ידוסיה ךוניחב הקיטמתמל יצרא םירומ...

משרד החינוך

המזכירות הפדגוגית אגף מדעים

אוניברסיטת חיפה הפקולטה לחינוך

מל"מ מינהלת

המרכז הישראלי לחינוך מדעי

טכנולוגי ע"ש עמוס דה שליט

למתמטיקה בחינוך היסודי ארצי מרכז מורים المرحلة االبتدائيةالمركز القطري لمعلمي الرياضيات في

________________________________________________________________________________________________________

עבור המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך. 09/07.13הפרויקט מבוצע עפ"י מכרז ארצי במקצוע: מתמטיקה. מרכז מורים כל הזכויות שמורות למשרד החינוך

הפקולטה לחינוך, אוניברסיטת חיפה – למתמטיקה בחינוך היסודי ארצי מרכז מורים

3498838מיקוד , הר הכרמל, חיפה, 199שדרות אבא חושי

04-8288073פקס. 04-8240646' טל

http://ymath.haifa.ac.ilאתר: [email protected]דוא"ל:

mailto:[email protected]://ymath.haifa.ac.il/

היסודי בחינוך למתמטיקה ארצי מורים מרכז االبتدائية المرحلة في الرياضيات لمعلمي القطري المركز

בכיתה ושיח דיונים: מתמטי שיח אוגדן

קרן ארידורו מיכל דביר, מירי שרייבר, עירית לביא, טלי אילון כתיבה:

ד"ר יובל גנוסר ייעוץ מדעי:

2018 יוני

משרד החינוך

המזכירות הפדגוגית אגף מדעים

אוניברסיטת חיפה

הפקולטה לחינוך מל"מ מינהלת

המרכז הישראלי לחינוך מדעי

טכנולוגי ע"ש עמוס דה שליט

.עבור המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך 09/07.13הפרויקט מבוצע עפ"י מכרז

כל הזכויות שמורות למשרד החינוך ©

דיונים ושיח בכיתה :מתמטי אוגדן שיח

תוכן

7 ............................................................................................................................ מבוא

9 ....................................................................................................... תיאורטי רקע: א חלק

9 .............................................................................................. מתמטי שיח הגדרת: 1.א

9 ................................ (קומוגניטיבית) ללמידה התקשורתית התיאוריה פי על שיח הגדרת( 1

11 ......................................................................................................דיאלוגי שיח( 2

Accountable Talk ........................................................................... 11 - מחויב שיח( 3

13 ...........................................................................................................שיח סוגי: 2.א

15 ............................................................. בכיתה מתמטי שיח לעידוד משימות - יישום: ב חלק

15 .................................................................................... מתמטי שיח לקיום תנאים: 1.ב

16 ................................................................................... מתמטי שיח לעידוד דרכים: 2.ב

17 ............................................................. מתמטי שיח שבמרכזם שיעור מערכי יצירת( 1

23 ................................................. "תוהה אני, לב שם אני" מסוג חשיבה רוטינת תרגול( 2

26 .................................................................................... פתוחות במשימות שימוש( 3

28 ....................................................... השוואה/והדהוד-זוג-חשיבה: בפרקטיקה ימושש( 4

29 .................................................................. בשיח להשתתפות שונות דרכים הצעת( 5

30 ................................................................................. שיח לעידוד שאלות העלאת( 6

32 .................................................................. למורה לסייע שנועדו מחויב שיח מהלכי( 7

33 ............................................................. מתמטי שיח המעודדות לפעילויות דוגמאות (8

34 .................................................................. מתמטי שיח בנושא למשחקים דוגמאות( 9

35 ................................................................ מתמטי שיח בנושא למאמרים דוגמאות( 10

37 .............................................................................. שיח המעודדות למידה סביבות: 3.ב

37 .............................................................................................................. פוסטרים

37 ................................................................ בשיח השתתפות - לתלמידים רפלקציה דפי

39 ........................................................ מורים צוותי עם לפגישות/ להשתלמות משימות: ג חלק

40 ................................................................................................................ ביבליוגרפיה

43 ...................................................................................................................... נספחים

__________________________________________________________________________

http://ymath.haifa.ac.il מרכז המורים הארצי למתמטיקה בחינוך היסודי7

מבוא

בבית במסגרת שיעורי המתמטיקה , ושימוש בהנמקות והסבריםימתמט בשיח עוסק זה אוגדן

בתוכנית הלימודים החדשה במתמטיקה לבית הספר היסודי מצוין כי על המורה הספר היסודי.

"לשמוע את הנמקות התלמיד ומחשבותיו בעת ביצוע הפעילות המתמטית" )תכנית הלימודים

בסטנדרטים האמריקאים להוראת גם (. 14החדשה במתמטיקה לבית הספר היסודי, עמ'

וכי (NCTM, 2000, p.45בנת המתמטיקה" )מצוין כי "היכולת לנמק חיונית לה המתמטיקה

מרחיבים לגבי NCTM -ביש לעשות פעילות זאת בכל הגילאים גם בגילאים צעירים מאוד.

חשיבות פעילות ההנמקה:

הנמקה מתמטית והוכחה מציעות דרכים רבות עוצמה לפיתוח וביטוי תובנות לגבי מגוון ."…

רחב של תופעות. אנשים שמנמקים וחושבים בצורה אנליטית נוטים להבחין בדפוסים, במבנים

ובאובייקטים סמליים; הם שואלים אם דפוסים אלה מקריים או אמתייםאו בסדירות, במצבים

(.45)עמ' והם משערים ומוכיחים" אם הם מתרחשים מסיבה;

ומתמקדות בעיקר בתיאוריה מידהלתיאוריות ל מספר סוקרות אנושל האוגדן התיאורטי בחלק

עומדת ההנחה כי תקשורת היא סוג מיוחד שבבסיסה ללמידה )קומוגניטיבית( תיתהתקשור

זו מאפשרת למורה להבחין בשינוי שחל גישה אופרטיבית שינוי בשיח.של שיח וכי למידה היא

בשיח אצל התלמידים ובכך גם בלמידה שלהם.

כזה המעודד כיתתי, מתמטי החוברת אנו מציגות מספר דרכים לפתח שיח היישומי של בחלק

עקרונות הכיתתי והמתמטי שיעורים שבמרכזם עומד השיח ימתוו ,שימוש בהנמקות ובהסברים

. זה המעודדת פיתוחו של שיחסביבה לימודית לבניית

שיח כיתתי פורה ומעניין המאפשר השתתפות לפיתוחאנו מקוות כי תמצאו חוברת זו כיעילה

של כלל התלמידים.

http://ymath.haifa.ac.il/

__________________________________________________________________________


א: רקע תיאורטי חלק

: הגדרת שיח מתמטי1א.

Common Core Stateהמגמה הרווחת כיום בחינוך, בהתאם לסטנדרטים האמריקאים

Standards for Mathematics (CCSSM, 2010),מעודדת שיח מתמטי הכולל המללה ,

הנמקה ומתן הסברים בכדי להביא את התלמידים להבנת המתמטיקה ושימוש ברמות חשיבה

. במהלך הדיונים המתמטיים, על התלמידים להיות מסוגלים "להצדיק את מסקנותיהם, גבוהות

.(CCSSM, 2010, pp. 6-7) "יםאחראחרים, ולהגיב לטיעונים של אותן ל העבירל

המשתתפים כאשר תפקיד המורה בשיח ובניית ידע אצל ונים מתמטיים שיח מתמטי כולל די

את התלמידים להעלות רעיונות שונים ולנמק את הפתרונות או דרכי החשיבה הוא להנחות

(.(Rawding & Wills, 2012 שלהם

(קומוגניטיביתתקשורתית ללמידה )תיאוריה הההגדרת שיח על פי (1

. בכיתה התקשורת בנושא בהרחבה עוסקיםמתמטי חינוך ואנשי חוקריםהאחרונות בשנים

רואה חת. האלתקשורת בנוגע מרכזיותאסכולות שתי קיימותאנשי החינוך המתמטי רבקב

. (2016, וטבח נחליאליכ"שקולה" לחשיבה ) האות תופסת והאחרת חשיבה לתהליכיבה "חלון"

מאחד את ה (commognition) המונח קומוגניציהמציעה את Sfard, 2008)) ספרד

שחשיבה היסוד תמתוך הנח התיאוריות של תקשורת )קומוניקציה( ושל חשיבה )קוגניציה(

ולכן חשיבה ותקשורת הן –תקשורת של אדם עם עצמו –היא תהליך של תקשורת עצמית

מאמצות גישה זו שכן היא מאפשרת באוגדן זה אנו למעשה שני חלקים של אותו שלם.

כזו המאפשרת למורה, לזהות ולפתח כלים .התייחסות אופרטיבית לנושא השיח הכיתתי

ם בכיתה.ימיוייש

,Sfard)מוגדר כסוג מסוים של תקשורת המתנהלת על פי דפוסים ייחודיים שיחעל פי גישה זו,

מאפיינים ייחודיים כמו לכל שיח. בעל שיח מתמטי הוא סוג מסוים של שיח. (2008 ,2007

לשיח המתמטי המעניקים לו את זהותו הייחודית: ארבעה מאפיינים ספרד מציינת

במתמטיקה לכל שיח יש מילים הייחודיות לו - המילים המרכזיות ודרכי השימוש בהן .

משוואה, צלעות, שלוש. ילים כגוןמיהיו אלו

עצמים שעליהם פועלים כחלק - ()ספרות, גרפים וכו' ייחודיים םויזואליימתווכים

צורות, ,יםהשיח המתמטי כולל סמלים המייצגים ְסָפרות, תרגיל. מתהליך התקשורת

(.2016נחליאלי וטבח, Sfard, 2008 גרפים וכו' )


__________________________________________________________________________


נרטיבים מאומצים (endorsed narratives )- כל טקסט, מילולי או כתוב, שנתפס

.(הגדרות וכו'כנכון )משפטים,

שהן דפוסים קבועים בדרכי הביצוע של מטלות מתמטיות שונות רוטינות אופייניות

(Sfard & Lavie, 2005) .לתאר את פעולות המשתתפים. יתןנ באמצעות הרוטינות

אמירת 'בוקר טוב' על ידי המורה ותגובה מתאימה מצד לרוטינה היא הדוגמ

בוחרים םוממנו ההידועות לתלמידים אוסף של תגובות מתאימות קיים התלמידים.

.(2016, לביא וספרד (Lavi, Steiner & Sfard, 2018 את תגובותיהם

( מדגימה את ארבעת המאפיינים:1הטבלה הבאה )טבלה מס'

השיח למתמטיאת הופך: מה 1טבלה מספר

למידת מתמטיקה היא שינוי בשיח המתמטי של הלומד, שינוי שעשוי ,הקומוגניטיביתבמסגרת

לבוא לידי ביטוי בכל אחד מארבעת מאפייני השיח. התפתחות זו כוללת הכרת מילים חדשות,

הבא ,למורה יש תפקיד משמעותי בלמידת התלמיד .חדשות רוטינותחדשים ו היגדים מוסכמים

לידי ביטוי הן בזיהוי מאפייני השיח של התלמיד וכן בתמיכה בשינויים.

(2011מה עושה את השיח למתמטי? )ספרד,

מספר, שטח, פונקציה, חמש והשימוש בהןמילים

מוש בהםימתווכים והש

√½ סמלים מתמטיים

עצמים קונקרטיים

ציורים

רוטינות

של שימוש במילים

של שימוש במתווכים

של חישובים

של שיכנוע, הגדרה...

היגדים מוסכמים6=3+3

180°סכום הזווית במשולש הוא


__________________________________________________________________________


שיח דיאלוגי (2

הנמקה, וזאת בשל הדגש על הבימים אלה נידון רבות בספרות המחקרית והפדגוגית נושא

למידה באמצעות שיחה בין הלומדים שבמהלכה כל , היאלמידה דיאלוגית .למידה דיאלוגית

אחד מביע את דעתו, מקשיב לדעות של אחרים, מעריך דעות שונות ומביא טיעונים בעדן או

. (Alexander, 2008)נגדן

שמאפשר הקשבה פעילה, הקשבה שכוללת הבנה ויוצרת מעורבות הוא שיח דיאלוגי שיח

ההנחה היא כי .שיחהרק אינו שיח דיאלוגי . לפיכך,באמצעות התנגדות או תמיכה בשיח

על ידי הדובר בלבד. כלומר השפה ולאעל ידי השומע גם נקבעת של הדברים המשמעות

.אינטראקציה עם השומע משמעות מתוךמקבלת

כמומחה, נתפסמורה אינו בין המורה לתלמידים שבו המפגש מתייחסת ל ,הלמידה הדיאלוגית

מבוססת ה למידה קבוצתיתדוגלת ב הדיאלוגיתהלמידה . בתהליך הלמידה כמשתתף נוסף אלא

להסביר את להשתתף, לומר את דעתו תלמיד כל למידה המעודדת עיל ופורה.פ שיח ודיון על

.(2000 ,)יוגב ונווה להיוועץ, לשמוע אחרים וגם להגיע לפתרון ולידיעהחשיבתו, דרך

היא הוראה הרותמת את כוחו של השיח לדרבן ולהרחיב את חשיבת הדיאלוגיתההוראה "

.(Alexander, 2017. p, 185) הילדים ולקדם את הלמידה וההבנה שלהם"

באוגדן זה נציג מספר דרכים התומכות בהוראה זאת.

Accountable Talk - 1( שיח מחויב3

להפוך את השיח בכיתתם ואת בכיתות מתמטיקה רבות נעשים מאמצים רבים על ידי המורים

הדיון המתנהל בשיעורי המתמטיקה למשמעותיים יותר, למקדמים ומועילים. אחת הדרכים

צידוקו חויבות לידע המתמטי ולליצור שיח משמעותי היא על ידי ניהול שיח המאופיין מחד במ

צר קהילת הלוגי ומאידך במחויבות של הלומדים לשיח עצמו ולמשתתפים בו. בדרך זו המורה יו

שבו המורה מעודד את כזה, שיח . הקהילבלומדים המחויבת לשיח המתמטי ולמשתתפים

ובאנגלית, שיח מחויבהתלמידים למחויבות לידע המתמטי ולצידוקו ולקהיליית הלומדים נקרא

Accountable Talk (Michaels & O'Connor, 2015; Resnick, Michaels &

O'Connor, 2010 .) השתתפות מסגרתהמקור ליצירת שיח מחויב בכיתה נטוע בעיצוב של

בשיח הכיתתי. בכל שיח בין אנשים, לכל אחד מבני השיח ישנם חובות, זכויות, תפקידים וסוגי

אחריות שונים שאף אחד לא מדבר עליהם באופן מוצהר אך הם קיימים ומנווטים את השיח.

למשל שיח שבו תפקידו של המורה הוא לדבר למסגרת השתתפות כיתתית אחת היא הדוגמ

נוספת למסגרת ה. דוגמ(Goodwin, 1990, p. 10)ותפקידו של התלמיד הוא להקשיב

.(2017) הסקירה בנושא שיח מחויב מבוססת על עבודת התזה של מרב וינגרדן 1


__________________________________________________________________________


IRE (, espondsRstudent , nitiatesIteacherשיח השתתפות כיתתית, שמוכרת כדפוס

valuatesEand teacher ) )Cazden & Beck, 1986; Mehan, 1979( היא שיח שבו ,

שאלות ולשפוט את נכונותם של הנרטיבים שמעלים התלמידים תפקידו של המורה הוא לשאול

מסגרת ההשתתפות ,ותפקידו של התלמיד הוא לענות תשובות לשאלות המורה. בשיח מחויב

הכיתתית היא כזו שבה תפקיד התלמיד הוא לייצר נרטיבים, להצדיק אותם ולהעריך את

& O’Connor)אחרים בכיתה נכונותם וזאת יחד עם הסתמכות על נרטיבים שהעלו תלמידים

Michaels, 1993) . בשיח מחויב, המורה מעלה שאלה שמזמנת תגובות מגוונות ומפורטות

, להרחיב ולנמק , לשאול שאלותםמבקש מהורה ובאמצעות התגובות הללו של התלמידים, המ

בשיח .להעלות דוגמאות נגדיות ולהתייחס לדברי תלמידים אחרים את תשובותיהם והסבריהם,

פי ההיגיון המתמטי את הנרטיבים השונים, הם צריכים -צריכים לשפוט עלמחויב התלמידים

כונותם ולא להסתמך רק להקשיב לנרטיבים שמעלים חבריהם כדי לשפוט אותם ולהעריך את נ

מהכלים ליצירה ועיצוב של מסגרת ההשתתפות ה. אחדעל הנרטיביים המאומתים של המור

שבה התלמיד מחויב הן לידע המתמטי ולצידוקו הלוגי והן לקהיליית הלומדים, הוא מהלכי

הם (Move Talk) מהלכי הדיבור המחויב(. Michaels & O'Connor, 2015ב )הדיבור המחוי

ודד שיח מחויב יותר. במהלך השיעור כדי לע ןות ו/או אמירות שהמורה יכול להשתמש בהשאל

הוא ישתמש תו הלוגיתצדקהכך למשל, אם המורה רוצה לעודד את המחויבות לידע המתמטי ול

Pressובמהלך הדיבור מסוג וכל להרחיב קצת יותר?""ת – Say more במהלכי הדיבור מסוג

for reasoning – "אם המורה רוצה וכדומה. להסביר איך הגעת לזה?", "למה זה נכון?" תוכל

Agree/Disagree לעודד את המחויבות לקהיליית הלומדים הוא ישתמש במהלכי הדיבור מסוג

דני, " – Explain otherובמהלך הדיבור מסוג דני, אתה מסכים עם מה שרוני אמרה?"" –

. השימוש במהלכי הדיבור המחויב דומה" וכאתה יכול להסביר את דרך הפתרון של רוני?

הדיון, להנאה של התלמידים העשרת תורם ל ,מעודד את התלמידים להשתתף יותר בדיון

Clarke, Chen, Stainton, & Katz, 2013; Michaels).מהדיון ולתהליך הלמידה באופן כללי

& O’Connor, 2015)

-כפי שהופיעה במחקרה של הד י הדיבורמהלכה מלאה של סכמ באוגדן זה מופיעה 'בחלק ב

לעברית כחלק םבתרגו (Heyd-Metzuyanim, Smith, Bill, & Resnick, 2016)מצויינים

מוצגים מהלכי שיח מחויב אפשריים(. בטבלה 2017מעבודת התזה של וינגרדן )וינגרדן,

להרחיב ולהבהיר את לעזור לתלמיד לשתףהבאים לסייע למורה בארבע מטרות שונות:

לעזור לתלמיד להעמיק את החשיבה שלור, לעזור לתלמיד להקשיב לדברי האח, חשיבתו

.לעזור לתלמיד לחשוב יחד עם אחריםו

של מורים לאחר היכרות ראשונית ה כי עול (2017)וינגרדן, בדק נושא זהמחקר ש מממצאי

באופן מיידי. ,מאמצים אותם לכיתה כשגרת שיח הם ,עם מהלכי הדיבור


__________________________________________________________________________


: סוגי שיח 2א.

המתמטיקה בשיעורי בהם חמישה סוגי שיח שניתן לצפות מציגות (2005רגב ושמעוני )

:בכיתה

לוגיסטי-שיח ארגוני .1

שיח חברתי .2

במודל מעוגן מתמטי שיח .3

קוגניטיבי-השיח מט .4

שיח מתמטי .5

נבדלים זה מזה בעולם התוכן ובתפקידיהם היחסיים בתהליך השיחה. שלושה עוסקים השיחים

השניים האחרים, .שיח מתמטיוקוגניטיבי -במתמטיקה באופן מפורש: שיח מודל, שיח מטה

נורמות לכל סוג שיח . שיח ארגוני ושיח חברתי, תומכים בתהליך המתמטי אך עלולים גם לעכבו

.ו'שפה' משלו

להלן הסבר קצר על כל שיח:

לוגיסטי הו( , מרחב...ארגון הפיזי )זמן, משאביםשיח העוסק ב - לוגיסטי-ארגונישיח

תהילכלאפשר . שיח זה נועד של הפעילות)הוצאת מחברות, העתקה מהלוח...(

במתמטיקה. העיסוק לקראת התארגןל

פנייה לתלמיד להשתתף, עידוד חברתיותהערות שיח הכולל - שיח חברתי(

. התלמידים...(

בעת התנהלות עם מודל כלשהופעולות לוגיות הכוללשיח - מודלמתמטי מעוגן בשיח

כח עשר, מודל ישר המספרים צורות פלא, )דוגמאות למודל הן למשל, בדידים,

מסוימתמתמטית תחוקיו הבנתלאפשר זה היא מסוגשל שיח מטרתו . וכדומה(

מערכת הדגמה או המחשה אנלוגית ממנה יוכל התלמיד להקיש למערכת באמצעות

המתמטית.

שמטרתו להסביר ביצוע מתמטי של שיפוט והערכההכולל שיח - קוגניטיבי-שיח מטה

חשיבה על החשיבה "זהו שיח של . שנעשו ולהצדיק את הפעולות המתמטיות

הפילוג כדי להכפיל את המספר עם שתי השתמשתי בחוק, "הלדוגמ ."המתמטית

כך קל לי יותר להכפיל את העשרות ואחר כך את היחידות" )רגב 4 -הספרות ב

(.39ושמעוני, עמ'

אופן , כתיבת תרגיל) מלווה את הביצועים המתמטייםה המרכזי, שיחה – שיח מתמטי

ם.צורות וגופיים או במספר כולל שימוששיח מתמטי (.ביצוע המשימה


__________________________________________________________________________


ובשיח המתמטי בשיח ולהרחיב לוגיסטי-הארגוני בשיח להמעיט נרצה, המתמטית בכיתה

באמצעות ניתוח שיח כיתתי בשיעור מתמטיקה ,(2014טבח ונחליאלי ) .קוגניטיבי-המטה

,Halliday) הלקוחים מהתיאוריה הבלשניתתפקודי שיח הבחינו בין שלושה ,במכללה להוראה

ותפקוד ארגוני הכולל אישי-מילוליים(, תפקוד בין-מילוליים ולא : תוכן )תכנים מתמטיים(1978

את הפעולות הפדגוגיות שנועדו לארגן את התכנים ולעזור ללומדים להשתתף בשיח המתמטי.

ששימש שיח מתמטי ניתוח לכלי הן בנו בעזרת שילוב בין התיאוריה הקומוגניטיבית לבלשנית

תוך ( Sfard, 2008) של ספרד מאפייני השיחארבעת הבנוי על ,לזיהוי תהליכי הוראה ולמידה

יםניתן לראות סיכום של ארבעת המאפיינים כפי שבא 2בלה טב. התייחסות לסוגי שיח שונים

תה:ילידי ביטוי בשיחים השונים החלים בכ

לניתוח שיח מתמטי כיתתי ם: כלי2טבלה מספר

(2014טבח ונחליאלי, )כלי לניתוח שיח מתמטי כיתתי

רוטינות נרטיבים מקובלים מתווכים ויזואליים מילים והשימוש בהן היבטי השיח

שיח מתמטי

הייחודיות המילים

בהן משתמשים

ת המתמטיקהבכית

מתווכים שבהם

משתמשים במתמטיקה

ההיגדים המתמטיים

הנאמרים בשיעור

הרוטינות המתמטיות

שמזהים בשיעורים

אישי-שיח בין

המילים שבעזרתן

ממצב את תלמיד ה

עצמו ביחס לאחרים

ולמתמטיקה

המתווכים שבעזרתם

היחיד ממצב את עצמו

ביחס לאחרים

ולמתמטיקה

הנרטיבים שבעזרתם

היחיד ממצב את


ולמתמטיקה

הרוטינות שבעזרתן

היחיד ממצב את


ולמתמטיקה

שיח פדגוגי

המילים שבעזרתן

היחיד מארגן את

התכנים כך

שהלומדים יהיו

משתתפים מרכזיים

העצמים )ספרות,

שבעזרתם גרפים וכו'(

את התכנים מארגנים

כך שהלומדים יהיו


הנרטיבים שבעזרתם


התכנים כך



הרוטינות שבעזרתן


התכנים כך


מרכזיים משתתפים

אם הבכדי להבין דיםתלמישל ה לעקוב אחר השיח המתמטיהמורה ת הספר היסודי יכולה יבב

משתמשים ןבמילים בה שינוי בשיח כדוגמת שינויעל המורה לחפש . התרחשה למידה בכיתה

, הוספת מילים לאוצר המילים של הילדים(במובן מתמטי שימוש במילה צלע)למשל דיםתלמיה

האם )למשל התייחסות לשאלה שינוי בנרטיבים המתמטיים, )למשל למידת הביטוי קו שבר(

)למשל שימוש בישר ם ישימוש במתווכים ויזואלי ,(, כפל לא תמיד מגדילקוטר הוא גם מיתר

)למשל ההבנה שפתרון לשאלה יכול להיות מרובה ולא ברוטינות או שימוש שונההמספרים(

.יחיד(

לעידוד ויישום השיח המתמטי בכיתה.יעילים בחלק הבא נציג מספר כלים


__________________________________________________________________________


תהימשימות לעידוד שיח מתמטי בכ - ב: יישום חלק

: תנאים לקיום שיח מתמטי1.ב

על מנת ליצור סביבת למידה המאפשרת ביטחון, סבלנות וסובלנות לדיון כיתתי הכולל

גיטימציה תת להבנה ולחוסר להביע לתלמידים לאפשרחשוב , שונות פתרון אסטרטגיות

מכבדים.לפתח נורמות, רוטינות והתנהלות כמו גם,לטעות,

ית הוראה פשוטה ויצירתית להגברת יאסטרטג יםמציג (Pace & Ortiz, 2016)טיז ראוו ספיי

לשתף התלמידים המוכנות שלהגברת עידוד השיח ולשם התלמידים ההבנה המתמטית של

תה יהמורה מציגה לכ "מצאו את הפשלהולהסביר את עבודתם. בפעילות המתוארת ומכונה "

מנתחים את השגיאה, מנסים להבין את מקורה ולומדים הם וביחד טעויות שעשו תלמידים

ת נכון על השאלה. דרך זו מחזקת את יכולת התלמידים לעזור זה לזה למצוא שגיאות לענוכיצד

ולגלות תשובות נכונות על ידי שיח ותקשורת כשהמורה משמשת כמנחה. הפעילות יוצרת

. התלמידים הופכים בטוחים יותר להתקבל ללא ביקורתהבנה עמוקה וגם מאפשרת לשגיאות

משיפוטיות של תשובות שגויות לעזרה בתיקון שלהן. תה עוברת יבתשובותיהם כיוון שהכ

אוירה תומכת, מאפשרת ולא תה יבככדי לאפשר יישום של דרך הוראה זו חייבת להיות

בכדי ליצור קהילת שיח מספר רוטינות אותן כדאי למורה להנחיל בכיתה . להלן שיפוטית

(: 1 מספר )ר' נספח מכבדת.

.אם אינכם מבינים, שאלו שאלה

הקשיבו בתשומת לב לאחרים.

אם אינכם מסכימים, נמקו זאת.

של כל אחד.והפתרון החשיבהדרך את כבדו

http://ymath.haifa.ac.il/http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=1361:article121http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=1361:article121

__________________________________________________________________________


: דרכים לעידוד שיח מתמטי2ב.

כולות להיות מסוגים י התלמידים דיון, תגובות מובילהשיעור, כאשר המורה מלמדת או הבזמן

תרומה .תשובה של כן/לא ועד להסבר ספציפי לפתרון בו השתמש התלמידמשונים, החל

,Lampart & Cobb) םמושגיעל מוגדרת כהסבר שכולל גם חישוב וגם שיח לדיון איכותית

2003 .)

ומדגישה את ההבחנה בין את חשיבות השיח המתמטי סבירה, מWagganer, 2015)ווגנר )

הוכחה כיצד . בעוד שהצדקה היא פתרוןשהובילו ל השלבים תיאורוא הסבר ההסבר להצדקה:

ית אסטרטגימדוע נעשה שימוש בלשתף , והיא דורשתאו מדוע פתרו את הבעיה בדרך מסוימת

תה ועידוד דיון כיתה ילבניית קהילת שיח בככלליות הצעות מציגה חמש היא וימת. מס פתרון

משמעותי:

נכון/לא נכון ;בשביל ליצור שיח יעיל התגובות צריכות להתמקד לא בתשובה לקונית של כן/לא

או רק בפתרון או בפרוצדורה של הפתרון כיוון שהללו מוגבלים.

את הפעילות באופן מכוון, בצורה שתאפשר לתלמידים לחקור את תפקיד המורה הוא לתכנן

לנווט את תהליך הלמידה . עליהולהסתמך על ההבנה המושגית שלהם שלהם השגיאות

במקום מתן תשובה למה? איך? או האם תוכלו להראות לי?באמצעות העלאת שאלות כמו

אחת בלבד.

לשיח מתמטי כיתתי ועידוד השתתפות בשיח להלן יובאו דרכים שונות ליצירת קרקע פוריה

בדרכים שונות.

של לכל גיל או רמה להתאיםחשוב להבהיר שכל פעילות או רעיון שיובאו בחלק זה יכולים

המובאת הינה ספציפית )למשל מערך שיעור הכולל כפל התלמידים. כלומר, גם כאשר הדוגמ

שלו יכולים להיות מיושמים לכל נושא (, עקרונות השיעור ודרך ההעברהספרתי-בדו ספרתי-דו

תה.ילצרכי המורה והכ ולהיות מותאמים

לדון בחשיבות השיח המתמטי

כיצד יש להקשיב ולהגיב ללמד את התלמידים

להציג משפטי מפתח לשיח פורה

הסבר להצדקהבין להבחין

דוגמאות לתת


__________________________________________________________________________


יצירת מערכי שיעור שבמרכזם שיח מתמטי( 1

על מנת לערוך דיון מתמטי פורה בכיתה וכדי לאפשר שיח רב משתתפים, רצוי להתחיל את

וכדומה. לאחר הצגת יצוג סימבולי, פעילות יהשיעור עם גירוי מסוים שיכול להיות תרגיל,

מעודדת היא )לפתור, לחשוב מה זה ועוד...( ודרכו המורה מבקשת להתייחס לגירוי ,הגירוי

להלן יובאו מספר רעיונות שעובדו מתוך תרון. ה, בדרכי ההסתכלות ובדרך הפגמישות בחשיב

כלל את המדגימים שיח מתמטי משמעותי שמשתף סרטונים של שיעורי מתמטיקה קצרים

2.תהיי הכתלמיד

כוללים והם תות היסודימדגימים באופן ברור כיצד ניתן לערוך דיון מתמטי פורה בכ הסרטונים

:שיח מתמטי רב משתתפים מספר שלבים קבועים המאפשרים

מתן זמן לחשיבה עצמאית .1

. מאחר ויש ילדים החושבים מהר יותר, מומלץ הצבעה מוצנעת עם סיום החשיבה .2

פתרונות מספר/פתרוןעל להצביע קרוב לגוף ,יש פתרון לבקש מהילדים שבידם כבר

לכמה ילדים יש כבר רעיון )אחד או יותר( לפתרון, כך המורה תוכל לדעת עליהם חשבו.

. לחשוב על דרך הפתרון יותר זמןלהם הילדים שלוקח עללחץ אך לא תהיה תחושת

שתי אצבעות. כך, למשל, ילדה שחשבה על שני פתרונות, תצביע ליד גופה בעזרת

דרך זו מאפשרת מרחב שקט עבור התלמידים לחשוב על פתרון אחד או יותר, ללא

תה.יהסחת דעת מחבריהם לכ

: eaching Channel: Getting Better TogetherTהסרטונים לקוחים מתוך האתר 2

https://www.teachingchannel.org/videos?page=1&categories=subjects_%20math&load=1

הצבעה מוצנעת:

שני פתרונות פתרון אחד

http://ymath.haifa.ac.il/https://www.teachingchannel.org/videos?page=1&categories=subjects_%20math&load=1

__________________________________________________________________________


באמצעות: ל דרכי הפתרון שלהםשל הילדים ע הסברים והנמקותמתן : במליאה שיח .3

חוק )למשל קישור למושגים ידועיםחזרה של המורה על דברי הילד תוך .א

...(חילוף/הפילוג/עיגול/משוואה

.התייחסות או הסבר לדברי האחר .ב

:חשיבה בזוגות על אסטרטגיות פתרון נוספות .4

האחד מסביר לשני את דרך הפתרון שלו .א

.עורינוסף שטרם הוצג בש ביחד הם מנסים להגיע לפתרון .ב

י שעומד מאחורי האסטרטגיה תוח שיח והסברים על הרעיון המתמטיפ: במליאה שיח .5

הנוספת.

.הכוללת הסברים והנמקות כתובים משימה מסכמת המיישמת את הנלמד .6

. בנושא גמישות ומגוון אסטרטגיות לפתרון תרגיליםשיעור למערך הדוגמלהלן

"3אסטרטגיות: גמישות ומגוון מערך שיעור בנושא "שיח מתמטי

: הקניית יכולת לקיום שיח מתמטי.עודיתימטרה י

ספרתי.-ספרתי במספר דו-: כפל מספר דונושא מתמטי

: מטרות

מספר ספרתי ב-דו מספר כפלשל אסטרטגיות שונות לפתרון בעיה על חשוביהתלמיד .1

ספרתי.-דו

התלמיד יסביר את דרך הפתרון שלו. .2

מגוונות.התלמיד ייחשף לאסטרטגיות פתרון .3

התלמיד יתאר את הקשר בין דרכי פתרון שונות. .4

התלמיד יתרגל וישפר את יכולתו להשתתף בשיח מתמטי הכולל חשיבה והנמקה. .5

:קישורמערך השיעור מעובד מתוך הסרטון שנמצא ב 3

(https://www.teachingchannel.org/videos/4th-5th-grade-number-talks

http://ymath.haifa.ac.il/https://www.teachingchannel.org/videos/4th-5th-grade-number-talks

__________________________________________________________________________


זמן הסבר פעילות המורה

פתיחה:

לוח תרגיל כפל במאוזן של המורה תציג על ה

35×18 ספרתי:-ספרתי בדו-מספר דו

על דרך לפתור את ב והילדים יתבקשו לחש

התרגיל ולהצביע באופן מוצנע כאשר יש להם

. אחת פתרוןלפחות דרך

פתיחה זו נועדה לאפשר לכל ילד זמן

לחשוב על פתרון בדרך הנוחה לו.

הילדים מקבלים זמן לחשוב ומצביעים

כאשר באופן שקט ומוצנע )ליד החזה(

פתרון. אצבע אחת אסטרטגיית יש להם

, שתי תפתרון אח דרךמעידה על

ת מעידות על שתי דרכי פתרון אצבעו

שונות וכו'.

דק' 3

התנסות:

לאחר שהמורה תראה שרוב הילדים חשבו על

לתאר את פתרון היא תאפשר להם )אחד אחד(

דרכי הפתרון שלהם ותרשום כל דרך על הלוח.

לעיתים המורה תשאל שאלות על דרך הפתרון.

למשל:

?8, 10למה לחלק לשני החלקים האלה

מהתרגיל? 18 -איפה ה

באמצעות , המורה תקשר בין דרכי פתרון שונות

פתרון מה)האם זה דומה או שונה פנייה לתלמידים

הקודם?(.

מאפשר השתתפות פעילה של הרבה

והבנה הקשבה דד, מעובשיח ילדים

ומלמד דרכי פתרון מגוונות.

דק' 15

המשגה:

מושגיםתוסיף או תרחיב המורה

בכדי להציג/להבהיר/לפשט משוואות/מתמטיים

.את דרך הפתרון שהציגו התלמידים


__________________________________________________________________________


זה יתבצע במקביל ותוך כדי הסברי הילדים. שלב

הילד מסביר את דרכו והמורה חוזרת על הדרך

תוך כדי שימוש במושגים הילד שתיאר

.המתאימים

יישום:

המורה ,לאחר שיסיימו להציג דרכי פתרון שונות

תבקש להתחלק לזוגות. כל תלמיד יציג את

חבר האסטרטגיית הפתרון שלו לחברו ועל

להסביר אותה.

יציעתה תחולק לזוגות וכל זוג י: הכשנייהאפשרות

ת פתרון אחת שלדעתו היא הטובה יאסטרטגי

ביותר וינמק מדוע.

אפשרות שלישית: הכיתה תחולק לזוגות וכל זוג

ת פתרון שעדיין לא הוצגה ינסה למצוא אסטרטגיי

בכך ברמת החשיבה לעלות - המטרהבמליאה.

קרון יהע להסביר מהושעל התלמידים יהיה

רי האסטרטגיה החדשה.חוהמתמטי שעומד מא

דק' 10

סיכום:

לאחר הדיון הכיתתי במליאה התלמידים יתבקשו

הנלמד על ידי כתיבת דרכים שונות אתישם יל

ספרתי.-ספרתי בדו-כפל דושל אחר לתרגיל

התלמיד יישם את הידע שרכש

דרכי פתרון שונותבאמצעות כתיבת

.לתרגיל נתון

דק' 12


__________________________________________________________________________


מערך השיעוריישום אפשרות נוספת ל

.(18)עמוד לעיל תחילת השיעור זהה למערך המוצע

.35×18 ספרתי:-ספרתי בדו-המורה תציג על הלוח תרגיל כפל במאוזן של מספר דו

.יתבקשו לחשב את התרגיל ולהעלות על הכתב את דרך הפתרון שלהםהילדים

מדוע או "המורה עוברת בין התלמידים ושואלת אותם שאלות מסוג "איך ידעת?" בשלב זה

בחרת בדרך זו?". שאלות אלה מעודדות את התלמיד לחשוב, להסביר ולנמק את דרך הפתרון

כי הפתרון השונות של התלמידים. שלו. במהלך הזמן הזה המורה מסמנת לעצמה את דר

התלמידים שסיימו מתבקשים לנסות לפתור בדרך אחרת.

אותם היא המורה מסתובבת בין הילדים ומסמנת לה את הפתרונות ,העבודה האישיתבזמן

צה שהילדים יציגו במליאה. בשלב זה היא גם קובעת את סדר הדיבור של הילדים.ור

יציגו התלמידים, בהכוונתה של המורה, את ,הפתרון שלהם לאחר שכולם סיימו לתעד את דרך

כדי - מן המוחשי אל המופשט - דרכי הפתרון שלהם באופן מדורג, על פי אסטרטגיות החישוב

לאפשר "פיגומים" להבנת האסטרטגיות השונות לכלל התלמידים.

קשר בין המורה תחזור על דברי התלמידים תוך שימוש במושגים המתמטיים המתאימים ות

האסטרטגיות השונות.


__________________________________________________________________________


מהמוחשי אל המופשט - 35X18אסטרטגיות חישוב שונות לפתרון התרגיל דוגמאות ל

מלבן הכפל - המחשה .1

דרך הפילוג .2

כפל מאונך מפורט .3

מקוצרכפל מאונך .5 שימוש בעקרון הפיצוי .4

18

35 630

10

8

10x30=300

10x5=50

8x30=240

8x5=40

300+50+240+40=630

18x3x10=540

18x5=90

540+90=630

2x10x35=700

2X35=70

700-70=630

30x10 5x10

30x8 5x8

118:2=9 35x2=70 X

30 5

או או

18

35

5x8=40

5x10=50

30x8=240

30030x10=

40+50+240+300=630

x

9x70=630


__________________________________________________________________________


אני תוהה" , מסוג "אני שם לב תרגול רוטינת חשיבה( 2

מורים משתמשים בדרך כלל בתחילת יחידת לימוד, על מנת ליצור לרוטינת חשיבה בה הדוגמ

)על אני שם לב, אני תוההרוטינה זו מכונה: עניין, להציף ידע ולהתחיל את תהליך החקירה.

ם ולומר למה הוא תלמיד מתבקש להתבונן בגירוי מסויוכשמה כן היא: ה מספרים, על צורות(

עניין לעורר - של רוטינה זו מטרתה. אילו מחשבות זה מעלה אצלושם לב או

.לחקר הבמה את ולהכין וסקרנות

. 4"למערך שיעור המדגים את השימוש ברוטינה "אני שם לב, אני תוהה הלהלן דוגמ

מערך השיעור מעובד מתוך הסרטון שנמצא בלינק: 4

https://www.teachingchannel.org/videos/4th-grade-notice-wonder-routine

?שם לב הלמה את .1

מעלה בך? זה תהיות/שאלות אילו .2

http://ymath.haifa.ac.il/https://www.teachingchannel.org/videos/4th-grade-notice-wonder-routine

__________________________________________________________________________


"לב, אני תוהה אני שם ברוטינהשימוש ה: שיעור בנושא "שיח מתמטימערך

ם שיח מתמטי.והיכולת לקי הקניית: עודיתימטרה י

: מטרות אופרטיביות

".אני שם לב, אני תוהה...התלמיד ייחשף לרוטינת החשיבה " .1

התלמיד יבחין בפרטים בגירוי שמולו. .2

התלמיד יזהה מושגים מתמטיים הקשורים לגירוי. .3

התלמיד יעלה שאלות הקשורות לגירוי. .4

התלמיד יתרגל וישפר את יכולתו להשתתף בשיח מתמטי הכולל חשיבה והנמקה. .5

זמן הסבר פעילות המורה

פתיחה:

המורה תראה מתווך ויזואלי )גירוי( מסוים לילדים

ותבקש להתבונן בו. הגירוי יכול להיות איור הכולל

צבועה, סדרה שברים, צורה גיאומטרית שחלקה

מתמטית מסוימת וכדומה...

מה מהות הדבר שהם לחשוב היא תבקש מהתלמידים

מתבוננים בו באמצעות שאילת השאלות:

מעלה בך? זה תהיות/שאלות אילו ?למה אתה שם לב

פעילות פתיחה זו תזמן שיח עם

התלמידים ותבדוק באמצעות המתווך

את הידע ואוצר המילים של הויזואלי

התלמידים. הפתיחה מסקרנת ומעוררת

עניין.

דק' 3

:דוגמה לגירוי

נדלה מתוך:

routine-wonder-notice-grade-https://www.teachingchannel.org/videos/4th

http://ymath.haifa.ac.il/https://www.teachingchannel.org/videos/4th-grade-notice-wonder-routine

__________________________________________________________________________


התנסות:

המורה תחלק את הלוח לשניים:

בחלק אחד תכתוב: אני שם לב ש... בחלק השני

תכתוב: אני תוהה...

:כעת ניתן לעשות אחד מהשניים

לשאול ולתהותהמורה תבקש מהתלמידים .1

בכתב במחברת אודות האובייקט או הנושא. בזמן

ביניהםהמורה מסתובבת ,שהילדים כותבים

ובודקת מה הם כותבים.

התלמידים יתבקשו לחשוב בשקט ולהצביע .2

)באופן מוצנע( כאשר יש להם רעיון אחד או יותר

לשתף בו.

לאחר שהמורה תראה שרוב הילדים חשבו על פתרון

לתאר מה הם רואים או היא תאפשר להם )אחד אחד(

לשאול דבר מה עליו הם תוהים, ותרשום על הלוח

במקום המתאים.

לגבות את הפרשנות שלהם המורה תעודד תלמידים

בנימוקים.

מאפשר השתתפות פעילה של הרבה

והבנה הקשבה דד, מעובשיח ילדים

ומלמד דרכי פתרון מגוונות.

"אני לתשובות אפשריות לעמודת הדוגמ

:"רואה

לוח שברים מבולבל

הרבה צבעים

לתשובות אפשריות עמודת "אני הדוגמ

תוהה":

?למה הלוח לא שלם

?מה משמעות הצבעים

דק' 17

המשגה:

איזה שם למשל: ) המורה תהפוך את דבריהם למושגים

או תרחיב את השיח עם היית נותנת לחלק הזה?(

(.איך אפשר להוכיח זאת? )למשל: שאלות פתוחות

דק' 10

יישום:

אתלאחר הדיון הכיתתי במליאה על התלמידים ליישם

הנלמד על ידי תרגול רוטינת החשיבה מסוג "אני שם

לב, אני תוהה" עם גירוי אחר.

ליצור קבוצות עבודה שיבדקו את אחת השאלות ניתן

ויעלו השערות שונות לגבי התשובות שהועלו במליאה

האפשריות.

שרכש על דרכי התלמיד יישם את הידע

פתרון שונות. יש חשיבות למתן פעילות

שתבדוק את הפנמת הידע.

דק' 10


__________________________________________________________________________


פתוחות משימותשימוש ב( 3

פתוחות: משימות עם מספר רב של דרכי פתרון, משימות עם משימותקיימים מספר סוגים של

בטוחה ליצירת יוצרות קרקע משימות אלה . מספר רב של תשובות, משימות חקר, משימות מיון

תה.ירוטינות ונורמות לשיח מתמטי בכ

לתלמידים שימוש במגוון אסטרטגיות מאפשרת ות פתוחותמשימשל שימוש ב פרקטיקה זו

פתרונות מסוגים שונים.והצעת

רמות שונות של תלמידים לפעול בלמתן אפשרות אחת החוזקות של משימה פתוחה היא

לחשיבה לתרום ו בשיח המתמטי תברמה זו או אחרלהשתתף כל תלמיד יכול כך, . הבנה

היכולות המתמטיות שלהם. תלמידים הופכים בטוחים יותר לגביהבאופן זה תה. יהמתמטית בכ

Hodge & Walther (2017 ) משימות פתוחותהפיכת משימות קיימות לל רעיונותכמה ציינו

:יותר

יותר טיפים ליצירת משימות פתוחות

לתלמידים בחירהלאפשר

להסיר משאלות קטעים שמעודדים יותר מדי תיווך והנחייה

לבקש יותר מפתרון אחד

לבקש נימוק לפתרון

לעודד שימוש באיורים לפתרון

להציג בעיות עם קונטקסט מציאותי ורלוונטי


__________________________________________________________________________


לשנות את השאלה בספרי הלימוד ישנן שאלות רבות שלהן פתרון אחד. עם קצת חשיבה ניתן

לשינוי שאלה משאלה הדוגמלהלן .מספר אסטרטגיות לפתרוןמספר פתרונות או שתאפשר כך

סגורה לפתוחה:

שאלה סגורה:

מטר. 6מטר ורוחבה 12מצאו את השטח וההיקף של חצר שאורכה

שאלה פתוחה:

לתחום המיועדים גדר של מטרים 36 להם יש. שוקו לכלב בטוח מרחב לבנות רוצה כרמי משפחת

.ולרוץ לשחק יוכל שוקו בו השטח את

. היקפם ואת שטחם את וחשבו הגדר עם ליצור שניתן שונים מלבניים מרחבים שלושה הציעו.א

. היקפם ואת שטחם את וחשבו הגדר עם ליצור שניתן שונים סגורים מרחבים שלושה הציעו.ב

מכל יותר גדול ששטחו ,הגדר עם ליצור ניתן אותו נוסף סגור מרחב על לחשוב תוכלו האם.ג

?כה עד שמצאתם השטחים

?הגדר עם ליצור ניתן אשר ביותר הגדול השטח בעל הסגור המרחב מהו.ד

מכך להתרשם יכולים התלמידים, ב׳ בסעיף. מלבניים למרחבים הגבלה אין ד׳-ו ג׳, ב׳ בסעיפים :הערה

. שטח של פונקציה בהכרח לא הוא שהיקף כלומר, שונה שטח להיות יכול היקף אותו עם שלמלבנים

עם ריבוע הוא המקסימלי השטח עם המלבני שהמרחב להצדיק ולנסות לנחש עשויים תלמידים, בנוסף

.עיגול הוא ליצור ניתן אותו ביותר הגדול השטח בעל הסגור המרחב ד׳ בסעיף. מטר 9 צלע אורך


__________________________________________________________________________


והדהוד/השוואה-זוג-חשיבה: שימוש בפרקטיקה( 4

מעבר לשיתוף מתמטי פרקטיקה זו יוצרת הזדמנות להבין מה המשמעות של שיח

באסטרטגיות. היא מאפשרת למורה להסתובב בין הקבוצות, לתווך וגם להעריך הבנה של שיח

כוללת שלושה שלבים:הפרקטיקה מתמטי אצל כל אחד מהתלמידים.

לשימוש בפרקטיקה זו. הדוגמ נמצאת (20 עמודקודם )שהוצג בנושא הכפל במערך השיעור

מתמטי בזוגותשלושה שלבים של קיום שיח

לבקש לחשוב ולכתוב את הפתרון/המחשבות/השאלות שעולים. - חשיבה

שיתוף מתודת הפתרון עם השותף. המטרה היא להבין מה אומר השותף. - זוג

לחזור על דברי השותף או למצוא את הדומה/השונה בין שני הפתרונות - הדהוד/השוואה.


__________________________________________________________________________


הצעת דרכים שונות להשתתפות בשיח( 5

-יוזמה :(IRE (initiation-response-evaluationבדיון כיתתי יש להיזהר משיח מסוג של

ספציפי, מתרכז תלמיד(. בתבנית זו המורה מדבר עם Mehan, 1979הערכה )-תגובה

בתשובת התלמיד, בלי לבקש נימוק או הסבר לפתרון שלו, או לדרך החשיבה ואז מעריך את

באיור הבא: הכמו הדוגמ תשובתו )נכון/לא נכון(.

איירה: שירה סילוני

אחד הדברים החשובים הוא לבנות הבנה של תפקיד התלמיד בשיח המתמטי. מומלץ להציע

כלליות האלוההשתתפות רוטינות. המוצגות כהנחיות השתתפותרוטינות שלושלתלמידים

:(Hodge & Walther, 2017) מספיק כדי לאפשר לכל תלמיד לתרום לשיח

תשאל על מה ששמעת.א

ששמעת תחזור במילים שלך על מה.ב

תוסיף על מה ששמעת.ג

1 2

3

4


__________________________________________________________________________


העלאת שאלות לעידוד שיח( 6

( מפרטת ומדגימה פרופ' וולטר, (Baxter, 2005 מריון וולטרפרופ' עםג'יל בקסר בראיון של

שיטות לעידודמציגה יתרונות של העלאת שאלות ואת ה ,בעלת שם עולמי בחינוך מתמטי

ל התלמידיםשאלות מעודדת את הסקרנות שהעלאת וולטר טוענת כי ות.העלאת שאל

לשאלות מסקרנות. ומסבירה כיצד ניתן לכוון

ים, בהעלאת שאלות על ידי התבוננות בנקודת פתיחה, לדוגמה, תרשלהתחיל מציעה היא

לדוגמה קודם.בדומה למה שהצגנו ,שצצותשאלות ולבדוק מהן ה יאור מצב, משוואה, או היגדת

(p.2,Baxter, 2005:)

נקודת פתיחה להעלאת שאלותאך האיור מהווה 3+5השאלה המתבקשת היא אולי ?=

: , כמועלוהשהילדים

כמה רגליים?

?אם כל האנשים יבואו ולכולם יהיו תינוקות, כמה הם יהיו

ח?מה כסאות ניתן להכניס ברווכ

?שארו ריקיםישה ילדים, כמה כסאות ייאם יבואו ש

ים?הפוכ 4האם הם מספרי

להוביל לדיון אודות הרעיונות יכולה ,נראית לא רלוונטיתשלכאורה כמו זו האחרונה, גם שאלה

יותר. למשל: מתוחכמותעם הזמן השאלות הופכות הגיאומטריים של סיבוב ושיקוף.

?האם ניתן לסדר את הכיסאות בדרך אחרת

?ם עורמים אותם בערימות של שניים, כמה ערמות יהיוא


__________________________________________________________________________


יכולת לייצר את ה וכך תפתח ותעודד לתלמידים כיצד לשאול שאלות שהמורה תדגיםכדאי

הצגת הגירוי:, הלדוגמ .שאלות בעצמם

לחלק את הריבוע "האם אפשרניתן לשאול "איזה חלק מהריבוע צבוע?" במקום לשאול

.בדרך אחרת?" לארבעה חלקים

שיח פתוח עם התלמידים:העוזרות לשמור על שאלותמגוון ל הדוגמ

האם אפשר לעשות זאת בדרך אחרת?

זה תמיד נכון האם?

איך אפשר לדעת אם מצאנו את כולם?

י?האם ניתן להסתכל על זה באופן גיאומטר

עלאת שאלות יכולה להוביל את הילדים לחקירה ולהבנה טובה יותר של רעיונות מתמטיים ה

בעלי תלמידים גם חשובים. תלמידים יכולים לחזק את התובנה וההבנה שלהם לתוכן מתמטי.

מאסטרטגיה זו כיוון ייהנו הנכונה""תשובה האי ידיעת חרדים מאולי ש רתיעה ממתמטיקה

תלמידים נעשים מעורבים נכונה. בנוסף, אחת תשובהתפחת כאשר לא תהיה רדה שלהם שהח

בעיות מספר הלימוד. המוטיבציה לפתור על המוטיבציה לפתרון השאלה "שלהם" עולהיותר ו

יכולה להעיד על רמת ההבנה שלהם ובכך כמו כן, סוג ורמת השאלות שתלמידים מעלים

לאפשר למורה כלי הערכה.


__________________________________________________________________________


לסייע למורה שנועדו( מהלכי שיח מחויב 7

ותורם להעשרתו. ןהשימוש במהלכי הדיבור המחויב מעודד את התלמידים להשתתף יותר בדיו

מהלכי שיח מחויב בה מוצגים ו (2017מהלכי הדיבור )וינגרדן, הטבלה הבאה מסכמת את

להרחיב ולהבהיר לשתףלעזור לתלמיד בארבע מטרות שונות: לסייע למורהאפשריים הבאים

לעזור לתלמיד להעמיק את החשיבה שלור, לעזור לתלמיד להקשיב לדברי האח, את חשיבתו

.לעזור לתלמיד לחשוב יחד עם אחריםו

בועדו לסייע למורה לקיים שיח מחוי: סיכום מהלכי הדיבור שנ3טבלה מספר

(Michaels & O’Connor, 2015; Resnick, Michaels & O’Connor, 2010)

דוגמאות רוש הקטגוריהיפ הקטגוריה המטרה

לעזור לתלמיד

להרחיב ,לשתף

ולהבהיר את

חשיבתו

להרחיב

Say more

המורה יבקש מתלמיד להרחיב

העלה.שאת הרעיון

"אתה יכול להגיד עוד על זה?"

שאתה אומר...?"כ"מה אתה מתכוון

לאמת

Revoice

המורה חוזר על רעיון שתלמיד

הזדמנות לאמת לו העלה ונותן

.דבריואת

"אתה בעצם אומר ש....?"

"אז אם הבנתי נכון....?"

"לפי מה שאמרת עכשיו....?"


להקשיב לאחר

לחזור

Restate

המורה יבקש מתלמיד ב' לחזור

על הרעיון של תלמיד א'.

"... תחזור בבקשה על מה שהוא אמר"

"מישהו יכול להגיד מה הוא אמר במילים אחרות?"


להעמיק את

החשיבה שלו

לנמק

Press for

reasoning

המורה יבקש מהתלמיד

דרך חשיבתו. להסביר את

"למה זה נכון?"

"איך הגעת לזה?"

חושב ככה?" ה"למה את

לאתגר

Challenge

המורה ייתן לתלמיד אתגר או

נגדית. הדוגמ

"זה תמיד נכון?"

"איך זה מסתדר עם...?"


לחשוב יחד עם

אחרים

להסכים

Agree / disagree

רה יבקש מתלמיד ב' ליישם המו

עם דרך תואת דרך חשיב

החשיבה של תלמיד א'.

"אתה מסכים עם...?... למה?"

"מישהו רוצה להגיב על הרעיון של...?"

להוסיף

Add on

המורה יבקש מתלמיד ב'

להרחיב את דבריו של תלמיד

א'.

"מי יכול להוסיף על דבריו של...?"

"מישהו יכול לקחת את הרעיון של... צעד אחד

קדימה?"

להסביר

Explain other

המורה יבקש מתלמיד א'

להסביר מה תלמיד ב' אמר.

"מי יכול להסביר למה התכוון... כשאמר את זה?"

"מי יכול להסביר במילים שלו למה... עשה ככה?"

לגוון

Soliciting

additional

viewpoints

המורה יבקש מתלמיד ב' את

נקודת מבטו על השאלה שעליה

ענה תלמיד א'.

"האם יש למישהו רעיון אחר?"


__________________________________________________________________________


ת המעודדות שיח מתמטייודוגמאות לפעילו (8

הלדוגמ. צורות בהן יש דיאלוג בין מספרים / הכנת קריקטורות:

ציירה: גילי אילון

נות של צורות או מספרים. וקריקטורות כאלה דורשות התייחסות הומוריסטית לתכ

ניתן לשוחח עליהן תוך דגש על המשגה. ,לאחר שהתלמידים יוצרים קריקטורות

בנושא מסוים. ילדיםבין ויכוחבהן יש הכנת קריקטורות

קריקטורות מסוג זה יכולות לחדד עבור הילדים מושגים או תכונות מסוימות של עצמים

בעת הכנת הקריקטורות מתבצעת פעילות עצם החשיבה והשימוש בהם.ממתמטיים

ידי הילדים -הצגה של הקריקטורות בכיתה על .חשיבה על חשיבה -קוגניטיבית -המט

פתח לדיון. הוותיכולה ל

שליש יותר גדול

יותר 3מחצי כי

!גדול משתיים

מה פתאום??

שליש קטן

מחצי!

איירה: שירה סילוני


__________________________________________________________________________


שיח מתמטי בנושא גמאות למשחקיםדו( 9

( מופיע /http://ymath.haifa.ac.ilארצי למתמטיקה בחינוך היסודי )המורים הבאתר מרכז

פעילויות מצגות בתחום זה מכנסים שונים, דרך מחומר נוסף בנושא של שיח מתמטי, החל

להלן כמה המעודדות שיח מתמטי, חשיבה והנמקה ועד משחקים שיכולים לעודד זאת.

:למשחקים מתמטיים בנושאים שונים שיכולים להוביל ולעודד שיח מתמטי כיתתי דוגמאות

יםתולים שבר

אסטרטגיות שונות להשוואת שברים להעלות השמטרת שברים השוואתבנושא פעילות

מדומים ומספרים מעורבים על חבל ,בפעילות זו מסדרים התלמידים שברים פשוטים ורם.וסיד

הפעילות מתחילה בפעילות אישית בדף התלמיד. אחר כך אותה פעילות נעשית כביסה.

ורך הכיתה ותליית כרטיסיות עם מספרים על במליאה בצורה מוחשית על ידי מתיחת חבל לא

הפעילות בפורום הכיתתי חשובה לניהול השיח הכיתתי סביב אסטרטגיות ההשוואה החבל.

.(NCTM -מקור: תורגם ועובד מתוך פעילות מהאתר של ה) השונות.

.קישור לפעילות

כרטיסי הצהרות לקידום חשיבה מתמטית, הסברים והנמקות

בפעילות זו, על התלמיד לבחון הצהרה מתמטית ולהחליט האם הצהרה זו תמיד נכונה, לעיתים

לאחר שגיבש את החלטתו עליו להציג את ההצהרה בפני יתר ונה.נכונה או תמיד לא נכ

יכולת ההנמקה וההסבר מהווה התלמידים בקבוצה ולהסביר להם את מסקנתו.

חלק חשוב ומשמעותי בתהליך החינוך המתמטי בבית הספר היסודי. הפעילות

"כרטיסי הצהרות" מסייעת בביסוס ההבנה ובעידוד וקידום השימוש בהסברים

קות, לצורך הבהרה של היגדים מתחומי המתמטיקה השונים.והנמ

.מתמטיים ונושאים יכולות, גילאים לטווח ורמתן ההצהרות נושאי את להתאים ניתן

.אחרים כרטיסים להכנת ריקה ותבנית, הצהרה לכרטיסי דוגמאות מצורפות לפעילות

.לפעילות קישור

בחנות הצעצועים

פעילות לוח קיר של התאמת מחירים לצעצועים המלווה בנימוקים מילוליים. הפעילות דורשת

פעילות מלווה בדפים למורה ה והכללה.חישובים, אומדן, התייחסות לזוגי ואי זוגי, הנמקה

המסבירים כיצד ניתן לעודד שיח מתמטי.

.לפעילות קישור

http://ymath.haifa.ac.il/http://ymath.haifa.ac.il/http://www.nctm.org/http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=5:opening123http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=1297:opening125http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=1320:toystore

__________________________________________________________________________


דוגמאות למאמרים בנושא שיח מתמטי( 10

( נמצאים /http://ymath.haifa.ac.ilהיסודי )באתר מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך

העוסקים בנושא שיח מתמטי והנמקה. מתורגמיםמאמרים

להלן כמה דוגמאות:

מתמטיקה בגן הילדים

דן בהוראת המתמטיקה בגן הילדים תוך הצגת הצורך בכך והתייחסות לתפקיד הגננת. המאמר

דוגמאות לשילוב סביבה המעודדת חקירות מתמטיות, תצפיות והתערבויות מתאימות, מובאות

מתמטי וידע -שמסייעות לילדים בגיל הגן לבנות ידע קדם , ופעילויות מתמטיות ספציפיות

.מתמטי מפורש

Mathematics in the Preschool / Douglas H. Clements

Teaching Children Mathematics, Vol. 7, No. 5, January 2001, pp. 270-275מתוך:

.תרגום: ברכה סגליס

.קישור למאמר

יצירת קהילות של שיחה מתמטית

בה יש להם המאמר מדגיש את החשיבות של עיסוק התלמידים בשיחה מתמטית משמעותית,

את ההבנה המושגית שלהם ולהעמיק את ידע התוכן המתמטי, תוך דגש רחיבהזדמנות לה

המאמר מציג חמש אסטרטגיות לעידוד שיחה הסבר דבריהם להצדקתם. ל ההבדל ביןע

מתמטית משמעותית בכיתה, המאפשרת לתלמידים לבנות טיעונים תקפים, להצדיק את

ובנוסף, להעביר ביקורת על ההנמקות של האחרים.הנמקותיהם ולתקשר אותן לאחרים

Creating Math Talk Communities/ Erin L. Wagganer

Teaching Children Mathematics, Vol. 22, No. 4, November 2015מתוך:

.תרגום: ד"ר מיכל סוקניק


http://ymath.haifa.ac.il/http://ymath.haifa.ac.il/http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=1444:article59http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=1491:article114

__________________________________________________________________________


אחד, כמה, או אף אחד: היופי שבאי הבהירות

המאמר מציג משחק המהווה פתרון לסוגיה כיצד לטפל במשקל היתר שיש לחשיבה מתכנסת

הלימודים במתמטיקה. הרעיון שלבעיה יכולים להיות מספר פתרונות, או אף ברוב תוכנית

פתרון, זר לתלמידים רבים, ומביא לתגובה מותנית המפחיתה בחשיבותה של ההנמקה.

One, Some, or None: Finding Beauty in Ambiguity/ Robert M. Berkman

-Mathematics Teaching in the Middle School, Vol.11 No.7, March. 2006, pp.324מתוך:

327.

.תרגום: ברכה סגליס


שיחה המקדמת הבנה מושגית

מאמר זה מציג נקודות חשובות ממחקר המדגים מהי המשמעות של "ללחוץ" על התלמידים

לחשוב באופן מושגי על מתמטיקה, כלומר, לדרוש חשיבה המצדיקה פרוצדורות, במקום

המידה שבה עשרים ושלוש מורות של ל הפרוצדורות עצמן. מחקר זה בדק אתעמשפטים

כו בלמידה והבנה בזמן דיונים של הכיתה כולה ושל הכיתות הגבוהות של ביה"ס היסודי, תמ

קבוצות קטנות.

Discourse that Promotes Conceptual Understanding/ Elham Kazemi

.Teaching Children Mathematics, March 1998מתוך:

.תרגום: ד"ר מיכל סוקניק


http://ymath.haifa.ac.il/http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=1493:article79http://ymath.haifa.ac.il/index.php?option=com_k2&view=item&id=1302:article1

__________________________________________________________________________


: סביבות למידה המעודדות שיח3ב.

פוסטרים

או כרטיסי ניווט נגישים הכוללים כללים/תנאים/דרכים תהילתלייה בכ מומלץ ליצור פוסטרים

לשימוש בשיח.

.2מספר בנספח דוגמאות לפוסטרים מסוג זה ניתן למצוא

השתתפות בשיח - דפי רפלקציה לתלמידים

תה היא יהמתמטי בכ הרוטינה של השתתפות בשיחועידוד דרך נוספת, קלה ויעילה, לפיתוח

בשיח השתתפותו הכנסת פעילות קבועה לשיעורים שכוללת רפלקציה של התלמיד על

אופןהכיתתי. כאשר התלמידים משלבים את הרפלקציה על השתתפותם בשיח בכל שיעור,

. בתום כל שיעור, כל תלמיד ממלא טבלה ואף מתועד רצוי ,הופך מודעההשתתפות בשיח

עליו לסמן ההכוללת משפטים כמו: שאלתי שאלה, הוספתי לתשובה של אחר וכדומה. בטבל

יעור הנוכחי. אם המשפט נכון לגביו בש

למישהו יש האם

רעיון דומה?

למישהו יש

הוסיף?למשהו

מה אתם

חושבים?

מישהו הבין ויכול לעזור

לי להסביר את מה שאני

רוצה להגיד?

מישהו יכול לעזור

לי עם דוגמאות?

הדרך כיצד

פתרתי שבה השונ/דומה

?שלך מהדרך

האם יש מישהו שלא

מסכים עם מה

שאמרתי?


__________________________________________________________________________


:הלהלן דוגמ

השתתפותי בשיח המתמטי

_________ תאריך:

השתתפתי בשיח עמיתים

שאלתי שאלה

עניתי על שאלה

בקשתי ממישהו לחזור על דבר מה שאמר

חזרתי )הדהדתי( על דבריו של מישהו אחר

לדברי המורה או תלמיד אחר הנתתי דוגמ

שלי הסברתי את דרך הפתרון

הבעתי הסכמה או התנגדות עם תשובה של תלמיד אחר

הוספתי לתשובה של אחר

אחר:

.3 בנספח מספרכנות להדפסה ניתן למצוא ורפלקציות מ


__________________________________________________________________________


לפגישות עם צוותי מורים / משימות להשתלמותחלק ג:

שינוי שאלה קיימת לפתוחה המאפשרת את אחת הטכניקות:

בדיון דעהצפייה משותפת באחד השיעורים המוסרטים שהוצגו באוגדן זה והבעת

דיון בשאלות כמו: האם בסרטון מתקיים דיון שכולל את כל התלמידים? האם .בהשתלמות

מתקיים בו שיח מתמטי פורה )על פי מה שהוגדר באוגדן כשיח מתמטי משמעותי(?

פי -פי מאפייני השיח )על-הצגת סרטון או תסריט כתוב כלשהו וניתוח הסיטואציה על

)על פי רגב ושמעוני(.התיאוריה הקומוגניטיבית( או סוגי השיח השונים

עבודה עצמית למורים, מיני מחקר עצמי לבדיקת השיעור שהם מעבירים מבחינת

פי ספרד )ארבעת מאפייני השיח( או רגב ושמעוני )סוגי -השימושים במונחים השונים על

יהיה על . לאחר מכןשיח שונים(: כל מורה יתבקש לצלם עשר דקות משיעור שהוא מעביר

ולנתח אותו על פי מאפייני השיח ו/או סוגי השיח הנכללים סרטון השיעורלהתבונן ב המורה

סרטונים אלו וניתוחם ניתן להציג כחלק משיח פדגוגי מקצועי בהשתלמות או כבסיס בו.

לדיון של הצוות המתמטי הבית ספרי.

לדון בטעויות בל ציון נמוך. על הקבוצה יעבודה בקבוצות: לקבוצה יינתן מבחן של תלמיד שק

ולחשוב מהי ,לנסות להבין את מקור הטעות, להבין מה הוא יודע ומה לא - של התלמיד

עבודה זו תהווה הכנה לעבודה קבוצתית דומה שיכולה דרך העבודה שתקדם אותו.

תתו. ילהתקיים בשיעור שהמורה יעביר לאחר מכן בכ

די כתיבת מערך שיעור שמיישם תרגול אחת מהפרקטיקות )או יותר( המובאות באוגדן על י

את הפרקטיקה הנבחרת.

משימה לפתוחה יותר:דרכים להפיכת

לספק לתלמיד אפשרויות.1

להסיר קטעים שמעודדים יותר מדיי תיווך והנחיה.2

לבקש יותר מפתרון אחד.3

לבקש נימוק לפתרון.4

יות עם קונטקסט מציאותי ורלוונטילהציג בע.5


__________________________________________________________________________


ביבליוגרפיה

תזה עבודת. חקירה מעודדת מתמטיקה להוראת מורים הכשרת(. 2017. )מ, וינגרדן .

.חיפה, לישראל טכנולוגי מכון - טכניון, וטכנולוגיה למדע לחינוך הפקולטה

.מאפייני השיח המתמטי הכיתתי של סטודנטיות להוראה: (. 2014ונחליאלי, ט. ) ,טבח, מ

.67-43, 6, הכשרת מורים. 'המקרה של הקורס 'פונקציות וגרפים

,.71, זמנים (. למידה דיאלוגית וזהות לאומית מתהווה.2000נווה, א. )ו יוגב, א .

( .מספרים מדיבורים: כיצד ילדים קטנים יוצרים מספרים בתוך (. 2016לביא, ע., וספרד, א

.68-22, 4, בחינוך מתמטיעיונים . שיח

ו בכל -כיתות אל במתמטיקה לימודים תכנית(. 2006) והספורט התרבות ,החינוך משרד

המזכירות הפדגוגית, האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים. .המגזרים

עורכות(. גיליון ולמידה בראי הגישה התקשורתיתהוראה (. 2016) .וטבח, מ ,.נחליאלי, ט(

.4, מחקר ועיון בחינוך מתמטימיוחד,

.35-43, 34 על"ה. שיח אחד או יותר –השיחה המתמטית (. 2005ושמעוני, ש. ) ,רגב, ח.

Alexander, R.J. (2008). Essays on Pedagogy. Routledge, especially pp 72-172 and 184-191.

Alexander, R.J. (2017). Towards Dialogic Teaching: rethinking classroom

talk (5th edition), Dialogos.

Baxter, J. A (2005). Some Reflections on Problem Posing - A Conversation

with Marion Walter. Teaching Children Mathematics, Vol. 12 No. 3, pp. 122-

128.

Cazden, C. B., & Beck, S. W. (1986). Classroom discourse. Handbook of

Research on Teaching, 3, 432–463.

Clarke, S., Chen, G., Stainton, C., & Katz, S. (2013). The impact of CSCL

beyond the online environment. Proceedings of Computer Supported

Collaborative Learning.

Common Core State Standards for Mathematics (CCSSM). (2010).

Washington, DC: The National Governors Association Center for Best

Practices and Council of Chief State School Officers.

http://www.corestandards.org/wp-content/uploads/Math_Standards1.pdf

http://ymath.haifa.ac.il/http://www.achva.ac.il/sites/default/files/achvafiles/maof_book/%20%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%97%20%D7%94%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%20%D7%94%D7%9B%D7%99%D7%AA%D7%AA%D7%99-%20%D7%93%D7%A8%20%D7%9E%D7%99%D7%9B%D7%9C%20%D7%98%D7%91%D7%97_%20%D7%93%D7%A8%20%D7%98%D7%9C%D7%99%20%D7%A0%D7%97%D7%9C%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99.pdfhttp://www.achva.ac.il/sites/default/files/achvafiles/maof_book/%20%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%97%20%D7%94%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%20%D7%94%D7%9B%D7%99%D7%AA%D7%AA%D7%99-%20%D7%93%D7%A8%20%D7%9E%D7%99%D7%9B%D7%9C%20%D7%98%D7%91%D7%97_%20%D7%93%D7%A8%20%D7%98%D7%9C%D7%99%20%D7%A0%D7%97%D7%9C%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99.pdfhttp://www.achva.ac.il/sites/default/files/achvafiles/maof_book/%20%D7%94%D7%A9%D7%99%D7%97%20%D7%94%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%20%D7%94%D7%9B%D7%99%D7%AA%D7%AA%D7%99-%20%D7%93%D7%A8%20%D7%9E%D7%99%D7%9B%D7%9C%20%D7%98%D7%91%D7%97_%20%D7%93%D7%A8%20%D7%98%D7%9C%D7%99%20%D7%A0%D7%97%D7%9C%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99.pdfhttp://www.shaanan.ac.il/wp-content/uploads/2016/11/%D7%A2%D7%A6%D7%9E%D7%99%D7%9D-%D7%9E%D7%93%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D.pdfhttp://www.shaanan.ac.il/wp-content/uploads/2016/11/%D7%A2%D7%A6%D7%9E%D7%99%D7%9D-%D7%9E%D7%93%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D.pdfhttp://www.shaanan.ac.il/wp-content/uploads/2016/11/%D7%A2%D7%A6%D7%9E%D7%99%D7%9D-%D7%9E%D7%93%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D.pdfhttp://www.shaanan.ac.il/?page_id=24077http://highmath.haifa.ac.il/data/alim27_38/ale34-pdf/ale34-8.pdfhttp://www.corestandards.org/wp-content/uploads/Math_Standards1.pdf

__________________________________________________________________________


Goodwi

ידוסיה ךוניחב הקיטמתמל יצרא םירומ...

Documents