ـتاذاألس أعداد

جديدة طبعة

ومنقحة

للعام الدراسي

2017

لجميع أمثلة وتمارين الفصل الخامسمفصل شرح .

لخامسللفصل احلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية .

أسئلة أضافية محلولة.

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

400

التفاضلة المعادالت /الفصل الخامس

المعادلة التفاضلة

أكثر للدالة المجهولة ف المعادلة ) أي للمتغر التابع ف المعادلة ( ه المعادلة الت تحتوي على مشتمة واحدة أو

ودالرة ( )ه عاللة بن متغرن ) المتغرر اوول متغرر مقرتمل ولركن االعتادةالمعادلة التفاضلة : مالحظة

مثال ( )بالنقبة للمتغر ( )وبعض مشتمات الدالة ( )غر معروفة ولتكن مثال

𝟓 𝟐 𝟐 𝟐 𝟓 (𝟒) 𝟎

( )عتمد فمط على المتغر ( )الن المتغر اعتاده كلها معادالت تفاضلة

. وه أكبر لوة )اس( مرفوعة له اعلى مشتمة ف المعادلة التفاضلة درجة المعادلة التفاضلة :

. وه رتبة أعلى مشتمة موجودة ف المعادلة التفاضلة المعادلة التفاضلة : رتبة

من الرتبة االولى والدرجة االولى

𝟓 𝟎

من الرتبة الثانة والدرجة االولى

𝟐 𝟕 𝟑

من الرتبة الثالثة والدرجة الثانة

( )𝟐 𝟏

من الرتبة الرابعة والدرجة الخامقة

( (𝟒))𝟓 ( )𝟕 𝟕

𝟑( ) ❺ من الرتبة الثالثة والدرجة الثانة ( )𝟐 𝟐 𝟑 𝟎

: أزالة الجذور أو االقس الكقرة مثالعند اجاد درجة المعادلة التفاضلة ورتبتها جب :مالحظة

❻ ( )𝟑 √𝟓 ( )𝟐𝟑

(بالتكعب)⇒ ( )𝟗 𝟓 ( )

𝟐نةالثا ةلثالثا والدرجة من الرتبة

االعتادةحل المعادلة التفاضلة حرررل المعادلرررة التفاضرررلة االعتادرررة هرررو ارررة عاللرررة برررن متغررررات المعادلرررة التفاضرررلة بحررر أن هرررذ العاللرررة

. تحمك المعادلة التفاضلة ❸معرفة على فترة معنة ❷خالة من المشتمة ❶

1د / 2014وزاري 3د / 2013وزاري

𝟐 ن العاللة بن ا /(1)مثال للمعادلة التفاضلة حال 𝟑 𝟐

𝟐 /الحل 𝟑 𝟐 𝟑

(𝟐 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟑

𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟑

العاللة المعطاة ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ∴

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

401

الحل الخاص والحل العام للمعادلة التفاضلة

اوي لرتبرة ــــرـمق االختاررةام وي معادلة تفاضلة هرو الحرل الرذي شرتمل علرى عردد مرن الثوابرت ـــــــأن الحل الع

هرو ثابرت )واحرد اختراريكانت المعادلة من الرتبة اوولرى وجرب أن كرون حلهرا مشرتمال علرى ثابرت فإذا ,المعادلة

أمرا اذا كانرت المعادلرة مرن الرتبرة ,اوولرى الذي ظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحدة لمعادالت الرتبرة( التكامل

معادلرة الرتبرة الثانرة خطروت تكامرل عنرد حرل وجرراءنظرا (ثابت تكامل)ان كون حلها مشتمال على الثانة وجب

وهكذا بالنقبة للمعادالت الت لها رتبة أعلى .

لمعادلةأحد حلول ا أثبت ان /(2)مثال

𝟎

/الحل

(𝟏

) (𝟏) 𝟏

( )

.لمعادلة التفاضلة أعال ول احل أحد ه( )العاللة المعطاة ∴

2د / 2014وزاري

𝟐 بن /(3)مثال 𝟐لمعادلة ل حال ( )ح 𝟎

/الحل

𝟐 𝟐 𝟐(

) 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎

𝟐 )العاللة المعطاة ∴ ه حل للمعادلة التفاضلة أعال (

𝟑 هل /(4)مثال التفاضلة لمعادلةحال ل 𝟐 𝟐

𝟐 ؟ 𝟔

/الحل

𝟑 𝟐

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟔

𝟑 )العاللة المعطاة ∴ ه حل للمعادلة التفاضلة أعال (𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

402

1د / 2012وزاري

( 𝟐) 𝟑 ن ا برهن /(5)مثال لمعادلة التفاضلةحال ل هو ( 𝟐) 𝟐 𝟒 𝟎

/الحل

𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟑 (𝟐 )(𝟐) 𝟐 (𝟐 )(𝟐) 𝟔 (𝟐 ) 𝟒 (𝟐 )

𝟔 (𝟐 )(𝟐) 𝟒 (𝟐 )(𝟐) 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 )

𝟒 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 ) 4[𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )]

𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 ) 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 )

( 𝟐) 𝟑 العاللة المعطاة ∴ ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ( 𝟐) 𝟐

2د / 1201وزاري

𝟐 هل ان /(6)مثال 𝟑 𝟐 ؟هو حال للمعادلة التفاضلة 𝟑 ( )𝟐 𝟑 𝟓

/الحل

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) (𝟐 ) 𝟔 𝟔 ( 𝟐 )

( ) ( )𝟐 𝟑 𝟑 ( ) ( )𝟐 𝟑 𝟑 5

𝟐 )العاللة المعطاة ∴ 𝟑 𝟐 حل للمعادلة التفاضلة أعال لقت (𝟑

3د / 2015وزاري

هو حال للمعادلة التفاضلة 𝟑 𝟐 بن ان /(7)مثال 𝟔 𝟎

/الحل

𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟐 𝟗 𝟑

𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟑 [𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 ] 6[ 𝟐 𝟑 ]

𝟔 𝟐 𝟔 𝟑 6 𝟐 𝟔 𝟑

ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ( 𝟑 𝟐 )العاللة المعطاة ∴

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

403

(𝟓 تمارين(𝟏

بن رتبة ودرجة كل من المعادالت التفاضلة التالة : /1 س

من الرتبة االولى والدرجة االولى ( 𝟐 𝟐) 𝟑

𝟎

والدرجة االولىمن الرتبة الثانة 𝟐

𝟐

𝟓 𝟕

( ) ن الرتبة الثالثة والدرجة الثالثةم𝟑 𝟐 𝟖 𝟑

) من الرتبة الثالثة والدرجة الثانة 𝟑

𝟑)

𝟐

𝟐(

)𝟓

𝟑 𝟎

لمعادلةحل ل هو برهن ان /2 س 𝟎

/الحل

𝟎

ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ( )العاللة المعطاة ∴

( 𝟑) 𝟖 برهن ان العاللة /3 س ه حل للمعادلة ( 𝟑) 𝟔 𝟐

𝟐 𝟗 𝟎

/الحل

𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )

𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟔 (𝟑 )(𝟑) 𝟐𝟒 (𝟑 ) 𝟏𝟖 (𝟑 )

𝟐

𝟐 𝟐𝟒 (𝟑 )(𝟑) 𝟏𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 )

𝟐

𝟐 𝟗 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟗[𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )]

𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟎

( 𝟑) 𝟖 العاللة المعطاة ∴ ه حل للمعادلة التفاضلة أعال ( 𝟑) 𝟔

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

404

حال للمعادلة 𝟐 هل ان /4 س 𝟑 ؟

/الحل

𝟐 𝟏 𝟎

𝟑 𝟎 𝟑(𝟏) ( 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟓

حل للمعادلة التفاضلة أعال لقت (𝟐 )العاللة المعطاة ∴

حال للمعادلة هل /5 س 𝟐 (𝟏 𝟐)

/الحل

𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐

𝟐 (𝟏 𝟐) 𝟐 (𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟐

حل للمعادلة التفاضلة أعال ( )العاللة المعطاة ∴

𝟐 𝟐 هل /6 س 𝟐 𝟑 حال للمعادلة 𝟏 𝟐

/الحل

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 ( 𝟐)⇒ 𝟐

𝟐

( ) ( )( )

(

𝟐 )

𝟒 𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐)

𝟐(𝟏)

𝟐

𝟐

𝟑 𝟑 ( 𝟐

) 𝟐

𝟐 𝟐 )العاللة المعطاة ∴ 𝟐 حل للمعادلة التفاضلة أعال (𝟏

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

405

؟ حال للمعادلة 𝟓 هل /7 س 𝟐 𝟐𝟓 𝟎

/الحل

𝟓 𝟓 𝟓 𝟐𝟓 𝟓

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟎 𝟐 𝟐𝟓 𝟎

حل للمعادلة التفاضلة أعال ( 𝟓 )العاللة المعطاة ∴

1د / 2013وزاري 3د / 2012وزاري

حال للمعادلة هو ان بن /8 س ( )ح 𝟎

/الحل

𝟎

حل للمعادلة التفاضلة أعال ( )العاللة المعطاة ∴

2د / 2015وزاري

| | بن ان /9 س 𝟐 هو حال للمعادلة , 𝟒 𝟐 𝟐

/الحل

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐

𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐 )العاللة المعطاة ∴ حل للمعادلة التفاضلة أعال (

******************************************************************

هل ان : 1س 𝟏

𝟑 حال للمعادلة التفاضلة ( )ح 𝟐 𝟐

𝟐حال للمعادلة التفاضلة 𝟓 هل ان : 2س ( 𝟓 ) 𝟎

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

406

طرق حل المعادالت التفاضلة من الرتبة اوولى والدرجة اوولى

اوو : المعادالت الت تنفصل متغراتها

فررر طرررر ( )مرررع ( )ن المعرررادالت نقرررتطع أن نعرررزل كرررل الحررردود التررر تحتررروي علرررى فررر هرررذا النرررو مررر

( ) ( ) فرررر الطررررر اوخررررر فنحصررررل علررررى ( )مررررع ( )والحرررردود الترررر تحترررروي علررررى

ثابت التكامل ( )ح مثل ( ) ∫ ( ) ∫ثم نكامل الطرفان فنحصل على .

𝟓 𝟐 حل المعادلة /(1)مثال

/الحل

𝟐 𝟓 𝟐 𝟓( )𝒅𝒙

∫ ∫ 𝟐 𝟓( )𝒅𝒙 𝟐 𝟓

حل المعادلة /( )مثال 𝟏

/الحل

𝟏 𝟏( )𝒅𝒙

∫ ∫ 𝟏( )𝒅𝒙

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

√ 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟏 (حث 𝟐

𝒚ح 𝟐 حل المعادلة /(3)مثال (𝟐𝒏 𝟏)𝝅

𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝒚 𝟎)

/الحل

𝟐 ( 𝟐 )⇒

𝟐

∫ 𝟐 ∫

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

407

1د / 6201وزاري

حل المعادلة أوجد /(4)مثال 𝒙عندما 𝟎 √ 𝟐 𝒚 𝟗

/الحل

√ 𝟎

( )

𝟏𝟐 ( )

𝟏𝟐

( )𝟏𝟐

( ) 𝟏𝟐

∫( ) 𝟏𝟐 ∫

( )𝟏𝟐

(𝟏𝟐) 𝟐

𝟐 𝟐√

𝟐

𝟐

𝒙نعوض 𝟐 𝒚 𝟗 فنتج :

𝟐√𝟗 (𝟐)𝟐

𝟐 𝟔 𝟐 𝟒

𝟐√ 𝟐

𝟐 𝟒

( 𝟐)⇒ √

𝟐

𝟒 ( تربع الطرفن) 𝟐

( 𝟐

𝟒 𝟐)

𝟐

( حل المعادلة)

1د / 2015وزاري

حل المعادلة /(5)مثال

𝒙 عندما 𝟐 𝟎 𝒚 𝟎

/الحل

𝟐 ( 𝟐 ) ( )

( )⇒

( ) ( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 )

∫( ) ∫( 𝟐 ) ∫( 𝟏)( ) 𝟏

𝟐∫(𝟐)( 𝟐 )

𝟏

𝟐 𝟐

𝒙نعوض 𝟎 𝒚 𝟎 فنتج :

𝟎 𝟏

𝟐 𝟎 𝟏

𝟏

𝟐

𝟑

𝟐

∴ 𝟏

𝟐 𝟐

𝟑

𝟐

𝟏

𝟐 𝟑

𝟐 ( 𝟐 𝟑) 𝟐

𝟐

( 𝟐 𝟑) (نأخذ للطرفن)⇒ |

𝟐

𝟐 𝟑| |

𝟐

𝟐 𝟑|

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

408

2د / 2015وزاري

(𝟏 )جد الحل العام للمعادلة التفاضلة : /(6)مثال

𝟐

/الحل

( 𝟏)

𝟐 ( 𝟏) 𝟐

𝟐

( 𝟏)

𝟐

( 𝟏)

∫

𝟐 ∫

( 𝟏) | | 𝟐 ( 𝟏) | | ( 𝟏)𝟐

| | ( 𝟏)𝟐 | |

( 𝟏)𝟐

(نأخذ للطرفن)⇒

| |

( 𝟏)𝟐

| | ( 𝟏)𝟐 𝟏 ( 𝟏)𝟐 ( 𝟏

(حث

******************************************************************

(𝟓 تمارين(𝟐

ة فصل المتغرات :مة بطرالتفاضلة اوتحل المعادالت /1 س

( ) 𝟑

𝟑 ( 𝟑 ) ( )

𝟑 (

)𝟏

( 𝟐 )

( )( 𝟐 ) ∫ ∫ 𝟐 𝟐

𝟐

2د / 2013وزاري 3د / 2014وزاري

( )

𝟑 𝟏 𝟐

𝟑

(𝟑 )

(𝟑 ) ( 𝟏)∫

(𝟑 ) ∫

|𝟑 | 𝟐

𝟐 |𝟑 𝟐 |

(𝟏)𝟐

𝟐 (𝟏)

𝟏

𝟐

𝟎 𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 |𝟑 |

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

( 𝟏)⇒ |𝟑 |

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐

𝟑 (𝟏𝟐 𝟐

𝟐 ) 𝟑 (𝟏𝟐 𝟐

𝟐 ) 𝟑 𝟏𝟐( 𝟏

𝟐)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

409

( )

( 𝟏)( 𝟏)

( 𝟏)( 𝟏)

( 𝟏) ( 𝟏) ∫

( 𝟏) ∫( 𝟏)

( 𝟏) 𝟐

𝟐

(نأخذ للطرفن)⇒ 𝟏

( 𝟐

𝟐 )

( 𝟐

𝟐 )

𝟏

( ) ( 𝟐 𝟒 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟑

( 𝟐 𝟒 𝟏)

𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟐 𝟒 𝟏) ( 𝟐 𝟐 𝟑)

∫( 𝟐 𝟒 𝟏) ∫( 𝟐 𝟐 𝟑) 𝟑

𝟑 𝟐 𝟐

𝟑

𝟑 𝟐 𝟑

( ) 𝟒√(𝟏 𝟐)𝟑

𝟒(𝟏 𝟐)

𝟑𝟐 𝟒(𝟏 𝟐)

𝟑𝟐

(𝟏 𝟐)𝟑𝟐

𝟒 ( ) (𝟏 𝟐) 𝟑𝟐 𝟒

∫( ) (𝟏 𝟐) 𝟑𝟐 ∫𝟒

𝟏

𝟐∫𝟐( ) (𝟏 𝟐)

𝟑𝟐 ∫𝟒

𝟏

𝟐 (𝟏 𝟐)

𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟒 𝟏

√𝟏 𝟐 𝟒

وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏 د𝟐 𝟎 𝟑 ( )

𝟑 ∫ ∫ 𝟑 𝟒

𝟒

𝟒

𝟒

𝟒 𝟒 𝟒 √𝟒 𝟒 𝟒

√𝟒 𝟏𝟒 ( 𝟏 ( حث 𝟒

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

410

( ) 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏

𝟐

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑

( 𝟑)⇒

𝟑 𝟐 ∫ 𝟑 𝟐∫

𝟐

𝟐 𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

𝟐 𝟒 𝟐

𝟏

(𝟏𝟐)𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒

𝟏

𝟐 𝟒 𝟖 𝟐

𝟏

𝟒 𝟖 √

𝟏

𝟒 𝟖

ة :العام للمعادالت التفاضلة اوتجد الحل /2س

( )

𝟐 𝟏 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐 (𝟏 𝟐 𝟐)

(𝟏 𝟐 𝟐)

∫

(𝟏 𝟐 𝟐) ∫

𝟏

𝟒∫( 𝟒)

(𝟏 𝟐 𝟐) ∫

𝟏

𝟒𝒍𝒏 𝟏 𝟐 𝟐 𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒄| (𝟏 𝟐 𝟐)

𝟏𝟒𝒍𝒏 𝒍𝒏|𝒄𝒙|

(نأخذ للطرفن)⇒ (𝟏 𝟐 𝟐)

𝟏𝟒 𝒄𝒙

(𝟏 𝟐 𝟐)𝟏𝟒

𝟏

𝒄𝒙

𝟏

𝟏 𝟐 𝟐√𝟒

𝒄𝒙 𝟏 𝟐 𝟐√𝟒

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐

𝒄𝒙

𝟏

(𝒄𝒙)𝟒

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

(𝒄𝒙)𝟒 𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐𝒄𝟒𝒙𝟒 √

𝟏

𝟐

𝟏

𝒄𝟏𝒙𝟒 (𝒄𝟏 𝟐𝒄𝟒 حث )

1د/ 2015وزاري

( )

𝟎

( ) ( )

(

) (

) ∫(

) ∫(

) | | | |

| | | | | | 𝒆𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

411

( ) 𝟐 𝟎

𝟐 ( 𝟐 )⇒

𝟐 ∫

𝟐 ∫

∫ 𝟐 ∫ 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 (𝟐𝒄 𝒄𝟏 ثح )

( ) 𝟐 𝟑

∫ 𝟐 ∫ 𝟑 ∫( 𝟐 𝟏) ∫(𝟏 𝟐 )

∫ 𝟐 ∫ ∫ ∫ 𝟐

𝟑

𝟑

( )

𝟐 𝟐

( 𝟐 𝟐 ) ∫

𝟐 ∫ 𝟐 ∫ 𝟐

𝟏

𝟐∫(𝟏 𝟐 )

𝟏

𝟐 (

𝟏

𝟐 𝟐 )

𝟏

𝟐 𝟏

𝟒 𝟐

( )

𝟑 𝟐 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏 د𝟏

∫(𝟑 𝟐 ) ∫ 𝟑 𝟑

𝟑 𝟑

( ) 𝟐 𝟎

𝟐

( )( 𝟐 )

𝟐 ∫ 𝟐 ∫

𝟏

𝟐 𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄𝟏 حث )

نوفر المشتمة 𝟏

𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

412

/ أثبت أن كال من :خارجي قؤال

(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆𝒙 (𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 (𝒄) 𝒚 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙

��(𝟏 𝒙) هو حل للمعادلة التفاضلة ��𝒙 𝒚 𝟎

(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆𝒙 �� 𝟐𝒆𝒙 �� 𝟐𝒆𝒙

��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 𝟐𝒆𝒙(𝟏 𝒙 ) 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒙𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝟎 𝒙

𝒚 )العاللة المعطاة ∴ 𝟐𝒆 𝒙��(𝟏 𝒙) حل للمعادلة التفاضلة ( ��𝒙 𝒚 𝟎

(𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 �� 𝟑 �� 𝟎

��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 (𝟎)(𝟏 𝒙 ) 𝟑 𝟑𝒙 𝟎

𝒚 )العاللة المعطاة ∴ حل للمعادلة التفاضلة ( 𝟑𝒙��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 𝟎

(𝒄) 𝒚 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 �� 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 �� 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙

��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 (𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙)(𝟏 𝒙 ) (𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 ) (𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 )

𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆𝒙 𝑨𝒙𝒆𝒙 𝑩𝒙𝒆 𝒙 𝑨𝒙𝒆𝒙 𝑩𝒙𝒆 𝒙 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆 𝒙 𝟎

𝒚 )العاللة المعطاة ∴ 𝑨𝒆𝒙 𝑩𝒆 التفاضلة حل للمعادلة ( 𝒙��(𝟏 𝒙) ��𝒙 𝒚 𝟎

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

413

ثانا : المعادلة التفاضلة المتجانقة

*بتها بالشكل نقتطع كتا ه المعادلة الت

(

𝟒 )فمثال المعادلرة + ( 𝟒)

مكرن 𝟑

كتابتها على الصورة

𝟏 (

) ( بقسمة طرف المعادلة على 𝟒 ) 𝟒

بن أي المعادالت التالة متجانقة ؟ مثال /

𝟑 𝟑

𝟑 𝟐

( 𝟑 ( نقسم البسط والمقام على 𝟎

𝟑

𝟑 𝟑𝟑

𝟑 𝟐 𝟑

𝟏

𝟑 ( )

المعادلة متجانقة ∴

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎

( 𝟐 ( نقسم البسط والمقام على 𝟎

𝟐 (

)

𝟐

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 (

)

(

)𝟐

𝟐 𝟎

𝟐(

)

(

)𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐

𝟐 ( )

المعادلة متجانقة ∴

𝟐

𝟑

[

(

) ] المعادلة غر متجانسة النه المكن كتابتها بالشكل

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

414

طرمة حل المعادلة التفاضلة المتجانقة

لحل المعادلة التفاضلة المتجانقة نتبع الخطوات التالة :

*نكتب المعادلة بالصورة ❶

(

*ثم نعوض عن كل + (

( )دالة الى ( )ح [ ]أو +

*فنحصل على ( )بالنقبة الى [ ]نشتك ❷

+

*فنحصل على ❷و ❶نربط بن الخطوتن ❸

( )

( ) +

*بعد فصل المتغرات نحصل على ❹

( )

+

*نكامل الطرفن فنحصل على الحل العام وأخرا نعوض عن ❺

+

حل المعادلة التفاضلة /(1)مثال 𝟑 𝟐 𝟐

𝟐

/الحل

𝟑 𝟐 𝟐

𝟐 ( 𝟐 ( نقسم البسط والمقام على 𝟎

𝟑 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟑 ( )𝟐 𝟏

𝟐 ( )

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟏

∫

𝟏

∫

𝟐

𝟐 𝟏 ∴ | | 𝟐 𝟏 | |

| | ( 𝟐 𝟏) (نأخذ للطرفن)

⇒ ( 𝟐 𝟏)

∵

(

𝟐

𝟐 𝟏) (

𝟐 𝟐

𝟐)

( 𝟐 𝟐

𝟐)

𝒙

𝟑

𝟐 𝟐( )

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

415

حل المعادلة التفاضلة /(2)مثال

/الحل

سمنق البسط والمقام على 𝟎 ) )

𝟏 𝟏

𝟏

𝟏 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏 ( 𝟏)

𝟏

𝟏 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

∫

𝟏

∫

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏 ∴

∫𝟏

𝟏

𝟐∫( 𝟐)

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 | | | |

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 | | |

𝟏

√𝟐 𝟐 𝟏| | |

𝟏

√𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

( تربع الطرفن)⇒ 𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

𝟐 𝟐

∵

𝟐 (

) (

)𝟐

𝟏 𝟏

𝟐 𝟐 ( نضرب طرف المعادلة ب 𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (

𝟏

𝟐 (حث

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

416

2د / 2013وزاري

( 𝟑)حل المعادلة التفاضلة /(3)مثال

/الحل

𝟑 ( نقسم البسط والمقام على )

𝟑

𝟏

𝟑

𝟏

𝟑 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟏

𝟑

𝟏

𝟑

𝟏 𝟑 𝟐

𝟑

𝟐 𝟐 𝟏

𝟑

( 𝟏)𝟐

𝟑 ∫

(𝟑 )

( 𝟏)𝟐 ∫

∫

( 𝟑)

( 𝟏)𝟐 ∫

∫ [( 𝟏) 𝟐]

( 𝟏)𝟐 ∫

∫

( 𝟏)

( 𝟏)𝟐 ∫

𝟐

( 𝟏)𝟐 ∫

( 𝟏)∫

𝟏 (𝟐)∫( 𝟏) 𝟐 ∫

| 𝟏| (𝟐)( 𝟏) 𝟏

𝟏 | | | 𝟏|

𝟐

( 𝟏) | |

∵

| | |

𝟏|

𝟐 𝟏

| | |

𝟏|

𝟐

( ) | (

𝟏)|

𝟐

| |

𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

417

1د / 4201وزاري 3د / 2012وزاري 1د / 2201وزاري

𝟐 𝟐لة ـــام للمعادلة التفاضـــــجد الحل الع /(4)مثال

𝟐 𝟐

/الحل

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐( 𝟐 ( نقسم البسط والمقام على 𝟎

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐𝟐 𝟐

𝟐

𝟏 ( )𝟐

𝟐

𝟏 𝟐

𝟐 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟏

𝟐

( 𝟏)𝟐

𝟐 ∫

𝟐

( 𝟏)𝟐 ∫

∫ 𝟐( 𝟏) 𝟐 ∫

𝟐( 𝟏) 𝟏

𝟏 | |

𝟐

𝟏 | | (

( نضع

𝟐 𝟏

| | 𝟐

( ) | |

𝟐

| |

𝟐

| |

𝟐

| |

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

418

𝟐 حل المعادلة التفاضلة /محلولمثال 𝟐 𝟐 𝟎

/الحل

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 قاموالم على ) ( نقسم البسط

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

( )𝟐 𝟏

𝟐 ( )

𝟐 𝟏

𝟐 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

( 𝟐 𝟏)

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

∫

𝟐

𝟐 𝟏 ∫

∴ 𝟐 𝟏 | | | |

𝟐 𝟏 | | | | ( 𝟐 𝟏) 𝟏 ( 𝟐 𝟏) |𝟏

|

( 𝟐 𝟏) 𝟏

𝟏

( 𝟐 𝟏)

𝟏

( 𝟐

𝟐 𝟏)

𝟏

( 𝟐 𝟐

𝟐)

𝟏

( 𝟐 𝟐

)

𝟐 𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

419

(𝟓 تمارين(𝟑

: التفاضلة اوتةالمعادالت كال من حل

2د / 2012وزاري 1د / 2013وزاري

(𝟏)

(

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

∫

∫

∫ ∫

| | | | ( )

(𝟐) ( 𝟐 ) 𝟐 𝟎

𝟐 ( 𝟐)

𝟐

𝟐 ( نقسم البسط والمقام على )

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟏

(

)𝟐

𝟐 (

( وضعنا

∵

( نعوض المعادلة ف المعادلة )

∴

𝟐

𝟐

𝟐

∫ 𝟐 ∫

𝟏

𝟏 | | | |

𝟏

( 𝟏)⇒ | |

𝟏

( ) | |

| |

𝟏 ( 𝟏 (حث

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

420

(𝟑) ( 𝟐 ) (𝟐 𝟑 ) 𝟎

(𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 )

𝟐

𝟐 𝟑 ( نقسم البسط والمقام على )

𝟐

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐 (

)

𝟐 𝟑( )

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑 (

( وضعنا

∵

( نعوض المعادلة ف المعادلة )

∴

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐

𝟐 𝟑

(𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)

𝟐 𝟑 ∫

(𝟐 𝟑 )

(𝟑 𝟐 𝟒 𝟏) ∫

(

𝟏

𝟐)∫𝟐(𝟐 𝟑 )

(𝟑 𝟐 𝟒 𝟏) ∫

𝟏

𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 | |

𝟏

𝟐 |𝟑

𝟐

𝟐 𝟒

𝟏| | |

(𝟒)

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 لمقاموا على ) ( نقسم البسط

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟏 ( )𝟐

𝟐 ( )

𝟏 𝟐

𝟐 (

( وضعنا

∵

( نعوض المعادلة ف المعادلة )

∴

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐

𝟏 𝟐

𝟐

𝟐

(𝟏 𝟐)

∫

𝟐

(𝟏 𝟐) ∫

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 | | | |

(𝟏 𝟐) | | (𝟏 𝟐

𝟐)

(𝟏 𝟐

𝟐)

𝟐

𝟐 𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

421

(𝟓) ( 𝟐 𝟐) 𝟎

( 𝟐 𝟐)

𝟐 𝟐

( نقسم البسط والمقام على )

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟏 ( )𝟐

( )

𝟏 𝟐

(

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟏 𝟐

𝟏 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

(𝟏 𝟐 𝟐)

𝟏

𝟒∫( 𝟒)

(𝟏 𝟐 𝟐) ∫

𝟏

𝟒 |𝟏 𝟐 𝟐| | |

|𝟏 𝟐 𝟐|( 𝟏𝟒) | | | (𝟏 𝟐 𝟐)

𝟏𝟒|

∴

(𝟏 𝟐 𝟐)𝟏𝟒

(𝟏 𝟐( )𝟐

)

𝟏𝟒

(𝟏 𝟐 𝟐

𝟐)

𝟏𝟒

2د / 2014وزاري

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

422

(𝟔) 𝟐 ( 𝟑 𝟑)

𝟐

𝟑 𝟑 ( نقسم البسط والمقام على )

𝟐 𝟑

𝟑

𝟑 𝟑

𝟑

( )

𝟏 ( )𝟑

𝟏 𝟑 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟏 𝟑

𝟏 𝟑

𝟒

𝟏 𝟑

𝟒

𝟏 𝟑

(𝟏 𝟑)

𝟒

∫(

𝟏

𝟒 𝟑

𝟒) ∫

∫

∫( 𝟒

𝟏

)

| | 𝟑

𝟑 | | | |

𝟏

𝟑 𝟑 | |

( 𝟏)⇒ | |

𝟏

𝟑 𝟑 | |

| | 𝟏

𝟑 ( )𝟑 |

| (حث 𝟏 ) 𝟏

1د / 2016وزاري

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

423

(𝟕) (

)

(

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

∫

∫

( )

∫

∫

| | | | | | | | | |

∴

******************************************************************

𝟒) حل المعادلة التفاضلة التالة : 1س ) 𝟑

حل المعادلة التفاضلة التالة أوجد : 2س (𝟏 𝟐) 𝟐

𝟐 √ ) لمعادلة التفاضلة التالة أوجد الحل العام ل : 3س 𝟐)

𝟐 )حل المعادلة التفاضلة التالة : 4س 𝟐) 𝟒

حل المعادلة التفاضلة التالة : 5س

(

)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

424

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الخامس

�� حل المعادلة التفاضلة اوتة : / 14س 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚

𝒙 𝒚

𝝅

𝟒 𝒙 𝟏

/الحل

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚

𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚𝒅𝒙 ] ( 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚)

𝒅𝒚

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 𝒅𝒙

𝒙 ∫

𝒅𝒚

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚 ∫

𝒅𝒙

𝒙

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 ∫𝒅𝒙

𝒙 𝒍𝒏|𝒙| 𝒄 ( 𝒚

𝝅

𝟒 𝒙 (نعوض 𝟏

𝝅

𝟒𝒍𝒏|𝟏| 𝒄 𝟏 𝟎 𝟏

∴ 𝒍𝒏|𝒙| 𝟏

حل المعادلة التفاضلة اوتة : / 15س𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 ح أن𝒚

𝝅

𝟐𝒙 عندما 𝟎

/الحل

𝒅𝒚 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒙 ] ( 𝒕𝒂𝒏 𝒚 )

𝒅𝒚

𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝒅𝒚

(𝒔𝒊𝒏 𝒚𝒄𝒐𝒔 𝒚

) ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙

∫𝒄𝒐𝒔 𝒚

𝒔𝒊𝒏 𝒚𝒅𝒚 ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝟐

𝒙𝟐

𝟐 𝒄

𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙𝟐 𝒄 ( 𝒚 𝝅

𝟐 𝒙 (نعوض 𝟎

𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏 𝝅

𝟐| 𝟎 𝒄 𝒍𝒏 𝟏 𝒄 𝟎

∴ 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙𝟐(نأخذ للطرفن)⇒ 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒆 𝒙

𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

425

3د / 2013وزاري

𝒙 �� حل المعادلة التفاضلة / 16س 𝒚 𝒙 ح أن𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 /الحل

𝒙 𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒚 𝒙 ( 𝒙 )

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒚 𝒙

𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒚

𝒙 𝟏

𝟏 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟏

𝟏

] ( 𝒙) 𝒅𝒗 𝒅𝒙

𝒙

∫ 𝒅𝒗 ∫𝒅𝒙

𝒙 | | 𝐜

| | 𝐜

𝒚نعوض 𝟏 𝒙 𝒄 وجاد لمة الثابت 𝟏

𝟏

𝟏 |𝟏| 𝐜 𝟏 𝟎 𝐜 𝟏

∴

| | 𝟏

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

426

𝒙𝟐) اوتة حل المعادلة التفاضلة / 17س 𝟑𝒚𝟐)𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝟎

/الحل

(𝒙𝟐 𝟑𝒚𝟐)𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚

𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝟑𝒚 𝟐

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝟑𝒚𝟐

( نقسم البسط والمقام على ) 𝟐𝒙𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝒙𝟐

𝒙𝟐 𝟑

𝒚𝟐

𝒙𝟐

𝟐𝒙𝒚𝒙𝟐

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝟏 𝟑 (

𝒚𝒙)

𝟐

𝟐 (𝒚𝒙

)

𝟏 𝟑𝒗𝟐

(

( وضعنا

𝟐𝒗

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟏 𝟑𝒗𝟐

𝟐𝒗

𝟏 𝟑𝒗𝟐

𝟐𝒗 𝒗

𝟏 𝟑𝒗𝟐 𝟐𝒗𝟐

𝟐𝒗

𝒗𝟐 𝟏

𝟐𝒗

𝟐𝒗

𝒗𝟐 𝟏

∫

𝟐𝒗

𝒗𝟐 𝟏

∫

𝒗𝟐 | |𝟏 𝒍𝒏|𝒙 | 𝒍𝒏|𝒙 | 𝒄 (𝒗𝟐 𝟏 ) 𝒙 𝒄 (𝒗𝟐 𝟏)

𝒙 𝒄 (𝒚𝟐

𝒙𝟐 𝟏) 𝒙 𝒄 (

𝒚𝟐 𝒙𝟐

𝒙𝟐)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

427

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الخامس

2/د 2012قؤال وزاري

حل المعادلة التفاضلة

𝟐 عندما 𝟐 ح (𝟏 )(𝟏 )

/الحل

( 𝟏)( 𝟏)

( 𝟏)( 𝟏)

( 𝟏) ( 𝟏) ∫

( 𝟏) ∫( 𝟏)

( 𝟏) 𝟐

𝟐

𝒚نعوض 𝟐 𝒙 𝒄 وجاد لمة الثابت 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟒

∴ ( 𝟏) 𝟐

𝟐 𝟒

3/د 2014قؤال وزاري

أحد حلول المعادلة أثبت ان

𝟎

/الحل

(𝟏

) (𝟏)

𝟏

(𝟏 )

المعادلة التفاضلة أعال ه أحد حلول ( )العاللة المعطاة ∴

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل الخامس/ المعادالت التفاضلية أعذاد/ األستار علي حميذ

428

3/د 2015قؤال وزاري

جد الحل العام للمعادلة التفاضلة

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐طالبس والمقام على ) ( نقسم

𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟏

𝟐

𝟏 (

( وضعنا

∵

فنتج : نعوض المعادلة ف المعادلة

𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

𝟏

𝟏

( 𝟏)

∫(

𝟏

) ∫

∫

∫(𝟏

𝟏

)

| | | | ( 𝟏)⇒ | | | |

| |

|

| (حث 𝟏 ) 𝟏