ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уральский государственный университет им. А.М. Горького»

ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Математико-механический факультет

Кафедра вычислительной математики

ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Учебно-методическое пособие

Екатеринбург

2008

2

Методическое пособие подготовлено

кафедрой вычислительной математики

Данное пособие предназначено для студентов специальности «Бизнес –

информатика» дневной формы обучения. В нем рассматриваются некоторые

экономические модели, их реализация с помощью популярных

математических пакетов. Описаны основные возможности математических

пакетов MS EXCEL, MAPLE, MATHCAD. Приведен необходимый минимум

теоретического материала по математическому моделированию

экономических процессов и рассмотрено достаточное количество примеров,

что поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса

и будет полезно при выполнении лабораторных работ.

© Коврижных А.Ю., Конончук Е.А., Лузина Г.Е., Меленцова Ю.А.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................5 ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL....7

1.ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ДАННЫХ. ......................................................................................7 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОЦЕДУРЫ «ПОДБОР ПАРАМЕТРА»..........19 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. ...............................................................23 4. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ.......................................................................................41 5. AППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ...........................................52 6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА....................................................................68 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О МАКСИМАЛЬНОМ ПОТОКЕ И МИНИМАЛЬНОМ РАЗРЕЗЕ. ......72 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОИСКЕ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ .............................................75

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ MAPLE ........79 1. ВОЗМОЖНОСТИ ПАКЕТА. .....................................................................................79

1. Пользовательский интерфейс .....................................................................79

2. Графика на плоскости ..................................................................................89

3. Решение задач линейной алгебры.................................................................98

4. Решение уравнений и неравенств ............................................................. 102

5. Нахождение эстремумов функции. .......................................................... 112

6. Интегрирование.......................................................................................... 112

7. Решение дифференциальных уравнений................................................... 114

2. ПРИЛОЖЕНИЕ ПАКЕТА MAPLE К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. ........... 119 1. Использование алгебры матриц................................................................ 119

2. Использование систем линейных уравнений............................................ 123

4. Графики функций и их приложения.......................................................... 125

4. Использование понятия производной ....................................................... 126

5. Задачи на экстремум. ............................................................................... 129

6. Определенный интеграл и его приложения ............................................. 133

7. Дифференциальные уравнения. ................................................................. 136

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ ПАКЕТА MATHCAD ............................................................................................................ 139

1. ВОЗМОЖНОСТИ ПАКЕТА. .................................................................................. 140 1. Элементы пользовательского интерфейса............................................. 140

2. Простые вычисления в MathCAD ............................................................. 142

3. Построение графиков функций................................................................. 143

4

4. Матричные вычисления ............................................................................. 146

5. Решение алгебраических уравнений .......................................................... 147

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений ........................... 149

7. Дифференцирование в MathCAD............................................................... 150

8. Интегрирование в MathCAD ..................................................................... 151

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ MATHCAD ........................ 152 1. Статические балансовые модели............................................................. 152

2. Некоторые модели экономической динамики ......................................... 156

3. Паутинообразная модель рынка............................................................... 157

4. Модель экономического роста.................................................................. 162

5. Финансовые расчеты в среде MathCAD. ................................................. 165

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................. 169

5

ВВЕДЕНИЕ

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-тех-

нических и гуманитарных исследованиях. Она является не только орудием

количественного расчета, но также методом точного исследования и средством

предельно четкой формулировки понятий и проблем. Математический аппарат

широко используется в современных экономических приложениях. В

настоящее время для решения прикладных задач используется различное

программное обеспечение, в частности, электронные таблицы, которые

позволяют представлять таблицы в электронной форме и обрабатывать данные

без проведения расчетов вручную (наиболее распространенным средством

работы с таблицами является программа Microsoft Excel), и программные

системы символьной компьютерной математики (наиболее известны MathСad,

Derive, Maple).

Использование математического обеспечения при решении

экономических задач:

− упрощает процесс вычисления;

− позволяет использовать предложенный набор операторов для

решения многих однотипных задач;

− позволяет решать задачи с параметрами и проводить анализ и подбор

параметров.

Но, несмотря на удобства, предоставляемые пакетами прикладных

программ, все рассмотренные примеры демонстрируют, что, не овладев

предметной областью и фундаментальными математическими понятиями,

решить их невозможно.

Моделирование является одним из методов научного познания.

Математическая модель позволяет экономить материальные ресурсы и

предоставляет возможность изучать поведение системы в заданных

экспериментатором условиях. Использование математических методов в

6

экономике восходит к работам Ф. Кенэ («Экономическая таблица»), А. Смита

(классическая макроэкономическая модель), Д. Риккардо (модель

международной торговли). Моделированию рыночной экономики посвящены

работы Л. Вальраса, О. Курно, В. Парето.

С применением математических методов связаны работы

В.В. Леонтьева, Р. Солоу, П. Самуэльсона, Д. Хикса, В.С Немчинова,

В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых.

Примерами экономических моделей являются модели фирмы, модели

экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия

на финансовых и товарных рынках. Построение экономической модели

требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель

исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные

элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы,

отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для

решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты по

математической модели и анализ полученного решения. При этом могут

применяться средства пакетов прикладных программ.

Цель данного пособия – продемонстрировать возможности решения

задач, возникающих в экономическом моделировании, с использованием

специализированных пакетов.

Далее мы рассмотрим, как используется математический аппарат в

экономике, и какие возможности для решения этих задач предоставляют MS

Excel, MathCAD и Maple.

7

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL

Существует значительное количество специализированных

математических пакетов. Все они позволяют проводить подавляющее

большинство необходимых математических расчетов. Однако самостоятельное

освоение этих пакетов достаточно трудоемкая задача. В то же время в курс

информатики в большинстве вузов включено изучение электронной таблицы

Excel. Поэтому представляется актуальным рассмотрение материала учебного

пособия по применению математических методов в экономике именно с

помощью пакета Excel. Конечно, это программное средство значительно

уступает специализированным математическим пакетам. Тем не менее,

большое количество экономико-математических задач может быть решено с

его помощью.

Для выполнения рассмотренных примеров желательно предварительное

знакомство с пакетом MS Excel, хотя их описание дается достаточно подробно.

Все приведенные примеры даны с решениями в русифицированной версии MS

Excel 2003.

1.Визуализация данных. MS Excel предоставляет широкие возможности визуализации различных

зависимостей. В нем удобно осуществлять построение кривых на плоскости и

поверхностей в пространстве.

В MS Excel для построения кривых и поверхностей используется

специальный инструмент — Мастер диаграмм. Для построения с его

помощью графика функции необходимо ввести точки соответствующие

аргументам и значениям функции в рабочую таблицу, вызвать Мастер

диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и подписей по оси х,

ввести названия осей. Более подробно с применением Мастера диаграмм

познакомимся в ходе решения конкретных примеров.

8

Пример 1.1.

Рассмотрим построение графика функции на примере кривой Лоренца, которая

по данным исследований о распределении доходов в одной из стран может

быть описана уравнением: 211 xy −−= , где x – доля населения, y – доля

доходов населения.

для значений x из диапазона [0, 1], если аргумент изменяется с шагом h = 0,1.

Решение. Задача построения любой диаграммы в Ехсеl обычно разбивается на

несколько этапов. Пусть после запуска пакета открыт чистый рабочий лист.

1. Ввод данных. Необходимо составить таблицу данных (х и у) в

рабочем окне таблицы Excel. Пусть в рассматриваемом примере в первом

столбце будут значения х, а во втором — соответствующие значения у. Для

этого в ячейку А1 вводим текст: Значение аргумента, а в ячейку B1 — текст:

Значение функции.

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое

значение аргумента — левая граница диапазона (0). В ячейку A3 вводится

второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения

(0,1). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, с помощью автозаполнения, получаем

все значения аргумента (за маркер автозаполнения указатель мыши с нажатой

левой клавишей протягиваем до ячейки А12).

Далее вводим значения функции. В ячейку В2 вводим ее формулу:

=1- СТЕПЕНЬ(1-A2*A2;0,5).

Затем с помощью автозаполнения копируем эту формулу в диапазон В2:В12.

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.1).

Рис.1.1

9

2. Выбор типа диаграммы. На панели инструмента Стандартная

необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом

окне «Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы» указать тип и вид

диаграммы. В диалоговом окне слева приведен список типов диаграмм, справа

дается вид вариантов. Для указания типа диаграммы необходимо вначале

выбрать тип в левом списке (с помощью указателя мыши и щелчка левой

кнопкой), а затем выбрать подтип диаграммы в правом окне (щелчком левой

кнопки мыши на выбранном подтипе). В рассматриваемом примере выберем

тип – Точечная, вид – График с маркерами.

Рис.1.2

После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне (рис. 1.2).

3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне «Мастер

диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных» диаграммы необходимо выбрать

вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных, то

есть ввести ссылку на ячейки, содержащие данные, которые необходимо

представить на диаграмме. Это можно сделать, выделив столбцы таблицы,

содержащие координаты точек. Можно сделать это и до вызова Мастера

диаграмм.

10

Рис.1.3

Определение диапазона (интервала) данных является самым

ответственным моментом построения диаграммы. Здесь необходимо указать

только те данные, которые должны быть изображены на диаграмме. Кроме

того, для введения поясняющих надписей (легенды), они также должны быть

включены в диапазон. Значения из самого левого столбца автоматически

становятся значениями аргумента.

Рис.1.4

4. Введение заголовков. В третьем окне «Мастер диаграмм (шаг 3 из

4): параметры диаграммы» требуется ввести заголовок диаграммы и

названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на

ней указателем мыши. Далее, в том же окне необходимо выбрать вкладку

Легенда и указать необходима ли легенда (смысловая расшифровка значений

11

на графике). Щелчком мыши устанавливаем флажок в поле Добавить легенду.

После чего нажать кнопку Далее.

Рис.1.5

5. Выбор места размещения. В четвертом окне «Мастер диаграмм

(шаг 4 из 4): размещение диаграммы» необходимо указать место

размещения диаграммы. Для этого переключатель Поместить диаграмму на

листе установить в нужное положение (на отдельном или текущем листе).

Рис.1.6

6. Завершение. Если диаграмма в демонстрационном поле имеет

желаемый вид, необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае

следует нажать кнопку Назад и изменить установки.

В нашем примере нажимаем кнопку Готово и на текущем листе должна

появиться следующая диаграмма (рис 1.7).

12

Кривая Лоренца

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Доля населения

Доля доходов населени

я

Рис.1.7

Таким же способом можно построить графики нескольких функций в

одной координатной сетке.

Пример 1.2.Рассмотрим построение графика двух функций на примере:

у1 =x2 - 2x + 1 и у2 = 2sinx + 1.

Пусть необходимо построить графики для значений x из диапазона [-2,

3], если аргумент изменяется с шагом h = 0,25.

Решение. Пусть в рассматриваемом примере первый столбец будет значениями

х, второй и третий соответствующими значениями у1 и у2. Для этого в ячейку

А1 вводим текст: Значение аргумента, в ячейку B1 — текст: Значение

функции1, в ячейку C1 — текст: Значение функции2.

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое

значение аргумента — левая граница диапазона (-2). В ячейку A3 вводится

второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения

(0,25). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, с помощью автозаполнения,

получаем все значения аргумента.

Далее вводим значения функции1. В ячейку В2 вводим ее формулу:

=А2^2 – 2*А2 + 1. Затем с помощью автозаполнения копируем эту формулу в

диапазон В2:В22. Вводим значения функции2: в ячейку С2 вводим ее

13

формулу: =2*sin(А2) + 1. Затем с помощью автозаполнения копируем эту

формулу в диапазон C2:C22.

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.8).

Рис.1.8

Выполним последовательно все перечисленные примере 1.1. этапы.

При отдельном размещении мы получим новый лист рабочей книги, который

по умолчанию называется «Диаграмма1». На нем представлены графики двух

заданных функций, различающиеся по цвету (рис.1.9).

Рис.1.9

14

Графическое решение систем уравнений

Системы уравнений с двумя неизвестными могут быть приближенно

решены графически. Их решением являются координаты точки пересечения

линий, соответствующих уравнениям системы. При этом точность решения

будет определяться величиной шага дискретизации (чем шаг меньше, тем

точность выше). Рассмотрим примеры графического решения системы двух

уравнений.

Пример 1.3. Пусть необходимо найти решение системы

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

2sin

cos2xy

xy

Для 0 ≤ х ≤ 3, изменяющимся с шагом h = 0,2.

Решение. Для построения графиков функций правых частей первого и второго

уравнений воспользуемся приемом из примера 1.2. Получим следующую

картинку (рис.1.10).

Рис.1.10

Если подвести указатель мыши к точке пересечения графиков, всплывет

координата этой точки – значение x решения системы. Для уточнения решения

можно изменить параметры сетки, с помощью диалогового окна (рис.1.11).

Оно вызывается из контекстного меню, возникающего при щелчке правой

кнопкой по линии сетки.

15

Рис.1.11

Подобным образом можно изменить другие характеристики графика.

Пример 1.4. Зависимость спроса (у) на некоторый товар от его цены (х)

выражается уравнением

22 +=x

y ,

а зависимость предложения от цены товара — уравнением

z = x2 + 1.

Необходимо найти точку равновесия в диапазоне x ∈ [0.2; 3] с шагом h = 0.2.

Решение. Точка равновесия — это точка пересечения кривых спроса и

предложения. Для построения этих кривых, прежде всего, необходимо ввести

данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Цена. Затем в ячейку

А2 — первое значение аргумента — 0.2. Далее будем вводить значения

аргумента с шагом 0.2.

Далее требуется ввести значения функции (спроса). В ячейку В1 заносим слово

Спрос и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно

оказаться значение спроса соответствующее значению цены в ячейке А2. Для

получения значения спроса вводим формулу, которая выглядит следующим

образом:

16

= 2/А2 + 2 Нажимаем клавишу Enter. В ячейке В2 появляется 12. Теперь

необходимо скопировать формулу из ячейки В2 в ячейки ВЗ:В1.

Осуществляем это автозаполнением.

Аналогично получаем значения предложения. В ячейку С1 вводим имя

функции — Предложение. Устанавливаем табличный курсор в ячейку С2. Для

получения значения предложения вводим формулу, которая выглядит

следующим образом: =А2^2 + 1. Нажимаем клавишу Enter. В ячейке С2

появляется 1,04. Теперь необходимо скопировать формулу из ячейки С2 в

ячейки С3:С16. Осуществляем это автозаполнением.

Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить

диаграмму.

Делаем это подобно предыдущему примеру.

В результате получено изображение кривых спроса и предложения (рис.1.12).

Рис.1.12

Как видно из диаграммы, система имеет точку равновесия (это есть точка

пересечения), и она единственная (в заданном диапазоне имеется только одна

точка пересечения). Таким образом, решением системы в заданном диапазоне

являются координаты точки пересечения кривых. Для их нахождения

необходимо навести указатель мыши на точку пересечения и щелкнуть левой

кнопкой. Появляется надпись с указанием искомых координат. Итак,

17

приближенное решение — точка равновесия имеет координаты : x = 1.6;у =

3.25.

Построение плоскости.

MS Excel позволяет выполнять построение и пространственных объектов.

Рассмотрим эту возможность на примере построения плоскости

Уравнение вида:

Ах + Ву + Cz + D = 0 (1.1)

называется общим уравнением плоскости.

Мастер диаграмм может быть также использован и для построения

плоскостей. Для этого необходимо ввести точки плоскости в рабочую таблицу,

вызвать Мастер диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и

подписей оси.

Пример 1.5. Рассмотрим построение плоскости в Excel, если она задана

уравнением вида (1.1):

2·х – 4·у – 2·z + 2 = 0.

Пусть необходимо построить часть плоскости, лежащей в первой четверти х ∈

[0; 6] с шагом h1 = 0.5, .у ∈ [0; 6] с шагом h2 = 1).

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной

z. В нашем примере z =·х – 2·у + 1.

1. Введем значения переменной х в столбец А (начиная с ячейки А2).

2. Значения переменной у вводим в строку 1 (начиная с ячейки В1).

3. Далее вводим значения переменной z. В ячейку В2 вводим ее уравнение

= $A2 + 2*В$1 + 1. Обращаем внимание, что символы $ предназначены для

фиксации адреса столбца А — переменной х и строки 1 — переменной у.

Затем автозаполненнем копируем эту формулу вначале в диапазон В2:Н2.

после чего — в диапазон ВЗ:Н14 (протягиванием вниз)

4. В результате должна быть получена следующая таблица (рис.1.13).

18

Рис.1.13

5. Выделяем мышью диапазон А1:Н14. Обращаемся к Мастеру диаграмм.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип

диаграммы указываем тип диаграммы – Поверхность, и вид —

Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в

правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее.

Рис.1.14

6. В этом примере переключатель Ряды установим в положение «в

столбцах». Затем указываем название диаграммы и осей. Полученная

диаграмма имеет вид (рис.1.15)

19

0 1 2 3 4 5 6

0

3

602468

101214161820

значения z

значения y

значения x

Плоскость

Рис.1.15

2. Решение уравнений с помощью процедуры «подбор параметра». В MS Excel для решения уравнений вида f(x) = 0 используется удобный и

простой для понимания инструмент Подбор параметра.

Процесс решения с помощью процедуры Подбор параметра распадается на

два этапа:

1. Задание на рабочем листе ячейки, содержащей значение независимой

переменной решаемого уравнения (так называемой влияющей ячейки), и

ячейки содержащей формулу уравнения (зависящей или целевой

ячейки).

2. Ввод адресов влияющей и целевой ячеек в диалоговом окне Подбор

параметра и получение ответа (или сообщения о его отсутствии или

невозможности нахождения, поскольку уравнение может не иметь

решений или алгоритм решения (оптимизации) может оказаться

20

расходящимся в конкретных условиях).

Рассмотрим этот процесс на конкретном примере.

Пример 2.1. Найти решение уравнения ln(x)=0.

Решение:

Первый этап

1. Открываем новый рабочий лист (команда Вставка → Лист).

2. Заносим в ячейку А1 ориентировочное значение корня, например, 3.

3. Заносим в ячейку В1 левую часть уравнения, используя в качестве

независимой переменной ссылку на ячейку Al. Для этого нажимаем на

панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции; в

появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле

Категория выбираем Математические, а в рабочем поле Функция имя

функции LN. После чего щелкаем на кнопке ОК; в рабочее поле Число

щелчком мыши на ячейке А1 вводим ее адрес. Затем, нажимаем на

кнопку ОК.

В ячейке В1 появляется число 1,098612(рис.2.1).

Рис.2.1

Второй этап

1. Вызываем процедуру Подбор параметра (команда Сервис → Подбор

параметра).

2. В поле Установить в ячейке мышью указываем В1, в поле Значение

задаем 0 (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки

мышью указываем на А1 (рис.2.2).

21

Рис.2.2

3. Щелкаем на кнопке ОК и получаем результат подбора, отображаемый в

диалоговом окне Результат подбора параметра. Щелкаем на кнопке

ОК. чтобы сохранить порученные значения ячеек, участвовавших в

операции. В ячейке Al получаем приближенное значение х = 0,999872

(рис.2.3). При этом обратим внимание на погрешность решения

(значение правой части уравнения) — вместо 0 в ячейке В1 получаем -

0,00013.

Рис.2.3

Таким образом, при значении х = 0,999872 правая часть уравнения lп(х) = 0

приближается к нулю (-0,00013). Принимая во внимание, что полученный

корень это приближенное решение, его можно округлить до 1, то есть х = 1,

что и является известным аналитическим решением этого уравнения.

При решении уравнений, имеющих несколько действительных корней, имеет

смысл предварительно построить график левой части (функции f(x) ). Это

позволит правильно подобрать начальные значения параметра.

Пример 2.2. Найти решение уравнения х2 - 4х +2 = 0.

Решение.

1. Строим график функции y = х2 - 4х +2 (рис.2.4).

22

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2 0 2 4 6

Рис.2.4

Из него следует, что уравнение имеет два действительных корня

Решение начинаем с нахождения первого корня.

2. Открываем новый рабочий лист (команда: Вставка → Лист).

3. Заносим в ячейку А1 ориентировочное значение первого корня,

например, 3.

4. Заносим в ячейку В1 левую часть уравнения, используя в качестве

независимой переменной ссылку на ячейку А1. Соответствующая

формула будет иметь вид: =А1^2-4*А1+2.

5. Вызываем процедуру Подбор параметра (команда Сервис → Подбор

параметра).

6. В поле Установить в ячейке указываем В1, в поле Значение задаем 0

(правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки указываем

ячейку А1.

23

Рис.2.5

7. Щелкаем на кнопке 0К и получаем результат подбора, отображаемый в

диалоговом окне Результат подбора параметра. Щелкаем на кнопке 0К,

чтобы сохранить полученные значения ячеек, участвовавших в

операции. Таким образом, в ячейке А1 получаем приближенное значение

х1 = 3,414212 (рис.2.5).

При этом обратим внимание на точность решения (значение правой части

уравнения): вместо 0 в ячейке В1 получаем: -5,7Е-06 (-0,0000057).

8. Повторяем расчет для второго корня х2, задавая в ячейке А1 другое

начальное значение, например -3. Получаем значение второго корня

уравнения х2 = 0,5857730 ; значение функции правой части для него равно

3,78705E-05 (рис.2.6)

Рис.2.6

3. Решение задач линейной алгебры. Средства MS Excel оказываются полезны и для решения задач линейной алгебры, прежде всего для операций с матрицами и для решения систем линейных уравнений.

МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов

записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В

частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и

арифметическими действиями с ними.

24

Матрицей размера т X п называется прямоугольная таблица чисел, содержащая

т строк и п столбцов. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского

алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и

обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: аi,j где i — номер

строки, j — номер столбца. Например, матрица А размера т X п может быть

представлена в виде:

( )jinmnn

m

m

а

ааа

аааааа

А ,

21

22221

11211

...............

...

...

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Где i = 1,..., n; j = 1,..., m. Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, го есть jiа , = jib , для любых i = 1,..., n; j = 1,..., m. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой : А = ( 1а , 2а ,…, mа ) а из одного столбца — матрицей (вектором) – столбцом :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nb

bb

b...

2

1

Если число строк матрицы равно числу столбцов и равно n, то такую матрицу называют квадратной n - го порядка. Например, квадратная матрица 2-го порядка:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4531

A

Если у элемента матрицы номер столбца (j) равен номеру строки (i), то такой элемент называется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы. Квадратная матрица с равными нулю элементами вне главной диагонали называется диагональной. Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная, и нее диагональные элементы равны единице. Единичная матрица имеет следующий вид:

25

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1...00............0...100...01

Е

Матрица любого размера называется нулевой или нуль – матрицей, если все ее элементы равны нулю.

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причем в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

Транспонирование

Транспонированной называется матрица (Ат), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами. В сокращенной записи, если А = (ai,j), то Aт= (aj,i). Например, пусть

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

987654321

A .

Тогда имеем:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

963852741

тA

Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы (А) к транспонированной (АТ). Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер n х m, то транспонированная матрица АТ имеет размер m x n. Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот. Функция имеет вид: ТРАНСП(массив). Здесь массив — это транспонируемый массив или диапазон ячеек из рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере Пример 3.1. Предположим, что в диапазон ячеек А1:Е2 введена матрица размера 2x5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0987654321

A

Необходимо получить транспонированную матрицу. Решение.

26

Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (5 х 2). Например, А4:В8.

Рис.3.1

1. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

2. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Выберите функцию — имя функции ТРАНСП (рис.3.1). После чего щелкните по кнопке ОК.

3. Введите диапазон исходной матрицы А1:Е2 в рабочее поле Массив

Рис.3.2.

27

Рис.3.3

После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER В результате в диапазоне А4:В8 появится транспонированная матрица. (рис.3.3).

Вычисление определителя матрицы

Важной характеристикой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы —это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Определитель матрицы А обозначается | А | или ∆(А), В MS Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД. Функция имеет вид МОПРЕД(массив). Здесь массив — это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив должен быть задан как интервал ячеек, например, А1:С3; или как массив констант, например, {1;2;3;4;5;6;7;8;9;}. Рассмотрим пример нахождения определителя матрицы. Пример 3.2. Предположим, что в диапазон ячеек А1:СЗ введена матрица:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

301320321

А

Необходимо вычислить определитель этой матрицы. Решение

1. Табличный курсор поставьте а ячейку, в которой требуется получитьзначение определителя, например: А4;

2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК.

28

Рис.3.4

4. Введите диапазон значений элементов исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив. Нажмите кнопку ОК (рис.3.5).

Рис. 3.5.

В ячейке.А4 появится значение определителя матрицы — 6.

Рис.3.6

Нахождение обратной матрицы

29

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица: А· А-1 = А-1 · А = Е. Как следует из определения, обратная матрица является квадратной того же порядка, что и исходная матрица. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля (|А| ≠ 0); в противном случае (при |А | = 0) матрица называется вырожденной или особенной. В MS Excel для нахождения обратной матрицы используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива. Функция имеет вид МОБР (массив). Здесь массив — это числовой массив с равным количеством строк и столбцов. Массив может быть задан как диапазон ячеек, например А1:СЗ; как массив констант, например {1;2;4;5;6;7;8;9} или как имя диапазона или массива. Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы. Пример 3.3. Пусть в диапазон ячеек А1:СЗ введена матрица

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

301320321

А

Необходимо получить обратную матрицу. Решение

1. Выделите блок ячеек под обратную матрицу, например, блок ячеек А5:С7 (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОБР. Щелкните на кнопке ОК.

3. Введите диапазон исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

30

Рис. 3.7

4. Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В результате в диапазоне А5:С7 появится обратная матрица:

Рис.3.8

Сложение и вычитание матриц

Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (ai,j) и B = (bi,j) размера n х n называется матрица С = А+В, элементы которой ci,j = ai,j + bi,j В MS Excel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки. Пример 3.4. Пусть даны матрицы:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1319721

A , введена в диапазон А1:С2, и матрица ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

31195340

B — в

диапазон А4:С5. Необходимо найти матрицу С, являющуюся их суммой. Решение

31

1. Табличный курсор установите в левый верхний угол результирующей матрицы, например в А7. Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы =А1 + А4.

2. Скопируйте введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: установите табличный курсор в ячейку А7; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки С7; затем так же протяните указатель мыши до ячейки С8.

Рис.3.9

3. В результате в ячейках А7:С8 появится матрица, равная сумме исходных матриц.

Рис.3.9 Подобным же образом вычисляется разность матриц (2.1), только в формуле для вычисления первого элемента вместо знака + ставится знак –.

Умножение матриц.

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ (матрицы хранятся в массивах). Функция имеет вид МУМНОЖ (массив1;массив2). Здесь массив1 и массив2 — это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

32

Массив С, который является произведением двух массивов А и В, определяется следующим образом: ci,j= ∑

kkjikba где i — номер строки, а j —

номер столбца. Рассмотрим примеры умножения матриц. Пример 3.5. Пусть матрица А введена в диапазон A1:D3, а матрица В — в диапазон А4:В7. Необходимо найти произведение этих матриц С. Решение.

1) Выделим блок ячеек под результирующую матрицу. Для этого требуется найти размер матрицы-произведения. Ее размерность будет, в данном примере, 3х2. Например, выделим блок ячеек F1:G3.

2) Нажмем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

3) В появившемся диалоговом окне Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция — имя функции МУМНОЖ. После этого щелкните на кнопке ОК.

Рис.3.10

Введем диапазон исходной матрицы А — A1:.D3 в рабочее поле Массив1, а диапазон матрицы В — А4:В7 в рабочее поле Массив2 (рис.3.10). После этого нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Рис.3.11

33

В результате в диапазоне F1:G3 появится произведение матриц: Пример 3.6

Предприятие выпускает продукцию трех видов: Р1, Р2, РЗ и использует сырье двух типов S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

254123

А ,

где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья каждого типа расходуется на производство единицы продукции. Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей-столбцом

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4050

С .

Определить стоимость затрат сырья на единицу продукции. Решение. Каждая строка матрицы соответствует определенному виду продукции, а столбец – виду сырья. Таким образом, чтобы решить задачу необходимо перемножить А и С, результат – ветор-столбец из трех элементов, каждый из которых и определяет стоимость затрат сырья на единицу каждого вида продукции.

1. Зададим элементы А в диапазоне А2:В4, А элементы С в диапазоне А7:А8.

2. Для результата выделим диапазон А12:А14. 3. Вставим функцию МУМНОЖ, указав диапазоны исходных данных.

В результате имеем (рис.3.12): стоимость затрат сырья на единицу продукции Р1 равна 170; стоимость затрат сырья на единицу продукции Р2 равна 190; стоимость затрат сырья на единицу продукции Р3 равна 230.

Рис.3.12

34

Решение систем линейных уравнений

Многие прикладные задачи в технике, экономике и других областям

сводятся к решению систем линейных уравнений, поэтому особенно важно

уметь их решать.

Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными, где aij(„(i =

1,2....,n ;j = 1.2.....п) – коэффициенты при переменных и bi - свободные члены

уравнений.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

bnxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

nnnnn

nn

nn

................................................

...

...

2211

22222121

11212111

(3.1)

Решением системы (1) называется такая совокупность п чисел (x1, x2,. . . ,xn ),

при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное

равенство.

Две системы уравнений являются равносильными или эквивалентными,

если они имеют одно и то же множество решений. Система, равносильная

данной может быть получена с помощью элементарных преобразований

системы (1). Систему (1) можно также записать в виде матричного уравнения:

А·х=b (3.2)

где А - матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы;

x — вектор – столбец неизвестных:

b — вектор – столбец свободных членов:

Предполагая использование MS Excel для проведения вычислений,

рассмотрим решение системы (1) в общем виде (метод обратной матрицы),

Будем считать, что квадратная матрица системы (А) является невырожденной,

то есть ее определитель отличен от 0. В этом случае существует обратная

матрица А-1. Умножая слева обе части матричного равенства (3.2) на обратную

матрицу А-1, получим:

А-1·А·х = А-1· b, Е·х = А-1· b т.к. Е·х = х,

решением системы (3.2) методом обратной матрицы будет столбец:

х = А-1 b (3.3)

35

Таким образом, для нахождения вектора х необходимо найти обратную

матрицу коэффициентов и умножить се справа на вектор свободных членов.

Выполнение этих операций в пакете Excel рассмотрено ранее.

Пример 3.7. Пусть необходимо решить систему

⎩⎨⎧

=−=+

4054723

yxyx (3.4)

Решение:

1) Введем матрицу А (в данном случае размера 2 × 2) в диапазон А1:В2

2) Вектор b введем в диапазон С1:С2.

3) Найдем обратную матрицу А-1 . Для этого:

Выделим блок ячеек под обратную матрицу. Например, блок АЗ:В4.

нажмем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка

функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле

Категория выберем Математические. а и рабочем поле Функция —

имя функции МОБР.

введем диапазон исходной матрицы А1:В2 в рабочее поле Массив.

Нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если обратная матрица не появилась в диапазоне А3:84, то следует

щелкнуть указателем мыши в Строке формул и повторить нажатие

CTRL+SHIFT+ENTER.

Рис.3.13.

В результате в диапазоне А3:В4 появится обратная матрица (рис3.13):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

0,13043-0,173913086957,00,2173911А

36

4) Умножением обратной матрицы А-1 на вектор b найдем вектор x.

Для этого:

выделим блок ячеек под результат (вектор x).. Например, СЗ:С4 ;

нажмем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка

функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле

Категория выберите Математические, .а в рабочем поле Функция имя

функции — МУМНОЖ. Щелкните на кнопке 0К;

в появившемся диалоговое окно МУМНОЖ введем диапазон обратной

матрицы А-1 в рабочее поле Массив1, .а диапазон столбца b (С1:С2) — в

рабочее поле Массив2. После этого нажмем сочетание клавиш

CTRL+SHIFT+ENTER;

если вектор x не появился в диапазоне СЗ:С4, то следует щелкнуть

указателем мыши в строке формул и повторить нажатие

CTRL+SHIFT+ENTER.

Рис.3.14

В результате в диапазоне С3:С4 появится вектор x (рис.3.14). Причем х = 5

будет находиться в ячейке СЗ, а y = 4. в ячейке С4. Можно осуществить

проверку найденного решения. Для этого найденный вектор x необходимо

подставить в матричное уравнение А·х=b .

Проверка производится следующим образом:•

1) Выделим блок ячеек под вектор b . Например, блок ячеек D1:D2;

2) Нажмем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

3) В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле

Категория выберем Математические, а в рабочем поле Функция — имя

функции МУМНОЖ.;ОК.

37

4) В появившееся диалоговое окно МУМНОЖ введем диапазон исходной

матрицы А в рабочее поле Macсив1, а диапазон вектора x в рабочее поле

Массив2. После этого нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор b, и, если система решена

правильно, появившийся вектор будет равен исходному (7, 40).

Рис.3.15

Рис.3.16

Пример 3.8. Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных

блюд: В1, В2, ВЗ. При этом используются ингредиенты грех типов S1, S2, S3.

Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода ингредиентов

на 1 день заданы таблицей:

Нормы расхода ингредиентов

на одно блюдо (у. е.) Ингредиент

B1 B2 B3

Расход

ингредиентов

на 1 день(у. е.)

S1 5 3 4 2700

S2 2 1 1 800

S3 3 2 2 1600

Нужно найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.

38

Решение.

Пусть ежедневно ресторан выпускает x1 блюд вида B1, x2 блюд вида В2 и x3

блюд вида ВЗ. Тогда в соответствии с расходом ингредиентов каждого типа

имеем систему:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

16002238001122700435

321

321

321

xxxxxxxxx

.

Решаем систему аналогично решению предыдущего примера.

1) Введем матрицу системы в А1:С3;

2) Находим матрицу, обратную матрице системы в диапазоне A4:C6;

3) Умножим ее на столбец свободных членов;.

Процесс решения отображен на рисунке 3.17

Рис.3.17

Получен ответ : (0, 500, 300)

Система m линейных уравнений с n неизвестными.

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

................................................

...

...

2211

22222121

11212111

(3.5)

Как и система (3.1), система (3.5) может быть представлена в матричном виде

39

А·х=b

Возможны следующие три случая: mn. Случай, когда m = n.

рассмотрен ранее. В случае если m > n обычно применяют метод наименьших

квадратов. Для этого обе части матричного уравнения системы (3.5) умножаем

слева на транспонированную матрицу системы AT.

АT·А·х = АT· b ;

Затем обе части уравнения умножаем слева на матрицу (АT·А)-1. Если эта

матрица существует, то система определена. С учетом того, что

(АT·А) (АT·А)-1 = E, получаем

x = (АT·А)-1 АT· b (3.6)

Матричное уравнение (3.6) определяет приближенное решение системы m

линейных уравнений с n неизвестными при m > n.

Пример 3.9 . Пусть необходимо решить систему

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=+

3334054723

yxyxyx

Решение.

1) Введем матрицу А в диапазон А1:ВЗ

2) Вектор b = (7, 40, 3) введем в диапазон C1:C3

3) Найдем транспонированную матрицу АT с помощью функции ТРАНСП.

в диапазоне А4:С5 (рис.3.18)

Рис.3.18

4) Найдем произведение АТ b в диапазоне Е4:Е5 (рис.3.19), оно равно (190,-

177)T;

40

Рис.3.19

5) Аналогично находим произведение АТА в диапазоне А7:В8

Рис.3.20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

385534

ААТ

6) Находим обратную матрицу ( АТА)-1. в диапазоне A10:B11

Рис.3.21

7) Теперь умножением обратной матрицы (АTА)-1 на вектор АTb находим

вектор x.

В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор решения системы по

методу наименьших квадратов. (рис.3.22). Причем х= 5 будет находиться в

ячейке D1, а у = -4 — в ячейке D2.

41

Рис.3.22

4. Задачи оптимизации. Очень широкий класс задач составляют задачи оптимизации или, как их еще

называют, экстремальные задачи. Обычно их решение сопряжено с большим

количеством вычислений, что затруднительно выполнять вручную.

Задачи линейного программирования.

Будем рассматривать задачу линейного программирования, которая

заключается в нахождении n переменных,

x1, x2, . . . ,xn ,

минимизирующих данную линейную функцию (целевую функцию):

Z = f(x1, x2, . . . ,xn)= c1· x1+ c2·x2+ . . .+cn·xn (4.1) При m линейных ограничениях – равенствах:

ai1x1 + ai2x2 +. . .+ainxn = bi, где i = 1,2,3,…,m (4.2)

и n линейных ограничениях – неравенствах;

xk ≥ 0, где k = 1,2,3, . . .,n (4.3)

Допустимым решением (планом) задачи линейною программирования

является упорядоченное множество чисел ( x1, x2, . . . ,xn.). удовлетворяющих

ограничениям (4.2) и (4.3).

Чаще всего оптимальное решение, если оно существует, является

единственным. Однако возможны случаи, когда оптимальных решений

бесчисленное множество. Процесс решения задачи линейного

программирования обычно состоит из следующих этапов:

42

1) Осмысление задачи, выделение наиболее важных качеств, свойств,

величин, параметров.

2) Введение обозначений неизвестных.

3) Создание целевой функции.

4) Составление системы ограничений, которым должны удовлетворять

введенные величины.

5) Решение задачи на компьютере.

Инструментом для поиска решений задач оптимизации в Excel служит

процедура Поиск решения.

Алгоритм использования процедуры поиска решения.

1) Сформулируйте задачу.

2) В меню Сервис выберите команду Поиск решения.

3) Если команда Поиск решения отсутствует в меню Сервис, установите

надстройку Поиск решения.

4) В поле Установить целевую ячейку введите ссылку на ячейку или имя

конечной ячейки. Конечная ячейка должна содержать формулу.

5) Выполните одно из следующих действий:

чтобы максимизировать значение конечной ячейки путем

изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в

положение максимальному значению;

чтобы минимизировать значение конечной ячейки путем

изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в

положение минимальному значению;

чтобы установить значение в конечной ячейке равным некоторому

числу, установите переключатель в положение значению и введите

в соответствующее поле требуемое число.

6) В поле Изменяя ячейки введите имена или ссылки на изменяемые

ячейки, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо

или косвенно связаны с конечной ячейкой. Допускается задание до 200

изменяемых ячеек.

43

7) Чтобы автоматически найти все ячейки, влияющие на формулу модели,

нажмите кнопку Предположить.

8) В поле Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск

решения.

Добавление ограничения

1) В разделе Ограничения диалогового окна Поиск решения нажмите

кнопку Параметры.

2) В поле Ссылка на ячейку введите адрес или имя ячейки, на значение

которой накладываются ограничения.

3) Выберите из раскрывающегося списка условный оператор ( =,

цел или двоич ), который должен располагаться между ссылкой и

ограничением. Если выбрано цел, в поле Ограничение появится

«целое». Если выбрано двоич, в поле Ограничение появится

«двоичное».

4) В поле Ограничение введите число, ссылку на ячейку или ее имя либо

формулу.

5) Выполните одно из следующих действий:

a. Чтобы принять ограничение и приступить к вводу нового, нажмите

кнопку Добавить.

b. Чтобы принять ограничение и вернуться в диалоговое окно Поиск

решения, нажмите кнопку OK.

Примечания

Условные операторы типа цел и двоич можно применять только при

наложении ограничений на изменяемые ячейки.

Флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры поиска решения

позволяет задать любое количество ограничений. При решении нелинейных

задач на значения изменяемых ячеек можно наложить более 100 ограничений,

в дополнение к целочисленным ограничениям на переменные.

Изменение и удаление ограничений

44

1) В списке Ограничения диалогового окна Поиск решения укажите

ограничение, которое требуется изменить или удалить.

2) Выберите команду Изменить и внесите изменения либо нажмите кнопку

Удалить.

3) Нажмите кнопку Выполнить и выполните одно из следующих действий:

a. чтобы сохранить найденное решение на листе, выберите в

диалоговом окне Результаты поиска решения вариант

Сохранить найденное решение;

b. чтобы восстановить исходные данные, выберите вариант

Восстановить исходные значения.

4) Чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу ESC. Лист Excel

будет пересчитан с учетом найденных значений влияющих ячеек.

Если решение будет найдено, выберите тип отчета в списке Отчеты и

нажмите кнопку ОК. Отчет будет помещен на новый лист книги

Рассмотрим примеры решения некоторых задач оптимизации

Пример 4.1. В ресторане готовятся фирменные блюда трех видов (блюдо А.

блюдо В и блюдо С), с использованием при приготовлении ингредиентов трех

видов (ингредиент 1, ингредиент 2 и ингредиент 3). Расход ингредиентов в

граммах на блюдо задается следующей таблицей.

Вид ингредиента блюдо А блюдо В Блюдо С

ингредиент 1 20 50 10

ингредиент 2 20 0 40

ингредиент 3 20 10 10

Стоимость приготовления блюд одинакова (например, 100 руб.).

Ежедневно в ресторан поступает 5 кг ингредиента 1 и по 4 кг ингредиентов

видов 1 и 3. Каково опт