ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الرابع...

ـتاذاألس أعداد

جديدة طبعة

ومنقحة

للعام الدراسي

2017

لجميع أمثلة وتمارين الفصل الرابعمفصل شرح .

للفصل الرابعحلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية .

أسئلة أضافية محلولة.

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

304

التكامل/رابعالفصل ال

ة مستوة ماجاد لمة تمربة لمساحة منط

كميا 𝒂,𝒃 المنطمة المحصورة بنها وبي اححيدا السين اي الفتيرة 𝑨 دالة ) منحن ( وكانت 𝒇أذا كانت

المحددة بالرسم . 𝑨 هو مب ا الشكل أدناه , امكننا أجاد مساحة المنطمة

مالحظات :

, نرسم مستطال م أدنى نمطة ا المنحن ضم الفترة ① 𝟏 ونرمز له بالرمز

, ى نمطة ا المنحن ضم الفترة علنرسم مستطال م أ ② 𝟐 ونرمز له بالرمز

. 𝟐 و 𝟏 نوجد مساحة المنطمت المستطلت ③

على المانو باالعتماد Aالمنطمة الممة التمربة لمساحة المطلوب هو حساب ④ 𝟏 𝟐

𝟐

مساحة أي منطمة ه عدد حمم غر سالب ⑤

𝟏 أذا كانت ⑥ 𝟐 مساحة مساحة 𝟏 اأ مساحة 𝟐

النمياط اي نهيات الفتيرة الميذكورة اي السي ال إحيدا اتمكننا تحدد أبعاد المنطمت المسيتطلت مي ليالل ⑦

. وتعوضها ا الدالة احصلة

حث بالرمز 𝟏 نرمز حرتفاع المستطل الصغر ⑧

حث بالرمز 𝟐 حرتفاع المستطل الكبرنرمز ⑨

, } ث ح Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة /(1)م ال 𝟐 𝟓, 𝟎 , √ 𝟏}

/الحل

𝟓 𝟐 𝟑

𝟐 √𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑

𝟓 √𝟓 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑 𝟔

𝟐 𝟗

𝟐 𝟒

𝟏

𝟐 𝟐

𝟒𝟏

𝟐 𝟐 المساحة التقربة للمنطقة


305

, } حث Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة /(2)م ال 𝟏 𝟐, 𝟐 𝟏}

/الحل

𝟐 𝟏 𝟏

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓 𝟏 𝟓

𝟏 𝟐

𝟐 𝟐 𝟓

𝟐 𝟕

𝟐 𝟑

𝟏

𝟐 𝟐

𝟑𝟏

𝟐 𝟐 المساحة التقربة للمنطقة

, } حث Aة ماوجد لمة تمربة لمساحة المنط م ال / 𝟏 𝟑, 𝟎 , 𝟐 𝟏}

/ الحل 𝟑 𝟏 𝟐

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒

𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟎

𝟏 𝟐

𝟐 𝟒 𝟐𝟎

𝟐 𝟐𝟒

𝟐 المساحة التقربة للمنطقة 𝟐 𝟏𝟐

, } حث Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة م ال / 𝟐 𝟓 , 𝟑 𝟐 𝟐}

/ الحل

𝟓 𝟐 𝟑

𝟐 𝟐 𝟐 2 2 2 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝟑 𝟑𝟎

𝟓 𝟓 𝟐 2 2 𝟕𝟑 𝟐 𝟕𝟑 𝟑 𝟐𝟏𝟗

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑𝟎 𝟐𝟏𝟗

𝟐 𝟐𝟒𝟗

𝟐 𝟏𝟐𝟒

𝟏

𝟐 المساحة التقربة للمنطقة 𝟐

, } حث Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة واجب :/ 𝟏 𝟒, 𝟎 , 𝟐 𝟏}


306

مساحة منطمة مستوة بدلة أكبر

Ⓘ نجزأ الفترة المعطاة , طول الفترة ن كو لوبذ (n)عدد الفترات هو الى اترات حسب الطلب ولك

,𝟏 حث أ )سكما ( (𝛔)بالرمز ( n,…,1,2)حث رمز لالعداد م 𝟐, 𝟑, 𝟒, ,

𝟏 تساوي حث Aدالل مساحة أكبر منطمة مستطلة نحسب ② 𝟐 𝟑

𝟏 )حث تساوي Aدالل مساحة أصغر منطمة مستطلة نحسب ③ 𝟐 𝟑 )

حسييب المييانو التييال Aمسيياحة المنطميية نجييد ④∑ ∑

ونالحييظ أنييه كلمييا زادت عييدد نميياط التجز يية اييأ

أك ر دلة . (A)وتصبح الممة التمربة لمساحة المنطمة المحصلة النها ة تمل

, } حيييث Aاوجيييد لمييية تمربييية لمسييياحة المنطمييية /( )م يييال 𝟐 𝟓 , 𝟐 وذلييين {𝟏

التجز ة باستلدام

𝟏 𝛔𝟏 𝟐, 𝟑, 𝟓

𝟐 𝟐 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 /الحل

𝟏 𝛔𝟏 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝟐, 𝟑 𝟑, 𝟓

𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐𝟎 𝟐𝟓

𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟑 𝟐

𝟏 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟔 𝟏𝟎 𝟓𝟐 𝟔𝟐

𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐)

𝟐 𝟐𝟓 𝟔𝟐

𝟐 𝟖𝟕

𝟐 𝟒𝟑

𝟏

𝟐 𝟐

𝟒𝟑= القمة التقربة لمساحة المنطقة ∴𝟏

𝟐 𝟐

/الحل

𝟐 𝛔𝟐 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 𝟐, 𝟑 𝟑, 𝟒 𝟒, 𝟓

𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 𝟒 𝟑 𝟏 𝟓 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟕 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟑𝟐

𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟕 𝟏 𝟐𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟐𝟔 𝟓𝟑

𝟏 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟐 𝟑)

𝟐 𝟑𝟐 𝟓𝟑

𝟐 𝟖𝟓

𝟐

𝟒𝟐𝟏

𝟐 القمة التقربة لمساحة المنطقة 𝟐

, } حث Aواجب :/ اوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة 𝟐 𝟓 , 𝟎 , 𝟐 𝟑}

𝛔 𝟏 وذلن باستلدام التجز ة 𝟏 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓


307

المجامــــع العلا والمجامع السفلى

بالرمز للمجامع العلا رمز , , بالرمز للمجامع السفلى ورمز , أ حث ,

: سنعتبر الدالة , , مستمرة على الفترة حث مك أ تكو الدالة متزادة أو متنالصة أو تحتوي على نمطة حرجة

أذا كانت التجز ات متساوة والدالة ه عبارة ع ابت ا هذه الحالة تساوى المجموع احعلى مع المجموع احسفل

نعوض الرلم احكبر الذي تنته به الفترة نعوض الرلم احصغر لبداة الفترة واذا اردنا استلراج اذا أردنا استلراج

هي لى نمطة حرجة نحسب لم بداية الفتيرة ونهاتهيا ولمية النمطية الحرجية وتكيو الممية الصيغرة أحتواء الفترة الجز ة عحالة ا

والممة احكبر ه

اييأ ميي المتولييع ظهييور المجموعيية السييفلى 𝟎 أذا لييم نشييترط أ تكييو , وبالم ل عييدد موجييب أو سييالب أو صييفر

, للمجموعة العلا سنألذ أم لة لتوضح النماط السابمة بالتفصــــــــــــــــــــــــــــــل واح

𝟓 ليييتك /(4)م يييال ,𝟏 وليييتك 𝟐 , اأوجيييد المجميييوع احسيييفل 𝟒 والمجميييوع

, احعلى

/الحل

𝟓 ( الدالة متزادة) 𝟐 𝟐

𝟑 𝟒 𝟏

𝟑( ثالث فترات) 𝟏 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟗 𝟗 𝟏 𝟏 𝟕 𝟕 𝟏 𝟐 𝟗 𝟏 𝟏 𝟕 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟏 𝟗 𝟗 𝟐 𝟑 𝟏𝟏 𝟐 𝟐 𝟗 1 [2,3]

𝟑 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟑 𝟑 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟑 𝟑 𝟑 𝟏𝟏 1 [3,4]

, ∑ 𝟕 𝟗 𝟏𝟏 𝟐𝟕

, ∑ 𝟗 𝟏𝟏 𝟏𝟑 𝟑𝟑


308

,𝟎 ولييتك 𝟐 𝟑 لييتك /(5)م ييال , اأوجييد المجمييوع احسييفل 𝟒 والمجمييوع

, احعلى منتظمة تمستلدما أربعة تجز ا

/الحل

𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒

𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 𝟑 𝟑

𝟐 𝟎, 𝟒

𝟑

𝟐 𝟏, 𝟐 𝟏 𝟐 (

𝟑

𝟐)

𝟗

𝟒 𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟒 , 𝟐

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 1 [0,1]

𝟐 𝟏 (𝟐𝟏

𝟒) 𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐

𝟑

𝟐 𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 1 [1,2]

𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟎 1 [2,3]

𝟒 𝟏 𝟎 𝟎 𝟒 𝟏 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟒 𝟒 1 [3,4]

, ∑ 𝟎 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐

, ∑ 𝟐 𝟐𝟏

𝟒 𝟐 𝟔

𝟏

𝟒

مالحظة :

,𝟏 تحتوي الفترة الجز ة على نمطة حرجة لذا نحسب لم بداة الفترة ونهاتها ولمة السابك (5)ا الم ال 𝟐

والممة احكبر ه النمطة الحرجة وتكو الممة الصغرة ه


309

𝟐 لتك م ال / ,𝟏 ولتك 𝟑 𝟐 , اأوجد المجميوع احسيفل 𝟑 والمجميوع احعليى

, ,𝟏 علما أ 𝟎, 𝟐, 𝟑

الحل /

𝟏, 𝟎 , 𝟎, 𝟐 , 𝟐, 𝟑

𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎, 𝟐

𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 , 𝟑

طول الفترة

الفترة

[a,b] 𝟏 𝟏 𝟔 𝟔 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟔 𝟏 𝟎 𝟑 1 [-1,0]

𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 2 [0,2]

𝟑 𝟏 𝟔 𝟔 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 1 [2,3]

, ∑ 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟎

, ∑ 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏𝟖

مالحظة :

,𝟎 تحتوي الفترة الجز ة ا الم ال اللارج )أعاله ( على نمطة حرجية ليذا نحسيب ليم بداية الفتيرة ونهاتهيا ولمية 𝟐

والممة احكبر ه النمطة الحرجة وتكو الممة الصغرة ه

,𝟎 وليتك لتك م ال / , اأوجيد المجميوع احسيفل , والمجميوع احعليى

,𝟎 )علما أ

𝟑 ,

𝟐 , )

الحل /

𝟎 𝟎, 𝟎,

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 (

𝟑) 𝟏

𝟑 𝟏 (

𝟑) (𝟏

𝟐)

𝟔 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏

𝟑

𝟏

𝟐

𝟑 [0,

𝟑]

𝟐 (

𝟔) (𝟏

𝟐)

𝟏𝟐 𝟐 (

𝟔) 𝟎 𝟎 𝟐

𝟑

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 𝟎

𝟔 [

𝟑,

𝟐]

𝟑 (

𝟐) 𝟎 𝟎 𝟑 (

𝟐) 𝟏

𝟐 𝟐 (

𝟐) 𝟎 𝟐 𝟏

𝟐 [

𝟐, ]

, ∑

𝟔 𝟎

𝟐 𝟑

𝟔

𝟑 , , ∑

𝟑

𝟏𝟐 𝟓

𝟏𝟐


310

,𝟎 ولتك 𝟐 𝟑 𝟔 لتك واجب :/ , اأوجد المجموع احسفل 𝟒 , والمجموع احعلى مستلدما

منتظمة تأربعة تجز ا

,𝟎 ولتك لتك واجب :/ , اأوجد المجموع احسفل 𝟐 , والمجموع احعلى مستلدما اترتت

جز ت منتظمت

𝟒 تمارين 𝟏

, كل م اوجد , , : أتلكل مما

𝟏 𝟐, 𝟏 , 𝟑

𝟐, 𝟎, 𝟏

تقسم الفترة ,2 الى ثالث فترات جزئة منتظمة

[0,1] , [2,0-]الفترات ه الحل /

𝟑 𝟏 ( التوجد نقط حرجة والدالة متناقصة) 𝟎

طول الفترة

الفترة

[a,b] 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟎 𝟑 2 [-2,0] 𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 1 [0,1]

, ∑ 𝟔 𝟐 𝟖

, ∑ 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟑

تمسم الفترة الى الث اترات جز ة منتظمة الحل /

𝟏 𝟐

𝟑 𝟑

𝟑 𝟏

𝟑 𝟏 ( التوجد نقط حرجة والدالة متناقصة) 𝟎

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟏 𝟒 𝟒 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏 𝟒 1 [-2,-1]

𝟐 𝟏 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 𝟎 𝟑 1 [-1,0] 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 1 [0,1]

, ∑ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟗

, ∑ 𝟓 𝟒 𝟑 𝟏𝟐


311

𝟐 𝟎, 𝟒 , 𝟒 𝟐

,𝟎 أذا كا 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

[3,4] , [2,3] , [1,2] , [0,1]الفترات ه الحل /

𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏, 𝟐

وه نهاة عظمى محلة وال تجزئ الفترة (2,4)توجد نمطة حرجة ه

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 1 [0,1]

𝟐 𝟏 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 1 [1,2]

𝟑 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 1 [2,3]

𝟒 𝟏 𝟑 𝟑 𝟒 𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒 𝟎 1 [3,4]

, ∑ 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟔 , , ∑ 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 𝟏𝟒

𝒍𝒆𝒕 𝑨𝟏 𝑳 𝝈, 𝒇 𝟔 𝑨𝟐 𝑼 𝝈,𝒇 𝟏𝟒 𝑨 𝑨𝟏 𝑨𝟐

𝟐 𝟔 𝟏𝟒

𝟐 𝟐𝟎

𝟐 𝟏𝟎

وكما ل : 𝐴 أحانا طلب أجاد لمة تمربة لمساحة المنطمة

, 𝒇 𝟎,𝟒 𝑹 كا أذا 𝒇 𝒙 𝟒𝒙 𝒙𝟐 المنطمية لمسياحة تمربة لمة جد A أذا كيا المنحني تحيت

𝝈 𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,𝟒

نفس الحل أعاله وضاف له

A =𝟏𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒕 𝟐 المنطمة لمساحة تمربةال مةالم ∴


312

𝟑 𝟏, 𝟒 , 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏, 𝟐, 𝟒

أستخدام ثالث تجزئات متساوة

[2,4] , [1,2] الفترات ه الحل /

𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐 𝟏

𝟑 𝟏, 𝟒

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟓 1 [1,2] 𝟐 𝟐 𝟓𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟐 𝟒 𝟓𝟔 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 2 [2,4]

, ∑ 𝟓 𝟑𝟐 𝟑𝟕

, ∑ 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟖

أستخدام ثالث تجزئات متساوة الحل /

𝟒 𝟏

𝟑 𝟑

𝟑 𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

[3,4] , [2,3] , [1,2]الفترات ه

𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐 𝟏

𝟑 𝟏, 𝟒

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟓 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 1 [2,3] 𝟑 𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟔 𝟑 𝟏 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟒 𝟓𝟔 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 1 [3,4]

, ∑ 𝟓 𝟏𝟔 𝟑𝟑 𝟓𝟒

, ∑ 𝟏𝟔 𝟑𝟑 𝟓𝟔 𝟏𝟎𝟓


313

أمثلة أضافة محلولة,𝟏 كييييا أذا/ م ييييال 𝟓 , اذا المنحنيييي تحييييت A المنطميييية لمسيييياحة تمربيييية لميييية جييييد 𝟐 𝟒

𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟓

𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟑 1 [1,2]

𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 2 [2,4]

𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟏 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 𝟎 𝟑 𝟓 𝟓 1 [4,5]

, 𝟑 𝟎 𝟓 𝟐 , , 𝟒 𝟖 𝟎 𝟏𝟐

𝟏 , 𝟐 𝟐 , 𝟏𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟐 𝟏𝟐

𝟐 𝟏𝟎

𝟐 𝟓 𝟐

,𝟏 كا أذا / م ال 𝟒 , 𝟐 اذا المنحن تحت A المنطمة لمساحة تمربة لمة جد 𝟏

𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒 𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, ( الدالة متزادة) 𝟒

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏 𝟐 1 [1,2]

𝟐 𝟐 𝟏𝟕 𝟑𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟐 𝟒 𝟏𝟕 𝟐 𝟐 𝟓 2 [2,4]

, 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟐 , , 𝟓 𝟑𝟒 𝟑𝟗

𝟏 , 𝟏𝟐 𝟐 , 𝟑𝟗 𝟏 𝟐

𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟗

𝟐 𝟓𝟏

𝟐 𝟐𝟓

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, ( الدالة متزادة) 𝟒

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟓 𝟓 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏 𝟐 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐 𝟏 𝟓 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝟓 1 [2,3]

𝟑 𝟏 𝟏𝟕 𝟏𝟕 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟑 𝟒 𝟏𝟕 𝟑 𝟑 𝟏𝟎 1 [3,4]

, 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 , , 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟑𝟐

𝟏 , 𝟏𝟕 𝟐 , 𝟑𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟏𝟕 𝟑𝟐

𝟐 𝟒𝟗

𝟐 𝟐𝟒

𝟏

𝟐 𝟐


314

مالحظة :

بالضبط السابك (b)أستلدم الث تجز ات متساوة االحل كو نفس الفرع أذا ذكر ا الم ال السابك

,𝟏 كا أذاواجب :// 𝟕 , 𝟐 𝟐 اذا المنحن تحت A المنطمة لمساحة تمربة لمة جد 𝟏

𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒, أستخدم أربع تجزئات متساوة 𝟕

تعرف التكامـــل

, أذا كانت , دالة مستمرة على الفترة (𝛔)تجز ة بحث حي k اأنه وجد عدد حمم وحد

, ا الفترة , اأ ,

, على الفترة التكامل المحدد للدالة Kنسم العدد ∫ونرمز له بالرمز

ومرأ التكامل مي

, ونسم للدالة bالى ل حدي التكامل المحدد

مالحظات

, مسيييتمرة عليييى الفتيييرة أذا كانيييت الدالييية ① , ,ايييأ ∫

, وتكيييو -

∫ هذا التكامللالممة التمربة

, ,

𝟐

, , 𝟎 أذا كانت الدالة ② ∫اأ

fتحت المنحني Aعط مساحة المنطمة

, , أماتشر الى أ حدي التكامل dx , وهو عدد غر سالب xلمتا للمتغر

, , 𝟎 أذا كانييت الداليية ③ ∫اييأ

وهييذا ال ييدل علييى المسيياحة , أمييا 𝟎

اه ستساوي Aمساحة المنطمة

∫

|∫

|

∫لمة أ ④

, تتولف على الفترة وعلى لمة


315

,𝟏 لتك /( )م ال 𝟐 حث 𝟑

∫أوجد لمة تمربة للتكامل 𝟐 𝟑

𝟏,𝟏 أذا جز ت الفترة الى تجز ت 𝟑

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟑

𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟑

𝟑 𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟑

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟗 𝟗 𝟐 𝟏 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐 𝟒 1 [2,3]

, ∑ 𝟏 𝟒 𝟓 , , ∑ 𝟒 𝟗 𝟏𝟑

∫ 𝟐 𝟑

𝟏

, ,

𝟐 𝟓 𝟏𝟑

𝟐 𝟏𝟖

𝟐 تقربا 𝟗

,𝟐 لتك /(2)م ال ∫, أوجد 𝟑 𝟐 حث 𝟓 𝟓

𝟐

,𝟐 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟓

𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎

𝛔 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝛔 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟓

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 1 [2,3]

𝟐 𝟐 𝟕 𝟏𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟓 𝟕 𝟐 𝟑 𝟑 2 [3,5]

, ∑ 𝟏 𝟔 𝟕 , , ∑ 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟕

∫ 𝟐 𝟑 𝟑

𝟏

, ,

𝟐 𝟕 𝟏𝟕

𝟐 𝟐𝟒

𝟐 تقربا 𝟏𝟐


316

,𝟏 , 𝟑 لتك /(3)م ال ∫, أوجد 𝟓 𝟓

𝟏

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟓

𝟑 𝟎

𝛔 𝟏, 𝟑, 𝟓 𝛔 𝟏, 𝟑 , 𝟑, 𝟓

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 2 [1,3]

𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 2 [3,5]

, ∑ 𝟔 𝟔 𝟏𝟐 , , ∑ 𝟔 𝟔 𝟏𝟐

∫ 𝟑 𝟓

𝟏

, ,

𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐

𝟐 𝟐𝟒

𝟐 تقربا 𝟏𝟐

𝟒 تمارين 𝟐

∫أوجد لمة تمربة للتكامل /1 س 𝟑

𝟑

𝟏𝛔بأستلدام التجز ة 𝟏, 𝟐, 𝟑

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟑

𝟑

𝟑

𝟐 𝟎

𝟑

𝟐 𝟎 𝟑

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 (𝟑

𝟐)

𝟑

𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐

𝟑

𝟐 1 [1,2]

𝟐 𝟏 (𝟑

𝟐)

𝟑

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐

𝟑

𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 1 [2,3]

, ∑ 𝟏 𝟑

𝟐 𝟐 𝟑

𝟐 𝟓

𝟐 , , ∑ 𝟑

𝟑

𝟐 𝟔 𝟑

𝟐 𝟗

𝟐

∫ .𝟑 /

𝟑

𝟏

, ,

𝟐

𝟓𝟐 𝟗𝟐

𝟐 (𝟏𝟒𝟐 )

𝟐 𝟕

𝟐 𝟑

𝟏

𝟐


317

,𝟏 , 𝟑 𝟑 لتك / 2س 1د / 2015وزاري 𝟒

∫ لتكاملاأوجد لمة 𝟒

𝟏𝛔بأستلدام التجز ة 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

Fالدالة منحن تحمك هندسا بحساب المنطمة تحت م

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟒

𝟑 𝟑 𝟑 ( التوجد نقطة حرجة و الدالة متزادة) 𝟎

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟔 𝟔 𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟐 𝟑 1 [2,3]

𝟑 𝟏 𝟗 𝟗 𝟑 𝟏 𝟔 𝟔 𝟑 𝟒 𝟗 𝟑 𝟑 𝟔 1 [3,4]

, ∑ 𝟎 𝟑 𝟔 𝟗 , , ∑ 𝟑 𝟔 𝟗 𝟏𝟖

∫ 𝟑 𝟑 𝟒

𝟏

, ,

𝟐 𝟗 𝟏𝟖

𝟐 𝟐𝟕

𝟐 𝟏𝟑

𝟏

𝟐

:الحل الهندس

𝟏 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏, 𝟎 𝟒 𝟏𝟐 𝟑 𝟗 𝟒, 𝟗

مساحة (𝟏

𝟐) ( األرتفاع)( طول القاعدة)

مساحة (𝟏

𝟐) 𝟒 𝟏 𝟗

𝟐𝟕

𝟐 𝟏𝟑

𝟏

𝟐

∫ تكاملأوجد لمة تمربة لل /3 س 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒

𝟐𝛔بأستلدام التجز ة 𝟐, 𝟑, 𝟒

,𝟐 الفترات /الحل 𝟑 , 𝟑, 𝟒

𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟎 𝟔 𝟎 𝟐, الدالة متزادة 𝟒

الفترةطول

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟏 𝟏 𝟗 𝟗 𝟏 𝟑 𝟐𝟒 𝟏 𝟐 𝟗 1 [2,3]

𝟐 𝟏 𝟒𝟓 𝟒𝟓 𝟐 𝟏 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟒𝟓 𝟐 𝟑 𝟐𝟒 1 [3,4]

, ∑ 𝟗 𝟐𝟒 𝟑𝟑 , , ∑ 𝟐𝟒 𝟒𝟓 𝟔𝟗

∫ (𝟑 𝟐 𝟑) 𝟒

𝟐

, ,

𝟐 𝟑𝟑 𝟔𝟗

𝟐 𝟏𝟎𝟐

𝟐 𝟓𝟏


318

∫ أوجد لمة تمربة للتكامل /4 س 𝟐

𝟑 𝟒 حث أ

,𝟑 دالة مستمرة على الفترة الدالة /الحل حنها ك رة حدود 𝟐

𝟒 𝟎

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏 𝟎 𝟒 𝟏 𝟑 𝟒 3 [-3,0]

𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟒 2 [0,2]

, ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎 , , ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎

أو نحل حسب التجز ات التالة

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 𝟒 2 [-3,-1]

𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒 3 [-1,2]

, ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎 , , ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎

∫ 𝟒 𝟐

𝟑

, ,

𝟐 𝟐𝟎 𝟐𝟎

𝟐 𝟒𝟎

𝟐 𝟐𝟎

∫ أوجد لمة التكامل /5س 𝟑 𝟓

𝟏 بأستلدام أربعة تجز ات ممكنة

/الحل

𝟑 𝟑 𝟐 ( التوجد نقطة حرجة و الدالة متزادة) 𝟎

𝟓 𝟏

𝟒 𝟒

𝟒 𝟏

,𝟏 الفترات 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 , 𝟒, 𝟓

طول الفترة

الفترة

[a,b]

𝟏 𝟏 𝟖 𝟖 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟖 𝟏 𝟏 𝟏 1 [1,2]

𝟐 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐 𝟏 𝟖 𝟖 𝟐 𝟑 𝟐𝟕 𝟐 𝟐 𝟖 1 [2,3]

𝟑 𝟏 𝟔𝟒 𝟔4 𝟑 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟑 𝟒 𝟔𝟒 𝟑 𝟑 𝟐𝟕 1 [3,4]

𝟒 𝟏 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟒 𝟏 𝟔𝟒 𝟔4 𝟒 𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟒 𝟒 𝟔𝟒 1 [4,5]

, ∑ 𝟏 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟎𝟎 , , ∑ 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟒

∫ 𝟑 𝟓

𝟏 , ,

𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟒

𝟐 𝟑𝟐𝟒

𝟐 𝟏𝟔𝟐


319

أمثلة أضافة محلولة𝟐 𝟑 لييييتك /م ييييال ,𝟎 ولييييتك 𝟒 التجز يييية تلدامــييييـباسة تمربيييية للتكامييييل ــييييـد لمــييييـأوج 𝟑

𝛔 𝟎, 𝟏, 𝟐, الث تجز ات متساوةبأستلدام أو 𝟑

/الحل

𝟑 𝟐 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟐

𝟑 𝟎 , 𝟏

𝟐

𝟑 𝟎 𝟎 (

𝟐

𝟑)

𝟒

𝟑 𝟏 𝟏

𝟒

𝟑 أكبر قمة 𝟎 أصغر قمة

𝟑 𝟎

𝟑 𝟑

𝟑 𝟏

,𝟎 الفترات 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 . 𝟒

𝟑/

𝟒

𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 .

𝟐

𝟑/

𝟒

𝟑 1 [0,1]

𝟐 𝟏 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 1 [1,2]

𝟑 𝟏 𝟏𝟓 𝟏𝟓 𝟑 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟏𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 1 [2,3]

, ∑ 𝟒

𝟑 𝟏 𝟒

𝟓

𝟑 , , ∑ 𝟎 𝟒 𝟏𝟓 𝟏𝟗

∫ 𝟑

𝟎

, ,

𝟐 (𝟓𝟑) 𝟏𝟗

𝟐 (𝟓 𝟓𝟕𝟑 )

𝟐 (𝟔𝟐𝟑 )

𝟐 (

𝟔𝟐

𝟑) (𝟏

𝟐)

𝟑𝟏

𝟑


320

,𝟎 ولتك لتك /م ال بأستلدام تجز ت متساوتا أوجد لمة تمربة للتكامل

/الحل

𝟎

𝟐 𝟎,

𝟐 𝟎 𝟎 (

𝟐) 𝟏 𝟎 أكبر قمة 𝟏 أصغر قمة 𝟎

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 (

𝟐) 𝟏

𝟐 𝟏 (

𝟐) 𝟎 𝟎 𝟏

𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎

𝟐 [𝟎 ,

𝟐]

𝟐 (

𝟐) 𝟏

𝟐 𝟐 (

𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟎

𝟐 [

𝟐, ]

, ∑ 𝟎 𝟎 𝟎 , , ∑

𝟐

𝟐

∫

𝟎

, ,

𝟐 𝟎

𝟐

𝟐

******************************************************************

∫أوجييد لميية التكامييل : 1س 𝟐 𝟏

𝟎𝛔بأسييتلدام التجز يية ( 𝟎,

𝟏

𝟒 ,

𝟏

𝟐 ,

𝟑

𝟒 , أي بأسييتلدام أربييع ( 𝟏

تجز ات منتظمة

∫أوجد لمة التكامل : 2س 𝟐 𝟏

𝟎𝛔بأستلدام التجز ة ( 𝟎,

𝟏

𝟒 ,

𝟏

𝟑 ,

𝟗

𝟏𝟎 , 𝟏 )

تلدام أربيييع ــــيييـبأسد لمييية تمربييية للتكاميييل ـــيييـأوج , وليييتك ليييتك : 3س

تجز ات منتظمة

* وليييييتك ليييييتك : 4س

𝟐,

𝟔+ تلدام ـــيييييـباس لــيييييـأوجيييييد لمييييية تمربييييية للتكام

𝛔 (

𝟐 ,

𝟔 , 𝟎 ,

𝟔 )


321

الدالة الممابلة – النظرة احساسة للتكامــــــــــل

, دالة مستمرة على الفترة أذا كانت , مستمرة على الفترة F اأنه توجد دالة : بحث

, ,

∫وكو

, على الفترة fالدالة الممابلة للدالة حث تسمى

,𝟏 دالة مستمرة على الفترة أذا كانت /( )م ال ∫اجد لمة f دالة ممابلة للدالة 𝟐 𝟑 بحث 𝟓 𝟓

𝟏

/الحل

∫ 𝟓

𝟏

𝟓 𝟏 𝟑 𝟐𝟓 𝟑 𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐

ومك أ نكتب ذلن بالصورة احتة :

∫ 𝟓

𝟏

𝟓 𝟏 𝟑 𝟐

𝟓 𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐

,𝟎*دالة مستمرة على الفترة fأذا كانت /(2)م ال

𝟐 ه : fو أ الدالة الممابلة للدالة +

*𝟎,

𝟐+ ,

∫جد لمة أوا

𝟐𝟎

/الحل

∫

𝟐

𝟎

(

𝟐) 𝟎 (

𝟐) 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

𝟑 أ بت أ الدالة /(3) ال م 𝟐 , 𝟏, 𝟐 𝟑 ه دالة ممابلة للدالة 𝟑

𝟑 ∵ /الحل ) حنها ك رة حدود ( ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق على 𝟐

∴ F 𝟏 على ه دالة مستمرة, ,𝟏 على و لابلة لألشتماق 𝟑 𝟑

𝟑 𝟐 𝟏, 𝟑

∴ F 𝟏 على ه دالة ممابلة للدالة, 𝟑


322

أ بت أ الدالة /(4) ال م𝟏

𝟐 ه دالة ممابلة للدالة , 𝟐

𝟐 ,

∫ م جد لمة 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

ه دالة مستمرة و لابلة لألشتماق 𝟐 ∵

𝟏

𝟐 ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أضا 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

ه دالة مقابلة للدالة ∴

∫

∫ 𝟐

𝟒

𝟎

[𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟎

𝟒 [

𝟏

𝟐 𝟐 (

𝟒)] [

𝟏

𝟐 𝟐 𝟎 ] [

𝟏

𝟐 (

𝟐)] [

𝟏

𝟐 𝟎]

𝟏

𝟐 𝟏

𝟏

𝟐 𝟎

𝟏

𝟐


323

Fوالدالة الممابلة لها fوالجدول أدناه وضح العاللة ب

الدالة الدالة الممابلة لها

𝟏

𝟏

, 𝟏

𝟏

𝟏

, 𝟏

𝟏

𝟏

, 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟏

من الجدول نستنتج ∫

عدد ابت حمم Cحث أ F+Cكما ا الجدول أعاله ه مجموعة الدوال الممابلة حة دالة


324

∫أوجد /( ) ال م 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

∫ 𝟐

𝟒

𝟎

𝟎

𝟒

𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏

∫أوجد /(6) ال م 𝟐

𝟐

𝟒

/الحل

∫ 𝟐

𝟐

𝟒

𝟒

𝟐 *

𝟐

𝟒+ 𝟎 𝟏 𝟏

∫أوجد /(7) ال م

𝟑𝟎

/الحل

∫

𝟑

𝟎

𝟎

𝟑

𝟑 𝟎

𝟏

𝟑

𝟏

𝟎

𝟏

(𝟏𝟐) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏

∫أوجد /(8) ال م 𝟑𝟑

𝟏

/الحل

∫ 𝟑𝟑

𝟏

0 𝟒

𝟒1𝟏

𝟑

[𝟖𝟏

𝟒 𝟏

𝟒]

𝟖𝟎

𝟒 𝟐𝟎


325

لواص التكامـــــل المحدد

, دالة مستمرة على أذا كانت Ⓘ أوال: , , 𝟎 وكانت

∫فأن

:مثال 𝟎

𝑎 𝑓 𝑥 𝑥2 0 , 𝑥𝜖 ,2 ∶ ألن ∫ 𝟐𝟐

𝟏

𝑑𝑥 𝟎

𝑏 𝑓 𝑥 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ألن ∫ 𝟑 𝟑

𝟐

𝑑𝑥 𝟎

𝑐 𝑓 𝑥 𝑥 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ألن ∫ 𝟏 𝟑

𝟐

𝑑𝑥 𝟎

, دالة مستمرة على أذا كانت ② , , 𝟎 وكانت

∫فأن

:مثال 𝟎

𝑎 𝑓 𝑥 < 0 , 𝑥𝜖 ,2 ∶ ألن ∫ 𝟐 𝟐

𝟏

𝑑𝑥 < 𝟎

𝑏 𝑓 𝑥 < 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ألن ∫ 𝟏

𝟐

𝑑𝑥 < 𝟎

, دالة مستمرة على أذا كانت انا: فأن عدد حقق ثابت Cوكان

∫ 𝑪𝒇 𝒙 𝑪∫ 𝒇 𝒙 𝒃

𝒂

𝒃

𝒂

∫أذا كا /(9) ال م 𝟖𝟓

𝟐∫اأوجد 𝟓

𝟓

𝟐

/الحل

∫ 𝟓 𝟓

𝟐 𝟓∫

𝟓

𝟐 𝟓 𝟖 𝟒𝟎


326

, 𝟏 أذا كانت ال ا: , دالتن مستمرة على 𝟐 𝟏 فأن 𝟐 ∫ 𝟏 ∫ ∫ 𝟐 𝒃

𝒂

𝒃

𝒂

𝒃 𝒂

, ومكننا تعمم هذه الخاصة على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على

∫أذا كانت /(10) ال م 𝟐 𝟏𝟕𝟑

𝟏 ,∫ 𝟏 𝟏𝟓

𝟑

𝟏 اأوجد كال م :

∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑

𝟏

, ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑

𝟏

/الحل

∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑

𝟏

∫ 𝟏 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟑

𝟏

2

∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑

𝟏

∫ 𝟏 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟑

𝟏

2

𝟐 𝟑 أذا كانت /(11) ال م ∫اأوجد 𝟐 𝟐

𝟏

/الحل

∫ 𝟐

𝟏

∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

∫ 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏

∫ 𝟐 𝟐

𝟏

𝟑𝟐 𝟏

𝟐𝟐 𝟏

4 0

, دالة مستمرة على أذا كانت رابعا: , وكانت :فأن

∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥𝒄

𝒂

∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥𝒃

𝒄

𝒃

𝒂

∫أذا كانت /(21) ال م 𝟖𝟕

𝟑 ,∫ 𝟓

𝟑

𝟏∫اأوجد

𝟕

𝟏

/الحل

∫ 𝟕

𝟏

∫ 𝟑

𝟏

∫ 𝟕

𝟑

𝟓 𝟖 𝟏𝟑


327

∫أوجد | | أذا كا /(31) ال م 𝟒

𝟑

,𝟑 دالة مستمرة على /الحل ولها لاعدتا هما : 𝟒

, 𝟎 < 𝟎

∫ 𝟒

𝟑

∫ 𝟎

𝟑

∫ 0 𝟐

𝟐1 𝟑

𝟎

𝟐

𝟐

𝟒 𝟎

𝟒

𝟎

[0 ( 9

2)] [

6

2 0]

9 6

2 2

2

, أذا كا /(14) ال م𝟐 𝟏 𝟏𝟑 < 𝟏

∫اأوجد 𝟓

𝟎

,𝟎 مستمرة على الفترة الدالة /الحل ح 𝟏 وذلن حنها مستمرة عند 𝟓

𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 معرفة 𝟑

𝟏

{

𝟐 𝟏 𝟑 𝟏

𝟑 𝟑 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟏 𝟏 موجودة 𝟑 𝟏

> }مستمرة على كل م الدالة ∴ 𝟏} , { 𝟏}

,𝟎 مستمرة على الفترة الدالة ∵ 𝟓

∴ ∫ ∫ 𝟏

𝟎∫ 𝟓

𝟏 ∫ 𝟑

𝟏

𝟎∫ 𝟐 𝟏 𝟓

𝟏

𝟓

𝟎

𝟑 𝟏

𝟎

𝟐

𝟓

𝟏

𝟑 𝟎 𝟑𝟎 𝟐 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏


328

𝟑} أذا كا ال /م𝟐 𝟐 𝟏

𝟔 𝟏 < 𝟏∫اأوجد

𝟑

𝟐

,𝟐 مستمرة على الفترة الدالة /الحل ح 𝟏 وذلن حنها مستمرة عند 𝟑

𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 معرفة 𝟓 𝟏 𝟐

𝟏

{

𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟏

𝟔 𝟏 𝟓 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟏 𝟏 موجودة 𝟓 𝟏

> }مستمرة على كل م الدالة ∴ 𝟏} , { 𝟏}

,𝟐 مستمرة على الفترة الدالة ∵ 𝟑

∴ ∫ ∫ 𝟏

𝟐∫ 𝟑

𝟏 ∫ 𝟔 𝟏

𝟏

𝟐∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑

𝟏

𝟑

𝟐

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 𝟐 𝟑

𝟏

𝟐 𝟏𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐

| | أذا كا ال /م ∫اأوجد 𝟑 𝟒

𝟑

نفس طرمة أ بات الحل ا الس ال السابك /الحل

, 𝟑 𝟎 𝟑 < 𝟎

∫ 𝟒

𝟑

∫ 𝟑 𝟎

𝟑

∫ 𝟑 0𝟑 𝟐

𝟐1 𝟑

𝟎

0 𝟐

𝟐 𝟑 1

𝟎

𝟒

𝟒

𝟎

[𝟎 ( 𝟗 𝟗

𝟐)] [(

𝟏𝟔

𝟐 𝟏𝟐) 𝟎]

𝟐𝟕 𝟒𝟎

𝟐 𝟔𝟕

𝟐


329

لامسا:

∫

𝟎 , ∫

∫

مثال :

∫ 𝟑

𝟑

0 𝟐

𝟐 1𝟑

𝟑

9

2 9

2 𝟎

∫ 𝟑 𝟐𝟐

𝟑

∫ 𝟑 𝟐𝟑

𝟐

2 2 2 9

𝟒 تمارين 𝟑

:أحسب كال م التكامالت التالة /1س

∫ 𝟑 𝟐 𝟐

𝟐

0 𝟑 𝟐

𝟐 𝟐 1

𝟐

𝟐

0𝟑 𝟒

𝟐 𝟒1 0

𝟑 𝟒

𝟐 𝟒1 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟐 𝟏𝟎 𝟖

∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐

𝟏

0 𝟏

𝟏 𝟐 𝟐

𝟐 1

𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 ]

𝟏

𝟐

( 𝟏

𝟐 𝟒 𝟐) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟓

𝟏

𝟐 𝟏 𝟒

𝟏

𝟐

∫ 𝟒 𝟒 𝟑

𝟏

0 𝟓

𝟓 𝟐 𝟐 1

𝟏

𝟑

[𝟐𝟒𝟑

𝟓 𝟏𝟖] [

𝟏

𝟓 𝟐]

𝟐𝟒𝟐

𝟓 𝟏𝟔

𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎

𝟓 𝟑𝟐𝟐

𝟓


330

∫ | 𝟏|𝟐

𝟎

| 𝟏| , 𝟏 𝟏𝟏 < 𝟏

∫ | 𝟏|𝟐

𝟎 ∫

∫ 2

0 2

21

0 2

2 1

2

[(

2) 0] [ 2 2 (

2 )]

2

2 𝟏

∫ 𝟎

𝟐

0 𝟐

𝟐 1

𝟐

𝟎

0 𝟎 𝟐

𝟐 𝟎 1 [

( 𝟐 )

𝟐

𝟐 (

𝟐)]

𝟎 𝟎 [( 𝟐

𝟒 )

𝟐 𝟏]

𝟐

𝟖 𝟏 𝟏

𝟐

𝟖

مالحظة

∫ 𝟑 𝟏

𝟏

𝟐

𝟑

∫ 𝟑 𝟏

𝟏

𝟑

𝟐

∫ 𝟏 𝟐 𝟏

𝟏 ∫ 𝟐 𝟏

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

0

2

2 1

2

.02

9

2 1 0

4

2 21/ .

4 2 6 2 2

6/

9

6

∫𝟐 𝟑 𝟒 2 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝟑

𝟏

0 2 4

1

2 4

𝟑

𝟏

[9 2

] 4

0


331

حث f(x) ه دالة ممابلة للدالة أ بت أ الدالة / 2س

*𝟎,

𝟔+ حث

𝟏 ,𝟎* حث

𝟔+ ∫ أحسب م

𝟔𝟎

دالة ممابلة للدالة ك ن بت أ ـل /الحل

,𝟎*مستمرة على الفترة ن بت أ

𝟔+

, *𝟎,

𝟔+

مستمرة ا مجالها ∴

𝟏

دالة ممابلة للدالة ∴

∫

𝟔

𝟎

( 𝟔) 𝟎 [

𝟔 𝟔] 𝟎 𝟎

𝟏

𝟐 𝟔 𝟑 𝟔

: أوجد كال م التكامالت التالة /3س

∫ 𝟐 𝟏 𝟐𝟒

𝟏

∫ 𝟐 ( 𝟐 𝟐 𝟏)𝟒

𝟏

∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐) 𝟒

𝟏

∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐) 𝟒

𝟏

[ 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐

𝟐 𝟐 ]

𝟏

𝟒

𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖 0𝟏

𝟒 𝟑

𝟐 𝟐1

𝟑𝟐 𝟏

𝟒 𝟑

𝟐 𝟐 𝟑𝟒

𝟓

𝟒 𝟏𝟑𝟔 𝟓

𝟒 𝟏𝟒𝟏

𝟒


332

∫ | 𝟏|𝟏

𝟏

| 𝟏| { 𝟏 𝟏

𝟏 < ( خارج الفترة) 𝟏

∫ | 𝟏|

∫

0 2

2 1

(

2 ) (

2 ) 𝟐

∫ 𝟒 𝟏

𝟏

𝟑

𝟐

∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟏)

𝟏

𝟑

𝟐

∫ 𝟏 𝟏 ( 𝟐 𝟏)

𝟏 ∫ 𝟏 ( 𝟐 𝟏)

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

∫ ( 𝟑 𝟐 𝟏) 𝟑

𝟐

0 𝟒

𝟒 𝟑

𝟑 𝟐

𝟐 1

𝟐

𝟑

[𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟗

𝟐 𝟑] [𝟒

𝟖

𝟑 𝟐 𝟐]

𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟐 𝟏𝟐 𝟖

𝟖

𝟑 𝟒

𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟐

𝟖

𝟑 𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐

𝟏𝟐 𝟑𝟏𝟑

𝟏𝟐

∫ √ (√ 𝟐)𝟐

𝟏

𝟎

∫ √ ( 𝟒√ 𝟒)𝟏

𝟎

∫ (𝟏𝟐)( 𝟒

(𝟏𝟐) 𝟒)

𝟏

𝟎

∫ ( (𝟑𝟐) 𝟒 𝟒

(𝟏𝟐))

𝟏

𝟎

[ (𝟓𝟐)

(𝟓𝟐)

𝟐 𝟐 𝟒 (𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)]

𝟎

𝟏

[𝟐

𝟓 𝟐

𝟖

𝟑] 𝟎

𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎

𝟏𝟓 𝟕𝟔

𝟏𝟓

, تأذا كان /4س 𝟐 𝟑𝟔 < 𝟑

∫اأوجد 𝟒

𝟏

,𝟏 الفترة مستمرة على نبره أ الدالة /الحل 𝟒

( الدالة معرفة عندما 𝟑 ) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑

𝟑

{

𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏

𝟔 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐

𝟑

( الدالة مستمرة عندما 𝟑 ) 𝟔 𝟑

∫ 𝟒

𝟏

∫ 𝟔 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟔 𝟑

𝟏

𝟐 𝟒

𝟑

𝟏𝟖 𝟔 𝟏𝟔 𝟗 𝟒

𝟑

𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗


333

𝟑} أذا كا /5س 𝟐 𝟎

𝟐 < 𝟎∫اأوجد

𝟑

𝟏 1د / 2014وزاري

,𝟏 الفترة مستمرة على نبره أ الدالة /الحل 𝟎 وذلن بأ بات أنها مستمرة عند 𝟑

𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 ( الدالة معرفة عندما 𝟎 ) 𝟎

𝟎

{ 𝟎

𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟎 𝟏

𝟎

𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐

𝟎

( الدالة مستمرة عندما 𝟎 ) 𝟔 𝟎

∫ 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟎

𝟏

∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎

𝟏

𝟑 𝟑

𝟎

𝟎 𝟏 𝟐𝟕 𝟎 𝟑

𝟎

𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔

******************************************************************

المحدد الغــر التكامـــل

, المستمرة على الفترة أذا كانت للدالة وكل fاأنه وجد عدد ال نها م الدوال الممابلة للدالة F دالة ممابلة

م ل عدد ابت والفرق ب أك ر م أ ن منها ساوي عدد ابت Cحث F + Cمنها ساوي

ة على الصورة ـــــة الدوال الممابلــــمى مجموعـــــتس F+C بالتكامل غر المحدد للدالية𝒇 عليى الفتيرة المسيتمرة

, ∫ ورمز لها بالرمز 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 هو ر الدالة أذا كا رمز متغ𝒙

صطلح على كتابة التكامل غر المحدد بالصورة∫ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝑭 𝒙 𝑪 , 𝑪 𝐑

العملة المعاكسة لعملة التفاضل أي أحداهما تنه دور احلرى عملة التكامل غر المحدد هو

: التكامل للدوال التالة أوجد /(1) ال م

𝒂 ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟏)𝒅𝒙 𝟑𝒙𝟑

𝟑 𝟐

𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝒙 𝒄

𝒃 ∫(𝐜𝐨𝐬𝒙 𝒙 𝟐)𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧𝒙 𝒙 𝟏

𝟏 𝒄 𝐬𝐢𝐧𝒙

𝟏

𝒙 𝒄

𝒄 ∫ 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒙 𝐭𝐚𝐧𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐

𝟐 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄

𝒅 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝟒 𝒅𝒙 𝟏

𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝟒 𝒄


334

جد التكامالت لكل مما أت : /(2) ال م

𝒂 ∫(𝒙𝟐 𝟑)𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙

(𝒙𝟐 𝟑)𝟑

𝟑 𝒄

𝒃 ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓)𝟔 𝟑𝒙 𝟒 𝒅𝒙 .

𝟏

𝟐/∫(𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓)

𝟔 2 𝟑𝒙 𝟒 𝒅𝒙

𝟏

𝟐 𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓 𝟕

𝟕 𝒄

𝟏𝟒 𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓 𝟕 𝒄

𝒄 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟒 𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟓 𝒙

𝟓 𝒄

𝒅 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟔 𝑥 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟕 𝑥

𝟕 𝒄

بعض العاللات ا الدوال الم ل ة

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟏 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

𝟓 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

𝟔 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

𝟕 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝜽 𝟏

𝟖 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏

𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝑨 𝑩 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝑨 𝑩 𝒙

𝟗 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙

𝟏𝟎 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙 𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙

𝟏𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃


335

تكامالت الدوال المثلثة التربعة

𝟏 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄

𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄

𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝟏 𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄

𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝜽 𝟏 𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄

𝟓 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

𝟐 𝒅𝜽

𝟏

𝟐(∫𝒅𝜽

𝟏

𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽)

𝟏

𝟐(𝜽

𝟏

𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽) 𝒄

𝟏

𝟐𝜽

𝟏

𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 𝒄

𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

𝟐 𝒅𝜽

𝟏

𝟐(∫𝒅𝜽

𝟏

𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽)

𝟏

𝟐(𝜽

𝟏

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄

𝟏

𝟐𝜽

𝟏

𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 𝑐

( 618 صفحةو 185أم لة ) م الكتاب صفحة

𝟏 ∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄

𝟐 ∫ 𝒙𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟑 𝒅 𝒙𝟏

𝟑∫ 𝟑𝒙𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝟏

𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙𝟑 𝒄

𝟑 ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄 ∓ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄

3د / 2012وزاري

4 ∫𝒔𝒊𝒏𝟒 𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫0

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 1

𝟐

𝒅𝒙 ∫𝟏

𝟒(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙)𝒅𝒙

𝟏

𝟒(∫ ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 )𝒅𝒙

𝟏

𝟒.∫ ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 /𝒅𝒙

𝟏

𝟒.𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄

𝟏

𝟒.𝟑

𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄

𝟑

𝟖𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙

𝟏

𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 𝒄


336

𝟓 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟕 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐝𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟖

𝟖 𝒄

𝟔 ∫𝟏 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙

𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙

𝟐 𝒄

𝟏

𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙 𝒄

𝟕 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙

𝟑 𝒄

2د / 4201ي وزار

𝟖 ∫𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙

𝟐 𝒄

1د / 6201وزاري 3د / 2014وزاري

𝟗 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟑𝐱 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝒅𝒙

𝟐

𝟑∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟑𝐱 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝟑 𝒅𝒙 .

𝟐

𝟑/𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱

𝟒 𝐜

𝟏

𝟔 𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱 𝐜

مالحظة 𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱 𝟒

𝟏𝟎 ∫𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟐 𝒅𝒙

𝟏

𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄

𝟏𝟏 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝟑𝐱𝐝𝐱 ∫0𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 1𝐝𝐱

𝟏

𝟐.𝒙

𝟏

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙/ 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄

𝟏𝟐 ∫𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟓𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟏)𝒅𝒙 ∫𝒄𝒔𝒄𝟐𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟓𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄

𝟏𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟕𝐱𝐝𝐱 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟕𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫𝒔𝒆𝒄𝟐𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟕𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄



337

أمثلة أضافة محلولة:أوجد التكامالت احتة /م ال

𝟏 ∫𝒙 𝟑𝒙𝟐 𝟏𝟑 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟏𝟑) 𝒅𝒙 .

𝟏

𝟔/(𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄 𝟏

𝟖(𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑) 𝒄

𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟓 𝟐𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 .𝟏

𝟐/𝒕𝒂𝒏𝟔 𝟐𝒙

𝟔 𝒄

𝒕𝒂𝒏𝟔 𝟐𝒙

𝟏𝟐 𝒄

𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 . 𝟏

𝟒/𝐜𝐨𝐬𝟒 𝟒𝒙

𝟒 𝒄

𝐜𝐨𝐬𝟒 𝟒𝒙

𝟏𝟔 𝒄

𝟒 ∫𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟓 𝒙𝟑 𝒅𝒙 .𝟏

𝟑/𝐜𝐨𝐬𝟔 𝒙𝟑

𝟔 𝒄

𝐜𝐨𝐬𝟔 𝒙𝟑

𝟏𝟖 𝒄

𝟓 ∫𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟐𝒙

(𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 )𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)𝐬𝐢𝐧𝟒 𝟐𝒙

𝟒 𝒄

𝐬𝐢𝐧𝟒 𝟐𝒙

𝟖 𝒄

𝟔 ∫𝒙 𝒙𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝒙𝟐 𝟗)(𝟏𝟐) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)(𝒙𝟐 𝟗)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 (𝒙𝟐 𝟗)

(𝟑𝟐)

𝟑 𝒄

𝒙𝟐 𝟗 𝟑

𝟑 𝒄

𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝒅𝒙

∫ (𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟒

𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟔 𝒄

𝟖 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟓𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓𝒙

𝟓 𝒄

𝟗 ∫ 𝒙𝟓 𝟐𝒙𝟑𝟑

𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒙𝟐 𝟐𝟑

𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙𝟐 𝟐)(𝟏𝟑) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)(𝒙𝟐 𝟐)

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄

(𝟑

𝟖) (𝒙𝟐 𝟐)

(𝟒𝟑) 𝒄

𝟏𝟎 ∫ 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓 𝒅𝒙 .𝒙𝟐

𝟐 𝟓𝒙/ 𝒄

𝟏𝟏 ∫ 𝟑

𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟏 𝒅𝒙 ∫

𝟑

𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟑∫ 𝒙 𝟏 𝟐𝒅𝒙

𝟑 𝒙 𝟏 𝟏

𝟏 𝒄

𝟑

𝒙 𝟏 𝒄


338

𝟏𝟐 ∫ 𝒙𝟐 𝟏

√𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝟏 𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏 (

𝟏𝟓) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟑) 𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏 (

𝟒𝟓)

(𝟒𝟓)

𝒄

𝟓

𝟏𝟐 𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏 (

𝟒𝟓) 𝒄

𝟏𝟑 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟒 𝒙

𝟒 𝒄

𝟏𝟒 ∫𝟗𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 ( 𝟏

𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄

𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐 𝑐

:احتةللدوال أوجد التكامالت /م ال

𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟑𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟑𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫𝒔𝒆𝒄𝟐𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟑𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄

𝟐 ∫𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟕𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝟕𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟕𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄

𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 2

𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝐜

𝟒 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟑𝒙

𝟑 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄

𝟓 ∫√𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄 ∓ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄

𝟔 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙

𝟔 𝒄

𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏


𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟏



339

𝟖 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝟏 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝟏 𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐( 𝟏

𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝟏

𝟔𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟖𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄

𝟗 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟏)𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙

𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙

𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄

𝟏𝟎 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟓𝒙

𝟓 𝟐

𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙

𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄

حل السؤال 𝟏𝟎 ولكن أجعل األس 𝟒 بدل من 𝟔 ∶ واجب

𝟏𝟏 ∫𝒙𝟓 𝒙𝟒 𝟏

𝒙𝟑 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄 (نقسم البسط على المقام ثم نكامل )

𝟏𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝐱𝐝𝐱 ∫0𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 1𝐝𝐱

𝟏

𝟐.𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄

𝟏𝟑 ∫𝒙𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙𝟑 𝐝𝐱 𝟏

𝟑∫ 𝟑 𝒙𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙𝟑 𝐝𝒙

𝟏

𝟑𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄

𝟏𝟒 ∫𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟐𝐝𝐱 𝟏

𝟐∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟐 𝟐 𝐝𝒙

𝟏

𝟐𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒄

𝟏𝟓 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 𝟏

𝟕∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟕𝐱 𝟕 𝐝𝐱

𝟏

𝟕𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄

𝟏𝟔 ∫𝒙𝟐 9

𝒙 𝟑 𝒅𝒙 ∫

𝑥 𝑥

𝑥 𝒅𝒙 ∫ 𝑥 𝒅𝒙

𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄

𝟏𝟕 ∫𝒙𝟒 6

𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫

𝒙𝟐 4 𝒙𝟐 4

𝑥 2𝒅𝒙 ∫

𝑥 2 𝑥 2 𝒙𝟐 4

𝑥 2𝒅𝒙

∫ 𝑥 2 𝒙𝟐 4 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟑 4𝑥 2𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟒

𝟒 2𝒙𝟐 2

𝒙𝟑

𝟑 𝑥 𝒄

𝟏𝟖 ∫𝒙𝟑

𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝑥 𝒙𝟐 𝑥

𝑥 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝑥 𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄


340

𝟏𝟗 ∫𝒙𝟐

√𝒙𝟑 𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟓

2 𝒅𝒙

∫ 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟓

2 𝒅𝒙

× 𝒙𝟑 𝟓

2

2

𝒄

2

𝒙𝟑 𝟓 𝒄

𝟐𝟎 ∫ 𝐜𝐨𝐭𝟑 𝟗𝒙 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟗𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟗∫ 𝐜𝐨𝐭𝟑 𝟗𝒙 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟗𝒙 𝟗 𝐝𝐱

𝟏

𝟗× 𝐜𝐨𝐭𝟒 𝟗𝒙

𝟒 𝒄

𝟐𝟏 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟗∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗𝒙 𝟗 𝐝𝐱

𝟏

𝟗𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄

𝟐𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟕∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝒙 𝟕 𝐝𝐱

𝟏

𝟕𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄


𝟐𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙𝐝𝐱

𝟏

𝟑𝒄𝒔𝒄𝟑 𝒙 𝒄

𝟐𝟒 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱

𝟏

𝟑∫𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱

𝟏

𝟑×𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙

𝟓 𝐜

𝟏

𝟏𝟓𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙 𝐜

𝟐)م ال : جد معادلة المنحن الذي مله 𝟏

𝟐 (1 , 0)ومر بالنمطة (𝟐

/الحل

𝟐)∫ ∫ (المل)∫ 𝟏

𝟐 𝟐) 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 ( 𝟎 , ( نعوض النقطة 𝟏

𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏

𝟔 𝟑 معادلة المنحن 𝟏


341

𝟑 م ال : جد معادلة المنحن الذي مله 𝟐 (1 , 0)ومر بالنمطة

/الحل

𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟐 ) 𝟑 𝟑

𝟑 𝟑 ( 𝟎 , ( نعوض النقطة 𝟏

𝟏 𝟏 معادلة المنحن 𝟐 𝟑 𝟐

𝟑 جد معادلة المنحن الذي مله م ال : (15)والمنحن متلن نهاة عظمى محلة تساوي 𝟗 𝟔 𝟐

/الحل

( نجعل 𝟎 ) 𝟗 𝟔 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 𝟑 ⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎

𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏

,𝟏 النمطة نهاة عظمى محلة 𝟏𝟓

𝟑 (𝟗 𝟔 𝟐 𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟑 𝟐 𝟗 ( 𝟏 , ( نعوض النقطة 𝟏𝟓

𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟐 معادلة المنحن 𝟏𝟎 𝟗

(1,4-)والمنحن متلن نمطة حرجة عند ( 𝟔 )عادلة المنحن جد مم ال :

/الحل

∫ ∫ 𝟔 𝟑 𝟐 ( نجعل 𝟎 عندما 𝟏 ) 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑

𝟐 𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟑) 𝟑 𝟑 ( 𝟏 , ( نعوض النقطة 𝟒

𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 معادلة المنحن 𝟐 𝟑


342

𝟐 مماسا له عندما 𝟕 𝟑 والمستمم 𝟐 الذي مله جد معادلة المنحنم ال :

/الحل

Ⓘ نعوض لمة(x) لمة الستلراجا معادلة المستمم(y) م أجاد نمطة التماس

𝟑 𝟕 𝟑 𝟐 𝟕 𝟏 𝟐, نقطة التماس 𝟏

المل أي بمعنى ألر المشتمة احولى إلجادنشتك معادلة المستمم ②

𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑

𝟑 حث ننجد لمة المجاهل ا معادلة مل المنح ③

𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 معادلة مل المنحن 𝟏 𝟐 𝟏

المطلوبة اتم الحصول على معادلة المنحن (C)نكامل معادلة مل المنحن م نجد لمة ابت التكامل ④

𝟐 𝟏 𝟐 ∫ ∫ (المل)∫ ( 2 , ( نعوض النقطة

𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 معادلة المنحن 𝟑

مالحظات :

ال تكامل مل منحن واه ابت مجهول م ل(C) او(P) حتى تجد لمة المجهول.

ا أجاد وابت حستلدمهاحجاد معادلة منحن دالة فضل أ تجد أوال نمطة كاملة م معلومات الس ال

التكامل المجهولة


343

𝟒 تمارين 𝟒

جد تكامالت كل مما أت ضم مجال الدالة :

∫ 2𝒙𝟐 𝟑 𝟐 𝟗

𝒙𝟐𝐝𝐱 ∫

𝟒𝒙𝟒 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝟗 𝟗


𝟒𝒙𝟒 𝟏𝟐𝒙𝟐


𝒙𝟐 𝟒𝒙𝟐 𝟏𝟐

𝒙𝟐𝐝𝐱

𝟒𝒙𝟑

𝟑 𝟏𝟐𝒙 𝒄

𝟐 ∫(𝟑 √𝟓𝒙)

𝟕

√𝟕𝒙𝒅𝒙 ∫

(𝟑 √𝟓 (√𝒙))𝟕

√𝟕 (√𝒙)𝒅𝒙

𝟏

√𝟕∫(𝟑 √𝟓 (√𝒙))

𝟕

(√𝒙)𝒅𝒙 (نوفر المشتقة)

𝟏

√𝟕( 𝟐

√𝟓)∫ .

√𝟓

𝟐/(𝟑 √𝟓 (√𝒙))

𝟕

(√𝒙)𝒅𝒙

𝟏

√𝟕( 𝟐

√𝟓)(𝟑 √𝟓 (√𝒙))

𝟖

𝟖 𝒄

𝟒 √𝟑𝟓(𝟑 √𝟓𝒙 )

𝟖 𝒄

𝟑 ∫𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫

𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙)

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟐 𝒄


𝟒 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝟏𝒙

𝟏 𝐜

𝟏

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄

: حل ألر

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄

𝟓 ∫𝒙

𝟑𝒙𝟐 𝟓 𝟒 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟒 𝒅𝒙

𝟏

𝟔∫ 𝟔 𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟒 𝒅𝒙

𝟏

𝟔 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟑

𝟑 𝒄

𝟏

𝟏𝟖 𝟑𝒙𝟐 𝟓 𝟑 𝒄

𝟔 ∫ 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓𝟑

𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝟑

𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟓 (𝟐𝟑) 𝐝𝐱

𝒙 𝟓 (𝟓𝟑)

(𝟓𝟑)

𝒄 𝟑

𝟓 𝒙 𝟓

(𝟓𝟑) 𝒄

𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙

𝟑 𝒄

𝟖 ∫𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝒅𝒙 𝟐 ∫ (

𝟏

𝟐)𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄


344

(لو كان المثال)

∫𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝒅𝒙 𝟐 ∫(

𝟏

𝟐)𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄

𝟗 ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟏)𝟐𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙𝟒 𝟔𝒙𝟐 𝟏)𝒅𝒙

𝟗

𝟓𝒙𝟓 𝟐𝒙𝟑 𝒙 𝒄

𝟏𝟎 ∫ √𝒙 𝒙

√𝒙𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ) √𝒙(𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ). √𝒙/ (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙

∫(𝒙 𝟑𝟒 ) (𝒙

𝟏𝟒) (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟐𝟒 ) (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫[𝒙

( 𝟏𝟐)] (𝟏 𝒙

(𝟏𝟐))(𝟏𝟐)

𝒅𝒙

𝟐 ∫ [ 𝟏

𝟐𝒙( 𝟏𝟐)] (𝟏 𝒙

(𝟏𝟐))(𝟏𝟐)

𝒅𝒙 𝟐(𝟏 𝒙

(𝟏𝟐))(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟒

𝟑(𝟏 𝒙

(𝟏𝟐))(𝟑𝟐)

𝒄

𝟒

𝟑 (𝟏 √𝒙)

𝟑 𝒄

(لو كان المثال)

∫ 𝒙 √𝒙

√𝒙𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ) √𝒙(√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ). √𝒙/ (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙

∫(𝒙 𝟑𝟒 ) (𝒙

𝟏𝟒) (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟐𝟒 ) (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫[𝒙

( 𝟏𝟐)] (𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏)

(𝟏𝟐)

𝒅𝒙

𝟐 ∫(𝟏

𝟐) [𝒙

( 𝟏𝟐)] (𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏)

(𝟏𝟐)

𝒅𝒙 𝟐(𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟒

𝟑(𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏)

(𝟑𝟐)

𝒄

𝟒

𝟑 (√𝒙 𝟏)

𝟑 𝒄

2د / 2013ري وزا

𝟏𝟏 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙

𝒙 𝟐 (𝟏

𝟑) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙 𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫[

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 ]𝒅𝒙

𝒙 𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫(

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)𝒅𝒙 𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟐(𝟏

𝟔) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟑

𝟐𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝟏


𝟏𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟒𝒙𝒅𝒙 (𝟏

𝟒)∫ 𝟒 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟒 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄

𝟏𝟑 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟐𝒙𝒅𝒙 .𝟏

𝟐/∫ 𝟐 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄

𝟏𝟒 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝟖𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟖𝒙 𝟏)𝒅𝒙 𝟏

𝟖𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄


345


𝟏𝟓 ∫√𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 𝟏𝟐

𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫ 𝟐 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟑𝟐

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟏

𝟑 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟑𝟐 𝒄

𝟏𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄

𝟏𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟏𝟔𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄

𝟏𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫(

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 )

𝟐

𝒅𝒙 ∫𝟏

𝟒 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟒(∫𝒅𝒙 ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝒙 𝒅𝒙)

𝟏

𝟒[𝒙

𝟐

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫

𝟏

𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙]

𝟏

𝟒[𝒙

𝟏

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄

𝟏

𝟒𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟖𝒙

𝟏

𝟗𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄

𝟑

𝟖𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟗𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة :جد التكامالت التالة /م ال

∫𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 (𝟏

𝟒) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄

𝟏

𝟐𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄

𝟐 ∫𝒔𝒊𝒏√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 𝟐 ∫(

𝟏

𝟐)𝒔𝒊𝒏√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√𝒙 𝒄

𝟑 ∫𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙𝒅𝒙 ∫

𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒂𝟐)𝒙

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒂𝟐)𝒙

𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐 (𝒂

𝟐)𝒙𝒅𝒙 ∫*𝐬𝐞𝐜𝟐 (

𝒂

𝟐)𝒙 𝟏+𝒅𝒙

𝟐

𝒂𝒕𝒂𝒏 (

𝒂

𝟐)𝒙 𝒙 𝒄

𝟒 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙

𝟐

𝟑∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟐

𝟑× 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟑

𝟑 𝐜

𝟐

𝟗 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟑 𝐜


346

𝟓 ∫√𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 (𝟏𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙

4∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

(𝟏𝟐) 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙

(𝟏

𝟒) 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

(𝟑𝟐)

𝟔 𝒄

𝟔 ∫𝒅𝒙

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫

(𝟏𝟐)𝒅𝒙

(𝟏𝟐) 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝐝𝐱 ∫(𝟏𝟐)𝒅𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝟏𝟐)𝒙

∫(𝟏

𝟐) 𝒔𝒆𝒄𝟐 (

𝟏

𝟐)𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 (

𝟏

𝟐)𝒅𝒙 𝒄

𝟕 ∫𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝐝𝒙

(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐

(𝟏𝟐)

𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄

𝟖 ∫𝟑

𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔 (

𝟏

𝒙)𝒅𝒙 𝟑 ∫

𝟏

𝒙𝟐𝐜𝐨𝐬 (

𝟏

𝒙)𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏 (

𝟏

𝒙) 𝐜

𝟗 ∫𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫(

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝒙)𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙

𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄

𝟏𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟐

𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒅𝒙 ∫

𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝟐

𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝟐𝒅𝒙 ∫(

𝒔𝒆𝒄𝒙

𝒄𝒔𝒄𝒙)𝟒

𝒅𝒙 ∫ *

𝟏𝒄𝒐𝒔𝒙

+

*𝟏𝒔𝒊𝒏

+

𝟒

𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟒

𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙𝒅𝒙

)36(ا الصفحة )9( م نكمل الحل كما ا الم ال

𝟏𝟏 ∫ (𝟓

𝒙𝟑

𝟕

𝒙𝟐)(𝟏𝟑)

𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟓 𝟕𝒙

𝒙𝟑)(𝟏𝟑)

𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟑)

𝒙𝒙𝒅𝒙

𝟏

𝟕 𝟓 𝟕𝒙

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄

𝟑

𝟐𝟖 𝟓 𝟕𝒙

(𝟒𝟑) 𝒄

𝟏𝟐 ∫𝟕𝒙𝟒

𝒙 𝟓 𝟔𝒅𝒙 ∫

𝟕𝒙𝟒

𝒙 𝟓 𝟒 𝒙 𝟓 𝟐𝒅𝒙 𝟕∫

𝒙𝟒

𝒙 𝟓 𝟒 𝒙 𝟓 𝟐𝒅𝒙 𝟕∫(

𝒙

𝒙 𝟓)𝟒

𝒙 𝟓 𝟐𝒅𝒙

(𝟕

𝟓)∫ 𝟓 (

𝒙

𝒙 𝟓)𝟒

[𝟏

𝒙 𝟓 𝟐]𝒅𝒙

𝟕

𝟓 (

𝒙𝒙 𝟓

)𝟓

𝟓 𝒄

𝟕

𝟐𝟓 (

𝒙

𝒙 𝟓)𝟓

𝐜

𝟏𝟑 ∫ 𝒙𝟓 𝒙𝟑𝟑

𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒙𝟐 𝟏𝟑

𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙𝟐 𝟏)(𝟏𝟑) 𝒅𝒙 .

𝟏

𝟐/∫ 𝟐𝒙 (𝒙𝟐 𝟏)

(𝟏𝟑) 𝒅𝒙

.𝟏

𝟐/(𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄 𝟑

𝟖(𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑) 𝒄


347

𝟏𝟒 ∫ 𝟓𝒙𝟒 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 ∫𝒙 𝟓𝒙𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫𝒙(𝟓𝒙𝟐 𝟑)(𝟏𝟐) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟏𝟎)∫ 𝟏𝟎 𝒙(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

(𝟏𝟐) 𝒅𝒙

.𝟏

𝟏𝟎/(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄

𝟏𝟓(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

(𝟑𝟐) 𝒄

𝟏𝟓 ∫ 𝟓 𝟕√𝒙𝟑

√𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟐))(𝟏𝟑)

𝒙 ( 𝟏𝟐)𝒅𝒙 [

𝟐

𝟕]∫ [

𝟕

𝟐] (𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟐))(𝟏𝟑)

𝒙 ( 𝟏𝟐)𝒅𝒙

[ 𝟐

𝟕](𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟐))(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄 𝟑

𝟏𝟒(𝟓 𝟕𝒙

(𝟏𝟐))(𝟒𝟑)

𝒄

𝟏𝟔 ∫𝒙𝟔 (𝟓 𝟑

𝒙)𝟔

𝒅𝒙 ∫(𝒙 [𝟓 𝟑

𝒙])

𝟔

𝐝𝐱 ∫ 𝟓𝒙 𝟑 𝟔𝐝𝐱 (𝟏

𝟓) 𝟓𝒙 𝟑 𝟕

𝟕 𝒄

𝟑𝟓 𝟓𝒙 𝟑 𝟕 𝒄

𝟏𝟕 ∫𝒙𝟐 𝒙𝟔 𝟔𝒙𝟑 𝟗 𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑 𝟐 𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑 𝟏𝟎 𝒅𝒙

∫ 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑 𝟏𝟎 𝒅𝒙

(𝟏

𝟑) 𝒙𝟑 𝟑 𝟏𝟏

𝟏𝟏 𝒄

𝟏

𝟑𝟑 𝒙𝟑 𝟑 𝟏𝟏 𝒄

𝟏𝟖 ∫𝟕𝒙𝟐 𝒙𝟔 𝒙𝟐 𝒅𝒙 ∫𝟕𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟒 𝟏 𝒅𝒙 ∫𝟕𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟏 𝒅𝒙 (𝟕

𝟒)∫ 𝟒 𝒙𝟑(𝒙𝟒 𝟏)

(𝟏𝟐) 𝒅𝒙

(𝟕

𝟒)(𝒙𝟒 𝟏)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 𝟕

𝟔(𝒙𝟒 𝟏)

(𝟑𝟐) 𝑐


348

ـالطبعــ اللوغارتم

هيييييييي uاييييييييأ مشييييييييتمة اللوغييييييييارتم الطبعيييييييي للداليييييييية xداليييييييية موجبيييييييية لابليييييييية لالشييييييييتماق بالنسييييييييبة الييييييييى uلييييييييتك

مشتقة الدالة

الدالة

(

)

∫عله اأ و

𝟏

| | وتسيتلدم هيذه موجبية شرط أ تكو الدالة

:وه تمتلن مجموعة م اللصا ص اللاصة م ل اشتمالهاالدالة ا توار المشتمة احولى ا بعض الدوال الت صعب

𝟏 𝟎 , , ,

𝟐 𝟑 اذا كا /( )م ال جد واأ 𝟒

𝟑 𝟐 𝟒

𝟔

𝟑 𝟐 𝟒

∫ جد /(2)م ال 𝜃 𝑑

𝟏

𝜃

𝜃

𝟏 𝜃

𝜃𝜃 𝜃 𝜃

∫ 𝜃 𝑑

𝟏

𝜃

𝜃 ∫

| | |𝟏

| 𝜃

: جد مشتمة الدوال التالة : م ال /

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

(

)

(

)


349

: لكل مما أت جد التكامل م ال /

∫

∫ (

)

𝟐

𝟐

∫

𝟐 (

𝟏

𝟐)∫

𝟐

𝟐

𝟏

𝟐 | 𝟐

|

∫𝟏

| |

∫ ∫

∫

| |

∫ ∫

| |

∫ 𝟐 𝟑

𝟏 𝟑

𝟏

𝟑∫𝟑 𝟐 𝟑

𝟏 𝟑

𝟏

𝟑 |𝟏 𝟑 |

الطبع ماللوغارتدالة

الطبعييي بمعنيييى ألييير هنيييان بعيييض اليييدوال عنيييدما نشيييتمها أو اللوغيييارتمهييي دالييية عكسييية لدالييية الدالييية احسييية

اللوغيييارتماحسييية يييم عنيييدما ننتهييي نميييوم بألغييياء الدالييية احسييية عييي طريييك أدليييال دالييية داليييةالنكاملهيييا نيييدلل علهيييا

الطبع الهدف م هذه العملة ه لتغر شكل الدالة المراد العمل علها

هييي u مراوعييية للميييوة اي دالييية أسييية أ مشيييتمة ايييذا لييي

(مشتقة االس)(الدالة)

وعليييه ايييأ

وه تمتلن مجموعة م اللصا ص اللاصة م ل ∫

𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖

𝟎 𝟏

𝟏

اجد لتك /(3)م ال

𝟐

∫جد /(4)م ال 𝟐 3د / 2013وزاري

∫ 𝟐

𝟏

𝟐∫𝟐

𝟐

𝟏

𝟐

𝟐


350

عدد ثابت( ــة ) احساس الدالة احســ

هيييييي u مشييييييتمة اي داليييييية أسيييييية مراوعيييييية للمييييييوة عييييييدد ابييييييت م ييييييل أسيييييياس الداليييييية احسيييييية اييييييأ نفييييييرض أ

(مشتقة االس)( األساس )(الدالة)

∫وعليييييييييييييييييه ايييييييييييييييييأ

𝟏

وتتمز ببعض اللصا ص الت ذكرناها ا الدالة احسة السابمة وسوف نوضح ذلن ا الم ال التال .

جد /( )م ال

:لكل مما أت

𝟑𝟐 𝟓

𝟑𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟓

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐

𝟐)

𝟓

𝟓 𝟓

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة

جد /م ال

: لكل مما أت

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 𝟒 𝟒 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐

𝟑𝟐 𝟓

𝟑𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟓

𝟓

𝟓 𝟓


351

: جد التكامل لكل مما أت /م ال

∫ 𝟕 𝟏

𝟕 𝟕

∫

∫

∫ √

√ 𝟐 ∫

√

𝟐 √ 𝟐 √

: جد التكامل لكل مما أت /م ال

∫𝟒 𝟒 (𝟏

𝟒)

∫𝟐 𝟐 (𝟏

𝟐)

∫ 𝟑 𝟑 𝟏

𝟑∫ 𝟑 𝟑 𝟑

𝟏

𝟑 𝟑

∫ 𝟑 𝟕 𝟐𝟕 (𝟏

𝟕)∫ 𝟕 𝟑 𝟕 𝟐𝟕 (

𝟏

𝟕)𝟑 𝟕 (

𝟏

𝟑)

∫𝟐𝟑 𝟑 𝟒𝟐 𝟏

𝟐 𝟑 ∫

𝟐𝟑 𝟑 𝟐𝟒 𝟐

𝟐 𝟑 ∫.

𝟐𝟑 𝟑

𝟐 𝟑 𝟐𝟒 𝟐

𝟐 𝟑/

∫(𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 ) ∫𝟐𝟐 ∫𝟐𝟑 𝟓

(

2)∫ 𝟐 𝟐𝟐 (

𝟏

𝟑)∫ 𝟑 𝟐𝟑 𝟓 (

2)𝟐𝟐 (

𝟏

𝟐) (

𝟏

𝟑)𝟐𝟑 𝟓 (

𝟏

𝟐)

∫ 𝟐


352

𝟒 تمارين 𝟓

جد /1س

:لكل مما أت

𝒂 𝟑

𝟑

𝟑 𝟏

𝒃 𝐲 𝐥𝐧 (𝒙

𝟐)

(𝟏𝟐)

(𝒙𝟐) (

𝟏

𝟐) (

𝟐

𝒙)

𝟏

𝒙

𝒄 𝒚 𝒍𝒏 𝒙𝟐

𝟐𝒙

𝒙𝟐

𝟐

𝒙

𝒅 𝐲 𝒍𝒏𝒙 𝟐

𝟐 𝒍𝒏𝒙 (

𝟏

𝒙)

𝟐

𝒙 𝐥𝐧𝐱

𝒆 𝒚 𝒍𝒏 (𝟏

𝒙) 𝟑

𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑

.

𝟑𝒙 𝟒

𝒙 𝟑/ 𝟑𝒙 𝟏

𝟑

𝒙

𝒇 𝒚 𝒍𝒏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒈 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟓)

𝒆( 𝟓𝒙

𝟐 𝟑𝒙 𝟓) 𝟏𝟎𝒙 𝟑 𝟏𝟎𝒙 𝟑 𝒆( 𝟓𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟓)

𝒉 𝒚 𝟗√𝒙

𝟗√𝒙 𝒍𝒏𝟗 (

𝟏

𝟐√𝒙)

𝟗√𝒙

𝟐√𝒙 𝒍𝒏𝟗

𝒊 𝒚 𝟕( 𝒙𝟒)

𝟕(

𝒙𝟒) 𝒍𝒏𝟕 (

𝟏

𝟒)

𝒍𝒏𝟕

𝟒𝟕( 𝒙𝟒)

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐


353

:جد التكامالت احتة /2س

𝑎 ∫

𝟏

𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏 𝟑 𝟎

| 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐𝟐 𝟐𝒍𝒏𝟐

𝒃 ∫𝟐

𝟐 𝟗

𝟒

𝟎

𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝟐 𝟗 𝟒 𝟎

| | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓 𝟐 𝒍𝒏𝟑 𝟐

𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏𝟓

𝟑


𝒄 ∫ 𝟐 𝟓

𝟑

𝒅𝒙 𝟐 𝟓

𝟑

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑

𝟏

𝟐 𝟓

𝟐* 𝟑

𝟐 +

𝟏

𝟐𝟐𝟓 𝟗

𝟏

𝟐𝟏𝟔 𝟖

𝒅 ∫ 𝟐

𝟎 𝒅𝒙

𝟐 𝟎

𝟐 𝟎 𝟐 𝟏

* 𝟏 + 𝟐 𝟏* 𝟏+ 𝟏

𝟐 𝟏

𝟏

𝟐


𝒆 ∫ 𝟏 2 𝟏

𝟎 𝒅𝒙 0

𝟏

10

𝟏

𝟏 𝟎

[ ( 𝒆𝟏)

( 𝒆𝟎)

]

𝟑

𝟏 𝟏 𝒆 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑

𝟑

𝟏 𝟏 𝒆 𝟑 𝟐 𝟑

𝟑

𝟏 𝟏 𝒆 𝟑

𝟑

𝟖

: لو كا الس ال

∫ 𝟏 𝟏

𝟎 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 )

𝟏

𝟎 𝒅𝒙 0𝒆𝒙

𝒆𝟐𝒙

𝟐 10

0𝒆𝟏 𝒆𝟐

𝟐1 0𝒆𝟎

𝒆𝟎

𝟐1 𝒆𝟏

𝒆𝟐

𝟐 𝟑

𝟐


𝒇 ∫𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 𝟒 𝟏

𝟏

𝟎 𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏

𝟏 𝟎

( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔


𝒈 ∫ √

𝟐√

𝟒

𝟏

𝒅𝒙 √ 𝟒 𝟎

*𝒆√𝟒 𝒆√𝟏+ 𝒆𝟐 𝒆𝟏


𝒉 ∫ . 𝟐

𝟐 /

𝟒

𝟒

𝒅𝒙 |𝟐 |

𝟒

𝟒

𝒍𝒏 |𝟐

𝟒|𝒍𝒏 |𝟐

𝟒|𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑


354

𝒊 ∫

√

𝟐

𝟔

𝒅𝒙 ∫ ( 𝟏𝟐)

𝟐

𝟔

𝐝𝐱 (

𝟏𝟐)

[(𝟏𝟐)

𝟔

𝟐

] 𝟐√

𝟐

𝟔

𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟐

𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐

𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐

√𝟐 𝟐 √𝟐

∫ 𝟑𝟓 ∫ 𝟐𝟓 𝟓 ∫ 𝟐𝟓 𝟏 𝟓

∫ 𝟐𝟓 𝟓 𝟓 ∫ 𝟓 𝟐𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙

( 𝟏

𝟓) 𝟐𝟓

𝟐 ∫

𝟓

𝟓 𝒅𝒙

𝟏

𝟏𝟎 𝟐𝟓

𝟏

𝟓 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄


𝒌 ∫

𝟐

𝟎

𝒅𝒙 𝟐 * (

𝟐) 𝟎 + 𝟎 𝟏 𝟏 𝒆

𝑳 ∫ 𝟐

𝟏

𝒅𝒙 ∫ 𝟏

𝟐

𝟏

𝒅𝒙 ∫ 𝟏𝟐

𝟏

𝒅𝒙 ∫ 𝟐

𝟏

𝒅𝒙 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏 𝟏

: أ أ بت /3س

∫ √

𝟑 𝟏

√ 𝟐𝟑 𝟐

𝟖

𝟏

األسر ∫ 𝟐𝟑 (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟏𝟐

𝟖

𝟏

𝟑∫ (𝟏

𝟑)

𝟐𝟑 (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟏𝟐

𝟖

𝟏

𝟑

[ (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐

𝟑𝟐

]

𝟏

𝟖

𝟐 [( 𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐]

𝟏

𝟖

𝟐 [(𝟖𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐 (𝟏

𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐]

𝟐 [ 𝟐 𝟏 𝟑𝟐 𝟏 𝟏

𝟑𝟐] 𝟐 [ 𝟏

𝟑𝟐 𝟎] 𝟐 𝟏 𝟐 األمن


355

∫ |𝟑 𝟔|𝟒

𝟐

𝒅𝒙 𝟑𝟎

𝟐 𝟔 𝟑مالحظة

| 6| , 6 26 < 2

الطرف األسر ∫ | 6|

2

𝑑𝑥 ∫ 6 2

2

𝑑𝑥 ∫ 6

2

𝑑𝑥 06 2

2 1 2

2

0 2

2 6 1

𝟐

𝟒

2 𝟔 2 6 ( 24 24 𝟔 2 ) 6 6 𝟑𝟎 الطرف األمن


,𝟐 دالة مستمرة على الفترة /4س ∫اأذا كا 𝟔 𝟔

𝟏∫وكا 𝟔 𝟑

𝟔

𝟐د ـــــاج 𝟑𝟐

∫ 𝟏

𝟐

∫ 𝟑 𝟔

𝟐

𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

∫ 𝟑𝟔

𝟐

𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

|𝟑 | 𝟐𝟔 𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

𝟐𝟒 𝟑𝟐

∫ 𝟔

𝟐

𝟖

∫ 𝟔

𝟐

∫ 𝟏

𝟐

∫ 𝟔

𝟏

𝟖 ∫ 𝟏

𝟐

𝟔

∫ 𝟏

𝟐

𝟖 𝟔 ∫ 𝟏

𝟐

𝟐


356

∫أذا علمت أ جد لمة / 5س ( 𝟏

𝟐)

𝟏 𝟐∫ 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

∫ ( 𝟏

𝟐)

𝟏

𝟐∫ 𝟐

𝟒

𝟎 0

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 1𝟏

𝟐 𝟎

𝟒

. 𝟐

𝟐

𝟐/ (

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐) 𝟐 [

𝟒 𝟎]

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟑

×𝟐 ⇒ 𝟐 𝟔 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎

𝟑 𝟐

𝟐 لتك / 6س ∫اجد 𝟓 دالة نهاتها الصغرى تساوي حث 𝟐 𝟑

𝟏

للدالة نهاة صغرى /الحل

∴ 𝟎

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ⇒ 𝟏

نمطة نهاة صغرى محلة وه تحمك معادلة الدالة 𝟓 ,𝟏 النمطة ∴

𝟓 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒

𝟐 𝟐 𝟒

∫ 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑

𝟏

0 𝟑

𝟑 𝟐 𝟒 1

𝟗 𝟗 𝟏𝟐 (𝟏

𝟑 𝟏 𝟒) 𝟔 (

𝟏

𝟑 𝟑)

𝟔 (𝟏 𝟗

𝟑) 𝟔 (

𝟖

𝟑)

𝟏𝟖 𝟖

𝟑 𝟐𝟔

𝟑


357

𝟑 𝟑 أذا كيييا للمنحنييي / 7س , الب ـــــيييـنمطيييية انم 𝟏 جيييد المميييية العددييية للممييييدار

∫

𝟎 ∫

𝟎 3د / 2015وزاري

للدالة نمطة أنمالب /الحل

∴ 𝟎

𝟑 𝟑 𝟏

𝟑 𝟑 𝟐

𝟔 𝟑 𝟔 𝟑 𝟎 𝟔 ⇒ 𝟑 𝟎 𝟑

𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏

, نمطة احنمالب ∴ ,𝟑 ه 𝟑 أي أ 𝟏 , 𝟏

∫

𝟎

∫

𝟎

∫ 𝟑 𝟑 𝟐𝟏

𝟎

∫ 𝟔 𝟑 𝟑

𝟎

𝟑 0 𝟑 𝟑

𝟑1𝟎

𝟏

𝟔 0 𝟑 𝟐

𝟐1𝟎

𝟑

𝟑 0 𝟏 𝟑 𝟑

𝟑 𝟎 𝟑 𝟑

𝟑1 𝟔 0

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐 𝟎 𝟑 𝟐

𝟐1

𝟑 [ 𝟖

𝟑 𝟐𝟕

𝟑] 𝟔 [𝟎

𝟗

𝟐]

𝟑 [ 𝟏𝟗

𝟑] 𝟔 [

𝟗

𝟐]

𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔


358

أمثلة أضافة محلولة : جد التكامالت التالة م ال /

𝟏 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄

𝟐 ∫𝒆𝒍𝒏(𝒙𝟐 𝟓)𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝟓 𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝟓𝒙 𝒄

𝟑 ∫ 𝒆|𝒙|𝟐

𝟐

𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙𝟎

𝟐

𝒅𝒙 ∫ 𝒆𝒙𝟐

𝟎

𝒅𝒙 𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟐 𝟏 𝟐𝒆𝟐 𝟐

𝟒 ∫𝒅𝒙

𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙 ∫

𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝒙 𝟏 𝒍𝒏𝒙

𝟏𝟐

(𝟏𝟐)

𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄

𝟓 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒔𝒊𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄

𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄

𝟕 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄

𝟖 ∫𝒔𝒆𝒄√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 𝟐∫

𝒔𝒆𝒄√𝒙

𝟐 √𝒙𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√𝒙 𝒕𝒂𝒏√𝒙| 𝒄

𝟗 ∫ (𝟏

𝒙 𝒍𝒏𝒙

𝒙)𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒍𝒏𝒙

𝒙𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙

𝒍𝒏𝒙 𝟐

𝟐 𝒄

𝟏𝟎 ∫ 𝒍𝒏𝒙

𝒙

𝟑

𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙 𝟒

𝟒 𝒄

𝟏𝟒 ∫𝒆𝒙

𝒆 𝒆𝒙 𝟐𝒅𝒙 ∫𝒆𝒙 𝒆 𝒆𝒙 𝟐𝒅𝒙

𝒆 𝒆𝒙 𝟏

𝟏 𝒄

𝟏

𝒆 𝒆𝒙 𝒄


359

جد م ال /

: التالةللدوال

𝟏

(

𝟏

) 𝟏

𝟏 𝟏 𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 (

𝟏

)

𝟐

(

𝟐

) (

𝟐

)

𝟑

𝟒 𝒙 𝟐 𝟏 𝒙

𝟐 𝟐 𝒙

𝟐 𝟐 𝒙

𝟐 𝒙 𝟐

𝟐

𝟐

𝒙

𝟓

𝟑 𝟏

𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑

𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑

𝟑 𝟏 𝟐

: جد معادلة المماس للمنحن للدوال التالة م ال /

⒜ 𝟎 عندما

𝟎 𝟏 𝟎, نقطة التماس 𝟏

مل المماس 𝟎 𝟏

𝟏 𝟏

𝟏 𝟏

𝟎 𝟏 𝟏 (معادلة المماس) 𝟎


360

(b) 𝟐 𝟏 عندما

𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟏, نقطة التماس 𝟐

مل المماس 𝟐 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟒

𝟏 𝟏

𝟒 𝟐

𝟏 𝟐 (معادلة المماس) 𝟏 𝟒

(c) عندما

𝟏 , نقطة التماس

مل المماس (𝟏

) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐

𝟏 𝟏

𝟐

(معادلة المماس) 𝟐

,𝟎* , أ بت أ الدالة م ال /

𝟒+ م دالة ممابلة للدالة

∫جد لمة

𝟒𝟎

الحل /

ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أضا ه دالة مستمرة و لابلة لألشتماق وكذلن

𝟐

( ه دالة مقابلة للدالة )

∫

𝟒

𝟎

√𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 √𝟐 𝟏


361

مالحظة:

)نستلدم أذا كا مل المنحن حتوي على المتغر

للمل م نضع كل متغر على جهة م نكامل الطرا (

******************************************************************

𝟐 𝟑ومله عند كل نمطة م نماطه ساوي 𝟕 𝟑جد منحن الدالة الذي مس المستمم : 1س 𝟔

,𝟏 النمطية وكيا للدالية 𝟔 أذا كانت المشتمة ال انية : 2س نمطية نهاية عظميى محلية جيد منحني الدالية يم 𝟒

بأستلدام التفاضل أرسم منحن الدالة

𝟐 جد معادلة منحن الدالة الذي مله عند كل نمطة م نمطه ساوي : 3س وله نهاية صيغرى محلية لمتهيا 𝟔

> ومحدب لكل 𝟏 وكا المنحن ممعر 𝟑 𝟏

,𝟏 جد معادلة المنحن المار بالنمطة : 4س ومله عند كل نمطة م نمطه ساوي 𝟐𝟑 𝟐 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟐 𝟑

, كل نمطة م نمطها ملها عند المنحنات أذا علمت أ معادلةجد : 5س هو 𝟐

𝟐

******************************************************************

اجاد مساحة المنطمة المستوة

ــنات منحن ومحور السـالمنطمة المستوة المحددة ب حةمسا

, دالة مستمرة على الفترة لتك ومحيور مسياحة المنطمية المحيددة بيالمنحن Aولتك

, السنات والمستمم ∫| اأ

|

: لطوات الحل

:ل منحن ومحور السنات نتبع ماالجاد المساحة ب

Ⓘ الجيييياد نميييياط التميييياطع مييييع محييييور السيييينات اييييأذا كييييا النييييات نتميييي للفتييييرة 𝟎 نجعييييل , انجييييزي

. الفترة كما تعلمنا سابما واذا كا النات النتم للفترة اهمل وت لذ الفترة المعطاة امط

اذا لم تعطى مع الدالة اترة االفترة تم تحددها م لالل نماط تماطع الدالة مع محور السنات ②

تكامالت المجز ة المم المطلمة للالمساحة = مجموع ③


362

𝟑 جييييد مسيييياحة المنطميييية المحييييددة بمنحنيييي الداليييية /(1)م ييييال ومحييييور السيييينات وعلييييى 𝟒

,𝟐 الفترة 𝟐

الحل /

الجاد نمط التماطع 𝟎 نجعل

𝟑 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐

,𝟐 اترات التكامل ه ∴ 𝟎 , 𝟎, 𝟐

|∫ 𝟑 𝟒 𝟎

𝟐

| |∫ 𝟑 𝟒 𝟐

𝟎

| 0 𝟒

𝟒 𝟐 𝟐1

𝟐

𝟎

0 𝟒

𝟒 𝟐 𝟐1

𝟎

𝟐

| 𝟎 𝟒 𝟖 | | 𝟒 𝟖 𝟎 | 𝟒 | 𝟒| ( وحدة مربعة) 𝟖


ومحيييييييور السييييييينات 𝟐 ة ــيييييييـددة بمنحنييييييي الدالـــيييييييـاحة المنطمييييييية المحـــيييييييـجيييييييد مس /(2)م يييييييال

𝟑 , 𝟏 والمستمم

الحل /


𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟑

|∫ 𝟐𝟑

𝟏

|

𝟑

0 𝟑

𝟑1

𝟏

|[𝟐𝟕

𝟑] [

𝟏

𝟑]|

𝟐𝟔

𝟑 ( وحدة مساحة)


𝟑 جد مساحة المنطمة المحددة بمنحن الدالة /( )م ال 𝟑 𝟐 ومحور السنات 𝟐

الحل /


𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟏 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐

|∫ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏

𝟎

| |∫ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

| 0 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐1

𝟎

𝟏

0 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐1

𝟏

𝟐

|(𝟏

𝟒 𝟏 𝟏) 𝟎 | | 𝟒 𝟖 𝟒 (

𝟏

𝟒 𝟏 𝟏)|

𝟏

𝟒 | 𝟏

𝟒|

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 ( وحدة مساحة)


363

𝟐 جييييد مسيييياحة المنطمييية المحييييددة بمنحنيييي الدالييية /(4)م يييال ومحييييور السيييينات وعلييييى 𝟏

,𝟐 الفترة 𝟑

الجاد نمط التماطع 𝟎 نجعل الحل /

𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐, 𝟑

|∫ 𝟐 𝟏 𝟏

𝟐

| |∫ 𝟐 𝟏 𝟏

𝟏

| |∫ 𝟐 𝟏 𝟑

𝟏

|

0 𝟑

𝟑 1

𝟐

𝟏

0 𝟑

𝟑 1

𝟏

𝟏

0 𝟑

𝟑 1

𝟏

𝟑

|[( 𝟏

𝟑 𝟏) (

𝟖

𝟑 𝟐)] [(

𝟏

𝟑 𝟏) (

𝟏

𝟑 𝟏)] [ 𝟗 𝟑 (

𝟏

𝟑 𝟏)]|

|𝟕

𝟑 𝟏| |

𝟐

𝟑 𝟐| |𝟕

𝟏

𝟑|

𝟒

𝟑 𝟒

𝟑 𝟐𝟎

𝟑 𝟐𝟖

𝟑 𝟗

𝟏


ومحييييور السيييينات وعلييييى احة المنطميييية المحييييددة بمنحنيييي الداليييية ـــييييـجييييد مس /(5)م ييييال

*الفترة

𝟐, +


𝟎 𝟎 [ 𝟐, ]

|∫ 𝟎

𝟐

| |∫

𝟎

| |

𝟎

𝟐 | |

𝟎 |

| 𝟎 (

𝟐)| | 𝟎 | 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 | 𝟏| 𝟐 ( وحدة مساحة) 𝟑


364

ومحييييور السيييينات وعلييييى ة ـــييييـاحة المنطميييية المحييييددة بمنحنيييي الدالــييييـجييييد مس /(6)م ييييال

, الفترة


𝟎

𝟐 ,

|∫

𝟐

| |∫

𝟐

𝟐

| |∫

𝟐

| |

𝟐

| ||

𝟐

𝟐

|| |

𝟐 |

| (

𝟐) | | (

𝟐) (

𝟐)| | (

𝟐)|

| 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 ( وحدة مساحة) 𝟒

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة𝟐 احة المنطمييييية المحيييييددة بمنحنييييي الدالييييية ـــيييييـجيييييد مس م يييييال / ومحيييييور السييييينات وعليييييى 𝟒

,𝟏 الفترة 𝟑


𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏, ( همل السالب) 𝟑

|∫ 𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

| |∫ 𝟐 𝟒 𝟑

𝟐

| |0 𝟑

𝟑 𝟒 1

𝟏

𝟐

| |0 𝟑

𝟑 𝟒 1

𝟐

𝟑

|

|(𝟖

𝟑 𝟖) (

𝟏

𝟑 𝟒)| | 𝟗 𝟏𝟐 (

𝟖

𝟑 𝟖)| |

𝟗

𝟑 𝟖 𝟒| | 𝟑

𝟖

𝟑 𝟖|

|𝟑 𝟏𝟐| |𝟓 𝟖

𝟑| | 𝟗| |

𝟏𝟓 𝟖

𝟑| 𝟗

𝟕

𝟑 𝟐𝟕 𝟕

𝟑 𝟑𝟒



365

,𝟎 نات وعلى الفترة ــــومحور الس ة ــــاحة المنطمة المحددة بمنحن الدالـــــجد مس م ال / 𝟐


( المكن ألنه دائما عدد موجب أكبر من الصفر ) 𝟎

|∫ 𝟐

𝟎

| | 𝟐 𝟎| 𝟐 ( وحدة مربعة) 𝟏

ومحييييور السيييينات 𝟐 𝟐 جييييد مسيييياحة المنطميييية المحييييددة بمنحنيييي الداليييية م ييييال /

,𝟎*وعلى الفترة

𝟐+


𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟒 [𝟎,

𝟐]

|∫ 𝟐

𝟒

𝟎

| |∫ 𝟐

𝟐

𝟒

| |[𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟎

𝟒| |[

𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟒

𝟐| [

𝟏

𝟐 𝟏 𝟎 ] [

𝟏

𝟐 𝟎 𝟏 ]

𝟏

𝟐 |

𝟏

𝟐| ( وحدة مربعة) 𝟏

******************************************************************

مساحة المنطمة المحددة بمنحن

, لتك , دالت مستمرتا على الفترة والمسيتمم f,gدة بيالمنحن اأ المساحة المحيد

∫| ه ,

|

لطوات الحل :

:الجاد المساحة ب منحن دالت نتبع مال

Ⓘ الجييياد نميييياط التمييياطع ايييأذا كييييا النيييات نتميييي للفتيييرة نجعيييل , انجيييزي الفتييييرة كميييا تعلمنييييا

. سابما واذا كا النات النتم للفترة اهمل وت لذ الفترة المعطاة امط

. اذا لم تعطى مع الدالة اترة االفترة تم تحددها م لالل نماط تماطع الدالت ②

الدالة احصغر ( –للدالة احكبر )مجموع المم المطلمة للتكامالت المجز ة المساحة = ③


366

1د / 2011 يوزار

والمستمم √ المحددة بالمنحن المنطمة جد مساحة /(1)م ال

الحل /

√وذلن بجعل نمط التماطع نجد

√ (بالتربع)⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏

|∫ (√ )𝟏

𝟎

| |∫ ( (𝟏𝟐) )

𝟏

𝟎

| |[ (𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝟐

𝟐]

𝟎

𝟏

| [0𝟐 √ 𝟑

𝟑 𝟐

𝟐1𝟎

𝟏

]

[(𝟐

𝟑 𝟏

𝟐) 𝟎 ]

𝟒 𝟑

𝟔 𝟏

𝟔 ( وحدة مساحة)

والمستمم 𝟑 المنحن المحصورة ب المنطمة جد مساحة /(2)م ال

الحل /

𝟑 نجد نمط التماطع وذلن بجعل

𝟑 𝟑 𝟎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏

|∫ 𝟑 𝟎

𝟏

| |∫ 𝟑 𝟏

𝟎

| |0 𝟒

𝟒 𝟐

𝟐1 𝟏

𝟎

| |0 𝟒

𝟒 𝟐

𝟐1𝟎

𝟏

|

| 𝟎 (𝟏

𝟒 𝟏

𝟐)| |(

𝟏

𝟒 𝟏

𝟐) 𝟎 |

𝟏

𝟒 | 𝟏

𝟒|

𝟏

𝟐 (وحدة مساحة)


367

و منحن الاحة المنطميييييييية المحييييييييددة بييييييييـــييييييييـجييييييييد مس /(3)م ييييييييال

*وعلى الفترة

𝟐,

𝟐+

الجاد نمط التماطع نجعل الحل /

𝟏

𝟒 [ 𝟐, 𝟐] (األتجاه الموجب)

|∫

𝟒

𝟐

| |∫

𝟐

𝟒

| ||

𝟒

𝟐

|| |

|

𝟐

𝟒

||

|. (

𝟒) (

𝟒)/ . (

𝟐) (

𝟐)/| |. (

𝟐) (

𝟐)/ . (

𝟒) (

𝟒)/|

|(𝟏

√𝟐 𝟏

√𝟐) 𝟏 𝟎 | | 𝟏 𝟎 (

𝟏

√𝟐 𝟏

√𝟐)|

|𝟐

√𝟐 𝟏| |𝟏

𝟐

√𝟐| |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 ( وحدة مساحة) 𝟐√𝟐

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة𝟐 منحن الجيييييييد مسييييييياحة المنطمييييييية المحيييييييددة بييييييي م يييييييال / 𝟓 و 𝟏 𝟐

,𝟐 وعلى الفترة 𝟑

الجاد نمط التماطع نجعل / الحل

𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎 𝟒 𝟏 𝟎

𝟏 𝟐,𝟑 𝟒 𝟐,𝟑

|∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟏

𝟐

| |∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑

𝟏

| |0 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐 𝟒 1

𝟐

𝟏

| |0 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐 𝟒 1

𝟏

𝟑

|

|( 𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟒) (

𝟖

𝟑 𝟔 𝟖)| |(𝟗

𝟐𝟕

𝟐 𝟏𝟐) (

𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟒)|

| 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖

𝟔| |

𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒

𝟔|

𝟏𝟕

𝟔 | 𝟏𝟏𝟐

𝟔|

𝟏𝟕

𝟔 𝟏𝟏𝟐

𝟔 𝟏𝟐𝟗

𝟔 𝟒𝟑

𝟐 ( وحدة مساحة)


368

𝟒 المحددة بالمنحن المساحة جد م ال / 𝟐 و 𝟏𝟐

الحل /

الجاد نمط التماطع نجعل

𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 همل 𝟑 √∓

|∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐)𝟐

𝟐 | |0

𝟓

𝟓 𝟑

𝟑 𝟏𝟐 1

𝟐

𝟐

| 0𝟑𝟐

𝟓 𝟖

𝟑 𝟐𝟒1 0

𝟑𝟐

𝟓 𝟖

𝟑 𝟐𝟒1

|𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎

𝟏𝟓| |

𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎

𝟏𝟓| |

𝟑𝟎𝟒

𝟏𝟓|

𝟑𝟎𝟒

𝟏𝟓 𝟔𝟎𝟖

𝟏𝟓 𝟒𝟎

𝟖

𝟏𝟓 ( وحدة مساحة)

𝟐 و 𝟏 𝟐 𝟐 جييييييد مسيييييياحة المنطميييييية المحييييييددة بييييييالمنحن م ييييييال /

,𝟎*وعلى الفترة

𝟐+

الحل /


𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏

𝟏 𝟐 [𝟎,

𝟐] ( همل) 𝟏

|∫ 𝟐 𝟏

𝟐

𝟎

| |∫ 𝟐

𝟐

𝟎

∫

𝟐

𝟎

| |∫ (𝟏

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 )

𝟐

𝟎

∫

𝟐

𝟎

|

|[𝟏

𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 ]

𝟎

𝟐

𝟎

𝟐| |[(

𝟏

𝟐×

𝟐 𝟎) 𝟎] *

𝟐 𝟎+| |

𝟒

𝟐| |

𝟒|

𝟒 ( وحدة مساحة)


369

|𝟏 | جد مساحة المنطمة المحصورة ب المنحن م ال / و 𝟐 𝟏

𝟓 𝟕 ,

, الحل / 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 < 𝟏

, 𝟏 𝟏𝟑 < 𝟏


𝟏 𝟏

𝟓 𝟕

𝟔

𝟓 𝟔 𝟓 𝟏

𝟑 𝟏

𝟓 𝟕

𝟒

𝟓 𝟒 𝟓 < 𝟏

|∫ (𝟒

𝟓 𝟒)

𝟏

𝟓

| |∫ ( 𝟔

𝟓 𝟔)

𝟓

𝟏

| |0𝟒 𝟐

𝟏𝟎 𝟒 1

𝟓

𝟏

| |0 𝟔 𝟐

𝟏𝟎 𝟔 1

𝟏

𝟓

|

|.𝟒

𝟏𝟎 𝟒/ 𝟏𝟎 𝟐𝟎 | | 𝟏𝟓 𝟑𝟎 .

𝟔

𝟏𝟎 𝟔/| |

𝟒𝟒

𝟏𝟎 𝟏𝟎| |𝟏𝟓

𝟓𝟒

𝟏𝟎|

|𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒

𝟏𝟎|

𝟐𝟒𝟎

𝟏𝟎 ( وحدة مساحة) 𝟐𝟒

, 𝟐 جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحن م ال / 𝟏

𝟐,𝟎 وعلى الفترة 𝟐 𝟏


𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟎

(بالدستور)⇒

𝟏𝟐

𝟏𝟒 𝟖

𝟐

𝟏𝟐

𝟑𝟑𝟒

𝟐

𝟏𝟐 √𝟑𝟑𝟐

𝟐 𝟏 √𝟑𝟑

𝟒

𝟏 √𝟑𝟑

𝟒 𝟎,𝟏

0 0 نلتبر الدالة < ه الدالة احكبر لذا اأ الدالة 2 0

|∫ (𝟏

𝟐 𝟐 𝟐)

𝟏

𝟎

| |0 𝟐

𝟒 𝟐

𝟑

𝟑1𝟎

𝟏

| |(𝟏

𝟒 𝟐

𝟏

𝟑) 𝟎 |

𝟑 𝟐𝟒 𝟒

𝟏𝟐

𝟐𝟑

𝟏𝟐 ( وحدة مساحة)


370

المســــــااة

سيييرعة جسيييم تحيييرن عليييى ليييط مسيييتمم واييي مسيييتوي ميييا ايييأ المسيييااة الممطوعييية اييي الفتيييرة ليييتك

, 𝟏 الزمنة ∫ : ه 𝟐 | | 𝟐 𝟏

ممدار المسااة وه كمة غر متجهة حث تم ل

ة ـــــــييييييـات متجهيييييية وأ أزاحــــييييييـاهيييييي كم والتعجييييييل رعة ـــــــييييييـوالس ا احزاحييييييةــــــــــييييييـأم

∫ الجسم ه 𝟐 𝟏

∫ و سرعة الجسم

مالحظات :

Ⓘ هم أذا كا موجب أو سالب أو صفر احزاحة تكامل محدد للسرعة وكو بدو مطلك ح النات ال

كو النات سالب وجود المطلك ا لانو المسااة هو لك ال ②

∫جد احزاحة لالل ال انة ال امنة اهذا عن حساب م ال أذا طلب ا الس ال ③ الدالة

∫أذا طلب ا الس ال م ال جد احزاحة لالل ال وان اللمس احولى اهذا عن حساب ④ الدالة

السرعةأذا أعط ا الس ال تعجل الجسم اأ ⑤ ∫ وهو تكامل غر محدد التعجل

اييي حالييية أجييياد المسيييااة تغييير أتجييياه الجسيييم وهيييذا عنييي حيييدوث تجز ييية اييي التكاميييل أ وجيييد واييي حالييية ⑥

احزاحة كو أتجاه الجسم ابت لذا تهمل التجز ة ا التكامل أ وجدت .


371

:اجــــــــــــــد ⁄ 𝟒 𝟐 جسم تحرن على لط مستمم بسرعة /( )م ال

ⓐ 𝟏 المسااة الممطوعة ا الفترة, 𝟑 ⓑ 𝟏 احزاحة الممطوعة ا الفترة, 𝟑

ⓒامسة المسااة الممطوعة ا ال انة الل ⓓ وان م بدء الحركة (4)بعده بعد مض

4 2/ل الح 0 2 4 𝟐 ,

|∫ 𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

| |∫ 𝟐 𝟒 𝟑

𝟐

| | 𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

| | 𝟐 𝟒 𝟑

𝟐

|

| 𝟒 𝟖 𝟏 𝟒 | | 𝟗 𝟏𝟐 𝟒 𝟖 | | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐

∫ 𝟐 𝟒 𝟑

𝟏

𝟐 𝟒 𝟑

𝟏

𝟗 𝟏𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟑 𝟎

|∫ 𝟐 𝟒 𝟓

𝟒

| | 𝟐 𝟒 𝟓

𝟒

| | 𝟐𝟓 𝟐𝟎 𝟏𝟔 𝟏𝟔 | 𝟓

∫ 𝟐 𝟒 𝟒

𝟎

| 𝟐 𝟒 𝟒

𝟎

| 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟎 𝟎

⁄𝟐 𝟏𝟖 جسييييم تحييييرن عليييييى لييييط مسييييتمم بتعجييييل /(2)م ييييال ايييييأذا كانييييت سييييرعته لييييد أصيييييبحت

:اجد م بدء الحركة وان (4)بعد مرور 𝟖𝟐

ⓐ ال ال ةال انة المسااة لالل ⓑ وان (3)بعده ع نمطة بدء الحركة بعد مرور

الحل /

∫ ∫𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖

𝟖𝟐 𝟏𝟖 𝟒 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎

𝟏𝟖 𝟏𝟎

|∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟑

𝟐

| | 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

𝟐

| | 𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟔 𝟐𝟎 | 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓

∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟑

𝟎

𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

𝟎

𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟏

ⓒ وان (10)ا الم ال أعاله جد السرعة بعد مرور

𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎


372

𝟒 تمارين 𝟔

𝟒 منحن الاحة المحددة بـمسالجد / 1س , 𝟏 ومحور السنات والمستمم 𝟏


𝟒 𝟎 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟏 𝟏 𝟏, 𝟏

|∫ 𝟒 𝟎

𝟏

| |∫ 𝟒 𝟏

𝟎

| |0 𝟓

𝟓

𝟐

𝟐

1 𝟏

𝟎

| |0 𝟓

𝟓

𝟐

𝟐

1𝟎

𝟏

|

| 𝟎 ( 𝟏

𝟓 𝟏

𝟐)| |(

𝟏

𝟓 𝟏

𝟐) 𝟎 | | (

𝟐 𝟓

𝟏𝟎)| |(

𝟐 𝟓

𝟏𝟎)|

𝟕

𝟏𝟎 𝟑

𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟏𝟎 ( وحدة مساحة) 𝟏

𝟒 الدالةاحة المحددة بـمسالجد / 2س 𝟑 𝟐 ,𝟐 وعلى الفترة 𝟒 ومحور السنات 𝟑


𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟐, 𝟑 , 𝟐 همل 𝟏

|∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒)𝟐

𝟐

| |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒)𝟑

𝟐

| |0 𝟓

𝟓 𝟑 𝟒 1

𝟐

𝟐

| |0 𝟓

𝟓 𝟑 𝟒 1

𝟐

𝟑

|

|(𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖) (

𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖)| |(

𝟐𝟒𝟑

𝟓 𝟐𝟕 𝟏𝟐) (

𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖)|

|𝟔𝟒

𝟓 𝟑𝟐| |

𝟐𝟏𝟏

𝟓 𝟐𝟑| |

𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎

𝟓| |

𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓

𝟓|

| 𝟗𝟔| 𝟗𝟔

𝟓 𝟏𝟗𝟐

𝟓 ( وحدة مساحة)

𝟒 الدالةاحة المحددة بـمسالجد /3س ومحور السنات 𝟐


𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏

|∫ 𝟒 𝟐 𝟎

𝟏

| |∫ 𝟒 𝟐 𝟏

𝟎

| |0 𝟓

𝟓 𝟑

𝟑1 𝟏

𝟎

| |0 𝟓

𝟓 𝟑

𝟑1𝟎

𝟏

|

| 𝟎 ( 𝟏

𝟓 𝟏

𝟑)| |(

𝟏

𝟓 𝟏

𝟑) 𝟎 | |

𝟑 𝟓

𝟏𝟓| |

𝟑 𝟓

𝟏𝟓| |

𝟐

𝟏𝟓| |

𝟐

𝟏𝟓|

𝟒

𝟏𝟓 ( وحدة مساحة)

2د / 2012 وزاري


373

,𝟎*ومحور السنات وعلى الفترة 𝟑 منحنالاحة المحددة بـمسالجد /4س

𝟐+

الحل /


𝟑 𝟎 𝟑 𝟎, , 𝟐 𝟎 *𝟎,

𝟐+

𝟑 *𝟎,

𝟐+

𝟐

𝟑 *𝟎,

𝟐+

|∫ 𝟑

𝟑

𝟎

| |∫ 𝟑

𝟐

𝟑

| |0 𝟑

𝟑1𝟎

𝟑

| |0 𝟑

𝟑1 𝟑

𝟐

|

|[ 𝟑 (

𝟑)

𝟑] 0

𝟑 𝟎

𝟑1| |[

𝟑 ( 𝟐)

𝟑] [

𝟑 ( 𝟑)

𝟑]|

|0

𝟑1 0

𝟎

𝟑1| |[

(𝟑 𝟐)

𝟑] 0

𝟑1|

|0 𝟏

𝟑1 0

𝟏

𝟑1| | 𝟎 0

𝟏

𝟑1| |

𝟏

𝟑 𝟏

𝟑| |

𝟏

𝟑|

𝟐

𝟑 𝟏

𝟑 وحدة مساحة 𝟏

,𝟎*ومحور السنات وعلى الفترة 𝟏 𝟐 𝟐 منحنالاحة المحددة بـمسالجد /5س

𝟐+

الحل /


𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

𝟐 ,𝟑

𝟐

𝟒 *𝟎,

𝟐+

𝟑

𝟒 *𝟎,

𝟐+

|∫ 𝟐

𝟒

𝟎

| |∫ 𝟐

𝟐

𝟒

| |0 𝟐

𝟐1𝟎

𝟒

| |0 𝟐

𝟐1 𝟒

𝟐

|

| 𝟐 (

𝟒)

𝟐 𝟐 𝟎

𝟐| |

𝟐 ( 𝟐)

𝟐 𝟐 (

𝟒)

𝟐| |

( 𝟐)

𝟐 𝟎

𝟐| |

𝟐 (

𝟐)

𝟐|

|𝟏

𝟐 𝟎 | |𝟎

𝟏

𝟐| |

𝟏

𝟐| |

𝟏

𝟐|

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐 وحدة مساحة 𝟏


374

𝟏 √ مساحة المحددة بالدالت الجد /6س 𝟏

𝟐 [2,5]وعلى الفترة ,


√ 𝟏 𝟏

𝟐

(( بالتربع))

⇒ 𝟏 𝟏

𝟒 𝟐

× 𝟒 ⇒ 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐, 𝟓

|∫ [𝟏

𝟐 𝟏

𝟏𝟐]

𝟓

𝟐

| |[ 𝟐

𝟒 𝟏

𝟑𝟐

(𝟑𝟐)

]

𝟐

𝟓

| |[ 𝟐

𝟒 𝟐 𝟏

𝟑𝟐

𝟑]

𝟐

𝟓

|

| 𝟐𝟓

𝟒 𝟐 𝟒

𝟑𝟐

𝟑 𝟏

𝟐 𝟏 𝟑𝟐

𝟑 | |

𝟐𝟓

𝟒 𝟐(𝟐𝟐)

𝟑𝟐

𝟑 (𝟏

𝟐

𝟑)|

|𝟐𝟓

𝟒 𝟏𝟔

𝟑 𝟏

𝟑| |

𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒

𝟏𝟐| |

𝟕

𝟏𝟐|

𝟕


𝟒 المحددة بالدالت جد المساحة /7س 𝟏𝟐 𝟐 ,

𝟔𝟓 محلول صفحة الحل /


,𝟎 حث ,المحددة بالدالت احة ـــــمسالجد / 8س 𝟐 الجاد نمط التماطع نجعل الحل /

𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟐

𝟏 𝟎 𝟎, 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟐

|∫

𝟎

| |∫ 𝟐

|

|0 𝟐

𝟐 1

𝟎

| |0 𝟐

𝟐 1

𝟐

|

|0 𝟐

𝟐 1 0

𝟐 𝟎

𝟐 𝟎 1| |0

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 1 0

𝟐

𝟐 1|

| 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 | | 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 | | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 وحدة مساحة 𝟒


375


,𝟎* حث 𝟏 𝟐 , لدالت المحددة با المساحةجد / 9س 𝟑

𝟐+


𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑

𝟐 [𝟎,

𝟑

𝟐]

|∫ 𝟏

𝟑 𝟐

𝟎

| | 𝟎

𝟑 𝟐 |

|( 𝟑

𝟐 𝟑

𝟐) 𝟎 𝟎 | |(𝟎

𝟑

𝟐) 𝟏 | |

𝟑

𝟐 𝟏|

𝟑

𝟐 وحدة مساحة 𝟏

𝟑 الدالة المساحة المحددة بجد /10س 𝟒 𝟐 ومحور السنات 𝟑


𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟒 𝟑 𝟎

𝟏 𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑

|∫ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟏

𝟑

| |∫ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎

𝟏

|

|0 𝟒

𝟒 𝟒 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐1 𝟑

𝟏

| |0 𝟒

𝟒 𝟒 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐1 𝟏

𝟎

|

|(𝟏

𝟒 𝟒

𝟑 𝟑

𝟐) (

𝟖𝟏

𝟒 𝟑𝟔

𝟐𝟕

𝟐)| | 𝟎 (

𝟏

𝟒 𝟒

𝟑 𝟑

𝟐)|

|𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐

𝟏𝟐| |

𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖

𝟏𝟐|

𝟑𝟐

𝟏𝟐 | 𝟓

𝟏𝟐|

𝟑𝟐 𝟓

𝟏𝟐 𝟑𝟕

𝟏𝟐 𝟑

𝟏



376

𝟐 𝟑 بسرعة جسم تحرن على لط مستمم /11س أحسب 𝟑 𝟔

ⓐ 2,4 المسااة الممطوعة ا الفترة ⓑ 0 احزاحة ا الفترة, 1د / 2015وزاري /الحل

𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 0

𝟐 𝟐 𝟏 0 0 𝟏 𝟎 2,4

|∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑)𝟒

𝟐

| | 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐| | 𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟖 𝟏𝟐 𝟔 | |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔

∫ 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 𝟓

𝟎

| 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓

𝟎

| 𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓 𝟎 𝟔𝟓


وكانيييييت سيييييرعته بعيييييد 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 م تحيييييرن عليييييى ليييييط مسيييييتمم بتعجيييييل ليييييدره ــــيييييـجس /12س

أحسب 𝟗𝟎 وان تساوي (4)مرور

ⓐ 𝟐 السرعة عندما

ⓑ 2, المسااة لالل الفترة

ⓒ وان م بدء الحركة (10)االزاحة بعد

/الحل

∫ ∫ 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐

𝟗𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎

𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐

∫ (𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎)𝟐

𝟏

0𝟐 𝟑

𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 1

𝟏

𝟐

|(𝟏𝟔

𝟑 𝟐𝟒 𝟐𝟎) (

𝟐

𝟑 𝟔 𝟏𝟎)|

|𝟏𝟔

𝟑 𝟒𝟒

𝟐

𝟑 𝟏𝟔| |

𝟏𝟒

𝟑 𝟐𝟖|

𝟏𝟒 𝟖𝟒

𝟑 𝟗𝟖

𝟑

∫ 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟎

0𝟐 𝟑

𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 1

𝟎

𝟏𝟎

|(𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) 𝟎 |

𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎

𝟑 𝟒𝟏𝟎𝟎

𝟑


377

جيد أو 2 6 00 م بدء الحركية اصيبحت سيرعتها انة تتحرن نمطة م السكو وبعد /13س

2د / 2014وزاري . التعجل عندها بمنه م أحس تالذي بدا ولاال هاالى موضعنمطة الزم الالزم لعودة ال

الحل /

نكامل الطرفن 2 6 00

∫( 00 6 2) 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑

النقطة تتحرك من السكون

∴ 𝟎 , 𝟎

𝟎 𝟓𝟎 0 2 𝟐 𝟎 𝟑 𝟎

𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑

لذا كون :تساوي صفر عند عودة النقطة الى موضعها األول عن أن األزاحة

𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 𝟎 2 𝟓𝟎 𝟐 𝟎

2 همل 𝟎 𝟎

الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها األول 𝟐𝟓 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 2 0

التعجل

00 2

𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐


378

ـة:الحجــوم الدورانـ

الى المسييتمرة ميي لحسيياب حجييم الشييكل المتولييد ميي دورا المنطميية المحييددة بيي منحنيي الداليية .1

∫ حول محور السنات نطبك العاللة التالة 𝟐

الى المسييتمرة ميي لحسيياب حجييم الشييكل المتولييد ميي دورا المنطميية المحييددة بيي منحنيي الداليية . 2

∫ حول محور الصادات نطبك العاللة التالة 𝟐


0المنطميييييية المحييييييددة بيييييي المنحنيييييي /( )م ييييييال دارت ,ومحييييييور السيييييينات , √ 4

جد حجمها ., حول محور السنات

/الحل

∫ 𝟐

∫ (√ )𝟐

𝟒

𝟎

∫ 𝟒

𝟎

0 2

21

[( 6

2) ( وحدة مكعبة) [ 0


𝟏المنحن المنطمة المحددة ب /(2)م ال 𝟒 𝟏

. جد حجمها. دارت حول محور الصادات ,

/الحل

∫ 𝟐

∫ .𝟏

/

𝟐𝟒

𝟏

∫ (𝟏

)

𝟒

𝟏

𝟒 𝟏 𝟒 ( وحدة مكعبة) 𝟐 𝟐 𝟏


2 أوجييييد الحجييييم النيييات ميييي دورا المسيييياحة المحييييددة بيييالمطع المكيييياا الييييذي معادلتييييه /( )م يييال

السن حول المحور 0 , 2 والمستمم

/الحل

∫ 𝟐

∫ 𝟐

𝟎

4 2 𝟐

𝟎

6 ( وحدة مكعبة) 6 0


379

2 2 أوجيييد الحجيييم النيييات مييي دورا المسييياحة المحيييددة بيييالمطع المكييياا اليييذي معادلتيييه /(4)م يييال

حول المحور السن , 0 والمستمم

/الحل

∫ 𝟐

∫ (𝟐 𝟐)𝟐

𝟓

𝟎

∫ 𝟒 𝟒𝟓

𝟎

0𝟒 𝟓

𝟓1𝟎

𝟓

0𝟒 𝟓 𝟓

𝟓 𝟎 1 ( وحدة مكعبة) 𝟐𝟓𝟎𝟎

2 4 سيييييييياحة المحييييييييددة بييييييييالمطع المكيييييييياا أوجييييييييد الحجييييييييم النييييييييات ميييييييي دورا الم /(5)م ييييييييال

حول المحور الصادي 6 , 0 والمستمم

/الحل

∫ 𝟐

∫ (

𝟒)

𝟏𝟔

𝟎

0 𝟐

𝟖1𝟎

𝟏𝟔

0 𝟏𝟔 𝟐

𝟖 𝟎 1 ( وحدة مكعبة) 𝟑𝟐


ومنحنيييي الداليييية أوجييييد الحجييييم الناشيييي ميييي دورا المنطميييية المحصييييورة بيييي محييييور الصييييادات /(6)م ييييال

𝟏

, والمستمم

2 دورة كاملة حول المحور الصادي .

/الحل

2 2

∫ 𝟐

∫ (𝟏

𝟐)

𝟐

𝟏

[ 𝟏

]𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 𝟏]

𝟏

𝟐 ( وحدة مكعبة)


أوجيييد حجييييم المنطميييية المحصييييورة بييي منحنيييي الداليييية 𝟏

, 2 والمسييييتمم ومحييييور

الصادات دورة كاملة حول المحور الصادي

/الحل

∫ 𝟐

∫ (𝟏

𝟐)

𝟐

𝟏

[ 𝟏

]𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 𝟏]

𝟏



380

𝟒 تمارين 𝟕

2 أوجييييييد الحجييييييم الييييييدوران المتولييييييد ميييييي دورا المسيييييياحة المحييييييددة بييييييالمطع المكيييييياا :/(1)س

حول المحور السن 2 , والمستمم /الحل

∫ 𝟐

∫ 2 2𝟐

𝟏

∫ 𝟐

𝟏

0

1

2

[ 2

]

( وحدة مكعبة)


2 أوجييييييد الحجييييييم النييييييات ميييييي دورا المسيييييياحة المحصييييييورة بيييييي منحنيييييي الداليييييية /2س

حول المحور الصادي 4 والمستمم /الحل

0

2 2

∫ 𝟐

∫ 𝟏 𝟒

𝟏

0 𝟐

𝟐 1

𝟏

𝟒

[ 𝟖 𝟒 (𝟏

𝟐 𝟏)] [𝟒

𝟏

𝟐] 𝟒

𝟏


2 أحسييييييييب الحجييييييييم المتولييييييييد ميييييييي دورا المسيييييييياحة المحصييييييييورة بيييييييي المنحنيييييييي /3س

حول المحور الصادي 0 والمستمم

/الحل

2 2

𝟎 2 (حدود التكامل) 𝟏

∫ 𝟐

∫ ( 2)𝟐

𝟏

𝟏

∫ (𝟏 𝟐 2 4)𝟏

𝟏

0 𝟐 𝟑

𝟑 𝟓

𝟓1 𝟏

𝟏

[(𝟏 𝟐

𝟑 𝟏

𝟓) ( 𝟏

𝟐

𝟑 𝟏

𝟓)] [𝟐

𝟒

𝟑 𝟐

𝟓]

𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔

𝟏𝟓

𝟏𝟔

𝟏𝟓 ( وحدة مكعبة)


2 أحسيييييييييب الحجيييييييييم المتوليييييييييد مييييييييي دورا المسييييييييياحة المحصيييييييييورة بييييييييي المنحنييييييييي /4س

حول المحور السن 2 , 0 ا والمستمم

/لحلا

∫ 𝟐

∫ 𝟐

𝟎

0

41

2

[ 6

4 ( وحدة مكعبة) 4 [0


381

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الرابع

جد / 6س

, الفروع لكل مما أت : لفاضمرتبطة بموضوع الت

𝟐 |𝟐 |

𝟐 𝟏𝟐

𝟐 |𝟐 | 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 |𝟐 |

𝟐 𝟐

𝟐 | |

𝟐

𝟏

| | 𝟐 𝟐 | |

| 𝟐 |

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟒

𝟐


382

تكامالت كال مما أت : جد / 13س

∫ 𝟒 𝟒

∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟏

𝟏

𝟐∫ 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

∫ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐

∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟐∫

𝟏

𝟐∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐∫ 𝟏 𝟒 𝟐∫

𝟏

𝟐 𝟑 𝟐

𝟑 𝟐

𝟏

𝟐(

𝟏

𝟒 𝟒 ) 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟖 𝟒 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 𝟐 𝟐

𝟓

𝟐

𝟏

𝟖 𝟒

∫ | |

∫ 𝟏

𝟐

𝟐

∫𝟐 √

𝟑

√ 𝟐𝟑

∫𝟐 ( 𝟐𝟑)

𝟏𝟑 𝟐 𝟑 ∫(

𝟏

𝟑)

( 𝟐𝟑)

𝟏𝟑 𝟔

𝟏𝟑 𝟔 √

𝟑


383

∫ 𝟑

∫ 𝟐 ∫ 𝟐 𝟑

𝟑

∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑

∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟐 𝟑

∫ 𝟑 𝟓 𝟐 𝟑

∫ 𝟑 𝟓 𝟐 𝟏𝟑

𝟏

𝟏𝟎∫ 𝟏𝟎 𝟑 𝟓 𝟐

𝟏𝟑

𝟏

𝟏𝟎× 𝟑 𝟓 𝟐

𝟒𝟑

𝟒𝟑

𝟑

𝟒𝟎 𝟑 𝟓 𝟐

𝟒𝟑

∫𝟏

𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗

∫𝟏

𝟕 𝟐 ∫ 𝟕 𝟐

𝟕 𝟏

𝟏

𝟏

𝟕

∫ 𝟐𝟑 𝟑

𝟏

𝟑∫ 𝟑 𝟐𝟑 𝟑

𝟏

𝟑 𝟑


384

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الرابع

جد نات : ⁄ 1/د 96س ال وزاري

∫ 2

2 ∫

√

∫ 2 [

2

2

]

[2 2]

[2 22 2] [2

2] 4 2 2

∫ 6

∫ 2 2

∫ 2 ∫ 2

2

2

9

:جد نات ⁄ 2/د96س ال وزاري

∫

∫ 2 2 ∫ 2

2∫ 2

2(

2 2 )

2

4 2

: جد نات ⁄ 1/د97س ال وزاري

∫ √ 2

∫ 2 2

2∫2 2

2

0

2

1

*

2

+

*

2

+ *

+

2

4


385

: جد نات ⁄ 1/د97س ال وزاري

∫ 2 2

∫ 2

2 2

2∫ 2

2∫ 2 2

2

2∫ 2 2

2

2∫ 4

4 2

4(

4 4 )

4 2

4

6 4

جد نات : ⁄ 2/د97س ال وزاري

∫ 2

∫ 2 2 ∫ 2∫

2∫ 6

2

2(

6 6 )

2

2

2 6

: جد:1/د98س ال وزاري

∫ 2 2

∫ 2 2 2 22

2∫ 2 2∫ 2

2∫ 4

2(

2 2 ) 4

2(

4 4 )

2

4 2

4

2

4

4 2

4

4


386

∫إذا كا : 1/د98س ال وزاري 𝟑 𝟗

𝟒

𝟏 ؟ ما لمة

*

2

+

*

2

+ *

2

+

2

2

2

2

4

4 9

4 × ⇒ 2 2 9 2 2 9 0

2 2 0 2 2 0

2 4 2 2 0

2 همل 2

2 4 0 2 4 2

∫إذا كا : 2/د98س ال وزاري 𝟐 𝟑 𝟏𝟐

, ما لمة 𝟑 𝟐 وكا ؟

الحل/

2

∫ 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 9 2 4 2 9 6 2 0

2 9 2 4 2 9 6 2 0 2 2 0 0 ⇒

2 0 0 2 0

2 0 2 2 2

0 2


387

𝟏 : جيييييييد المسييييييياحة المحيييييييددة بمنحنييييييي الدالييييييية 2/د2000سييييييي ال وزاري ومحيييييييور 𝟐 𝟐

,𝟎* الفترة السنات وعلى

𝟐+

الحل:

2 2 0 2 0 2

2 ,

2 2

4 *𝟎,

𝟐+ ,

4 *𝟎,

𝟐+

*0,

+ , *

,

2+ فترات التكامل

||∫ 2

|| ||∫ 2

2

|| |[

2 2 ]

| |[

2 2 ]

2|

|[

2

2] [

2 0]| |[

2 ] [

2

2]|

|

2

2 0 | |

2 0

2 |

2

2 وحدة مربعة


∫ 2 2

∫ 2 ∫ [

2 2 ]

2

∫(

2 2 )

2

∫

4 22

4

2 ∫ 4

(

4 4 )

2 4


∫

9 2 4 2

∫

2 2 ∫ 2 2

2∫ 2 2 2

0

2 2

1

[

2 2 ]

[

2 ] [

2 ]

2

0

0 4

0 2


388

𝟑 : جييييد المسيييياحة المحييييددة بمنحنيييي الداليييية 1/ د2001سيييي ال وزاري ومحييييور السيييينات وعلييييى 𝟗

,𝟑 الفترة 𝟑 .

2 0 9 الحل/ 9 0 0 2 9 0

2 9

, 0, فترات التكامل ∴ 0,

|∫ 9

| |∫ 9

|

|*

2+

| |*

2+

| | 0 *

2+| |*

2+ 0 |

| 2

| |

2

|

2

40


جد لمة:: 1/د2001س ال وزاري

∫ 2 2

∫ 2 2 2 [

2 2

2

]

[2

2

2]

[2

6 20

2] [

2

0

2] [

2

62

2]

2

2 6

4 2

44

𝟒 : جد المساحة المحددة بمنحن الدالت 1/د2002س ال وزاري 𝟒 , 𝟑 𝟐.

4 الحل/ 2 2 4 2 4 0

2 4 2 0

2 4 0 2 4 2 2 همل 0

|∫ 2 4 2

2| |*

4 +

2

2

|

|[ 2

] [

2

]| |

64

2| |

96

|

96

وحدة مربعة


389

,𝟏 وعلى 𝟐 , 𝟐 : جد المساحة المحددة بمنحن الدالت 1/ د2002س ال وزاري 𝟑 .

2 الحل: 2 2 2 0 2 0

0 0, 2 0 2 0,

|∫ 2 2 2

| |∫ 2 2

2| |*

2+

2

| |*

2+

2

|

|*

4+ *

+| | 9 9 *

4+| |

4

| |

4|

|

| |

2

| |

| |

|

2

وحدة مربعة 2

∫: إذا كا 1/د2004س ال وزاري

𝟐 𝟗 𝟐

𝟒

.hاجد لمة

الحل/

∫

2 9 2

2 ∫ 2 9 2 2

2∫2 2 9

2 2

0

2

1

2 * 6 9

+ * 2 9

+ 2

2

2 9

2 2 9

2 2 9

بالتربع⇒

2 9 9 2 0 0

∫: جد لمة 1/د2006س ال وزاري

𝟓 𝟐 𝟐

𝟐

𝟏.

∫ الحل/ 2 2

2∫ 2 2 2 *

2 2

+

22

2

[

2 2 ]

2

[

2 4 ] [

2 2 ]

2

6

6 2

6


390


𝟑 𝟒 𝟐

𝟐

𝟏.

∫ 4 2

∫ 4 2 *

+

22

2

*

+

2 *

+ *

+

2

∫: إذا كا 1/د2008س ال وزاري 𝟓 , ∫ 𝟑

, وكانت جد لمة

∫

الحل/

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ 2

∫: جد 2/د2008س ال وزاري 𝟐𝟐

∫ 2 2 2 ∫ 4 4 2

∫ المشتقة الدالة 4 ∫4 2 ∫

4∫ 4∫ 2 ∫

4

4

𝟐 𝟑 : جسم تحرن بسرعة 1/د2009س ال وزاري إحسب: tا أي زم 𝟗 𝟏𝟐 [.0,2الفترة ]المسااة الممطوعة لالل - 1

.𝟐 𝟏𝟖الزم الذي صبح اه التعجل - 2

2 الحل/ 2 9 0

2 4 0 0

0 0,2

0 0,2

|∫ 2 2 9

| |∫ 2 2 9

2

| | 6 2 9 0| | 6 2 9

2 |

| 6 9 0 | | 24 6 9 | |4| |2 4| 4 2 6

2 6 2

6 2 6 2 6 0


391


𝟑 𝟐

𝟖

𝟑

الحل/

∫

2 ∫

2

∫ 2 [

2

2

]

[2 2]

[2 2] [2

2] [2 2

2] [2 22

2] 6 4 2

, 𝟐 : جد المساحة المحددة ب المنحن : 2/د2009س ال وزاري ,𝟎*ا الفترة 𝟐

𝟐+.

الحل/ 2 2 2

2 0 2

2,

2 2

4 *𝟎,

𝟐+ ,

4 *𝟎,

𝟐+

||∫ 2

|| ||∫ 2

2

|| |[

2 2 ]

| |[

2 2 ]

2|

|*

2

2+ *

2 0+ *

2 + *

2

2+|

|

2

2 0 | |

2 0

2 |

2


, مساحة المحددة ب المنحن ال: جد 1/د2010س ال وزاري [.1,5ا الفترة ] 𝟏 𝟐√

الحل/

√2 √2 0 تربع الطرفن 2√

2 2 2 2 0 2 0

0

|∫ [ 2 2 ]

| |∫ 2 2

| |∫

|

|[

2 2

2

2

]

| |0 2

21

| |[

2

2]

| |0 2

21

|

|[

9

2

2] [

2

2

2]| |[

2

2

] [

24

2]|

|9

24

2| |

4 2 2

6| |

20

6|

0

وحدة مربعة


392

∫: جد لمة 1/د2010س ال وزاري 𝟐

𝟐𝟎

.

الحل/

∫ 2 2 2

2

∫ 2

2

∫ 2 [

2 2 ]

2

2

[

2

2] [

2 0 0] [

2

2] [

2 ]

2

2

2 (

2) وحدة مربعة

احولى ته: منحن مشتم1/د2010س ال وزاري 𝟐

𝟐 𝟒 𝟒 ( جد معادلة المنحن.1,2مر بالنمطة )

الحل/ 2

بتكامل الطرفن

∫2

∫

2

2

∫2 2 2 2 2

2

2

وبما ان 2, المنحن تحقق معادلته

2 2

2 2 2 0

2

2 معادلة المنحن

∫: إذا كيييييييييييييييييا 2/د2010سييييييييييييييييي ال وزاري 𝟐 , ∫ 𝟔𝟐

𝟏

𝟑

𝟏جيييييييييييييييييد لمييييييييييييييييية:

∫ 𝟒 𝟑

𝟏

الحل/

∫ 4 ∫ ∫ ∫ 4

6 2 *

2+

4 2 2 4 2 4 6 20


393

𝟐 𝟑 : جسم تحرن على لط مستمم بحث سرعته 2/د2010س ال وزاري جد المسااة 𝟕 𝟒

باحمتار.( وان م بدء الحركة, م جد التعجل عندها علما أ المسااة تماس 4الت مطعها الجسم بعد مض )

الحل/

2 4 0

∫ 2 4 2 2 40 64 2 2 0 24

التعجل ف أي لحظة 4 6

4 6 4 4 24 4 2 2

,𝟏 : لتك 1/د2012س ال وزاري ∫, جد لمة تمربة للتكامل 𝟐 𝟐 حث 𝟑 𝟑

𝟏إذا

[ إلى اترت جز ت منتظمت .1,3لسمت الفترة ]

2 2 الحل/ 4 4 0 0 ,

2

طول الفترة

الفترة

[a,b]

8 2 8 2 1 [1,2]

18 8 18 8 1 [2,3]

26 10

∫ 0 26

2

[ .1,3-ومحور السنات ا الفترة ] 𝟑 𝟏 بالمنحن المحددة : جد المساحة1/د2012س ال وزاري

, 0 0 الحل/

| ∫

| |∫

| 0

41

|

4|

|00 2

41| |0

2

4 01| | 4| |4| 4 4 وحدة مساحة


394

𝟐 : جيييد الحجيييم النيييات مييي دورا المسييياحة المحصيييورة بييي المنحنييي 1/د2012سييي ال وزاري 𝟏

,𝟐 والمستمم حول المحور الصادي. 𝟏

الحل/

∫ 2 ∫ 0 2

2 1

2

[(4

2 2) (

2 )]

2

* 2 2 (

2)+ (0

2)

2 وحدة مكعبة

2 √ ت ميييييي دورا المسيييييياحة المحييييييددة بييييييالمنحنجييييييد الحجييييييم النييييييا :2/د2012سيييييي ال وزاري

حول المحور السن , 2 والمستمم

/الحل

∫ 𝟐

∫ ( 2)𝟐𝟐

𝟏

∫ 𝟓 𝟒𝟐

𝟏

𝟓 𝟎

𝟓 𝟓 𝟓 ( وحدة مكعبة) 𝟑𝟏𝟐𝟓 𝟎

⁄𝟐 𝟏𝟖 جسيييم تحيييرن عليييى ليييط مسيييتمم بتعجيييل :3/د2012سييي ال وزاري ايييأذا كانيييت سيييرعته ليييد

:اجد م بدء الحركة ساعات (4)بعد مرور 𝟖𝟐 أصبحت

ⓐ المسااة الت لطعها لالل الساعة ال انة

ⓑ ساعات (3)بعده ع نمطة بدء الحركة بعد مرور

الحل /

∫ ∫𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖

𝟖𝟐 𝟏𝟖 𝟒 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎

𝟏𝟖 𝟏𝟎

|∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟐

𝟏

| | 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟐

𝟏

| | 𝟑𝟔 𝟐𝟎 𝟗 𝟏𝟎 | 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕

∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟑

𝟎

𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

𝟎

𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟏


395

∫لمة تمربة للتكامل احت مستلدما تجز ة واحدة امط : جد :3/د2012س ال وزاري 4 2

4 الحل/ 0

طول الفترة

الفترة [a,b]

-20 -20 -4 -4 5 [-3,2]

-20 -20

∫ 20 20

2 20

2 20

∫ جد :1/د2013س ال وزاري 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙

𝝅

𝟒 𝟎

/الحل

∫𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙

𝝅𝟒

𝟎

∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝝅𝟒

𝟎

0𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙

𝟐1𝟎

𝝅𝟒

𝒕𝒂𝒏𝟐 (

𝝅𝟒)

𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟎

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎

𝟏

𝟐

∫ أثبت أن :3/د2014س ال وزاري |𝟑 𝟔| 𝟑𝟎𝟒

𝟐

/الحل

|𝟑 𝟔| {𝟑 𝟔 , 𝟐

𝟑 𝟔 , < 𝟐

,𝟐 مستمرة على الفترة الدالة : ح 𝟐 وذلن حنها مستمرة عند 𝟒

𝟐 𝟑 𝟐 𝟔 معرفة 𝟎

𝟐

{ 𝟐

𝟑 𝟔 𝟎 𝟏

𝟐

𝟔 𝟑 𝟎 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟐 𝟐 موجودة 𝟎 𝟐

∫ |𝟑 𝟔|𝟒

𝟐

∫ 𝟑 𝟔 𝟐

𝟐

∫ 𝟑 𝟔 𝟒

𝟐

[ 𝟑

𝟐 𝟐 𝟔 ]

𝟐

𝟐

[𝟑

𝟐 𝟐 𝟔 ]

𝟐

𝟒

𝟔 𝟏𝟐 𝟔 𝟏𝟐 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟔 𝟏𝟐

𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎


396

𝟒 𝟐 √∫ : جد 3/د2014س ال وزاري

/الحل

∫√ 𝟐 𝟒 ∫√ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐

∫ : جد 1/د2015س ال وزاري 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

/الحل

∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐

𝟑

𝟏

𝟐0 4𝑥 𝟏

1

𝟐[ 4𝑥

𝑥]

𝟗[ 2𝟓

] 𝟏 4

𝟓

0

𝟑 جيييييد مسييييياحة المنطمييييية المحيييييددة بمنحنييييي الدالييييية :2/د2015سييييي ال وزاري ومحيييييور 𝟗

,𝟑 السنات وعلى الفترة 𝟑

الحل /

:1/ د2001س ال وزاري 𝟖𝟓 محلول ا الصفحة

⁄𝟐 𝟏𝟎 جسيييم تحيييرن عليييى ليييط مسيييتمم بتعجيييل :2/د2015سييي ال وزاري انييية مييي بيييدء 2وبعيييد

, أحسب : 𝟐𝟒 الحركة أصبحت السرعة

ⓐ الممطوعة ا ال انة اللامسة .المسااة

ⓑ وان ((4 بعد الجسم بعد مض . الحل /

∫ ∫𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒

𝟏𝟎 𝟒

|∫ 𝟏𝟎 𝟒 𝟓

𝟒

| | 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓

𝟒

| | 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟔 | 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗

∫ 𝟏𝟎 𝟒 𝟒

𝟎

𝟓 𝟐 𝟒 𝟒

𝟎

𝟖𝟎 𝟏𝟔 𝟎 𝟗𝟔


397

∫جد تكامل : :3/د2015س ال وزاري

√ 2

الحل /

∫ 6

√ 2 ∫ 2 2

(عند الضرب تجمع األسس )

∫ 2 2

2

9

2

9

2

𝑠𝑖𝑛2𝑥 ∫ جد كال من التكامالت األتة : :3/د2015س ال وزاري 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 𝒅𝒙 2 ∫𝒙𝟑

𝒙 𝒅𝒙

الحل /

∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 𝒅𝒙 ∫ 𝑠𝑖𝑛22𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠22𝑥 𝑑𝑥 ∫ 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 ∫𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥

4𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐

2 ∫𝒙𝟑

𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝑥 𝒙𝟐 𝑥

𝑥 𝒅𝒙 ∫ 𝒙𝟐 𝑥 𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄

∫ تكاملجد الممة التمربة لل :1/د2016س ال وزاري 𝟐 𝟐 𝟐 𝟓

𝟑𝛔بأستلدام التجز ة 𝟑, 𝟒, 𝟓

,𝟑 الفترات /الحل 𝟒 , 𝟒, 𝟓

𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 𝟒 𝟎 𝟑, الدالة متزادة 𝟓

طول الفترة

الفترة [a,b]

𝟏 𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏 𝟒 𝟑𝟎 𝟏 𝟑 𝟏𝟔 1 [3,4]

𝟐 𝟏 𝟒𝟖 𝟒𝟖 𝟐 𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟐 𝟓 𝟒𝟖 𝟐 𝟒 𝟑𝟎 1 [4,5]

, ∑ 𝟏𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟔 , , ∑ 𝟑𝟎 𝟒𝟖 𝟕𝟖

∫ (𝟐 𝟐 𝟐) 𝟓

𝟑

, ,

𝟐 𝟒𝟔 𝟕𝟖

𝟐 𝟏𝟐𝟒

𝟐 𝟔𝟐


398

أس لة إضااة حول التكامل

/ جد كال م التكامالت اآلتة:1س

𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟓𝐱𝐝𝐱

𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟕𝐱 𝐝𝐱

𝟏 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝐝𝐱

𝟔 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱

𝟓 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝐱 𝐬𝐞𝐜𝟒𝐱 𝐝𝐱

𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝒔𝒊𝒏𝟒𝐱𝐝𝐱

𝟗 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱

𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱

𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱

𝟏𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 (𝒙

𝟑)𝒅𝒙

𝟏𝟏 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟎 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟓 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱

𝟏𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱

𝟏𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒 𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟖 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 (𝟑𝟐) 𝒅𝒙

𝟏𝟕 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟓𝒙𝒅𝒙

𝟏𝟔 ∫√𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙

𝟐𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟗 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐𝟒 ∫ 𝟑

𝟒 𝟐𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟓𝒙𝒅𝒙

𝟐𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙𝒅𝒙

𝟐𝟕 ∫ 𝟏

√ 𝟏

𝟒

𝟎

𝟐𝟔 ∫𝟏

√ 𝟏 √ 𝟐𝟓 ∫

𝟖 𝟑

𝟐

𝟑𝟎 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏𝟑

𝟗

𝟎

𝟐𝟗 ∫|𝟐 𝟒|

𝟑

𝟑

𝟐𝟖 ∫𝟑 | |

𝟏

𝟐

𝟑𝟑 ∫ 𝟐

𝟐𝟐

𝟔

𝟎

𝟑𝟐 ∫

𝟐

𝟒

𝟑𝟏 ∫

𝟐

𝟒

𝟎


399

Aاوجد لمة تمربة لمساحة المنطمة / 2س

, } حث 𝟓 𝟖 , 𝟎 , 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔}

𝟑 لييتك / 3س ,𝟏 ولييتك 𝟐 𝟓 𝟑 , اأوجييد المجمييوع احسييفل 𝟒 والمجمييوع

, احعلى

∫أوجد لمة التكامل / 4س 𝟑 𝟐 𝟖 𝟒

𝟐𝛔بأستلدام التجز ة 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

(3,1)ومر بالنمطة جد معادلة المنحن الذي مله / 5س

, حييث أذا علمييت أ المشييتمة ال انيية لداليية عنييد أي نمطيية تسيياوي / 6س جييد معادليية هييذا

(1-,1)ونمطة نهاة صغرى محلة عند (0,1)المنحن أذا كا متلن نمطة أنمالب

أوجييد 𝟐 𝟏𝟎𝟎 انيية ميي بييدء الحركيية اصييبحت سييرعتها tتتحييرن نمطيية ميي السييكو وبعييد / 7س

الزم الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه م أحسب التعجل عندها

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الرابع...

Education