พื้นฐานทางไฟฟ้า (basic concept)

รายวชา วศฟ 210 ทฤษฎวงจรไฟฟา สาขาวชาวศวกรรมไฟฟา คณะวศวกรรมศาสตร

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ 1 โครงการสงเสรมการผลตเอกสารชดการเรยนทเปนการสรปเนอหาในรปสออเลกทรอนกส

บทท 1

พนฐานทางไฟฟา (Basic Concept)

บทนา

แบตเตอร

ลวดตวนา

หลอดไฟ+

−ตวตานทาน

ทศทางกระแส

ก ข

รปท 1 (ก) วงจรไฟฟาทางกายภาพ (ข) วงจรสมมล

− ไฟฟาเปนปรากฏการณทเกดขนจากการเคลอนทของประจ − วงจรไฟฟาคอการเชอมตอรวมกนระหวางองคประกอบทางไฟฟาในลกษณะวง

ปด เพอใหกระแสไฟฟาสามารถไหลไดอยางตอเนอง

รปท 2 เคลอนทของอเลกตรอนอสระ



− ประจอเลกตรอนอสระจะถกผลกโดยประจลบและถกดงดดโดยประจบวก โดยเคลอนตวไปยงประจบวก

− การเคลอนทของอเลกตรอนอสระดงกลาวจะตอบสนองตอแหลงจายไฟฟาภายนอก

รปท 3 การนยามขนาดและทศทางของกระแสไฟฟา

− กระแสไฟฟาสามารถนยามไดในเทอม “ขนาดและทศทาง”

กระแสไฟฟา

รปท 4 ทศทางของประจไฟฟาบวก

− ปกตทศทางการไหลของกระแสไฟฟาจะถกแทนดวยทศทางการไหลของประจบวก

− ขอกาหนดดงกลาวถกคนพบโดย Benjamin Freaklin และถกใชมาจนกระทงปจจบน

( ) dqi tdt

=

i คอ กระแสไฟฟามหนวยเปนแอมแปรหรอ คลอม/วนาท q คอ ประจไฟฟามหนวยเปนคลอมโดยในอเลกตรอนหนงตวมประจเทากบ

191.602 10−− × คลอม t คอ เวลามหนวยเปนวนาท

− โดย 1 คลอมตอวนาท = 1 แอมแปร = 186.02 10× อเลกตรอนตอวนาท



รปท 5 กระแสไฟฟาในลวดตวนา

รปแบบตางๆของกระแสไฟฟา

I

t

( )i t

รปท 6 ไฟฟากระแสตรง

− กระแสไฟฟาคงท ( )i t I= เรยกวาไฟฟากระแสตรง (Direct Current,DC)

( )i A

( )t s

( )i A

( )t s

( )i A

( )t s

M

1

sin , 0i I t tω= > , 0ti Ie tτ−= >

รปท 7 ไฟฟากระแสสลบ

− ลกษณะของสญญาณไฟฟากระแสสลบ



ตวอยางท 1 จงหากระแสไฟฟาทไหลเขาจดตอ a เมอประจไฟฟา ( ) 3 2q t t= − คลอมบ

a b

iq

รปท 8 รปตวอยางท 1

วธทา

( ) 3dqi t Adt

= =

ระบบหนวย

ปรมาณ ชอ สญลกษณ ความยาว เมตร m มวล กโลกรม kg เวลา

วนาท s

กระแสไฟฟา

แอมแปร A

อณหภม เควน K ความเรง เมตร/วนาท2 2/m s ความเรว เมตร/วนาท /m s แรง นวตน N

พลงงานและงาน จล J กาลง วตต W ประจ คลอม C

ความตานทาน โอหม Ω ความตางศกย โวลต V ความสองสวาง แคลเดลลา cd

สญลกษณ คาทเตมนาหนา องคประกอบ

1210− พโก p 910− นาโน n 610− ไมโคร µ 310− มลล m 210− เซนต c

310 กโล k 610 เมกะ M 910 จกะ G

1210 เทรา T



ความตางศกย (Voltage)

− ตวแปรพนฐานในวงจรไฟฟานอกจากกระแสไฟฟาแลวยงมอกตวแปรหนงทสาคญคอแรงดนไฟฟา

− โดยแรงดนไฟฟาคอการอธบายถงพลงงานทใชในการเคลอนประจขามจดตอขององคประกอบในวงจร

( )( ) dw tv tdt

=

− เมอกระแสไฟฟาไหลผานองคประกอบของวงจรจะทาใหเกดแรงดนตกครอมท

ขวตอขององคประกอบนนๆ ดงรปท 9

a b

i

abv+ −

รปท 9 แรงดนตกครอมและกระแสทไหลผานองคประกอบในวงจร

− ทศทางของแรงดนไฟฟาจะถกกาหนดโดยขวของมนเองโดยจะเปนบวกหรอลบ

กได ดงแสดงในรปท 10 ซงแสดงการกาหนดขวของแรงดนไดสองวธ

ab bav v=−

a b

i

abv+ −

+− bav−

รปท 10 แสดงความตางศกยกลบขว

กาลงและพลงงาน

− กาลงไฟฟาคอ อตราการจายหรอดดกลนพลงงานตอเวลา

( ) dwp tdt

=

p คอกาลงไฟฟามหนวยเปนวตต ( )W

W คอพลงงานไฟฟามหนวยเปนจล ( )J

t คอเวลามหนวยเปนวนาท (sec)



( ) . .dw dw dqp t v idt dq dt

= = =

ตอไปเปนการพจารณาวาองคประกอบในวงจรทาหนาทดดกลนหรอจาย

กาลงไฟฟา

a b

i

abv+ −

รปท 11 Passive sign convention

− การพจาณาจะใช Passive sign convention − โดยกาหนดใหกระแสไฟฟาไหลเขาทขวบวกและไหลออกจากขวลบของแรงดน

ดงรปท 11 − ดวยลกษณะการกาหนดขางตนจะได p vi= คอกาลงไฟฟาทถกดดกลนโดย

องคประกอบในวงจรนนคอ 0p> แตถา 0p< แลวกาลงไฟฟาจะถกจายโดยองคประกอบในวงจร

ตวอยางท 2 จากรปท 12 จงหากาลงไฟฟาและพจารณาองคประกอบวงจร ดงกลาวทาหนาทจายหรอดดกลนกาลงไฟฟา

a b+ −9abv V=

0.2i A= รปท 12 รปตวอยางท 2

วธทา

9 0.2 1.8p W= × =

พบวา p เปนบวกดงนนองคประกอบดงกลาวทาหนาทดดกลนกาลงไฟฟา



ตวอยางท 3 พจารณารปท 13 จงหากาลงไฟฟาและพจารณาวาองคประกอบของวงจรดงกลาวทาหนาทจายหรอดดกลนกาลงไฟฟา

a b+ −

0.2i A=

5abv V= a b+ −5abv V=

0.2i A=− รปท 13 รปตวอยางท 3

วธทา

5 0.002 0.01p W= ×− =−

พบวา 0P< ดงนนองคประกอบดงกลาวทาหนาทจายกาลงไฟฟา ตวอยางท 4 พจารณาองคประกอบของวงจรดงรปท 14 โดย 8 tv e V−=− และ

20 ti e A−= กาหนดใหกระแสและแรงดนไฟฟาเปนศนย ณ เวลา 0t< จงหาพลงงานทจายโดยองคประกอบดงกลาว ณ เวลา 1t = วนาท

a b+ −v

i รปท 14 รปตวอยางท 4

วธทา

2( 8 )(20 ) 160t t tp vi e e e W− − −= = − =−

ตวแปรทางไฟฟานใหพลงงานถาพลงงานไฟฟา

22 2

00 0( ) 160 160 80( 1)

2t t

t tew t pd e d eτ

ττ τ−

− −= = − =− = −−∫ ∫

(1) 69.2w J=− (เครองหมาย ลบ แสดงวาแหลงจายพลงงานสงผานพลงงาน)



ตวอยาง 5 พจารณาวาองคประกอบ (a),(b) จายหรอดดกลนกาลงไฟฟา

+ −18v V= 8v V=

−

5i A= 8i A=a b

+


วธทา a) 18 ( 5) 90p W= × − =− ตวจายกาลงไฟฟา b) 8 8 64p W= × = ตวดดซบกาลงไฟฟา



บทท 2

กฎพนฐานทางไฟฟา (Basic Law)

เราจะแบบจาลองทางไฟฟาใหเปนวงจรสมมลไดอยางไร

− วศวกรจะใชแบบจาลองเพอแทนองคประกอบของวงจรไฟฟา จากนนทาการตอแบบจาลองขององคประกอบตางๆ ใหเปนวงจรสมมลดงแสดงดงรปท 1

− แบบจาลองคอ สมการทใชแทนองคประกอบหรอวงจรไฟฟา − แบบจาลองของอปกรณทางฟสกสทใชพจารณาในวชาวเคราะหวงจรไฟฟาจะ

พจารณาเพยงแคแบบจาลองเทานน แตปกตแลวอปกรณตางๆจะมความไมเปนเชงเสนอย

a

b รปท 1 a) วงจรทางกายภาพ b)วงจรสมมลหรอแบบจาลอง

องคประกอบวงจรแบบ Active และ Passive

− Passive element จะทาหนาทดดกลนพลงงานไฟฟา − Active element จะทาหนาทจายพลงงานไฟฟา



รปท 2 Passive Convention

− พลงงานทงหมดทถกดดกลนโดยองคประกอบแบบ Passive เมอพจารณาตาม Passive sign convention ดงรปท 2 จะมเครองหมายเปนบวกเสนอโดย

0t

w vidτ−∞

= ≥∫ สาหรบทกคาของ t

รปท 3 Passive Convention

− ปกตแลวองคประกอบแบบ Active จะเปนแหลงจายพลงงานเชน แบตเตอร และ

เครองกาเนดไฟฟา เมอพจารณาตาม Passive sign convention ตามรปท 3 องคประกอบแบบ Active จะมเครองหมายของพลงงานทจายเปน “ลบ” เสมอโดยสาหรบคาทนอยทสดของ t

0t

w vidτ−∞

= <∫ สาหรบคานอยทสดของ t

สมประสทธความตานทาน

− ความสามารถของอปกรณในการตานทานการไหลของกระแสไฟฟาเราเรยกวา สมประสทธความตานทาน สญลกษณคอ ρ มหนวยเปนโอหม-เซนตเมตร ( )cmΩ−

− อปกรณไฟฟาทนาไฟฟาไดดจะตองมคาสมประสทธความตานทานตาดงแสดงในตารางท 1



วสด คาความตานทาน ทองแดง 61.72 10−× อลมเนยม 62.7 10−× คารบอน 34 10−× ซลกอน 52.3 10×

โพลเอสเทอร 181 10×

ตารางท 1 สมประสทธความตานทานของวสดแตละชนด

รปท 4 คาสมประสทธความตานทานของวสดตางๆ

ความตานทาน

− คณสมบตทางฟสกสขององคประกอบหรออปกรณซงกาหนดการไหลของกระแสไฟฟาใชสญลกษณแทนดวย R และมหนวยเปนโอหม ( )Ω

กฎของโอหม (Ohm’s Law)

รปท 5 สญลกษณความตานทาน

v iR=1 1 /V AΩ=



− กฎของโอหมสมพนธกบแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟาในวงจรทมองคประกอบเปนความตานทานหรอตวตานทานดงรปท 5

− โอหมสามารถคานวณไดจากสมการ คาความตานทานของวสดสามารถหาไดจาก

lRAρ=

R คอคาความตานทาน มหนวยเปนโอหม ρ คอสมประสทธความตานทานของวสดมหนวยเปนโอหม-เซนตเมตร l คอความยาวของขดลวดตวนามหนวยเปนเซนตเมตร A คอพนทหนาตดของขดลวดมหนวยเปนตารางเซนตเมตร นอกจากนกฎของโอหมยงสามารถอธบายในเทอมของความนา (Conductance), G ขององคประกอบไดโดย

รปท 6 สญลกษณของความตานทานและความนา

1i Gv

GR

=

=



ลกษณะเทยบเคยงทางฟสกสของความตานทาน

กาลงไฟฟาในตวตานทาน

i

รปท 7 Passive sign convention

− กาลงไฟฟาทถกจายไปยงตวตานทานดงรปท 7

2

2( )v vp vi v i RR R

= = = =

− จะเหนวากาลงไฟฟาจะมเครองหมายเปนบวก นนหมายความวาตวตานทานคอ

อปกรณแบบ Passive ทาหนาทดดกลนกาลงไฟฟา



แบบจาลองสาหรบ วงจรเปดและวงจรปด

รปท 8 รปแสดงคาคามตานทานในขณะเปดและปดวงจร

แหลงจายอสระ (Independent Source)

− แหลงจาย คอแหลงจายอสระของแรงดนไฟฟาทสามารถใหพลงงานกบวงจรไฟฟา

− แหลงจายอสระ คอแหลงกาเนดกระแสหรอแรงดนไฟฟาทไมขนกบตวแปร − สญลกษณของแหลงจายกระแสอสระแสดงดงรปท 9

รปท 9 สญลกษณของแหลงจายอสระ



แหลงจายไฟฟาไมอสระ (Dependent source)

− แหลงจายกระแสไฟฟาอสระ แหลงกาเนดกระแสและแรงดนไฟฟาจงขนอยกบตวแปรอนๆ ในวงจรดงรปท 10

− แหลงจายกระแสไฟฟาอสระมอยทงหมด 4 ชนด ดวยกนคอ CCVS, VCVS, VCCS และ CCCS

รปท 10 แหลงจายกระแสไฟฟาอสระ



ตวอยางท 2 แหลงจายไฟอสระถกใชเปนแบบจาลองทรานซสเตอรในทนเปนแบบ VCCS ใชกบทรานซสเตอร แบบ BJT ในชวงเชงเสน




บทท 3

การวเคราะหวงจรไฟฟา (Method of Analysis)

วงจรทมองคประกอบเปนความตานทาน (Resistive Circuits)

ความตานทานเปนอปกรณทางไฟฟาทใชมากทสดในวงจรไฟฟาโดยทวไป ในบทนเปนการวเคราะหวงจรทเปนวงจรความตานทาน ซงเปนวงจรทประกอบไปดวยแหลงจายและตวตานทาน กฎทใชสาหรบการวเคราะห

• กฎของโอหม (V RI= ) • กฎกระแสเคอรชอฟฟ • กฎแรงดนเคอรชอฟฟ

วงจรพนฐานทประกอบไปดวยแหลงจายอสระและตวตานทานสองตวขนไปดงแสดงในรป

a) b)

รปท 1 a)รปวงจรอยางงาย b) รปโนดของวงจร a, b, c และ d เรยกวาโนด คอ จดตอทมองคประกอบของวงจรตงแต 2 องคประกอบขนไปขนไป

รปท 2 รปแสดงลปของวงจรความตานทาน

ถาเรมตนเดนจากโนด a ไปทโนด b, c, d และกลบไปยงโนด a เสนทางดงกลาว

เรยกวาเสนทางปด โดยเสนทางปดนจะเรยกวา “ลป (Loop)”



ตวอยางท 1จงแสดงลปในวงจร


วธทา จากวงจรมลปทงหมด 3 ลป ลป 1 : a-b-e-f-a ลป 2 : b-c-d-e-b ลป 3 : a-b-c-d-e-f-a

กฎของเคอรชอฟฟ (Kirchhoff’s Law)

กฎกระแสเคอรชอฟฟ (Kirchhoff’s Current Law : KCL) กฎของกระแสเคอรชอฟฟ คอผลรวมทางพชคณตของกระแสทไหลเขาโนดใดๆมคาเทากบศนยททกๆเวลา ตวอยางท 2


วธทา

1 2 3 0i i i− − =

หรอ 1 2 3i i i= +

(ผลรวมกระแสทไหลเขาโนด) = (ผลรวมกระทไหลออกจากโนด) กฎแรงดนเคอรชอฟฟ (Kirchhoff’s current Law : KVL) กฎของแรงดนเคอรชอฟฟคอผลรวมทางพชคณตของแรงดนในเสนทางปดใดๆมคาเทากบศนยททกๆเวลา



ตวอยางท 3 จงหาคา 2R ของวงจร


วธทา จาก KVL จะได ลป 1, 1 310 0v v− + + = (1)

ลป 2, 3 2 12 0v v− + + = (2)

ลป 3, 1 210 12 0v v− + + + = (3)

เมอให 1 10R = Ω , 3 1R = Ω , 2 10v V=− และ 3 2i A= หาคา 2R ไดโดย

ใชกฎของโอหม, ( )3 3 3 1 2 2v R i V= = =

จากสมการ (1), 1 310 10 2 8v v V= − = − =

ใชกฎของโอหม, 1 1 1v R i=

1 1 1/ 8 / 8 1i v R A= = =

จาก KCL ทโนด a, 1 2 3 0i i i− − =

2 1 3 1 2 1i i i A= − = − =−

ดงนน 2 2 2/ 10 / 1 10R v i= =− − = Ω

วงจร แบงแรงดน (Voltage Divider Circuit)

รปท 6 รปวงจรแบงแรงดน

จากกฎ KVL จะได, 1 2 0sv v v− + + =

จากกฎของโอหม 1 1 1 2 2 2,v R i v R i= =

จะได 1 1 2 2 0sv R i R i− + + = หรอ 1 2

sviR R

=+

สดทายจะได



11 1

1 2s

Rv R i vR R

= =+

22 2

1 2s

Rv R i vR R

= =+

รปแบบทวไปของวงจรแบงแรงดน

รปท 7 รปทวไปของวงจรความตานทานตออนกรม

แรงดนตกครอมตวตานทานท n คอ

1 2 ...N

n n sN

Rv R i vR R R

= =+ +

กรณรปวงจรความตานทานตออนกรมดงรป

KVL: 1 2 ... 0s Nv v v v− + + + + =

1 2 ... 0s Nv R i R i R i− + + + + =

จะได 1 2 ...

s s

N s

v viR R R R

= =+ + +

เมอ

1 2 ...s NR R R R= + + +

คอ ความตานทานสมมลของวงจร

รปท 8 รปวงจรความตานทานสมมล

KVL: 0sv v− + =

0s sv R i− + =



/s s si v R= กรณทวงจรความตานทานตอขนาน

รปท 9 รปวงจรความตานทานตอขนาน

KVL loop 1 : 1 10s sv v v v− + = → =

loop 2 : 2 20s sv v v v− + = → =

.

.

.

loop n : 0s N N sv v v v− + = → =

ดงนน

1 2 ... Nv v v= = =

จากรปขางบน

/n s ni v R=

1 2 ...s ni i i i= + + พจารณารปวงจรตอไปน

รปท 10 รปวงจรความตานทานทตอขนานกบแหลงจายกระแส

จากวงจรขางบนจะได, KCL ทโนด a : 1 2si i i= +

กฎของโอหม, 1 1/i v R= และ 2 2/i v R=

จะได 1 2

1 2 1 2s

R Rv vi vR R R R

+= + =



หรอ 1 2

1 2s

R Rv iR R+=

21

1 1 2s

Rvi iR R R

= =+

12

2 1 2s

Rvi iR R R

= =+

ให 11

1GR

= และ 22

1GR

=

จะได 1 21 2

1 2p

R RG G GR R+= + =

และ 1 21 2,s s

p p

G Gi i i iG G

= =

พจารณาวงจรตอไปน

รปท 11 รปวงจรความตานทาน n ตวตอขนานกบแหลงจายกระแส

จากรปวงจรขางตนจะได

1 2

1 1 1 1...pp N

GR R R R

= = + + +

และ

nn s

p

Gi iG

=

ตวอยางท 4 หากระแส 1i , 2i และ v ในวงจร

รปท 12 รปวงจรตวอยางท 4



วธทา 21

1 2

2 3 14 2s

Ri i AR R

= = =+ +

12

1 2

4 3 24 2s

Ri i AR R

= = =+ +

( )( )1 1 4 1 4v R i V= = =

การรวมแหลงจายอสระ

รปท 13 รปการรวมแหลงจายอสระ

ตวอยางท 5 หาคากระแส i


วธทา ทาการรวมความตานทานจะได



( )1/ 1/ 4 1/ 4 8 4 /12 1/ 3R= + + = =

KVL : 1 118 2 3 0v v i− + + + =

เมอ 1 2v i= ,

( )18 2 2 2 3 0i i i− + + + =

2i A= ตวอยางท 6 ระบบทประกอบดวยชดอานแผนเสยง, ชดวงจรขยายและลาโพงดงแสดงในรปท 15 ซงสามารถเขยนเปนวงจรเทยบเคยงดงแสดงในรป จงหาความตานทานททาใหแรงดนทตกครอมโหลดมคา 16 V และหากาลงไฟฟาทจายใหกบลาโพง


วธทา ใชการแบงแรงดน,

6

6

10 0.2 0.210 500abv V= =+

ใชหลกการเดยวกนทลปขวามอ,

( )( )10 10120 120 0.210 10abV v

R R= =

+ +

เมอ 24016

10V

R= =

+

ดงนนจะได 5R= Ω

และ 2 216 25.6

5VP WR

= = =

เทคนคการวเคราะหวงจรทมเพยงความตานทาน

ในหวขอนเปนการวเคราะหวงจรทประกอบดวยตวตานทานมแหลงจายแรงดนและกระแส เมอวงจรมความซบซอนมากขนเสนจานวนของโนดเพมขน เทคนคการวเคราะหวงจร มสองวธ คอ

1. วธแรงดนโนดหรอ Node analysis 2. วธกระแสเมชหรอ Mesh analysis



การวเคราะหแรงดนโนดกบวงจรทมแหลงจายกระแส

รปท 16

− พจารณาวงจรดงรปท 16 สามารถลดรปวงจรไดดงรปท 17

รปท 17

ใชกฎของโอหมในแตละโนด จะได

22

33

11 1

a

a

a a b

viRviRv v viR R

=

=

−= =

หรออธบายในเทอมกระแสทไหลผานตวนาคอ

2 2 3 3 1 1 a a ai G v i G v i G v= = =

ตวอยางท 7 พจารณาวงจรดงรปท 18 จงหาแรงดนทโนด ,a bv v และ cv เมอคาความนาทกคาเทากบ 1S




โนด a: 1 2 3 2 6( ) 9 3a b cG G G v G v G v+ + − − = −

โนด b: 2 4 2 3 4( ) 3b cG G G G v G v− + + + − =

โนด c: 6 4 4 5 6( ) 7a b cG v G v G G G v− − + + + =

แทนคาความนาทกตวจะได

3 63 3

3 7

a b c

a b c

a b c

v v vv v vv v v

− − =− + − =− − + =

ดงนน

3 1 11 3 11 1 3

G − − = − − − −

และ 6

637

i =

6 1 13 3 1 7 1 3

av

− −−

−=

∆



3 1 1det 1 3 1

1 1 3 3(8) ( 1)( 4) 1(4) 16

1 88[6(8) 3(4) 7(4)] 5.516av V V

− −∆= − −

− −= − − − − =

= − + = =∆

เชนเดยวกนจะได

3 6 11 1 3 1

161 7 3

1 76 [3(16) 1(25) 1( 3)] 4.7516 16

bv

V V

−= − −

−

= + − − = =

และ

3 -1 61 1 3 3

161 -1 7

1 92 [3(24) ( 1) 1( 21)] 5.7516 16

cv

V V

= −−

= + − − − = =

การวเคราะหแรงดนโนดกบวงจรทมทงแหลงจายแรงดนและกระแส

− สามารถแบงพจารณาไดสามกรณ คอ



รปท 19 รปวงจรทมทงแหลงจายแรงดนและกระแส

− กรณท I นจะงายตอการวเคราะหโดยใชเพยง KCL ทโนด b และแกสมการ

แรงดนทโนด b เทานน นนคอ

3 2 ( )a b

s b b a

v vi G v G v v== + −

ดงนน

2

2 3

s sb

i G vvG G+=+



− ทาการแปลงแหลงจายแรงดนเปนแหลงจายกระแสดงน

เรมตนดวย KCL ทโนด a

2 4( ) ( ) 0a b a sv v G v v G− + − =

หรอ 2 1 4 4( ) ( )a b a sv v G G G v v G− + + =

− ขวคอ KCL ทโนด a ในวงจรสมมลดงน



วธ Supernode

− Supernode จะประกอบดวยโนดสองโนดทตอกบแหลงจายแรงดนอสระ

KCL ท Supernode

1 2a b sv G v G i+ =

ภายใน Supernode คอ

a b sv v v− =

แกสมการจะได

1

1 2

s sb

i G vvG G−=+



ตวอยางท 8 หาคาแรงดนของทกโนดคาความตานทานในรปมหนวยเปนโอหม

วธทา

ทโนด a

5av V=−

ท Super node

3c bv v V− =

KCL ท Super node

1 2( ) 4 3b b a cv v v v× + − + =

จะได

197bv V=−

สดทายจะได

237c bv v V= + =



วเคราะหวงจรโนดกบแหลงจายไมอสระ

− ถาวงจรมแหลงจายไมอสระสมการแรงดนโนดจะตองเพมสมการทมผลของแตละแหลงจายทไมอสระนเราสามารถอธบายไดดวยตวอยางดงตอไปน

− ตวอยางท 9 จงหาแรงดนท ,a bv v และกระแส 1i

วธทา KCL ทโนด a

1 2 ( ) 5a a bG v G v v+ − =

ทโนด b

13bv i=

จากกฎของโอหม

1 1 ai G v=

1 2 2 1

11

1 2 2 1

1

1 2 2 1

1 2

5( 3 )

( , , ) 15( 3 )

5( 3 )

1 1 5

a b

a

G G G GGv v i

G G G GG

G G G GG G v

− − − + → − − − + − − − +

= = =−



ตวอยางท 10 จงหาแรงดนท ,a bv v และกระแส 1i

วธทา

KCL ท Super node

1 2 5 3a bG v G v i+ = −

ใน Super node

2a b bv v v− =


1 1 ai G v=

1 2

11 2

1

1 2

1 2

1 2

15(12 )

5( , . )(12 )

15(12 )

1 115 15

(12 ) 13

a b

a

G G

v v iG GGG G

G G

vG G

+ → + +

= =

= =+



ตวอยางท 11 เรามแรงดน 4 โนดและ 1 กระแสสาหรบคาทไมทราบ 5 คาเราตองสราง

สมการขนมาดงน

วธทา

KCL ท Super node

1 4 3( ) ( ) 3a b a d c cG v v G v G v v v− + + − =

KCL ท node c

2 3( ) ( ) 4c b c dG v v G v v− + − =

ท node b

8bv V=

ใน Super node

6a dv v i− =


1 2 ( )b ci G v v= −

1 4 1 3 3

2 2 3 3

2 2 1

( ) ( 3) 0 00 ( ) 0 40 1 0 0 0 81 0 0 1 6 00 0 1 0

a

b

c

d

G G G G G vG G G G v

vv

G G i

+ − − + − + − = − − − −



วเคราะหวงจรโดยใชวธ Mesh Current

− ในการวเคราะหวงจรวธ Mesh Current เราจะใช Kirchhoff’s voltage low

(KVL) รอบลปปด

− Mesh คอการวนลปปดโดยไมขนอยกบลปปดอนๆ สาหรบในรปท แสดง

Mesh ทง 4 ลป

− Mesh current คอการกาหนดกระแสตามองคประกอบของ Mesh โดยมขอ

กาหนดใหกระแสแตละตวหมนตามเขมนาฬกา

− สาหรบรปแสดงใหเหนวากระแส 1Ri ไหลผานแหลงกาเนดแรงดนและตว

ตานทาน 1R กาหนดใหเปน 1i และเชนเดยวกน 2 2Ri i= และ 3 3Ri i=

4 1 2

5 2 3

3

R

R

s

i i ii i ii i

= −= −=−



ตวอยางท 12

วธทา

Mesh 1 : 1 1 3 1 2( ) 0sv R i R i i− + + − =

Mesh 2 : 3 2 1 2 2( ) 0R i i R i− + =

จะไดวา

1 3 3 1

3 2 3 2 0sR R R i v

R R R i + − = − +

ตวอยางท 13 แสดงวงจร 3 Mesh

วธทา

4 4 1

4 2 4 5 5 2

5 3 3

00

0

s

s

R R i vR R R R R i

R R R i v

− − + + − = − + −

− วธกระแส Mesh Current สามารถใชวธเคราะหกบแหลงจายกระแสอสระได

โดยงาย สามารถแสดงไดสมการดงน



Mesh 1 : 1 1 3 1 2( ) 0sv R i R i i− + + − =

แหลงจายกระแสอสระ : 2 si i=−

ตวอยางท 14 กรณของแหลงจายกระแสทอยระหวาง 2 Mesh

วธทา

Supermesh : 1 1 3 2 0sv R i R i− + + =

ทแหลงจายกระแสอสระ : 1 3 2i i i+ =

ตวอยางท 15 กรณของแหลงจายแรงดนอสระ

Mesh 1 : 1 1 210 3 2( ) 0i i i− + + − =



Mesh 2 : 2 1 22( ) 2 10 0abi i i v− + + =

กฎของโอหม : 1 22( )abv i i= −

1 2

401145( , , )1110

11

abi i v

→ −

ตวอยางท 16 กรณทมทงแหลงกาเนดกระแสและแหลงกาเนดแรงดน

Mesh 1 : 1 2 1 38 1( ) 2( ) 0i i i i− + − + − =

Supermesh: 2 1 2 3 11( ) 4 3 2( ) 0xi i i i i i− + + + − =

3xi i=

3 2 3i i− =

1 2

8021( , )

67

i i

→ −



สรป วธการใชไดดงตาราง

ลกษณะวงจร วธ

มแหลงจายแรงดน วเคราะหแบบ Mesh

มแหลงจายกระแส วเคราะหแบบ โนด

มแรงจายแรงดนมากวาแหลงจายกระแส วเคราะหแบบ Mesh

มแรงจายแรงดนนอยวาแหลงจายกระแส วเคราะหแบบ โนด



บทท 4

ทฤษฎวงจรไฟฟา (Circuit Theorem)

วงจรทางไฟฟาทมความซบซอนสามารถลดรปวงจรกอนทนาไปวเคราะหในบททผานมา

เนอหาภายในบทน 1. การแปลงวงจรไฟฟา (Source transformation) 2. Superposition 3. ทฤษฎเทวนนและนอรตน (Thevinin and Norton Theorem) 4. การสงผานกาลงไฟฟาสงสด (Maximum Power Transfer)

การลดรปวงจรไฟฟา (Source transformation)

การลดรปวงจรไฟฟาทมความซบซอนชวยทาใหการวเคราะหโดยใชโนดหรอเมชกงายขนดวย

สาหรบเทคนคการลดรปรปวงจรไฟฟาทาไดตามรปและสตรขางลาง

รปท 1 รปการแปลงวงจร

วงจรทถกลดรปสามารถแสดงดวยกระแสทไหลผานโหลดความตานทานระหวาง

ขวทงสองของวงจรยงมคณลกษณะเชนเดม

(a) (b)

รปท 2 รปวงจรทถกแปลงเมอตอกบโหลด

ทเมชรป (a) 0s sv R i Ri− + + = หรอ s

s

viR R

=+



แบงแรงดนรปทสอง, s s s sR

s s s

R i R viR R R R R

= =+ +

หรอ sR

s

viR R

=+

ตวอยางท 1 หาคากระแส i โดยการลดรปวงจร

รปท 3 ตวอยางท 1

วธทา

สดทายจะได 3.8 /17 0.224i A= =

Superposition ในบทนเปนการศกษาวงจรทเปนเชงเสน ซงวงจรทเปนเชงเสนถกสรางมาจากวสดทมองคประกอบเปนเชงเสน พจารณาอปกรณทเปนเชงเสนเมอถกกระตนดวย 1i จะไดผลตอบสนอง 1v ในทานองเดยวกนเมอถกกระตนดวย 2i จะไดผลตอบสนอง 2v ถากระตนดวย 1 2i i+ ผลตอบสนองทไดคอ 1 2v v+

หลกการของ Superposition คอ ผลรวมทางพชคณตอนเนองมาจากแหลงจายแตละแหลงจะเทากบผลอนเนองมาจากแหลงจายทงหมดรวมกน



ตวอยางท 2 หากระแส i โดยใชวธ superposition


วธทา เมอใหแหลงจายแรงดน 6 V ทางาน

จะได 16 2 / 3

3 6i A= =

+

เมอใหแหลงจายกระแส 2A ทางาน

จะได ( )( )

2

3 22 / 3

3 6i A= =

+

ใชหลกการ superposition จะได 1 2 2 / 3 2 / 3 4 / 3i i i A= + = + =

ตวอยางท 3 จงหากระแสเนองจากแหลงจายแรงดน 24 V


วธทา เมอใหแหลงจายแรงดน 24 V ทางาน



ใชเมชในการวเคราะห 1 124 5 3 0i i− + + =

1 3i A=

ทฤษฎของเทวนน

สาหรบวงจรความตานทานและแรงดนจากแหลงจายทขว a-b สามารถแทนดวยวงจรอนกรมของความตานทาน ( tR ) และแหลงจายแรงดน ( tV ) เมอ tV คอแรงดนตกครอม a และ b (ขณะเปดวงจร) tR คออตราสวนแรงดนขณะเปดวงจรตอกระแสทไหลผานขณะลดวงจรทขว a และ b

ทฤษฎเทวนน

รปท 6 รปการหาวงจรเทวนน

การหาวงจรสมมลเทวนนสามารถหาไดโดย

องคประกอบวงจร วธการหา tV วธการหา tR

ความตานทานและแหลงจายอสระ

ใชการวเคราะหแบบโนดและเมชหาแรงดนขณะเปดวงจร ocV ทขว a-b และให t ocV V=

กาหนดไมไหแหลงจายทางานโดยลดวงจรแหลงจายแรงดนและเปดวงจรแหลงจายกระแส หาคาความตานทาน tR



หรอลดวงจรทขว a-b หากระแส

sci แลวหา oct

sc

VVi

=

ความตานทาน, แหลงจายอสระและแหลงจายไมอสระ

ใชการวเคราะหแบบโนดหรอเมชหาแรงดนขณะเปดวงจร ocV ทขว a-b และให t ocV V=

ลดวงจรทขว a-b หากระแส sci

แลวหา oct

sc

VVi

=

ความตานทานและแหลงจายไมอสระ

ให t ocV V= = 0 ตอแหลงจายกระแส 1A เขาไปทขว a-b และหา abV

ตวอยางท 4 จงหาวงจรสมมลเทวนน


วธทา ขนแรกหาแรงดนทตกครอมขว a-b

KCL ทโนด c : 10 2 0

10 40c cv v− + + =

จะได 8cv V=−

เมอ 8t c oc abV v v v V= = = =

หาความตานทานสมมลของวงจร

( )( )10 40

4 1210 40tR = + = Ω+



ตวอยางท 5 จงหาวงจรสมมลเทวนนของรปวงจรทมแหลงจายไมอสระ


วธทา 6oc abv v i= =

KVL ทเมช i : 20 6 2 6 0i i i− + − + = หรอ 2i A=

แลวจะได 6 12ocv i V= =

ขนตอไปหากระแสขณะปดวงจร ทเมช 1 120 6 2 6 2i i i− + − + =

ทเมช 2 26 10 0i i− + =

เมอ 1 2i i i= − และ 2 sci i=

แกสมการหา sci 120 /136sci A=

แลวจะได 12 13.6

120 /136oc

tsc

VRi

= = = Ω

ตวอยางท 6 จงหาวงจรสมมลเทวนนของวงจรทมแหลงไมอสระ


วธทา 10ocv i=

KVL ทเมช i 2 5 10 0i i i− + + = หรอ 0i=



ดงนน 0ocv =

หาความตานทานเทวนนโดยการปอนแหลงจายกระแส 1A

KCL ทโนดบน 2 1

5 10a av i v− + = เมอ 10a abv v i= =

แกสมการหาแรงดน 50 /13av V=

ดงนน 50 /131ab

tVR = = Ω

วงจรสมมลของนอรตน (Norton’s equivalent circuit)

วงจรสมมลของนอรตนสามารถหาไดจากวงจรสมมลเทวนนดงรป

รปท 10 การหาวงจรสมมลของนอรตนจากวงจรสมมลเทวนน

ตวอยางท 7 จงหาวงจรสมมลของนอรตนจากรปวงจรตอไปน


วธทา ( )25 10 250oc abv v i i= =− =−

KVL ลปดานซายคอ 5 500 250 0i i− + − = หรอ 20i mA= จะได 250 5ocv i V=− =−

เมอทาการปดวงจรท a-b



เมอวงจรท a-b ถกปด จะได 0abv = และ 10sci i=−

ตอไปใชเมชหาสมการ 5 500 0 0i− + + = หรอ 10i mA= ดงนน 10 0.1sci i A=− =−

สดทายจะได 5 50

0.1oc

tsc

vRi

−= = = Ω−

การสงผานกาลงสงสด (Maximum Power Transfer) ปญหาของการสงผานกาลงสงสดอยทการออกแบบวงจรและโหลดความตานทาน LR ทจะทาใหแหลงจายสามารถจายกาลงสงสดไปยงโหลด

รปท 12 รปวงจร A ตออยกบโหลด LR

พจารณารปวงจรทเปนวงจรสมมลเทวนนตออยกบโหลด LR ซงจะทาการหาคา

LR ททาใหแหลงจายแรงดนจายกาลงสงสด



รปท 13 วงจรสมมลเทวนนจายกาลงแกโหลด LR

กาลงทถกจายไปยงโหลดคอ 2

LP i R=

เมอกระแส s

L t

viR R

=+

ดงนน 2

sL

L t

vP RR R

= +

กาลงสงสดทถกจายไปยง LR สามารถหาไดโดยทาการดฟเฟอเรนเชยลสมการ 2

sL

L t

vP RR R

= + จะได

L tR R= เมอตองการกาลงสงสดแลว แทน L tR R= ในสมการ

2

sL

L t

vP RR R

= +

จะไดเปน ( )

2 2

max 2 42s L s

LL

v R vPRR

= =

รปท 14 กราฟของการสงผานกาลงทโหลดคาตางๆ

สาหรบการสงผานกาลงทมวงจรสมมลของนอรตนเปนชดจายกาลงแกโหลด



รปท 15 วงจรสมมลนอรตนจายกาลงแกโหลด LR

2

max 4s Li RP =

ประสทธภาพของการสงผานกาลงหาไดจาก

out

in

PP

η=

เมอ outP คอ กาลงทถกจายไปยงโหลด

inP คอ กาลงทจายออกไปโดยแหลงจาย

สาหรบประสทธภาพของการสงผานกาลงท L tR R= คอ

12

η=

ตวอยางท 8 จงหาคา LR ททาใหมการสงผานกาลงสงสด


วธทา หาวงจรสมมลเทวนนโดยการเอาโหลด LR ออก

จะไดวงจรสมมลเทวนนดงรป

คา LR หาไดจาก

12L tR R= = Ω



บทท 5

ออปแอมป Operational Amplifiers

ออปแอมป เปนอปกรณอเลกทรอนกสชนดหนงทมการทางานเปนแบบ Voltage-controlled voltage souce ซงสามารถประยกตใชกบสญญาณไดดงน

1. รวมสญญาณ (sum signal) 2. อนพนธสญญาณ (differentiate signal) 3. อนทเกรตสญญาณ (Integrate signal) 4. ขยายสญญาณ(Amplify signal)

ภายในตวออปแอมปเมอพจารณาถงวงจรภายใน ในสภาวะทไมเปนอดมคต (non-ideal) จะประกอบไปดวยวงจรสมมล ดงรป

V1

V2

dVdAV

oRiR oV

รปท 1 วงจรสมมลของ non-Ideal Op amp

เมอพจารณาถงวงจรสมมล ดงรปท 1 สามารถเขยนเปนสมการความสมพนธระหวางแรงดนอนพต และแรงดนเอาทพต ดงน

2 1( )o dV AV A V V= = − (5.1)

ซงแหลงจายแรงดน จะทางานไดกตอเมอ มแรงดนตกครอมท iR ซงจะเกดขนจากแรงดนอนพต 1v และ 2v นนเอง เพอความสะดวกในการวเคราะหวงจรออปแอมปจะใชคณลกษณะทางอดมคตในการวเคราะหวงจร

นยามของออปแอมปในอดมคต

การพจารณาออปแอมปทางอดมคตจะกาหนดใหอตราขยายลปเปด A มคาอนนต ความตานทานอนพตมคาเปนอนนต และความตานทานเอาทพตมคาเปนศนย คอ

0i

o

ARR

∞∞

และสามารถสรปความสมพนธของกระแสและแรงดนไดดงตอไปน



V −( )

V +( )oV

i =1 0

i =2 0

รปท 2 ออปแอมปทางอดมคต

ดงนนกระแสทไหลเขาออปแอมปทางดานอนพตจะมคาเทากบศนย

1 20, 0i i= = หรอ 1 2i i= (5.2)

และแรงดนทขาบวกและขาลบจะมคาเทากน

( ) ( )V V+ −= (5.3)

Note:เราสามารถหา ( ) ( ),V V+ − งายๆดวยการสงเกตทวงจรถาขวใดขวหนงตอลงกราวดคา

แรงดนตกครอมกจะมคาเทากบศนย หรอถาเกดตอกบแหลงจายแรงดน คาแรงดนตกครอมทขวกจะมคาเทากบคาแรงดนทแหลงจายนน เราจะเหนแลววาสมการเรมคานวณงายขน แตกคงสงสยตอไปวาจะคานวณหาคาแรงดนเอาทพตไดอยางไรในสภาวะอดมคตน เราสามารถหาสมการของแรงดนอนพต และเอาทพตไดจากทฤษฎของ Kirchhoff’s Current Laws (KCL) มาชวยในการคานวณหาสมการความสมพนธนน ซงสามารถพสจนไดดงน

วงจรขยายสญญาณแบบกลบเฟส (Inverting Amplifier)

วงจรขยายสญญาณแบบกลบเฟส คอ วงจรออปแอมปทกลบสญญาณอนพตใหมเครองหมายตรงกนขามกบของเดม

รปท 3 วงจรขยายสญญาณแบบกลบเฟส



พจารณาจากรปดานบนเราจะไดความสมพนธของแรงดนอนพต คอ

( ) ( )0V V+ −= =

(ขวบวกของออปแอมปตอลงกราวด แรงดนทขวมนจงมคาเทากบศนย)

พจารณาทโนด ( )V − จาก KCL; ( ) ( )

1

0i o

f

V V V VR R

− −− −+ =

เมอแทนคา ( ) 0V − = ในสมการขางตน จะไดสมการความสมพนธ คอ

1

0i o

f

V VR R− − =

1

fo i

RV V

R=− (5.4)

ซง1

fRR

− คอ คา voltage gain

จะเหนไดวาคา voltage gain มคาตดลบซงเปนการบงบอกถงวงจรดงกลาวทาหนาทกลบสญญาณ

วงจรขยายสญญาณแบบไมกลบเฟส (Noninverting Amplifier)

วงจรขยายสญญาณแบบไมกลบเฟส คอ วงจรออปแอมปทออกแบบมาเพอให voltage gain มคาเปนบวก หรอใหคาเอาทพตคงคาเครองหมายเหมอนเดม

V −( )

V +( )

oV

R1

fR

iV

รปท 4 วงจรขยายสญญาณแบบไมกลบเฟส

พจารณาจากรปจะได ( ) ( )iV V V+ −= =

(ขวบวกของ Op amp ตอกบแหลงจายแรงดน แรงดนทขวมนจงมคาเทากบแรงดนทแหลงจายนน)



พจารณาทโนด ( )V − จาก KCL; ( ) ( )

1

0o

f

V V VR R− − −+ =

เมอแทนคา ( ) iV V− = ในสมการขางตน จะได

1

0i i o

f

V V VR R

−+ =

1

1 fo i

RV V

R

= + (5.5)

วงจรขยายสญญาณแบบรวมสญญาณ (Summing Amplifier)

วงจรขยายสญญาณแบบรวมสญญาณ คอ วงจรออปแอมปทรวมอนพตตงแต 2 อนพตขนไปมารวมกน

V −( )

V +( )

oV

A0

R1 fR

R2

R1

V1

V2

V3

รปท 5 วงจรขยายสญญาณแบบรวมสญญาณ

พจารณาจากรป(สงเกตทขวบวก)จะได

( ) ( )0V V+ −= =

พจารณาทโนด ( )V − จาก KCL;

( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )

1 2 3

0o

f

V V V V V V V VR R R R

− − − −− − − −+ + + =

เมอแทนคา ( ) 0V − = ในสมการขางตน จะไดสมการความสมพนธระหวางอนพตและ

เอาทพต คอ

31 2

1 2 3

0o

f

V VV VR R R R

− − − − =

1 2 31 2 3

f f fo

R R RV V V V

R R R

=− + + (5.6)



วงจรขยายสญญาณแบบเปรยบเทยบสญญาณ (Difference Amplifier)

วงจรขยายสญญาณแบบเปรยบเทยบ คอ วงจรททาหนาทเปนตวเปรยบเทยบความแตกตางระหวางสองอนพต

V −( )

V +( )

oV

R1

R2

V2

R3

R4

V1

รปท 6 วงจรขยายสญญาณแบบเปรยบเทยบ

จากรป พจารณาทโนด ( )V + จาก KCL; ( ) 2 ( )

3 4

0V V VR R+ +−

+ =

จะได 4( ) 2

3 4

RV VR R+

= + (1)

พจารณาทโนด ( )V − จาก KCL;

( ) 1 ( )

1 2

0oV V V VR R

− −− −+ =

2 2( ) 1

1 1

1oR RV V VR R−

= + − (2)

จากความสมพนธของแรงดน ( ) ( )V V+ −= แทนสมการ(1) ใน(2) จะได

2 4 22 1

1 3 4 1

1oR R RV V VR R R R

= + − + (5.7)

วงจรขยายสญญาณแบบตามแรงดน (Voltage Follower (Buffer))

วงจรขยายสญญาณแบบตามแรงดน จะมแรงดนทางดานเอาทพตเทากบแรงดนทางดานอนพต



V −( )

V +( )

oViV

รปท 7 The voltage follower

พจารณาจากรปจะได ( ) ( )iV V V+ −= =

และ ( ) oV V− =

o iV V∴ = (5.8)

การตอวงจรออปแอมปแบบแคสเคด (Cascaded Op Amp Circuit)

การตอแบบแคสเคดจะเปนการตออนกรมออปแอมปตงแต 2 วงจรขนไป โดยคาเอาทพตจะเปนคาอนพตของอกวงจรหนงตอไปเรอยๆ (เอาทพตของวงจรออปแอมปตวแรกจะเปนอนพตของออปแอมปวงจรทสอง)

V1 V A V=2 1 1

Stage1

A1

Stage2

A2

Stage3

A3

V A V=3 2 2 oV A V= 3 3

รปท 8 วงจรออปแอมปตออนกรมกน 3 วงจร

เมอพจารณาจากรปจะเหนไดวา คา voltage gain ของวงจรมคาเทากบ

1 2 3A A A A= (5.9)

วงจรขยายสญญาณในการวดทางอตสาหกรรม (Instrumentation Amplifiers)

วงจรขยายสญญาณในการวดทางอตสาหกรรม คอ วงจรออปแอมปทใชในการขยายสญญาณทไดจากการวดซงใชในงานอตสาหกรรมทวๆไป จะมรปวงจรดงน



1V

2V

R

GR

R

R

R

R

R

oV Output

Inverted input

Gain set

Gain set

Noninverting input (a)

(b)

รปท 9 (a) วงจรขยายสญญาณในการวดทางอตสาหกรรมโดยปรบเกนดวยตวตานทานภายนอก (b) รปวงจรรวม

วงจรขยายสญญาณในการวดทางอตสาหกรรมจะมสมการความสมพนธระหวางแรงดนเอาทพตและแรงดนอนพตเปน

2 1( )o vV A V V= − (5.10)

เมอคา voltage gain หาไดจาก

21vG

RAR

= + (5.11)

สรป

1. ออปแอมปในอดมคตจะมคา , , 0i oA R R∞ ∞

2. สาหรบออปแอมปในอดมคตกระแสทไหลเขาภายในตวมนทงสองขวอนพตจะมคาเทากบ “ศนย” 1 20, 0i i= = หรอ 1 2i i= และความตางศกยทตกครอมขวอนพตจะมคาเทากน ( ) ( )V V+ −=

3. วงจรขยายสญญาณแบบกลบเฟส คอ วงจรออปแอมปทกลบสญญาณอนพตใหมเครองหมายตรงกนขามกบของเดม

4. วงจรขยายสญญาณแบบไมกลบเฟส คอ วงจรออปแอมปทออกแบบมาเพอให voltage gain มคาเปนบวก หรอใหคาเอาทพตคงคาเครองหมายเหมอนเดม



5. วงจรขยายสญญาณแบบรวมสญญาณ คอ วงจรออปแอมปทรวมอนพตตงแต 2 อนพตขนไปมารวมกน

6. วงจรขยายสญญาณแบบเปรยบเทยบ คอ วงจรททาหนาทเปนตวเปรยบเทยบความแตกตางระหวางสองอนพต

7. วงจรขยายสญญาณแบบตามแรงดน จะมแรงดนทางดานเอาทพตเทากบแรงดนทางดานอนพต



บทท 6

ตวเกบประจและตวเหนยวนา Capacitors and inductors

ตวเกบประจ (Capacitors) ตวเกบประจเปน passive element ถกออกแบบมาเพอเกบสะสมพลงงานในสนามไฟฟา ตวเกบประจประกอบไปดวย แผนตวนาสองแผนถกแยกออกจากกนดวยฉนวน (insulator) หรอวตถทไมเปนสอนาไฟฟา (dielectric)

v

q+ q−

( )a v

i C

( )b

รปท 1 (a) A Capacitor with applied voltage V. (b) Circuit symbols for capacitors.

เราสามารถหาความสมพนธระหวาง ประจไฟฟา กบ แรงดนไดเปน

q CV= (6.1)

เมอ C ยอมาจาก Capacitance คอ คาความเกบประจ มหนวยเปน Farad (F) (1 Farad = 1 coulomb/volt) โดยคาความเกบประจ คอ อตราสวนของความตางศกยระหวางแผนตวนา 2 แผน ซงคาความเกบประจ สามารถคานวณไดจาก

ACdε= (6.2)

โดย ε คอ คา permittivity ของวสดทนาเอามาทาเปนฉนวน A คอ พนทผวแผนตวนา d คอ ระยะหางระหวางแผนตวนาทงสอง เมอพจารณาถงคากระแสทไหลผานตวเกบประจ จะสามารถหาความสมพนธ ระหวางคากระแส และแรงดนทเปลยนไปตามเวลา t ดงน จากสมการความสมพนธของกระแสและประจไฟฟาทเปลยนไปตามเวลา t ;

dqidt

=

แทนสมการขางตนในสมการ (6.1)



cc

dVi Cdt

= (6.3)

ซงจะไดกราฟความสมพนธของสมการขางตนเปนดงรป

Slope C=

i

/dv dt

รปกราฟความสมพนธระหวางกระแสและแรงดนของตวเกบประจ และจากสมการความสมพนธขางตนสามารถหาคาแรงดนได คอ

0

01 ( ) ( )

t

ct

V i t dt V tC

= +∫ (6.4)

คาพลงงานทใชในการคายประจ คอ

221

2 2qW CVC

= = (6.5)

การตออนกรมและขนานของตวเกบประจ

1. ถาตวเกบประจตอแบบขนาน จะรวมกนเหมอนตวตานทานตออนกรมกน

1C 2C 3C NC

1 2 3 ...eq NC C C C C= + + + + (6.6)

2. ถาตวเกบประจตอแบบอนกรม จะรวมกนเหมอนตวตานทานตอขนานกน

1C 2C 3C NC



1 2 3

1 1 1 1 1...eq NC C C C C= + + + + (6.7)

สรปคณสมบตของตวเกบประจ (C)

1. กระแสทไหลผานตวเกบประจเทากบศนย ถาแรงดนตกครอมตวเกบประจไม

เปลยนแปลงตามเวลา( 0dVdt= ) ดงนน ตวเกบประจจะเปรยบเสมอนเปดวงจร (open

circuit) เมอตอกบไฟกระแสตรง

2. ถาแรงดนทตกครอมตวเกบประจคงท ( 0dVdt= ) จะทาใหกระแสมคาเปนศนย

แตจะมพลงงานสะสมอยในตวเกบประจจานวนหนง 3. การเปลยนแปลงแรงดนตกครอมตวเกบประจอยางทนททนใด จะทาใหเกด

กระแสไหลเปนจานวนมาก 4. ตวเกบประจจะไมมพลงงานสญเสยในตวเกบประจ เพยงแตสะสมไวเทานน

ตวเหนยวนา (Inductors)

ตวเหนยวนาเปน passive element เชนเดยวกนกบตวเกบประจ มลกษณะเปนเสนลวดตวนา ทถกพนเปนขดลวด (coil)

( )a ( )b

v

i LCorematerial

sec ,Cross tional area A−

,number of turns N

,length l

รปท 2 (a)รปแบบทวๆไปของตวเหนยวนา (b) สญลกษณในวงจรของตวเหนยวนา

เราสามารถหาความสมพนธของแรงดนกบกระแสทเปลยนแปลงไปตามเวลา คอ

LL

diV Ldt

= (6.8)

เมอ L คอคาความเหนยวนา(inductance) ของตวเหนยวนามหนวยเปน Henry(H) ซง 1Henry = 1 Volt second/Ampare คาความเหนยวนา สามารถคานวณไดจาก

2N ALlµ= (6.9)

โดย N คอ จานวนรอบของการพนขดลวด

µ คอ คา permittivity ของวสดทนาเอามาทาเปนแกนcore



A คอ พนทหนาตดของแกน core จากสมการ (6.8) เราสามารถหาคากระแสไดดงน

LL

Vdi dtL

=

1 ( )

t

Li V t dtL −∞

= ∫

0

01 ( ) ( )

t

Lt

i V t dt i tL

= +∫ (6.10)

และหาคาพลงงานทจายออกมาจากตวเหนยวนาไดเปน

212

W Li= (6.11)

การตออนกรมและขนานของตวเหนยวนา

1. ถาตวเหนยวนาตอแบบอนกรม จะรวมกนเหมอนตวตานทานตออนกรมกน

1L 2L 3L NL

1 2 3 ...eq NL L L L L= + + + + (6.12)

2. ถาตวเหนยวนาตอแบบขนาน จะรวมกนเหมอนตวตานทานตอขนานกน

1L 2L 3L NL

1 2 3

1 1 1 1 1...eq NL L L L L= + + + + (6.13)

สรปคณสมบตของตวเหนยวนา (L)

1. แรงดนทตกครอมตวเหนยวนาจะเทากบศนย ถากระแสทไหลผานตวแหนยวนา

ไมเปลยนแปลงตามเวลา( 0didt= ) ดงนน ตวเหนยวนาเปรยบเสมอนชอตวงจร (short

circuit) เมอตอกบไฟกระแสตรง (ตวเหนยวนาเหมอนสายไฟเสนหนงในวงจรไฟกระแสตรง)

2. กระแสทไหลผานตวเหนยวนาไมสามารถเปลยนแปลงไปอยางทนททนใดได



ตารางเปรยบเทยบคณสมบตทวๆไปของ R L C Relation Resistor(R) Capacitor(C) Inductor(L)

V i− V iR= 0

01 ( ) ( )

t

ct

V i t dt V tC

= +∫ LL

diV Ldt

=

i V− ViR

= cc

dVi Cdt

= 0

01 ( ) ( )

t

Lt

i V t dt i tL

= +∫

PorW 2

2 VP i RR

= = 212

W CV= 212

W Li=

series 1 2eqR R R= + 1 2

1 2eq

C CCC C

=+

1 2eqL L L= +

parallel 1 2

1 2eq

R RRR R

=+

1 2eqC C C= + 1 2

1 2eq

L LLL L

=+

at DC same open circuit short circuit Circuit variable That cannot - V i Change abruptly



บทท 7

ผลตอบสนองสมบรณของวงจร RL และ RC

The complete Response of RL and RC circuit

วงจรทไมมแหลงจาย (Source Free circuit)

วงจร RC ทไมมแหลงจาย (The Source-Free RC circuit) วงจร RC ทไมมแหลงจายเกดจากการนาแหลงจายไฟกระแสตรงออกไปจากวงจร พลงงานซงถกเกบสะสมในตวเกบประจ C จะถกลดทอน ไปดวยตวตานทาน R จนทาใหแรงดนทตกครอมตวเกบประจมคาเทากบศนย

RiCi

C RV

รปท 1 วงจร RC ทไมมแหลงจาย

จากททราบมาแลวจากบทเรยนทผานมา แรงดนทตกครอมตวเกบประจไมสามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใดได ณ เวลา t = 0

0(0)V V=

KCL ทโนดบน ; 0C Ri i+ =

0dV VCdt R+ =

1dV dtV RC=−

( )

(0) 0

1 1V t t

V

dV dtV RC

=−∫ ∫

ln ( ) ln (0) tV t VRC

− =−

( ) (0)tRCV t V e

−= หรอ ( )

t

V t Ae τ−

= (7.1)

เมอ A คอ คาสภาวะเรมตน(initial condition) = (0)V

τ คอ คาเวลาคงตว time constant = RC ซงคาเวลาคงตว คอ คาเวลาในขณะทผลตอบสนองมคาลดลงโดยมาจากคา 1e− หรอ 36.8% ของคาสภาวะเบองตน



10 0 00.368RCV e V e V

τ− −= = (7.2)

ผลตอบสนองของแรงดนในวงจร RC ทไมมแหลงจายนน จะเปนกราฟเอกซโพเนนเชยลทมผลตอบสนองลดลงเขาใกลศนย ซงเปนผลมาจากการลดลงของ initial voltage ตงแตผลตอบสนองเนองจากพลงงานทเกบสะสมและคณลกษณะทางกายภาพของวงจร จะเรยกผลตอบสนองตรงนวา natural response ของวงจร ซง natural response กคอ ผลตอบสนองทไดจากการทางานของวงจรทไมเกยวของกบแหลงจายภายนอกตวใด

v

0

tV e τ

−

0V

τ0

. 00 368V

t รปท 2 ผลตอบสนองแรงดนของวงจร RC

เทคนคในการหาผลตอบสนองของวงจร RC ทไมมแหลงจาย 1. 0(0) @ 0V V A t= = <

2. RCτ = วงจร RL ทไมมแหลงจาย (The Source-Free RL circuit)

i

L RLV

รปท 3 วงจร RL ทไมมแหลงจาย

จากททราบมาแลวจากบทเรยนทผานมา กระแสทไหลผานตวเหนยวนาไมสามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใดได ณ เวลา t = 0

0(0)i I=

พจารณาจากรปวงจร KVL ทลปของวงจร ; 0L RV V+ =



0diL Ridt+ =

di R dti L=−

( )

(0) 0

1i t t

I

Rdi dti L=−∫ ∫

ln ( ) ln (0) Ri t i tL

− =−

( ) (0)RtLi t I e

−= หรอ ( )

t

i t Ae τ−

= (7.3)

เมอ A คอ คาสภาวะเบองตน(initial condition) = (0)i

τ คอ คาเวลาคงตว time constant = L/R เทคนคในการหาผลตอบสนองของวงจร RL ทไมมแหลงจาย 1. 0(0)i I A= =

2. LR

τ =

การหาผลตอบสนองของวงจรอนดบหนง เมอตอรวมกบแหลงจายภายนอก ผลตอบสนองสมบรณของมน จะไมขนอยกบ natural response เพยงอยางเดยว โดยจะม force response ซงกคอ แหลงจายภายนอกมาเกยวของดวย โดยสรปเปนความสมพนธไดเปน Complete Response = natural response + force response

( )v t

0 t

sV

natural response

force response

รปท 4 ผลตอบสนองสมบรณของวงจรทมอปกรณเกบสะสมพลงงาน 1 อปกรณ

ทจะกลาวตอไปน จะเปนวธการคานวณหาผลตอบสนองสมบรณของวงจร RC และ RL โดยจะมเทคนคการคดทงาย ซงจะมขนตอนการคานวณดงน



ผลตอบสนองสมบรณของวงจร RC (RC+source)

1. หาคา R eq eqCτ = จากวงจร ณ เวลา 0t≥

2. หาคา ( ) ( )0 0C CV V+ −= โดยหาคา ( )0CV− จากวงจร ณ เวลา 0t< ถง 0t −=

(ถามแหลงจายกระแสตรง , ตวเกบประจใหเปดวงจร) 3. หาคา initial สาหรบคาอนๆ, ( )0f + จากวงจร ณ เวลา 0t += โดยแทน

( )0CC V += ถา ( )0 0CV+ = ใหเขยนเปนชอตวงจร

4. หาคาสดทาย (Final Value) , ( )f ∞ จากวงจร ณ เวลา t =∞ (ถามแหลงจาย

กระแสตรง , ตวเกบประจใหเปดวงจร)

5. จะได ( ) ( ) (0 ) ( ) , 0t

f t f f f e tτ−+ = ∞ + − ∞ ≥ (7.4)

( ) ( ) (0 ) ( )t

C C C CV t V V V e τ−+ = ∞ + − ∞ (7.5)

ตวอยาง การหาผลตอบสนองสมบรณของวงจร RC ตามวธขางตน จงหาแรงดนทตกครอมตวเกบประจ และ คากระแสทไหลในวงจรดงรป

10Ω

120V50V

60Ω 200Ω

0t =

50Ω

( )i t

.0 05F

( )CV t

ขนตอนท 1 @ 0t≥ ; (ในรปเปนการหาคาความตานทานรวมของวงจร โดยใชทฤษฎของเทวนน ซงจะตองชอตแหลงจาย)

50V

60Ω 200Ω

50Ω

( )i t

eR qshort cct find



1 241 1 160 200 50

24 0.05 1.2 sec

eq eq

eq th

R C

R R

τ

τ

=

= = = Ω+ +

= × =

ขนตอนท 2 @ 0t< ;

120V

10Ω 50Ω ( )0CV −

ขนตอนท 3 @ 0t += ;

50V

60Ω 200Ω

50Ω

( )0i +

( )0 100CV V+ =

ขนตอนท 4 @ t =∞ ;

50V

60Ω 200Ω

50Ω

( )i ∞

( )CV ∞

ขนตอนท 5; แทนคาตางๆทไดจากขนตอนท 1-4 ลงในสมการความสมพนธขางตน จะได

[ ]

[ ]

1.2

1.2

( ) 20 100 20 ; 0

( ) 0.1 0.5 0.1 ; 0

t

C

t

V t e t

i t e t

−

−

= + − ≥

= + − ≥

ผลตอบสนองสมบรณของวงจร RL (RL+source)

1. หาคา eq

eq

LRτ = จากวงจร ณ เวลา 0t≥

จาก Voltage divider หา (0 )CV− ไดเปน

50(0 ) 120 100 (0 )10 50C CV V V− += × = =+

หาคา initial (0 )i + ไดเปน 100(0 ) 0.5200

i A+ = =

หาคา Final Value ( ), ( )V i∞ ∞ ไดเปน

200 5050200 50( ) 20

200 50 60200 50

20( ) 0.1200

V V

i A

⋅ × +∞ = = ⋅ + +

∞ = =



2. หาคา ( ) ( )0 0L Li i+ −= โดยหาคา ( )0Li− จากวงจร ณ เวลา 0t< ถง 0t −=

(ถามแหลงจายกระแสตรง , ตวเหนยวนาใหชอตวงจร) 3. หาคา initial สาหรบคาอนๆ, ( )0f + จากวงจร ณ เวลา 0t += โดยแทน

( )0LL i += ถา ( )0 0Li+ = ใหเขยนเปนเปดวงจร

4. หาคา Final Value, ( )f ∞ จากวงจร ณ เวลา t =∞ (ถามแหลงจายกระแสตรง ,

ตวเหนยวนาใหชอตวงจร)

5. จะได ( ) ( ) (0 ) ( ) , 0t

f t f f f e tτ−+ = ∞ + − ∞ ≥

( ) ( ) (0 ) ( )t

L L L Li t i i i e τ−+ = ∞ + − ∞ (7.6)

ตวอยาง การหาผลตอบสนองสมบรณของวงจร RL ตามวธขางตน พจารณารปวงจรตอไปน เปนแบบจาลองชดขบมอเตอรกระแสตรงประกอบดวยวงจรขบเคลอนซงใชทรานซสเตอร BJT เพอขบมอเตอรซงถกจาลองดวยตวเหนยวนา 8 H จงหา I(t) ณ เวลา 0t≥

99 bi( )V t

bi

0t =( )i t

8H

400Ω

1sV V=

ขนตอนท 1 @ 0t≥ ;

99 biocV

bisci400Ω

1V

หา R eq โดยใชทฤษฎของเทวนน R oceq

sc

Vi

=

หา ocV จาก KCL @ node บน ; 1 99 0

400oc

bV i− − = (ยงไมชอตวงจร)

1 199( ) 0400 400

1 99 99 0100 100 ; 1

oc oc

oc oc

oc oc

V V

V VV V V

− −− =

− − + == =



หา sci จาก KVL @ loop นอก ; (short วงจรแลว)

1 400 0

1400

b

b

i

i A

− + =

=

99

1100 100 0.25400

sc b b

sc b

i i i

i i A

− =

= = × =

1R 40.25

8 2secR 4

oceq

sc

eq

eq

Vi

Lτ

∴ = = = Ω

∴ = = =

ขนตอนท 2 @ 0t< ; (0 ) (0 ) 0L Li i A− += =

ขนตอนท 3 ไมตองหาในขนตอนนเนองจากไมมคา initial คาอนๆในวงจร ขนตอนท 4 @ t =∞ ;

99 bi

bi ( )Li ∞

400Ω

1V

ขนตอนท 5; แทนคาตางๆทไดจากขนตอนท 1-4 ลงในสมการความสมพนธขางตน จะได

2( ) 0.25 0.25 ; 0t

Li t e t−

= − ≥

หาคา Final Value ( )Li ∞ ไดเปน

( ) 0.25Li A∞ =

(คานวณแบบเดยวกบ sci )



บทท 8

ผลตอบสนองสมบรณของวงจรทมอปกรณเกบสะสมพลงงาน 2 อปกรณ

The complete Response of Circuits with Two Energy Storage Elements วงจรทประกอบดวยอปกรณทสะสมพลงงาน 2 อปกรณ สามารถอธบายไดดวยสมการ second-order differential ในรปของ CV และ Li

2

2 1 02 ( )d x dxa a a x f tdt dt+ + = (8.1)

โดยแทนท x=x(t) ดวย V หรอ I คาคงท 2 1 0, ,a a a คอ คาพารามเตอรในวงจร (เชน คา R,L,C) และ f(t) กคอ forcing function หรอ แหลงจายอสระนนเอง

สมการดฟเฟอเรนเชยลของวงจรอนดบสอง

1.ทฤษฎโดยตรง (Direct Method)

จะเปนวงจรแบบใดแบบหนงไมผสมซงสามารถพจารณางายๆ ไมซบซอนมอย 2 ชนด ดงน วงจร RLC ตอแบบขนาน

i

LRsi

C

V

รปท 1 วงจร RLC ตอแบบขนาน

จากรปสามารถหาสมการดฟเฟอเรนเชยลไดดงน

KCL ทโนดบน; sV dVi C iR dt+ + =

จากสมการ diV Ldt

= นาแทนคาในสมการขางตน

2

2 sL di d ii LC iR dt dt+ + =

หรอ 2

2

1 1 1s

d i diC i idt R dt L L+ + = (8.2)



วงจร RLC ตอแบบอนกรม

i

L

R

sV

C

V

รปท 2 วงจร RLC ตอแบบอนกรม

จากรปสามารถหาสมการดฟเฟอเรนเชยลไดดงน

KVL ทลปของวงจร; sdiL V Ri Vdt+ + =

จากสมการ dVi Cdt

= นาแทนคาในสมการขางตน

2

2 sd V dVLC RC V Vdt dt+ + = (8.3)

3. วงจรทมความซบซอน (Operator Method)

วงจรจะมรปแบบทเปนแบบผสม (ดงรป) ทงแบบอนกรม และขนาน มารวมกน การพจารณาจะคอนขางซบซอนขน ดงน

1i

1L

sVR 2L2i

รปท 3 วงจรแบบผสม

KVL ทลปดานซาย; 11 1 2( ) (1)sdiL R i i Vdt+ − =

KVL ทลปดานขวา; 22 2 1( ) 0 (2)diL R i idt+ − =

เราสามารถแทนคาddtดวยตวแปร s ดงน

จาก(1) ; 1 1 1 2 sL si Ri Ri V+ − =



หรอ 1 1 2( ) (3)sL s R i Ri V+ − =

จาก(2) ; 1 2 2 2 0Ri Ri L si− + + =

หรอ 1 2 2( ) 0 (4)Ri L s R i− + + =

จาก (3) และ (4) เราสามารถจดรปสมการเพอหาคา 2i ไดเปน

2 21 2 1 2( )

sRViL L s R L L s

=+ +

หรอ 2

1 2 2 1 2 2( ) sL L s i R L L si RV+ + =

แทนคาตวแปร s ดวยเทอม ddtและจดรปสมการ

2

1 2 2 21 22 ( ) s

L L d i diL L VR dt dt

+ + = (8.4)

ถาเรากาหนดคาพารามเตอรเปน 1 21 , 2 , 1L H L H R= = = Ω เราจะได

22 2

22 3 sd i di Vdt dt+ =

General Solution ของสมการอนดบสอง

จากสมการ (8.1) ; 2

2 1 02 ( )d x dxa a a x f tdt dt+ + =

และสมการ Complete solution; h p n fx x x x x= + = +

จะไดสมการ Homogeneous solution;

2

2 1 02 0d x dxa a a xdt dt+ + = ; ( ) 0f t =

จากสมการคณลกษณะ ; 22 1 0 0a s a s a+ + =

คารากของสมการ ; 2

1 1 0 2 2 21,2 0

2

42

a a a as

aα α ω

− ± −= =− ± −

เมอ 010

2 2

;2

aaa a

α ω= =



เราสามารถสรปรปแบบสมการ Homogeneous solution โดยจาแนกตามลกษณะของคารากดงตารางดานลางน

เงอนไข 1 2,s s Homogeneous Solution

Overdamped response

21 0 24a a a> 1 2s s≠ (real root) 1 2

1 2s t s tA e A e+

2 21,2 0s α α ω=− ± −

Criticallydamped response

21 0 24a a a= 1 2s s α= =− 1 2

1 2s t s tA e A te+

Underdamped response

21 0 24a a a< 1,2 ds jα ω=− ± [ ]1 2cos( ) sin( )t

d de A t A tα ω ω− +

2 201 dj ω ω α= − = −

(complex conjugate roots)

note: คาคงท 1 2,A A หาไดจากการแทนคา initial conditions (0 )x + และ (0 )dxdt

+

ใน

สมการ General solution ( ) h px t x x= +

และรปแบบของสมการ Particular solution โดยจาแนกตามลกษณะของฟงกชนสญญาณอนพตดงตารางดานลางน รปแบบสญญาณ f(t) Particular Solution Step K B Ramp Kt 1 2B t B+

Exponential atKe− (1) 1 2a s and a s≠ ≠ atBe−

(2) 1 2 1 2, ( )a s or a s s s= = ≠ atBte−

(3) 1 2a s s= = 2 atBt e−



sinusoid [ ] [ ]sin( ) cos( )K t or K tω ω 1 2sin( ) cos( )B t B tω ω+

note: คาคงท B หาไดจากการแทนคา Particular Solution นนในสมการ differential equation ในเทอมของตวแปรทตองการทราบคา (v หรอ i) ตวอยาง การคานวณ และการใชงานของตารางขางตน จงหาผลตอบสนองสมบรณของแรงดนทตกครอมตวเกบประจ เมอกาหนดให V(0)=10V , i(0)=-1/3A และ L=1H,C=1/6F,R=5Ω

i

1H

5Ω

2

3t

sV e V−=

/1 6F

V

KVL ทลปของวงจร ; sdiL V Ri Vdt+ + =

จากสมการความสมพนธของตวเกบประจ dVi Cdt

=

จะได 2

2 sd V dVLC RC V Vdt dt+ + =

จากโจทยกาหนดให L=1H,C=1/6F,R=5Ω แทนคาในสมการขางตน

2

2

1 1 21 56 6 3

td V dV V edt dt

− × + × + =

นา 6 คณตลอดจะได ; 2

2 5 6 4 td V dV V edt dt

−+ + = (1)

จากสมการท(1) หาคารากของสมการไดเปน

2 5 6 0s s+ + = (ไมคด force response) ( 2)( 3) 0s s+ + =

1,2 2, 3s∴ =− −

คารากของสมการเปนคาจรง (real root) และมคาไมเทากน



เทยบจากตารางรปแบบสมการ Homogeneous solution ตรงกบรปแบบท 1 Overdamped response ดงนน สมการ Homogeneous solution หรอ Natural response คอ

2 31 2

t th nV V Ae A e− −= = +

และ Forced response; t

fV Be−=

หาคา B จากการนาสมการ Forced response แทนคาในสมการท(1) จะได

( ) ( )5 6 4t t t tBe Be Be e− − − −+ − + =

( )2 4 ; 2t tBe e B− −= =

จะไดสมการ complete response เปน

2 31 2 2t t t

n fV V V Ae A e e− − −= + = + + (2)

หาคาตวแปร 1 2,A A ไดจากการทโจทยกาหนดคา initial condition V(0) = 10V , i(0) =

-1/3A ซงจะหาคา(0 )dVdt

+

ไดจาก

(0 ) 1 1 (0 )(0 ) ;3 6

(0 ) 2

dV dVi Cdt dt

dVdt

+ ++

+

= − =

=−

จากสมการ 2 31 2 2t t tV Ae A e e− − −= + +

แทนคา V ทเวลา t=0; 1 2(0 ) 10 2V A A+ = = + + (3)

และจากสมการท(2) diff สมการเพอแทนคา (0 ) 2dVdt

+

=− ในสมการจะได

1 2(0 ) 2 2 3 2dV A Adt

+

=− =− − − (4)

จากสมการท(3) และ (4) แกสมการเพอหาคา 1 2,A A ไดเทากบ

1 224, 16A A= =−

นาคา 1 2,A A ทไดแทนในสมการท(2) สดทายจะได ; 2 3( ) 24 16 2 , 0t t tV t e e e V t− − −= − + >



บทท 9

ไซนซอยดและเฟสเซอร (Sinusoids and Phasors)

ไซนซอยด เปนรปคลนทมลกษณะเปนรปคลนไซน (Sine Wave) โดยจะใชฟงกชนแบบไซนในการอธบายคณลกษณะตางๆ ซงฟงกชนทใชไดแก ฟงกชนไซน (Sine Function) และฟงกชนโคไซน (Cosine Function) ในงานทางดานวศวกรรม ฟงกชนแบบไซนมความสาคญมาก เนองจากสญญาณตางๆ ทใชมกเปนสญญาณแบบรปคลนไซน เชน สญญาณไฟฟากระแสสลบ

(a)



(b)

รปท 1 รปคลนไซน

จากรปท 1 สมการชวขณะของรปคลนไซนคอ ( ) sinMx t X tω=

เมอ ( )x t = คาของฟงกชนทเวลาใดๆ MX = แอมพลจด ω = ความถเชงมม t = เวลา โดยทความถเชงมม ( )ω กาหนดโดย

2 2 fTπω π= = (rad/s) ; T =คาบเวลา (s)

f =ความถ (Hz)

คณสมบตพนฐานบางอยางของรปคลนไซน

( ) sin( )Mx t X tω θ= +

จากฟงกชนขางตน เรยก θ วา มมเฟส (Phase Angle)



รปท 2 รปคลนไซนทตางเฟสกน

จากร ปท 2 ร ปคล นท ง สองม เฟสต า งก น θ ซ ง ในกรณ น ร ปคล น

sin( )MX tω θ+ เกดกอนรปคลน sinMX tω เปนมม θ เรเดยน หรออาจกลาวไดวา รปคลน sinMX tω ลาหลง (Lag) รปคลน sin( )MX tω θ+ เปนมม θ เรเดยน ในสมการทพบโดยทวไป เชน 1 1( ) sin( )Mx t X tω θ= + 2 2( ) sin( )Mx t X tω φ= +

ซงจากสมการทงสองแสดงใหเหนวา 1( )x t นาหนา (Leading) 2 ( )x t เปนมม θ φ− หรอ 2 ( )x t ลาหลง (Lagging) 1( )x t เปนมม θ φ− เรเดยน โดยถา θ φ= ฟงกชนทงสองจะเหมอนกนทกประการ หรอกลาวไดวา ฟงกชนทงสองมเฟสตรงกน (In Phase) แตถา θ φ≠ แสดงวาฟงกชนทงสองกลบเฟสกน (Out of Phase)



เฟสเซอร (Phasors)

ในการอธบายแรงดนไฟฟาหรอกระแสไฟฟาดวยขนาดและมมเฟสมกใชเฟสเซอรในการอธบาย

รปท 3 แผนภาพเฟสเซอร

(cos sin )M MV V V jθ θ θ= ∠ = + ซงจากสมการขางตน แสดงใหเหนถงความสมพนธระหวางเฟสเซอรกบจานวนเชงซอน



บทท 10

การวเคราะหวงจรในสภาวะคงตวแบบไซน

(Sinusoidal Steady-State Analysis)

ในการวเคราะหวงจรกระแสสลบ (AC Circuit) ในสภาวะคงตว สามารถนาทฤษฎโครงสรางวงจรและเทคนคอนๆ ทใชในวงจรความตานทานกระแสตรง มาใชกบวงจรทประกอบดวย R , L และ C ไดเชนกน แตตองนาเฟสเซอร,อมพแดนซ และแอตมตแตนซ ซงเกยวของกบจานวนเชงซอนมารวมพจารณา การวเคราะหวงจรอนกรมกระแสสลบ (AC Series Circuit Analysis) วธการวเคราะหวงจรอนกรมกระแสสลบ สามารถทาไดเชนเดยวกบวงจร AC เพยงแตจะตองใชเฟสเซอรเขามารวมพจารณาดวย

(a)

(b)

รปท 1 วงจรอนกรมกระแสสลบ (a) ในโดเมนเวลา (b) ในโดเมนความถ



จากวงจรเมอใช KVL กบวงจรในโดเมนของเฟสเซอร จะได S R L CV V V V= + + แทนคาแรงดนไฟฟาทองคประกอบของวงจรแตละตวดงน 40 20SV = ∠ 6RV I= 8LV j I= เมอแทนคาเขาไปในสมการแรงดนของ KVL จะได 40 20 6 8 4 (6 4)I j I j I j I∠ = + − = +

40 20 40 20 5.547 13.76 4 7.211 33.7

Ij

∠ ∠= = = ∠−+ ∠

หรอ 5.547 2 sin(4 13.7 ) 7.84 (4 13.7 )i t sin t A= − = −

อมพแดนซ (Impedance)

วธการวเคราะหแบบ KVL ทแสดงมาขางตนนน ใชเวลาในการหาคาตอบทคอนขางชา ดงนนจงอาจหลกเลยงวธการนไดโดยการใชคาอมพแดนซ อมพแดนซมสญลกษณของขนาดเปน Z และมหนวยเปนโอหม ( )Ω

รปท 2 อมพแดนซ

จากรปเมอเฟสเซอรแรงดนไฟฟาเปน V และเฟสเซอรของกระแสทไหลเขาเปน I ดงนนคาอมพแดนซ Z ของวงจรคอ

VZI

=



ในการหาคาอมพแดนซนวงจรจะตองไมมแหลงจายอสระอนใด แตอาจมแหลงจายแบบไมอสระได โดยทวไป ซงไมจาเพาะวาจะตองเปนวงจรอนกรม Z R jX= + โดยท R เปนคาความตานทานในสวนจานวนจรงและ X เปนคารแอกแตนซของอมพแดนซในสวนจานวนจนตภาพ นอกจากนคาอมพแดนซยงสามารถเขยนใหอยในรปแบบเชงขวไดจากพชคณตเชงซอน 2 2 1tan ( / )Z R jX R X X R−= + = + ∠ ซงคา 2 2R X Z Z+ = = เปนคาขนาดของอมพแดนซและ 1tan ( / )X R− เปน

คามมของอมพแดนซ โดยถามมของแรงดนไฟฟานาหนากระแสไฟฟาจะทาใหคามมนเปนบวก แตถามมของแรงดนไฟฟาตามหลงกระแสไฟฟาจะทาใหคามมนเปนลบ ในวงจรทมคาอมพแดนซเปนบวก จะเปนวงจรเหนยวนา (Inductive Circuit) สวนในวงจรทมคาอมพแดนซเปนลบ จะเปนวงจรชนดความจ (Capacitive Circuit) เนองจากอมพแดนซสมพนธกบเฟสเซอรของแรงดนไฟฟากบกระแสไฟฟาเหมอนกบทความตานทานสมพนธกบแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟาในวงจรกระแสตรง ทาใหสามารถรวมอมพแดนซไดเหมอนกบรวมความตานทาน ดงนนอมพแดนซรวม TZ ของสวนประกอบทตอกนแบบอนกรมจะเทากบผลรวมของอมพแดนซในสวนประกอบแตละตว 1 2 3 ...T NZ Z Z Z Z= + + + + และสาหรบสวนประกอบสองตวตอขนานกน แตละตวมอมพแดนซ 1Z และ 2Z

1 2

1 2T

Z ZZZ Z

=+

อมพแดนซรวมของวงจรกระแสสลบจะใชเหมอนกบความตานทานรวมในวงจรกระแสตรง สามเหลยมอมพแดนซ (Impedance Triangle) ในสามเหลยมอมพแดนซจะประกอบดวยเวกเตอรทแทน R, jX และ Z โดยเวกเตอร jX จะวาดตอจากปลายของเวกเตอร R และเวกเตอร Z จะวาดเปนผลรวมของเวกเตอรทงสอง ดงรป



รปท 3 สามเหลยมอมพแดนซ

การแบงแรงดนไฟฟา (Voltage Divider)

กฎการแบงแรงดนไฟฟาหรอการหารแรงดนไฟฟาสาหรบวงจรกระแสสลบจะเหมอนกบในวงจรกระแสตรง โดยเฟสเซอรของแรงดนไฟฟาจะเทยบไดกบแรงดนไฟฟาและอมพแดนซจะเทยบไดกบความตานทาน ดงนนวงจรอนกรมซงไดรบแรงดนไฟฟาทมเฟสเซอรเปน SV แลวเฟสเซอรของแรงดนไฟฟา XV ตกครอมสวนประกอบทมอมพแดนซ XZ จะมคาเทากบ

XX S

T

ZV VZ

=

โดยท TZ เปนผลรวมของอมพแดนซ และจะม เครองหมายลบดวยถาแรงดนไฟฟา XV และ SV มเครองหมายตรงขามกน

การวเคราะหวงจรขนานกระแสสลบ (AC Parallel Circuit Analysis)

(a)



(b)

รปท 4 วงจรขนานกระแสสลบ (a) ในโดเมนเวลา (b) ในโดเมนความถ จากวงจรเมอใช KCL กบวงจรในโดเมนของเฟสเซอร จะได S R L CI I I I= + + แทนคากระแสไฟฟาทองคประกอบของวงจรแตละตว 10 0SI = ∠

1000RVI =

2500LVIj

=

1000CVIj

=−

เมอแทนคาเขาไปในสมการกระแสของ KCL จะได

10 01000 2500 1000V V V

j j∠ = + +

−

10 0 10 0 8.6 31

0.001 0.0006 0.001166 31V kV

j∠ ∠= = = ∠−+ ∠

หรอ 8.6 2 sin(5000 31 ) 12sin(5000 31 )v t t kV= − = −

แอดมตแตนซ (Admittance)

คาแอดมตแตนซ มสญลกษณของปรมาณเปน Y มหนวยเปนซเมนส (S) นยามของแอดมตแตนซคอสวนกลบของอมพแดนซ



1YZ

=

ซงคาแอดมตแตนซของความตานทานคอ 1Y GR

= = ของตวเหนยวนาคอ

1 1jYj L Lω ω

−= = และของตวเกบประจคอ 1

( 1/ )Y j C

j Cω

ω= =

−

เมอเปนสวนกลบของอมพแดนซ คาแอดมตแตนซของวงจรกระแสสลบจะเปรยบไดกบคาความนาในวงจรกระแสตรง ซงจะไดวาคาแอดมตแตนซของสวนประกอบทตอขนานกนอยจะเปนคาผลบวกของแตละตว 1 2 3 ...T NY Y Y Y Y= + + + + ในกรณทวไปไมจาเปนเฉพาะวงจรขนานแลว Y G jB= + คา G เปนจานวนจรง ซงเปนคาความนา และคา B เปนจานวนเชงซอน ซงเปนคาซสเซปแตนซ (Susceptance) ของแอดมตแตนซจากวงจรขนานในโดเมนของเฟสเซอร คาแอดมตแตนซสามารถแสดงในรปแบบเชงขวไดจากพชคณตเชงซอนดงน 2 2 1tan ( / )Y G jB G B B G−= + = + ∠ โดยทคา 2 2G B Y Y+ = = เปนคาของขนาด และ 1tan ( / )B G− เปนมมของ

แอดมตแตนซ ซงเปนคาลบของมมอมพแดนซ ทาใหไดวามมของแอดมตแตนซมคาเปนบวกสาหรบวงจรชนดความจ และเปนลบสาหรบวงจรชนดความเหนยวนา แตคา B จะมเครองหมายเหมอนกน ในการคาแอดมตแตนซรวมของวงจรกระแสสลบหาไดโดยใชวธเดยวกบการหาความนาในวงจรกระแสตรง

การแบงกระแส (Current Divider)

การแบงกระแสสามารถใชไดกบวงจรในโดเมนของเฟสเซอรไดเหมอนกบความตานทานในวงจรกระแสตรง ดงนนถาวงจรขนานในโดเมนของเฟสเซอรมกระแส SI ไหลเขาสจร เฟสเซอรของกระแส XI ในแตละกงทมคาแอดมตแตนซ XY จะมคา

XX S

T

YI IY

=



ซง TY เปนผลรวมของคาแอดมตแตนซ เครองหมายลบอาจเกดขนไดถา XI และ SI ทโนดหนงมทศทางตรงขามกน สาหรบกรณทม 2 กงเทานนทตอขนานกนและแตละกงมคาอมพแดนซ 1Z และ 2Z ดงนนเฟสเซอรของกระแสไฟฟาทไหลในกงของ

1Z คอ

21

1 2S

ZI IZ Z

=+



บทท 11

การวเคราะหกาลงไฟฟาในวงจรกระแสสลบ (AC Power Analysis) ในบทนจะกลาวถงแนวความคดเกยวกบกาลงไฟฟาในวงจร AC ซงไดแก กาลงไฟฟาชวขณะ, กาลงไฟฟาเฉลย, การสงผานกาลงไฟฟาสงสดหรอการถายโอนกาลงไฟฟาสงสด, คาใชงานหรอคา rms, ตวประกอบกาลง, กาลงไฟฟาเชงซอนและการวดกาลงไฟฟา

กาลงไฟฟาชวขณะ (Instantaneous Power)

กาลงไฟฟาชวขณะทองคประกอบปอน (Supplied) ใหกบวงจร และองคประกอบทไดรบหรอดดซม (Absorbed) สามารถหาไดจากผลคณของแรงดนชวขณะทตกครอมองคประกอบกบกระแสชวขณะทองคประกอบนน อธบายไดจากรปท 1

รปท 1 วงจรไฟฟากระแสสลบ

จากรป 1 สมการของแรงดนทสถานะคงตวหรอสมการของแรงดนชวขณะ และสมการของกระแสทสถานะคงตวหรอสมการของกระแสชวขณะ เปนดงน

( ) cos( )M vv t V tω θ= + (11.1) ( ) cos( )M ii t I tω θ= + (11.2)

จากสมการ 11.1 และ 11.2 จะไดสมการของกาลงไฟฟาชวขณะดงน ( ) ( ) ( )p t v t i t= cos( ) cos( )M M v iV I t tω θ ω θ= + +

[cos( ) cos(2 )]2M M

v i v iV I tθ θ ω θ θ= − + + + (11.3)



กาลงไฟฟาเฉลย (Average Power)

คาเฉลยของรปคลนทมลกษณะเปนรายคาบหรอรปคลนรายคาบ (Periodic Waveform) สามารถหาไดจากการอนทเกรตฟงกชนตลอดคาบเวลาทสมบรณ แลวหารผลลพธนดวยคาบเวลา ดงนนถาแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟาเปนดงสมการ (11.1) และ (11.2) ตามลาดบ จะไดกาลงไฟฟาเฉลยดงน

0

0

1 ( )t T

t

P p t dtT

+

= ∫

0

0

1 cos( ) cos( )t T

M M v it

V I t t dtT

ω θ ω θ+

= + +∫

0

0

1 [cos( ) cos(2 )]2

Tt

M Mv i v i

t

V I t dtT

θ θ ω θ θ+

= − + + +∫ (11.4)

เมอ P = กาลงไฟฟาเฉลย มหนวยเปน วตต (W) 0t = คาเวลาใดๆ T = คาบเวลาของแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟา จากสมการ 11.4 กาลงไฟฟาเฉลยนนจะประกอบไปดวยเทอม 2 เทอม เทอมแรกไมขนกบคา t ทาใหไดคาคงทในการอนทเกรต สาหรบเทอมทสองเปนเทอมรปคลนโคไซน แตเนองจากคาเฉลยของรปคลนโคไซนตลอด 1 คาบเวลาเทากบศนย ดงนนสมการ 11.4 จงลดรปเปน

1 cos( )2 M M v iP V I θ θ= − (11.5)

เมอ v iθ θ− เปนมมเฟสของอมพแดนซของวงจร ดงนนถาวงจรประกอบดวยความตานทานอยางเดยว กาลงไฟฟาเฉลยจะเปนดงน

12 M MP V I=

และถาวงจรประกอบดวยรแอกทฟเพยงอยางเดยวกาลงไฟฟาเฉลยจะเปนดงน

1 cos(90 )2 M MP V I=

0= เหตทกาลงไฟฟาเนองจากอมพแดนซรแอกทฟเพยงอยางเดยว มคาเทากบศนย เนองจากอมพแดนซรแอกทฟเปนองคประกอบวงจรทไมมการสญเสยกาลงไฟฟา เพราะไมสามารถรบหรอดดซมกาลงไฟฟาเฉลยได และเนองจากอมพแดนซรแอกทฟจะเกบ



พลงงานสวนหนงตลอดคาบเวลาและปลอยพลงงานตลอดอกสวนหนงของคาบเวลา ทาใหมกาลงไฟฟาเฉลยเทากบศนย

การสงผานกาลงไฟฟาเฉลยสงสด (Maximum Average Power Transfer)

การสงผานกาลงไฟฟาสงสดหรอการถายโอนกาลงไฟฟาสงสดไปยงโหลดความตานทาน จะเกดขนกตอเมอ ความตานทานของโหลดมคาเทากบคาความตานเทวนน (คอ L THR R= ) สวนวงจรทประกอบดวยอมพแดนซของโหลด ( LZ ) การสงผานกาลงไฟฟาสงสดไปยงโหลด จะเกดขนกตอเมอ อมพแดนซของโหลดมคาเทากบอมพแดนซเทยบเคยงเทวนนทถกคอนจเกต

รปท 2 กาลงไฟฟาในวงจรไฟฟากระแสสลบ

สมการของกาลงไฟฟาเฉลยทโหลดคอ

1 cos( )2 L LL L L v iP V I θ θ= −

กระแสเฟสเซอรทโหลดและแรงดนเฟสเซอรตกครอมโหลดคอ

ocL

TH L

VIZ Z

=+

oc LL

TH L

V ZVZ Z

=+

เมอ TH TH THZ R jX= + และ L L LZ R jX= + สมการขนาดของกระแสเฟสเซอรและแรงดนเฟสเซอรคอ



2 2 1/ 2[( ) ( ) ]oc

LTH L TH L

VIR R X X

=+ + +

2 2 1/ 2

2 2 1/ 2

( )[( ) ( ) ]

oc L LL

TH L TH L

V R XVR R X X

+=+ + +

มมเฟสของกระแสเฟสเซอรและแรงดนเฟสเซอรประกอบดวยปรมาณ (

L Lv iθ θ− )

ถากาหนดให L Lv iθ θ− =

LZθ แลว

2 2 1/ 2cos[ ]L

LZ

L L

RR X

θ =+

ดงนนจะไดกาลงไฟฟาเฉลยทโหลดคอ

2

2 2

12 ( ) ( )

oc LL

TH L TH L

V RPR R X X

=+ + +

ถากาหนดให L THX X= จะไดกาลงไฟฟาสงสดทโหลดซงเกดจากความตานทานเพยงอยางเดยวนนคอ L THR R= ดงน

2

2

12 ( )

oc LL

L TH

V RPR R

=+

จากสมการขางตน ดงนนการสงผานกาลงไฟฟาสงสดจะเกดขนเมอ L L L TH TH THZ R jX R jX Z ∗= + = − =

คาประสทธผลหรอคา rms (Effective or rms Values)

คาประสทธผลของกระแสไฟฟาหรอแรงดนไฟฟา เปนคาของแรงดนไฟฟาหรอกระแสไฟฟาททาใหเกดกาลงไฟฟาเฉลยเทากบกระแสไฟฟาหรอแรงดนไฟฟาในวงจรกระแสตรง ซงไหลผานตวตานทานตวเดยวกนในเวลาเทากน กาลงไฟฟาเฉลยทเกดจากกระแสใชงานซงปอนใหตวตานทานคอ 2

effP I R= เมอ effI = กระแสใชงาน

สวนกาลงไฟฟาเฉลยทปอนใหกบตวตานทานทเกดจากกระแสรายคาบ ( )i t คอ



0

0

21 ( )t T

t

P i t RdtT

+

= ∫

จากสมการทงสองจะได

0

0

21 ( )t T

efft

I i t dtT

+

= ∫

จะเหนไดวาคาใชงานหาไดจากการยกกาลงสอง (Square) ของกระแสไฟฟา แลวหาคาเฉลย (Mean) จากนนจงหารากทสอง (Square Root) ดงนนจงเรยกวา รากของกาลงสองเฉลย (Root Mean Square) หรอคา rms จากคา rms ของแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟา สามารถหากาลงไฟฟาเฉลยไดดงน cos( )rms rms v iP V I θ θ= − กาลงไฟฟาทตวตานทาน R ไดรบคอ

2

2 rmsrms

VP I RR

= =

ตวประกอบกาลง (The Power Factor)

กาลงไฟฟาเฉลยทปอนใหกบโหลดของวงจรในสภาวะคงตว

cos( )rms rms v iP V I θ θ= − จากสมการ ผลคณของ rms rmsV I เรยกวา กาลงไฟฟาปรากฏ (Apparent Power)

ทมหนวยเปนโวลทแอมแปร (Volt-Ampere ; VA) สวนเทอม cos( )v iθ θ− เรยกวา ตวประกอบกาลง (pf) ดงนนจะไดวา

cos( )v irms rms

PpfV I

θ θ= = −

เมอ cos( ) cos

Lv i Zθ θ θ− =



มม Lv i Zθ θ θ− = เปนมมเฟสของอมพแดนซของโหลด ซงเรยกวา มมตว

ประกอบกาลง (Power Factor Angle) หรอ มม pf ถาโหลดเปนความตานทานเพยงอยางเดยว แสดงวา 0

LZθ = และ 1pf = แตถาโหลดเปนรแอกทฟเพยงอยางเดยว แสดงวา

90LZ

θ =± และ 0pf = นอกจากนโหลดทประกอบดวยองคประกอบ R , L และ C

อาจมมมเฟสเปนศนย หรอ 1pf = กรณนเกดขนทความถเฉพาะ ถาโหลดเปน RC จะมมม pf อยระหวาง 90 0

LZθ− ⟨ ⟨ แตถาโหลดเปน RL มม

pf จะอยระหวาง 0 90LZ

θ⟨ ⟨

กรณโหลด RC กระแสไฟฟาจะนาหนาแรงดนไฟฟา ซงแสดงวาโหลดม pf นาหนา สวนโหลด RL กระแสไฟฟาจะลาหลงแรงดนไฟฟา ซงแสดงวาโหลดม pf ลาหลง

กาลงไฟฟาเชงซอน (Complex Power)

รปท 3 วงจรไฟฟากระแสสลบ

จากรป กาลงไฟฟาเชงซอน ( )S หาไดจาก rms rmsS V I ∗= เมอ rmsI

∗ เปนคอนจเกตเชงซอนของ rmsI ดงนนกาลงไฟฟาเชงซอนสามารถกาหนดใหมไดเปน rms v rms i rms rms v iS V I V Iθ θ θ θ= ∠ ∠− = ∠ − หรอ cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iS V I jV Iθ θ θ θ= − + − สวนจรงของ S เรยกวากาลงไฟฟาจรง หรอ กาลงไฟฟาเฉลย (Real or Average Power) และเรยกสวนจนตภาพของ S วากาลงไฟฟาตานกลบ หรอ กาลงไฟฟาตงฉาก (Reactive or Quadrature Power) ดงนนกาลงไฟฟาเชงซอนจงสามารถกาหนดใหมไดเปน S P jQ= +



เมอ Re( ) cos( )rms rms v iP S V I θ θ= = − Im( ) sin( )rms rms v iQ S V I θ θ= = − กาลงไฟฟาเชงซอนเหมอนกบกาลงไฟฟาปรากฏมหนวยเปน โวลทแอมป (Volt-Ampere ; VA) สวนกาลงไฟฟาจรงมหนวยเปน วตต (W) และกาลงไฟฟาตานกลบมหนวยเปน โวลทแอมแปรรแอกทฟ (Volt-Ampere Reactive ; var)

รปท 4 แผนภาพเฟสเซอรของแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟา

ความสมพนธของมม pf กบ P และ Q สามารถแสดงไดในรปของสามเหลยมของกาลงไฟฟา (Power Triangle) ดงน

(a)



(b)

รปท 5 (a),(b) สามเหลยมของกาลงไฟฟา

จากสามเหลยมของกาลงไฟฟา ไดเงอนไขของความสมพนธระหวาง S , P และ Q เปนดงน ถา Q เปนบวก แสดงวาโหลดเปนโหลดแบบอนดกทฟ มตวประกอบกาลงหลาหลง และกาลงเชงซอนอยในควอดแดนซท 1 ถา Q เปนลบ แสดงวาโหลดเปนโหลดแบบคาปาซทฟ มตวประกอบกาลงนาหนา และกาลงเชงซอนอยในควอดแดนซท 4 ถา Q เปนศนย แสดงวาโหลดเปนโหลดแบบความตานทาน มตวประกอบกาลงเทากบ 1 และกาลงเชงซอนอยในแนวแกนจรงทเปนบวก

การวดกาลงไฟฟา (Power Measurement)

เครองมอทใชวดกาลงไฟฟาเฉลยคอ วตตมเตอร (Wattmeter) เครองมอนประกอบดวย ขดลวดกระแสไฟฟา (Current Coil) ทมอมพแดนซตามาก ซงตออนกรมกบโหลดและขดลวดแรงดนไฟฟา (Voltage Coil) ทมอมพแดนซสงมากซงตอขนานกบโหลดดงรปท 6



(a)

(b)

รปท 6 (a),(b) การตอเครองมอวดกาลงไฟฟาเขากบวงจร ถาแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟามลกษณะเปนรายคาบ แลวตอวตตมเตอรดงรป คาทอานไดจากวตตมเตอรคอ

0

1 ( ) ( )T

P v t i t dtT

= ∫

จากวงจรเทยบเคยงในโดเมนความถในรป คาทอานไดจากวตตมเตอรคอ Re( ) / // / cos( )v iP VI V I θ θ∗= = − จากรปสงเกตไดวา มการปอน ( )i t และ I เขาสขว ± ของขดลวดกระแสไฟฟา นอกจากนยงปอน ( )v t และ V ทขว ± ของขดลวดแรงดนไฟฟาเปนบวกเมอเทยบกบอกขวหนง แสดงวากาลงไฟฟาทวตตมเตอรอานเปนกาลงไฟฟาทปอนไปยงโหลด ถาตอขวขดลวดชดใดชดหนงของวตตมเตอรสลบกนจะทาใหสมการของกาลงไฟฟามคาเปนลบและวตตมเตอรจะอานคาเปนลบ



บทท 12

วงจรไฟฟา 3 เฟส (Three Phase Circuits)

หลกการทวไป

1. การกาเนดสญญาณแรงดนไฟฟารปคลนไซน 3 เฟส จะตองมขดลวดของเครองกาเนดไฟฟา 3 ชด วางหางกนเปนมม 120o ทางไฟฟา 2. เครองกาเนดไฟฟาโดยสวนใหญจะตอขดลวดทง 3 ชดแบบสตาร ทงนเพราะตองการใชแรงดนทง 2 ระดบ แตถาตอแบบเดลตาจะมแรงดนเพยงระดบเดยว 3. แรงดนไฟฟาในระบบ 3 เฟสม 2 ระดบ เรยกวา “แรงดนระหวางสาย” ซงจะวดความตางศกยระหางสายมไฟกบสายนวทรล 4. ลาดบเฟสของแรงดนรปคลนไซน 3 เฟสม 2 ลกษณะคอ “ลาดบเฟสนาหนา หรอลาดบเฟสบวก” แทนดวยตว ABC หรอ 123 และ “ลาดบเฟสหลง หรอลาดบเฟสสลบ” แทนตวอกษร CBA หรอ 321 5. โหลดในระบบไฟฟา 3 เฟสมทงทเปนโหลดสมดลกบโหลดไมสมดล กลาวคอ โหลดสมดล หมายความวา อมพแดนซทนามาตอในแตละเฟสมคาไมเทากน ทาใหกระแสรวมของโหลดทางเวกเตอรมผลลพธไมเปนศนย ถาโหลดนนตอแบบสตารจะมกระแสไหลในสายนวทรลดวย 6. โหลดไมสมดล จะทาใหขดลวดของเครองกาเนดไฟฟาหรอหมอแปลงไฟฟาชารดเสยหายไดโดยเฉพาะในระบบทโหลดตอแบบเดลตาจะทาใหมกระแสไหลวนในวงรอบในลกษณะทเปนภาระพงพงตอกนระหวางเฟส 7. ในทางปฏบต การทจะทาใหโหลดสมดลนนเปนไปไดยากมาก หรอแทบเปนไปไมไดเลยเพยงแตวาทาอยางไรจงจะออกแบบและควบคมระบบไฟฟามใหเกดปรากฏการณโหลดไมสมดล

การกาเนดแรงดนไฟฟา 3 เฟส

ระบบไฟฟา 3 เฟสจะพบไดในระบบสายสงและจายไฟฟา เพราะระบบดงกลาวมโหลดกาลง (Power Load) ตออยเปนสวนใหญ จงตองการระบบไฟฟาทจายกาลงไฟฟาไดสง ประหยดตวนา มแรงดนไดมากกวาหนงระดบ ซงสงตางๆ เหลานระบบไฟฟา 3 เฟสสามารถรองรบไดเปนอยางด เครองกาเนดไฟฟากระแสสลบ 3 เฟส เปนเครองกลไฟฟาชนดหนงทผลตหรอกาเนดแรงดนไฟฟา 3 เฟส โดยอาศยหลกการเหนยวนาตามกฏของฟาราเดยทวา “เมอมตวนาเคลอนทตดกบสนามแมเหลก หรอสนามแมเหลกเคลอนทตดกบขดลวด จะทาใหเกดพลงงานไฟฟาเหนยวนาขน”



รปท 1 การกาเนดแรงดนไฟฟา 3 เฟส

จากรปท 1 ขดลวด A-A’, B-B’ และ C-C’ วางหางซงกนและกนเปนมม 0120 พจารณารปท 1 ทระดบอางอง กาหนดใหขดลวดหมนทวนเขมนาฬกา ขดลวด

ชด A จะมแรงดนเหนยวนาเพมขนจากศนยกอน และตามมาดวยชด B และ C ตามลาดบการกาเนดแรงดนรปคลนไซนจงเปนดงน

ฉะนน ลาดบเฟสจะเปน ABC หรอ BCA หรอ CAB แตโดยทวไปนยมเรยกวา “ลาดบเฟส ABC” ซงเปนลาดบเฟสบวก (ดหวลกศรของรปคลนสญญาณ ,A Be e และ

ce มทศทางไปในดานบวก)



การตอขดลวดของเครองกาเนดไฟฟา 3 เฟส

ถาเปนเครองกาเนดไฟฟาขนาดเลกจะมขดลวดพนอยทตวเคลอนท (Rotor) สวนเครองกาเนดไฟฟาขนาดใหญทตดตงในโรงจกรไฟฟามขดลวดพนอยทตวอยกบท (Stator)

การตอขดลวดแบบสตาร

การตอขดลวดแบบสตารมการตอเปนลกษณะทนาปลายของขดลวดทง 3 ขดตอรวมกน (Star Point) สวนตนของลวดทงหมดจะตอเขากบระบบสายสงหรอสายจาหนายเพอจายโหลดตอไป อยางไรกดการตอขดลวดแบบสตารยงแบงเปนชนดของลาดบเฟสดงน ชนดลาดบเฟส ABC จะมลกษณะดงรปท 2



รปท 2 ลาดบเฟส ABC

จากรปท 2 เขยนสมการแรงดนในสภาวะคงตวในเทอมของเวลาไดดงน วเคราะหในเทอมของฟงกชนไซน จะได

( )( )

sinsin 120

sin 240

AN m

BN m

AN m

e E te E t

e E t

ωωω

= = − ° = − °

(12.1)

จากสมการท 12.1 จะเหนวา ANe มจดกาเนดทมม 0 tω พอด จงกาหนดใหเปนคลนสญญาณอางอง สวน BNe และ CNe กาเนดหลง ANe เปนมม 120° และ 240° ตามลาดบ เมอเปนเชนนมมเฟสจงตดลบ นาสมการท 12.1 เขยนในเทอมความถไดดงน

0.707 0 0

0.707 120 120

0.707 240 240

AN m P

BN m P

CN m P

E E E

E E E

E E E

= ∠ °= ∠ ° = ∠− °= ∠− ° = ∠− °= ∠− °

(12.2)

เมอ , ,AN BN CNE E E คอ แรงดนของเครองกาเนดไฟฟา mE คอ คาแรงดนสงสดในแตละรปคลนของแรงดน

PE คอ คาแรง rms หรอคาแรงดนประสทธผล

ซง 0.7072m

p mEE E= =

ในความเปนจรงแลวขดลวดของเครองกาเนดไฟฟาทวางหางกน 120° จะมคาอมพแดนซเทากนทกขด ดงนนผลรวมทางเวกเตอรของแรงดนเหนยวนาจงเปนศนย

( ) ( ) ( )0 120 240AN BN CN P P PE E E E E E+ + = ∠ ° + ∠− ° + ∠− °



( ) ( ) ( )0 0.5 0.866 0.5 0.8660

P P P P PE j E j E E j E= + + − − + − +=

ขนตอไปนาสมการท 12.2 ไปเขยนแผนภาพเฟสเซอรของแรงดนทเฟสและ

แรงดนระหวางสายตามลาดบ อาศยกฎแรงดนของเคอรชอฟฟหาคาแรงดนระหวางสาย

AB AN BNE E E= −

( ) ( )( ) ( )

0 120

0 0.5 0.8661.5 0.866

3 30

P P

P P P

P P

P

E E

E j E j EE j E

E

= ∠ ° − ∠− °

= + − − −= +

= ∠ °

BC BN CNE E E= −

( ) ( )( ) ( )

120 240

0.5 0.866 0.5 0.8660 1.732

3 90

P P

P P P P

P P

P

E E

E j E E j EE j E

E

= ∠− ° − ∠− °

= − + − − += +

= ∠− °

CA CN ANE E E= −

( ) ( )( ) ( )

240 0

0.5 0.8661.5 0.866

3 150

P P

P P

P P

P

E E

E j EE j E

E

= ∠− ° − ∠ °

= − −=− +

= ∠ °

สรปเปนสมการแรงดนระหวางสายในรปของคาขนาด (Magnitude of the phase voltages) ไดดงน

3L PE E=

เมอ LE คอแรงดนระหวางสาย

PE คอแรงดนทเฟส

การตอขดลวดแบบเดลตา

การตอขดลวดแบบเดลตามลกษณะการตอของขดลวดเปนปลายตอกบตน แลวกลบมาบรรจบทขดลวดเดมเปนวงรอบ



ชนดลาดบเฟส ABC

รปท 3 การตอขดลวดแบบเดลตา

จากรปท 3 จะเหนวา ขดลวด A-A’ (A-B) จะเหนยวนาแรงดนกอนขดอนเมอพจารณาทระดบอางอง และตามมาดวยขดลวด B-B’ (B-C) และ C-C’ (C-A) ดงนน

sinsin( 120 )sin( 240 )

AB m

AB m

AB m

e E te E te E t

ωωω

== − °= − °

และ

0.707 0 0 0

0.707 120 120 120

0.707 240 240 240

AB m P L

AB m P L

AB m P L

E E E E

E E E E

E E E E

= ∠ °= ∠ °= ∠ °

= ∠− °= ∠− °= ∠− °

= ∠− °= ∠− °= ∠− °

ซงจะได



L P

L P

e e

E E

=

=

การวเคราะหวงจรเครองกาเนดไฟฟาทตอขดลวดแบบเดลตา

กาหนดให , ,AP BP CPI I I คอกระแสทเฟส ( )PI

, ,AL BL CLI I I คอกระแสทสาย ( )LI

อาศยกฎกระแสของเคอรชอฟฟทโนด A,B และ C ตามลาดบ เพอหาความสมพนธของกระแสทเฟสและสาย Node A AL AP CPI I I= −

Node B BL BP API I I= −

Node C CL CP BPI I I= − ขนตอไปใหพจารณาเครองกาเนดไฟฟาเสมอนเปนโนดหนงๆ จะไดวา

0AL BL CLI I I+ + =

กาหนดให , ,AP BP CPI I I ลาหลง , ,AB BC CAE E E เปนมม 0° ตามลาดบ

รปท 4 วงจรเครองกาเนดไฟฟาทตอขดลวดแบบเดลตา

พจารณาเวกเตอรของกระแสทเฟสจะพบวาทามมซงกนและกน 120° แตเมอมการกลบเฟสของกระแสไปเปนลบ เชน , .AP BP CPI I I− − − จะเปนผลใหไปแบงครงมมของกระแสทเฟสออกเปน 2 สวนๆ ละ 60° ดงนน



2 2

2 2

( cos 60 ) ( sin 60 )

( 0.5 ) (0.866 )

CL BP CP CP

L P P P

I I I I

I I I I

= + ° + °

= + +

2 2

2 2

2

(1.5 ) (0.866 )

(1.5 ) (0.866 )

(2.25 0.75)

P P

P P

P

I I

I I

I

= +

= +

= +

3L PI I∴ = คดเฉพาะขนาด

บทสรป ในการตอขดลวดแบบสตารและแบบเดลตา การตอขดลวดแบบสตาร การตอขดลวดแบบเดลตา 1.การกาเนดแรงดนม 2 ระดบคอแรงดน ( )PE และแรงดนระหวางสาย ( )LE

2. แรงดนระหวางสายมคาเทากบ 3 เทาของแรงดนทเฟส 3. กระแสทสายมคาเทากบกระแสทเฟส 4. ลาดบ ABC

0

120

240

0

3 30

3 30

3 30

0

AN P

AN P

AN P

AN AN CN

AB AN BN P

BC BN CN P

CA CN AN P

AB BC CA

E E

E E

E E

E E E

E E E E

E E E E

E E E E

E E E

= ∠ °

= ∠− °

= ∠− °

+ + =

= − = ∠ °

= − = ∠ °

= − = ∠ °

+ + =

1. การกาเนดแรงดนมระดบเดยว 2. แรงดนระหวางสายมคาเทากบแรงดนระหวางเฟส 3. กระแสทสายมคาเทากบ 3 เทาของกระแสทเฟส 4. ลาดบเฟส ABC

0 0

0 0

0 0

0

AB P L

BC P L

CA P L

AB BC CA

E E E

E E E

E E E

E E E

= ∠ °= ∠ °

= ∠ °= ∠ °

= ∠ °= ∠ °

+ + =



สารบญ บทท 1 พนฐานทางไฟฟา (BASIC CONCEPT)............................................................1

บทนา..........................................................................................................................1 กระแสไฟฟา ...............................................................................................................2 รปแบบตางๆของกระแสไฟฟา ....................................................................................3 ระบบหนวย..................................................................................................................4 ความตางศกย (VOLTAGE) ..........................................................................................5 กาลงและพลงงาน.......................................................................................................5 ตอไปเปนการพจารณาวาองคประกอบในวงจรทาหนาทดดกลนหรอจายกาลงไฟฟา .6

บทท 2 กฎพนฐานทางไฟฟา (BASIC LAW) ................................................................9

เราจะแบบจาลองทางไฟฟาใหเปนวงจรสมมลไดอยางไร...........................................9 สมประสทธความตานทาน ........................................................................................10 ความตานทาน...........................................................................................................11 กฎของโอหม (OHM’S LAW) .....................................................................................11 ลกษณะเทยบเคยงทางฟสกสของความตานทาน .....................................................13 กาลงไฟฟาในตวตานทาน.........................................................................................13 แบบจาลองสาหรบ วงจรเปดและวงจรปด .................................................................14 แหลงจายอสระ (INDEPENDENT SOURCE) .................................................................14 แหลงจายไฟฟาไมอสระ (DEPENDENT SOURCE) .......................................................15

บทท 3 การวเคราะหวงจรไฟฟา (METHOD OF ANALYSIS ) ..................................17

วงจรทมองคประกอบเปนความตานทาน (RESISTIVE CIRCUITS) ...............................17 กฎของเคอรชอฟฟ (KIRCHHOFF’S LAW)..................................................................18 วงจร แบงแรงดน (VOLTAGE DIVIDER CIRCUIT)........................................................19 เทคนคการวเคราะหวงจรทมเพยงความตานทาน......................................................24 การวเคราะหแรงดนโนดกบวงจรทมแหลงจายกระแส ...............................................25 การวเคราะหแรงดนโนดกบวงจรทมทงแหลงจายแรงดนและกระแส.........................27 วธ SUPERNODE .........................................................................................................30 วเคราะหวงจรโนดกบแหลงจายไมอสระ ...................................................................32 วเคราะหวงจรโดยใชวธ MESH CURRENT ..................................................................35

บทท 4 ทฤษฎวงจรไฟฟา (CIRCUIT THEOREM) .....................................................40

การลดรปวงจรไฟฟา (SOURCE TRANSFORMATION) ..................................................40 SUPERPOSITION.........................................................................................................41 ทฤษฎของเทวนน .....................................................................................................43 ทฤษฎเทวนน ............................................................................................................43 วงจรสมมลของนอรตน (NORTON’S EQUIVALENT CIRCUIT) ......................................46 การสงผานกาลงสงสด (MAXIMUM POWER TRANSFER) ...........................................47

บทท 5 ออปแอมป OPERATIONAL AMPLIFIERS...................................................50

นยามของออปแอมปในอดมคต ................................................................................50 วงจรขยายสญญาณแบบกลบเฟส (INVERTING AMPLIFIER)......................................51 วงจรขยายสญญาณแบบไมกลบเฟส (NONINVERTING AMPLIFIER) ..........................52 วงจรขยายสญญาณแบบรวมสญญาณ (SUMMING AMPLIFIER).................................53 วงจรขยายสญญาณแบบเปรยบเทยบสญญาณ (DIFFERENCE AMPLIFIER) ...............54



วงจรขยายสญญาณแบบตามแรงดน (VOLTAGE FOLLOWER (BUFFER))....................54 การตอวงจรออปแอมปแบบแคสเคด (CASCADED OP AMP CIRCUIT) ........................55 วงจรขยายสญญาณในการวดทางอตสาหกรรม (INSTRUMENTATION AMPLIFIERS)...55 สรป ...........................................................................................................................56

บทท 6 ตวเกบประจและตวเหนยวนา CAPACITORS AND INDUCTORS.................58

ตวเกบประจ (CAPACITORS) .......................................................................................58 สรปคณสมบตของตวเกบประจ (C) ...........................................................................60 ตวเหนยวนา (INDUCTORS) ........................................................................................60 สรปคณสมบตของตวเหนยวนา (L) ...........................................................................61 ตารางเปรยบเทยบคณสมบตทวๆไปของ R L C........................................................62

บทท 7 ผลตอบสนองสมบรณของวงจร RL และ RC....................................................63

THE COMPLETE RESPONSE OF RL AND RC CIRCUIT .....................................63

วงจรทไมมแหลงจาย (SOURCE FREE CIRCUIT).........................................................63 ผลตอบสนองสมบรณของวงจร RC (RC+SOURCE) ...................................................66 ผลตอบสนองสมบรณของวงจร RL (RL+SOURCE) ..............................................................67

บทท 8 ผลตอบสนองสมบรณของวงจรทมอปกรณเกบสะสมพลงงาน 2 อปกรณ.........70

THE COMPLETE RESPONSE OF CIRCUITS WITH TWO ENERGY STORAGE ELEMENTS.................................................................................................................70

สมการดฟเฟอเรนเชยลของวงจรอนดบสอง..............................................................70 1.ทฤษฎโดยตรง (DIRECT METHOD)........................................................................70 3. วงจรทมความซบซอน (OPERATOR METHOD)...................................................71 GENERAL SOLUTION ของสมการอนดบสอง ..............................................................72

บทท 9 ไซนซอยดและเฟสเซอร (SINUSOIDS AND PHASORS) .............................76

คณสมบตพนฐานบางอยางของรปคลนไซน .............................................................77 เฟสเซอร (PHASORS)....................................................................................................................79

บทท 10 การวเคราะหวงจรในสภาวะคงตวแบบไซน .....................................................80

(SINUSOIDAL STEADY-STATE ANALYSIS)........................................................80

อมพแดนซ (IMPEDANCE)..........................................................................................81 การแบงแรงดนไฟฟา (VOLTAGE DIVIDER)...............................................................83 การวเคราะหวงจรขนานกระแสสลบ (AC PARALLEL CIRCUIT ANALYSIS).................83 แอดมตแตนซ (ADMITTANCE) ..................................................................................84 การแบงกระแส (CURRENT DIVIDER) .......................................................................................85

บทท 11การวเคราะหกาลงไฟฟาในวงจรกระแสสลบ (AC POWER ANALYSIS) ......87

กาลงไฟฟาชวขณะ (INSTANTANEOUS POWER) ........................................................87 กาลงไฟฟาเฉลย (AVERAGE POWER).......................................................................88 การสงผานกาลงไฟฟาเฉลยสงสด (MAXIMUM AVERAGE POWER TRANSFER) .........89 คาประสทธผลหรอคา RMS (EFFECTIVE OR RMS VALUES).........................................90 ตวประกอบกาลง (THE POWER FACTOR)...................................................................91 กาลงไฟฟาเชงซอน (COMPLEX POWER) ..................................................................92



การวดกาลงไฟฟา (POWER MEASUREMENT) ........................................................................94

บทท 12 วงจรไฟฟา 3 เฟส (THREE PHASE CIRCUITS) .........................................96

หลกการทวไป...........................................................................................................96 การกาเนดแรงดนไฟฟา 3 เฟส..................................................................................96 การตอขดลวดของเครองกาเนดไฟฟา 3 เฟส ...........................................................98 การตอขดลวดแบบสตาร ...........................................................................................98 การตอขดลวดแบบเดลตา .......................................................................................100 ชนดลาดบเฟส ABC...............................................................................................101 การวเคราะหวงจรเครองกาเนดไฟฟาทตอขดลวดแบบเดลตา ................................102 บทสรป ในการตอขดลวดแบบสตารและแบบเดลตา ...............................................103

พื้นฐานทางไฟฟ้า (basic concept)

Documents