ובשח ילמיסטיניפניא - gool · 2013-08-18 · 0 ל וסנכ יה ואדיו ו...
TRANSCRIPT
0
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
חשבו�
אינפיניטסימלי
גיא סלומו
1
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
סטודנטי� יקרי�
ספר תרגילי� זה הינו פרי שנות ניסיו רבות של המחבר בהוראת
באוניברסיטה, חשבו דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב
.במכללת שנקר ועוד, הפתוחה
ו את הרצו להאיר אתשאלות תלמידי� וטעויות נפוצות וחוזרות הוליד
.הדר� הנכונה לעומדי� בפני קורס חשוב זה
והוא מתאי�) 1א "חדו( 1בחשבו דיפרנציאלי ואינטגרלי הספר עוסק
.אוניברסיטאות או מכללות –לתלמידי� במוסדות להשכלה גבוהה
בהתא� לתוכניות, הספר מסודר לפי נושאי� ומכיל את כל חומר הלימוד
ל בקורס זה חשיבות יוצאת#רגִת ניסיו מלמד כי לה. הלימוד השונות
.ולכ ספר זה בולט בהיקפו ובמגוו התרגילי� המופיעי� בו, דופ
www.GooL.co.il לכל התרגילי� בספר פתרונות מלאי� באתר
שאת�כ� ,המלווי� בהסבר קולי פלאשבסרטוני י�מוגש הפתרונות
ממש כפי, שיטתית ופשוטה, את התהליכי� בצורה מובנית י�רוא
הפתרו המלא של השאלה מכוו ומוביל לדר� .שנעשה בשיעור פרטי
.חשיבה נכונה בפתרו בעיות דומות מסוג זה
html1www.GooL.co.il/hedva. :דוגמאותל
דר� לכ� הסטודנטי� ויוביל אתכ�$ישמש מורהשספר זה , תקוותי היא
.להצלחה
גיא סלומו
2
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
תוכ
3 ............................................................................................פונקציה ממשית $ 1פרק
5 ...........................................................................................גבול של פונקציה $ 2פרק
9 ..........................................................משפט ער� הביניי�, רציפות של פונקציה $ 3פרק
12 .................................................................הגדרת הנגזרת, של פונקציה גזירות $ 4פרק
15 ................................................................................חישוב נגזרת של פונקציה $ 5פרק
18 ..............................................................................................בעיות משיקי� $ 6פרק
20 ...................................................................................................כלל לופיטל $ 7 פרק
23 .............................................................................................חקירת פונקציה $ 8פרק
28 ...............................)...והוכחת אי שוויוני� "שאלות מסביב("חקירת פונקציה $ 9פרק
30 ........................................................מינימו� ומקסימו� מוחלטי� לפונקציה $ 10פרק
31 ............................................................................בעיות מקסימו� ומינימו� $ 11פרק
42 ..........).....משפט ניוטו� רפסו�, משפט רול, משפט ער� הביניי�(פתרו� משוואות $ 12פרק
43 ................................................................................................'משפט לגרנג $ 14פרק
45 ........................................................................................................סדרות $ 15פרק
50 .................................................................................................דפי נוסחאות $נספח
3
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
1פרק –תרגילי�
פונקציה ממשית
:של הפונקציות הבאות תחו� ההגדרהמצא את )1(
( )
( ) ( )
2
3 2
2 2
2
2 3
3 2 2
21
4 1 1(3 (2 4 1 (1
1 4
14 (6 (5 (4
2
1(9 1 (8 2 (7
1 | |
1(12 log (11 ln 2 (10
log
cot 4 (15 tan 10 (14 log ( 4) (13
arccos( 1) (18 arcsin( 4) (1
x
x x
xy y y x x x
x x
xy x y y
x x x x
y y x x y x xx
y e y x y x xx
y x y x y x
y x y x
+ +
+= = = − − +
+ −
= − = =− − −
= = + − = + −−
= = + = + −
= = = +
= + = − 7 arctan( 4) (16y x= +
24 :הבאות נתונות הפונקציות )2(. ( ) , ( ) , ( ) 4h x g x x f x x
x= = = −
:הבאות הפונקציות המורכבותאת חשב
( ( )) (6 ( ( )) (5 ( ( )) (4 ( ( )) (3 ( ( (5))) (2 ( (1)) (1h h x f f x h f x f g x h g f f g
)3( � הפונקציה מצא את ובתחו� הגדרתה ע"חחהוכח שהפונקציה הנתונה היא בתרגילי� הבאי
.של הפונקציה תמונההבנוס+ מצא את .הל ההפוכה
2 3 2 1 1( ) 4 ( 0) (4 ( ) (3 ( ) (2 ( ) (1
2 3
x x xf x x x f x f x f x
x x
− + −= − ≥ = = =
−
ואיזה אי זוגיותמצא איזה מבי� הפונקציות הבאות ה� )4(
:זוגיות4 10 3
2 2 2
1(4 1 (3 (2 4 (1
sin cos (8 ln (7 2 (6 sin (5x
y y y x x y xx
y x x y x x y y x x
= = = + =
= ⋅ = + = = +
:של כל אחת מהפונקציות הבאות המחזורמצא את )5(
2sin (4 tan (3 5 3sin(4 1) (2 2sin (13
xy x y y x y x= = = + + =
.גר/ הפונקציהושרטט את *כפונקציה מפוצלתרשו� כל אחת מהפונקציות הבאות )6(
2| |(4 2 | 1| (3 3 | 1| (2 | 2 | (1
xy y x x y x y x
x= = + − = + = −
."לפי מקרי�"או פונקציה "תפר"או פונקציית " מוטלאת"פונקציה ,"מפוצלת"יש הקוראי� לפונקציה *
4
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
1פרק – פתרונות
)1(
x 2(2xכל ) 1 ≠ ,x 4 (0,1כל ) 3 ± 1x ≠ − 5 (2, 1x ≠ −
6(4x ≥ 7(1x 2xאו ≤ ≤ x 9 (1כל ) 8 − 1x− < < 10(1x 2xאו < < −
11(0 1x< x 13 (0כל ) 12 ≠ 1x< ≠ 14 (20 10x kπ π≠ + 15 (4x kπ≠ ⋅
x 17 (3כל ) 16 5x< < 18(2 0x− < <
)2(
24(6 8 (5 (4 4 (3 4 (2 3 (1
4x x x
x− − −
−
)3(
1 (1( ) 3 1f x x− = y 2 (1כל , + 1( )
1f x
x
− =−
,1y ≠ 3 (1 2 2( )
3
xf x
x
− −=
− , 3y ≠
4 (1( ) 4f x x− = +, 4y ≥ −
)4(
.6,7 –כלליות 1,4 –אי זוגיות 2,3,5,8 –זוגיות
)5(
2(4 3 (3 (2 2 (1ππ π π
)6(
2
2
3 3 1 2 2(2 (1
3 3 1 2 2
1 0 2 2 1(4 (3
1 0 2 2 1
x x x xy y
x x x x
x x x xy y
x x x x
+ ≥ − − ≥ = =
− − < − − <
> + − ≥ = =
− < − + <
5
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
2פרק –תרגילי�
גבול של פונקציה
)1( � ):הצבה(חשב את הגבולות הבאי
2
100 10 41
1lim 20 (4 lim 3 (3 lim (2 lim 1 (1
2x x xx
xx x x
x+→ → →→
++ + +
+
)2( � ):פירוק לגורמי�/צמצו�(חשב את הגבולות הבאי
7 2 2
2 21 1 5 3
2 50 6lim (4 lim (3 lim (2 lim (1
1 1 2 3 35 9
n
x x x x
x x x x x x x
x x x x x→ → →− →
− − − − −− − + − −
)3( � ):כפל בצמוד(חשב את הגבולות הבאי
2
21 3 3 1
3
1 1 4
2 2 3 6 3 1lim (4 lim (3 lim (2 lim (1
1 2 6 11 2
1 2 3 1 2 1 5lim (7 lim (6 lim (5
1 41 2 1
x x x x
x x x
x x x x x
x x xx
x x x x
x xx
→ → → →
→ → →
+ + − − + − −− − −+ −
− − + + − +− −− −
)4( �sin הטריגונומטרי גבולב היעזר(חשב את הגבולות הבאי
0lim 1x
xx→
=:(
0 0 0
3 20 0 0
2 3 40 0 0
cos sin(3 ) sin(3 )lim (3 lim (2 lim (1
sin 2 sin(4 ) 4
1 sin cos tan sin 1 coslim (6 lim (5 lim (4
1 cos 3sin sin 3 1 cos(1 cos )lim (9 lim (8 lim (7
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x x x
→ → →
→ → →
→ → →
+ − − −
− − − −
)5( � ):פונקציה השואפת לאינסו/(חשב את הגבולות הבאי
( )
2 2 2 2
22 2 2 0
1
2
0 0 2 0
1 1 100 0 0
1 ( 1) 4lim (4 lim (3 lim (2 lim (1
( 2)( 5) (2 ) 2
1 lnlim (8 lim (ln ) 2 ln 3 (7 lim ln(2 ) (6 lim (5
2
1 1 1lim ln cot (12 lim (11 lim (10 lim (9
1 2 1 2 1 2
x x x x
x
x x x x
xx x xx x x
x x x x
x x x x x
xe x x x
x
x x
−
+ −
→ → → →
+ +→ → → →
+→→ → →
− − − +− − − −
+ − − −
⋅
+ + +
6
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)6( � ):לאינסו/ /שוא x(חשב את הגבולות הבאי
( )2
ln
2
2 4 2 4 2
5 3
6 2 2
3 2
1
4 2
4 2lim (3 lim arctan (2 lim (1
1000
5 6 2 6 2 6lim (6 lim (5 lim (4
2 10 2 3 10 3 10
9 5 1 1lim (9 lim (8 lim (7
2 1
16 4lim
2
xx x
x x x
x x x
x x x
x x
xx
xx e e
x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
−
→∞ →−∞ →∞
→∞ →∞ →−∞
→−∞ →−∞ →∞
+
+→∞
++
+
− + + + + +− + + +
− + +− +
++
3 4 2 6
3 3 4
1 1 1
0.5 3 0.5 3 4 2 3
3
3
4 22 6
43 10
2 3 3 2 6 27(12 lim (11 lim (10
2 4 1 5 1 3 10 4
4 9 3 4 9 3 16 4lim (15 lim (14 lim (13
81 3 81 3 2 2
3 5 1lim (18 lim ln
2
x x x
x x x x x x
x x x x x xx x x
x x
x x
x x
x x x x x
x x x x x
x xe
x x
+ →∞ →∞
+ + +
+ + + +→−∞ →∞ →−∞
→∞ →∞
+ +
+
+ − − + + +
+ − − + +
⋅ + ⋅ + ++ + +
− −−
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
4 22
55
2 2 2
2 2 4 2 2
4 2(17 lim (16
1 1000
1 2 6lim 5 (21 lim (20 lim sin (19
2 3 10
lim 1 (24 lim 1 (23 lim (22
lim (26 ( 1 ) (25lim
x
x x x
x x x
xx
x
x x
ax x xx x x
bx x x
x x x x x x x kx x
x ax x bx x x x
→∞
→∞ →∞ →−∞
→−∞ →∞ →∞
→∞ →∞
+ + +
+ + ++ − + +
+ + + + + − + −
+ − + + + −
)7( �) של אוילר בגבול העזר(חשב את הגבולות הבאי ) ( )1
1
0lim 1 lim 1
xx
xx x
x e→∞ →
+ = + =:(
( )2
2
11
20
10 42 2
2 2
2 1 1lim (3 lim 1 (2 lim 1 (1
2
2 3 1lim 1 sin (6 lim (5 lim 1 (4
2 3
1 4 1 1lim 1 tan (9 lim (8 lim
2 2 4
x x x
x x x
x x
x
x x x
x xx
x x x
x
x x x
xx
x x
x x x x
x x x x x
→∞ →∞ →∞
−
→ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
+ + +
+ + − −
+ + + + + + + + +
2
(7
7
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)8( � ):'בכלל הסנדוי1י שימוש "ע(חשב את הגבולות הבאי
( )
[ ]
[ ]
22 2
20 0
0
3 sin cos(2 1) sinlim (3 lim (2 lim (1
4 cos
1 3 sin 2lim cos ln (6 lim sin (5 lim (4
cos3
1 3 arctan(2 3)lim (9 lim 2 3 4 (8 lim (7
4 arctan( ln )
1lim (10
x x x
x x x
x x x x
x x x
x
x x x x
x x x x
x x xx x x
x x x
x xx
x x x x
xx
→∞ →∞ →∞
→ → →∞
→∞ →∞ →∞
→
+ ++
+ + ⋅ ⋅ +
+ −+ +
+ −
limחשב את הגבול )9( ( )x a
f x→
):גבול של פונקציה מפוצלת(של הפונקציות הבאות
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1
2 sin 41 01
1 ( ) (2 0 ( ) (11
1 4 01
| | | |( ) (4 0 ( ) (3
| |( ) (5
x
x x xx xx xa f x a f x
xx e x
x
x xa f x a f x
x x
xa f x
x
+ − > > −= = = = − < + < −
= ∞ = = =
= −∞ =
!מאוד חשובה הערה
בעזרת . )8פרק ראה ( לחישוב גבולות כלל לופיטלהמש� את א לומדי� ב"במרבית קורסי החדו .4 $ ו 3, 2את הגבולות המופיעי� בשאלות ללא מאמ1כלל זה נית לחשב
8
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
2פרק – פתרונות
1112
10 58.5 6
3 31 1 1 13 4 6 8 12 2
3 31 1 1 1 18 2 2 2 2 4 4
2
1
3
40 (4 2 (3 (2 21 (1
1 (4 6 (3 (2 (1
(7 (6 (5 (4 (3 4 (2 (1
1 (9 4 (8 (7 (6 (5 (4 (3 (2 (1
0 (9 (8 (7 (6 (5 (4 (3 (2 (1
(12 (11 1 (10
3 (9 1 (8 1 (7 5 (6 0 (5 (4 4 (3 (2 0 (1
(18 ln
n
e
π
φ φ φ φφ
−
−
∞ ∞ −∞ −∞
−∞
− − − −∞ −
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1 319 2 5
2
1
30 12 3 1 2 2
3 (17 2 (16 (15 4 (14 0 (13 0.25 (12 (11 1.5 (10
(26 1/ 2 (25 1/ 2 (24 1/ 2 (23 / 2 (22 2.5 (21 (**) (20 0 (19
(9 (8 (7 (6 (5 (4 (3 1 (2 (1
1 (9 4 (8 0.75 (7 0 (6 0 (5 3 (4 0.75 (3 0 (2 0 (1
0 (10
1 (5 1 (4 (3 (2 4 (1
a b k
e e e e e e e e
φ φ
−−
−
− −
−
−
(7)
(8)
(9)
:יש להפריד לשלושה מקרי� 20תרגיל 6בשאלה (**)
5lim 0
lim 0, 0
lim 0, 0
(I
(II
(III
ab
b
a b
a b
= ⇐ ≠
= ∞ ⇐ > =
= −∞ ⇐ < =
9
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
3פרק –תרגילי�
ומשפט ער� הביניי� רציפות
רציפות
:שלה� *"נקודת התפר"ב בדוק את רציפות הפונקציות הבאות )1(
) � ).שרטט את גר+ הפונקציה 4 �ו 3בסעיפי
11
2
2
sin0 sin 4
0( ) 2 0 (2 ( ) (1
4 01 0
1 1 2( ) (4 ( ) (3
5 21
1 sin 01
0 12 1 2( ) (6 ( ) (5
2 1 21 2
3 22 2
xx
xx x
x xxf x x f x
e xe x
x x x xf x f x
x xx x
x xxx
x xx xf x f x
x xx
x xx x
> > = = =
+ < + <
≥ + ≤ = =
− ><
<≤
≤ < − < <= = − ≤ <=
− ≥− >
. נקודת התפר היא הנקודה בה נוסחת הפונקציה משתנה *
0xהיא 1נקודת התפר בתרגיל , למשל =.
: xלכל שהפונקציות הבאות תהינה רציפותעל מנת k הקבוע מה צרי� להיות הער� של )2(
22
2
2
2 3221
( ) (2 ( ) (1125 6
1
5 32 0 2( ) (4 ( ) (32
02
x
x xxkx xx
f x f xxxkx
k x
xx k x xf x f x x
x xk x
+ − ≤ + −≠= =−
>− =
+ −− ≤ ≠= = −> =
).8פרק (תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל 4על סעי/ : הערה
10
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
שהפונקציות הבאות תהינה רציפות על מנת b �ו a י�הקבוע מה צרי� להיות הער� של )3(
: בתחו� הגדרת�
23
2
1
1
1
1
12
11
2
01
sin( ) 1 1 1 (2 ( ) 0 (1
21 cos4 1
( 1)
1 11
( 1) ln( 1) 0 11
( ) 1 2 (4 ( )2 2
0( 1) 2 2 4
x
x
x
xx
ax b xa x x x
xf x bx x x f x x
xx a a a x xx
a x
x xx
x x b xe
f x ax b x f x
a xx x
π
π
−
−
−
+ ≤+ < −
= + − − ≤ ≤ = < <
− + − ≥ > −
>< − + + ≤ ≤ + = + ≤ ≤ = − < − > +
(3
).8פרק (תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל 4 $ ו 3על סעיפי� : הערה
.רשו� עבור כל נקודת אי רציפות מאיזה סוג היא) 1(ל אחת מהפונקציות בשאלה עבור כ )4(
)5( � :הוכח או הפר
1 .� .רציפה לא א פונקציהושתי פונקציות לא רציפות ה סכו
.רציפה לא שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציההפרש . 2
.רציפה לא תי פונקציות לא רציפות היא פונקציהמכפלת ש. 3
.רציפה לא פונקציות לא רציפות היא פונקציה מנת� של שתי. 4
fהא� . לא רציפה�gרציפה ו �f ידוע ש )6( g+ רציפה ?� .הוכח את טענת
11
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)של קושי( משפט ער� הביניי�
.גרפיתקושי והסבר אותו צטט את משפט ער� הביניי� של )7(
:הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות פתרו� אחד) 8(
2 30.25sin 7 (3 ln (2 4 1 0 (1x x x x x x− = = − + − =
3הוכח שלמשוואה )9( 2 0x bx cx d+ + + .יש לפחות פתרו� אחד =
:הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות שני פתרונות )10(
3 14 5 0 (2 5 0 (1x
x x e xx
+ − = − =
(0): המקיימת xרציפה לכל פונקציה f תהי) 11( 1, (1) 2f f= = .
)הוכח שלמשוואה ) sin 4f x x x+ .יש לפחות פתרו� אחד =
2שאורכו אינו עולה על יחידה אחת בו למשוואה מצא קטע )12( 110x
x= .יש פתרו� −
2 נגדיר )13( 1( )
1f x x
x= +
−.
,(0)חשב . א (2)f f.
2הא� נית� להסיק לפי משפט ער� הביניי� שלמשוואה . ב 10
1x
x+ =
− .(0,2)יש פתרו� בקטע
3פרק – פתרונות
0,1x: 'רציפה בנק) 5. רציפה) 4. רציפה) 3. לא רציפה) 2. לא רציפה) 1 )1( לא רציפה, =
2xבנקודה 1x' רציפה בנק) 6. = 2x' לא רציפה בנק. = = .)2( 1 (1k = .2 (4k =.
3 (2
3k = .4 (1k = − .)3( 1 (
10,
2a b= = .2 (1, 2a b= ,2או = 1a b= =.
3 (1 12 ,a e b e− −= − = .4 (/ 3 , / 3a e b e= = מסוג ) 5 .סליקה) 2. סליקה) 1 )4(. −
] )12( . סליקה) 6 .ראשו� (0). א )13(. 0.1,1[ 1 , (2) 5f f= − .לא. ב. =
12
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
4פרק –� תרגילי
הגדרת הנגזרת, גזירות של פונקציה
. שלה) תפר(תאר שתי דרכי� שונות לבדיקת גזירות של פונקציה מפוצלת בנקודת הפיצול . א )1(
הסבר מתי, בנוס+. שלהל� כדי להדגי� שתי שיטות אלה .3.ב השתמש בבפונקציה מסעי+
� .יארתלהשתמש בכל אחת מהשיטות שת עלי
בנוס+ רשו� נוסחה עבור . בכל דר� שתבחר בדוק גזירות הפונקציות הבאות בתחו� הגדרת�. ב
.אחת מהפונקציות כלהנגזרת של
2 2
3 3
2
2 3
2
2
5 2 4 2( ) (2 ( ) (1
14 2 14 2
ln(1 2 ) 0.5 0 8 2( ) (4 ( ) (3
2 0 12 2
( ) 3 | | 1 (6 ( ) 2 4 | 1| (5
1 1sin 0 sin 0
( ) (8 ( ) (
0 0 0 0
x x x x x xf x f x
x x x x
x x x x xf x f x
x x x x x
f x x x x f x x
x x x xf x f xx x
x x
− ≥ − ≥ = =
− < − <
+ − < < + ≥ = =
+ ≥ + <
= + + = + −
> > = = ≤ ≤
7
)2(
נתונה הפונקציה
3 1 1
( ) 11
x x
f xa x
x
+ ≥ −
= + < −
.
1xהפונקציה רציפה בנקודה aעבור איזה ער� של הקבוע . א = − .
הא� הפונקציה הנתונה על פי הגדרת הנגזרתשקיבלת בסעי+ א בדוק a �עבור ער� ה. ב
1xגזירה בנקודה = −.
)3(
נתונה הפונקציה 3
2
1 0( )
( 1) 0
x xf x
x x
− ≥=
− + <.
? נקציה רציפה הא� הפו. א
1xהא� הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה על פי הגדרת הנגזרתבדוק . ב =.
13
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
.יהיו הפונקציות הבאות גזירות בנקודת התפר b �ו a הקבועי� עבור איזה ערכי� של )4(
.נגזרת עבור ה רשו� נוסחה, עבור ערכי� אלה
)א
3ln 0( )
x x ef x
ax b x e
< ≤=
+ > )ב
0 1( )
1
xe xf x
ax b x
< ≤=
+ >
:את נגזרות הפונקציות הבאות על פי הגדרת הנגזרתחשב )5(
21( ) sin 4 (3 ( ) (2 ( ) 4 1 (1
1
( ) 10 (6 ( ) ln (5 ( ) (4x
f x x f x f x x xx
f x x f x x f x e
= = = + ++
= + = =
.אסור להשתמש בכלל לופיטל בתרגיל זה*
:עבור כל אחת מהפונקציות הבאות f(0)'חשב את )6(
( )
2
10 4
2 10
0
4 3
( ) ( 1)( 2)( 3) ( 44) (1
( ) 2 (| | 1) 1 (2
sin ( 4) (1 tan ) cos( sin )( ) (3
( 1) ( 10)
(0) 1, lim ( ) 4 : ( ) ( ) (4
( ) | sin(10 ) 1| (5
נתון x
f x x x x x x
f x x x x x
x x x x xf x
x x
z z x f x x z x
f x x x x
→
= − − − −
= + + +
− + +=
− −
= = = ⋅
= − + −
L
0xגזירה פעמיי� בנקודה ) 4סעי+ ) 1(בדוק הא� הפונקציה משאלה )7( = .
)8( � ):א� לא הבא דוגמה נגדית לטענה. הוכח אותה, א� הטענה נכונה (הוכח או הפר
fאז �0xאינה גזירה ב g � ו, 0x � גזירה ב hא� . א g h= .0x �אינה גזירה ב +
�אינה גזירה ב hא� . ב0x ,ו� g אינה גזירה ב �
0x אזf g h= �אינה גזירה ב +0x.
fאז �0x אינה גזירה ב g �ו, 0x �אינה גזירה ב hא� . ג g h= .0x �אינה גזירה ב ⋅
fאז �0xאינה גזירה ב g � ו, 0x � גזירה ב hא� . ד g h= .0x �אינה גזירה ב ⋅
14
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
4פרק –פתרונות
)1(
2 2
2
2 5 2 2 4 2'( ) (2 '( ) (1
3 2 3 2
22 8 20.5 0
'( ) (4 '( ) (31 23 2
2 2 0
8 0 4 1'( ) (6 '( ) (5
4 0 4 1
1 1 1 1 12 sin cos 0 sin cos
'( ) (8 '( )
0 0
x x x xf x f x
x x x x
x xxf x f xx
x xx x
x x xf x f x
x x x
x x xf x f xx x x x x
x
− > − > = =
< <
+ ≥− < <= =+
< + ≥
≥ > = =
< − <
− > − >= = ≤
0(7
0 0x
<
�בנקודות בה� הנגזרת לא . הפונקציה גזירה, בתחומי� בה� קיימת נוסחה לנגזרת! לתשומת לב
2xהפונקציה גזירה עבור 1בסעי+ , למשל. קיימת הפונקציה לא גזירה ≠ .
)2( 1( 1a . לא גזירה) 2 =
.לא גזירה) 2רציפה ) 1 )3(
3) א )4( / , 2a e b= = ,) ב. − 0a e b= =.
)5(
( ) 2
1'( ) 4cos 4 (3 '( ) (2 '( ) 2 4 (1
( 1)
1 1'( ) (6 '( ) (5 '( ) (4
2 10
x
f x x f x f x xx
f x f x f x exx
−= = = +
+
= = =+
)6 (( )1010 (5 4 (4 0.4 (3 2 (2 44! (1−
)7( � .לא גזירה פעמיי
15
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
5פרק –תרגילי�
גזירה של פונקציה
:)גזור פע� אחת 27�29בסעיפי� (את הפונקציות הבאות פעמיי�גזור )1(
2 2 2
2
3 3 3
2 2
2 2
1
2 5 6 2 4( ) (3 ( ) (2 ( ) (1
2 10 2( 1)
1( ) (6 ( ) (5 ( ) (4
1 ( 1) 4
ln ln( ) ln (9 ( ) (8 ( ) (7
1( ) ln 2 ln 3 (12 ( ) ln (11 ( ) ln (10
2
( ) ( 2) (15 (x
x x x x xf x f x f x
x xx
x x xf x f x f x
x x x
x xf x x x f x f x
xx
f x x x f x f x x xx
f x x e f x
− + + += = =
++
+ = = = − + −
= ⋅ = =
= + − = = ⋅−
= + ⋅
( )
2
1
2
2
3 2 3 2
4 3 3 2
2 2 3
2
2
1) (14 ( ) ln (13
ln
( ) 1 (18 ( ) (17 ( ) (16
( ) cos( ) (21 ( ) sin( ) (20 ( ) (1 ) (19
( ) ln(cos ) (24 ( ) tan( ) (23 ( ) sin (22
sin( ) 1 (27 ( ) arctan( ) (26 ( ) arcsin
x
x
e f x xx
f x x f x x f x x e
f x x f x x f x x x
f x x f x x f x x
xf x x f x x f x
−
= = +
= − = = ⋅
= = = −
= = =
= + = =
( ) ( )ln
(2 3) (25
( ) cos (29 ( ) sin (28x
x
xf x x f x x
+
= =
16
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
5פרק – פתרונות
1( 2
2 3
2 8 4'( ) , ''( )
4
xf x f x
x x
−= =
2( 2
2 3
2 20 62 448'( ) , ''( )
(2 10) (2 10)
x xf x f x
x x
+ −= =
+ +
3(
3 4
4 4(1 2 )'( ) , ''( )
( 1) ( 1)
x xf x f x
x x
−= =
+ +
4( 2 2 2
2 2 2 3
( 12) 4 (2 24)'( ) , ''( )
( 4) ( 4)
x x x xf x f x
x x
− ⋅ += =
− −
5( 2
3 4
( 3) 6'( ) , ''( )
( 1) ( 1)
x x xf x f x
x x
+= =
+ +
6( 2
4 5
6( 1) ( 1)( 3)'( ) , ''( ) 12
( 1) ( 1)
x x xf x f x
x x
+ + +=− =
− −
7(
2 3
1 ln 2ln 3'( ) , ''( )
x xf x f x
x x
− −= =
8(
1.5 2.5
2 ln 3ln 8'( ) , ''( )
2 4
x xf x f x
x x
− −= =
9(
1'( ) ln 1, ''( )f x x f x
x= + =
10( '( ) (2 ln 1), ''( ) 2 ln 3f x x x f x x= + = +
11(
2
1 1'( ) , ''( )
2(2 ) (4 2 )f x f x
x x= =
− −
12(
2
2 2 ln'( ) (ln 1), ''( )
xf x x f x
x x
−= + =
13( 4 5 4
3 2 4
2 ln ) 1 2 (ln ) (ln ) (ln ) 3'( ) , ''( )
(ln ) (ln )
x x x xf x f x
x x x x
( − − − −= = −
14( 1 1
2 4
1 1 2'( ) , ''( )x x
xf x e f x e
x x
+ = ⋅ − =
15(
1 12
2 4
2 5 2'( ) , ''( )x x
x x xf x e f x e
x x
− − + = =
16 ( 2 22 22 2'( ) (1 4 ), ''( ) 4 (3 4 )x xf x e x f x xe x− −= − = − −
17(
3 3 4
2 2'( ) , ''( )
3 9f x f x
x x= = −
⋅ ⋅
18(
2
2 5/32 23
11
2 2 3'( ) , ''( )3 ( 1)3 ( 1)
xx
f x f xxx
− −= = ⋅
−−
19(
3 3 4
2 5 2 1 5'( ) , ''( )
93
x xf x f x
x x
− += = − ⋅
20(
17
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
3 2 4 3 3'( ) cos( ) 3 , ''( ) 9 sin( ) 6 cos( )f x x x f x x x x x= ⋅ = − + ⋅ 21(
4 3 6 4 2 4'( ) sin( ) 4 , ''( ) 16 cos( ) 12 sin( )f x x x f x x x x x= − ⋅ = − − ⋅
22( 2 2 3'( ) 3sin cos , ''( ) 6sin cos 3sinf x x x f x x x x= ⋅ = −
23( 2 2 2 2 2
2 2 4 2
2 2 cos ( ) 8 cos( )sin( )'( ) , ''( )
cos ( ) cos ( )
x x x x xf x f x
x x
⋅ −= =
24(
( )2
2 2
2 2
4'( ) tan( ) 2 , ''( ) 2 tan( )
cos ( )
xf x x x f x x
x
−= ⋅ − = −
25 (
( )3/22 2
1 2 3'( ) , ''( )
3 2 2 3 2
xf x f x
x x x x
+= =
− − − − − −
26(
( )4
24 4
2 2 6'( ) , ''( )
1 1
x xf x f x
x x
−= =
+ +
27(
sinsin'( ) cos ln( 1)1
xxf x x x xx
= ⋅ + + +
28(
( ) ( )'( ) sin ln(sin ) cotx
f x x x x x= + ⋅
29(
( )ln ln(cos )'( ) cos tan ln
x xf x x x x
x
= ⋅ − ⋅
18
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
6פרק –תרגילי�
)המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת(בעיות משיקי�
yהישר )1( x b= )משיק לגר+ הפונקציה + ) xf x e= . מצא אתb ואת נקודת ההשקה.
4yהישר )2( x b= משיק לגר+ הפונקציה +2
2( ) 3f x
x= .ואת נקודת ההשקה bמצא את . +
3yהישר )3( x= משיק לגר+ הפונקציה( )f x x x b= . ואת נקודת ההשקה bמצא את . +
הישר )4(1
2y ax= משיק לגר+ הפונקציה +
2( )g x
x c=
+0xבנקודה . c �ו aמצא את .=
)מצא את משוואת המשיק לגר+ הפונקציה )5( ) lnf x x= בנקודהx e=.
)3מצא את משוואת המשיק לגר+ הפונקציה )6( ) 1f x x= 0xבנקודה + = .
2 למעגלמצא את משוואת המשיק )7( 2 25x y+ ,3) בנקודה = 4) .
הפונקציות )8(1
yx
21 �ו =
2y x k= − .ואת נקודת ההשקה kמצא את . משיקות זו לזו +
)9( � .הנתונההנקודה מצא את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק לגר+ העקומה העובר דר
,2)2) א 3) 2 1y x x− = − )) ב + 3,1) y x− =
:מצא את משוואת המשיקי� המשותפי� לפונקציות הבאות )10(
2y x= 21 � ו
54
y x= − −.
)2מצא את הזווית בי� הפונקציות )11( )y f x x= �ו =1
( )y g xx
= =.
2 מעגלמצא את הזווית בי� ה )12( 2 8x y+ 2 הפרבולהו = 2y x=.
2הוכח שהאליפסה )13( 22 8x y+ 2וההיפרבולה = 2 2x y− . נחתכות בזוית ישרה =
19
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
6פרק – נותפתרו
1yומשוואת המשיק היא (0,1)נקודת ההשקה היא )1( x= +.
)נקודת ההשקה היא )2( 4ומשוואת המשיק היא −(1,5 9y x= +.
. b = 4 � ו (4,12)נקודת ההשקה היא )3(
נקודת ההשקה היא )4(1
(0, )2
ומשוואת המשיק היא 1 1
8 2y x= − +.
משוואת המשיק היא )5(1
y xe
=.
1yמשוואת המשיק היא )6( = .
שוואת המשיק היא מ )7(3 25
4 4y x= − +
)8 (1.5k . (1,1)נקודת ההשקה , =
6) א) 9( 15 , (4,9) , 2 1 , (0,1)y x y x= − = − +
: המשיק) ב 1 3
, (9,3)6 2
y x= + .
)10( 2 1 , 2 1y x y x= − = − −
)11( 71.57o
)12( 71.56o
20
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
7פרק –תרגילי�
כלל לופיטל
)1( � :חשב את הגבולות הבאי
2 2
2 21 5 3
2
3 4 3
3 2
0 1
2
3 20 0
2 50 6lim (3 lim (2 lim (1
1 2 3 35 9
7 4 2 1 5 3lim (6 lim (5 lim (4
42 1 1 2
31 1
1 2 1lim (9 lim (8 lim (7
1 1
2 2 2 1lim (12 lim (11 l
2
n
x x x
x x x
x
x x x
x x
x x
x x x x x
x x x x
x x x x
xx x
e x xx
x x
x
e x x e x
x x
→ →− →
→ → →
→ →∞ →
→ →
− − − −− + − −
+ − + − + −−− − + −
− −− − −
−
− − − − −0
2
22
20 1
2
2
20 0 0
30 0 0
im ( , 0) (10
1ln
1ln ( 1) ln 1lim (15 lim (14 lim (13
1 2 1
sin( ) sin( ) tanlim (18 lim (17 lim (16
sin( )
1 sin cos tan sin silim (21 lim (20 lim
x x
x
x x x
x x x
x x x
a ba b
x
x
xx x x x
x x x
x
ax ax x
bx bx x
x x x x x
x x
→
→ →∞ →
→ → →
→ → →
−>
+ −+ + − +
− +
+ − − −3
2 2
4 3 40 0 0
2 2
2 40 0
2
2 00
n(19
sin sin( ) sin (1 ) 1 cos(1 cos )lim (24 lim (23 lim (22
arctan( 3 ) ln(cos )lim tanh (27 lim (26 lim (25
arcsin( 4 )
1 2cosh 2 silim (30 (29 lim
2 3 1 cos 2lim
x
x x x
x x x
x xx
x
x
x x e x x x x
x x x
x x xx
x x x
x x
x x x
→ → →
→∞ → →
→∞ →→
− − + − −
+−
+ −+ + −
2
n(28
sinh
(ln ) 2ln 3 ln 1(33 lim (32 (31lim lim
x
xxx x
x
x
x x x x e
x e x→∞→∞ →∞
+ − + +
21
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
2
03 0
0
1
0
2
0
0
ln(sin )(36 (35 (34
ln(tan )
1(39 (38 lim ln (37
lim ( 9) ln( 3) (42 lim ln (41 lim(1 cos ) cot (40
1 1 5lim (45 lim 1 1
sin
1
tan ln
lim limlim
lim limx
xx x
x x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
xx
x x x x x x
xx x x
e
xe
x
x x x e+
+
+ +
→∞
→→ →
→ →∞
→ −
−
→
→∞ →
→∞⋅
− ⋅ − ⋅ −
− ⋅ + −
⋅
⋅
[ ]
2
2
10
1
21
10
2sin
220
3(44 lim ln (43
3
1 1lim 1 (48 lim ln(3 ) ln(sin 5 ) (47 lim (46
ln 1
lim ( ) ( 0) (51 lim (50 lim 1 (49
1lim (54 lim (53 lim (2
1
x
x xx
x x
x xx
x
x
x xx
xx
x
x x x x xx x
ax a x x x x
xx
x
+
+
→∞
→∞ →→
−
→ →−∞→
→∞ →→ +
+
+ ⋅ −
+ + − − − −
> + + +
+ −
24
22
2
11 1
2
0 0 0
cot tan tan
0 0 0
1
2 cot tan
0 0 0
4) (52
tanlim(cos ) (57 lim (56 lim(1 tan 3 ) (55
lim( 1) (60 lim (59 lim (sin ) (58
sinlim (63 lim (1 ) (62 lim ( sin ) (61
x
xx x
x x x
x x x
x x x
xx x
x x x
x
xx x
x
x x x
xx x x
x
+ +
+ +
−
→ → →
→ → →
→ → →
−
+
+
+ +
22
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
כל אחד מהגבולות הבאי� הוא מ� הסוג )2(∞ ∞
כלל , הסבר מדוע למרות כ� הראה זאת ו.
� .את הגבולחשב לבסו+, לופיטל אינו ישי
1 2
4 2 3
3 sin 16 4 1lim (3 lim (2 lim (1
4 cos 2 2
x x
x xx x x
x x x
x x x
+
+ +→∞ →∞ →∞
+ + ++ +
7פרק – פתרונות
5 3 1 20 5(7 (6 (5 4 (4 1 (3 (2 (1
6 2 6 17 6
1 1 1 32 (14 (13 (12 (11 ln (10 1 (9 (8
2 6 2 2
1 1 1(21 (20 (19 (18 (17 1 (16 1 (15
2 2 6
3 1 1 1 11 (28 1 (27 (26 (25 (24 (23 (22
4 2 3 3 8
1 1 20 (35 (34 0 (33 (32 (31 (30 (29
2 2 3
0 (42 0 (41 0 (40 0 (39 0 (38 0 (37 1 (
a
b
n
a a
b b
−
− −
− − −
∞ ∞
(1)
2
1/2 1/3 3
1/6
36
1 3(49 ln (48 0.5 (47 0 (46 2.5 (45 6 (44 0 (43
2 5
11 (56 (55 1 (54 1 (53 1 (52 (51 (50
2
1 (63 (62 1 (61 1 (60 (59 (58 (57
(65 (64
e e
e e e e
e e
−
−
−
)2(
1 (1 2 (0.25 3 (0.75
23
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
8פרק –תרגילי�
חקירת פונקציה
נקודות , תחו� הגדרה ורציפות :חקור את הפונקציות הבאות חקירה מלאה לפי הפירוט הבא )1(�תחומי , נקודות קיצו�, **ומשופעותאופקיות ,אסימפטוטות אנכיות, זוגיות, *חיתו� ע� הצירי
.גר+ , קעירותו תחומי קמירות, ***נקודות פיתול, ירידהו עליה
4 3 2
2
3 3 2
2 2 2
32 2
2
3 2
2
2
1( ) (3 ( ) 2 (2 ( ) ( 9) (1
2( ) (6 ( ) (5 ( ) (4
( 1) 4 ( 1)
4 3 1 1( ) (9 ( ) (8 ( ) (7
4 ( 2)( 5) 1
ln ln( ) (12 ( ) (11 ( ) (10
1
( ) ln 2ln 3 (
xf x f x x x f x x x
x
x x xf x f x f x
x x x
x x x xf x f x f x
x x x x
x x x xf x f x f x
x xx
f x x x
−= = − = −
= = =+ − +
− + − + = = = − − − −
−= = =
−
= + −
( )
2
2 2
2
1 1
23 32 2
2
2
115 ( ) ln (14 ( ) ln (13
2
1( ) (18 ( ) ln (17 ( ) 4ln 4ln 3 (16
ln
( ) (21 ( ) ( 2) (20 ( ) (19
1( ) 1 (24 ( ) (1 ) (23 ( ) (22
1
| 3 |( ) 2arctan (27 ( ) (26
2
x
x xx
f x f x x xx
f x x e f x x f x x xx
f x x e f x x e f x e
f x x f x x x f xx
xf x x x f x f
x
−
= = ⋅−
= − = + = − −
= ⋅ = + ⋅ =
= − = − =+
−= − =
−
( ) ( )
3 2
2
0 2 0
( ) 1 (25
( ) 8cos 2cos2 3 (30 ( ) 2cos sin 2 (29 ( ) arcsin(sin ) (28
x x
x x
f x x x f x x x f x x
π π≤ ≤ ≤ ≤
= −
= + − = − =
:הערות
.השרטוטלאחר רק חיתו� את המצא 18בשאלה . xאי� צור� למצוא חיתו� ע� ציר 27בשאלה *
** � ).אי� וג�(אי� צור� למצוא אסימפטוטות 1,2,28,29,30בתרגילי
*** �� כ� למדתאי� צור� למצוא נקודות פיתול אלא א 9,17 בתרגילי� 8בתרגיל .ניוטו� רפסו� .משוואה ממעלה שלישית לפתור �אי� צור� למצוא נקודות פיתול אלא א� כ� למדת
24
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
8פרק – פתרונות
)1(
1(
x
y
2(
x
y
3(
x
y
4(
x
y
5(
x
y
6(
x
y
7(
x
y
8(
x
y
25
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
9(
x
y
10(
x
y
11(
x
y
12(
x
y
13(
x
y
14(
x
y
15(
x
y
16(
x
y
26
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
17(
x
y
18(
x
y
19(
x
y
20(
x
y
21(
x
y
22(
x
y
23(
x
y
24(
x
y
27
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
25(
x
y
26(
x
y
27(
x
y
28(
x
y
29(
x
y
30(
x
y
28
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
9פרק –תרגילי�
"שאלות מסביב" –חקירת פונקציה
)1(
3נתונה הפונקציה ) א 2( )f x ax x= 1xהנקודה ידוע ש. + .aמצא את הקבוע . נקודת קיצו� =
3נתונה הפונקציה ) ב 2( )f x ax bx= ,1)הנקודה ידוע ש. + . נקודת קיצו� (2
�a,מצא את הקבועי b.
3נקציה נתונה הפו) ג 2( )f x ax x= 1xהנקודה ידוע ש. + .aמצא את הקבוע . נקודת פיתול =
3נתונה הפונקציה ) ד 2( )f x ax bx= ,1)הנקודה ידוע ש. + . נקודת פיתול (2
�a,מצא את הקבועי b.
3נתונה הפונקציה ) ה 2( )f x ax x= 3xשיפוע המשיק לגר+ הפונקציה בנקודה + .33הוא =
.aמצא את
3נתונה הפונקציה ) ו 2( )f x ax bx= .12הוא (3,9)שיפוע המשיק לגר+ הפונקציה בנקודה . +
a,מצא את b.
נתונה הפונקציה )ז3 2
3( )
2 6
ax xf x
x x
+=
+ +4yידוע שהישר . .אסימפטוטה לגר+ הפונקציה =
.aמצא את
נתונה הפונקציה )ח2 4
( )ax bx
f xx
+ +0.5ידוע שהישר . = 1y x= אסימפטוטה לגר+ +
. bאתו aאת מצא. הפונקציה
נתונה הפונקציה )ט2
2
2 4( )
6
x xf x
x ax
+ +=
+ +1xידוע שהישר .אסימפטוטה לגר+ הפונקציה =
.aצא את מ
29
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)3לפני� גר+ הפונקציה )2( ) 3f x x x= −
)מהו מספר הפתרונות של המשוואה .א ) 5f x =.
)מהו מספר הפתרונות של המשוואה .ב ) 2f x =.
)מהו מספר הפתרונות של המשוואה .ג ) 0.5f x =.
)למשוואה kעבור איזה ער� של .ד )f x k= יש בדיוק פתרו� אחד.
)למשוואה kעבור איזה ער� של .ה )f x k= יש בדיוק שני פתרונות.
)למשוואה kעבור איזה ער� של .ו )f x k= יש בדיוק שלושה פתרונות.
)עבורו למשוואה kהא� קיי� ער� של .ז )f x k= אי� פתרו�.
.ע"מצא את התחומי� בה� הפונקציה היא חח .ח
)3( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי� לגבי התחו� הרשו� ליד
( ) ( )
( ) ( )
3 4 2
30 2sin (2 8 3 6 (1
0 ln( 1) (4 0 1 1 (32
x x x x x x x
xx x x x x
π< < < −∞ < < ∞ ≤ +
≥ + ≤ > + < +
9פרק – פתרונות
)1(
2) א3
a = −
,6) ב 4b a= = −.
1) ג3
a = −
,3) ד 1b a= = −.
1a) ה =.
2) ו3
, 1a b= = −
8a) ז 0.5a) ח = 7a) ט = = −
)2( 1) א
2) ב
3 )ג
2k) ד 2kאו < < −.
2k) ה = ±.
2) ו 2k− < <
1x) ח לא) ז < 1או − 1x− < <
1xאו >
x
y
(1,-2)
(-1,2)
30
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
10פרק –תרגילי�
מקסימו� ומינימו� מוחלטי� של פונקציה
הבאות בתחומי� תמצא את נקודות המינימו� המוחלט והמקסימו� המוחלט של הפונקציו) 1( :)א� יש כאלה( הרשומי� ליד�
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2
2/3712 2
22
3
( ) 4 5 (2 1 3 ( ) 3 3 (1
4 2 1( ) (4 1 20 ( ) (20 ) (3
( 2)( 3) 1
5 1 ( ) (6 5 1 ( ) 1 | 9 | (51
( ) 9 1 (7
f x x x x f x x x x
x xx f x x f x x x
x x x
xx f x x f x x
x
x f x x x
= − + + − ≤ ≤ = − +
− <≤ ≤ = − ≤ ≤ = −
− − ≥
− < < − = − ≤ ≤ = + −+
−∞ < < ∞ = − +
.הוכח את אי השוויוני� שמימי� לגבי התחו� הרשו� בסוגריי� משמאל )2(
1 (3
3
27xx e
e
− x (2 (1לכל ( ≥x
xe− ≤ )0x ≥ (3 (2 10 1xx e −≤ ≤ )1x ≤(
10פרק – פתרונות
)1(
1 (( 1, 7)− .מקסימו� מוחלט (3,9), מינימו� מוחלט −
2 (( .מו� מוחלטמקסי (2,3), מינימו� מוחלט (5,0), מינימו� מוחלט −(1,0
,8), מינימו� מוחלט (20,0), מינימו� מוחלט (0,0)) 3 .מקסימו� מוחלט (48
4 ((2.5, ,1), מינימו� מוחלט −(0.25 .מקסימו� מוחלט (2
5 (( ), מינימו� מוחלט −(3,1 .מקסימו� מוחלט −(5,17
6 (( 2, 4)− .אי� מינימו� מוחלט. מקסימו� מוחלט −
7 ( � .אי� מקסימו� ואי� מינימו
:הערת סימו�
a x b≤ ≤ ⇔ [ ],a b ,a x b< < ⇔ ( ),a b ,a x b≤ < ⇔ [ , )a b
31
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
11פרק –תרגילי�
בעיות מקסימו� ומינימו�
* בכוכבית התרגילי� הקשי� יותרומנו ס, בפרק זה: הערה
בעיות בהנדסת המישור
)1(
אור� השוק) ABCD )AB||CDשוקיי� �בטרפז שווה
.מ"ס 6מ ואור� הבסיס הקט� הוא "ס 4הוא
DE הוא הגובה מקדקודD )ראהציור.(
כדי ששטח הטרפז DEמה צרי� להיות אור� הקטע
?יהיה מקסימלי
A
D C
BE
)2(
את אחת מצלעות x �נסמ� ב. �ABCD נתו� מלב
).ראה ציור(המלב� xמ בטא באמצעות "ס 60א� היק+ המלב� הוא ) א
.את שטח המלב� מצא מה צריכי� להיות pא� היק+ המלב� הוא ) ב
ב� כדי ששטחו יהיה מקסימליאורכי צלעות המל
).pהבע את אורכי הצלעות באמצעות(
x B
C
A
D
)3(
ADמ"ס5 �כ� ש ABCDנתו� מלב� = BC =,
ABמ"ס10 = CD = .� על צלעות המלב� מקצי
�AP:קטעי AQ CS CR x= = = ).ראה ציור( =
כדי ששטח xמה צרי� להיות ערכו של
?יהיה מקסימלי PQRSהמקבילית
B
C
A
D
Q
P
S
R
32
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)4(
) ∆ABCבמשולש ישר זווית C 90 )°=� � סכו
בוני� ABעל היתר . מ"ס 8אורכי הניצבי� הוא , מה צריכי� להיות אורכי הניצבי�. ABDEבוע רי
.יהיה מינימלי AEDBCכדיששטח המחומש
A
C B
E
D
)5(
מ חוסמי� מלב�"ס 8בחצי עיגול שרדיוסו
ABCD , שהצלע � של המלב� מונחת ABכ
מונחי� על D �ו Cוהקדקודי� , על הקוטר
מה צרי� להיות אור�). ראה ציור(הקשת
?ששטח המלב� יהיה מקסימליכדי ABהצלע
)6(
) ∆ABCזווית �במשולש ישר B 90 )°=� ,� סכו
הוא תיכו� לניצב AD. מ"ס 30אורכי הניצבי� הוא
BC )ראה ציור.(
� על, חשב מה צריכי� להיות אורכי הניצבי
.יהיה מינימלי מנת שריבוע אור� התיכו�
A
B CD
)7(
� . ר"סמ 600שטח כל עמוד הוא , בחוברת פרסו
,מ"ס 8רוחב השוליי� בראש העמוד ובתחתיתו הוא
.מ"ס 3ורוחב השוליי� בצדדי� הוא
,מצא מה צרי� להיות האור� והרוחב של כל עמוד
שטחה(כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי
).המקווקו בציור
8
3
A B
CD
8
33
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
נמצאות על הצלעות E ,F ,Gהנקודות ABCDבריבוע )8(
AB ,BC ,DC ש, בהתאמה � BF =BE ,CG =CF �כ ).ראה ציור(
.מ"ס 6נתו� כי האור� של צלע הריבוע הוא
את xוהבע באמצעות , BEואת BFאת x �סמ� ב. א
השטח( FCG �ו EBFשולשי� הסכו� של שטחי המ
).המקווקו בציור
שעבורו סכו� שטחי המשולשי� הוא xמצא את . 1.ב
.מינימלי .חשב את הסכו� המינימלי של שטחי המשולשי�. 2.ב
A B
CD
F
G
E
היא נקודה E. מ"ס 10שאור� צלעו ABCDנתו� ריבוע )*9(
ש"הוא שו DECכ� שהמשולש , כלשהי מחו3 לריבוע
)EC =ED .( את הצלע � ABשוקי המשולש חותכי
מצא מה צרי� להיות). ראה ציור( N �ו Mבנקודות
כדי שהסכו� של שטחי המשולשי� AMאור� הקטע
EMN ,AMD ,BNC יהיה מינימלי.
M NA B
CD
E
,ש"במעגל זה חסו� טרפז שו. Rנתו� מעגל שרדיוסו )*10(
ראה(כ� שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל
הבע, מבי� כל הטרפזי� החסומי� באופ� זה). ציור
את אור� הבסיס הקט� בטרפז ששטחו Rבאמצעות
.מקסימלי
34
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)11*(
.מ"ס 10ורדיוסו Oנתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו
DCכ� שרבע המעגל משיק לצלע , ABCD בוני� מלב�
נמצאי� על B � ו Aוהקודקודי� , בנקודת האמצע שלה
).ראה ציור(הרדיוסי� התוחמי� את הגזרה
� שנוצרי� ABCDמבי� כל האלכסוני� של המלבני
. מצא את אור� האלכסו� הקצר ביותר, באופ� זה
)12*(
ABCDE שולש הוא מחומש המורכב ממABE וממלב�
EBCD )ראה ציור .(
. AE =AB= מ "ס BC ,4= מ "ס 2: נתו�
.מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי
E
D C
B
A
)13*(
ABCמתבונני� בכל המשולשי� ישרי הזווית
.כמתואר בציור Rהחוסמי� חצי מעגל שרדיוסו
מה� זוויות המשולש שסכו� הניצבי� שלו הוא
?ימלימינ
B
A
C
חסומי� משולשי� כ� שהגודל של Rבמעגל שרדיוסו )*14(
אחת הזוויות בכל אחד מהמשולשי� הוא 2
5
π.
.מצא את הזוויות במשולש בעל ההיק+ המקסימלי
72
A B
D C
O
35
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
מרחבעיות בהנדסת הב
לאו דווקא( הבנוי שמתי קוביות" מגדל"גובהו של ) 15(
מה צרי� להיות אור� המקצוע ש. מ"ס 8 הוא) שוות
סכו� נפחי(הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל
?יהיה מינימלי ) הקוביות
שאור� , ובסיסה ריבוע, מ"ס yבוני� תיבה שגובהה )16(
כ� שההיק+ של כל אחת, )ראה ציור(מ "ס xצלעו
להיות מה צרי�. מ"ס 12 �מהדפנות הצדדיות שווה ל
?אור� צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי
שבסיסה ריבוע, פתוחה מלמעלהיש לבנות תיבה )17(
במקרה זה שטח הפני� מורכב( ר "סמ 75ושטח פניה
מכל התיבות). מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות
צלע הבסיס(מצא את ממדי התיבה , שאפשר לבנות
.ישנפחה מקסימל) וגובה
,של תיבה) מסגרת" (שלד"יש להכי� מחוט תיל )18(
מהו האור�. ק"סמ 1000שבסיסה ריבוע ונפחה
?המינימלי של החוט הנחו3 ליצירת התיבה
מ יש לבנות מנסרה משולשת"ס aמחוט שאורכו )19(
.שבסיסה הוא משולש שווה צלעות, ישרה
ות לצלעמצא איזה חלק מאור� החוט יש להקצ
:כדי שיתקיי� yואיזה חלק לגובה xהבסיס .שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי. א .נפח המנסרה יהיה מקסימלי. ב
36
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)20* (
,המשוכללות והישרות, מכל הפירמידות המרובעות
מצא את נפחה, aשאור� המקצוע הצדדי שלה� הוא
.של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי
שבסיס� ריבוע ושטח, מכל הפירמידות הישרות )*21(
חשב את נפחה של, ר"סמ 200הפני� שלה� הוא
.הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי
ראה(מ "ס 12אלכסו� החת� הצירי של גליל ישר הוא )22(
מצא מה צריכי� להיות גובה הגליל ורדיוס). ציור
.מליבסיסו כדי שנפחו יהיה מקסי
12
.ק"מ 64נתו� מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו )23(
הראה כי שטח הפח הוא. המיכל עשוי כולו מפח
מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא 3
4
π .מטר
10מבי� כל החרוטי� שאור� הקו היוצר שלה� הוא )24( ?מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי, )ראה ציור(מ "ס
10
37
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
בעיות בפונקציות וגרפי�
הנמצאת על גר+ הפונקציה, Aמנקודה ) 25(
2 5y x x= − מורידי� אנכי� לצירי� כ� שנוצר ,+
).ראה ציור( ABOCמלב�
כדי שהיק+ Aמה צריכי� להיות שיעורי הנקודה . א
?המלב� יהיה מקסימלי
כדי שהיק+ Aמה צריכי� להיות שיעורי הנקודה . ב
?המלב� יהיה מינימלי
29yבפרבולה )26( x= כ�, ABCDמי� מלב� חוס −
).ראה ציור( x �מונחת על ציר ה ABשהצלע
כדי ששטח המלב� CDמה צרי� להיות אור� הצלע
?יהיה מקסימלי
29yחסו� בי� גר+ הפרבולה ABCDטרפז )27( x= −
).ראה ציור( x �לבי� ציר ה
ששטח כדי Aמה צריכי� להיות שיעורי הנקודה . א
?יהיה מקסימלי ABCDהטרפז
.ABCDחשב את השטח המקסימלי של טרפז . ב
x
yA
B
C
O
x
y
A B
CD
x
y
A
BC
D
38
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
2נתונה הפרבולה ) 28( 12y x= − �ישר המקביל לציר ה. +
x את הפרבולה בנקודות � ).ראה ציור( B �ו Aחות
.O, ע� ראשית הצירי� B �ו Aמחברי� את הנקודות
כדי ששטח ABהיות אור� הקטע מה צרי� ל. א
?יהיה מקסימלי AOBהמשולש
? AOBמהו השטח המקסימלי של המשולש . ב
xyלפני� גר+ של הפונקציה )29( e= וגר+ של הישר
2y e x= ⋅ חות� את y �ישר המקביל לציר ה. −
).ראה ציור( B � ו Aהגרפי� בנקודות
.יהיה מינימלי ABאור� הקטע xמצא לאילו ערכי . א
הוא ABשעבורו אור� הקטע xהא� יש ער� של . ב
?מקסימלי
:נתוני� הגרפי� של שתי פרבולות )30(
2 21 13 , 7
4 2y x x y x= − + = +.
חות� את שתי הפרבולות y �קו מקביל לציר ה
).ציורראה ( Q �ו Pבנקודות
מצא את, מבי� כל הקטעי� המתקבלי� באופ� זה
.PQהאור� המינימלי של הקטע
x
y
AB
0
x
y
A
B
x
y
P
Q
39
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
yנתו� גר+ הפונקציה ) 31( x= .על ציר ה � x נתונה
).ראה ציור( A(4.5,0)הנקודה
כ� שריבוע המרחק, Mמצא על גר+ הפונקציה נקודה
AM יהיה מינימלי.
)מצא על הישר )32( ) 3 4f x x= את הנקודה הקרובה −
. (0,1)ביותר לנקודה
:בציור שלפני� מתוארי� הגרפי� של הפונקציות )*33(
. ( ) 36 6 , ( ) 3g x x f x x= − =
, x �ות ובי� ציר המלב� חסו� בי� הגרפי� של הפונקצי
מצא את השטח הגדול ביותר. כמתואר בציור
.האפשרי למלב� שחסו� באופ� זה
2דר� איזו נקודה על הפרבולה )*34( 2y x x= − + � צרי
הנוצר על ידי, כדי ששטח הטרפז, להעביר משיק
�1x: המשיק והישרי = ,0x 0y �ו = השטח( =
?יהיה מינימלי) המקווקו שבציור
x
y
A(4.5,0)
M
x
y
x
y
40
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
2yנמצאת על גר+ הפונקציה Bנקודה ) *35( x= ברביע
,0)היא הנקודה A. הראשו� )a כאשר ידוע כי
0.5a ).ראה ציור( <
שעבורה, Bאת שיעורי הנקודה aבטא באמצעות . א
.הוא מינימלי ABהמרחק
המרחק המינימלי aמצא עבור איזה ער� של . ב
. 2הוא
2yנתונה הפרבולה )*36( x= ,ונתו� משיק לפרבולה
6שמשוואתו היא 9y x= )2בנקודה . − , )t t שעל
.הפרבולה מעבירי� משיק נוס+ לפרבולה
).ראה ציור( Mהמשיקי� נחתכי� בנקודה
. tהבע את משוואת המשיק הנוס+ באמצעות . א
המחבר את , שעבורו אור� הקטע tמצא את . ב
.יהיה מינימליע� קודקוד הפרבולה Mהנקודה
,2)במערכת צירי� נתונות הנקודות )*37( 2)A ו�
(2, 2)B היא O .Mראשית הצירי� היא בנקודה . −
מה צריכי� להיות. x>0בתחו� x �נקודה על ציר ה
MB +MA +OM: כדי שהסכו�, Mשיעורי הנקודה
?יהיה מינימלי
x
y
A
B
x
y
M
(t,t2)
x
y
O
A(2,2)
B(2,-2)
M
41
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
11פרק – פתרונות
)1( 1.7cmAE 30). א )2(. = )x− .0.25 �כל צלע שווה ל. ב p .)3( 3.75cmx = .
)4( 4cmAC BC= = .)5 ( 2 32 cmAB = .)6( 6 , 24cm cmB BC= = .)7( � מ"ס 40: אור
2. א )8(. מ"ס 15: רוחב 6 18S x x= − 3x. 1.ב. + 5 )9(. ר"סמ 9. 2.ב. = / 2AM =.
11( 4( . R= בסיס קט� )10( 5cm) .12 (12 45 )13(. ר"סמ 3 , 45 , 90° ° ° .
)14 (3 3 2
, ,10 10 5
π π π 2.5: גובה. מ"ס 5: צלע הבסיס )17(. מ"ס 4 )16(. מ"ס 4 )15(.
. א )19( . מ"ס 120 )18(. מ"ס1 1
,12 6
x a y a= . ב. =1
9x y a= = .)20( 34 3
27a .
)21( 500
3 . ק"סמ 403.1 )24(. מ"ס 24: רדיוס. מ"ס 48: גובה )22(. ק "סמ
26( 2(. A(5,5)או A(0,0). ב. A(3,6). א )25( 3CD .32. ב. A(1,8). א )27(. =
4AB. א )28( ∆16AOBS. ב. = 1x. א )29(. = 4PQ )30(. אי�. ב. = =.
)31( (4, 2)M .)32( (1.5,0.5) .)33( 8 .)34( (0.5,0.75) .
).א) 35( (2 1) / 2, (2 1) / 2)B a a− 22y. א )36(. 4.25 .ב. − t x t= ⋅ 3. ב. − / 37t = − .
)37( (0.845,0)M.
42
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
12פרק –תרגילי�
)ניוטו רפסו , )ט רולמשפ(מונוטוניות , ער� הביניי�משפט (פתרו משוואות
:הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק פתרו� אחד )1(
3 2 2 34 21 48 28 0 (4 0.25sin 7 (3 ln (2 4 1 0 (1x x x x x x x x x− + − + = − = = − + − =
3נתונה המשוואה )2( 2 0ax bx cx d+ + + 2ונתו� כי = 3b ac< .
.הוכח את תשובת�? מהו מספר הפתרונות של המשוואה
.ת מצא את מספר הפתרונות ופתור אותהעבור כל אחת מהמשוואות הבאו )3(
2 1sin 1 cos (4 ln( 5) 4 (3 arctan 0 (2 (1
xx x x x x x x x e x
−+ = − + − = − = =
)': המקיימת xלכל פונקציה גזירה f תהי) 4( ) 1 , (0) 1, (1) 2f x f f≤ = =.
)הוכח שלמשוואה ) sin 4f x x x+ . יש בדיוק פתרו� אחד =
:שלמשוואות הבאות יש בדיוק שני פתרונותהוכח )5(
4 3 3 11 4 8 (3 4 5 0 (2 5 0 (1x
x x x x e xx
+ = + − = − =
בכל אחת מהמשוואות הבאות מצא קשר בי� הפרמטרי� על מנת שלמשוואות יהיה בדיוק ) 6( ).הנח שכל הפרמטרי� שוני� מאפס(פתרו� אחד
3 2 2
2 4
0 (2 0 (1
( 4, ) 0 (4 cos( ) 1 (3n n n
ax bx cx d ax bx c
n odd ax bx cx d x a bx− −
+ + + = + + =
> + + − = + =
:)ניוטו רפסובשיטת 2,3סעיפי� (פתור את המשוואות הבאות ) 7(
3 2 4 3 3 24 21 48 28 0 (3 1 4 8 (2 7 33 21 61 0 (1x x x x x x x x− + − + = + = − + + =
12פרק – פתרונות
1x) 1 )3( .פתרו� יחיד )2( = 2 (0x = 3 (4x = − 4 (0x = .
)6( 1 (2 4 0b ac− = 2 (24 12 0b ac− < 3 (1
1ab
או <1
1ab
< −
4 (2 2( 2) 4 ( 4) 0b n anc n− − − <
1xפתרו� מדויק ) 1 )7( = − . 2 ( �,0.5576פתרונות מקורבי 1.9672x x= =
0.8459xפתרו� מקורב ) 3 =
43
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
13פרק – תרגילי�
'משפט לגרנג
)1( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי� בתחו� הרשו� ליד
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
0 ln (1
0 (22 2
0 tan tan (32 cos cos
( ) ( ) (4
0 arctan arctan (51 1
0 1 arcsin arcsin (61 1
a b a b
b a b b aa b
b a a
b a b aa b b a
b a
b a b aa b b a
a b
a b a b e e e a b e
b a b aa b b a
b a
b a b aa b b a
a b
π
− − − −
− − < < < <
− −< < < − <
− − < < < < − <
< − < − < −
− −< < < − <
+ +
− −< < < < − <
− −
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2 2
a rcsinh( ) a rcsinh( )0 (7
1 1
0 1 a rc tanh( ) rc tanh( ) (81 1
0 (9
2 ( ) 1 2 ( )1 ln (10
1 1 1
n n n n
b a b a b aa b
b ab a
b a b aa b b a b
a b
b a b aa b b b a a
n b n a
b b a b a b aa b
b a a
− − −< < < <
−+ +
− −< < < < − <
− −
− −< < ⋅ < − < ⋅
⋅ ⋅
− + −< < < < + + +
)2( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי� בתחו� הרשו� ליד
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
*
0 arctan (2 0 tan (11 2 cos
0 a rcsinh( ) (4 0 1 arcsin (31 1
0 ln(1 ) (6 0 1 a rc tanh( ) (51 1
0 sin (8 0 1 1 (7
0 1 arctan ln(1 ) ( 10 03
x x
x xx x x x x x
x x
x xx x x x x x
x x
x xx x x x x x
x x
x x x x x e xe
x x x x
π
π
> < < < < < < +
> < < < < < <+ −
> < + < < < < <+ −
> ≤ > + < < +
< < > + < <
tan 4 (9x x<
44
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)3( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי
2 1 2 1 2 1 2 1
*
cos cos (2 sin sin (1
| tan tan | 8 | sin sin | ( 4 arctan arctan (3
x x x x x x x x
y x x y y x y x
− ≤ − − ≤ −
− ≤ − − < −
)4( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי
( )
1 1 3 11 2 1.5 (2 ln (1
3 2 22 2
3 1 3 4 1arcsin 0.6 (4 arctan (3
15 6 8 6 25 4 3 6 4
π π π π
+ < < < <
+ < < + + < < +
)תהי . א) 5( )f x פונקציה גזירה לכלx המקיימת| '( ) | 5f x ≤.
(1)ידוע כי 3, (4) 18f f= (2)הוכח כי . = 8f = .
)תהי . ב )f x פונקציה גזירה לכלx המקיימת| '( ) | 7f x ≤.
(1)ידוע כי 3, (4) 18f f= 4הוכח כי . = (2) 10f≤ ≤ .
',עוסקי� במשפט קושי שהוא הכללה של משפט לגרנג 4+ סעי 3ותרגיל 10סעי+ 2תרגיל *
.ולפיכ� רלוונטיי� רק א� למדת משפט זה
45
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
14פרק –תרגילי�
סדרות
)1( � :חשב את הגבולות הבאי
( )4 2 2
ln
3 2
2 2 4 2
5
31 4 2 6
4 2 3 3
2 6 4 2lim (3 lim (2 lim (1
3 10 1000
1 5 6 2 6lim (6 lim (5 lim (4
2 10 2 3 10
16 4 2 3 3 2 6 27lim (9 lim (8 lim
2 2 4 1 5 1 3 10
nn
n n n
n n n
n n
n nn n n
n n ne
n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n n
n n n
−
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
+
+ +→∞ →∞ →∞
+ + +
+ +
+ − + + +− + +
+ + − − + + +
+ + − − +
( )
( )
4 2
4
4
3 2 1
3 2 2 0.5 3
25
4 2 2 2 2
2 6
3 10
(74
3 5 1 4 2 4 9 3lim ln (12 lim (11 lim (10
2 1 1000 81 3
1lim 5 (15 lim (14 lim (13
2
lim( 1 ) (18 lim 1 (17 lim
n n
n nn n n
n n n
n n n
n n
n n
n n
n n n
n n n n
ann n n e
bn
n n n n n n n kn
+
+→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
+ ++
+
− − + ⋅ + − + + +
++ −
+
+ + − + + − + −( )
( )2
2 2
2
1
2
102 2
2
(16
1 1lim 1 (21 lim 1 (20 lim (19
2
2 3 1 2lim (24 lim 1 (23 lim (22
2 3
1 4 1lim 1 tan (27 lim (26 lim
2 2
n n
n n n
n n n
n n n
nn
n n n
n
n an n bnnn
n n
n nn
n n n n
n n n
→∞ →∞ →∞
−
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
+ + + − +
+ + − −
+ + + + + + +
24
2
2
2
1(25
4
3 sin cos(2 1) sinlim (30 lim (29 lim (28
4 cos
3 arctan(2 3) 3 sin 2lim 2 3 4 (33 lim (32 lim (31
4 arctan( ln ) cos3
n
n n n
n n n n
x n n
n n
n n n n
n n n n
n n n n n
n n n n n
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
+ +
+ ++
+ − + ++ +
+ − +
!מאוד הערה חשובה
!כאל מספר טבעי xיש להתייחס אל . xהמשתנה , nיופיע במקו� המשתנה ,המלא ובפתר
ולכ לעיתי� אומר פונקציה )מהטבעיי� לממשיי�( שסדרה היא פונקציהיש לזכור , בנוס/
.במקו� סדרה
46
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
)2( � :חשב את הגבולות הבאי
( )
2
14
2 2 2
3 2 2
(2 )! 2 !lim (3 lim (2 lim (1
!( !)
2 ! !lim 1 2 (6 lim (5 lim (4
2 4
1 2 ... 1 2 ... 4lim (9 lim (8 lim sin (7
1 4 1
1 ( 1)4 sin (12 lim (11 lim s
n
nnn n n
n nnnn
n n n
n n n
nn
n
n n
n n
nn n
n n
n n
n nn
nn n n n
n
n n
→∞ →∞ →∞
+
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
+
+ + + + + + ⋅ + + + +
+ −
in (102
nπ
:הבאי�חשב את הגבולות )3(
3
2 2 2
1 3 5 (2 1) 1 1 1lim (2 lim ... (1
2 4 6 2 1 2 2 3 ( 1)
1 1 1 1 2 3 ...lim ... (4 lim (3
1 2
n n
n
n n
n
n n n
n
nn n n n
→∞ →∞
→∞ →∞
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
+ + ++ + + + + +
� 1סעי+ : י�רמז* 1 1 1
( 1) 1n n n n= −
+ + הוכח כי - 2סעי+ .
1
2 1n
na
+<.
).רקורסיה(בתרגילי� הבאי� נתונה סדרה בעזרת נוסחת נסיגה )4(
.הוכח שהסדרה מתכנסת וחשב את גבולה
1 1 1 1 1 1
1 1, 2 (3 2 1, 2 (2 2 , 2 (1
2n n n n n n
n
a a a a a a a a aa
+ + +
= + = = − = = + =
.
נתונה הסדרה )5(1 1 1 22 3 , 1, 1n n na a a a a+ −= + = =.
: על ידי nbנגדיר סדרה חדשה . 1 .א 1
nn
n
ab
a +
limהוכח שהגבול . = nn
b→∞
.קיי� וחשב אותו
.שואפת לאינסו+ naבעזרת התוצאה של הסעי+ הקוד� הוכח שהסדרה . 2
.)כלומר נוסחה לא רקורסיבית( naמצא ביטוי סגור עבור הסדרה . 1. ב
. י הסגור שמצאתובעזרת הביט .1.א על סעי+שוב ענה . 2
.הוכח באינדוקציה שהביטוי הסגור שמצאת בסעי+ הקוד� הוא אכ� נכו�. 3
47
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
:על סמ� ההגדרה של גבול של סדרה הוכח כי )6(
. א 2 1 1
lim4 3 2n
n
n→∞
+=
+. ב
2
2
1lim 1
1n
n
n→∞
−=
+. ג
2
2
sin 1lim
2 3 2n
n n
n→∞
+=
+
. ד 2
2
( 1)lim 1
1
n
n
n
n→∞
+ −=
+. ה
2
2
4 2 1lim 2
2 3n
n n
n n→∞
− +=
+ +. ו
2
2
coslim 0
2n
n n
n→∞
⋅=
+
). ז )2lim 4 2n
n n n→∞
+ − = lim. ח 2 4
nn
→∞+ = 3. ט ∞ 2lim 5 6
nn n n
→∞− + + = ∞
lim. י log(2 5)n
n→∞
+ = ∞
2. אי 1lim n
ne
+
→∞= . בי ∞
1lim logn n→∞
= −∞
)7( � :הוכח או הפר
1 ( � .סדרה חסומה אז יש לה גבול naא
2 ( �אnb סדרה לא חסומה אזlim
nnb
→∞= limאו ∞
nnb
→∞= −∞.
3 ( �|א |limnn
c k→∞
limאז =nn
c k→∞
limאו =nn
c k→∞
= −.
4 ( � .סדרה עולה אז היא לא חסומה ndא
) � אי� גבול אז ג� ל nb �ו na �א� ל) 5 )n na b+ ל �) �וג )n n
a b⋅ אי� גבול.
) � אי� גבול אז ג� ל nb �ו na �א� ל) 6 )/n n
a b אי� גבול.
7 ( �)אז , מתבדרת nb �מתכנסת ו naא )n na b⋅ מתבדרת.
8 ( �)אז , מתבדרת nb �מתכנסת ו naא )n na b⋅ מתכנסת.
9 ( �2limאnn
a L→∞
limאז = nna L
→∞=.
10 ( �nא na b< לכלn אזlim limn nn n
a b→∞ →∞
<.
11 ( �limאnn
a→∞
= ∞ �limחסומה אז nbואn nn
a b→∞
= ∞.
12 ( �limאnn
a k→∞
= �1naוא 1kאז nלכל > <.
13 ( �1limאnn
a→∞
)אז = ) 1limn
nna
→∞=.
48
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
14פרק – פתרונות
סדרות
)1( 1 (0 .2 (4 .3 (∞ .4 (0 .5 (5� .6 (1 .7 (1.5 .8 (1 3
2 5
−−
.9 (0.25. 10 (4 .11 (2 .
12 (ln 3 .13 (1/3e .14 (( ) ( )5lim / 0na a b b= ⇐ ≠ , ( ) ( )lim 0, 0n
a a b= ∞ ⇐ > =,
( ) ( )lim 0, 0n
a a b= −∞ ⇐ < = .15 (2.5 .16 (2k .17 (0.5 .18 (0.5 . 19 (
2a b− .20 (0.5e.
21 (1 .23 (1e− .24 (3e .25 (12e− .26 (30e .27 (e. 28 (0 .29 (0 .30 (0.75 .31 (3
32 (3
4 .33 (4 .)2( 1( 0 .2 (0 .3( 4 .4 (
1
4e .5 (∞ .6 (1 .7 (4 .8 (0.5 .9 (
1
3.
.2הגבול ) 1 )4(. 1) 4. 1) 3. 0) 2. 1) 1 )3(. ∞) 12. אי� גבול) 11. גבולאי� ) 10
הגבול .) 1.א )5(. 1הגבול ) 3. 1הגבול ) 21
3.) 1.ב.
1 13 ( 1)
6 2
n n
na = ⋅ − ⋅ − .
49
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
גבולות –סחאות ונ
0
1 1 1 1 10 , 0
0 0
______________________________________________________________________
0 1
______________________________________________________________________
ln
0
x
yx
y e e e e
y x
x x x
+ −
−∞ ∞
= = = ∞ = −∞ =−∞ ∞
= = = = ∞
= − −−
→−∞ → →∞
ln(0 ) ln( )
______________________________________________________________________
arctan atan( ) atan(0) 0 atan( )2 2
_____________________________________________________________________
,x
y x
y a
π π
+ = −∞ ∞ = ∞
= −∞ = − = ∞ =
= 0
00 1
1 0 1
, 1 0
_____________________________________________________________________
sin sin 0 0
_____________________________________________________________________
cos
xa
a a a a
y a a a a
y x
y
−∞ ∞
−∞ ∞< <
> = = = ∞
= = ∞ = =
= − − − = − − −
= cos0 1
_____________________________________________________________________
sin0 1 0
_____________________________________________________________________
tan1
_________________________
x
xy
x
xy
x
− − − = − − −
=
= −− − − −−
1
33 3
(from right)
____________________________________________
11 1
(1 ) 1
_____________________________________________________________________
0 0
0 0
__________________
x
x
y e ex
y x e
y x
y x
+
= +
= + − − −
= − −− = ∞ = ∞
= −∞ = ∞ = ∞
0 0
___________________________________________________
Defined Limits:
, ( ) , , , ( ) , / ( )
Undefined Limits :
0, , , 0 , 1 , 0 ,
0
a a a
∞
∞⋅∞ = ∞ ∞ −∞ = −∞ ∞+∞ = ∞ ∞± = ∞ ∞⋅ ± = ±∞ ∞ ± = ±∞
∞∞−∞ ⋅∞ ∞
∞
50
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
נגזרות –נוסחאות
2
2
2
1. ' 0
12. ' '
3. ' '
4. ' ' ln
15. ln ' '
6. sin ' cos '
7. cos ' sin '
18. tan ' '
cos
19. cot ' '
sin
110. arcsin ' '
1
11. ar cos '
y a y
n ny f y n f f
f fy e y e f
f fy a y a f a
y f y ff
y f y f f
y f y f f
y f y f
f
y f y f
f
y f y f
f
y f y
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
= =−= = ⋅ ⋅
= = ⋅
= = ⋅ ⋅
= = ⋅
= = ⋅
= = − ⋅
= = ⋅
= = − ⋅
= = ⋅−
= =
( ) ( )
2
2
2
2
2
18. ( ) ' ( ) ( ( ) ln( ( )) '
1'
1
112. arctan ' '
1
113. ar cot ' '
1
14. sinh ' cosh '
15. cosh ' sinh '
116. tanh ' '
cosh
117. coth ' '
sinh
g x g xy f x y f x g x f x
f
f
y f y f
f
y f y f
f
y f y f f
y f y f f
y f y f
f
y f y f
f
→
→
→
→
→
→
→= = ⋅ ⋅
− ⋅−
= = ⋅+
= = − ⋅+
= = ⋅
= = ⋅
= = ⋅
= = − ⋅
51
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
אינטגרלי� –נוסחאות
1 11 ( )1 ( ) 1
1 1
1 1 1ln | | ln | |
1
1ln ln
1cos sin cos( ) sin( )
sin
n nn n
x x ax b ax b
xax b
xax b
adx ax c
x ax bx dx c n ax b dx c n
n a n
dx x c dx ax b cx ax b a
e dx e c e dx e ca
k kk dx c k dx ck a k
xdx x c ax b dx ax b ca
xd
+ +
+ +
++
= +
+= + ≠ − + = + ≠ −
+ +
= + = + ++
= + = +
= + = +
= + + = + +
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2
2
1cos sin( ) cos( )
1tan ln | cos | tan( ) ln | cos( ) |
1cot ln | sin | cot( ) ln | sin( ) |
1 1 1tan tan( )
cos cos ( )
1cot
sin
x x c ax b dx ax b ca
xdx x c ax b dx ax b ca
xdx x c ax b dx ax b ca
dx x c dx ax b cx ax b a
dx x cx
= − + + = − + +
= − + + = − + +
= + + = + +
= + = + ++
= − +
− − − −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
2 2 2 2
2 2
1 1cot( )
sin ( )
1 1 1 1ln | tan | ln | cot |
cos cos sin sin
1 1 1 1arctan ln
2
1arcsin
dx ax b cax b a
dx x c dx x cx x x x
x x adx c dx c
x a a a x a a x a
xdx c
aa x
= − + ++
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
= + + = − +
− = + = + + − +
= + −
− − − − − − − − − −
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2 2
2 2
2
3
2
1ln | |
' 1ln | | '
2
' cos ' sin( )
'sin ' cos( ) 2
2' ' '
3
f f
dx x x a cx a
fdx f c f f dx f c
f
e f dx e c f f dx f c
ff f dx f c dx f c
f
f f dx f c u v dx u v u vdx
= + ± +±
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − −
= + ⋅ = +
⋅ = + ⋅ = +
⋅ = − + = +
⋅ = + ⋅ = ⋅ − ⋅
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
52
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
טריגו –נוסחאות
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
sin cos 1
sintan
cos
coscot
sin
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1
11 tan
cos
11 cot
sin
1sin (1 cos 2 )
2
1cos (1 cos 2 )
2
1sin cos sin( ) sin(
2a
α α
αα
αα
αα
α α α
α α α α α
αα
αα
α α
α α
α β β α
+ =
= =
=
= − = − = −
+ = + =
= − = +
= + +( )
( )
( )
)
1sin sin cos( ) cos( )
2
1cos cos cos( ) cos( )
2
2sin sin
( ) 2
2cos cos
2
tan tan
cot cot
sin 0
cos 02
a
a
x kx
x k
x kx
x k
x x k
x x k
x x k
x x k
β
α β β α β
α β β α β
α πα
π α π
α πα
α π
α α π
α α π
ππ
π
−
= − − +
= + + −
= += ⇒ = − +
= + = ⇒
= − + = ⇒ = +
= ⇒ = +
= ⇒ =
= ⇒ = +
53
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
אלגברה –נוסחאות
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 2 2 3 3 3 2 2
3 3 2 2 3 3
4 4 3 2 2 3 4
4 4 3 2 2 3 4
( ) 2 ( ) 2
( ) 2 ( )( )
( ) 3 3 ( )( )
( ) 3 3
( ) 4 6 4
( ) 4 6 4
a b a ab b a b a b ab
a b a ab b a b a b a b
a b a a b ab b a b a b a b ab
a b a a b ab b a b
a b a a b a b ab b
a b a a b a b ab b
+ = + + + = + −
− = − + − = − + + = + + + + = + + −
− = − + − − + = + + + + − = − + + +
( )
3 2 2
4 4 2 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
0
1
2
( )( )
( ) 2
( )( )
0, 0
ln ln ln
ln ln l
( )
1
1
,
ln
m n m n
mm n
n
nm mn
n n n
n n
n
n
n
m
n m n
x
a b a b ab
a b a b a b
a b a b a b
a ba a a
a b aba
aa a b
a a
ab a b
a a
b b
a
aa
a a a a
a b x b
+
−
−
= − + + + = + − − = − +
> > = + = = − = =
= = = = = = = ⇒ =
ln
ln
2
n
ln1 0 , ln 1
ln
ln ln ( 0)
ln
0| |
0
| | | | | |
| |
| |
| |
| |
n
n
x
b b a
k
a
b
e
e n
x n x x
e x
a e
x k x e
a if aa a
a if aa b
a d b c a b a bc d
a a
b ba b c
x a a x ae f d f d ed e f a b c
x a x a or x ah i g i g hg h i
= =
= = > =
=
= ⇒ =
≥ = = − < = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅
= < ⇔ − < < = − +
> ⇔ < − >
54
www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא
© גיא סלומו –כתב ופתר
של פונקציות חשובותטורי מקלור $חאות נוס
מקלור טור תחו� התכנסות
1 2 3
0
2 1 3 5 7
0
2 2 4 6
0
1 2 3 4
0
1 ...! 1! 2! 3!
sin ( 1) ...(2 1)! 3! 5! 7!
cos ( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!
1 1ln(1 ) ( 1) ...1 2 3 4
arctan
nx
n
nn
n
nn
n
nn
n
x x x xxe
n
x x x xx x x
n
x x x xx x
n
x x x xxx x
n
x
∞
=
+∞
=
∞
=
+∞
=
−∞ < < ∞= = + + + +
= − = − + − + −∞ < < ∞+
= − = − + − + −∞ < < ∞
− < ≤+ = − = − + − ++
=
∑
∑
∑
∑
2 1 3 5 7
0
1 2 3
0
1
2 3
1 1( 1) ...2 1 3 5 7
11 ... 1 1
1
1 1 ( 0)( 1) ... ( 1)(1 ) 1
1 1 ( 1 0)!
1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 2)1 ...
0,1,2,3,...2! 3!
nn
n
n
n
m n
n
x x x xxx
n
x x x x xx
x mm m m nx x
x mn
x mm m m m mmx x x
m
+∞
=
∞
=
∞
=
− ≤ ≤− = − + − ++
= = + + + + − < <−
− ≤ ≤ >− ⋅ ⋅ − ++ = + − < ≤ − < <
− < < ≤ −− − −= + + + +
≠
∑
∑
∑