輪講用資料 6/28

B4 森貴之

前回まで• 在庫管理の基礎を一か月（輪講４回）に

わたって勉強してきました– 経済発注量– 新聞売り子問題– 基在庫方策– 動的計画– マルコフモデル

今回の内容• 先月まで読んでいた論文• Mitigation and Contingency Strategies for

Managing Supply Chain Disruption Risks– Management Science; May2006, Vol. 52 Issue 5,

p639-657– Brian Tomlin

• § ３　 The Model• § ４　 A Restricted Model

まずはじめに• SC 上のリスクに対し、どのような対策を

とるのが有効であるか– リスクの緩和– 緊急時の対策

• ある仮定を置いた状況下での最適戦略の構造を明らかにする

§ ３ The Model

• 企業は未処理の需要に対して以下のような在庫システムを持っている– 無限期間– 毎期再調査・検討を行う– バックオーダーを認める

• : t 期における需要• : 単位当たりの在庫費用• : 単位当たりの品切れ費用

サプライチェーンの構造• 企業は 2 つの供給元を利用している– Supplier U– Supplier R

企業供給元

U供給元

R

Supplier U の定義• U は稼働停止する可能性がある• 故障と復旧の過程は離散時間マルコフ過

程に従うとする（後述）• U は各期ごとにの生産を行う• 生産リードタイムは 0• 輸送リードタイムは L(>0)– 期の発注分は期に届く

Supplier R の定義• 稼働停止は起こらない• 生産リードタイムなし、輸送リードタイ

ム L• に対して毎期 R から仕入れる

– は企業が決定する• 非常時には生産容量を増加できると仮定– 容量可変性 (Volume Flexibility) を持っている

Volume flexibility について• という関数を考える– は企業の増産要求からの時間

• は変化量• は反応時間• キーとなるパラメータは

δ( ) 𝜏 の値

0 𝜃𝑟

𝛿

生産コストについて• : U,R に注文した時の生産コスト• : R の増産分にかかるコスト • も仮定– 最適解が「全部 R でつくれ」にならないよう

に

発注量・在庫について• : t 期における U への発注量

• U 故障中は• : t 期における R への発注量 ()• : t 期における R 増産分への発注量

• U が動いているときは• : t 期末の正味在庫レベル• : t 期末での在庫ポジション

• （手持ち、発注済み、輸送中 )

t 期のイベントの発生順①U の状態を確認する② 需要が観測される③ 発注量が決定される④(t-L) 期の注文済み在庫が届く⑤ 需要が満たされ、残りの品に在庫コスト

がかかる⑥U の状態が変化する

t 期における在庫 / 発注コスト

• 容量変更要求にかかるコストは無視

発注コスト

在庫コスト

反応時間について• : 企業が U 停止時に R に対し増産命令を

出すまでにかかる時間– とする

• 故障から期目に利用できる増産量は

t期

• 期末に U 停止t+1期

• なら期首に反応t+2期

• なら期首に反応

SC 全体での反応時間

配分戦略 () について• の場合でも増産要求は出せる• を決定してから発注量は決定される• が与えられると発注量は長期の平均コス

トを最小化するように決定される• 配分戦略に起因するリスクも考慮したモ

デルについては後述

U の離散時間マルコフ過程について

• : U がダウンしてから現在までの期数• : U の停止確率– 稼動期間には独立

• : 期後に U が復旧する確率– (hazard rate)– の増加関数

• : の次の期の状態– ならばを用いる– ならば を用いる

U のマルコフ過程について (2/2)

• : 期たった時点での復旧までの残り時間• : 平均残余期間–減少関数

• : 定常確率–例 : は U が稼働し続ける確率

• : 累積定常確率

補題１ (1/3)

• 状態に依存する基在庫方策は最適• 最適基在庫レベルは以下満たす

– : D の L重たたみこみ– はの減少関数

補題１ (2/3)

• を仮定すると…

• は– のとき、 を満たす最大の– その他の場合　　 0– R への増産要求とバックオーダーを認めることのトレードオフ

を表す

補題１ (3/3)

• 需要が の時• 最適基在庫レベルは• そのときのコストは– はのときのに対するコスト

• 需要が定数倍されると最適基在庫レベル・コストも定数倍される

§ ４　 A Restricted Model

1. 最適発注方策2. 最適基在庫レベル（ U 稼働時）3. 最適配分戦略4. 最適事業継続戦略• 以下の 3 つの仮定を置く– 企業はリスク中立的– 需要は確定している– U は無限の生産容量を持っている

全て §５で緩和される

最適発注方策• が与えられると、– U 稼働時はを決めなければならない– U 停止時はを決めなければならない

• 二つの極端な例を考える– R が容量可変性を持っていない場合

– R が反応時間０で無限の可変性を持っている場合

Zero-flexibility case

Ⅱ-flexibility case

定理１• zero-flexibility case において基在庫方策は

最適– : 最適基在庫レベル

• II-flexibility case において基在庫方策は最適– U 停止時の迂回発注の状態依存基在庫レベル

は最適

– : 状態での最適基在庫レベル

定理１の補足• II-flexibility case では

• : の１期前の状態• : 期末の在庫ポジション• は迂回発注とバックオーダーの間のト

レードオフを示している– が増えると品切れ費用に対する迂回発注コス

トが下がる

最適迂回発注方策について• 停止期間が以上なら迂回発注をするより

も U の復旧を待つべき• 停止期間がだが、 L 期後までバックオー

ダーが起こらない位在庫が十分あるときも U の復旧を待つべき

• 停止期間がバックオーダーが起こりそうなとき、在庫ポジションがになるまで迂回発注すべき

定理２有限な容量可変性を持つ場合

• U 稼働中なら、 U への基在庫方策は最適• U 故障中なら、状態に依存する（増産分

の）基在庫方策は最適– : 最適基在庫レベル

定理２

• はの時のみ定義可能で、の時のを満たす最大の正の整数

定理２の補足• ならば II-flexibility case と同様– ポジションが L 以下の時発注

• の時は U 稼働時に生産していた量を確保できない–事前に在庫を増加させる必要があるかもしれ

ない– 在庫を増やす方策とバックオーダーを認める

方策のトレードオフをに反映