「摺紙學無理數」教案

教案名稱 摺紙學無理數 適用

年級 八 學科別 數學

教材來源

(版本/冊數) 國中各版本數學課本第三冊

班級

人數 30

課程

時間

共計(135)分鐘

(3)節課

教

學

研

究

設計

理念

一、透過摺紙方式，結合勾股定理，了解無理數的構造方式；

二、藉由摺紙觀察無理數的根式化簡；

三、經由摺紙活動，了解 可由 所組成；

四、透過摺紙，在發票中構造 ；

五、利用摺紙驗證發票長寬比的近似值；

六、藉由摺紙完成 螺線，並從中探討相關幾何問題。

學生

學習

條件

能理解勾股定理的原理與基本應用

基本幾何圖形（直角三角形、等腰三角形及菱形）的圖形性質理解

課程

目標

1.藉由摺紙活動，能理解根號 n的構造與應用；

2.藉由摺紙活動，理解發票上構造根號 n的方式；

3.藉由摺紙活動，計算發票長寬比的近似值；

4.藉由摺紙活動，理解根號 n螺線的構造方式，並進行相關運算；

5.藉由相關題型的練習與課後評量，進一步提昇無理數的理解、演練與應

用。

能力

指標

N-4-11 能認識二次方根及其近似值。

N-4-12 能理解根式的四則運算。

A- 4-15 能理解畢氏(勾股)定理，並做應用。

S -4-19 能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。(A-4-20)

A- 4-20 能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。(S-4-19)

C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。

C-S-03 能瞭解如何利用觀察、分類、歸納、演繹、類比等方式來解決問題。

C-S-05 能瞭解一數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。

C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。

教學

方法 教師演示、教學簡報使用、課中練習與實作。

評量

方式 教師口頭問答、學生課堂練習與學習單實作。

教學

資源 大型色紙、實物投影機、單槍投影機、教學簡報、學習單、黑板等。

教學目標

(配合新課綱)

單元目標 具體目標

8-n-01 能理解二次方根的意義及

熟練二次方根的計算。

8-s-08 能理解畢氏定理

(Pythagorean Theorem)及其應用。

(同 8-a-05)

N- 4-12 能理解根式的四則運算。

1.勾股定理的理解與應用；

2.理解無理數在數線上的可造性；

3.能作根號 n的化簡；

4.了解根號 n的近似值；

5.能完成根號 n螺線，並欣賞數學之

美。

《附錄二》

A- 4-15 能理解畢氏(勾股)定理，並

做應用。

◆【教學方案】

教案

名稱 摺紙學無理數（一）

時間

分配

節數 教學重點

1 摺出無理數：在色紙上構造無理數

具體

目標 教學流程及內容設計

時間

（ 分

鐘）

教學

資源

評量

方式

勾股

定理

的理

解與

應用

能作

根號

n的

化簡

1. 利用 15cm 色紙，將邊長分別三等份（如圖一）後，設每一

等份的邊長為 1，探討可摺出的無理數有哪些？【註一】

圖一

將色紙邊長分別三等份

2. 配合學習單一，探討 13 10 8 5 2 、、、、 與 18 的摺法（如

圖二），並從中了解 2 28 與 2 318 等根式化簡；

13 10 8 5 2 、、、、 與 的摺法

5min

10min

教室

單槍投

影機

黑板

色紙

（三等

份）

單槍投

影機

「摺出

無理

數」學

習單一

「摺出

無理

數」教

學簡報

一

教師

口頭

詢問

教師

口頭

詢問

學習

單暨

課間

練習

勾股

定理

的理

解與

應用

3. 進一步探討其餘兩股或一股一斜邊非整數的無理數摺法（如

圖三～圖九，詳如教學簡報一），並了解任一無理數的構造

方式均不只一種；

圖三 圖四

摺出斜邊為 2 的邊長

312 22

圖五 圖六

摺出 2

摺出直角三角形的一股邊長

為 2

圖七 圖八

過點摺出垂直 2 的直線，

得直角三角形的另一股邊長

為 1

摺出兩股為 2 、1 的

直角三角形斜邊 3

圖九

2

222 21123 ，無理數的構造方式不只一種

20min

單槍投

影機

「摺出

無理

數」學

習單一

「摺出

無理

數」教

學簡報

一

教師

口頭

詢問

理解

無理

數的

可造

性

4. 藉由同學的觀察與老師的歸納，了解 n 可由 1n 組成的結

論，並完成學習單一。

備 註 【註一】此時的三等份摺紙，教師可視時間與學生程度，適時

引入藉勾股定理與乘法公式解方程式原理，完成三等

份摺紙的方式；或於日後學生的幾何與代數能力較為

備足時，再行討論其他三等份摺紙不同方式的數學原

理。

10min

「摺出

無理

數」學

習單一

學生

完成

學習

單下

一節

進行

檢討

批改

參考

資料

國中各版本第三冊課本及習作，自製「摺出無理數」教學簡報一、自製「摺出無理數」

學習單一

教案

名稱 摺紙學無理數（二）

時間

分配

節數 教學重點

1 摺出無理數：發票構造根號 n

具體

目標 教學流程及內容設計

時間

（ 分

鐘）

教學

資源

評量

方式

理解

無理

數在

數線

上的

造法

1. 請學生先行準備平整的長形發票數張，說明本節課要利用上一

節的結論構造 n ；

2. 設短邊邊長為 1，詢問學生如何摺出 2 ？（教師可配合影印

的大型發票示範說明）

3. 將 2 摺至長邊後（如圖十），如何利用 2 摺出 3 ？【註二】

圖十

將 摺至長邊

4. 將 3摺至長邊後（如圖十一），如何利用 3 摺出 4 ？

圖十一

將 摺至長邊

10min

5min

5min

教室

發票

實物投

影機

「摺出

無理

數」教

學簡報

二

「摺出

無理

數」學

習單二

「摺出

無理

數」教

學簡報

二

教師

口頭

詢問

教師

口頭

詢問

學習

單暨

課間

練習

教師

口頭

詢問

指定

同學

發表

能作

根號

n的

化簡

能作

根號

n的

化簡

勾股

定理

的理

解與

應用

理解

無理

數在

數線

上的

造法

5. 利用摺紙驗證 24 的結果（如圖十二）；

圖十二

利用摺紙驗證

6. 持續上述活動至 10（詳如教學簡報二），分別驗證 2 28

以及 39 的結論（如圖十三、十四，教師並提醒學生若原本

摺痕已因過度翻摺無法辨識，可更換新的發票進行活動，並利

用已摺出的無理數的直接應用其結果，如2

2 32 7 或22 13 10 ）；

圖十三

圖十四

5min

10min

「摺出

無理

數」教

學簡報

二

「摺出

無理

數」教

學簡報

二

教師

口頭

詢問

指定

同學

發表

教師

口頭

詢問

暨課

間巡

視

了解

根號

n的

近似

值

7. 詢問學生長形發票長寬比值，並透過摺紙方式探討其近似值

（如圖十五、十六），並完成學習單二。

圖十五 圖十六

發票的長邊 1823

發票長邊 2052

2018 發票長邊

備 註 【註二】如圖十七，驗證摺出的△ABC為等腰三角形時，在學

生尚未具足平行相關概念時，建議使用摺紙與互餘探

討∠ABC=∠DBC，以∠DBC+∠CBE= 90 =∠CBE+∠BCE，

並可適時補充，使學生藉由操作討論，初步了解兩平

行線其同位角相等的結論。

圖十七

證明 ABC 為等腰三角形

10min

「摺出

無理

數」教

學簡報

二

「摺出

無理

數」學

習單二

教師

口頭

詢問

指定

同學

發表

學生

完成

學習

單下

一節

進行

檢討

批改

參考

資料

國中各版本第三冊課本及習作，自製「摺出無理數」教學簡報二、自製「摺出無理數」

學習單二

教案

名稱 摺紙學無理數（三）

時間

分配

節數 教學重點

1 摺出無理數：摺出根號 n螺線

具體

目標 教學流程及內容設計

時間

（ 分

鐘）

教學資

源

評量

方式

理解

無理

數在

數線

上的

造法

勾股

定理

的理

解與

應用

完成

根號

n螺

線，

並欣

賞數

學之

美。

1. 教師準備星星紙或代為裁切長形空白收據紙張，發給每位學生

一條，並說明此節課要利用上一節課的操作，探討其延伸數學

問題，完成 n 螺線摺紙作品（如圖十八、十九）；

圖十八 圖十九

n 螺線作品一

n 螺線作品二

2. 請學生依序跟隨教師完成簡報，並回答其相關問題（詳如教學

簡報三，此時教師可配合實物單槍投影機與投影簡報的切換，

讓學生跟上教師的操作進度）；【註三】

3. 完成 n 螺線摺紙作品暨學習單三，並說明有興趣研究同學可

進一步了解立體 n 螺線摺紙作品摺法（如圖二十）。【註四】

圖二十

立體的 n 螺線摺紙作品

5min

30min

10min

教室

空白收

據

實物投

影機

「摺出

無理

數」簡

報三

「摺出

無理

數」學

習單三

教師

口頭

說明

教師

詢問

學生

發表

教師

口頭

說明

學生

完成

學習

單三

下一

節進

行檢

討批

改

備 註 【註三】教師可配合互動式簡報（教學簡報三），視學生程度與教

學進度，適時補充相關題目及其解答。

【註四】此處立體 n 螺線摺紙作品較為複雜，與此教學活動的

教學目的關聯性不大，建議採用讓有興趣學生課餘時間

找老師討論或自行探索方式進行（約 30～40分鐘）。

參考

資料

國中各版本第三冊課本及習作，自製「摺出無理數」教學簡報三、自製「摺出無理數」

學習單三

「摺出無理數」學習單

一、 用色紙摺出 n ：

假設色紙的邊長為 3，利用摺紙將邊長三等分，則色紙形成 3×3 方格，利用這些格子線以及

勾股定理摺出所求。

1. 若以連接色紙中格子線的交點的任意兩點，回答下列問題：

(1) 利用勾股定理可摺出哪些無理數的線段長度？(請寫出計算式子)

並寫出這些線段長度是利用直角三角形中哪一邊長摺出？(斜邊或一股長)

如： 22 112

(2)請用彩色筆將題(1)色紙所摺出線段標示出來，再將此色紙貼於下方正方形

2. 若以連接方格中水平或鉛直線的上的任意兩點，回答下列問題：

(1)請列出除了題 1所求之外，還可摺出哪些無理數的線段長度？

(請寫出任意兩個計算式子)

無理數 斜 邊 一股長

3

6 2

22

2 22516 222

28176

(2) 請用色紙摺出兩種 3 的摺法，並用色筆將線段標示出來，再將此色紙貼於下方空格處。

3. 觀察 1、2題的結果發現：

(1) 利用此 3×3的色紙方格，可摺出最大的線段長度為 ；

若此色紙的邊長為 5時，可摺出最大的線段長度為 。

(2) 利用此 3×3的色紙方格，依勾股定理摺出線段時，最長的一股長為 。

(3) 利用此 3×3的色紙方格，依勾股定理摺出線段，

當 6 為一股長時共有 種摺法；當 13 為斜邊時共有 種摺法。

(4) 若構造 n 可由 完成。

二、 用發票摺出 n ：

1. 假設 1AB ，請說明為何下列摺法可得 2BD 。

2. 請重複利用上述摺法，依序摺出 6 5 4 3 、、、 ，並用將摺出結果，貼於下方空位。

3. 利用摺出的結果，找出發票長邊的近似值？

(1) 2 與發票長邊的關係？ (2) 5 與發票長邊的關係？

(3)發票長邊的範圍？ 。

三、 摺出貝殼螺線：

1.依據老師的說明操作，將成品貼於下方空格處。

2.計算上方成品所有直角三角形的面積和與周長和。

「摺出無理數」學習簡報一

「摺出無理數」學習簡報二

「摺出無理數」學習簡報三