© 2008, РАН,Фонд Осипьяна, «Квант»

ПРЕДСЕДАТЕЛЬРЕДАКЦИОННОЙ КОЛЛЕГИИ

Ю.А.Осипьян

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов,А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин,

Н.П.Долбилин (заместитель главногоредактора), В.Н.Дубровский,

А.А.Егоров, А.В.Жуков,А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель

председателя редколлегии), П.А.Кожевников,В.В.Козлов (заместитель председателя

редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович,Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов,

А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин,В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев,

А.И.Черноуцан (заместитель главногоредактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков,

В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой,

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков,Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ19 7 0 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков,В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн,

Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов,П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров,

В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,

Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов,А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий,

М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский,В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Учредители — Российская академиянаук, Фонд поддержки

фундаментальной науки иобразования (Фонд Осипьяна),

ИФТТ РАН

Бюро Квантум

Н А У Ч Н О - П О П У Л Я Р Н Ы Й Ф И З И К О - М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1 9 7 0 ГОДА

В номере:

НОЯБРЬ

ДЕКАБРЬ Ю№620

08©

2 Самая светлая революция и ее творцы. Ю.Носов8 Арифметические треугольники. В.Тиморин

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

13 Задачи М2111–М2115, Ф2118–Ф212214 Решения задач М2086–М2095, Ф2102–Ф2107

К М Ш

21 Задачи22 Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8»23 Дюжина задач о среднем арифметическом. А.Шень

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

25 Формула любви. Е.Мейлихов

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

29 Золотое сечение и числа Фибоначчи. В.Бугаенко

К А Л Е Й Д О С К О П « К В А Н Т А »

32 Бесконечность в задачах

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

35 Движение проводника в магнитном поле. А.Черноуцан

О Л И М П И А Д Ы

39 XLIX Международная математическая олимпиада42 XXXIX Международная физическая олимпиада47 Московская студенческая олимпиада по физике

И Н Ф О Р М А Ц И Я

48 Очередной набор в ОЛ ВЗМШ54 Федеральная заочная физико-техническая школа при МФТИ58 Новый прием в школы-интернаты при университетах59 Школа «Комбинаторная математика и теория алгоритмов»60 Открылся новый математический факультет

60 Ответы, указания, решения

63 Напечатано в 2008 году

Н А О Б Л О Ж К Е

I Иллюстрация к статье Ю.Носова

II Математические этюды

III Шахматная страничка

IV Коллекция головоломок

В праздновании 100-летнего юбилея академикаИ.К.Кикоина финансовое участие принимаетОАО «ТЕХСНАБЭКСПОРТ»

Самая светлая революцияи ее творцы

Ю.НОСОВ

Небольшое вступление

Нас уже не удивляет, что во многих светофорахлампочки заменили светодиодами, что подсветка жид-ких кристаллов полностью перешла к светодиодам, аогромные цветные экраны на стадионах, площадях,эстрадах не только дублируют тех, кого аудиторияпочти не видит, но и прихорашивают их, а завтра ивовсе заменят – «интеллектуальные», «умные» свето-диоды способны на чудеса информационных мистифи-каций. Светодиодные маяки, створные огни, бакенынесоизмеримо эффективнее традиционных; пожаро-,взрыво-, ударобезопасные фонари служат шахтерам,дайверам, спелеологам; ярчайшие, но холодные све-тильники обеспечивают комфортные условия хирур-гам, ювелирам, ТВ-дикторам.

А ведь еще совсем недавно, лет десять тому назад,светодиоды были знакомы нам как исключительноскромные, простенькие светлячки в кнопках включе-ния-выключения телевизоров, компьютеров, стираль-ных машин. Теперь нас не удивляют и «новые места»работы светодиодов: фары дальнего света, салонысамолетов, повсеместная подсветка зданий. Вслед заэтим мы без эмоций воспримем и решающий светоди-одный прорыв – освещение наших квартир (пока этолишь область фантазии энергетиков, строителей, про-двинутых дизайнеров).

Говорят, утрата удивительной способности удивлять-ся есть одно из самых неприятных последствий воздей-ствия технического прогресса на человека – черствеетдуша. А удивляться есть чему. Активная областьсветодиодного чипа, в которой рождается свет, посвоему объему в 100000 раз меньше нити накала 60-ваттной лампочки, а светят они почти одинаково; нитьнакала перегорает через 500 часов, а светодиод можетсветить «вечно», правда в паспортах для страховкигарантируют «лишь» 50–100 тысяч часов! Светодиодыуже сравнялись с лучшими люминесцентными трубка-ми, но если требуется засвечивать какую-то определен-ную зону, то светодиоды оказываются экономичнеесвоих предшественников в десятки раз. И достигаетсяэто лишь специальной формой пластмассового корпу-са-линзы, без дорогой и громоздкой внешней оптики.Когда необходим какой-нибудь спектрально-однород-ный свет, светодиоды вообще вне конкуренции – этозаложено в их природе, светофильтры им не нужны(как раз наоборот – излучать в широком спектре,свойственном белому свету, светодиоды не могут, но иэту проблему уже решили).

Итак, светодиодную революцию, начавшуюся в1990-е годы, в ее внешнем проявлении характеризу-ют три момента: резкое повышение интенсивности иэкономичности свечения («новые» светодиоды назы-вают суперяркими); свечение любого цвета от густо-малинового до фиолетового, включая и белый; фор-мирование требуемого пространственного распреде-ления светового потока. Общий итог – создание бур-но развивающейся индустрии «полупроводниковогосвета», способной принципиально преобразовать ин-формационную, развлекательную и осветительную тех-нику. Говоря высоким слогом, к 2020–2025 годаможидается кардинальное изменение световой, цвето-вой, информационной, культурообразующей состав-ляющих среды обитания человека.

Содержательная же суть революции сосредоточена вкрохотном светодиодном чипе, представляющем собойсложнейшую квантово-механическую структуру, изго-тавливаемую методами нанотехнологии. Успех на дол-

Олег Владимирович Лосев

гом и трудном пути был достигнут общими усилиямиамериканских, русских, японских, немецких исследо-вателей и технологов. А началось все в далеком 1922году, когда Олег Лосев, девятнадцатилетний лаборантНижегородской радиолаборатории, занялся кристал-лическими детекторами… Но прежде – необходимоеотступление.

О том, как мы видим, и о световых измерениях

Свет воспринимается сетчаткой, устилающей глазноедно, именно на нее линзой-хрусталиком фокусируетсяизображение окружающих предметов (рис.1). Сетчат-ка содержит около 125 миллионов нервных фоторецеп-торов, которые из-за их продолговатости называют

палочками, и примерно 6–7 миллионов колбочек, по-лучивших свое название из-за конической формы.Палочки сконцентрированы в основном на краях сет-чатки, а колбочки располагаются в небольшой цент-ральной зоне. Колбочки в сотни раз менее чувствитель-ны, чем палочки, но зато «различают» цвета, а палочкиреагируют лишь на изменения яркости света. Кавычкиприходится использовать потому, что зрительный об-раз формируется в затылочных областях головногомозга, а глаз – это лишь фотоприемник, принимающийвнешнюю информацию, преобразующий ее и по нер-вным волокнам передающий в мозг. Иными словами,«смотрим» мы глазами, а «видим» затылком. Глазнаяавтоматика отлажена Природой так, что днем активнытолько колбочки, а в сумерках активны только палоч-ки. Поэтому утверждение «ночью все кошки серы…»имеет вполне научное обоснование.

Цветовосприятие – уникальная способность челове-ка; по-видимому, оно доступно исключительно высо-коорганизованному мозгу. Видят все животные, мно-гие зорче нас, некоторые почти в полной темноте, нопрактически все они пребывают в вечных серых сумер-ках (отличает ли собака сыр от мяса по цвету – до сихпор предмет дискуссии ученых). А нам, пожалуй,просто невозможно представить жизнь без красок, науровне подсознания психика коррелирует с цветовойсредой: лирическое настроение «окрашено» в голубойцвет и, наоборот, голубое погружает нас в лирику;драма – «фиолетова», оранжевое вызывает мажорный

энтузиазм, мягкие охристо-коричневые тона ассоции-руются с ностальгической грустью.

Обычный человек различает до двухсот цветовыхоттенков, художники – до нескольких тысяч (так ониутверждают, но, возможно, что-то здесь примешанодругое), а в специальных технических цветовых атла-сах (например, в текстильной промышленности) пере-нумерованны миллионы цветов. Где еще можно найтитакое многообразие – в звуках, запахе, во вкусовыхощущениях? Смешно даже пытаться сравнивать.

Физиологически наше цветовосприятие основано наналичии трех видов колбочек, избирательно чувстви-тельных к красному, зеленому и синему цветам (трих-роматное зрение). Используя технические аналогии,можно сказать, что каждый светочувствительный «пик-сел» глаза образован R-G-B триадой, как в цветнойвидеокамере (R,G,B – первые буквы соответствующиханглийских слов red, green, blue).

Создатели светодиодов стремятся в максимальнойстепени удовлетворить «требования» глаза. Для осве-щения нужен белый свет с непрерывным спектром, каку солнца, – этим обеспечивается идеальная цветопере-дача, естественность окраски окружающих предметов.Для отображения информации надежнее использоватьспектрально однородные цвета. Иными словами, впервом случае глаз реагирует на вид и цвет освещенныхпредметов, во втором – на сам источник света.

Световые измерения также подстраиваются под фи-зиологию глаза, его резко изменяющуюся спектраль-ную чувствительность (рис.2). Одинаковыми считают-ся воздействия, вызывающие одинаковые зрительные

ощущения, хотя физически они могут сильно разли-чаться.

Мощность световой волны называется световым по-током и измеряется в люменах (лм). Для примераукажем, что «физическая цена» 1 лм в зеленой областисоставляет 1/680 Вт, в фиолетовой – 1/62 Вт, вкрасной – 1/6 Вт, точные пересчетные коэффициентыесть для каждой спектральной точки. Шестидесятиват-тная лампочка излучает 500 лм, люминесцентная труб-ка – 5000 лм, уличный натриевый светильник – 10–30тыс. лм. Светоотдача (лм/Вт) характеризует эффек-тивность преобразования «электричество – свет», улампочки накаливания это 10–11 лм/Вт, у лампыдневного света 80 лм/Вт.

С А М А Я С В Е Т Л А Я Р Е В О Л Ю Ц И Я И Е Е Т В О Р Ц Ы 3

Рис. 1. Глаз человека в разрезе

Рис. 2. Спектральная чувствительность человеческого глаза

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 64

Светильники, освещающие какую-то площадку (на-пример, настольная лампа), характеризуют силой све-та (пространственной плотностью светового потока),измеряемой в канделах (1 кд = 1 лм/стер), и угломизлучения. Для примера, светодиодный светофор обес-печивает силу света 300–500 кд в угле 20 градусов.Световой поток в 1 лм создает освещенность площадкив 21 м , равную 1 люксу (1 лк); для чтения вполнекомфортно 500 лк, в операционной иногда хотят иметьи 50000 лк. Яркость – это отношение силы света кплощади излучения, у светофора она составляет

210 тыс.кд м , а у домашнего ТВ экрана – 2500 кд м .

«Свечение Лосева»

Вернемся к нашей истории.Лосев, 1922 год… Поначалу он и лаборантом-то не

был, его взяли посыльным, т.е. никем и с никакойзарплатой, но главное – разрешили заниматься радио-техникой. Тогда это было «болезнью» любознательно-го юношества, как в 30-е годы – авиация, в 50-е –атомная физика, сейчас – бизнес. Олег родом из Твери,в Нижнем Новгороде у него не было «ни кола, нидвора», он ночевал в здании лаборатории на предчер-дачной лестничной площадке, голодал (как все) иработал, работал, работал до восторга и изнеможения.

Неожиданно и вопреки всякой логике он обнаружил,что некоторые кристаллические детекторы не толькодетектировали, но и усиливали радиосигналы – объяс-нение этому эффекту дали лишь через три десятилетия,после изобретения транзистора. Сконструированныйна таком детекторе радиоприемник – кристадин –принес Лосеву мировую известность и место в историитехники.

Но здесь речь о его другом, еще более значимомоткрытии. Олег заметил, что карбидокремниевые де-текторы при пропускании через них тока испускаютслабый зеленоватый свет, и с 1927 года он занялся этимявлением специально, посвятив ему всего себя. (Увы,жизнь его оказалась обидно короткой – Олег Владими-рович Лосев скончался от истощения и холода вблокадном Ленинграде в январе 1942 года.) Его экспе-рименты показали, что свечение не было связано ни споверхностными электрическими разрядами, ни с ра-зогревом, «холодный свет» шел из самого кристалла.

Уже в 1930 году Лосев дал удовлетворительнуютеоретическую трактовку своим опытам на основесуществующих квантовых представлений. Говоря се-годняшним языком, он открыл инжекционную люми-несценцию полупроводников, тогда на Западе назван-ную «свечением Лосева» (Losev Light). Его мировомупризнанию открыло дверь то обстоятельство, что оноперативно публиковался в немецких научных журна-лах. По-видимому, существенно и то, что по жизни сним рядом оказывались такие замечательные ученые,как В.Л.Лёвшин, В.К.Лебединский, М.А.Бонч-Бруе-вич, А.Ф.Иоффе. Они не были его научными руково-дителями в общепринятом понимании, но несомненнооказали огромное влияние на его личность и на егопризнание. («Юноше, обдумывающему житье», под-скажем, что попасть в подобную «компанию» не менее

важно, чем родиться с талантом.) Характерно, чтоникто из мэтров не приписывался к Лосеву в соавторы– тогдашняя этика научного сообщества была щепе-тильна.

Для практических целей «свечение Лосева» былослишком слабым, тогда наука еще не знала, как егоусилить, а тем временем грянула вторая мироваявойна, и интерес к занятному явлению фактическипропал. Лишь спустя почти два десятилетия, уже послеизобретения транзистора (1948) и разработки амери-канцем У.Шокли теории p–n-перехода (1949) вновьобратились к объяснению люминесценции полупровод-ников.

При протекании тока через диод часть электроновполупроводника «забрасывается» с равновесного ниж-него энергетического уровня на более высокий уровеньвозбуждения, решающую роль при этом играет нали-чие р–n-перехода, потенциальный барьер которого ипреодолевают электроны. А обратные переходы элек-тронов с высокого квантового уровня на более низкиесопровождаются выделением энергии в виде фотонов,поток которых образует световое излучение (рис.3).Максимальный энергетический зазор зE определяетсясамой природой полу-проводника ( зE =

п вE E= - , где пE и

вE – границы зоныпроводимости и вален-тной зоны соответ-ственно) и называет-ся шириной запрещен-ной зоны, положениедругих уровней 1,E

2,E K определяетсявидом вводимых ле-гирующих примесей инеконтролируемымидефектами. Чем зна-чительнее энергетический «скачок» электрона E∆ , темменьше длина волны излучения λ, предельные возмож-ности реализуются при зE E∆ = . Нетрудно видеть, чтодля генерации «синих» фотонов (λ = 465 нм) пригодентолько нитрид галлия GaN, тогда как красно-желтуючасть спектра успешно могут «закрыть» тройные со-единения GaAsP и GaAlAs. Отметим, что нередкопереходы электронов верхнего уровня на нижнийпроисходят не прямо, а через множество промежуточ-ных уровней с испусканием такого же множестваквантов, соответствующих инфракрасному (ИК) излу-чению. Но это – безызлучательные переходы, которыес точки зрения генерации света представляют собойбесполезное растрачивание энергии.

Развитая теория (1951) объяснила, в частности,низкую интенсивность «свечения Лосева» – «вина»полностью ложилась на карбид кремния, где преобла-дают безызлучательные переходы. Разобрались, что неподходят транзисторные германий и кремний, «вычис-лили», что именно нужно для эффективной люминес-ценции, но… таких полупроводников в природе несуществовало.

Рис. 3. Схема генерации света вполупроводнике

Первый акт светодиодной истории завершился. Ус-пех? Провал? Будущее покажет, а пока – занавес.

Идеальные полупроводники для «свеченияЛосева»

Вообще говоря, история «приборного проекта», какпоказывает опыт, обычно содержит последовательноерешение четырех задач: разработка физических основи изобретение прибора – выбор (или синтез) необходи-мых материалов и технологий – создание собственноприбора – применение. По счастливому стечению об-стоятельств антракт между первым и вторым «действи-ями» не затянулся.

В 1952–53 годах немец Генрих Велькер предложилтеорию создания целого класса искусственных полу-проводников, обозначенных как 3 5A B , на основе со-единения элементов 3-й и 5-й групп таблицы Менде-

леева (рис.4) и прак-тически синтезировалнекоторые из них.Он также сформули-ровал подходы кп р е д с к а з а н и юсвойств еще не со-зданных соединений.Даже беглый взглядна рисунок 4 пока-зывает, что переборвозможных вариан-тов чрезвычайно ве-лик. Кроме того, сра-зу же становитсяясно, что можно со-единять не толькодва элемента, но итри, и четыре все изтех же групп табли-цы Менделеева. Впервые годы длянужд транзисторнойтехники и фотоэлек-

троники, основных потребителей полупроводников,были синтезированы арсенид и фосфид галлия (GaAs,GaP), антимонид и арсенид индия (InSb, InAs), арсе-нид-фосфид галлия (GaAlP), арсенид галлия-алюми-ния (GaAlAs). Ожидалось, что использование арсе-нида галлия позволит повысить рабочую температуруи быстродействие транзисторов (спустя годы это под-твердилось), однако необходимой технологии тогдаразработать не смогли.

Возвратимся однако немного назад. Еще в 1950году, т.е. за 2 года до публикаций Велькера, аспи-рантка Ленинградского физико-технического инсти-тута Нина Горюнова синтезировала сурьмянистый ин-дий (InSb) и предсказала его полупроводниковыесвойства. Но зарубежной публикации не последо-вало, и Запад ее открытия не заметил. Горюнова,как химик, руководствовалась принципом кристалло-химического подобия новых соединений, и это неочень воспринималось окружающими ее физиками,

С А М А Я С В Е Т Л А Я Р Е В О Л Ю Ц И Я И Е Е Т В О Р Ц Ы 5

ей не верили – трудно стать пророком в своем отече-стве. Трудно, но сильных духом это не останавли-вает.

Когда в 1946 году Горюнова пришла в ленинградс-кий Физтех, позади были химфак Университета, ра-бота инженером в заводской лаборатории, война, го-лодные месяцы в блокаде, эвакуация. Теперь ей уже30, у нее четырехлетний сын и годовалая дочь, надорастить детей и выживать самой – прозаическое тру-довое будущее вроде бы вполне определилось. А онапоступает в аспирантуру, да еще к самому академикуА.Ф.Иоффе – патриарху отечественных физиков.Абрам Федорович определил в качестве ее темы ис-следование так называемого «серого» олова – однойиз модификаций этого металла, образующегося наповерхности обычного «белого» олова при длитель-ном хранении на холоде (в просторечии это «оловян-ная чума»). Тема – так себе, ожидать в ней яркихоткрытий не приходилось, но академик был методи-чен и планомерно осваивал клеточку за клеточкой вполупроводниковом пространстве. А для аспирантки«оловянная чума» на несколько лет стала важнеевсего в мире, ей она отдает всю энергию, страсть,настойчивость. Горюнова пробивается в запасникиЭрмитажа (!), где ей разрешают с потемневших ста-ринных оловянных потиров наскрести пригоршнюзлосчастной серой дряни. В 1951 году – блестящаязащита диссертации. Само «серое олово», как и ожи-далось, интереса не представило, но развитые в рабо-те Горюновой общие подходы к химии сложных по-лупроводников позволили ей выйти на соединения

3 5A B , к которым пришел и физик Велькер. И лишь«после Велькера» и после ряда технологически блис-тательных достижений американцев начали заниматьсяисследованиями указанных соединений у нас, но при-оритет Горюновой 1950 года оказался, увы, безвозв-ратно утраченным – сложившееся мнение научногосообщества практически невозможно изменить.

В дальнейшем профессор Н.А.Горюнова внесла ог-ромный вклад в технологию получения новых полу-проводниковых соединений и в научные обобщения поэтой группе веществ, совершив, по словам Нобелевско-го лауреата Н.Н.Семенова, «переворот в неорганичес-кой химии». Согласитесь, в XX веке претендовать натакое могут не многие.

При всей несхожести личностей О.В.Лосева иН.А.Горюновой в их судьбах и путях к открытиям естьмного общего. Оба пришли в науку в тяжелейшие длястраны голодные годы, когда многие думали лишь овыживании, и пошли по избранному пути исключи-тельно целеустремленно и с полной самоотдачей. Обаоткрыли новое там, где никто не искал, где, казалосьбы, и найти-то было нечего, обоих отличала удивитель-ная интуиция. Оба вращались в высокоинтеллектуаль-ной научной среде и при этом сумели сохранитьнезависимость суждений и самостоятельность в выборепути, вполне в духе принципиального индивидуализ-ма. И обоим сопутствовала удача.

Итак, в 1950-е годы соединения 3 5A B в транзистор-ную электронику не пошли, однако выяснилось, что

Рис. 4. Фрагмент периодическойтаблицы химических элементов

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 66

арсенид галлия и арсенид-фосфид галлия – идеаль-ные полупроводники для реализации «свечения Ло-сева». Тогда же ученые всего мира устремились вновую область физики и техники – квантовую элект-ронику – и сосредоточились на разработке лазеров.В 1960 году были созданы рубиновый и газовыйлазеры, а в сентябре 1962 года – полупроводниковыйлазер на основе арсенида галлия, правда излучал онв ближней инфракрасной области. В ноябре того жегода один из не самых удачливых участников «лазер-ного проекта» американец Ник Холоньяк сообщил осоздании светодиодов красного свечения на основесоединения арсенид-фосфид галлия и о начале ихполупромышленного выпуска. Светодиод (рис.5) ро-дился как бы сам собой, легко и просто, едва был

создан необходимый полупроводник. Его презента-цию озаглавили «Свет надежды», вроде бы обычныйжурналистский штамп, а оказалось – пророчество.(И вновь мы упустили свой приоритет: на полгодараньше в одном из « почтовых ящиков» был органи-зован выпуск довольно-таки ярких карбидокремниевыхсветодиодов для ядерной техники, но все засекрети-ли, и первопроходцем в историю вполне оправдановошел Холоньяк, получивший в 2003 году российс-кую премию «Глобальная энергия».)

Так фактически совместились второй и третий эта-пы «светодиодного проекта», успешно завершившего-ся к середине 1960-х годов. Разумеется, жизнь наэтом не остановилась, расширялись производство иприменение светодиодов, совершенствовались их уст-ройство и характеристики, порой – принципиально. В1970-е годы ученые ленинградского Физтеха, возглав-ляемые Ж.И.Алферовым, предложили технологию ге-тороструктур – геторосветодиоды оказались значи-тельно ярче и долговечнее своих предшественников.(О гетероструктурах, за которые Ж.И.Алферов удос-тоен Нобелевской премии 2000 года, написано предо-статочно, так что не будем здесь повторяться.)

Японский вызов

Все это замечательно, но в завершенном «светодиод-ном проекте» был существенный изъян – он охватиллишь красную область спектра и отчасти оранжевую и

желтую, зеленого и синего света не получилось, а безэтого невозможно реализовать белый свет. В световомпространстве нельзя довольствоваться частью, сделан-ное наполовину – это не младенец, который со време-нем повзрослеет, это – одноногий инвалид. Что-товроде настенной живописи не знавших синего ацтеков– огненно-рыжий окрас, искажение пропорций, беше-ная энергетика. Постоишь у стены минут десять – ворту пересыхает.

Как получить недостающие цвета спектра, наукапрекрасно знала еще в 1970-е годы – надо простоиспользовать широкозонный полупроводник (см. таб-лицу на рисунке 3). Хорошо смотрелся нитрид галлия– замещая в нем частично галлий индием, можно былонадеяться получить любые цвета свечения от фиолето-вого до зеленого. Все бы хорошо, да вот незадача –удавалось синтезировать GaN только n-типа, и ни прикаких обработках он не превращался в полупроводникр-типа. А без этого нет р–n-перехода и нет светодиода.Родился даже тезис о принципиальной недостижимос-ти этого – неудачникам как-то надо было оправдаться.На нитриде галлия фактически поставили крест. Ксчастью, не все.

В 1991 году японец Судзи Накамура опубликовалстатью о создании сверхпрецезионной установки длявыращивания тончайших и совершенных слоев GaN(InGaN), через полгода – о получении р–n-переходови их ярком голубом свечении, а с 1993 года фирма«Ниче», где работал Накамура, начала производить напродажу голубые светодиоды силой света 1 кд! (Заме-тим, что этой условной границы суперяркости «крас-ные» светодиоды тогда уже достигли благодаря ис-пользованию соединения AlInGaP– это было «круто»,но вполне ожидаемо и в освоенной спектральной обла-сти.)

«Японский вызов» стал шоком для светодиодногомира: фирма «Ниче» занималась люминофорами дляосветительных ламп, гигантам электроники «эти хими-ки» вообще не были известны, а золушки становятсяпринцессами только в сказках и при обязательномсодействии доброй феи. Фея для «Ниче» нашлась …

Накамура пришел на фирму в 1979 году, ему было25 лет, и он сумел убедить руководство в перспектив-ности светодиодов. За три года он разработал отлич-ную технологию «красного» светодиода, включая исоответствующий полупроводник, но продать разра-ботку электронной промышленности не удалось – втрадиционных направлениях уже наступило насыще-ние. Та же судьба постигла и два последующих про-екта. Однако Накамура был упорен, к тому же за 10лет приобрел важный опыт: решающей для светодио-дов является технология исходного полупроводника.Фирма поставила на него еще раз, дала 3 млн долла-ров на изготовление установки, но сотрудников невыделила, так что он делал все своими руками. Истену, перед которой остановилась высокая наука,пробила технология. (Забегая вперед, отметим, чтона успехе Накамуры фирма стала зарабатывать по200 млн долларов прибыли ежегодно – такова ценаудачной инновации.)

Рис. 5. Миниатюрные светодиоды

С А М А Я С В Е Т Л А Я Р Е В О Л Ю Ц И Я И Е Е Т В О Р Ц Ы 7

В 1989 году некий стажер одного из японских универ-ситетов, изучая воздействие электронного луча на GaN-пленки, как-то раз забыл выключить установку наночь, а утром обнаружил необычайно яркое свечениеобразца – активация примеси, превращающей GaN вполупроводник р-типа, состоялась. (Как часто в исто-рии науки случаются открытия, сделанные по неради-вости, забывчивости, неграмотности, лености их авто-ров! Это не призыв забывать выключать установки наночь, важно другое – не проглядеть счастливую слу-чайность.) Несколькими годами раньше похожий ре-зультат получили и исследователи из Московскогоуниверситета. Однако обе публикации научный мир незаметил, нитрид галлия был уже не в моде, все разомпереключились на селенид цинка, а вскоре так жедружно отвернулись и от него. (Удивляет, как глубо-кие независимые умы вдруг словно по команде бросаютвсе и бегут на какую-нибудь яркую вспышку, котораячастенько оборачивается миражом. А может они вмассе не такие уж «глубокие и независимые»?)

Накамура увидел в публикациях главное – актива-ция нитрида галлия и превращение его в полупровод-ник р-типа возможны. Этой процедуре он нашел удач-ное технологическое воплощение, которое и сталоосновой производства «синих» светодиодов в 1993году. А вскоре он изящно использовал традиционныенаработки фирмы «Ниче»: если на «синий» чип нане-сти подходящий люминофор, то, благодаря преобразо-ванию части светового потока в зелено-желто-красныетона, можно, как итог, получить белый свет. Темсамым, светодиоды сделали серьезную заявку на втор-жение в осветительную технику, и начиная с 2000–2001годов светодиодная революция получила колоссальноеускорение.

Напомним, что «героем» всех этих пафосных собы-тий является скромный, миниатюрный светодиодныйчип площадью 2–4  2мм и толщиной в доли милли-метра. Но его внутренняя структура – это букетсупердостижений физики и технологии твердого тела.Нитрид галлия удается получать только в виде тонкихпленок, поэтому в качестве подложки берут пластинукарбида кремния (он структурно близок к GaN) и наней выращивают несколько десятков слоев составаGaN и его производных InGaN и AlGaN. Некоторыеиз них имеют вспомогательное технологическое назна-чение, а в активной зоне, т.е. там, где рождается свет,чередуются попеременно излучающие пленки InGaN ибарьерные пленки чистого GaN (рис.6). Такие образо-

вания называют сверхрешетками, в них состав плен-ки изменяется на расстояниях, соизмеримых с разме-рами атомов, и ни одна из областей фактически неявляется однородной и независимой от соседей. Свой-ства сверхрешеток существенно отличаются от свойствтех же полупроводников в виде массивных образцовили в виде толстых пленок. Технология сверхрешетокоткрыла неисчерпаемые возможности перед создате-лями новых материалов, неизвестных и недоступныхприроде.

Излучающий слой при ближайшем рассмотренииоказывается существенно неоднородным по площади,добавки индия скапливаются в небольших образовани-ях, занимающих не более 10% пленки. Это так называ-емые квантовые точки – «последний писк» полупро-водниковой моды, которой, правда, уже лет двадцать.Именно через квантовые точки протекает ток светоди-ода, в них же рождается излучение, все остальное вкристалле – наподобие постамента под статуей, вродебы и не обязателен, а без него нельзя.

Современные светодиоды – ярчайшая иллюстрациямогущества нанотехнологии, только благодаря ей эф-фективность преобразования электричества в свет при-близилась к 50% по белому свету, а по спектрально-однородным цветам она еще выше.

Вернемся к земным делам, здесь было множествозанимательных событий. Несколько лет фирме «Ниче»удавалось никого не подпускать к своей технологии иполучать сверхприбыль, торгуя готовыми чипами, нокогда на кону миллиарды долларов, ни патенты, нисуды не спасают от промышленного шпионажа, исекреты разглашаются. Накамура перебрался в США,и начались судебные разборки фирмы с перебежчиком,а в сентябре 2006 года Накамура получил престижнуюпремию Миллениум (1 млн евро) – мир признал еголидерство.

Эпилог

Неблагодарное дело писать историю революции вовремя самой этой революции. Только-только авторпридумает какую-то схему изложения событий, каквдруг – бац! – появляется открытие, перечеркивающеевсе его построения. Если отдаться безудержной фанта-зии, то можно ожидать многого. Например, созданияполупроводниковых структур с таким многообразиемэнергетических уровней, которые позволят получатьлюбое свечение и внешними командами управляемоизменять его. Тогда отпадет необходимость в люмино-форах, повысится светоотдача, улучшится «качество»света, возрастет долговечность и температурная ста-бильность светодиодов.

Быть может, завтра эту фантазию превратит в реаль-ность кто-то из наших читателей. Так что не будемподводить итоги, тема остается открытой…

Рис. 6. Чередование слоев в активной зонесветодиода с квантовыми точками

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 68

Арифметическиетреугольники

В.ТИМОРИН

ТРЕУГОЛЬНИК НАЗОВЕМ АРИФМЕТИЧЕСКИМ, ЕС-ли квадраты длин всех его сторон – целые числа.Возможно, что такие треугольники называются

как-то по-другому, но я не встречал никакого названияи поэтому придумал название сам. Тем не менее,арифметические треугольники чрезвычайно важны длятеории чисел (и в этой статье мы увидим некоторые ихприменения). Дело просто в том, что обычно пользуют-ся другим языком, более алгебраическим. Вообще,теория чисел изучает числа, а не фигуры. Поэтомумногие рассказы про теорию чисел оперируют форму-лами и почти не содержат рисунков. Но, с другойстороны, очень полезно представлять себе математи-ческие объекты наглядно. Поэтому мы будем говоритьпро треугольники.

На геометрическом языке, наша задача состоит вописании классов арифметических треугольников.Дадим несколько определений.

Заметим, что в любом параллелограмме каждая егодиагональ делит параллелограмм на два равных треу-гольника. Все эти треугольники мы будем называтьполовинками данного параллелограмма. Два треуголь-ника называются соседями, если они равны половин-кам одного и того же параллелограмма, причем первый

получается припроведении однойиз диагоналей это-го параллелограм-ма, а второй – припроведении другойдиагонали (рис.1).

Другими слова-ми, сосед данноготреугольника по-лучается так. Сначала мы выбираем одну из сторонтреугольника. Затем достраиваем треугольник до па-раллелограмма так, что выбранная сторона будет егодиагональю. После этого проводим в этом параллелог-рамме другую диагональ. Она делит параллелограммна два равных треугольника – это один и тот же соседдля исходного треугольника (мы не делаем различиямежду равными треугольниками).

Докажем, что любой сосед арифметического треу-гольника тоже будет арифметическим. Достаточнопоказать, что если квадраты сторон и одной из диаго-налей данного параллелограмма целые, то квадратдругой диагонали – тоже целый. Это вытекает изизвестной геометрической теоремы о том, что сумма

Рис.1. Переход к соседнему треуголь-нику. Треугольник ABC соседний длятреугольника DBC

Иллю

страция

М.С

умниной

квадратов всех сторон параллелограмма равна суммеквадратов его диагоналей. (Эту теорему нетруднодоказать, например, с помощью теоремы косинусов.)

Теперь мы можем написать формулу. Арифметичес-кий треугольник определяется тройкой натуральныхчисел, а именно, квадратами длин всех сторон. Такимобразом, (a, b, c) будет означать арифметическийтреугольник со сторонами a , b и c (заметим, чтопорядок чисел a, b и c не важен). Как мы только чтовидели, каждой стороне треугольника (a, b, c) соот-ветствует некоторый соседний треугольник. Напри-мер, стороне c соответствует треугольник (a, b, 2(a ++ b) – c) (что следует из сформулированной вышегеометрической теоремы). Таким образом, одно изчисел a, b, c вычитается из удвоенной суммы двухостальных.

Например, рассмотрим треугольник (2, 1, 1) (заме-тим, что это прямоугольный равнобедренный треу-гольник с катетом 1 и гипотенузой 2 ). Из него можнополучить соседний треугольник (2, 1, 5) (заменяя 1на 2(2 + 1) – 1 = 5). Из треугольника (2, 1, 5) мыможем получить обратно треугольник (2, 1, 1), атакже два других треугольника – (10, 1, 5) и(2, 13, 5), и т.д. В общем случае из каждого ариф-метического треугольника получается три других ариф-метических треугольника, соседних данному (впро-чем, некоторые из этих трех треугольников могутравняться друг другу или исходному треугольнику).

Скажем, что два арифметических треугольника экви-валентны, если один можно получить из другого путемпоследовательного перехода к соседним треугольни-кам. Класс эквивалентности определяется как множе-ство всех треугольников, эквивалентных данному.

Как найти все треугольники, эквивалентные данно-му? Строго говоря, это невозможно, так как всякийкласс эквивалентности состоит из бесконечного числатреугольников. С другой стороны, в произвольномклассе можно легко выписать сколь угодно многотреугольников. При этом удобно пользоваться такойсхемой (ее идея принадлежит Дж. Конвею). Начнемопять с треугольника (2, 1, 1). Изобразим его в видеточки. Из этой точки ведут три отрезка, соединяющиетреугольник (2, 1, 1) с тремя соседними ему треуголь-никами. В данном случае один из этих треугольниковравен исходному, а два других равны (2, 1, 5).Напишем числа 2, 1, 1 между отрезками, выходящимииз нашей точки. Тем самым, треугольник можно вос-становить по изображающей его точке, просто прочи-тав, какие числа написаны в примыкающих к точкеобластях (рис. 2). Идем вдоль отрезка, разделяющегообласти 1 и 2. На конце этого отрезка появляется новаяточка, а из нее выходят два новых отрезка, ограничи-вающих новую область. Нам нужно только понять, что

написать в новой об-ласти. Мы берем чис-ла, написанные в со-седних областях, внашем случае 1 и 2.Берем их удвоеннуюсумму, т.е. 6. Теперь

из полученного числа вы-читаем число, написанноев области, примыкающейк противоположному кон-цу отрезка и не соседней снашей новой областью. Вданном случае нужно вы-честь число 1. Получаем6 – 1 = 5. Теперь в новойточке можно прочесть но-вый треугольник (2, 1,5), соседний треугольни-ку (2, 1, 1). Продолжаяэтот процесс, можно до-вольно быстро получить много арифметических треу-гольников, эквивалентных треугольнику (2, 1, 1)(рис.3). Итак, мы описали схему построения эквива-лентных треугольников. Будем называть эту схемусхемой Конвея.

Обсудим, какими могут быть квадраты сторон треу-гольников, эквивалентных данному. Например, чтоможно сказать о числах, являющихся квадратамисторон треугольников, эквивалентных треугольнику(2, 1, 1)? Заметим, что это в точности числа, написан-ные в схеме Конвея. Глядя на схему, можно попытатьсяугадать правило, которому подчиняются записанные вней числа. Это не очень просто, и если вы хотите найтиправило самостоятельно, отложите чтение – в следую-щем предложении сообщается ответ. Ответ такой:натуральное число является квадратом стороны треу-гольника, эквивалентного треугольнику (2, 1, 1), тогдаи только тогда, когда оно представляется в виде

2 2x y+ , где x и y – взаимно простые целые числа (вчастности, если одно из этих чисел ноль, то второедолжно быть единицей). Как только утверждениесформулировано, его нетрудно доказать по индукции.Однако мы можем несколько упростить рассуждениетаким образом. Во-первых, заметим, что схема Конвеяимеет смысл для произвольной тройки целых чисел (a,b, c) (и даже не обязательно целых) – не важно,являются ли числа a, b и c квадратами сторон арифме-тического треугольника. Например, некоторые из этихчисел могут быть отрицательными или равны нулю.Во-вторых, если мы сложим две тройки почленно(почленной суммой троек (a, b, c) и ( ), ,a b c¢ ¢ ¢ называ-ется тройка ( ), ,a a b b c c+ + +¢ ¢ ¢ ), то все числа, напи-санные в соответствующих местах схемы Конвея, тожесложатся.

Теперь рассмотрим тройку чисел (1, 1, 0). Она,конечно, не соответствует никакому настоящему треу-гольнику, но можно ее представлять себе как вырож-денный равнобедренный треугольник, у которого осно-вание равно 0, а боковая сторона равна 1. Поэтому мыэту тройку все равно будем называть треугольником.Построим схему Конвея для треугольника (1, 1, 0)(рис.4). Сразу же видно, что в этой схеме написаныточные квадраты. Можно взглянуть на схему повнима-тельней и заметить, что в областях, примыкающих квершине, написаны числа вида 2x , 2y и 2z , где x, y иz – взаимно простые целые числа, знаки которых

А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Е Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И 9

Рис. 2

Рис.3. Построение схемы Кон-вея для треугольника (2, 1, 1)

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 610

можно выбрать так, чтобудет выполнено равен-ство x + y + z = 0. Сфор-мулируем это в виде тео-ремы.

Теорема 1. Любой тре-угольник, эквивалентныйтреугольнику (1, 1, 0),

имеет вид ( )2 2 2, ,x y z , где

x, y и z – (попарно) вза-имно простые целые чис-ла такие, что x + y + z == 0. Обратно, любой тре-угольник такого вида эк-

вивалентен треугольнику (1, 1, 0).Доказательство. Для доказательства того, что лю-

бой треугольник, эквивалентный треугольнику(1, 1, 0), имеет указанный вид, достаточно показать,что треугольник, соседний треугольнику вида

( )2 2 2, ,x y z , x + y + z = 0,

тоже имеет такой вид. В самом деле, рассмотрим

треугольник ( )( )2 2 2 2 2, ,2x y x y z+ - (для двух осталь-ных треугольников рассуждение аналогично). Имеем

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 22 2x y z x y x y x y+ - = + - + = - .

Другими словами, новый треугольник равен

( ) ( )( )2 22, ,x y y x- - , т.е. имеет указанный вид (если

числа x, y, ( )x y- + были взаимно простыми, то числаx, –y, y – x тоже будут взаимно простыми).

Доказательство того, что любой треугольник указан-ного вида эквивалентен треугольнику (1, 1, 0), мы покаотложим. W

Непосредственным следствием теоремы 1 являетсяследующая

Теорема 2. Квадрат стороны любого треугольни-ка, эквивалентного треугольнику (2, 1, 1), имеетвид 2 2

1 2x x+ , где 1x и 2x – взаимно простые целыечисла.

Для доказательства теоремы 2 заметим, что треуголь-ник (2, 1, 1) является суммой треугольников (1, 1, 0)и (1, 0, 1). Следовательно, треугольник, эквивалент-ный треугольнику (2, 1, 1), является суммой тре-

угольников ( )2 2 21 1 1, ,x y z и ( )2 2 2

2 2 2, ,x y z , где ix , iy и iz –

целые числа такие, что 0i i ix y z+ + = (i = 1, 2). Крометого, выполнены равенства

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1x y x y x z x z y z y z- = - = - = ± ,

что нетрудно проверить, заметив, что для исходныхтреугольников эти равенства справедливы и что припереходе к соседним треугольникам они сохраняются(проверьте!). В частности, квадрат стороны треуголь-ника, эквивалентного треугольнику (2, 1, 1), равен

2 21 2x x+ . Числа 1x и 2x взаимно просты, так как

1 2 2 1 1x y x y- = ± .Подобным же образом, можно вывести и много

других интересных фактов, например: квадрат сторо-

ны любого треугольника, эквивалентного треугольни-ку (2, 2, 2), имеет вид 2 2 2

1 2 3x x x+ + , где 1x , 2x и 3x– попарно взаимно простые целые числа такие, что

1 2 3 0x x x+ + = (докажите это!).Пусть даны два арифметических треугольника. Как

понять, эквивалентны они или нет? Во-первых, естьочень простой тест: сравнить площади треугольников.Нетрудно видеть, что площади эквивалентных треу-гольников совпадают. Значит, если площади разные,то треугольники не могут быть эквивалентными. Пло-щадь треугольника (a, b, c) находится по формулеГерона:

( )( )( )S p p a p b p c= - - - ,

2

a b cp

+ += .

Несложные вычисления показывают, что

( ) ( )2 2216 4 4S ac a c b ab a b c= - + - = - + - =

= ( ) ( ) ( )2 2 2 24 2bc b c a ab bc ac a b c- + - = + + - + + .

Эта величина ( )216S называется дискриминантом

треугольника (a, b, c). Заметим, что дискриминантарифметического треугольника всегда является целымчислом и что два треугольника имеют одинаковыедискриминанты тогда и только тогда, когда у ниходинаковые площади.

Упражнение 1. Докажите, что дискриминант арифмети-ческого треугольника либо делится на 4, либо дает 3 востатке при делении на 4. Наоборот, любое натуральноечисло, дающее в остатке при делении на 4 либо 0, либо 3,является дискриминантом некоторого арифметическоготреугольника.

Итак, чтобы понять, эквивалентны ли два треуголь-ника, нужно прежде всего сравнить их дискриминан-ты. Если дискриминанты разные, то треугольники неэквивалентны. Например, треугольник (1, 1, 1) сдискриминантом 3 не может быть эквивалентен треу-гольнику (2, 1, 1) с дискриминантом 4.

Что делать, если дискриминанты совпадают? Тогданужно попытаться привести оба треугольника к наи-более простому виду. Один из способов такой: найтитреугольник, эквивалентный данному и имеющий са-мый маленький периметр. Напомним, что периметртреугольника (a, b, c) равен a b c+ + , но мож-но вместо периметра минимизировать величину a ++ b + c, это не так важно. Важно то, что если,например, a + b < c, то можно заменить треугольник(a, b, c) эквивалентным треугольником (a, b, 2(a ++ b) – c). Заметим, что 2(a + b) – c < c, т.е. двестороны не изменились, а третья уменьшилась. Гео-метрически неравенство a + b < c означает, что угол,лежащий против стороны c , тупой (это следует,например, из теоремы косинусов). Поскольку в па-раллелограмме против тупого угла лежит бóльшаядиагональ, мы в этом случае, переходя к соседнемутреугольнику, просто заменяем в соответствующемпараллелограмме бóльшую диагональ на меньшую.

Рис.4. Схема Конвея для вы-рожденного треугольника(1, 1, 0)

Действуя таким образом, мы будем все время умень-шать периметр (а также число a + b + c), пока неполучим треугольник (a, b, c) такой, что

, ,a b c b c a a c b+ ³ + ³ + ³ .

Это значит, что треугольник (a, b, c) не имеет тупыхуглов. Такой треугольник называется приведенным.Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 3. Любой арифметический треугольникэквивалентен приведенному треугольнику, т.е. тре-угольнику без тупых углов.

Следующий вопрос состоит в том, как описать при-веденные треугольники данного дискриминанта. Пусть(a, b, c) – приведенный треугольник дискриминанта∆ . Без ограничения общности, можно считать, что

,b a c³ . Поскольку треугольник приведенный, имеемтакже 0 ,a c b a c£ + - £ . Отсюда следует, что (a c+ -

)2

b ac- £ , а значит,

( )23 4 4ac ac ac ac a c b ∆= - £ - + - = .

Очевидно, существует лишь конечное число парположительных целых чисел a, c, удовлетворяющихэтому неравенству. Если a и c фиксированы, то bопределяется из квадратного уравнения (4ac a c- + -

)2

b ∆- = . Напомним, что квадратное уравнение тако-го вида не может иметь более двух решений. Поэтомуимеется лишь конечное число приведенных треуголь-ников данного дискриминанта.

Например, перечислим все приведенные треугольни-ки дискриминанта 4. Неравенству 3 4ac £ удовлетво-ряет только пара a = c = 1. Теперь найдем b изуравнения ( )

24 2 4b- - = , получим b = 2. Такимобразом, единственным приведенным треугольникомдискриминанта 4 является треугольник (1, 2, 1) или,что то же самое, треугольник (2, 1, 1). Отсюда выте-кает, что любые два арифметических треугольникадискриминанта 4 эквивалентны. В самом деле, любойарифметический треугольник дискриминанта 4 эквива-лентен приведенному треугольнику, т.е. треугольнику(1, 2, 1).

Упражнение 2. Перечислите все приведенные треугольни-ки дискриминантов 7, 8, 11.

Окончание доказательства теоремы 1. Нам оста-лось доказать, что треугольник вида ( )2 2 2, ,x y z , гдеx, y и z – попарно взаимно простые целые числатакие, что x + y + z = 0, эквивалентен треугольнику(1, 1, 0). Мы уже знаем, что любой треугольник,эквивалентный треугольнику такого вида, имеет тотже вид. Следовательно, достаточно рассмотреть при-веденные треугольники указанного вида. Нетруднопроверить, что дискриминант треугольника вида

( )2 2 2, ,x y z , где x + y + z = 0, равен 0. Пусть ,y x z³ .

Тогда, согласно неравенству 2 23x z ∆£ , либо x, либоz равно нулю. Допустим, z = 0. Тогда x = –y, и приэтом x взаимно просто с y. Следовательно, , 1x y = ± ,т.е. 2 2 1x y= = . Таким образом, единственный при-веденный треугольник рассматриваемого вида – этотреугольник (1, 1, 0). W

Теорема 4. Если два приведенных треугольникаэквивалентны, то они равны.

При помощи этой теоремы мы, наконец, можемэффективно проверить, эквивалентны ли два треуголь-ника. Как мы уже говорили, сначала надо посчитатьдискриминанты. Если они разные, то треугольники неэквивалентны. Если дискриминанты совпадают, тонужно заменить оба треугольника эквивалентными имприведенными треугольниками. Исходные треуголь-ники эквивалентны тогда и только тогда, когда полу-ченные приведенные треугольники равны.

Доказательство теоремы 4. Доказательство основа-но на таком простом соображении: если треугольниктупоугольный, то у него только один тупой угол, азначит, есть только один соседний ему треугольник,периметр которого меньше, чем периметр данноготреугольника. (Ведь мы, переходя к соседнему треу-гольнику, фактически меняем в соответствующем па-раллелограмме одну диагональ на другую, и еслидиагональ лежала против острого (или прямого) угла,она заменится на более длинную (или такую же)диагональ.) В терминах схемы Конвея, можно сказатьтак: у вершины, соответствующей данному тупоуголь-ному треугольнику, есть только одна соседняя вершинас меньшим периметром. Теперь допустим, что мы идемпо ребрам схемы Конвея, причем никогда не возвраща-емся по тому же ребру, по которому уже прошли. Вэтом случае, если на каком-то участке пути периметрувеличился, он будет увеличиваться и дальше; други-ми словами, он не может сначала увеличиваться, апотом уменьшаться. Рассмотрим приведенный треу-гольник и соседний ему треугольник, не равный исход-ному. Тогда второй треугольник будет иметь большийпериметр по сравнению с первым треугольником илитот же самый периметр. Значит, в любой цепочкесоседних треугольников, начинающейся в исходномприведенном треугольнике, периметр будет либо уве-личиваться, начиная с некоторого места, либо останет-ся тем же самым. Следовательно, такая цепочка неможет вести к другому приведенному треугольнику,поскольку, как легко видеть, два соседних треугольни-ка одинакового периметра равны. W

Мы должны обосновать законность названия, выб-ранного для арифметических треугольников, т.е. про-демонстрировать некоторые применения арифметичес-ких треугольников в арифметике. Таких применениймножество, но мы укажем только одно, выбранное изсоображений простоты.

Теорема 5. Предположим, что натуральное число aделит число вида 2z 1+ , где z – целое. Тогда aпредставляется в виде суммы квадратов двух взаим-но простых целых чисел.

Доказательство. Имеем 2 1ac z= + для некоторогонатурального числа c. Следовательно,

( )24 2 4ac z- = .

Найдем целое число b из условия a + c – b = 2z. Можнопроверить, что число b будет положительным, а числа

a , b , c будут удовлетворять неравенствам тре-угольника (сделайте это!). Арифметический треуголь-

А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Е Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И 11

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 612

ник (a, b, c) имеет дискриминант 4. Следовательно,он эквивалентен треугольнику (1, 2, 1). В частности,квадрат любой стороны треугольника (a, b, c) имеетвид 2 2x y+ , где x и y – взаимно простые целые числа.Например, a имеет такой вид, что и требовалосьдоказать. W

Следующее упражнение довольно сложное и пред-полагает хорошее знание свойств взаимно простыхчисел.

Упражнение 3. Пусть 2 2a x y= + , где x и y взаимнопросты. Тогда все натуральные делители числа a тожепредставляются в таком виде. Выясните, верны ли аналогич-ные утверждения для 2 22x y+ , 2 23x y+ , 2 25x y+ .

Теория, которую мы затронули в этой статье, класси-ческая и обязана своим существованием Лагранжу иГауссу. Лагранж и Гаусс, правда, пользовались другимязыком. Они изучали свойства целых чисел, предста-вимых данной квадратичной формой, т.е. представи-мых в виде 2 2Ax Bxy Cy+ + для заранее заданныхцелых значений A, B, C и для некоторых (произволь-ных) целых значений x и y. Квадратичной формойназывается само выражение 2 2Ax Bxy Cy+ + , в кото-ром x и y рассматриваются как переменные. Началосьвсе с Ферма, который описал значения квадратичныхформ 2 2x y+ , 2 22x y+ и 2 23x y+ .

Упражнение 4. Можно ли число 7 представить в виде2 2x y+ для некоторых целых x и y? А число 1007? Если a

и b можно представить в таком виде, то всегда ли это вернодля ab? А для a + b?

Выяснилось, что есть большие классы квадратичныхформ, которые представляют одни и те же числа.Лагранж и Гаусс разработали теорию, позволяющуюэффективно перечислять эти классы и работать с ними.

Упражнение 5. Докажите, что число a представляется ввиде 2 2x y+ для некоторых целых x и y тогда и только тогда,когда оно представляется в виде 2 25 6 2u uv v+ + для некото-рых целых u и v.

Связь между арифметическими треугольниками иквадратичными формами такая. Треугольнику (a, b, c)сопоставляется квадратичная форма

( )2 2ax a c b xy cy+ + - + .

Попробуйте понять, почему именно такая квадратич-ная форма и в чем ее смысл. Для этого полезнозамостить плоскость треугольниками, равными данно-му. Эквивалентность арифметических треугольниковимеет естественное описание на языке квадратичныхформ. Намек на это описание содержится в следующемнепростом упражнении.

Упражнение 6. Докажите, что существует арифметичес-кий треугольник со стороной d , эквивалентный треуголь-нику (a, b, c), тогда и только тогда, когда (2d ax a c= + + -

) 2b xy cy- + для некоторых взаимно простых целых чисел xи y.

Интереснейший материал о квадратичных формах,схеме Конвея и еще о многом другом можно найти взамечательной книге Джона Конвея «Квадратичныеформы, данные нам в ощущениях» (М.: МЦНМО,2008).

В заключение мы укажем, в каком направленииможет развиваться дальнейшая теория. Это направле-ние действительно активно развивается, но люди, восновном, пользуются другим языком, более алгебра-ическим. Оказывается важным рассмотрение не простоарифметических треугольников, а арифметическихтреугольников с ориентацией. Это означает, что треу-гольники, получающиеся друг из друга отражением,считаются разными. Треугольники, полученные другиз друга вращением или параллельным переносом, по-прежнему отождествляются. Мотивируется это тем,что отражение нельзя осуществить, не выходя изплоскости. В наших обозначениях, треугольник(a, b, c) – это то же самое, что треугольники (b, c, a)и (c, a, b), но, вообще говоря, не то же самое, чтотреугольник (b, a, c). Понятия эквивалентности иклассов легко переносятся на ориентированные ариф-метические треугольники.

Из результатов Гаусса следует, что ориентированныеарифметические треугольники одинакового дискрими-нанта можно, в некотором смысле, перемножать. Ре-зультат умножения зависит только от классов эквива-лентности сомножителей, а не от самих сомножителей.Этот результат определен лишь с точностью до эквива-лентности. Таким образом, умножение является насамом деле операцией над классами ориентированныхарифметических треугольников, а не над самими тре-угольниками. Умножение обладает привычными свой-ствами: переместительным (коммутативность) и соче-тательным (ассоциативность). Кроме того, можно де-лить треугольники друг на друга, т.е. существуетоперация, обратная к умножению. Заметим, что числоклассов ориентированных арифметических треуголь-ников данного дискриминанта по-прежнему конечно.Таким образом, имеется естественная, и обладающаяхорошими свойствами, операция умножения на конеч-ном множестве. Эта операция очень важна для теориичисел. Но ее подробное обсуждение уже не вписывает-ся в формат этой статьи.

Вот только одно замечательное свойство умножениятреугольников: умножим класс треугольника со сторо-ной a на класс треугольника со стороной b . Тогдаполученный класс содержит треугольник со сторо-ной ab ! Отсюда вытекает такое утверждение (попро-

буйте его доказать): если числа a , b и c являют-ся сторонами трех эквивалентных арифметическихтреугольников, то число abc тоже является сторонойнекоторого арифметического треугольника, эквива-лентного данным.

Вместо списка литературы для дальнейшего чтения(который был бы слишком велик), я просто перечислюважнейшие ключевые слова. Как уже упоминалось,понятие арифметического треугольника не использует-ся. Вместо этого, говорят про классы квадратичныхформ. Операция умножения этих классов называетсякомпозицией. Также говорят, что классы образуютгруппу, называемую группой классов. Есть много книги статей, в которых объясняется смысл этих терминови развивается дальнейшая теория.

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в немзадачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьнойпрограммы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мыобычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 марта2009 года по адресу: 119296Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или поразным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе«Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №6–2008» и номера задач, решения которых Вы посылаете,например «М2111» или «Ф2118». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. Вписьмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этомконверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можноприсылать также по электронным адресам math@kvant.info и phys@kvant.info соответственно.

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельномконверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник«Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь.Задачи М2112 и М2115 предлагались на XLIX Международной математической олимпиаде, а

задача М2113 предлагалась на XXIX Турнире городов.

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

Задачипо математике и физике

Задачи М2111 – М2115, Ф2118 – Ф2122

М2111. Одна из клеток бесконечной клетчатой полоскиокрашена. Вначале фишка находится на расстоянии nклеток от окрашенной. Бросается игральная кость, и,

в случае выпадения k очков ( { }1,2,3,4,5,6k О ), фишкаперемещается на k клеток по направлению к окрашен-ной клетке. Процесс продолжается, пока фишка непопадает в окрашенную клетку (выигрыш) или покаона не проскочит окрашенную клетку (проигрыш).При каком натуральном n вероятность выигрыша npнаибольшая? Найдите это наибольшее значение веро-ятности.

В.Лецко

М2112. Пусть Н – точка пересечения высот остро-угольного треугольника ABC. Окружность с центромв середине стороны ВС, проходящая через точку Н,пересекает прямую ВС в точках 1A и 2A . Аналогич-но, окружность с центром в середине стороны СА,проходящая через точку Н, пересекает прямую СА вточках 1B и 2B , и окружность с центром в серединестороны АВ, проходящая через точку Н, пересекаетпрямую АВ в точках 1C и 2C . Докажите, что точки

1 2 1 2 1 2, , , , ,A A B B C C лежат на одной окружности.А.Гаврилюк

М2113. Многочлен степени n >1 имеет различныевещественные корни 1 2, , , ,nx x xK а его производная –корни 1 2 1, , , ny y y -K . Докажите, что среднее арифмети-

ческое чисел 2 2 21 2, , , nx x xK больше, чем среднее арифме-

тическое чисел 2 2 21 2 1, , , ny y y -K .

М.Мурашкин

М2114. Докажите, что существует бесконечно многоточных квадратов, не оканчивающихся нулем, в кото-рых любая отличная от нуля цифра – нечетная.

В.Сендеров

М2115*. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, вкотором BA BC№ . Обозначим окружности, вписан-ные в треугольники ABC и ADC, через 1ω и 2ωсоответственно. Предположим, что существует окруж-ность ω , которая касается продолжения отрезка ВА заточку А, продолжения отрезка ВС за точку С и касаетсяпрямых AD и CD. Докажите, что общие внешниекасательные к окружностям 1ω и 2ω пересекаются наокружности ω .

В.Шмаров

Ф2118. Тележка едет по горизонтальному столу поддействием привязанной к ней нерастяжимой нити.Нить переброшена через маленький блок, закреплен-ный на высоте Н над плоскостью стола. Свободныйконец нити вытягивают с постоянной скоростью 0v ,направленной горизонтально. Найдите скорость те-лежки и ее ускорение в тот момент, когда угол междунитью и горизонтом составляет 45° .

М.Учителев

Ф2119. В длинной трубе, наполненной водой, сделанапоперечная перегородка из пробки толщиной 1 см,перегородка делит трубу на две части. Если температу-ры воды в частях трубы отличаются на 1 градус, потоктепла через перегородку составляет 2 Дж/с. Добавимеще одну перегородку – толщиной 2 см, теперь перего-родки «выделяют» в трубе цилиндрическую полость.Слева от этой полости будем поддерживать температу-

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 614

ру воды 50 C+ ° , справа – температуру 20 C+ ° . Опре-делите установившуюся температуру воды в полости.Определите тепловые потоки через каждую перегород-ку. Теплопроводность стенок трубы пренебрежимомала.

А.Перегородцев

Ф2120. В сосуде находится порция гелия при темпера-туре 100 К и давлении 1000 Па. Сосуд двигают посту-пательно со скоростью 1000 м/с. Какой станет темпе-ратура газа в сосуде через некоторое время после егомгновенной остановки? Стенки сосуда не проводяттепла. Теплоемкость самого сосуда пренебрежимо мала.

З.Повторов

Ф2121. К выводам катушки индуктивностью L == 2 Гн подключают заряженный конденсатор емкос-тью С = 100 мкФ, начальное напряжение конденсатора

0U = 100 В. Напряжение конденсатора начинаетуменьшаться, и в тот момент, когда оно падает дополовины начального значения, параллельно подклю-чают еще один такой же конденсатор и еще одну такуюже катушку (все четыре элемента оказываются соеди-ненными параллельно). Найдите максимальное значе-ние тока через вторую катушку. Сопротивление соеди-няющих элементы проводников довольно мало. Ка-тушки и конденсаторы считать идеальными.

Р.Александров

Ф2122. Лампа дневного света включена в сеть 220 В,50 Гц последовательно с катушкой индуктивности,причем в горящем состоянии напряжение на катушке в3 раза больше напряжения на лампе. Во сколько разможно увеличить «косинус фи» такой цепи, включивпараллельно в сеть конденсатор? Как выбрать емкостьтакого конденсатора?

А.Зильберман

Решения задач М2086 – М2095,Ф2102 – Ф2107

М2086. Даны две арифметические прогрессии 1 2, ,a a Kи 1 2, ,b b K , состоящие из натуральных чисел. Извест-но, что 1 1a b= и для каждого номера n числа na и nbимеют равные остатки при делении на n. Докажите,что прогрессии совпадают.

По условию первые члены прогрессий совпадают,остается доказать совпадение их разностей d и d¢ . Изусловия следует, что для любого натурального n число

( )( )1 1n nb a b n d- = + - -¢ ( )( ) ( ) ( )1 1 1a n d n d d+ - = - -¢делится на n, значит, и d d-¢ делится на п. Получаем,что целое число d d-¢ делится на любое натуральноечисло, т.е. 0d d- =¢ .

Н.Калинин

М2087. Шахматная фигура «прожектор» бьет одиниз углов, на которые делят доску проходящие черезнее горизонталь и вертикаль, включая примыкаю-щие к углу клетки горизонтали и вертикали. (На-пример, прожектор в левом нижнем углу можетбить либо одну клетку, либо нижнюю горизонталь,либо левую вертикаль, либо всю доску.) Какое наи-

большее число прожекто-ров можно расставить нашахматной доске так,чтобы они не били другдруга?

Ответ: 16.В одной вертикали не могутнаходиться 3 или более про-жекторов, иначе прожектор,который находится междудвумя другими, бьет один из них. Следовательно,более 8 2 16Ч = прожекторов расставить нельзя.Пример с 16 прожекторами приведен на рисунке.

А.Шаповалов

М2088. Докажите, что для положительных чисел x,y, z, сумма которых равна 1, выполнено неравенство

2 2 2x 3xy y 3yz z 3zx2

x y y z z x

+ + ++ + £

+ + +.

Заметим, что для положительных чисел а и b справед-

ливо неравенство 2

2

ab a b

a b

+£

+, так как

( ) ( )2 22 24 0 2ab a b a ab b a b£ + Ы £ - + = - .

Отсюда

( )22 23 x xy xyx xy

x y x y

+ ++= =

+ +

= 2 3

2 2 2

xy x y x yx x

x y

++ £ + = +

+.

Аналогично,2 3 3

2 2

y yz y z

y z

+£ +

+ и

2 3 3

2 2

z zx z x

z x

+£ +

+.

Складывая три полученных неравенства, получаем

2 2 23 3 3x xy y yz z zx

x y y z z x

+ + ++ + £

+ + +( )2 2x y z+ + = .

П.Кожевников, Р.Пиркулиев

М2089. Пусть 0B – середина стороны AC треуголь-ника ABC. Обозначим через 1A и 2A центры вписан-ной и касающейся AB вневписанной окружности тре-угольника 0ABB . Аналогично для треугольника 0CBBопределим точки 1C и 2C . Докажите, что четырех-угольник 1 2 2 1A A C C – вписанный.

Докажем, что треугольники 0 1B A B и 0 2B AA подобны

по двум углам (см. рисунок). Точки 1A и 2A лежат на

биссектрисе угла 0AB B , поэтому 1 0 0 2A B B AB AР = Р .Далее, так как 2AA – внешняя биссектриса угла 0BAB ,то

2 0 01

902

A AB BABР = ° + Р =

= 0 01 1

90 902 2

ABB AB Bж ц° + ° - Р - Р =з чи ш

= 1 0 1 0 1 0180 A BB A B B BA B° - Р - Р = Р .

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 15

Из подобия треугольников 0 1B A B и 0 2B AA вытекаетравенство 0 1 0 2 0 0B A B A B A B BЧ = Ч .Аналогично докажем равенство 0 1 0 2B C B CЧ =

0 0B C B B= Ч . Так как 0 0B A B C= , то 0 1 0 2B C B CЧ =0 1 0 2B A B A= Ч , поэтому точки 1 2 1 2, , ,A A C C лежат на

одной окружности.Л.Емельянов

М2090. Пусть 1 2, , , nc c cK – действительные числа;

1 1S c= , 2 1 2S c c= + , 3 1 2 3, ,S c c c= + + K 1nS c= +

2 nc c+ + +K ; M и m – соответственно максимальноеи минимальное среди чисел 1 2 3, , , , nS S S SK . Докажитенеравенства:

а) 1 2 n1 1

m c c c M2 n

£ + + + £K ;

б) ( )1 2 nnm nc n 1 c c nM£ + - + + £K ;

в) если 1 2 0nα α α³ ³ ³ >K , то 1 1 1m cα α£ +2 2 1n nc c Mα α α+ + + £K .

Докажем сразу более общее утверждение в). С суммой

1 1 2 2 n nS c c cα α α= + + +K произведем тождественноепреобразование (иногда называемое преобразованиемАбеля):

( ) ( )1 1 2 2 1 1n n nS S S S S Sα α α -= + - + + - =K

= ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 2 1 1n n n n nS S S Sα α α α α α α- -- + - + + - +K .

После этого сумму можно оценить сверху и снизу,пользуясь тем, что числа

1 2 2 3 1, , , ,n n nα α α α α α α-- - -K

неотрицательные:

1mα =

( ) ( )1 2 2 3m mα α α α= - + - +K ( )1n n nm mα α α-+ - + £

( ) ( ) ( )1 2 2 3 1n nS M M Mα α α α α α-£ £ - + - + + - +K

1nM Mα α+ = .

П.Кожевников

М2091. Докажите, что для любых натуральныхn > 2 и m существуют n попарно взаимно простыхнатуральных чисел, больших 1010 и таких, чтосумма их m-х степеней делится на их сумму.

Для данного т найдем числа 1 2, , , na a aK с нужнымсвойством.При т = 1 годятся n различных простых чисел,больших 1010 .

I. Пусть т > 1 – нечетное число.Если n = 3, то положим 1 2a p= - , 2a p= , 3 2a p= + ,

где p – простое число, большее 1010 2+ . Тогда

( ) ( )1 2 3 2 0 2 0 modmm m m ma a a p+ + º - + + º .

Поскольку числа 1 2 3, ,a a a дают различные остатки приделении на 3,

( ) ( )1 2 3 1 0 1 0 mod 3mm m m ma a a+ + º - + + º .

Отсюда следует, что 1 2 3m m ma a a+ + делится на

1 2 33p a a a= + + .Считаем далее, что n > 4. Пусть 1 2 1np p p -> > >K –

различные простые числа, большие чем { }10max 10 , mn .

Для i = 1, 2,..., n – 1 положим i ia pα= , где α =

( )( ) ( )1 2 11 1 1np p p -= - - -K (так как α делится на1ip - , то по малой теореме Ферма число ia дает

остаток 1 при делении на jp , где j i№ , { }1,2, , 1j nО -K ,– это условие будет использовано в дальнейшем).Очевидно, что числа 1 2 1, , , na a a -K попарно взаимно

простые и большие 1010 . Далее, положим

( )1 2 1m

n na a a a -= + + + -K

– ( ) ( )1 2 1 1 2 1m m m

n na a a a a a- -+ + + - + + +K K .

Докажем, что 1) 1 2m m m

na a a+ + +K делится на сумму

1 2 ns a a a= + + +K , 2) 1010na > , 3) na взаимно простос числами 1 1, , na a -K .1) Из определения na следует, что

( ) ( )1 2 1 1 2 1m m m m

n ns a a a a a a- -= + + + - + + +K K .

Так как ( ) ( )1 1 modn na a a s-º - + +K , то

1 2m m m

na a a+ + + ºK

º ( )1 2 1 1 1mm m m

n na a a a a- -+ + + - + + ºK K ( )0 mods s- º .

2) Полагая 1x a= , 2 1ny a a -= + +K и пользуясь раз-ложением

( ) 1m m m mx y x mx y y-+ = + + +K ,

имеем

( )( 11 1 2 3 1m m

n na a ma a a a--³ + + + + +K

+ ( ) ) ( )2 3 1 1 2 1m m m m

n na a a a a a- -+ + + - + + + -K K

( )1 2 1na a a -- + + + ³K

³ ( ) ( )11 2 3 1 11m

nma a a a n a--+ + + - - ³K

³ ( ) ( )( )10 101 110 2 1 10a n n a- - - ³ > .

3) Достаточно установить, что na не делится на ip при{ }1,2, , 1i nО -K . Так как для таких i выполнено

( )0 modi ia pº и ( )1 modj ia pº при j i№ ,

{ }1,2,..., 1j nО - , то ( ) ( ) ( )2 2 2 modm

n ia n n pº - - - .

Но ( ) ( )2 2 2 0m

ip n n> - - - > , поэтому na не делитсяна ip .

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 616

II. В случае четного т достаточно, рассуждая аналогич-но случаю нечетного т > 1, положить

( ) ( )1 2 1 1 2 1m m m m

n n na a a a a a a- -= + + + + + + + -K K

– ( )1 2 1na a a -+ + +K .

В пункте 3), при доказательстве взаимной простоты na

и ia ( { }1, 2, , 1i nО -K ), получим сравнение na º

( ) ( )2 modm

in pº - , поэтому na не делится на ip .В.Сендеров

М2092. На ребрах AB, BC, CD, DA тетраэдра ABCDвзяты точки K, L, M, N соответственно. Точки K ¢ ,L¢ , M ¢ , N ¢ симметричны точкам K, L, M, Nотносительно середин ребер AB, BC, CD, DA соот-ветственно. Докажите, что объемы тетраэдровKLMN и K L M N¢ ¢ ¢ ¢ равны.

Пусть плоскости KLM и K L M¢ ¢ ¢ пересекают ребро ADв точках Р и P ¢ соответственно. Покажем, что

BK AP BL CM

AK DP CL DMЧ = Ч . (1)

Если плоскость KLMP пересекает прямую BD в точкеQ (см. рисунок), то по теореме Менелая, примененной

к треугольникамABD и CBD с секу-щими KР и ML, име-

ем BQ BK AP

DQ AK DP= Ч

и BQ BL CM

DQ CL DM= Ч ,

откуда следует (1).

Если же плоскость

KLMP параллельнаребру BD, тоKP ML BDP P , инужное соотношение(1) следует из теоре-

мы Фалеса в гранях ABD и CBD. Аналогично доказы-вается, что

BK AP BL CM

AK DP CL DM

¢ ¢ ¢ ¢Ч = Ч

¢ ¢ ¢ ¢. (1¢ )

Из условия задачи следует, что AK BK= ¢ , BK AK= ¢ ,BL CL= ¢ , CL BL= ¢ , CM DM= ¢ , DM CM= ¢ . По-

этому из (1) и (1¢ ) вытекает, что AP DP

DP AP

¢=

¢, т.е.

точки Р и P ¢ симметричны относительно серединыребра AD (отсюда, в частности, AP DP=¢ ,NP N P= ¢ ¢ ).Далее будем пользоваться следующей простой леммой.Пусть прямая TT¢ пересекает плоскость треугольникаXYZ в точке О. Тогда отношение объемов

( )

( )

V XYZT OT

V XYZT OT=

¢ ¢.

Для доказательства леммы достаточно заметить, что утетраэдров XYZT и XYZT ¢ общее основание XYZ, а

высоты, проведенные к этому основания, относятся какОТ к OT ¢ .Вернемся к задаче. Согласно лемме,

( )

( )

( )

( )

V KLMN V K L M NNP N P

V KLMD DP AP V K L M A

¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢= = =

¢ ¢ ¢ ¢.

Теперь достаточно доказать равенство ( )V KLMD =( )V K L M A= ¢ ¢ ¢ .

Снова по лемме,

( )

( )

( )

( )

V KLMD V K L M AMD CM

V KLCD CD CD V K L DA

¢ ¢ ¢¢= = =

¢ ¢.

Остается доказать, что ( ) ( )V KLCD V K L DA= ¢ ¢ .Далее,

( )

( )

( )

( )

V KLCD V K L DACL BL

V KBCD BC BC V K CDA

¢ ¢¢= = =

¢.

Достаточно установить, что ( ) ( )V KBCD V K CDA= ¢ .Но это верно, так как

( )

( )

( )

( )

V KBCD V K CDABK AK

V ABCD AB AB V BCDA

¢¢= = = .

Замечание. Если зафиксировать тетраэдр ABCD, аточкам K, L, М, N позволить двигаться по ребрамАВ, BC, CD, DA соответственно, то величинаV± (KLMN) (знак выбирается в зависимости от ори-

ентации тетраэдра) является функцией от четырехпеременных АK/KB, BL/LC, CM/MD, DN/NA,линейной по каждому из аргументов. Фактически,этим соображением мы и пользовались в решении,последовательно «перетаскивая» точки K, L, М, N ввершины тетраэдра ABCD.

П.Кожевников

М2093. Фокуснику завязывают глаза, а зрительвыкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выби-рая, какие орлом вверх, а какие решкой. Ассистентфокусника просит зрителя написать на бумаге любоенатуральное число от 1 до N и показать его всемприсутствующим. Увидев число, ассистент указыва-ет на одну из монет ряда и просит перевернуть ее.Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит наряд монет и безошибочно определяет написанноезрителем число. Найдите все N, для которых уфокусника с ассистентом есть способ гарантирован-но отгадывать число.

Ответ: N – степень двойки.Докажем лемму: если у фокусника с ассистентом естьспособы, позволяющие фокуснику гарантированноотгадывать число для N = k, то есть способ и дляN = 2k.Мысленно расположив монеты в клетках таблицы2 kѣ , фокусник пишет под каждым столбцом из двухклеток О, если монеты там лежат одной сторонойвверх, и P – если разными сторонами. Эта комбинациясообщает ему число n от 1 до k. Если в верхней строкечетное число решек, он называет n, иначе n + k.Пусть зритель назвал число m. Чтобы сообщить его,ассистент тоже мысленно пишет строку из O и P потому же правилу. Он может изменить одну из букв,

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 17

чтобы получить код, соответствующий числу m (приm k£ ) или m – k (при m k> ). Для этого ему достаточ-но перевернуть любую из монет в соответствующемстолбце. Выбором верхней или нижней монеты онобеспечивает нужную четность числа решек в верхнейстроке. Лемма доказана.При N = 1 способ очевиден, при N = 2 способ такой:числу 1 соответствует орел, а числу 2 – решка на левоймонете. По лемме, последовательно удваивая, получимспособы для каждого N вида 2m .Докажем теперь, что при других значениях N способовнет. Комбинаций из N монет всего 2N . Допустим,способ у ассистента и фокусника есть. Рассмотримкакую-нибудь одну комбинацию (она может попастьсяассистенту). Изменяя в ней положение ровно одноймонеты, можно получить ровно N других комбинаций.Каждая из N этих комбинаций должна обозначать дляфокусника свое число от 1 до N (так как есть Nвариантов для загаданного числа). Припишем этимкомбинациям номера, которые они обозначают. Такимобразом можно каждой из 2N комбинаций приписатьчисло, которое она обозначает для фокусника (так каккаждую комбинацию можно получить из некой другойописанным выше способом).Посчитаем, скольким комбинациям приписано число 1.Всего комбинаций 2N , из каждой можно получитьровно одну комбинацию, которой приписана 1. Всегополучаем 2N комбинаций, которым приписана 1, нопри этом каждую такую комбинацию мы посчитали Nраз (поскольку каждую комбинацию можно получитьровно из N других). Значит, 1 приписана 2N Nкомбинациям. Это число должно быть целым, чтовозможно только если N является степенью двойки.

Л.Медников, А.Шаповалов

М2094. На плоскости нарисованы два выпуклых1

многоугольника P и Q. Для любой стороны много-угольника P многоугольник Q можно зажать междудвумя прямыми, параллельными этой стороне. Обо-значим через h расстояние между этими прямыми, ачерез l – длину стороны. Просуммировав все произве-дения lh по всем сторонам P, получим число, котороеобозначим (P, Q). Докажите, что (P, Q) = (Q, P).

Докажем, что ( ) ( ),

1, sin ,

2i j ij

i j

P Q a b Q Pϕ= =е , где ia

– стороны P, jb – стороны Q, ijϕ – угол между iaи jb .Зафиксируем некоторую сторону ia , зажмем много-угольник Q между прямыми, параллельными ia , ивыберем две вершины C и D, лежащие на этих двухпрямых. Контур Q разбивается на две ломаные сконцами C и D. Ввиду выпуклости проекция такойломаной на перпендикулярную ia прямую m склады-вается из проекций звеньев ломаной. Значит, проекциямногоугольника Q на m покрывается проекциями егосторон ровно два раза, т.е. сумма длин проекцийсторон равна удвоенному расстоянию ih между зажи-

мающими Q прямыми. Длина проекции jb на m равна

( )cos 90 sinj ij j ijb bϕ ϕ° - = , значит, 2 sini j ijj

h b ϕ=е ,

а 1

sin2

i i i j ijj

a h a b ϕ= е . Складывая такие суммы по

всем i, получим нужную формулу.

Л.Медников, А.Шаповалов

М2095. Перед Алешей 100 закрытых коробочек, вкаждой-либо красный, либо синий кубик. У Алеши насчету есть рубль. Он подходит к любой закрытойкоробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму(можно нецелое число копеек, но не больше, чем у негона счету на данный момент). Коробочка открывает-ся, и Алешин счет увеличивается или уменьшается напоставленную сумму в зависимости от того, угаданили не угадан цвет кубика. Игра продолжается, покане будут открыты все коробочки. Какую наиболь-шую сумму на счету может гарантировать себеАлеша, если ему известно, что синих кубиков ровно n?

Ответ: 100

100

2nC

.

Рассмотрим общую ситуацию: Алеша знает, что есть mкрасных и n синих кубиков в m + n = K коробочках.

Попросим его в таком случае поставить n m

K

--ю часть

своего капитала на тот цвет, которого больше (в

частности, при m = n Алеша ничего не ставит). Дока-жем индукцией по K, что, действуя так, Алеша увели-

чит свой капитал в 2K

nKC

раз.

Когда коробочка всего одна, утверждение очевидно:Алеша увеличивает капитал в два раза. Пусть теперьутверждение верно для K – 1 коробочки, докажем егодля K коробочек.Пусть для определенности m n£ . Если на первом шагеоткрыт синий кубик, то на этом шаге Алеша увеличил

капитал в 2

1n m n

K K

-+ = раз, остались n – 1 синий

кубик и K – 1 коробочка, что, по предположению, даст

увеличение капитала в 1

11

2K

nKC

-

--

раз. Перемножая эти

числа и учитывая, что 11

n nK K

KC C

n-- Ч = , получим требу-

емое 2K

nKC

. Если на первом шаге открыт красный кубик,

капитал уменьшился, умножившись на 2

1n m m

K K

-- = ,

и остались n синих кубиков и K – 1 коробочка, что, по

предположению, даст увеличение капитала в 1

1

2K

nKC

-

-

раз. Перемножая, учтем, что 11 1

n mK K

K KC C

m m-

- -Ч = =m nK KC C= = , и снова получим требуемое.

Покажем теперь индукцией по K, что в большее числораз Алеша капитал увеличить не может. Для случая

1 В условии задачи, опубликованном в «Кванте» №3 за 2008 год,была допущена неточность – пропущено слово «выпуклый».

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 618

одной коробочки это очевидно. Если коробочек не-сколько, и Алеша поставит на синий цвет долю, боль-шую указанной в алгоритме, то при выпадении красно-го он получит меньше, чем по алгоритму. А если онпоставит долю меньше, чем по алгоритму (в том числеотрицательную, если ставит на красный), он получитменьше, чем по алгоритму при выпадении синего.Приведем также план решения, не использующегоиндукцию.Заметим, что поставить х (рублей) на красный цветэто то же самое, что поставить –х на синий. Поэтомуможно считать, что Алеша ставит х на синий цвет,где x не превосходит имеющейся у него суммы.Предположим, что после каждого шага Алеша платитналог в размере половины имеющихся денег (в итоге онполучит в 1002 раз меньше денег, чем в условияхзадачи). При наличии перед очередным шагом суммыS и ставке x у него после этого шага остается либо

2

S x+, либо

2

S x-, что в сумме снова дает S. Поэтому

можно считать, что Алеша каждый раз просто раскла-дывает свои деньги на 2 кучки – на случай того илииного цвета кубика. Если учесть все возможные вари-анты распределения кубиков по коробочкам, все день-ги (1 рубль) будут разложены на 1002 кучек. Из них

100nC кучек соответствуют наборам из n синих кубиков,

и в них должно лежать денег поровну – по 100

1nC

(иначе

в одном из вариантов «выигрыш» меньше), а в осталь-ных – 0. Умножив на 1002 , получаем ответ.

Л.Медников, А.Шаповалов

Ф2102. Генератор незатухающих колебаний собранпо обычной «ламповой» схеме – потери в колебатель-ном LC-контуре компенсируются подкачкой энергиичерез дополнительную катушку, включенную в анод-ную цепь лампы-триода. Частота колебаний пере-страивается за счет изменения емкости конденсато-ра, включенного в контур (настройка при помощиконденсатора переменной емкости). Генератор рабо-тает на заданной частоте, но его настроили непра-вильно – если мы хотя бы немного уменьшим подкачку

энергии (например, умень-шим число витков вспомо-гательной катушки наодин виток), колебанияпросто не возникнут. Пе-рестоим частоту колеба-ний на 5%, уменьшив ем-кость конденсатора. Какнужно изменить число вит-

ков вспомогательной катушки, чтобы генератор могработать на этой частоте? Считайте, что потериэнергии в колебательном контуре связаны главнымобразом с сопротивлением провода, которым намота-на катушка индуктивности. Упрощенная схема гене-ратора приведена на рисунке.

Запишем уравнение для собственных колебаний вколебательном контуре, состоящем из катушки индук-тивности, конденсатора и резистора малого сопротив-

ления:

10LI rI q

C+ + =¢ , или

10

rq q q

L LC+ + =¢¢ ¢ .

Для получения незатухающих колебаний второе слага-емое нужно скомпенсировать, «включив» в контурдополнительную ЭДС. В приведенной схеме генерато-ра это достигается при помощи катушки, включеннойв анодную цепь лампы: доп aMI= - ¢E , где М – коэффи-циент взаимной индукции катушек, aI – анодный ток.Впрочем, можно этого и не знать – нужно толькозаписать для «дополнительного» магнитного поля со-отношение 2 аB n I: , где 2n – число витков вспомога-тельной катушки. Тогда

1 2 0q

B k n I SC

ж ц= +з чи ш, и доп 2 2

SB k n q

C- = -¢ ¢:E .

Здесь 0I – начальный анодный ток (при нулевомнапряжении между сеткой и катодом), S – крутизнавольт-амперной характеристики лампы, коэффициент

2k включает и площадь витка основной катушки, ичисло ее витков, и еще некоторые геометрическиехарактеристики контура, которые в нашем случае неизменяются. Окончательно получим

2 2S r

k n q qC L

=¢ ¢ , или 23

1rCn

L k= .

Для увеличения частоты генератора на 5 % емкостьпридется уменьшить примерно на 10 %. Для сохране-ния прежнего условия возникновения колебаний вгенераторе следовало бы уменьшить примерно на 10 %число витков вспомогательной катушки, но этого мож-но не делать – колебания возникнут и при прежнемчисле витков. При этом увеличится амплитуда колеба-ний (должна была бы измениться и форма «выходногосигнала», но благодаря контуру колебания останутся«почти» гармоническими). Отсюда следует, что, изме-няя частоту генератора, не обязательно «перематы-вать» катушку.

А.Контуров

Ф2103. Навстречу друг другу по одной прямой содинаковыми скоростями v = 1 м/с движутся шарикис массами m = 10 г и 3m = 30 г. Какую максимальнуюскорость может приобрести легкий шарик послелобового удара шариков?

Для определения максимальной скорости малого ша-рика нужно понять, какой это был удар. Многиешкольники уверены, что удар может быть либо абсо-лютно упругим, либо абсолютно неупругим. Однакоэто не так – часть энергии шариков может перейти втепло (не абсолютно упругий удар), но не столько,сколько выделилось бы при абсолютно неупругомударе. Будем исходить из того, что закон сохраненияимпульса при любом виде удара выполняется, а вместозакона сохранения механической энергии нам придетсязаписать условие «неувеличения» полной механичес-кой энергии, т.е. получится одно уравнение и однонеравенство.Обозначим скорость легкого шара после удара u, аскорость тяжелого v. Направим обе скорости в ту

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 19

сторону, куда была направлена начальная скорость 0vтяжелого шара. Полной уверенности в том, что шарыпосле столкновения будут двигаться именно туда, у наснет – ну и не надо: если ответ получится отрицатель-ным, это будет означать, что соответствующая скоростьнаправлена в противоположную сторону. Итак, запи-шем

0 03 3m v m v m u m v- Ч + Ч = Ч + Ч ,

2 2 2 20 03 3m v m v m u m vЧ + Ч ³ Ч + Ч .

Теперь можно выразить из уравнения скорость v иподставить в неравенство:

02

3

v uv

-= ,

2 22 2 0 00

4 44

3

v v u uv u

- +³ + ,

( )2 2 2 20 0 012 3 4 4v u v v u u³ + - + ,

2 20 02 0u v u v- - £ .

Максимальное значение скорости u находим обычнымспособом – запишем уравнение 2 2

0 02 0u v u v- - = инайдем тот корень, что побольше:

02 2м сu v= = .

Это и есть ответ задачи. Кстати, получается это значе-ние именно при абсолютно упругом ударе. Интересно,это вам было заранее понятно?

А.Простов

Ф2104. Легкая нить намотана множеством витковна гладкую неподвижно закрепленную катушку ради-

усом R (рис.1). На сво-бодном конце нити зак-реплен маленький шарикмассой m, другой конецнити начинают вытяги-вать через отверстие вкатушке, постепенноувеличивая скоростьвдоль поверхности ка-тушки до величины v. Врезультате через боль-шое время движение ша-

рика устанавливается. Найдите скорость устано-вившегося движения шарика и радиус траектории его

движения. Сила тяжес-ти отсутствует, силатрения шарика о воздухпропорциональна его ско-рости: трF ku= .

При вытягивании нитишарик оторвется от ка-тушки, поскольку нет сил,которые обеспечивали быего движение по дуге ок-ружности радиусом R.Под действием окружаю-щей среды шарик займет

равновесное положение на некоторой орбите радиусомr, имея скорость u (рис.2). Запишем уравнение второгозакона Ньютона в проекциях на направления вдоль

этого радиуса и перпендикулярно ему:2

cosu

m Fr

α= , 0 sinF kuα= - ,

где F – сила натяжение нити. Учитывая следующиесоотношения:

sin , sinv u R rα α= = ,

получаем

tgkR

mvα = ,

откуда

2

2

1 1sin

11 1tg

mv

kR

α

α

= =ж ц+ + з чи ш

.

В итоге находим искомые скорость шарика u и радиустраектории r:

2

1sin

v mvu v

kRα

ж ц= = + з чи ш ,

2

1sin

R mvr R

kRα

ж ц= = + з чи ш

М.Гырдымов

Ф2105. Цикл тепловой машины проводят с порциейгелия. Он состоит из двух изобар с отношениемдавлений 2:1 и двух изохор. Найдите максимальновозможный термодинамический КПД такого цикла.

Пусть минимальный объем в цикле V, максимальныйобъем в цикле nV, давления на изобарах р и 2р. Тогдаработа в цикле равна

( )1A p n V= - .

Тепло газ получает на участках изохорического нагре-вания и изобарического расширения. Для точки сминимальной температурой pV RTν= , максимальнаятемпература в 2n раз выше минимальной, поэтомуполученное в цикле количество теплоты равно

( ) ( )2 1 1,5 2 1Q pV n pV n= - + - .

В таком случае термодинамический коэффициент по-лезного действия цикла составляет

( )

( ) ( )

1

2 1 1,5 2 1

pV nA

Q pV n pV nη

-= =

- + -.

После простого анализа формулы видно, что чембольше n, тем больше η . При очень большом значенииn получается 0,2η = .

А.Старов

Ф2106. Конденсатор емкостью С = 100 мкФ подклю-чен к батарейке напряжением U = 6 В последователь-но с резистором сопротивлением r = 100 кОм. Вольт-метр, имеющий сопротивление R = 200 кОм, периоди-чески подключают параллельно конденсатору и от-ключают от него. Время подключения составляеткаждый раз τ = 0,05 с, а время, в течение котороговольтметр отключен, составляет каждый раз 2τ .Что показывает вольтметр?

При такой частоте переключений стрелка приборанемного «дрожит», но вольтметр показывает какое-тоопределенное напряжение. Условие постоянства этого

Рис. 1

Рис. 2

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 620

напряжения – заряд конденсатора остается почти по-стоянным. При отключении вольтметра заряд немногоувеличивается, при подключении – на такую же вели-чину уменьшается. Пусть искомое напряжение равно

1U . Тогда «прибыль» заряда за время 2τ получится

( )12 U UQ

r

τ∆

-= .

При подключении вольтметра стекающий с верхнейобкладки конденсатора заряд должен оказаться такимже:

( )11 U UUQ

R r

ττ∆

-= - .

Приравнивая правые части, получим

1 5,1 BU » .

Нам не понадобилось значение емкости конденсатора,и для получения ответа нужно знать не сами сопро-тивления, а только их отношение. Значения сопротив-лений и емкости нужны только для того, чтобы прове-рить выполнение условия rC τ? . В числах:

5 41 10 1 10 10 0,05-Ч Ч Ч = ? . Выполняется! Это означа-ет, что конденсатор за время подключения/отключе-ния изменяет заряд действительно на ничтожно ма-лую долю.

З.Рафаилов

Ф2107. Цилиндрический магнит небольшого размерасоздает на своей оси магнитное поле 0B = 0,001 Тл вточке, находящейся на расстоянии L = 5 м от торцамагнита. Проволочный виток с током I = 2 А распо-ложен в указанной точке на оси магнита так, чтоплоскость кольца перпендикулярна оси магнита, а осьпроходит через центр кольца. Найдите силу, дей-ствующую в магнитном поле на кольцо. Кольцо сде-лано из тонкой проволоки. Магнитная индукция наоси магнита на расстоянии 1L = 5,1 м составляет

1 0B 0,94B= .

Автор забыл задать в условии задачи радиус кольца, аот него явно зависит ответ. Добавим в условие задачизначение r = 1 см. Если взять кольцо большого размера(например, r = 20 см), то точки кольца будут лежатьдалеко от оси и мы не сможем найти величину магнит-ной индукции там, где течет ток, – а значит, и неполучится посчитать величину действующей на кольцосилы.Важно, что нас интересует только «перпендикуляр-ная» составляющая вектора магнитной индукции –проекция на ось нам не годится, так как она растягиваеткольцо, а не пытается его сместить. На оси магнитамагнитная индукция имеет только продольную состав-ляющую 1B . Поперечная составляющая 2B появляетсялишь при удалении «вбок» от оси. Найдем составляю-щую 2B на расстоянии r от оси – там, где течет ток. Дляэтого нарисуем вокруг оси тонкий цилиндр радиусом r,его ближнее основание расположено на расстоянии Lот торца магнита (там, где поле 0B ), высота цилиндраН (его верхний торец там, где магнитная индукция

1B ). Разность магнитных потоков через основанияцилиндра равна потоку через его боковую поверхность.Будем считать поле 2B одинаковым во всех точкахбоковой поверхности цилиндра, тогда запишем

( )20 1 22r B B rHBπ π- = , откуда 0

20,03B r

BH

= .

Сила направлена параллельно оси магнита (куда имен-но, от магнита или к магниту, неизвестно – это зависитот направления тока кольца), величина силы составля-ет

22F rIBπ= =2

02 0,03r I B

H

π Ч=

46,3 10 2 0,03 0,001 H

0,1

-Ч Ч Ч Ч= » 73,8 10 H-Ч .

Очень маленькая сила.А.Зильберман

К О Л Л Е К Ц И Я Г О Л О В О Л О М О К

Шкатулка с секретом

(Начало см. на 4-й с. обложки)

Специальная страничка «Коллекция головоломок» впервыепоявилась в «Кванте» в 1993 году. Последние семь лет онаприсутствует в каждом номере журнала. За эти годы читателипознакомились с десятками самых новых, самых популярных исамых трудных головоломок из разных стран мира. На страни-цы журнала головоломки попадали при обязательном выполне-нии двух условий: они были трудны в решении и просты визготовлении.

В «Коллекции» собраны практически все виды «умных игру-шек»: сборно-разборные узлы, задачи на упаковки и перестанов-ки, проволочные и шнурковые головоломки и даже «невозмож-ные предметы». Не хватало очень интересной разновидностиголоволомок – «шкатулок с секретами». И сегодня этот пробелбудет восполнен.

Конструкцию секретного замка придумала Татьяна Матвееваиз Подмосковья. Предлагаемое запорное устройство, изобра-женное на обложке, находится внутри пластинки из фанеры

размером 45 45 6ѣ ѣ  мм, в которой просверлены три канала.Их диаметры зависят от размеров штифтов, поэтому изготовле-ние замка лучше всего начать с них. Стальные штифты делаютиз обычных гвоздей толщиной 2,5 мм и длиной 30 мм. Одинконец каждого штифта аккуратно стачивают надфилем додиаметра 1 мм на длину около 6 мм. Для немагнитного штифтаиспользуют отрезок медной или латунной проволоки длиной35 мм и чуть большего диаметра, чем стальные штифты.

Самая ответственная часть работы – сверление каналов.Сначала сверлят два тонких канала диаметром 1,5 мм насквозь,через всю пластину. Эту работу следует выполнять осторожно,но на большой скорости, постоянно следя за тем, чтобы сверлоне «уводило» в сторону от вертикали. После этого каналырассверливают с одной стороны до диаметра 4 мм, затем сверлятпоперечный канал диаметром 4,5 мм. Каналы очищают отзаусенцев круглым надфилем, штыри ставят на свои места ипроверяют их свободное скольжение. Ориентируясь на рисунок,один из каналов вскрывают для установки магнита. Углубление

(Продолжение см. на с. 34)

Задачи

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8классов.

К М Ш

Иллю

страции Д

.Гриш

уковой

1. На доске написано неверное равенство:

Проведите один прямолинейный отрезок так, чтобыполучилось верное равенство.

А.Анджанс

2. Даны пятьдесят различных натуральных чисел,двадцать пять из которых не превосходят 50, а осталь-ные больше 50, но не превосходят 100. При этомникакие два из них не различаются ровно на 50.Найдите сумму этих чисел.

В.Произволов

3. В 10 коробках лежат карандаши (пустых коробокнет). Известно, что в разных коробках разное числокарандашей, причем в каждой коробке все карандаширазных цветов. Докажите, что из каждой коробкиможно выбрать по карандашу так, что все они будутразных цветов.

П.Кожевников

4. Найдите все тройки натуральных чисел (a, b, c),для которых

+ + =+ + +

1 1 11

a a b a b c.

Г.Гальперин

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD cторона CDвидна из середины стороны AB под прямым углом.Докажите, что AD + BC ≥ CD.

Д.Калинин

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 622

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу:119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: math@kvant.info (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес.

Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но иматематических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактныйтелефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очныйтурнир.

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

11. Треугольник A B C¢ ¢ ¢вписан в равносторонний тре-угольник ABC так, как пока-зано на рисунке 1. Известно,что углы BA C¢ ¢ и C B A¢ ¢равны, а также углы BC A¢ ¢и A B C¢ ¢ равны. Докажите,что прямая B B¢ делит уголA B C¢ ¢ ¢ пополам.

В.Произволов

12. Докажите, что разность

99 89 89 89 8-N N

, где числодевяток не меньше двух, а число восьмерок любое,всегда делится на 7.

Г.Гальперин

13. На плоскости отмечены 49точек, являющихся узлами клет-чатой таблицы 6 6ѣ (рис.2). До-кажите, что у любой замкнутойломаной, вершинами которой яв-ляются все эти точки, найдутсядва параллельных звена.

А.Грибалко

14. Перед вами три суперкомпьютера: американс-кий, китайский и российский. На вид они неразличи-

мы, и вам неизвестно, где какой компьютер. Разре-шается задать только один вопрос, на который мож-но ответить «да» или «нет», какому-нибудь одномуиз компьютеров, после чего этот компьютер даст от-вет. Беда в том, что правдиво на вопросы отвечаетлишь американский компьютер, а два других слома-ны: китайский всегда отвечает неправду, а российс-кий отвечает что попало.

Можно ли придумать вопрос, который позволитгарантированно купить:

а) не российский компьютер;б) не китайский компьютер?Компьютеры знают все друг о

друге.Фольклор

15. В прямоугольную коробкуположили 40 батареек (рис.3). Ба-тарейки лежат «вплотную» – ниодну нельзя подвинуть. После это-го нашли еще одну батарейку. Кактеперь упаковать все батарейки вту же коробку?

С.Посицельский, М.Семёнова Рис. 3

Рис. 2

Рис. 1

для магнита можно сделать фрезой или тупо заточенным свер-лом. Перед тем как закрепить (приклеить) магнит, в каналвставляют стальной штифт и, поворачивая магнит, ориентируютего для получения максимальной силы притяжения. Магнитможно вырезать из магнитной наклейки или игрушки. Ондолжен надежно удерживать штифт, не давая ему оторватьсяпри случайном резком движении замка.

После проверки правильности установки всех штырей и ихскольжения нужно деревянными пробочками-заглушками зак-леить лишние отверстия в пластинке (на рисунке они показаныпунктиром). Изготовление замка закончено, остается толькоприклеить его к внутренней крышке шкатулки. Затем нужноустановить внутри коробочки запорную жестяную скобу, закоторую будут зацепляться тонкие кончики штифтов, и шкатул-ка с секретом готова.

В исходном (после изготовления) состоянии шкатулка отпер-та, нижний (как изображено на рисунке) штифт прижат кмагниту, а верхнему штифту мешает двигаться медный штифт.

Чтобы запереть шкатулку, нужно закрыть крышку, наклонитькоробочку вперед, «на себя», и резко ударить передней сторо-ной шкатулки о ладонь. Нижний штифт оторвется от магнита,и шкатулка окажется запертой на один штифт. Теперь вернитеее в исходное положение и наклоните вправо. Медный штифтскользнет вниз в своем канале и освободит путь верхнемустальному штифту. Снова верните шкатулку в исходное положе-ние и наклоните «на себя». В результате верхний стальнойштифт зацепится за запорную скобу. Верните шкатулку висходное положение, наклоните ее влево, снова верните висходное положение, а затем наклоните «от себя». Медныйштифт скользнет в канале, запрет верхний штифт и освободитпуть нижнему стальному штифту, который притянется к магни-ту. Шкатулка окажется надежно запертой.

Все эти наклоны, удары и повороты кажутся вам слишкомсложными? Но ведь уже говорилось о том, что в «Коллекциюголоволомок» попадают самые новые, самые популярные, са-мые трудные в решении и самые умные игрушки. А сделатьшкатулку с секретом достаточно просто.

А.Калинин

Шкатулка с секретом

(Начало см. на 4-й с. обложки)

Дюжина задач о среднемарифметическом

А . Ш Е Н Ь

ЕСЛИ ДЕВЯТИ ШКОЛЬНИКАМ ДАТЬ СТО КОНФЕТ, ТО ХОТЯбы один из них получит 12 конфет или больше.

Почему? Рассуждаем «от противного». Если это не так,то каждый из 9 школьников получил 11 конфет илименьше. Тогда всего они получили не более Ч9 11 = 99конфет, а не 100. Противоречие – значит, так быть неможет.

По существу, то же самое рассуждение можно из-ложить иначе. Если 9 школьников получили 100 кон-фет, то в среднем на каждого школьника пришлось

по =100 1

119 9

конфеты, и потому хотя бы один дол-

жен быть получить больше 11 конфет.Что означают здесь слова «в среднем»? Речь идет о

среднем арифметическом. Среднее арифметическоедвух чисел а и b равно их полусумме (a + b)/2, среднее

трех чисел а, Ь, с равно (а + b + c)/3 и так далее:среднее арифметическое n чисел K1 2, , , na a a равносумме всех чисел, деленной на их количество, т.е.

+ + +K1 2 na a a

n.

В нашем примере n = 9 (девять школьников),K1 2 9, , ,a a a – количество конфет, полученных каждым

из них, общее число конфет + + +K1 2 9a a a равно 100,

и среднее равно =100 1

119 9

.

Среднее арифметическое можно объяснить так: еслимы хотим сравнять все числа, не меняя их суммы, токаждое из них надо заменить на среднее арифмети-ческое.

Задачи

1. Найдите среднее арифметическое чисел 1, 2, 3,4, ..., 19, 20.

2. Найдите среднее арифметическое чисел

–19, –18, –17, –16,…, –1, 0, 1, 2, 3, ..., 19, 20.

3. Найдите среднее арифметическое всех целыхчисел от 1 до 1000.

4. Когда в комнату вошел четвертый человек, сред-ний возраст находящихся в ней людей увеличился с 11лет до 14. Сколько лет вошедшему?

5. Среднее арифметическое чисел а и b делитпополам отрезок с концами а и b на числовой оси.Найдите координату точки, которая делит этот отрезокв отношении 3 : 5.

6. Одного из школьников 7 А класса перевели в7 Б, отчего средний рост школьников в обоих классах(7 А и 7 Б) увеличился. Могло ли так быть?

7. Желая найти среднюю годовую оценку по матема-тике у всех семиклассников, завуч попросил учителейматематики седьмых классов вычислить средние оценкив каждом из классов и потом взял среднее арифмети-ческое этих оценок. Прав ли он?

8. Говорят, что средний доход 10% самых богатыхжителей города в 15 раз превосходит средний доходвсех жителей города. Докажите, что это выдумки.

9. В прямоугольной таблице из трех строк и двухстолбцов средние арифметические в трех строкахравны а, b, с, а среднее арифметическое в первомстолбце равно d. Найдите среднее арифметическоевсех чисел таблицы и среднее арифметическое вовтором столбце.

10. Может ли среднее арифметическое каждогостолбца прямоугольной таблицы быть положитель-ным, а среднее арифметическое каждой строки –отрицательным?

11. Таблица умножения на обороте школьной тетра-ди содержит все произведения однозначных чисел от1 до 9 (всего 81: сначала 1 умножается на все числа от1 до 9, потом 2 и т.д.). Найдите среднее арифметическоевсех произведений в таблице.

12. В строчку написаны сто чисел K1 2 100, , ,a a a , при

этом 1a = 1, 100a = 100 и каждое число в строчке (кромедвух крайних) не больше среднего арифметического

двух соседей: ( )£ +2 1 3 2a a a , ( )£ +3 2 4 2a a a и так

далее. Докажите, что £43 43a .

Решения задач

1. Сумма всех 20 чисел равна 210, поэтому среднееарифметическое равно 210/20 = 10,5.

2. Тут 19 отрицательных чисел, 20 положительных иноль, всего 40 чисел. При суммировании все числа,кроме 0 и 20, попарно сокращаются. Значит, среднееарифметическое равно 20/40 = 0,5.

3. Здесь удобно сгруппировать числа в пары: 1 и 1000,затем 2 и 999 и так далее. Получится 500 пар, послед-няя будет 500 и 501. В каждой паре сумма составляет1001 и среднее равно 500,5. Поэтому и среднее всехчисел равно 500,5.

4. Сначала среднее арифметическое трех чисел былоравно 11, т.е. их сумма равнялась 33. Затем среднеечетырех чисел было равно 14, т.е. их сумма равнялась56. Значит, вошедшему было 56 – 33 = 23 года.

К М Ш 23

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 624

5. Пусть, скажем, а < b (случай а > b рассматриваетсяаналогично). Искомая координата х должна составлятьпропорцию (х – а) : (b – х) = 3 : 5, откуда получаем

уравнение 5(х – а) = 3(b – х), 5х – 5а = 3b – Зх,

8х = 5а + 3b, = +5 3

8 8x a b .

6. Да, например, если этот школьник был самымнизким в 7 А, но оказался самым высоким в 7 Б.Вообще, такое происходит, если школьник был нижесреднего в 7 А и выше среднего в 7 Б.

7. Такой способ годится, только если во всех классахпоровну учеников. Пусть, скажем, в классе А учатся 25школьников, а в классе Б учатся 29 школьников исредние арифметические в этих классах равны а и Ь.

Тогда сумма всех годовых оценок вклассе А равна 25a, а в классе Бравна 29b. Сумма всех оценок вдвух классах равна 25а + 29b, и этонадо разделить на 25 + 29 = 54.Поэтому средняя оценка всех семи-классников равна

+= +

25 29 25 29

54 54 54

a ba b ,

а не полусумме а и b. Это числоназывают взвешенным средним чи-сел а и b.

8. Если 1/10 самых богатых жите-лей города имеют доход в 15 разбольше среднего, то их общий до-ход в полтора раза больше суммар-ного дохода всех жителей города,включая их самих.

9. Так как все строки содержатпоровну элементов, то среднееарифметическое всех чисел табли-цы равно (a + b + с)/3. По анало-гичным причинам оно равно(d + х)/2, где х – неизвестноесреднее арифметическое во второмстолбце. Отсюда

( )= + + -2

3x a b c d .

10. Нет, поскольку тогда среднеевсех чисел таблицы окажется поло-жительным и отрицательным одно-временно.

11. Если раскрыть скобки в произ-ведении

( )+ + + +K1 2 8 9 ( )+ + + +K1 2 8 9 ,

то получится как раз сумма всехчисел таблицы, поэтому она равна

245 , а среднее равно = =2 2 2

45 9 5

= 25. Можно пытаться объяснитьэтот ответ по-простому: средний со-множитель (среднее арифметичес-кое чисел от 1 до 9) равен 5, и

потому среднее произведение равно 25. Но это опасная

логика: так можно решить, что среднее чисел K2 2 21 ,2 , ,9

равно 25 , а это совсем не так.

12. Докажем, что £ia i при всех i = 1,2, ...,100. Дляэтого рассмотрим числа = -i ib a i . Два крайних ( 1b и

100b ) равны нулю, а каждое из остальных не большеполусуммы соседей. Надо доказать, что среди ib нетположительных. Пусть это не так и пусть наибольшееиз них ib . Оно не может быть крайним, так как с краевнули, поэтому равно полусумме соседей. Соседи немогут быть больше ib и, значит, равны ib : рядом снаибольшим стоят тоже наибольшие. Двигаясь к краю,получаем противоречие.

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

ФормулалюбвиЕ.МЕЙЛИХОВ

ПЕЧАЛЬНАЯ ИСТОРИЯ ЛЮБВИ, ОПИСАННАЯ ШЕКСПИ-ром, известна всем. В наше время герои этой истории

учились бы в школе, ходили на дискотеку, «сидели» бы вИнтернете. Могла ли сегодня случиться с ними такая жегрустная история? И вообще, отчего бывает счастливая илинесчастная любовь? Обычно такие вопросы обсуждаются нашкольных уроках литературы, где анализируются отноше-ния персонажей знаменитых романов, подробно разбирают-ся мотивы их поступков, превозносятся их достоинства икритикуются недостатки. Уверен, что просвещенных совре-менников постиндустриального XXI века такой качествен-ный анализ, не подкрепленный уравнениями и графиками,полностью удовлетворить не может.

В связи с этим возникает вопрос: «А можно ли переложитьна математический язык и исследовать математическимиметодами такую тонкую материю, как любовь?» Ответ поэта:«В одну телегу впрячь не можно коня и трепетную лань», т.е.нельзя «поверить алгеброй гармонию». Ответ математикаили физика: «Несомненно, можно. Нужно лишь выбратьмодель, описывающую явление, и выразить ее в количе-ственной форме – в виде уравнений, формул, графиков».

Самое трудное здесь (так же, как при решении любойфизической задачи) – именно создание модели. Образова-ние, опыт и талант нужны для того, чтобы сформулировать«хорошую» модель – такую, в рамках которой учитываютсясамые основные факторы, определяющие изучаемое явлениеили процесс, и отбрасывается множество других, оказываю-щих на него лишь слабое влияние. В такой «хорошей»модели и уравнения оказываются «хорошими» – их удаетсярешить и получить необходимые (аналитические или чис-ленные) результаты.

Итак, наша задача – создать модель любви, написатьсоответствующие уравнения, решить их и проанализироватьрезультаты.

Как всегда в науке, начнем с определения тех величин,которые мы собираемся изучать, и введем для них единицыизмерения. Нас интересует, как развиваются во временилюбовные отношения между Ромео и Джульеттой или междуСашей и Машей. Соответственно, мы имеем две характери-стики этого процесса – любовь и время.

Что касается времени, то здесь все просто: мы знаеммножество единиц, в которых оно измеряется, – секунда,минута, час и т.д., – и надо лишь выбрать ту единицу,которая для нас наиболее удобна. Из практики любовныхотношений известно, что характерное время их развития(зарождения или затухания) составляет месяцы и годы.Для определенности остановим свой выбор на единицевремени, равной году, будем обозначать время, как обычно,символом t и в дальнейшем для краткости будем писатьпросто t = 1 или t = 10, имея в виду t = 1 год или t = 10 летсоответственно.

Гораздо сложнее обстоит дело с определением любви. Оней писали тысячи поэтов, ее испытывали миллионы влюблен-

ных, но никто так и не выработал четкой формулировкитипа: «Любовь – это процесс (или состояние?), характери-зующийся следующим набором параметров (каких?): α =K ,

,β =K K » Тот факт, что общепринятого определения любвине существует, развязывает нам руки и освобождает нашуфантазию – мы можем сами придумать это определение. Приэтом не будем слишком конкретными (не следует, например,подробно описывать отличие биохимических процессов ворганизме влюбленного от таковых в отсутствие любви) ипостараемся предложить что-нибудь достаточно простое иподдающееся количественному измерению и описанию. Ведьв науке имеют смысл только те сущности, которые могутбыть измерены.

Дойдя до этого места, автор осознал, что он не в состояниидать разумного определения любви. Но, может быть, это и нестрашно? Ведь используем же мы, например, такое понятие,как электрический заряд, хотя его определения не существу-ет. Наличие или отсутствие заряда и его величину мыопределяем косвенно – например, по силе взаимодействиязарядов друг с другом или по их поведению в магнитномполе. Поступим так же и с любовью – будем считать, что этонечто, заставляющее дотоле нормальных людей совершатьбезумные поступки, подвиги, глупости, мчаться на другойконец света, стреляться и т.п.

Однако уход от определения рассматриваемой величиныне снимает (как и в случае с электрическим зарядом)необходимости дать рецепт ее количественного измерения.Придумать такой рецепт тоже непросто. Действительно,каков смысл утверждения о том, что Саша любит Машу в двараза сильнее, чем Дашу? Означает ли это, что он дарит Машевдвое больше цветов, проводит с ней вдвое больше времениили, наконец, что увеличение его пульса при встрече сМашей вдвое выше? Для нашей цели годится любой изприведенных способов измерения любви, но для определен-ности выберем последний вариант с пульсом, который удо-бен тем, что допускает простое измерение и, кроме того,может давать для любви не только положительные, но иотрицательные значения – снижение пульса характеризуетантипатию (отрицательную любовь).

Для того чтобы отстраниться от индивидуальных особен-ностей разных людей, будем количественно характеризоватьлюбовь безразмерным параметром

0

10 lnP

YP

ж ц= з чи ш

,

пропорциональным логарифму отношения пульса Р к егонормальному (для данного индивида) значению 0P . Соот-ветствующие единицы измерения называются децибелами.Множитель 10 выбран произвольно с тем, чтобы типичныезначения любви попадали в удобный численный диапазон.Например, повышение пульса на 10% по сравнению с нор-мальным значением происходит при величине любви

10 ln1,1 1Y = » , а двукратное увеличение пульса происхо-дит при любви 10 ln 2 7Y = » . Неизменность же пульсауказывает на отсутствие любви: Y = 0 при Р = 0P .

Поскольку любовь – это отношение двух людей, необходи-мо составить два уравнения: одно пусть описывает эволюциюлюбви Ромео, а другое – эволюцию любви Джульетты.Любовь Джульетты будем характеризовать функцией ( )J t ,а любовь Ромео – функцией ( )R t .

Теперь мы готовы к написанию уравнений, описывающихэволюцию любви, т.е. показывающих, как она меняется стечением времени. Такие уравнения называются кинетичес-кими. Итак, мы приступаем к выводу кинетических уравне-ний любви.

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 626

С кинетическими уравнениями многие из читателей навер-няка имели дело. Таковым является, например, уравнение,соответствующее второму закону Ньютона:

трdp

F Fdt

= - ,

в котором р – импульс тела, F – сила, увеличивающая егоимпульс, и трF – сила трения, уменьшающая импульс тела.Эти силы могут зависеть как от свойств самого тела, так и отсвойств других тел, с которыми оно взаимодействует. При-веденное уравнение описывает временнýю эволюцию им-пульса: оно показывает, как быстро изменяется импульс врезультате совместного действия двух сил.

Запишем в таком же виде наши кинетические уравнениялюбви:

11 12dJ

F Fdt

= + ,

21 22dR

F Fdt

= + ,

в которые мы включили четыре «любовные» силы 11F , 12F ,21F и 22F , определяющие эволюцию функций любви ( )J t и( )R t . Ясно, что эти силы не могут быть постоянными, так

как тогда скорости изменения любви dJ/dt и dR/dt такжебыли бы постоянными, а это означало бы бесконечный рост(или спад) любви, что противоречит опытным данным.Необходимо поэтому считать, что силы любви зависят отвремени t и от величин любви обоих влюбленных J и R:

( ) ( )( ), ,ik ikF F t J t R t= , где i, k = 1, 2. Однако в нашейпростой модели мы не будем учитывать явную зависимостьэтих сил от времени (в механике такая система называетсяавтономной) и будем считать, что любовные силы зависятисключительно от интенсивности любви партнеров, т.е.

( ) ( )( ),ik ikF F J t R t= .

Как уже отмечалось, модель, приближенно описывающаяреальную ситуацию, хороша тогда, когда соответствующиеуравнения можно решить. Полученная нами система кинети-ческих уравнений любви легко решается, если она линейна,т.е. силы ikF являются линейными функциями ( )J t и ( )R t .В этом приближении нашу систему уравнений можно запи-сать в виде

11 12dJ

a J a Rdt

= + ,

21 22dR

a J a Rdt

= + ,

где коэффициенты 11a , 12a , 21a и 22a – постоянные (независящие от времени) величины. Мы будем задавать пол-ный набор значений этих коэффициентов таблицей (онаназывается матрицей):

11 12

21 22

a a

a aΑ

ж ц= з чи ш

.

Для полной определенности нужно еще задать начальныеусловия. Пусть знакомство Ромео и Джульетты состоялосьв момент времени t = 0. Очевидно, что до этого момента J == 0 и R = 0. Однако в момент t = 0 величины J и R могутизмениться – приобрести, например, значения J(0) = 1 иR(0) = 1 (это называется взаимная любовь с первого взгляда)или J(0) = –1 и R(0) = –1 (взаимная антипатия) и т.п.

Начальные условия J(0) и R(0) вкупе с коэффициентамиika полностью определяют все дальнейшее развитие отноше-

ний между Ромео и Джульеттой. Если с начальными услови-ями все более или менее ясно, то коэффициенты ika могут

принимать разные (в том числе и по знаку) значения,которые зависят от индивидуальных особенностей влюблен-ных. Это приводит к необходимости понять, какие факторывлияют на любовь – способствуют ее росту или угасанию.Для этого мы обратимся к большому массиву эксперимен-тальных данных, накопленных в литературе и показываю-щих большое разнообразие соответствующих коэффициен-тов. Вот несколько примеров.

Чем меньше женщину мы любим,• Тем легче нравимся мы ей... 12 0a® < .

(А.С.Пушкин, «Евгений Онегин»)

Стыдливо-холодна, восторгу моемуЕдва ответствуешь, не внемлешь ничему

• И оживляешься потом все боле, боле – 12 0a® > .И делишь наконец мой пламень поневоле!(А.С.Пушкин, «Нет, я не дорожу мятежным наслажденьем»)

Любовь, которая внутри пылает, –• Душа всегда изгнать ее вольна. 11 22, 0a a® < .

(Данте, «Божественная комедия»)

С усильем тяжким и бесплодным,Я цепь любви хочу разбить.

• О, если б вновь мне быть свободным, 11 22, 0a a® < .О, если б мог я не любить!(Д. Мережковский, «Проклятие любви»)

Любовь, любить велящая любимым,• Меня к нему так властно привлекла… 11 22, 0a a® > .

(Данте, «Божественная комедия»)

• Я не любим, но как же я влюблен! 21 0a® < .(В.Шекспир, «Ромео и Джульетта»)

Но я полюбил ее с первого дня• За то, что она полюбила меня! 21 0a > .

(Роберт Бернс)

Поскольку наша задача – не социологическая, а математи-ческая, не будем углубляться в психологические тонкости ирассмотрим далее несколько разных ситуаций, которыемогут встретиться в жизни.

В принципе, аналитическое решение нашей системы ли-нейных уравнений (1) несложно найти. Однако мы не будемздесь этим заниматься и воспользуемся одной из программкомпьютерной математики, которая так и называетсяMathematica (сейчас доступна уже пятая версия этой про-граммы – Mathematica 5). Решение системы дифференци-альных уравнений (а наши уравнения – дифференциальные,так как содержат не только функции, но и их производные)в программе Mathematica производится очень просто –достаточно в окне этой программы написать:

J0 = 0; R0 = 1;a11 = 1; a12 = 1; a21 = 1; a22 = 1;t1 = 5;

NDSolve [ {J’[t] = = a11 J[t] + a12 R[t] , R’[t] == a21 J[t]+ a22 R[t], J[0] == J0, R[0] == R0}, {J, R}, {t, 0, t1} ];

Plot [Evaluate[{J[t], R[t]}/.%], {t, 0, t1}]

Здесь первые три строки – это начальные данные J(0) иR(0), значения коэффициентов ika и продолжительность 1tинтересующего нас промежутка времени (приведены чисто

(1)

иллюстративные значения), две последующие строки – ди-ректива NDSolve для решения нашей системы уравнений(N=Numerical – численный, D=Differential – дифференци-альный, Solve – решать) и, наконец, последняя строка –команда представления результатов в виде графика дляинтервала времени 10 t t< < (Plot – график, Evaluate –вычислить). Теперь остается только менять параметры моде-ли и анализировать получающиеся результаты. Именно этиммы сейчас и займемся.

Однако прежде введем для удобства последующего изло-жения несколько терминов-определений:

• Нарцисс ( H+ ) – человек, чья любовь к партнеру растеттем быстрее, чем больше он сам его любит (Джульетта –Нарцисс, если 11 0a > , Ромео – Нарцисс, если 22 0a > );

• анти-Нарцисс ( H- ) – человек, чья любовь к партнеруугасает тем быстрее, чем больше он сам его любит (Джуль-етта – анти-Нарцисс, если 11 0a < , Ромео – анти-Нарцисс,если 22 0a < );

• Дон Жуан ( ДЖ+ ) – человек, чья любовь к партнеруугасает тем быстрее, чем больше последний его любит(Джульетта – Дон Жуан, если 12 0a < , Ромео – Дон Жуан,если 21 0a < );

• анти-Дон Жуан ( ДЖ - ) – человек, чья любовь кпартнеру растет тем быстрее, чем больше последний еголюбит (Джульетта – анти-Дон Жуан, если 12 0a > , Ромео –анти-Дон Жуан, если 21 0a > ).

Для определенности можно считать, что классическиеперсонажи Дон Жуан и Нарцисс (в мужской или женскойипостаси) имеют коэффициенты 21 1a = + (или 12 1a = + ) и

22 1a = + (или 11 1a = + ) соответственно.В нашей модели существует бесконечное множество пар

влюбленных, отличающихся знаком и величиной коэффици-ентов ika , а также начальными условиями. Число различныхпар велико, даже если считать, что эти коэффициенты иначальные значения любви могут принимать всего лишь тризначения: 0, 1± . Количество таких пар равно 53 = 243. Нижемы ограничимся рассмотрением только этого варианта, врамках которого проанализируем эволюцию взаимной инеразделенной любви нескольких разных пар.

Взаимная любовь с первого взгляда(J(0) = +1, R(0) = +1)

1. Пара: Джульетта – ДЖ - , Ромео – ДЖ + ; 0 1

1 0Α

ж ц= з ч-и ш

Этот, на первый взгляд простой, случай приводит кдовольно интересному результату (рис.1): чувства влюблен-ных периодически меняют знак, переходя от любви к анти-патии. Однако чувства обоих остаются в ограниченномдиапазоне значений – ни бесконечной любви, ни бесконеч-ной ненависти не возникает. Соответствующие периодичес-кие (гармонические) функции сдвинуты друг относительно

друга на четверть периода, так что для бесконечного процес-са взаимная любовь (J > 0, R > 0) имела бы место в течение25% времени. В ходе первых десяти лет этот процентнесколько меньше – только 23,5%. При достаточном терпе-нии наша пара всегда может дождаться момента, когдаотношения вновь наладятся.

2. Пара: Джульетта – Н+ , Ромео – ( ДЖ Н+ ++ );1 0

1 1Α

ж ц= з ч-и шПо сравнению с предыдущим случаем Джульетта – не

анти-Дон Жуан, а Нарцисс. Это приводит к серьезномуконфликту отношений. Джульетта руководствуется толькособственным положительным чувством к Ромео, и ее любовьк нему непрерывно растет, в то время как чувство Ромео

постепенно охладевает (рис.2). Взаимная любовь ограниче-на во времени и исчезает через год, чтобы никогда больше невернуться. Трагедия!

Этот пример выявляет один из дефектов нашей простоймодели – ее результатом может быть неограниченно возрас-тающая (или убывающая) во времени любовь. Очевидно,этот результат противоречит экспериментальным данным. Вреальной жизни существует некий механизм ограничениялюбви и ненависти. Как можно это учесть в нашей модели (итем самым исправить ее), мы обсудим ниже.

Любовь/антипатия с первого взгляда(J(0) = +1, R(0) = –1)

1. Пара: Джульетта – Н+ , Ромео – ДЖ - ; 1 0

1 0Α

ж ц= з чи ш

Оказывается, даже в этом, казалось бы безнадежном,случае неудачного знакомства бывает счастливый исход.Немного (чуть более полугода) терпения со стороны Джуль-етты, и Ромео падает к ее ногам, сраженный силой ее любви(рис.3). Интересно, что похожая ситуация наблюдается и

Рис.1. Периодические изменения отношений

Рис.2. Кризис отношений

Рис.3. Счастливый исход сложных отношений

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 27

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 628

при других «конфигурациях» персонажей. Любовь побежда-ет антипатию, если

1 1

1 0Α

ж ц= з чи ш

или 1 0

1 1Α

ж ц= з чи ш

.

Правда, в последнем случае Джульетте надо быть болеетерпеливой: срок «созревания» Ромео составляет целый год.

2. Пара: Джульетта – ДЖ - , Ромео – ( ДЖ Н- -+ );0 1

1 1Α

ж ц= з ч-и шЭтот случай интересен сложными душевными пережива-

ниями Джульетты: сначала в ответ на холодность Ромео еечувство начинает спадать, но через 10 месяцев, пройдя через

минимум, устремляется вверх, возбуждая в Ромео все болеенарастающее ответное чувство (рис.4). Любовь торжествует!

Равнодушие/любовь с первого взгляда(J(0) = 0, R(0) = +1)

1. Пара: Джульетта – ДЖ - , Ромео – Н - ; 0 1

0 1Α

ж ц= з ч-и ш

Совершенно неожиданный результат развития событий вэтом случае: полное равнодушие Джульетты постепенноперерастает в любовь. Жаль только, что поздно – Ромео, в

отсутствие пылкого ответного чувства, наоборот, становитсяравнодушен к Джульетте (рис.5). Утешить их может лишьпримерно полуторо-двухлетний период взаимного увлече-ния, когда Джульетта уже неравнодушна к Ромео, а он ещене успел разлюбить ее. Очень жизненная ситуация!

2. Пара: Джульетта – ( ДЖ Н- -+ ), Ромео –

( ДЖ Н- -+ ); 1 1

1 1Α

-ж ц= з ч-и ш

Когда люди схожи характером (а это – тот самый случай),происходит маленькое чудо: достаточно одному из нихполюбить другого – и через какие-нибудь пару лет этотдругой (вначале совершенно равнодушный) воспылает лю-бовью к первому (рис.6). Наступит идиллия – они будутлюбить друг друга одинаково крепко, и это будет длитьсявечно!

Но настоящее чудо происходит в последнем из приводи-мых здесь примеров.

Взаимная антипатия с первого взгляда(J(0) = –1, R(0) = –1)

Пара: Джульетта – ( ДЖ Н+ -+ ), Ромео – ( ДЖ Н- -+ );1 1

1 1Α

- -ж ц= з ч-и шНеобходимое условие настоящего чуда: оба партнера –

анти-Нарциссы, но один из них – Дон Жуан, а другой – анти-Дон Жуан. В этом случае взаимная антипатия непостижи-мым образом перерастает во взаимную любовь. Впрочем, это

чудо не вечно: любовь сменяется полным равнодушием другк другу (рис.7). Но год общего счастья гарантирован!

Выше уже отмечалось, что наша простая модель в рядеслучаев приводит к выводу о возможности неограниченногороста любви (или антипатии). Но так можно и здоровьеподорвать! Между тем, давно замечено:

Люби умеренно – пролюбишь дольше.(В.Шекспир, «Ромео и Джульетта»)

Ошибка заключается в том, что мы не ввели в нашикинетические уравнения (1) никаких ограничений ростафункций J(t) и R(t) – правые части этих уравнений линейныпо J и R. Ограничить функции J(t) и R(t) можно введениемнелинейности в кинетические уравнения. Добавим, напри-

Рис.4. Превратности любви

Рис.5. Непродолжительное счастье

Рис.6. Вечная любовь

Рис.7. От ненависти до любви – один шаг

мер, в их правые части дополнительные слагаемые, квадра-тичные по J и R:

211 12

dJa J a R J

dtγ= + - ,

221 22

dRa J a R R

dtγ= + - .

Параметр γ должен быть положительным – тогда с ростомJ и R скорости dJ/dt и dR/dt изменения этих функцийбудут падать, что и предотвратит их неограниченный рост.

Посмотрим, как повлияет эта нелинейность на развитиесобытий в уже рассмотренном выше случае «Любовь/антипатия с первого взгляда» для второй пары (см. рис.4).Чтобы не менять полученные ранее результаты в том интер-вале, где J(t) и R(t) не очень велики, надо выбрать 1γ = –тогда дополнительными нелинейными слагаемыми в уравне-ниях (2) можно пренебречь. Положим, например, γ = 0,1 (и,естественно, добавим новые слагаемые в программуMathematica). Результат решения подправленной системыуравнений показан на рисунке 8. Видно, что любовь партне-ров через 10 лет насыщается.

Итак, ограничение любви (или ненависти) можно объяс-нить нелинейностью чувств, заложенной в нас Природой.

Нужно ли всерьез относиться ко всему вышеизложенно-му? И да, и нет. Конечно, наивно думать, что столь простаямодель действительно может описать все многообразие отно-шений между влюбленными. Например, она не включает всебя взаимодействие персонажей с другими людьми. Ещеодно неучтенное осложнение состоит в том, что вид уравне-

ний или, по крайней мере, значения входящих в негопараметров могут меняться со временем. Это называетсянеавтономностью, и поэты давно ее заметили:

Весной фантазия мужчиныЛегко склоняется к любви.(А.Теннисон, «Локсли-Холл»)

Но даже у примитивных моделей есть то положительноесвойство, что их опровержение или усовершенствованиезаставляет глубже взглянуть на суть явления, выявитьновые, не учтенные ранее факторы, оценить границы приме-нимости старой модели, выработать другой язык описания и,в конечном счете, предложить более точную новую модель.

Хотелось бы, однако, чтобы в рассматриваемом случаетакая модель не появлялась как можно дольше!

Рис.8. Насыщение отношений

(2)

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

Золотое сечениеи числа

ФибоначчиВ.БУГАЕНКО

Основные определения

ПУСТЬ НА ОТРЕЗКЕ AB РАСПОЛОЖЕНА ТОЧКА M. ОНАделит отрезок на две части. Если отношение длин боль-

шей части к меньшей равно отношению длины всего отрезкак длине большей части, то говорят, что точка делит отрезокв крайнем и среднем отношении, а само это отношениеназывают золотым сечением. Если считать, что AM MB³ ,то приведенное условие записывается в виде соотношения

AB AM

AM MB= . (1)

Существование и единственность золотого сечения мы дока-жем чуть ниже.

Последовательность, первые два члена которой равныединице, а каждый следующий равен сумме двух предыду-щих, называется последовательностью Фибоначчи, а еечлены – числами Фибоначчи. Вот несколько первых членовпоследовательности Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

На первый взгляд, золотое сечение и числа Фибоначчи никакне связаны между собой. Более того, они относятся к разнымразделам математики: золотое сечение – к геометрии, а числаФибоначчи – к алгебре. Однако же удивительным образомво многих задачах, связанных с золотым сечением, возника-ют числа Фибоначчи. И наоборот, в задачах о числахФибоначчи появляется золотое сечение. С некоторыми таки-ми примерами мы познакомимся в этой статье. Кроме того,мы увидим, что золотое сечение является пределом некото-рых естественным образом возникающих числовых последо-вательностей. Таким образом, мы получим наглядную иллю-страцию того, что вся математика едина, а различные ееразделы (алгебра, геометрия, математический анализ) тесновзаимосвязаны.

Для начала рассмотрим две несложные геометрическиезадачи, приводящие к понятию золотого сечения.

Золотой прямоугольник

Задача 1. Существует ли прямоугольник, который мож-но разрезать на две части, одна из которых являетсяквадратом, а вторая – прямоугольником, подобным исход-ному?

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 29

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 630

Решение. Очевидно, что,для того чтобы прямоуголь-ник был разрезан на два пря-моугольника, линия разрезадолжна быть параллельна егостороне. Пусть данный пря-моугольник ABCD разрезанпрямой MN так, что образо-вались квадрат AMND и пря-

моугольник BCNM (рис.1). Тогда условие подобия прямо-угольников ABCD и BCNM запишется в виде

AB BC

BC MB= ;

учитывая, что BC = AM, получаем соотношение (1), а это иозначает, что точка M делит отрезок AB в крайнем и среднемотношении. Поэтому такой прямоугольник существует, иотношение его сторон равно золотому сечению. Будем назы-вать его золотым прямоугольником.

Золотые треугольники

Задача 2. Существует ли равнобедренный треугольник,который можно разрезать на два различных равнобедрен-ных треугольника, один из которых подобен данному?

Решение. Обозначим исходный треугольник ABC. Линияразреза, очевидно, должна проходить через одну из его

вершин. Пусть линией разреза будет отрезок CM, где M –точка на стороне AB. Разберем отдельно два случая, когдаAB – основание и когда AB – боковая сторона треугольника.

Пусть AB – основание, а C – вершина равнобедренноготреугольника ABC (рис.2). Пусть треугольник CMB подо-бен треугольнику ABC, а ACM – не равный ему равнобедрен-ный треугольник. Тогда AM = AC = BC, MB = MC. Изподобия следует

AC AB

MB BC= ;

заменяя AC в числителе левой части и BC в знаменателеправой части на AM, получаем соотношение (1). А это иозначает, что точка M делит отрезок в крайнем и среднем

отношении. Таким образом, иско-мый равнобедренный треугольниктаков, что отношение его основанияк боковой стороне равно золотомусечению.

Теперь пусть основанием треуголь-ника является BC (рис.3). Очевид-но, что из двух частей подобнымтреугольнику ABC может являтьсятолько BCM. Имеем BC = CM = MAи AB = AC. Из подобия следует

BC AB

MB BC= ,

и, заменяя BC на AM, опять получа-ем соотношение (1). Значит, и в этом случае точка M делитотрезок в крайнем и среднем отношении. В этом треугольни-ке отношение стороны к основанию равно золотому сечению.

Итак, мы нашли два типа искомых треугольников. В обоихслучаях отношение сторон такого треугольника равно золо-тому сечению. Во втором случае это отношение боковойстороны к основанию, и треугольник получается остроуголь-ным, а в первом случае – наоборот, золотому сечению равноотношение основания к боковой стороне, и в этом случаетреугольник тупоугольный. Каждый из двух типов золотыхтреугольников разрезается на два золотых треугольникаразных типов.

Золотое сечение

Пришло время доказать существование и единственностьзолотого сечения, а заодно и вычислить его значение. Итак,пусть точка M делит отрезок AB в крайнем и среднем отно-шении, и предположим, что AM > MB. Обозначим AM =

= a, MB = b, a b ϕ= . По условию, a b a

a b

+= , или 1

b a

a b+ = ,

откуда получаем равенство

11 ϕ

ϕ+ = , (2)

которое сводится к квадратному уравнению относительно ϕ :2 1 0ϕ ϕ- - = . (3)

Это квадратное уравнение имеет корни 1 5

2

±, однако лишь

один из них является положительным числом. Следователь-

но, искомое отношение ϕ равно 1 5

2

+.

Углы золотых треугольников

Найдем, чему равны углы золотых треугольников. Снача-ла рассмотрим тупоугольный золотой треугольник (см. рис.2).Обозначим угол при его основании через α . Тогда

CAB CBA BCM αР = Р = Р = . Следовательно, AMCР =2α= , как внешний угол треугольника MBC. Отсюда

2ACM AMC αР = Р = , и 3ACB αР = . Получаем, что суммауглов треугольника ABC равна 5α , откуда 36α = ° . Итак,углы тупоугольного золотого треугольника равны 36° , 36°и 108° .

Теперь перейдем к остроугольному золотому треугольнику(см. рис.3). На этот раз обозначим через αугол BAC при вершине. Тогда ACM αР = ,поскольку треугольник MAC равнобедренный,и BCM αР = , поскольку треугольники ABC иCMB подобны. Таким образом, угол при осно-вании треугольни-ка ABC равен 2α ,поэтому сумма уг-лов треугольникаравна 5α , откуда

36α = ° . Итак,углы остроугольного золотого треугольника равны 36° , 72°и 72° .

Разрезав золотые треугольники по оси симметрии на дваравных прямоугольных треугольника (рис. 4), можно легконайти тригонометрические функции некоторых углов, свя-занных с этими треугольниками:

5 1sin 54 cos 36

4

+° = ° = ;

5 1sin18 cos 72

4

-° = ° = .

Эти равенства дают возможность найти тригонометрическиефункции всех углов, кратных 18° . Они дополняют хорошоизвестные «табличные» синусы и косинусы углов, кратных30° и 45° .

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Правильный пятиугольник

Если провести все диагонали правильного пятиугольникаABCDE (рис.5), то получится правильная пятиконечнаязвезда, высекающая внутри себя меньший правильный пяти-угольник 1 1 1 1 1A BC D E . Углы правильного пятиугольника

равны 108° , а углы прилучах правильной пятико-нечной звезды равны 36° .Эти же величины являют-ся углами золотых тре-угольников. Поэтому в по-лучившейся конструкцииможно найти много золо-тых треугольников, неко-торые из них разрезаны наменьшие золотые треуголь-ники описанным выше спо-собом. Например, золотойтупоугольный треугольникABC разрезан линией 1BDна два золотых треуголь-

ника. Один из них – треугольник 1BDC – в свою очередьразрезан на два меньших золотых треугольника отрезком

1BE . А отрезок 1AE разрезает золотой остроугольныйтреугольник ABD на два золотых треугольника.

Золотые треугольники могут быть построены с помощьюциркуля и линейки. Действительно, для этого достаточнопостроить два отрезка, отношения длин которых равно ϕ .Затем из двух длинных и одного короткого получаетсяостроугольный золотой треугольник, а из двух коротких иодного длинного – тупоугольный. Осталось показать, какувеличить данный отрезок в ϕ раз. Один из возможныхспособов – это действовать «в лоб». Пусть мы имеем отре-зок длины b. Сначала строим прямоугольный треугольникс катетами b и 2b. Его гипотенуза равна 5b . Затем этугипотенузу удлиняем на b и результат делим пополам.

Тем самым, мы умеем строить с помощью циркуля илинейки угол в 108° , являющийся углом правильного пя-тиугольника. А значит, мы попутно нашли решение клас-сической задачи о построении правильного пятиугольника.Действительно, для этого достаточно построить пятизвен-ную ломаную с равными звеньями и углами по 108° .После откладывания пятого звена она замкнется, и темсамым будет получен правильный пятиугольник. Основан-ный на той же идее, но более изящный способ построенияправильного пятиугольника приведен в упражнении 2.

Число j и последовательность Фибоначчи

Найдем приближенное значение числа ϕ : ϕ = 1,61803...Обратная величина к ϕ равна 0,61803... Золотое сечение –единственное положительное число, обратное к которомуполучается вычитанием единицы. Это следует из равенства(2). Аналогично, из равенства (3) получаем, что для возве-дения числа ϕ в квадрат достаточно добавить к немуединицу: 2 1ϕ ϕ= + . Зададимся вопросом: можно ли так жепросто вычислить другие степени числа ϕ ? Воспользовав-шись формулой для квадрата, получаем искомые формулыдля последующих степеней:

( ) ( ) ( )3 2 21 1 1 2ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = + = + = + + = + ;

( ) ( ) ( )4 3 21 2 2 2 1 2 3ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = + = + = + + = + ;

( ) ( ) ( )5 4 22 3 2 3 2 3 1 3 5ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = + = + = + + = + ;

…

Нетрудно заметить закономерность:

1n

n nf fϕ ϕ-= + , (4)

где nf – последовательность Фибоначчи. Ее легко доказать,используя метод математической индукции. В качестве базыиндукции можно взять уже проверенные равенства для n == 2 и 3. А шаг индукции заключается в простой выкладке:

( ) ( )11

n nn nf fϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+-= = + =

= ( )21 1 1n n n nf f f fϕ ϕ ϕ ϕ- -+ = + + =

= ( )1 1n n n n nf f f f fϕ ϕ- ++ + = + .

Рассмотрим теперь число 1 5

2ϕ

-= – отрицательный

корень уравнения (3). Для его n-й степени выполняетсятакая же формула, как и для числа ϕ :

1n

n nf fϕ ϕ-= + . (5)

Действительно, доказывая формулу (4), мы пользовалисьлишь тем, что число ϕ является корнем уравнения (3), азначит, она останется верной при замене ϕ на другой кореньтого же уравнения. Вычтя (5) из (4), получаем

( )n nnfϕ ϕ ϕ ϕ- = - , откуда следует

n n

nfϕ ϕ

ϕ ϕ

-=

-, или, после

замены ϕ и ϕ на их явные выражения,

1 5 1 5

2 2

5

n n

nf

ж ц ж ц+ --з ч з чи ш и ш

= . (6)

Эта формула позволяет вычислять число Фибоначчи непос-редственно через его номер, не вычисляя все предыдущие, иназывается формулой Бинэ. На первый взгляд может пока-заться удивительным, что иррациональное выражение, сто-ящее в ее правой части, дает целое число при любом n.

Записав формулу Бинэ в виде разности

5 5

n n

nfϕ ϕ

= - , (7)

заметим, что вычитаемое в правой части является числом, помодулю меньшим 1 5 , а его знак зависит от четности n.Поэтому n-е число Фибоначчи можно вычислить как бли-

жайшее целое число к 5

n

nfϕ

= . При этом округление проис-

ходит в меньшую сторону при четных n и в большую сторонупри нечетных n.

Замечательные пределы, связанные с золотым сечением

Фундаментальное значение золотого сечения обосновыва-ется также тем, что ϕ является пределом некоторых простыхи естественным образом определенных числовых последова-тельностей. В качестве примера приведем два бесконечныхвыражения для числа ϕ :

1 1 1 1ϕ = + + + +K , (8)

11

11

11

11

ϕ = ++

++O

. (9)

Рис. 5

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 31

(Продолжение см. на с. 34)

32

Бесконечность в задачахВ каждой задаче этого калейдоскопа речь идет так или

иначе о чем-то бесконечном (например, о плоскости илидесятичной дроби). Разумеется, можно придумать скольугодно много задач, в которых участвует нечто беско-нечное. Мы же ограничимся очень небольшим числомтем, и в каждой приведем несколько красивых приме-ров.

Фигуры на плоскости

1. Можно ли покрыть плоскость бесконечным чис-лом квадратов, среди которых ровно два одинаковых?Квадраты не могут перекрываться.

Ответ: да, можно. Нарисуем квадрат со стороной 1, приста-вим к нему слева квадрат со стороной 1, чтобы получился

прямоугольник 1 2ѣ , к этому пря-моугольнику приставим снизу квад-рат со стороной 2, чтобы получилсяпрямоугольник 2 3ѣ , к нему приста-вим справа квадрат со стороной 3 и такдалее: будем заполнять плоскость «поспирали», каждый раз приставляя кимеющейся фигуре квадрат так, что-бы его сторона совпала с одной изсторон фигуры. Ясно, что любая точ-ка плоскости будет покрыта одним изквадратов. Кстати, длины сторон этихквадратов образуют последователь-

ность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...– подробно о нейрассказано в этом номере журнала в рубрике «Математичес-кий кружок».

Подумайте над более сложным вопросом: можно ли по-крыть плоскость бесконечным числом неперекрывающихсяквадратов, среди которых нет одинаковых?

2. Можно ли покрыть плоскость конечным числома) внутренностей парабол;

б) внутренностей углов,сумма которых меньше 360o ?

Приведем решение пункта а).Ответ: нельзя. Предположим, чтотакие параболы найдутся. Заме-тим, что внутренность параболыпересекается с прямой по беско-нечному куску только в случае,если прямая параллельна оси па-раболы. Проведем прямую, не па-

раллельную ни одной из осей наших парабол (это возможно,так как их конечное число). Тогда каждая парабола пересечетэту прямую по отрезку, а так как отрезков будет конечноечисло, то даже эта прямая не будет покрыта.

Бесконечные графы

3. Пусть известно, что человечество бессмертно, акаждый человек смертен. Число людей в каждомпоколении конечно. Докажите, что найдется беско-нечная цепочка мужчин, начинающаяся с Адама (каж-дый следующий в цепочке – сын предыдущего).

Построим такую картинку. На первом этаже разместимодну точку – она будет изображать Адама. Из нее выпустим

столько стрелок, сколько былоу Адама сыновей, на второйэтаж (концы стрелок соответ-ствуют сыновьям Адама). Изкаждой точки–человека второ-го этажа выпустим стрелки натретий этаж (стрелки опятьсоответствуют сыновьям), и такдалее. Получим систему точеки стрелок из бесконечного числа этажей (так как человечествобессмертно), но на каждом этаже будет конечное число точек.

Ясно, что есть бесконечное количество конечных путей,идущих по стрелкам, с началом в точке первого этажа. Надодоказать, что есть бесконечный путь. Объясним, как егонайти. Первой в нем будет точка первого этажа. Так как естьбесконечно много путей, ведущих из точки первого этажа, тона втором этаже найдется точка, через которую проходитбесконечно много путей. Эта точка будет второй в нашем пути.Рассмотрим все пути, проходящие через выбранные дветочки, – их бесконечно много, и значит, на третьем этаженайдется точка, через которую проходит бесконечно много изних. Выберем ее третьей. Каждый раз мы сможем достраиватьнаш путь, увеличивая его длину, и в итоге получится бесконеч-ный путь.

4. Имеется язык с конечным алфавитом. Словом вэтом языке называется любая (конечная или беско-нечная) последовательность букв из алфавита этогоязыка. Часть слов (конечной длины) в языке – непри-личные. Назовем слово абсолютно приличным, если внем нет неприличных подслов. Известно, что суще-ствуют сколь угодно длинные абсолютно приличныеслова. Докажите, что существует бесконечно длин-ное абсолютно приличное слово.

Преследования на плоскости

5. Игра происходит на плоскости. Играют двое:первый передвигает одну фишку-волка, второй – 99фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец,затем после следующего хода волка – опять какая-нибудь из овец и т.д. И волк, и овцы передвигаются заодин ход в любую сторону не более чем на один метр.Верно ли, что при любой первоначальной позиции волкпоймает хотя бы одну овцу (окажется с ней в однойточке)?

Ответ: неверно. Нарисуем на плоскости 100 параллельныхпрямых так, чтобы расстояние между соседними прямымиравнялось 3 метрам. Разместим овец на разные прямые,каждая в дальнейшем будет двигаться только по своей пря-мой. Волка поместим на сотую прямую.

Приведем алгоритм поведения овец, при котором расстоя-ние от волка до любой овцы перед ходом волка всегда будетбольше метра. Если расстояние от волка до каждой из овецбольше метра, двигаем любую овцу (вдоль ее прямой) так,чтобы она удалилась от волка. Как только волк приближаетсяк какой-то из овец на расстояние 1 метр или ближе (такая овцаможет быть ровно одна), сдвигаем овцу по ее прямой в однуиз сторон на 1 метр так, чтобы расстояние между ней и волкомстало больше метра.

6. Город представляет собой бесконечную клетча-тую плоскость (линии – улицы, клеточки – кварта-лы). На одной из улиц через каждые 100 кварталов наперекрестках стоит по милиционеру. Где-то в городеесть бандит (его местонахождение неизвестно, ноперемещается он только по улицам). Цель милиции –увидеть бандита. Есть ли у милиции алгоритм навер-няка достигнуть своей цели? Максимальные скоростимилиции и бандита – какие-то конечные, но неизвес-тные нам величины (у бандита скорость может бытьбольше, чем у милиции). Милиция видит вдоль улиц вовсе стороны на бесконечное расстояние.

Выберем систему координат так, чтобы милиционеры сто-яли на улице y = 0 в точках (0; 0), (100; 0), (–100; 0), (200;0),(–200;0) и т.д. Пусть милиционеры, стоящие в точках вида

(200k; 0), где 0, 1, 2,k = ± ± K , останутся на месте. Тогдабандит окажется внутри некоторой полосы между прямымиx = 200m и x = 200(m + 1); он сможет двигаться внутри этополосы, но не сможет выбраться за ее пределы.

Остальные милиционеры (назовем их патрульными) пустьдвижутся по улице y = 0 в направлении точки (0; 0) доближайшего к ней перекрестка, до которого еще не доходилникто из патрульных. Дойдя до перекрестка (n; 0), патруль-ный сворачивает на перпендикулярную улицу и движется поней до точки (n; n) и там останавливается. В результатепостепенно патрульные будут занимать все перекрестки напрямой y = x. Докажите, что, действуя таким образом,милиционеры через некоторое время смогут увидеть бандита.

7*. В городе из предыдущей задачи трое полицейскихловят вора (местонахождение вора неизвестно, ноперемещается он только по улицам). Максимальныескорости у полицейских и вора одинаковы. Вор счита-ется пойманным, если он оказался на одной улице сполицейским. Как полицейским поймать вора?

Бесконечные десятичные дроби

8. Докажите, что любое действительное положи-тельное число можно представить в виде суммыдевяти чисел, десятичная запись каждого из которыхсостоит только из цифр 0 и 8.

Легко представить любое положительное число в видесуммы девяти чисел, запись которых состоит только из нулейи единиц (проверьте). Теперь решим исходную задачу. Пустьнам надо представить число a. Представим сначала числоa/8 в виде суммы девяти чисел, записи которых состоят толькоиз нулей и единиц, а затем домножим каждое из этих чисел на8 – получим искомые 9 чисел, сумма которых равна a.

9. Докажите, что в любой бесконечной десятичнойдроби можно так переставить цифры, что получен-ная дробь станет периодической (возможно, с предпе-риодом).

Если в записи дроби есть цифры, встречающиеся в этойзаписи конечное число раз, то перенесем их все в начало(запишем подряд сразу после запятой). Остальные цифрывстречаются бесконечное число раз. Пусть это, например,цифры 2, 5, 7 и 8. Тогда можно переносить их последовательнов начало так, чтобы они шли в порядке 257825782578... В итогеполучится периодическая дробь.

Роботы на клетчатой плоскости

Робот – это машина с конечной памятью, способнаявыполнять программу конечной длины. У робота естьнесколько флажков. Робот может выполнять следую-

щие действия:– попав в клетку, проверить, есть ли там флажок;– сдвинуться на одну из соседних клеток (на плоско-

сти – влево, вправо, вверх, вниз);– установить или снять флажок в клетке, где робот

находится.10. Робот с двумя флажками стоит на одной из

клеток бесконечной клетчатой полоски шириной водну клетку. Как ему действовать, чтобы обойти всюполоску, т.е. побывать на каждой ее клетке хотя быраз?

Ставим в клетку флажок, сдвигаемся влево, ставим в клеткувторой флажок. Далее действуем по очень простому алгорит-му: сдвигаемся вправо, пока не дойдем до флажка, снимаемфлажок, сдвигаемся еще наклетку вправо, ставим фла-жок и движемся влево дофлажка, передвигаем его наклетку влево и возвращаемся в начало алгоритма (движемсявправо до флажка и т.д.).

11. Как роботу с четырьмя флажками обойтиклетчатую плоскость? Можно ли обойтись тремяфлажками?

Алгоритм «обходить плоскость по спирали», чередуя ходывлево, вверх, вправо и вниз, периодически увеличивая длинухода на 1 клетку, не годится: роботу придется запоминать всебóльшие и бóльшие числа, а его память конечна.

Расположим четыре флажка в клетках квадрата 2 2ѣ .Далее будем «расширять» квадрат, например так. Сдвигаемлевый верхний флажок влево ивверх, идем из этой клетки впра-во, проверяя, нет ли под намифлажка. Если есть, сдвигаем еговправо и вверх, затем из этойклетки идем вниз, проверяя, нетли слева от нас флажка, и такдалее. В результате мы будем об-ходить плоскость, двигаясь «поспирали».

Оказывается, достаточно даже трех флажков (подсказкаизображена на рисунке).

12. Сможет ли робот обойти клетчатое трехмер-ное пространство, имея всего три флажка?

13. Как роботу обойти клетчатую полуплоскость,имея всего один флажок? Граница полуплоскостиявляется стенкой. Изначально робот стоит у стен-ки. Робот видит стенку, когда оказывается рядом сней.

14. На плоскость высадили двух совершенно одина-ковых роботов. У каждого есть несколько флажков.Робот отличает свои флажки от чужих. Как имвстретиться? Программы у них должны быть одина-ковыми.

Если бы у роботов могли быть разные программы, тоорганизовать встречу было бы легко: один робот стоит наместе, а другой обходит плоскость, используя три флажка. Нороботы сделаны на одном конвейере, и программы поведенияу них одинаковые. Попробуйте придумать программу, позво-ляющую роботам встретиться, используя как можно меньшефлажков.

Материал подготовилиС.Дориченко, А.Николаев

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 634

Для обоснования формулы (8) рассмотрим задаваемое еючисло ϕ (мы пока не знаем, что это и есть золотое сечение,а лишь будем это доказывать). Заметим, что в правой частиформулы под знаком корня стоит сумма двух слагаемых –единицы и выражения, совпадающего со всей правой частью

формулы. Отсюда получаем уравнение 1ϕ ϕ= + , легкосводящееся к квадратному уравнению (3). Нам подходитлишь положительный корень этого уравнения, следователь-но, рассматриваемое число ϕ и есть золотое сечение. Анало-

гично, формула (9) сводится к уравнению 1

1ϕϕ

= + , кото-

рое опять же приводит нас к квадратному уравнению (3). Азначит, число ϕ , определяемое формулой (9), также равнозолотому сечению.

Конечно же, приведенные в предыдущем абзаце рассужде-ния не являются вполне строгими. Чтобы избавиться от этогонедостатка и придать им строгость, нужно прежде всегоопределить, что означают бесконечные выражения в правыхчастях формул (8) и (9). Правая часть формулы (8) – это,по определению, предел последовательности

корней

1 1 1n

n

a = + + +K144424443

. (10)

Она задается рекуррентным соотношением

1 1a = , 11n na a -= + .

Таким образом, уравнение 1ϕ ϕ= + возникает как пере-ход к пределу в правой и левой частях рекуррентногосоотношения. Такой переход допустим, если рассматривае-мая последовательность сходится. То же самое касается иправой части формулы (9), означающей предел последова-тельности

11

11

11

1

1

nb = ++

+

+

O

которая может быть задана рекуррентно:

1 1b = , 1

11n

n

bb -

= + .

Переход к пределу в этом соотношении приводит нас к

уравнению 1

1ϕϕ

= + . Обе рассматриваемые последователь-

ности состоят из положительных чисел, поэтому искомыйпредел не может быть отрицательным, а значит, можноограничиться рассмотрением лишь неотрицательных корнейуравнений. Для завершения доказательства формул (8) и(9) осталось лишь доказать, что рассматриваемые последо-вательности (10) и (11) сходятся. Оставим это в качествеупражнения для читателей, знакомых с теоремой Больцано–Вейерштрасса.

Напоследок докажем, что отношение двух последователь-ных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению. При-

меняя формулу Бинэ и воспользовавшись тем, что 1ϕ

ϕ< ,

получаем1

1 11

1

lim lim lim

1

n

n nn

n n nn n nn

f

f

ϕ

ϕϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

+

+ ++

®¥ ®¥ ®¥

ж ц- з чи ш-

= = Ч =- ж ц

- з чи ш

.

Более подробную информацию о числах Фибоначчи мож-но почерпнуть в книге Н.Н.Воробьева [1]. Советуем такжепрочитать соответствующие главы из книг замечательногопопуляризатора математики Мартина Гарднера [2, 3] и по-священную золотому сечению главу из классической книгиГарольда Кокстера [4].

Упражнения

1. Обоснуйте следующий способ деления отрезка AB в край-нем и среднем отношении с помощью циркуля и линейки(рис.6). На перпендикуля-ре к отрезку AB в точке Bоткладывается отрезок BC,равный половине отрезкаAB. Точки A и C соединя-ются отрезком и на немоткладывается отрезок CK,равный CB. На отрезке ABоткладывается отрезок AM,равный AK. Точка M явля-ется искомой.

2. Обоснуйте следующий способ построения правильногопятиугольника с помощью циркуля и линейки (рис.7). В окруж-ности с центром O проводит-ся диаметр BC и перпендику-лярный ему радиус OA. Да-лее радиус OB делится попо-лам точкой D. На отрезкеDC откладывается отрезокDE, равный DA. Отрезок AEравен стороне правильногопятиугольника, вписанного висходную окружность. Оста-лось отложить его последо-вательно пять раз в виде хордисходной окружности.

3. Перечислите все равнобедренные треугольники, которыеможно разрезать на два равнобедренных треугольника.

4. Докажите с помощью формулы бинома Ньютона, чтоправая часть формулы Бинэ является целым числом при лю-бом n.

5. Назовем последовательность, каждый член которой, начи-ная с третьего, равен сумме двух предыдущих (а первые двачлена могут быть произвольными), обобщенной последователь-ностью Фибоначчи. Найдите формулу, выражающую произ-вольный член обобщенной последовательности Фибоначчи че-рез ее номер n и два первых члена a и b.

6. Докажите, что последовательности (10) и (11) сходятся.7. Докажите, что общий член последовательности (11) может

быть записан в виде 1nn

n

fb

f+= .

Литература

1. Н.Н.Воробьев. Числа Фибоначчи. (М.: Наука, 1992)2. М.Гарднер. Математические головоломки и развлечения.

Глава 23: Число ϕ – золотое сечение. (М.: Мир, 1999)3. М.Гарднер. Математические новеллы. Глава 32: Числа Фибо-

наччи. (М.: Мир, 2000)4. Г.С.М.Кокстер. Введение в геометрию. Глава 11: Золотое

сечение и филлотаксис. (М.: Наука, 1966)

Рис. 6

Рис. 7

(Начало см. на с. 29)

n «этажей», (11)

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

Движениепроводникав магнитном

полеА.ЧЕРНОУЦАН

ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ УТВЕРЖДАЕТ,что электродвижущая сила (ЭДС) индукции в контуре

возникает при любом изменении магнитного потока черезконтур и по модулю равна скорости изменения магнитногопотока:

( )инд tt

∆ΦΦ

∆= - = - ¢E . (1)

Знак «минус» формально отражает правило Ленца дляопределения направления ЭДС индукции (точнее – индук-ционного тока) и имеет практический смысл только в томслучае, если контур предварительно ориентирован, т.е. вза-имосвязанно определены положительное направление нор-мали к контуру и положительное направление его обхода.

Слова «при любом изменении» выделены для того, чтобыподчеркнуть универсальность формулы (1): она дает пра-вильный ответ в двух существенно различных случаях.

Первый случай: контур неподвижен, магнитное поле зави-сит от времени. В этой ситуации роль сторонней силы,приводящей в движение заряды в контуре, играет сила состороны вихревого электрического поля, которое возникаетпри любом изменении магнитного поля со временем.

Второй случай: магнитное поле не меняется, магнитныйпоток изменяется за счет перемещения в пространстве всегоконтура или его частей. В такой ситуации роль стороннейсилы выполняет сила Лоренца, действующая на свободныезаряды проводника при его движении.

Универсальность формулы (1) является следствием принципаотносительности Эйнштейна. При переходе из одной инерциаль-ной системы отсчета в другую меняется состав электромагнитно-го поля, т.е. соотношение между электрическим и магнитнымполями, но индукционный ток в контуре наблюдается в любомслучае. В качестве примера рассмотрим проводящее кольцо,которое с постоянной скоростью приближается к неподвижномумагниту. С точки зрения неподвижного наблюдателя, ток вкольце возникает под действием только сил Лоренца. Если жеперейти в систему отсчета, связанную с кольцом, то индукцион-ный ток создается только вихревым электрическим полем (силаЛоренца на неподвижные заряды не действует).

В этой статье мы рассмотрим задачи, связанные со вторымслучаем, т.е. с движением проводников в постоянном маг-нитном поле. Для вычисления электродвижущей силы ин-дукции можно использовать как формулу (1), так и прямоеопределение ЭДС через работу сторонних сил, т.е. в данномслучае силы Лоренца. В некоторых ситуациях нужно ис-

пользовать первый подход, в других одинаково удобны обаподхода, но в ряде случаев, как мы убедимся, второй подходимеет существенное преимущество.

Задача 1. Медное кольцо радиусом r = 5 см помещают воднородное магнитное поле с индукцией B = 8 мТл перпен-дикулярно линиям индукции. Какой заряд пройдет покольцу, если его повернуть на 180° вокруг оси, совпадающейс его диаметром? Сопротивление единицы длины кольца

lρ  = 2 мОм/м.Решение. Эту задачу надо решать с помощью формулы

(1). Начальный магнитный поток равен 1 BSΦ = (нормальвыбрана вдоль вектора B

ur), конечный поток составляет

2 BSΦ = - , и прошедший заряд вычисляется так:

срср

2t BSq I t t

R t R R R

∆Φ ∆ ∆Φ∆ ∆

∆= = = - = - =

E

(мы применили закон Ома для полной цепи IR

=E

). Под-ставляя 2S rπ= , 2lR rρ π= Ч , получим

200мКлl

Brq

ρ= = .

Задача 2. Сторона прямоугольного каркаса, имеющаядлину l = 10 см, скользит со скоростью v = 1 м/с по двумдругим сторонам, оставаясь с ними в электрическом кон-такте. Плоскость прямоугольника перпендикулярна лини-ям индукции однородного магнитного поля B = 0,01 Тл.Найдите силу тока в прямоугольнике через t = 0,9 с посленачала движения. Сопротивление единицы длины провода

lρ = 1 Ом/м. В начальный момент площадь прямоугольни-ка равна нулю.

Решение. В этой задаче ЭДС индукции одинаково простополучить и из формулы (1), и через силу Лоренца.

Направив положительную нормаль вдоль вектора Bur

(рис.1), получим BlxΦ = , Bl x∆Φ ∆= , откуда

индx

Bl Bvlt t

∆Φ ∆

∆ ∆= - = - = -E .

Знак «минус» позволяет найти направление ЭДС – противположительного направления обхода (см. рис.1). Величинутока в контуре находим из закона Ома для полной цепиI R= E , где сопротивление контура в данный моментвремени равно ( )2 2lR l vtρ= + . Окончательно получаем

( )2 2l

BvlI

l vtρ= =

+

= 500 мкА.

Теперь посмотрим, какнаходить ЭДС индукциипрямо из определения –через работу сторонних(не электростатических)сил по переносу единичного пробного заряда. В данномслучае сторонняя сила – это сила Лоренца, возникающая засчет движения зарядов вместе с проводником:

индE( )сторA qvB l

Bvlq q

= = = . (2)

Видим, что модуль ЭДС совпадает с полученным выше.Совпадают и направления индукционного тока: оно в данномподходе определяется направлением силы Лоренца, котороенаходится мгновенно (без необходимости ориентироватьконтур и выбирать нормаль).

Основное преимущество второго подхода состоит в том,что он позволяет естественным образом вычислять ЭДС

Рис. 1

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 636

Рис. 2

Рис. 3

индукции в изолированном проводнике, движущемся в маг-нитном поле. Применение формулы (1) затрудняется тем,что иногда в задаче отсутствует контур из проводников иприходится вводить воображаемый «заметаемый» контур.Вывод формулы (2) свободен от этих недостатков. Болеетого, этот подход позволяет легко разобраться с вычислени-ем ЭДС индукции при произвольном взаимном расположе-нии проводника, вектора его скорости (при поступательномдвижении проводника) и вектора магнитной индукции. По-скольку в работу силы Лоренца войдет только ее составля-ющая, направленная вдоль проводника, то у векторов v

r и B

ur

надо оставить только составляющие, перпендикулярные кпроводнику. Если угол между этими составляющими равенα , то

( )инд

sinsin

qv B lB v l

q

αα⊥ ⊥

⊥ ⊥= =E . (3)

Задача 3. Самолет летит горизонтально со скоростьюv = 900 км/ч. Найдите разность потенциалов, возникаю-щую между концами его крыльев, если вертикальная со-ставляющая индукции магнитного поля Земли вертB  == 50 мкТл, а размах крыльев l = 12 м.

Решение. Изолированный проводник, движущийся в маг-нитном поле, надо рассматривать как источник в разомкну-той цепи, а разность потенциалов на зажимах такого источ-ника равна его ЭДС. Более подробно: сторонние силы (силаЛоренца) вызывают перемещение свободных зарядов до техпор, пока возникшее электростатическое поле разделенныхзарядов не уравновесит действие сторонних сил. Посколькукрылья самолета и его скорость горизонтальны, то остаетсятолько вертикальная составляющая магнитного поля вертB(в формуле (3) вертsinB Bα⊥ = ). Получаем

вертB vl∆ϕ = = 150 мВ.

Подход с силой Лоренца позволяет вычислять ЭДС индук-ции и разность потенциалов не только при поступательном,но и при вращательном движении проводника.

Задача 4. С какой угловой скоростью надо вращатьпрямой проводник вокруг оси, проходящей через один егоконец, в плоскости, перпендикулярной линиям однородногомагнитного поля с индукцией B = 0,2 Тл, чтобы в провод-нике возникла ЭДС индукции индE = 0,3 В? Длина провод-ника l = 20 см.

Решение. В этом случае сила Лоренца, действующая напробный заряд q, зависит от расстояния x до оси вращения:

ЛF qvB q xBω= = ,

но поскольку зависимость линейная, то работа этой силывдоль проводника легко вычисляется:

( )стор1

02

A q lB lω= + .

Тогда ЭДС индукции, возникающая в проводнике, равна

стор 2инд

1

2

AB l

qω= =E ,

откудаинд

2

275рад с

l Bω = =

E.

Наиболее важное преимущество подхода с вычислениеминдE через силу Лоренца проявляется в задачах с разветв-

ленной схемой, где движущийся проводник входит не в один,а, скажем, в два контура.

Задача 5. Из проволоки, сопротивление единицы длиныкоторой lρ  = 0,1 Ом/м, сделали квадрат и поместили его

в однородное магнитное поле с индукцией B = 4 мТлперпендикулярно линиям поля. По двум противоположнымсторонам квадрата скользит со скоростью v = 0,3 м/сперемычка из такой же проволоки, оставаясь параллельнойдвум другим сторонам. Чему равен ток через перемычку втот момент, когда она делит квадрат пополам?

Решение. При попытке использовать формулу (1) мысталкиваемся с тем, что индE каким-то образом (формула неконкретизирует) распределена как в левом, так и в правомконтуре (рис.2,а), которые имеют общее сопротивление –движущуюся перемычку. Нарисовать в этих условиях экви-валентную схему для расчета токов представляется затруд-нительным.

Напротив, при втором подходе мы знаем, что сторонниесилы и индE локализованы только в движущейся перемычке,а в остальных частях контура сторонние силы отсутствуют.Это позволяет однозначно составить эквивалентную схему(рис.2,б), в которой инд Bva=E , lr aρ= , 1 2 2lR R aρ= = Ч ,где а – сторона квадрата. Полное внешнее сопротивлениеравно ( )1 2 1 2 lR R R R R aρ= + = , и ток через перемычку (че-рез источник) равен

инд

2l l l

Bva BvI

r R a aρ ρ ρ= = = =

+ +E

6 мА.

Вычисление ЭДС индукции через силу Лоренца обладаетеще одним важным преимуществом. Такой подход позволяетприменить энергетические соображения, опирающиеся наочень простое свойство силы Лоренца: поскольку эта силаперпендикулярна скорости заряда, полная работа сил Ло-ренца над всеми зарядами проводника равна нулю. Этозначит, что работа постоянного магнитного поля над заряда-ми в замкнутом контуре в качестве сторонней силы точноравна по величине и противоположна по знаку механическойработе магнитного поля (силы Ампера) над движущимсяпроводником с током.

Задача 6. Длинную проволоку согнули под углом αтаким, что sin α  = 0,6, и поместили в однородное маг-нитное поле с индукцией B = 0,1 Тл перпендикулярнолиниям поля. Вдоль сторон угла равномерно перемещаютперемычку из такой же проволоки так, что она все времяобразует прямой угол с одной из его сторон. В начальныймомент перемычка находится на расстоянии 1x  = 0,2 м,а через время t = 1 с – на расстоянии 2x  = 0,6 м отвершины угла. Какое количество теплоты выделилось всистеме за это время?Сопротивление единицыдлины проволоки lρ == 0,01 Ом/м.

Решение. Начнем стого, что вычислим ток вконтуре. Если в какой-томомент перемычка нахо-дится на расстоянии x отвершины угла (рис.3), то

длина перемычки между точками контакта равна tgl x α= ,откуда для ЭДС индукции получаем

инд tgBvl Bvx α= =E ,

где ( )2 1v x x t= - . Сопротивление контура в этот же моментравно

tgcosl

xR x xρ α

α

ж ц= + +з чи ш .

Видно, что сила тока в цепи

инд tg1

1 tgcosl

BvI

R

α

ρ αα

= = =ж ц+ +з чи ш

E

( )

sin1 A

1 sin cosl

Bv α

ρ α α=

+ +

не зависит от x, т.е. остается постоянной.Тепловая мощность 2P I R= линейно зависит от x, а

значит, и от t. Это позволяет вычислить выделившееся теплов лоб, используя график зависимости P(t) (или интегри-руя). Попробуйте сделать это самостоятельно, мы же пойдемнесколько иным путем.

Поскольку выделившееся количество теплоты (точнее,увеличение внутренней энергии системы) равно работе сто-ронних сил, а эта работа, в свою очередь, равна работе силыАмпера (с противоположным знаком), то можно вместоколичества теплоты вычислить механическую работу. СилаАмпера

A tgF IBl IBx α= =

линейно зависит от x, поэтому ее работа (по модулю) равна

( ) ( )1 2 2 11

2A F F x x= + - = ( )2 2

2 11

tg 12 мДж2

IB x xα Ч - = .

Задача 7. По П-образной рамке, помещенной в однородноемагнитное поле, перпендикулярное плоскости рамки, дви-жется без трения с постоянной скоростью v = 2 м/сперемычка, сопротивление которой R = 2 Ом. К перемыч-ке приложена сила F = 4 Н. Найдите силу тока в перемыч-ке. Сопротивлением рамки пренебречь. Силу тяжести неучитывать.

Решение. На перемычку, кроме внешней силы F, действу-ет сила Ампера AF , направленная против движения. Этоможно проверить в лоб, найдя направление силы Лоренца вперемычке и тем самым направление силы тока (сделайтеэто), мы же приведем энергетический аргумент. Посколькуработа магнитного поля в качестве ЭДС контура положи-тельна (других ЭДС нет), то механическая работа магнитно-го поля отрицательна (еще раз напомним, что полная работасил Лоренца равна нулю). Значит, сила Ампера направленапротив движения.

Второй закон Ньютона для перемычки имеет вид

A 0F F- = ,

гдеинд

A ,Bvl

F IBl IR R

= = =E

.

Исключая лишние переменные, получаем

2 ,I R Fv= и Fv

IR

= = 2 А.

Обратите внимание на то, что написанное слева соотноше-ние имеет простой энергетический смысл и, подумав немно-го, его можно было бы написать сразу. Тепловая мощностьтока равна мощности сторонних сил (сил Лоренца), а та, всвою очередь, равна мощности силы Ампера (с противопо-ложным знаком), которая равна мощности внешней силы F.Иными словами, магнитное поле, не совершая работу, позво-

ляет осуществить преобразование механической работы вработу электрического тока.

Задача 8. По П-образной рамке, наклоненной под угломα = 30° к горизонту и помещенной в однородное вертикаль-ное магнитное поле, начинает соскальзывать без тренияперемычка массой m = 30 г. Длина перемычки l = 10 см, еесопротивление R = 1 мОм, индукция магнитного поля B == 0,1 Тл. Найдите установившуюся скорость движенияперемычки. Сопротивлением рамки пренебречь.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для равномернодвижущейся перемычки (рис.4) в проекции на направлениескорости:

Asin cos 0mg Fα α- = ,

формулу для силы Ам-пера:

AF IBl= ,

закон Ома для полнойцепи:

индIR

=E

и формулу для ЭДС ин-дукции:

( )инд sin 90 cosBvl Bvlα α= + =oE .

Из этих уравнений найдем

2 2 2

sin

cos

mgRv

B l

α

α= = 2 м/с.

Разберем теперь пример, когда ток в контуре определяетсясовместным действием магнитного поля и дополнительногоисточника.

Задача 9. Замкнутый контур образован двумя верти-кальными рейками, между нижними концами которых вклю-чен источник тока с ЭДС E = 60 мВ и внутреннимсопротивлением r = 1 мОм, а верхние концы замкнутыперемычкой длиной l = 10 см и массой m = 10 г. Контурнаходится в перпендикулярном его плоскости однородноммагнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл. Когда перемычкуосвобождают, она начинает опускаться. Пренебрегая со-противлением реек и перемычки, а также трением, найди-те установившуюся скорость перемычки.

Решение. В начальный момент сила тока определяетсятолько источником: =0I rE . Легко убедиться, что в этотмомент величина силы Ампера = = =A0 0F I Bl Bl rE 0,6 Нбольше силы тяжести mg = 0,1 Н. В условии сказано, чтоперемычка после освобождения стала опускаться. Следова-тельно, источник включен таким образом, что сила Амперав начальный момент направлена вниз (рис.5,а).

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 37

Рис. 4

Рис. 5

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 638

С увеличением скорости перемычки растет ЭДС индук-ции, направленная против тока (полная мощность магнитно-го поля равна нулю). Когда ЭДС индукции сравняется сЭДС источника, а затем превысит ее, ток поменяет направ-ление. В дальнейшем сила Ампера направлена вверх ивозрастает до тех пор, пока не сравняется с силой тяжести(рис.5,б). На втором этапе движения (после смены направ-ления тока) ЭДС индукции направлена по току, а ЭДСисточника – против. Второй закон Ньютона и закон Ома дляполной цепи имеют вид

0,Bvl

mg IBl Ir

-- = =

E.

Отсюда получаем

2 2

mgrv

BlB l= + =

E7 м/с.

В следующей задаче система не переходит в режим устано-вившейся скорости, и надо следить за ее ускорением.

Задача 10. По вертикальной П-образной рамке, помещен-ной в однородное магнитное поле, перпендикулярное плос-кости рамки, может без трения скользить перемычка. Вкороткую сторону рамки включена катушка индуктивно-стью L = 0,4 мГн. Масса перемычки m = 10 г, ее длина l == 10 см, индукция поля B = 0,1 Тл. Перемычку сначалаудерживают на месте, затем отпускают. Пренебрегаясопротивлениями всех элементов цепи, найдите макси-мальную скорость и максимальное смещение перемычки.

Решение. Поскольку сопротивления всех элементов цепипренебрежимо малы, сумма всех ЭДС контура равна нулю:

I xL Bl

t t

∆ ∆

∆ ∆= ,

откуда получаем

LI Blx= .

Это означает, что сила Ампера, действующая на перемычкуи направленная вверх (рис.6),пропорциональна ее смеще-нию:

2 2

AB l

F IBl xL

= = .

Уравнение движения пере-мычки (второй закон Ньюто-на)

2 2B lma mg x

L= -

совпадает с уравнением дви-жения груза, подвешенногона пружине жесткостью

2 2k B l L= и отпущенного безначальной скорости. Следо-вательно, перемычка совер-

шает колебания с такими циклической частотой и амплиту-дой:

2 2k B l

m mLω = = , 2 2

mgLA

B l= .

Максимальная скорость перемычки равна

ω= = =max 2м сg mL

v ABl

,

а ее максимальное смещение равно

max 2 2

22

mgLx A

B l= = = 0,8 м.

Максимальные скорость и смещение можно найти также спомощью закона сохранения энергии

2 2

02 2

LI mvmgx- + = ,

подставив сюда I Blx L= .

Упражнения

1. Максимальная ЭДС индукции, возникающая в прямоуголь-ной рамке, вращающейся в однородном магнитном поле, maxE == 3 В. С какой угловой скоростью вращается рамка, если макси-мальный магнитный поток через рамку maxΦ = 0,05 Вб? Осьвращения рамки проходит через середины ее противоположныхсторон и перпендикулярна линиям индукции поля.

2. Чему равна максимальная ЭДС, которая может возникнутьпри движении самолета со скоростью v = 900 км/ч, если размахего крыльев l = 20 м? Горизонтальная составляющая магнитногополя Земли гB  = 0,03 мТл, вертикальная составляющая вB  == 0,04 мТл.

3. Из проволоки, сопротивление единицы длины которой lρ  == 0,1 Ом/м, сделали правильный треугольник и поместили его воднородное магнитное поле с индукцией B = 7 мТл перпендику-лярно линиям поля. По треугольнику со скоростью v = 0,5 м/сскользит перемычка из такой же проволоки, оставаясь параллель-ной его стороне. Чему равен ток через перемычку в тот момент, когдаона проходит через середины сторон треугольника?

4. По П-образной рамке, наклоненной к горизонту под углом αтаким, что sin α = 0,8, и помещенной в однородное вертикальноемагнитное поле, соскальзывает перемычка массой m = 20 г. Длинаперемычки l = 10 см, ее сопротивление R = 1,2 мОм, индукцияполя B = 0,1 Тл, коэффициент трения между перемычкой и рамкойµ  = 0,5. Найдите установившуюся скорость движения перемычки.Сопротивлением рамки пренебречь.

5. Замкнутый контур образован двумя вертикальными рейками,между концами которых включены одинаковые резисторы сопро-тивлением R = 4 мОм. Расстояние между рейками l = 10 см, ихсопротивления очень малы. Контур находится в однородном маг-нитном поле с индукцией B = 0,1 Тл, линии которого перпендику-лярны плоскости контура. По рейкам без трения соскальзываетперемычка массой m = 10 г, сопротивление которой r = 4 мОм.Найдите установившуюся скорость перемычки.

6. Замкнутый контур образован двумя вертикальными рейками,между верхними концами которых включен источник тока с ЭДС E == 60 мВ и внутренним сопротивлением r = 1 мОм, а нижние концызамкнуты перемычкой, длина которой l = 10 см, а масса m == 10 г. Контур находится в перпендикулярном его плоскости одно-родном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл. Когда перемычкуосвобождают, она начинает подниматься. Пренебрегая сопротивле-ниями реек и перемычки, а также трением, найдите установившуюсяскорость перемычки.

7. По П-образной рамке, наклоненной под углом α  = 30° кгоризонту и помещенной в однородное вертикальное магнитноеполе, соскальзывает без трения перемычка. В короткую сторонурамки включен конденсатор емкостью C = 4 мФ. Масса перемыч-ки m = 2 г, ее длина l = 25 см, индукция поля B = 4 Тл.Пренебрегая сопротивлениями всех элементов цепи, найдите уско-рение перемычки.

8. По горизонтальной П-образной рамке, помещенной в одно-родное вертикальное магнитное поле, может без трения скользитьперемычка. В короткую сторону рамки включена катушка с индук-тивностью L = 0,4 мГн. Масса перемычки m = 10 г, ее длина l == 10 см, индукция поля B = 0,1 Тл. Перемычке сообщают началь-ную скорость 0v = 2 м/с вдоль рамки. Пренебрегая сопротивлени-ями всех элементов цепи, найдите максимальное смещение пере-мычки.

Рис. 6

О Л И М П И А Д Ы 39

XLIX Международнаяматематическая олимпиада

О Л И М П И А Д Ы

Очередная Международная математи-ческая олимпиада (ММО), проходившая с10 по 22 июля 2008 года в столице Испа-нии Мадриде, вновь побила рекорд почислу участников и делегаций: в олимпи-аде приняли участие 535 юных математи-ков из 97 стран мира. Олимпиада подари-ла участникам много ярких впечатлений,новых друзей и свежих математическихидей. Экскурсии в Королевский дворец, взнаменитый монастырь Сан Лоренцо дельЭскориал, танцевальное фламенко-шоу,конкурсы и спортивные состязания в сво-бодное время надолго запомнятся школь-никам с разных концов света.

На главном школьном математическомсоревновании мира Россию представляливыпускники Владислав Волков и РоманБойкий из Санкт-Петербурга (ФМШ 239),Дмитрий Бабичев из города Долгопруд-ного (ФМШ 5), Никита Кудык из Омска(гимназия 117), Иван Бажов из Екатерин-бурга (гимназия 9) и Евгений Гориновиз Кирова (ФМЛ). Руководителями ко-манды были Н.Х.Агаханов, П.А.Кожевни-ков, Д.А.Терёшин, Д.Г.Фон-Дер-Флаас. Нашакоманда выступила убедительно и ровно,повторив, казалось, неповторимое дости-жение 2002 года – все шестеро участни-ков из России удостоились медалей высшей пробы. Такогорезультата не смогла добиться еще ни одна сборная.

Задачный вариант олимпиады 2008 года по стилю не-сколько отличался от вариантов предыдущих двух лет, когдасреди шести задач ММО две задачи были достаточнопростые, а две – крайне трудными. В этом году вариант былзначительно ровнее по трудности задач. Интересно, чтосамая легкая и самая трудная задачи олимпиады (задачи 1и 6) – это геометрические миниатюры, предложенные дляММО Россией, причем оба автора – Андрей Гаврилюк иВладимир Шмаров – студенты Московского государствен-ного университета им. М.В.Ломоносова, в недавнем про-шлом победители Международной и Всероссийской олим-пиад.

Приводим таблицу результатов российских участников(каждая задача оценивается из 7 баллов):

Участник Баллы по задачам Сумма Медаль

баллов

1 2 3 4 5 6

Волков Владислав 7 7 7 7 7 2 37 золотаяБабичев Дмитрий 7 7 7 7 7 1 36 золотаяБойкий Роман 7 4 7 7 7 0 32 золотаяКудык Никита 7 4 7 7 7 0 32 золотаяБажов Иван 7 7 1 7 7 2 31 золотаяГоринов Евгений 7 4 6 7 7 0 31 золотая

а также таблицу результатов стран, получивших наивысшиерейтинги в командном зачете:

Рейтинг Страна Сумма Количество медалей

баллов золото серебро бронза

1 Китай 217 5 1 02 Россия 199 6 0 03 CША 190 4 2 03 Южная Корея 188 4 2 05 Иран 181 1 5 06 Таиланд 175 2 3 17 КНДР 173 2 4 08 Турция 170 3 1 29 Тайвань 168 2 4 010 Венгрия 165 2 3 111 Япония 163 2 3 112 Вьетнам 159 2 2 213 Польша 157 2 3 114 Болгария 154 2 1 315 Украина 153 2 2 216 Бразилия 152 0 5 117 Перу 141 1 3 217 Румыния 141 0 4 219 Австралия 140 0 5 120 Сербия 139 1 3 020 Германия 139 1 2 3

Руководители команды выражают благодарность всемпедагогам-наставникам, которые помогли ребятам вопло-тить свой талант в прекрасные результаты. Благодаримтакже членов тренерского совета, завершавших подготовку

Команда России на XLIX Международной математической олимпиаде. Слева направо:В.Волков, Р.Бойкий, Е.Горинов, Н.Кудык, И.Бажов, Д.Бабичев

40 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

команды на сборах, которые проходили с 23 июня по 13 июляв пансионате «Лисицкий бор» Тверской области (на сборахс командой работали: аспирант Института системного анали-за А.В.Акопян, педагог ФМЛ 239 из Санкт-Петербурга С.Л.Бер-лов, старший преподаватель МФТИ И.И.Богданов, аспирантМатематического института РАН А.И.Гарбер, аспирант мех-мата МГУ А.А.Глазырин, профессор Ярославского государ-ственного университета В.Л.Дольников, научный сотрудникПетербургского отделения Математического института РАНи преподаватель СПбГУ Д.В.Карпов, педагог ФМЛ 239 изСанкт-Петербурга М.Я.Пратусевич, программист из МосквыГ.Р.Челноков).

Руководители команды искренне признательны ДмитриюЮрьевичу Дойхену за оказание поддержки в проведениимероприятий по подготовке национальной команды Россиии ее участия в международных математических соревнова-ниях.

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

1. См. задачу М2112 «Задачника «Кванта».(Россия)

2. а) Докажите, что неравенство

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 21

1 1 1

x y z

x y z+ + ³

- - -

выполняется для любых отличных от 1 действительныхчисел х, у, z таких, что xyz = 1.

б) Докажите, что указанное неравенство обращается вравенство для бесконечного числа троек отличных от 1рациональных чисел х, у, z таких, что xyz = 1.

(Австрия)

3. Докажите, что существует бесконечно много натураль-

ных чисел n таких, что число 2 1n + имеет простой делитель,

который больше чем 2 2n n+ .

(Литва)

4. Найдите все функции f: ( ) ( )0; 0;+¥ ® +¥ (т.е. функ-ции, определенные на множестве всех положительных дей-ствительных чисел и принимающие положительные значе-ния) такие, что

( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 22 2

f w f x w x

y zf y f z

+ +=

++

для любых положительных w, x, y, z, удовлетворяющихравенству wx = yz.

(Южная Корея)

5. Пусть n и k – натуральные числа такие, что k n³ , ачисло k – n четное. Имеются 2n лампочек, занумерованныхчислами 1, 2, …, 2n, каждая из которых может находитьсяв одном из двух состояний: вкл. (включена) и выкл. (выклю-чена). Вначале все лампочки были выключены. Рассматри-ваются упорядоченные последовательности шагов: на каж-дом шаге ровно одна из лампочек меняет свое состояние напротивоположное (с вкл. на выкл. либо с выкл. на вкл.).

Обозначим через N количество последовательностей из kшагов, приводящих к ситуации, в которой все лампочки с1-й по n-ю включены, а все лампочки с (n + 1)-й по (2n)-ювыключены.

Обозначим через M количество последовательностей из kшагов, приводящих к ситуации, в которой также все лампоч-ки с 1-й по n-ю включены, все лампочки с (n + 1)-й по(2n)-ю выключены, но при этом ни одна из лампочек с(n + 1)-й по (2n)-ю ни разу не меняла своего состояния.

Найдите значение отношения N/M.(Франция)

6. См. задачу М2115 «Задачника «Кванта».(Россия)

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2. Сделаем замену 1

xa

x=

-, 1

yb

y=

- , 1

zc

z=

-, где а, b,

с не равны 1. Заметим, что х, у, z однозначно выражаются

через а, b, с: 1

ax

a=

-,

1

by

b=

-,

1

cz

c=

-. Условие xyz =

= 1 переписывается в виде

( ) ( ) ( )1 1 1a b c abc- - - = Ы 1a b c ab bc ca+ + - = + + Ы

Ы ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1a b c a b c a b c+ + - = + + - + + Ы

Ы ( ) ( )22 2 2 1 2 1a b c a b c a b c+ + - = + + - + + + Ы

Ы ( )22 2 2 1 1a b c a b c+ + - = + + - .

Отсюда вытекает нужное неравенство 2 2 2 1a b c+ + ³ . Кро-ме того, из приведенных выкладок ясно, что если 1a № ,

1b № , 1c № и a + b + c – 1 = ab + bc + ca, то неравенствообращается в равенство при условии a + b + c = 1. Иначеговоря, условие обращения неравенства в равенство длячисел 1a № , 1b № , 1c № эквивалентно системе

2 2

1 ,1,

0 0.

c a ba b c

ab bc ca a b a ab b

= - -м+ + =м пЫн н+ + = + - - - =по оПоложим b aλ= и подставим в уравнение 2a b a+ - -

2 0ab b- - = . Получим ( )( )21 1 0a aλ λ λ+ - + + = . Отсюда

следует, что при любом λ тройка чисел 2

1

1a

λ

λ λ

+=

+ +,

2

21b

λ λ

λ λ

+=

+ +, 21

cλ

λ λ

-=

+ + удовлетворяет системе. Если в

качестве λ брать натуральные числа, то, как легко видеть,

мы получаем бесконечное количество различных троек раци-ональных чисел a, b, c, отличных от 1. Соответственно, этимтройкам чисел а, b, с соответствует бесконечное количестворазличных троек рациональных чисел х, у, z, удовлетворя-ющих условию.

3 (Р.Бойкий).В решении используется существование бесконечного ко-

личества простых чисел р вида 4a + 1 (т.е. дающих остаток1 при делении на 4), а также то, что –1 является квадратич-ным вычетом по модулю простого р вида 4a + 1 (т.е. дляпростого р вида 4a + 1 найдется такое целое m, что 2 1m +делится на р).

Докажем, что для каждого простого числа p > 20 вида4a + 1 найдется требуемое натуральное n.

Рассмотрим такое целое число m, что 2 1m p+ M . Этаделимость сохранится, если заменить m на остаток приделении m на р, значит, можно считать, что

{ }0,1,2, , 1m pО -K . Кроме того, если 2 1m p+ M , то и

( )2

1p m p- + M . Положим { }min ,n m p m= - , тогда 2 1n p+ M

и 1

02

pn

-£ £ .

Запишем n в виде 1

2

pn k

-= - , где k – целое число,

10

2

pk

-£ £ . Имеем

( )( )2

211 1 2 4

2

pk p p k p

-ж ц- + Ю - + + Юз чи шM M ( )

22 1 4k p+ + M ,

О Л И М П И А Д Ы 41

а так как ( )2

2 1 4 0k + + > , то

( ) ( )2 2

2 1 4 2 1 4k p k p+ + ³ Ю + ³ - .

Проверим, что найденное n удовлетворяет условию задачи:

2 2p n n> + Ы1 1

2 22 2

p pp k k

- -ж ц ж ц> - + - Ыз ч з чи ш и ш

Ы 1 2 1 2p p k p k> - - + - - Ы 2 1 1 2k p k+ > - - Ы

Ы ( ) ( )2

2 1 2 1k k p+ + + > ,

но это неравенство верно, так как по доказанному

( ) ( )2

2 1 2 1k k+ + + ³ 4 4 4 20 4p p p p- + - > - + - = .

Из приведенных рассуждений вытекает, что чисел n стребуемым свойством бесконечно много. В самом деле, пустьэто не так и N – максимальное из чисел, удовлетворяющихусловию задачи. Возьмем простое число р вида 4a + 1 такое,

что { }2max 20, 1p N> + . Как мы доказали, для этого р

найдется натуральное n, удовлетворяющее условию и такое,

что 2 1n p+ M . Тогда 2 21 1n p N+ ³ > + , откуда n > N –

противоречие.

4 (Д.Бабичев). Ответ: ( )f x x= и ( )1

f xx

= .

Пусть w = x = y = z = a > 0. Тогда из исходного уравнения

получаем ( )( )

( )

2 2 2

2 22

21

2

f a a a

a af a

+= =

+, откуда для всех а > 0

выполнено

( )( ) ( )2 2f a f a= , (1)

в частности ( )( ) ( )2

1 1f f= и ( )1 1f = (так как ( )1 0f № ).Далее, положим w = x = a > 0, у = 1, 2z a= :

( )( )

( ) ( )

2 2

44

2 2

11

f a a

af a f=

++. Согласно (1), ( ) ( )( )

24 2f a f a= =

( )( )4

f a= , откуда ( )( )

( )( )

2 2

4 4

2 2

11

f a a

af a=

++. Положив ( )t f a= ,

имеем2 2

2 4 2 2 4 24 4

2 2

1 1

t at a t a t a

t a= Ы + = + Ы

+ +

Ы ( )( )2 2 2 21 0a t a t- - = .

Так как а > 0 и t > 0, отсюда следует, что для каждого

a > 0 выполнено ( )t f a a= = или ( )1

t f aa

= = . Предполо-

жим, что нашлись положительные а и b, не равные 1 и такие,

что ( )f a a= , ( )1

f bb

= . Тогда положив w = a, x = b, y = ab,

z = 1, получим (с учетом (1))

( )( )

22 22

2 2 2

1

11

aa bb

a bf ab

+ +=

++. (2)

Если ( )f ab ab= , то из (2) следует

22 22

2 42 2 2 2 2

11

1 11 1

aa bb b b b

a b a b b

+ += Ы = Ю = Ю =

+ +,

что противоречит предположению.

Если же ( )1

f abab

= , то из (2) следует

22 2 2 2 2 22

4 2 22 2 2 2 2

2 2

1

1 1 11

aa b a b a bb a b a

a b b a ba b

+ + += Ю = Ю + =

+ ++2 2 0a b b= + Ю = или 4 1a = ,

что противоречит предположению.Таким образом, либо для всех x > 0 выполнено ( )f x x= ,

либо для всех x > 0 выполнено ( )1

f xx

= . Непосредственно

подстановка показывает, что функции ( )f x x= и ( )1

f xx

=подходят.

5 (В.Волков). Ответ: 2k n- .Назовем последовательность из k шагов, меняющую состо-

яние каждой из лампочек 1, 2, …, n нечетное количество раз(и не меняющую состояние лампочек n + 1, …, 2n ни разу),последовательностью I типа; по условию, число таких после-довательностей равно М. Назовем последовательность из kшагов, меняющую состояние каждой из лампочек 1, 2, …, nнечетное количество раз, а лампочек n + 1, …, 2n – четноеколичество раз, последовательностью II типа; по условию,число таких последовательностей равно N. Разобьем лам-почки на n пар: в i -ю пару объединим i -ю и (n + i)-юлампочки, i = 1, 2, …, n. Если на каком-то шаге одна излампочек некоторой пары изменила состояние, будем гово-рить, что пара изменила состояние. Рассмотрим последова-тельность II типа. На каждом из k шагов меняет состояниеровно одна из n пар, причем каждая пара должна изменитьсостояние нечетное количество раз. Если объявить теперьпары «новыми» лампочками с номерами 1, 2, …, n, то изпоследовательности II типа получаем соответствующую пос-ледовательность I типа.

Докажем, что при таком соответствии каждая последова-

тельность I типа поставлена в соответствие ровно 2n k-

последовательностям II типа, – отсюда сразу последует, что

2k nN M -= . Зафиксируем последовательность I типа, пусть

в ней пара с номером i меняла состояние в 2 1il + шагах

( { }1,2, ,i nО K ). Чтобы восстановить последовательность IIтипа, надо эти 2 1il + шагов разбить на 2 множества – шаги,на которых изменяет состояние i-я лампочка, и шаги, накоторых изменяет состояние (n + i)-я лампочка, причем впервом множестве должно быть нечетное количество шагов.Всего вариантов такого разбиения 22 il (это число равночислу способов разбить множество из 2 1il + элементов надва подмножества, поскольку ровно в одном из подмножествнечетное число элементов). Такое рассуждение о восстанов-лении последовательности II типа проведем независимо дляi = 1, 2, …, n. В результате получим, что данная последова-

тельность I типа сопоставлена 1 21 2 2 2 2 22 22 2 2 2n nl l l ll l + + +Ч Ч Ч = KK

последовательностям II типа. Заметим, что

( ) ( ) ( )1 22 1 2 1 2 1nl l l k+ + + + + + =K – общее число ходов,

поэтому 1 22 2 2 nl l l k n+ + + = -K , что и требовалось.

Публикацию подготовилиН.Агаханов, П.Кожевников,

Д.Терёшин, Д.Фон-Дер-Флаасс

42 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

XXXIX Международнаяфизическая олимпиада

В этом году во Вьетнам на Международную олимпиаду пофизике прибыли 376 школьников из 82 стран мира.

В сборную команду России вошли:Зеленеев Андрей – Киров, физико-математический ли-

цей, учителя-наставники Заграй Владимир Сергеевич, Гыр-дымов Михаил Владимирович,

Буслаев Павел – Санкт-Петербург, «Физико-техническаяшкола» при Физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе,учителя-наставники Савельев Артем Владимирович, ИвановМихаил Георгиевич,

Матвеев Харитон – Москва, лицей 1581, учителя-наставни-ки Бучнева Лидия Викторовна, Зильберман Александр Рафа-илович, Киселев Александр Михайлович,

Самойлов Леонид – Саратов, физико-технический лицей1, учителя-наставники Правдина Людмила Вениаминовна,Татарков Гарри Николаевич,

Мельников Игорь – Челябинск, лицей 31, учителя-настав-ники Иоголевич Иван Александрович, Карманов МаксимЛеонидович, Лисицын Сергей Григорьевич.

Нашу команду возглавили профессор Московского фи-зико-технического института (МФТИ) Станислав Мироно-вич Козел и доцент МФТИ Валерий Павлович Слободянин.В составе российской делегации в качестве наблюдателейбыли доцент МФТИ Дмитрий Анатольевич Александров иЗаслуженный учитель России Иван Александрович Иоголе-вич. Участие в олимпиаде наблюдателей состоялось благо-даря поддержке Русского фонда содействия образованиюи науке и Попечительского совета лицея 31 города Челя-бинска.

Подготовка команды уже многие годы начинается болеечем за год и проводится по стандартной схеме на базеМосковского физико-технического института.

На олимпиаде участникам были предложены три теорети-ческие задачи и два экспериментальных задания. Каждаятеоретическая задача оценивалась из 10 баллов, а экспери-ментальные – из 9,5 и 10,5 баллов. Таким образом, макси-мальное количество баллов, которое мог набрать каждый изучастников олимпиады, равнялось 50.

Сравнительные результаты выступления на олимпиаде 16лучших команд таковы:

№ Страна Количество медалей Сумма

золото серебро бронза баллов

1 Китай 5 197,52 Тайвань 5 185,013 Южная Корея 4 1 176,314 Вьетнам 4 1 169,345 Индия 4 1 168,556 Таиланд 3 2 165,457 США 3 2 163,388 Россия 3 1 1 155,609 Индонезия 2 2 1 150,3110 Франция 4 1 144,5511 Канада 1 1 3 137,5512 Сингапур 1 3 1 136,2113 Румыния 3 2 136,0014 Германия 1 1 3 131,80

15 Гонконг 1 4 128,3316 Иран 5 117,38

Из таблицы видно, что, как и в прошлые годы, лидируетгруппа стран из Юго-Восточной Азии. Команды этих странустойчиво добиваются высоких результатов в Международ-ных олимпиадах и по другим предметам. Это может озна-чать лишь одно: в этих странах уделяется исключительноевнимание образованию и, в частности, работе с одареннымидетьми – интеллектуальным потенциалом нации.

Члены сборной команды России показали следующиерезультаты:

Участник Теория Эксперимент Сумма баллов Медаль

СамойловЛеонид 17,70 18,20 35,90 золотоМатвеевХаритон 17,80 16,45 34,25 золотоБуслаевПавел 15,65 17,45 33,10 золотоМельниковИгорь 9,80 18,20 28,00 сереброЗеленеевАндрей 8,00 16,35 24,35 бронза

Следует отметить, что объем заданий олимпиады от годак году возрастает, причем этот рост связан в основном сувеличением расчетной части. В этом году на олимпиадеперегруженность вычислениями заданий теоретического турапревысила все разумные пределы. Это привело к тому, чтобольшинство участников получили за теорию менее трети отмаксимального количества баллов.

На экспериментальном туре участникам было предложеноосвоить дифференциальный термометрический метод, ши-роко используемый в технике прецизионных измерений.

В первой части эксперимента дифференциальный тер-мометрический метод применялся для определения темпе-ратуры затвердевания чистого кристаллического вещества,предоставленного в количестве 20 мг. В случае такой ма-лой массы вещества обычный метод дает слишком боль-шую ошибку. При выполнении задания необходимо былопровести несколько предварительных экспериментов и по-строить ряд графиков для определения параметров уста-новки и оценки погрешностей. Во время тренировочныхсборов наши ребята хорошо подготовились к заданиямтакого рода. За первую часть эксперимента они набрали97% возможных баллов. Это чрезвычайно высокий резуль-тат.

Во второй части экспериментального задания участникиисследовали работу солнечного элемента и с помощьюдифференциального термометрического метода определя-ли его коэффициент полезного действия. При выполненииэтой части задания участникам нужно было продемонстри-ровать знание законов термодинамики и умение обрабаты-вать результаты эксперимента. С помощью графиков требо-валось доказать, что теоретические формулы правильноописывают работу установки, и выполнить ряд сложныхфотометрических измерений. В целом наши ребята успешно

О Л И М П И А Д Ы 43

справились и с этой частью задания. Однако к концу работыощущалась нехватка времени, и последние пункты заданиябыли выполнены некоторыми членами нашей командынаспех. В итоге во второй части экспериментального заданиянаши ребята набрали 77% возможных баллов. Если учестьсложность экспериментального задания и его объем, то этонеплохой результат. К сожалению, часть баллов, как и напрежних олимпиадах, была потеряна из-за небрежногоисполнения графиков, неаккуратной записи результатовизмерений и т. д.

В целом за эксперимент наша команда набрала 87%возможных баллов и показала третий результат в мире,опередив в этом виде соревнования Китай. За всю историюМеждународных олимпиад (а наша команда принималаучастие в 38 таких олимпиадах) впервые результаты выпол-нения теоретического тура оказались значительно нижерезультатов экспериментального тура. Такая же картинанаблюдалась и у большинства других команд.

Ниже приводятся условия задач теоретического тура со-ревнований.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

Задача 1. Водяная ступа для шлифовки рисаРис является главным национальным продуктом для по-

давляющего большинства людей во Вьетнаме. Чтобы полу-чить белый рис, от него необходимо отделить сначала егокожуру («обдирка»), затем отруби («шлифовка»). Горныерегионы северного Вьетнама богаты водными струями, илюди, живущие в этих регионах, используют водяные уст-ройства (ступы) для шлифовки риса.

Водяная ступа, показанная на рисунке 1, состоит изсобственно ступы (ступки), рычага и дубинки. Ступа – этопросто деревянная емкость для риса. Рычаг, который пред-ставляет собой деревянный ствол с концами разной длины,может вращаться вокруг некоторой горизонтальной оси.Дубинка (пестик) прикреплена перпендикулярно к рычагу сего короткой стороны; длина дубинки такова, что она можетприкасаться к рису в ступе, когда рычаг лежит горизонталь-но. На длинном конце рычага вырезано углубление, играю-щее роль сосуда для воды. Форма этого сосуда очень важнадля действия устройства.

Ступа может работать в двух режимах: в рабочем и вмертвом.

В рабочем режиме ступа совершает некоторый рабочийцикл, проиллюстрированный на рисунке 2.

a) В начальный момент сосуд пуст, дубинка покоится вступке. Вода начинает течь в сосуд с маленькой скоростью ,

но рычаг некоторое вре-мя остается в горизон-тальном положении.

b) В некоторый мо-мент количество воды всосуде оказывается до-статочным для подня-тия рычага. Вода пере-текает к более отдален-ной стороне сосуда, на-клоняя рычаг все быст-рее. Вода начинает вы-текать при угле 1α α= .

c) Угол α продол-жает увеличиваться,вода продолжает выте-кать. При некоторомзначении угла наклонаα β= суммарный вра-щающий момент стано-вится равным нулю.

d) Угол α продол-жает расти, вода про-должает вытекать до техпор, пока сосуд не опо-рожнится при углеα α= 2 .

e) Угол α продол-жает расти по инерции.Благодаря форме сосу-да, втекающая вода сра-зу вытекает из него.Движение рычага поинерции продолжаетсядо тех пор, пока уголα не достигает макси-мального значения 0α .

f) Когда сосуд пуст, вес рычага возвращает его назад вначальное горизонтальное положение. Дубинка совершаеттяжелый удар по ступке (с рисом внутри него), и начинаетсяновый цикл.

Шлифовка риса происходит благодаря энергии, передава-емой от дубинки к рису в стадии f). Если по какой-то причинедубинка не может прикасаться к дну ступки, говорят, чтоустройство не работает.

Мертвый режим – это режим с поднятым рычагом. Встадии c) рабочего цикла, когда угол наклона рычага αувеличивается, количество воды в сосуде уменьшается. Вопределенный момент времени количество воды становитсядостоточным для уравновешивания рычага. Значение угланаклона в этот момент обозначено β . Если рычаг располо-жен под углом β и его начальная угловая скорость равнанулю, он останется навсегда в этом положении. Это и естьмертвый режим с поднятым рычагом. Устойчивость этогоположения рычага зависит от скорости Φ натекания воды всосуд. Если Φ превышает некоторое значение 2Φ

, стабилен

только мертвый режим и ступа переходит в него из любогоначального положения, т.е. не может перейти в рабочийрежим. Другими словами, 2Φ является минимальной ско-ростью течения, при превышении которой устройство пере-стает работать.

Основные размеры водной рисошлифующей ступки приве-дены на рисунке 3. Масса рычага (с дубинкой, но без воды)M = 30 кг, центр масс рычага находится в точке G. Рычагвращается вокруг оси T, момент инерции рычага вокруг этойоси 212 кг мI = Ч . Когда в сосуде есть вода, ее масса обозна-Рис. 1

Рис. 2

44 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

чается m, центр масс воды – точкой N. Угол наклона рычагак горизонту обозначается α .

Трением в оси вращения и силой, возникающей из-занатекания воды в сосуд, пренебрегайте. Считайте, что поверх-ность воды всегда горизонтальна.

1. Параметры устройстваВ начальный момент сосуд пуст и рычаг расположен

горизонтально. Затем вода втекает в сосуд до тех пор, покарычаг не начинает поворачиваться. Масса воды в сосуде вэтот момент m = 1,0 кг.

1.1. Определите расстояние от центра масс G рычага до осивращения T. Известно, что линия GT горизонтальна, когдасосуд пуст.

1.2. Вода начинает вытекать из сосуда, когда угол междурычагом и горизонтальной осью достигает некоторого значе-ния 1α . Вода полностью выливается из сосуда, когда значе-ние этого угла становится равным 2α . Вычислите значенияуглов 1α и 2α .

1.3. Пусть ( )µ α – суммарный вращающийся момент(относительно оси T), создаваемый весом рычага и воды всосуде. При некотором угле α β= этот момент становитсяравным нулю ( )µ α = 0. Рассчитайте значения угла β имассы 1m воды в сосуде в этот момент.

2. Параметры рабочего режимаПусть вода втекает в сосуд с малой постоянной скорос-

тью. Количество воды, втекающей в сосуд за время движе-ния рычага, пренебрежимо мало. В этой части задачи пре-небрегайте изменением момента инерции системы в рабочемцикле.

2.1. Нарисуйте схематический график зависимости вра-щающего момента µ от угла α в течение рабочего цикла.Приведите явные значения ( )µ α при углах 1α , 2α , и α == 0.

2.2. Используя график, нарисованный в пункте 2.1, дайтегеометрическую интерпретацию значений общей работы tW ,произведенной моментом сил тяжести, и работы pW , совер-шенной дубинкой над рисом, за один цикл.

2.3. С помощью графика зависимости ( )µ α оцените мак-симальный угол отклонения 0α и работу pW (предполагая,что кинетическая энергия воды, текущей в сосуд и из него,пренебрежимо мала). Для облегчения расчетов можете заме-нить кривые ломанными линиями.

3. Мертвый режимПусть вода втекает в сосуд с постоянной скоростью нате-

кания (масса в единицу времени) Φ . В данной части задачинеобходимо учитывать количество воды, втекающей в сосудпри движении рычага.

3.1. Будем считать сначала, что сосуд всегда наполненводой (которая переливается через его край).

3.1.1. Нарисуйте примерный график зависимости враща-ющего момента µ от угла α в окрестности α β= . К какомувиду равновесия относится положение рычага при α β= ?

3.1.2. Найдите аналитическую формулу для вращающегомомента как функции ∆α , когда α β ∆α= + , причем ∆αмало.

3.1.3. Запишите дифференциальное уравнение движениярычага, который движется с нулевой начальной скоростьюот начального положения α β ∆α= + ( ∆α мало). Покажите,что это движение с хорошей точностью является гармоничес-кими колебаниями. Рассчитайте их период τ .

3.2. Пусть теперь при заданной скорости натекания Φсосуд наполнен водой все время только в том случае, когдарычаг движется достаточно медленно. Тогда амплитудагармонических колебаний зависит от Φ . Определитезначение 1Φ скорости натекания (в кг/с) такое, чтобырычаг мог совершать гармонические колебания с амплиту-дой 1o.

3.3. Пусть скорость Φ велика настолько, что при колеба-тельном движении рычага, когда угол наклона изменяетсяот 2α до 1α , сосуд всегда остается наполненным водой. Вэтом случае устройство не может действовать в рабочемрежиме. Допуская, что движение рычага является гармо-ническими колебаниями, оцените минимальную скоростьтечения 2Φ , при которой устройство перестает функциони-ровать в рабочем режиме.

Задача 2. Черенковское излучение и кольцевой черен-ковский детектор

Свет распространяется в вакууме со скоростью с. Несуществует частиц, движущихся со скоростью больше с.Однако в прозрачной среде частица может двигаться соскоростью v, превышающей скорость света в этой среде c/n,где n – показатель преломления среды. Эксперимент (Черен-ков, 1934) и теория (Тамм и Франк, 1937) показали, чтозаряженная частица, движущаяся со скоростью v в прозрач-ной среде с показателем преломления n, удовлетворяющимусловию v > c/n, излучает свет, названный черенковскимизлучением, в направлениях, образующих с ее траекторией

угол 1

arccosn

θβ

= , где v

cβ = .

1. Чтобы объяснить этот эффект, рассмотрим частицу,движущуюся с постоянной скоростью v > c/n по прямойлинии (рис.4). Она проходит точку A в момент времени 0 иточку B в момент 1t . Так как задача симметрична относитель-но вращения вокруг осиAB, достаточно рассмот-реть световые лучи влюбой плоскости, содер-жащей AB. В любой точ-ке C между A и B части-ца излучает сферичес-кую световую волну,распространяющуюсясо скоростью c/n. На-зовем волновым фрон-том в заданный момент времени t огибающую всех такихсфер в этот момент.

1.1. Определите волновой фронт в момент времени 1t иначертите линию его сечения плоскостью, содержащей тра-екторию частицы.

1.2. Выразите угол ϕ между указанной линией и траекто-рией частицы через n и β .

2. Рассмотрим пучок частиц, движущихся вдоль прямойлинии IS, пересекающей в точке S выпуклое сферическоезеркало с фокусным расстоянием f и центром C. Скоростьпучка v > c/n такова, что угол θ мал. Отрезок SC образуетс линией SI малый угол α . Излучение пучка частиц создаеткольцевое изображение в фокальной плоскости зеркала.Поясните это явление с помощью рисунка. Определитеположение центра кольца и его радиус r.

Установка, описанная выше, используется в кольцевых

Рис. 3

Рис. 4

О Л И М П И А Д Ы 45

черенковских детекторах (КЧД), а среда, через которуючастицы проходят, называется излучателем.

Примечание: поскольку углы α и θ малы, во всех пунктахданной задачи соответствующими членами второго и высшихпорядков малости можно пренебречь.

3. Рассмотрим пучок частиц с известным импульсом Р == 10,0 ГэВ/с, состоящий из частиц трех типов: протонов,

каонов и пионов с массами покоя 20,94 ГэВpM с= ,20,50 ГэВM сκ = и 20,14 ГэВM сπ = соответственно.

Напомним, что величины Pc и 2Mс имеют размерностьэнергии, 1 эВ – энергия, приобретаемая электроном, уско-

ренным разностью потенциалов 1 В, 91 ГэВ 10 эВ= , 1 МэВ =610 эВ= .

Пучок частиц движется в воздухе, находящемся под дав-лением p, который играет роль излучателя. Показательпреломления воздуха выражается через его давление p,измеренное в атмосферах, с помощью формулы п = 1 + аp,

где 4 12,7 10 атмa - -= Ч .3.1. Рассчитайте для каждого из трех типов частиц мини-

мальное значение minp атмосферного давления, при которомони начинают давать черенковское излучение.

3.2. Рассчитайте давление 1 2p , при котором радиус коль-цевого изображения, порожденного излучением каонов, ра-вен половине радиуса кольцевого изображения, порожден-ного излучением пионов, а также значения κθ и πθ для этогослучая. Можно ли при таком давлении наблюдать кольцевоеизображение, порожденное излучением протонов?

4. Предположим теперь, что пучок не является полностьюмонохроматическим: импульс частиц распределен в интерва-ле с центром в точке 10 ГэВ/с, имеющем полуширину P∆(на половине высоты). Это приводит к уширению кольцево-го изображения. Соответствующее уширение распределенияпо θ характеризуется полушириной ∆θ (на половине вы-соты).

4.1. Вычислите Pκ∆θ ∆ и Pπ∆θ ∆ , т.е. значение P∆θ ∆для пионов и каонов.

4.2. Два кольцевых изображения, созданных излучениемпионов и каонов, можно хорошо различить, если угловоерасстояние π κθ θ- превышает сумму полуширин

κ π∆θ ∆θ ∆θ= + более чем в 10 раз, т.е. 10π κθ θ ∆θ- > .Рассчитайте максимальное значение P∆ , при котором дваизображения еще можно хорошо различить.

5. Черенков впервые открыл эффект, ныне носящий егоимя, наблюдая за сосудом с водой, расположенным вблизирадиоактивного источника. Он увидел, что вода в сосудесветилась.

5.1. Найдите минимальное значение кинетической энергии

minT частицы с массой покоя M, движущейся в воде, прикотором появляется черенковское излучение. Показательпреломления воды п = 1,33.

5.2. Радиоактивный источник, использованный Черенко-вым, излучал α -частицы (ядра гелия), имеющие массу

покоя 23,8 ГэВM cα = , и β -частицы (электроны), имею-

щие массу покоя 20,51 ГэВeM c= . Рассчитайте численныезначения minT для α - и β -частиц.

Зная, что кинетическая энергия частиц, излучаемых ра-диоактивными источниками, не превышает нескольких МэВ,определите, какие частицы порождали излучение, наблю-давшееся Черенковым.

6. В предыдущих пунктах задачи не учитывалась зависи-мость черенковского излучения от длины волны λ . Учтемтеперь тот факт, что черенковское излучение частицы имеетширокий непрерывный спектр, включающий видимую об-ласть (длины волн от 0,4 мкм до 0,8 мкм). Известно также,

что при возрастании λ в пределах этой области показательпреломления излучателя линейно уменьшается на 2% отвеличины (n – 1).

6.1. Рассмотрим пучок пионов с заданным импульсом10,0 ГэВ/с, движущийся в воздухе, находящемся под дав-лением 6 атм. Определите разность углов δθ , соответствую-щих краям видимой области.

6.2. Качественно исследуйте влияние дисперсии (т.е. за-висимости п от λ ) на изображение кольца, созданноеизлучением пучка пионов. Импульсы пионов распределеныв интервале с центром в точке P = 10 ГэВ/с, имеющем

полуширину P∆ = 0,3 ГэВ/с (на половине высоты).6.2.1. Рассчитайте уширение, обусловленное дисперсией

(изменением показателя преломления), а также уширение,вызываемое немонохроматичностью пучка (разбросом им-пульсов частиц).

6.2.2. Опишите, как изменяется цвет кольца при переходеот его внутреннего края к внешнему.

Задача 3. Изменение температуры воздуха с высотой,атмосферная стабильность и загрязнение

Вертикальное движение воздуха определяет многие атмос-ферные процессы, например образование облаков и осадков,а также рассеяние воздушных загрязнений. Если атмосферастабильна, вертикальное движение ограничено и воздушныезагрязнения имеют тенденцию не рассеиваться, а собиратьсянад областью, в которой находятся источники загрязнения.В то же время, в нестабильной атмосфере вертикальноедвижение воздуха способствует вертикальному распростра-нению загрязнений. Таким образом, концентрация загрязне-ний зависит не только от активности их источников, но и отстабильности атмосферы.

Будем определять атмосферную стабильность с помо-щью модели воздушного пакета, принимаемой в метеоро-логии, и сравнивать температуру такого пакета, поднима-ющегося или опускающегося адиабатически в атмосфере,с температурой окружающего воздуха. Мы увидим, что вомногих случаях воздушный пакет, содержащий воздушныезагрязнения и поднимающийся от земли, останавливаетсяна некоторой высоте, называемой высотой смешивания.Чем больше высота смешивания, тем меньше концентрациявоздушных загрязнений. В данной задаче предлагается оце-нить высоту смешивания и концентрацию угарного газа(СО), выбрасываемого мотоциклами в многолюдной частиХаноя, для примера в утренний час пик, когда на уровняхвыше 119 м вертикальное перемешивание ограничено из-затемпературной инверсии (температура воздуха увеличива-ется с высотой).

Будем рассматривать воздух как идеальный двухатом-ный газ с молярной массой Μ = 29 г/моль. Квазистатичес-

кий адиабатический процесс подчиняется уравнению pVγ == const, где p VC Cγ = – отношение молярных теплоем-костей газа в изобарическом и изохорическом процессах.

Вы можете использовать следующие данные при необ-ходимости: универсальная газовая постоянная R =

( )8,31 Дж моль К= Ч , атмосферное давление у земной по-верхности 0p  = 101,3 кПа, ускорение свободного падения

29,81 м сg = , мoлярная теплоемкость воздуха при посто-

янном давлении 7

2pС R= , мoлярная теплоемкость воздуха

при постоянном объеме 5

2VС R= .

Математические подсказки:

a) ( )

( )1 1

lnd A Bxdx

A BxA Bx B A Bx B

+= = +

+ +т т ;

46 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

b) решение дифференциального уравнения dx

Ax Bdt

+ =

(A и B – константы) есть ( ) ( )1B

x t x tA

= + , где ( )1x t –

решение однородного дифференциального уравнения

0dx

Axdt

+ = ;

c) 1

lim 1x

xe

x®¥

ж ц+ =з чи ш.

1. Изменение давления с высотой1.1. Предположим, что температура атмосферы постоянна

по высоте и равна 0T . Напишите формулу, выражающуюатмосферное давление p как функцию высоты z.

1.2. Допустим теперь, что температура атмосферы меняет-ся с высотой по закону ( ) ( )0T z T zΛ= - , где Λ – константа,называемая скоростью изменения температуры атмосферы свысотой (вертикальный градиент температуры равен Λ- ).

1.2.1. Выразите атмосферное давление p в виде функциивысоты z.

1.2.2. Конвекция называется свободной, если она проис-ходит вследствие того, что плотность верхних слоев больше,чем нижних. При каких значениях Λ возникает свободнаяконвекция?

2. Изменение температуры воздушного пакета при вер-тикальном движении

Воздушный пакет представляет собой некоторый объемвоздуха достаточного размера (шириной порядка несколь-ких метров), так что его можно рассматривать как само-стоятельный термодинамический объект, но все же доста-точно малый – чтобы температуру всех его точек можнобыло считать одинаковой. Вертикальное движение воздуш-ного пакета будем рассматривать как квазистатический ади-абатический процесс, т.e. теплообменом с окружающимвоздухом можно пренебречь. Если воздушный пакет под-нимается в атмосфере, он расширяется и охлаждается.Напротив, если он опускается, растущее внешнее давлениесжимает воздух внутри пакета, в результате его температу-ра увеличивается.

Так как размер пакета невелик, давление воздуха в разныхего точках имеет одно и то же значение p(z), где z – высотацентра пакета. Температура также предполагается постоян-ной по всему пакету и равной ( )pT z ; эта температура в общемслучае отличается от температуры окружающего воздухаT(z). В частях 2.1 и 2.2 мы не будем делать никакихпредположений относительно вида зависимости T(z).

2.1. Изменение температуры пакета pT с высотой характе-

ризуется величиной pdTG

dz= - . Выведите выражение для

( )p,G T T .

2.2. Рассмотрим особое состояние атмосферы, при кото-ром на любой высоте z температура атмосферы равна темпе-

ратуре пакета: ( ) ( )pT z T z= . Обозначим через Γ значение G

при pT T= , т.е. pdT

dzΓ = - при pT T= . Величина Γ называ-

ется скоростью изменения температуры в сухой адиабатичес-

кой атмосфере.2.2.1. Выведите выражение для Г.2.2.2. Вычислите численное значение Г.2.2.3. Выведите выражение для температуры атмосферы

T(z) как функции высоты.2.3. Предположим, что температура атмосферы изменяет-

ся с высотой по закону ( ) ( )0T z T zΛ= - , где Λ – константа.

Получите зависимость температуры пакета от высоты, т.е.

( )pT z .2.4. Напишите приближенное выражение для ( )pT z , если

( )0z TΛ = и ( ) ( )p0 0T T» .

3. Стабильность атмосферыВ этой части мы будем предполагать, что T изменяется с

высотой по линейному закону.3.1. Рассмотрим воздушный пакет, находящийся в началь-

ный момент времени в равновесии с окружающим воздухомна высоте 0z , т.e. имеющий ту же температуру ( )0T z , что иокружающий воздух. Если пакет незначительно смещаетсявверх или вниз (например, при атмосферном возмущении),возможен один из следующих трех случаев:

пакет возвращается на первоначальную высоту 0z , равно-весие пакета устойчиво, в этом случае говорят, что атмосфе-ра стабильна;

пакет продолжает двигаться в направлении первоначаль-ного смещения, равновесие пакета неустойчиво, атмосферанестабильна;

пакет остается в его новом положении, равновесие пакетабезразлично, атмосфера нейтральна.

Каким условиям должно удовлетворять значение Λ , что-бы атмосфера была: стабильной, нестабильной, нейтраль-ной?

3.2. Пусть температура пакета на земле ( )p 0T выше, чемтемпература T(0) окружающего воздуха. Выталкивающаясила поднимает пакет. Выведите выражение для максималь-ной высоты, которой пакет может достигать в случае ста-бильной атмосферы, в зависимости от Λ и Г.

4. Высота смешивания4.1. Taблица показывает температуру воздуха, записан-

ную шаром-зондом в 7 часов утра в ноябрьский день в Ханое.Зависимость температуры от высоты внутри диапазонов0 < z < 96 м, 96 м < z < 119 м, 119 м < z < 215 м может быть

приближенно описана формулой ( ) ( )0T z T zΛ= - , где каж-дому диапазону соответствует свое значение Λ .

Таблица

Высота, м 5 60 64 69 75 81 90 96 102

Tемпература, oC 21,5 20,6 20,5 20,5 20,4 20,3 20,2 20,1 20,1

Высота, м 109 113 119 128 136 145 153 159 168Tемпература, oC 20,1 20,1 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 20,6 20,8

Высота, м 178 189 202 215 225 234 246 257

Tемпература, oC 21,0 21,5 21,8 22,0 22,1 22,2 22,3 22,3

Рассмотрим воздушный пакет с температурой pT  = 22 oC,поднимающийся от земли. На основании данных тaблицывычислите температуры пакета на высотах 96 м и 119 м,используя описанное выше линейное приближение.

4.2. Какой максимальной высоты H может достичь па-кет? Найдите температуру pT пакета на этой высоте. Вы-сота H называется высотой смешивания. Воздушные заг-рязнения, выбрасываемые в атмосферу с земли, могут сме-шиваться с атмосферным воздухом (например из-за ветра,турбулентности и т.д.) и остаются во взвешенном состоя-нии ниже высоты H.

5. Оценка загрязнения угарным газом (CO) в течениеутреннего часа пик в Ханое

Густо населенная часть Ханоя может быть аппроксимиро-вана прямоугольником со сторонами L и W, как показано нарисунке 5 (сторона L идет вдоль Красной реки). По оценке,в течение утреннего часа пик, начинающегося с 7:00 утра,на дорогах находится 58 10Ч мотоциклов, каждый из которыхпробегает в среднем 5 км и выпускает 12 г CO на километр.

О Л И М П И А Д Ы 47

Будем считать, что этоколичество CO-загрязне-ний выпускается равно-мерно по времени в тече-ние часа пик; общуюмассу загрязнений, выб-расываемую в единицувремени, обозначим M.В то же время, чистыйсеверо-восточный ветер,дующий перпендикуляр-но Красной реке (сторо-не L прямоугольника) соскоростью u, проходитчерез город с такой жескоростью и уносит часть

загрязненного воздуха из городской атмосферы.Мы будем использовать следующее грубое приближение:

Рис. 5

g CO быстро распространяется по всему объему зонысмешивания над густозаселенной частью Ханоя, так чтоконцентрация C(t) угарного газа в момент времени t можносчитать одинаковой по всему прямоугольному параллелепи-педу со сторонами L, W и H;

g приносимый ветром воздух является чистым, а загряз-ненный воздух не может покидать параллелепипед черезстороны, параллельные ветру;

g до 7:00 утра концентрация CO в атмосфере пренебрежи-мо мала.

5.1. Получите дифференциальное уравнение для зависи-мости концентрации C(t) CO-загрязнений от времени.

5.2. Решите это уравнение и запишите выражение дляC(t).

5.3. Рассчитайте численное значение C(t) в 8:00 утра, еслиL = 15 км, W = 8 км, u = 1 м/с.

Публикацию подготовили С.Козел, В.Слободянин

В мае 2008 года в Московском государственном техничес-ком университете (МГТУ) им. Н.Э.Баумана прошла очередная(двенадцатая) Московская городская олипиада по физикесреди студентов технических вузов.

В командном зачете первое место заняла команда Россий-ского государственного университета (РГУ) нефти и газа им.И.М.Губкина, набравшая 128 баллов, второе место занялакоманда Московского института стали и сплавов (112 бал-лов), третье место – команда Московского института элек-тронной техники (МИЭТ) (108 баллов).

В личном зачете первое место поделили Доан Дык Ня (РГУнефти и газа им. И.М.Губкина) и Дмитрий Бундин (МИЭТ),набравшие по 33 балла, второе место завоевал ДмитрийРухлов (МИЭТ, 30 баллов), третье место – Игорь Прудников(МГТУ им. Н.Э.Баумана, 29 баллов).

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

1. Определите, произойдет ли столкновение при движениидвух автомобилей по шоссе, если первый автомобиль резкозатормозит с ускорением а, время реакции водителя второгоавтомобиля τ , ускорение торможения второго автомобиляна 20% больше, чем у первого. Начальная скорость автомо-билей 8v aτ= , а начальная дистанция между ними

211 4L aτ= .2. Маятник представляет из себя нить длиной l, к нижнему

концу которой привязан стержень. Точка соединения нахо-дится от центра масс стержня на расстоянии R l= . Маятниксовершает малые колебания таким образом, что угол откло-нения от вертикали у стержня всегда вдвое больше, чем унити. Определите длину стержня.

3. Орбитальная околоземная станция находится на низкойкруговой орбите, имеет вид однородного стержня длиной 0,1радиуса Земли и ориентирована все время к ее центру.Определите максимальный вес человека массой m, находя-щегося внутри станции, а также расстояние от центра массстанции до точки, в которой сила растяжения корпусастанции максимальна.

Московская студенческаяолимпиада по физике

4. Два невесомых цилиндра радиусами r и R, оси которыхгоризонтальны и параллельны между собой, находятся вравновесии на наклонной плоскости, если на них положенадоска массой m. Угол между наклонной плоскостью игоризонтом α, проскальзывание отсутствует. Определитерасстояние между осями цилиндров.

5. Две одинаковые тепловые машины работают с одноатом-ным газом по циклу, состоящему из двух изохор, в которых

3 22 1 2V V = , и двух адиабат. Температура в начале изохор-

ного охлаждения 2T , а в начале изохорного нагрева 1T , приэтом 2 1T T = 5. Работа осуществляется таким образом, что,когда в одной машине идет изохорное охлаждение, онаотдает тепло другой машине, в которой в этот момент идетизохорный нагрев. Определите, на сколько повышаетсяКПД за счет процесса обмена теплом, если он протекает довыравнивания температур.

6. Работа по перемещению заряда q из бесконечности вточку, находящуюся на расстоянии l от центра металличес-кой сферы радиусом R, равна А, если сфера изолирована.Определите работу, которую необходимо затратить, чтобыудалить заряд на бесконечность, если заряд сначала внеслипри заземленной сфере, а затем заземляющую перемычкуудалили.

7. Перемычка массой m с сопротивлением R лежит на двухгоризонтальных параллельных рельсах, расстояние междукоторыми a. К рельсам на время t подключили источник сЭДС E . Какое вертикально направленное магнитное поле Внеобходимо создать, чтобы скорость перемычки после от-ключения источника достигла максимального значения?Считать, что ( )exp 1,26 3,52= .

8. Зонная пластинка с закрытой первой зоной Френеляпомещена в отверстие, радиус которого равен радиусу пятойзоны Френеля, и освещена светом интенсивностью 0I .Определите интенсивность света в точке наблюдения. Чтоизменится, если радиусы всех зон увеличить на половинуследующей зоны (закрыть полторы первой зоны, с серединытретьей зоны по середину четвертой и т.д.)?

48 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6И Н Ф О Р М А Ц И Я

Очередной набор в ОЛ ВЗМШ

Открытый лицей «Всероссийская заочная многопредмет-ная школа» (ОЛ ВЗМШ) Российской академии образова-ния, работающий при Московском государственном уни-верситете им. М.В.Ломоносова, в сорок пятый раз проводитнабор учащихся.

ОЛ ВЗМШ – государственное учреждение дополнитель-ного образования, причем не только для школьников. «ОТ-КРЫТЫЙ» – значит доступный для всех желающих попол-нить свои знания в одной или нескольких из следующих об-ластей науки: математика, биология, филология, физика,экономика, химия, правоведение, история, информатика(перечисление – в хронологическом порядке открытия отде-лений).

Сейчас ОЛ ВЗМШ совместно с другими научно-педагоги-ческими учреждениями ведет исследовательские работы поразработке новых интерактивных технологий в образованиии переводу части своих учебно-методических комплексов наязык современных телекоммуникаций, в частности – поорганизации Интернет-отделения ОЛ ВЗМШ.

За время существования ВЗМШ удостоверения о ее окон-чании получили несколько сотен тысяч школьников и тыся-чи кружков – групп «Коллективный ученик ВЗМШ».

Обучение в школе ЗАОЧНОЕ, т.е. начиная с сентября-октября 2009 года все поступившие будут систематическиполучать специально разработанные для заочного обученияматериалы, содержащие изложение теоретических вопро-сов, методов рассуждений, разнообразные задачи для само-стоятельной работы, образцы решений задач, деловые игры,контрольные и практические задания.

Контрольные работы учащихся будут тщательно прове-ряться и рецензироваться преподавателями ВЗМШ – студен-тами, аспирантами, преподавателями и научными сотрудни-ками МГУ, а также других вузов и учреждений, где имеютсяфилиалы школы. Многие из преподавателей в свое времясами закончили ВЗМШ и поэтому особенно хорошо понима-ют, как важно указать, помимо конкретных недочетов, путиликвидации имеющихся пробелов в знаниях, порекомендо-вать дополнительную литературу, поругать за невниматель-ность и похвалить за заметный (а иногда – и за самыймаленький) прогресс и трудолюбие.

Поступившие в ОЛ ВЗМШ смогут узнать об увлекатель-ных вещах, часто остающихся за страницами школьногоучебника, познакомиться с интересными нестандартнымизадачами и попробовать свои силы в их решении. Для многихстанет откровением, что задачи бывают не только в матема-тике, физике и химии, но и в биологии, филологии, эконо-мике и других науках. Решение задач поможет прояснить,сделать интересными многие разделы, казавшиеся непонят-ными и скучными.

Одна из особенностей учебных программ и пособий ВЗМШ– в том, что они созданы действующими на переднем краенауки талантливыми учеными и опытными незауряднымипедагогами. Недаром на X Всемирном конгрессе по матема-тическому образованию, который прошел летом 2004 года вДании, рассказ о 40-летней работе математического отделе-ния ОЛ ВЗМШ вызвал неподдельный интерес и одобрениеучастников.

Чтобы успешно заниматься в заочной школе, вам придетсянаучиться самостоятельно и продуктивно работать с книгой,грамотно, четко, коротко и ясно излагать свои мысли, а это,как известно, умеют далеко не все. Возможно, наша заочнаяшкола поможет вам выбрать профессию, найти свое место вокружающем мире.

Все выполнившие программу ОЛ ВЗМШ получают дипло-мы. Хотя формальных преимуществ они не дают, приемныекомиссии многих вузов учитывают, что обладатели этихудостоверений в течение продолжительного времени самоот-верженно трудились над приобретением знаний, научилисьсамостоятельно творчески работать, а это значит, что из нихполучатся хорошие студенты и, в дальнейшем, грамотные,вдумчивые, широко образованные специалисты.

Если у вас имеется такая возможность, вы будете частичнообщаться с нашей школой с помощью Интернета – чемдальше, тем больше.

Для поступления в ОЛ ВЗМШ надо успешно выполнитьвступительную контрольную работу. Приемную комиссиюинтересует, в первую очередь, ваше умение рассуждать,попытки (пусть поначалу не совсем удачные) самостоятель-но мыслить и делать выводы. Преимуществом при поступле-нии пользуются проживающие в сельской местности, посел-ках и небольших городах, где нет крупных научных центрови учебных заведений и где получить дополнительное образо-вание можно лишь заочно.

Решения задач вступительной работы надо написать нарусском языке в обычной ученической тетради в клетку (нанекоторые отделения – на открытке или на двойном тетрад-ном листе; см. ниже). Желающие поступить сразу на не-сколько отделений каждую работу присылают в отдельнойтетради. На обложке тетради укажите: фамилию, имя,отчество, год рождения, базовое образование (сколькоклассов средней школы будет закончено к сентябрю 2009года), полный почтовый адрес (с индексом), откуда узналиоб ОЛ ВЗМШ (из «Кванта», от друзей, из афиш заочнойшколы и т.п.), на какое отделение хотите поступить.

Вступительные работы обратно не высылаются.Без вступительной работы, только по заявлению, прини-

маются на индивидуальное обучение победители областных(краевых, республиканских) туров всероссийских олимпиадпо соответствующим предметам, а также участники финаль-ных туров этих олимпиад.

Учащиеся ОЛ ВЗМШ частично возмещают расходы насвое обучение. По просьбе тех, кто не в состоянии внести этуплату, ОЛ ВЗМШ готов обратиться в школу, в органнародного образования, к другому спонсору с ходатайствомоб оплате этим благотворителем соответствующих расходов.

Помимо индивидуального обучения, на всех отделенияхВЗМШ, кроме экономического и биологического, имеетсяформа обучения «Коллективный ученик». Это группа уча-щихся, работающая под руководством преподавателя (школь-ного учителя, преподавателя вуза, студента или другогоэнтузиаста), как правило, по тем же пособиям и программам,что и индивидуально. Прием в эти группы проводится до 15октября 2009 года. Для зачисления группы требуется заяв-ление ее руководителя (с указанием его профессии и долж-ности, со списком учащихся и сообщением о том, в какомклассе они будут учиться с сентября 2009 года); заявлениедолжно быть подписано руководителем группы, заверено иподписано руководителем учреждения, при котором будетработать группа. Работа с группами «Коллективный ученик»может оплачиваться школами как факультативные занятия.

Обо всех наших отделениях вы можете узнать на обще-школьном сайте ОЛ ВЗМШ:

www.vzmsh.ruНа ваши вопросы мы ответим по электронной почте:vzms@yandex.ruНа Северо-Западе России работает Заочная школа Ле-

нинградского областного Министерства образования, со-зданная при Санкт-Петербургском государственном уни-

И Н Ф О Р М А Ц И Я 49

верситете и имеющая отделения математики, биологии ихимии.

Проживающие на Северо-Западе России (в Архангельс-кой, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Нов-городской, Псковской областях, Карельской и Коми респуб-ликах), желающие поступить на отделение математики,высылают вступительные работы по адресу: 197755 Санкт-Петербург, Лисий Нос, Ново-Центральная ул., д. 21/7,Северо-Западная ЗМШ (на прием).

Проживающие в остальных регионах России, дальнем иближнем зарубежье высылают свои работы по математике вадрес ОЛ ВЗМШ или соответствующего филиала.

Адрес ОЛ ВЗМШ: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ,ОЛ ВЗМШ, на прием (укажите отделение)

Телефон: (495) 939-39-30Адреса филиалов математического отделения ОЛ ВЗМШ:241035 г.Брянск, ул. Мало-Орловская, д. 8;тел.: (4832) 56-18-08; e-mail: brotek@mail.ru;610002 г. Киров, а/я 2039, ЦДООШ;тел.: (8332) 35-15-03, 35-15-04; e-mail: sms@extedu.kirov.ru;сайт: http://cdoosh.kirov.ru;150000 г. Ярославль, ул. Советская, д.14;тел.: (0852) 11-82-03; e-mail: olimp@olimp.edu.yar.ru

Ниже вы найдете краткие сведения о каждом отделенииОЛ ВЗМШ и условия вступительных контрольных заданий.

Отделение математики

Из этого отделения, открывшегося в 1964 году, вырослався заочная школа (вначале она так и называлась – матема-тическая).

За время обучения вы более глубоко, чем в обычной школе,сможете осознать основные идеи, на которых базируетсякурс элементарной математики, познакомиться (по жела-нию) с некоторыми дополнительными, не входящими сейчасв школьную программу разделами, а также поучиться ре-шать олимпиадные задачи. На последнем курсе большоевнимание уделяется подготовке к сдаче школьных выпуск-ных экзаменов и вступительных экзаменов в вузы.

На отделении созданы учебно-методические комплексы,приспособленные для заочного обучения. Часть из нихиздана массовым тиражом. Осуществляется перевод ужеапробированных и вновь создаваемых материалов на элект-ронный язык в интерактивном режиме, отделение готовитсяк работе в Интернете. Практически каждый год издаются и«проходят обкатку» новые пособия, расширяющие и допол-няющие программу обучения.

Окончившие отделение математики получат, в зависимос-ти от желания и способностей, либо подготовку, необходи-мую для выбора математики как профессии, либо математи-ческую базу для успешного усвоения вузовского курса мате-матики, лежащего в основе профессиональной подготовки подругим специальностям: ведь сейчас математика служитмощным инструментом исследований во многих отрасляхчеловеческой деятельности. Поступившие в этом году напервый курс смогут выбирать новые пособия, разработанныедля будущих физиков и биологов, химиков и историков...

Обучение длится 5 лет. Можно поступить на любой курс.Для этого к сентябрю 2009 года надо иметь следующую базу:на 1-й курс – 6 классов средней школы, на 2-й курс – 7классов, на 3-й – 8, на 4-й – 9, на 5-й – 10 классов. При этомпоступившим на 2-й, 3-й и 4-й курсы будет предложена частьзаданий за предыдущие курсы. Для поступивших на 5-й курсобучение проводится по специальной интенсивной програм-ме с упором на подготовку в вуз.

Для поступления надо решить хотя бы часть задач поме-

щенной ниже вступительной работы (около номера каждойзадачи в скобках указано, учащимся каких классов онапредназначена; впрочем, можно, конечно, решать и задачидля более старших классов). На обложке тетради напишите,на какой курс вы хотите поступить и в каком классе будетеучиться с 1 сентября 2009 года.

Срок отправки вступительной работы – до 15 апреля2009 года.

Группы «Коллективный ученик» (на все курсы по любойпрограмме) принимаются без вступительной работы.

Работы можно отправлять по электронному адресу:priem@vzms.org

Сайт математического отделения:http://math.vzms.org

Задачи

1 (6–10). Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержа-щего 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

2 (8–10). Через точку А окружности проведены касатель-ная и хорда АВ длины 5. Хорда ВС параллельна проведен-ной касательной и равна 6. Найдите радиус окружности.

3 (8–10). Решите систему уравнений

2

2 2

6 3 2 0,

5 9 12 4 3 2 0.

x x y

y y x x

м + - - + =пнп + + + - + =о

4 (6–10). В спортивной секции фигурного катания наконьках 5/6 всех мальчиков и 3/4 всех девочек занимаютсяпарным фигурным катанием, остальные – индивидуальным.Какая часть всех ребят секции занимается индивидуальнымфигурным катанием (увлекающиеся парным катанием могуткататься только в одной паре)?

5 (8–10). Хорда АВ окружности радиуса 12 разделенаточкой С на отрезки АС = 8 и СВ = 10. Найдите наибольшееи наименьшее расстояния от точки С до точек окружности.

6 (6–10). Найдите все пары целых чисел (а; b), удовлет-воряющие уравнению

2 2 2 2 2004a b a b+ + = .

7 (8–10). В равнобедренной трапеции ABCD большееоснование AD равно 12, меньшее основание ВС равно 6,высота равна 4. Что больше: угол ВАС или угол CAD?

8 (7–10). Известно, что при всех значениях величины х,кроме х = 2, имеет место равенство

( ) ( )22

1

211 2

ax b c

xx xx x x

+= +

-+ ++ + -.

Найдите а, b и с.9 (8–10). Пусть а, b, c – длины сторон некоторого

треугольника. Докажите, что2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 23

a bc b ac c ab

b c a c a b

+ + ++ + >

+ + +.

10 (6–10). Единичный квадрат разбит прямыми, парал-лельными его сторонам, на 9 равных квадратов, и среднийквадрат выброшен. Каждый из оставшихся восьми малень-ких квадратов в свою очередь разделен прямыми, параллель-ными его сторонам, на 9 равных частей (квадратиков), и егосредняя часть выброшена, после чего аналогичная операцияпроделана с каждым из оставшихся 64 квадратиков и т.д.Пусть эта операция повторена n раз.

а) Сколько квадратиков со стороной 1

3n осталось?

б) К чему стремится сумма площадей квадратов, выбро-шенных за все n шагов, при неограниченном возрастанииn?

50 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

Отделение биологии

Зачисление на отделение проводится на конкурсной осно-ве по результатам вступительной работы. В конкурсе могутпринять участие школьники, которые в этом учебном годузанимаются в 8 или 9 классе, независимо от места прожива-ния. Обучение для восьмиклассников длится 3 года, длядевятиклассников – 2 года.

Учащимся восьмых классов необходимо решить задачи 1–5 помещенной ниже вступительной работы, девятиклассни-кам – задачи 2–6. В ответах можно использовать и факты,найденные в литературе, и собственные идеи. Просим длясведений, почерпнутых из книг, приводить ссылки на источ-ники.

Вместе с работой пришлите конверт с маркой и заполнен-ным адресом (для отправки решения приемной комиссии).

Срок отправки вступительной работы – не позднее 10мая 2009 года.

Задачи

1. Какие вы знаете приспособления, защищающие расте-ния от поедания их животными?

2. Как известно, летать могут и млекопитающие, и птицы,и насекомые (хотя и не все). Какие приспособления к полетуимеются у этих организмов? Для каждого приспособленияукажите, в каких из трех перечисленных групп животныхоно встречается.

3. Для каждого из перечисленных ниже мероприятийукажите, предотвращению каких болезней и групп болезнейлюдей оно будет способствовать, а против каких заболеванийокажется бессильным. А какие из этих мероприятий позво-лят снизить тяжесть заболевания? Ответы обоснуйте.

А. Применение антибиотиков.Б. Употребление поливитаминов.В. Обливания холодной водой.Г. Переливание плазмы крови людей, выздоровевших

после этой болезни.Д. Постоянное ношение на лице марлевой повязки.4. У одних видов организмов плотность особей на единицу

площади обитания относительно стабильна в разные сезоныи годы, а у других – скачкообразно меняется. Приведитепримеры тех и других видов. Перечислите причины, скоторыми могут быть связаны указанные отличия.

5. В почве обитают представители самых разных группживотных. Какие приспособления к такому образу жизни уних возникли? Для каждого из указанных вами приспособ-лений приведите по одному-два примера животных, у кото-рых оно имеется.

6. Ареалом вида называют географическую область егораспространения. У многих организмов за последние 2000лет ареалы значительно изменились. С какими конкретнымипричинами это связано в разных случаях? Каждую изпричин проиллюстрируйте одним-двумя примерами.

Отделение физики

Обучение на отделении одно-, двух- и трехгодичное. Натрехгодичный поток (курс Ф3) принимаются оканчивающиев 2009 году 8 классов средней школы, на двухгодичный (курсФ2) – оканчивающие 9 классов и на одногодичный (курсФ1) – 10 классов. Учащиеся, оканчивающие десятый класс,могут пройти ускоренно всю программу за один год (курсФ0). Для поступления на курс Ф3 нужно решить задачи 1–5 приведенной ниже вступительной работы, на курс Ф2 –задачи 4–9, на курс Ф1 – задачи 5–10, на курс Ф0 – задачи4–10. На обложке тетради следует указать фамилию, имя иотчество, код курса (Ф0, Ф1, Ф2 или Ф3), сколько классов

будет закончено к 1 сентября 2009 года, полный почтовыйадрес (с индексом), адрес e-mail (если есть), телефон.

Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2009года.

Группы «Коллективный ученик» принимаются на курсыФ1, Ф2, Ф3 без вступительной работы.

Сайт отделения физики: http://www.phys.problems.ru

Задачи

1. По параллельнымжелезнодорожным пу-тям 1 и 2, отстоящимдруг от друга на L == 100 м, едут два поездаодинаковой длины 0L == 100 м со скоростями

1v = 54 км/ч и 2v == 36 км/ч соответствен-но. На перпендикуляр-ной дороге на расстоя-нии s = 50 м от первого пути стоит человек, который замечаетпоезда, когда они оба находятся на расстоянии l = 100 м слеваот дороги (рис.1). Сколько времени человек не будет цели-ком видеть поезд, идущий по второму пути?

2. В калориметр, содержащий воду массой m = 150 г,добавляют лед. Чтобы не весь лед растаял, его нужноположить не менее 1m = 50 г, а чтобы замерзла вся вода – неменее 2m = 150 г. Сколько нужно положить льда той жетемпературы, чтобы после наступления теплового равнове-сия его масса не изменилась?

3. На рисунке 2 изображена электрическая схема, собран-ная из одинаковых лампочек. Найдите: а) какая лампочкабудет гореть наиболее яркопри подключении постоян-ного напряжения к точкамA и B; б) отношение мощ-ностей, выделяющихся налампочках 5 и 6 при под-ключении постоянного на-пряжения к точкам A и C.

4. Найдите, сколько вре-мени секундная стрелкачасов будет находиться впе-реди минутной за первые10 мин каждого часа исколько – за последние 10мин. Считается, что впереди находится та стрелка, котораясоставляет больший угол с направлением на 12 часов,отсчитанный от этого направления по ходу движения стре-лок.

5. Шарик радиусом R, подвешенный на нити, освещенпараллельным пучком света. За шариком на расстоянии 2Rот его центра перпендикулярно пучку установлен экран.Перед шариком на таком же расстоянии устанавливаютперпендикулярно пучку либо собирающую линзу с фокуснымрасстоянием 1F = 6R, либо рассеивающую линзу с фокуснымрасстоянием 2F = –2R. Найдите отношение радиусов тенейот шарика на экране в этих двух случаях.

6. На горизонтальном столе лежит маленький мячик. Внекоторый момент стол начинает двигаться вниз, практичес-ки мгновенно приобретая скорость v, которая в дальнейшемне изменяется. Найдите среднюю скорость движения мячикав промежутках между соударениями со столом, считая ихабсолютно упругими.

7. Два груза одной и той же массы соединены длиннойнитью, переброшенной через неподвижный блок. Один из

Рис. 1

Рис. 2

И Н Ф О Р М А Ц И Я 51

грузов представляет собой мешок с песком. В некоторыймомент песок начинает высыпаться с постоянной скоростью,и через промежуток времени T = 1 мин мешок оказываетсяпустым. За какое время сила давления нити на ось блокастановится вдвое меньше исходного значения? Массой меш-ка можно пренебречь, нить и блок идеальные.

8. Прописная буква А сделана из однородных деревянныхпалочек общей массой m = 200 г. Наклонные палочки равныпо длине и составляют друг с другом угол 30α = ° , третьяпалочка соединяет их середины. Растянута или сжата ока-жется эта палочка в направлении своей оси и с какой силой,если букву: а) подвесить за точку соединения наклонныхпалочек; б) поставить на гладкую горизонтальную поверх-ность?

9. В комнате с высотой потолка H = 2,2 м бросают сверхувниз маленький мячик со скоростью v = 9 м/с с расстоянияh = 1 м от пола. Сколько произойдет ударов мячика опотолок, если при каждом ударе о пол или потолок доляα = 25% кинетической энергии мячика переходит в тепло?

10. Над газом совершают циклический процесс 1–2–3–4–1. В начальном состоянии 1 давление, объем и температурагаза равны 1p , 1V и 1T соответственно. В процессе 1–2 газизобарически расширяется в полтора раза. На участке 2–3давление газа линейно уменьшается с увеличением объема дозначения 1 2p . Процесс 3–4 – изобарический, а 4–1 –изохорический. Найдите температуру газа в точке 3, еслиизвестно, что работа, совершенная газом за цикл, равна

1 1 3A pV= .

Отделение химии

На отделение принимаются учащиеся, имеющие базовоеобразование в объеме 8, 9 и 10 классов средней школы.

Полная программа обучения на отделении – три года.Программа включает следующие одногодичные курсы:g общая химия (с элементами неорганической химии);g неорганическая химия;g органическая химия;g химия окружающей среды (полгода).Если вы хотите научиться решать задачи, вам будет

полезен курс «Методы решений задач по химии». Его можносовмещать с другими курсами.

Более подробные сведения о программе и порядке обуче-ния высылаются вместе с извещением о решении Приемнойкомиссии.

Задачи вступительной работы, помещенные ниже, – общиедля всех поступающих, независимо от базового образования.

Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2009года.

Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступи-тельной работы.

Наш сайт: http://www.chem-dist.ru

Задачи

1. Некоторая соль содержит 46,43% калия, 14,29% углеро-да, 38,10% кислорода (по массе). Найдите брутто-формулусоли. Как называется эта соль?

2. Давайте обсудим процесс

2 3SrO CO SrCO Q+ +� .А) Как сдвинуть равновесие этой реакции вправо? Пере-

числите все возможные способы.Б) Как увеличить скорость этой реакции? Перечислите все

возможные способы.3. К 200 г 16,56%-го раствора нитрата свинца (II) добавили

80 г 28%-го раствора гидроксида калия. Был получен про-зрачный раствор. Затем в этот раствор при 25 оС пропустили

7,34 л хлороводорода. Выпал белый осадок. Установите егосостав. Рассчитайте массу осадка. Напишите уравненияреакций.

4. Какие продукты могут образовываться при взаимодей-ствии 3-фенилпропена-1 с бромом? Укажите условия реак-ций.

5. Какие процессы будут происходить, если аминоуксус-ную кислоту поместить: а) в кислый раствор; б) в щелочнойраствор? Напишите уравнения реакций. Постройте на одномграфике качественную зависимость концентраций разныхформ аминоуксусной кислоты от рН.

6. Как хранить универсальный растворитель (которыйрастворяет ВСЕ)?

Отделение филологии

За время существования отделения подготовлено и изданобольшое количество уникальных учебных пособий по рус-скому языку, общему языкознанию, истории и теории лите-ратуры.

На отделение принимаются все желающие, имеющие базо-вую подготовку в объеме 7 классов.

Отделение предлагает на выбор 18 учебных программ.Подробно о них рассказано на нашем сайте. Также сведенияо программах и порядке обучения высылаются вместе с из-вещением о решении Приемной комиссии. При оценке всту-пительной работы учитывается, в каком классе вы учитесь.

Вы хотите исправить грамотность? Познакомиться с любо-пытными проблемами теории и практики русского языка?Освоить приемы лингвистического или литературоведческо-го анализа? Узнать кое-что о журналистике и оценить своитворческие способности? Приобрести навыки, необходимыедля успешной сдачи экзаменов в вуз? Тогда выполните ипришлите нам вступительное задание.

Внимание! На первой странице укажите следующие дан-ные: Ф.И.О., какой класс заканчиваете, полный (с индек-сом!) почтовый адрес, телефон. Вместе с выполненнымзаданием пришлите, пожалуйста, стандартный конверт смаркой и заполненным вашим адресом (с индексом) дляответа Приемной комиссии.

Срок отправки вступительной работы – до 15 мая 2009года.

Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступи-тельной работы.

Если вопросы, предложенные нами, для вас пока сложны,но вы хотите у нас учиться, пришлите информацию о себе,и мы постараемся помочь.

Наш e-mail: filologiyvzmsh@mail.ruНаш сайт: http://philologist.su

Вопросы

1. Помните историю дуэли Онегина и Ленского? Авторутверждает, что «пружина чести», сработав, как всегда,безотказно, заставила Онегина принять вызов. При этом самгерой недоволен собой: он чувствует, что повел себя не какследует «мужу с честью и умом». Итак, Онегин стрелялся,следуя закону чести или вопреки ему?

2. Прокомментируйте правку, осуществленную М.Н.Кат-ковым при первой публикации романа «Отцы и дети» в егожурнале «Русский вестник». Вот, например, описание лицаБазарова: «Длинное и худое, с широким угреватым лбом».Из фразы Евгения об отце («презабавный старикашка идобрейший») были выброшены слова «и добрейший». Чтотакие изменения привносили в роман и зачем это понадоби-лось редактору?

3. Откуда берется «музыка поэзии»? Проиллюстрируйтесвои размышления любым поэтическим текстом.

52 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

4. В русском языке много пословиц, поговорок, устойчи-вых выражений, в которых упоминаются собаки, щенки.Попробуйте вспомнить как можно больше выражений, со-держащих слова корова, бык, теленок и все их производ-ные.

5. Раскройте скобки, вставьте пропущенные буквы, рас-ставьте недостающие знаки препинания:

Старик хозяин показал зва(н, нн)ым гостям к…(л, лл)ек-цио(н, нн)ые стари(н, нн)ые серебря(н, нн)ые монетысобра(н, нн)ые им (в)течени… всей его жизни которые былипродума(н, нн)но систематизирова(н, нн)ы и уложе(н, нн)ыв карто(н, нн)ные коробочки с прикле…(н, нн)ыми стек-ля(н, нн)ыми крышечками на которых масл…(н, нн)ымикрасками начерта(н, нн)ы номера в соответстви… с про-стра(н, нн)ыми ко(м, мм)ентариями напечата(н, нн)ого намашинке многостраничного к…т…лога.

Отделение экономики

Обучение на отделении проводится по двум основнымпрограммам: «Прикладная экономика» и «Экономика игеография». Программа «Прикладная экономика» включа-ет изучение основ экономической теории, а также знаком-ство с практикой бизнеса в деловой игре по переписке.Учащиеся программы «Экономика и география», помимоизучения основ экономической теории, знакомятся с физи-ческой и экономической географией, участвуют заочно вувлекательных путешествиях по странам мира.

Окончившим одну из основных программ предлагаетсяспециализация по выбору: «Основы предпринимательства именеджмента», «Бухгалтерский учет и финансовый ана-лиз», «Мировая экономика», «Экономика России: прошлое,настоящее и будущее».

На отделение принимаются все желающие с образованиемне ниже 7 классов средней школы. Обучение проводитсялибо индивидуально, либо в небольших группах (2–4 чело-века). Формы обучения «Коллективный ученик» на отделе-нии нет.

Учащимся 10–11 классов, желающим подготовиться од-новременно к вступительным экзаменам на экономическиефакультеты МГУ им.М.В.Ломоносова и других экономи-ческих вузов, предлагается специальная программа «Эко-номика ПЛЮС», включающая, наряду с экономическимидисциплинами, углубленное изучение нескольких дополни-тельных предметов: математики, обществознания, русскогоязыка и литературы. Программа включает подготовку кЕГЭ по тем предметам, по которым экономические вузыпринимают результаты ЕГЭ в качестве вступительных эк-заменов. Для школьников, интересующихся географичес-кой наукой и собирающихся поступать на географическийфакультет МГУ или другого вуза, существует программа«География ПЛЮС», созданная преподавателями ОЛВЗМШ и географического факультета МГУ на основе опытаподготовительных курсов по географии Московского уни-верситета.

Вступительная работа для учащихся дается в форме тес-та. Решения присылайте только на открытках с указаниемполного почтового адреса и индекса, фамилии, имени иотчества (все – печатными буквами); обязательно укажи-те источник информации об ОЛ ВЗМШ и напишите «Эко-номика, вступительный тест-2009». На открытке достаточ-но записать в строчку номера вопросов и под каждымнаписать букву, соответствующую ответу, который вы счи-таете правильным. Ответы на большую часть вопросов выможете найти, внимательно изучив научно-популярные жур-налы «Квант» и «Наука и жизнь» за 2008 год. Правильноответившие на все вопросы получат из букв своих ответов

зашифрованное слово, являющееся названием страны –крупного экспортера природных ресурсов, развитие кото-рой все больше связывается со становлением экономикизнаний.

Срок отправки вступительной работы — до 1 июня 2009года.

Тест

1. Как называется одна из универсальных закономернос-тей в развитии современного общества, представляющаясобой объективный процесс универсализации, упорядочива-ния социальных институтов, связей и отношений, становле-ния единых общепланетарных структур в различных сферахжизни общества:

Т) волюнтаризм;Р) глобализация;К) интернационализация;З) провиденциализм;П) урбанизация?2. Берега какой из перечисленных стран не омываются

водами Северного Ледовитого океана:У) Дания;О) Исландия;А) Канада;Е) Норвегия;И) США?3. Укажите ОШИБКУ в перечне мер государственной

экономической политики, направленных на борьбу с инфля-цией:

Р) снижение импортных пошлин;Н) сокращение социальных расходов;В) повышение ставок подоходного налога;С) осуществление деноминации;М) введение государственного контроля за уровнем цен.4. Примером народа, некогда населявшего территорию

современной России, но ушедшего в историческое небытие,являются:

Ц) курды;А) нивхи;Е) саами;С) скифы;Б) таты.5. Укажите ОШИБКУ в перечне факультетов МГУ им.

М.В.Ломоносова:Д) факультет глобальных процессов;Й) факультет мировой политики;И) факультет нанотехнологий;Ш) факультет почвоведения;Р) факультет фундаментальной медицины.6. В связи с тяжелым транспортным положением в сто-

лице правительство Москвы приняло решение о строитель-стве нового (пятого) транспортного кольца, протяженнос-тью 541 км. Допустим, строительство начинается 1 июня2008 года, причем через каждый месяц протяженность го-тового дорожного полотна будет увеличиваться вдвое. Стро-ительство планируется завершить к Дню города (4–5 сен-тября) 2009 года. Когда протяженность построенного по-лотна будет составлять половину от запланированной про-тяженности:

К) 1 января 2009 года;Т) 31 августа 2009 года;А) 1 июня 2009 года;Я) 1 августа 2009 года;И) невозможно определить?

И Н Ф О Р М А Ц И Я 53

Отделение «Нравственность, право, закон»

(право и граждановедение)

Школьникам 8–11 классов и группам «Коллективныйученик» предлагаются два курса.

1) Годовой курс «Беседы о правах человека, нравственно-сти, праве, законе и государстве». В курсе даются современ-ные представлений об основных понятиях, связанных справом, законом и государством, рассказывается об основахроссийского законодательства, о правах человека. Разбира-ются примеры судебных процессов, приводятся общекуль-турные примеры, связанные с направленностью курса.

2) Полуторагодовой курс «Беседы об основах демокра-тии».

Мы предлагаем проходить курсы именно в таком порядке.И только старшеклассники, если они не успевают пройти обакурса подряд, но обязательно хотят пройти именно второйкурс, могут начинать прямо с него.

Желающие учиться должны сообщить свой полный почто-вый адрес (адрес электронной почты, если есть), фамилию,имя и отчество, сколько классов закончено. При оценкевступительной работы мы учитываем возраст (базовое обра-зование) поступающего. В письмо обязательно вложитеобычный конверт с маркой и вашим адресом (чтобы мымогли вам ответить) и ответы на приведенные ниже вопросы.

Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2009года.

Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступи-тельной работы.

Вопросы

1. Зачем нужны партии, представляющие заведомое мень-шинство населения?

2. Почему, несмотря на возмущение большинства пассажи-ров трамвая (или другого общественного транспорта), води-тель ожидает, пока откроется возможность безопасногопроезда мимо мешающего проезду автомобиля, в котороммогут быть и всего-то 1–2 человека?

3. Сравните понятия «право» и «законодательство». Какоеиз них кажется вам более широким?

4. Какая из перечисленных ниже фамилий попала сюда«по ошибке»: Кони А.Ф.; Корнилов Л.Г.; Плевако Ф.Н.;Александров П.А.; Спасович В.Д.?

5. Упорядочите по трудности (лично для вас) заданныевыше вопросы.

Отделение истории

Обучение на отделении позволит всем, в том числе жите-лям самых отдаленных городов и деревень, расширить свойкругозор, подготовиться к поступлению в вуз. Успешнопрошедшие курс обучения получают диплом.

А зачем нужно изучать историю? Во-первых, это простоинтересно. Любопытно знать, как жили когда-то люди, вочто одевались, чем питались, что читали, как женились ивыходили замуж, за что боролись и «на что напарывались».Во-вторых, это полезно. Только зная прошлое, можно по-нять настоящее и прогнозировать будущее. Мы поможем вамв этом разобраться.

Специально для вас опытные преподаватели пишут книж-ки. Последние новости из мира истории вы узнаете однимииз первых! Мы будем поддерживать с вами постояннуюсвязь. По нашим книжкам вы будете выполнять особыезадания и сообщать нам, что вы раскопали. Ведь, в сущно-сти, труд историка и состоит из этих раскопок. Историк-археолог, копая землю и песок, отыскивает крупицы ушед-ших времен; историк-архивариус копается в груде бумаг и

достает из архивов и даже из частной переписки все, чтоможет позволить ему понять образ времени; историк-теоре-тик как увлекательный роман читает археологические табли-цы, сухие сводки, статистику и восстанавливает по нимживую ткань ушедшей жизни. У историка особая профессия:он в одном лице следователь, прокурор и адвокат времени.

Вступительное задание на отделение выполняется на двой-ном листе бумаги.

Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2009года.

Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступи-тельной работы по заявлению руководителя.

Задание

1. Отгадайте кто это:

· Над его гробом воздвигнут храм.· Ему посвящена икона Андрея Рублева «Троица» и кар-

тина Нестерова «Видение отроку Варфоломею».· Сын бедного ростовского дворянина.· В детстве имел необычный для XIV века интерес –

страсть к грамоте.· В XX веке о нем бы сказали «не от мира сего, белая

ворона».· Возможная карьера для такого юноши в Древней Руси –

книгочей в храме, переписчик книг, составитель летописногосвода… если бы не его подвижническая натура.

· В молодости – отшельник. В лесу на крутом холмепоставил келью и уединился, дав обет молчания, иночества,безбрачия.

· Основатель и настоятель Троице-Сергиева монастыря.· Установил на Руси праздник Троицы (в годы ига –

символ единства Руси).· Личным примером увлек массы русских людей на неос-

военные земли.· Способствовал переселению в края, недоступные для

ордынских набегов.· Один за другим его ученики уходят в глухие места на

пустоши и ставят монастыри – духовные и культурныецентры Руси.

· Его ученики поставили 40 монастырей, ученики учени-ков – 60.

· Его последователи – Савва Сторожевский, Кирилл Бе-лозерский и др.

2. Опишите, не более чем в 7 предложениях, политическийпортрет председателя первого советского правительства.

Внимание!ОЛ ВЗМШ проводит набор на курс «Обществознание».

Курс включает следующие дисциплины: философия, социо-логия, политология, теория государства, государственноеустройство России, право, экономика.

Слушателям направляются оригинальные учебные посо-бия, созданные на основе многолетнего опыта работы авто-ров курса. Проверка знаний осуществляется с помощьюобщепринятой системы тестирования.

Программа курса рассчитана на 1 год. Обучение носитзаочный характер и имеет целью дать выпускникам школ –как крупных городов, так и небольших сел – глубокие знанияпо общественным дисциплинам, подготовить их к успешнойсдаче ЕГЭ и поступлению в гуманитарные вузы.

Для записи на курс (как по индивидуальной программе,так и по программе «Коллективный ученик») необходимоотправить заявление до 1 июня 2009 года. В заявленииукажите фамилию, имя, отчество, свой полный домашнийадрес (с индексом!), класс, в котором вы будете учиться с 1сентября 2009 года.

54 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

Федеральная заочная физико-техническая школа при МФТИ

Федеральная заочная физико-техническая школа(ФЗФТШ) при Московском физико-техническом институте(МФТИ) проводит набор учащихся общеобразовательныхучреждений (школ, лицеев, гимназий и т. п.), расположен-ных на территории Российской Федерации, на 2009/10учебный год.

ФЗФТШ при МФТИ как государственное образователь-ное учреждение профильного дополнительного образованиядетей работает с 1966 года. За прошедшие годы школуокончили более 80 тысяч учащихся; практически все еевыпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждыйвторой студент МФТИ – ее выпускник. Финансирует школуФедеральное агентство по образованию. Обучение для уча-щихся, проживающих в Российской Федерации, в рамкахутвержденного плана приема – бесплатное.

Научно-методическое руководство школой осуществляетМосковский физико-технический институт (государствен-ный университет), который готовит высококвалифициро-ванных специалистов по современным направлениям наукии техники. В их подготовке принимают участие ведущиеотраслевые и академические научно-исследовательские ин-ституты и научно-производственные объединения страны(базовые организации МФТИ). Преподавание в МФТИведут известные педагоги и ученые, среди которых около 100членов Российской академии наук. Физтеховское образова-ние позволяет не только успешно работать в науке, но ихорошо ориентироваться в жизни.

Цель нашей школы – помочь учащимся, интересующимсяфизикой и математикой, углубить и систематизировать своизнания по этим предметам, а также способствовать профес-сиональному самоопределению учащихся.

Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2009/10 учебный годпроводится на заочное, очно-заочное и очное отделения.

Заочное отделение (индивидуальное обучение)Тел./факс: (495) 408-51-45, e-mail: zftsh@pop3.mipt.ruПрием на заочное отделение проводится на конкурсной

основе по результатам выполнения вступительного задания

по физике и математике, приведенного ниже. Полная про-грамма обучения рассчитана на 4 года, т.е. на 8 – 11 классы,но поступать можно в любой из этих классов.

В течение учебного года, в соответствии с программойФЗФТШ, ученик будет получать задания по физике иматематике по каждой теме (4 задания по каждому предметудля 8 класса, 6 – 7 заданий по каждому предмету для 9, 10и 11 классов), а затем – рекомендуемые авторские решенияэтих заданий вместе с проверенной работой. Задания содер-жат теоретический материал, разбор характерных примерови задач по соответствующей теме и 8 – 12 контрольныхвопросов и задач для самостоятельного решения. Это ипростые задачи, и более сложные (на уровне конкурсныхзадач в МФТИ). Задания составляют опытные преподавате-ли кафедр общей физики и высшей математики МФТИ.Работы учащихся-заочников проверяют студенты, аспиран-ты и выпускники МФТИ (из них 80% – бывшие выпускникинашей школы).

Срок отправления решения вступительного задания – непозднее 1 марта 2009 года. Вступительные работы обратноне высылаются. Решение приемной комиссии будет сообще-но не позднее 1 августа 2009 года.

Вне конкурса в ФЗФТШ принимаются победители обла-стных, краевых, республиканских, окружных и всероссий-ских олимпиад по физике и математике 2008/09 учебногогода. Им необходимо до 15 мая 2009 года выслать в ФЗФТШвыполненную вступительную работу по физике и математикевместе с копиями дипломов, подтверждающих участие вперечисленных выше олимпиадах.

Тетрадь с выполненными заданиями (по физике и матема-тике) высылайте по адресу:

141700 г. Долгопрудный Московской области, Инсти-тутский пер., д.9, ФЗФТШ при МФТИ.

Вступительное задание по физике и математике учениквыполняет на русском языке самостоятельно в одной школь-ной тетради, сохраняя тот же порядок задач, что и в задании.Тетрадь нужно выслать в конверте простой бандеролью(только не сворачивайте в трубку).

На внутреннюю сторону обложки тетради наклейте справ-ку из школы, в которой учитесь, с указанием класса.

На лицевую сторону обложки наклейте лист бумаги, четкозаполненный по приведенному ниже образцу.

Заявление отправьте по адресу: 119234 Москва, Воробье-вы горы, МГУ, ОЛ ВЗМШ (курс «Обществознание»).

Отделение информатики

Прием ведется на курс «Программирование для начинаю-щих».

На отделение принимаются все желающие с образовани-ем не ниже 7 классов средней школы. Для успешноговыполнения практических заданий должна быть возмож-ность работы на компьютере. За год обучения учащиесяосвоят основные конструкции языка Паскаль, изучат про-стейшие алгоритмы и в качестве итоговой работы напишутигровую программу.

Для зачисления необходимо прислать анкету с ответамина приведенные ниже вопросы.

Внимание! Ответы на вопросы анкеты присылайте надвойном тетрадном листе, указав на первой странице важ-ные для нас данные: Ф.И.О., класс, который вы заканчива-ете, полный (с индексом!) почтовый адрес, e-mail (еслиесть). Пишите развернутые ответы на вопросы.

Срок отправки анкеты – до 15 мая 2009 года.

Вопросы

1. Изучаете ли вы в школе информатику? Какие темы выизучили?

2. Что такое информатика? Что изучается в разделе«Программирование»?

3. Изучали ли вы какие-нибудь языки программирования?Какие?

4. Какие операционные системы вы знаете?5. Какие программы установлены на компьютере, за

которым вы работаете?6. Есть ли у вас возможность выхода в Интернет?7. Знаете ли вы, что такое: а) циклы; б) массивы; в)

функции; г) условия?8. Что такое рекурсия, индукция? В чем различия между

ними?9. По кругу выложены 15 камушков, в порядке увеличения

веса. Внешне все камушки отличаются друг от друга: состоятиз разных пород, имеют различную окраску, форму, вес,объем и т.д. Как при помощи чашечных весов без стрелок игирек найти самый тяжелый камень, сделав при этом какможно меньше взвешиваний?

И Н Ф О Р М А Ц И Я 55

На конкурс ежегодно приходит более 4 тысяч вступитель-ных работ. Пожалуйста, обратите внимание на правильностьзаполнения анкеты! Пишите аккуратно, лучше печатнымибуквами.

Для получения ответа на вступительное задание и дляотправки вам первых заданий обязательно вложите втетрадь два одинаковых бандерольных конверта размером160 ѣ 230 мм. На конвертах четко напишите свой домашнийадрес.

1. Республика, край, область Кемеровская область2. Фамилия, имя, отчество Чистова Галина Сергеевна3. Класс, в котором учитесь восьмой4. Номер школы 355. Вид школы (обычная, лицейлицей, гимназия, с углублен-ным изучением предмета)6. Подробный домашний ад- 654041 г. Новокузнецк,рес (с указанием индекса), ул. Волжская, д.74,кв.3,телефон, e-mail e-mail:dio@rdsc.ru7. Место работы и должностьродителей:

отец доцентмать врач

8. Адрес школы, телефон, 654041 г. Новокузнецк,факс, e-mail ул. Циолковского, д.659. Фамилия, имя, отчествопреподавателей:

по физике Григорьева АленаМихайловна

по математике Горшенина НинаАнатольевна

10. Каким образом к вам по-пало это объявление?

Очно-заочное отделение (обучение в факультативныхгруппах)

Тел./факс: (495) 409-93-51, e-mail: zftsh@pop3.mirt.ruФакультативные группы могут быть организованы в лю-

бом общеобразовательном учреждении двумя преподавате-лями – физики и математики, в отдельных случаях разреша-ется обучение по одному предмету. Руководители факульта-тива принимают в них учащихся, успешно выполнившихвступительное задание ФЗФТШ.

Группа (не менее 8 человек) принимается в школу, еслидиректор общеобразовательного учреждения сообщит вФЗФТШ фамилии, имена, отчества ее руководителей ипоименный алфавитный список обучающихся (Ф.И.О. пол-ностью, с указанием класса текущего учебного года иитоговых оценок за вступительное задание по физике иматематике, домашний адрес учащихся, с указанием индек-са, телефон и e-mail), телефон, факс и e-mail общеобразова-тельного учреждения. Все эти материалы и конверт дляответа о приеме в ФЗФТШ с обратным адресом одного изруководителей следует выслать до 25 июня 2009 года поадресу: 141700 г. Долгопрудный Московской области, Ин-ститутский пер., д. 9, ФЗФТШ при МФТИ (с пометкой

«Факультатив»). Тетради с работами учащихся не высыла-ются.

Работа руководителей факультативов может оплачивать-ся общеобразовательным учреждением как руководство про-фильными факультативными занятиями по предоставленииФЗФТШ при МФТИ соответствующих сведений.

Руководители, работающие с учащимися, будут получатьв течение учебного года учебно-методические материалы(программы по физике и математике, задания по темампрограмм, решения заданий с краткими рекомендациями пооценке работ учащихся), приглашаться на курсы повышенияквалификации учителей физики и математики, проводимыена базе МФТИ. Работы учащихся проверяют и оцениваютруководители факультативных групп, а в ФЗФТШ имивысылаются ведомости с итоговыми оценками по каждомузаданию и итоговая ведомость за год.

Очное отделение (обучение в вечерних консультацион-ных пунктах)

Тел.: (495) 409-95-83, e-mail: zftsh@pop3.mipt.ruДля учащихся Москвы и Московской области по програм-

ме ФЗФТШ работают вечерние консультационные пункты,набор в них проводится по результатам вступительныхэкзаменов по физике и математике и собеседований, которыепроходят во второй половине сентября.

Программы ФЗФТШ при МФТИ являются профильны-ми дополнительными образовательными программами и еди-ны для всех отделений. Кроме того, ученикам всех отделенийбудет предложено участвовать в физико-математическойолимпиаде «ФИЗТЕХ-2009», которая проводится на базеМФТИ и в ряде городов России в конце марта и в серединемая, в других очных и заочных олимпиадах МФТИ и егофакультетов, а также в конкурсах, турнирах и конференци-ях. Для учащихся 9 – 11 классов на базе МФТИ работаетсубботний лекторий по физике и математике по программеФЗФТШ. Лекции читают преподаватели института, какправило авторы заданий. Подробнее об этих мероприятияхможно прочитать на сайте ФЗФТШ:

http://www.school.mipt.ruПо окончании учебного года учащиеся, успешно выпол-

нившие программу ФЗФТШ, переводятся в следующийкласс, а выпускники (одиннадцатиклассники) получаютсвидетельство об окончании школы с итоговыми оценками пофизике и математике, которое учитывается на собеседованиипри поступлении в МФТИ.

Ученикам, зачисленным в ФЗФТШ в рамках утвержден-ного плана приема, будет предложено оплатить безвозмезд-ный целевой взнос для обеспечения учебного процесса всоответствии с уставными целями школы. Сумма взносаориентировочно будет составлять для учащихся заочногоотделения 1300 – 2000 руб. в год, для очного 2000 – 3000 руб.,для очно-заочного 2000 – 3500 руб. (с каждой факультатив-ной группы за год).

Для учащихся Украины работает Киевский филиалФЗФТШ при МФТИ (обучение платное). Желающим внего поступить следует высылать работы по адресу: 03680Украина, г. Киев, б-р. Вернадского, д. 36, ГСП, Киевскийфилиал ФЗФТШ при МФТИ. Телефоны: 8(10-38044) 424-30-25, 8(10-38044) 422-95-64.

Для учащихся из зарубежных стран возможно толькоплатное обучение на заочном и очно-заочном отделениях.Условия обучения для прошедших конкурсный отбор будутсообщены дополнительно.

Ниже приводятся вступительные задания по математикеи физике. Номера задач, обязательных для выполнения

Образец

56 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

(заочное и очно-заочное отделения), даны в таблице (но-мера классов соответствуют текущему 2008/09 учебномугоду):

7 класс 8 класс 9 класс 10 класс

Математика 1 – 5 3 – 6, 7а), 8 6, 7а) и б), 7а), б) и в),8 – 14 9 – 14

Физика 1 – 5 5 – 10 9 – 14 11 – 17

Вступительное задание по математике

После порядкового номера задачи в скобках указаноколичество очков за задачу.

1(2). Мотоциклист ехал из пункта А в пункт В со скоро-стью 40 км/ч, а возвращался назад по той же дороге соскоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движениямотоциклиста за всю поездку.

2(3). Введите на клетчатой бумаге систему координат,отметьте точки ( )2; 4A - , ( )1; 1B - - , ( )4; 10C - , ( )2; 5D - ,

( )4; 7E , ( )10; 6F , соедините их последовательно отрезкамиАВ, ВС, CD, DE, EF, FA и найдите площадь фигуры,которую они ограничивают. (Площадь одной клетки считай-те равной 21 см .)

3(4). В погребе замка лежали несколько целых пачекпеченья. Ночью пришли крысы и съели 33 пачки, причем всеели поровну. У некоторых из них от обжорства заболелиживоты, поэтому на следующую ночь в погреб пришли не всекрысы, а только 13 из них. Они доели оставшееся печенье,но каждая крыса смогла съесть втрое меньше печенья, чемнакануне. Сколько пачек печенья было на складе первона-чально?

4(3). Незнайка и Пончик одновременно начали сбор зем-ляники: Незнайка собирал ягоды в трехлитровый бидон, аПончик – в четырехлитровый, причем Незнайка собиралягоды в 1,8 раза медленнее. В какой-то момент они поменя-лись бидонами и закончили сбор ягод одновременно (набравполные бидоны). Сколько литров земляники собрал Пончикза все время? А сколько он собрал ягод до обмена бидонами?

5(4). В семье четыре человека. Если Алисе удвоят стипен-дию, то общий доход всей семьи возрастет на 2,5%, есливместо этого маме повысят зарплату в полтора раза –возрастет на 18,75%, если же зарплату на 45% повысят папе– возрастет на 18,45%. На сколько процентов возрастетдоход всей семьи, если дедушке повысят пенсию на 20%?

6(4). Для некоторых натуральных чисел п и k выполняетсясоотношение

( )

( )

1 2 3 4 12008

1 2 3 4 1

n n

k k

Ч Ч Ч Ч Ч - Ч=

Ч Ч Ч Ч Ч - Ч

K

K

(в числителе дроби записано произведение всех натураль-ных чисел от 1 до n, а в знаменателе – от 1 до k). Найдите

n и k. Ответ обоснуйте.7. Равнобедренный треуголь-

ник ABC с основанием АС пово-рачивают вокруг точки А на угол30°, при этом точка В переходитв точку 1B , точка С – в точку 1C ,а отрезок 1 1BC проходит черезточку С (рис.1).

а)(4) Найдите расстояние отточки K до стороны АС (K – этоточка пересечения отрезков 1ABи ВС), если известно, что АВ = 6.

б)(2) Найдите длину отрезка1BC .

в)(2) Найдите площадь четы-рехугольника 1 1ABBC .

8(4). Города А и В расположе-

ны на берегу реки, причем город В лежит ниже по течению.В 7 часов утра из А в В отправился плот, плывущийотносительно берегов со скоростью течения реки. В 9 часовутра из В в А отправилась лодка, которая встретилась сплотом в 11 часов утра. Доплыв до города А, лодка мгновен-но повернула обратно и приплыла в город В одновременнос плотом. В какое время они прибыли в город В?

9(3). Решите неравенство2

2

4 6 3 9 5 1

5 15 5 106

x x xx

x xx x

+ + ++ > +

- +- -.

10(4). У одного человека был прямоугольный сад состоронами 55 м и 40 м, иему захотелось проложитьв нем дорожку шириной 1 м,как показано на рисунке 2.Чему равна площадь дорож-ки?

11(4). Фигура М на коор-динатной плоскости состо-ит из точек, координатыкоторых удовлетворяют ус-ловиям

( )3 1 ,

1 3 .

y k x

y x

м + ³ +пн

£ - -поОпределите, при каком значении параметра k площадьфигуры М равна 20.

12(3). Найдите sin 5

sin

x

x, если

sin 3 6

sin 5

x

x= .

13(4). Изобразите на координатной плоскости множествоточек, координаты которых удовлетворяют условию

3 6 2 1x x y y+ + + = - + + .

14(5). При каких значениях параметра а уравнение

( ) ( )24 23 10 0x a x a+ - + + =

имеет четыре корня, расположенные в порядке возрастания,причем эти четыре корня составляют арифметическую про-грессию?

Вступительное задание по физике

1. Стеклянная банка вмещает не более 3 л воды. Весбанки, целиком заполненной водой, составляет 40 Н. Опре-делите объем стекла, из которого изготовлена банка. Плот-ность стекла 3

c 2500 кг мρ = , плотность воды3

в 1000 кг мρ = , g = 10 Н/кг.2. История сохранила некоторые подробности одного из

последних путешествий таракана Митрофана по полу кухни.На графике (рис.3) пока-зано, как изменялось современем расстояние от та-ракана до точки старта.Известно, что все времятаракан двигался с посто-янной по величине скоро-стью, не проходя при этомодну точку дважды. Пер-вые три и последние трисекунды своего путешествия он двигался по прямой линии.Используя данные графика, определите модуль скороститаракана и пройденный им путь. Нарисуйте траекториюдвижения таракана в масштабе 1:10.

3. Эхолот, установленный на всплывающем с постояннойскоростью v = 3 м/с батискафе, посылает короткий звуковойРис. 1

Рис. 2

Рис. 3

И Н Ф О Р М А Ц И Я 57

импульс. На какой глубине находился в этот момент эхолот,если глубина моря в месте погружения составляет Н = 3 км,а отраженный от дна импульс был зарегистрирован эхолотомв момент его выхода на поверхность? Скорость звука в воде

звv = 1500 м/с.4. Два груза массами 1m = 200 г и 2m = 300 г соедине-

ны легкой пружиной и насажены на гладкую вертикаль-ную спицу. Вначаленижний конец спицыупирается в горизон-тальную поверхностьстола, груз массой 1mнаходится внизу (рис.4,а), при этом пружи-на сжата, и ее длинаравна 1L = 12 см.Если конструкциюподвесить на нити,прикрепив ее к грузумассой 2m (рис.4,б),длина пружины станетравной 2L = 22 см.Какой будет длина

пружины, если конструкцию подвесить на нити, прикреп-ленной аналогично, но только к грузу массой 1m ?

5. Проведенные с помощью манометра измерения давле-ния жидкости на разных глубинах в открытом резервуаредали следующие результаты: у дна резервуара давлениесоставило 1p = 34,8 кПа, а на расстоянии h = 1 м от дна оносоставило 2p = 27,8 кПа. Определите по этим даннымплотность жидкости и высоту столба жидкости в резервуаре.При вычислениях считайте g = 9,8 Н/кг. Манометр измеря-ет разность между полным давлением на данной глубине иатмосферным давлением.

6. Металлический брусок в форме куба подвешен натонкой невесомой нерастяжимой длинной нити так, что однаиз его плоскостей горизонтальна. С помощью динамометра,прикрепленного к другому концу нити, измеряют вес кубика

в воздухе и в широком сосудес жидкостью. Зависимостьпоказаний динамометра отрасстояния от нижней граникубика до дна сосуда изобра-жена на графике (рис.5).Определите по этим показа-ниям высоту столба жидко-сти в сосуде, длину ребракубика, а также плотности

жидкости и материала кубика. Изменением уровня жидко-сти в сосуде при поднятии кубика пренебречь. Динамометрв жидкость не погружается. Силой Архимеда в воздухепренебречь. При вычислениях считать g = 10 Н/кг.

7. На краю горизонтальной поверхности стола лежит,частично выступая за край, тонкий однородный деревянныйстержень. Чтобы приподнять выступающий конец стержня,требуется минимальная сила 1F . Чтобы приподнять конецстержня, находящийся на столе, требуется надавить навыступающий конец стержня с минимальной силой 2F .Какая часть стержня выступает за край стола, если известно,что 2 14F F= ?

8. В стеклянный стакан массой cm = 100 г налили горячуюводу массой вm = 200 г при температуре в 60 Ct = ° . Послетого как температуры воды и стакана сравнялись, оказалось,что температура стакана повысилась на 40 Ct∆ = ° . Опреде-лите начальную температуру стакана и его конечную темпе-ратуру. Удельная теплоемкость воды ( )в 4200 Дж кг °Сc = Ч ,

удельная теплоемкость стекла ( )c 840 Дж кг °Сc = Ч . Поте-рями тепла пренебречь.

9. В калориметр, где находится вода массой вm = 2,5 кгпри температуре в 5 Ct = ° , помещают кусок льда массой

лm = 700 г. Когда установилось тепловое равновесие,оказалось, что масса льда увеличилась на m = 64 г. Опреде-лите начальную температуру льда. Удельная теплоемкостьводы ( )в 4200 Дж кг °Сc = Ч , удельная теплоемкость льда

( )л 2100 Дж кг °Сc = Ч , удельная теплота кристаллизации

воды 5в 3,35 10 Дж кгλ = Ч . Потерями тепла пренебречь.

10. Используя дварезистора с некоторы-ми сопротивлениями 1Rи 2R собирают две схе-мы: в одной их соединя-ют последовательно, а вдругой – параллельно.На рисунке 6 изображе-ны графики A и Б зави-симости силы тока вцепи от приложенногонапряжения. Определите, какой из графиков соответствуеткаждой схеме. Найдите также значения сопротивлений 1R и

2R резисторов.11. Два автомобиля двигаются по прямолинейному участ-

ку шоссе в одном направлении. В начальный момент временирасстояние между автомобилями l = 300 м. Скорость авто-мобиля, едущего первым, составляет 0v = 36 км/ч, а увторого автомобиля скорость в два раза больше. Оба автомо-биля одновременно начинают разгон с постоянными ускоре-

ниями. Ускорение первого автомобиля равно 21 м сa = , авторого – в два раза меньше. Каково минимальное расстоя-ние между автомобилями при движении?

12. Массивная платформа движется с постоянной скорос-тью 0v по горизонтальному полу (рис.7). С заднего краяплатформы производитсяудар по мячу. Модуль на-чальной скорости мяча отно-сительно платформы равен

02u v= , причем вектор ur со-

ставляет угол 60α = ° с гори-зонтом. На какую максималь-ную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоя-нии от края платформы будет находиться мяч в моментприземления? Высотой платформы и сопротивлением возду-ха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальнойплоскости.

13. Через легкий блок с неподвижной осью перекинуталегкая нерастяжимая нить так, что ее концы свисают верти-кально. К ним прикреплены грузы массами m = 400 гкаждый. На один из грузов положили перегрузок массойm = 200 г. Найдите силу давления перегрузка на груз впроцессе движения. Найдите силу давления на ось блока.Трением в оси блока пренебречь.

14. Стальной шарик массой m = 0,1 кг падает без начальнойскорости на горизонтальную поверхность стола с высоты

1h = 0,5 м и отскакивает после удара на высоту 2h = 0,4 м.Найдите среднюю силу давления шарика на стол при ударе,если длительность удара τ = 0,02 с. Сопротивлением возду-ха пренебречь. Действие силы тяжести на шарик во времяудара не учитывать.

15. Два сосуда, содержащие кислород при температуре300 К, соединены тонкой горизонтальной трубкой постоян-ного сечения. В трубке находится перекрывающая ее ка-пелька ртути. В начальный момент объемы, занимаемые

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

58 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

кислородом по обе стороны от капельки, равны 340 смкаждый. Когда один из сосудов медленно нагрели на 3 К,а другой охладили на 3 К, капелька ртути сместиласьвдоль трубки на 1 см. Какова площадь поперечного сече-ния трубки?

16. Сосуд объемом V = 5 л содержит сухой воздух придавлении 1p = 1 атм. В сосуд впрыснули воду массой m == 1,5 г. Во время всего опыта в сосуде поддерживаетсяпостоянная температура 100 C° . Будет ли пар, образовав-шийся в результате испарения воды, насыщенным? Опреде-

лите влажность воздуха и давление влажного воздуха всосуде после установления равновесия.

17. Маленький заряженный шарик прикреплен к легкойнепроводящей нити и находится в равновесии в горизонталь-ном однородном электрическом поле. Шарик имеет массу mи положительный заряд q. Известно, что сила натяжениянити в 2 раза больше действующей на шарик силы тяжести.Определите модуль напряженности электрического поля иугол между нитью и вертикалью.

Новый прием в школы-интернаты приуниверситетах

Специализированный учебно-научный центр (СУНЦ) МГУ(школа имени академика А.Н. Колмогорова), а также СУНЦНГУ, СУНЦ УрГУ и Академическая гимназия при СПбГУобъявляют набор учащихся в 10 классы (двухгодичноеобучение) на физико-математическое и химико-биологичес-кое отделения и в 11 классы (одногодичное обучение) нафизико-математическое отделение. В рамках двухгодичногофизико-математического отделения кроме основного профи-ля выделяется компьютерно-информационный класс (СУНЦМГУ). Химико-биологическое отделение представлено спе-циализациями по химии и биологии.

Зачисление в школу проводится на конкурсной основе.Первый тур экзаменов – заочный письменный экзамен поматематике и физике или химии. Успешно выдержавшиезаочный экзамен в апреле-мае приглашаются в областныецентры Российской Федерации на устные экзамены. Однакодопускается участие в очном туре школьников, не участво-вавших в заочном туре.

Победители заочного тура СУНЦ МГУ будут приглашенына очный тур (в марте 2009 года, вместе с победителямипроекта «Покори Воробьевы горы»), где получат возмож-ность досрочно поступить в СУНЦ МГУ.

Ниже приводятся условия задач заочного вступительногоэкзамена. Работа должна быть выполнена в обычной учени-ческой тетради, на обложке которой указываются фамилия,имя, отчество (полностью), желаемый профиль обучения,подробный домашний адрес с индексом, электронный адрес(если имеется), адрес и номер школы, класс.

Работу нужно отправить простой бандеролью на имяПриемной комиссии по одному из следующих адресов (обя-зательно вложите конверт с маркой, заполненный на вашдомашний адрес с индексом):

121357 Москва, Кременчугская ул., 11, СУНЦ МГУ(внимание: жители Москвы принимаются в школу безпредоставления общежития), телефон Приемной комиссии:(495)445-11-08, сайт: http://www.pms.ru, e-mail:priem@pms.ru;

199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/96,Академическая гимназия;

620137 Екатеринбург, ул. Голощекина, 30, СУНЦ УрГУ;630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 11, СУНЦ НГУ (Олим-

пиадный комитет).Срок отправки работ – не позднее 20 февраля 2009 года (по

почтовому штемпелю). Работы, высланные позже этогосрока, рассматриваться не будут.

Если вы не сможете решить все задачи – не отчаивайтесь:Приемная комиссия рассмотрит работы с любым числомрешенных задач.

Вступительные экзамены второго, очного тура будут про-водиться с 20 марта по 20 мая 2009 года по регионам.

Вступительное задание заочного тура

Математика

Для поступающих в 10 класс

1. Можно ли число 1

2009 представить в виде суммы: а)

трех; б) четырех чисел, обратных различным нечетнымчислам?

2. Конференция началась между 10 и 11 часами утра, когдачасовая и минутная стрелки лежали на одной прямой, нобыли направлены в разные стороны, а закончилась между 16и 17 часами того же дня, когда стрелки часов совпали.Сколько времени длилась конференция?

3. Решите уравнение

2 24 2 4x y y x y- = + + + .

4. Ортоцентр (точка пересечения высот) остроугольноготреугольника АВС делит высоту, выходящую из точки С, вотношении 3:1, считая от вершины С. Пусть М – серединаэтой высоты. Чему равен угол АМВ?

5. Числа х, у, z таковы, что

1x y z

y z z x x y+ + =

+ + +.

Какие значения может принимать выражение2 2 2x y z

y z z x x y+ +

+ + +?

Для поступающих в 11 класс

1. Можно ли число 1

2008 представить в виде суммы:

а) двух; б) трех; в) n различных чисел, обратных натураль-

ным, т.е. чисел вида 1a

, где а – натуральное число?

2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центркоторой лежит внутри него. Найдите площадь четырехуголь-ника, если углы BAD и DAC равны, а диагонали АС и BDравны m и n соответственно.

3. Решите систему уравнений

3 3

,

8.

x yxy

y x

x y

м+ =п

нп + =о

4. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник,если сумма его тупых углов равна 3000° ?

5. Пусть ( ) 2f x ax bx c= + + , где а, b и c – целые числа.

Найдите наибольшее значение |b|, если ( ) 1f x £ при всех

[ ]0; 1x О .

И Н Ф О Р М А Ц И Я 59

Физика

(физико-математическое отделение)

Для поступающих в 10 класс

1. Частицы а и b движутся по оси Х. В момент времени0 0t = они находились в начале координат, а затем одновре-

менно достигли точки С, координата которой Cx s= . Части-ца а первую половину пути прошла со скоростью 2v, вторуюполовину пути—со скоростью v/2. Частица b пошла первуюполовину пути со скоростью v/2, вторую половину пути –со скоростью 2v. Найдите интервал времени, в течениекоторого расстояние между частицами принимает постоян-ное наибольшее значение ms . Определите ms и среднеезначение скорости частиц.

2. Частица движется по прямой линии с постояннымускорением, проходит путь l за пятую секунду и останавли-вается. Найдите путь s, пройденный частицей за третьюсекунду.

3. Центр тяжести С шара радиусом R находится на

расстоянии 2b R= от геометрического центра шара О.Шар поставили на шероховатую наклонную плоскость, обра-зующую угол 6α π= с горизонтальной плоскостью. Найди-те угол β , образуемый отрезком СО с вертикалью в положе-нии равновесия.

4. Наклонная плоскость образует угол 6α π= с горизон-тальной плоскостью. Если телу, находящемуся у основаниянаклонной плоскости, сообщить начальную скорость, то оноостановится через интервал времени пt и соскользнет дооснования за интервал времени спt , причем сп п 2t t = .Найдите коэффициент трения µ между телом и плоскостью.

5. Батискаф массой m выполнен в форме цилиндра сплощадью основания S и высотой d, составленного из двухполовинок с площадью основания S. Батискаф находится вположении равновесия на глубине Н, равной расстоянию отповерхности воды до средней плоскости поперечного сече-ния цилиндра. Давление в батискафе равно атмосферномудавлению. Найдите величину сил реакции N, действующихна каждую половинку цилиндра.

Для поступающих в 11 класс

1. Для удержания на поверхности земли метеорологичес-кого шара-зонда массой m = 12,25 кг необходимо приложитьсилу F = 7mg. Оболочка шара герметичная и упругая. Шарподнимается до максимальной высоты, на которой объемшара увеличивается в два раза. Найдите эту максимальнуювысоту подъема Н. Известно, что плотность воздуха зависит

от вертикальной координаты z по закону ( ) ( )0 1 2z h

zρ ρ= ,

где 30 1,225 кг мρ = – плотность воздуха у поверхности

земли, 5 кмh » .2. Одинаковые массы водорода и гелия находятся в сосуде

объемом 1V , который отделен от пустого сосуда объемом 2Vполунепроницаемой перегородкой, пропускающей толькомолекулы водорода. После установления равновесия давле-ние в первом сосуде уменьшилось в два раза. Найдитеотношение 2 1V V .

3. В координатах p, V изобразите циклический процесс a–b–c–a, для которого отрезок bc – изобара, отрезок са –изохора, кривая ab – произвольный процесс. Температуры всостояниях а и b одинаковы: a bT T= , КПД цикла η ,разность максимальной и минимальной температур в цикле

T∆ . Найдите работу abA¢ , совершенную газом в процессеa–b.

4. Заряд 1q Q= находится в начале координат на рассто-янии b от заряда 2q q= - . Найдите потенциал, создаваемыйсистемой зарядов, и уравнение эквипотенциальной поверх-ности с потенциалом, равным нулю: ( ), , consts s sF x y z = , где

( ), ,s s ss x y z=r

– радиус-вектор точек искомой поверхности.5. Генератор постоянного напряжения U развивает мощ-

ность P, сопротивление линии передачи электроэнергии R.Найдите КПД линии электропередачи.

Химия

(химико-биологическое отделение)

1. 2,24 л смеси водорода с кислородом (н.у.) взорвали.Продукты взрыва при 1 атм и 273 Co занимают объем3,36 л. Определите возможное содержание кислорода (в %по объему) в исходной смеси.

2. Напишите не менее трех уравнений реакций, соответ-ствующих схеме

2 4 4A H SO CuSO B C Dn m+ = + + + .В левой части уравнения может меняться одно исходноевещество (A), справа может быть разное число продуктов.Укажите условия протекания реакций.

3. Белый порошок массой 12 г реагирует с избытком30%-й серной кислоты. При этом выделяется 2,45 л газа (при20 Co и 745 мм рт.ст.). Выделяющийся газ способен обес-цвечивать 1%-й раствор перманганата калия в 2%-й сернойкислоте. 1) Каков может быть состав исходного порошка?2) Напишите уравнения возможных реакций.

Школа «Комбинаторная математикаи теория алгоритмов»

В августе 2008 года на базе отдыха «Берендеевы поляны»,которая расположена в Костромской области, мы – коллек-тив преподавателей Московского физико-технического ин-ститута – впервые провели летнюю школу «Комбинаторнаяматематика и теория алгоритмов» для старшеклассников.

Ни для кого, конечно, не секрет, что комбинаторика – этоодин из самых красивых и увлекательных разделов совре-менной математики, богатый задачами, которые просты посвоей постановке и в то же время далеко не всегда поддаютсярешению. Практическое значение комбинаторных методовтакже не подлежит сомнению. Столь популярные в после-дние годы «высокие технологии» в существенной мере опи-раются на идеи комбинаторной математики. Здесь и инфор-

мационные технологии (задачи поиска в интернете и пр.), итехнологии биоинженерии, и многое-многое другое.

Наш коллектив активно занимается исследованиями имен-но в области комбинаторики, теории алгоритмов и их раз-нообразных приложений. Наша цель – привлечь талантли-вых школьников к этим исследованиям, на примерах ре-альных (а не только учебных) задач продемонстрироватьим все разнообразие и значимость комбинаторной пробле-матики.

Разумеется, мы вовсе не пытались ограничиться рассмот-рением сильно специализированных тем. Математика – это,по существу, живая и единая наука, а потому мы обсуждалии многие вопросы, которые, на первый взгляд, не имеютнепосредственной связи ни с комбинаторикой, ни с алгорит-мами. Тем не менее, комбинаторно-алгоритмическое направ-ление деятельности в рамках школы оставалось для насосновным.

60 К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 6

Приведем примеры некоторых мини-курсов, которые мыпрочитали на школе:

g А.М.Райгородский, «Вероятность и вероятностные мето-ды решения комбинаторных задач»,

g Д.В.Мусатов, «Основные идеи теории сложности вычис-лений»,

g А.В.Савватеев, «Некоторые задачи теории игр»,g А.А.Кустарёв, Г.Г.Гусев, «Избранные вопросы геомет-

рии и топологии»,g В.А.Кошелев, «Задача об отыскании выпуклых много-

угольников в множествах точек на плоскости: теория иалгоритмы».

Занятия проходили живо и неформально, и мы решили

сделать эту школу традиционной, причем проводить ее будеми летом, и зимой (т.е. два раза в год). Ближайшая школазапланирована на 4–11 февраля 2009 года. Пройдет она натой же базе «Берендеевы поляны». Вся информация о новойшколе размещена на странице:

http://www.lmsh.ru/?pg=14Кроме того, мы организовали кружок для 10- и 11-

классников, на котором рассматриваем задачи комбинатори-ки и теории алгоритмов. Сайт кружка расположен по адресу:

http://circle.combalg.ru/И на кружке, и на школе мы очень ждем заинтересован-

ных, талантливых старшеклассников со всей страны!А.Райгородский

Открылся новый математическийфакультет

Факультет математики Государственного университета –Высшей школы экономики является одним из немногих вРоссии факультетов, который будет выдавать диплом поспециальности «математик». Будущее время использованосознательно – факультет совершенно новый, и первый в егоистории набор студентов прошел летом 2008 года.

Преподавателями факультета являются сотрудники Неза-висимого московского университета – уникального учебногоцентра, готовящего математиков-исследователей высокогоуровня. Одним из главных мотивов создания нового факуль-тета математики стала давняя идея организации «дневнойверсии» Независимого университета, соединяющей в себевсе преимущества полноценного государственного универси-тета с возможностью сколь угодно глубокого изучения мате-матики в традициях лучших московских математическихшкол и семинаров. Другая и не менее важная цель состоялав том, чтобы дать возможность молодым людям, интересыкоторых к третьему-четвертому курсу по тем или инымпричинам отворачиваются от чистой математики, макси-мально эффективно переключиться на более прикладныезадачи, такие, например, как математическая экономика.

Поступить на математический факультет можно двумяспособами: либо по конкурсу, в котором в 2008 году учиты-вались результаты ЕГЭ по русскому языку и по математике

и результаты устного вступительного экзамена по математи-ке (который имел решающее значение), либо вне конкурса– став призером заключительного этапа Всероссийской ма-тематической олимпиады школьников или победителем ма-тематической олимпиады, проводимой факультетом.

Организация устного вступительного экзамена была вомногом заимствована у Петербугской математической олим-пиады, где уже много лет успешно проводится устный тур,на котором участникам предоставляется несколько попытокрассказа решения каждой задачи. В 2008 году экзаменсостоял в решении пяти задач (никаких «развернутых отве-тов» на «теоретические вопросы» от абитуриентов не требо-валось). Главные принципы, которыми руководствовалисьсоставители варианта, таковы: задачи должны быть интерес-ными, не требующими никакой специальной натасканностина тот или иной раздел «вступительной математики», нопозволяющими продемонстрировать знания и навыки, дей-ствительно нужные для профессиональных занятий мате-матикой и ее естественнонаучными приложениями.

Официальный регламент экзамена и математической олим-пиады математического факультета, а также разнообразныенеформальные подробности о его жизни можно узнать насайте:

http://vyshka.math.ruПримеры вступительных заданий приведены в приложе-

нии к этому номеру журнала.А.Городенцев

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я

КМШ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №5)

1. Да, можно. Пример приведен на рисунке 1 (в каждой строкесумма равна 40, а в каждом столбце сумма равна 24).

2. 15.Предположим, что за столом сидят не менее 16 рыцарей. Тогдакакие-то два рыцаря сидят рядом. Поскольку лжецов не менееодного, найдутся два соседних рыцаря, рядом с одним из

которых сидит лжец. Значит, есть рыцарь, который дал ответ«1», и тогда все дали ответ «1». Отсюда следует, что рыцарисидят парами, каждую пару рыцарей окружают лжецы. Крометого, любой лжец окружен рыцарями (иначе найдется лжец,соседи которого – рыцарь и лжец, и тогда он сказал правду,что невозможно). Всем этим условиям удовлетворяет толькотакое расположение:

… Р Р Л Р Р Л Р Р Л ...

(Р – рыцарь, Л – лжец). При этом общее число человек кратнотрем, что не так. Противоречие.Осталось привести пример, когда за столом сидели 15 рыца-рей. Вот он:Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л

Р Л Л Р

При этом каждый из сидящих дал ответ «2».3. Да, обязательно.Пусть нам дано число A, в котором n цифр. Заметим, что

Рис. 1

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 61

ЗАДАЧИ

(см. с.24)

1. Проведем отрезок так, чтобы один из знаков «+» превра-тился в цифру 4, и получим верное равенство (рис.2):

2. Вычтем 50 из каждого числа, которое больше 50. По усло-вию ни одна из разностей не равна ни одному из 25 чисел,которые не превосходят 50. Поэтому вместе с ними разностидают 50 различных натуральных чисел, которые не превосхо-дят 50, т.е. это все числа от 1 до 50. Их сумма равна 51 25ѣ ,а сумма всех исходных чисел равна, стало быть,51 25 50 25 101 25ѣ + ѣ = ѣ = 2525.3. Расположим коробки в ряд так, чтобы число карандашей вних возрастало слева направо. Заметим, что тогда в самой ле-вой коробке минимум один карандаш, во второй слева — ми-нимум два, …, в десятой слева — минимум 10 карандашей.Из самой левой коробки возьмем любой лежащий в ней ка-рандаш. Поскольку во второй коробке лежат карандаши ми-нимум двух разных цветов, там найдется карандаш не тогоцвета, что мы взяли из первой коробки. Возьмем его. В тре-тьей коробке лежат карандаши минимум трех разных цветов.

прибавление числа 2008 пять раз равносильно прибавлениючисла 10040. Если же мы прибавим к числу A число 10040всего 10n раз, то результатом будет число, которое получает-ся выписыванием подряд чисел 10040 и A и, тем самым, начи-нается на 1. Значит, прибавив к числу A число 2008 всего5 10nЧ раз, мы получим число, начинающееся на 1.Попробуйте решить более общую задачу: если даны любыенатуральные числа A и B и мы прибавляем к числу A числоB, затем к результату снова прибавляем число B и так далее,то в какой-то момент мы обязательно получим число, начина-ющееся на 1.4. Нет, нельзя.Предположим, что такой срез возможен. У отпиленного ку-сочка четыре грани: одна – это треугольник со сторонами 2,3, 4, а три других – прямоугольные треугольники с гипотену-зами 2, 3 и 4. Пусть a и b – катеты треугольника с гипотену-зой 4. Ясно, что один из этих катетов не больше 2 (посколькуявляется также катетом треугольника с гипотенузой 2), а дру-гой – не больше 3 (аналогично). По теореме Пифагора долж-но быть выполнено равенство 2 2 24 16a b+ = = . С другойстороны, 2 2 2 22 3a b+ < + = 4 + 9 = 13 – противоречие. Зна-чит, такой срез невозможен.5. Заметим, что среди имеющихся у нас гирь три самые ма-ленькие уравновешивают одну самую большую. Значит, этоединственный способ уравновесить одну гирю тремя (в лю-бых других случаях чаша с тремя гирями перевесит чашу содной).Тогда первым взвешиванием кладем на одну чашу весов гирис надписями 1 г, 2 г, 3 г, а на вторую чашу – гирю с надпи-сью 6 г. Если весы не будут в равновесии, задача решена –какие-то надписи перепутаны. Если же весы в равновесии, тогиря с надписью 6 г действительно весит 6 г, а гири с надпи-сями 1 г, 2 г, 3 г – действительно гири с этими массами (но,может быть, перепутаны между собой).Следующим взвешиванием кладем на первую чашу весов гирис надписями 1 г и 6 г, а на вторую чашу – гири с надписями3 г и 5 г. Ясно, что масса гирь на первой чаше не меньше 7 г,а на второй – не больше 8 г. Поэтому, если вторая чаша пе-ревешивает первую, то действительно на первой чаше 7 г, навторой 8 г, и нетрудно видеть, что надписи на всех гирях вер-ны. В противном случае какие-то надписи перепутаны.

Рис. 3

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

1. По теореме Пифагора 5

2AC AB= . Далее,

5 1 1

2AM AK AC BC AB AB

ϕ

-= = - = = . Значит,

AB

AMϕ= .

2. Непосредственный подсчет показывает, что 3AE

OAϕ= - .

С другой стороны, отношение стороны правильного пяти-угольника к радиусу описанной окружности равно той же са-

мой величине 2sin 36 3 ϕ° = - . Значит, отрезок АЕ равен

стороне правильного пятиугольника, вписанного в окруж-ность с радиусом ОА.3. Равнобедренный прямоугольный треугольник, два золотых

треугольника и треугольник с углами 540

7

°,

540

7

°,

180

7

°.

4. При раскрытии скобок в числителе правой части формулы

(6) члены с четными степенями 5 взаимно уничтожатся.

Остальные члены имеют вид 5q , где q – рациональное чис-

ло. После сокращения с 5 в знаменателе получаем рацио-

нальное число.5. Нетрудно доказать по индукции, что n-й член обобщеннойпоследовательности Фибоначчи ( ),nf a b выражается черезобычную последовательность Фибоначчи nf следующей фор-мулой:

( ) 2 1,n n nf a b f a f b- -= Ч + Ч .

Сочетая эту формулу с формулой Бинэ, получаем требуемоевыражение.6. Последовательность (10) является монотонной и ограниче-на сверху числом ϕ . Неравенство 1n na a ϕ- < < доказываетсяпо индукции. Шаг индукции заключается в добавлении еди-

Поэтому там найдется карандаш, цвет которого отличается отцветов обоих уже выбранных. Возьмем его. Действуя так идальше, мы выберем искомые 10 карандашей разных цветов.4. a = 2, b = 1, c = 3.

Если a не меньше трех, то дробь 1

a не больше

1

3, а две дру-

гие дроби меньше 1

3, и сумма трех дробей меньше 1. Поэто-

му a меньше 3. Но a не может равняться 1 – тогда суммадробей будет больше 1. Значит, a = 2, и нам надо найти все

такие числа b и c, что 1 1 1

2 2 2b b c+ =

+ + +. Далее рассужда-

ем аналогично. Если b не меньше 2, то дробь 1

2 b+ не боль-

ше 1

4, а другая дробь меньше

1

4, и их сумма не может рав-

няться 1

2. Поэтому b = 1. Тогда

1 1 1 1

3 2 3 6c= - =

+, откуда

c = 3.

5. Пусть O – середина стороны AB (рис.3). Проведем из точ-ки A прямую, перпендикулярную DO, а из точки B проведемпрямую, перпендику-лярную CO. Пусть X –точка пересечения этихпрямых. Посколькуугол DOC – прямой,DO параллельна BX, аCO параллельна AX, итреугольник AXB –прямоугольный. Таккак O – середина AB, то OD будет срединным перпендикуля-ром к AX, а OC будет срединным перпендикуляром к BX.Поэтому AD = XD и BC = XC. Значит, AD + BC = XD + XC ³ ³ CD по неравенству треугольника.

Рис. 2

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 662

МОСКОВСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДАПО ФИЗИКЕ

1. Столкновение произойдет.

2. 6L lR= .

3. max31

231P mg= ; 0,001r R∆ = .

ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

1.  max

max

60рад сωΦ

= =E

. 2.  2 2инд г вB B vl= + =E 250 мВ.

3. 3

7 l

BvI

ρ= = 15 мА.

4. ( )

( )2

2 2

sin cos2 м с

cos cos sin

mgRv

B l

α µ α

α α µ α

-= =

+.

5. ( )

2 2

26м с

mg R rv

B l

+= = . 6.  2 2

5м сmgr

vBl B l

= - =E

.

7.  22 2 2

sin2 м с

cos

mga

m CB l

α

α= =

+. 8.  0

max

v mLx

Bl= = 0,4 м.

XXXIX МЕЖДУНАРОДНАЯ ФИЗИЧЕСКАЯОЛИМПИАДА

Задача 1

1.1. TG = 0,016 м. 1.2. 1 20,6α = ° , 2 30α = ° .1.3. 1 0,61 кгm = , 23,6β = ° . 2.1. См. рис.4.2.2. Площадь под графиком ( )µ α численно равна совершен-

ной работе. Тогда t OAB OBCDFOW S S= - , а p OEDFOW S= .

2.3. 0 34,7α = ° ,

p 2,6 ДжW » .3.1.1. Равновесие ус-тойчиво.3.1.2. ( )47,2 H мµ ∆α= - Ч .

3.1.3. 2

247

d

dt

∆α∆α= - ,

3,2 cτ = .

3.2. 1 0,23 кг сΦ = .3.3. 2 0,7 кг сΦ = .

Задача 2

1.1. См. рис.5.

1.2. 1

arcsinn

ϕβ

= .

2. Кольцо имеет радиусr fθ= , его центр нахо-Рис. 4

Рис. 5

ницы и извлечении квадратного корня из всех трех (положи-тельных) частей неравенства. Согласно теореме Больцано–Вейерштрасса, последовательность na сходится.Последовательность (11) распадается на две подпоследова-тельности – с нечетными и четными номерами. Первая явля-ется монотонно возрастающей и ограниченной сверху числомϕ , а вторая – монотонно убывающей и ограниченной снизучислом ϕ . Оба эти факта доказываются одновременно по ин-дукции. База индукции сводится к простой проверке неравен-ства 1 3b b ϕ< < . Шаг индукции заключается в применении кдвойному неравенству 2n nb b ϕ+< < (соответственно,

2n nb b ϕ+> > ) двух операций – взятия обратной величины идобавления единицы. Первая из этих операций меняет знакнеравенства. Получаем: 1 3n nb b ϕ+ +> > (соответственно,

1 3n nb b ϕ+ +< < ). Следовательно, каждая из этих подпоследо-вательностей сходится. Предел каждой из них положителен и

должен удовлетворять уравнению 1

11

1x

x

= ++

, которое сво-

дится к уже знакомому нам квадратному уравнению2 1 0x x- - = . Значит, оба предела совпадают и равны ϕ , а

следовательно, к этому же пределу сходится и вся последова-тельность.7. Примените метод математической индукции.

дится на расстоянии fα отглавной оптической оси.3.1. minp равно 16 атм дляпротонов, 4,6 атм для као-нов, 0,36 атм для пионов.3.2. 1 2 6 атмp = ,

1,6κθ = ° , 2 3,2π κθ θ= = ° ;мы не сможем наблюдатькольцевого изображениядля протонов.

4.1. 1

0,51ГэВP с

κ∆θ

∆

°= ,

10,02

ГэВP сπ∆θ

∆

°= .

4.2. 0,3 ГэВP c∆ < .

5.1. 2min 0,517T Mc= .

5.2. Для α -частиц min 1,96 ГэВT = , для электронов

min 0,264 ГэВT = .

6.1. 0,033nδ

δθθ

= = ° . 6.2.1. 0,017 ; 0,006° ° .

6.2.2. Красный, белый и синий.

Задача 3

1.1. ( ) ( ) 00

gz

RTp z p e

Μ-

= Ч .

1.2.1. ( ) ( )( )

0 10

g

Rzp z p

T

Μ

ΛΛж ц= Ч -з чи ш

.

1.2.2. 0,034 К мg

R

ΜΛ > = .

2.1. p1 TgG

R T

γ Μ

γ

-= .

2.2.1. p

g

C

ΜΓ = .

2.2.2. 0,00978 К мΓ = .

2.2.3. ( ) ( )0T z T zΓ= - .

2.3. ( ) ( )( )

( )p p

00

0

T zT z T

T

Γ

ΛΛж ц-= Ч з чи ш

.

2.4. ( ) ( )p p 0T z T zΓ» - .

3.1. При Λ Γ> атмосфера нестабильна, при Λ Γ< атмосфе-ра стабильна, при Λ Γ= атмосфера нейтральна.

3.2. ( )( )( )

( )( )

( )1

p

010

0

Th T

T

Γ ΛΓ

ΛΛ

-ж цж цз чз ч= -з чз чз чи ши ш

.

4.1. ( )p 96 м 294,04 К 21 °CT = » ,

( )p 119 м 291,81 К 20,8 °CT = » .

4.2. Н = 142 м, ( )p 293,6 T H = К = 20,6 °C .

5.1. ( )

( )dC t u M

C tdt W LWH

+ = .

5.2. ( ) 1 expM ut

C tLHu W

ж цж ц= - -з чз чи ши ш.

5.3. 32,3 мг мC = .

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 63

№ журнала с. № журнала с.

Н А П Е Ч А Т А Н О В 2 0 0 8 Г О Д У

Памяти Ю.А.Осипьяна 5 2-я с. обл.

К 100-летию И.К.Кикоина

«Вот Квант, который построил Исаак…» А.Савин 1 3Из истории газовых центрифуг. С.Романов 3 2Нанотехнологии: когда размер имеет значение.

К.Богданов 3 6Об Исааке Константиновиче Кикоине. А.Боровой 2 2О Кикоине, единицах СИ и стандартах. Ю.Брук 1 2Проблема обнаружения ядерных взрывов.

Е.Лобиков 4 2Теория относительности и теорема Пифагора.

Л.Окунь 5 3Ударные волны и детонация. Л.Белопухов 1 4Физика ядерного взрыва. Л.Белопухов 2 7Физик и инженер. Я.Смородинский 5 2

Статьи по математике

Арифметические треугольники. В.Тиморин 6 8Две знаменитые формулы. В.Вавилов, А.Устинов 2 11Касающиеся окружности: от Тебо до Фейербаха.

В.Протасов 4 10Комплексные числа. С.Дориченко 5 11Множества Жюлиа. Н.Долбилин 1 9Хроматические числа. А.Райгородский,

О.Рубанов, В.Кошелев 3 13

Статьи по физике

Полет и падение спутника Земли. С.Варламов 4 5Самая светлая революция и ее творцы. Ю.Носов 6 2

Новости науки

Триумф фундаментальной науки 4 4

Наш календарь

Лев Давидович Ландау 1 15

Задачник «Кванта»

Задачи М2071 – М2115, Ф2078 – Ф2122 1 – 6Решения задач М2051 – М2095, Ф2063 – Ф2107 1 – 6Победители конкурса «Задачник «Кванта» 2007

года 3 23Вокруг шестиугольника 4 23

КМШ

Задачи 1–6Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8» 1, 4, 5, 6Победители конкурса имени А.П.Савина

«Математика 6–8» 2007/08 учебного года 4 27Летний турнир имени А.П.Савина «Математика

6–8» 5 29

С т а т ь и п о м а т ема т и к е

Дюжина задач о среднем арифметическом.А.Шень 6 23

Нет предела совершенству! И.Акулич 3 34Призрак Леонардо. И.Акулич 1 26Проблемы дележки. В.Уфнаровский 4 28

Калейдоскоп «Кванта»

М а т ем а т и к а

Бесконечность в задачах 6 32Пифагоровы треугольники 4 «По порядку становись! 2 «

Физ и к а

Распространение звука 3 «Распространение света 5 «Тепловое равновесие 1 «

Школа в «Кванте»

М а т ем а т и к а

О двух параллелограммах в треугольнике.Г.Филипповский 4 34

Физ и к а

И тележка в гору едет... С.Семиков 5 35Магнитная сила и закон электромагнитной

индукции. Е.Ромишевский, А.Стасенко 5 38Механический генератор. В.Дроздов 5 37Можно ли в микроскоп молекулу разглядеть?

А.Стасенко 3 39Ракета на водяном паре, или Как студент с Луны

улетал. А.Стасенко 3 38Тема с вариациями. В.Эпштейн 1 34Три эссе на физические темы. Р.Винокур 1 30Урок близился к завершению... М.Бондаров 3 37

Физический факультатив

Как шарик о плиту ударился. А.Стасенко 5 40Квантовая телепортация. А.Арутюнов 4 36Не пренебрежем трением качения... А.Стасенко 1 36Формула любви. Е.Мейлихов 6 25

Математический кружок

Два тюремщика. И.Акулич, В.Лецко 5 44Золотое сечение и числа Фибоначчи. В.Бугаенко 6 29О двух велосипедистах и вишневой косточке.

В.Протасов 3 41О разрезании треугольника на подобные ему.

Б.Френкин 4 39Оригами и построения. А.Петрунин 1 38

Лаборатория «Кванта»

О поющих проводах, или Загадки пружины.А.Сергеев, Н.Жданова, И.Сергачев,Р.Стрюнгис, А.Пятаков 3 45

Устоит ли наш кораблик? С.Богданов, О.Попов,Д.Тарасов 4 42

Практикум абитуриента

М а т ем а т и к а

Будет ЕГЭ по математике. Л.Денищева,Б.Писаревский 2 24

Объем тетраэдра и его частей. Л.Ерганжиева,В.Мирошин 3 50

4. sin

R rL

α

-= .

5. КПД увеличивается на 1

7.

6. 2

204

q RA A

lπε

* = - + .

7. 2

1,26mRB

a t= .

8. 016I ; интенсивность не изменится, а фаза изменится на

2π .

63О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 664

Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени«Чеховский полиграфический комбинат»

142300 г.Чехов Московской области,Сайт: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru

Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-00Отдел продаж услуг многоканальный: 8(499) 270-73-59

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФпо печати. Рег. св-во №0110473

Адрес редакции:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант»Тел.: 930-56-48

Е-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.infoСайт: kvant.info

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

C.А.Дориченко, А.А.Егоров, С.П.Коновалов,

А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИВ.Н.Власов, Д.Н.Гришукова, В.В.Иванюк,

А.Е.Пацхверия, М.В.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОРЕ.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППАЕ.А.Митченко, Л.В.Калиничева

©

№ журнала с. № журнала с.

Физ и к а

Гидростатика в стакане. А.Черноуцан 3 47Движение проводника в магнитном поле.

А.Черноуцан 6 35ЕГЭ по физике. М.Демидова, А.Черноуцан 2 29Задачи на смешение идеальных газов.

А.Черноуцан 4 45Потенциальная энергия кулоновского

взаимодействия. А.Черноуцан 5 47Эта «простенькая» кинематика. В.Трояновский 1 40

Варианты вступительных экзаменов 2007 года

Институт криптографии, связи и информатикиАкадемии ФСБ РФ 2 36

Московский государственный институтэлектронной техники 2 38

Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова 1 45

Московский государственный техническийуниверситет им. Н.Э.Баумана 2 39

Московский инженерно-физический институт 2 40Новосибирский государственный университет 2 41Российский государственный педагогический

университет им. А.И.Герцена 2 43Российский государственный технологический

университет им. К.Э.Циолковского (МАТИ) 2 43Российский государственный университет нефти и

газа им И.М.Губкина 2 45Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет 2 47Санкт-Петербургский государственныйуниверситет 2 48

Олимпиады

XXXIV Всероссийская олимпиада школьников поматематике 5 51

XLII Всероссийская олимпиада школьников пофизике 5 54

Всероссийская студенческая олимпиада по физике 3 56Задачи LXXI Московской математической

олимпиады 4 48Избранные задачи Московской физической

олимпиады 4 50XLVIII Международная математическая

олимпиада 2 49XLIX Международная математическая олимпиада 6 39XVI Международная олимпиада «Интеллектуаль-

ный марафон» 3 53XXXVIII Международная физическая олимпиада 2 52XXXIX Международная физическая олимпиада 6 42Международный турнир «Компьютерная физика» 4 54Московская студенческая олимпиада по физике 2 54— « — 6 47

Информация

Заочная школа СУНЦ НГУ 3 57Малый мехмат МГУ 1 44Новый прием в школы-интернаты при универси-

тетах 6 58Открылся новый математический факультет 6 60Очередной набор в ОЛ ВЗМШ 6 48Федеральная заочная физико-техническая школа

при МФТИ 6 55Школа «Комбинаторная математика и теория ал-

горитмов» 6 59

Нам пишут

Еще одно решение задачи М1000 3 22

Физика в «Рассказах о животных» 4 31

Вниманию наших читателей 3 30, 36

5 9, 28

Коллекция головоломок

Браслет-головоломка 2 4-я c.обл.Головоломки в бутылках 4 «Пенто-пенто-пирамида 1 «Психологический «Завиток» 3 «Пять петель 5 «Шкатулка с секретом 6 «

Шахматная страничка

Ананд досрочно обыграл Крамника 6 3-я с.обл.Корона отправилась на родину шахмат 1 «Математика турниров 5 «Пат и симметрия 4 «Рекорды Алексея Ханяна 3 «Шахматные моды в ГУМЕ 2 «

«Невозможные» объекты 1-4 2-я c.обл.

Математические этюды 6 2-я c.обл.

Наша обложка

Мозаика из снежинок 1 14