الحل العددي للمعادالت التفاضليةNumerical Solution Of

Differential Equations

تعتبر المعادالت التفاضلية من األدوات الرياضية الهامة في فهم العديد من المسائل الفيزيائية والهندسية واإلجتماعية وقد إمتدت اهميتها

سمي بالنمذجة موخرا الي حقول العلوم اإلقتصادية وظهر ما ي الرياضية،وهناك نوعان من المعادالت التفاضلية:

المعادالت التفاضلية العادية (1Ordinary Differential Equations

(ODEs)

( المعادالت التفاضلية الجزئية2

Partial Differential Equations

(PDEs)

ي متغير مستقل واحد أما فالمعادلة التفاضلية العادية تحتوي علالمعادلة التفاضلية الجزئية تحتوي علي عدد من المتغيرات المستقلة

),()مثل درجة الحرارة txu حيث تعتمد علي الموضعx والزمنt.)

yy)1(نرمز للمعادلة التفاضلية بالرمز dx

dy وحلها يكون بالصيغة

cnحيث عبارة عن ثوابت، ويشمل هذا النوع من المعادالت التفاضلية

علي صنفين:

),......,,,( 21 ncccxgy

:Initial Value Problemمسائل القيم االبتدائية (1

من المسائل تكون للمعادلة التفاضلية شرط إبتدائي في هذا النوع

(initial Conditionللمتغيرات وا ) لشرط اإلبتدائي يمثل النقطة اإلبتدائية التي تمر بها الدالة التي تمثل حل المعادلة التفاضلية.

: Boundary Value Problem مسائل القيم الحدية (2في هذه النوع من المسائل يكون للمعادلة التفاضلية شرط إبتدائي

الشروط وشرط معين عند نهاية الفترة للمتغير المستقل وتمثل هذه نقطتين يجب أن تمر بهما الدالة التي تمثل حل المعادلة التفاضلية.

في هذا الجزء نتناول بعض الطرق العددية المستخدمة لحل المعادلة التفاضلية العادية مقتصرين علي معادلة الدرجة األولي التي

تكون علي الصيغة:

),( yxfdx

dy

ذات الشرط اإلبتدائي

00 )( yxy

ثم 0xفي لحظة البدء yتعتمد الطرق العددية علي معرفة المتغير التابعhxمن أجل 1yننطلق من هذه النقطة خطوة خطوة إذ نحسب 0 2وy

hx من أجل 21 حيث تمثل h ويعرف بالصيغة xالتزائد الذي تأخذه

M

abh

.

طريقة أويلر -Euler's Method

قيما صغيرة بحيث يمكن h تعتمد هذه الطريقة علي إعطاء الثابت )(سلسلة تايلر إبتداءا من الحد الذي يحوي حذف حدود

!2

2

xyh

من

)(سلسلة تايلر للنقطة hx : والذي يعرف كاألتي

.)(2

!..............)(

!2)()()( n

n

yn

hxy

hxyhxyhxy

)(وبحذف الحدود إعتبارا من الحد !2

2

xyh

:ينتج أن

),()()()()( yxhfxyxyhxyhxy

),(أ من النقطة نبد 00 yx :وبالتعويض في العالقة أعاله ينتج أن

1,.....,3,2,1,0),(

)(2)(

)2(

)()(

)(

1

00

02

00

01

Mnyxhfyy

xyhxy

hxyy

xyhxy

hxyy

nnnn

أي أن الصيغة العامة لقانون أويلر هي:

مثال:

yxyأوجد الحل التقريبي للمعادلة التفاضلية 0(0حيث( y .]1,0[ في الفترة 2.0hخذ

:الحل

)0(0ومن الشرط )1(بإستخدام القانون y 00ينتج 00 yx وبالتعويض في القانون نجد أن

747.1)489.08.0(2.048.0)(2.0

274.0)128.06.0(2.0128.0)(2.0

128.0)04.04.0(2.04.0)(2.0

4.0)02.0(2.00)(2.0

0)(2.0

),(

4445

3334

2223

1112

0001

0

yxyy

yxyy

yxyy

yxyy

yxyy

nhnhxxyxyxf nnnnn

)(2.01 nnnn yxyy nxn 2.0 n

1,.....,3,2,1,0

),(

0

1

Mnnhxxwhen

yxhfyy

n

nnnn

(1)

0 0 0

0.04 0.2 1

0.128 0.4 2

0.271 0.6 3

0.489 0.8 4

1.747 1 5

مثال:

أوجد الحل التقريبي لمسالة الشرط اإلبتدائي

1)0(101 yandxxyy

xexyثم قارنه بالحل الصحيح

بالمقارنة إيجاد الخطأ المرتكب ويمثل القيمة المطلقة للفرق بين )نقصدالحل الصحيح والحل التقريبي ( أي أن

11 nn zyE

الحل:

وهكذا نتحصل علي القيم التقريبية الموضحة في الجدول أدناه

)(2.01 nnnn yxyy nx n

01.1)11.01(1.01)1(1.0

1)101(1.01)1(1.0

)1(1.0

1),(

1.010

01

1112

0011

1

0

xyyy

xyyy

xyyy

xyyxf

n

abhnhxx

nnnn

nnnn

n

1 0 0

1.01 0.1 1

1.029 0.2 2

1.016100 0.3 3

1.90490 0.4 4

1.131441 0.5 5

1.78297 0.6 6

1.230467 0.7 7

1.287420 0.8 8

1.348578 0.9 9

وللمقارنة بين الحل التقريي والحل الصحيح

)(

1nx

nn exz

40818.103.0

018731.12.0

04837.11.0

10

)3.0(

34

)2.0(

23

1.0

12

0

01

3

2

1

0

eexz

eexz

eexz

eexz

x

x

x

x

ا نتحصل علي بقية القيم الصحيحةوهكذ

11 nn zyError 1nz 1ny n

0.00000 1 1 0

0.03837 1.04837 1.01 1

0.0217631 1.048731 1.029 2

0.024718 1.040818 1.016100 3

0.16542 1.070320 1.90490 4

0.066131 1.06531 1.131441 5

0.634158 1.148812 1.78297 6

0.033883 1.196585 1.230467 7

0.038091 1.249329 1.287420 8

0.042008 1.306570 1.348578 9

طريقة رنج كوتا من الرتبة الرابعة

Runge-Kutta Method of order 4 (R.k.4)

إن طريقة أويلر ال تستعمل عمليا لكونها تحتاج الي خطوة صغيرة يجب أن تكون صغيرة( للحصول علي دقة معقولة، وطريقة h)قيمة

تايلر من الرتب العليا غير مرغوبة كاسلوب عام لحل المعادالت التفاضلية أما طريقة رنج كوتا فتعتبر من xy)(ألنها تحتاج الي مشتقات كثيرة للدالة

أهم الطرق المستخدمة في إيجاد الحل التقريبي للمعادالت التفاضلية فهي

تمكنا من الحصول علي دقة عالية مع تجنب الحاجة الي إشتقاق للدالة )(xy وتعتمد علي تعويض الدالة),( yxfفي نقاط مختارة

تعرف بالصورة (R.k.4)ت طريقة رنج كوتا من الرتبة الرابعة معادال األتية:

حيث

),(

)2

1,

2(

)2

1,

2(

),(

34

23

12

1

hkyhxhfk

kyh

xhfk

kyh

xhfk

yxhfk

nn

nn

nn

nn

مثال:

أوجد الحل التقريبي لمسالة الشرط R.K.4بإستخدام طريقة اإلبتدائي

1.01)0(

101

hy

xxyy

:الحل

)22(6

1411 kkkkyy nnnn

(1)

لصورة األتية:يمكن كتابة معادالت رنج كوتا با

)2()22(6

43211 kkkkh

yy nn

بتطبيق معادالت رنج كوتا حيث

1),( xyyxf

ينتج

),( 34 hkyhxk nn

),(

)2

,2

(

)2

,2

(

),(

34

23

122

1

hkyhxfk

kh

yh

xfk

kh

yh

xfk

yxfk

nn

nn

n

nn

1))(2

1)(2

1(

1)2

1()2

1(2

])1)2

1()12

[(2

,2

(

)1(2

,2

(

1

3

2

1

nn

n

nnnn

nnnn

nn

yxhh

xh

yhh

xh

yhh

yh

xfk

xyh

yh

xfk

xyk

9,......,3,2,1,0

11)))(2

1(2

1(4

neachfor

hxyxhh

hyk nnnn

0nمثال عند

0525.019525.01

09525.01)(9525.0

05.0)195.095.0(

01

4

3

2

001

k

yxk

xyk

xyk

nn

nn

وبتعويض هذه القيم في المعادلة

)22(6

43211 kkkkh

yy nn

نتحصل علي

هكذا نستطيع أن نتحصل علي القيم والجدول أدناه يمثل بعض القيم المحسوبة حاول إيجاد بقية القيم

1ny nx

1.00000 0

1.0048375000 0.1

1.187309014 0.2

……. 0.3

0048375009.1

)09525.0)09525.1(205.020(6

1.00

)22(6

432101

kkkkh

yy

مثال: الحل الصحيح للمعادلة التفاضلية 2

3y

xy هو

12613 2/ xey x 0(1جد الحل التقريبي للمعادلة بالقيمة اإلبتدائية( y 10للفترة 1.0hوبأخذ x .واثبت أن الدقة تزداد بنقصان الفترة

الحل

),(2/3بتطبيق معادالت رنج كوتا حيث yxyxf :تصبح

06625.0)025.1,05.0()2

1,

2(

05.0)1,0(),(

1002

001

hfkyh

xhfk

hfyxhfk

وبتعويض هذه القيم في معادلة رنج كوتا

12613ومن الحل الصحيح 2/ xey x 1نجد القيمة الصحيحة للنقطةy )1.0(60665242486.1هي 1xبتعويض قيمة y أي تصل الدقة الي ثمانية

الناتجة من الحل الصحيح مع yوبمقارنة قيمة 1.0hأرقام معنوية بأخذ

0833328.0)06665625.1,1.0(),(

6665625.0)033125.1,05.0()2

1,

2(

3004

2003

hfkyhxhfk

hfkyh

xhfk

60665242185.1

)083328.06665625.0206625.0205.0(6

1

)22(6

01

43211

yy

kkkkh

yy nn

نالحظ أن قيمةhالناتجة من الحل العددي بإزدياد قيمة الفترة yقيمة الخطأ يزداد كم موضح في الجدول أدناه

بطريقة رنج كوتاyقيمة

من الحل الصحيح yقيمةالفترة المختا

رة

h

y(0.1)=1.06652421

856

Z(0.1)=1.066652424

86

1.0h

y(0.2)=1.16722083

33

Z(0.2)=1.16722193

718 2.0h

y(0.4)=1.4782 Z(1.4)=1.478235859

39

4.0h

مثال:

إستخدم طريقة رنج كوتا من الرتبة الرابعة لحل المعادلة التفاضلية

2

)( yxy

م وبقي y(0)=1والشرط اإلبتدائي ]3,0[في الفترة 8

1,

4

1,

2

1,1h ثم ،

xeyقارن النتيجة بالحل الصحيح x 23 2/.

الحل:

بتطبيق معادالت رنج كوتا

)22(6

43211 kkkkh

yy nn

حيث

نتحصل علي:

3234863.02

))4121094.0(25.01(25.0

4121094.02

))5.0)(5.0(25.01(125.0

40625.02

))5.0)(5.0(25.01(125.0

5.02

0.10.0

4

3

2

1

k

k

k

k

)2

,2

(

),(

12

1

kh

yh

xfk

yxfk

nn

nn

),(

)2

,2

(

34

23

hkyhxfk

kh

yh

xfk

nn

nn

0nوعند

8974915.0)3234863.0

)4121094.0(2)40625.0(25.0(04167.00.1

)22(6

25.0

1

432101

y

kkkkyy

ذا نتحصل علي بقية القيم والجدول أدناه يوضح القيم المحسوبة: وهك

1nz

1ny

nx 8

1h

4

1h

2

1h 1h

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0

0.94323

92

0.94323

92

1.12

5

0.89749

17

0.89749

08

0.897491

5

0.25

0.86208

74

0.86208

74

0.37

5

0.83640

23

0.83640

24

0.836440

37

0.83642

58

0.50

0.81186

78

0.81186

79

0.811869

6

0.75

0.81959

20

0.81959

21

0.819594

0

0.81962

85

0.82031

25

1.00

0.91709

97

0.91709

98

0.917102

1

1.91714

23

1.50

1.10363

83

1.10363

85

1.103640

8

1.10368

26

1.10451

25

2.00

1.35951

44

1.35951

45

1.359516

8

1.35955

75

2.50

1.66939

05

1.66939

06

1.669392

8

1.66943

08

1.67018

60

3.00