質点⇒質点系⇒連続体（弾性体〔＝固体〕 ⇒ 流体〔＝液体・気体〕）

Supplemental Study of Physics

Tokyo Medical and Dental University

流体質点⇒質点系⇒連続体（弾性体〔＝固体〕⇒流体〔＝液体・気体〕）

弾性体と流体の中間の性質をもつ粘弾性体というのもある（＝短い時間でみると弾性体、長い時間でみると流体）ex.ゴム、アスファルト、硬質油

流体の分類方法 I：非圧縮性流体（液体）と圧縮性流体（気体）流体の分類方法 II：非粘性流体（理想流体）と粘性流体（実在流体）非圧縮とは圧縮応力によって生じる体積変化が無視できること（ちなみに流体では引張応力は発生しない）非粘性とは隣合う領域間に発生する摩擦が無視できること非粘性流体＝オイラー流体、粘性流体（の一部）＝ニュートン流体粘性流体には粘弾性流体など非ニュートン流体も含まれている



静止流体流体の静止条件

1. どの点をとっても剪断応力は面の方向によらず 02. ある点における圧縮応力は面の方向によらず同じ（パスカルの原理、静水圧）

アルキメデスの原理（浮力）

21 SPMgSP VM

LSV

21 PLgP

1P

Mg

2P

S

L

S

ここで更に高さの影響が無視できればパスカルの原理

注：密度　は一定⇒非圧縮性流体

V



流線と流跡線

kdzdv

dydv

dxdv zyx 1const.

流線＝ある時刻における速度場＝ある時刻における各粒子の速度ベクトルをスムーズに結んだもの

流跡線＝ある粒子の軌跡＝ある粒子の速度ベクトルを時系列に沿って結んだもの

zyz kdvkdvkdvkdd ,, vs

dtvdtvdtvdtd zyz ,,vs

定常流（時間変化しない流れ）の場合、両者は同じ非定常流の場合、両者は異なる



運動の記述

流線⇒オイラー法＝時刻を固定して場全体の現象をみている

流跡線⇒ラグランジュ法＝粒子を固定して現象をみている

000 ,, zyx

質点の運動はラグランジェ法で考えていたが、流体の運動はオイラー法で考えたほうが考えやすい

独立な座標

t

zyx ,,t

位置時刻

位置時刻

独立な座標 ←時刻　における粒子の位置

←時刻　における粒子の位置

0t

t

場（流れ場）の考え方⇒ 20世紀の物理学の特徴の一つ

粒子一つ一つを見分けるのが困難な流体においては、特定の粒子に注目しての観測は場全体の観測よりも難しい



物理量の変分

オイラー法

運動方程式をたてるときは特定の粒子に注目する必要がある⇒流跡線に沿って速度を微分して加速度を得なければならない

tzyxGG ,,, 000ラグランジュ法

tzyxGG ,,,

ttGtzyxGttzyxGG

,,,,,, 000000

ttGtv

zGtv

yGtv

xG

tzyxGtttvztvytvxGG

zyx

zyx

,,,,,,

tGv

zGv

yGv

xG

tG

DtDG

zyxt

0

lim ・・・ラグランジュ微分



全微分

オイラー法

tzyxGG ,,, 000ラグランジュ法

tzyxGG ,,,

dttGdt

zGvdt

yGvdt

xGv

dttG

ttdt

zG

tzdt

yG

tydt

xG

txdG

zyx

dttG

dttG

ttdt

zG

tzdt

yG

tydt

xG

txdG

000



ラグランジェ微分

zGv

yGv

xGv

tG

DtDG

zyx

zyx

,, ・・・ナブラ

GtG

DtDG

v

vtDt

D

zv

yv

xv

tDtD

zyx

),,( zyx vvvv

),,( wvuvではなく

を用いることも多い



grad, div, rot勾配／ grad

発散／ div

ナブラ・スカラー量＝ベクトル量

zf

yf

xff ,,

ナブラ・ベクトル量＝スカラー量

ナブラ ×ベクトル量＝ベクトル量回転／ rot, curl

zf

yf

xf zyx

f

yf

xf

xf

zf

zf

yf xyzxyz ,,f



grad, div, rotの性質勾配／ grad

発散／ div

ナブラ・スカラー量＝ベクトル量

ナブラ・ベクトル量＝スカラー量

ナブラ ×ベクトル量＝ベクトル量回転／ rot, curl

0 f

0 f

fff 2

ラプラシアン

fff 2



ガウスの定理ストークスの定理

VS

dVd fSf

スカラー関数の不定積分の公式に対応している

閉曲面　は体積　の表面S V

b

adxxfaFbF

ガウスの定理

Sl

dd Sflf 閉曲線　は面積　の周囲Slストークスの定理

zyxfzyxfzyxfzyx zyx ,,,,,,,,,, fベクトル関数



ガウスの定理の証明

Vxfzyxzyx

xf

zyzzyyxfzyzzyyxxf

SfSf

xx

x

x

zyxxzyxxx

,,

2,2,2,2,

,,,,

　軸に垂直な面についてx微小な直方体に分割して考え、それらを足し合わせる。

向かい合う面は法線ベクトルの向きが逆なので、面積分を足し合わせると相殺される。結局面積分は表面だけが残る。

x

yz

x

zyxxS ,,zyxS ,,V



ストークスの定理の証明

yxyf

xf

yfxyyff

yxxf

fxf

yzyyxfxzyyxxf

yzyyxxfxzyxxfd

xy

yx

x

yyx

yx

yxz

,2,,,2

,2,,,2lf　平面に射影した閉曲面についてxy

微小な曲面に分割して考え、それらを足し合わせる。

x

y

xx x

yyy



位置⇒速度⇒加速度

xzyx vzxv

yxv

xxv

tx

DtDx

),,,(: tzyxxxG

xxx vt

vDt

Dv

v

),,,(: tzyxvvG xx

01

00

,,,,

,,,,

tyxtzy

tzxzyx

zx

zx

xx

xx

yx

yx

tx

tx

・・・加速度（運動方程式に使う）



質量保存側

質量増加率

質量流入量率

両者は等しいはず！

VS

VV

dVd

dVt

dVt

vSv

0 v

t

vvvv

DtD

tt

（ガウスの定理）

（微分と積分の順序交換）

0 vDtD

・・・質量保存側



体積膨張率

体積膨張率

1

DtDMM

DtD

DtDV

vDtD

1

v

1111122 Dt

DDtD

dd

DtD

DtD

質量保存側よりであるから

非圧縮性流体（液体）の場合密度　は一定

01

Dt

D 0 v

vv VMDtDV



積分関数のラグランジェ微分

VdVtfI ,x

*

*

**

***

**

,,,1lim

,,1limlim

0

00

V

V

VV

SVVt

VVVtt

dVfDtDf

dVfftf

dVfdVtf

dStttfdVtfdVttft

dVtfdVttftt

IDtDI

v

vv

v

nvxxx

xx

ガウスの定理



運動量V ii dVvp

*

*

*

*

Vi

V ii

V iii

V iii

dVDtDv

dVDtDv

DtDv

dVvDtDv

DtDv

dVvDt

vDDtDp

v

v

v

iVii FdV

DtDv

DtDp

*

質量保存側

運動量変化率＝力：運動方程式（ cf.(2.4)式教科書 p.32）



構成方程式

jiji

ij

ijzzyyxxij ,2

,2

ji

jip

ij

ijzzyyxxij

,2

,232

フックの弾性体

ニュートン流体

211

E

12EG

dydvx

xy ：体積粘性係数（普通は 0としてよい）：（ずれ）粘性係数



運動方程式

jV

j

ji

V i

jS jjiV i

Vii

dVx

dVX

dSndVX

dVDtDv

DtDp

*

j j

jii

i

xX

DtDv

・・・運動方程式

ガウスの法則



非圧縮性流体非圧縮の場合 0

zzyyxxzyx

zv

yv

xv v

jijip

ij

ijij

2,2

j j

i

i

j j

j

ij j

i

i

j i

j

jj

i

ji

j i

j

j

i

jij j

ji

xv

xp

xv

xxv

xp

xv

xxv

xxp

xv

xv

xxp

x

2

2

2

2

微分順序の交換

0

zv

yv

xv zyx



非圧縮性流体の運動方程式

j j

i

ii

i

xv

xpX

DtDv

2

2

・・・非圧縮性流体の運動方程式

vXvvvv 21

ptDt

D

ii

iiii v

xpXv

tv

DtDv 21

v



非圧縮・非粘性流体の定常流

pUvv

非粘性

定常流

0

0

tv

重力（ポテンシャル力） gzg z eX

gzU

ababbababa vvvvvv 2

vvvvvv 21



ベルヌーイの定理の導出

pUvv

21

渦なし（層流） 0v

const.21 2

pgzv ・・・ベルヌーイの定理

渦あり（乱流）

流線に沿って積分

const.21 2


Cds

0v

svv dsv d//



ベルヌーイの定理const.

21 2


左辺各項を、速度ヘッド、重力ヘッド、圧力ヘッドという定理の意味「速度が速くなればなるほど圧力は低くなる」「位置が多角ならばなるほど圧力は低くなる」

質点⇒質点系⇒連続体（ 弾性体〔＝固体〕 ⇒ 流体〔＝液体・気体〕 ）

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