Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

______________________________________________________________

И.Н. Горбатый, А.С. Овчинников

Электричество и магнетизм

Сборник вопросов и задач по физике

Москва 2007

2

Рецензент доктор физ.-мат. наук, профессор А.Г.Фокин Горбатый И.Н., Овчинников А.С. Электричество и магнетизм. Сборник вопросов и задач по физике. – М.: МИЭТ, 2007. – 208 с. :ил.

Сборник содержит около 250 вопросов и 500 задач по курсу общей физики «Электричество и магнетизм». Вопросы относятся к определениям физических величин, основным формулам и законам, акцентируют внимание на характерных ошибках и трудностях. Сре-ди задач, приведенных в сборнике, имеются как известные так и но-вые задачи. По каждому из физических «сюжетов» в сборнике при-ведено несколько похожих задач, что позволяет более эффективно организовать самостоятельную работу студентов. Для студентов МИЭТ и других технических вузов.

3

Предисловие Сборник содержит около 250 вопросов и 500 задач по курсу общей

физики «Электричество и магнетизм». Вопросы, приведенные в сборнике, во многом похожи на те, которые

преподаватели задают студентам на экзаменах, коллоквиумах, в лабора-тории. Отличительной особенностью таких вопросов является возмож-ность получения ответа без трудоемких алгебраических преобразований и вычислений. Вопросы относятся к определениям физических величин, основным формулам и законам, они акцентируют внимание на харак-терных ошибках и трудностях, затрагивают приемы решения задач. Со-ставители сборника стремились к тому, чтобы вопросы по каждому раз-делу охватывали бы все наиболее важные теоретические положения изучаемой темы, так чтобы на основе обсуждения этих вопросов могла быть сформирована логически связанная картина изучаемой темы. К вопросам в сборнике умышленно не приведены ответы, что должно стимулировать их активное обсуждение и самостоятельную работу сту-дентов. При выборе правильных ответов из нескольких предложенных следует иметь в виду, что таких ответов в каждом тестовом вопросе может быть несколько.

Обращаясь к преподавателям, заметим, что представленные в сбор-нике вопросы в большей степени предназначены для обучения, а не для контроля. В течение семестра желательно так организовать учебный процесс, чтобы обсуждение вопросов представляло для студентов не только познавательный, но и "практический" интерес. В связи с этим можно порекомендовать включать тестовые вопросы в варианты кон-трольных работ и экзаменационные билеты. Тестовые задания могут быть составлены на базе имеющихся в сборнике вопросов, не повторяя их буквально. При этом вопросы теста не обязательно должны иметь простую форму с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных. Можно также поставить условием выполнения теста запись в бланке ответов не только самого ответа, но и его краткого обоснования. Успешный опыт проведения экзамена в такой форме у составителей сборника имеется. Поскольку контролирующие тесты по-хожи на те, которые обсуждались в течение семестра, но не повторяют их, студенты заинтересованы не в механическом запоминании правиль-ных ответов, а в уяснении физической аргументации.

4

Среди задач, приведенных в сборнике имеются как известные, в ча-стности, опубликованные в задачниках И. Е. Иродова, так и новые. Подбирая задачи, составители стремились к тому, чтобы по каждому из физических «сюжетов» в сборнике было несколько похожих задач, что позволяет более эффективно организовать самостоятельную работу сту-дентов. По степени трудности задачи сборника перекрывают широкий диапазон: от весьма простых до тех, решение которых требует глубоко-го понимания физики рассматриваемых явлений. Задачи и вопросы упо-рядочены в логической последовательности, а не по степени их трудно-сти, поэтому среди простых вопросов и задач могут «вдруг» встретиться и более сложные.

Все задачи снабжены алгебраическими и числовыми ответами. Гра-фики, иллюстрирующие полученные зависимости, в ответах не приво-дятся. Формулы в основном тексте и в ответах даны в СИ.

Авторы надеются, что данный сборник поможет решить одну из главных задач учебной работы – организовать эффективную самостоя-тельную работу студентов по изучению основных физических законов и приобретению навыков решения задач.

Авторы признательны преподавателям кафедры общей физики и студентам МИЭТ, сообщившим свои замечания по отдельным задачам, а также профессору Г.Н. Гайдукову за полезные дискуссии, советы и оптимизм.

5

1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Принцип суперпозиции

Вопросы

1. В точку A, расположенную вблизи неподвижного заряженного тела, поместили пробный заряд q1 и измерили действующую на него силу

1F : =xF1 3 мкН, =yF1 4 мкН, 01 =zF . Затем заряд q1 убрали на большое расстояние, поместили в точку A другой пробный заряд q2 и измерили проекцию действующей на него силы: −=xF2 9 мкН. Определите yF2 , zF2 и отношение q2/q1.

2. Закон сохранения заряда является: А) следствием закона Кулона Б) следствием закона сохранения энергии В) самостоятельным законом электродинамики

3. Неподвижные точечные заряды q1 и q2 находятся в вакууме. Вектор r проведен от заряда q1 к заряду q2. Сила F , действующая на заряд q2 со стороны q1, равна: А)

30

21

4 rrqqF

πε=

Б) 3

0

21

4 rrqqF

πε−=

В) 3

0

21

4||||

rrqqF

πε=

4. Пусть F - сила, действующая со стороны электрического поля на неподвижный пробный заряд прq , помещенный в данную точку

поля. Тогда вектор пр/ qFE = не зависит от знака и величины за-

ряда прq :

А) только для электростатического поля Б) для произвольного электрического поля, зависящего от вре-

мени

6

5. Вектор r проведен от неподвижного точечного заряда Q в точку A. Вектор напряженности электрического поля, созданного зарядом Q в точке A, равен: А)

304 rrQE

πε=

Б) 3

04||rrQE

πε=

В) 2

04 rrQE

πε=

6. Точечный заряд q находится в плоскости XY в точке с радиус-вектором yx ebear += , где xe , ye - орты осей. Вектор напряжен-ности электрического поля в начале координат равен: А)

2/3220 )(4

)(

ba

ebeaqE yx

+πε

+=

Б) 2/322

0 )(4

)(

ba

ebeaqE yx

+πε

+−=

7. Имеются три неподвижных точечных заряда. В некоторой точке A первый и второй заряды создают электрическое поле суммарной напряженностью 12E , первый и третий заряды создают в той же

точке поле 13E , а второй и третий – поле 23E . Тогда вектор напря-

женности E поля, созданного тремя зарядами в точке A, равен: А)

231312 EEEE ++= Б) ( ) 2/231312 EEEE ++= В) ( ) 3/231312 EEEE ++=

8. Точечные заряды q и 2q расположены в вершинах A и B прямо-угольного равнобедренного треугольника АВС (С - вершина прямо-го угла). Во сколько раз уменьшится модуль вектора напряженно-сти электрического поля в точке C, если заряд 2q убрать?

9. Заряженное тело Q создает в некоторой точке A поле напряженно-стью E . В точку А помещают точечный заряд q. Сила, действую-щая на заряд q, оказалась по модулю больше величины || Eq . Это возможно, если: А) размеры заряженного тела Q не являются малыми по срав-

нению с расстоянием от этого тела до точки A Б) величина q настолько велика, что происходит перемещение

зарядов, расположенных на теле Q

7

Задачи Закон Кулона. Электростатическое поле точечных зарядов

1.1. Оцените: а) величину силы, которая необходима для извлечения элек-

трона из молекулы (ионизация молекул). Используйте, что ионизация наступает во внешнем электрическом поле с на-пряженностью 108 В⋅м–1 (в таком поле происходит “пробой” воздуха);

б) отношение силы электрического отталкивания двух элек-тронов к силе их гравитационного притяжения;

в) с какой силой отталкивались бы два одноименных заряда величиной каждый по 1 Кл, находясь на расстоянии 1 км друг от друга;

г) величину силы электростатического притяжения электрона к ядру в атоме водорода (в рамках модели Н. Бора). Радиус орбиты электрона примите равным 0,05 нм.

1.2. Три заряда q, 2q и –2q помещены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Определите величину результирующей силы F, действующей на: а) заряд -2q; б) заряд 2q.

1.3. Имеются три неподвижных точечных заряда одинаковой ве-личины, два из которых положительные, а один отрицательный. В неко-торой точке A, удаленной от отрицательного заряда на расстояние l = 12 см, один из этих зарядов создает электрическое поле напряжен-ностью 1E , другой заряд создает в той же точке поле 12 EE = , а третий

– поле 13 9EE = . Определите расстояние x (оно отлично от нуля) между положительными зарядами.

1.4. Имеются три неподвижных точечных заряда одинаковой вели-чины. В некоторой точке A первый заряд создает электрическое поле напряженностью 1E , второй заряд в той же точке создает поле 12 EE = ,

а третий заряд – поле 13 2EE = . Определите расстояние x между первым и третьим зарядами, если расстояние между первым и вторым зарядами равно l.

8

1.5. Два точечных заряда Q1 = 7,5 нКл и Q2= –14,7 нКл расположе-ны на расстоянии R = 5 см. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля в точке, находящейся на расстояниях a = 3 см от положительного заряда и b = 4 см от отрицательного заряда.

1.6. Точечные заряды q1 = 1 нКл и q2 = 4 нКл расположены в точках A и B, расстояние между которыми a = 30 см. Точечный заряд Q нахо-дится в середине отрезка AB. При каком Q, отличном от нуля, электри-ческие силы, действующие на заряды q1 и q2 в данной системе, будут равны по величине?

1.7. Точечный положительный заряд q1 расположен в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AC = BC, α=∠ACB ). Какой то-чечный заряд q2 нужно поместить в вершину B, чтобы модуль вектора напряженности суммарного электрического поля зарядов q1 и q2 в вер-шине C был минимальным?

1.8. В однородном электрическом поле напряженностью E0 = 9 кВ/м закреплен точечный заряд q = –10 нКл. В точке A, положе-

ние которой определяется расстоянием r = 10 см и углом α (рис. 1.1), модуль векто-ра напряженности результирующего элек-трического поля E = E0. Определите угол α.

1.9. Точечные заряды –q и +q располо-жены на одной силовой линии однородного электрического поля E (рис. 1.2). Расстоя-ние между зарядами l. При каких значениях E вектор напряженности результирующего поля равен нулю а) только в двух точках? б) в бесконечном числе точек?

1.10. Два одинаковых небольших ме-таллических шарика с зарядами q1 и q2, на-

ходясь на расстоянии l = 200 м друг от друга, притягиваются с силой F0 = 36 мН. После того, как шарики привели в соприкосновение и опять развели на то же расстояние l, они стали отталкиваться с силой F = 64 мН. Найдите q1 и q2.

1.11. На дне длинной стеклянной пробирки, закрепленной верти-кально, находится положительно заряженный диэлектрический шарик массой m = 0,1 г чуть меньшего, чем пробирка диаметра. В точке A,

0Er

q α

A

Рис. 1.1

–q +q E

Рис. 1.2

9

расположенной под пробиркой (рис.1.3), он создает электрическое поле напряженностью E = 105 В/м. Найдите силу Кулона F, которая будет действовать на точечный положительный заряд q, если его поместить в точку A и дождаться установления равновесия. Рассмотрите случаи:

а) q = 0,5.10−8 Кл; б) q = 2.10−8 Кл.

Влиянием стеклянной пробирки на электрическое поле пренебречь.

1.12. На рис.1.4 изображена одна из линий напряженности элек-трического поля двух неподвижных точечных зарядов q1 и q2. Известно, что q1 = 1 нКл. Определите q2.

A

q1 q2

Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5

1.13. На рис. 1.5 изображены две линии напряженности электриче-ского поля двух неподвижных точечных зарядов. Меньший по величине заряд равен q1 = 1 нКл. Определите величину q2 второго заряда.

1.14. Точечный заряд q расположен в однородном электрическом поле, линии напряженности которого направлены в положительном на-правлении оси X , а модуль вектора напряженности равен E0. Положе-ние заряда q задано радиус-вектором zyx ecebear ++= , где xe , ye ,

ze - орты осей прямоугольной системы координат X Y Z. Определите

вектор E напряженности результирующего электрического поля в на-чале координат.

1.15. Точечные заряды q1 и q2 = –2q1 расположены в плоскости XY в точках, определяемых радиус-векторами yx ebear +=1 и

yx ebear −=2 , где xe , ye - орты осей. Определите вектор E напря-женности электрического поля этих зарядов в начале координат.

10

1.16. Точечные заряды q и –q расположены в плоскости XY в точ-ках, определяемых радиус-векторами )(1 yx eear += и )(2 yx eear −= ,

где xe , ye - орты осей. Определите вектор E напряженности электри-

ческого поля этих зарядов в точке с радиус-вектором )( yx eear +−= .

Электростатическое поле заряженных тел (непрерывное распределение зарядов)

1.17. На единицу длины тонкого однородно заряженного стержня АВ, имеющего форму дуги окружности радиуса R с центром в точке О, приходится заряд λ. Найдите модуль E вектора напряженности электри-ческого поля в точке О, если угол АОВ равен α. Постройте график зави-симости E(α).

1.18. Тонкий непроводящий стержень согнут в почти правильную окружность радиуса R = 0,5 м. Между концами имеется промежуток ∆l = 0,02 м. По длине стержня однородно распределен положительный заряд, равный q = 4 нКл. Найдите величину и направление вектора E в центре окружности.

1.19. Две половины тонкого кольца радиусом R заряжены разно-именными зарядами с линейными плотностями заряда λ и –λ. Опреде-лите напряженность E электрического поля в центре кольца.

1.20. Тонкое полукольцо радиуса R заряжено с ли-нейной плотностью αλ=λ sin0 . Найдите модуль E век-тора напряженности электрического поля в центре кри-визны этого полукольца (рис. 1.6).

1.21. По тонкому кольцу радиуса R однородно рас-пределен заряд q. Найдите модуль E вектора напряжен-ности электрического поля на оси кольца на расстоянии х от его центра. Постройте график зависимости модуля вектора напряженности поля от х.

1.22. Одна половина сферической поверхности ра-диуса R заряжена с поверхностной плотностью σ, а другая заряжена тоже однородно, но с плотностью 2σ. Покажите, что модуль вектора напряженности электрического поля в центре сферы равен 04/ εσ .

α

Рис. 1.6

11

1.23. Система состоит из тонкого заряженного проволочного коль-ца радиуса R и очень длинной однородно заряженной нити, располо-женной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити приходится заряд λ. Найдите величину силы, с которой кольцо действует на нить.

1.24. Круглая тонкая пластинка радиуса R однородно заряжена с поверхностной плотностью σ > 0. Найдите модуль вектора напряженно-сти электрического поля на оси пластинки, как функцию расстояния l от ее центра. Рассмотрите также случаи 0→l и Rl >> .

1.25. Плоское кольцо с внутренним радиусом а и внешним радиусом b однородно заряжено с поверхностной плотностью σ. Координатная ось X с началом в центре кольца перпендикулярна плоскости кольца. Найдите проекцию Ех вектора напряженности электрического поля на ось X как функцию координаты х. Решение проведите двумя способами: в первом используйте решение задачи 1.21, а во втором – задачи 1.24.

1.26. На тонкий прямой стержень длины l нанесен однородно по-ложительный заряд q. Найдите модуль E вектора напряженности элек-трического поля в точке, лежащей вне стержня на его оси на расстоянии r от ближайшего конца стержня. Исследуйте полученное выражение при r >> l.

1.27. Тонкий прямой стержень заряжен с линейной плотностью 2

0 )/( lxλ=λ , где l - длина стержня, x - расстояние от конца стержня, λ0 – положительная постоянная. Найдите модуль E напряженности электрического поля в точке, где x = 0.

1.28. Однородно заряжен-ная нить, на единицу длины которой приходится положи-тельный заряд λ, имеет закруг-ленный участок. Радиус за-кругления R значительно меньше длины нити. Найдите модуль Е вектора напряженно-сти электрического поля в точ-ке O для конфигураций, пока-занных на рис. 1.7.

O O

OO

б)

г)в)

a)

Рис. 1.7

12

1.29. Длинная прямая однородно заряженная нить имеет заряд λ на единицу длины. Найдите модуль E и направление электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находится на пер-пендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.

1.30. Одна половина тонкого длинного прямого стержня имеет по-ложительный заряд с линейной плотностью λ, а другая половина – от-рицательный заряд с линейной плотностью –λ. На перпендикуляре к оси стержня, восстановленном из его середины, на расстоянии y от стержня находится положительный точечный заряд Q. Определите силу, с кото-рой стержень действует на точечный заряд.

1.31. Полубесконечный цилиндр круглого сечения радиуса R за-ряжен однородно по поверхности так, что на единицу его длины прихо-дится заряд λ > 0. Найдите напряженность электрического поля в центре основания цилиндра.

1.32. На тонкий прямой стержень длины 2a нанесен однородно по-ложительный заряд q. Найдите модуль E вектора напряженности элек-трического поля как функцию расстояния r от центра стержня до точки прямой, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр. Ис-следуйте полученное выражение при ar >> .

1.33. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля в центре квадратной рамки, если три стороны рамки однородно заряжены с линейной плотностью λ, а четвертая сторона не заряжена. Длина стороны квадрата a .

1.34. Найдите напряженность E электрического поля, созданного от-резком тонкой, однородно заряжен-ной с линейной плотностью λ нити в точке наблюдения x = 0, y = 0 (рис. 1.8). Углы α1, α2 и расстояние r известны. Рассмотрите, кроме того, предельные случаи: а) α1 = 0, α2 = π; б) α1 = 0, α2 = π/2.

E yE

xEX

Yr 0>λ

02α

1α

Рис. 1.8

13

2. Теорема Гаусса Вопросы

1. Найдите величину потока однородного элек-трического поля E через поверхность, со-ставленную из двух прямоугольников (рис. 2.1), если известны величины a, b, c, α, E . А) |cossin||| α−α=Φ bcEabE Б) |cossin||| α+α=Φ bcEabE В) |sincos||| α+α=Φ bcEabE

2. На рис. 2.2 изображены однородно заряжен-ное тело A и три воображаемые сферические поверхности. Считая, что заряд тела A поло-жителен, укажите правильное соотношение между потоками Ф1, Ф2, Ф3 вектора напря-женности через эти поверхности. А) Ф1 = Ф2 > Ф3 Б) Ф1 = Ф2 < Ф3 В) Ф1 > Ф2 > Ф3 Г) Ф1 = Ф2 = Ф3

3. На рис. 2.3 изображены воображаемая замк-нутая поверхность в виде цилиндра и два то-чечных заряда q1 и q2, один из которых нахо-дится внутри цилиндра. Определите поток Ф0 вектора напряженности поля этих зарядов че-рез боковую поверхность цилиндра, если по-токи через его основания равны Ф1 и Ф2. А) 00 =Φ Б) 020 / ε=Φ q В) 21020 )/( Φ−Φ−ε=Φ q Г) 210 Φ−Φ−=Φ

α E

a

b

c

Рис. 2.1

A 1 2 3

Рис. 2.2

q1 q2

Рис. 2.3

14

4. На рис. 2.4 изображен плоский лист бумаги P, по которому однородно распределен за-ряд Q, и воображаемая замкнутая поверх-ность в виде прямого цилиндра, перпенди-кулярного плоскости листа Найдите поток вектора напряженности через эту замкнутую поверхность, если площадь листа S, радиус цилиндра R.

5. Укажите ошибочные утверждения, относящиеся к теореме Гаусса

∫ ε=⋅αS

QdSE 0внутр /cos :

А) S – произвольная замкнутая поверхность Б) внутрQ - алгебраическая сумма зарядов, которые охватыва-

ются поверхностью S В) E - электрическое поле, созданное зарядами, расположен-

ными внутри поверхности S Г) α - угол между вектором нормали к поверхности и вектором

напряженности поля в данной точке поверхности Д) теорема Гаусса справедлива только для неподвижных зарядов Е) теорема Гаусса справедлива только для точечных зарядов

6. На каком рисунке (рис. 2.5) изображен график зависимости модуля E вектора напряженности электрического поля, созданного одно-родно заряженной по поверхности сферой, от расстояния r до цен-тра сферы? E

r

E

r

E

r

E

0 0 0 0 r А) Б) В) Г)

Рис. 2.5

7. Две однородно заряженные сферы имеют общий центр. Их радиусы равны R и 3R, а заряды соответственно 3Q и (–2Q). Найдите модуль вектора напряженности на расстоянии 2R от центра сфер.

P

Рис. 2.4

15

8. Теорему Гаусса можно записать в дифференциальном виде (укажи-те ошибочную формулу): А)

0/div ερ=E В)

02

2

2

2

2

2

ερ

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zE

y

E

xE zyx

Б)

0ερ

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

zE

yE

xE zyx

Г) 0/ ερ=⋅∇ E

9. Укажите ошибочное утверждение, относящееся к теореме Гаусса. А) Теорема Гаусса в дифференциальной форме представляет

собой уравнение, которое позволяет рассчитать электриче-ское поле в заданной области пространства, если известны распределение зарядов в этой области и значения вектора напряженности на ее границе

Б) Теорема Гаусса математически выражается лишь одним уравнением, которого, вообще говоря, не достаточно для вычисления трех неизвестных функций ),,( zyxEx ,

),,( zyxEy и ),,( zyxEz – проекций вектора напряженности

В) Теорема Гаусса в электростатике выводится из закона Куло-на, однако, эта теорема, как показывает опыт, справедлива и в тех случаях, когда закон Кулона не применим. Поэтому теорема Гаусса является самостоятельным законом электро-динамики

Задачи Поток вектора напряженности и теорема Гаусса

2.1. Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найдите поток Φ вектора напряженности через круг радиуса R, плоскость которого перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей заряды, и проходит через его середину.

2.2. Найдите поток Φ вектора напряженности через круг радиуса R, плоскость которого перпендикулярна длинной однородно заряженной с

16

линейной плотностью λ нити, упирающейся одним из концов в центр круга.

2.3. Точечный заряд q расположен в центре куба. Найдите поток Φ вектора напряженности через одну грань куба.

2.4. Точечный заряд q расположен в одной из вершин куба. Найдите поток вектора напряженности через каждую грань куба.

Электрическое поле заряженной сферы

2.5. По поверхности сферы радиуса R однородно распределен заряд q. Определите напряженность электрического поля в произвольной точ-ке пространства вне сферы и внутри нее. Полученный результат пред-ставьте на графике )(rEr , где rE - проекция вектора напряженности на ось r, проведенную из центра сферы.

2.6. Какой максимальный заряд Q можно сообщить металлическому шарику диаметром d = 10 см, находящемуся в сухом воздухе вдали от других тел? Пробой сухого воздуха происходит при напряженности электрического поля E0 = 30 кВ/см.

2.7. Сфера и кольцо однородно заряжены: сфера – зарядом q, коль-цо – зарядом Q. Радиус кольца R больше радиуса сферы, а плоскость кольца перпендикулярна прямой, проходящей через центры сферы и кольца. Определите модуль F силы, действующей на кольцо со стороны сферы, если расстояние между их центрами равно l.

2.8. Две однородно заряженные сферы имеют общий центр (кон-центрические сферы). Их радиусы равны R и 3R, а заряды соответствен-но 3q и –q. Найдите модуль Е вектора напряженности электрического поля в точках, удаленных на расстояние r от центра сфер. Постройте график зависимости Е(r).

2.9. В сфере, заряженной однородно с поверхностной плотностью σ, сделано малое отверстие. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля в центре этого отверстия.

2.10. В сфере, заряженной однородно с поверхностной плотностью σ, сделано малое отверстие площади S. Найдите вектор E напряженно-сти внутри сферы в точке, положение которой относительно отверстия

17

определяется вектором r . Величина || r значительно превышает раз-меры отверстия.

2.11. По сфере радиуса R однородно распределен заряд Q. Найдите силу, действующую на единицу площади поверхности сферы, обуслов-ленную электростатическим взаимодействием.

Электрическое поле заряженного шара

2.12. По объему шара радиуса R однородно распределен заряд q. Определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вне шара и внутри него1. Полученный результат пред-ставьте на графике )(rEr , где rE - проекция вектора напряженности на ось r, проведенную из центра шара.

2.13. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плот-ность которого зависит от расстояния r до его центра как rβ=ρ , где β – постоянная. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r .

2.14. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плот-ность которого зависит от расстояния r до его центра как r/β=ρ , где β – постоянная. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r .

2.15. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плот-ность которого зависит от расстояния r до его центра как

)/1(0 Rr−ρ=ρ , где ρ0 – постоянная. Найдите модуль E вектора напря-женности электрического поля внутри и вне шара как функцию r.

2.16. Пространство между двумя концентрическими сферами, ра-диусы которых R1 и R2 (R1 < R2), заряжено с объемной плотностью

2/ rβ=ρ , где β – постоянная, r – расстояние до центра сфер. Найдите зависимость модуля E вектора напряженности от r.

2.17. Некоторая система заряжена сферически симметрично с объ-емной плотностью заряда )exp( 30 rα−ρ=ρ , где ρ0 и α - положительные

1 При решении задач этого раздела влиянием вещества на электрическое поле пренебречь

18

постоянные, r – расстояние до центра системы. Определите зависимость модуля E вектора напряженности электрического поля от расстояния r. Постройте график этой зависимости.

2.18. По объему шара радиуса R однородно распределен положи-тельный заряд Q, а по его поверхности также однородно распределен заряд –Q/2. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния r до его центра.

2.19. Шар радиусом R имеет заряд Q, однородно распределенный по его объему. Шар окружает среда, имеющая объемную плотность элек-трического заряда, зависящую от расстояния r до центра шара по закону

)2/( 2rRQ π=ρ . Определите зависимость модуля E вектора напряженно-сти электрического поля от расстояния r. Постройте график этой зави-симости.

2.20. Шар заряжен однородно с объемной плотностью ρ. В шаре сделана сферическая полость, положение центра которой определяется радиус-вектором b , проведенным из центра шара в центр полости. Найдите поле E в полости.

2.21. Найдите среднюю объемную плотность ρ зарядов атмосферно-го электричества, если известно, что напряженность электрического поля на поверхности Земли E1 = 100 В/м, а на высоте Н = 1,5 км напряженность падает до величины Е2 = 25 B/м. Радиус Земли R = 6370 км. Земля заряжена отрицательно, а атмосфера положительно.

Электрическое поле заряженной плоскости

2.22. Используя теорему Гаусса, покажите, что в любой точке поля, созданного бесконечной плоскостью, заряженной однородно с плотно-стью σ, величина напряженности электрического поля вычисляется по

формуле 02/ εσ=E . Введите ось Х перпенди-кулярно заряженной плоскости с началом от-счета на плоскости. Изобразите график Ex(x).

2.23. Три однородно заряженные тонкие пластины расположены параллельно друг другу. Площадь каждой пластины S, заряды пластин 2q, –2q и –q (рис. 2.6), расстояние между пла-

2d d 0 Х

–q –2q 2q

Рис. 2.6

19

стинами d значительно меньше их продольных размеров. Определите напряженность электрического поля между пластинами, постройте гра-фик зависимости )(xEx , где ось X перпендикулярна пластинам. Какая сила F действует на среднюю пластину со стороны крайних?

Электрическое поле заряженной пластины

2.24. Область пространства, ограниченная двумя параллельными друг другу бесконечными плоскостями, расположенными на расстоянии 2а друг от друга, заряжена однородно по объему с плотностью ρ. Ось X перпендикулярна этим плоскостям, начало координат (x = 0) находится посередине между плоскостями. Найдите зависимость от x проекции Ex вектора напряженности. Постройте график этой зависимости.

2.25. Пространство между двумя плоскостями, отстоящими друг от друга на расстояние 2a, заполнено зарядом, объемная плотность которо-го зависит от координаты x оси, перпендикулярной этим плоскостям, как || xα=ρ , где α - постоянная. Начало координат (x = 0) находится посередине между этими плоскостями. Найдите зависимость от x про-екции Ex вектора напряженности. Постройте график этой зависимости.

Электрическое поле заряженных нити и цилиндра

2.26. Прямолинейная бесконечная нить заряжена однородно с ли-нейной плотностью λ. Опираясь на электростатическую теорему Гаусса, определите модуль E вектора напряженности в зависимости от расстоя-ния r до нити.

2.27. Две скрещивающиеся взаимно перпендикулярные нити беско-нечной длины заряжены однородно с линейной плотностью λ. Найдите величину F силы их взаимодействия.

2.28. Поверхность бесконечно длинного кругового прямого цилинд-ра радиуса R заряжена однородно с линейной плотностью λ. Определи-те напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. Полу-ченный результат представьте на графике )(rE , где E - модуль вектора напряженности, r – расстояние до оси цилиндра.

2.29. Два длинных полых цилиндра имеют общую ось (коаксиаль-ные цилиндры) и однородно заряжены. Радиусы цилиндров равны R и

20

2R, а поверхностные плотности заряда соответственно 3σ и –σ. Найдите модуль Е вектора напряженности электрического поля в точках, уда-ленных на расстояние r от оси цилиндров. Постройте график зависимо-сти Е(r).

2.30. Область внутри бесконечно длинного кругового прямого ци-линдра радиуса R заряжена однородно с объемной плотностью ρ. Опре-делите напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. По-лученный результат представьте на графике )(rE , где E - модуль век-тора напряженности, r – расстояние до оси цилиндра.

2.31. Внутри кругового цилиндра, заряженного однородно с объем-ной плотностью ρ, имеется круговая цилиндрическая полость, причем оси полости и цилиндра параллельны. Положение оси полости опреде-ляется вектором a , проведенным от оси цилиндра к оси полости пер-пендикулярно осям. Считая цилиндр и полость очень длинными, найди-те поле E в полости.

2.32. Пространство между двумя коаксиальными длинными цилин-драми радиусами R1 и R2 ( 21 RR < ) заполнено электрическим зарядом с

объемной плотностью 2/ rb=ρ , где b – постоянная, r – расстояние до оси цилиндров. Определите зависимость от r величины E напряженно-сти электрического поля.

Теорема Гаусса в локальной форме

2.33. Вычислите дивергенцию напряженности E электрического поля точечного заряда в произвольной точке пространства в декартовой системе координат.

2.34. В некоторой области вектор напряженности электрического поля зависит от координат x, y, z прямоугольной системы координат по закону )( zyx ezeyexE ++α= , где α - известная постоянная, xe , ye и

ze - орты осей. Определите объемную плотность ρ заряда в данной об-ласти.

2.35. В некоторой области вектор напряженности электрического поля зависит от координат x, y, z прямоугольной системы координат по

21

закону zyx ebzeaxeaxyE222 ++= , где a и b – постоянные, xe , ye и ze

- орты осей. Определите объемную плотность ρ заряда в точке с коор-динатами czyx === .

2.36. В некоторой области объемная плотность заряда ρ = const. Из-вестны проекции вектора напряженности электрического поля на оси X и Y прямоугольной системы координат: 02/ ερ= xEx , 0=yE . Опреде-лите проекцию Ez вектора напряженности на ось Z.

2.37. Поле вектора E , направленного параллельно оси X, задано выражениями: 00 / ερ= xEx при ax ≤≤0 ; 00 / ερ= aEx при ax ≥ , где ρ0 и a – известные постоянные. Определите объемную плотность )(xρ заряда в произвольной точке пространства.

2.38. Поле вектора E задано выражениями: rE )2/( 00 ερ= при

Rr ≤≤0 ; rrRE )2/( 202

0 ερ= при Rr ≥ , где yx eyexr += - полярный

вектор, проведенный от оси Z в точку наблюдения, ρ0 и R – известные постоянные. Определите объемную плотность )(rρ заряда в произ-вольной точке пространства.

2.39. Поле вектора E задано выражениями: rE )3/( 00 ερ= при

Rr ≤≤0 ; rrRE )3/( 303

0 ερ= при Rr ≥ , где zyx ezeyexr ++= -

радиус вектор, ρ0 и R – известные постоянные. Определите объемную плотность )(rρ заряда в произвольной точке пространства.

Нетрадиционное использование теоремы Гаусса

2.40. Неподвижные точечные заряды +q и –2q расположены на оси X. Некоторая си-ловая линий исходит из заряда +q под углом α к оси X. Определите угол β, который со-ставляет эта силовая линия с осью X вблизи заряда –2q (рис. 2.7).

+q –2q X

α β

Рис. 2.7

22

2.41. На рис. 2.8 изображена картина силовых линий электрического поля точеч-ного заряда q, расположенного в однород-ном электрическом поле 0E (направления линий на рис. не указаны). Определите мак-симальный диаметр d «трубки» силовых линий, которые начинаются на заряде q.

3. Потенциал

Вопросы

1. При перемещении пробного заряда в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 силы поля совершили работу A12, а при его перемещении из точки 3 в точку 1 – работу A31 (рис. 3.1). Работа сил поля при перемещении этого проб-ного заряда из точки 2 в точку 3 равна:

А) A23 = A12 + A31 В) A23 = A12 – A31 Б) A23 = –A12 – A31 Г) A23 = –A12 + A31

2. При перемещении пробного заряда q = 1 нКл из точки 1 электроста-тического поля в точку 2 силы поля совершили работу A12 = 100 нДж. Определите разность потенциалов 21 ϕ−ϕ поля в точках 1 и 2.

3. Чтобы медленно переместить пробный заряд q = –100 нКл из точки 1 электростатического поля в точку 2 нужно совершить работу A12 = 100 нДж. Определите потенциал в точке 1, если потенциал в точке 2 равен нулю.

4. Расстояние между точками 1 и 2 однородного электростатического поля напряженностью E равно d. Разность потенциалов 21 ϕ−ϕ в этих точках: А) Ed=ϕ−ϕ 21 Б) Ed=ϕ−ϕ 12 В) Ed≤ϕ−ϕ || 21

d

Рис. 2.8

1 2 3

A12

A23 - ? A31 Рис. 3.1

23

5. Разность потенциалов 21 ϕ−ϕ в точках 1 и 2 электростатического

поля можно вычислить, если вектор напряженности E этого поля известен: А) в точках 1 и 2 Б) во всех точках произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2

6. На рис. 3.2 изображен график зависимости проекции вектора на-пряженности на ось X от координаты x. Найдите разность потен-циалов ϕ(x1) - ϕ(x2) в точках лежащих на оси X, если x1 = 0, x2 = 2 см.

0

1

2

-1

Ex, B/см

x, см1 2 3 Рис. 3.2

7. В точке A электростатического поля потенциал равен 10 В. Если при изменении начала отсчета потенциала потенциал в этой точке становится равным 2 В, то потенциалы во всех других точках поля: А) уменьшатся в 5 раз Б) уменьшатся на 8 В В) увеличатся в 5 раз

8. Укажите ошибочное утверждение. А) Потенциал определен с точностью до произвольной адди-

тивной постоянной Б) Потенциал в бесконечно удаленной от заряженных тел точ-

ке всегда равен нулю

9. Какие из приведенных ниже формул для потенциала соответствуют одному и тому же электростатическому полю? А) )/ln( 22 yxBA +=ϕ Б) )/ln(2 22 yxBA +=ϕ В) )/2ln( 22 yxBA +=ϕ

24

10. Потенциал электростатического поля в точке с координатами x = y = z = a равен ϕ. Чему равен модуль вектора напряженности электрического поля в этой точке? А) 3/ aE ϕ= Б) 2/ aE ϕ= В) aE /ϕ= Г) Не достаточно информации для ответа

11. Даны потенциалы ϕ1, ϕ2, ϕ3 и ϕ4 в четырех вершинах малого кубика с ребром а (рис. 3.3). Вектор напряженности электростатического поля внутри кубика примерно равен: А)

zyx eae

ae

aE 343121 ϕ−ϕ+ϕ−ϕ+ϕ−ϕ=

Б) zyx ea

ea

ea

E 143121 ϕ−ϕ+ϕ−ϕ+ϕ−ϕ=

ϕ1

Y

X Z ϕ2

ϕ3 ϕ4

ϕ

x, см0 1 2 3 4 5

Рис. 3.3 Рис. 3.4

12. В точках, лежащих на оси X, потенциал ϕ некоторого электростати-ческого поля зависит от координаты x, как показано на рис. 3.4. В какой точке проекция вектора напряженности на ось X максимальна по модулю? А) x = 1 см Б) x = 2 см В) x = 3 см

13. Определите модуль вектора напряженности электрического поля, потенциал которого зависит от координат x, y по закону

byax −=ϕ 2 , где a и b – постоянные.

14. Потенциал электрического поля заряда q в вакууме на расстоянии r от заряда можно рассчитать по формуле )4/( 0rq πε=ϕ , если заряд q является:

25

А) точечным Б) точечным и неподвижным В) точечным, неподвижным и положительным

15. Точечные положительные заряды q и 2q расположены в вершинах A и B прямоугольного равнобедренного треугольника АВС (С - вер-шина прямого угла). Во сколько раз уменьшится потенциал1 элек-трического поля в точке C, если знак меньшего по величине заряда изменить на противоположный?

16. Два точечных заряда +q и –q закреплены в точках с координатами (a/2, 0, 0) и (-a/2, 0, 0) соответственно. Определите работу A сил электрического поля, создаваемого этими зарядами, при удалении точечного заряда Q из начала координат в бесконечность.

17. На каком рисунке (рис. 3.5) изображен график зависимости потен-циала ϕ от расстояния r до центра однородно заряженной по по-верхности сферы?

r rr

ϕ

0 0 0 0 r

ϕ ϕ ϕ

А) Б) В) Г)

Рис. 3.5

18. По поверхности сферы радиуса R однородно распределен заряд Q. Разность потенциалов в точках 1 и 2, расположенных соответст-венно на расстояниях R/2 и 2R от центра сферы, равна: А) RQ 021 8/ πε=ϕ−ϕ Б) RQ 021 8/3 πε=ϕ−ϕ

19. На рис. 3.6 приведены несколько эквипотенциальных поверхностей (их сечения плоскостью чертежа) электрического поля двух разно-именных точечных зарядов. В каких точках проекция вектора на-пряженности этого поля на ось X равна нулю?

1 При рассмотрении заряженных тел и систем тел конечных размеров принято, что потенциал в бесконечно удаленной точке равен нулю

26

А

Б

X В

A

σ –2σB

d−d 3d 2d 0 X

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Задачи Разность потенциалов и потенциал электростатического поля.

Расчет электростатического поля: )(rE , затем )(rϕ

3.1. Два одноименных точечных заряда q1 = 20 нКл и q2 = 5 нКл на-ходятся на расстоянии r = 0,5 см друг от друга. Какую работу А совер-шают электрические силы при увеличении расстояния между зарядами в n = 5 раз?

3.2. Два точечных заряда величиной q = 1 нКл каждый находятся на расстоянии r1 = 50 cм друг от друга. Какую работу A следует совершить, чтобы медленно сблизить заряды до расстояния r2 = 5 см?

3.3. При перемещении точечного заряда q = 1 нКл из точки A в точку B силы электростатического поля совершают работу A1 = 200 нДж, а при перемещении точечного заряда (–2q) из точки A в точку C силы этого поля совершают работу A2 = –400 нДж. Определите разность потенциалов CB ϕ−ϕ поля в точках B и С.

3.4. Найдите разность потенциалов ϕ1 – ϕ2 в точках 1 и 2, которые расположены по разные стороны от бесконечной плоскости, заряженной однородно с поверхностной плотностью σ. Расстояние от точки 1 до плоскости равно l1, от точки 2 – l2.

3.5. Две тонкие параллельные пластины однородно заряжены с по-верхностными плотностями σ и –2σ . Расстояние между пластинами 3d значительно меньше продольных размеров пластин. Определите раз-

27

ность потенциалов BA ϕ−ϕ в точках А и В, положение которых указано на рис. 3.7.

3.6. Определите потенциал электрического поля бесконечной плос-кости, однородно заряженной с поверхностной плотностью σ. Результат представьте в виде графика зависимости )(xϕ , где ось X имеет начало отсчета (x = 0) на плоскости и перпендикулярна ей. Считайте, что ϕ(0) = 0.

3.7. Бесконечно длинная прямая нить заряжена однородно с линей-ной плотностью λ = 0,4 мкКл/м. Вычислите разность потенциалов в точках 1 и 2, если точка 2 находится дальше от нити, чем точка 1, в n = 2 раза.

3.8. Бесконечно длинный прямой цилиндр радиуса R однородно за-ряжен с объемной плотностью ρ. Пренебрегая влиянием вещества ци-линдра на электрическое поле, найдите разность потенциалов ϕ(0) – ϕ(R) в точках, расположенных на оси цилиндра и на его поверхности.

3.9. Два длинных коаксиальных цилиндра заряжены однородно с поверхностными плотностями σ1 и σ2. Радиусы цилиндров R и 2R. Оп-ределите разность потенциалов BA ϕ−ϕ в точках А и В, если первая из них расположена на расстоянии 3R/2, а вторая на расстоянии 3R от оси цилиндров. Решите задачу для заданных R, σ и:

а) σ1 = σ, σ2 = −σ; б) σ1 = σ, σ2 = σ; в) σ1 = 2σ, σ2 = σ.

3.10. Найдите потенциал ϕ электрического поля бесконечно длин-ной прямолинейной однородно заряженной с линейной плотностью λ нити, считая, что на расстоянии a от нити потенциал равен нулю. Ре-зультат представьте в виде графика зависимости )(rϕ , где r – расстояние до нити.

3.11. Найдите потенциал ϕ электрического поля внутри и вне беско-нечно длинного кругового прямого цилиндра, заряженного однородно по поверхности, считая, что на поверхности цилиндра потенциал равен нулю. Результат представьте в виде графика зависимости )(rϕ , где r – расстояние до оси цилиндра. Заряд единицы длины цилиндра равен λ.

3.12. Найдите потенциал ϕ электрического поля внутри и вне беско-нечно длинного кругового прямого цилиндра, заряженного однородно

28

по объему с плотностью ρ. Считайте, что на оси цилиндра потенциал равен нулю. Результат представьте в виде графика зависимости )(rϕ , где r – расстояние до оси цилиндра. Влиянием вещества цилиндра на электрическое поле пренебречь.

3.13. Найдите потенциал ϕ электростатического поля внутри и вне однородно заряженной по поверхности сферы. Радиус сферы R, заряд q. Результат представьте в виде графика зависимости )(rϕ , где r – расстояние до центра сферы.

3.14. Найдите потенциал ϕ электрического поля внутри и вне одно-родно заряженного шара. Радиус шара R, заряд q. Результат представьте в виде графика зависимости )(rϕ , где r – расстояние до центра шара. Влиянием вещества шара на электрическое поле пренебречь.

3.15. Принимая Землю за проводящий шар радиуса R = 6400 км, найдите заряд Q Земли, если величина напряженности электрического поля у поверхности Земли составляет Е = 130 В/м. Определите потенци-ал ϕ поверхности Земли, полагая ϕ(∞) = 0.

3.16. Заряд с плотностью ρ однородно распределен между концен-трическими сферическими поверхностями радиусов а и b (а < b). Най-дите модуль E вектора напряженности и потенциал ϕ в точке, удален-ной на расстояние r от центра сфер. Постройте графики E(r) и ϕ(r). Рас-смотрите предельные случаи: а → 0 и a → b.

Потенциал поля точечного заряда. Принцип суперпозиции. Расчет электростатического поля: )(rϕ , затем )(rE .

3.17. Три концентрические сферы радиусов R, 2R и 3R однородно заряжены по поверхности. Соответствующие заряды сфер Q1, Q2 и Q3. Определите потенциал каждой сферы. Изобразите примерный график зависимости потенциала электрического поля от расстояния до центра сфер. Решите задачу для заданных R, q и

а) Q1 = 3q, Q2 = –q, Q3 = –2q; б) Q1 = q, Q2 = q, Q3 = q.

29

3.18. Найдите разность потенциалов ϕ1 – ϕ2 в центрах двух одно-родно заряженных сфер одинакового радиуса R. Заряд первой сферы Q, второй (–Q). Расстояние между центрами сфер L > 2R.

3.19. Определите напряженность E электрического поля, потенци-ал которого зависит от координат x и y по закону (a и b, c - постоян-ные):

а) a=ϕ ;

б) )( 22 yxa −=ϕ ; в) axy=ϕ ;

г) )/ln( 22 ayxb +=ϕ ; д) rc=ϕ .

3.20. Силовые линии однородного электрического поля E парал-лельны плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB = l = 2 мм. Известны разности потенциалов в точках B, A и C, A: 0=ϕ−ϕ AB , =ϕ−ϕ AC 10 В. Найдите модуль Е вектора напряженности поля.

3.21. Известны разности потенциалов в точках A, С и B, C однород-ного электрического поля E : ϕA – ϕC = 3 В, ϕB – ϕC = 3 В. Точки A, B и С находятся на одинаковом расстоянии a = 3 мм друг от друга и лежат в одной плоскости с вектором E . Найдите модуль E вектора напряжен-ности.

3.22. Точечные заряды q1 и q2 расположены в точках с координата-ми (0,0,0) и (0, a, 0). Определите потенциал ϕ и вектор E напряженно-сти электрического поля этих зарядов в точке (x, y, 0).

3.23. Тонкое кольцо радиуса R однородно заряжено зарядом q. Най-дите потенциал электрического поля на оси кольца на расстоянии х от его центра. Воспользовавшись найденной зависимостью )(xϕ , опреде-лите напряженность электрического поля на оси кольца. Постройте графики зависимостей потенциала и модуля напряженности электриче-ского поля от координаты х.

30

3.24. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q1 и q2. Найдите разность потенциалов 21 ϕ−ϕ в центрах колец, отстоящих друг от друга на рас-стояние L, если R = 30 см, L = 52 см, q = 0,40 мкКл и

а) q1 = q, q2 = –q; б) q1 = 2q, q2 = q.

3.25. Круглая тонкая пластинка радиуса R однородно заряжена с по-верхностной плотностью σ. Найдите потенциал ϕ и модуль E вектора напряженности электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния l от ее центра. Рассмотрите также случаи 0→l и Rl >> .

3.26. Из тонкой пластины вырезано кольцо с внутренним радиусом a и внешним b. Кольцо однородно заряжено с поверхностной плотно-стью σ. Найдите потенциал ϕ и проекцию Ex вектора напряженности электрического поля на оси кольца, как функцию расстояния x от его центра.

3.27. На оси тонкого кольца радиуса R расположена однородно за-ряженная по поверхности сфера радиуса r. Заряд кольца Q, заряд сферы (–Q), расстояние между их центрами L. Найдите разность потенциалов в центрах кольца и сферы.

3.28. Тонкий прямой стержень длины l заряжен однородно зарядом q. Найдите потенциал ϕ электрического поля в точке, лежащей вне стержня на его оси на расстоянии r от ближайшего конца стержня. Вос-пользовавшись найденной зависимостью )(rϕ , определите модуль на-пряженности электрического поля E(r) в точках той же прямой. По-стройте графики зависимостей потенциала и модуля напряженности электрического поля от величины r.

3.29. Тонкий прямой стержень расположен вдоль оси X прямо-угольной системы координат XY. Координаты концов стержня (–a, 0) и (a, 0). Стержень заряжен с линейной плотностью ax /||0λ=λ , где λ0 – известная постоянная. Определите: а) потенциал ϕ(y) электрического поля в точках, лежащих на оси Y; б) модуль E(y) вектора напряженности в этих точках.

3.30. Тонкий прямой стержень длины 2a однородно заряжен с ли-нейной плотностью λ. Найдите потенциал ϕ(r) электрического поля как функцию расстояния r от центра стержня до точки прямой, перпендику-

31

лярной стержню и проходящей через его центр. Исследуйте полученное выражение при ar >> и ar

32

4. Диполь

Вопросы 1. Точечные заряды 2q и (-2q) расположены на оси x в точках с коор-

динатами: 0, 3a. Считая известными величины q и a, определите модуль p дипольного момента этой системы зарядов.

2. Точечные заряды 2q, q и (-3q) расположены на оси x в точках с ко-ординатами: 0, a, 2a. Считая известными величины q и a, определи-те модуль p дипольного момента этой системы зарядов.

3. Укажите направление вектора напряженности электрического поля в точке O, расположенной посередине между точечными диполями с моментами p и

p2− (рис. 4.1).

4. Потенциал электрического поля неподвижного точечного диполя с моментом p в точке, положение которой относительно диполя определяется вектором r , равен А)

204

1r

rpπε

=ϕ Б)

304

1r

rpπε

=ϕ

5. Для вектора напряженности электрического поля неподвижного точечного диполя с моментом p в точке, положение которой отно-сительно диполя определяется вектором r , справедливо выраже-ние: А)

θ+πε

= 230

cos314

1rpE

Б) θ+

πε= 2

30cos31||

41||

r

pE

6. Точечные диполи с дипольными моментами p и p3 расположены на оси X в точках с координатами x1 = –0,5 м и x1 = 1 м. Если проек-

p p2−А

Б В

O Г

Рис. 4.1

33

ция вектора p на ось X положительна, то потенциал в начале ко-ординат: А) положительный Б) отрицательный

7. Точки А, Б, В и Г расположены на равных рас-стояниях от точечного диполя, как показано на рис. 4.2. Расположите потенциалы ϕА, ϕБ, ϕВ и ϕГ электрического поля в этих точках в порядке возрастания, начиная с наименьшего.

8. Точки А, Б, В и Г расположены на равных рас-стояниях от точечного диполя, как показано на рис. 4.2. Расположите модули EА, EБ, EВ и EГ векторов напряженности электрического поля в этих точках в порядке возрастания, начиная с наименьшего.

9. Имеется тело произвольной формы, по объему и поверхности кото-рого распределен заряд Q. Дипольный момент тела равен p . По-тенциал ϕ электрического поля на большом расстоянии r от тела примерно равен: А) rQ 04/ πε=ϕ , если 0≠Q Б) 3

04/ rrp πε=ϕ , если 0=Q и 0≠p В) 0=ϕ , если 0=Q и 0=p

10. На диполь со стороны электрического поля напряженностью E действует момент сил: А) ][ EpM = Б) ][ pEM =

11. Два диполя расположены на оси Х так, что векторы их дипольных моментов направлены в положительном направлении оси X. В этом случае: А) диполи притягиваются друг к другу Б) диполи отталкиваются друг от друга В) сила взаимодействия диполей равна нулю

p

А Б

В

Г

Рис. 4.2

34

12. Энергия взаимодействия диполя с электрическим полем напряжен-ностью E равна: А) EpW −= Б) EpW =

Задачи Дипольный момент. Электрическое поле точечного диполя

4.1. Найдите дипольный момент p тонкого стержня длины l, ли-нейная плотность заряда которого зависит от расстояния x до одного из его концов как )2( lxa −=λ , где a – положительная постоянная.

4.2. Точечный диполь с электрическим моментом p, ориентиро-ванный в положительном направлении оси X, находится в начале коор-динат. Найдите потенциал в точках, лежащих на оси X. Воспользовав-шись найденной зависимостью ϕ(x), определите проекцию Ex вектора напряженности электрического поля на ось x в точках, лежащих на этой оси.

4.3. Выведите формулу 302 4/])/()(3[ rprrrpE πε−⋅= , описываю-

щую поле точечного диполя с дипольным моментом p в точке, положе-ние которой относительно диполя определяется вектором r .

4.4. Точечные заряды (–q), q, (–q) и q расположены на оси X и имеют соответственно координаты: –2a, –a, a, 2a. Найдите дипольный момент системы зарядов и потенциал электрического поля этих зарядов в точке с координатами x = –100a, y = 0.

4.5. Точечные заряды (–2q), 2q, q, (–q) и расположены на оси X и имеют соответственно координаты: –2a, –a, a, 2a. Найдите дипольный момент системы зарядов и потенциал электрического поля этих зарядов в точке с координатами x = –b, y = b, если b>>a.

4.6. Определите потенциал ϕ в точке O, расположенной на равных расстояниях l = 1 м от точечного заряда q = 1 нКл и точечного диполя с моментом 910|| −=p Кл⋅м, если вектор p дипольного момента сона-правлен с вектором r , проведенным от диполя в точ�