آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش هفتم

مهندسیآمار و احتمال

faradars.org/fvst9405

آمار و احتمال مهندسی

:مدرسآرمان ری بد

دانشجوی دکتری آمار

دانشگاه بیرجند

1

آزمون فرض فرادرس

FaraDars.org



فرضآزمون -فصل هفتم

برآورد فاصله ای•

میزانو(.نداردبستگیپارامتربهآنتوزیعکهپارامتروآمارهازتابعی)محوریتابعبراساسجامعهپارامتربرایبرآوردتعیین–اطمینان

آزمون فرض•آزمون در مورد پارامتر جامعه، براساس آماره آزمون و توزیع آماره آزمون در سطح خطای مشخص–

2

فرادرس

FaraDars.org



فرضآزمون

.فرض آماری، حدسی در مورد پارامتر یا پارامترها جامعه یا حتی توزیع و شکل جامعه است•

آزمون فرض آماری، انجام استنباط در مورد فرض های آماری•

جامعهخصوصیتازمختلفیتوصیفدوبافرضیهدو:آماریفرضآزمون•

فرضیهدوبیناشتراكوجودعدم•

Null Hypothesis H0فرض صفر –

.(هدف محقق از انجام تحقیق، رد کردن این فرض است)حدس اولیه برای پارامتر جامعه

Alternative Hypothesis H1فرض مقابل–

(هدف محقق از انجام تحقیق، نشان دادن تغییر در پارامتر جامعه به کمک فرض مقابل است)حدس محقق برای پارامتر جامعه

3

فرادرس

FaraDars.org



آزمون فرض

:فرضآزمون هایازنمونه ای•

167بابرابرقدمیانگینآن کهمقابلدراست؟سانتی متر167برابردانشجویانقدمتوسطآیا–

!نیستسانتی متر

قدمعیارانحرافکهآنمقابلدراست؟سانتی متر30برابردانشجویانقدمعیارازانحرافآیا–

!نیستسانتی متر30بابرابردانشجویان

قدمتوسطکهآنمقابلدراست؟برابریکدیگرباپسرودختردانشجویانقدمتوسطایا–

دارد؟معنی داریتفاوتیکدیگرباپسرودختردانشجویان

4

فرادرس

FaraDars.org



آزمون فرض

:به مثال زیر توجه کنید•

برابرلولههرقطرکهشودمطئمنبایدآب،لوله هایتولیدکارخانهیککیفیتکنترلبخشمسئول–

رایب.استکردهگیریاندازهراآن هاقطروکردهانتخابلوله هاازازنمونهیکاو.استسانتی متر5

زیر هایفرضیهانتخابینمونهبراساسآماریآزمونیکازشدهتولیدلوله هایقطربودنبرابرآزمون

.می سازدرا

Null Hypothesis: H0-فرض صفر –

الم شده فرض اولیه بر این اساس ایجاد می شود که مقدار میانگین قطر لوله ها برابر مقدار استاندارد اع–

.سانتی متر است5یعنی همان

– H0: m = 55

فرادرس

FaraDars.org



آزمون فرض

Alternative Hypothesis: H1فرض مقابل– or HA

حاالت مختلف فرض مقابل–

فرض مقابلتصورm.استحدسيمقدارازكمترجمعيتميانگين < 5

m.استحدسيمقدارازبيشترجمعيتميانگين > 5

m(تنيسمهمجهت)استحدسيمقدارمخالفجمعيتميانگين ≠ 5

6

فرادرس

FaraDars.org



آزمون فرض

:انواع آزمون ها•

.باشد( >یا >)فرض مقابل به صورت یک طرفه : آزمون یک دامنه–.باشد( ≠)طرفه فرض مقابل به صورت دو : آزمون دو دامنه–

• H0: m = 5• H1: m ≠5

• H0: m =5• H1: m < 5

• H0: m =5• H1: m >5

دو دامنهآزمون

آزمون یک دامنه

آزمون یک دامنه

7

فرادرس

FaraDars.org



آزمون فرض

:انواع فرض ها•

.توزیع جامعه آماری توسط فرض کامال مشخص باشد: ساده–

.توزیع جامعه آماری توسط فرض مشخص نباشد: مرکب–

• m = 5 : فرض ساده

• m ≠5 : فرض مرکب

• m < 5 : فرض مرکب

• m < 5 : فرض مرکب

8

فرادرس

FaraDars.org



انواع خطا

خطای نوع اول–

. درست استH0در صورتی که H0رد فرض •

خطای نوع دوم–

. درست استH1در صورتی که H1رد فرض •

.(درست استH1در صورتی که H0قبول فرض )

9

/واقعیتآزموننتیجه

صحیح بودن فرض صفر

ناصحیح بودن فرض صفر

عدم رد فرض صفر

خطای نوع دومخطابدون

بدون خطاخطای نوع اولرد فرض صفر

فرادرس

FaraDars.org



انواع خطا

احتمال خطای نوع اول –

=P(فرض صفر صحیح است|رد فرض صفر )

احتمال خطای نوع دوم–

=P(فرض مقابل صحیح است|رد فرض مقابل )

توان آزمون –

1- = P(فرض مقابل صحیح است|عدم رد فرض مقابل )

10

فرادرس

FaraDars.org



ناحیه بحرانی

.مالکی برای رد یا عدم رد فرض صفر•

انتخاب مالك مناسب برای حداقل کردن خطای نوع اول و دوم•

.براساس مقدار خطای نوع اول، ناحیه بحرانی تعیین می شود•

|C={X1,X2,…,Xnبحرانیناحیهنمایش• (x)> c}یاC={X1,X2,…,Xn|(x)< c}که(X)کهآزمونآماره

.استتصادفینمونهازتابعی

11

فرادرس

FaraDars.org




بارادومواولخطایاحتمالمقدار،4واریانسونامعلوممیانگینبانرمالتوزیعازتایی25تصادفینمونهیکبرای:مسئله•

.کنیدتعیینزیربحرانیناحیهوآزمونبهتوجه

12

1

0

1

0

m

m

:H

:H }.X|X,...,X,X{(C n 5021 فرادرس

FaraDars.org




احتمالcازمقداریچهازاءبهمقدار4واریانسونامعلوممیانگینبانرمالتوزیعازتصادفیتایی25نمونهیکبرای:مسئله•

.شدخواهد0.1بابرابراولنوعخطای

13

1

0

1

0

m

m

:H

:H }cX|X,...,X,X{(C n فرادرس21

FaraDars.org



مراحل انجام آزمون فرض

(نوع آزمون یک طرفه یا دو طرفه)تعیین فرض صفر و فرض مقابل •

(سطح معنی داری)تعیین میزان خطای نوع اول •

(براساس برآوردگر نقطه ای پارامتر و وابسته به نمونه گرفته شده)انتخاب آماره آزمون •

(فرض مقابل، میزان خطای نوع اول وآماره آزمون و توزیع آن–با توجه به نوع آزمون )تعیین ناحیه بحرانی •

.محاسبه مقدار آماره آزمون براساس نمونه گرفته شده•

در درصورت قرارگیری مقدار آماره آزمون در ناحیه بحرانی فرض صفر رد می شود)مقایسه مقدار آماره آزمون با ناحیه بحرانی •

.(فرض صفر تایید می شود-غیراینصورت دلیلی برای رد فرض صفر وجود ندارد

14

فرادرس

FaraDars.org




بازاربهجدیدیداروی.استروز3معیارانحرافو15میانگیندارایمعمولروشبهبیمارییکدرمانطول:مثال

بیمار70رویجدیددارویاین(معیارانحرافبودنثابتفرضبا).می دهدکاهشرادرماندورهطولکهاستآمده

دردرمانطولکاهشدرشده،معرفیدارویآیا.شده استروز14بابرابردرمانمدتمیانگینوشده استآزمایش

است؟موثر0/025آزمونمیزان

15

فرادرس

FaraDars.org




تعیین فرض صفر و فرض مقابل-گام اول•

( میزان خطای نوع اول)تعیین میزان آزمون –گام دوم •

انتخاب ناحیه بحرانی-گام سوم•

مقدار آماره آزمون و مقایسه با ناحیه بحرانی-گام چهارم•

رد فرض صفر= قرارگیری آماره آزمون در ناحیه بحرانی –گام پنجم نتیجه گیری •

16

فرادرس

FaraDars.org



آزمون های مربوط به میانگین جامعه نرمال

H0 H1آماره آزمون ناحیه بحرانی

mm0 یا m=m0m>m0 معلوم Z>z1-

mm0 یا m=m0 m<m0معلوم “ “ Z<-z1-

m=m0 mm0معلوم “ “ |Z|>z1-/2

mm0 یا m=m0 m>m0

نامعلومT>t(n-1,1-)

mm0 یا m=m0 m<m0نامعلوم “ “ T<-t(n-1,1-)

m=m0 mm0نامعلوم “ “ |T|>t(n-1,1-/2)

17

n

XZ

m0

nS

XT 0m

فرادرس

FaraDars.org



رابطه بین آزمون فرض دو طرفه و فاصله اطمینان

.ناحیه بحرانی برای آزمون دو طرفه مکمل فاصله اطمینان است•

. رد نمی شودباشد فرض صفر با میزان آزمونm 0شامل مقدار -1اگر یافته فاصله اطمینان در سطح •

.رد می شودنباشد، فرض صفر با میزان آزمونm 0شامل مقدار -1در سطح اگر یافته فاصله اطمینان •

18

|Z|>z1-/2|Z|<z1-/2n

XZ

m0 فرادرس

FaraDars.org



آزمون میانگین جامعه نرمال

متوسطپزشکیکتاب هایدر.کندبررسیراخطروضعیتبرابردرافرادالعملعکسمیزانمی خواهدروانشناسیک:مسئله•

نمونهیکبراساسنیزاو.استشدهذکر0.082استانداردانحرافباوثانیه0.56بابرابروضعیتایندرالعملعکسزمان

بهتوجهبادرصد5آزمونمیزاندرپزشکیکتاب هایمطلبآیا.استآوردهبدست0.59بابرابررازمانمیانگینتایی35

می شود؟ردنمونه

19

فرادرس

FaraDars.org



آزمون میانگین جامعه نرمال با واریانس نامعلوم

بابرابرمیانگینداده هایتایی8نمونه ییکتوسط.باشد%30بابرابربایدمتوسططوربهغذانوعیکدرچربیمیزان:مسئله•

یکآزمونمیزاندرراغذانوعاینبودناستانداردمی توانآیا.استشدهمحاسبه0.756برابراستانداردانحرافو31.38

کرد؟تاییددرصد

20

فرادرس

FaraDars.org



آزمون های مربوط به واریانس جامعه نرمال


20یا 2 2=0

2 2>02 X2>2

(n-1,1-)

20یا 2 2=0

2 2<02 “ “ X2<2

(n-1,1-)

2=02 20

2 “ “

X2>2(n-1,1-/2)

یاX2<2

(n-1,/2)

21

2

0

22 1

S)n(X

فرادرس

FaraDars.org



آزمون مربوط به واریانس جامعه نرمال

تایی10تصادفینمونهیک.استنیوتن10بابرابرکننده،تولیدادعایطبقمیخنوعیکمقاومتمیزانمعیارانحراف:مسئله•

میزانبهتوجهبا.استشدهگزارشمربعنیوتن195بابرابرواندازه گیریمیخ هااینمقاومتمیزانواریانسواستشدهتهیه

.بسنجیدراکنندهتولیدادعای%5آزمون

22

فرادرس

FaraDars.org



آزمون برابری میانگین دو جامعه مستقلآماره

.اگر واریانس های دو جامعه معلوم باشند•

.مقدار واریانس دو جامعه نامعلوم ولی برابر باشند•

23

2

2

2

1

2

1

21

nn

d)XX(Z

21

21

11

nnS

d)XX(T

p

2

)1()1(

21

2

22

2

11

nn

SnSnS p

فرادرس

FaraDars.org



آماره آزمون برابری واریانس دو جامعه مستقل

نسبت واریانس جامعه اول به جامعه دوم •

24

2

2

2

1

S

SF فرادرس

FaraDars.org



آزمون های مربوط به تفاضل میانگین دو جامعه نرمال مستقلH0 H1

آماره آزمون ناحیه بحرانی

m1-m2=d یاm1-m2d

m1-m2>dها معلومواریانس

Z>z1-

m1-m2=d یاm1-m2d

m1-m2<d “ “ “ “ Z<-z1-

m1-m2=d m1-m2d “ “ “ “ |Z|>z1-/2

m1-m2=d یاm1-m2d

m1-m2>d

نامعلوم واریانس هاولی برابر T>t(n1+n2-2,1-)

m1-m2=d یاm1-m2d

m1-m2<d “ “ “ “ T<-t(n-1,1-)

m1-m2=d m1-m2d “ “ “ “ |T|>t(n-1,1-/2)25

2

2

2

1

2

1

011

nn

d)XX(Z

21

011

11

nnS

d)XX(T

p

فرادرس

FaraDars.org



آزمون های مربوط به نسبت واریانس دو جامعه مستقل


122

یا 2 12=2

2 12>2

2 F>F(n1-1,n2-1,1-)

122

یا 2 12=2

2 2<02 “ “ F<F(n1-1,n2-1,)

12=2

2 202 “ “

F<F(n1-1,n2-1,1-/2)

یاF>F(n1-1,n2-1,1-/2)

26

2

2

2

1

S

SF فرادرس

FaraDars.org



آزمون تفاضل میانگین دو جامعه نرمال

نمونهیکودخنرهاازتایی120نمونهیکاست؟داریمعنیاختالفدارایپسرهایودخترهانوزدانقدمیزانآیا:مسئله•

:استزیرصورتبهاطالعات.استشدهگرفتهبیمارستانیکپسرهایازتایی150

27

622861150

502762120

222

111

.S,.x,n

.S,.x,n

فرادرس

FaraDars.org



آزمون تفاضل میانگین دو جامعه نرمال

انشجویاندایناولترمریاضینمرات.هستندباالتردخترهابهنسبتریاضیدرسدرکهدارندادعاپسردانشجویان:مسئله•

.کنیدآزموندرصد5سطحدرراادعااین.استزیرصورتبه

28

پسر 10 17 14 12 11 16 18 19

دختر 16 18 17 13 14 فرادرس11

FaraDars.org



آزمون برابری واریانس دو جامعه نرمال

ونمراتبودننرمالفرضبا.استآمدهبدستزیراطالعاتموسسه ایخصوصینیمهکالسدودرزباندرسدر:مسئله•

کنیدآزمونراکالسدونمراتواریانسبرابریکالسدواستقالل

29

5817

4859

222

111

S,x,n

S,x,n فرادرس

FaraDars.org



فاصله اطمینان و آزمون پارامتر نسبت

•X1,X2,…Xnپارامتربابرنولیتوزیعازتصادفینمونهیکp

pپارامتراطمینانفاصله•

مرکزیحدقضیهوزیادنمونهحجمبا–

p1-p2مستقلجامعهدوپارامترهایتفاضلبرایاطمینانفاصله•

30

)n

q̂p̂zp̂,

n

q̂p̂zp̂( /a/a 2121

)n

q̂p̂

n

q̂p̂zp̂p̂,

n

q̂p̂

n

q̂p̂zp̂p̂( /a/a

2

22

1

112121

2

22

1

112121

xq̂,xn

xp̂

i

1

فرادرس

FaraDars.org



فاصله اطمینان و آزمون پارامتر نسبت

اطمینانفاصلهیک.بوده اندموافقنفر59کهشده استاستفادهنفری100نمونه ییکازیارانه هایهدفمندیبررسیبرای•صورتبهیارانه هاهدفمندیباموافق هاینسبتبرای95%

31

فرادرس

FaraDars.org



آزمون آماری برای نسبت در یک جامعه و تفاضل نسبت دو جامعه مستقل

32

H0 H1 آماره آزمون ناحیه بحرانیp=p0 p<p0 Q<-z1-

p=p0 p>p0 “ “ “ “ Q>z1-

p=p0 pp0 “ “ “ “ |Q|>z1-/2

nq̂p̂

pp̂Q 0

H0 H1 آماره آزمون ناحیه بحرانی

p1=p2 p1<p2 Q<-z1-

p1=p2 p1>p2 “ “ “ “ Q>z1-

p1=p2 p1p2 “ “ “ “ |Q|>z1-/2

p̂q̂

,nn

)p̂np̂n(p̂,

)nn

(q̂p̂

p̂p̂Q

1

11 21

2211

21

21

فرادرس

FaraDars.org



تفاضل نسبت دو جامعه مستقلآزمون برای

برابرنفر500بینازمتاهلینتعدادنیزکاروزارتدر.هستندمتاهلنفر120نفت،وزارتکارکنانازتایی200نمونهیکدر•.استبرابرخانهوزارتدوهردرمتاهلیننسبتکهکنیدآزمون%5میزانبا.استنفر240با

33

فرادرس

FaraDars.org



این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« آموزش آمار و احتمال مهندسی»

.تهیه شده است

.برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به لینک زیر مراجعه نمایید


34

فرادرس

FaraDars.org

http://www.faradars.org/fvst9405

آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش هفتم

Education