第 7 章利用二位元整數規劃處理「是 / 否」決策

© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009

第第 7 7 章章利用二位元整數規劃處理「是利用二位元整數規劃處理「是 // 否」決策否」決策學習目標 7.2 個案研究：加州製造公司問題（ 7.1 節） 7.2–7.11 利用 BIP 做專案選擇： Tazer 公司問題（ 7.2 節）7.12–7.15 利用 BIP 選擇緊急服務設施的地點：卡林市的問題（ 7.3 節）

7.16–7.19 利用 BIP 於機組人員排班：西南航空公司問題（ 7.4 節）

7.20–7.24 利用混合 BIP 處理開始生產的整備成本︰偉伯公司問題修正版（ 7.5 節） 7.25–7.30

補充教材整數規劃導論（華盛頓大學上課教材） 7.31–7.46 整數規劃之應用（華盛頓大學上課教材） 7.47–7.59

7-2


二位元變數之應用二位元變數之應用因為二位元變數（ binary variable ）只有 0 與 1 兩種可能的數值，所以自然用它們來表示「是 / 否」決策

（ yes-or-no decisions ）。範例：

– 我們應該執行某一特定專案嗎？– 我們應該選擇某一特定投資方案嗎？– 我們應該將設施選定在某一特定地點嗎？

7-3


加州製造公司的問題加州製造公司的問題加州製造公司是一家多角化經營的公司，有許多的工廠與倉庫遍及整個加州，但是在洛杉磯或舊金山卻還沒有。基本的問題是要在洛杉磯或舊金山二地之中擇一建廠，或是在兩地都設廠。管理階層也考慮到最多蓋一個新倉庫，但是限制其只能蓋在新廠所在的城市。

問題：加州製造公司應該在洛杉磯或舊金山擴建工廠和（或）倉庫？

7-4


加州製造公司相關資料加州製造公司相關資料

7-5


二位元決策變數二位元決策變數

7-6


代數式代數式令 x1 = 1 若在洛杉磯蓋工廠；否則為 0

x2 = 1 若在舊金山蓋工廠；否則為 0 x3 = 1 若在洛杉磯蓋倉庫；否則為 0 x4 = 1 若在舊金山蓋倉庫；否則為 0

最大化 NPV = 8x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 （百萬美元）受限於總資本支出： 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 （百萬美元）最多 1 個倉庫： x3 + x4 ≤ 1有設工廠才可能蓋倉庫： x3 ≤ x1

x4 ≤ x2且x1, x2, x3, x4 為二位元變數

7-7


試算表模式試算表模式

7-8


利用規劃求解表進行敏感度分析利用規劃求解表進行敏感度分析

7-9


管理階層的結論管理階層的結論管理階層暫時所考慮的投資金額為 1,000 萬美元。在此資本下，最佳計畫是在洛杉磯和舊金山都設立工廠，但都不設倉庫。這個計畫有一個優點，就是總共只使用了 900 萬美元，剩下的 100 萬美元可用於其他的投資方案。如果可用資本降到 900 萬美元以下，就會產生嚴重的損失（總淨現值從 1,300 萬美元減至 900 萬美元）。如果將資本增加 100 萬美元（從 1,000 萬美元變成 1,100 萬美元），就會增加 400 萬美元的總淨現值（從 1,300 萬美元到 1,700 萬美元）。管理階層最後決定要這樣做。若有如此多的資本可茲運用，則最佳計畫是在洛杉磯與舊金山都設立工廠，並且在舊金山設立倉庫（所產生的總淨現值估計為 1,700 萬美元）。

7-10


一些其他應用一些其他應用投資分析

– 我們是否應該做某一特定投資？– 範例： Turkish Petroleum Refineries (1990), South African National

Defense Force (1997), Grantham, Mayo, Van Otterloo and Company (1999)

廠址選擇– 是否應該選擇某一特定地點作為設廠的位置？– 範例： AT&T (1990)

設計生產與配銷網路– 是否某一特定工廠應該繼續運作？是否應該選擇某一特定地點作為設立新廠的位置？是否某一特定配銷中心應該繼續運作？是否某一特定配銷中心應該被指派來服務某一特定市場區域？– 範例： Ault Foods (1994), Digital Equipment Corporation (1995)

7-11


一些其他應用（續）一些其他應用（續）運送指派

– 是否某一特定路線被選定為某一輛卡車的運行路徑？是否使用某一特定大小的車輛？是否選定某一特定期間作為出車時間？– 範例： Quality Stores (1987), Air Products and Chemicals, Inc. (1983),

Reynolds Metals Co. (1991), Sears, Roebuck and Company (1999) 排定相關活動時程

– 是否某一特定活動在某一期間展開？– 範例： Texas Stadium (1983), China (1995)

排定資產出售時程– 是否某一特定資產在某一期間出售？– 範例： Homart Development (1987)

航空公司應用– 是否某一特定類型飛機被指派作為某一特定航班之用？是否指派某一特定航線給某位機師？– 範例： American Airlines (1989, 1991), Air New Zealand (2001)

7-12


專案選擇：專案選擇： Tazer Tazer 公司問題公司問題 Tazer 為一家製藥公司，目前想要研發一種突破性新藥物。有五個具潛力的 R&D 專案：

– 提升專案：研發出更有效的抗憂鬱藥劑，且不會導致病患嚴重的情緒起伏。– 穩定專案：研發出抗躁鬱症的藥物。– 選擇專案：研發出較少侵入性的女性避孕方法。– 希望專案：研發出預防 HIV 感染的疫苗。– 釋出專案：研發出更有效的降血壓藥物。

公司可用資金只有 12 億美元（只夠執行二到三個專案）。

問題：應該選擇哪些研發專案？

7-13


Tazer Tazer 公司專案選擇問題的相關資料公司專案選擇問題的相關資料

7-14


Tazer Tazer 公司專案選擇問題的代數式公司專案選擇問題的代數式令 xi = 1 若選擇專案 i ; 0 否則 ( i = 1, 2, 3, 4, 5)

最大化 P = 300x1 + 120x2 + 170x3 + 100x4 + 70x5 （百萬美元）受限於

研發預算： 400x1 + 300x2 + 600x3 + 500x4 + 200x5 ≤ 1,200 （百萬美元）且 xi 為二位元 ( i = 1, 2, 3, 4, 5)

7-15


Tazer Tazer 公司專案選擇問題的試算表模式公司專案選擇問題的試算表模式

7-16


緊急服務設施地點的選擇：卡林市的問題緊急服務設施地點的選擇：卡林市的問題卡林市人口成長快速，居住範圍擴展到原有城市邊界以外。這座城市只有一個消防站，位在擁擠的市中心。結果是當火災發生無法快速抵達城市外圍的地區。

目標：提出一個在城市多處設立消防站的計畫。新政策：回應時間 ≤ 10 分鐘

7-17


卡林市問題的回應時間和成本相關資料卡林市問題的回應時間和成本相關資料

7-18


卡林市問題的代數式卡林市問題的代數式令 xj = 1 若在區域 j 設立消防站；否則為 0 (j = 1, 2, … , 8)

最小化 C = 350x1 + 250x2 + 450x3 + 300x4 + 50x5 + 400x6 + 300x7 + 200x8

受限於區域 1: x1 + x2 + x4 ≥ 1區域 2: x1 + x2 + x3 ≥ 1區域 3: x2 + x3 + x6 ≥ 1區域 4: x1 + x4 + x7 ≥ 1區域 5: x5 + x7 ≥ 1區域 6: x3 + x6 + x8 ≥ 1區域 7: x4 + x7 + x8 ≥ 1區域 8: x6 + x7 + x8 ≥ 1

且 xj 為二位元 ( j = 1, 2, … , 8)

7-19


卡林市問題的試算表模式卡林市問題的試算表模式

7-20


機組人員排班：西南航空公司問題機組人員排班：西南航空公司問題西南航空對於所有排定的航班，需要指派它的機組人員去執行飛航勤務。我們將焦點擺在：指派三位居住於舊金山（ San

Francisco ，簡稱 SFO ）的機組人員來執行 11 個航班的勤務。

問題：應該如何將這三位機組人員指派到三條航線，使得 11 個航班都有人負責勤務？

7-21


西南航空的航班西南航空的航班

7-22


西南航空問題的相關資料西南航空問題的相關資料

7-23


西南航空問題的代數式西南航空問題的代數式令 xj = 1 若接續航線 j 被指派給某位組員；否則為 0 (j = 1, 2, … , 12)

最小化成本 = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 6x4 + 7x5 + 5x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 + 9x10 + 8x11 +

9x12 (千美元 )

受限於航班 1 ： x1 + x4 + x7 + x10 ≥ 1

航班 2 ： x2 + x5 + x8 + x11 ≥ 1

: :航班 11 ： x6 + x9 + x10 + x11 + x12 ≥ 1

三位組員： x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 ≤ 3

且xj 為二位元 (j = 1, 2, … , 12)

7-24


西南航空問題的試算表模式西南航空問題的試算表模式

7-25


偉伯公司問題偉伯公司問題︰︰考慮整備成本考慮整備成本假設偉伯公司問題有兩項改變：1. 開始某一產品的生產時需要調整（或設定）生產設施，所以會有所謂的整備成本（ setup cost ）。2. 對於每一種產品，每月只有排定一週來生產。所以原始模式中的 D 和 W 現在分別代表門和窗戶的生產量，而不再是生產率。因此，這二個變數必須限制為整數。

7-26


原始偉伯問題的圖形解原始偉伯問題的圖形解

7-27


考慮整備成本偉伯問題的淨利潤考慮整備成本偉伯問題的淨利潤

7-28


考慮整備成本偉伯問題的可行解考慮整備成本偉伯問題的可行解

7-29


考慮整備成本偉伯問題的代數式考慮整備成本偉伯問題的代數式令 D = 門生產量

W = 窗戶生產量y1 = 1 若整備來生產門；否則為 0y2 = 1 若整備來生產窗戶；否則為 0

最大化 P = 300D + 500W – 700y1 – 1,300y2受限於原始限制式：工廠 1 ： D ≤ 4工廠 2 ： 2W ≤ 12工廠 3 ： 3D + 2W ≤ 18只有整備才能生產：門： D ≤ 99y1窗戶： W ≤ 99y2且D ≥ 0, W ≥ 0, y1 與 y2 為二位元

7-30


考慮整備成本偉伯問題的試算表模式考慮整備成本偉伯問題的試算表模式

7-31


整數規劃整數規劃何種情況下允許「非整數」解？

– 解本身是可以切割的• 例如：金錢、磅、小時

– 解代表速率• 例如：每週產量

– 解只是作為規劃的目的何種情況下允許將解取為整數？

– 當數值相當大時• 例如：將 114.286 取為 114 或許並無問題

何種情況下不允許將解取為整數？– 當數值相當小時

• 例如：將 2.6 取為 2 或 3 可能會有問題– 二位元變數

• 「是╱否」決策

7-32


「取為整數」可能形成的問題「取為整數」可能形成的問題取為整數後的解可能不再是可行解。取為整數後的解可能已經偏離最佳解相當遠。可能會有許多取為整數後的整數解。

– 範例：考慮一個具有30 個非整數值的 LP 變數解。若將這些變數值取為整數後，會有多少組可能的整數解？

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x1

x2

7-33


整數問題如何求解？整數問題如何求解？

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x1

x2

7-34


整數問題如何求解（續）整數問題如何求解（續）

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x1

x2

7-35


二位元變數的應用二位元變數的應用做「是 / 否」類型的決策

– 建造一座工廠？– 製造一項產品？– 執行一個專案？– 指派一個人來做一件工作？

集合涵蓋問題– 指定一組指派使其可以涵蓋一組需求

固定成本– 若啟動某項產品的生產，會伴隨一項固定的整備成本 – 若一個倉庫運作的話，會有固定的營運費用

7-36


範例範例 # 1# 1 （資本預算）（資本預算） Norwood 開發公司正考慮四項具潛力的開發專案。每一項專案最多在三年內可以完成。每一項專案所需現金流量、淨現值、以及每年可用現金如下表所示。

所需現金流量 ( 百萬美元 )可用現金

( 百萬美元 )專案 1 專案 2 專案 3 專案 4

第 1 年 9 7 6 11 28第 2 年 6 4 3 0 13第 3 年 6 0 4 0 10淨現值 30 16 22 14問題：應該選擇哪些專案？

7-37


Norwood Norwood 開發公司資本預算的代數式開發公司資本預算的代數式令 yi = 1 若選擇專案 i ；否則為 0 (i = 1, 2, 3, 4)

最大化淨現值 = 30y1 + 16y2 + 22y3 + 14y4

受限於第 1 年： 9y1 + 7y2 + 6y3 + 11y4 ≤ 28 ( 百萬美元 )

第 2 年：（累計）15y1 + 11y2 + 9y3 + 11y4 ≤ 41 ( 百萬美元 )

第 3 年：（累計） 21y1 + 11y2 + 13y3 + 11y4 ≤ 51 ( 百萬美元 )

且yi 為二位元 (i = 1, 2, 3, 4)

7-38


Norwood Norwood 開發公司資本預算的試算表解開發公司資本預算的試算表解12345678910111213

A B C D E F G H INorwood Development Capital Budgeting

Project 1 Project 2 Project 3 Project 4NPV ($million) 30 16 22 14

Cumulative CumulativeOutflow Available

Year 1 9 7 6 11 22 <= 28Year 2 15 11 9 11 35 <= 41Year 3 21 11 13 11 45 <= 51

Total NPVProject 1 Project 2 Project 3 Project 4 ($million)

Undertake? 1 1 1 0 68

Cumulative Outflow Required ($million)

7-39


其他的考量（邏輯和相依限制式）其他的考量（邏輯和相依限制式）至少選擇專案 1 、 2 、 3 其中一個。除非執行專案 3 ，否則不能執行專案 2 。專案 3 和專案 4 只能二擇一，不能二者都選。總共專案執行件數不超過二件。

問題：若有上述這些額外考量，需要加入哪些限制式？

7-40


範例範例 # 2# 2 （集合涵蓋問題）（集合涵蓋問題）華盛頓州議會正想要決定要在哪些地點設立搜救隊。成立搜救隊需要許多經費，所以他們希望所成立的隊伍數愈少愈好。回應時間相當關鍵，所以他們希望每一個郡要有一支搜救隊或是在鄰近的郡要有搜救隊。

問題：要在哪些地點設立搜救隊？

7-41


華盛頓州的郡華盛頓州的郡

1

2

3

4

76

9

10

11

12

8

5

13

14

15

1617

18

1920

21 22

2325

24

26 27 28

29 30

31 32

33

3435

36

37

1. Clallum2. J efferson3. Grays Harbor4. Pacific5. Wahkiakum6. Kitsap7. Mason8. Thurston9. Whatcom10. Skagit11. Snohomish12. King13. Pierce14. Lewis15. Cowlitz16. Clark17. Skamania18. Okanogan

19. Chelan20. Douglas21. Kittitas22. Grant23. Yakima24. Klickitat25. Benton26. Ferry27. Stevens28. Pend Oreille29. Lincoln30. Spokane31. Adams32. Whitman33. Franklin34. Walla Walla35. Columbia36. Garfield37. Asotin

Counties

7-42


代數式代數式令 yi = 1 若在郡 i 設有搜救隊 ; 0 否則 (i = 1, 2, … , 37)

最小化搜救隊數 = y1 + y2 + … + y37

受限於郡 1 : y1 + y2 ≥ 1

郡 2 : y1 + y2 + y3 + y6 + y7 ≥ 1

郡 3 : y2 + y3 + y4 + y7 + y8 + y14 ≥ 1

: :

郡 37 : y32 + y36 + y37 ≥ 1

且yi 為二位元 (i = 1, 2, … , 37)

7-43


試算表解試算表解123456789101112131415161718192021222324

A B C D E F G H I J K L M NSearch & Rescue Location

# Teams # TeamsCounty Team? Nearby County Team? Nearby

1 Clallam 0 1 >= 1 19 Chelan 0 2 >= 12 Jefferson 1 1 >= 1 20 Douglas 0 1 >= 13 Grays Harbor 0 2 >= 1 21 Kittitas 1 1 >= 14 Pacific 0 1 >= 1 22 Grant 0 1 >= 15 Wahkiakum 0 1 >= 1 23 Yakima 0 3 >= 16 Kitsap 0 1 >= 1 24 Klickitat 0 1 >= 17 Mason 0 1 >= 1 25 Benton 0 1 >= 18 Thurston 0 1 >= 1 26 Ferry 0 1 >= 19 Whatcom 0 1 >= 1 27 Stevens 1 1 >= 110 Skagit 1 1 >= 1 28 Pend Oreille 0 1 >= 111 Snohomish 0 1 >= 1 29 Lincoln 0 1 >= 112 King 0 1 >= 1 30 Spokane 0 1 >= 113 Pierce 0 2 >= 1 31 Adams 0 1 >= 114 Lewis 1 2 >= 1 32 Whitman 0 2 >= 115 Cowlitz 0 2 >= 1 33 Franklin 1 1 >= 116 Clark 0 1 >= 1 34 Walla Walla 0 1 >= 117 Skamania 1 2 >= 1 35 Columbia 0 1 >= 118 Okanogan 0 1 >= 1 36 Garfield 1 1 >= 1

37 Asotin 0 1 >= 1Total Teams: 8

7-44


範例範例 # 3# 3 （固定成本）（固定成本） Woodridge白鑞（錫與鉛、黃銅等的合金）製器公司生產三種白鑞製品：淺盤、碗、以及水罐。每一項產品的製造需要有可運用的機器和模具。製造每一種產品的機器和模具可以租用，租金如下 : 製造淺盤為 $400╱週，製造碗為 $250 ╱週，製造水罐為 $300 ╱週。各種產品所需人工和白鑞如下表所示。銷售價格以及變動成本亦列在表中。人工

( 小時 )白鑞( 磅 )

銷售價格變動成本淺盤 3 5 $100 $60

碗 1 4 85 50水罐 4 3 75 40可用數量 130 240

問題：應該生產哪些製品，以及多少數量？

7-45


代數式代數式令 x1 = 生產淺盤的數量

x2 = 生產碗的數量x3 = 生產水罐的數量

yi = 1 若租用製造產品 i 的機器和模具；否則為 0 (i = 1, 2, 3)最大化利潤 = ($100–$60)x1 + ($85–$50)x2 + ($75–$40)x3 – $400y1 – $250y2 – $300y3受限於人工： 3x1 + x2 + 4x3 ≤ 130 小時白鑞： 5x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 240 磅只有機器和模具有租用時才可以生產：

x1 ≤ 99y1

x2 ≤ 99y2

x3 ≤ 99y3且xi ≥ 0 ， yi 為二位元 (i = 1, 2, 3)

7-46


試算表解試算表解123456789

10111213141516

A B C D E F G HWoodridge Pewter Company

Platters Bowls PitchersSales Price $100 $85 $75

Variable Cost $60 $50 $40Fixed Cost $400 $250 $300

Constraint Usage (per unit produced) Total AvailableLabor (hrs.) 3 1 4 60 <= 130

Pewter (lbs.) 5 4 3 240 <= 240

Lease Equipment? 0 1 0Revenue $5,100

Production Quantity 0 60 0 Variable Cost $3,000<= <= <= Fixed Cost $250

Produce only if Lease 0 99 0 Profit $1,850

7-47


二位元變數之應用二位元變數之應用作「是╱否」類型之決策

– 建造一座工廠？– 製造一項產品？– 執行一個專案？– 指派某個人執行某件工作？

固定成本– 若生產某項產品，則伴隨有固定整備成本。– 若一座倉庫運作，則伴隨有固定成本。

二擇一限制式 (Either-or constraints)– 生產量必須 = 0 或 ≥ 100

部分限制式 (Subset of constraints)– 4 條限制式中必須滿足其中的 3 條

7-48


具有附帶限制式之資本預算（是╱否決策）具有附帶限制式之資本預算（是╱否決策）某一家公司正在為未來幾年規劃資本預算。他們目前正考慮 10 個具有潛力的專案。他們已經計算出各項專案的期望淨現值，以及未來五年所需的現金流量。此外，假設有以下的附帶限制式（ contingency constraints ）：

– 至少必須執行專案 1 、 2 、 3 其中的一個。– 專案 4 和專案 5 不能二個都執行。– 除非專案 6 有執行，否則專案 7 不得執行。

問題：他們應該執行哪些專案？

7-49


資本預算問題之相關資料資本預算問題之相關資料所需現金流量 ( 百萬美元 )

可用現金( 百萬美

元 )

專案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10第 1 年 1 4 0 4 4 3 2 8 2 6 25

第 2 年 2 2 2 2 2 4 2 3 3 6 25

第 3 年 3 2 5 2 4 2 3 4 8 2 25

第 4 年 4 4 5 4 5 3 1 2 1 1 25

第 5 年 1 1 0 6 5 5 5 1 1 2 25

淨現值 20 25 22 30 42 25 18 35 28 33 ( 百萬美元 )

7-50


試算表解試算表解123456789101112131415161718192021

A B C D E F G H I J K L M N OCapital Budgeting with Contingency Constraints

Project Project Project Project Project Project Project Project Project Project1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

NPV ($million) 20 25 22 30 42 25 18 35 28 33Cumulative Cumulative

Cumulative Cash Outflow Required ($million) Total Outflow AvailableYear 1 1 4 0 4 4 3 2 8 2 6 22 <= 25Year 2 3 6 2 6 6 6 4 11 5 12 44 <= 50Year 3 6 8 7 8 10 8 7 15 13 14 73 <= 75Year 4 10 12 12 12 15 11 8 17 14 15 97 <= 100Year 5 11 13 12 18 20 16 13 18 15 17 117 <= 125

Project Project Project Project Project Project Project Project Project Project Total NPV1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ($million)

Undertake? 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 213

Contingency ConstraintsProject 1,2,3 3 >= 1Project 4,5 1 <= 1Project 7 1 <= 1 Project 6

7-51


發電機啟動規劃（固定成本）發電機啟動規劃（固定成本）某座發電廠擁有五部發電機。若要發電，發電機必須啟動（ start up ），這將伴隨有固定的啟動成本（ startup cost ）。所有發電機在每天結束時會關機。

發電機A B C D E

固定啟動成本 $2,450 $1,600 $1,000 $1,250 $2,200變動成本 ( 每百萬瓦 )

$3 $4 $6 $5 $4

產能 ( 百萬瓦 ) 2,000 2,800 4,300 2,100 2,000

問題：該啟動哪幾部發電機以滿足每天 6,000 百萬瓦的總需求量？

7-52


試算表解試算表解

123456789

10111213141516

A B C D E F G H I JElectrical Utility Generator Startup Planning

Generator A Generator B Generator C Generator D Generator EFixed Startup Cost $2,450 $1,600 $1,000 $1,250 $2,200Cost per Megawatt $3 $4 $6 $5 $4Max Capacity (MW) 2,000 2,800 4,300 2,100 2,000

Startup? 1 1 0 1 0Total MW MW Needed

MW Generated 2,100 3,000 0 900 0 6000 >= 6,000<= <= <= <= <=

Capacity 2,000 2,800 0 2,100 0

Fixed Cost $5,300Variable Cost $22,800

Total Cost $28,100

7-53


品質家具（二擇一限制式）品質家具（二擇一限制式）考慮品質家具問題：

– 品質家具公司生產長凳和野餐桌。公司可用以生產的資源（人力和木材）相當有限，在下一個生產期間有 1,600 人工小時可以運用。公司目前有 9,000 磅的木材可以使用。每張長凳需要 3 人工小時以及 12 磅的木材。每張桌子需要 6 人工小時以及 38 磅的木材。每張長凳和桌子的利潤分別為 $8 與 $18 。

假設每種產品他們不會生產少於 200 張（亦即，生產 0 或至少 200 張）。

問題：產品組合為何會使得他們的總利潤最大？

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試算表解試算表解12345678910111213141516171819

A B C D E F GQuality Furniture (with either-or constraints)

Benches TablesProfit $8.00 $18.00

Min Production (if any) 200 200

Resources ResourcesUsed Available

Labor 3 6 1600 <= 1,600Wood 12 38 6400 <= 9,000

Produce? 1 0

Min Production 200 0<= <= Total Profit

Production Quantities 533.33 0 $4,266.67<= <=

Max Production 533 0Max Possible 533 237

Use of Resources

7-55


滿足部分限制式滿足部分限制式考慮具有下列限制式之某一線性規劃模式，並且假設只要滿足這 4 條限制式其中 3 條即可。

– 12x1 + 24x2 + 18x3 ≥ 2,400

– 15x1 + 32x2 + 12x3 ≥ 1,800

– 20x1 + 15x2 + 20x3 ≤ 2,000

– 18x1 + 21x2 + 15x3 ≤ 1,600

7-56


滿足部分限制式（續）滿足部分限制式（續）令 yi = 1 若滿足限制式 i ; 0 否則限制式：

y1 + y2 + y3 + y4 ≥ 3

12x1 + 24x2 + 18x3 ≥ 2,400y1

15x1 + 32x2 + 12x3 ≥ 1,800y2

20x1 + 15x2 + 20x3 ≤ 2,000 + M (1 – y3)

18x1 + 21x2 + 15x3 ≤ 1,600 + M (1 – y4)

其中 M 為一個大的正數

7-57


設施位置設施位置考慮某一家公司，它有 5 座工廠和 3 個倉庫，供應 4 個不同區域的顧客。為了降低成本，他們正考慮透過關閉一座或多座工廠和倉庫的方式，來精簡產銷流程。每座工廠有相關的固定成本、運送成本、與生產成本。每座工廠具有有限的產能。每座倉庫有相關的固定成本和運送成本。每座倉庫具有有限的儲放空間。問題：哪幾座工廠應該繼續營運？哪幾座倉庫應該繼續營運？營運工廠間生產量應該如何分配？應該從每座工廠運送至每座倉庫，以及從每座倉庫運送到每位顧客多少數量？

7-58


設施位置問題相關資料設施位置問題相關資料

固定成本 ( 每月 )

( 運送 + 生產 ) 成本( 每單位 )

產能( 單位 /

月 )倉庫 #1 倉庫 #2 倉庫 #3工廠 1 $42,000 $650 $750 $850 400工廠 2 50,000 500 350 550 300工廠 3 45,000 450 450 350 300工廠 4 50,000 400 500 600 350工廠 5 47,000 550 450 350 375

固定成本 ( 每月 )

運送成本 ( 每單位 )儲存空間( 每月 )顧客 1 顧客 2 顧客 3 顧客 4

倉庫 #1

$45,000 $25 $65 $70 $35 600

倉庫 #2

25,000 50 25 40 60 400

倉庫 #3

65,000 60 20 40 45 900

需求量 :

250 225 200 275

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試算表解試算表解123456789

101112131415161718192021222324252627282930313233

A B C D E F G H I J K L MPlant to Warehouse

Shipping + Production FixedCost Warehouse 1 Warehouse 2 Warehouse 3 Cost Capacity

Plant 1 $650 $750 $850 $42,000 400Plant 2 $500 $350 $550 $50,000 300Plant 3 $450 $450 $350 $45,000 300Plant 4 $400 $500 $600 $50,000 350Plant 5 $550 $450 $350 $47,000 375

Shipment Total ActualQuantities Warehouse 1 Warehouse 2 Warehouse 3 Shipped Capacity Open? Total Costs

Plant 1 0 0 0 0 <= 0 0 Shipping Cost (P-->W) $332,500Plant 2 0 300 0 300 <= 300 1 Shipping Cost (W-->C) $37,375Plant 3 0 0 275 275 <= 300 1 Fixed Cost (P) $142,000Plant 4 0 0 0 0 <= 0 0 Fixed Cost (W) $90,000Plant 5 0 0 375 375 <= 375 1 Total Cost $601,875

Total Shipped 0 300 650

Warehouse to CustomerShipping FixedCost Customer 1 Customer 2 Customer 3 Customer 4 Cost Capacity

Warehouse 1 $25 $65 $70 $35 $45,000 600Warehouse 2 $50 $25 $40 $60 $25,000 400Warehouse 3 $60 $20 $40 $45 $65,000 900

Shipment Shipped Shipped ActualQuantities Customer 1 Customer 2 Customer 3 Customer 4 Out In Capacity Open?

Warehouse 1 0 0 0 0 0 <= 0 <= 0 0Warehouse 2 250 0 50 0 300 <= 300 <= 400 1Warehouse 3 0 225 150 275 650 <= 650 <= 900 1Total Shipped 250 225 200 275

>= >= >= >=Needed 250 225 200 275

第 7 章 利用二位元整數規劃處理「是 / 否」決策

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第 7 章利用二位元整數規劃處理「是 / 否」決策