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初級者のための材料力学
技術部 開発課 田辺稔博
• はりu トラス
部材に曲げの入らない構造
各接点はピン接合にて接合される
P
• はりu トラス
E = 200000 MPaA = 10 mm2
P = 100 N
P=100N
E=200000MPaA=10mm2
RV=100N
RV=100N
100mm (l)
N20050
100100h
PRH =×
=×
=l
50mm (h)
N20050
100100h
PRH =×
=×
=l
PV=100NN6.223100200
RRR22
2V
2HR
=+=
+=
• はりu ビーム
曲げにより荷重を伝達する構造
P
R R
• はりu ビーム
E = 200000 MPaA = 10 mm2
P = 100 N
P=100N
N80100
80100bPR1
=
×=
×=
l
N20100
20100aPR2
=
×=
×=
l
100mm (l)20mm(a)
80mm (b)
B.M.D. (Bending Moment Diagram) Nmm16002080
bRaRM 21MAX
=×=×=×=
S.F.D. (Shear Force Diagram) Sa = R1 = 80NSb = R2 = 80N
• はりu フレーム構造（ラーメン）
曲げにより荷重を伝達するはりの組合せ
各接点は剛結合P
RH
RHR
V
RV
• はりu フレーム構造（ラーメン）
E = 200000 MPaA = 10 mm2
P = 100 N
B.M.D. (Bending Moment Diagram)
P=100N
N502
1002PRH ===N50
2100
2PRH ===
N100502100100
2hPRV =
××
=××
=l
N100502100100
2hPRV =
××
=××
=l
Nmm50002
1001002
hPM =×
=×
=h=100mm
l=50mm+M-M
• はりu 断面二次モーメント
u 断面二次モーメント
引張応力
圧縮応力
曲げモーメントを受けるはり
中立軸
曲げモーメント 曲げモーメント
• はりu 断面二次モーメント
m
m
n
s1
p
p
n1
s’
中立軸
y
平行 ry
nns's
1
1 =××
=ε
∆non1∽∆s1n1s’
εσ
=E
ryEE ×
=ε×=σ∴
曲率半径
r
o
• はりu 断面二次モーメント （続き）
梁の断面に分布している内力は外力Mと釣合う
内力
（応力分布）
x x
P
RM
外力
• はりu 断面二次モーメント （続き）
微小面積dA上の力は応力σx×dA
断面全体に分布する内力はモーメントを構成
するが、x方向の合力は0でなければならない。
応力の分布は直線で、合計は0だから、中立
軸は断面の中心を通る
dAPdAr
yE=
×∴
0ydArEdA
ryE
=∫=∫×
Z Z
Y
Y
nny
dA
• はりu 断面二次モーメント （続き）
ここで、図形の中心座標を( yC, zC)で表わすと
この点では、曲げモーメントによる応力は０と
なる。なお、中立軸はこの点を通る。
∫= zdAA1zC
dAyA1yC ∫=
Z Z
Y
Y
nny
dA
• はりu 断面二次モーメント （続き）
微小断面積dAに働く力の中立軸に関するモーメントは
このMdA の断面積全体の総和は曲げモーメントMに等
しい。
この式の断面に関係する物を抜き出すと
このIZを断面二次モーメントと呼ぶ。
dAyrEydA
ryEydAyPM 2
xdAdA =×××
=××σ=×=
MdAyrE 2 =∫ MI
y Z =σ y
IM
Z
=σ∴
dAyI 2z ∫=
Z Z
Y
Y
nny
dA
• はりu 断面二次モーメント （続き）
例） 矩形断面を考える
ZZ
32h
2h
22h
2h
22h
2hdA I
yI
rE
12h
rbEdyy
rbEdyy
rbEMM σ
====== ∫∫∫−−−
dyyr
bEdybyr
yEdybyM 2xdA =×××
×=×××σ=
12bhdyybI
32h
2h
2z ==∴ ∫
−
Z Z
Y
Y
nny
dAb
h
• はりu 柱の座屈
柱に圧縮荷重を加えていくと挫けるように折れ曲る現象
（昔の漢字では挫屈と書いた）
柱が長いほど折れ曲りやすい
柱の上下端の支持条件によって曲がり方が違う
• はりu 柱の座屈
柱の端末条件による変形の違い
固定
自由
ピン支持
ピン支持
固定
ピン支持
固定
固定
• はりu 柱の座屈
柱の座屈荷重
2
2 IEPl
××π=