凱雷-漢米爾頓原理.pdf
TRANSCRIPT
1
凱雷凱雷凱雷凱雷----漢米爾頓原理漢米爾頓原理漢米爾頓原理漢米爾頓原理(Cayley-Hamilton theorem)
在工程分析中，當建構系統數學模式時，經常會利用到凱雷-漢米爾頓原
理，底下開始進行此原理之推導，以及相關性質之說明。
為了推導凱雷-漢米爾頓原理，必須利用到方陣的特徵方程式，令 A為 n×n
的方陣，則它的特徵多項式(characteristic polynomial)為
( ) 012
22
21
1 aaaaap nn
nn
n ++++++=−= −−
−− λλλλλλλ LAI (1)
且特徵方程式為
( ) 0012
22
21
1 =++++++= −−
−− aaaaap n
nn
nn λλλλλλ L (2)
令此方程式的 n個根為λi，i=1,2,…,n，這些根也稱為矩陣的特徵值，它們可能是
實數，也可能是共軛複數，進一步將(1)表為
( )
( )( ) ( ) ( )∏=
−−
−−
−=−−−=
++++++=n
iin
nn
nn
n aaaaap
121
012
22
21
1
λλλλλλλλ
λλλλλλ
L
L
(3)
再定義
( ) iiq λλλ −= (4)
則(3)可改寫為
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∏=
==n
iin qqqqp
121 λλλλλ L (5)
由於多項式的乘法適合交換率，因此(5)也可表為
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )λλλλλλλλ k
n
kii
iknkk qqqqqqqp
== ∏≠=
+−1
111 LL (6)
根據(1)與(4)的表示式，將其中的λ以 A取代，定義兩個新的矩陣如下：
( ) IAAAAAAP 012
22
21
1 aaaaa nn
nn
n ++++++= −−
−− L (7)
( ) IAAQ ii λ−= (8)
顯然地，P(A)與 Qi(A)兩者都是 n×n的方陣，而且比照(2)與(5)可得
2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )AQAQ
AQAQAQAQAQ
AQAQAQAP
i
n
ikk
k
inii
n
⋅=
==
∏≠=
+−
1
111
21
LL
L
(9)
此式中的連乘積 ( ) ( ) ( )AQAQAQ nL21 也適合交換律。
根據線性代數中的凱雷-漢米爾頓原理，當 n×n的方陣 A具有(2)的特徵方程
式 p(λ)時，則下式必須成立：
( ) nnn
nn aaaa ×
−− =+++++= 0IAAAAAP 01
22
11 L (10)
接著說明此凱雷-漢米爾頓原理，令方陣 A的特徵值λi所對應的特徵向量為 vi，
則根據特徵向量的定義可知
iii vAv λ= (11)
亦即
( ) 1×==− niiii 0vQvIA λ (12)
由此式可知，若不限制特徵向量的長度||vi||，則特徵向量可以有無限多個，通常
為了避免困擾，都將所選定的特徵向量長度設定為||vi||=1，底下列出一些與特徵
向量相關的性質：
[性質 1] n階方陣 A共有 n個特徵值λi，i=1,2,…,n，有些特徵值可能相同
[性質 2] 每個特徵值λi至少存在一個特徵向量 vi
[性質 3] 當特徵值不相同時，則分別對應的特徵向量必須獨立
[性質 4] 當 n個特徵值都不相同時，則存在 n個兩兩相互獨立的特徵向量
其中[性質 1]表明特徵方程式(2)的根可能為重根；[性質 2]表明每個特徵值λi，不
論是否為重根，至少都必須存在一個相對應的特徵向量 vi，滿足 1×= nii 0vQ ；至
於[性質 3]則表明當λi≠λj時，兩特徵值所對應的特徵向量 vi與 vj必須獨立；再由[性
質 4]可知，當 n個特徵值λi，i=1,2,…,n，都不相同時，則所對應的 n個特徵向量
vi，i=1,2,…,n，必須兩兩相互獨立，在此情況下，若將所有的特徵向量組合成特
徵向量矩陣
3
[ ]nvvvV L21= (13)
則 V是個全秩(full rank)矩陣，故存在反矩陣 1−V 。利用(6)至(8)可得
( )
( ) ( )AQAQ
IAAAAAP
i
n
ikk
k
nn
nn
n aaaa
⋅=
+++++=
∏≠=
−−
−−
1
012
21
1
L
(14)
此式乘上 vi後，由(12)可知
( ) ( ) ( ) 11
×
≠=
=
= ∏ nii
n
ikk
ki 0vAQAQvAP (15)
故
( )[ ] ( ) nnn ×== 0VAPvvvAP L21 (16)
由於存在反矩陣 1−V ，所以
( ) nnnn ×−
× =⋅= 0V0AP 1 (17)
亦即滿足(10)之凱雷-漢米爾頓原理。不過，以上只說明了在 n個特徵值都不相同
的情況下，當有相同之特徵值時，則必須再進一步探討。事實上，當方陣具有相
同的特徵值時，凱雷-漢米爾頓原理仍然成立，可是因為情況較為複雜，在此不
再說明，有興趣者請自行參考線性代數相關之書籍。
由以上之分析可知，不論方陣 A是否具有相同的特徵值，都必須滿足凱雷-
漢米爾頓原理。底下以一個三階矩陣為範例，考慮
−−−−−−
=242
654
031
A (18)
則特徵方程式為
( ) ( ) 021254
242
654
031
223 =++=+++=
−−+
+=−
λλλλλ
λλ
λλ AI
(19)
4
顯然地，有兩個相同的特徵值λ1=λ2=−1，不過，凱雷-漢米爾頓原理仍然必須成立，
即
( )( ) ( )
33
2
2
23
442
634
031
342
644
030
2
254
×=
−−−−−
−−−−−
=
++=
+++=
0
IAIA
IAAAAP
(20)
故驗證無誤。事實上，以上之過程也可以直接利用 MATLAB 之指令來驗證，程
式如下所示：
>> % Input A >> A=[-1 -3 0 -4 -5 6 -2 -4 2]; >> % Calculate the eigenvalue of A >> eig(A) ans = -2.0000 -1.0000 -1.0000 >> % Verify P(A)=0 >> P=(A+eye(3))^2*(A+2*eye(3)) P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> % End of Calculation
接著以一個範例作說明，利用凱雷-漢米爾頓原理將下列之三階狀態變數系統：
( )( )( )( )
( )( )( )( )
{
( )tu
tx
tx
tx
t
tx
tx
tx
⋅
−+
⋅
−−−−−−
=
btxAx
1
0
1
242
654
031
3
2
1
3
2
1
32144 344 21321&
&
&
&
(21)
( ) [ ]( )( )( )( )
( )tu
tx
tx
tx
ty ⋅+
⋅−= 30 11
3
2
1
321
43421
tx
c (22)
5
轉換為三次微分方程式：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututytytyty &&&&&&&&&&&& 3132848254 +++=+++ (23)
其中 x(t)、y(t)與 u(t)分別為系統的狀態向量、輸出與輸入。
為了獲得(99)之表示式，顯然地必須將(97)與(98)中的狀態向量移去，首先
求取矩陣 A的特徵多項式如下：
254 23 +++=− λλλλ AI (24)
根據凱雷-漢米爾頓原理可得
( ) 3323 254 ×=+++= 0IAAAAP (25)
接著必須比照(23)中之特徵多項式計算下式：
( ) ( ) ( ) ( )tytytyty 254 +++ &&&&&& (26)
其中
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuttdutty 3+=+= cxcx (27)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tutut
tututtutty
&
&&&&
3
33
++=++=+=
xAc
bcxAcxc (28)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tututut
tututut
tututty
&&&
&&&
&&&&&&
39
3
3
2
2
+++=+++=
++=
xAc
AbcxAc
xAc
(29)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutututut
tutututut
tutututty
&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&&&&&
39
39
39
3
23
2
++++=++++=
+++=
xAc
bAcxAc
xAc
(30)
經整理後可得
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutututut
tuttutut
tututut
tutututut
tytytyty
&&&&&&
&
&&&
&&&&&&
&&&&&&
3132848254
3235
394
39
254
23
2
3
+++++++=+++++
++++++++=
+++
xIAAAc
cxxAc
xAc
xAc
(31)
由(24)可知 3323 254 ×=+++ 0IAAA ，故上式與 x(t)有關的項會被移除，最後成為
6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututytytyty &&&&&&&&&&&& 3132848254 +++=+++ (32)
此式即為所求。