تحلیل ماتریسی سازه هاMatrix Structural Analysis

کریم عابدی

- مقدمه:- مقدمه:11-گفتی�م ک�ه اگ�ر هدف اص�لی تحلی�ل س�ازه، تعیی�ن تغییر مکان های دو انتهای عنص�ر ی�ا ب�ه عبارت دیگ�ر مشخ�ص کردن تغیی�ر مکان های مربوط به گره های ها مکان تغیی�ر روش ب�ه س�ازه تحلی�ل ص�ورت ای�ن در باش�د، س�ازه

(Displacement Method) یا روش سختی(Stiffness Method) .انجام می گیردتعداد تغیی�ر مکان های گره ه�ا است و - در روش س�ختی مجهوالت شام�ل

معادالت حاصل برابر درجه آزادی کل گره های سازه می باشد.- بنابرای�ن در روش س�ختی ابتدا تغیی�ر مکان های نقاط مشخ�ص ب�ه طور اخص داخل�ی محاس�به می نیروهای و س�پس م�ی شود تعیی�ن های س�ازه گره در

شوند.- در روش س�ختی معادالت�ی بی�ن نیروه�ا و تغیی�ر مکان های س�ازه در دو سطح

. شوند عنصر و کل سازه ایجاد می

- پس در یک جمع بندی روش سختی شامل مراحل عمومی زیر - پس در یک جمع بندی روش سختی شامل مراحل عمومی زیر است:است:

تعیین یک مجموعه از تغییر مکان های سیستم سازه ای نوشتن روابط نیرو- تغییر مکان ارضای شرط تعادل ارضای شرط سازگاری یافتن معادالت سازگاری حل معادالت و به دست آوردن تغییر مکان های سیستم سازه ای به دست آوردن نیروهای اعضاء و واکنش های تکیه گاهی

در تحلیل ماتریسی سازه ها به روش سختی در واقع معادالت مذکور در فرم ماتریسی استخراج می شوند و

مبانی جبر ماتریسی به کار گرفته می شوند. این معادالت ماتریسی شامل بردار نیرو و بردار تغییر مکان و در ضمن ماتریس دیگری خواهد بود که به ماتریس سختی معروف است و بستگی به هندسه سازه، خواص هندسی و خواص مصالح اعضاء، نوع اتصاالت موجود در سازه، تکیه گاه ها،

نحوه اتصال اعضا و ... دارد.

- تعیین معادله روش سختی:- تعیین معادله روش سختی:22را در نظ�ر بگیری�د ک�ه تح�ت اثر (Deformable body)- جس�م تغیی�ر شک�ل پذیری

به Piنیروهای ب�ه طور خط�ی و از ص�فر شروع شده )بارگذاری دارد قرار نقاط�ی از س�ازه م�ی باشن�د که نیروهای i رس�یده اس�ت( )Piمقدار نهای�ی خود

Pi.)بر آن نقاط وارد می شوند در Δi را متحمل می شود )Δi- در اثر بارگذاری مذکور سازه تغییر مکان های

می باشند(.Pi راستای اعمال نیروهایبا توجه به فرض رفتار خطی سازه، کار انجام شده توسط نیروهای وارد بر -

( ب�ه ص�ورت زی�ر خواهد بود Δi( ناش�ی از تغیی�ر مکان های س�ازه )Piس�ازه ))کار انجام یافته مذکور معادل انرژی تغییر شکل جسم است(:

12 i iU P

1 1 2 21 ( ... )2 n nU P P P

( تغیی�ر کوچک�ی داده می Δ1- فرض کنی�د ک�ه در یک�ی از تغییرمکان ه�ا )مثالً شود، در ای�ن ص�ورت تغییرات انرژ�ی تغیی�ر شک�ل جس�م نس�بت به تغییرات در

Δ1 ب�ه ص�ورت زی�ر درم�ی آی�د )الزم ب�ه ذک�ر اس�ت ک�ه س�ایر تغیی�ر مکان ه�ا ثابت نگه داشته می شوند(:

1 21 1 2

1 1 1 1

1 ( ... )2

nn

P P PU P

- اما با توجه به قضیه اول کاستیلیانو داریم:

11

1 21 1 2

1 1 1

... nn

U P

P P PP

( انجام دهیم به طور کلی Δiها ) تغییرمکان تمامی فوق را برای عمل - حال اگررابطه زیر خواهیم رسید: به

1 21 2 ... n

i ni i i

P P PP

1 1 2 21 ( ... )2 n nU P P P

- اگر مجموعه معادالت مذکور را به فرم ماتریسی بیان کنیم خواهیم داشت:

1 11 2

1 1 1

2 21 2

2 2 2

1 2

n

n

n

n n nn n

P P P P

P P P P

P P PP

شامل تغییر مکان های نقاط گرهی )به انضمام تغییر

مکان های تکیه گاه ها(

نیروهای خارجی مؤثر بر سیستم )به انضمام عکس

العمل ها(

ماتریس مربعی

- پس کل مسأله به تعیین ماتریس مربعی مذکور- یا تعیین اعضای از ماتریس مربعی- و سپس حل این معادالت ماتریسی برمی گردد.

- می توان تقارن ماتریس مذکور را نشان داد )با استفاده از قضیه اول کاستیلیانو(:

2

2

ii

j j j i ji

j i

jj

i i i j

UP U

PP

UP U

- بنابراین با توجه به تقارن ماتریسی مربعی می توان نوشت:

1 11 1 1

1 2

2 22 2 2

1 2

1 2

n

n

n n n

nn n

P P P P

P P P P

P P PP

1 11 2

1 1 1

2 21 2

2 2 2

1 2

n

n

n

n n nn n

P P P P

P P P P

P P PP

- اکنون ببینیم مفهوم اعضای ماتریس مربعی چیست؟ وارد شود و از تغییر مکان تمام نقاط Δ1، تغیی�ر مکان کوچ�ک 1اگ�ر در نقط�ه

در Δ1دیگ�ر جلوگیری ب�ه عم�ل آی�د، نیروی الزم برای ایجاد تغیی�ر مکان کوچک معادل و نیروی الزم برای جلوگیری از تغییر مکان 1نقط�ه

نقاط دیگر به ترتیب عبارت خواهد بود:

11 1

1

PP

21 2 1

1 1

...,nn

P PP P

وارد شود و از تغییر مکان تمام نقاط Δi، تغیی�ر مکان کوچ�ک iو اگ�ر در نقط�ه در Δiدیگ�ر جلوگیری ب�ه عم�ل آی�د، نیروی الزم برای ایجاد تغیی�ر مکان کوچک

معادل و نیروی الزم برای جلوگیری از تغییر مکان نقاط iنقطه دیگر به ترتیب عبارت خواهد بود:

ii i

i

PP

1...,nn i i i

i i

P PP P

برابر واح�د باش�د، در ای�ن صورت نیروی الزم Δiتغیی�ر مکان اگ�ر خواهد بود و نیروی مورد نیاز برای iبرای ایجاد تغیی�ر مکان واح�د در نقط�ه

، و نیروی مورد نیاز برای 1جلوگیری از تغیی�ر مکان نقطه ، خواهد بود.nجلوگیری از تغییر مکان نقطه

iii

i

PK

11..., i

i

PK

nni

i

PK

i- پس با نمایش خواهیم داشت:ij

j

PK

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

n

n

n n n nn n

P K K KP K K K

P K K K

نیروی تعمیم یافته مورد نیاز

ایجاد تغییر مکان برایتعمیم یافته واحد در گره

i وقتی که سایر گره ها ،ثابت نگه داشته شوند.

iii

i

PK

P- درنتیجه معادله معروف و مشهور روش سختی به دست می آید:- درنتیجه معادله معروف و مشهور روش سختی به دست می آید: KUji

ij jij i

PPK K

  ==PP بردار نیروی تعمیم یافته بردار نیروی تعمیم یافته ((Generalized force VectorGeneralized force Vector)) ==KK ماتریس سختی سازه ماتریس سختی سازه ((Stiffness matrixStiffness matrix))

= = ΔΔ بردار تغییر مکان تعمیم یافته بردار تغییر مکان تعمیم یافته((Generalized Displacement Generalized Displacement VectorVector))

بدین س3ازه س3ختی ماتری3س تعیی3ن برای روش ی3ک بنابرای3ن بدین - س3ازه س3ختی ماتری3س تعیی3ن برای روش ی3ک بنابرای3ن -ها گره برای واح3د مکان تغیی3ر دفع3ه ه3ر در ک3ه اس3ت ها ص3ورت گره برای واح3د مکان تغیی3ر دفع3ه ه3ر در ک3ه اس3ت ص3ورت

ها ها xx)برحس�ب نوع س�ازه، مثالً برای خرپای مس�طح تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت )برحس�ب نوع س�ازه، مثالً برای خرپای مس�طح تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت ه�ا- برای خرپای فضای�ی، تغیی�ر مکان واحد در ه�ا- برای خرپای فضای�ی، تغیی�ر مکان واحد در yyو تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت و تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت

ها- ها- zzه�ا و تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت ه�ا و تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت yyه�ا و تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت ه�ا و تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت xxجه�ت جه�ت ه�ا و دوران واحد در ه�ا و دوران واحد در yyه�ا و ه�ا و xxبرای قاب مس�طح تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت برای قاب مس�طح تغیی�ر مکان واح�د در جه�ت

و دوران و دوران z ,y ,xz ,y ,xه�ا و برای قاب فضای�ی تغیی�ر مکان های واح�د در جهت ه�ا و برای قاب فضای�ی تغیی�ر مکان های واح�د در جهت zzجه�ت جه�ت در نظ3ر گرفته شده و نیروی مورد نیاز در نظ3ر گرفته شده و نیروی مورد نیاز ( ( z ,y ,xz ,y ,xهای واح�د در جه�ت های واح�د در جه�ت

برای ایجاد آ3ن تغیی3ر مکان و نیروهای نگ3ه دارنده گره های دیگر برای ایجاد آ3ن تغیی3ر مکان و نیروهای نگ3ه دارنده گره های دیگر در مقابل تغییر مکان مذکور محاسبه می شوند.در مقابل تغییر مکان مذکور محاسبه می شوند.

, , ,xi xi xi xi

xi xiyi yi yi yii i i i i i

yi yizi zi zi zi

P PP

P PP P PP

P M

برای خرپای برای خرپای مسطحمسطح

برای خرپای برای خرپای فضائیفضائی

برای قاب برای قاب مسطحمسطح

( مطلوب است تعیین ماتریس سختی سازه شکل زیر:( مطلوب است تعیین ماتریس سختی سازه شکل زیر:11مثال مثال

هنگام�ی ک�ه تغیی�ر مکان تعمی�م یافته هنگام�ی ک�ه تغیی�ر مکان تعمی�م یافته ΔΔ22=1=1 اعمال م�ی کنیم، اعمال م�ی کنیم، 22 را ب�ه گره را ب�ه گره

برای ایجاد آن مورد نیاز برای ایجاد آن مورد نیاز KK2222نیروی نیروی نیروهای و نیروهای است و و KK2121است و KK2323و و KK2424

های مکان تغییر از جلوگیری های برای مکان تغییر از جلوگیری برای مورد نیاز می مورد نیاز می 44 و و 33 و و 11گره های گره های

و و 66، ، 55باشند و تاثیری در گره های باشند و تاثیری در گره های دیگر 77 بعبارت ندارن�د؛ دیگر بعبارت ندارن�د؛ , ,KK5252 KK6262 و و

KK7272 همگ�ی مس�اوی ص�فرند. بنابراین همگ�ی مس�اوی ص�فرند. بنابراینهنگامی دیده م�ی شود روشن�ی هنگامی ب�ه دیده م�ی شود روشن�ی ب�ه

بی�ن دو گره بی�ن دو گره ک�ه عضوی وجود عضوی وجود jj و و ii ک�ه باش��د باش��د نداشت��ه صفر KKijijنداشت��ه مس��اوی صفر مس��اوی

ماتریس نواری است. است.

قطریماتریس نواری قطری

- به نظر می رسد که تشکیل ماتریس سختی به این طریق دارای باشد: ای می نکات ضعف عمده

الف( نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر )خصوصاً برای سازه هایی با درجات آزادی باال(،

ب( پیاده سازی آن در یک برنامه کامپیوتری بسیار دشوار )یا حتی غیر ممکن( است.

هایی برای تشکیل ماتریس سختی - بنابراین باید به دنبال روشسازه بود که:

الف( نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر نداشته باشد، ب( قابل پیاده سازی در یک برنامه کامپیوتری باشد، پ( به صورت ساده تر و مؤثرتر ماتریس سختی سازه را تشکیل نماید. از ترکیب معقول و متناسب (K)باتوجه به اینکه ماتریس سختی سازه -

تشکیل شده است، به نظر (k)ماتریس های سختی هرکدام از اعضای سازهمی رسد که بتوان به صورت ساده تر و مؤثرتر با استفاده از ماتریس های

سختی هرکدام از اعضاء و انجام عملیات ماتریسی، ماتریس سختی سازه را تشکیل داد.

:: ((MemberMember))- تعیین ماتریس سختی عضو سازه- تعیین ماتریس سختی عضو سازه33

مشخص می شود: (Node)- یک عضو با دو گره در حال�ت کل�ی )در فضای س�ه بعدی( ه�ر گره عض�و دارای ش�ش درجه آزادی -

تغییر بردار مشخ�ص فیزیک�ی، بعدی در فضای س�ه دیگ�ر عبارت ب�ه اس�ت. مکان ه�ا در ی�ک گره دارای ش�ش مؤلف�ه مس�تقل اس�ت، س�ه مؤلف�ه خطی و

سه مؤلفه دورانی.دستگاه مختصات کلی زیر را در نظر می گیریم: -(Global Coordinate System )

i j

درج�ه آزادی اس�ت. بنابراین 12- بنابرای�ن در مجموع ی�ک عض�و در فض�ا دارای ماتریس�ی عض�و، ی�ک س�ختی ماتریس 12×12ماتری�س توان م�ی اس�ت.

س�ختی ی�ک عض�و را ب�ه طور مس�تقیم در دس�تگاه مختص�ات کل�ی محاسبه نمود. طبیع�ی اس�ت ک�ه در ای�ن ص�ورت ماتری�س س�ختی عض�و را ب�ا وارد کردن تغییر مکان ه�ا )ی�ک ب�ه ی�ک( در امتداد ه�ر ی�ک از محورهای مختص�ات کل�ی سیستم و محاس�به نیروی مورد نیاز برای ایجاد آ�ن تغیی�ر مکان در امتداد آن محور خاص و نیروهای مورد نیاز برای جلوگیری از تغیی�ر مکان در س�ایر امتدادها )در دو

انتهای عضو( ایجاد می گردد. - ب�ه نظ�ر م�ی رس�د ک�ه اوالً محاس�به ماتری�س س�ختی عض�و ب�ه طور مستقیم در

دستگاه مختصات کلی سیستم هم طوالنی و هم وقت گیر خواهد بود. - همچنی�ن در ای�ن حال�ت نیروهای داخل�ی حاص�ل در انتهای اعضاء که در پایان الزاماً و شده بیان کلی مختص�ات دس�تگاه در آین�د م�ی بدس�ت محاس�بات نشانگر نیروی محوری، برشی و یا لنگر خمشی عضو نخواهد بود. بنابراین در انتهای عملیات برای یافتن این مولفه ها که در عمل بیشتر مورد لزوم هستند

تبدیل مختصات ضروری خواهد بود. - بنابرای�ن برای س�ادگی و نی�ز طوالن�ی و وق�ت گی�ر نبودن محاس�بات بهت�ر است ک�ه ماتری�س س�ختی عض�و در ی�ک دس�تگاه مختص�ات مخص�وصی ک�ه دستگاه مختصات محل�ی نامیده م�ی شود، محاسبه شود و س�پس تبدی�ل مختصات روی

آن انجام گیرد.

(Local Coordinate System)- بر ای�ن اس�اس دس�تگاه مختص�ات محل�ی عضو منطب�ق بر محور طول�ی عضو xتعری�ف م�ی شود. در ای�ن دستگاه محل�ی محور

ij )Longitudinal Axis( م�ی باش�د و دو محور دیگ�ر منطب�ق بر محورهای اصلی- ب�ا توجه به اینکه بر مبنای این تعریف مقطع عضو می باشند.

گذارده فرقی عض�و انتهای دو بی�ن نم�ی شود، از اینرو مشک�ل مربوط به نوع نیروهای داخل�ی )کششی، فشاری بوجود انتهای عضو دو در ک�ه ) ... و

می آید از بین می رود. را عضو ی�ک س�ختی ماتری�س حال -م�ی توان نس�بت ب�ه دس�تگاه مختصات محل�ی بدس�ت آورد. ب�ه عبارت دیگر در با عض�و س�ختی ماتری�س حال�ت ای�ن هر امتداد در مکان تغیی�ر کردن وارد

محوره��ای از و ی�ک محلی مختص�ات محاسبه نیروی مورد

- فرض کنی�د و نیروه�ا و تغیی�ر مکان های حاصل در دو انتهای یک عضو در دستگاه مختصات محلی باشند. زمانی که جهت این مؤلف�ه ه�ا ب�ا جه�ت محورهای مختص�ات یک�ی باشن�د، مقدار مثب�ت داشت�ه در غیر

این صورت منفی خواهند بود.از رواب�ط اس�تفاده ب�ا اکنون از شیب-اف3تشیب-اف3ت- ای�ن دو مجموعه بی�ن رابط�ه مقادیر را به دست می آوریم.

اعمال می کنیم(i را به گره )ابتدا تغییر مکان های

1 2 6, ,...,

1 2 6, ,...,

621 ,...,, ppp

( اعمال می کنیمj را به گره اکنون تغییر مکان های ) 1 2 6, ,...,

انتهای نیروهای حاص�ل در از عضو i- براس�اس قضی�ه متقاب�ل ماکس�ول، ij تح�ت اثر همان j برابر نیروهای حاص�ل در jتح�ت اث�ر ی�ک تغیی�ر مکان در گره

ji است. به عبارت دیگراز نظر عددی:iمقدار تغییر مکان در گره ijk k

نظر در محل�ی مختص�ات محورهای برای ک�ه قراردادی نوع ب�ه توج�ه ب�ا -گرفتی�م، برمبنای آ�ن تعری�ف بی�ن دو انتهای عض�و فرق�ی گذارده نم�ی شود به

عبارت دیگر داریم: )از نظر عددی(j i

ii jjk k

jij ii ij ij

iji ji jj ji

p k k

p k k

- بنابراین داریم:نیروهای ناشی از تغییر

iمکان گره

نیروهای iگره

jij ii ij ij jip k k

نیروهای ناشی از تغییر jمکان گره

نیروهای ناشی از تغییر iمکان گره

نیروهای jگره

iji ji ij jj jip k k

نیروهای ناشی از تغییر jمکان گره

دستگاه در عض�و س�ختی ماتری�س معادل�ه ، معادل�ه -

شود. می نامیده محلی مختصات

ji

ij

ijjij

ijj

ii

ji

ij

kk

kk

p

p

خواهد 12×12- برای یک عنصر در قاب صلب فضایی ماتری�س سختی عضو بود.

از بعضی نباش�د، ازادی درج�ه ش�ش دارای س�ازه از عضوی ک�ه زمان�ی -س�طرها و س�تون های ماتری�س حذف خواه�د شد. به عنوان مثال اعضای قاب های ص�لب مس�توی فق�ط دارای س�ه درج�ه آزادی هس�تند، بنابرای�ن سطرها و

ستون های مربوط به برای این سازه الزم نخواهد بود. آزادی هستند، فق�ط سطرو ستون شبک�ه ه�ا که دارای سه درجه برای اعضای -

برای این سازه الزم خواهد بود. های مربوط به مورد نیاز خواهند بود. برای خرپاها فقط سطر و ستون مربوط به -

5 4 3, ,

5 4 3, ,

1

Assembly of the Structural Assembly of the Structural))تشکی3ل ماتری3س س3ختی ی3ک سازه: تشکی3ل ماتری3س س3ختی ی3ک سازه: --44Stiffness MatrixStiffness Matrix))

- - 11))- ماتری�س س�ختی س�ازه در دس�تگاه مختص�ات کل�ی تشکی�ل می گردد: - اختیاری(- اختیاری(44- ثابت و - ثابت و 33- راستگرد، - راستگرد، 22، ، ((XYZXYZ))متعامد متعامد

- در تشکیل ماتریس سازه از دو اصل مهم استفاده می شود:الف( اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه،الف( اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه،

ب( تعادل در گره های سازه. ب( تعادل در گره های سازه.- اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه ایجاب می کند که:

های انتهای اعضای متصل به یک گره خاص برابر عبارت دیگر تغییرمکان بهباشد. تغییرمکان آن گره می

- اصل تعادل نیروها در گره های سازه ایجاب می کند که:ب�ه عبارت دیگ�ر بر اس�اس ای�ن اص�ل، نیروهای انتهای�ی اعضای متص�ل ب�ه یک

گره خاص باید برابر نیروی خارجی موثر در آن گره باشند.- در دستگاه مختصات محلی داریم:

- اگ�ر دس�تگاه مختص�ات محل�ی را ب�ه عنوان دس�تگاه جدی�د و دس�تگاه مختصات کلی را به عنوان دستگاه مختصات قدیمی در نظر بگیریم خواهیم داشت:

ماتریسی است که یک بردار را از دستگاه مختصات کلی Rijماتریس دوران (XYZ) به دستگاه مختصات محلی (xyz) در گره( i تبدیل می کند. ماتریس )

به (XYZ) ماتریسی است که یک بردار را از دستگاه مختصات کلی Rjiدوران ( تبدیل می کند.j)در گره (xyz) دستگاه مختصات محلی

i ij im in

i ij im inP P P P

jij ii ij ij jip k k

, ,ij ij ij ij ij ij ji ji jip R P R R

- از جایگذاری در معادله مورد نظر داریم:

( ) ( )

,

jij ij ii ij ij ij ji ji

T j Tij ij ii ij ij ij ij ji ji

j T j Tii ij ii ij ij ij ij ji

jij ii ij ij ji

R P k R k R

P R k R R k R

K R k R K R k R

P K K

برای انواع مختلف سازه ها بعداً ارائه خواهد شد.Rij- فرم دقیق ماتریس و نیز با i- از جایگذاری روابط مذکور در معادله حاصل از اصل تعادل در گره

مالحظه اصل سازگاری تغییر مکان ها داریم:( ) ( ) ( )

( )

j m ni ii i ij j ii i im m ii i in n

j m ni ii ii ii i ij j im m in n

i ii i ij j im m in n

P K K K K K K

P K K K K K K

P K K K K

آنه�ا رابطه ترتی�ب مناس�ب و تمام گره ه�ا برای ب�ا نوشت�ن معادل�ه مذکور -ماتریسی زیر به دست می آید.

2

ij imii ini i

ji jnj jj jm j

m mi mj mm mn

n ni nj nm nn n

K KK KPK KP K K

P K K K K

P K K K K

ماتریس سختی سازه در دستگاه

مختصات کلی

بردار تغییرمکان های مجهول گره های آزاد و تغییرمکان های معلوم

در تکیه گاه ها

بردار نیروهای معلوم وارد بر گره های آزاد و نیروهای مجهول در تکیه

گاه ها

اکنون کامالً روشن می شود که چگونه می توان ماتریس سختی اکنون کامالً روشن می شود که چگونه می توان ماتریس سختی سازه را تشکیل دادسازه را تشکیل داد

)در یک برنامه کامپیوتری تحلیل ماتریسی سازه ها(.)در یک برنامه کامپیوتری تحلیل ماتریسی سازه ها(.

11 و اضافه نمودن عدد و اضافه نمودن عدد 11ابتدا تمام گره ه�ا ب�ه ترتی�ب و ب�ا شروع از ابتدا تمام گره ه�ا ب�ه ترتی�ب و ب�ا شروع از ال3ف( ال3ف( گره(. در این گره(. در این NNبرای ه�ر شماره و ب�ه طور پیوس�ته شماره گذاری م�ی شون�د )برای ه�ر شماره و ب�ه طور پیوس�ته شماره گذاری م�ی شون�د )

ص�ورت ه�ر عض�و ب�ه طور منحص�ر ب�ه فرد توسط دو شماره در ابتدا و انتهای ص�ورت ه�ر عض�و ب�ه طور منحص�ر ب�ه فرد توسط دو شماره در ابتدا و انتهای خود مشخ�ص م�ی گردد. بهت�ر اس�ت ک�ه تفاوت بی�ن دو شماره مربوط ب�ه یک خود مشخ�ص م�ی گردد. بهت�ر اس�ت ک�ه تفاوت بی�ن دو شماره مربوط ب�ه یک به شماره توج�ه باشد. را داشت�ه مینیم�م مقدار ممک�ن المقدور به شماره عض�و حت�ی توج�ه باشد. را داشت�ه مینیم�م مقدار ممک�ن المقدور عض�و حت�ی

و در نتیج�ه باع�ث صرفه و در نتیج�ه باع�ث صرفه KKه�ا باع�ث کاه�ش عرض نوار ماتری�س ه�ا باع�ث کاه�ش عرض نوار ماتری�س گذاری گرهگذاری گرهجویی در انبار کردن اطالعات در پردازشگر می گردد.جویی در انبار کردن اطالعات در پردازشگر می گردد.

دستگاه مختصات کلی را برای سازه تعیین می کنیم.دستگاه مختصات کلی را برای سازه تعیین می کنیم.ب( ب( مختص�ات گره ه�ا در دس�تگاه مختص�ات کل�ی را ب�ه عنوان ورودی وارد می مختص�ات گره ه�ا در دس�تگاه مختص�ات کل�ی را ب�ه عنوان ورودی وارد می پ( پ(

دهیم. دهیم. ( هر عضو را به عنوان ورودی وارد می کنیم. ( هر عضو را به عنوان ورودی وارد می کنیم. jj( و انتهای )( و انتهای )iiابتدا ) ابتدا ) ت( ت( ,A, Aمشخصات هندسی و مکانیکی اعضا را به عنوان ورودی وارد می کنیم)مشخصات هندسی و مکانیکی اعضا را به عنوان ورودی وارد می کنیم)ث( ث(

E, J, G, IE, J, G, IYY, I, IZZ.).)بارهای وارد بر گره ه�ا را در دس�تگاه مختص�ات کل�ی به عنوان ورودی وارد بارهای وارد بر گره ه�ا را در دس�تگاه مختص�ات کل�ی به عنوان ورودی وارد ج( ج(

می کنیم. می کنیم. شرایط تکیه گاه�ی را در دستگاه مختصات کل�ی ب�ه عنوان ورودی وارد می شرایط تکیه گاه�ی را در دستگاه مختصات کل�ی ب�ه عنوان ورودی وارد می چ( چ(

کنیم. کنیم. و را تشکی�ل م�ی دهی�م )توجه شود و را تشکی�ل م�ی دهی�م )توجه شود ماتری�س های ماتری�س های i-ji-jبرای عض�و برای عض�و ح( ح( ٍ�©ٍ�©

(. (. که که )ماتری�س های س�ختی اعض�ا در دس�تگاه مختصات )ماتری�س های س�ختی اعض�ا در دس�تگاه مختصات

محلی(محلی(، ماتریس های و را تشکیل می دهیم.، ماتریس های و را تشکیل می دهیم.ijij برای هر انتهای عضو برای هر انتهای عضو خ(خ(ماتریس های را تشکیل می دهیم) ماتریس های را تشکیل می دهیم) i-ji-jبرای هر عضو برای هر عضو د( د(

توجه شود که :توجه شود که : )ماتری�س های س�ختی اعضا در )ماتری�س های س�ختی اعضا در

دستگاه مختصات کلی((.دستگاه مختصات کلی((.

jiikijk,T j i

ij ji ii jjk k k k

ijRjiR

, , ,i jjj ji ij iiK K K K

i T ijj ji jj jiK R k RT

ji ji ji ijK R k R

صفر با کلیه درایه های صفر تعریف می کنیم )با صفر با کلیه درایه های صفر تعریف می کنیم )با ((a*N × a*Na*N × a*N))یک ماتریس یک ماتریس ذ( ذ( N × NN × N بلوک ماتریس�ی ص�فر به ابعاد بلوک ماتریس�ی ص�فر به ابعاد a × aa × a))( .( .aa تعداد درجات آزادی = تعداد درجات آزادی =

در هر گره(در هر گره(قرار می دهیم، قرار می دهیم، امامiiام و ستون بلوکی ام و ستون بلوکی ii را در محل سطر بلوکی را در محل سطر بلوکی ر(ر(

ام قرار می دهیم،ام قرار می دهیم،jjام و ستون بلوکی ام و ستون بلوکی jj را در محل سطر بلوکی را در محل سطر بلوکی ام قرار می دهیم،ام قرار می دهیم،jjام و ستون بلوکی ام و ستون بلوکی ii در محل سطر بلوکی در محل سطر بلوکی ام قرار می دهیم.ام قرار می دهیم.iiام و ستون بلوکی ام و ستون بلوکی jj در محل سطر بلوکی در محل سطر بلوکی

ت�ا )ر( را برای تمام�ی اعضاء تکرار م�ی کنیم. بدیه�ی است د( د( ت�ا )ر( را برای تمام�ی اعضاء تکرار م�ی کنیم. بدیه�ی است مراح�ل )ح( مراح�ل )ح( عضوی وجود نداشت�ه باش�د، در ای�ن صورت عمال عضوی وجود نداشت�ه باش�د، در ای�ن صورت عمال j , ij , i هنگام�ی ک�ه بی�ن دو گرههنگام�ی ک�ه بی�ن دو گرهصفر منظور می شود.صفر منظور می شود.

رسم فلوچارت برنامه رسم فلوچارت برنامه

jiiKijjK

ijK

jiK

((Imposition of Boundary ConditionsImposition of Boundary Conditions))اعمال شرایط مرزی: اعمال شرایط مرزی: --55 قب�ل از اعمال شرای�ط مرزی ی�ک ماتریس K- ماتری�س س�ختی ک�ل س�ازه

ویژ�ه اس�ت )دترمینان آ�ن برابر ص�فر اس�ت( و نشانگ�ر ای�ن واقعی�ت م�ی باشد که سازه بدون تکیه گاه ناپایدار است.

باش�د ک�ه در هر - معادل�ه ماتریس�ی ، ی�ک دس�تگاه معادالت مختل�ط م�یطرف آن مقادیر معلوم و مجهول وجود دارند. دو

یافت�ه تعمی�م نیروی بردار -P نیروهای شامل معادل�ه ای�ن چ�پ طرف در خارج�ی معلوم موث�ر بر گره های آزاد س�ازه و نی�ز حاوی عک�س العمل های

مجهول نیز می باشد.تغییرمکان بردار معادل�ه شامل - ای�ن راس�ت درس�مت یافت�ه تعمی�م های

های معلوم های آزاد س�ازه و نیز حاوی تغییرمکان های مجهول گره تغییرمکانهای بدون نشست، برابر مقدار مشخص گاه�ی )برابر صفر برای تکی�ه گاه تکی�ه

های ارتجاعی( گاه�ی، ب�ه ص�ورت تابع�ی برای تکی�ه گاه برای حال�ت نشس�ت تکی�هباشد. می

ای تنظی�م شده اس�ت که گره - فرض کنی�د ک�ه ماتری�س س�ختی س�ازه ب�ه گون�هت�ا 1های mتغییر مکان( تکی�ه گاه�ی کننده گره های های معلوم مشخ�ص

آزاد های گره نی�ز بیانگرn ت�ا m+1تعمی�م یافت�ه )برابر ص�فر(( باشن�د و گره هایتا تعمی�م یافت�ه ت�ا مجهول(. بنابرای�ن نیروهای ) باشن�د س�ازه

بیانگ�ر عک�س العم�ل های مجهول س�ازه و ت�ا بیانگ�ر نیروهای تعمیم یافته وارد بر گره های آزاد سازه می باشند.

P K

1n m 1mP P

1n mP P

1

1

m

m

n

P

PP

P

11 1 1, 1 1

1 , 1

1, 1 1,

m m n

m mm m m mn

m m m n

nn

K K K K

K K K KK K

SymK

1

1

0

0m

m

n

I

II

PP

, ,

, ,

I I I II

II I II II

K KK K

0

II

,

,

.

.II II II II

I I II II

P K

P K

- رابط�ه ، رابط�ه ماتریس�ی نهای�ی س�ازه است؛ زیرا مجهوالت تغیی�ر مکان�ی گره ه�ا را ب�ه نیروهای خارج�ی معلوم موث�ر در ای�ن گره ه�ا مرتبط

می سازد.- بنابرای�ن معادل�ه نهای�ی ماتریس�ی س�ازه در حقیق�ت از حذف س�طرها و ستون های مربوط ب�ه تغیی�ر مکان های معلوم ص�فر س�ازه در تکی�ه گاه ه�ا ب�ه دست

می آید. Satisfying the)شوند این طریق شرایط مرزی نیز ارضاء می عبارت دیگر به - به

Boundary Condition) گردند م�ی اعمال مرزی شرای�ط دیگ�ر س�خن ب�ه ی�ا (Imposition of Boundary Conditions) . بنابرای�ن ب�ه طور خالص�ه وقت�ی شرایط مرزی

ه�ا در امتداد محورهای مختص�ات کل�ی برابر ص�فر باشند، برحس�ب تغیی�ر مکانهای ستون و س�طرها حذف ب�ا س�ختی ماتری�س معادالت در آنه�ا معرف�ی

مربوطه انجام می گیرد.روش این در دارد. وجود مرزی شرای�ط اعمال برای نی�ز دیگری روش -

های ثابت معلوم ک�ه مربوط ب�ه تغیی�ر مکانKاعضای قطری ماتری�س س�ختی ضرب می کنیم. برای م�ی باشن�د ، را در ی�ک عدد بزرگ مانن�د تکی�ه گاه�ی

برابر صفر است داریم: که iمثال در درجه آزادی

عضو را در عدد ضرب می کنیم.

را نی�ز مساوی در ای�ن روش ب�ه هنگام ح�ل معادالت در برنام�ه کامپیوتری صفر قرار می دهیم.

,II II II IIP K

2010

i

1 1 2 2i i i ii i in nP K K K K

201 1 2 2

1 1 2 220

(10 )( ) 0

10

i i i ii i in n

i i i in ni

ii

P K K K KP K K K

K

iP

2010 iiK

((Analysis of TrussesAnalysis of Trusses))- تحلیل خرپاها - تحلیل خرپاها 66 های متشک�ل از اعضاء مس�تقیم نس�بتاً الغ�ر هس�تند ک�ه توسط گره - خرپاه�ا س�ازه

ه�ا تح�ت اثر گره و فق�ط در شده همدیگ�ر متص�ل های مفص�لی بدون اص�طکاک ب�هال(. )خرپای ایده گیرند می قرار خارجی بارهای

ی�ا غی�ر ممکن - در عم�ل ایجاد گره های مفص�لی بدون اص�طکاک کار دشوار و که اس�ت ای�ن در ی�ک خرپای حقیق�ی و ال ایده ی�ک خرپای بی�ن تفاوت اس�ت. اعضای خرپای حقیق�ی عالوه بر نیروهای محوری، تح�ت اث�ر نیروی برش�ی و لنگر این بیشت�ر م�ی شود، گیرند. هرچ�ه الغری اعضای خرپ�ا نی�ز قرار م�ی خمش�ی

شود. تفاوت کمتر می با در چنی�ن تحلیل�ی ص�لب نی�ز تحلی�ل کرد. ای�ن های گره خرپاه�ا را ب�ا فرض توان م�ی-

های خمش�ی اعضاء، نیروهای ثانوی�ه )برش و لنگ�ر( و همچنین نظ�ر گرفت�ن س�ختینیروهای اولیه )نیروهای محوری( را نتیجه می دهد.

تحلیل تنش های ثانویه در دو مورد پیشنهاد می گردد: - ،سختی خمشی عضوها زیاد باشد.نتایج با دقت بیشتری خواسته شده باشد

- در اینجا صرفاً به تحلیل خرپاهای ایده ال خواهیم پرداخت.

( )( , )

( , , )

x

x y

x y z

i

i

دستگاه مختصات محلی

گره

گره دستگاه مختصات

کلی

درجه آزادی 1درجه آزادی 2درجه آزادی 3

ای خرپای صفحهخرپای فضائی

را در نظر می گیریم.x خرپا فقط محور محلی ij- برای هر عضو ها می x- هر گره صرفاً دارای مؤلفه تغییر مکانی در امتداد محور

باشد.

- مراحل تشکیل ماتریس سختی یک سازه خرپایی عبارتند از:الف( تعیین ماتریس سختی عضو در دستگاه مختصات الف( تعیین ماتریس سختی عضو در دستگاه مختصات

محلی:محلی:

jij ijii ij

iji jj

ij ij i

EA EAL Lk k

kk k EA EA

L L

cos( , ) cos( , ) cos( , )

, , ,

cos(180 , ) cos(180 , ) cos(180 , )

ij

i j i j i jij

ji

ji

R x X x Y x Z

X X Y Y Z ZR l m n l m n

L L LR x X x Y x Z

R l m n

x

ij ij y

z i

x

ij ij y

z i

x

ji ji y

z j

x

ji ji y

z j

Pp R P

P

R

Pp R P

P

R

ij,ب( تعیین ماتریس های دوران برای هر عضو:ب( تعیین ماتریس های دوران برای هر عضو: jiR R

2

2

2

ln

,

j T jii ij ii ij ij

ij ij ij

i T i jjj ji jj ji ii ij

ij

Tij ij ij ji ij ij

ij ij

l l lmEA EA EAK R k R m l m n ml m mn BL L L

n nl nm n

EAK R k R K BL

lEA EAK R k R m l m n B KL L

n

TjiK

پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام می باشند(: می باشند(:33××33ماتریس های ماتریس های

, , ,i jjj ji ij iiK K K K

- برای حالت خرپای دو بعدی مسطح داریم:2

2, ,x x

i i ijy yi i

P l lmP B

P ml m

( ) ( ) ( )

jij ii ij ij ji

ij ij ji ij ij ji ji ij i j

p k k

EA EA EAp R R RL L L

- همچنی�ن م�ی توان عک�س العم�ل های تکی�ه گاه�ی را ب�ا استفاده از نیروهای اعضای خرپا به دست آورد:

- بع�د از تشکی�ل ماتری�س س�ختی و اعمال شرای�ط مرزی و ح�ل معادالت می

تغیی�ر مکان های گره ک�ه شام�ل را بردار ∆ به توان آزاد س�ازه اس�ت، های دست آورد. بعد از تعیین می توان نیروهای اعضای خرپا

را به دست آورد.

2 1,..., ,..., ,n i

T Tm mi mj mi mi mj mjP P P R p R p

- ب�ا اس�تفاده از ماتری�س س�ختی اولی�ه )بدون اعمال شرای�ط مرزی( خواهیم داشت:

1 1 2 2m m m mm m mn nP K K K K

نیز از رابطه زیر استفاده می کنیم:iبرای بررسی تعادل گره -)بررسی چند مثال( -

Ti ij ijP R p

((Planar Rigid FramesPlanar Rigid Frames))- تحلیل قاب های صلب مسطح - تحلیل قاب های صلب مسطح 77- در قاب های ص�لب اعضاء توس�ط گره های ص�لب ب�ه ه�م دیگ�ر اتص�ال یافته

اند، یعنی در یک گره زاویه بین اعضاء پس از تغییر شکل تغییر نمی کند.- باره�ا ممک�ن اس�ت نظی�ر خرپاه�ا در گره ه�ا وارد شون�د و ی�ا مستقیماً بر روی اعضاء اث�ر نماین�د )در ای�ن ج�ا ص�رفاً حالت�ی را در نظ�ر خواهی�م گرف�ت ک�ه بارها

بر گره ها وارد می شوند(.- وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:- وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:

x

ij y

z i

x

ij y

z i

pp p

m

- مراحل تشکیل ماتریس سختی یک قاب صلب دوبعدی عبارتند از:الف( تعیین ماتریس سختی هر عضو در دستگاه مختصات الف( تعیین ماتریس سختی هر عضو در دستگاه مختصات

محلی:محلی:

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

z z z z

jii ij z z z z

iji jj

EA EAL L

EI EI EI EIL L L L

k k EI EI EI EIkL L L Lk k

Sym Sym

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos , , 0

sin , cos , 0

0 , 0 , 1

ij

i j i j

x X x Y x Z l m nR y X y Y y Z l m n

z X z Y z Z l m n

X X Y Yl m sin n

L L

l m n

l m n

cos sin 0sin cos 00 0 1

ijR

x

ij ij y

z i

x

ij ij y ij i

z i

x

ji ji y

z j

x

ji ji y ji j

z j

Pp R P

M

R R

Pp R P

M

R R

ij,ب( تعیین ماتریس های دوران برای هر عضو:ب( تعیین ماتریس های دوران برای هر عضو: jiR R

X

YZ

j

i

α

cos sin 0sin cos 0

0 0 1jiR

ji- از روی به راحتی می توان را نیز بدست آورد:- از روی به راحتی می توان را نیز بدست آورد: ijR R

2 23 3 2

2 23 2

2 23 3 2

12 12 6cos sin cos .sin sin

12 6sin cos cos

4

12 12 6cos sin cos .sin sin

j T jii ij ii ij

i T ijj ji jj ji

EA EI EA EI EIL L L L L

EA EI EIK R k RL L L

EISymL

EA EI EA EI EIL L L L L

EAK R k R

2 23 2

2 23 3 2

2 23 3 2

2

12 6sin cos cos

4

12 12 6cos sin cos .sin sin

12 12 6cos .sin sin cos cos

6 si

Tij ij ij ji

EI EIL L L

EISymL

EA EI EA EI EIL L L L LEA EI EA EI EIK R k RL L L L L

EIL

2

,

6 2n cos

Tij jiK K

EI EIL L

پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام می باشند(: می باشند(:33××33ماتریس های ماتریس های

, , ,i jjj ji ij iiK K K K

- همچنی�ن م�ی توان عک�س العملهای تکی�ه گاه�ی را ب�ا استفاده از تغییرمکان های تعمی�م یافت�ه و ب�ا اس�تفاده از ماتری�س س�ختی اولی�ه )بدون اعمال شرایط

مرزی( بصورت زیر به دست آورد:

توان بردار ∆ را ک�ه شامل - بع�د از اعمال شرای�ط مرزی و ح�ل معادالت م�یهای آزاد س�ازه اس�ت، ب�ه دس�ت آورد. بعد از تغیی�ر مکان های تعمی�م یافت�ه گره

تعیین می توان نیروهای انتهای اعضاء را به دست آورد.2 1,..., ,..., ,n i

1 1 2 2i i i ii i in nP K K K K

- برای بررسی تعادل گرهها از رابطه زیر استفاده می کنیم:T

i ij ijP R p

ت( به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می ت( به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می دهیم.دهیم.

jij ii ij ij ji

xj

ij ii ij ij ij ji ji y

z ij

p k k

pp k R k R p

m

نیروی محورینیروی برشیلنگر خمشی

)بررسی چند مثال(

((GridsGrids))تحلیل شبکه ها تحلیل شبکه ها --88- در قاب های مس�طح باره�ا در ص�فحه قاب وارد م�ی شوند. ب�ه عبارت دیگر

باش�د، در ای�ن ص�ورت نیروهای وارد بر آن XYمثالً اگ�ر قاب مس�طح در ص�فحه خواهند بود.Z و لنگرهای خمشی وارده حول محور XYنیز در صفحه

- شبکه ها قاب های مسطحی هستند که در آنها بارها بصورت قائم بر صفحه س�ازه اث�ر م�ی کنن�د )بحث�ی در مورد مؤلف�ه های نیرو در قاب های فضای�ی(. به

باش�د، در ای�ن صورت نیروهای وارد XYعبارت دیگ�ر مثالً اگ�ر شبک�ه در ص�فحه خواهد بود.Y , Xها و لنگرهای وارده حول محورهای Zبر آن در امتداد محور

- ب�ا توج�ه ب�ه ای�ن ک�ه بارهای خارج�ی قائ�م بر ص�فحه س�ازه اث�ر م�ی کنند، لذا تغییر شکل های محوری قابل صرف نظر کردن می باشند.

- ی�ک گره آزاد سازه شبک�ه ای عالوه بر تغییر مکان های قائ�م بر صفحه سازه ای در صفحه ه�ا در ص�ورتی ک�ه س�ازه شبک�هZشبک�ه ای )مثال در امتداد محور

XY)قرار های مولفه در صفحه خود سازه با دورانی تحت اثر واقع باشد می گیرد.

ب�ه ص�ورت تغیی�ر شک�ل ی�ک گره ای�ن بنابر -[∆Z , θX , θY] ،بیان است قاب�ل مشخص شده باشد.XYمشروط بر این که صفحه سازه به صورت

,x y

- وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:- وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:

,z z

ij x ij x

y y

pp m

m

- مراحل تشکیل ماتریس سختی یک شبکه عبارتند از:الف( تعیین ماتریس سختی عضو:الف( تعیین ماتریس سختی عضو:

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 4 6 20 0

y y y y

jii ij y y y y

iji jj

EI EI EI EIL L L L

GJ GJL L

k k EI EI EI EIkLk k L L L

Sym Sym

cos( , ) cos( , ) cos( , ) 1 0 0cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 cos sincos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 sin cos

1 0 00 cos sin , cos ,0 sin cos

ij

i j i jji

z Z z X z YR x Z x X x Y

y Z y X y Y

X X Y YR sin

L L

ij,ب( تعیین ماتریس های دوران :ب( تعیین ماتریس های دوران : jiR RZ

ij ij X ij ij

Y ij

Z

ij ij X ij i

Y i

Z

ji ji X ji ji

Y ji

Z

ji ji X ji j

Y j

Pp R M R P

M

R R

Pp R M R P

M

R R

,

,

j T j i T iii ij ii ij jj ji jj ji

T Tij ij ij ji ij ji

K R k R K R k R

K R k R K K

پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام می باشند(: می باشند(:33××33ماتریس های ماتریس های

, , ,i jjj ji ij iiK K K K

ت( به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می ت( به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می دهیم.دهیم.

- همچنی�ن م�ی توان عک�س العم�ل های تکی�ه گاه�ی را ب�ا استفاده از تغییرمکان های تعمی�م یافت�ه و ب�ا اس�تفاده از ماتری�س س�ختی اولی�ه )بدون اعمال شرایط

مرزی( بصورت زیر به دست آورد:

توان بردار ∆ را ک�ه شامل - بع�د از اعمال شرای�ط مرزی و ح�ل معادالت م�یهای آزاد س�ازه اس�ت، ب�ه دس�ت آورد. بعد از تغیی�ر مکان های تعمی�م یافت�ه گره

تعیین می توان نیروهای انتهای اعضاء را به دست آورد.2 1,..., ,..., ,n i

1 1 2 2i i i ii i in nP K K K K

T- برای بررسی تعادل گره ها از رابطه زیر استفاده می کنیم:i ij ijP R p

jij ii ij ij ji

zj

ij ii ij ij ij ji ji x

y ij

p k k

pp k R k R m

m

برشلنگر پیچشیلنگر خمشی

)بررسی چند مثال(

((Three Dimensional Rigid FramesThree Dimensional Rigid Frames))- تحلیل قاب های صلب سه بعدی - تحلیل قاب های صلب سه بعدی 99- ویژگی های این سازه ها عبارتند از:

* سازه و بارهای مؤثر بر آن در فضای فیزیکی سه بعدی قرار دارند.* تمام اعضا )بجز تکیه گاه ها( به صورت صلب به همدیگر مرتبط یافته اند.

- محورهای مختصات محلی و کلی- محورهای مختصات محلی و کلی

,

,

x x

y y

z zij ij

x x

y y

z zi i

X X

Y Y

Z Zi i

X X

Y Y

Z Zi i

pp

pp

mm

m

PPP

PMMM

- مراح3ل تشکی3ل ماتری3س س3ختی قاب های ص3لب سه بعدی، - مراح3ل تشکی3ل ماتری3س س3ختی قاب های ص3لب سه بعدی، در هنگام3ی ک3ه تشکی3ل ماتری3س س3ختی س3ازه برای حال3ت کلی در هنگام3ی ک3ه تشکی3ل ماتری3س س3ختی س3ازه برای حال3ت کلی در ابتدای ای3ن فص3ل شرح داده م3ی ش3د، ارائ3ه گردید. نکته ای در ابتدای ای3ن فص3ل شرح داده م3ی ش3د، ارائ3ه گردید. نکته ای ک3ه فق3ط بای3د تعیی3ن گردد تعیی3ن ماتری3س دوران می ک3ه فق3ط بای3د تعیی3ن گردد تعیی3ن ماتری3س دوران می

باشد. باشد. - تعیین ماتریس دوران : - تعیین ماتریس دوران :

,ij jiR R

ijRj T j

ii ij ii ijij ij ij

i T iij ij i jj ji jj ji

Tji ji ji ij ij ij ji

Tji ji j ij ji

K R k Rp R P

R K R k R

p R P K R k RR K K

خواهد خواهد 66××66- مشخص است که ماتریس دوران یک ماتریس - مشخص است که ماتریس دوران یک ماتریس بود که در حالت کلی صورت زیر را دارد: بود که در حالت کلی صورت زیر را دارد:

ijR

cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 0 0cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 0 0cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 0 0

0 0 0 cos( , ) cos( , ) cos( , )0 0 0 cos( , ) cos( , ) cos( , )0 0 0 cos( , ) cos( , ) cos( , )

ij

i

x X x Y x Zy X y Y y Zz X z Y z Z

Rx X x Y x Zy X y Y y Zz X z Y z Z

- ب3ه ترتی3ب کوسینوس های - ب3ه ترتی3ب کوسینوس های می باشد. می باشد.Z, Y, XZ, Y, X نسبت به محورهای کلی نسبت به محورهای کلی xxهادی محور محلی هادی محور محلی

cos( , ),cos( , ), cos( , )x Z x Y x X

cos( , ) cos( , ) cos( , )i j i j i jX X Y Y Z Zx X l x Y m x Z n

L L L

بای3د -- بای3داکنون راzz, , yyمحل3ی محل3ی محورهایمحورهای هایهای کوس3ینوسکوس3ینوس اکنون را به به نس3بتنس3بت بدست آوریم: بدست آوریم:Z, Y, XZ, Y, Xمحورهای کلی محورهای کلی

محور yyمحورمحور بر عمود محور بر عمود xx و و ZZم3ی انتخاب م3ی انتخاب گون3ه ب3ه گون3هشود ب3ه که شود که ای ای رانتیجه بدهد: رانتیجه بدهد:yy، محور ، محور xx با با ZZحاصل برداری حاصل برداری

2 2

2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ0 0 1ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ,

y Z x

Z i j k

x li mj nkm ly lj mi y i j k l m D

l m l m

می می Z, Y, XZ, Y, X) بردارهای یکه در امتداد محورهای کلی ) بردارهای یکه در امتداد محورهای کلی باشند(باشند(ˆ ˆ ˆ, ,k j i

,0 عبارتند از: عبارتند از:yy- بنابراین کوسینوس های محور محلی - بنابراین کوسینوس های محور محلی ,l mD D

محور -- هادی های کوس3ینوس توان م3ی محور حال هادی های کوس3ینوس توان م3ی بدست zzحال نی3ز را بدست نی3ز را آورد:آورد:

2 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

z x y

x li mj nkm ly i j k

D Dl m mn l n l n mnz k k j i z i j Dk z zD D D D D D

, عبارتند از: عبارتند از:zz- بنابراین کوسینوس های محور محلی - بنابراین کوسینوس های محور محلی ,mn nlDD D

- پس ماتریس دوران به صورت زیر بدست می آید:- پس ماتریس دوران به صورت زیر بدست می آید:استفاده از این ماتریس آن است که استفاده از این ماتریس آن است که - شرط- شرط

کلی نشود کلی نشود ZZ منطبق بر محور منطبق بر محور xxمحورمحلی محورمحلی چرا که در این صورت عضو موازی محورچرا که در این صورت عضو موازی محور

ZZبوده و بوده و D=oD=o خواهد بود و نمی توان خواهد بود و نمی توان yy را تعیین نمود. را تعیین نمود.

0ij

l m mm lRD Dnl mn DD D

در م3ی آید، در م3ی آید، ZZ محل3ی موازی محور محل3ی موازی محور xx- در حال3ت خاص3ی ک3ه محور - در حال3ت خاص3ی ک3ه محور از دستگاه از دستگاه YY را م3ی توان ب3ه عنوان محور را م3ی توان ب3ه عنوان محور yyدر ای3ن ص3ورت محور در ای3ن ص3ورت محور

مختصات کلی انتخاب کرد. در این صورت داریم:مختصات کلی انتخاب کرد. در این صورت داریم:0 0 10 1 0

01 0 0

0

ijR

Sym

0 0 10 1 0

01 0 0

0

jiR

Sym

ij ij ijpP p p محورهای

مختصات کلی )قدیم(

محورهای مختصات محلی

)جدید(

محورهای مختصات اصلی

ij ij ij

ij ij i

ijp ijp ij

ijp ijp ij

p R P

R

p R p

R

1 0 00 cos sin

00 sin cos

0

ijpR

Sym

که شود م3ی ایجاد خاص3ی مس3أله بعدی س3ه های قاب در که - شود م3ی ایجاد خاص3ی مس3أله بعدی س3ه های قاب در -عبارت اس3ت از عدم انطباق محورهای مختص3ات محل3ی تعریف عبارت اس3ت از عدم انطباق محورهای مختص3ات محل3ی تعریف ب3ا محورهای اص3لی مقطع عضو. الذک3ر ب3ا های فوق ب3ا محورهای اص3لی مقطع عضو. شده الذک3ر ب3ا های فوق شده

((x, y, zx, y, z))بنابرای3ن در واق3ع تفاوت بی3ن محورهای مختص3ات محلی بنابرای3ن در واق3ع تفاوت بی3ن محورهای مختص3ات محلی می باشد. می باشد. برابر زاوی3ه برابر زاوی3ه ((xxpp, y, ypp, z, zpp))ب3ا محورهای مختص3ات اص3لی ب3ا محورهای مختص3ات اص3لی

در این صورت یک تبدیل دورانی دیگری الزم خواهد شد.در این صورت یک تبدیل دورانی دیگری الزم خواهد شد.

ijR

1

2

3

4

jijp iip ijp ijp jip

j jijp iip ijp ij ijp jip ji iip ijp ij i ijp jip ji j

ijp ijp ij

T j Tij ijp iip ijp ij i ijp ijp jip ji j

ij ij ij

T T j T Tij ij ijp iip ijp ij i ij ijp ijp

p k k

p k R k R k R R k R R

p R p

p R k R R R k R R

p R P

P R R k R R R R k

jip ji jR R

( )

( )

j T T jii ij ijp iip ijp ij

T Tij ij ijp ijp jip ji

K R R k R R

K R R k R R

- نکت3ه قاب3ل توج3ه آ3ن اس3ت ک3ه اگ3ر محورهای مختص3ات اصلی و - نکت3ه قاب3ل توج3ه آ3ن اس3ت ک3ه اگ3ر محورهای مختص3ات اصلی و خواهد بود و خواهد بود و صورت صورت ایناین محلی بر همدیگر منطبق شوند درمحلی بر همدیگر منطبق شوند در

شود.شود. از معادالت حذف می از معادالت حذف میpp و لذا زیرنویسو لذا زیرنویس گرددگردد می می0 ijpR I

برای ورودی اطالعات بعدی های ص3لب سه قاب برای پ3س برای - ورودی اطالعات بعدی های ص3لب سه قاب برای پ3س -تعریف هندسه سازه عبارتند از:تعریف هندسه سازه عبارتند از:

مختصات گره ها نحوه اتصال اعضا (ij) زاویه βبرای هر عضو

((Properties of the Stiffness MatricesProperties of the Stiffness Matrices))خواص ماتریس های سختی خواص ماتریس های سختی - - 1010زیرماتری�س س�ختی ماتری�س در غی�ر ال�ف( ترانسپوز های مس�اوی قطری

همدیگر هستند، یعنی:

اما با توجه به این قبالً ثابت کرده ایم که مقادیری عددی هستند.Kب(عناصر ماتریس سختی

Tij jiK K

,T T

ij ij ij ji ji ji ji ij

TT T T Tji ji ji ij ij ji ji

K R k R K R k R

K R k R R k R

T Tij ji ij jiK K k k

2

2

11 1 1

2 2 221

12 2 2 2

2 221

12 2

,

1 1 1 12 2 2 2

12

12

ii

i i i

i ni i n n i i n

i i i i

i i i ni n

i i i i i i

i i

i i i

PU UP

P P PUU P P P P

P P P P PU

P P PU

2

2 2

2 2 2 2 2 21 1

12 2 2 2 2 20 0 , , 0 , , 0

n ii n

i i i

i n i ni n

i i i i i i

P P

P P P P P P

طبق قضیه کاستیلیانو

مثبت- ماتری�س ی�ک شرای�ط مرزی( اعمال از )بع�د س�ازه نهای�ی س�ختی ماتری�س پ(

.(Positive-Definite) است معین- ابتدا باید تعاریف زیر را بیان کنیم:

، ماتریس�ی اس�ت ک�ه پیش A- ماتری�س مثب�ت- معی�ن: ماتری�س مثب�ت- معین1 ی�ک مقدار مثب�ت می (B)ضرب و پ�س ضرب آ�ن ب�ا ی�ک بردار دلخواه غیرص�فر

| مثبت است Aباشد: . می توان اثبات نمود که دترمینان ماتریس A|>0.

نیم�ه معین ماتری�س مثب�ت-:(Positive-Semi Definite)- ماتری�س مثب�ت- نیم�ه معین 2A دلخواه بردار یک ب�ا آ�ن ضرب پ�س و ضرب پی�ش ک�ه اس�ت ماتریس�ی ،

مس�اوی صفر می باشد، می توان اثبات نمودکه دترمینان ماتریس (B)غیرصفر A صفر است|A|=0.نامعی�ن 3 ماتری�س -(Indefinite): نامعی�ن ماتری�س A پیش ک�ه ماتریس�ی اس�ت

ی�ک مقدار منف�ی می (B)ضرب و پ�س ضرب آ�ن ب�ا ی�ک بردار دلخواه غی�ر ص�فر |A| کوچکت�ر از ص�فر اس�ت Aباشد. م�ی توان اثبات نمود ک�ه دترمینان ماتری�س

<0.س�ازه )بع�د از اعمال شرایط مرزی( نهای�ی ماتری�س س�ختی توان اثبات نمودک�ه م�ی

معین است: یک ماتریس مثبت-معادل�ه ماتری�س سختی

نهایی انرژی تغییر شکل سیستم

متقارن است( K )چون U ∆ بیانگ�ر انرژ�ی تغیی�ر شک�ل س�یستم اس�ت ک�ه ی�ک مقدار مثب�ت م�ی باشد و

K|>O|: یک ماتریس مثبت- معین است ، و لذا داریمKاختیاری است، بنابراین

0TB AB

121 12 2

T

T T T

P K

U P

U K K

- ماتری�س س�ختی س�ازه )قب�ل از اعمال شرای�ط مرزی(، ی�ک ماتری�س مثبت – نیمه معین است زیرا داریم:

اس�ت ک�ه در اث�ر تغییر (Rigid Body Mode)ک�ه متناظ�ر ب�ا ی�ک م�د ص�لب جس�می مکان کاری در س�یستم انجام نم�ی شود. چرا ک�ه س�ازه م�ی توان�د ی�ک حرکت

انجام دهد. یادآوری م�ی شود ک�ه برای یک (Rigid Body Motion)ص�لب جس�می جسم صلب داریم:

” اگر یک سیستم نیرویی بر یک جسم صلب در حال تعادل باشد، در اثر تغییر مکان کوچ�ک )مجازی(، کار خارج�ی )مجازی( انجام یافت�ه توس�ط ای�ن نیروها

برابر صفر خواهد بود.“|K|- بنابرای�ن برای ی�ک ماتری�س س�ختی )قب�ل از اعمال شرای�ط مرزی( داری�م:

=0

ماتری�س سختی اص�لی ماینورهای از هیچکدام ک�ه داد نشان توان م�ی ت( را ب�ه صورت K برابر ص�فر نخواه�د بود. اگ�ر ماتری�س س�ختی نهای�ی Kنهای�ی

زیر افراز کنیم:

در این صورت مثبت معین می باشند:

1 02

TU K

, ,,II II I IK K

, ,0 , 0II II I IK K

, ,

, ,

I I I III I

II I II IIII II

K KPK KP

ب�ه همی�ن ترتی�ب م�ی توان ثاب�ت کرد ک�ه نی�ز ی�ک ماتری�س مثب�ت- معین -است.

- مشخص است که به همین ترتیب می توان ثابت نمود که:

اعمال از )بعد نهای�ی س�ازه ماتری�س س�ختی درای�ه های قطری تمام ای�ن بنابر شرایط مرز�ی( مثبت می باشند.

ث( ماتری�س های مثب�ت- معی�ن، مثب�ت- نیم�ه معی�ن و نامعی�ن را ب�ه ص�ورت زیر نیز تعریف می کنند:

آن (Eigenvalues)ماتری�س مثب�ت- معی�ن، ماتریس�ی اس�ت ک�ه ویژ�ه مقادی�ر -همگی مثبت می باشند.

- ماتری�س مثب�ت- نیم�ه معی�ن، ماتریس�ی اس�ت ک�ه ویژ�ه مقادی�ر آ�ن مس�اوی یا بزرگتر از صفر می باشند.

- ماتری�س نامعی�ن ماتریس�ی اس�ت ک�ه ویژ�ه مقادی�ر آ�ن منف�ی، ص�فر و مثبت می توانند باشند.

را م�ی توان ب�ه ص�ورت زیر K- ویژ�ه مس�أله اس�تاندارد برای ماتری�س س�ختی نوشت:

ماتری��س مقادی��ر ویژ��ه از یک��ی (K ویژه از یک��ی و م�ی باشن�د( جواب های ای�ن مس�أله ویژه K ماتری�س (Eigenvectors)بردارهای

جفت های و می باشند.

iiK

0i ii i iiP K K

0iik

K

( , )i i 1,2,...,i n

چون اشاره کردی�م ک�ه ماتری�س س�ختی نهای�ی ی�ک ماتری�س مثب�ت- معی�ن می باشد، بنابراین تمامی ویژه مقادیر آن مثبت می باشند.

ای�ن ک�ه برای ماتری�س س�ختی- ب�ه ب�ا توج�ه از اعمال شرایط مرزی( )قب�ل از ویژ�ه مقادی�ر ماتری�س س�ختی صفر ، K|=0|داری�م ی�ا تعدادی بنابرای�ن یک�ی است:

- m مساوی تعداد مدهای صلب جسمی است (Rigid body modes):

1 2 ... 0m

ج( ماتری�س س�ختی بص�ورت ماتری�س نواری اس�ت. ب�ه عبارت دیگ�ر عناصر غیر گره تمام ک�ه ای�ن بر اص�لی هس�تند، مشروط اطراف قط�ر در به ص�فر ه�ا

همدیگ�ر متص�ل نشده باشند. شماره گذاری طوری انجام شود ک�ه تفاض�ل بین یعنی باشد. محدود شده ممک�ن حداق�ل ب�ه عض�و ی�ک مشخ�ص شماره دو تفاوت بین دو شماره مربوط به یک عنصر حتی المقدور مینیمم مقدار ممکن

را داشته باشد.ماکزیمم تفاوت بین شماره دو انتهای اعضا =3

K[= عرض نوار ماتریس 2+)ماکزیمم تفاوت(×1تعداد درجات آزادی×]([=2()3+)1]3=21

ماکزیمم تفاوت بین شماره دو انتهای اعضا =4K[= عرض نوار ماتریس2+)ماکزیمم تفاوت(×1تعداد درجه آزادی×]

([=2()4+)1]3=27

و Kبنابراین توجه به شماره گذاری گره ها، باعث کاهش عرض نوار ماتریس بالنتیجه صرفه جویی در انبار نمودن اطالعات در ماشین می گردد.

مثالی دیگر در مورد تاثیر شماره گذاری در عرض نوار ماتریس مثالی دیگر در مورد تاثیر شماره گذاری در عرض نوار ماتریس --سختی سازه:سختی سازه:

ماکزیمم تفاوت بین =5 شماره اعضاء

= عرض نوار ماتریس 33K

ماکزیمم تفاوت =2 بین

شماره اعضاء= عرض نوار 15

Kماتریس