1

Bond Price Volatility

2002נובמבר

2

4 ו 2שאלות נתונות שתי איגרות החוב הבאות: •

Bond A Bond BCoupon rate: 8% 9%Term (years) 2 5Initial yield: 8% 8%

Price: 100.0 104.055

3

2שאלה עבור כל איגרת יש לחשב את:•

• Price value of a basis point

• Macaulay duration

• Modified duration

• Convexity measure

• The approximate duration

• The approximate convexity measure

4

Price value of a basis point (PVBP)

החוב • איגרת של הנוכחי הערך את נחשב .8.01% השווה ל YTMבהנחת

האיגרת • מחיר בין כהפרש תחושב התוצאה התוצאה הנה Aהקודם למחיר הנוכחי. במקרה

ובמקרה0.0181 ( 0.0411 B לחשוב נוסחאות הערך הנוכחי מופיעות בפרק ב' בספר).

ניתן גם להשתמש בנוסחת הקירוב:•000,10

*PDPVBP

5

Duration of bond A

(1) (2) (3) (4) (5)

Period Cash flowPv of 1$ at

4% Pv of Cf t*PvCF1 4.0 0.96 3.85 3.82 4.0 0.92 3.70 7.43 4.0 0.89 3.56 10.74 104.0 0.85 88.90 355.6

Sum 100.00 377.51

(6) Macaulay duration (in half a years): 3.775 Sum(5)/Price(7) Macaulay duration (in years): 1.89 (6)/2(8) Modified duration 1.81 (7)/(1+y)

Bond A

6

Duration of bond B

(1) (2) (3) (4) (5)

Period Cash flowPv of 1$

at 4% Pv of Cf t*PvCF1 4.5 0.96 4.33 4.32 4.5 0.92 4.16 8.33 4.5 0.89 4.00 12.04 4.5 0.85 3.85 15.45 4.5 0.82 3.70 18.56 4.5 0.79 3.56 21.37 4.5 0.76 3.42 23.98 4.5 0.73 3.29 26.39 4.5 0.70 3.16 28.510 104.5 0.68 70.60 706.0

Sum 104.055 864.53

(5)/PriceMacaulay duration (in half a years): 8.308Macaulay duration (in years): 4.15Modified duration: 3.99

Bond B

7

Durationנוסחת הקירוב לחישוב

שלבי החישוב:•

– 20bp נחשב את מחיר האיגרת לאחר עליה של •P(dy=+20bp)

– 20bpנחשב את מחיר האיגרת לאחר ירידה של •

P(dy=-20bp)

Duration נחשב את הP(0)בהינתן המחיר ההתחלתי • :באופן הבא

yP

)0(2

P(-20)-20)P(Duration

8

Durationנוסחת הקירוב לחישוב

תוצאות חישוב הקירוב הנן: •

Bond A Bond BP(0) 100 104.055P(+20bp) 99.64 103.228P(-20bp) 100.36 104.891Approximate duration : 1.8150 3.99

9

Convexity measure• Convexity (קמירות)- הנגזרת השניה של מחיר האג"ח

נקרא האיגרת במחיר מחולקת הריבית לשיעור ביחס הקמירות.

אנו מעריכים יחס קמור עם קו ישר. Durationבעזרת ה •ריבית שינוי לאחר האיגרת מחיר לשינוי יותר טוב קירוב

נתון מושג בעזרת חישוב הקמירות.

על ידי שימוש בפיתוח טור טיילור ניתן להעריך את השינוי •במחיר האיגרת באופן הבא:

errordydy

Pddy

dy

dPdP )(

2

1 22

2

10

Convexity measureאת • לחשב כדי במחיר המשוואה איברי שני חלוקת

שיעור השינוי:

P

errordy

Pdy

Pddy

Pdy

dP

P

dP )(

1

2

11 22

2

מדד הקמירות הנו: •Pdy

Pd 1

2

12

2

בעזרת • מתבצעת המחיר של השניה הנגזרת חישוב הנוסחה:

21

22

2

)1(

)1(

)1(

)1(

n

n

tt y

nn

y

Ctt

dy

Pd

11

Convexity measure

הקמירות • בשנה, פעמים הנם הקופון תשלומי אם במונחים שנתיים הנה:

2m

yearper periods min

measureconvexityyearsinmeasureconvexity

12

Convexity measure for bond A

כדי לחשב את הקמירות נחשב בטבלאות הבאות את הנגזרת •השניה עבור כל איגרת חוב:

(1) (2) (3) (4) (5)Period Cash flow t(t+1) (1+y) (̂t+2) (2)*(3)/(4)1 4.0 2.00 1.12 7.12 4.0 6.00 1.17 20.53 4.0 12.00 1.22 39.54 104.0 20.00 1.27 1643.9

Sum 1710.93

Bond A

13

Convexity measure for bond B

(1) (2) (3) (4) (5)Period Cash flow t(t+1) (1+y)^(t+2) (2)*(3)/(4)

1 4.5 2.00 1.12 8.02 4.5 6.00 1.17 23.13 4.5 12.00 1.22 44.44 4.5 20.00 1.27 71.15 4.5 30.00 1.32 102.66 4.5 42.00 1.37 138.17 4.5 56.00 1.42 177.18 4.5 72.00 1.48 218.99 4.5 90.00 1.54 263.1

10 104.5 110.00 1.60 7179.78,226.04

Bond B

14

Convexity measure for bond A and B

השניה הנגזרת חלוקת ידי על יתקבל הקמירות חישוב והתאמתה האיגרת במחיר טבלה) בכל המודגש (המספר

למונחים שנתיים :

BondSecond

derivativeAnnualized convexity

measure (per $100 par)

A 1710.93 4.28B 8,226.04 19.76

15

The approximate convexity measure

נחשב את הקמירות על ידי נוסחת הקירוב לנגזרת השניה:

2)(*)0(

)0(2)20()20(

yP

PPPmeasureconvexityeApproximat

תוצאות החישוב:

Bond A Bond BP(0) 100.00 104.06

P(+20bp) 99.64 103.23P(-20bp) 100.36 104.89

Approximate convexity: 4.28 19.76

16

4שאלה עבור כל איגרת יש לחשב את מחיר האיגרת •

בדרכים bp 100לאחר עליית שיעור התשואה ב הבאות:

• Actual price

• Using duration

• Using both duration and convexity measure

17

חישוב מדויק של מחיר האיגרת לאחר תזוזה נקודות בסיס100של

חישוב הערך האמיתי של האיגרת יערך בהתאם לנוסחת ה •Actual price

n

n

rM

r

rC

PV*2

*2

)2

1(

)2

1(

11

2

מחירי איגרות החוב החדשים הנם:

Bond A Bond BP(+100bp) 98.20624 100

18

Durationחישוב מחיר האיגרת בעזרת קירוב ה

נחשב את השינוי במחיר האיגרת בעזרת פיתוח טור טיילור    •מסדר ראשון, כלומר:

: Aובהצבה עבור איגרת

(dy)duration)P (mod)( ifieddyPdy

dPdP

81.1100*%1*81.1)100( dP

185.9881.1100)100( bpP

עבור איגרת החוב B:

156.4%1*99.3*055.104)100( bpdP

899.99156.4055.104(100) bpP

19

Durationחישוב מחיר האיגרת בעזרת קירוב ה Convexity measureוקירוב

נחשב את השינוי במחיר האיגרת בעזרת פיתוח טור טיילור    א)( •מסדר שני, כלומר:

:Aעבור איגרת חוב

עבור איגרת החוב B:

..

)(2

1dy*P*duration )(

2

1 222

2

dyConvexityModifieddydy

Pddy

dy

dPdP

206.98%1*28.4*5.0%1*100*81.1)100( 2 bpdydP

100%1*76.19*5.0%1*055.104*84.3)100( 2 bpdydP

20

איזה מהקירובים יותר מדויק ומדוע?

יותר    א)(   א)( • מדויק הנו הקמירות בתיקון שימוש הנו Duration בלבד וזאת משום ש Durationמשימוש ב

התשואה בין הקמור הקשר של בלבד לינארי קירוב למחיר האיגרת.

מדד הקמירות הנו האיבר מסדר שני של פיתוח סדרת •טיילור לקירוב פונקציות לא לינאריות.

..

21

השפעת שיעור התשואה הדרושה

Durationככל ששיעור התשואה גבוה יותר כך ירד ה •

השפעת הזמן•

השפעת הקופון•

השפעה יוצאת דופן של גובה הקופון?•

..

22

15שאלה

נתון תיק האג"ח הבא: •

..

BondMarket value Duration Weight

A 13 2 0.093B 27 7 0.193C 60 8 0.429D 40 14 0.286

של התיק בכללותו. Duration חשב את ה •

23

Portfolio duration

•Duration ה של המשוקלל הממוצע הנו התיק Duration:של כל איגרת ואיגרת

כלומר:•

..

97.8286.0*14429.0*8193.0*7093.0*2

זהה באופן יתבצע התיק בערך השינוי חישוב המוצג כפי בודדה, לאיגרת המחיר שינוי לחשוב

4.485%=0.5*8.97. סכום זה הנו : 4בשאלה

24

– חווה דעתך 5שאלה

•As the duration of a zero-coupon bond is equal to its maturity, the price responsiveness of a zero coupon bond to yield changes is the same regardless of the level of interest rate

..

25

5שאלה

עבור • Macaulay duration אך נכונה, זו תשובה ה של Modified durationבחישוב חילוק מתבצע ב בהתאם ) y+1(התוצאה שונות תשובות נקבל ולכן

לגובה התשואה הדרושה.

..

26

חווה דעתך7 ו 6שאלות

• When interest rates are low, there will be little difference between the Macaulay duration and the modified duration measures

•If two bonds have the same dollar duration, yield, and price, their dollar price sensitivity will be the same for a given change in interest rate.

..

27

7שאלה

בהנחה שלא מדובר בשתי איגרות חוב זהות לחלוטין, •הרי תשובה זו נכונה רק כשיתרחשו שינויי תשואה קטנים. לאיגרות כי יתכן גדולים תשואה שינויי יתרחשו לו

Convexity .שונה ומכאן שנקבל תוצאות שונות

..

28

3שאלה

לו נתון תשואה דרושה זהה לשלושת האיגרות הבאות, •תנודתיות האיגרות משלושת לאיזה לקבוע ניתן האם

מחיר גבוהה יותר ?

..

Maturity (years)

Coupon rate (%)Bond

98A1110B1211C

29

3שאלה

ארוך יותר בשל Duration לא ניתן לקבוע לאיזה איגרת •:השפעות מנוגדות

שה • ככל Maturity ה יותר ארוך האיגרת של Duration.גבוה יותר

נמוך יותר Durationככל שהקופון גבוה יותר כך גם ה • •(למעט מקרים מסוימים).

..

30

10שאלה

גבוהה • דולרית לאיזה מאיגרות החוב תנודתיות מחיר 25bp ? יותר עבור שינוי של

..

Modified duration (years)PriceBond

6100A780B

31

10שאלה

נשתמש בנוסחת הקירוב:•

..

y*P*duration modified P

נחשב את הערכים הבאים: •

4.10.0025*80*7

1.50.0025*100*6

B

A

P

P