虚数化学ポテンシャルの情報を利用した qcd 相図の解析

虚数化学ポテンシャルの情報を利用した　　　　　　　　　　　　　　　 QCD 相図の解析

柏　浩司　　

河野宏明 A, 松崎昌之 B, 境祐二 , 甲斐貴則、松本健史、八尋正信　　

九大理 , 佐賀大理工 A, 福岡教育大 B 　　

K. K., H. Kouno, M. Matsuzaki, M. Yahiro, Phys. Lett. B662 (2008) 26.

K.K., Y. Sakai, H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, arXiv:hep-ph/0804.3557, to be published in J. Phys. G.

Y. Sakai, K. K, H. Kouno and M. Yahiro, Phys. Rev. D 77 (2008) 051901(R). 　　　　　　

Y. Sakai, K. K, H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Rev. D 78 (2008) 036001.　　　　　　

Y. Sakai, K. K, H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Rev. D 79 (2009) 096001. 　　　　　　

K. K, M. Matsuzaki, H. Kouno, Y. Sakai and M. Yahiro, Phys. Rev. D 79 (2009) 076008.

Objects of our study

A schematic view S. B. Rüster, et al., Phys. Rev. D 72, 034004 (2005)ex.)

Problem

A schematic view符号問題が発生・・・

LQCD Approach Finite density

これらの方法も完全ではない・・・　

テーラー展開法

再重み付け法他の問題が発生・・・

例えばテーラー展開法では　　　　　　　　　　 μ/T<1 の条件を越えることが難しい。

虚数化学ポテンシャル法

２カラー計算

相転移の次数の変化は簡単には追えない。高い化学ポテンシャルには適用不可。

?

0

T

μ2

符号問題は発生しない。しかし、現実から離れてしまう。 O.K.

ダイクォークがバリオンになる等

C. R. Allton et al., Phys. Rev. D 66, 074507 (2002); Phys. Rev. D 68, 014507 (2003).

Z. Fodor et al., Phys. Lett. B 534, 87 (2002); J. High Energy Phys. 03, 014 (2002); 04, 050 (2004).

P. De Forcrand et al., Nucl. Phys. B642, 290 (2002).

M. D’Elia et al., Phys. Rev. D 67, 014505 (2003).

T

μ

様々な方法

ex.)

ex.)

ex.)

Problem 2-1a Ambiguity

有効模型（ NJL 型）には、相互作用に強い不定性がある。

Ex.)

相構造が壊れてしまう…

一次相転移を弱める。

NJL

PNJL

Nambu—Jona-Lasinio (NJL) model

Is there the critical point on QCD phase diagram?

(M. Kitazawa, T. Koide, T. Kunihiro and Y. Nemoto, Prog. Theor. Phys. 108 (2002) 929)

( 相図が大きく変わってしまう .)

[1] K. K., H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Lett. B662 (2008) 26. 　　

Polyakov-loop extended NJL (PNJL) model (Our pape [1])

ベクター型相互作用は、高密度で重要

Problem

格子 QCD も、 QCD の近似計算も、有効模型もそれぞれ弱点が存在する。

QCD

Finite temperature and dense

Latti

ce Q

CD

Strong coupling QCD

NJL type model

Random m

atrix model G

intz

brg-

Land

au a

ppro

ach

AdS/CFT correspondence

これら様々なアプローチから得られる、様々な情報がそれぞれ重要。

QCD sum rule

Point

虚数化学ポテンシャルには符号問題が無いので格子 QCD が厳密に実行可能。

R　 I　

I　

R　

Real

Imaginary

実数化学ポテンシャルと虚数化学ポテンシャルには深い関係がある。

Imaginary to real chemical potential

格子 QCD データだけを用いた解析がこれまで行われてきた。

しかし、　　高化学ポテンシャルには　　　　　　　　　　到達できない・・・

そこで、虚数化学ポテンシャルに注目する。

虚数化学ポテンシャルは奇妙な世界（数密度が虚数）しかし、重要な情報がいくつも隠れている。

1+1 dimension Gross-Neveu critical line

F. Karbstein and M. Thies, Phys. Rev. D 75 (2007) 025003.

=

Strange worldImaginary chemical potential

A. Roberge and N. Weiss, Nucl. Phys. B 275 (1986) 735

M. D’Elia, Phys. Rev. D 67 (2003) 014505.

“Roberge-Weiss 相転移”

RW 周期性はすでに格子 QCD でも確認済み。

H. S. Chen and X. Q. Luo, Phys. Rev. D 72 (2005) 034504

PNJL model

The Lagrangian density of the PNJL model

The Lagrangian density of the NJL model

2 20 5( ) ( )sq i m q G qq qi q

L

2 20 5( ) ( ) ( , )sq i D m q G qq qi q U

L

自発的カイラル対称性の破れ

自発的カイラル対称性の破れ

（近似的な ) 　閉じ込め

PNJL模型は μR＝０での格子 QCD計算を良く再現する。

22 2

8 5sG qq qi q 2

vG q qand

実際の計算では

を考慮して計算する

K. Fukushima, Phys. Lett. B 591 (2004) 277.

PNJL model

Importance of multi-leg interaction

通常の NJL 模型・・・スカラー型のクォーク 4 点相互作用のみ

それ以外の相互作用は多くの場合無視される。 . (ベクター型 4点、スカラー型 8点相互作用 )

しかし、それらの相互作用が無視される原理的な理由は存在しない。 .

Mass term

同じオーダー（ 1/Nc 展開）　　

8 点相互作用は有効結合定数に温度・化学ポテンシャル依存性を導く定性的にも重要な効果を持つ。

m0

G G4

Gs8

K. K., H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Lett. B662 (2008) 26. 　　

K. K., H. Kouno, T. Sakaguchi, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Lett. B 647 (2007) 446. 　　

K. K., M. Matsuzaki, H. Kouno, and M. Yahiro, Phys. Lett. B 657 (2007) 143. 　　

4-leg 8-leg

PNJL model

Thermodynamical potential

3

33

2 ( ) ln 1 ( )(2 )

E E EP M f c

d pU U N N E p T e e e

V

3ln 1 ( )E E ET e e e 2 2 4

83M s v sU G G G

3 3 232 44

( )( , ; )( ) ( )

2 6 4

bb T bU T

T

2 3

0 0 02 0 1 2 3( )

T T Tb T a a a a

T T T

0a 1a 2a 3a 3b 4b

6.75 1.95 2.625 7.44 0.75 7.5

C. Ratti, et al. Phys. Rev. D73, 014019 (2006)　　

（ It is determined by comparing with LQCD date of 　　O. Kaczmarek, et al., Phys. Lett. B 543 (2002) 41)

Above Polyakov-loop potential is polynomial.

Other form: logarithm.

/ ,E E i 2 2 ,E p M 30 82 4s sM m G G

PNJL model

Parameter set

K. K., H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Lett. B662 (2008) 26. 　　

K. K., H. Kouno, T. Sakaguchi, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Lett. B 647 (2007) 446. 　　K. K., M. Matsuzaki, H. Kouno, and M. Yahiro, Phys. Lett. B 657 (2007) 143. 　　

138

650

93.3

M MeV

M MeV

f MeV

Gs 　 (scalar type 4-quark interaction) Gs8 (scalar type 8-quark interaction) Λ 　 (3 dimensional momentum cutoff ).

Parameters: Gs, Gv, Gs8

138

600

93.3

M MeV

M MeV

f MeV

or

Our usual procedure

Our new procedureParameters: Gs, Gv, Gs8

Gv is free parameter.

All parameters are fitted in imaginary chemical potential region (and =0 region).

Y. Sakai, K. K, H. Kouno and M. Yahiro, Phys. Rev. D 77 (2008) 051901(R). 　　　　　　Y. Sakai, K. K, H. Kouno and M. Yahiro, Phys. Rev. D 78 (2008) 036001. 　　　　　　


S. Ejiri, Phys. Rev. D 77 (2008) 014508;arXiv:hep-lat/0710.0653.

Vector interaction is essential!

K. K., H. Kouno, M. Matsuzaki, M. Yahiro, Phys. Lett. B662 (2008) 26.

Critical endpoint

Thermodynamical potential of the usual PNJL model

3

( ) ( ) 3 ( )3

12 ( ) ln 1 3( )

(2 )E p E p E p

f c

d pN N E p e e e

V

( ) ( ) 3 ( )1ln 1 3( )E p E p E p

M pe e e U U

2 /3 ,i ke 2 /3i ke Z3 　 transformation

The Polyakov Potential is invariant, but the NJL part not invari is .antU

2 /3 ,i ke 2 /3i ke Extended Z3 　 transformation

The Polyakov Potential is invariant, and the NJL part invis arialso .antU

2 /3 ,i i i ke e e

Imaginary chemical potential

( ) ( )f f

( ) ( )f f

or

In the -odd case, the discontinuity can appear.

In the -even case, the discontinuity can not appear.

or

In chiral limit ,ie .ie

K.K., Y. Sakai, H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, arXiv:hep-ph/0804.3557 to be published in J. Phys. G.

Y. Sakai, K. K, H. Kouno and M. Yahiro, Phys. Rev. D 77 (2008) 051901(R). 　　　　　　

RW periodicity in chiral limit

Lattice data: H. S. Chen and X. Q. Luo, Phys. Rev. D 72 (2005) 034504

M. D’ Elia and M. P. Lambard, Phys. Rev. D 67 (2003) 145005.

In realistic case

Y. Sakai, K. K, H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Rev. D 78 (2008) 036001.　　　　　　

RW periodicity in realistic case

,ie .ie

The RW periodicity is reproduced in the PNJL model.

Phase diagram at imaginary chemical potential

LQCD

Our result

Realistic case

Effect of the vector-type four-quark interaction.


Vector-type interaction

Meson mass

Determination of meson mass

1 2 0s ssG

1 2 0s ppG

4 2

4 2 2 2 2

( / 2) 1

(2 ) [( / 2) ] [( / 2) ]ss

d k p q Mi

p q M i p q M i

4 2

4 2 2 2 2

( / 2) 1

(2 ) [( / 2) ] [( / 2) ]pp

d k p q Mi

p q M i p q M i

・・・

( ) 12 2 2

2

1 2

xeff x s s x s x

sx x

s x

iG iG iGi

iG

G

･･･

　　

Random phase approximation

Results are shown in later

At finite chemical potential in the PNJL model :

H. Hansen, W. M. Alberico, A. Beraudo, A. Molinari, M. Nardi and C. Ratti, Phys. Rev. D 75 (2007) 065004.

p4 p4 – (– iA4)

Meson has RW periodicity.

/I T

oscillation

T=160 MeV

Meson massK. K, M. Matsuzaki, H. Kouno, Y. Sakai and M. Yahiro, Phys. Rev. D79 (2009) 076008.

Parameter set obtained by our approach and results.

Good agreement

( 0)R I

L. K. Wu, X. Q. Luo and H. S. Chen, Phys. Rev. D 76 (2007) 034505.

F. Karsch, Lect. notes Phys. 583 (2002) 209.

M. Kaczmarek and F. Zantow, Phys. Rev. D 71, (2005) 114510.

Lattice data:


Fitting

Parameter set obtained by our approach and results.

P. de Forcrand and O. Philipsen, Nucl. Phys. B 642 (2002) 290.

L. K. Wu, X. Q. Luo and H. S. Chen, Phys. Rev. D 76 (2007) 034505.

Lattice data:

Fitting

Good agreement at several .

Fitting

Phase diagram

/I T

T=260 MeV

0.10.1

2+1 flavor

Summary

PNJL模型は RW周期性を再現する。

ベクター型相互作用の効果を虚数化学ポテンシャル領域で見ることができる。

中間子質量も他の熱力学量と同様に RW 周期性を持つ。

Imaginary chemical potential matching approach は、 2+1 フレーバーにも適用できる。

定量的な議論が、　　　　　　 imaginary chemical potential matching approach を　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　用いることで可能になる。

もちろん、今よりもより詳しい解析が必要。

虚数化学ポテンシャルの情報を利用した qcd 相図の解析

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