1

المحتويات مدخل إلى فصل "حارات األعداد".....................2العدد0يقيم خيمته..............................10 أ. 11 مدينة األعداد تتطّور............................. ب. 12 جلان احلارات واملجلس البلدي..................... ج.

الساكن0يناضل من أجل حقوقه...................13 د. 14 السّكان يتنّقلون من حارة إلى أخرى................ هـ. مسابقات......................................16 و. تسالي عددية..................................17 ز.

19 مدينة األعداد الكبرى............................ ح، 20 قائمة مفاهيم.................................. ח.

21 ........................................................................ »U�(« v�≈ …œuŽ

لوازم الفصلخريطة حارات األعداد )في آخر كتاب التلميذ( -

ميكن االستعانة باخلريطة في سير الفعاليات في الفصل.

حارات األعدادمرýد املعلم

الصn الساد” الكتاب 23

مركe التكنولوجيا التربوية

مÓساراترياضيات للمدرسة االبتدائية

2

†

مدخل إلى فصل "حارات األعداد"

مقدمةهذا الفصل هو استمرار للفصل "األعداد والعمليات احلسابية - توّسع وتعّمق".

يوصى بتخصيص حوالى 8 ساعات لتدريس هذين الفصلني مًعا.

أحد األهداف املركزية من تعليم الرياضيات في املدرسة االبتدائية، هو تطوير فهم مفهوم العدد. هذا ما ُقمنا به فعًل على مدى كل السنني في الصفوف من األّول حتى السادس. هذا الفصل - حارات األعداد

- إلى حّد ما، ُيكمل وُيجمل هذا العمل.

يتناول هذا الفصل متثيلت مختلفة لألعداد. نستخدم في هذا الفصل املصطلح اسم العدد لوصف متثيل العدد. هدف الفصل أن يطّور التلميذ قدرتهم على تشخيص العلقة بني التمثيلت املختلفة،

واستخدام امللئم منها في احلاالت واألوضاع املختلفة.

كل الفعاليات في هذا الفصل تعتمد على معلومات سابقة من املفروض أن يكون تلميذ الصفوف السوادس طّوروها خلل التعلّم في املدرسة االبتدائية.

املعلومات السابقة اللزمة لتعلّم هذا الفصل هي:مفاهيم رياضية )انظروا القائمة في الصفحة 55 في كتاب التلميذ( أ.

مقارنة أعداد مختلفة ب. أشكال كتابة مختلفة للعدد. ج.

مستقيم األعداد د. اختزال وتوسيع الكسور هـ.

العمليات احلسابية األربع في األعداد املختلفة. و.

خلفية

في رياضيات املدرسة االبتدائية نتناول أربع مجموعات من األعداد:األعداد الطبيعية )وُيرمز إليها عادًة باحلرف N(: األعداد الصحيحة املوجبة أ.

األعداد الصحيحة )Z(: األعداد الصحيحة املوجبة )الطبيعية(، 0 واألعداد الصحيحة السالبة ب.

†

األعداد النسبية )Q(: كل األعداد التي ميكن متثيلها بواسطة كسر بسيط ج.

)حيث m صحيح، َو n صحيح، شرط أن ال يساوي صفًرا(. األعداد احلقيقية )R(: األعداد النسبية واألعداد غير النسبية )مثًل، 5 (. د.

3

مدخل إلى فصل "حارات األعداد"

بني مجموعات األعداد املختلفة هناك علقات احتواء، هي: R )مجموعة األعداد احلقيقية( حتوي N حتوي Z مجموعة األعداد الصحيحة(؛( Z حتوي Q مجموعة األعداد النسبية(؛( Q املجموعة

)مجموعة األعداد الطبيعية(.

ميكن متثيل هذه العلقات في مخّطط هكذا:ميكن أن نعبّر عن ذلك هكذا:

عند االنتقال من متثيل إلى متثيل، مهم أن نؤّكد أننا بذلك نقوم بتوسيع مجموعات األعداد:كل عدد صحيح ميكن متثيله ككسر بسيط. مثًل: .1

، وهناك كسور أخرى ال بني الكسور البسيطة هناك ما ميكن متثيله كعدد صحيح، مثًل: .2. ميكن متثيلها كعدد صحيح، مثًل: ، أو كعدد عشري دوري، مثًل: كل كسر بسيط ميكن متثيله إما كعدد عشري نهائي، مثًل .3

كل عدد عشري نهائي أو دوري ميكن متثيله ككسر بسيط )أو عدد مخلوط(، مثًل: .4

التلميذ في املدرسة االبتدائية لم يتناولوا األعداد العشرية الدورية إال قليًل - في فصل ضرب وقسمة األعداد العشرية في كتاب التلميذ 22 للصف السادس )الصفحات 144-142(.

أعداد عشرية نهائية أو ال نهائية دوريةكل كسر بسيط مقامه 10، 100، 1000 وما شابه ذلك )من قوى 10( ميكن أن جند له عدًدا نهائيًا

يساويه، مثًل: الكسور التي مقامها ليس من قوى 10، ُتقسم إلى مجموعتني: مجموعة كسور تساوي أعداًدا عشرية

نهائية، مجموعة كسور أخرى تساوي أعداًدا عشرية ال نهائية دورية. العدد العشري الل نهائي الدوري هو متثيل عشري لكسر بسيط.

نشير إلى أن كل عدد عشري نهائي ميكن متثيله كعدد عشري دوري ال نهائي، دورته 0، مثًل:.0.3 = 0.30000...

ميكن االنتقال من متثيل كسر بسيط إلى عدد عشري بعدة طرق:ميكن أن نفحص إذا كان باإلمكان توسيع الكسر املعطى إلى كسر آخر مقامه من قوى 10.

مثًل:

4

مدخل إلى فصل "حارات األعداد"

لتوسيع الكسر املعطى إلى كسر مقامه من قوى 10، ميكن حتليل مقام الكسر املعطى إلى العوامل، ثم نفحص إذا كان باإلمكان توسيعه إلى قوى 10.

. نحلّل مقامه 40 إلى العوامل األّولية: مثًل: معطى الكسر إذا كانت العوامل األّولية للمقام هي 2 َو 5 فقط، ميكن توسيع الكسر إلى كسر مقامه من قوى 10. أ.

مثال:

إذا كان في العوامل األّولية لتحليل مقام الكسر املعطى عوامل أخرى تختلف عن 2 أو عن 5 - ب. ليس باستطاعتنا أن منثّل الكسر املعطى كعدد عشري نهائي. في مثل هذه احلالة، ميكننا فقط

متثيل الكسر املعطى كعدد عشري ال نهائي دوري. مثال:

باستطاعتنا اآلن أن نّدعي: كل كسر بسيط ميكن كتابته إما كعدد عشري نهائي، أو كعدد عشري ال نهائي دوري. •

من الناحية التطبيقية، باستطاعتنا تنفيذ ذلك بواسطة اخلوارزمية املتّبعة في القسمة الطويلة. باستطاعتنا أيًضا أن نبرهن االّدعاء العكسي: •

كل عدد عشري نهائي أو ال نهائي دوري ميكن كتابته ككسر بسيط. بإمكاننا اآلن أن نعطي معنى للعدد غير النسبي:

العدد املمثَّل كعدد عشري ال نهائي وغير دوري هو عدد غير نسبي.

سير التعليم في الفصلالفصل حارات األعداد هو فصل مراجعة، كل املوضوعات فيه سبق أن ُعلّمت في فصول سابقة، وال

توجد فيه مفاهيم جديدة أو عمليات جديدة.هذا الفصل يختلف في مبناه وفي أهدافه عن معظم الفصول التعليمية في سلسلة مسارات. معظم

الفصول مبنية على هذا النحو: كل فصل يتناول تعليم مجال أعداد معرَّف، أو تعليم عمليات حسابية معيّنة في مجال أعداد معطى، أو تعليم صفات معيّنة لألعداد في املجال املعطى. املفاهيم اجلديدة ُتعلَّم

بشكل تدريجي. باإلضافة إلى ذلك، وقبل البدء في تعليم مفهوم جديد أو صفة جديدة، تظهر عادًة أوراق للتذكير، هدفها مراجعة مفاهيم ُعلّمت في السابق.

في فصل حارات األعداد حاولنا أن نحيد عن هذا املبنى. يتناول التلميذ هنا، في نفس الوقت، مجاالت أعداد مختلفة، عمليات حسابية مختلفة، وصفات متنّوعة لألعداد في موضوعات مختلفة سبق أن ُعلّمت

في السابق.الهدف املركزي من هذا الفصل هو التمّرس مبا هو متشابه ومبا هو مختلف بني مجموعات األعداد

املختلفة، وأن "يشاهدوا" عالم األعداد بكامله بشكله الواسع واملِرن.

دورة

5

مدخل إلى فصل "حارات األعداد"

املوضوعات في فصل "حارات األعداد":

باستطاعتكم في هذا الفصل أن جتدوا أيًضا تطّرًقا إلى أفكار رياضية أخرى، مثل:•الصفات اخلاّصة للعدد 0

•املجموعات•علقات االحتواء بني املجموعات

•مجموعة من حّد واحد•عدد احلدود في مجموعة؛ أكبر حّد؛ أصغر حّد

•تقريب األعداد•األعداد السالبة، مبا في ذلك متهيد لبناء مفاهيم جديدة يتعلّمها التلميذ في املرحلة اإلعدادية: القيمة

املطلقة، األعداد املضادة.

قبل كل فعالية، يوصى بأن يفحص املعلّمون إذا كانت املوضوعة اخلاصة بالفعالية سبق أن ُعلّمت في الصف. حتى إذا لم ُتعلَّم هذه املوضوعة من قبل، قد يتمّكن بعض التلميذ من مواجهتها. إذا كان الوقت ال يسمح بتناول كل فعاليات الفصل، ميكن التركيز على قسم منها فقط. ليس من الضروري تناول كل

بنود الفصل بالتسلسل. باإلمكان القيام بالفعاليات كمراجعة وكإثراء خلل تعليم موضوعات أخرى.

مجاالت األعداد•األعداد الطبيعية

•الكسور البسيطة•األعداد املخلوطة•األعداد العشرية

•أعداد على مستقيم األعداد•األعداد املوّجهة )األعداد املتضادة(

طرق كتابة مختلفة لنفس العدد• من عدد عشري نهائي، طبيعي أو مخلوط إلى كسر بسيط

• من عدد مخلوط، طبيعي أو كسر بسيط إلى عدد عشري• من كسر بسيط إلى عدد طبيعي )إذا أمكن(

• من كسر بسيط إلى عدد مخلوط )إذا أمكن(• من عدد عشري إلى عدد طبيعي )إذا أمكن(

العمليات احلسابية األربعفي األعداد الطبيعية، املخلوطة والعشرية؛ في الكسور البسيطة

املعّدل• حسابات )في أعداد من أنواع مختلفة(

• صفات املعّدل

6

مدخل إلى فصل "حارات األعداد"

اإلطار القصصياإلطار القصصي للفصل هو مدينة فيها حارات من األعداد. جتري في هذه املدينة أحداث مختلفة، مثل بناء حارات، اختيار أعضاء املجلس ومسابقات، وكل وحدة تتناول حدًثا معيّنًا. عناوين الوحدات أيًضا

هي عناوين "قصصية" وليست رياضية.ُوصفت في هذا الفصل سّت حارات. العدد الذي ميكن كتابته بأشكال مختلفة )مثًل، كسر بسيط أو

عدد عشري( ينتمي في كل مّرة إلى حارة أخرى بحسب شكل كتابته.اخلريطة أدناه موجودة في آخر كتاب التعليم، وميكن االستعانة بها أثناء العمل إذا نسي التلميذ تعاريف احلارات. جرى في اخلريطة إحصاء بضعة ممثّلني فقط من كل حارة )كأمثلة(، ومواقع

احلارات في اخلريطة كانت عفوية وال ترمز إلى أية علقات بني مجموعات األعداد.

هذه هي احلارات السّت املعرَّفة في الفصل:

الحارة أ - األعداد الصحيحة الموجبة:العدد املوجب هو كل عدد أكبر من 0. بحسب هذا التعريف، العدد 0 ال ينتمي إلى هذه احلارة ألنه عدد

ليس موجبًا.اسم آخر لألعداد الصحيحة املوجبة هو األعداد الطبيعية.

الحارة ب - الكسور البسيطة الموجبة: هي كل األعداد التي ميكن كتابتها كحاصل قسمة عدد طبيعي على عدد طبيعي. من هذا التعريف

(، على نستنتج أن الكسر ليس كسًرا بسيًطا موجبًا )ألن 0 ليس عدًدا طبيعيًا(. بحسب تعريف حارة الكسور البسيطة املوجبة، فهي حتتوي على كسور أكبر من 1 )مثل .) (، وعلى كسور تساوي أعداًدا صحيحة )مثل كسور أصغر من 1 )مثل

7

مدخل إلى فصل "حارات األعداد"

الحارة ج - األعداد المخلوطة الموجبة:على الرغم من أننا لم نفّصل ذلك في تعريف احلارة، فإننا نقصد األعداد املكتوبة كدمج بني عدد

صحيح موجب وكسر بسيط موجب أصغر من 1.العدد 0 نفسه ال ينتمي إلى هذه احلارة ألنه ليس موجبًا.بحسب هذا التعريف، األعداد من النوع ال تنتمي إلى احلارة ج. واضح أيًضا أن

الحارة د - األعداد العشرية الموجبة:أمثلة مِلثل هذه األعداد: 3.5، 0.8، 4.0، 1.25. وعلى الرغم من أن العدد 0 ميكن كتابته كعدد عشري

0.0، إال أنه ال ينتمي إلى احلارة د ألنه ليس موجبًا.

الحارة هـ - العدد 0:العدد 0 ال ينتمي إلى أي حارة من احلارات أ - د، ألنه ليس عدًدا موجبًا.

( أو كعدد ( أو كعدد مخلوط ) مبا أن 0 ليس عدًدا موجبًا - حتى إذا كتبناه ككسر بسيط )عشري )0.0(، يظل ال ينتمي إلى احلارات أ - د التي كل سّكانها هي أعداد موجبة. مبا أن العدد 0

أيًضا ليس عدًدا سالبًا، فهو ال ينتمي أيًضا إلى احلارة و.

هناك انطباعات خاطئة لدى التلميذ، منها مثًل أن "0 ليس عدًدا" أو أن "0 هو موجب وسالب في نفس الوقت". نوصي بأن يقوم املعلّم بإجراء محادثة في هذه املوضوعة مستعينًا مبستقيم

األعداد:

بواسطة مستقيم األعداد ميكن متثيل هذا االّدعاء: 0 هو عدد )نقطة "قانونية" على املستقيم(، وهو ليس موجبًا )األعداد املوجبة تقع على ميينه( وليس سالبًا )األعداد السالبة تقع على يساره(.

الحارة و - األعداد السالبة:األعداد السالبة هي األعداد األصغر من 0، ولذلك ال ينتمي العدد 0 إلى هذه احلارة )فهو ليس

عدًدا سالبًا(. في فصل حارات األعداد سيتّضح للتلميذ من أن نفس العدد ميكن كتابته بأشكال مختلفة، وبكل شكل من هذه األشكال ينتمي إلى حارة أخرى. مثًل العدد 15 ينتمي إلى احلارة

، سينتمي إلى احلارة ب أ )حارة األعداد الطبيعية(، ولكن إذا ُكتب بشكل كسر بسيط أو )حارة الكسور البسيطة املوجبة(، وإذا ُكتب بكتابة عشرية، 15.0، سينتمي إلى احلارة د ـحارة

األعداد العشرية املوجبة(.

األعداد املوجبة األعداد السالبة

8

مدخل إلى فصل "حارات األعداد"

صفات المجموعات العدديةمجموعات نهائية أ.

في املجموعة التي فيها عدد محدود من األعداد، باستطاعتنا أن جند فيها أكبر عدد، وأيًضا أصغر عدد. مثًل، لِنتمّعن في مجموعة األعداد

أكبر عدد فيها )على أقصى اليمني على مستقيم األعداد( هو 1، وأصغر عدد فيها )على أقصى اليسار على مستقيم األعداد( هو 4-.

مجموعات ال نهائية ب. في املجموعات الل نهائية ال يوجد دائًما أكبر عدد أو أصغر عدد.

نفحص بضعة أمثلة:

مجموعة األعداد الطبيعية: •

أصغر عدد في هذه املجموعة )على أقصى اليسار على مستقيم األعداد( هو العدد 1، لكن ال يوجد في هذه املجموعة أكبر عدد، ألنه لكل عدد طبيعي ميكن إيجاد عدد طبيعي آخر أكبر منه، يقع على

ميينه على مستقيم األعداد.

مجموعة األعداد الصحيحة السالبة: •

الوضع في هذه املجموعة معكوس: أكبر عدد فيها )على أقصى اليمني على مستقيم األعداد( هو العدد 1-، لكن ال يوجد في هذه املجموعة أصغر عدد، ألنه لكل عدد صحيح سالب ميكن إيجاد

عدد صحيح سالب آخر أصغر منه، يقع على يساره على مستقيم األعداد.

مجموعة األعداد العشرية املوجبة: •كل األعداد املوجودة في هذه املجموعة تقع على ميني العدد 0 على مستقيم األعداد. ال يوجد في هذه املجموعة أكبر عدد، ألنه لكل عدد عشري موجب ميكن إيجاد عدد عشري موجب آخر أكبر

منه، يقع على ميينه على مستقيم األعداد. في هذه املجموعة أيًضا ال يوجد أصغر عدد، ألننا، إذا فّكرنا، أن العدد a هو أصغر عدد:

:a ولذلك فهو أصغر من ،a فإننا نستطيع أن جند عدًدا عشرًيا آخر يقع بني 0 َو ،

، وهكذا إلخ.

مثال: العدد 0.001. على الرغم من أنه عدد صغير وقريب جًدا من 0، إال أن العدد 0.0001 أصغر منه وأقرب إلى 0.

مجموعات من عدد واحد ج. في املجموعات املكّونة من عدد واحد، a، هذا العدد الوحيد هو أكبر عدد في املجموعة، ألنه ال

يوجد في املجموعة عدد أكبر منه، ويقع على ميينه على مستقيم األعداد. هذا العدد هو أيًضا أصغر عدد في املجموعة ألنه ال يوجد في املجموعة عدد أصغر منه، ويقع على يساره على مستقيم األعداد.

. مثال ملثل هذه املجموعة: احلارة

9

مدخل إلى فصل "حارات األعداد"

التمثيالت املختلفة لألعدادنرجو في أعقاب هذا الفصل، أن يطّور التلميذ قدرتهم، في احلاالت املختلفة، على اختيار أسهل متثيل

للعدد لكل حالة.

مثال 1: مقارنة أعدادنقارن العدد بالعدد ...0.282828:

...0.282828

. من هنا: نحّول الكسر البسيط إلى عدد عشري: ...0.3333 =

مثال 2: جمع عددين

+

نحّول العدد املخلوط إلى الكسر البسيط

+ + نحّل:

10

أ. العدد 0 يقيم خيمته )الصفحة 32 في كتاب التلميذ(

-1 0 1

يبدأ الفصل بنقاش صغير عن العدد 0.0 هو عدد ككل األعداد.

للعدد 0 صفات خاصة. مثًل: 0 هو عدد زوجي )الفعالية 2 البند ب(، ألنه ُيقسم على 2 بدون باٍق •)0 = 2 : 0(، وميكن أيًضا متثيله كحاصل جمع مضاَفني صحيحني متساويني )0 = 0 + 0(.

للعدد 0 مكان على مستقيم األعداد: إذا علّمنا على مستقيم األعداد كل األعداد الصحيحة - يقع •العدد 0 بني 1- َو 1، على مسافة متساوية منهما:

ميكن تنفيذ عمليات حسابية متنّوعة مع العدد 0، مثًل: 0 = 0 × 3 7 = 0 - 7 7- = 7 - 0 •. 0 × 2 = 0 0 : 4 = 0 3 + 0 = 3 0 + 4 = 4

لكن من املهم أن نتذّكر دائًما أنه ال ميكن أن نقسم على 0. أسهل تعليل يشرح هذا االّدعاء في هذه السّن، هو بواسطة عملية الضرب. مثًل: 0 : 3 ، ال معنى

للقسمة على 0، ألنه ال يوجد عدد ميكن ضربه في 0 لنحصل على 3.

11

في هذه الوحدة نوّسع مدينة األعداد لكل األعداد املوجبة )بتمثيل العدد الصحيح والكسر(. لكن، من أجل النقاش، فإن توسيع املدينة يتم بإقامة حارتني: حارة األعداد الصحيحة املوجبة )التي تسّمى

أيًضا األعداد الطبيعية( وحارة الكسور املوجبة.في حارة األعداد الصحيحة املوجبة ال يوجد عددان متساويان، بينما في حارة الكسور املوجبة يوجد

. 32 = 64 =

1812 أعداد متساوية، أي هناك متثيلت كثيرة لنفس العدد. مثًل:

هناك أعداد كثيرة باستطاعتها أن تنتمي إلى هاتني احلارتني )األعداد الصحيحة املوجبة والكسور ،244 أو

61 املوجبة(، ألن كل عدد صحيح ميكن متثيله ككسر. مثال: العدد 6 ميكن متثيله ككسر مثل

وهناك ال نهاية من هذه التمثيلت.. 83 َو

25 باملقابل، هناك كسور ال ميكن متثيلها كأعداد صحيحة، مثًل:

لذلك كل عدد صحيح موجب باستطاعته أن يسكن في حارة الكسور املوجبة، ولكن ليس كل عدد هو كسر موجب باستطاعته أن يسكن في حارة األعداد الصحيحة املوجبة.

بلغة الرياضيات نستطيع القول إن مجموعة الكسور املوجبة حتوي حارة األعداد الصحيحة املوجبة.مهم االنتباه إلى أن هاتني املجموعتني هما ال نهائيتان، ولكن في حارة األعداد الصحيحة املوجبة ميكن تعريف مجموعة نهائية بتحديد مجال معنّي من األعداد )من... حتى...(، بينما ال نستطيع ذلك في حارة

الكسور.مثال: في حارة األعداد الطبيعية ميكننا تعريف مجموعة كل األعداد الصحيحة األكبر من 4 واألصغر

من 9، فنحصل بالضبط على أربعة أعداد: 5, 6, 7, 8.أما إذا حاولنا تعريف مجموعة كل الكسور األكبر من 4 واألصغر من 9، فنحصل على ال نهاية من

األعداد. ُتعرض أمثلة مستوحاة من هذه األفكار في الفعاليات التي في الصفحة 33.

في الصفحتني 34-35 يتمّرس التلميذ بفعاليات فيها أعداد من احلارتني أعله، أي فعاليات في أعداد موجبة بتمثيلني: أعداد صحيحة وكسور بسيطة.

في هذه الفعاليات يتمّرس التلميذ أيًضا بحساب املعّدل مع فهم الفكرة بأنه إذا كان معّدل N أعداد هو .M في N األعداد املعطاة هو حاصل ضرب N فإن معنى ذلك أن حاصل جمع ،M

في الفعالية 3 في الصفحة 34 ُتعرض عشرة أعداد معّدلها 5، ومعنى ذلك أن حاصل جمعها يجب أن يساوي 50. في هذه الفعالية ُيطلب من التلميذ أن يحسبوا حاصل جمع األعداد الثمانية املعطاة )40( ليقّرروا كم ينقصهم للتوّصل إلى 50. هذا الفرق )10( يجب أن يساوي حاصل جمع العددين

)"الصديقني في القصة( اللذين يجب ضّمهما إلى األعداد الثمانية. معنى ذلك أنه ميكن ضّم أي عددين موجبني، بتمثيل صحيح أو كسر، على أن يكون حاصل جمعهما هو 10.

في الفعالية 5 في الصفحة 35 يوجد تأكيد على تعّدد األجوبة املمكنة، وعلى الفكرة العامة بأن عدد األجوبة في بعض احلاالت هو نهائي وميكن تفصيلها بالكامل، إال أن هناك حاالت عدد األجوبة فيها

هو ال نهائي.أمثلة: ميكن إحصاء كل اإلمكانيات التي فيها حاصل جمع عددين طبيعيني هو 27، وباإلمكان حتى

تسجيلها بشكل منهجي يؤّكد أن كل اإلمكانيات قد مت إحصاؤها )26+1, 25+2, 24+3 إلخ(.75 هو ال نهائي )البند ج(. مقابل ذلك، عدد اإلمكانيات للحصول على حاصل اجلمع

كذلك هناك إمكانية أيًضا لتسجيل ال نهاية من اإلمكانيات التي فيها حاصل جمع كسرين هو 27، لكننا . 75 ال نستطيع أن نعطي، ولو مثااًل واحًدا، حلالة فيها حاصل جمع عددين طبيعيني هو

ب. مدينة األعداد تتطّور )الصفحات 33-35 في كتاب التلميذ(

12

في هذه الوحدة ُتضاف مجموعتان من األعداد: األعداد املخلوطة املوجبة )احلارة ج( واألعداد العشرية املوجبة )احلارة د(. إضافة هاتني املجموعتني جعلت كل أنواع األعداد املوجبة أن تكون معروضة. من الناحية الرياضية، باستطاعتنا أن نقول في الواقع إن كل األعداد احلقيقية أصبحت

معروضة، ألن األعداد العشرية تضيف أيًضا األعداد غير النسبية إلى كل األعداد النسبية التي ُوجدت حتى اآلن.

بطريقة التمثيل العشري ميكن متثيل األعداد الصحيحة )مثًل: 3.0, 102.00(، وكل الكسور )مثًل: 16 هو .... 0.1666، وهو عدد عشري هو 0.25، والتمثيل العشري للكسر

14 التمثيل العشري للكسر

دوري(، وبالطبع، ميكن أيًضا متثيل األعداد املخلوطة بالطريقة العشرية )مثًل: التمثيل العشري للعدد 2 هو 2.6(. 35 املخلوط

األعداد غير النسبية ميكن متثيلها كأعداد عشرية ال نهائية وغير دورية )مثًل: .)0.101001000100001......

مبا أن هيئات كل األعداد املوجبة أصبحت موجودة في مجال تناول التلميذ، فإن الفعالية في الصفحة 36 تؤّكد دمج هذه الهيئات من خلل العمل على ترتيب األعداد.

لكي نقّرر ما هو ترتيب األعداد املعطاة، ميكن االستعانة بأماكنها على مستقيم األعداد. كلما كان العدد إلى اليمني أكثر يكون أكبر.

ميكن احلّل بطريقة أخرى بتنفيذ مترين طرح بني العددين املعطيني: أذا أعطي عددان موجبان a َو b، وقمنا فيهما بالطرح a - b، فإذا كانت نتيجة الطرح موجبة

.b > a وإذا كانت نتيجة الطرح سالبة فإن ،a > b فإن

ج. جلان احلارات واملجلس البلدي )الصفحة 36 في كتاب التلميذ(

13

في هذه الوحدة ُيعرض الصفر على أنه رقم، وكيف أن تغيير مكانه )منزلته( في العدد يغيّر العدد.تبدأ الفعاليات مبجموعة األعداد الصحيحة املوجبة )الصفحة 37(. إذا أعطي أي عدد وأضفنا إليه الرقم صفر، في كل مّرة في مكان )منزلة( آخر، فإن الرقم صفر يحصل على قيمة املنزلة، ونتيجة

لذلك تتغيّر أيضا ِقيَم األرقام األخرى في العدد.مثًل، إذا أعطي العدد 345 وأضفنا الرقم صفر على ميينه، نحصل على العدد 3450. أي أن العدد املعطى

كبُر 10 مّرات، والفرق بني العددين أصبح 3,105 )345-3,450(. إذا أضفنا إلى نفس العدد، 345، الرقم صفر بني الرقمني 4 َو 5، نحصل على العدد 3,405. هذا العدد ليس أكبر 10 مّرات من العدد املعطى،

والفرق بينه وبني العدد املعطى هو 3,060 )3,405-345(.بشكل عام: كلما "أزحنا مكان الصفر إلى اليسار أكثر"، تصغر النسبة بني العدد اجلديد الناجت والعدد

املعطى، وكذلك أيًضا الفرق بني العدد الناجت والعدد املعطى.مهم أن نشير، مبدئيًا، أنه ميكن كتابة الرقم 0 على يسار العدد، وهذا ال يغيّر من قيمته، ولذلك من

املتّفق على عدم كتابته.في فعاليات الصفحة 37 يوصى بالطلب من التلميذ بأن يفحصوا أمثلة مختلفة، وأن يحاولوا التوّصل

إلى تعميم.

في الصفحة 38 نتناول إضافة الرقم 0 إلى كسر معطى. قصة اإلطار تقّدم 0 كمنضّم إلى حارة الكسور املوجبة. يوصى بالطلب من التلميذ أن يحاولوا فهم ما هو مدى تأثير اإلضافة في احلاالت

املختلفة، كإضافة الصفر إلى البسط، إضافة الصفر إلى املقام وإضافة الصفر أيًضا إلى البسط واملقام مًعا. مهم االنتباه إلى احلاالت التي فيها البسط أو املقام هو عدد متعّدد األرقام.

في الصفحة 39 ننتقل إلى تناول األعداد املخلوطة املوجبة واألعداد العشرية املوجبة.نفحص ماذا يحدث عندما ينضّم 0 إلى أحد األعداد في كل حارة من هاتني احلارتني.

مهم أن نصغي إلى شروح التلميذ لكل ظاهرة من الظواهر التي يكتشفونها أثناء التجربة والفحص.

الفعالية 6 تبحث إضافة الرقم 0 في منازل مختلفة في عدد عشري موجب.إضافة الصفر إلى "أقصى" طرَفي العدد ال تغيّر العدد، ومع ذلك يجب االنتباه إلى أن أسباب ذلك •

مختلفة. إضافة الرقم صفر على يسار العدد )03.572(، أي أن اإلضافة جاءت على األعداد الصحيحة، -

فهي ال تغيّر العدد، ألن كل رقم حافظ على قيمته. لذلك يوجد اّتفاق يقضي بأن إضافة الرقم صفر على يسار العدد غير متّبعة.

إضافة الرقم صفر على ميني العدد )3.5720( ال تغيّر قيمة العدد، ألن ما أضيف إلى العدد هو 0 - أجزاء من عشرة آالف. في الواقع، حصلنا هنا على توسيع للعدد بـ 10:

3,572 35,720 1,000 10,000

إضافة الرقم صفر في كل مكان بني رقمني معطيني في القسم الكسري للعدد العشري يؤّدي إلى •عدد أصغر:

3.0572 > 3.572 3.5072 > 3.572 3.5702 > 3.572

د. الساكن 0 يناضل من أجل حقوقه )الصفحات 37-39 في كتاب التلميذ(

=

14

األهداف املركزية في فعاليات هذه الوحدة هي مناقشة األسماء املختلفة لنفس األعداد، مع االنتباه إلى التمثيلت املختلفة املمكنة ألعداد معيّنة.

كل عدد صحيح ميكن متثيله ككسر بسيط وكعدد عشري.كل كسر ميكن متثيله كعدد عشري )عدد األرقام نهائي أو ال نهائي دوري(.

هناك أعداد لها متثيل عشري )بعدد أرقام ال نهائي وغير دوري(، لكن ال ميكن متثيلها ككسور )هي األعداد غير النسبية(.

هـ. السكان يتنّقلون من حارة إلى أخرى )الصفحات 40-43 في كتاب التلميذ(

لكن هناك كسور ال ميكن متثيلها أيًضا كأعداد مخلوطة - هذه هي الكسور البسيطة األصغر من 1.

كذلك، كل عدد مخلوط ميكن أن ميثَّل ككسر وكعدد عشري أيًضا.مثال من الصفحة 41 الفعالية 2 البند ج:

247 = 337 = 3,42857142....

نلقي النظر على بضعة أمثلة:كل عدد مخلوط ميكن متثيله ككسر. أ. •

معنى ذلك في حارات األعداد: كل ساكن في احلارة ج باستطاعته أن يحصل على متثيل ملئم للحارة ب. 3 25 =

175

حارة األعداد املخلوطة املوجبةحارة الكسور املوجبة

•

حارة الكسور البسيطة املوجبة حارة األعداد املخلوطة املوجبة

حارة األعداد العشرية املوجبة

كل عدد صحيح موجب ميكن متثيله ككسر موجب )بل نهاية من التمثيلت امللئمة( وكعدد ب. عشري موجب أيًضا.

131 = 13 وهناك بالطبع متثيلت أخرى... = 524

13 = 13.0

الفعاليات في الصفحتني 42-43 تتناول التمثيلت املختلفة لألعداد، وتعميم إمكانية التنّقل بني التمثيلت املختلفة.

للتمّرس اإلضافي بتمثيل أعداد ككسور وكأعداد عشرية ميكن االستعانة مبختبر الكسور في موقع .http://ar.ofek.cet.ac.il/units/ar/math/unit79/act1.aspx :آفاق

في هذا املختبر باستطاعة التلميذ التمّرس بشكل بصري )حّسي( بالعدد وبطرق كتابته املختلفة.يوجد في املختبر ثلثة متثيلت بصرية - شريط، مرّبع ودائرة - وميكن متثيل أعداد حتى 3.

يوجد في هذا املختبر أيًضا متثيل بالنسب املئوية، لكل َمن يهّمه األمر.نعرض في الصفحة اآلتية بضعة أمثلة.

15

هـ. السكان يتنّقلون من حارة إلى أخرى

أ.

ب.

ج.

16

الفعاليات في هذه الوحدة تتناول نخبة من الصفات املعّرفة على أعداد مختلفة في املجموعات )احلارات( املختلفة.

الفعالية 1 في الصفحة 44 تتناول عوامل األعداد الطبيعية.مهم االنتباه إلى أن التقسيم إلى مجموعات معّرفة بحسب العوامل، ال مُيّكن من احلصول على

مجموعات غريبة، ألن معظم األعداد لها أكثر من عامل واحد )أي أنها أعداد قابلة للتحليل(.مثًل، في هذه الفعالية، العدد 10 ينتمي إلى مضاعفات 5 وإلى األعداد الزوجية.

العدد 450 ينتمي إلى كل املجموعات املتداولة في الفعالية، باستثناء، طبًعا، مجموعة األعداد األولية. في هذه الفعالية تركيز كبير على أن العدد 1 ليس عدًدا أّوليًا وغير قابل للتحليل.

الفعالية 2 في الصفحة 45 تتناول التمثيلت املختلفة للعدد )استمرار للوحدة هـ التي تناولت التنّقلت بني التمثيلت(.

ميكن لألعداد أن تكون متساوية حتى إذا كانت منتمية إلى نفس احلارة، مثًل، الكسور املختَزلة ميكن أن متثّل نفس العدد.

48 =

12 مثال: في الفعالية احلالية في احلارة ب )الكسور(:

هناك أيًضا أعداد من حارات مختلفة، وهي أعداد بطرق متثيل مختلفة، ميكن أن تكون متساوية. مثًل، في الفعالية احلالية:

الفعالية 3 في الصفحة 46 والفعالية 6 في الصفحة 48 تتناوالن ترتيب األعداد.

إحدى الطرق السهلة إليجاد الترتيب هي تعيني األعداد على مستقيم األعداد. كلما كان العدد إلى اليمني أكثر يكون أكبر.

حتديد أماكن األعداد على مستقيم األعداد يؤّكد أيًضا الفكرة بأن كل األعداد موجودة ضمن هيئة موّسعة واحدة - هي مجموعة األعداد احلقيقية.

هذا الفصل يتناول أيًضا مفهوم املعّدل - الفعاليتان 4-5 في الصفحتني 47-46.ميكن إيجاد معّدل كل مجموعة من األعداد.

مهم التأكيد على أن املعّدل الناجت قد ينتمي إلى مجموعة األعداد )احلارة( قيد البحث، ولكن ميكنه أيًضا أن ال ينتمي إليها.

معنى ذلك، أنه ميكن القيام بعملية حسابية أًيا كانت على أعداد من مجموعة معيّنة، ومع ذلك تكون نتيجتها خارج هذه املجموعة.

و. مسابقات )الصفحات 44-48 في كتاب التلميذ(

12 = 0.5

احلارة ب احلارة ج احلارة باحلارة أ

12525 = 5

17

في هذه النقطة نستمر بتناول كل أنواع األعداد وصفاتها.الفعاليات في هذه الوحدة تتناول العلقة بني األعداد واألرقام املبنية منها هذه األعداد )الفعالية 1(،

العمليات احلسابية بني األعداد بأشكال متثيلها املختلفة - كسور وأعداد عشرية )الفعالية 2( وفي املساواة بني أعداد صحيحة وكسور )الفعالية 3(.

الفعالية 1 في الصفحة 49 في كل البنود نتناول البحث عن األعداد املختلفة امللئمة لشروط مرتبطة باألرقام في العدد.

لِنتمّعن في بضعة بنود:البند ب: عدد أصغر من 1 فيه الرقم 3

باستطاعتنا أن جند ال نهاية من األعداد امللئمة، مثًل:.0.043 ,0.333 ,0.33 ,0.3

البند هـ: عدد من رقمني حاصل جمع رقَميه هو 10من تعريف العدد املطلوب كعدد من رقمني نفهم أننا نتناول األعداد الصحيحة.

هناك 10 أعداد ملئمة للشرط املطروح، وهي:.10 ,19 ,28 ,37 ,46 ,55 ,64 ,73 ,82 , 91

في هذه احلالة، من السهل تفصيل وإحصاء كل األعداد امللئمة.

البند ط: عدد من ثلثة أرقام رقم مئاته يساوي رقم آحادههنا أيًضا نتناول األعداد الصحيحة.

في األعداد الصحيحة املكّونة من ثلثة أرقام، رقم املئات فيها ميكن أن يكون أحد األرقام من 1 حتى 9.إذا كان رقم املئات 1، مثًل، فإن رقم اآلحاد أيًضا 1 بحسب الشرط في السؤال، ولهذا الوضع عشر

حاالت - ألن رقم العشرات قد يكون أحد األرقام من 0 حتى 9.هذه االعتبارات صحيحة حتى إذا كان رقم املئات، وبالضرورة رقم اآلحاد، هو 2 أي أن هذه احلالة

فيها أيًضا 10 أعداد.كما ذكرنا، رقم املئات قد يكون من 1 إلى 9، ولذلك نحصل على 90 عدد ممكن في املجموع الكلي.

أصغر عدد هو 101 وأكبر عدد هو 999.

مالحظة للمعلّمني:الفعالية 1 هي فعالية بحث. مهم إعطاء التلميذ الوقت الكافي لتطوير استراتيجيات البحث. مهم أن

نشّجعهم على البحث املنهجي ومحاولة التوّصل إلى تعميم.هناك تلميذ، لكي يفهموا املهمة، بحاجة إلى البدء بأمثلة حلاالت خاصة.

الفعالية 2 في الصفحة 50في هذه الفعالية عمليات حسابية في أعداد مكتوبة بتمثيلت مختلفة - كسور وأعداد عشرية.

في اجلدول أ يوجد فقط كسور، ولذلك يوصى بأن تكون األعداد التي نكملها هي أيًضا كسوًرا.في اجلدولني ب َو ج يوجد كسور وأعداد عشرية أيًضا. يوصى بإجراء نقاش مع التلميذ عن أشكال

متثيل األعداد اللزمة للحّل. مهم االنتباه إلى أن احلّل يجب أن يكون بأحد التمثيلني.

ز. تسالي عددية )الصفحتان 49-50 في كتاب التلميذ(

18

245 + 0.5 من اجلدول ب. لِنتمّعن، على سبيل املثال، في التمرين: نكتب العددين بنفس التمثيل، فنحصل على:

. 12 + 245 =

510 +

4810 =

5310 أو 0.5 + 4.8 = 5.3

نرى بوضوح أن احلّل بالتمثيل العشري هو األسهل.

2 310 + 316 3 + 2.3 يفّضل أن نحّل بالتمثيل الكسري:

16 مقابل ذلك، في التمرين

وليس بالتمثيل العشري، ألننا نحصل على جمع عدد دوري: ...3.1666 + 2.3.

ز. تسالي عددية

19

هذه الوحدة توّسع مجموعة األعداد بإضافة األعداد السالبة لها، وهكذا أصبح باإلمكان التأكيد على الفكرة العامة بأن مستقيم األعداد يحتوي على كل أنواع األعداد.

مهم أن نشير أنه بحسب منهج التعليم للمدرسة االبتدائية، ال يتعلّم التلميذ العمليات احلسابية في األعداد املوّجهة، وإمنا يتعّرفون فقط على هذه األعداد وعلى ترتيبها.

كل ما تعّرقنا عليه في مجموعة األعداد املوجبة، يتحّقق أيًضا في مجموعة األعداد السالبة، لكننا في مجموعة األعداد الطبيعية فقط منيّز بني أعداد أّولية وأعداد قابلة للتحليل.

في مجموعة األعداد السالبة هناك أعداد صحيحة وهناك كسور. الكسور األكبر من 1، ميكن متثيلها ككسور وكأعداد مخلوطة وكأعداد عشرية. مثًل:

-235 = -435 = -4.6

في الرياضيات هناك مبدأ هاّم معروف باسم مبدأ التعّقب )التوسيع الطبيعي(: كل األفكار القائمة في مجموعة جزئية من األعداد يجب أن تتحّقق أيًضا عند توسيع املجموعة.

مثًل، ترتيب األعداد: في األعداد السالبة أيًضا تتحّقق القاعدة أنه كلما كان العدد إلى اليمني أكثر، يكون أكبر.

مثال: )23-( < )13-(واضح أن هذه القاعدة تتحّقق أيًضا في الكسور، في األعداد املخلوطة وفي األعداد العشرية.

ح. مدينة األعداد الكبرى )الصفحات 51-54 في كتاب التلميذ(

20

قائمة مفاهيم

أمثلةالتعريفاملفاهيم

العدد 14 هو من مضاعفات 14، عدد ُيقسم على العدد املعطى بدون باٍقمضاعف عدد7، 2 َو 1

األعداد على عدد األعداد في املجموعةحاصل قسمة حاصل جمع مجموعة من املعّدل )احلسابي(

1000 ,568 ,0 ,876 ,2عدد صحيح ُيقسم على 2 بدون باٍقالعدد الزوجي

عدد )صحيح أو كسر أو عشري( أكبر من 0العدد املوجب

ب من عدد صحيح وكسرالعدد املخلوط عدد اسمه مركَّ

123.003 ,45.6 ,0.106 ,0.5-عدد صحيح، نقطة يليها القسم غير الصحيحعدد مكتوب بطريقة قيمة املنزلة:العدد العشري

3 ,17 ,29فقط - على 1 وعلى نفسهعدد طبيعي ُيقسم بدون باٍق على عددين العدد األّولي

العدد القابل للتحليل

عدد طبيعي )صحيح موجب( ُيقسم بدون باٍق ليس فقط على 1 وعلى نفسه، وإمنا

أيًضا على أعداد أخرى1024, 27, 4

الترتيب التصاعدي أعداد مكتوبة من العدد األصغر إلى األكبرلألعداد

9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,100 إشارات ُتستخدم لكتابة األعداداألرقام

الكسر; بسط

مقامعدد مكتوب هكذا

البسط واملقام هما عددان صحيحان واملقام ال يساوي 0

125625

, 1637

, 152

, 416

3 25

, 10 67

, 2341239

-3, 423

, 2.56, 3 67

, 10, 999

1, 423

, 52

, 3 89

, 34.05

100, 0.25, 416

معّدل األعداد ُيحسب هكذا:

)100 + 0.25 + 416

( : 3

21

التانجرامفي الصفحات 56-59 هناك فعاليات تتناول التاجنرام.

التاجنرام مبني من مرّبع مقّسم إلى سبعة أقسام مختلفة: مرّبع، متوازي أضلع وخمسة مثلّثات. www.cet.ac.il/math :ميكن طباعة أقسام التاجنرام من موقع مركز التكنولوجيا التربوية

قسم مسارات الصف السادس الكتاب 3.

مخّططاتفي الصفحة 60 ُعرض مخّططان - مخّطط دائرة ومخّطط أعمدة - وعلى التلميذ أن يجيبوا عن أسئلة

مختلفة بناًء على املخّططني.

)الصفحات )الصفحات 56-60 في كتاب التلميذ( »U�(« v�≈ …œuŽ