式 （更明确 ,且拓展了范围）

3. 要求上有变化的内容会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根

会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）

掌握等式的基本性质。能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解 体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系。会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单实际问题。

会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。

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（二）课程内容具体变化 图形与几何• “图形的认识”“图形与证明”合并为“图形的性质”。• “图形与变换”→“图形的变化”1. 删去的内容• 关于等腰梯形的相关要求• 探索并了解圆与圆的位置关系• 关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等

• 关于镜面对称的要求

2 增加的内容• 会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类（更明确、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　更全面）• 了解并证明圆内接四边形的对角互补；（新）• 尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形（新）

• *了解平行线性质定理的证明（新）

　六条基本事实 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行 若两个三角形两边及其夹角（两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等的全等 全等三角形的对应边、对应角分别相等

九条基本事实 两点确定一条直线。 两点之间线段最短。 过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 三边分别相等的两个三角形全等 两条直线被一组平行线所截 , 所得的对应线段成比例

了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质

了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明） 在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法

灵活运用不同的方式确定物体的位置 在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 能在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化 坐标与图形运动：在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。……

（二）课程内容具体变化 统计与概率• 三个学段层次更加明确 第三学段：画扇形图，频数直方图，平均数意义、加权平均数，中位数，众数，方差。简单随机抽样。简单随机事件及其发生的概率

• 强调数据分析过程与方法，体现统计核心思想• 强调对“随机”的体会 通过案例了解简单随机抽样；通过表格、折线图等了解随

机现象的变化趋势。• 加强体会数据的随机性• 明确指出所涉及的随机现象都基于简单随机事件• 删去极差、频数折线图

通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果

体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样

在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度

理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度

体会刻画数据离中程度的意义，会计算简单数据的方差

综合与实践 第一学段：以实践活动为主要形式； 第二学段：学生将在教师的指导下，经历有目的、有设计、有步骤、有合作的综合与实践活动；•第三学段：（ 1 ）结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。 （ 2 ）会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验。 （ 3 ）通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力。学生将在教师的引导下，独立思考、合作研究，设计解决具体问题的方案，并加以实施，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。

（一）教材修订的依据（二）教材体系的修订（三）修订中重点关注的一些问题

三、教材的修订

（一）教材修订的依据1 ．课标的变化（略）2 ．教材实验的反馈信息3 ．相关研究的成果

2 ．教材实验的反馈信息 ( 问题 )• 总体上：新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等等。

• “ 新课改后中学数学教材特点的比较研究”课题的调查中发现的一些问题

• 认可教材的主要变化，但实际教学效果不明显。 重视过程 联系实际 数学文化• 学生运算能力、逻辑思维能力降低；解决实际问题能力、

探究能力、数学表达与交流能力没有显著提高。

• 一些具体意见• 关于教材体系 （实数、二次根式、函数）• 关于探究性问题及其解决过程的分析（如何呈现合理

的探究过程） • 关于教材的思想性（研究方法的引导）• 关于联系实际的内容（素材选取、难度控制、与其他

学科配合）• 对一些具体问题的处理（有理数乘法等）• ……

3. 相关研究的成果• 中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理

论与实践• 新课改后中学数学教材特点的比较研究• 中学数学学业评价标准的研究• 中国传统数学与现代数学教育——理论研究与实

践探讨• 教材纵横衔接研究

修订原则：• 关注数学的科学性、教学的合理性，两者兼顾。• 教材体系保持相对稳定，适当调整，考虑使用

教 材的惯性

（二）教材体系的修订

1. 数与代数

方程 函数一元一次方程（七上）二元一次方程组（七下）

一次函数（八下）一元二次方程（九上）二次函数（九上）

反比例函数（九下）

• 一次函数后移，使学生学习函数的难点移后。• 二次函数提前，加强与一元二次方程的联系。• 反比例函数移后，便于学生理解涉及的一些物理等相关知识。

代数式 方程、函数整式的加减（七上） 一元一次方程（七上）

二元一次方程组（七下）整式的乘除与因式分解（八上）分式（八上）二次根式（八下） 一次函数（八下）

一元二次方程（九上）二次函数（九上）反比例函数（九下）

• 二次根式提前，便于解决勾股定理中根式化简等问题。• 分式提前，体现与整式的联系，便于加强学生的运算能力。

• 实数提前，便于学生理解点与实数对的一一对应，以及不等式的解集。

数 坐标系与不等式有理数（七上）实数（七下）

平面直角坐标系（七下）不等式与不等式组（七下）

2. 图形与几何• “ 三角形”与“全等三角形”“轴对称”直接连接，

加强知识的整体性与连贯性。 七上 几何图形初步 七下 相交线与平行线 平面直角坐标系 八上 三角形 全等三角形 轴对称 八下 勾股定理 平行四边形 九上 旋转 圆 九下 相似 锐角三角函数 投影与视图

3. 统计与概率• 数据的收集、整理与描述（七年级下）删分层抽样• 数据的分析（八年级下） • 概率初步（九年级上） 4.综合与实践 数学活动 课题学习• “镶嵌”变为选学内容• 增加课题学习“最短路径问题”（八上轴对称）• 删去课题学习“重心”• 删去课题学习“键盘上字母的排列规律”• 数学活动调整（简单或不易完成的）

数与代数 数 与式 方程 函数

第 1 章 有理数 ( 七上 )第 2 章 整式的加减（七上） 第 3 章 一元一次方程 ( 七上 )

第 6 章 实数（七下） 第 7 章 平面直角坐标系 ( 七下 )

第 8 章 二元一次方程组 ( 七下 )第 9 章 不等式与不等式组 ( 七下 )

第 14章 整式的乘除与因 式分解 ( 八上 )第 15章 分式 ( 八上 )第 16章 二次根式（八下） 第 19章 一次函数 ( 八下 )

课题学习 : 选择方案第 21章 一元二次方程 ( 九上 ) 第 22章 二次函数（九上 )

第 26章 反比例函数 ( 九下 )第 28章 锐角三角函数（九下）

图形与几何第 4 章 几何图形初步（七上） 课题学习 : 制作长方体形状包装盒第 5 章 相交线与平行线（七下） 5.4 平移第 7 章 平面直角坐标系（七下）第 11章 三角形（八上）第 12章 全等三角形（八上） 第 13章 轴对称（八上）

课题学习 : 最短路径问题第 17章 勾股定理（八下） 第 18章 平行四边形（八下） 第 23章 旋转（九上）

课题学习 : 图案设计 第 24章 圆（九上）

第 27章 相似（下）第 28章 锐角三角函数（九下）第 29章 投影与视图（九下） 课题学习 : 制作立体模型

统计与概率第 10章 数据的收集、整理与描述（七下） 课题学习 : 从数据谈节水 第 20章 数据的分析（八下） 课题学习 : 体检后的数据分析

第 25章 概率初步九（上）

七年级上册（ 62 ）第 1 章 有理数（ 19 ）第 2 章 整式的加减（ 8 ）第 3 章 一元一次方程（ 19 ）第 4 章 几何图形初步（ 16 ）

七年级下册（ 62 ）第 5 章 相交线与平行线（ 14 ）第 6 章 实数（ 8 ）第 7 章 平面直角坐标系（ 7 ）第 8 章 二元一次方程组（ 12 ）第 9 章 不等式与不等式组（ 11 ）第 10章 数据的收集整理与描述（ 10 ）

八年级上册（ 62 ）第 11章 三角形（ 8 ）第 12章 全等三角形（ 11 ）第 13章 轴对称（ 14 ）第 14 章 整 式 的乘除与因式 分 解（ 14 ）第 15章 分式（ 15 ）

八年级下册（ 62 ）第 16章 二次根式（ 9 ）第 17章 勾股定理（ 9 ）第 18章 四边形 （ 15 ） 第 19章 一次函数（ 17 ）第 20章 数据的分析（ 12 ）

九年级上册（ 62 ）第 21章 一元二次方程（ 13 ）第 22章 二次函数（ 12 ）第 23章 旋转（ 9 ）第 24章 圆（ 16 ）第 25章 概率初步（ 12 ）

九年级下册（ 48 ）第 26章 反比例函数（ 8 ）第 27章 相似（ 14 ）第 28章 锐角三角函数（ 12 ）第 29章 投影与视图（ 10 ）

• 修订章引言• 修订章小结• 重视学习方法的引导，加强教材的思想性• 加强探究，呈现合理的探究过程• 例题、练习、习题的处理• 推理证明的处理

（三）修订中重点关注的一些问题

例题、练习、习题的处理• 习题的定位——为教科书构建训练系统 数学教科书包括两方面的内容：给人看的内容和给人做的内容，练习、习题就是给人做的内容，练习、习题、复习题构成了教科书的训练系统。要经过循序渐进的训练，使学生达到对内容理解的逐步深入，双基的落实，能力的提高。正文、习题是一个整体，习题是正文的自然延续，是通过训练帮助学生理解正文内容的。

教科书的习题与中考题的定位不同，因此教科书的习题可以兼顾中考（越往后可以兼顾的内容越多），但绝不等同于中考题，要注意对中考题进行加工和改造，要训练本节（章）的核心知识。

　 　 题量、梯度

推理与证明的安排• 直观与推理的结合 使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，逐步养成严谨的思维习惯。

推理论证不仅是证明或推翻猜想，也是发现新结论的重要手段。

• 循序渐进 “说点儿理” “说理” “ 简单推理” “符号表示推理” • 适时安排，起点早• 一以贯之

• 七上 “几何图形初步” 说点儿理• 七下 “相交线与平行线” 说理 简单推理（加强） 　　用符号表示推理（加强）• 八上 “三角形” 要求学生证明（加强） “ 全等三角形” “轴对称”• 八下 “勾股定理”“平行四边形”• 九上 “旋转”“圆”• 九下 “相似”

一以贯之

循序渐进

• 适当加强对“推理与证明”的要求 在“相交线与平行线”适当加强推理与证明，结合实例从“说理”到“简单推理”，并正式出现“证明”（让学生看到完整的证明，不要求学生完整证明，要求学生会填空完成一些关键步骤和填理由），注意循序渐进，推理的步骤控制好长度．

相关章节对证明的要求适当增加。• 正式出现“证明”之前，循序渐进给出严格的推理的符号语言。

• 在图 5.1-2 中，∠ 1 与∠ 2互补，∠ 3也与∠ 2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠ 1= 3∠ ．同理，∠ 2= 4∠ ．这样，我们得到： 对顶角相等．• 上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式： 因为 ∠ 1 与∠ 2互补，∠ 3 与∠ 2互补（邻补角的定义）， 所以 ∠ 1= 3∠ （同角的补角相等）．

• 章引言、章小结• 重视学习方法的引导，加强思想性• 加强探究，呈现合理的探究过程

四、教学中应重点关注的一些问题

1. 加强章引言、章小结的教学 引言是全章的起始、序曲，是全章内容的引导性材料，具有先行组织者的重要作用。好的引言，对于加强基本思想教学、培养发现和提出问题的能力等都有重要作用。

• 引言的主要内容 1. 本章内容的引入。借助适当的问题情境（实际的或数

学内部的）引入本章内容（体现必要性）。 2. 本章内容的概述。使学生了解本章内容的概貌。 3. 本章方法的引导。使学生了解本章的主要数学思想方法和学习（研究）方法。

• 引言的关键在于“引”。“引”就是引发兴趣、引起求知欲、引出知识、引导方法。引言是针对学生的，素材的选取要贴近学生生活实际，要与学生当前的认知水平相适应，语言要生动活泼。

• 体现内容特点。对于某一领域的开篇，可以从宏观整体角度进行适当引导（如“有理数”，以“数系的扩展”为指导思想，按“引入新的数——运算——运算律”的线索加以阐述）；知识发展过程中的某一章，要注意与已学内容的联系（如“平行四边形”，要注意引导学生借助三角形的学习经验）；对于某些不能严格化的内容，可以用“模糊但不错”的方式处理（如“实数”，不能拘泥于严谨的要求）。

• 与章头图的配合。“章头图”与“章引言”是有机整体，要尽量做到图文并茂、相互映衬。

• 与小结呼应。引言与小结分别是一章的序曲和尾声，要注意两者相互呼应，还要注意两者的差异。引言中的内容概述、方法引导目的是“了解概貌”，宜以具体例子为载体；小结中的内容及其思想方法的总结，目的是“把握本质”。

例 ：有理数的引言

例 ：相交线与平行线的引言

例 ：平行四边形的引言

章小结 小结是对全章内容的梳理，是对本章内容所反映的主要

思想方法归纳概括。小结对于提高教材的思想性，帮助学生“由厚到薄”地再认识本章内容，以及帮助教师提升教学的“立意”，都有重要作用。

• 小结的主要内容 （ 1 ）本章知识结构图。以框图形式表示本章知识要点、发展脉络

和相互联系。可以是结构图（本章知识结构），也可以是流程图（本章内容展开过程）。

（ 2 ）回顾与思考。 “回顾”是对本章内容的整体概述，阐述本章内容之间、本章内容与其他内容之间的联系，揭示本章内容反映的思想方法、研究方法等。

“ 思考”是以问题形式引导学生回忆、总结全章内容，深化对本章核心内容及其反映的数学思想方法的理解。

例：“相交线与平行线”小结

例：平行四边形小结

2. 重视学习方法的引导，加强思想性• 加强思想性，有利于学生形成对数学的整体性认识，从

而有利于实现数学教学的育人价值。• 代数内容要体现数、式、方程、函数的发展脉络，要在相关章节（有理数、实数、整式加减、整式乘除、分式、二次根式）体现“从数到式”的研究内容和方法等；在其他内容（几何、概率统计等）的编写中，体现相关学科的研究方法等。

• 注意类比、推广、特殊化等研究方法的渗透与概括，加强研究方法的引导，积累学生的数学活动经验。

• 数式通性——分式的“小结” 分式与分数具有类似的形式，它们也具有类似的性质和运算．本章通过与分数进行类比，得出分式的基本性质，引入分式的运算．本章还学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法，并应用这种分式方程解决简单的实际问题．解分式方程的基本思路是先通过去分母将分式方程化归为整式方程，进而求整式方程的解，再经过检验得到分式方程的解． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．　　　　　　　　　　　　1.　如何用式子形式表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？ 2……

例：如何研究平行四边形• 研究的问题　　一般四边形：组成元素、度量（内角和等问题）；　　特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；　　　　　　边的特殊—— “ ” “平行四边形：性质和判定； 性质 研究的是在 平行四

”边形 的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、“ ”内角的关系、对角线的关系等； 判定 研究的是具备什么条件的四边

形才是平行四边形；其他度量问题；　　　　　　角的特殊——矩形，边的特殊——菱形，边角都特殊——正方形，都要研究性质和判定。

• 研究的方法　　 化归为三角形、平行线等已有知识。 特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形——直角

三角形；菱形——等腰三角形。

例：三角形全等条件的研究思路（引导学生形成数学的基本思想、基本活动经验）

不采用探究形式，作为探究 3得出结论后的拓展。

不采用探究形式，作为探究 5得出结论后的拓展例题。

改为思考栏目，思考后归纳。

3. 加强探究，呈现合理的探究过程 在教学过程中加强探究性，是积累学生的数学活动经验的需要，也是培养学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力的需要。

• 更加注重展现知识的来龙去脉，引导学生的思维活动，给学生一条观察事物（情景）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，以增强学生的数学活动经验，利于发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力的培养。

• 随着知识储备的增加，不断加强“探究”的理性思维成分。什么样的过程才是合理的？是不是每个内容都要经历观察、思考（探究）、猜想、证明的完整过程？

例：对顶角相等的探究

例：平行四边形的性质

• 我们研究了平行四边形的组成要素边、角的性质，下面我们研究平行四边形对角线的性质。

• 探究 如图 ×××，在中，连接 AC ， BD ，并设它们相交于点 O ， OA 与 OC ， OB 与 OD 有什么关系？你能证明它们吗？

例：平行四边形的判定•思考 通过前面的学习，我们知道，平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。反过来，对边相等、对角相等、对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？也就是说，平行四边形性质定理的逆命题成立吗？ 可以证明，逆命题成立，这样我们得到平行四边形的判定定理： ××× 下面我们以对角线互相平分为例来进行证明。 ××ו平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理，也就是说，当条件与结论互换以后，命题仍然成立。• 思考 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形。如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时四边形是平行四边形呢？

例：矩形、菱形、正方形的性质和判定• 思考 由于矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质。由于它的一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

• 对于矩形，我们仍然从它的边、角、对角线等方面进行研究，可以发现并证明（请你自己完成证明），矩形还有以下性质：• 矩形的四个角都是直角；• 矩形的对角线相等．• 思考 由于菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质。由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

• 与平行四边形类比，从判定逆命题角度考虑判定定理• 上面我们研究了矩形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是矩形．• 由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？• 与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立．• 思考　　前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角。它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形吗？

• 有理数的乘法法则 为了突出体现在具体实例的基础上，归纳给出相关

概念、法则的编写思路，从引入负数后的乘法算式分类开始，由两个正数的乘法逐步过渡到“负负得正”。注意在此过程中体现数域扩充过程中，运算法则的一致性

规定的乘法运算需满足满足运算律（分配律）——希望保持分配律 a （ b+　c ） = ab　+ ac▶例如，由 0=3　×0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=　3　×[5+(－ 5)]=3　×5+　3　×　(－ 5) 得 3　×　(－ 5)=— （ 3　×5　 ）； 类似地（－ 3 ） ×5　=— （ 3　×5　 ）； 由（－ 3 ） ×0=　 （－ 3 ） ×(0+0)=　 （－ 3 ） ×0+　 （－ 3 ） ×0　 ， 得（－ 3 ） ×0=　0 ； 由 0= （－ 3 ） ×0　　　　　　　　　　=　 （－ 3 ） ×[5+ （－ 5 ） ]=　 （－ 3 ） ×5+ （－ 3 ） × （－ 5 ）， 得（－ 3 ） × （－ 5 ） = － [ （－ 3 ） ×5] ＝－（－ 15 ）＝ 15　　

从数系扩充的角度看

• 原来的做法 讨论性质时， k＜ 0 和 k＞ 0 的情况同时出现。 • 现在的做法 为层次清楚，按照 k＜ 0 和 k＞ 0“ 分类”讨论性质，突

出与一次函数性质研究方法的类比。 • k＞ 0 时：描点画图→观察图象→归纳性质（增减性）→

回到解析式解释。• k＜ 0 时：学生自己探究。• 不讨论对称等几何性质。

反比例函数性质的讨论

• 理解数学是教好数学的前提• 提高研究教材的水平• 重视概念教学• 提好的问题，设计自然的教学过程

五、对教学的一些建议

1.“ 理解数学”是教好数学的前提 理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意

义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。

• 理解教学内容，弄清“是什么” ；• 理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念； • 理解教学内容所反映的思想方法。

例：概率教学中的一些错误理解• 必然事件与概率为 1 等价，不可能事件与概率为0 等价，随机事件的概率大于 0 而小于 1 。

• 频率的稳定值就是概率的估计值。 • 随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。

lim ( ) 1n

mP pn

limn

m pn

例：总体与个体的定义 学校要了解七年级学生的身高情况，进行抽样调查，总体是（ ）。 (A) 全校学生 (B) 全校学生的身高 (C)七年级所有学生 (D)七年级所有学生的身高例：一、“数轴”的内容与内容解析•内容数轴的概念，用数轴上的点表示有理数．

• 内容解析数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，是把数和形统一起来的第一次尝试．数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标系．数轴使数的概念和运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数有了直观意义．这不仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题（例如，相反数、绝对值、大小比较等）． 用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要求的意义需要学生逐渐体会）．在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的．这时，我们有——

原点 O （原点是区分方向的“基准”， 0是区分正负的基准） 单位长度 1 （单位长度是度量线段长度的单位， 1 是实数单位，“单位”实际上给出了一个统一的标准．） 方向符号（ A ， B 两点“位置差别”的定量化必须且只需“方向”和“长度”．数轴上，方向只有“左”“右”两种，可以理解为“相反方向”．负数在数轴上与正数具有“相反方向”，其实际意义就是描述现实中的“相反意义的量”．确定一个实数，需要“符号”和“绝对值”两个要素，它们正好对应了定量化定义 A ， B 两点“位置差别”的“方向”和“长度”．）

• 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性，感受其中的数形结合思想．

2. 提高研究教材的水平 仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题是经过精挑细选的。 　内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换的时候要想清楚 : 什么是好例子 ?

例：等腰三角形在轴对称之后研究

例：“数轴”中的三个图 —— 三次抽象的过程

抽象概括数轴定义的时候

3.重视概念教学• 概念教学的核心——概括（同类事物的共同本质特征）　　概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。

• 概念教学的基本环节• 概念的引入——从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；• 概念的形成——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；• 概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；• 概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；• 概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；• 概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。

例：反比例函数概念的教学• 匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；

……• 让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；• 下定义——给出反比例函数的文字和符号描述；• 辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数 y=1/x2是不是反比例函数；• 例题—— “ ” “用概念作判断的 操作步骤 ，强调 自变量 x 与相应的函数值 y ”是否成反比例关系 ，可以用反例让学生

“ ”分析，使学生进一步明确 求反比例函数 的含义；• 通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明

“ ”确反比例函数反映了 一类事物 的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。

关于概念教学的一些要求（ 1 ）采取“归纳式”进行概念教学，让学生经历概 念的概括过程；（ 2 ）正确、充分地提供概念的变式；（ 3 ）适当应用反例；（ 4 ）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元 联系表示”；（ 5 ）精心设计练习，巩固应用概念。

4. 提好的问题，设计自然的教学过程• 问题引导学习 提好的问题，有意义、适度、恰时恰点• 设计自然的过程 体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数

学知识的认识过程。• 核心是引导学生自己概括出数学的本质，使学生在数学

学习过程中保持高水平的数学思维活动。

关键点 关节点 联结点 发散点 最近发展区 • 度 君子之教，喻也：道而弗牵；强而弗抑；开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和、易、以思，可谓善喻矣。• 优秀教师的教学，善于诱导。他对学生引导但不牵着走；严格要求但不过分施压；开导但不和盘托出。道而弗牵就使教与学的关系和谐；强而弗抑就使学生对学习感到快、易而不产生畏难情绪；开而弗达就可培养学生独立思考而自求答案。使学生做到了不畏难，感到快、易而又能独立思考，就可以说是善于诱导了。

• 如何提问题

例：不等式的性质的引入• 不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。（先行组织者）

• 你能回忆一下等式的基本性质吗？• 等式的基本性质的实质是什么？（“运算中的不变

性”）• 类似的，不等式有哪些基本性质呢？• 尝试、验证、归纳。

例：相似三角形判定

关于“数轴的教学设计”（续）二、“数轴”的目标和目标解析1 ．目标（ 1 ）了解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；（ 2 ）体会数轴三要与有理数集（实数集）中 0 ， 1 ，数的符号之间的对应关系，从而体会数形结合思想． 2 ．目标解析　　达成目标（ 1 ）的标志是：学生知道数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线；给定一个有理数，学生能在数轴上找到表示它的点；能画出数轴，并用数轴上的点表示有理数．　　目标（ 2 ）是“内容所蕴含的思想方法”，学生需要体会的是在“用点表示数”时，数轴“三要素”保证了点与数的“一一对应”——给一个数，就有唯一确定的点与之对应；反之，给一个点，就有唯一的数与之对应．但本节课只要能体会有理数与数轴上点的对应性，不要刻意强调“给一个点，不一定有一个有理数与之对应”．

三、教学问题诊断分析•学生第一次遇到用形表示数的问题，困难在于其中蕴含的思想．可以借鉴引入负数时的经验，也要借鉴学生的生活经验．但在基本思想上，还是要借助于具体情境，教师先讲解，学生获得体验后进行模仿式举例．•本节课中，“三要素”及其对于确定“数轴上的点”的意义（根据“三要素”，可以在数轴上找到唯一确定的点，否则“存在性”“唯一性”就做不到），有理数集（实数集）中 0 ， 1 以及数的符号等与数轴上的相关要素的对应性，都需要教师引导．　本课的教学难点是：数轴“三要素”与有理数集（实数集）中 0 ， 1 以及数的符号的对应．

例 “数轴”的教学过程设计 1 ．问题情境下的三次概括• 问题 1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东 3 ｍ

和 7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西 3m 和 4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

• 师生活动： 学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画图演示． 学生画图后提问： （ 1 ）马路可以用什么几何图形代表？（直线） （ 2 ）你认为站牌起什么作用？（基准点） （ 3 ）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）• 设计意图：“三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题．这是实际问题的第一次数学抽象．

• 说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示．有不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便．

• 问题 2 上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义．我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？• 学生画图表示后提问： （ 1 ） 0 代表什么？（基准点） （ 2 ）数的符号的实际意义是什么？（方向） （ 3 ）如图，在一条直线上， A ， B 的距离等于 B ， C 的距离， B点用 3 表示， C 点用 7.5表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符） E D O A B C － 4.8 － 3 0 1 3 7.5 （ 4 ）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系．例如，－ 4.8表示位于汽车站牌西侧 4.8 m处的电线杆．你能自己再举个例子吗？• 设计意图：继续以“三要素”为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础．

• 问题 3 大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？

• 教师可以先解释 0 度的含义（冰水混合物的温度规定为 0度——温度的基准点）．

• 设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用．引导学生用“三要素”表达，为定义数轴概念提供有一个直观基础．

• 问题 4 你能说说上述两个实例的共同点吗？• 设计意图：进一步明确“三要素”的意义，体会“用点表示数”和“用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础．

2 ．定义、辨析数轴概念• 明确数轴的概念，并请学生带着下列问题阅读教科书： （ 1 ）画数轴的步骤是什么？ （ 2 ）根据上述实例的经验，“原点”起什么作用？（“原点”是数轴的“基准”，表示0 ，是表示正数和负数的分界点．） （ 3 ）你是怎么理解“选取适当的长度为单位长度”的？（与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些．等） （ 4 ）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的数 ；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数 ．（宏观看大小）• 设计意图：明晰概念，并让学生在教师设计的引导问题中，加深对数轴概念中“三要素”的理解．

3 ．练习、巩固概念 （ 1 ）课本练习 1 ， 2 ； （ 2 ）数轴上表示 3 的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？表示数 -2 的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？设 a 是一个正数，对表示a 的点和表示－ a 的点进行同样的讨论．

• 设计意图： 练习（ 1 ）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示

的有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所有的有理数都可以用数轴上的点表示．

练习（ 2 ）通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位置（原点左右）点的特点．培养学生的抽象概括（由具体的数到字母表示的数）能力．

4 ．小结、布置作业• 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答

以下问题： （ 1 ）本节课学了哪些主要内容？ （ 2 ）数轴的“三要素”各指什么？它们各起什么作用？ （ 3 ）你能举出引进数轴概念的一个好处吗？• 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握

本节课的核心——数轴“三要素”，感受通过数轴把数与形结合起来的好处．

• 布置作业： 教科书练习第 3 题，习题 1.2 第 2 题．

课堂教学的“六字经”• 问题引导学习• 教学重心前移• 典型丰富例证• 提供概括时机• 保证思考力度• 加强思想联系• 使用变式训练• 强调反思迁移

请批评指正！谢　谢！

•人民教育出版社中学数学室　李龙才 010-58758330　　 lilc@pep.com.cn