用 a 、 b 、 c 、 d4 种不同的配合饲料饲养 30 日龄的小鸡， 10...

用 A 、 B 、 C 、 D4 种不同的配合饲料饲养 30 日龄的小鸡， 10 天后计算平均日增重，得到下表的数据，问 4 种饲料的效果是否相同？

饲料日增重（ g）

A 55 49 62 45 51

B 61 58 52 68 70

C 71 65 56 73 59

D 85 90 76 78 69

第六章方差分析

方差分析 (Analysis of variance ， ANOVA) 又叫变量分析，是英国著名统计学家 R . A . Fisher 于 20 世纪提出的。它是用以检验两个或多个两个或多个均数间均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。

方差分析的定义方差分析的定义

方差分析的

基本功能

对多组样本平均数差异的显著性进行检验

　　 t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。

　　有人说，我们可以把多组数据化成 n个两组数据（化整为零），用 n次 t检验来完成这个多组数据差异显著性的判断。

对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用 t检验法的缺点：

1. 检验过程烦琐。

试验包含４个处理

t 检验： C42 ＝ 6 次

缺点

缺点2. 无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。

t 检验： C42 ＝ 6

次需计算 6 个标准误

误差估计不统一

误差估计精确性降低

缺点3. 推断的可靠性低，检验时犯α错误概率大。

t 检验：

C42 ＝ 6 次

H0 的概率：

1-α ＝ 0.95

6 次检验

相互独立

6 次都接受的概率 (0.95)6 ＝ 0.735

犯 α 错误的概率＝ 1-0.735 ＝ 0.265

犯 α 错误的概率明显增加

例如我们用 t检验的方法检验 4个样本平均数之间的差异显著性

试验指标（ experimental index ）：为衡量试验结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、 DNA 含量等等。

试验因素（ experimental factor ）：试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；若同时研究两个或两个以上因素对试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。

因素水平（ level of factor ） : 试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。如研究 3 个品种奶牛产奶量的高低，这 3 个品种就是奶牛品种这个试验因素的 3 个水平。

试验处理（ treatment ） : 事先设计好的实施在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。

试验单位（ experimental unit ） : 在实验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等都可以作为实验单位。

重复（ repetition ） : 在实验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。例如，用某种饲料喂 4 头猪，就说这个处理（饲料）有 4 个重复。

第一节方差分析的基本原理

二、数学模型

一、方差分析的基本思想、目的和用途

三、平方和与 df 的分解四、统计假设的显著性检验五、多重比较

观测值不同的原因

处理效应 (treatment effect) ：

处理不同引起

试验误差：试验过程中偶然性

因素的干扰和测量误差所致。

方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。

在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。

方差分析的基本思想

总变异

处理效应

试验误差

方差分析的目的

确定各种原因在总变异中所占的重要程度。

处理效应

试验误差

相差不大，说明试验处理对指标影响不大。

相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。

方差分析的用途

1. 用于多个样本平均数的比较

2. 分析多个因素间的交互作用

3. 回归方程的假设检验

4. 方差的同质性检验

1. 用于多个样本平均数的比较

2. 分析多个因素间的交互作用

二、数学模型假定有 k组观测数据，每组有 n个观测值，则共有 nk个观测值

平均T=∑xij Tk…Ti…T2T1总和

xk1

xk2

…xkj

…xkn

………………

xi1

xi2

…xxijij

…xin

………………

x21

x22

…x2j

…x2n

x11

x12

…x1j

…x1n

12

…j

…n

k…i…21 处理

重复

x x1 x2 xi xk

…

用线性模型 (linear model) 来描述每一观测值：

xij =μ + τi +εij (i=1,2,3…,k j=1,2,3…,n)

μ －总体平均数 τi －处理效应 εij －试验误差

xij －是在第 i 次处理下的第 j 次观测值

要求 εij 是相互独立的，且服从标准正态分布 N(0,σ2 )

二、数学模型

对于由样本估计的线性模型为：

xij =x + ti +eij

x －样本平均数

ti －样本处理效应

eij －试验误差

二、数学模型

xij =μ + τi +εij

根据的 τi 不同假定，可将数学模型分为以下三种：

固定模型随机模型

混合模型

二、数学模型

( 一 ) 固定模型 (fixed model)　　指各个处理的效应值 τi 是固定值，各个的

平均效应 τi ＝ μi － μ是一个常量，且∑ τi ＝ 0。就是说除去随机误差以后每个处理所产生的效应是固定的。

二、数学模型

　　实验因素的各水平是根据试验目的事先主观选定的而不是随机选定的。

不同离子对木聚糖酶活性的影响 (mg/ml)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

0.00

0.06

0.12

0.18

0.24

0.30

0.00

0.40

0.800.80

1.20

1.60

2.00

0.00

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

固定模型

Na+ K+ Cu2+ Mn2+

二、数学模型

在固定模型中，除去随机误差之后的每个处理所产生的效应是固定的，试验重复时会得到相同的结果

方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它水平上。

固定模型二、数学模型

( 二 ) 随机模型 (random model)　　指各处理的效应值 τi 不是固定的数值，而是由随机因素所引起的效应。

　　这里 τi 是一个随机变量，是从期望均值为 0，方差为σ2 的标准正态总体中得到的随机变量。得出的结论可以推广到多个随机因素的所有水平上。

二、数学模型

随机模型

美国的黑核桃品种对不同地理条件的适应情况

气候、水肥、土壤

无法人为控制

河南北京广州江苏新疆

二、数学模型

　　如果实验条件不能人为控制，那么这个样本对所属总体作出推断就属于随机模型。

随机模型

在随机模型中，水平确定之后其处理所产生的效应并不是固定的，试验重复时也很难得到相同的结果

方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上

二、数学模型

固定模型与随机模型的比较1. 两者在设计思想和统计推断设计思想和统计推断上有明显不同，因此进行方差分析时的公式推导也有所不同。其平方和与 df的分解公式没有区别，但在进行统计推断时假设检验构成的统计数统计数是不同的。

2. 模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一样，固定模型主要侧重于效应值效应值的估计和比较，而随机模型则侧重效应方差方差的估计和检验

3. 对于单因素方差分析来说，两者并无多大区别

二、数学模型

( 三 ) 混合模型 (mixed model)　　指多因素试验中既有固定因素又有随机因素时所用的模型．

在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少

二、数学模型

方差是离均差平方和除以自由度的商

σ2 ＝∑(x-μ)2

N

∑(x- x )2 s2 =

n-1

　　要把一个试验的总变异依据变异来源变异来源分为相应的变异，首先要将总平方和和总 df分解为各个变异来源的的相应部分。

　　方差分析的基本思想基本思想　引起观测值出现变异分解为处理效应的变异和试验误差的变异。

……平均T=∑xij Tk…Ti…T2T1总和

xk1

xk2

…xkj

…xkn

………………

xi1

xi2

…xij

…xin

………………

x21

x22

…x2j

…x2n

x11

x12

…x1j

…x1n

12

…j

…n

k…i…21处理重复

x x1 x2 xi xk

处理间平均数的差异是由处理效应引起的：

处理内的变异是由随机误差引起：

平平方方和和

(x- xi )

( xi – x )

根据线性可加模型，则有：平平方方和和( xi – x )(x - x ) ＝ (x- xi )+

(x - x )2 ＝ [ ]2 (x- xi )+ ( xi – x )

( xi – x )2 ∑(x - x )2 ＝ ∑1

n

1

n (x- xi )

2 + (x- xi ) ( xi – x )2∑1

n +∑

1

n

每一个处理 n 个观测值离均差平方和累加：

＝(x- xi )2 + 2(x- xi )( xi – x ) +(xi – x )2

0


xk1

xk2

…xkj

…xkn

………………

xi1

xi2

…xij

…xin

………………

x21

x22

…x2j

…x2n

x11

x12

…x1j

…x1n

12

…j

…n


x x1 x2 xi xk

( xi – x ) ＝0

(x- xi )2∑1

n

0)()(21

n

ii xxxx

( xi – x )(x- xi )由于＝ 0 ，则：

2∑1

n

∑(x - x )2 ＝ ∑ ( xi – x )2 (x- xi )2

n n

1 1+∑

1

n

( xi – x )2 (x- xi )2(x - x )2 ＝

∑∑

1

n

1

k ∑∑

1

n

1

k +n∑

1

k

总平方和

SST

处理内或组内平方和

SSe

处理间或组间平方和

SSt

平平方方和和

把 k 个处理的离均差平方在累加，得

平平方方和和

总平方和＝处理间平方和 + 处理内平方和

SST ＝ SSt + SSe

SST ＝∑∑ (x - x )2

1

n

1

k = ∑x2 -

T2 kn

(∑x)2

kn＝ ∑ x2 -

SST ＝ ∑ x2 -C

令矫正数 C ＝，则：T2 kn n

xxxx

222 )(

)(

平平方方和和SSt ＝n∑

1

k ( xi – x )2

k ＝ n∑( - 2 + )

1xi2

xi x x2

= n∑ - +nk1

k xi2

2n ∑ 1

k x xi x2

= -2nk +n∑1

k xi2

x2 nkx2

= -n∑1

k xi2

nkx2

= -n∑

1

k Ti2

n2

nkT2(nk)2 = ∑ Ti

2 - Cn1

∑1

k xi =kx

xi =Tin

=Tnk

x

nk

TT

n i

221

总平方和： SST ＝ ∑ x2 -C

处理间平方和： SSt = ∑ Ti2 - Cn

1

处理内平方和： SSe = SST - SSt

平平方方和和

自自由由度度

总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：

dfT = dft + dfe

总 df 处理间 df 处理内 df

自由度

dfT = nk-1

dft = k-1

dfe = dfT - dft

= nk-1-(k-1)

=nk-k

= k(n-1)


xk1

xk2

…xkj

…xkn

………………

xi1

xi2

…xij

…xin

………………

x21

x22

…x2j

…x2n

x11

x12

…x1j

…x1n

12

…j

…n


x x1 x2 xi xk

根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理间方差（ st

2 ）和处理内方差（ se2 ）：

st2 =

SSt

dft

SSe

dfe

se2 =

平方和自由度方差

处理间

处理内

总变异

nk

TC

2

CxSST 2

tTe SSSSSS

CTn

SS it 21

1nkdfT

1kdft

)1( nkdfee

ee df

SSs 2

t

tt df

SSs 2

　　某猪场对 4个不同品种幼猪进行 4个月增重量的测定，每个品种选择体重接近的幼猪 4头，测定结果列于下表，试进行方差分析。

=27.227.924.125.830.9

T=434.4111.496.2103.2123.6Ti

27.030.829.024.6

22.223.026.724.3

24.825.726.825.9

31.924.031.835.9

1234

沈花沈黑沈白大白品种重

复

xi x

k=4 ， n=4 ， nk=16

例

=27.227.924.125.830.9T=434.4111.496.2103.2123.6Ti

27.030.829.024.6

22.223.026.724.3

24.825.726.825.9

31.924.031.835.9

1234

沈花沈黑沈白大白品种重

复

xi x

4 个不同品种猪 4 个月的增重量 (kg)

(1) 平方和的计算：

T2 knC

＝＝ 434.42

16

＝ 11793.96

SST ＝ ∑ x2 -C＝ 31.92 + 24.02 +…+ 24.62 - C

＝ 213.3

SSt = ∑ Ti2 - Cn

1

＝ 1/4×(123.62 + 103.22 + …+ 111.42 ) - C

＝ 103.94

SSe ＝ SST - SS

t =213.3 - 103.94

=109.36

例 (2) 自由度的计算：

dfT ＝ nk-1 =16-1=15dft =k-1 = 4-1=3

dfe =k(n-1) =4×3=12(3) 方差计算：

st2 =

SSt

dft

＝ 103.942 3

＝ 34.647

SSe

dfe

se2 = ＝ 109.362

12＝ 9.113

四、统计假设的显著性检验 ——F 检验

　　确定各种原因（处理效应处理效应、试验误差试验误差）在总变异中所占的重要程度。

处理间处理间的方差（ sstt22 ）可以作为处理效应处理效应方差的估计

量

处理内处理内的方差（ ssee22 ）可以作为试验误差试验误差差异的估计

量处理效应

试验误差

方差分析的目的 :

2

2

e

t

s

s

　　二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影响不大。

　　如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处理对结果的影响很大，不可忽视。

处理效应

试验误差2

2

e

t

s

s

F 检验

从第三章我们已经知道，从一正态总体（μ ,σ2 ）中随机抽取两个样本，其样本方差 s1

2 与 s22 的比值为 F ：

F ＝ s12

s22

　　其 F 分布曲线随着 df1 和 df2 的变化而变化。由于 F 值表是一尾的（ F值的区间〔 0 ， +∞) ），一般将大方差作分子，小方差作分母，使 F 值大于 1，因此，表上 df1 的代表大方差自由度， df2 代表小方差自由度。

　　用处理效应的方差（ sstt22 ）和实验误差的方差（ ssee

22

）比较时，我们所做的无效假设是假设假设处理效应的变量和实验误差的变量是来自同一正态总体的两个样本，因此处理效应的方差（ sstt

22 ）和实验误差的方差（ ssee22 ）

的比值就是 F 值，即处理效应

试验误差2

2

e

t

s

sF =

方差分析

F 检验

在进行不同处理差异显著性的 F 检验时，一般是把处理间方差处理间方差作为分子，称为大方差，误差方差误差方差作为分母，称为小方差。

无效假设是把各个处理的变量假设假设来自同一总体，即处理间方差不存在处理效应不存在处理效应，只有误差的影响，因而处理间的样本方差σt

2 与误差的样本方差σe2 相等：

Ho ： σt2 ＝ σe

2 HA ： σt2 ≠ σe

2

2

2

e

t

s

sF

st2

无论无效假设是否为真， se2 均为总体方差

σ2 的估计。se

2

只有无效假设为真时， st2 (=se

2 )才是总体

方差σ2 的估计；当无效假设不真时，将 st

2 (＞ se2 ) 是一个比σ2 更大的估计值。

F 检验

　　与 t 检验相类似， F 检验是把计算所得的 F 值与临界 Fα 值比较，判断由误差造成的概率大小，最后作出统计推断。

　　无效假设是否成立，要看计算的 F 值在 F 分布中出现的概率。

F ＜ F0.05 P ＞0.05

处理间差异不显著

F ＞ F0.05 P ＜0.05

处理间差异显著

F ＞ F0.01 P ＜0.01

处理间差异极显著

否定 Ho

否定 Ho

接受 Ho

　　我们确定显著标准水平α后，从 F 值表中查出在 dft和 dfe 下的 Fα 值

　　综上所述，可归纳成方差分析表 (analysis of variance table)

se2k(n-

1)SSe误差或处理内

nk-1SST总和

st2k-1SSt处理间

F均方自由度平方和变异来源

F＝

st2

se2

F 检验

上例中， 4 个不同品种猪增重的 F 值为：

F ＝ st2

se2

＝ 34.647

9.113 ＝ 3.802

dft ＝ 3 dfe ＝ 12 ，查 F 值表得 F0.05 ＝ 3.49 ， F0.01 ＝5.95

品种间猪的增重量差异是显著的

例

F0.01>F >F0.05 0.01<P <0.05

变异来源 SS df s2 F F0.05 F0.01

品种间品种内

103.94

109.36

3

12

34.647

9.113

3.802 * 3.49 5.95

总变异 213.30 15

不同品种猪 4 个月增重量的方差分析表

例

　　如果处理间差异显著，在计算出的 F 值右上角标上“ *”号；如果处理间差异极显著，在F 值的右上角标上“ **”号。

为了解烫伤后不同时期大鼠肝脏 ATP 的变化情况，将 30只大鼠随机分为三组，每组 10只， A组在烫伤时， B组在烫伤后 24小时（休克期）， C组在烫伤后 96小时（非休克期）测定其肝脏内的 ATP 含量，结果如右表：

A 组 B 组 C 组7.76 11.14 10.85

7.71 11.60 8.58

8.43 11.42 7.19

8.47 13.85 9.36

10.30 13.53 9.59

6.67 14.16 8.81

11.73 6.94 8.22

5.78 13.01 9.95

6.61 14.18 11.26

6.97 17.72 8.68

n 10 10 10 N=30

8.04 12.76 9.25 =10.02

∑x 80.43 127.55 92.49 T=300.47

(∑x)2 6468.98 16269.00 8554.40 T2=

90282.22∑x2 676.32 1696.96 868.93

xix


T2 knC

＝＝ 300.472

30＝ 3009.4074

SST ＝ ∑ x2 -C＝ 676.32 + 1696.96 +868.93 - C＝ 232.8026

SSt = ∑ Ti2 - Cn

1 ＝ 1/3×(80.432 + 127.552 + 92.492 ) - C

＝ 119.8314

SSe ＝ SST - SS

t

=232.8026-119.8314 =112.9712

(2) 自由度的计算：

dfT ＝ nk-1 =30-1=29

dft =k-1 = 3-1=2

dfe =k(n-1) =3×9=27


品种间品种内

119.8314

112.9712

2

27

59.916

4.184

14.32 * * 3.35 5.49

总变异 232.8026 29

大鼠烫伤后 ATP 含量的的方差分析表

五多重比较

多重比较（多重比较（ multiple comparisonsmultiple comparisons ））

要明确不同处理平均数两两间差异的显著性，每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较，这种差异显著性的检验就叫多重比较。

　　统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。

概念五、多重比较

常用方法

最小显著最小显著差数法差数法

least significant difference

LSD 法

最小显著最小显著极差法极差法

least significant ranges

LSR 法

　　 LSD法的实质是两个平均数相比较的 t检验法。

　　 LSR 法克服了 LSD法的局限性，采用不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平均数间的所有相互比较。

( 一 ) 最小显著差数法（ LSD法）

1. 检验的方法

(1)先计算出达到差异显著的最小差

数，记为 LSDα (2) 用两个处理平均数的差值绝对值

与 LSDα 比较：x1 x2-


1. 检验的方法(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为 LSDα

由 t= 得x1 x2-

x1 x2-Sx1 x2- x1 x2-S＝ t ·

LSD0.05 =t0.05 · x1 x2-S

LSD0.01 =t0.01 · x1 x2-S

x1 x2-S =√ s12

n1

s22

n2+ =√ 1

n1

1n2

se2( + )

当 n1 = n2 时： x1 x2-S =√ 2se2

n

平均数差数标准误的计算公式：

处理内方差

1. 检验的方法

(2)再用两个处理平均数的差值绝对值与 LSDα 比较：x1 x2-

x1 x2- ＞LSDα ，

即和在给定的 α 水平上差异不显著 x1 x2

拒绝 Ho

接受 Ho


x1 x2即和在给定的 α 水平上差异显著

x1 x2- ＜ LSDα ，


品种间品种内

103.94

109.36

3

12

34.647

9.113

3.802 * 3.49 5.95

总变异 213.30 15

不同品种猪 4 个月增重量的方差分析表例

x1 x2-S =√ 2se2

n=√ 2×9.113

4＝ 2.1346

查 t 值表，当误差自由度 dfe =12

时，LSD0.05 =t0.05 · x1 x2-S =2.179 ×2.1346=4.6513(kg)

LSD0.01 =t0.01 · x1 x2-S =3.056 ×2.1346=6.5233(kg)

t0.05 ＝ 2.179 ， t0.01 ＝ 3.056

2. 结果表示方法( 一 ) 最小显著差数法（ LSD法）

梯形法标记字母法

标记字母法

首先将全部平均数从大到小依次排列。然后在最大的平均数上标字母 a ，将该平均数与以下各平均数相比，凡相差不显著的（＜ LSDα ）都标上字母 a ，直至某个与之相差显著的则标字母 b。再以该标有 b的平均数为标准，与各个比它大的平均数比较，凡差数差异不显著的在字母 a 的右边加标字母 b。然后再以标 b的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平均数比较，凡差数差异不显著的继续标以字母 b，直至差异显著的平均数标字母 c，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均数比较后为止。


标记字母法

品种

平均数差异显著性

α＝ 0.05 α＝ 0.01

大白沈花沈白沈黑

30.927.925.824.1

a A

例不同品种间 4个月增重量差异显著表

a

b

b

b A

A

B

B

B

xi

　　结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异不显著。

LSD0.05 =4.6513 LSD0.01 =6.5233

标记字母法

　　在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。

　　差异极显著标记方法相同，但用大写字母标记。


梯形比较法

　　又叫三角形法，是将各处理的平均数差数按梯形列于表中，并将这些差数和 LSDα 值比较：

差数＞ LSD0.05 差异显著 *

差数＞ LSD0.01 差异极显著 **

差数≤ LSD0.05 差异不显著


例梯形比较法不同品种间 4个月增重量差异显著表

品种平均数差异显著性


30.927.925.824.1

6.8 * *3.81.7

5.1 *2.1

3.0

xi xi -24.1 xi -25.8 xi -27.9

LSD0.05 =4.6513 LSD0.01 =6.5233

　　结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异不显著。

LSD法应用的说明


1. 进行 LSD检验时，这一对平均数的比较是检验之前已经指定的，且经 F 检验证实平均数间的差异已达到显著之后，才可以进行 LSD检验。

3. LSD 法适用于各处理组与对照组的比较，不适用于处理组间的比较。

2. LSD 法实质上是 t 检验，但 LSD 法是利用 F 检验中的误差自由度 dfe 查 t 临界值，利用误差方差 s

e2 计算平均数差异标准误，从一定程度上缓解了 t 检验过程中的三个弊病，但是 LSD法仍然存在提高犯α错误的概率，所以进行 LSD检验必须限制其应用范围。

( 二 ) 最小显著极差法（ LSR法）　　是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，可用于平均数间的所有相互比较。

新复极差法

（ New multiple rang method ）

SSR 法

q 检验

（ q-test ）

新复极差法（ SSR ）

SSR 法又称 Duncan 法。无效假设 H0

为：μA –μB = 0(1)按相比较的样本容量计算平均数标准误 :

当 n1 ＝ n2 ＝ n

时√xS = se

2 n

(2) 根据误差方差 se2 所具有自由度 dfe 和比较所含平均数个数

M，查 SSR 值（附表 8），然后算出最小显著极差值（ LSR值）。 LSRα ＝ SSRα · x1S

(3) 将各平均数按大小顺序排列，用各个 M值的 LSRα 值，检验各平均数间极差的显著性。

例例： n=4 ， se2 =9.113 ， dfe ＝ 1

2

√xS = se2

n √= 49.113 ＝ 1.5094(kg)

查附表 8 ，当 dfe ＝ 12 ， M ＝2 时，

LSR0.05 ＝ 1.5094×3.08 ＝ 4.65

LSR0.01 ＝ 1.5094 ×4.32 ＝ 6.52

当 M＝ 3， M＝ 4时，按同理计算，将结果列于下表：

SSR0.05 ＝ 3.08 ， SSR0.01 ＝ 4.32

不同品种 4个月增重量试验 LSR 值（新复极差法）

M 2 3 4

SSR0.05

SSR0.01

LSR0.05

LSR0.01

3.08

4.32

4.65

6.52

3.22

4.50

4.88

6.79

3.31

4.62

5.00

6.97

品种平均数


30.9

27.9

25.8

24.1

大白与沈黑： M＝ 4，极差＝ 6.8 ＞5.00大白与沈白： M＝ 3，极差＝ 5.1＞4.88大白与沈花： M＝ 2，极差＝ 3.0＜4.65

M = 相隔数 + 2

品种平均数

差异显著性

α ＝ 0.05 α ＝ 0.01


30.9

27.9

25.8

24.1

a

ab

b

b

A

A

A

A

　　结论：猪的 4个品种中只有大白与沈黑，大白与沈白 4 个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。

猪品种间 4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）

　　也称 Newman-keuls 检验，方法与新复极差法相似，其区别仅在于计算最小显著极差 LSRα 时不是查SSRα ，而是查 qα 值（附表 9）

LSRα ＝ qα · x1S

还对上例作 q检验： x1S ＝ 1.5094, 查 q 值表， dfe ＝ 12,M=2时

q0.05 ＝ 3. 08 ， q0.01 ＝ 4.32 。同理可查 M ＝ 3 ， M=4

时的

qα 值，算出最小显著极差 LSR 。

q- 检验法

q- 检验M 2 3 4

q0.05

q0.01

LSR0.05

LSR0.01

3.08

4.32

4.65

6.52

3.77

5.04

5.69

7.61

4.20

5.50

6.34

8.30

不同品种 4 个月增重量试验 LSR 值（ q 检验）

品种平均数


30.927.925.824.1

大白与沈黑： M＝ 4，极差＝ 6.8 ＞6.34大白与沈白： M＝ 3，极差＝ 5.1＜5.69大白与沈花： M＝ 2，极差＝ 3.0＜4.65

( 二 ) 最小显著极差法（ LSR法）

不同品种间 4 个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）

品种平均数

差异显著性

α ＝ 0.05 α ＝ 0.01


30.9

27.9

25.8

24.1

a

ab

ab

b

A

A

A

A

　　结论：猪的 4个品种中只有大白与沈黑 4个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。

LSD0.05 =4.6513 LSD0.01 =6.5233

LSDLSD 法法

M 2 3 4

q0.05

q0.01

LSR0.05

LSR0.01

3.08

4.32

4.65

6.52

3.77

5.04

5.69

7.61

4.20

5.50

6.34

8.30

M 2 3 4

SSR0.05

SSR0.01

LSR0.05

LSR0.01

3.08

4.32

4.65

6.52

3.22

4.50

4.88

6.79

3.31

4.62

5.00

6.97

新复极差法新复极差法

qq 检检验验

当样本数 k=2 时， LSD法、 LSR 法和 q检验法的显著性尺度是相同的。当 M≥3 时，三种检验的显著尺度便不相同。

因此，在实际计算中：

对于精度要求高的试验—— q 检验法

一般试验—— SSR 检验法

试验中各个处理均数皆与对照相比的试验—— LSD

检验法

方差分析的基本步骤

（ 1）将样本数据的总平方和与总自由度分解为各变异因素的平方和与自由度；

（ 2）列方差分析表进行 F检验，以弄清各变异因素在总变异中的重要程度；

（ 3）对各处理平均数进行多重比较。

为了解烫伤后不同时期大鼠肝脏 ATP 的变化情况，将 30只大鼠随机分为三组，每组 10只， A组在烫伤时， B组在烫伤后 24小时（休克期）， C组在烫伤后 96小时（非休克期）测定其肝脏内的 ATP 含量，结果如右表：

A 组 B 组 C 组7.76 11.14 10.85

7.71 11.60 8.58

8.43 11.42 7.19

8.47 13.85 9.36

10.30 13.53 9.59

6.67 14.16 8.81

11.73 6.94 8.22

5.78 13.01 9.95

6.61 14.18 11.26

6.97 17.72 8.68

n 10 10 10 N=30

8.04 12.76 9.25 =10.02

∑x 80.43 127.55 92.49 T=300.47

(∑x)2 6468.98 16269.00 8554.40 T2=

90282.22∑x2 676.32 1696.96 868.93

xix


T2 knC

＝＝ 300.472

30＝ 3009.4074

SST ＝ ∑ x2 -C＝ 676.32 + 1696.96 +868.93 - C＝ 232.8026

SSt = ∑ Ti2 - Cn

1 ＝ 1/10×(80.432 + 127.552 + 92.492 ) - C

＝ 119.8314

SSe ＝ SST - SS

t

=232.8026-119.8314 =112.9712

(2) 自由度的计算：

dfT ＝ nk-1 =30-1=29

dft =k-1 = 3-1=2

dfe =k(n-1) =3×9=27


品种间品种内

119.8314

112.9712

2

27

59.916

4.184

14.32 * * 3.35 5.49

总变异 232.8026 29

大鼠烫伤后 ATP 含量的的方差分析表

组别平均数

差异显著性

LSD q

B

C

A

12.76

9.25

8.04

a

ab

b

a

b

b

第二节

单因素方差分析


　　在试验中所考虑的因素只有一个时，称为单因素实验。

单因素方差分析是最简单的一种，它适用于只研究一个试验因素的资料，目的在于正确判断该试验因素各处理的相对效果（各水平的优劣） .


组内观测数目的不同

组内观测次数相等方差分析

组内观测次数不相等的方差分析

组内观测次数相等的方差分析

是指在 k组处理中，每一处理皆含有 n个观测值，其方差分析方法前面已做介绍，这里以方差分析表的形式给出有关计算公式：

se2k(n-

1)SSe误差或处理内

nk-1SST总和

st2k-1SSt处理间

F均方自由度平方和变异来源

F＝

st2

se2

　　测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州 5个地区黄鼬冬季针毛的长度，每个地区随机抽取 4 个样本，测定的结果如表，试比较各地区黄鼬针毛长度差异显著性。

地区东北内蒙古河北安徽贵州合计

1 32.0 29.2 25.2 23.3 22.3

2 32.8 27.4 26.1 25.1 22.5

3 31.2 26.3 25.8 25.1 22.9

4 30.4 26.7 26.7 25.5 23.7

126.4 109.6 104.1 99.0 91.4 530.5

31.60 27.40 26.03 24.75 22.85 26.53

3997.44 3007.99 2709.98 2453.16 2089.64 14258.21

x

2x

x

在这里， k=5， n=4 。

（ 1）首先计算出　　，及　　　，并列于表中。 x 2x

（ 2）计算出离均差平方和与自由度：

51.1407145

5.530 22

nk

TC

7.18651.1407121.142582

CxSST

71.17351.14071)4.916.1094.126(4

1 222

CTn

SS it 21

tTe SSSSSS ＝ 186.7-173.71 ＝ 12.99

1nkdfT ＝ 20 － 1 ＝19

1kdft

＝ 5×(4 － 1) ＝15

)1( nkdfe

（ 3）计算方差：

43.434

71.1732 t

tt df

SSs

866.015

99.122 e

ee df

SSs

＝ 5 － 1 ＝ 4

（ 4）进行 F 检验：

15.50866.0

43.432

2

e

t

s

sF

　　查 F 值表，得 F0.05 (4,15) ＝ 3.06， F0.01 (4,15) ＝ 4.89，故 F >F0.01 ， P < 0.01 ，说明 5个地区黄鼬冬季针毛长度差异极显著。

结果做成方差分析表：

不同地区黄鼬冬季针毛长度方差分析表


地区间地区内

173.7112.99

415

43.430.87

50.15** 3.06 4.89

总变异 186.70 19

　　为了确定各个地区之间的差异是否显著，需要进行多重比较。

这里用最小显著差数法（ LSD）进行检验。

658.04

866.022 2

21

n

ss e

xx

　　查 t 值表，当 dfe =15时， t0.05 ＝ 2.131 ， t0.01 ＝ 2.947，于是有：

LSD0.05 = 2.131 ×0.658 =1.402

LSD0.01 = 2.947 ×0.658 =1.939

　　本例中各组内观测数相等，而且组内方差均为 0.866，故任何两组的比较均可用 LSD0.05 及 LSD0.01 。

在进行 LSD0.05 及 LSD0.01 比较时，

　　各组间差数 > LSD0.01 ，说明两地间差异极显著，标以不同的大写字母；

　　 LSD0.01 >各组间差数 >LSD0.05 ，说明两地间差异显著，标以不同的小写字母；

地区平均数差异显著性

α＝ 0.05 α＝ 0.01

东北内蒙古河北安徽贵州

31.6027.4026.0324.7522.85

abbccd

ABBCCDD

　　结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北与安徽差异不显著。

根据组内观测次数目不同

组内观测次数相等的方差分析


有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同， k个处理的观测次数依次是 n1 、 n2 、…、 nk 的单因素分组资料，前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是

nk，而是次，在计算平方和时公式稍有改变。

k

iin

1


se2

∑ni-1

SSe误差或处理内

SST总和

st2k-1处理间

F方差自由度平方和变异来源

F＝

st2

se2

Cn

T

i

i 2

∑ni-k

　　在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测次数不等，因此应需先算得各 ni 的平均数n0 ：

10

22

kn

nn

i

iin

0

2

0

2 2

21 n

ss

n

ss e

xxe

x 或

各个处理的样本容量

用于 LSR 检验

用于 LSD 检验

　　用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：整粒小麦（ I），切去一半胚乳（ II），切去全部胚乳（ III），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进行方差分析。

处理株号

合计平均数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ⅠⅡIII

21

20

24

29

25

22

24

25

28

22

23

25

25

29

21

30

31

26

27

24

26

26 20 21

204

244

146

25.5

24.4

24.3

小麦切胚乳试验单株粒重（ g）

处理株号

合计平均数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ⅠⅡIII

21

20

24

29

25

22

24

25

28

22

23

25

25

29

21

30

31

26

27

24

26

26 20 21

204

244

146

25.5

24.4

24.3

小麦切胚乳试验单株粒重（ g ）

n1 ＝ 8 ， n2 ＝ 10 ， n3 ＝ 6 ， N

＝ 24(1) 平方和的计算

5.14701

24

146244204 22

in

TC

SST ＝ ∑ x2 –C= 212 + 292 +…+ 262 -C=230.5

8.66

146

10

244

8

204 222

CSSt

SSe ＝ SST - SSt ＝ 230.5-6.8 ＝ 223.7

(2) 自由度的计算

231241 iT ndf

21324kndf ie

2131 kdft

(3)列方差分析表

变异来源 SS df s2 F

处理间处理内

6.8

233.7

2

21

3.4

10.7

0.318

总变异 230.5 23

　　由表中结果可知， F＜ 1 ，表明三种处理的每株粒重无显著差异。

由于 F 检验不显著，不需要再作多重比较。如果 F 检验显著，则需要进一步计算 n0 ，并求得（用于 LSR 检验）或（用于 LSD 检验），即x1 x2-S

xS

88.7

224

)6108(24 2222

10

22

kn

nn

i

iin

16.18

7.10

0

2

n

ss e

x

64.18

7.1022

0

2

21

n

ss e

xx

需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。

在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况

每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。

温度光照

B1 B2 … Bc

A1 A1 B1 A1B2 … A1 Bc

A2 A2 B1 A2B2 … A2 Bc

… … … … …

Ar Ar B1 ArB2 … Ar Bc

第三节　

　　二因素方差分析

试验指标

试验指标因素因素

水平水平处理处理

效应效应

一、相关概念

一、相关概念

试验指标：衡量试验结果的标准

猪的日增重猪的日增重小麦产量小麦产量

酶的活性酶的活性

试验指标

因素 (factor) ：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验条件。

可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子　　　　　浓度、温度等

非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等）

固定因素：指因素的水平是经过特意选择的

随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随

机抽出的样本

因素一、相关概念


0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

0.00

0.06

0.12

0.18

0.24

0.30

0.00

0.40

0.800.80

1.20

1.60

2.00

0.00

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

Na+ K+ Cu2+ Mn2+

实验指标因素

水平 (level) ：每个因素的不同状态（从质或量方

面分成不同的等级）

　　因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念

水平一、相关概念


0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

0.00

0.06

0.12

0.18

0.24

0.30

0.00

0.40

0.800.80

1.20

1.60

2.00

0.00

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

Na+ K+ Cu2+ Mn2+

水平

处理

处理：指对试验对象施以不同的措施

饲料种类鱼增重（ 3 个重复）

A

B

C

D

31.9 27.9 31.8

24.8 25.7 26.8

22.1 23.6 27.3

27.0 30.8 29.0

对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个水平就是一个处理

4 种不同配合饲料对鱼的饲养效果

一、相关概念

处理

饲料中能量与蛋白质的水平组合

protein

能量高低

高低

高高低高

高低低低

对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合

一、相关概念

固定效应 (fixed effect) ：由固定因素所引起的效应。

随机效应 (random effect) ：由随机因素引起的效应。

一、相关概念效应

　　定义：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。

固定模型二因素都是固定因素

随机模型二因素均为随机因素

混合模型一个因素是固定因素，一个因素是随机因素

二因素方差分析

主效和互作

主效应（ main effect ）：

　　各试验因素的相对独立作用

互作（ interaction ）：

　　某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。

因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值

　　二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。

　　如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。

　　如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的处理组合。


无重复观测值的二因素方差分析

具有重复观测值的二因素方差分析


　　依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A因素有 a各水平， B因素有 b个水平，每个处理组合只有一个观测值。


因素 A 因素 B 总和 Ti. 平均数

B1 B2 … Bb

A1 x11 x12 … x1b T1.

A2 x21 x22 … x2b T2.

… … … … … … …

Aa xa1 xa2 … xab Ta.

总和 T.j T.1 T.2 … T.b T

平均数 …

.ix

.1x

.2x

.ax

xjx. 1.x 2.x bx.

无重复观测值的二因素分组资料模式

二因素方差分析的线性模型

　　因素间不存在交互作用，所以二因素方差分析观测值的线性模型是

xij =μ +αi +βj +εij

　　αi 和 βj 是 A因素和 B因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且　　　， εij 是随机误差，彼此独立且服从 N(0 ， σ2) 。

i=1,2,…,a; 　　 j=1,2, …,b

0 ii

（ 1）平方和的分解为：

ab

TC

2

CxxxSS ijT 22)(

Cb

TxxbSS i

iA 2

.2

. )(

Ca

TxxaSS j

jB 2

.2

. )(

BATjiije SSSSSSxxxxSS 2

.. )(

1abdfT

1adf A

)1)(1( badfe

（ 2）与平方和相应的自由度的分解为

1bdfB

（ 4） F值的计算：

2

2

e

AA s

sF

2

2

e

BB s

sF

（ 3）各项的方差分别为

A

AA df

SSs 2

B

BB df

SSs 2

e

ee df

SSs 2

　　将一种生长激素配成 M1 ， M2 ， M3 ， M4 ， M5五种浓度，并用H1 ， H2 ， H3 三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗 45天后的各处理每以植株的平均干物重（ g）（下表）。试作方差分析与多重比较。

浓度（ A）

时间（ B） Ti

H1 H2 H3

M1 13 14 14 41 13.67M2 12 12 13 37 12.33M3 3 3 3 9 3.00M4 10 9 10 29 9.67M5 2 5 4 11 3.67T.j 40 43 44 127

8.0 8.6 8.8 8.47

jx.

.ix

激素处理对大豆干物重的影响

激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型。

（ 1）平均和的计算：

27.107535

12722

ab

TC

CxSST 2

06.28927.10753

113741 2222

.

C

b

TSS i

A

73.29527.107541413 222

73.127.10755

444340 2222

.

C

a

TSS j

B

94.473.106.28973.295 BATe SSSSSSSS

141351 abdfT

4151 adf A

8)13()15()1)(1( badfe

（ 2）自由度的计算

2131 bdfB

（ 3）列出方差分析表，进行 F 检验

变异来源 df SS s2 F F0.05 F0.01

浓度间 4 289.06 72.27 116.56** 3.84 7.01

时间间误差

28

1.734.94

0.870.62

1.40 4.46 8.65

总变异 14 295.73

　　 F 检验结果表明，浓度间的 F 值大于 F0.01 ，时间间的 F值未达到显著水平，表明不同激素浓度对大豆干物重有极显著差异。（ 4）进行多重比较（用 SSR 检验）：由于只有浓度间的效应达到了极显著差异，时间间的效应未达到显著水平，只需对 5种浸渍浓度进行多重比较，可计算出浓度间的平均数标准误均为

455.03

62.02

b

ss e

x

　　 b=3 是每一浓度的观测值数目，如果要比较时间间的效应，由于每一时间有 a=5个观测值，其平均数的标准误应为

35.05

62.02

a

ss e

x

M 2 3 4 5

SSR0.05 3.26 3.40 3.48 3.52

SSR0.01 4.75 4.94 5.06 5.14

SSR0.05 1.48 1.55 1.58 1.60

SSR0.01 2.16 2.25 2.30 2.34

不同浓度大豆干物重多重比较 SSR 和 LSR值

　　查 SSR 值表，当 dfe=8， M=2 ， 3， 4， 5时的 SSR 值及由此计算的 LSR 值列于下表

　　多重比较结果表明： 5种生长激素浓度对大豆干物重的影响有着极显著的差异，除 M1与 M2 ， M5与 M3 之外差异不显著外，其它浓度之间的大豆干物重均达到极显著差异。 5种激素浓度中，以 M1 和 M2 的处理效果较好。

浓度平均数差异显著性

α＝ 0.05 α＝ 0.01

M1

M2

M3

M4

M5

13.6712.339.673.673.00

aabcc

AABCC

　　无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误差实际上是这两个因素的相互作用，这是在两个因素不存在互作，或互作很小的情况下进行估计的。

　　但是，如果存在两个因素的互作，方差分析中就不能用互作来估计误差，必须在有重复观测值的情况下对试验误差进行估计。

　　定义：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。

二因素都是固定因素

二因素均为随机因素

固定模型

随机模型

混合模型一个因素是固定因素，一个因素是随机因素


　　三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有所不同。

　　依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A因素有 a个水平， B因素有 b个水平，每个处理组合只有一个观测值。


因素 A 因素 B 总和 Ti. 平均数

B1 B2 … Bb

A1 x11 x12 … x1b T1.

A2 x21 x22 … x2b T2.

… … … … … … …

Aa xa1 xa2 … xab Ta.

总和 T.j T.1 T.2 … T.b T

平均数 …

.ix

.1x

.2x

.ax

xjx. 1.x 2.x bx.

无重复观测值的二因素分组资料模式

二因素方差分析的线性模型

　　因素间不存在交互作用，所以二因素方差分析观测值的线性模型是


　　αi 和 βj 是 A因素和 B因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且　　　， εij 是随机误差，彼此独立且服从标准正态分布N(0 ， σ2) 。

i=1,2,…,a; 　　 j=1,2, …,b

0 ii


ab

TC

2

CxxxSS ijT 22)(

Cb

TxxbSS i

iA 2

.2

. )(

Ca

TxxaSS j

jB 2

.2

. )(

BATjiije SSSSSSxxxxSS 2

.. )(

1abdfT

1adf A

)1)(1( badfe

（ 2）与平方和相应的自由度的分解为

1bdfB

（ 4） F值的计算：

2

2

e

AA s

sF

2

2

e

BB s

sF


A

AA df

SSs 2

B

BB df

SSs 2

e

ee df

SSs 2

　　无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误差实际上是这两个因素的相互作用，这是在两个因素不存在互作，或互作很小的情况下进行估计的。

　　但是，如果存在两个因素的互作，方差分析中就不能用互作来估计误差，必须在有重复观测值的情况下对试验误差进行估计。



具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析


　　具有重复观测值的二因素试验的典型设计是：假定 A 因素有 a 水平， B 因素有 b 水平，则每一次重复都包括 ab 次实验，设试验重复 n 次，资料模式在 P98 。

　　二因素具有重复观测值的方差分析用下面线性模型来描述：

xijk = μ +αi +β j+(αβ)ij +εijk

A 因素第 i 水平， B因素第 j水平和第k 次重复的观

测值

总平均值

A因素第 i水平的效应

B因素第 j水平的效应

αi 和 β j的交互作用

随机误差

模型中 εijk彼此独立且服从标准正态分布（ 0 ,σ2 ）

0)( ijji

　　因试验共有 n次重复，试验的总次数为 abn 次。方差分析步骤和前面介绍的相类似，唯一不同的是 F检验的方法。


abn

TC

2

CxxxSS ijkT 22)(

Cbn

TxxbnSS i

iA 2

.2)(

A 处理的样本容量

Can

TxxanSS j

jB 2

.2)(

ABBATijijke SSSSSSSSxxSS 2

)(

BAij

jiijAB SSSSCn

TxxxxnSS

22

.. )(

B 处理的样本容量

A 处理、 B 处理和 A×B 互作的平方和

试验重复数

)1)(1( badf AB

1bdfB

)1( nabdfe


A

AA df

SSs 2

B

BB df

SSs 2

AB

ABAB df

SSs 2

e

ee df

SSs 2

1abndfT

1adf A

（ 2）自由度的分解为

（ 4） F检验：

2

2

e

AA s

sF

2

2

e

BB s

sF

（ｂ）随机模型：对于随机模型， αi、 βj、 (αβ)ij 和 εijk 是相互独立的随机变量，都遵从正态分布。在 F检验时，先检验 A×B是否显著：

2

2

e

ABAB s

sF

（ a ）固定模型：在固定模型中， αi ， βj及 (αβ)ij 均为固定效应。在 F检验时， A因素、 B因素和 A×B互作项均以 Se2 作为分母。

2

2

e

ABAB s

sF

检验 A、 B时，有：

2

2

AB

AA s

sF

2

2

AB

BB s

sF

（ｃ）混合模型（以 A为固定因素，Ｂ为随机因素为例）：在混合模型中， A和 B的效应为非可加性，αi 为固定效应， βj及 (αβ)ij 为随机效应。对 A作检验时同随机模型，对 B和 A×B作检验时同固定模型，即：

2

2

AB

AA s

sF

2

2

e

BB s

sF

2

2

e

ABAB s

sF

　　在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少。

　　为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温度和光照条件下在实验室培养，每一处理记录 4 只昆虫的滞育天数，结果列于表中，是对该材料进行方差分析。

光照（ A ）温度（ B ）

250C 300C 350C

5h·d-1

143

138

120

107

101

100

80

83

89

93

101

76

10h·d-1

96

103

78

91

79

61

83

59

80

76

61

67

15h·d-1

79

83

96

98

60

71

78

64

67

58

71

83

不同温度及光照条件下某种昆虫滞育天数

　　由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依固定因素分析。

将表中数字均减去 80 ，整理得下表光照

（Ａ）

标本号温度（ B ）

250C 300C 350C

5h·d-1

1

2

3

4

63

58

40

27

21

20

0

3

9

13

21

－ 4271

188 44 39

10h·d-1

1

2

3

4

16

23

－ 2

11

－ 1

－ 19

3

－ 21

0

－ 4

－ 19

－ 13－ 26

48 － 38 － 36

15h·d-1

1

2

3

4

－ 1

3

16

18

－ 20

－ 9

－ 2

－ 16

－ 13

－ 22

－ 9

3－ 52

36 － 47 － 41

272 － 41 － 38 193

ijT

ijT

ijT

jT.

.iT

T


69.1034433

19322

abn

TC

56.1452469.1034)35863( 2222 CxSST

03.536769.103443

)52()26(271 2222

.

C

bn

TSS i

A

06.539169.103443

)38()41(272 2222

.

C

an

TSS j

B

BAij

AB SSSSCn

TSS 2

BA SSSSC

4

)41(44188 222

94.46406.539103.536769.103472.12257

ABBATe SSSSSSSSSS

25.330394.46406.539103.536731.14526


3514331 abndfT

2131 adf A

2131 bdfB

4)13()13()1)(1( badf AB

27)14(33)1( nabdfe

结果列入方差分析表


光照间 2 5367.06 2683.53 21.94** 3.35 5.49

温度间 2 5391.06 2695.53 22.03** 3.35 5.49

光照 ×温度误差

427

464.943303.25

116.24122.34

0.95 2.73 4.11

总变异 35 295.73

　　 F 检验结果表明，浓度间和时间间的 F 值大于 F0.01 ，它们的差异极显著，即昆虫滞育期长短主要决定于光照和温度，而与两者之间的互作关系不大。

某昆虫滞育天数方差分析表

　　要了解各种光照时间及温度对滞育期的影响，需进行不同光照间及不同温度间的多重比较，其方法可参照前面例子进行，但平均数标准误的计算为：光照（ A）间平均数标准误　　　，温度（ B）间平均数标准误

bn

ss e

x

2

an

ss e

x

2

A 处理的样本容量

B 处理的样本容量

　　在啤酒生产中，为了研究烘烤方式（ A）与大麦水分（ B）对糖化时间的影响，选了两种烘烤方式， 4种水分共8种处理，每一处理重复三次，结果如下表。

烘烤方式(A)

水分 (B)

B1 B2 B3 B4

A1

12.0 9.5 16.0 18.0

13.0 10.0 15.5 19.0

14.5 12.5 14.0 17.0

A2

5.0 13.0 17.5 15.0

6.5 14.0 18.5 16.0

5.5 15.0 16.0 17.5

　　大麦水分是不均匀的，又不易控制，所以因素 B是随机的，它的效应也是随机的，因此本题是一个混合模型的方差分析。

将上表中各观测值都减去 10，计算后得

烘烤方式

（ A）标本号

水分（ B）

B1 B2 B3 B4

A1

1 2.0 -5.0 6.0 8.0

51.02 3.0 0.0 5.5 9.0

3 4.5 2.5 4.0 7.0

9.5 2.0 15.5 24.0

A2

1 -5.0 3.0 7.5 5.0

39.52 -3.5 4.0 8.5 6.0

3 -4.5 5.0 6.0 7.5

-13.0

12.0 22.0 18.5

-3.5 14 37.5 42.5 90.5

ijT

ijT

jT.

.iT

T


26.341342

5.90 22

abn

TC

99.36326.34125.705

5.7)5.0(0.2 2222

CCxSST

51.526.34177.34643

5.390.51 222

.

CCbn

TSS i

A

865.22826.341125.57032

5.4214)5.3( 2222

.

CC

an

TSS j

B

BAij

AB SSSSCn

TSS 2

BA SSSSC

3

5.180.25.9 222

615.107865.22851.526.34125.683

ABBATe SSSSSSSSSS

000.22615.107865.22851.599.363


2313421 abndfT

1121 adf A

3141 bdfB

3)14()12()1)(1( badf AB

16)13(42)1( nabdfe

结果列入方差分析表


烘烤方式 A 1 5.510 5.510 0.154 10.19 34.12

水分 B 3 228.865 76.288 55.482** 3.24 5.29

A×B误差

316

107.61522.000

35.8721.375

26.089** 3.24 5.29

总变异 23 363.99

糖化时间方差分析表

154.0872.35

51.52

2

AB

AA s

sF 482.55

375.1

288.762

2

e

BB s

sF

表中 F的计算为：

089.26375.1

872.352

2

e

ABAB s

sF

　　 F 检验结果表明，水分和的 AA×BB的 F 值大于 F0.

01 ，大麦中的水分及水分与烘烤方式之间的互作对糖化时间的影响达到了极显著水平，而烘烤方式对糖化时间的作用不显著。在生产上应注意大麦的含水量及根据含水量来选择合适的烘烤方式。


烘烤方式 A 1 5.510 5.510 0.154 10.19 34.12

水分 B 3 228.865 76.288 55.482** 3.24 5.29

A×B误差

316

107.61522.000

35.8721.375

26.089** 3.24 5.29

总变异 23 363.99

第四节　

　　多因素方差分析

　　实际工作中，往往需要考察三个或多个因素的效应。这相当于把二因素方差分析扩展到一般情况。如在一个试验中， A因素有 a水平， B因素有 b水平， C因素有 c水平等，假设每一处理都有 n次重复，那么总观测次数为 abcn 次。本节仅对三因素的情况进行分析。（见 P104 ）

　　设有一个三因素方差分析模型，各取了 a 、 b 、 c 个水平，每一处理有 n 次重复。对观测值，其线性数学模型为：

xijkl = μ +αi +β j+γk+(αβ)ij + (α γ)ik + (β γ)jk + (αβ γ)ijk + εijkl

总体平均数随机误差

A因素第 i 水平， B因素第 j水平 , C因素第 k 水平第 l 次重复的观测值

A因素、 B因素、 C因素的效应

A×B 、 A×C 、 B×C的交互效应

三因素的交互效应（ A×B×C）

xijkl

αi 、 β j 、 γk

(αβ)ij 、 (α γ)ik 、 (β γ)jk

(αβ γ)ijk

i=1,2,…,a ； j=1,2, …,b ； k=1,2, … ,c ； l=1,2, …,n

xijkl = μ +αi +β j+γk+(αβ)ij + (α γ)ik + (β γ)jk + (αβ γ)ijk + εijkl

同时应满足下列四个条件：

0)( ijk

0kji

0)()()( ikjkij

),0( 2 Nijkl是独立分布，服从

　　实际分析时，可将三因素试验数据列成三个两向表（ A、 B因素组合， B 、 C因素组合， A、 C因素组合），把三因素方差分析化为二因素方差分析。

　　因此可以计算出 SSA、 SSB、 SSC、 SSAB、 SSBC、 SSAC，其中 SSA、 SSB、 SSC不需要重复计算。

abcn

TxSS

i j k lijklT

22

总平方和为全部试验观测值的平方和，即：

2)(

i j k lijkle ijkxxSS

　　误差平方和 SSe 显然等于在同一处理下数据的变异平方和，即：

总平方和可分解为：

eABCBCACABCBAT SSSSSSSSSSSSSSSSSS

总自由度的分解：

dfT=dfA+dfB+dfC+dfAB+dfAC+dfBC+dfABC+dfe

　　由于胱氨酸、蛋氨酸和蛋白质都是可以控制的，所以适用于固定模型。

a=4， b=3， c=2，n=2。

　　为了研究在猪饲料中添加胱氨酸（因素 A）、蛋氨酸（因素 B）和蛋白质（因素 C）对猪日增重（ kg）的影响，设计了下面的试验，每一组共用两头猪作重复，结果 P105，试作方差分析。

（ 1）将数据分别累加，结果 P106。

（ 2）计算平方和：

CxSSi j k l

ijklT 2

1796.762234

47.60 22

abcn

TC

0409.227.197.011.1 222 C

5355.0234

77.3270.27 222

..

CC

abn

TSS k

C

BAij

AB SSSSCcn

TSS 2

.

2543.0)38.538.505.5(22

1 222

BA SSSSC

0427.0223

02.1559.14 222

..

CCbcn

TSS i

A

0526.0224

84.2055.19 222

..

CCacn

TSS j

B

CBjk

BC SSSSCan

TSS 2

.

0821.0)68.1160.1095.8(24

1 222

CB SSSSC

CAki

AC SSSSCbn

TSS 2

.

2399.0)79.762.622.6(23

1 222

CA SSSSC

)2

89.297.208.2(

222

CSSSSSSSS TtTe

＝ 2.0409-1.2756 ＝ 0.7653

BCACABCBAijk

ABC SSSSSSSSSSSSCn

TSS 2

0685.02

89.297.208.2 222

BCACABCBA SSSSSSSSSSSSC

SSt

（３）自由度的分解为

47122341 abcndfT

3141 adf A

2131 bdfB

1121 cdfC

6)13()14()1)(1( badf AB

3)12()14()1)(1( cadf AC

2)12()13()1)(1( cbdfBC

6)12()13()14()1)(1)(1( cbadf ABC

24)12(234)1( nabcdfe

（ 4 ）结果列入方差分析表


胱氨酸 A 3 0.0427 0.0142 0.445 3.01 4.72

蛋氨酸 B 2 0.0526 0.0263 0.824 3.40 5.61

蛋白质 C 1 0.5355 0.5355 16.787** 4.26 7.82

A×B 6 0.2543 0.0424 1.329 2.51 3.67

A×C 3 0.2399 0.0800 2.508 3.01 4.72

B×C 2 0.0821 0.0410 1.285 3.40 5.61

A×B×C

误差624

0.06850.7653

0.01140.0319

0.357 2.51 3.67

总变异 47 363.99

　　检验结果表明，蛋白质对猪日增重影响极其显著，胱氨酸及蛋氨酸的影响不显著，可能的原因是在饲料中并不缺乏这两种氨基酸。

　　方差分析的数据一般都是事先设计好的，意外事件常使某一个或某几个数据丢失，比如收获的作物可能遭到毁坏，动物可能有死亡，或者在记录时可能漏记或记错等等。

　　数据的缺失使平方和的线性可加模型无效，因此无法直接进行方差分析。

　　缺失的数据可用统计方法从理论上估计出，用计算出的数据去弥补缺失的数据，这样就可以用前面介绍过的方法进行分析。

第五节　

　方差分析缺失数据的估计

使补上缺失的数据后，误差平方和最小。

弥补缺失数据的原则

　　有一点必须明确，缺失数据估计并不能恢复原来的数据，只能是补足后不致于干扰其余数据，估计的数据并不能提出任何新的信息，因此，试验中应尽量避免这类情况发生。

注意

缺失一个数据的估计方法

方差分析缺失数据的估计

缺失两个数据的估计方法

缺失一个数据的估计方法

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 总和

A1 30 39 41 42 42 39 38 38 309

A2 37 46 x 43 51 44 35 49 305+x

A3 27 37 36 24 37 41 33 43 278

A4 30 42 35 40 46 47 38 46 324

总和 124 164 112+x 149 176 171 144 176 1216+x

上表中 x23 是缺失的，需要补上。

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 总和

A1 30 39 41 42 42 39 38 38 309

A2 37 46 x 43 51 44 35 49 305+x

A3 27 37 36 24 37 41 33 43 278

A4 30 42 35 40 46 47 38 46 324

总和 124 164 112+x 149 176 171 144 176 1216+x

误差的平方和可由下式求出：

BATe SSSSSSSS

2222222 324)305(3098

1)463730( xx

22222 )1216(32

1176)112(164124

4

1xx

为了 SSe 达到最小，令　　　　，则有：0dx

dSSe

0)1216(16

1)112(

2

1)305(

4

12 xxxx

解该方程，得：

43857.42 x

　　把这个数据填在表内，在进行方差分析时，除总自由度 dfT 和误差自由度 dfe 各需减 1外，其他仍可以按前面介绍的方法进行。

缺失两个数据的估计方法

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 总和

A1 30 39 41 42 42 39 38 38 309

A2 37 46 x 43 51 44 35 49 305+x

A3 27 37 36 24 37 41 y 43 245+y

A4 30 42 35 40 46 47 38 46 324

总和 124 164 112+x 149 176 171 11+y 176 1216+x

　　上表的 x23 和 x37 都缺失，分别称为 x和 y。其弥补原则和弥补一个数据是一样的，即使 SSe 达到极小。

先由下式求出误差的平方和：

BATe SSSSSSSS

222222222 324)245()305(3098

1)463730( yxyx

222222 )1183(32

1176)111()112(164124

4

1yxyx

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 总和

A1 30 39 41 42 42 39 38 38 309

A2 37 46 x 43 51 44 35 49 305+x

A3 27 37 36 24 37 41 y 43 245+y

A4 30 42 35 40 46 47 38 46 324

总和 124 164 112+x 149 176 171 11+y 176 1216+x

为使 SSe 极小，应满足：

0)1183(16

1)112(

2

1)305(

4

12 yxxxx

经整理，解得： x＝ 42.97 ， y＝ 30.57

0

y

SSe

0

x

SSe

即：

0)1183(16

1)111(

2

1)245(

4

12 yxyyy

　　缺失的数据补上后进行方差分析时，总自由度 dfT和误差自由度 dfe 均减 2 。由于误差自由度减小，F检验的灵敏度相应降低，对分析问题是不利的，补救的数据只是不干扰方差分析，并不能提供丢失的信息，所以进行试验时，要谨慎小心，尽量避免数据的丢失。

　　对试验数据进行方差分析是有条件的，即方差分析的有效性建立在一些基本假定上，如果分析的数据不符合这些基本假定，得出的结论就不会正确。一般地说，在试验设计时，就应考虑方差分析的条件。

方差分析的基本假定和数据转换

第六节

方差分析的基本假定

正态性

可加性

方差同质性

正态性

　　试验误差应当是服从正态分布的独立的随机变量。因为方差分析只能估计随机误差，顺序排列或顺序取样资料不能作方差分析。应用方差分析的资料应服从正态分布，即每一观测值 Xij 应围绕相应的平均数呈正态分布。

　　非正态分布的资料进行适当数据转后，也能进行方差分析。

可加性

　　处理效应与误差效应应该是可加的，并服从方差分析的数学模型，即

　　这样才能将试验的总变异分解为各种原因所引起的变异，以确定各变异在总变异中所占的比例，对试验结果作出客观评价。可加性是否显著有专门的统计方法。


方差同质性

　　所有试验的误差方差应具备同质性，也叫方差的齐性，即

σ12 ＝ σ2

2 ＝…＝ σn2

　　因为方差分析是将各个处理的试验误差合并以得到一个共同误差方差的，所以必须假定资料中这样一个共同方差存在。误差异质将使假设检验中某些处理效应得出不正确的结果。

　　方差的同质性检验前面已介绍过。如果发现有方差异质的现象，可将变异特别明显的数据剔除，当然剔除数据是应十分小心，以免失掉某些信息。或者将试验分成几个部分分析，使每部分具有同质的方差。

　　在生物学中，有时会遇到一些样本，其所来自的总体和方差分析的基本假定相抵触，这些数据在作方差分析之前必须经过适当处理及数据转换来更变测量标尺。

　　样本的非正态性、不可加性和方差的异质性通常连带出现，主要的是考虑处理效应与误差效应的可加性，其次才考虑方差同质性。

数据转换

数据转换常用的转化方法

平方根转换

对数转换

反正弦转化

平方根转换

　　有些生物学观测数据为泊松分布而非正态分布，比如一定面积上某种杂草株数或昆虫头数等，样本平均数与其方差有比例关系，采用平方根转换可获得同质的方差。一般将原观测值转化成　　，数据较小时采用

x

1x

对数转换

　　如果已知资料中的效应成比例而不是可加的，或者标准差（或极差）与平均数大体成比例时，可以使用对数变换。

反正弦转化

　　如果数据是比例或以百分率表示的，其分布趋向于二项分布，方差分析时应作反正弦转换，用下式把它们转化成一个相应的角度：

P1sin

百分数资料相应的角度值


方　差　分　析

基本假定数据转换


多因素方差分析

缺失数据的估计

试验数据的方差分析

组内观测次数相等

组内观测次数不等

无重复观测值

有重复观测值

小结

方差分析的基本步骤：

确定数学模型

进行多重比较

列方差分析表，

进行F检验

平方和自由度

的分解

用 a 、 b 、 c 、 d4 种不同的配合饲料饲养 30 日龄的小鸡， 10...

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