ל במתמטיקה" יח5 - ו 4לתלמידי

005סיכום לשאלון

חוברת זו מוגשת לכם מתוך הערכה

על רצונכם להתמודד ולהצליח

.ל במתמטיקה" יח4/5ברמה של

עלו והצליחו , יישר כוח

מאיר בכור–בהוקרה

2007מרץ

מאיר בכור ©

1

:תוכן העניינים

ראשונהמהמעלה ה חקירת משוואות • 2-19................................. שניה ומהמעלה ה

20-35 ................................................ סדרות •

36-62.................................... ......גיאומטריה •

63-83 ........... חשיבה הסתברותית בחיי יום יום •

מאיר בכור ©

2

005שאלון - סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השניה

חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד .1

ax :היא, אליה יש להגיע, הצורה הנורמלית של המשוואה b====

aכאשר . א : והואפתרון יחיד יש למשוואה ≠≠≠≠0b

xa

====.

a כאשר . ב b וגם ====0 . למשוואהאין פתרון ≠≠≠≠0aכאשר . ג bגם ו====0 .אינסוף פתרונות יש למשוואה ====0

, ל יש לקחת בחשבון את תחום ההגדרה של המשוואה המקורית"בנוסף לסעיפים הנ :לדוגמא. במידה וקיים

3 3x

mxm

−−−−m: ' לסעיף א ==== m: ' לסעיף ב≠≠≠≠0 0====.

חקירת מערכת משוואות מהמעלה הראשונה עם שני נעלמים .2

1 1 1

2 2 2

a x b y c 0

a x b y c 0

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ + =+ + =+ + =+ + =

-:'דרך א

בעזרת שיטת ההצבה או בעזרת שיטת השוואת מקדמים נגיע לצורה הנורמלית של axמשוואה מהמעלה הראשונה b==== 1 ואותה נחקור בהתאם לסעיף.

).הפתרון (yוגם את xיש למצוא את , במידה ותהיה דרישה

-:'דרך ב :היחסים בין המקדמים של שתי המשוואות

1 כאשר 1

2 2

a b

a b . למערכתפתרון יחידיש ≠≠≠≠

1 כאשר 1 1

2 2 2

a b c

a b c= ≠= ≠= ≠= . למערכתאין פתרון ≠

1 כאשר 1 1

2 2 2

a b c

a b c= == == == . למערכתאינסוף פתרונותיש =

:פתרון האלגברי לגרפיהקשר בין ה

. ולהיפךנחתכים בנקודה אחתל "הישרים הנ – של המערכת פתרון יחידאשר יש כ . ולהיפךמקביליםל "הישרים הנ – למערכת אין פתרוןכאשר

. ולהיפךמתלכדיםל "הישרים הנ – למערכתאינסוף פתרונותכאשר יש

מאיר בכור ©

3

2ax: מהצורה)בועיתיר(מהמעלה השניה חקירת משוואה .3 bx c 0+ + =+ + =+ + =+ + =) a 0≠≠≠≠(

כאשר . אa 0

> 0

≠≠≠≠

∆∆∆∆ . שוניםשני שורשים ממשייםיש למשוואה וגם

כאשר . בa 0

0

≠≠≠≠

∆ =∆ =∆ =∆ = ).תלכדיםמשני השורשים ( שורש ממשי אחדיש למשוואה וגם

אשר כ. גa 0

< 0

≠≠≠≠

∆∆∆∆ .למשוואה שורשים ממשייםאין וגם

-: למשוואה שורשים ממשייםאין mכאשר שואלים לאילו ערכי

. ואיבר חופשיx -מקדם ל , 2x -מקדם לכך שיהיה יש לסדר את הפרבולה . א a הקו הישר לבדוק את. ב )x ללאאחרי הצבת הפרמטר יש לקבל ביטוי (====0

: כשהתנאים הםהפרבולהלבדוק את . גa 0

< 0

≠≠≠≠

∆∆∆∆ וגם

.'וסעיף ג' סעיף בשל פתרונות הבין " או"מערכת פתרון סופי יהיה . ד

:הסבר מבחינה גרפית

הפרבולה הקו הישר

לפתרוןאופציהגם הם הקוים המקווקוים : הערה

-: שונים שורשים ממשיים שני למשוואהיש mכאשר שואלים לאילו ערכי .יש לסדר את הפרבולה. א .)כי רוצים שני שורשים ( בדיקת קו ישראין. ב

: הפרבולה כשהתנאים הםלבדוק את. גa 0

> 0

≠≠≠≠

∆∆∆∆ וגם

Y

X

Y

X

Y

X

מאיר בכור ©

4

-: מתלכדיםשורשיםה שני mכאשר שואלים לאילו ערכי .יש לסדר את הפרבולה. א .) בלבדה רוצים משוואה ממעלה שני–מניסוח השאלה ( בדיקת קו ישראין. ב

: הפרבולה כשהתנאים הםלבדוק את . גa 0

0

≠≠≠≠

∆ =∆ =∆ =∆ = וגם

:הסבר מבחינה גרפית

-:משותפת חת נקודת אx -לגרף הפונקציה ולציר ה ישmכאשר שואלים לאילו ערכי .יש לסדר את הפרבולה. א a הקו הישר לבדוק את. ב ) יש למצוא x ואת x עםאחרי הצבת הפרמטר יש לקבל ביטוי ( ====0

: בדיקת הפרבולה כשהתנאים הם. גa 0

0

≠≠≠≠

∆ =∆ =∆ =∆ = וגם

.'וסעיף ג' נות של סעיף בבין הפתרו" או"פתרון סופי יהיה מערכת . ד

: תהיה בנקודה שבהx -הנקודה המשותפת לפרבולה ולציר הb

x2a

= −= −= −= −.

x יתקבל כפונקציה שלm . נציב אתmונקבל את ' שהתקבל מסעיף גx, ניתן להציב או ש

. כצפוי– x -יתקבל רק פתרון אחד ל. במשוואה ולפתור בהתאםmאת :מבחינה גרפית

פרבולהה הקו הישר

aכאשר אנו דורשים : שימו לב הכוונה היא שמדובר בפרבולה והיא יכולה להיות ≠≠≠≠0

a" (בוכה " < a" (צוחקת"או ) 0 > .העיקר לא קו ישר) 0

Y

X

Y

X

Y

X

מאיר בכור ©

5

"שיטת התמיד" .4

:כאשר שואלים, במשוואה פרמטרית מהמעלה השניה

-):כלומר תמיד( xערך של השיוויון מתקיים לכל- איmעבור אילו ערכי

.ואיבר חופשי x -מקדם ל , 2x -יש לסדר את הפרבולה כך שיהיה מקדם ל. א

aהקו הישר לבדוק את . ב )x ללאנכון שתמיד מתקיים אחרי הצבת הפרמטר יש לקבל ביטוי ( ====0

.) פירוט להלןורא (השוויון-לבדוק את הפרבולה בהתאם לצורת אי. ג

.'וסעיף ג' בין הפתרונות של סעיף ב" או"פתרון סופי יהיה מערכת . ד

2ax השוויון מהצורה-אי )1 bx c > 0+ ++ ++ ++ ) תמיד( xערך של מתקיים עבור כל +

: הם) 'סעיף ג(כאשר התנאים לבדיקת הפרבולה a > 0

< 0∆∆∆∆ .וגם

2axהשוויון מהצורה -אי) 2 bx c < 0+ ++ ++ ++ ) תמיד (x מתקיים עבור כל ערך של +

: הם) 'סעיף ג(התנאים לבדיקת הפרבולה כאשר a < 0

< 0∆∆∆∆ .וגם

2axהשוויון מהצורה -אי) 3 bx c 0+ + ≥+ + ≥+ + ≥+ + ) תמיד (x מתקיים עבור כל ערך של ≤

: הם) 'סעיף ג( כאשר התנאים לבדיקת הפרבולה a > 0

0∆ ≤∆ ≤∆ ≤∆ ≤ .וגם

2axהשוויון מהצורה -אי) 4 bx c 0+ + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ) תמיד (x מתקיים עבור כל ערך של ≥

: הם) 'סעיף ג( כאשר התנאים לבדיקת הפרבולה a < 0

0∆ ≤∆ ≤∆ ≤∆ ≤ .וגם

:הערה m של עבור אילו ערכים: ניתן לפתור גם תרגילים בנוסח" שיטת התמיד"ב

))))גדולה הפונקציה ))))f x מהפונקציה (((( ))))g x לכל ערך של x) תמיד(?

מאיר בכור ©

6

"שיטת הקודקוד" .5

קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה . א2b b

, c2a 4a

− −− −− −− −

או

b,

2a 4a

∆∆∆∆ − −− −− −− −

.

שבו ' למעט סעיף ג" שיטת התמיד"זהים ל', ד', ב', סעיפים א, בשיטה זו. ב

: כאחד התנאים לדוגמאשל הקודקוד y - משתמשים ב

2axהשוויון מהצורה -מתי איכאשר שואלים ) 1 bx c > 0+ ++ ++ ++ , מתקיים תמיד+

.x -מתי הפרבולה נמצאת כולה מעל לציר הכאשר שואלים או

: הם "שיטת הקודקוד"לפי ) 'סעיף ג( התנאים לבדיקת הפרבולה

0 > y קודקוד

0 > a

) .x -ר ה של הקודקוד נמצא מעל ציy - וה" צוחקת"הפרבולה (

:כאשר שואלים) 2

בשתי k= yמסויים וחותכת קו x -מתי הפרבולה נמצאת כולה מעל לציר ה : הם "קודקוד השיטת"לפי ) 'סעיף ג(הפרבולה התנאים לבדיקת , נקודות שונות

k < y 0 > קודקוד

0 > a

: לביםש פצל את הדרך לפתרון לשני ל-ל ניתן לפתור גם בדרך אחרת "את השאלה הנ

- ) תמיד–כלומר (x -הפרבולה נמצאת כולה מעל ציר ה. א

-: והתנאים לכך הם" שיטת התמיד"נפתור שלב זה ב a > 0

< 0∆∆∆∆ וגם

- )שורשיםלפרבולה שני (בשתי נקודות שונות k= yהפרבולה חותכת את הקו . ב

)))): נשווה בין הפרבולה לקו הישר ונקבל ))))f x k==== ← (((( ))))f x k 0− =− =− =− =

: והתנאים לכך הם a 0

> 0∗∗∗∗

≠≠≠≠

∆∆∆∆ !)'זו שבסעיף אמסקרימיננטה כאן שונה הדי( וגם

. 'ב-ו' בין פתרונות הסעיפים א" וגם"ידי ביצוע -הפתרון הסופי יתקבל על. ג

: ומבחינה גרפית

וגם

וגם

Y

X

y = k

Y

X

: ומבחינה גרפית

מאיר בכור ©

7

גרף הפונקציה הוא פרבולה שקודקודה mעבור אילו ערכים של כאשר שואלים ) 3 – ברביע מסוייםנמצא -:התנאים לכך הם, IV -ברביע ה: וגמאלד

a מבחינה גרפיתו ≠≠≠≠0

x > קודקוד0

y < קודקוד0

מספר דוגמאות– "בדיקת הקו הישר"לגבי תזכורת .6 .x שיוויונים מתקיימים לכל ערך שלה-יא m מצא לאילו ערכי: שר שואליםכא) א

2mx -:1דוגמא mx 8 > 0− +− +− +− +

m = 0 נקבל a = 0כאשר

20x -: השיוויון ונקבל- באיm = 0נציב 0x 8 > 0− +− +− +− 8 כלומר + > . תמיד0

תמיד חיובי וזה מתאים לתנאי השיוויון- אי x לכל ערך של m = 0כאשר : מסקנה

. הוא פתרון של הקו הישרm = 0 ולכן השאלה

)))) -:2דוגמא ))))2 2m 1 x 5mx 3 > 0− − +− − +− − +− − +

2m בל נקa = 0כאשר 1 0− =− =− =− .m = 1 , m = -1: והפתרונות הם =

20x :השיוויון ונקבל- באיm = 1 את הפתרון הראשון נציב 5x 3 > 0− +− +− +− כלומר +3

x <5

.

לכל, יתקיים תמידהשיוויון- אינו מתאים לתנאי השאלה כיוון שרוצים שאיm = 1: מסקנה

-קטן מולא רק , x ערך של 3

5.

20x: באי השיוויון ונקבל m = -1נציב את הפתרון השני 5x 3 > 0+ ++ ++ ++ כלומר +3

x >5

−−−−.

, השיוויון יתקיים תמיד-אלה כיוון שרוצים שאי אינו מתאים לתנאי השm = -1: מסקנה

- מגדול ולא רק , xערך של לכל 3

5−−−−.

."בדיקת הקו הישר"בדוגמא זו אין פתרון ל

וגםX

Y

iiii iiii

מאיר בכור ©

8

)))) -:3דוגמא )))) (((( ))))2 2m m 2 x m 2 x 4 < 0− − + − −− − + − −− − + − −− − + − −

2m : נקבלa = 0כאשר m 2 0− − =− − =− − =− − .m = 2 , m = -1: והפתרונות הם=

20x: באי השיוויון ונקבלm = 2נציב את הפתרון הראשון 0x 4 < 0+ −+ −+ −+ 4 כלומר − < 0−−−−.

רון לקו מתאים לתנאי השאלה והוא פתm = 2תמיד קטן מאפס ולכן ) -4: (מסקנה

.הישר

20x: באי השיוויון ונקבלm = -1נציב את הפתרון השני 3x 4 < 0− −− −− −− כלומר −4

x >3

−−−−.

. אינו מתאים לתנאי השאלה ואינו פתרון לקו הישרm = -1: מסקנה נקודה אחת x -יש לגרף הפונקציה ולציר ה mלאילו ערכי שואלים כאשר ) ב

:משותפת

)))) -:1דוגמא )))) 2y m 5 x 3m 8= − + −= − + −= − + −= − + −

m: נקבלa = 0כאשר 5 0− =− =− =− .m = 5: והפתרון הוא=

2y: בפונקציה ונקבלm= 5נציב 0x 15 8= + −= + −= + −= + .y = 7ומר כל−

הוא קו מקביל y = 7 - אינו מתאים לתנאי השאלה כיוון שm = 5: מסקנה

.x - ואין נקודת חיתוך עם ציר הx -לציר ה

)))) -:2דוגמא )))) 2y m 1 x 2mx 7= − + += − + += − + += − + +

.m = 1: וא והפתרון הm – 1 = 0: נקבלa = 0כאשר

2y : בפונקציה ונקבלm = 1 נציב 0x 2x 7= + += + += + += + .y = 2x + 7 כלומר +

חותך את y = 2x + 7 מתאים לתנאי השאלה מכיוון שהישר m = 1: מסקנה

.) 0 , 3.5- ( בנקודה x -ציר ה

מאיר בכור ©

9

אף נקודה x - אין לגרף הפונקציה ולציר הmשואלים לאילו ערכי כאשר ) ג

: משותפת

)))) -:דוגמא )))) 2y m 5 x 3m 8= − + −= − + −= − + −= − + −

m: נקבלa = 0כאשר 5 0− =− =− =− .m = 5: והפתרון הוא=

2y: בפונקציה ונקבלm= 5 נציב 0x 15 8= + −= + −= + −= + .y = 7מר כלו−

הוא קו מקביל y = 7 -מתאים לתנאי השאלה כיוון ש m = 5: מסקנה

.x - ואין נקודת חיתוך עם ציר הx - לציר ה

!שימו לב

ב וחשכמה מנת להמחיש - נעשה שימוש באותה דוגמא על לעיל'ג-ו' בסעיפים ב

–סוג השאלה ן את להביסח השאלה וונלקרוא את

אותו הפתרון אינו מתאים לסוג אחד של : תגיעומסקנה זה מה שיקבע לאיזו

.שאלה אך מתאים לסוג השני

מאיר בכור ©

10

"שיטת הקודקוד"ו" שיטת התמיד "–דוגמא לשאלה ופתרונה בשתי השיטות .7 .)יכול לבחור בשיטה הנוחה לומכם כל אחד(

ואת התנאים "תמונת השאלה"מנת לראות את -תחילת הפתרון על מומלץ לשרטט לפני . המתאימים לה

-:השאלה

-: נמצא גרף הפונקציהm מצא לאילו ערכים של

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2f x m 1 x 2 m 1 x m 9= − + + + += − + + + += − + + + += − + + + +

.קודות שונות בשתי נy = 4) הישר( וחותך את הקו y = 2) הישר( כולו מעל לקו

-:הפתרון

בשתי y = 4ברור שאין צורך בבדיקת קו ישר כי הפונקציה צריכה לחתוך את הישר . א .ולכן הפונקציה היא רק פרבולה, נקודות

.y = 2 הישר כולה מעל השאלה היא יכיוון שמתנא" צוחקת"הפרבולה חייבת להיות . ב

-":תמונת השאלה"עכשיו נשרטט את . ג

":שיטת הקודקוד" בפתרון –' דרך א

a 0 > a < 0 : ראשית נרשום את התנאים

2 < < 44a

∆∆∆∆−−−− 4 < y 2 > קודקוד

:כעת נציב ו

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

2

m 1> 0

4 m+1 4 m 1 m 92 < < 4

4 m 1

−−−−

− − − +− − − +− − − +− − − +

−−−−

וגם

וגם

y = 2

y = 4

x

y

מאיר בכור ©

11

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

2 2

m > 1

4 m +2m +1 4 m 9m m 92 < < 4

4 m 1

− − + − −− − + − −− − + − −− − + − − −−−−

-: ונקבל4 - ב נצמצם

2 2

m > 1

m +2m +1 m 9m m 92 < < 4

m 1

− − − + +− − − + +− − − + +− − − + + −−−−

(((( ))))

m > 1

6m 102 < < 4

m 1

− − +− − +− − +− − +

−−−−

m > 1

6m 104 < 0

m 1

6m 102 > 0

m 1

−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

m > 1

6m 10< 4

m 1

6m 10> 2

m 1

−−−−−−−−

−−−−−−−−

(((( ))))

m > 1

6m 102 < < 4

m 1

− − +− − +− − +− − +

−−−−

וגם

וגם

וגם

וגם

מאיר בכור ©

12

m > 1

2m 6< 0

m 1

4m 8> 0

m 1

−−−−−−−−

−−−−−−−−

(((( ))))

(((( ))))

m > 1

6m 10 4 m 1< 0

m 1

6m 10 2 m 1> 0

m 1

− − −− − −− − −− − −

−−−−

− − −− − −− − −− − −

−−−−

-:עליו ולקבל" לוותר"אז ניתן ) m – 1 < 0(והמכנה חיובי היות

m > 1

m < 3

m > 2

⇒⇒⇒⇒

m > 1

2m 6 < 0

4m 8 > 0

−−−−

−−−−

): השיוויונים-ת איייהאזור המשותף לכל שליש" (וגם" מערכת –לשאלה פתרון סופי

3 < m < 2

וגם וגם

וגם וגם

3

° 2

°

1

°

מאיר בכור ©

13

-":שיטת התמיד" פתרון ב–' דרך ב

: נייםנפצל את הפתרון לש בשתי y = 4כאשר הפרבולה חותכת את הקו וגם y = 2כאשר הפרבולה מעל הקו

)כאמור אין צורך בבדיקת הקו הישר( .נקודות שונות

)))) -:כלומר, תמידy = 2הפרבולה מעל הישר . א )))) (((( )))) 29mx1m2x1m 2 >>>>++++++++++++++++−−−−

)))) : השיוויון ונקבל-נסדר את אי )))) (((( )))) 07mx1m2x1m 2 >>>>++++++++++++++++−−−−

-:והתנאים לכך שאי השיוויון יהיה תמיד חיובי הם

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 07m1m41m4

01m

2 <<<<++++−−−−−−−−++++

>>>>−−−−

0

0a

<<<<∆∆∆∆

>>>>

-: ונקבל4-נצמצם ב

(((( )))) (((( )))) 07mm7m1m2m

01m

22 <<<<−−−−−−−−++++−−−−++++++++

>>>>−−−−

02m

1m

>>>>−−−−

>>>>

08m4

1m

<<<<++++−−−−

>>>>

07mm7m1m2m

1m

22 <<<<++++++++−−−−−−−−++++++++

>>>>

2m

1m

>>>>

>>>>

2m>>>>

)))) ונקציה חיתוך הפ . ב )))) (((( )))) (((( ))))2f x m 1 x 2 m 1 x m 9= − + + + += − + + + += − + + + += − + + + בשתי y = 4עם הקו +

): פתרון אלגברי–כך מוצאים נקודות חיתוך בין שתי פונקציות (נקודות

)))) נשווה בין שתי הפונקציות )))) (((( )))) 49mx1m2x1m 2 : ונקבל−−−−++++++++++++++++====

(((( )))) (((( )))) 05mx1m2x1m 2 ====++++++++++++++++−−−−

וגם

וגם

וגם

וגם

2

°

1

°

מאיר בכור ©

14

-:הם) חיתוך בשתי נקודות(התנאים לכך שיהיו שני שורשים שונים a 0

> 0

≠≠≠≠

∆∆∆∆

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2

m 1 0

4 m 1 4 m 1 m 5 0

− ≠− ≠− ≠− ≠

+ − − + >+ − − + >+ − − + >+ − − + >

-: ונקבל4 - נצמצם ב

(((( ))))2 2

m 1

m 2m 1 m 5m m 5 0

≠≠≠≠

+ + − + − − >+ + − + − − >+ + − + − − >+ + − + − − >

m 1

m 3 0

≠≠≠≠

− <− <− <− <

06m2

1m

>>>>++++−−−−

≠≠≠≠

05mm5m1m2m

1m

22 >>>>++++++++−−−−−−−−++++++++

≠≠≠≠

3m

1m

<<<<

≠≠≠≠

3m 1m וגם >>>> ≠≠≠≠

-:' ב-ו' בין סעיפים א" וגם"פתרון סופי של השאלה יהיה מערכת .ג

m 2>>>>

3m 1m וגם >>>> ≠≠≠≠

3m2 <<<<<<<<

-:לבשימו ).כצפוי( ובכל זאת קבלנו אותה התוצאה שונות הדיסקרימיננטות בשתי השיטות

האם מדובר על פרבולה או על משוואה או – לניסוח השאלה מאד חשוב לשים לב

.ישרכאשר מדובר בפרבולה אין בדיקת קו . גרף הפונקציה על

וגם

3

°

1

וגם °

וגם וגם וגם

וגם

וגם

וגם

3

°

2

° 1

°

מאיר בכור ©

15

":להיתקל"מושגים נוספים בהם אתם יכולים .8 ):בחינת בגרותדוגמא לשאלה מ( "m -נקודה משותפת שאינה תלויה ב". א

)))): ותפונקציה ות נתונ )))) (((( ))))2f x 3x 3m 2 x m= − − += − − += − − += − − +

(((( ))))g x 1====

)))) -כי להראה ) 1 ))))f xול - (((( ))))g xיש נקודה משותפת שאינה תלויה ב - m.

)))) - ל יש m ערכים של מצא עבור אילו) 2 ))))f xול - (((( ))))g xשתי נקודות משותפות .

: פתרון

:נמצא את נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות) 1

(((( ))))23x 3m 2 x m 1− − + =− − + =− − + =− − + =

(((( ))))23x 3m 2 x m 1 0− − + − =− − + − =− − + − =− − + − =

:נפתור את המשוואה הריבועית

(((( )))) (((( ))))

1,2

23m 2 9m 12m 4 12 m 1

6x

− ± − + − −− ± − + − −− ± − + − −− ± − + − −====

(((( ))))

1,2

23m 2 9m 24m 16

6x

− ± − +− ± − +− ± − +− ± − +====

(((( )))) (((( ))))

1,2

23m 2 3m 4

6x

− ± −− ± −− ± −− ± −====

(((( )))) (((( ))))

2

3m 2 3m 4 1

6 3x

− − −− − −− − −− − −= == == == = ,

(((( )))) (((( ))))1

3m 2 3m 4m 1

6x

− + −− + −− + −− + −= = −= = −= = −= = −

)))): היא m -ולכן הנקודה המשותפת שאינה תלויה ב ))))1, 1

3 .

: ששתי הנקודות לא תתלכדנה ולכן– שתי נקודות משותפות פירושו )2

1 4

m 1 m3 3

− ≠ ⇒ ≠− ≠ ⇒ ≠− ≠ ⇒ ≠− ≠ ⇒ ≠

<ניתן לפתור גם באמצעות ( ))))במקרה שלנו , ∆∆∆∆0 ))))23m 4 > 0−−−−.(

מאיר בכור ©

16

):גם שאלה מבחינת בגרות ("משפחת הפונקציות". ב

)))): נתונה משפחת הפונקציות )))) (((( ))))2 2y m 5m x m 5 x 1= − − − −= − − − −= − − − −= − − − −.

.x - שעבורו גרף הפונקציה הוא קו ישר המקביל לציר הm מצא ערך של

: פתרון

1 22a 0 m 5m 0 m 0 , m 5= ⇒ − = ⇒ = == ⇒ − = ⇒ = == ⇒ − = ⇒ = == ⇒ − = ⇒ = =

1mנציב y : בפונקציה ונקבל====0 5x 1= −= −= −= לא מתאים לתנאי השאלה , −

).x -קביל לציר המאינו (

2m נציב y: בפונקציה ונקבל====5 1= −= −= −= מתאים לתנאי השאלה , −

m: ולכן התשובה תהיה ) x -מקביל לציר ה( 5====.

מאיר בכור ©

17

נוסחאות ווייטה .9

1 של המשוואה הריבועית לשורשים a , b , cקשר בין המקדמים 2x , x של

: המשוואה

1 2 1 2

b cx x x x

a a+ = − ⋅ =+ = − ⋅ =+ = − ⋅ =+ = − ⋅ =

שימושים של נוסחאות ווייטה

אשר נתונים השורשים שלהמציאת משוואה ריבועית כ. א

aמומלץ להניח ( ). בשלב הראשון====1 α,כאשר נתונה משוואה ריבועית שהשורשים שלה הם . ב βα βα βα βורוצים למצוא משוואה

.ββββ - וαααα ריבועית חדשה שהשורשים שלה כפונקציה של

)))) יש לזכור את הזהות ))))22 22

b c2 2

a a====

α +β α +β − αβ = − −α +β α +β − αβ = − −α +β α +β − αβ = − −α +β α +β − αβ = − −

.

כאשר נתונה משוואה ריבועית עם פרמטר ונתון אחד השורשים או קשר בין . ג

.שורשים ה ).שוני סימן, שווי סימן, שליליים, חיוביים (יםכאשר יש דרישה לסימני השורש. ד -:לדוגמא

" הרגילים" לתנאים בנוסף, לגבי שני שורשים חיובייםכאשר שואלים a 0

> 0

≠≠≠≠

∆∆∆∆

יש להוסיף בנוסחאות ווייטה את b

> 0a

) ידוע שסכום שני מספרים חיוביים גם הוא חיובי (−−−−

ואת התנאי c

> 0a

).ם גם היא חיוביתידוע שמכפלת שני מספרים חיוביי (

: שיוויונים-של ארבעה אי" וגם"יוצא שיש לבצע מערכת

a 0

> 0

b> 0

a

c> 0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

−−−−

וגם

וגם

–הרעיון בכתיבת התנאים ! נכנס לתנאים– לגבי סכום השורשים ומכפלת השורשים כל מה שידוע בוודאות

מאיר בכור ©

18

: לדוגמא–עם ערך מוחלט כאשר יש דרישה לשימוש . ה

יהיה בעל הערך המוחלט הגדול יותרהשורשים יהיו שוני סימן והשורש התנאים ששני . השורש החיובי

a 0

> 0

b> 0

a

c< 0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

−−−−

-) 007(בשאלונים מתקדמים יותר . ו

דסה אנליטית כאשר נתונה נקודת האמצע של קטע ניתן להשתמש בהנ, למשל

1: ווייטה בדרך הבאה בנוסחאות 2x x b

2 2a

++++= −= −= −= )הישר/ ולמצוא את שיפוע הקטע (−

-:ניסוח אחר לגבי סימני השורשים

: בשתי נקודות הנמצאותx - ציר האת חותכת הפונקציה mמצא לאילו ערכי

.סימנים מנוגדיםשני שורשים ממשיים שונים בעלי ↔ משני צידי הראשית . א

.שוויםסימנים שני שורשים ממשיים שונים בעלי ↔ באותו צד של הראשית . ב

.חיובייםשני שורשים ממשיים שונים ↔ מימין לראשית. ג .שלילייםשני שורשים ממשיים שונים ↔ משמאל לראשית. ד

2ax סיכום התנאים ששני שורשי המשוואה bx c 0+ + =+ + =+ + =+ + -:הם =

שניהם שליליים שניהם חיוביים שווי סימן שוני סימן

a 0

> 0

c< 0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

במקרה זה ניתן לוותר

< על התנאי של 0∆∆∆∆

a 0

> 0

c> 0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

a 0

> 0

c> 0

a

b> 0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

−−−−

a 0

> 0

c> 0

a

b< 0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

−−−−

וגם

מאיר בכור ©

19

דוגמא לשימוש בנוסחאות ווייטה

שורש לפחות יש למשוואה mנתונה משוואה ריבועית עם פרמטר ויש צורך למצוא עבור אילו ערכים של

: פתרון גרפי והתנאים המתאימים לו.אחד חיוביממשי ולה פרב- שורש אחד חיובי . א

הקו הישר–שורש אחד חיובי . ב )השני שלילי( פרבולה –שורש אחד חיובי . ג

פרבולה –ם חיוביים ישני שורש. ד

)אפס שווהשני שורש הה( פרבולה – שורש אחד חיובי .ה

.בין הפתרונות של חמשת האפשרויות שלעיל" או"ופי יהיה מערכת הפתרון הס

1x

1x

a 0

0

≠≠≠≠

∆ =∆ =∆ =∆ =

1x חייב להיות בצד ימין של הראשית

מנת שיהיה חיובי- על

1

bx

2a= −= −= −= −

וגם

a 0====

1x חייב להיות בצד ימין של הראשית

מנת שיהיה חיובי-על

a 0

> 0

c< 0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

וגם

a 0

> 0

b> 0

a

c> 0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

וגם −−−−

a 0

> 0

b> 0

a

c0

a

≠≠≠≠

∆∆∆∆

−−−−

====

וגם

מאיר בכור ©

20

005 שאלון –סיכום סדרות

:סדרות בסיכום זהסוגי ה

. סדרת נסיגה,סדרה הנדסית אינסופית יורדת, סדרות מעורבות, סדרה הנדסית, סדרה חשבונית

1 -: יסומנו כךהאיברים של כל סדרה, כלל-בדרך 2 3 4 n 2 n 1 na , a , a , a , ........ , a , a , a− −− −− −− −

סדרה חשבונית

-: הגדרה

בין כל איבר לאיבר הקודם לו ההפרשאם ) אריתמטית" (סדרה חשבונית"סדרת מספרים נקראת . מספר קבועהוא

d -הפרש הסדרה החשבונית

2 -לפיכך 1 3 2 4 3 n n 1d a a a a a a ........ a a −−−−= − = − = − = = −= − = − = − = = −= − = − = − = = −= − = − = − = = −

dכאשר > dכאשר , החשבונית עולה הסדרה0 < . הסדרה החשבונית יורדת0

nכאשר : בצורה כללית 1 na > a++++ לכל n -הסדרה עולה .

n כאשר 1 na < a++++ לכל n -הסדרה יורדת .

. מוצע החשבוני של שני האיברים הסמוכים לוכל איבר בסדרה חשבונית הוא המ

: הם שלושה מספרים עוקבים בסדרה חשבונית אז מתקייםa, b, cאם a c

b2

++++====.

)))): נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית ))))n 1a a n 1 d= + −= + −= + −= + מופיעה בדף הנוסחא (−

).הנוסחאות

. איברי הסדרה החל מהראשון ועד האחרוןאת כל" מייצג" הכללי האיבר . מיקום האיבר בסדרה- nהנוסחא היא פונקציה של

כי ההפרש בין כל , בהתאם להגדרה, יש להוכיחלהוכיח שהסדרה היא סדרה חשבוניתמנת -על .איבר לאיבר הקודם לו הוא מספר קבוע

-: ישna נתוןכאשר

nלמצוא את . א 1a ).n-1 יש לרשום כעת nבכל מקום שרשום (−−−−

nלמצוא את ההפרש . ב n 1a a . n - ולקבל תוצאה שהיא קבועה ולא תלויה ב−−−−−−−−

!):חובה(לסכם את התשובה . ג ".עוקבים ולכן הסדרה היא סדרה חשבוניתקבלנו הפרש קבוע בין שני איברים "

מאיר בכור ©

21

)))) -: האיברים הראשונים בסדרה חשבוניתn סכום של ))))n 1n

S 2a n 1 d2

= + −= + −= + −= + −

).נוסחא זו מופיעה בדף הנוסחאות(

)מומלץ להכירן (-: קיימות עוד שתי נוסחאות שאינן מופיעות בדף הנוסחאות

(((( ))))1 nn

a a nS

2

++++==== , (((( ))))n n

nS 2a n 1 d

2= − −= − −= − −= − −

: נעלמים/ פרמטרים 5שבסדרה חשבונית קיימות שתי משוואות עם , יוצא איפה

1 n na , n , a ,d , S

. חלקם חייב להופיע בנתוני השאלה, ולפיכך

-: לדוגמא. d - ו1a -את האיברים הנתונים בשאלה ל" תרגם"בהרבה מהשאלות מומלץ ל

13a אם נתון )))) : אז ====8 ))))13 1a a 13 1 d 8= + − == + − == + − == + − 1a : ולכן = 12d 8+ =+ =+ =+ =.

!שימו לב

ניתן למצוא מיידית את האיבר , אם נתון הסכום של שלושה מספרים עוקבים בסדרה חשבונית

x: יברים בצורה הבאההאמצעי כאשר נסמן הא d , x , x d− +− +− +− . 3xהסכום הנתון יהיה . +

: האיבר הכללי- na ורוצים למצוא את nsכאשר נתון

nיש למצוא את . א 1S ).n-1 יש לרשום כעת nבכל מקום שרשום (−−−−

nלמצוא את ההפרש בין . ב n 1S S n :כלומר. na הפרש זה יהיה - −−−−−−−− n n 1a S S −−−−= −= −= −= −

10: ובדוגמא מספרית 10 9a S S= −= −= −= −.

1: לוודא ש. ג 1S a==== , כלומר להציב פעםn=1ב - nS הנתון ופעם להציב n=1ב - na

.ולוודא שמתקבל מספר שווה) 'שהתקבל בסעיף ב (

n= קבוע : יש להוכיח כי, במידה וכעת רוצים להוכיח כי הסדרה היא סדרה חשבונית. ד n 1a a −−−−−−−−.

מאיר בכור ©

22

חרוניםסכום איברים א

קיימות שתי שיטות למציאת סכום , לא קיימת נוסחא לסכום האיברים האחרונים של סדרה ולפיכך

-:האיברים האחרונים

. הסכום הכללי של הסדרה פחות סכום האיברים הראשונים שלה. א

. של הסדרה האיברים האחרונים8 איברים ורוצים למצוא את סכום 20בסדרה : 1דוגמא

).12S ) 20 – 8 = 12האיברים הראשונים הוא 12 סכום

האיברים8 ולכן סכום 20Sהוא ) הסכום הכללי( האיברים בסדרה 20 סכום כל

20: האחרונים יהיה 12S S S= −= −= −= ) האיברים האחרונים8סכום . (−

: האיברים האחרונים ולכן הנוסחא תהיהn – 5 איברים ויש למצוא את nבסדרה : 2דוגמא

n 5S S S= −= −= −= )האיברים האחרונים n – 5 סכום (−

1": בחינה גרפית" מ 5 , 6 na ......a a ................a

!שימו לב

איןולפיכך , ..) הוא דוגמא8-ה (הראשונים האיברים 8הוא סימון של סכום 8Sהסימון ) 1

בלבד ולכתוב במיליםSאלא לסמן , בצורה זו האחרוניםלרשום את סכום האיברים

". האיברים האחרונים8סכום " : לידו

יוצא שתמיד ניתן לבדוק אם הגעתם לנוסחא הנכונה של האיברים האחרונים בעזרת) 2

: חיסור האינדקסים

. האיברים האחרונים שנתבקשתם למצוא8 נותן את 8 = 20-12: 1 בדוגמא

.כ האיברים האחרונים שנתבקשתם למצוא" הם סהn – 5: 2בדוגמא

5S

nS

מאיר בכור ©

23

.1a -להפוך את האיבר הראשון של האיברים האחרונים ל. ב

. 1aאותו לאיבר הראשון כלומר התוצאה תהיה " להפוך" ו13a לחשב את - בדוגמא

)))) כעת ניתן להשתמש בנוסחת סכום האיברים הראשונים ))))8 18

S 2a 8 1 d2

= + −= + −= + −= + − .

!שימו לב

:יבר הראשון של האיברים האחרונים יש לכם שתי אפשרויותמנת לאתר מהו הא- על

-שמסתמך על נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית " תרגיל עזר) "1 xa - נסמן את האיבר הראשון של האיברים האחרונים כ

d 1 של האינדקסים הוא ; y האיברים האחרונים הדרוש הוא מספר

)))): ולכן ))))n x y 1 1= + − ⋅= + − ⋅= + − ⋅= + − ⋅

)))): ולדוגמא שלעיל ))))20 x 8 1 1= + − ⋅= + − ⋅= + − ⋅= + − x ולכן ⋅ כלומר האיבר הראשון של (====13

).13a האיברים האחרונים הוא

של האיבר הראשון של האיברים האינדקסו' לרשום את הפרשי הסכומים כמו בשיטה א) 2

.1+ האחרונים יהיה האינדקס של סכום האיברים הראשונים : ובדוגמאות שלעיל

20: ' בדוגמא א 12S S S= −= −= −= − .

הוא האיבר13a ולכן 12 האינדקס של סכום האיברים הראשונים הוא

.הראשון של האיברים האחרונים

n: 'בדוגמא ב 5S S S= −= −= −= −

הוא האיבר הראשון 6a ולכן 5כום האיברים הראשונים הוא האינדקס של ס

. של האיברים האחרונים

מציאת מספר האיברים בסדרה חשבונית

.)כי הוא מציין גם מיקום( להיות חיובי ושלם n עליכם לזכור כי על nכאשר מבקשים למצוא את ייתכן ששני ) כפתרון של משוואה ריבועית (nכאשר מקבלים שני פתרונות חיובים ושלמים עבור

.אך ייתכן שיש לפסול אחד מהם, הפתרונות מתאימים ).הגיונייםו( ולראות אם הם מתאימים לתנאי השאלה na ואת 1aהדרך להחליט היא לבדוק את

מאיר בכור ©

24

זוגיים והזוגיים-סכום המקומות האי

-: בצורה כללית יש לחלק את הבעיה לשלוש .זוגיים וסדרת המקומות הזוגיים-סדרת המקומות האי, הסדרה המקורית

) איבריםn2( המקורית יש מספר זוגי של איברים –כאשר בסדרה החשבונית . א

)))): הסכום יהיהזוגיים-האיבסדרת המקומות . 1 ))))n 1n

S 2a n 1 2d2

= + −= + −= + −= + −

! לבשימו .2n במקום n -ומספר האיברים הפך ל) d במקום 2d( הפרש הסדרה המקורית הוכפל

)))): הסכום יהיההזוגייםבסדרת המקומות . 2 ))))n 2n

S 2a n 1 2d2

= + −= + −= + −= + −

! לבמושי 1a : 2 - במקום ב2a -בנוסחה משתמשים ב* 1a a d= += += += האיבר השני בסדרה המקורית, +

.הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית .2n במקום n -ומספר האיברים הפך ל) d במקום 2d( המקורית הוכפל הפרש הסדרה

. ) 2n( מספר האיברים הנכון את מנת למצוא- עלn את 2 -לא לשכוח להכפיל ב *

בין סכום האיברים במקומות הזוגיים לבין סכוםההפרש איברים2nכאשר בסדרה יש . 3 -:זוגיים הוא-ים במקומות האיהאיבר

= nS)זוגיים-מקומות אי (- nS)מקומות זוגיים(

) איבריםn2 +1(זוגי של איברים -אי המקורית יש מספר –כאשר בסדרה החשבונית . ב

)))): הסכום יהיהזוגיים-האיבסדרת המקומות . 1 ))))n 1 1n 1

S 2a n 1 1 2d2

++++++++

= + + −= + + −= + + −= + + −

! לבמושי במקום n+1 -ומספר האיברים הפך ל) d במקום 2d( מקורית הוכפל הפרש הסדרה ה

2n+1 .

)))): הסכום יהיההזוגייםבסדרת המקומות . 2 ))))n 2n

S 2a n 1 2d2

= + −= + −= + −= + −

! לבמושי 1a : 2 - במקום ב2a -בנוסחה משתמשים ב 1a a d= += += += האיבר השני בסדרה המקורית , +

.הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית .2n במקום n -ומספר האיברים הפך ל) d במקום 2d( הפרש הסדרה המקורית הוכפל

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

1 1

1 1 1 1

n n2 a d n 1 2d 2a n 1 2d

2 2

n n n2a 2d 2nd 2d 2a 2nd 2d 2a 2nd 2a 2nd 2d nd

2 2 2

= + + − − + − == + + − − + − == + + − − + − == + + − − + − =

= + + − − + − = + − − + == + + − − + − = + − − + == + + − − + − = + − − + == + + − − + − = + − − + =

מאיר בכור ©

25

סדרה הנדסית

-:גדרהה

בין כל איבר לאיבר הקודם לו הוא)המנה(היחס אם " סדרה הנדסית"סדרת מספרים נקראת .מספר קבוע

q - 32 -לפיכך ). היחס הקבוע( מנת הסדרה 4 n

1 2 3 n 1

aa a aq .....

a a a a −−−−= = = = == = = = == = = = == = = = =

!בסדרה הנדסית לא ייתכן שאחד האיברים יהיה אפס

עליה וירידה של סדרה הנדסית

:q - ו1a - של סדרה הנדסית היא בהתאם לעליה וירידה

; הסדרה עולה–כאשר כל המספרים עולים ; הסדרה יורדת–כאשר כל המספרים יורדים

; הסדרה לא עולה ולא יורדת–כאשר המספרים עולים ויורדים

nכאשר : בצורה כללית 1 na > a++++ לכל n -הסדרה עולה .

n כאשר 1 na < a++++ לכל n -הסדרה יורדת .

–כל איבר בסדרה הנדסית הוא הממוצע ההנדסי של שני האיברים הסמוכים לו

aאם , b , c 2: אז מתקיים הם שלושה מספרים עוקבים בסדרה הנדסיתb ac====

n): מופיעה בדף הנוסחאות(נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית 1n 1a a q −−−−= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

.החל מהראשון ועד האחרון, האיבר הכללי מייצג את כל איברי הסדרה

. מיקום האיבר בסדרה- nהנוסחא היא פונקציה של

בין כל איבר היחסכי , בהתאם להגדרה, דרה היא סדרה הנדסית יש להוכיחמנת להוכיח שס-על .קבועלאיבר הקודם לו הוא מספר

: ויש להוכיח שהסדרה היא הנדסית צריךna נתוןכאשר

nלמצוא את . א 1a ).n-1 יש לרשום כעת nבכל מקום שרשום (−−−−

nלמצוא את היחס . ב

n 1

a

a −−−− . n - ולקבל תוצאה שהיא קבועה ואינה תלויה ב

!):חובה(לסכם את התשובה . ג ".קבלנו מנה קבועה בין שני איברים עוקבים ולכן הסדרה היא סדרה הנדסית "

מאיר בכור ©

26

: האיברים הראשונים בסדרה הנדסיתn סכום של

(((( ))))(((( ))))

n1

n

a q 1S q 1

q 1

−−−−= ≠= ≠= ≠= ≠

−−−− )נוסחא זו מופיעה בדף הנוסחאות (

n: ולכן הסכום יהיהל" אסור להשתמש בנוסחא הנ q=1כאשר 1S a n= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

אך מומלץ , שאינה מופיעה בדף הנוסחאות, האיברים הראשונים nקיימת עוד נוסחא לחישוב סכום

:להכירה

(((( ))))n 1n

a q aS q 1

q 1

⋅ −⋅ −⋅ −⋅ −= ≠= ≠= ≠= ≠

−−−−

1:נעלמים/ פרמטרים 5שבסדרה הנדסית קיימות שתי משוואות עם , איפהיוצא n na , n , a , q ,S

את האיברים " תרגם"ל בהרבה מהשאלות מומלץ . חלקם חייב להופיע בנתוני השאלה, ולפיכך .q - ו1a -הנתונים ל

13a אם נתון -: לדוגמא 13: אז, ====8 1 1213 1 1a 8 a q a q−−−−= = ⋅ = ⋅= = ⋅ = ⋅= = ⋅ = ⋅= = ⋅ = ⋅.

מנת לפתור -בהרבה מקרים בהם מדובר בסדרה הנדסית ניתן לחלק משוואה במשוואה על, כמו כן

!)נא לשים לב שאינכם מחלקים באפס(את מערכת המשוואות

!שימו לב

צוא מיידית את האיבר ניתן למ, אם נתונה המכפלה של שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית

: האמצעי כאשר נסמן את האיברים בצורה הבאהx

, x , xqq

.3xהמכפלה הנתונה תהיה .

: האיבר הכללי- na ורוצים למצוא את nsכאשר נתון

n את יש למצוא. א 1S ).n-1 יש לרשום כעת nבכל מקום שרשום (−−−−

nלמצוא את ההפרש בין . ב n 1S S n :כלומר. na הפרש זה יהיה - −−−−−−−− n n 1a S S −−−−= −= −= −= −

10: ובדוגמא מספרית 10 9a S S= −= −= −= −.

1: לוודא ש. ג 1S a==== , כלומר להציב פעםn=1ב - nS הנתון ופעם להציב n=1ב - na

.ולוודא שמתקבל מספר שווה) 'שהתקבל בסעיף ב (

n= קבוע : ש להוכיח כיי, במידה וכעת רוצים להוכיח כי הסדרה היא סדרה הנדסית. ד

n 1

a

a −−−−

מאיר בכור ©

27

סכום איברים אחרונים בסדרה הנדסית

קיימות שתי שיטות למציאת סכום , לא קיימת נוסחא לסכום האיברים האחרונים של סדרה ולפיכך -:האיברים האחרונים

.הסכום הכללי של הסדרה פחות סכום האיברים הראשונים שלה. א

. האיברים האחרונים של הסדרה8 איברים ורוצים למצוא את סכום 20בסדרה : 1דוגמא

).12S )20 – 8 = 12האיברים הראשונים הוא 12 סכום

האיברים8 ולכן סכום 20Sוא ה) הסכום הכללי( האיברים בסדרה 20 סכום כל

20: האחרונים יהיה 12S S S= −= −= −= ) האיברים האחרונים8סכום . (−

: האיברים האחרונים ולכן הנוסחא תהיהn – 5 איברים ויש למצוא את nבסדרה : 2דוגמא

n 5S S S= −= −= −= )האיברים האחרונים n – 5 סכום (−

1": בחינה גרפית" מ 5 , 6 na ......a a ................a

!שימו לב איןולפיכך , ..) הוא דוגמא8-ה (הראשונים האיברים 8הוא סימון של סכום 8Sהסימון ) 1

בלבד ולכתוב במיליםSאלא לסמן , בצורה זו האחרוניםלרשום את סכום האיברים ". האיברים האחרונים8סכום " : לידו

לנוסחא הנכונה של האיברים האחרונים בעזרת חיסור יוצא שתמיד ניתן לבדוק אם הגעתם) 2 : האינדקסים . האיברים האחרונים שנתבקשתם למצוא8 נותן את 8 = 20-12: 1 בדוגמא .כ האיברים האחרונים שנתבקשתם למצוא" הם סהn – 5: 2 בדוגמא .1a -שון של האיברים האחרונים לאת האיבר הראלהפוך . ב

. 1aאותו לאיבר הראשון כלומר התוצאה תהיה " להפוך" ו13a לחשב את - בדוגמא

: כעת ניתן להשתמש בנוסחת סכום האיברים הראשונים(((( ))))8

1

8

a q 1S

q 1

−−−−====

−−−−.

!שימו לב :מנת לאתר מהו האיבר הראשון של האיברים האחרונים יש לכם שתי אפשרויות- על

-שמסתמך על נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית " תרגיל עזר) "1

xa - נסמן את האיבר הראשון של האיברים האחרונים כ

d 1 של האינדקסים הוא ; yהוא מספר האיברים האחרונים הדרוש

)))): ולכן ))))n x y 1 1= + − ⋅= + − ⋅= + − ⋅= + − ⋅

)))): ולדוגמא שלעיל ))))20 x 8 1 1= + − ⋅= + − ⋅= + − ⋅= + − x ולכן ⋅ כלומר האיבר הראשון של האיברים (====13

).13a האחרונים הוא

nS

5S

מאיר בכור ©

28

של האיבר הראשון של האיברים האינדקסו' לרשום את הפרשי הסכומים כמו בשיטה א ) 2 .1+ האחרונים יהיה האינדקס של סכום האיברים הראשונים : ובדוגמאות שלעיל

20: 'בדוגמא א 12S S S= −= −= −= − .

הוא האיבר הראשון 13a ולכן 12 האינדקס של סכום האיברים הראשונים הוא

. של האיברים האחרונים

n: 'בדוגמא ב 5S S S= −= −= −= −

הוא האיבר הראשון 6a ולכן 5 האינדקס של סכום האיברים הראשונים הוא

. של האיברים האחרונים

בסדרה הנדסיתמציאת מספר האיברים

).כי הוא מציין גם מיקום( להיות חיובי ושלם nיכם לזכור כי על עלnכאשר מבקשים למצוא את ייתכן ששני ) כפתרון של משוואה ריבועית (nכאשר מקבלים שני פתרונות חיובים ושלמים עבור

.אך ייתכן שיש לפסול אחד מהם, הפתרונות מתאימים ).הגיונייםו( ולראות אם הם מתאימים לתנאי השאלה na ואת 1aהדרך להחליט היא לבדוק את

זוגיים והזוגיים בסדרה הנדסית-סכום המקומות האי

-: בצורה כללית יש לחלק את הבעיה לשלושה חלקים

.זוגיים וסדרת המקומות הזוגיים-סדרת המקומות האי, הסדרה המקורית

) איבריםn2( המקורית יש מספר זוגי של איברים – הנדסיתכאשר בסדרה ה. א

: הסכום יהיהזוגיים-האיבסדרת המקומות . 1 (((( ))))n2

1

n 2

a q 1

Sq 1

−−−− ====

−−−−

! לבמושי

.2n במקום n -ומספר האיברים הפך ל) qבמקום (2q מנת הסדרה המקורית היא כעת

: הסכום יהיההזוגייםבסדרת המקומות . 2 (((( ))))n2

2

n 2

a q 1

Sq 1

−−−− ====

−−−−

! לבמושי 1a : 2 - במקום ב2a -בנוסחה משתמשים ב * 1a a q==== , האיבר השני בסדרה המקורית הוא

.האיבר הראשון בסדרה הזוגית

.2n במקום n -ומספר האיברים הפך ל) qבמקום (2qמנת הסדרה המקורית היא כעת

). 2n( מספר האיברים הנכון את מנת למצוא- עלn את 2 -לא לשכוח להכפיל ב *

מאיר בכור ©

29

) איבריםn2 +1(זוגי של איברים -אי המקורית יש מספר – תהנדסיכאשר בסדרה ה. ב

: הסכום יהיהזוגיים-האיבסדרת המקומות . 1 (((( ))))n 1

21

n 1 2

a q 1

Sq 1

++++

++++

−−−− ====

−−−−

!שים לב

במקום n+1 -ומספר האיברים הפך ל) qבמקום (2q מנת הסדרה המקורית היא כעת

2n+1 .

: הסכום יהיההזוגייםבסדרת המקומות . 2 (((( ))))n2

2

n 2

a q 1

Sq 1

−−−− ====

−−−−

!שים לב 1a : 2 - במקום ב2a - בנוסחה משתמשים ב 1a a q==== , האיבר השני בסדרה המקורית הוא

. האיבר הראשון בסדרה הזוגית

.2n במקום n -ומספר האיברים הפך ל) qבמקום (2q מנת הסדרה המקורית היא כעת

זוגיים-האי/ סכום של סדרה הנדסית שהחליפו לה את סימני האיברים במקומות הזוגיים

והחליפו בה את הסימנים של ) 2n(נתונה סדרה הנדסית בעלת מספר זוגי של איברים . א .זוגיים-האיהאיברים שבמקומות

1 -: הסדרה המקורית 2 3 2na , a , a ,......., a

1 -: תהיה" מוחלפת הסימנים"הסדרה 2 3 4 , 2na , a , a , a ......., a− −− −− −− −

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

2n1

2n

a q 1S

q 1

− − −− − −− − −− − −====

− −− −− −− −

! לבמושי

)))): ובנוסף−−−−q תהיה" הסימניםמוחלפת" מנת הסדרה ))))2n 2nq q− =− =− =− =.

מאיר בכור ©

30

פו בה את הסימנים שלוהחלי) 2n(נתונה סדרה הנדסית בעלת מספר זוגי של איברים . ב .הזוגייםשבמקומות האיברים

1 -: הסדרה המקורית 2 3 2na , a , a ,......., a

1 -: תהיה" מוחלפת הסימנים"הסדרה 2 3 4 , 2na , a , a , a ......., a− − −− − −− − −− − −

: רים יהיה האיב2nולכן סכום (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

2n1

2n

a q 1S

q 1

− −− −− −− −====

− −− −− −− −

)))): ובנוסף −−−−q תהיה" הסימניםמוחלפת"מנת הסדרה ))))2n 2nq q− =− =− =− =.

סדרות מעורבות

-:הגדרה

. נקראות סדרות מעורבותסדרות שאיבריהן יוצרים בחלקם סדרה הנדסית ובחלקם סדרה חשבוניתבשאלות המדברות על סדרות מעורבות נשתמש בעיקר בכללים המגדירים סדרה חשבונית וסדרה

:הנדסית

-כל איבר בסדרה חשבונית הוא הממוצע החשבוני של שני האיברים הסמוכים לו . אa c

b2

++++====

x: יש לזכור כי בסדרה חשבונית מתקיים , x d , x 2d+ ++ ++ ++ +

2b -כל איבר בסדרה הנדסית הוא הממוצע ההנדסי של שני האיברים הסמוכים לו . ב ac====

2x: יש לזכור כי בסדרה הנדסית מתקיים , x q , x q⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

.מנת להקל על הפתרון-על, רו הנעלמים באיזו סדרה יוגדחשוב לדעת לבחור, בתרגילים מסויימים

מאיר בכור ©

31

סדרה הנדסית אינסופית יורדת

-:הגדרה

:סדרה הנדסית המקיימת את שני התנאים הבאים . בסדרה ההנדסית יש אינסוף איברים. 1 q < 1 > 1- חייבת להיות בתחום qמנת הסדרה ההנדסית . 2

1a : ם אינסוף האיברים היאנוסחת סכו, ל"כאשר מתקיימים שני התנאים הנS

1 q====

−−−−

זוגיים-האי/סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת שהחליפו לה את סימני האיברים במקומות הזוגיים

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת והחליפו בה את הסימנים של האיברים. א .זוגיים-האי שבמקומות

1 -:ורית הסדרה המק 2 3 4 5a , a , a , a , a ,.........

1 -: תהיה" מוחלפת הסימנים" הסדרה 2 3 4 , 5 ,a , a , a , a a ..........− − −− − −− − −− − −

ולכן סכום הסדרה−−−−1a והאיבר הראשון הוא q-היא " מוחלפת הסימנים" כעת מנת הסדרה

: יהיה" מוחלפת הסימנים "(((( ))))

1 1a aS

1 q 1 q

− −− −− −− −= == == == =

− − +− − +− − +− − +

! לבמושי

.הינה סדרה הנדסית אינסופית יורדת" מוחלפת הסימנים" גם הסדרה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת והחליפו בה את הסימנים של האיברים . ב .יםהזוגישבמקומות

1 -: הסדרה המקורית 2 3 4 5a , a , a , a , a ,.........

1 -: תהיה" מוחלפת הסימנים" הסדרה 2 3 4 , 5 ,a , a , a , a a ..........− −− −− −− −

ולכן סכום 1a והאיבר הראשון נשאר −−−−qהיא " מוחלפת הסימנים" כעת מנת הסדרה

: יהיה" מוחלפת הסימנים"הסדרה (((( ))))1 1a a

S1 q 1 q

= == == == =− − +− − +− − +− − +

מאיר בכור ©

32

2: אם נעלה בריבוע את כל איברי הסדרה המקורית נקבל . ג 2 2 2 21 2 3 4 5a , a , a , a , a ,.........

2 והאיבר הראשון הוא 2q מנת הסדרה החדשה היא 1a .

20": תחום המותר" נמצא ב2q ! לבמושי < q : ולכן סכום הסדרה החדשה יהיה1 >

2

12

aS

1 q====

−−−−

1a: ת לסכום סדרה הנדסית אינסופית יורדתכל שימוש בנוסחא הכללי, כלומר S

1 q====

−−−−

: מחייב אתכם לבדוק האם עדיין מתקיימים שני התנאים .לסדרה אינסוף איברים. 1 2 .-1 < q < 1 ) qתחום המותר" נמצא עדיין ב .("

מאיר בכור ©

33

רת נסיגה סד–נוסחת נסיגה

-:הגדרה .נוסחא המראה כיצד מתקבל כל איבר באמצעות האיבר הקודם לו

ונוסחא המראה כיצד מתקבל כל איבר מהאיבר 1aבנוסחת נסיגה נתון האיבר הראשון , כלל-בדרך

n: לדוגמא. הקודם לו 1 n 1a a 5n 3 , a 2++++ = + + == + + == + + == + + =

: הערות

.כלומר למצוא איברים קודמים, "ת אחורהללכ"ניתן גם * . כל שאר האיברים שנמצא יהיו שגויים גם הם–יש לשים לב שאם טועים באחד האיברים *

המעבר מהאיבר הכללי לכלל הנסיגה

-:יש, ורוצים את נוסחת הנסיגה, האיבר הכללי- naכאשר נתון

nלמצוא את . א 1a )n+1 יש לרשום כעת nבכל מקום שרשום (++++

nלמצוא את ההפרש . ב 1 na a++++ ))))להפרש זה נקרא . −−−− ))))f n :(((( ))))n 1 na a f n++++ − =− =− =− =

)))) : לאגף ימין של המשוואה ולקבלnaלהעביר את . ג ))))n 1 na a f n++++ = += += += +.

ולהשלים את הצורה הכללית ) 1 יש להציב nבמקום . (פי האיבר הכללי הנתון- על1aלמצוא . ד

1a: של נוסחת הנסיגה ....==== (((( ))))n 1 na a f n++++ = += += += +.

: לבצע למשל חילוק', ניתן במקום החיסור בסעיף ב, היות ולסדרה ייתכנו מספר כללי נסיגה

.na -: נתון

n: מצא 1a ++++

(((( ))))n 1

n

af n

a++++ ====

(((( ))))n 1 na a f n++++ = ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

) הנתוןna -מ (1a מצא את

יש להקפיד שכל האיברים יהיו : יש חזקותna -מאד מומלץ להשתמש בשיטת החילוק כאשר ב

!שונים מאפס

:הערהניתן , אם שואלים שאלה הקשורה למציאת שני איברים עוקבים בסדרת נסיגה ונתון ההפרש ביניהם

))))להשתמש בכלל הנסיגה ))))n 1 na a f n++++ = += += += ))))ההפרש הנתון הוא : ולומר כי+ ))))f n.

מאיר בכור ©

34

המעבר מכלל הנסיגה לאיבר הכללי

פי כלל הנסיגה ובהתאם לתוצאות יש למצוא את האיבר -יש למצוא מספר איברים על: השיטה ).למצוא את החוקיות(הכללי של הסדרה

יש להוכיח את האיבר הכללי , "עד אינסוף"צאנו נכונה היות שלא ברור מאליו שהחוקיות שמ

). אינדוקציה התלכדות סדרות– 006שאלון (באמצעות אינדוקציה

:קיימות שאלות בסדרת נסיגה בנוסח הבא

-:לדוגמאnנתונה סדרת נסיגה 1 n 1a 2a 4n 1, a 15++++ = − + == − + == − + == − + =.

n: ידי- על המוגדרתnbהוכח כי הסדרה . א nb a 4n 3= − −= − −= − −= − . היא סדרה הנדסית−

יש להוכיח שהמנה בין שני איברים , מנת להוכיח שסדרה היא סדרה הנדסית-על: תשובה . סמוכים היא קבועה

(((( )))) (((( ))))nn 1 n 1 n

n n n n

2a 4n 1 4 n 1 3b a 4(n 1) 3 2a 8n 62

b a 4n 3 a 4n 3 a 4n 3+ ++ ++ ++ + − + − + −− + − + −− + − + −− + − + −− + − − −− + − − −− + − − −− + − − −

= = = == = = == = = == = = =− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −

של q -התוצאה היא בעצם ה( היא הנדסית b היא יחס קבוע ולכן סדרה 2 התוצאה

.)bסדרה . בלבדn כפונקציה של nb -מצא נוסחא ל. ב

.1b -מנת להכיר את הסדרה ההנדסית יש למצוא את האיבר הראשון שלה -על: תשובה

1b :1 מציאת 1b a 4 1 3 15 4 3 8= − ⋅ − = − − == − ⋅ − = − − == − ⋅ − = − − == − ⋅ − = − − =

:נשתמש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית) כפי שהוכחנו( היא הנדסית b היות וסדרה

n 1 n 1 nn 1b b q 8 2 4 2− −− −− −− −= ⋅ = ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅

. בלבדn כפונקציה של na -מצא נוסחא ל. ג

: תשובה n: היה נתון nb a 4n 3= − −= − −= − −= − n: ולכן− na b 4n 3= + += + += + += + +.

n: הכרנו כאיבר כללי של סדרה הנדסית וכעת נציבnb את na 4 2 4n 3= ⋅ + += ⋅ + += ⋅ + += ⋅ + +

איבר כללי של סדרה הנדסית כיוון ולא איבר כללי של סדרה חשבונית לא הוא na! לבמושי

……, 83 , 47 , 27 , 15: שמתקבלים האיברים הבאים

מאיר בכור ©

35

n: כלומר, a של סדרת nS -מצא נוסחא ל. ד 1 2 3 4 nS a a a a ....... a= + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +

: ובה תש סכום כל עמודה יהיה מוכר. למרכיביו ולחבר בעמודותnaאת " לתרגם" למציאת הסכום יש

להשתמש בנוסחאות הסכום של סדרה חשבונית והנדסית רק אז כסדרה כלשהי ולכן ניתן יהיה : בהתאם

11

22

33

44

55

nn

a 4 2 4 1 3

a 4 2 4 2 3

a 4 2 4 3 3

a 4 2 4 4 3

a 4 2 4 5 3

. . . .

. . . .

. . . .

a 4 2 4 n 3

= ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ +

: כעת נחבר את העמודות בהתאם

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1 2 3 nnS 4 2 2 2 ..... 2 4 1 2 3 ..... n 3 3 3.... 3 = + + + + + + + + + + + + += + + + + + + + + + + + + += + + + + + + + + + + + + += + + + + + + + + + + + + +

) n סדרה הנדסית) (סדרה חשבונית) (3 פעמים (

: אם נחשב את הסכום בהת(((( )))) (((( ))))

n

n

2 2 1 1 n nS 4 4 3n

2 1 2

−−−− ++++= ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ +

−−−−

n: לאחר כינוס איברים נקבל את התשובה הסופית 3 2nS 2 2n 5n 8++++= + + −= + + −= + + −= + + −

:הערה* -: היא סדרה חשבונית אז יש להוכיח כיbשסדרת , בדוגמא אחרת, במידה והיה צריך להוכיח

n= קבוע 1 nb b++++ −−−−

זוגיים- מקומות זוגיים ומקומות אי–סדרת נסיגה

זוגיים מהווים סדרה-או האי/ במקומות הזוגיים וnaהוכח שאיברי סדרה : "כאשר מבקשים. א

: יש להראות כי, " חשבונית = n 2 na a++++ −−−−

זוגיים מהווים סדרה-או האי/ במקומות הזוגיים וnaהוכח שאיברי סדרה : "קשיםכאשר מב. ב

n: = יש להראות כי, " הנדסית 2

n

a

a++++

1 לב שאין צורך לחשב את ערכם של האיבריםשימו 2a , a

כי אם נמצא אותם לא נוכל למצוא את הסכום' וכו

מספר קבוע

) n -שאינו תלוי ב(

מספר קבוע ) n -שאינו תלוי ב(

מאיר בכור ©

36

005 שאלון –ה סיכום בגיאומטרי

השתדלתי שהסיכום המוגש לכם להלן יעזור להפוך את נושא הגיאומטריה לידידותי יותר עבורכם

.ופחות מאיים בסיכום תמצאו כלים להתמודדות עם השאלות בגיאומטריה והדגשה של נקודות חשובות אליהן יש

. שימוש בכלים אלה יכול להקל במציאת הדרך לפתרון. לשים לב כללי .א

. קיימות שתי שיטות מקובלות לכתיבת הוכחה בגיאומטריה .1

".טענה ונימוק"שיטת . א מסתמכים על שורה או , בנוסף לנימוקים הרגילים–" המיספור וההסתמכות" שיטת . ב

".2, 3, 5לפי שורות " או , "1לפי שורה : " שורות כגיבוי לנימוק

אין צורך לחלק את (מקלה ונוחה יותר לשימוש " המיספור וההסתמכות "שיטת, מניסיוני ).זה עושה סדר בהוכחה ובמחשבה כי ברור מאיפה כל דבר מגיע, הדף לשני אזורים . ני ממליץ בחום על שימוש בשיטה זוא

. התשובה נפסלת חד וחלק-! אין לפתור שאלות בגיאומטריה בעזרת טריגונומטריה .2 ). תשובה סופית נכונהלמרותוזאת (

" תידלקנה" לפעמים דרך הנתונים עצמם –חשוב מאד לקרוא היטב את נתוני השאלה .3 .יזכירו לכם את המשפטים הרלוונטיים לפתרון/שיצביעו" נורות"לכם מה שעולה (מומלץ לרשום בצד את שמות כל המשפטים שנתוני השאלה מזכירים לכם ).שיטת האלימינציה. (ולנסות עם משפטים אלו לתקוף את השאלה) יאציותאסוצכלכם

. ולכן יש להשתמש בכולם להוכחהאין נתונים מיותריםבדרך כלל בבחינה .4

. סביר להניח שטעיתם– במידה ולא השתמשתם באחד הנתונים

: יש לרשום) כולל הוכחת משפטים(בכל פתרון של שאלות בגיאומטריה .5 !ראו זאת ככלל ברזל". הוכחה", ל"צ, "נתון "

. רישום מסודר עוזר בהתארגנות לפתרון ומונע דילוג על סעיפים

יש לשרטט עבור סעיף זה שרטוט נפרד –שלהן כולל הוכחת משפט ' בשאלות שסעיף א .6 . מהשרטוט הנתון ולהוכיח את המשפט בהתאם

.' רמז או עזר לפתרון של סעיף בהיא' הוכחת המשפט מסעיף א, בבחינה, כלל- בדרך .או את השרטוט הנתון בשאלה, יש לשרטט שרטוט חדש' עבור סעיף ב

,ולא ביד חופשית) או שבלונת עיגולים( יש לשרטט את השרטוט בעזרת סרגל ומחוגה .7

.כלל מטעה ומעוות את התמונה-בדרך, שרטוט ביד חופשית. נא להצטייד בהתאם, ולפיכך

אין להוריד ממנו , לפיכך. טוט הנתון בשאלה הוא סכמתי וללא קנה מידההשר/ הציור .8 .'שטחים וכו, זוויות, מידות ואין לקבל ממנו פרופורציות כלשהן על גדלים של צלעות

מאיר בכור ©

37

. בשרטוטxעם צלע " לרוץ" בשרטוט או ααααעם זווית " לרוץ"יש שאלות בהן מומלץ .9ABCנסמן : "יש לרשום, זה במקרה = α= α= α= α���� " נסמן "אוAD = x ."

.אלא גם כחלק אינטגרלי מההוכחה, יש לכתוב לא רק בשרטוט" ריצה" את ה

1כאשר משתמשים בזוויות .10 2, ...β ββ ββ ββ β 1 או 2D , D דירן בהוכחה בעזרת יש להג, ...

או קווים מקבילים /ו, או צלעות שוות/זוויות שוות ו, בנוסף. וגם לסמנם בשרטוט..." נסמן " . כדאי להשתמש גם בצבעים"). עירום"לא להשאיר את השרטוט ( מומלץ לסמן בשרטוט

: לדוגמא–להשתמש באותה אות לסימון נעלמים שונים באותה שאלה אין .11

ABC x====����) זווית( ,AB = x) יש עוד אותיות לסימון נעלמים–זיכרו , )קטע .

יש להסביר את, במידה ומשתמשים בבניית עזר. אין מגבלה לגבי מספר בניות העזר .12 . את השרטוט בדף המבחןחובה לשרטטבניה ולסמן אותיות בהתאם ובנוסף ה

). אחת או שתייםכלל משתמשים בבניית עזר-בדרך (

כאשר משתמשים בבניית עזר חייבים להגדיר את התנאי שבניית העזר מקיימת .13 בניית עזר זו ). 'העברת קטע בין שתי נקודות וכד, העברת משיק, הורדת גובה–למשל (

. אלא אם כן הוכחתם אותו– אינה יכולה לקיים תנאי נוסף

–מלץ להסתכל על השרטוט הנתון מכיוון אחר מו, את הפתרון" לא רואים"כש, לפעמים .14 ".האסימון יירד"ואולי אז , לסובב את הדף, מהצד או מלמעלה

, לפעמים. או כותרת משנית בשלב הפתרון/ אל תחסכו בהסברים מילוליים קצרים ו .15

אף , ואולי(או כותרת יכולים להבהיר לבוחן את כוונתכם בצורה טובה יותר /הסבר קצר ו ).הקטין את מספר הנקודות שתרדנה במקרה של טעות ל

זה מאפשר להתמקד במה ששאלו : יש לסכם בצורה מילולית את התשובה שהתקבלה .16

).בעיקר בשאלות חישוב( ולפסול פתרונות מיותרים ורק על מה , מומלץ בסוף פתרון השאלה לעבור על כל הסעיפים ולראות שעניתם על כולם

.קשוי שב

:לדוגמא) 'מעלות וכו, שטח, אורך(לרשום יחידות יש .17 .AD= יחידות אורך 5: יש לרשום, כאשר אין יחידות בשאלה. AD= מ " ס5 .S= יחידות שטח 5: כאשר אין יחידות בשאלה יש לרשום. S= ר " סמ50

הביטוי ורק/ הראו קודם כל את הנוסחא–כאשר יש שימוש בנוסחא או בביטוי אלגברי .18 טעות בהצבת המספרים או בחישוב. לאחר מכן הציבו בהם את המספרים בהתאם

".סתם לזרוק מספרים"כאשר ברור מקור המספרים תראה אחרת מאשר , התוצאה כשלבוחן לא ברור מקור המספרים הוא עלול לפסול את הבחינה בטענה של

"! חשד להעתקה "

מאיר בכור ©

38

, מנת למצוא זוויות-ם משוואות באלגברה וזאת על ניתן לשלב בהוכחה גיאומטרית ג .19 . 'שטחים וכו, צלעות

במידה ואינכם מצליחים להוכיח את הסעיף הראשון , בשאלה שבה יש שני סעיפים ויותר .20

. את הסעיף הראשון" הוכחתם" נסו להוכיח את הסעיפים הבאים כאילו ). ת תצברו חלק מהנקודותלפחו(כך אולי תקבלו נקודות על הסעיפים הבאים

משפט לא נכון/ברגע שנעשה שימוש בנימוק, בבדיקת בחינה, כלל-בדרך! שימו לב .21

מאד, לכן) נכונהבמקרהגם אם התוצאה הסופית יצאה (כאן נעצרת בדיקת השאלה . חשוב להיות מדוייקים בטענות ובנימוקים בהם אתם משתמשים

לא לחלק את, מרווחת, ברורה, נקייה, רה מאורגנתאד חשוב לכתוב את ההוכחה בצו מ .22

. ולזכור שיש מקום גם מעבר לדף" סימני דרך"בלי חיצים של , הדף לשניים .יש לשים רווח של מספר שורות' להתחלת הוכחת סעיף ב' בין סוף הוכחת סעיף א

. 'וכו" ' ב. ל.ש.מ" , "' א. ל.ש.מ " -:ל סעיף רלוונטי צריך להסתיים ב כ

ואפילו (בוודאי לא מוחבאת , תשובה הסופית יש לכתוב בצורה ברורה בסוף הפתרוןאת ). מודגשת במרקר

".הכבוד הראוי לה" יש לתת לתשובה הסופית את

:יש להדגיש שהאסתטיקה בכתיבת הבחינה .23 אאוט -מבלק" יכולה להפחית מהלחץ ואולי אפילו להוציא, עוזרת בארגון המחשבה. א

.הכל יכולה לעזור בהגעה לפתרון הנכון-ובסך" זמני מאפשרת לבודק הבחינה להבחין בכל הפרטים שכתבתם ולהבינם טוב יותר ובכך . ב

. מונעת הורדת נקודות לחינם

טי ומושך את העיןתהבחינה שאתם מגישים היא כמו מוצר שחייב להיות אס! וכריז .יבחין בכל פרטיו, הבודק–" הלקוח"מנת ש-על

מאיר בכור ©

39

עקרונות במשפטי חפיפה ודמיון. ב

. ת כמשפטולא מקבלים בבחינ. צ.ז. ז-החמישי " משפט החפיפה" יש לשים לב שאת . 1 ידי -על. ז.צ.שימוש בו כמשפט מוריד נקודות ולכן יש להפוך משפט זה למשפט חפיפה ז ).°180 -הזווית השלישית משלימה ל( הוכחה שגם הזווית השלישית שווה בשני המשולשים

. פירושה שהצלע שווה בשני המשולשים" צ" שימו לב שבמשפטי החפיפה האות . 2

. בין הצלעות) יחס(פירושה שיש פרופורציה " צ"האות , במשפטי הדמיון, לעומת זאת שהזווית שווה בשני - גם במשפטי החפיפה וגם במשפטי דמיון -פירושה " ז"אות ה . המשולשים

. מול צלעות שוות זוויות שוות ולהיפך–במשולש . 3

.ולא בין שני משולשיםמשפט זה נכון כשמדובר באותו משולש עצמו ! שימו לב

" להוציא אותם החוצה", ודמיון יש לפרק את המשולשים הדומיםבשאלות בפרופורציה . 4 ולהתאים את הקודקודים ) ושיהיה דמיון ביניהם(לשרטט אותם אחד ליד השני , מהשרטוט . לזוויות השוות המשולשים יש לרשום את אורכי הצלעות והשטחים הידועים על השרטוט המקורי ועל

.לפתרון רישום כזה מאד עוזר לראות מה קיים ואולי גם את הדרך. הדומים שהוצאו

יש לציין את שמו של המשולש אליו, לצורך הבהרה, בשאלות בפרופורציה ודמיוןגם .5 . מתייחסים

ולכן גם הזווית "–יש להתייחס לזווית השלישית בצורה מילולית . ז. במשפט דמיון ז . 6

.או להראות זאת בחישוב מתמטי, " °180 -כי היא משלימה ל, השלישית שווה . נא להתייחס לזווית השלישית– בכל מקרה

:קיימים מספר משפטים בגיאומטריה שבנימוק ניתן לציינם בשמם בלבד. 7

משפט פיתגורס אלס משפט ת

משפט חוצה הזווית ארבעת משפטי החפיפה

משפטי הדמיון זווית בין משיק למיתר

משפט תאלס המורחב משפט הפוך למשפט תאלס

.יקיש לנסח במדוי, עילשאינם מופיעים בפירוט של, את יתר המשפטים! שימו לב

מאיר בכור ©

40

: נקודות חשובות לתשומת לב- משפטים בגיאומטריה

. מכירים, התלמידים, מבוטל של משפטים ואת רובם אתם-בגיאומטריה יש מספר לא

לזכור , ברצוני להסב את תשומת לבכם לנקודות חשובות ולשים דגשים שיוכלו לעזור לכם להבין . לכם לעשות שימוש נכון יותר בהםובכך לאפשר חלק מהמשפטיםולהכיר טוב יותר

: קיימים ארבעה משפטי חפיפה

)משפטים אלו הינם משפטים שמותר לציין בנימוק את שמם בלבד( צלע, זווית, צלע-צ .ז.משפט חפיפה צ .1 זווית , צלע, זווית-ז .צ.משפט חפיפה ז .2 צלע, צלע, צלע-צ .צ.משפט חפיפה צ .3 זווית, עצל, צלע-. ז.צ.משפט חפיפה צ .4

:).ז.צ.צ (הבהרה לגבי משפט החפיפה הרביעי

:אומר זה משפט

–אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מהשתיים " .אז המשולשים חופפים

!שימו לב

ת מול הצלע השווה אכן נמצא יש להראות כי הזווית בנוסף לשתי הצלעות השוות והזווית השווה !רק אז המשולשים חופפים! הגדולה מהשתיים :דוגמא

1. AB A B′ ′′ ′′ ′′ )נתון( ====′2. AC A C′ ′′ ′′ ′′ )נתון( ====′3. AB > AC )לא לשכוח) נתון!

4. C C′′′′====� �� �� �� )נתון (�

5. ABC A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′≅≅≅≅� �� �� �� ).1 - 4ולפי שורות . ז.צ.המשולשים חופפים לפי משפט חפיפה צ ( �

-: ניתן להסיק כיממשפט החפיפה הרביעי

. חופפים–שני משולשים ישרי זווית השווים ביתר ובאחד הניצבים ה היתר הוא הגדול בין שתי הצלעות השוות והזווית הישר, °90הזווית השווה בשני המשולשים היא (

).כל תנאי משפט החפיפה הרביעי מתקיימים, לפיכך–היא מול היתר

-: יהיה לדוגמאכאשר משתמשים במשפטי החפיפה הניסוח ".2 ,4 ,7ולפי שורות .צ.צ.צ המשולשים חופפים לפי משפט חפיפה "

שים צלעות מתאימות במשול: "ניתן להשתמש בנימוק, לאחר ההוכחה כי המשולשים חופפים -: הערה )ח"זמב" (זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות: "ובנימוק) ח"צמב" (חופפים שוות

מאיר בכור ©

41

סוגי זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות מתחלפות, זוויות מתאימות: קיימים שלושה סוגי זוויות בין ישרים מקבילים

.צדדיות-וזוויות חד

שבעזרתה ניתן " שיטת החיצים"הנקראת בנוסף להגדרות המקובלות של זוויות אלו קיימת שיטה .ל"לזהות את סוגי הזוויות הנ

":שיטת החיצים"

. יהיה על שוקי הזווית וכיוונם מקודקוד הזווית החוצהסימון החיצים ).-(כאשר החיצים בכיוונים מנוגדים נסמן , (+) החיצים באותו הכיוון נסמן כאשר

:יות הן או מתאימות או מתחלפותהזוו, אם מתקבלת מכפלה חיובית בין הסימנים

(+)·(+) = (+) הזוויות מתאימות כאשר שני הסימנים חיוביים )- (·) -(+) = (הזוויות מתחלפות כאשר שני הסימנים שליליים

.°180 -צדדיות וסכומן שווה ל-הזוויות הן חד, אם מתקבלת מכפלה שלילית

: גות הישרים המקבילים באותו הכיוון כאשר החיצים של שני זו-:זוויות מתאימות

(+) = (+) ·(+)

: כאשר החיצים של שני זוגות הישרים המקבילים בכיוונים מנוגדים-:זוויות מתחלפות

) = (+) - (·) -(

יוון ואילו החיצים של כאשר החיצים של זוג אחד מהישרים המקבילים באותו הכ-:צדדיות-זוויות חד :זוג הישרים המקבילים השני יהיו בכיוונים מנוגדים

) -) = (- (·(+)

"זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות: "דוגמאות לניסוח הנימוק "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות "

.����180 -צדדיות בין ישרים מקבילים שווה ל-סכום זוויות חד "

מאיר בכור ©

42

משפטים שחשוב לזכור במיוחד–משולשים .שלושת האנכים האמצעים במשולש נפגשים בנקודה אחת .1

.ולש את המשהחוסםמפגש שלושת האנכים האמצעים במשולש זהו מרכז המעגל

! שימו לב .זווית יהיה באמצע היתר-מרכז המעגל החוסם משולש ישר. א אז הקטעים ממרכז המעגל החוסם לקודקודים , אם בשאלה נתון מרכז מעגל חוסם. ב

לפעמים זוהי בניית . שוקיים-ויוצרים שלושה משולשים שווי, כי הם רדיוסים, שווים .עזר מתבקשת

.וויות במשולש נפגשים בנקודה אחתשלושת חוצי הז .2

. במשולשהחסוםמפגש חוצי הזוויות במשולש זהו מרכז המעגל

אז הקטעים ממרכז המעגל החסום לקודקודים , אם בשאלה נתון מרכז מעגל חסום !שימו לב .לפעמים זוהי בניית עזר מתבקשת. חוצים את זוויות המשולש

שווה למחצית °30 -הניצב שמול זווית ה: °60 - ו°30 זווית שזוויותיו החדות הן-במשולש ישר .3

.היתר

" ריצה" ולהתחיל ב2x - ואת היתר בx - ב°30-לפעמים כדאי לסמן את הצלע מול ה! שימו לב . בשאר הצלעות xעם

אז הזווית שמול ניצב, זווית אחד מהניצבים שווה למחצית היתר- אם במשולש ישר-: וההפוך

.°30 - זה שווה ל

.זווית שווה למחצית היתר-התיכון ליתר במשולש ישר .4

הוא משולש , משולש שבו אחד מהתיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה-:וההפוך ).°90ל היא "הזווית שמול הצלע הנ(זווית -ישר

כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול .5

. מהקטע הקרוב לצלע2 פי . שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

. קטע אמצעים במשולש המחבר אמצעי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה .6

חוצה את, קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית-: וההפוך

. הצלע השניה

מקביל לצלע , נקודות הנמצאות על שתי צלעות במשולש קטע המחבר שתי-: הפוך נוסף . הוא קטע אמצעים– למחציתה ה שלישית ושוו

מאיר בכור ©

43

. שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת .7

חוצי הזוויות והאנכים האמצעיים, התיכונים, הגבהים, במשולש, כאמור! שימו לב .8

). ולא באותה נקודה( נפגשים בנקודה

! נקודת המפגש של כולם תהיה אותה נקודה, צלעות-ווהרק במשולש ש

/תיכונים/כאשר נתונה בשאלה נקודת מפגש של שניים מהגבהים, לפעמים אנכים אמצעיים כדאי להשתמש בבניית עזר ולהעביר דרך נקודה זו גם את/זוויות-חוצי

.הקו השלישי

משפטים נבחרים- מרובעים

המרובעים

כללי .1

זהו הבסיס . חשוב מאד להכיר את תכונות המקבילית ואת המשפטים הקשורים בה. א . מעוין, ריבוע, מלבן– לצורות הנוספות להוכיח קודם כל , כלל-בדרך, נצטרך, כאשר מבקשים להוכיח שמרובע למשל הוא מעוין. ב .ה המייחדת אותו כמעוין ואינה קיימת בכל מקביליתשהוא מקבילית ובנוסף להוכיח תכונ

:תכונות המקבילית .2

.כל שתי זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו. א . שתי זוויות נגדיות שלו שוות זו לזו הוא מקביליתמרובע שכל. ב .כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו. ג .דיות שלו שוות זו לזו הוא מקביליתמרובע שכל שתי צלעות נג. ד משפט חשוב ושימושי . האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. ה משפט חשוב ושימושי. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. ו .מרובע ששתיים מצלעותיו הנגדיות גם שוות וגם מקבילות הוא מקבילית . ז

משפט חשוב ושימושי

מרובע כלשהו

דלתון

מקבילית

זווית -טרפז ישר ש"טרפז ש

מעוין ריבוע מלבן

טרפז כלשהו

מאיר בכור ©

44

:כונות המלבןת .3 .המלבן הוא מקבילית בעלת זווית ישרה. א

.האלכסונים במלבן שווים זה לזה. ב .מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן. ג

:תכונות המעוין .4

.מקבילית בעלת שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין .א .כל צלעותיו שוות הוא מעויןמרובע ש .ב .אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין .ג .מקבילית שבה אלכסון אחד חוצה זווית אחת הוא מעוין .ד .אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה .ה .מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין .ו

.תכונות הריבוע .5

.מעוין בעל זווית ישרה הוא ריבוע. א .מלבן בעל שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. ב .מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות הוא ריבוע .ג

:הטרפז .6

. מרובע שבו רק זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות נקרא טרפז-:הגדרה

-:שימו לב שזוג אחד של צלעות ,רה בהתאם להגד, יש להוכיח, מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז-על. א

בדרך כלל שוכחים( מקביל אינווג השני של הצלעות הנגדיות שהז וגם נגדיות מקבילות ). להתייחס לזוג השני של הצלעות ועל כך יכולות לרדת נקודות

במקום להוכיח שהזוג השני של הצלעות אינו מקביל ניתן גם להוכיח כי הבסיסים של . ב אחרת זו ( כיוון שבטרפז הבסיסים לא יכולים להיות שווים שוניםמקבילים אך המרובע

). תהיה מקבילית

, )חד צדדיות (180°°°°-סכום הזוויות ליד כל שוק בטרפז שווה ל. ג

.180°°°° - שווה לאינוסכום זוויות הבסיס בטרפז , לעומת זאת

:תכונות טרפז שווה שוקיים .זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו. א

.טרפז שבו זוויות הבסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים. ב .בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה. ג

.שווה שוקייםטרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז . ד :קטע אמצעים בטרפז

.קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם. א .קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים חוצה את השוק השניה. ב

מאיר בכור ©

45

משפטים נבחרים–המעגל

.למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות .1 .תאימים מיתרים שוויםלזוויות מרכזיות שוות מ .2 חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת, אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר .3

.הקשת המתאימה .קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר .4 .הזווית המרכזית במעגל גדולה פי שתיים מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת .5

-: הןוהמסקנות ממשפט זה .כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו. א .°90 -זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל. ב . נשענת על קוטר°90זווית היקפית בת . ג

.זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים .6 )'א" לב-שימו"ראה . (על מיתרים שווים נשענות זוויות היקפיות שוות .7 .זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות .8 .על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות .9

!שימו לב

אך אינן נשענות AC נשענות על המיתר ββββ - וααααשתי הזוויות ההיקפיות שבשרטוט . א

.על אותה קשת ולכן אינן שוות ). בהתאם למשפט מרובע חסום במעגל°180במקרה זה סכומן הוא (

ניתן להתייחס , נחתכים ולהם מיתר משותף) זהים (בעלי אותו רדיוסכאשר שני מעגלים . ב :כזוויות שוותלזוויות ההיקפיות הנשענות על המיתר בשני המעגלים A C====� �� �� �� ) שתי הזוויות ההיקפיות נשענות על הקשתות הקטנות שבשני המעגלים (�

מאיר בכור ©

46

משיק למעגל. 10

.°90 -שווה ל, הנפגשים בנקודת ההשקה, )ולקוטר(הזווית בין משיק לרדיוס . א .משיק למעגל, ישר המאונך לרדיוס בקצהו. ב

.שווים זה לזה, היוצאים מאותה נקודה, שני משיקים למעגל. ג , הקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה ממנה יוצאים שני המשיקים במעגל. ד

). צה גם את הזווית המרכזיתחו. ( חוצה את הזווית שבין המשיקים

)משפט זה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבד (זווית בין משיק למיתר. ה

הזווית בין משיק למיתר הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על . המיתר מצידו השני

.נקודת המגע של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו. ו

!שימו לב

קטע המרכזים שווה , כאשר ההשקה מבחוץ. 1

. לסכום הרדיוסים

1 1 22M M R R= += += += +

קטע המרכזים, כאשר ההשקה מבפנים. 2 . שווה להפרש הרדיוסים

1 2 12M M R R= −= −= −= −

.מרכזיםנקודת המגע נמצאת על המשכו של קטע ה! שימו לב

בנקודת המגע של שני מעגלים משיקים יש משיק. 3 ,לפעמים, משותף לשני המעגלים ולכן מומלץ

– שבניית העזר תהיה העברת המשיק המשותף . זה יאפשר למצוא את הזוויות בין משיק למיתר

2M

1M

2M

1M

2M

1M

מאיר בכור ©

47

מעגלמרובע חסום ב . 11

.°180 -סכום כל שתי זוויות נגדיות שווה ל, בכל מרובע החסום במעגל. א אז ניתן לחסום אותו , °180שסכומן , אם במרובע יש זוג אחד של זוויות נגדיות. ב

).חסימה-המרובע בר( במעגל

!שימו לב :ח השאלה יהיהניסו, כלל-בדרך. 1

ABCDהוכח שמרובע "או " ניתן לחסום במעגלABCDהוכח שאת המרובע " .משמעותם של שני הניסוחים זהה". חסימה- הוא בר

.°180של זוויות נגדיות שסכומן ) בלבד( למצוא זוג אחד -: דרך הפתרון

: להוכיח שוויון בין שתי זוויות וקשה למצוא את הפתרון לכךיש, לפעמים . 2 - נסו לחפש מעגל חוסם למרובע המכיל את קודקודי הזוויות ולשרטט אותו

. אולי תוכלו דרך זוויות היקפיות שוות למצוא את הפתרון

DFCהוכח "- לדוגמא DEC====� �� �� �� �."

... DEFC חיסמו במעגל את מרובע ניתן , בעלי יתר משותף, זווית-כאשר בשאלה יש שני משולשים ישרי, על אותו רעיון. 3

אולי תוכלו דרך זוויות - לחסום אותם במעגל שמרכזו אמצע היתר ולשרטט אותו . מצוא את הפתרון היקפיות שוות ל

,אם במרובע כל ארבעת האנכים האמצעיים לצלעות המרובע נפגשים בנקודה אחת .4 אנך אמצעי הוא מקום גיאומטרי של כל (אז הנקודה היא מרכז המעגל החוסם ).ההנקודות שמרחקן מקצות הקטע שוו

מרובע חוסם מעגל. 12

. במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. א אז אפשר , אם במרובע סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. ב

. לחסום מעגל במרובע

F E

C D

B

A

מאיר בכור ©

48

!שימו לב .ני משיקים שווים עד לנקודות ההשקה מכל קודקוד של המרובע יוצאים ש

. ����90 - שווה לAOBכאשר טרפז חוסם מעגל הזווית . ג

מרכז המעגל החסום במרובע הוא מפגש ארבעת חוצי הזוויות של המרובע . ד ).רחקן מהשוקיים שווהחוצה זווית הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמ (

מצולע משוכלל. 13

.וכל זוויותיו שוות, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות: הגדרה

).המעגל חוסם את המצולע(כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל . א .)י המצולע"המעגל חסום ע(בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל . ב

משפטים נבחרים–שטחים

".יחידות שטח"יש לרשום , כאשר אין יחידות בשאלה. 'ר וכו"מ, ר"סמ: יחידות השטח הן

S .שטח המלבן שווה למכפלת צלע אחת בצלע השניה .1 a b= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

)))) -: היקף המלבן הוא ))))P 2 a b= += += += +

2S .שטח ריבוע שווה למכפלת צלע הריבוע בעצמה .2 a==== P -: היקף הריבוע הוא 4a====

a .שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה שלה .3 bS a h b h= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅

).יש גם שני גבהים שוניםלמקבילית שתי צלעות שונות ולכן ! שימו לב(

)))) -: היקף המקבילית הוא ))))P 2 a b= += += += +

a. שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע בגובה שלה .4 b ca h b h c hS

2 2 2

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅= = == = == = == = =

)ah - הגובה לצלע a(

P -: היקף המשולש הוא a b c= + += + += + += + +

D

C B

A

O

מאיר בכור ©

49

: מקרים מיוחדים

משולשים בעלי בסיס משותף ושהקודקוד השלישי שלהם נמצא על ישר המקביל . א .הם בעלי שטחים שווים, לבסיס משותף זה

משולשים אותו שווים ולכן לשלושת ה) גבהים(בין שני ישרים מקבילים עוברים אנכים

ABC: ומכאןBCהגובה וגם אותו הבסיס EBC DBCS S S∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆= == == == =.

.התיכון במשולש מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח. ב

ף ומכאן נובע וגובה משות BD = DCלשני המשולשים שנוצרו אותו גודל בסיס

ABD: שהשטחים שלהם שווים DACS S∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆====

.שלושת התיכונים במשולש מחלקים אותו לשישה משולשים שווי שטח. ג

.אלכסונים במקבילית מחלקים אותה לארבעה משולשים שווי שטחה. ד . ABC כתיכון במשולש BO ניתן לראות את

!שימו לב . שטחים שווים– למשולשים חופפים אך, משולשים חופפיםאין פירושושטחים שווים

מאיר בכור ©

50

:דרכים נוספות למציאת שטח משולש. 5

ההיקף של המשולש ברדיוס המעגל החסום מחציתשטח משולש שווה למכפלת . אS: במשולש p r= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

: כאשרa b c

p2

+ ++ ++ ++ + . הוא רדיוס המעגל החסוםr -ו) היקף המשולשמחצית (====

) :נוסחת הרון (a, b, cשטח משולש באמצעות הצלעות . ב

(((( )))) (((( )))) (((( ))))S p p a p b p c= − − −= − − −= − − −= − − − )p היקף המשולשמחצית (

. שטח טרפז שווה למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה. 6 (((( ))))a b h

S2

++++====

:שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה שווה למחצית מכפלת האלכסונים זה בזה. 7

1 2k kS

2

⋅⋅⋅⋅====

). ריבוע ודלתון הינם מרובעים שאלכסוניהם מאונכים זה לזה, מעוין(

2S: ידי הנוסחא- ניתן עלRשרדיוסו ) S(שטח עיגול . 8 R==== ππππ

P: ידי הנוסחא- ניתן עלRשרדיוסו ) P(היקף מעגל . 9 2 R==== ππππ

!שימו לב :מומלץ, בשאלות בנושא שטחים כאשר מבקשים להוכיח שוויון בין שני שטחים לבדוק מאילו צורות הנדסיות מורכב כל שטח ולחפש צורות משותפות לשני השטחים ואז ניתן . א ". מה שנשאר" לפשט את הבעיה ולהוכיח את

.בסיסים שווים/לחפש צלעות שוות . ב .בעיקר בין ישרים מקביליםולחפש גבהים שווים . ג

מאיר בכור ©

51

משפט פיתגורס

)משפט זה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבד(

זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על -בכל משולש ישר . היתר

2 2 2a b c+ =+ =+ =+ =

!שימו לב הצלעות הקטנות יותר(שווה לסכום ריבועי הניצבים ) הצלע הגדולה במשולש(היתר בריבוע

).במשולש

:משפט הפוך למשפט פיתגורס .זווית-אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית אז המשולש הוא ישר

).הזווית הישרה מול הצלע הגדולה(

:במשפט פיתגורסאחדים יםשימוש :מציאת אורך אלכסון של ריבוע .1

BDC משפט פיתגורס במשולש

2 2 2 2k a a 2a

k a 2

= + == + == + == + =

====

מציאת גובה במשולש שווה צלעות. 2

ADC משפט פיתגורס במשולש

2 22 2 a 3a

h a2 4

a 3h

2

= − == − == − == − =

====

הקפידו נא– על איזה משולש חל משפט פיתגורס נובשתי הדוגמאות שלעיל הבהר! שימו לב .זה נדרש בבחינות ומאפשר לכם ולבוחן מעקב טוב יותר אחר מהלך הפתרון – לעשות זאת

B D

C

C a

b c

A

B

A

מאיר בכור ©

52

משפטים נבחרים–פרופורציה ודמיון

)שפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבדמשפט זה הוא מ (משפט תאלס. 1

.שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים

AB AC

BD CE====

:'והרחבה ב' בה א הרח-למשפט תאלס יש שתי הרחבות. א

.BC ,DEמשתמשים כאשר רוצים להתייחס לצלעות האופקיות המקבילות ' בהרחבה א

AB AC BC

AD AE DE= == == == =

" ולש הגדולצלע במשולש הקטן חלקי צלע בהתאמה במש: "מנת לזכור ביתר קלות- על

ED < BC ": שעון חול"משתמשים כאשר יש צורה של ' בהרחבה ב

BA CA BC

AD AE ED= == == == =

"צלע חלקי ההמשך שלה: "מנת לזכור ביתר קלות-על

.ניתן לשלב בין משפט תאלס והרחבותיו. ב

E D

B C

A

מאיר בכור ©

53

ואת" שוקי הזווית"יש לחפש בשרטוט את , כאשר נתונה שאלה בפרופורציה ודמיון. ג ".שעון החול "

:לדוגמא AB < EF -:ז ונתון שנתון טרפ

: מהשרטוט" שוקי הזווית"ו" שעון החול"את " נוציא", להבהרה

" שעון חול"

"שוקי הזווית"

!שימו לב

.'יש להשתמש בהרחבה א, EO ,FO האופקיות המקבילות כאשר משתמשים בצלעות

מתקיים BDCבמשולש : לדוגמאFO BO

CD BD====.

מאיר בכור ©

54

:ןת עזר שיש להכיר הובני. ד

CD < BE: העברת קו מקביל לאחת השוקיים ידי-הפיכת טרפז למקבילית ומשולש על) 1 ".שוקי זווית"עת יש וכ

".שוקי זווית" וכעת יש ACהעברת האלכסון ) 2

)משפט זה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבד(: משפט הפוך למשפט תאלס. 2

.שני ישרים המקצים על שוקי זווית קטעים פרופורציוניים מקבילים זה לזה )משפט זה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבד(חוצה הזווית משפט . 3 חלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחסחוצה זווית במשולש מ .שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית

BD AB

DC AC====

אז גם בין, )DC(חלקי קטע ימין ) BD( אם בחרתם קטע שמאל -:יש לשים לב לכיוון. א ).AC(חלקי צלע ימין ) AB( הצלעות הכולאות את הזווית יש לבחור צלע שמאל ).כיוון/אותו סדר (

– "להידלק אצלכם נורה" אמורה –" ויתחוצה זו"כאשר בשאלה מופיעה המילה . ב

. אולי אפשר להשתמש במשפט חוצה הזווית, כלומר

!יש לדעת להוכיח את משפט חוצה הזווית. ג AC = AE -מוכיחים ש, AD המקביל לחוצה הזווית CE מעבירים כבניית עזר קו –הרעיון ומשתמשים ) שווה שוקייםACEמשולש (עזרת זוויות מתאימות ומתחלפות ב : BECבמשפט תאלס במשולש

BD BA

DC AE: ולכן====

BD BA

DC AC====

D

C B

A

α αα αα αα α

B D

C

A

C

D E

B

A

αααα

αααα

α αα αα αα α

E

A

B D

C

מאיר בכור ©

55

משפט הפוך למשפט חוצה הזווית. 4

שולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה המחבר קודקוד במ קטע . חוצה את זווית המשולש– כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות

משפט חוצה זווית חיצונית. 5

שהיחס בין הקטע, חוצה זווית חיצונית למשולש מחלק את הצלע שמול הזווית הפנימית כך לבין המשכה של הצלע שווה ליחס שבין הצלעות הכולאות את , כה המכיל את הצלע והמש

. הזווית הפנימית

BD BA

DC AC====

! שימו לב

צה אך הנוסחא היא אותה נוסחא של חו) ABCממשולש " (יצאה החוצה "Dהנקודה . זווית פנימית במשולש ולכן קל לזכור אותה

המקביל CEמנת להוכיח את משפט חוצה זווית חיצונית מעבירים כבניית עזר קו - על ).כמו שעשינו בהוכחת משפט חוצה זווית פנימית (AD לחוצה הזווית

משפט הפוך למשפט חוצה זווית חיצונית. 6 ומחלק את הצלע שמול הקודקוד חלוקה חיצונית ביחס ישר העובר דרך קודקוד של משולש

. חוצה את הזווית החיצונית שליד הקודקוד– השווה ליחס שבין שתי הצלעות האחרות

αααααααα

D C

B

A

מאיר בכור ©

56

משולשים דומים

:הגדרהוויות שלהם שוות בהתאמה וקיים יחס שווה בין שלושת שני משולשים נקראים דומים אם שלוש הז

.זוגות הצלעות המתאימות

!שימו לב .ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו

)השימושיים (משפטי הדמיון. 1

אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות מתאימות –. צ.ז.משפט דמיון צ. א

. והזווית שביניהן שווה בהתאמה אז המשולשים דומים אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זווית אז המשולשים –. ז.משפט דמיון ז. ב

יש להתייחס גם לזווית השלישית מילולית או , כאמור. ( דומים ). מתמטית

אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות –צ .צ.משפט דמיון צ. ג

.אז המשולשים דומים, המתאימות

קטעים מתאימים במשולשים דומים. 2

הרדיוסים של, הרדיוסים של מעגלים החוסמים, םהתיכוני, חוצי הזוויות, ההיקפים ,הגבהים .כיחס הצלעות המתאימות מתייחסים זה לזה – במשולשים דומים מעגלים החסומים

שטחי משולשים דומים. 3

. שבין הצלעות המתאימותכריבוע היחס של משולשים דומים מתייחסים זה לזה השטחים

!שימו לב

. צלעות המתאימותכריבוע יחס ה ההתייחסות היא השטחיםמדובר ביחס כש . הצלעות המתאימותכיחס ההתייחסות היא בקטעים כשמדובר

מאיר בכור ©

57

יש לדעת להוכיח את המשפטים בנושא קטעים מתאימים במשולשים דומים ושטחי משולשים . 4

). לעיל3- ו2סעיפים ( דומים

. שרטוט נפרד לכל הוכחת משפט יש לשרטט -! כרו זי

:ות דוגמא

".הוכח שבמשולשים דומים יחס הגבהים הוא כיחס הצלעות המתאימות. " א

ABC: נתון A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∼∼∼∼ AD ,A D′ ′′ ′′ ′′ . גבהים′

: ל"צ AD AC

A D A C====

′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′

: הוכחה

1 (ABC A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ) נתון( ∽∽∽∽∆

2 (AB AC BC

A B A C B C= == == == =

′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ .)1 לפי – מתאימות הבמשולשים דומים קיים יחס שווה בין הצלעות (

3 (C C′′′′====� �� �� �� .)1לפי - במשולשים דומים הזוויות שוות בהתאמה ( �

4 (ADC A D C 90′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′= == == == = ����� �� �� �� .)נתונים גבהים( �

5 (CAD C A D′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′====� �� �� �� ). וזו ההתייחסות לזווית השלישית– °180 - הזווית השלישית משלימה ל( �

6 ( ADC A D C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ . )4, 3לפי ו.ז.לפי משפט דמיון ז (∽∽∽∽∆

7 (AD AC

A D A C====

′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ .)6לפי - במשולשים דומים קיים יחס שווה בין הצלעות המתאימות(

.ל.ש.מ) 8

D′′′′

C′′′′

B′′′′

A′′′′

D C B

A

מאיר בכור ©

58

".שבין הצלעות המתאימותהוכח שבמשולשים דומים יחס ההיקפים הוא כיחס . "ב ABC: נתון A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∼∼∼∼

ABC: ל"צ

A B C

P BC

P B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

====′ ′′ ′′ ′′ ′

����

����

:הוכחה

1 (ABC A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ) נתון (∽∽∽∽∆

: נסמן) 2

m - הדמיון( יחס הפרופורציה( P - היקף משולש

3 (AB AC BC

mA B A C B C

= = == = == = == = =′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′

.)1לפי - במשולשים דומים קיים יחס שווה בין הצלעות המתאימות(

4 (ABCP BC AC AB= + += + += + += + .)ABCהיקף משולש (����+

5 (A B CP B C A C A B′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′= + += + += + += + Aהיקף משולש (����+ B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′(.

6 ((((( ))))ABC A B CP ma mb mc m a b c m P ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′= + + = + + = ⋅= + + = + + = ⋅= + + = + + = ⋅= + + = + + = ⋅� �� �� �� . )5, 4, 3לפי ( �

7 (ABC

A B C

Pm

P ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

====����

���� ).6לפי (

8 (ABC

A B C

P BCm

P B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

= == == == =′ ′′ ′′ ′′ ′

����

���� . )7, 3לפי (

.ל.ש.מ) 9

c b

a

mc mb

ma C′′′′

B′′′′

A′′′′

C B

A

מאיר בכור ©

59

".הוכח שבמשולשים דומים יחס השטחים הוא כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות" . ג

ABC: נתון A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∼∼∼∼

: ל"צ

2

ABC

A B C

S BC

S B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

==== ′ ′′ ′′ ′′ ′ ����

����

: הוכחה

1 (ABC A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ) נתון (∽∽∽∽∆

:נסמן) 2 m -יחס הפרופורציה

ADו - A D′ ′′ ′′ ′′ ).כבניית עזר( גבהים - ′

3 (AB AC BC

mA B A C B C

= = == = == = == = =′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′

.)1לפי - במשולשים דומים קיים יחס שווה בין הצלעות המתאימות(

4 (AD BC

mA D B C

= == == == =′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′

.)1לפי - במשולשים דומים יחס הגבהים הוא כיחס הצלעות המתאימות(

5 (A B C

B C A DS

2′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′⋅⋅⋅⋅Aשטח משולש (����==== B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′(.

: נקבל5, 4, 3לפי ) 6

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2

2ABC A B C

m B C m A D m B C A DBC ADS m S

2 2 2′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅= = = = ⋅= = = = ⋅= = = = ⋅= = = = ⋅� �� �� �� �

7 ( 2ABC

A B C

Sm

S ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

====����

���� ).6לפי (

8 (

2

ABC

A B C

S BC

S B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

==== ′ ′′ ′′ ′′ ′ ����

���� ).7- ו3לפי (

.ל.ש. מ) 9

D′′′′

C′′′′

B′′′′

A′′′′

D C B

A

מאיר בכור ©

60

משפטים–זווית -פרופורציה במשולש ישר

)ובעזרת פירוק המשולשים (.ז.בעזרת משפט דמיון זהוכחת המשפטים הבאים תעשה

זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד מהם-הגובה ליתר במשולש ישר .1

)ααααמים יש זווית ישרה וזווית לכל שלושת המשולשים הקיי. (דומה למשולש המקורי

.זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר-הגובה ליתר במשולש ישר .2

AD BD

CD AD : ולכן====

2AD BD DC= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

: 2משפט הפוך למשפט .3 , לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע ההנדסי של היטלי שתי הצלעות האחרותאם הגובה . זווית-אז המשולש ישר

.זווית הוא הממוצע ההנדסי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר-ניצב במשולש ישר .4

AB BD

BC AB : ולכן====

2AB BD BC= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

A

C

A

αααα

αααα

D B

αααα αααα

C

D A D B

A

αααα αααα

C

B A D B

A

"פירוק המשולשים"

מאיר בכור ©

61

משפטים–פרופורציה במעגל

.קיימים שלושה משפטים בנושא זה ויש לדעת להוכיח משפטים אלה

כאן מובאות התשובות (ובעזרת פירוק המשולשים . ז. משפט דמיון זאמצעותבההוכחה נעשית .בניות העזר להוכחת המשפטים משורטטות בקווקוו). הסופיות בלבד

שני מיתרים הנחתכים במעגל .1

מחלקים זה את זה כך שמכפלת , שני מיתרים הנחתכים במעגל .קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני

הוכחת המשפט מסתמכת על זוויות היקפיות .נשענות על קשתות שוות וזוויות קודקודיות שוותה

ACE DBE∼∼∼∼� �� �� �� AE: אחרי הפירוק ולכן� EB DE EC⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅

: הערה , אם שני קטעים נחתכים ומכפלת חלקי הקטע האחד שווה למכפלת חלקי הקטע האחר )C, B, D, Aבנקודות . (אז ניתן להעביר מעגל דרך ארבעת קצות שני הקטעים

שני חותכים למעגל .2

תכים מאותה נקודה אז מכפלתאם למעגל יוצאים שני חו למכפלת החותך השני חותך אחד בחלקו החיצוני שווה .בחלקו החיצוני

. הוכחת המשפט מסתמכת על מרובע חסום במעגל

ABC ADE∼∼∼∼� �� �� �� AD : ולכן אחרי הפירוק � AC AE AB⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅

חותך ומשיק .3

אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני .קבוע ושווה לריבוע המשיק זהו גודל

) למעגלAמנקודה התוצאה תהיה קבועה לכל החותכים היוצאים(

.הוכחת המשפט מסתמכת על זווית בין משיק למיתר

ACB ABD∼∼∼∼� �� �� �� 2AB: ולכן אחרי הפירוק� AD AC= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

: הערה חייב לחתוך אתוהוא, מוצא החותך בנקודה מחוץ למעגל . המעגל בשתי נקודות את המעגל בשתי נקודות ניתן להאריך אותו כך שיהפוך במידה ויש קטע שאינו חותך .לחותך

מאיר בכור ©

62

..)ולא משפטי דמיון(משל על משפטים ודמיון

. ועל גבו שק מלא חיצים" חליפת מגן"דמיינו לכם צייד שיוצא לציד לבוש ב

הצייד בוחר את החץ הנכון ). לזמן קצוב( המטרה נייחת –הצייד רואה מטרה

. והמתאים לפגיעה במטרה

.זמנית-טרה עליו להשתמש בכמה חיצים בואת המ" חסל"מנת ל-על, לפעמים

, התלמידים, הצייד הוא כל אחד מכם

,חליפת המגן היא הידע שרכשתם במשך השנים

, הנימוקים בגיאומטריה/החיצים שבשק הם המשפטים

. והמטרה היא כל שאלה שאתם נדרשים לפתור

משוך כך יהיה לכם קל יותר לזהות ול, ככל שתתרגלו את הפגיעה במטרות

- פתרון השאלות –המשפטים המתאימים והפגיעה במטרות /את החצים מהשק

). יש לכם זמן קצוב לפתרון כל שאלה(מדוייקת יותר ומהירה יותר , תהיה קלה יותר

! ובבחינותבהצלחה בציד

מאיר בכור ©

63

005ן שאלו- יום-שיבה הסתברותית בחיי יוםבחסיכום

ורע מסויים יקרה הסיכוי שמא- :הסתברות

):לפי פרופורציה(מימדית -דוטבלה

A A

B (((( ))))P A B∩∩∩∩ (((( ))))P A B∩∩∩∩ P(B)

B (((( ))))P A B∩∩∩∩ (((( ))))P A B∩∩∩∩ P(B)

P(A) P(A) 1

):מלמעלה למטה(לפי השורות בטבלה מתקיים

(((( )))) (((( ))))P(B) P A B P A B= += += += +∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩

(((( )))) (((( ))))P(B) P A B P A B= += += += +∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩

1 P(A) P(A)= += += += +

):מימין לשמאל(לפי העמודות בטבלה מתקיים

(((( )))) (((( ))))P A B P A B P(A)+ =+ =+ =+ =∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩

(((( )))) (((( ))))P A B P A B P(A)+ =+ =+ =+ =∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩

P(B) P(B) 1+ =+ =+ =+ =

עשרוניר בשבמימדית לפי פרופורציה ניתן להשתמש בשברים או-בטבלה דו

.אך לא מומלץ השימוש באחוזים

1במקום , N יופיע הסימן Pכאשר במקום , מימדית לפי שכיחויות- ניתן לבנות טבלה דו

P(S)שהוא ( ).מרחב המדגם (N(S)יופיע ) ====1

:בפרופורציה מתקיים :בשכיחות מתקיים

0 N(A) N(S)≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ 0 P(A) 1≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤

N(A) N(S) N(A)= −= −= −= − P(A) 1 P(A)= −= −= −= −

N(A B) N(A) N(B) N(A B)= + −= + −= + −= + −∪ ∩∪ ∩∪ ∩∪ ∩ P(A B) P(A) P(B) P(A B)= + −= + −= + −= + −∪ ∩∪ ∩∪ ∩∪ ∩

מאיר בכור ©

64

הסתברות מותנה

?2מהי ההסתברות לקבל בזריקת קוביה את הספרה .1

}}}}מרחב המדגם הוא }}}}1, 2 , 3 , 4 , 5 , ולכן הסיכוי הוא 61

6.

?5 - שהמספר קטן מאם ידוע 2מהי ההסתברות לקבל בזריקת קוביה את הספרה .2

}}}} -כעת מרחב המדגם הצטמצם ל }}}}1, 2 , 3 , ולכן הסיכוי הוא 41

4.

מצטמצם מרחב המדגם לידוע בלבד ואת היתר) כמו בדוגמא( שמשהו ידוע ברגע, לפיכך

. חדשה–עוברים כעת לקבוצת ייחוס אחרת , כלומר; ניתן למחוק) 6 , 5 הספרות –בדוגמא (

. Bקבוצת הייחוס החדשה כעת היא P(A B)

P(A /B)P(B)

====∩∩∩∩

.

).קבוצת הייחוס היא תמיד בצד ימין של ההתניה(

P(A: שים לב שגם בהתניה יש משליםיש ל /B) 1 P(A /B)= −= −= −= −.

P(A :נוסחאת בייס B) P(A /B) P(B) P(B / A) P(A)= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅∩∩∩∩

) גם בלי להשתמש בה תרגיליםניתן לפתור(

A) ? התניה שזואיך מזהים /B)

" בהינתן", "-מ", "בתנאי", "מתוך", "מבין", "אם ידוע "-:כאשר בשאלה יש את המילים ).מילים אלו מכוונות לקבוצת הייחוס החדשה(

A) ?איך מזהים שזה חיתוך B)∩∩∩∩

".-ו", "וגם "-: כאשר בשאלה יש את המילים

A) ?איך מזהים שזה איחוד B)∪∪∪∪

".או"כאשר בשאלה יש את המילה

מאד מומלץ להשתמש במילים המזהות שלעיל תרגום מילולי לפרופורציה מסויימתכאשר מבקשים )?איחוד, חיתוך, איך מזהים שזו התניה"פעולה הפוכה לשאלה (בהתאם לסוג הפרופורציה

P(A -למשל כאשר מבקשים תרגום מילולי ל /B) כמוהתניה נשתמש במילים המזהות :

..." אם ידוע ש"..., ...." מבין "...

מאיר בכור ©

65

-:כאשר פותרים שאלה בחשיבה הסתברותית יש

, תכונות והמשלימים שלהן/להגדיר בצורה מילולית את שתי הקבוצות. א

):S(כולל את מרחב המדגם

S:-................ A:-.......... ......

A:-................ B:-................

B:-................

).או באותיות אחרות (B - וAהתכונות / וזאת גם אם בשאלה הגדירו כבר את הקבוצות

מומלץ , מנת להקל עלינו לזהות מה הן מייצגות-על, אינן מוגדרות בשאלהB - וA אם .ממרחב המדגם ולשאול אותו שתי שאלות המתייחסות לנתוני השאלה" לשלוף אדם " ....). האם אתה בעד, ...האם אתה שייך ל (

.B - וAייתנו גם את " תשובותיו " .מתוך סעיפי השאלה ניתן לזהות את הקבוצות השונות, לפעמים

).או בשכיחות/בפרופורציה ו(לרשום את נתוני השאלה בצורה מתמטית .ב

)))) -למשל )))) (((( ))))P A /B 0.3 , P A 0.7= == == == = , (((( ))))N A 25====.

.למלא את הטבלה בהתאם .ג .כולל ההצבה בנוסחאות והחישובים המתאימים, יש להראות את הדרך

"!)חשד להעתקה"כאם רק ממלאים את הטבלה ולא מפרטים את הדרך זה עלול להיחשב ( .לענות על הסעיפים השונים שבשאלה .ד

".לפי הטבלה"כאשר אתם משתמשים בנתון הלקוח מתוך הטבלה יש לרשום לידו

!בשימו ל . בשאלות מסוג זה יהיה שימוש בנעלם או נעלמים– יש שאלות שבהן נתונות שתי התניות בלבד

P(A: לפעמים שימוש בנוסחא /B) 1 P(A /B)= −= −= −= . מצמצמת את הנעלמים−

-:כאשר שואלים לדוגמא ,)"תכונהה(" בעזרת חישובים מתאימים למי יש סיכוי גדול יותר לקבל אחזקת פלאפון הראו

:?) Aקבוצה (או לאישה ) Aקבוצה (לגבר

.בצד ימין של ההתניה תהיינה הקבוצות השונות, "התכונה"בצד שמאל של ההתניה תהיה

):אישה, גבר(בקבוצות השונות ) אחזקת פלאפון" (נהתכו" אותה –ההשוואה תמיד תהיה

P)אחזקת פלאפון/גבר (לעומת P)אחזקת פלאפון/אישה (

מאיר בכור ©

66

:ניסוח התשובה יכול להיות באחת מהאפשרויות הבאות " התכונה " שיעור/ מאשר אחוז ) שווה/קטן/גדול (A קבוצה מבין" התכונה"שיעור / אחוז .א

.A קבוצה מבין

.A קבוצה מביןמאשר ) שווה/קטן/גדול" (התכונה"שיעור / אחוז A קבוצהמבין .ב

"ההתכונ" מאשר פרופורציית ) שווה/קטנה/גדולה ( A קבוצה מבין "התכונה" פרופורציית .ג

. A קבוצה מבין

".מבין "–לשימוש במילה הרלוונטית להתניה שימו לב

קשר סטטיסטי

:יום אנו מתעניינים לא אחת בשאלות מסוג- בחיי היום-:הקדמה

?האם יש קשר בין הכנת שיעורי בית לבין הצלחה בבחינות .א ?לבין הצלחה באוניברסיטההאם יש קשר בין הצלחה במבחן הפסיכומטרי .ב ?האם יש קשר בין גובה האב לגובה הבן .ג

:לעיל' ניקח למשל את דוגמא ג

. בדוגמא זו אנו שואלים בעצם האם אנו יכולים לנבא טוב יותר את גובה הבן כאשר ידוע גובה האב .יום-שאלת הקשר ושאלת הניבוי כרוכות זו בזו ומכאן חשיבות הנושא גם בחיי היום, כלומר

Aקשור סטטיסטית ל - Bאם מתקיים אחד מהתנאים הבאים :-

P(A. א /B) P(A)≠≠≠≠

P(A. ב B) P(A) P(B)≠ ⋅≠ ⋅≠ ⋅≠ ⋅∩∩∩∩

P(A. ג /B) P(A /B)≠≠≠≠

. קשר סטטיסטייש אז שונה אם זה –כלומר

. האם יש או אין קשר סטטיסטירקניתן להסיק ' ב-ו' מתנאים א ).מי גדול יותר( את כיוון הקשר –נותן גם את משמעות הקשר ' תנאי ג

".אותה תכונה בקבוצות השונות"הוא בעצם ' שים לב שתנאי ג

. כלומר האם יש קשר סטטיסטי–? האם יש תלות-:ניסוח אחר שאפשרי לגבי קשר סטטיסטי

מאיר בכור ©

67

קשר סיבתי

-: הגדרות

:קשר סיבתי

.בין שני גורמיםהסטטיסטי לקשר ) יבהס(האם יש הסבר הגיוני

:הצמדת גורמיםבדרך , ולכן נוצר ) C( קשר סטטיסטי עם גורם שלישי ) B - וA (התופעה שבה יש לשני גורמים

.גם קשר סטטיסטי בין שני הגורמים, עקיפה .גורם מתווךהגורם השלישי נקרא

:הערה

אלא שלא עומד בזכות עצמו הוא קשר B - וAכאשר יש הצמדת גורמים הקשר הסטטיסטי בין . C בגורם תלוי

:נטרול גורמים

. עשית כדי להתגבר על הצמדת גורמיםהפעולה שנ ידי בדיקה האם קיים קשר -על ) C(מנטרלים את השפעתו של הגורם החשוד כגורם מתווך

.C - וC בכל אחת מהקבוצות B - לAסטטיסטי בין

סדר הסעיפים יכול להשתנות משאלה (שאלה בנושא קשר סיבתי כוללת בדרך כלל מספר סעיפים ):לשאלה

הנוגעים לקשר הסטטיסטי בין ) או תתבקשו למצוא נתונים(תקבלו נתונים סעיף בו •A ל – B.

לגבי השפעה אפשרית של גורם מתווך ותתבקשון כלשהותה טעננסעיף בו תועל • . או לאות נכונותלבדוק האם הטענ או/ו, ל" הנותר כיצד הגיעו לטענלהסבי

בין הקשר הסטטיסטי) אם התקבלה(הסביר את הסתירה שהתקבלה סעיף בו תתבקשו ל • ובין הקשר הסטטיסטי שהתקבל ביןגורם המתווךלפני נטרול ה B -ל Aבין שהתקבל

A ל- B לאחר נטרול הגורם המתווך.

של הקשר הסטטיסטי בין הגורמים תיאור מילוליהכוללת מסקנהלרשום עליכםכל סעיף ב המסביר את התוצאות שהתקבלו סיכוםבסוף השאלה עליכם להביא ). הכיוון שלו(ומשמעותו

" קשר סיבתי" , "נטרול גורמים" , " גורם מתווך", " הצמדת גורמים: "מושגיםתוך שימוש ב . )"סימפסוןהפרדוקס של "( "קשרהיפוך ה"גם את המושג ,ואם רלוונטי

.תיאור מילולי פירושו לתאר את הקשר הסטטיסטי תוך שימוש מדוייק בשם הקבוצה

מאיר בכור ©

68

:נבהיר את שלבי הפתרון ודרך כתיבת המסקנות בדוגמא כללית

:שלבי הפתרון לשאלה בנושא קשר סיבתי

. ומשמעותוB - לA בדיקת הקשר הסטטיסטי בין .1

קיים קשרB -ל Aבין נאמר לכם כי שאו , בעזרת חישוביםנניח שמצאתם : לדוגמא

P(A -: סטטיסטי עם המשמעות /B) > P(A /B).

.B - לA המשפיע על הקשר בין Cמעלים טענה שקיים גורם .2

על הקשר C וכיצד משפיע הגורם האם הטענה נכונהבדוקהינכם מתבקשים ל :B - לAבין הסטטיסטי

.C - לB ובין C - לAנבדוק קודם כל שקיים קשר סטטיסטי בין . א

!שימו לב .הסיכום תוצאות סעיף זה יכולות לשמש אתכם בהסבר התוצאות ובניסוח

. בשלב זה עליכם לבצע נטרול גורמים. ב

אות המראותבדרך כלל בשלב נטרול הגורמים יהיה עליכם לעשות שימוש בשתי טבל

.C בקבוצה B - לA ואת הקשר בין C בקבוצה B - לA הקשר ביןאת

:מסקנות וסיכום, ניתוח התוצאות .3 בכל אחת מהקבוצות B - לA בין שאין קשר סטטיסטיאם אחרי הנטרול נמצא .א

Cו - C ,ה תהיהמסקנה: .B - לAבין אין קשר סיבתי

C סטטיסטי ויצר רושם כי קיים קשר היה גורם מתווך שגרם להצמדת גורמים . B - לAבין

:הסיכום יהיה . וגם אין קשר סיבתי ביניהםB - לAהתברר כי אין קשר סטטיסטי בין

Cיסטי הוא גורם מתווך שגרם להצמדת גורמים והוא שיצר את הרושם שיש קשר סטט . B - לA בכיוון מסויים בין

המשמעותוהקשר שומר על B- לA בין שיש קשר סטטיסטיאם אחרי הנטרול נמצא .ב

P(A :השוויון עדיין גדול-אי(שהייתה לו לפני נטרול הגורמים /B) > P(A /B) ( ,

: תהיההמסקנה .ואין שינוי במשמעות הקשר B - לAבין יש קשר סיבתי

. )B - לA לא השפיע על הקשר בין C, כלומר ( היה גורם מתווךלא C -מכאן ש

מאיר בכור ©

69

:הסיכום יהיה

לכאורהכלומר , נשמר גם לאחר הנטרולB - לAהתברר כי הקשר הסטטיסטי בין לא היה גורם מתווך ולכן לא שינה את משמעות C והגורם B - לAיש קשר סיבתי בין

).שאותם לא בדקנו (שיש גורמים מתווכים אחריםאך ייתכן , הקשר

עם משמעות הפוכה אך B- לA בין שיש קשר סטטיסטיאם אחרי הנטרול נמצא .ג

P(A :השוויון התהפך-אי( /B) < P(A /B) (תהיההמסקנה :

הסטטיסטיהיפוך הקשר אך בעקבות נטרול הגורמים חל B -ל Aבין יש קשר סיבתי ויצר את הרושם גורם מתווך שגרם להצמדת גורמים הוא C). סימפסוןדוקס של הפר(

.ל קשר סטטיסטי בכיוון מסויים בעוד שהקשר האמיתי היה בכיוון ההפוךש

!שימו לב .ל הגורמים מתגלה אחרי נטרוB - לAהכיוון האמיתי של הקשר הסטטיסטי בין

:הסיכום יהיה

בתוספת הסבר כיצד הקשר ) לעיל בסעיף זהראה (המסקנה הסיכום יכיל את גרם) ' א2ראה סעיף (C - לB והקשר הסטטיסטי בין C - לAהסטטיסטי בין .שמצאנו לפני הנטרול) המוטעה(ליצירת הרושם

: ייעשה שימוש במיליםסיכוםמאד חשוב שב

"היפוך הקשר", "נטרול גורמים", "הצמדת גורמים", "גורם מתווך " ,"קשר סיבתי"

מאיר בכור ©

70

לסיכום

!:מנת לזכור-על

– מבחינת קשר סיבתי

. קשר סיבתיישאז )שיוויון-כלומר יש סימן של אי( עדיין קשר סטטיסטי יש אם אחרי הנטרול . קשר סיבתיאיןאז ) כלומר יש סימן של שיוויון(ן קשר סטטיסטי אי אם אחרי הנטרול

- הגורם המתווךCמבחינת

. גורם מתווךאינו Cאז ) השיוויון נשמר באותו כיוון-אי ( משמעותאותהיש אם אחרי הנטרול ! גורם מתווךC - בכל מקרה אחר

אחרי הנטרול

יש קשר סטטיסטי קשר סטטיסטיאין

אותה משמעות

יש קשר סיבתי

היפוך המשמעות

יש קשר סיבתי הפוךCגורם מתווך

Cאינו גורם מתווך

Cגורם מתווך

אין קשר סיבתי

!אם יש קשר סיבתי חייב להיות גם קשר סטטיסטי אבל לא להיפך )אם יש קשר סטטיסטי לא בהכרח יש קשר סיבתי(

מאיר בכור ©

71

שיפוט על-פי יציגות

,.." אין סיכוי ש: "למשל, יום אנו משתמשים במושגים מתורת ההסתברות-בחיי היום

...." ש99%-י בטוח באנ ,במשפטים מסוג זה אנו מבטאים בעצם עד כמה אנחנו בטוחים שמשהו יקרה או לא יקרה

. שלנו להתרחשות מאורע בעתידן את רמת הביטחו–או במילים אחרות

) ןרמת הביטחו(תורת ההסתברות מתאימה לכל מאורע ערך מספרי המבטא את מידת הסבירות . לכך שהמאורע יתרחש

והגישה ) המתמטית( הגישה הסטטיסטית -:ש שתי גישות עיקריות למציאת הסתברותי

):סובייקטיבית(האינטואיטיבית

):המתמטית(הגישה הסטטיסטית נחפש את השכיחות היחסית של המאורע וההסתברות תהיה הערך אליו סטטיסטיתבגישה ה

. השואף לאינסוףתמתקרבת השכיחות היחסית עבור מספר ניסיונו

נענה על פי הגישה " ?3 יתקבל המספר המה הסיכוי שבזריקת קוביי"אם נשאל : לדוגמא ההרי שאם נטיל את הקוביי, יש סיכוי שווה להתקבלהכיוון שלכל מספר בקוביי: המתמטית

- תתקרב מאד ל3מספר רב מאד של פעמים השכיחות היחסית של המספר 1

6 .

):טיביתקסוביי(שה האינטואיטיבית הגי

, בהתרחשותו) רמת הבטחון(פי מידת האמונה שלנו -אנו ניתן סיכוי למאורע להתרחש על . על פי השיפוט האינטואיטיבי שלנו–כלומר

שיפוט אינטואיטיבי הוא בעצם שיפוט סובייקטיבי ולכן לאנשים שונים תהיינה הסתברויות .ועאינטואיטיביות שונות לאותו איר

: לדוגמא

. אם נשאל מהו הסיכוי שחיסון חדש ימגר מחלה מסוימת נקבל תשובות שונות מאנשים שונים אנשים מהשורה יתנו סיכויים שונים בהתאם לאמון , רופאים וודאי יתנו סיכוי גבוה יותר לחיסון

..... האישיםשהם רוחשים לרופאים ובהתאם לניסיונ

:שים בשתי הגישות השונותדוגמא להבדל בתוצאה כאשר משתמ

, סטודנטית בקורס, מה ההסתברות שמיכל. 75%ידוע כי אחוז ההצלחה בקורס מסוים עומד על ?תסיים את הקורס בהצלחה

סביר להניח שהוא יאמר שההסתברות להצלחתה של מיכל, אם המשיב הוא אדם אקראיסביר להניח , יה הטובות אך אם המשיבה היא חברתה של מיכל המכירה את יכולות, 75%היא

.90% –שתשובתה תהיה גבוהה יותר למשל

מאיר בכור ©

72

ואילו חברתה של מיכל ) אחוז ההצלחה הידוע(המשיב האקראי הסתמך על הנתון היחיד שהיה לו השתמשה בגישה הסובייקטיבית והוסיפה לנתון המתמטי את מידת האמון שלה ביכולותיה של

.מיכל

על החלטותינו כמעט בכל תחום בחיינו גורמים פסיכולוגיים משפיעים . שכל לעומת רגש–") הפסיכולוגיה של הכלכלה("

קבוצתו גם אם היא במקום ןיתערב עם חברו על ניצחו" שרוף"אוהד כדורגל , למשל ....האחרון בטבלה ומשחקת נגד הראשונה בטבלה

" מנגנונים"ים סובייקטיבית אנו מפעיל/כאשר משתמשים בגישה האינטואיטיבית, כלומר

. בשיפוטשיכולים לגרום לנו לטעויות -מידע סובייקטיבי , רגשות, "תחושות בטן"שונים כמו ".כשלים בשיפוט אינטואיטיבי: "טעויות מסוג זה נקראות

.מנגנון היציגות: אחד המנגנונים המשפיעים על השיפוט האינטואיטיבי שלנו נקרא

מנגנון היציגות

סביר יותר שיקרה , יותר" הגיוני" לנו יראהאחד מהם , נתונים לנו שני מאורעותכאשר , לפעמים מאורע –במילים אחרות . ולכן נייחס לו הסתברות גבוהה יותר להתרחשות מאשר למאורע השני

. בעינינו את מה שיכול לקרותייצג טוב יותראחד ".מנגנון היציגות"ל נקרא "תהליך החשיבה הנ

!שימו לב

פי - לנו הגיוני יותר והוא יבחר במשהו ייצוגי יותר עלשנראה שלנו מחפש את כל מה המוח !מבלי להתחשב תמיד במה שנכון מתמטית', רגשות וכד, תחושות בטן, ידע קודם

.בלי להתייחס לכל הנתונים" להיתפס לתיאור"שפעמים רבות אנחנו נוטים , יוצא

: לקרות בגלל מנגנון היציגותשעלולים) טעויות(יש שני סוגים של כשלים ". כשל השיעור הבסיסי"ו" כשל הצירוף" שיפוט

סטטיסטי אינטואיטיבי

מנגנוני חשיבה אחרים

מנגנון היציגות

")כשל("טעות סטטיסטית .…ם אחריםכשלי

כשל השיעור הבסיסי

כשל הצירוף

מאיר בכור ©

73

כשל הצירוף

:נתייחס לדוגמא הבאה . בני הוא עורך דין מצליח וידוע כחובב ריקודים מושבע

? מייצג יותר את בניהבאים נראהאיזה מהמשפטים

.דין המתמחה בדיני חברות גדולות-בני הוא עורך .א .ך דין המתמחה בדיני חברות גדולות ומשתתף בחוג ריקודים פעמיים בשבועבני הוא עור .ב

הוא הסביר יותר וזאת מכיוון שלאור האינפורמציה המקדימה ' רבים מאיתנו יאמרו כי משפט ב

.' את בני טוב יותר ממשפט אמייצג' שמשפט בנראה לנו הגיוני יותר, שקיבלנו על בני ולכן טועים מנגנון היציגות כלומר מתבססים על –של בני המקדים " נתפסים לתיאור"אנחנו

!!! בתשובה

שלאפשרות הוא הסביר יותר משום ' נגלה כי משפט א, אם נבדוק את הדוגמא בצורה מתמטית - יחידה תהיה תמיד הסתברות גבוהה יותר מאשר לצירוף שתי אפשרויות

. "כלל הצירוף"זהו

.ירוף ולכן אינה נכונה בעצם את כלל הצנוגדת' תשובה ב

:נסביר

. קבוצת עורכי הדין המתמחים בדיני חברות גדולות- A: נסמן

B -קבוצת המשתתפים בחוג ריקודים פעמיים בשבוע .

: נראה את כלל הצירוף בדרך גרפית

))))מהשרטוט ברור כי )))) (((( ))))P A B < P A∩∩∩∩.

)))): יהיה פירוש הדבר כי' סתברות גבוהה יותר למשפט באם ניתן ה )))) (((( ))))P A B P A≥≥≥≥∩∩∩∩

.וזה נוגד את כלל הצירוף

B A

מאיר בכור ©

74

):שיוויונים-כמו באי (ובדרך אלגברית

(((( )))) (((( ))))P A B P A====∩∩∩∩

(((( )))) (((( ))))P A B < P A∩∩∩∩

)))): מאורעות) צירוף(מחוקי הפרופורציה וחיתוך )))) (((( ))))P A B P A≤≤≤≤∩∩∩∩

: יהיה פירוש הדבר' וגם בדרך זו ניתן לראות כי אם ניתן הסתברות גבוהה יותר למשפט ב

(((( )))) (((( ))))P A B P A≥≥≥≥∩∩∩∩זה נוגד את כלל הצירוף ו.

כשל השיעור הבסיסי

:על מנת להבין מהו כשל השיעור הבסיסי עלינו להגדיר מספר מושגים חדשים

: Aהשיעור הבסיסי של .1(((( ))))(((( ))))

P A

P A

לבין הפרופורציה של A מוגדר כיחס בין הפרופורציה של Aהשיעור הבסיסי של

.A שהוא Aהמשלים של

:Bדיאגנוסטיות של .2(((( ))))(((( ))))

P B / A

P B / A

. יכולת אבחון–דיאגנוסטיות פירושה

מביןB מוגדרת כיחס בין פרופורציית בעלי תכונה Bהדיאגנוסטיות של התכונה

.A מבין קבוצה B לבין פרופורציית בעלי תכונה Aקבוצה .A מאבחנת את הקבוצה Bאנו בודקים עד כמה התכונה , במילים אחרות

B

A

A

B

••••

••••

••••

••••

••••

••••

••••

••••

: לסיכוםכשל הצירוף קורה כאשר השיפוט שאנו עושים מתבסס על מנגנון היציגות ומעניק לצירוף של

.ת כלל הצירוף וזה נוגד א–שתי אפשרויות הסתברות גבוהה יותר מאשר לאפשרות יחידה

••••

מאיר בכור ©

75

:נסביר

".אותה תכונה בקבוצות השונות"כאשר השוונו בין שתי הסתברויות אמרנו

)))): כאשר בדקנו קשר סטטיסטי בדקנו האם )))) (((( ))))P B / A P B / A≠≠≠≠

..).צד שמאל של ההתניה התכונה תמיד תופיע מ–להזכירכם (

)))): במידה ש )))) (((( ))))P B / A P B / A==== דבר שאין קשר סטטיסטיה פירוש.

!שימו לב

אגף שמאל , ההגדרה של דיאגנוסטיות היא בעצם חילוק של שני האגפים זה בזה . באגף ימין

אם מתקיים (((( ))))(((( ))))

P B / A1

P B / A)))): אז==== )))) (((( ))))P B / A P B / A==== ,אין קשר סטטיסטי–לומר כ .

.A אינה מאבחנת כלל את קבוצה B התכונה –או במילים אחרות

גדולה מפרופורציית A בקבוצה B אז פרופורציית תכונה 1-ככל שהדיאגנוסטיות גדולה מ

:A בקבוצה Bתכונה

(((( ))))(((( ))))

P B / A> 1

P B / A)))): אז )))) (((( ))))P B / A > P B / A

קטנה A בקבוצה B אז פרופורציית תכונה 1-ככל שהדיאגנוסטיות קטנה מ: ולהיפך

:A בקבוצה Bמפרופורציית תכונה

(((( ))))(((( ))))

P B / A< 1

P B / A)))): אז )))) (((( ))))P B / A < P B / A

: היחס המעודכן .3(((( ))))(((( ))))

P A /BR

P A /B====

לבין פרופורציית B מתוך קבוצה Aמוגדר כיחס בין פרופורציית תכונה

.Bמתוך קבוצה ) A שהוא Aהמשלים של (Aחסרי תכונה

!שימו לב :חיתוכים הוא יחס של שני Rבעצם

. בצורה מיידיתRניתן למצוא את , ולכן כאשר הטבלה מוכנה

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

P A B

P A /B P B P A BR

P A /B P A B P A B

P B

= = == = == = == = =

∩∩∩∩

∩∩∩∩

∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩

מאיר בכור ©

76

:בנוסחת התניה מתקיים, כזכור

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

P A BP B / A

P A====

∩∩∩∩ , (((( )))) (((( ))))

(((( ))))P A B

P A /BP B

====∩∩∩∩

)))): מכאן )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))P A /B P B P B/ A P A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = )נוסחת בייס (⋅

)))): ולכן )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))P A /B P B P B/ A P A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ).A במשלים שלו Aהחלפנו את (⋅

: נחלק את שתי המשוואות זו בזו ונקבל

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

P A /B P B / A P A

P B / AP A /B P A= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

: כלומר(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

P A /B P B / A P AR

P B / AP A /B P A= = ⋅= = ⋅= = ⋅= = ⋅

))))כעת נפתח נוסחה שתאפשר לנו למצוא את היחס ))))P A /Bכשנתון לנו

:Rהיחס המעודכן

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

P A /B P A /BR

1 P A /BP A /B= == == == =

−−−−

(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))R 1 P A /B P A /B− =− =− =− =

(((( )))) [[[[ ]]]]R P A /B 1 R= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +

(((( )))) RP A /B

1 R====

++++

Aהשיעור הבסיסי של Bדיאגנוסטיות של Rהיחס המעודכן

מאיר בכור ©

77

:הערות

ניתן לפתור, נוסחאות שלמדנו קודםאלא נעזרנו בכל ה, נו נוסחא חדשההיות ולא פיתח. א .Rמימדית ובלי -רוב התרגילים בעזרת טבלה דו את מימדית נאלץ-שעל מנת לבנות את הטבלה הדו) אבל לא תמיד( במקרה כזה ייתכן ". שחורה" להשתמש בנעלמים ותהיה לנו עבודה יותר . Rעדיף לפתור באמצעות , כם במפורש לפתור באמצעות טבלהכשלא מבקשים מ, ולפיכך

))))כלל נדרש לחשב את -בדרך. ב ))))P A /B) .ראה שאלות אפשריות בהמשך.(

היתרון בנוסחא . ג (((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

P A /B P B / A P A

P B / AP A /B P A= ⋅= ⋅= ⋅= )))) שהפרופורציה ⋅ ))))P Bיעה אינה מופ

))))בה ולכן גם אם איננה ידועה אפשר לחשב את ))))P A /B.

:דוגמא מספרית להכרת המושגים Aו - B הן קבוצות חלקיות של קבוצה כוללת S.

)))): נתון )))) 3P A

5====

(((( )))) 2P B / A

3====

(((( )))) 3P B / A

4====

-: Aחשב את השיעור הבסיסי של . א

(((( )))) 3P A

5 )נתון (====

(((( )))) (((( )))) 3 2P A 1 P A 1

5 5= − = − == − = − == − = − == − = − =

(((( ))))(((( ))))

3P A 3 5 35

2 5 2 2P A5

= = ⋅ == = ⋅ == = ⋅ == = ⋅ A השיעור הבסיסי של =

-: Bחשב את הדיאגנוסטיות של . ב

(((( ))))(((( ))))

2P B / A 2 4 83

3 3 3 9P B / A4

= = ⋅ == = ⋅ == = ⋅ == = ⋅ =

מאיר בכור ©

78

-: Rחשב את היחס המעודכן . ג

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

P B / A P A 8 3 4R

9 2 3P B / A P A= ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ =

))))חשב את . ד ))))P A /B :-

(((( ))))4

R 4 43P A /B41 R 3 4 71

3

= = = == = = == = = == = = =+ ++ ++ ++ +++++

))))חשב את . ה ))))P Bבעזרת נוסחת בייס :-

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))P A /B P B P B/ A P A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅

(((( ))))4 2 3P B

7 3 5⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅

(((( ))))4 2P B

7 5⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

(((( )))) 2 7 7P B

5 4 10= ⋅ == ⋅ == ⋅ == ⋅ =

-: מימדית והשווה בין התשובות-בנה טבלה דו. ו

נתוני השאלה והחישובים( ל נבנה את הטבלה"בהתאם לנתוני השאלה והחישובים הנ ").עיגול"בטבלה ב מסומנים

1 35

2

5

B

B

A A

25

310

310

710

110

15

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

P B A P B A2P B / A

33 P A5

2 3 2P B A

3 5 5

P B A P B A3P B / A

24 P A5

3 2 3P B A

4 5 10

= = == = == = == = =

= ⋅ == ⋅ == ⋅ == ⋅ =

= = == = == = == = =

= ⋅ == ⋅ == ⋅ == ⋅ =

∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩

∩∩∩∩

∩ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ∩

∩∩∩∩

מאיר בכור ©

79

-: לפי תוצאות הטבלה

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

2P A B 45P A /B

7P B 710

= = == = == = == = =∩∩∩∩

).כצפוי(התוצאה יצאה שווה לתוצאה שחושבה ללא הטבלה

".כשל השיעור הבסיסי"פי יציגות ולכשל הנקרא -נחזור לשיפוט על

: בלבדנביא דוגמא להמחשה

. ל והשאר ברמות אחרות" יח5 מהתלמידים לומדים מתמטיקה ברמה של20%בבית ספר תיכון

מתלמידי88%בבדיקת תוצאות בחינת הבגרות האחרונה במתמטיקה הסתבר כי

. מתלמידי הרמות האחרות הצליחו בבחינה40%ל הצליחו בבחינה בעוד שרק " יח5

מה ההסתברות שהתלמיד . ס בחר לראיין אחד מהתלמידים שהצליח בבחינה"כתב של עיתון ביה

?ל" יח5מד ברמה של שרואיין לו

88%יש סיכוי של , נראה כי מכיוון שאומרים לנו שהתלמיד המרואיין הצליח בבחינה, במבט ראשון

ומייצגת , כמתאימה יותר" הצליח במבחן" נתייחס לתכונה רובנו. ל" יח5שהוא לומד ברמה של

ומתעלמים ציגותבמנגנון היאנו משתמשים כאן . בתשובהונטעהל " יח5יותר תלמיד ברמה של

. ל" יח5 מכלל התלמידים לומדים ברמה של20%רק : שהואמנתון סטטיסטי חשוב

ל וזה מוריד את הסיכוי שהתלמיד " יח5רק חלק קטן יחסית מהתלמידים לומדים ברמה של , כלומר

.המרואיין יהיה ברמה זו

לבין ) Aקבוצה (ל "יח 5 היחס בין מספר תלמידי – השיעור הבסיסיהנתון ממנו התעלמנו הוא

).Aקבוצה (מספר התלמידים ברמות האחרות

ההתעלמות מהשיעור הבסיסי הובילה אותנו לטעות בהערכת ההסתברות ולכן קוראים לטעות מעין

".כשל השיעור הבסיסי"זו

מאיר בכור ©

80

.ור הבסיסיתוך התייחסות לשיע, נפתור את אותה שאלה בדרך סטטיסטית נכונה

.ל" יח5 קבוצת התלמידים הלומדים ברמה של - A: נסמן B -קבוצת התלמידים שהצליחו בבגרות במתמטיקה .

:נסמן גם את המשלימים שלהם

A -קבוצת התלמידים הלומדים ברמות אחרות .

B -קבוצת התלמידים שלא הצליחו בבגרות במתמטיקה .

)))) : נתון ))))P A 0.20====

(((( ))))P B / A 0.88====

(((( ))))P B / A 0.40====

))))בשאלה אנו נדרשים בעצם למצוא את ))))P A /B) ידוע שהתלמיד הצליח בבגרות.(

)))) : חה אומרתהנוס )))) RP A /B

1 R====

++++

: אנו יודעים כי(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

P A /B P B / A P AR

P B / AP A /B P A= = ⋅= = ⋅= = ⋅= = ⋅

: נציב את הנתונים0.88 0.20

R 2.20 0.25 0.550.40 0.80

= ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ =

)))) : ומכאן )))) 0.55P A /B 0.35

1 0.55= ≅= ≅= ≅= ≅

++++

ל היא " יח5התשובה הנכונה היא שההסתברות שהתלמיד המרואיין לומד ברמה של , כלומר .88% בערך ולא 35%

R המעודכן היחס Bדיאגנוסטיות של Aהשיעור הבסיסי של

:לסיכוםכשל השיעור הבסיסי קורה כאשר השיפוט שאנו עושים מתבסס על מנגנון היציגות ולכן אנו

נוטים לייחס הסתברות לתכונה המתוארת תוך התעלמות מהשיעור הבסיסי של אותה . שובהההתעלמות מהשיעור הבסיסי גורמת לטעות בת. תכונה

כלומר כל אדם שאינו מצוי ברזי –" נשאל נאיבי"התעלמות מהשיעור הבסיסי מאפיינת ...החשיבה ההסתברותית

מאיר בכור ©

81

פי יציגות-שאלות אפשריות בשיפוט על

. אינפורמציה מקדימה על אדם ואתם נשאלים איזה משפט מייצג יותר את האדםלנו נותנים .1

.אפשרות אחת ומשפט הכולל שתי אפשרויותבדרך כלל תקבלו משפט עם ".כשל הצירוף"זוהי שאלה שמאפיינת שאלה הנוגעת ל

:כול להיותיהאפשריים של ההסבר יםניסוחאחד ה, אם תתבקשו להסביר את הטעות

פי יציגות נוטים לתת הסתברות גבוהה יותר למשפט הכולל שתי אפשרויות -בשיפוט על

. וזה בגלל ששתי האפשרויות נתפסות כמייצגות יותרמאשר למשפט הכולל אפשרות אחת . זה נוגד את כלל הצירוף

הדיאגנוסטיות, מבקשים למצוא מנתוני השאלה בעזרת חישוב את השיעור הבסיסי .2

))))והיחס המעודכן ודרכם את ))))P A /B.

: אחד הסעיפים של שאלה מסוג זה יכול לבקש תשובה לשאלה " אנשים שלא למדו חשיבה הסתברותית", "נשאלים נאיביים"ונים על השאלה כיצד היו ע

?או מאיזה נתון מתעלמים אנשים אלה/וכיצד קוראים לתופעה זו ו" רוב האנשים"או ".כשל השיעור הבסיסי"זוהי שאלה הנוגעת ל

:כול להיותתשובה לשאלה מסוג זה יהאפשריים של יםניסוחאחד ה

מתעלמים מהשיעור הבסיסי.. רוב האנשים.../אנשים שלא למדו/ נשאלים נאיביים " לתופעה זו קוראים . ולכן מקבלים תשובה מוטעית) כי הם שופטים לפי מנגנון היציגות( "....כשל השיעור הבסיסי"

ניסוח " ?מה הטעות האפשרית"ואתם נשאלים , אינו נתון כללהשיעור הבסיסי כאשר בשאלה מכיוון שהשיעור הבסיסי אינו נתון סביר להניח שמדובר בטעות מסוג ": כול להיותהתשובה י

". כשל השיעור הבסיסי"

":הפוכות"שאלות .3

))))כאשר נתונים ))))P A /B והדיאגנוסטיות ויש למצוא את (((( ))))P A.

: הדרך לפתרון תהיה

)))) -:ידוע ש )))) RP A /B

1 R====

++++

ומהנתון של הדיאגנוסטיות ניתןR ולאחר שמצאנו את Rמנוסחה זו ניתן למצוא את

: מצוא את השיעור הבסיסי שהואל(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

P A P A

1 P AP A====

−−−−

))))מכאן נמצא את ))))P A ) ואת(((( ))))P A , אם יש צורך בכך.(

!שימו לב , " השיעור הבסיסי "-מאד חשוב להשתמש בתשובה במילים הרלוונטיות

". כשל השיעור הבסיסי"תקבלת תשובה מוטעית וזהו כאשר מתעלמים מהשיעור הבסיסי מ

מאיר בכור ©

82

))))שאלות בהן נתונים הדיאגנוסטיות והשיעור הבסיסי ויש למצוא את .4 ))))P A /B.

:את הנתון של הדיאגנוסטיות אנו מסיקים מדרך הניסוח למשל! שימו לב מפרופורציית yי או קטנה פ , xגדולה פי " הקבוצה"מבין " התכונה"פרופורציית " ".קבוצה המשלימה"ב" התכונה"

או x: הדיאגנוסטיות תהיה בעצם היחס הנתון 1

y . בהתאמה

)))) ולאחר מכן את Rמהנתונים ניתן למצוא את ))))P A /B.

:שאלות ניבוי .5

לצפות מראש ' מבחן וכד, מכונה, חיה, אדםבשאלה מובאת אינפורמציה לגבי יכולתם של . התרחשות של אירוע מסויים) לנבא(

: דוגמאות

...'קורס וכד/ מבחני כניסה שמנבאים הצלחה בלימודים ... כלבים מאומנים שמסתובבים בשדות תעופה ושמנבאים מי נושא סמים

...הצלחה בתפקיד... / גרפולוגים שמנבאים אמינות של מועמדים ...רופאים שמנבאים הצלחה בניתוחים

...בדיקות שמנבאות סיכוי לחלות במחלה כלשהי

לצורך ההסבר על הסוגים השונים של שאלות הניבוי נשתמש בדוגמא של! שימו לב ). 'סמים וכו באותה מידה יכולנו לבחור בכלב שמנבא למי יש(שמנבא סיום קורס " נביא"

:שאלות ניבויסוגי , לנבא אירוע מסויים" נביא"יש שאלות בהן נתונים אחוזי ההצלחה והכשלון של ה. א

:למשל כלומר. ( מהנבחנים שסיימו את הקורס הנביא אכן אמר שהם יסיימו95%נתון כי ). מהמקרים95%-וא מצליח בניבוי ב ה לא סיימו את הקורס הנביא אמר עליהם מהמועמדים ש10%כמו כן נתון כי ). מהמקרים10% -כלומר הוא נכשל בניבוי ב. (שהם כן יסיימו אותו

: נגדיר A -קבוצת מסיימי הקורס .

B -אמר שיסיימו את הקורס" הנביא" הקבוצה ש .

(((( ))))

(((( ))))P B / A 0.95

P B / A 0.10

====

====

:ולכן הנתונים הם

מאיר בכור ©

83

: זה אומר- מהמקרים 85% -צודק ב" הנביא"יש שאלות שיגידו לנו ש. ב

- מהמועמדים שסיימו את הקורס הנביא אכן אמר שהם יסיימו ובאותה מידה 85% . שלא סיימו את הקורס הנביא אכן אמר שלא יסיימו את הקורס מהמועמדים85%

(((( ))))

(((( ))))P B / A 0.85

P B / A 0.85

====

====

מופיע לעיתים קרובות סעיף שמניסוחו ניתן להבין כי המועמד' ב-ו' בשאלות מסוג א ושואלים מהי ההסתברות B ) ( סיים את הקורס יוא מהקבוצה שהנביא ניבא שה ).A( סיים את הקורס אכןשהמועמד

))))בשאלה כזו בעצם אתם מתבקשים למצוא את ))))P A /B:

) B הקבוצה שהנביא ניבא שיסיימו את הקורס /A קבוצת מסיימי הקורס(P

הערה כללית

:לפעמים מדרך ניסוח השאלה ניתן להסיק באיזה סוג שאלה מדובר

שלא למד " נשאל נאיבי"ניתן להסיק שהכוונה היא ל" אין צורך בחישובים"כאשר בשאלה מצויין

.הסתברות והתשובה נמצאת בעצם בנתונים

. האפשריים" כשלים"דהיינו אחד מה, כמו כן יש רמז בשאלה על טעות אפשרית

". כשל השיעור הבסיסי"או ב" כשל הצירוף"אנו יודעים שנשאל נאיבי יכול להכשל או ב

–אם בשאלה מובאים תיאורים ומשווים בין סיכוי של אפשרות אחת לעומת צירוף אפשרויות

". כשל הצירוף"מדובר ב

אם בשאלה מובאות פרופורציות של קבוצות שונות סביר להניח שמדובר בשאלה הקשורה

". כשל השיעור הבסיסי"ב

כעת אתם יכולים וצריכים לדרוש מעצמכם יותר

!!!בהצלחה

:ולכן הנתונים הם