คู่มือโปรแกรมส...

เอกสารเผยแพรเพอการศกษา

คมอโปรแกรมสาเรจรป Mathcad2000

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คานา

โปรแกรมสาเรจรป Mathcad เปนโปรแกรมชวยแกปญหาตางๆ ทางคณตศาสตรไดทงระดบมธยมศกษา

และ ระดบอดมศกษา โปรแกรม Mathcad เปนโปรแกรมทมความสะดวกตอการใชเปนอยางมาก เพราะสามารถ

ทจะทาการคานวณโดยตรงแบบเครองคดเลขหรอจะคานวณในรปแบบโปรแกรมกได การใชงานของโปรแกรม

คลายกบการทดเลขบนกระดาษหรอบนกระดานดา กลาวคอเมอเราเขยนสตรหรอพมพสตรเสรจ เมอกด

เครองหมายเทากบกจะไดผลของการคานวณตามทตองการ

การใชงานของโปรแกรม Mathcad เมอเปรยบเทยบกนโปรแกรมอน ๆ จะมขอแตกตางบางอยางทสาคญเชน

บนจอภาพของ Mathcad เราจะพมพสตรคานวณ ณ ตาแหนงทวางใด ๆ บนจอได แตโปรแกรมอน ๆ ตอง

พมพทบรรทดของการรอรบคาสง แตการใชงานกตองระวง เพราะวากตกาการคานวณของ Mathcad จะ

คานวณสตรจากสตรบนลงลาง และคานวณสตรจากสตรทางซายไปทางขวา

ในการใชงาน ถาม การเปลยนคาของตวแปร การเปลยนแปลงสตร โปรแกรม Mathcad จะทาการคานวณ

ใหมโดยอตโนมตทกครง

ระหวางการพมพสตร โปรแกรม Mathcad จะจดรปแบบของสตรใหตามความเหมาะสมของสตร ดงนนการ

พมพสตรในครงแรก ๆ อาจจะทาใหงงได แตเมอพมพเปนแลว การจดรปแบบระหวางการพมพสตร ของ

Mathcad ถอไดวาเปนความสามารถทดเดนมาก

การปรบเปลยนคาตาง ๆ เชน การแสดงทศนยม การกาหนดวธแสดงผลทไดจากการคานวณ การปรบ

รปแบบกราฟ สวนใหญจะใชการกาหนดคาตาง ๆ ทตองการผานคาสงยอยของเมนบาร

สามารถนาแถบเครองมอเชน Calculus Graph แสดงบนจอภาพ เพอเลอกใชงานไดสะดวกขน

สามารถเขยนกราฟไดถง 16 เสนพรอมกน การปรบเปลยนรปแบบของกราฟ ใชการเลอกคาสงผานเมน

format graph ทาใหการปรบเปลยนรปแบบกราฟสะดวกทสด

ดวยความสามารถในการจดรปแบบการพมพอตโนมตทาใหโปรแกรม Mathcad สามารถพมพสตรทาง

คณตศาสตรทมความซบซอนมาก ๆ ไดดกวาโปรแกรมอน ๆ

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา

สารบญ

บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad............................................ 1 – 10

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad.......................................................... 11 – 48

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad.................................................................. 49 – 72

บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad........................................... 73 – 84

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad................................................ 85 – 90

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad........................................ 91 – 104

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad................................................ 105 – 120

บทท 1.

ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad

ในบทนจะเปนการนาความสามารถตาง ๆ ทโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ทาไดมานาเสนอใหดกอนเพอ

ผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ในสวนของการพมพ

คาสง การเขาสโปรแกรม Mathcad และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป

1. การคานวณเบ องตน บวก ลบ คณ หาร

หมายเหต Mathcad สามารถทาการคานวณไดอยางตอเนอง และ จดรปแบบการพมพได

2. สามารถเลอกแสดงผลการคานวณเปนทศนยมไดหลายตาแหนง

3. มฟงกชนทางคณตศาสตรใหเลอกใชมากมาย

3.25 16.5 19.75

7.5 3.25 4.25

12 3 36

15

43.75

9 3( ) 12

436

2

90.222

2

90.22222

2

90.22222222

3.142 3.14159265 3.14159265358979

cos 1 sin

2

1 tan 45 deg( ) 1

asin 0.5( ) 0.524 asin 1( ) 90deg atan 1( ) 0.785

log 2( ) 0.301 ln 2( ) 0.693 log 100 10( ) 2

บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 2

หมายเหต

1. asin คอ arcsin, acos คอ arccos, atan คอ arctan

2. log คอ ลอการทมฐาน 10 และ ln คอ ลอการทมฐาน e

log(A, x) คอ ลอการทมของ x ฐาน A

3. การหาคา sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวย องศาและเรเดยน

4. คาของ acrsin, arccos, arctan, ... สามารถแสดงไดทงหนวย องศาและเรเดยน

5. ตวอยางฟงกชนอนๆ ดไดจากแถบเครองคดเลขน

4. ความสามารถทจะกาหนดสตรของฟงกชนใชงานเองได

5. สามารถสรางตารางคานวณคาของฟงกชนไดโดยงาย

เมอเรากาหนดคา x = 1, 2, ... , 5

และกาหนดสตร f(x), g(x)

โปรแกรม Mathcad จะแสดงผลการคานวณ

ในรปแบบของตารางไดโดยงาย

6. สามารถเปลยนหนวยของการคานวณไดโดยงาย

การคานวณคา ฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวย องศาและเรเดยน

การคานวณคา อนเวอรสฟงกชนตรโกณมต arcsin, arscos, ... สามารถแสดงผลไดทงหนวย องศาและเรเดยน

7. สามารถแสดงหนวยของผลการคานวณได

กาหนดให s มหนวยเปน เมตร

t มหนวยเปน วนาท

ผลการคานวณของ Mathcad

คา v = ts มหนวยเปน เมตรตอวนาท

ผลลพธของ Mathcad จะแสดงหนวยการคานวณ

f x( ) x2 3 x 1

f 1( ) 5 f 5( ) 41 f f 1( )( ) 41

x 1 5 f x( ) x2 g x( ) 2 x 1

x

1

2

3

4

5

f x( )

1

4

9

16

25

g x( )

3

5

7

9

11

sin 30 deg( ) 0.5 cos 60 deg( ) 0.5 tan 45 deg( ) 1

sin

6

0.5 cos

4

0.707 tan

3

1.732

asin 0.5( ) 0.524rad asin 0.5( ) 30deg

s 1000 m

t 20 sec

vs

t

v 50m

s

บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 3

8. ความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ

8.1 กราฟในระบบพกดมมฉาก

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [–5, 5]

8.2 สามารถเขยนกราฟไดหลายเสนพรอมกน

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 กบ g(x) = 2x – 4 บนชวง [–5, 5]

8.3 สามารถเขยนกราฟแบบคลาดบ

ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล

นาหนกและสวนสง

น าหนก ความสง

53 156

58 165

55 162

60 170

62 165

68 173

x 5 4.99 5 f x( ) 2 x 3

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

10

5

5

10

15

20

f x( )

x

x 5 4.99 5 f x( ) 2 x 3 g x( ) x2 4

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

10

5

5

10

15

20

f x( )

g x( )

x

ORIGIN 1 i 1 6

x

53

58

55

60

62

68

y

156

165

162

170

165

173

50 55 60 65 70150

160

170

180180

150

yi

7050 xi


8.4 สามารถเขยนกราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต

ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล

คะแนน และ ความถ

คะแนน ความถ

1 15

2 35

3 40

4 10

8.5 สามารถเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว

ตวอยาง การเขยนกราฟรปหวใจ r = 3 + 2sin, กราฟรปกลบกหลาบ r = 4cos2

8.6 สามารถเขยนกราฟในระบบพกด 3 มต เชนกราฟพนผว กราฟ contour

ตวอยาง กราฟของพนผวไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด

หรอพนผวรปอานมา f(x, y) = 2x – 2y

ORIGIN 1 i 1 4

grade

1

2

3

4

frequency

15

35

40

10

0 1 2 3 4 5

10

20

30

40

5050

0

frequencyi

50 gradei

M M

i 1 20 j 1 20 xi 2 0.2 i y j 2 0.2 j f x y( ) x2 y2 M i j( ) f xi y j

0 0.01 2

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

543210

3 2 sin ( )

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

543210

4 cos 2 ( )


8.7 สามารถปรบเปลยนรปแบบของกราฟใหเหมาะสมกบการใชงาน

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + 2x – 9x – 9 บนชวง [–4, 4]

แบบท 1. มแกน X และแกน Y แตไมมสเกล แบบท 2. มแกน X และแกน Y มสเกล

แตไมมตวเลขทสเกล

แบบท 3. มแกน X และแกน Y แบบท 4. มแกน X และแกน Y

มสเกลและมตวเลขทสเกล มสเกล มตวเลขทสเกล

มเสนกรดชวยในการประมาณคา

8.8 สามารถเขยนกราฟ 2 ฟงกชนทมโดเมนตางกนได

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 5 – 4x บนชวง [–3, 1] และ g(t) = 2t + 10 บนชวง [1, 4]

x 4 3.99 4 f x( ) x3 x2 9 x 9

0f x( )

x

x 4 3.99 4 f x( ) x3 x2 9 x 9

f x( )

x

x 4 3.99 4 f x( ) x3 x2 9 x 9

4 3 2 1 0 1 2 3 4

40

20

20

40

f x( )

x

x 3 2.99 1 f x( ) 5 4 x t 1 1.01 4 g t( ) 2 t 10

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

5

10

15

20

f x( )

g t( )

x t

.x 4 3.99 4 f x( ) x

3x2

9 x 9

4 3 2 1 0 1 2 3 4

40

20

20

40

f x( )

x


9. การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ

ตวอยาง 12 ฐาน 8 บวกกบ 15 ฐาน 8 ได 23 ฐาน 10

12 ฐาน 16 บวกกบ 15 ฐาน 16 ได 39 ฐาน 10

หมายเหต อกษร o ทายตวเลขหมายถงเลขฐาน 8 และ อกษร h ทายตวเลขหมายถงเลขฐาน 16

10. การคานวณในรปแบบเวกเตอร

Mathcad สามารถหาผลบวก ผลตาง dot product cross product และ ขนาดของเวกเตอรได

11. การคานวณในรปแบบเมทรกซ

Mathcad สามารถหา ผลบวก ผลตาง อนเวอรส คากาหนด ของเมทรกซได

12. การคานวณจานวนเชงซอน

Mathcad สามารถหาผลบวก ผลตาง อนเวอรส คาสมบรณของจานวนเชงซอนได

13. การหาผลบวกในรปแบบผลบวก

ตวอยาง การหาผลบวกของตวเลข

12o 15o 23

12h 15h 39

u

2

3

6

v

3

4

0

u v

5

7

6

u v

1

1

6

u v

24

18

1

u v 18 u 7

A1

3

2

5

B2

0

0

4

A B2

6

8

20

A B3

3

2

9

4 A4

12

8

20

B 8 A 1 A 1 5

3

2

1

z 3 4i w 5 12i

z w 8 16i z w 33 56i z 5 z 1 0.12 0.16i

1

10

i

i

55

1

10

i

i2

385

1

10

i

i i 1( )

440


ตวอยาง การหาผลบวกของตวแปร ix เมอ i = 1, 2, 3, ... , n

14. การคานวณคาสถตเบ องตน

ตวอยาง การหาคาสถตเบองตนของขอมล 2, 3, 7, 12, 16

mean = คาเฉลย min = คาตาสด

median = มธยฐาน max = คาสงสด

var = ความแปรปรวนของประชากร = n

)xx( 2i

n

1 i

stdev = สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร = )xvar(

Var = ความแปรปรวนของตวอยาง = 1n

)xx( 2i

n

1 i

Stdev = สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง = )x(Var

15. สามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลในรปแบบ y = mx + c ได

ตวอยาง การหาความสมพนธเชงเสนตรงระหวาง นาหนก (x) กบสวนสง (y)

น าหนก ความสง

53 156

58 165

55 162

60 170

62 165

68 173

x เปนตวแปรอสระ

y เปนตวแปรตาม

slope(x, y) คอ สมประสทธการถดถอยเชงเสน

intercept(x, y) คอคาคงตวของสมการเสนตรง y = mx + c

corr(x, y) คอ สมประสทธสหสมพนธเชงเสนตรง

ORIGIN 1 i 1 5 xi

23

71216

1

5

i

xi

40

1

5

i

xi 2

462

ORIGIN 1 i 1 5

xi

23

71216

mean x( ) 8

median x( ) 7

stdev x( ) 5.329

var x( ) 28.4

Stdev x( ) 5.958

Var x( ) 35.5

max x( ) 16

min x( ) 2

ORIGIN 1 i 1 6

x

53

58

55

60

62

68

y

156

165

162

170

165

173

m slope x y( ) m 0.995

c intercept x y( ) c 106.109

r corr x y( ) r 0.891


16. ความสามารถในการจดรปพชคณต การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม

16.1 การกระจายพหนาม

ตวอยาง

16.2 การแยกตวประกอบ

ตวอยาง

16.3 การจดรปแบบทางพชคณต

ตวอยาง

17. ความสามารถในการหาอนพนธ และอนพนธยอย ทงแบบคาตวเลขและเปนสตร

17.1 การหาอนพนธเปนคาตวเลข

ตวอยาง การหาอนพนธ

ตวอยาง การหาอนพนธยอย

17.2 การหาอนพนธเปนสตร

ตวอยาง การหาอนพนธ

ตวอยาง การหาอนพนธยอย

x 1( ) x 2( ) expand x2 x 2

x 1( ) x 2( )2 expand x3 5 x2 8 x 4

x2 5 x 6 factor x 3( ) x 2( )

x3 5 x2 8 x 4 factor x 1( ) x 2( )2

1

2

2

3 factor

7

6

1

1 2factor 2 1

1

1 x

1

1 x factor

2

x 1( ) x 1( )[ ]

x 1 f x( ) x3 4 x2 5 x 4

f x( ) 6xf x( )d

d16

2xf x( )d

d

214

3xf x( )d

d

36

x 2 y 1

xx3 2 x2 y y4 d

d20

y yx3 2 x2 y y4 d

d

d

d12

xx3 4 x2 5 x 4 d

dexpand 3 x2 8 x 5

2xx3 4 x2 5 x 4 d

d

2expand 6 x 8

xx3 2 x2 y y4 d

dsimplify 3 x2 4 x y

y yx3 2 x2 y y4 d

d

d

dsimplify 12 y2


18. ความสามารถในการหาปรพนธเปนสตรและคาตวเลข

18.1 การหาปรพนธเปนคาตวเลข

18.2 การหาปรพนธเปนสตร

19. สามารถหาคาลมตได

20. ความสามารถในการคานวณเปนโปรแกรม

ตวอยาง โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดาน

0

2

xx3 1

d 60

1

y0

2

xx3y

d

d 20

1

z1

2

y1

1

xx y3 z

d

d

d 1

xx3 1

d simplify1

4x4 x

yxx3 y

d

d simplify1

8x4 y2

zyxx y3 z

d

d

d simplify1

8x2 y4 z

1

2z2 x y

1xx2 x 1lim

3

1x

x2 1

x 1lim

20x

sin x( )

xlim

1

0x

x

xlim

1

0x

x

xlim

1

x1

1

x

2 x

lim

exp 2( )

a 3

b 4

c 5

sa b c

2

Area s s a( ) s b( ) s c( )

Area 6

1

x2

t4 t3 1

d x8 x2 21

t

y0

t2

x2x 4 y( )

d

d t5 t4 2 t2


เมอเปลยนคา a, b, c ใหมจะไดผลการคานวณเปนดงน

21. ความสามารถในการหารากของสมการ f(x) = 0

ตวอยาง การหารากของสมการ 2x - 2 = 0

เพราะฉะนนรากของสมการ

คอ x = 1.414 และ –1.414

ตวอยาง การหารากของสมการ sinx - cosx = 0

รากสมการ sinx - cosx = 0 คอ x = 0.785 radian หรอ 45 degree

22. ความสามารถในการหาผลเฉลยของระบบสมการ

22.1 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ

2x + y = 4

9x – 4y = 1

เพราะฉะนน x = 1, y = 2

22.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ

2x + 2y = 1

และ x – y = 0

เพราะฉะนน x = 0.707, y = 0.707

23. ความสามารถในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

dxdy

= 1 + 4x, y(0) = 1

โปรแกรม Mathcad จะสามารถหาผลเฉลย y(x) ได

ความสามารถอน ๆ ในการประยกต

เนอหาคณตศาสตรขอใหศกษาในบทตอไป

x 1 root x2 2 x 1.414

x 1 root x2 2 x 1.414

x 0 y 0

Given

2 x y 4

9x 4 y 1

Find x y( )1

2

x 0 y 0

Given

x2 y2 1

x y 0

Find x y( )0.707

0.707

x 1 root sin x( ) cos x( ) x( ) 45deg

root sin x( ) cos x( ) x( ) 0.785rad

a 5b 12c 13

sa b c

2


Area 30

Givenxy x( )d

d1 4 x y 0( ) 1 .

y Odesolve x 10( )

0 1 2 3 4

816243240

y x( )

x

y 1( ) 4 .

y 2( ) 11

บทท 2.

การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad

ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป Mathcad เขามาทางาน และการทางานเบองตนกบคาสง

ของ Mathcad

หมายเหต โปรแกรม Mathcad ทใชในขณะน คอ Mathcad2001i Professional หากเปน Mathcad Version อน

ๆ เขน version 5.0 – 9.0 หรอ Mathcad2000 Professional จะมลกษณะใชงานทใกลเคยงกน

2.1 การเรยกโปรแกรม Mathcad ขนมาใชงาน

1. เปดเครองคอมพวเตอร

2. รอจนจอภาพขนขอความ ภาพและ icon ตาง ๆ ครบสมบรณ

คลกทปม Start จะมเมนใหเลอก

คลกทเมน All Programs จะมเมนยอยใหเลอก

บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 12

คลกท MathSoft Apps จะขนเมนยอยใหเลอก

คลกท Mathcad 2001i Professional

บนจอภาพจะม Logo ของ Mathcad

เพอเขาสการทางานของโปรแกรม Mathcad

หมายเหต Logo ของ Mathcad

อาจแตกตางกนใน version อนๆ

เมอเขาสการทางานของโปรแกรม Mathcad เรยบรอยแลวจอภาพจะเปนดงน

1. แสดงวาเขามาทางานในหนาตางของ Mathcad Professional

2. แสดงชอแฟมทกาลงทางานเมอมการบนทกแฟมหรอนาแฟมเดมกลบมาใช

แตถาเปนการเขามาทางานครงแรกชอแฟมทกาหนดใหมชอวา Untitled:1

3. แถบเครองมอในการทางานเชน File เปดปดแฟมขอมล Edit คดลอกหรอลบทง

4. บรเวณของการทางานตาง ๆ ทเราตองการ

5. แถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ

(หมายเหต ถาไมมแถบเครองมอ ใหคลกทเมน View แลวเลอก Toolbars และเลอก Math)


2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad

โปรแกรมสาเรจรป Mathcad เปนโปรแกรมทชวยในดานการคานวณทางคณตศาสตร ทสามารถใชงานไดงาย

เชน การหาผลบวกของ 45.25 + 17.5

1. ใหพมพ 45.25 + 17.5

2. แลวพมพ = จะไดผลลพธทนทดงน

ตวอยางการคานวณแบบอน ๆ เชน

เนองจากทางานของโปรแกรม Mathcad

จะทาการจดรปแบบการพมพบนจอภาพใหสอดคลองกบความหมายทางคณตศาสตรเสมอเชน

การหาคา 5

47= 9.4

ขนท 1. พมพ 47

ขนท 2. เมอเรากดเครองหมายหาร (/)

บนจอภาพจะจดรปแบบเปนลกษณะของเศษสวน (ดงรป) ทนท

ขนท 3. ตอไปจงพมพ 5 แลวกด = จะไดผลการคานวณทตองการ

เพราะฉะนน การใชงานโปรแกรม Mathcad จะขอเขยนในรปแบบตารางโดยท ตารางชองท 1 หมายถงการพมพ

ผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจาก การคานวณของ Mathcad และ การจดรปแบบการพมพ

ของ Mathcad

ขอแนะนา ในการใชงานเบองตนขอใหทดลองพมพชา ๆ และ ดผลของการจดรปแบบของ Mathcad ในตาราง

แสดงผลลพธของการคานวณเบองตน

ตวอยางการคานวณและวธการพมพดวยโปรแกรม Mathcad

1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5

พมพ ผลบนจอภาพ

45.25+17.5= 45.25 17.5 62.75

หมายเหต 1. การคานวณใหมหรอขนบรรทดใหมตองกด ENTER

2. เครองหมาย = เปนการสงใหทาการคานวณ

15 32 480

47

59.4

log 2( ) 0.301

44

256

sin

6

0.5

47

59.4

45.25 17.5 62.75 .


2. การหาผลหาร 5

47


47

/

5

=

47

59.4

3. การหาผลคณของ 15 กบ 32


15

*

32

=

15 32 480

4. การคานวณเลขยกกาลง 3

4 และ 4e


4

^

3

=

43

64


e

^

4= e4

54.598

5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log(2), ln(2), sin(6

), 3 , 5 32 , 5!


log(2)= log 2( ) 0.301

ln(2)= ln 2( ) 0.693

sin(

Ctrl + Shift+P


กด Ctrl และ Shift คางไว แลวกด P

Mathcad บาง version เชน version 7.0

กด Ctrl+P จงจะได

/

6

)

=

sin

6

0.5

การหารากท n

\

หมายเหต กด \ ไดสญลกษณการหารากท 2

3= 3 1.732

Ctrl+\


กด Ctrl+\ ไดสญลกษณการหารากท n


32

Tab

5

= 532 2

การหาคา 5! แฟกทอเรยล

5!=

5 120

6. การกาหนดคาใหกบตวแปร, การกาหนดสตรฟงกชน


x

:

หมายเหต กด : จะได := ซงหมายถง การ

กาหนดคาใหกบตวแปร

4 x 4 .

ความหมาย คอ กาหนดตวแปร x มคาเปน 4

การกาหนดสตรฟงกชน

f(x)

:

x^2

f x( ) x2

f(x)= f x( ) 16 .เปนคาของ f เมอ x = 4

f(3)= f 3( ) 9 .

หมายเหต สญลกษณ := หมายถงการกาหนดคาใหเปน หรอ การกาหนดสตรใหเปน

7. การหาคาอนทกรล dx)x(fb

a ตวอยางเชน dx)4x( 2

4

1


f(x)


:

x^2

Space bar

หมายเหต การกด Space bar จะทาใหกรอบ

curser ขยายมาคลมทง 2x

+

4 f x( ) x

24 .

&

หมายเหต กด & จะไดเครองหมายปรพนธ

f(x)Tab

หมายเหต การกด Tab จะทาให curser เลอน

ตาแหนงไปตาแหนงถดไป

xTab

1Tab

4=

1

4

xf x( )

d 33

2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x – 7 บนชวง [–8, 8]


กาหนดสตรของ f(x) โดยพมพ

f(x):x^2

Space bar

–3*x–7 f x( ) x

23 x 7 .

กาหนดชวงของ x โดยพมพ

x:–8


, หมายเหต กด , เพอบอกคาถดไปของ x

–7.9

หมายเหต x เพมคาครงละ 0.1

;

หมายเหต กด ; จะไดสญลกษณ ..

8

x 8 7.9 8 .

หมายเหต x มคาจาก –8 ถง 8 โดยเพมคาครงละ 0.1

@


กด @ จะไดรปแบบการเขยน

กราฟ

x

Tab

8Tab


f(x)Tab

–25Tab

–8Tab

100

0

0

100100

25

f x( )

88 x

ผลการคานวณบนจอภาพคอ

f x( ) x2

3 x 7

x 8 7.9 8

0

0

100

f x( )

x


หมายเหต โปรแกรม Mathcad สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน

แบบท 1. มสเกลทแกน X และ แกน Y แบบท 2. มสเกลแกน X และ Y และมตวเลข

สามารถกาหนดใหเสนกราฟหนาขน

แบบท 3. แกน X แบงเปน 8 สวน แบบท 4. มเสนตาขายชวยในการประมาณคา

เชน f(–4) มคาประมาณ 24

แบบท 5. เหมอนแบบท 2 แบบท 6. ความสามารถในการเขยนกราฟได

แตเปลยนลกษณะของเสนกราฟ หลายเสนพรอมกน

เปนการ plot แบบ dot

การเขยนกราฟแบบตางๆ นจะไดเรยนรคาสงตางๆ ในบทตอไป

100

25

f x( )

88 x

8 6 4 2 0 2 4 6 825

25

50

75

100100

25

f x( )

88 x

8 4 0 4 825

25

50

75

100100

25

f x( )

88 x

8 6 4 2 0 2 4 6 825

25

50

75

100100

25

f x( )

88 x

8 4 0 4 8

25

25

50

75

100100

25

f x( )

2 x 3

88 x

8 6 4 2 0 2 4 6 825

25

50

75

100100

25

f x( )

88 x


2.4 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเมทรกซ

ตวอยาง การกาหนด A =

3524


A:

Ctrl+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและ

หลก

ใหพมพ Rows: 2 และ Columns:

2

เสรจแลวคลก OK จะไดผลบนจอเปน

4Tab

หมายเหต การกด Tab ทาให

Curser กระโดดไปตาแหนงถดไป

–2Tab

–5Tab

3 A4

5

2

3

ในทานองเดยวกนกาหนด B =

3152


การคานวณคาของเมทรกซ A + B, 4A, AB , 2A ,

1A,

TA , det(A)


A= A

4

5

2

3

.

B= B

2

1

5

3

.

การหาผลบวกของเมทรกซ

A+B= A B6

4

3

6

สเกลารคณเมทรกซ

4*A

= 4 A16

20

8

12

การหาเมทรกซยกกาลง

A^

2= A2 26

35

14

19

การหาผลคณของเมทรกซ

A*B= A B6

7

14

16

การหาเมทรกซผกผน

A^

–1= A1 1.5

2.5

1

2

การหาคากาหนดของเมทรกซ

A= A 2

เมทรกซสลบเปลยน

A

Ctrl+!


= AT 4

2

5

3

การกาหนดดรรชนลาง (subscript) สาหรบอางองใชงานกบสมาชกของเมทรกซ


A= A4

5

2

3

ORIGIN:1 ORIGIN 1

หมายเหต เปนการกาหนดคาของ Subscript เรมท 1

i:1;2 i 1 2 .

j:1;2 j 1 2 .

A[

(1, 1)

= A1 1( )

4

A[(1, 2)= A1 2( )

2

หมายเหต ตวแปรทมดรรชนลางอาจมจดเรมตนเปน 0 หรอ 1 ตามความเหมาะสมของเนอหาคณตศาสตร เชน

ลาดบ อนกรม มคาเรมตนท 1 แตในเรองของเมทรกซดรรชนลาง ของ ijA ตองเรมท 1 เราจงตองกาหนด

ORIGIN := 1 เพอกาหนดจดเรมตนของตวดรรชนลางเปนเลข 1

2.5 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเวกเตอร

สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน u =

43 และ v =

21


u:

Ctrl+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและ

หลก



1


–3Tab

4 u3

4

ในทานองเดยวกนกาหนด v =

21

การหาคา u + v, 4u, vu , u


u= u3

4

v= v1

2

การบวกเวกเตอร

u+v= u v2

6

สเกลารคณเวกเตอร

4*u= 4 u12

16

u dot v

u*v= u v 5

การหาขนาดของเวกเตอร

u= u 5

v= v 2.236


ผลการคานวณบนจอภาพคอ

2.6 การกาหนดขอมล

2.6.1 ในรปแบบเวกเตอร สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน x =

1587532


x

:

Ctrl+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและหลก


1


u3

4

v1

2

u3

4

v1

2

u v 5

u v2

6

4 u12

16

u 5 v 2.236


2Tab

หมายเหต การกด Tab จะทาให

curser กระโดดไปทตาแหนงของ

สเหลยมสดา เพอใหใสคาตอไป

3Tab

5Tab

7Tab

8Tab

15Tab

x

2

3

5

7

8

15

ใน Mathcad มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมลดงน

mean(x) = คาเฉลยเลขคณตของขอมลใน x median(x) = มธยฐานของขอมลใน x

var(x) = ความแปรปรวน(ประชากร) x Var(x) = คาความแปรปรวน(ตวอยาง) x

stdev(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ประชากร) x Stdev(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ตวอยาง) x

max(x) = คาสงสดของขอมลใน x min(x) = คาตาสดของขอมลใน x

length(x) = จานวนขอมลใน x

ตวอยางของการคานวณเชน

2.6.2 ในรปแบบตวแปรมต


ORIGIN:1 ORIGIN 1

i:1;10 i 1 10 .

x[i:

2

,

หมายเหต การกด , จะทาใหเกด

ตาแหนงของสเหลยมสดา เพอให

ใสคาตอไป

mean x( ) 6.667 median x( ) 6 length x( ) 6

Stdev x( ) 4.676 Var x( ) 21.867 max x( ) 15

stdev x( ) 4.269 var x( ) 18.222 min x( ) 2


3,

5,7,8,15

xi

2357

815

หมายเหต 1. การกาหนดขอมลแบบนมความสะดวกในกรณทเราไมทราบจานวนขอมลทงหมด

2. การกาหนดในรปแบบท 2. ตวแปร x จะม 2x1 , 3x2 , ..., 15x6

และตวแปร 0xxxx 10987

2.7 การกาหนดขอมลในรปแบบเมทรกซ

ตวอยางเชนตองการกาหนดขอมลเปน


x:

Ctrl+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและหลก

ใหพมพ Rows: 4 และ Columns: 2

x y 3 12 5 15 9 21 12 32


จะไดผลบนจอภาพเปน

3Tab

หมายเหต การกด Tab จะทาให

curser กระโดดไปทตาแหนงของ

สเหลยมสดา เพอใหใสคาตอไป

12Tab

5Tab15Tab

9Tab21Tab

12Tab32Tab

x

3

5

9

12

12

15

21

32

การแสดงผลทละ 1 column

ORIGIN:1 ORIGIN 1

xCtrl^1=

หมายเหต x1 เปนการเลอก

เฉพาะ column 1 มาใชงาน

x 1

3

5

9

12

xCtrl^2=

x 2

12

15

21

32

x[(1, 1)= x1 1( )

3

x[(2, 1)= x2 1( )

5

mean(xCtrl^2)= mean x 2 20


2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ

ตวอยาง การหาคาของ

10

1 i

i ,

10

1 i

2i , (i2

4 5

1

10

ii

)

ขนตอนการนาแถบเครองมอคานวณขนมาใชงาน

ขนท 1. เลอกเมน View

ขนท 2. เลอนมาท Toolbars

ขนท 3. เลอนเมาสมาท Math

ขนท 4. คลกเมาสทคาสง Math

จะไดแถบเครองมอของการคานวณ Math

ขนท 5. คลกเมาสท Icon จะไดแถบเครองมอของ Calculus

หมายเหต การเขามาใชงานโปรแกรม Mathcad

ในบางครงอาจมแถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ ปรากฏอยบนจอภาพแลว

การหาคาของ

10

1 i

i ,

10

1 i

2i , (i2

4 5

1

10

ii

)


การหาผลบวก

10

1 i

i

คลกทสญลกษณ

จะไดแถบเครองมอดงน


iTab

iTab


1Tab

10=

1

10

i

i

55

ในทานองเดยวกนจะไดวา

2.9 การคานวณคาปรพนธ dx)x(fb

a ตวอยางการหาคาของ dxx

21

0


จากแถบเครองมอ Calculus


x^2Tab

xTab

0Tab

1=

0

1

xx2

d 0.333

1

10

i

i2

385

1

10

i

i2

4 i 5

115


หมายเหต ในกรณทเรากาหนด f(x) = 2

x จะทาใหการคานวณสะดวกขนดงน

2.10 การคานวณคาอนพนธ )x(fdxd หรอ )x(f

dx

dn

n

ตวอยาง การคานวณ )x(fdxd เมอ f(x) = 2x ท x = 1


f(x):x^2 f x( ) x2

x:1 x 1



xTab

f(x)=

xf x( )d

d2

การคานวณ )x(fdx

d2

2 เมอ f(x) = 4x ท x = 2


f(x):x^4 f x( ) x4

.

x:2 x 2 .



f x( ) x2

0

1

xf x( )

d 0.3333

3

xf x( )

d 180

3

xf x( )

d 9


f(x)Tab

xTab

2=

2x

f x( )d

d

248

หมายเหต 1. กดเครองหมาย ? บนแปนพมพจะไดสญลกษณ

2. กด Ctrl + ? บนแปนพมพจะไดสญลกษณ

2.11 การกาหนดหนวยใหกบผลการคานวณ


sin(30)= sin 30( ) 0.988

หมายเหต ขณะนคอมพวเตอรจะคดเปนหนวย เรเดยน

sin(30*deg)= sin 30 deg( ) 0.5

หมายเหต 30.deg คอ 30 องศา

atan(1)=

หมายเหต ขณะนผลลพธมหนวยเปน เรเดยน

Tab

d

eg atan 1( ) 45deg

ในทานองเดยวกน

2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ

ตวอยาง 12o + 17o = 25 o หมายถงเลขฐาน 8

(12o)(11o) =

10h + 12h = 34 h หมายถงเลขฐาน 16

(2h)(11h) = 32

cos 30( ) 0.154 cos 30 deg( ) 0.866 asin 1( ) 1.571 asin 1( ) 90deg .

s 1000 m t 5 secs

t200

m

s

s 60 km t 2 mins

t500

m

s

s

t30

km

min



12o+17o= 12o 17o 25

หมายเหต 12 ฐาน 8 บวก 17 ฐาน 8 ได 25 ฐาน 10

12o*11o= 12o 11o 90

หมายเหต 10 ฐาน 8 คณ 11 ฐาน 8 ได 90 ฐาน 10

10h+12h= 10h 12h 34

หมายเหต 10 ฐาน 16 บวก 12 ฐาน 16 ได 34 ฐาน 10

2h*11h= 2h 10h 32

หมายเหต 2 ฐาน 16 คณ 11 ฐาน 16 ได 32 ฐาน 10

2.13 การหาผลบวกในรปแบบ

n

1 iix

ตวอยางเชน


ORIGIN:1 ORIGIN 1

กาหนดเมทรกซ x และ y

การกาหนดเมทรกซ x และ y

ดทหวขอ 2.6

x

2

3

6

9

y

12

15

14

19

การพมพเพอหาผลบวก



ORIGIN 1 x

2

3

6

9

y

12

15

14

19

1

4

i

xi

20

1

4

i

yi

60

1

4

i

xi 2

130

1

4

i

yi 2

926

1

4

i

xi

yi

324


x[iTab

iTab

1Tab

4=

1

4

i

xi

20

การพมพเพอหาผลบวก 21

4

1 i

x


x[i

Space Bar

^

2Tab

iTab


1Tab

4=

1

4

i

xi 2

130

การพมพเพอหาผลบวก ii

4

1 i

yx


x[i

Space Bar

*

y[iTab

iTab

1Tab

4=

1

4

i

xi

yi

324


2.14 การสรางตารางฟงกชน

การสรางตารางฟงกชนมขนตอนทสาคญดงตอไปน

ขนท 1. กาหนดชวงของตวแปร x

ขนท 2. กาหนดสตรของฟงกชน f(x)

ขนท 3. พมพคาของ x และ f(x)



x:1;4 x 1 4 .

f(x):2*x+4 f x( ) 2 x 4 .

x= x

1

2

3

4

f(x)= f x( )

6

8

10

12

หมายเหต ในกรณทคา x เพมไมเทากนสามารถคานวณในรปแบบตารางไดดงน

2.15 การคานวณคาเกยวกบจานวนเชงซอน

ตวอยาง (3 + 4i) + (5 – 9i) = 8 – 5i

3 + 4i = 5


z : 3+4i z 3 4i .

w : 5–9i w 5 9i .

x 1 4

f x( ) 2 x 4

x

1

2

3

4

f x( )

6

8

10

12

x

2

5

7

12

f x( ) 2 x 4 f x( )

8

14

18

28


z+w= z w 8 5i

z= z 5

2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0

ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 2 = 0


f(x):x^2

Space Bar

–2 f x( ) x2

2 .

x:1 x 1 .

root(f(x), x)= root f x( ) x( ) 1.414 .

หมายเหต คาสง root เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน

โดยกาหนดจดเรมตนของการหารากท x = 1

ตวอยางการหารากของสมการอน ๆ เชน

2.17 การผลเฉลยของระบบสมการ

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8

x + y = 3


x:0 x 0 .

y:0 y 0 .

Given Given .

2*x+3*y

Ctrl+=

หมายเหต◌ กด Ctrl+= จงจะไดสญลกษณ = ทมสดา

เขม ตามรปแบบของชดคาสง Given

8 2 x 3y 8

x+y

f x( ) x2

x 20

x 1 root f x( ) x( ) 5

x 2 root f x( ) x( ) 4


Ctrl+=

3 x y 3

Find(x, y)= Find x y( )1

2

หมายเหต ชดคาสง Given และ Find เปนคาสงทใชหาผลเฉลยของระบบสมการดวยวธของนวตน

โดยกาหนดจดเรมตนของการหาผลเฉลย x = 0 และ y = 0

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน

การหาจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25

และเสนตรง 3x + 4y = 0

2.18 การคานวณคา rn

C และ rn

P

สตร rn

C = )!rn(!r

!n

สามารถกาหนดเปนสตรในโปรแกรม Mathcad ไดดงน


C(n, r):n!

/

r!*

(n–r)! C n r( )n

r n r( )

C(5, 1)= C 5 1( ) 5

C(5, 2)= C 5 2( ) 10

การกาหนดสตร rn

P = )!rn(

!n

P(n, r):

/

(n–r)! P n r( )n

n r( )

P(5, 1)= P 5 1( ) 5

P(5, 2)= P 5 2( ) 20

x 1 y 1

Given

x2

y2

25 3x 4y 0 .

Find x y( )4

3


ตวอยางการคานวณในรปแบบตาราง

2.19 การคานวณทใหผลลพธเปนสตร

โปรแกรม Mathcad สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน

การกระจายพหนาม (x – 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x – 2

การแยกตวประกอบ 4x – 2

2x – 3x – 2 แยกตวประกอบไดเปน (x – 2)(x + 1)(2x + x + 1)

การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา

1511

125

43

จดรปเปน

2315

การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x ผลการหาอนพนธคอ 2x

การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( ผลการคานวณเปนสตรคอ 22x + 7x

สามารถหาคาลมตได 1x

lim

(2x + 2x + 4) หาคาลมตไดเปน 7

การคานวณเพอใหโปรแกรม Mathcad แสดงผลเปนสตร มขนตอนดงน

1. พมพสตรทตองการคานวณใหเรยบรอย

2. ใชการกด Space bar เพอขยาย curser ใหคลมบรเวณสตร การลดขนาด curser ทคลมสตรใหกด

หรอใชการลากเมาสเขามาคลมบรเวณทตองการผลการคานวณเปนสตร

3. เลอกคาสงใหโปรแกรม Mathcad แสดงผลเปนสตร

ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2)


(x–1)*(x+2)

Space bar

คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน

คลก บนแถบเมน x2

x 2

หมายเหต หลงจากเลอกบรเวณสตรแลว การสงอกแบบทาไดโดยการกด Alt+s คางไว แลวกด x

r 0 4 r

0

1

2

3

4

C 4 r( )

1

4

6

4

1

P 4 r( )

1

4

12

24

24


ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x – 2

2x – 3x – 2


x^4Space bar–2*x^2

Space bar–3*x–2

กด Space bar 5 ครง

หมายเหต ใชการลากเมาสเขามา

คลมบรเวณสตรกได

หมายเหต การกด Space bar แตละครงจะมเสนตง

ฉากเพมขนมาคลมสตรทเราจะทาการคานวณ

คลก บนแถบเมน

จะไดเมนยอยเปน

คลก บนแถบเมน x 2( ) x 1( ) x

2x 1

ตวอยาง การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา

1511

125

43

จดรปเปน

2315


3/4Space bar

/

5/12Space bar

+11/15




คลก บนแถบเมน 15

23

ตวอยาง การหาสตรอนพนธ dxd 2x


?

หมายเหต ? เปน Shortcut ของ

สญลกษณอนพนธอนดบหนง

xTab

x^2 Tab

Space barSpace bar


คลก บนแถบเมน 2 x .


ตวอยาง การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4(


Ctrl + I

หรอคลก ทแถบเครองมอ

คานวณ Calculus

หมายเหต กด Ctrl + I จะไดสญลกษณปรพนธ

4*x+7Tabx

Space bar


คลก บนแถบเมน 2 x2

7 x .

หมายเหต ผลของการหาปรพนธ ดวยโปรแกรม Mathcad จะไมมคาคงตวเหมอนในวชา CALCULUS

ตวอยาง การหาคาลมต 1x

lim

2x + 2x + 4


Ctrl + L



หมายเหต กด Ctrl + L จะไดสญลกษณลมต

x^2Space bar+2*x+4Tab

xTab

1


Space bar


คลก บนแถบเมน 7

2.20 การใชคาสงในแถบเครองมอ Symbolic ชวยในการคานวณและแสดงผลลพธเปนสตร

การนาแถบเครองมอ Symbolic มาใชงาน

ขนท 1. นาแถบเครองมอ Math

ขนมาบนจอภาพ

ขนท 2. คลกทสญลกษณ จะไดแถบเครองมอ Symbolic

ตวอยางผลการคานวณโดยการใชคาสง

จากแถบเครองมอ Symbolic

2.20.1 การหาสตรอนพนธ dxd 2x โดยใชเครองมอ จากแถบเครองมอ Symbolic


?

หมายเหต ? เปน Shortcut ของ

สญลกษณอนพนธอนดบหนง

xx2d

d2 x

x4x 7

d simplify 2 x2

7 x .

x4

2 x2

3 x 2 factor x 2( ) x 1( ) x2

x 1

1xx2

4 x 2lim

7x 1( ) x 2( ) expand x

2x 2


xTab

x^2 Tab

Space barSpace bar


ทแถบเครองมอ Math

จะไดแถบเครองมอ Symbolic

คลก บนแถบเครองมอ

Symbolic แลวกด xx2d

d2 x .

2.20.2 การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( โดยใชคาสง Symplify จากแถบเครองมอ Symbolic


Ctrl + I



หมายเหต กด Ctrl + I จะไดสญลกษณปรพนธ

4*x+7Tabx

Space bar






Symbolic x4 x 7

d simplify 2 x2

7 x .

2.20.3 การแยกตวประกอบ 4x – 2

2x – 3x – 2 โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic


x^4Space bar–2*x^2

Space bar–3*x–2


หมายเหต ใชการลากเมาสเขามา

คลมบรเวณสตรกได

หมายเหต การกด Space bar แตละครงจะมเสนตง

ฉากเพมขนมาคลมสตรทเราจะทาการคานวณ





factor x4

2 x2

3 x 2 factor x 1( ) x 2( ) x2

x 1

2.20.4 การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2) โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic


(x–1)*(x+2)

Space bar





expand x 1( ) x 2( ) expand x

2x 2 .


2.20.5 การหาคาลมต 1x

lim

2x + 2x + 4 โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic


Ctrl + L



หมายเหต กด Ctrl + L จะไดสญลกษณลมต

x^2Space bar+2*x+4Tab

xTab1

Space bar





Symbolic แลวกด 1xx2

2 x 4lim

7 .

2.20.6 การหาพหนามเทยเลอรดกร k ของฟงกชน ตวอยางการหาพหนามเทยเลอรดกร 3 ของ sin(x)


sin(x)




คลก series บนแถบเครองมอ

Symbolic


5Tab


เลข 5 เปนการหาพหนามเทยเลอรดกรไมเกน 5

x sin x( ) series x 5 1 x1

6x3

เพราะฉะนนพหนามเทยเลอรดกรไมเกน 5 ของ sin(x) คอ x – 6

x3

2.20.7 การหาผลการแปลงลาปลาซ ตวอยางเชน L{sin(t)} = 1s

12


sin(t)




คลก laplace บนแถบเครองมอ

Symbolic

t sin t( ) laplace t1

s2

1

2.20.8 การหาผลการแปลงลาปลาซผกผน ตวอยางเชน }1s

1{L2

1

= sin(t)


1/s^2Space bar+1

Space barSpace bar





คลก invlaplace บนแถบเครองมอ

Symbolic

s 1

s2

1invlaplace s sin t( )

2.20.9 การแยกเศษสวนยอย ตวอยางเชนการแยกเศษสวนยอย )1x(x

1

= x1 –

1x1


1/x*(x+1)Space barSpace

bar




คลก parfrac บนแถบเครองมอ

Symbolic

x 1

x x 1( )convert parfrac x

1

x

1

x 1( )

ในทานองเดยวกนจะไดวา

2 x3

5 x2

x 6

x2

4 x 3convert parfrac x 2 x 3

4

x 1( )

3

x 3( )

บทท 3.

การเขยนกราฟดวย Mathcad

โปรแกรม Mathcad มความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก กราฟ

2 มต กราฟ 3 มต ฯลฯ ในบทท 3 นจะเปนทางานเกยวกบ การเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของ

กราฟทมทงความเหมาะสม และ ความสวยงาม

ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ทาไดเชน

กราฟในพกดมมฉาก 2 มต กราฟพ นผว 3 มต

กราฟในพกดเชงขว กราฟ conture plot

8 4 0 4 825

255075

100100

25

x2

3 x 7

88 x

M

0

45

90

135

180

225

270

315

5

04 cos 2 x( )

x

M

บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 50

3.1 การเขยนกราฟในพกด XY และการปรบรปแบบของกราฟ

ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]


f(x):2*x+3 f x( ) 2 x 3

x:0,0.1;10 x 0 0.1 10 .

คลก ทแถบเครองมอ

จะไดแถบเครองมอ Graph

คลก

บนแถบเครองมอ Graph

หมายเหต กดเครองหมาย @

จะไดสญลกษณของการเขยน

กราฟ X-Y เหมอนกน

xTab

10Tab

หมายเหต 1. การกาหนด x:=0,0.1..10 แปลวาคา x มคาเปน 0, 0.1, 0.2, ... , 10

เพราะฉะนนมการเขยนกราฟทงหมด 101 จด

2. ในกรณทพมพเฉพาะ x และ f(x) โปรแกรม Mathcad กสามารถเขยนกราฟได


f(x)Tab

0Tab

0Tab

30

0 5 100

20

30

0

f x( )

100 x

หมายเหต กดสญลกษณ @ บนแปนพมพจะไดรปแบบของการเขยนกราฟเหมอนกน

ตอไปเราจะทาการเปลยนรปแบบกราฟใหไดหลายๆ แบบเชน

0 2 4 6 8 100

10

20

3030

0

f x( )

100 x

0 2 4 6 8 10

51015202530

30

0

f x( )

100 x

01 2 3 4 5 6 7 8 910

51015202530

30

0

f x( )

100 x


การ Format รปแบบกราฟใหมลกษณะตาง ๆ มขนตอนดงน


เลอกรปของกราฟทตองการ

เปลยนรปแบบ โดยการนาเมาส

ไปคลกทบรเวณของกราฟ

จะเกดกรอบคลมบรเวณกราฟ

คลก Format ทเมนบาร

เลอกเมนยอย Graph

เลอกเมนยอย X-Y Plot

จะไดเมนของการ Format กราฟดงน

หมายเหต วธทสะดวกทสดในการ Format กราฟคอ กดดบเบลคลก ในบรเวณกราฟทเราตองการจดรปแบบ

เมนยอยทมคอ X-Y Axes เมนยอยเกยวกบลกษณะของกรอบ และ สเกล

Traces เมนยอยเกยวกบลกษณะของเสนกราฟ สของกราฟ การพลอตจด

Labels เมนยอยเกยวกบการพมพชอของ แกน X แกน Y

Defaults เมนยอยของการกาหนดคามาตรฐานของการเขยนกราฟ

X-Y Axes เมนยอยของการจดรปแบบเกยวกบแกนพกด

Log Scale ใชกาหนดวาแกน X หรอ แกน Y เปนสเกล log

Grids Lines ใชกาหนดวาตองการตเสน grid หรอไม

Numbered ใชกาหนดวาตองการพมพตวเลขทแกน X หรอ แกน Y หรอไม

Autoscale ใชกาหนดวาตองการในคอมพวเตอรคานวณสเกลใหหรอไม

Show Markers ใชกาหนดวาตองการใหพมพสญลกษณท Plot กราฟหรอไม

Auto Grid ใชกาหนดวาตองการกาหนดจานวน grid เองหรอไม

Boxed ใชกาหนดวาตองการเขยนกราฟในกรอบสเหลยม


Crossed ใชกาหนดวาตองการเขยนกราฟโดยไมมกรอบสเหลยมลอมรอบ

None เปนการกาหนดวาไมตองเขยนแกน X และ แกน Y

หมายเหต มเครองหมาย ถก ในชองสเหลยมแปลวาตองการเลอก Option นน

Traces เมนยอยของการจดรปแบบ

เกยวกบการพลอตจดของกราฟ

Legend Label ใชแสดงหมายเลขเสนกราฟ

Symbol ใชกาหนดสญลกษณในการเขยนจด

เชนใชเครองหมาย +, x

Line ใชกาหนดชนดของเสนกราฟ

เปนเสบทบ เสนปะ

Color ใชกาหนดสของเสนกราฟเปน

สดา สแดง สนาเงน

Type ใชกาหนดรปแบบของเสนกราฟ

เชน พลอตเปนจด พลอตเปนจดและโยงเสน

Weigth ใชกาหนดความเขมหรอความหนาของเสนกราฟโดยทความเขมเพมจาก 1 ถง 9

ตวอยางของทางเลอก (Options)

ทมใหเลอกดจากภาพน


การเลอกใหคลกทบรเวณ

ของชองตรงตาแหนงหมายเลข 1

Label เมนยอยของการกาหนดคาอธบายเกยวกบแกนพกด


กาหนด Title เปน Graph of function y = f(x)

กาหนด Label ของแกน X เปน Value of X

กาหนด Label ของแกน Y เปน Value of Y

และเลอก Option Show Title

ดวยการ check box หนา Show Title ดวย

เสรจแลวคลก OK หรอทดลองคลก Apply


ภาพทไดคอ

Defaults เมนยอยกาหนดคามาตรฐานของการเขยนกราฟ

ใชในการเลอกการ

การกาหนดลกษณะกราฟ (Format)

ตามทโปรแกรม Mathcad กาหนดไว

ตวอยางการเปลยนรปแบบ การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]

จากรปเดม ใหกลายเปน

ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณ

ของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ

ขนท 2.

กาหนดทางเลอก (Options) ใน X-Y Axes ดงน

1. คลกท Auto Grid ของ แกน X

ใหเครองหมายถก หายไปเพอยกเลก Auto Grid

2. พมพ 5 ในชอง No. of Grids ของ แกน X

3. คลกท Auto Grid ของ แกน Y

ใหเครองหมายถก หายไปเพอยกเลก Auto Grid

4. พมพ 3 ในชอง No. of Grids ของ แกน Y

ขนท 3. คลก OK หรอ คลก Apply ภาพทไดคอ

0 2 4 6 8 100

10

20

3030

0

f x( )

100 x

0 2 4 6 8 100

10

20

3030

0

f x( )

100 x0 5 10

0

20

30

0

f x( )

100 x

0 5 100

20

Graph of function y = f(x)

Value of x

Val

ue o

f y

30

0

f x( )

100 x




ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ

ขนท 2.



ใหเครองหมายถกหายไป

เพอยกเลก Auto Grid


3. คลกท Auto Grid ของ แกน Y

ใหเครองหมายถก หายไป



5. คลกทวงกลมหนา Crossed

ใหเกดจดดาในวงกลม

6. เสรจแลวคลก OK หรอ คลก Apply

จะไดภาพตามทตองการ



01 2 3 4 5 6 7 8 910

51015202530

30

0

f x( )

100 x

0 2 4 6 8 100

10

20

3030

0

f x( )

100 x

01 2 3 4 5 6 7 8 910

51015202530

30

0

f x( )

100 x

0 2 4 6 8 10

51015202530

30

0

f x( )

100 x


ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ

ขนท 2.



ใหเครองหมาย ถกหายไป



3. คลกท Auto Grid ของแกน Y

ใหเครองหมาย ถกหายไป



5. คลกทชอง Grid Line ใหเกดเครองหมายถก

ทงของแกน X และแกน Y

6. เสรจแลวคลก OK หรอ คลก Apply

จะไดภาพตามทตองการ

3.2 การยอและขยายขนาดของกราฟ

เขยนกราฟ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]

เพอเปนตวอยางในการยอและขยาย

ขนตอนการยอและขยายขนาดกราฟ

ขนท 1. ลากเมาสเขาไปคลมบรเวณของกราฟ จะเกดกรอบสเหลยมทมเสนแบบเสนไขปลาลอมรอบกราฟ


ขนท 2. ขณะทกรอบเสนไขปลาลอมรอบกราฟ ใหปลอยมอจะเกดสเหลยมขอบเสนตรงคลมกราฟ

ขนท 3. ลากเมาสไปยงจดสดาทขอบของกรอบสเหลยมจะเกด

สญลกษณ หรอ หรอ การยอหรอขยายทาไดโดยลาก

เมาส ขณะทเกดลกศรตรงขอบทเอาเมาสไปเลอกไว

1. ยอหรอขยายทางดานขาง

2. ยอหรอขยายทางดานบน และ ลาง

3. ยอหรอขยายทงสองดานพรอมกน

ตวอยางการยอหรอขยายเชน

3.3 การ COPY CUT และ PASTE กราฟ

เขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3

บนชวง [0, 10] เพอเปนตวอยาง

นาเมาสเขาไปคลกทบรเวณของกราฟ

จะไดสเหลยมทมเสนทบคลมรป

กดฟงกชนคย F2 หรอ Ctrl + C

เปนการ Copy กราฟรปน

เลอน Curser ไปทบรเวณนอกกราฟรปเดม

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1005

1015202530

30

0

f x( )

100 x

01 23 45 6 78 91005

1015202530

30

0

f x( )

100 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

3030

0

f x( )

100 x


กดฟงกชนคย F4 หรอ Ctrl + V

เปนการ Paste กราฟท Copy

ไวลงตรงตาแหนงท Curser อย

ผลบนจอภาพคอ

หมายเหต หากตองการลบกราฟในกรอบทงทเลอกไว ใหกดฟงกชนคย F3 หรอ Ctrl + X

การเคลอนยายรปของกราฟโดยการลากเมาส

ขนท 1. ลากเมาสมาทเสนกรอบสเหลยม จะเกดรปมอทขอบของรปสเหลยมทคลมกราฟ

ขนท 2. กดเมาสคางไวและลากเมาสไปดวย กราฟรปนนกจะเคลอนยายตาม

หมายเหต เมอเลอกบรเวณของสตรบนจอภาพ เชนผลการคานวณ รปกราฟ หรอบางสวนในสตร

การกด ฟงกชนคย F2 หรอ Ctrl + C หมายถงการ Copy สตรหรอบรเวณทเลอกนน

ฟงกชนคย F3 หรอ Ctrl + X หมายถงการ Cut หรอการลบ สตรหรอบรเวณทเลอกนน

ฟงกชนคย F4 หรอ Ctrl + V หมายถงการ Paste สตรหรอบรเวณท copy ไว

3.4 การเขยนกราฟของแผนภาพการกระจายของขอมล

ตวอยางของขอมลเชน

การเขยนแผนภาพการกระจายของ X และ Y


กาหนดขอมล x และ y

กาหนดจดเรมตน

ORIGIN:1

และกาหนดตว Subscript

i:1;5

x

2

5

7

11

15

y

4

10

25

32

38

ORIGIN 1 i 1 5 .

กดเครองหมาย @

หรอคลก


x y

2 4

5 10

7 25

11 32

15 38


x[iTab

16Tab

y[iTab

0Tab

0Tab


40Tab

0 100

20

4040

0

yi

160 xi

กราฟทไดยงไมเปนแผนภาพการกระจาย ตอไปเราจะทาการ Format กราฟใหใหสวยงามและเหมาะสมเชน

การเปลยนรปแบบกราฟใหเปนแผนภาพการกระจายทมรปเปน

มขนตอนดงน

ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ

โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ

จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ

ขนท 2.

1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis

และ ใส Number of Grids เปน 4

2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis


3. เลอก Axis Style เปน Crossed

ขนท 3.

1. เลอกเมนยอย Traces

โดยการคลกไปท Traces

2. เลอก Type การพลอตเปน points

3. เลอก Weight การพลอตเปน 3

0 4 8 12 16

10

20

30

4040

0

yi

160 xi


ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน

การเปลยนรปแบบกราฟใหเปนแผนภาพการกระจายทมรปเปน





ขนท 2.






ขนท 3.



2. เลอก Symbol การพลอตเปน box

3. เลอก Type การพลอตเปน lines



3.5 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก

ตวอยางเชนการเขยนกราฟของเสนโคง

ทมสมการพาราเมตรก

x(t) = 80t

y(t) = –162t + 80t

บนชวง 0 t 5

0 4 8 12 16

510152025303540

40

0

yi

160 xi

t 0 0.1 5

x t( ) 80 t

y t( ) 16 t2

80 t

0 200 4000

100

y t( )

x t( )


ขนตอนการเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก


t:0,0.5;5

x(t):80*t

y(t):-16*t^2Tab+80*t

t 0 0.5 5

x t( ) 80 t

y t( ) 16 t2

80 t

กด @

x(t)Tab

400Tab

y(t)Tab


–25Tab

0Tab

125

กราฟทไดสามารถจดรปแบบไดหลายลกษณะเชน

การเปลยนรปแบบกราฟใหมรปเปน





0 100 200 300 40025

255075

100125

125

25

y t( )

4000 x t( )


ขนท 2. 1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis





ขนท 3.






การเปลยนรปแบบกราฟใหมรปเปน





ขนท 2.






4. เลอกแสดง Grid Lines ท Y–Axis

0 100 200 300 40025

255075

100125

125

25

y t( )

4000 x t( )


ขนท 3. 1. เลอกเมนยอย Traces


2. เลอก Symbol การพลอตเปน box




3.6 การเขยนกราฟของสมการในพกดเชงขว

ตวอยางเชนการเขยนกราฟของฟงกชน

r(t) = 5sin(2t) บนชวง ] 2 , 0[

วธทา

ขนตอนการเขยนกราฟพกดเชงขว


t:0,0.1;2*

r(t):5*sin(2*t)

t 0 0.1 2

r t( ) 5 sin 2 t( )

คลก ทแถบเครองมอ

จะไดแถบเครองมอ Graph

คลก


หมายเหต Ctrl + 7

จะไดสญลกษณของการเขยน

กราฟพกดเชงขว

tTab

t 0 0.1 2

r t( ) 5 sin 2 t( )

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

420

5

0r t( )

t


r(t)Tab

0Tab

หมายเหต 0 เปนคานอยทสด

ของ 5sin(2t)

5

หมายเหต 5 เปนคามากทสด

ของ 5sin(2t)

หมายเหต เราสามารถจดรปแบบกราฟในพกดเชงขวโดยการกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนยอย

ของการจดรปแบบกราฟในพกดเชงขวเปนดงน

เมนยอย Polar Axes

Log Scale กาหนดใหใชสเกล log

Grid Lines กาหนดใหตเสน grid

Number กาหนดใหมการเขยน

ตวเลขกากบสเกล

Show Markers กาหนดใหแสดงชนดของการ Plot

Auto Grid กาหนดจานวน Grid -ของแนวมม

และ แนวรศม

Perimeter กาหนดให Plot กราฟในแบบวงกลม

Crossed กาหนดให Plot กราฟ

ในแบบทมแกน X และ Y ตดกน

None เลอก Plot กราฟแบบไมมแกนพกด

เมนยอย Traces เมนยอย Labels เมนยอย Defaults


มหนาทเหมอนกราฟในพกดแกน XY (ดหวขอ 3.1) ตวอยางการจดรปแบบของกราฟและภาพของกราฟทได

3.7 การเขยนกราฟแบบ 3 มต

ตวอยางเชน กราฟของ f(x, y) = 2x –

2y บนชวง [–2, 2] [–2, 2]

การเขยนกราฟพ นผว 3 มต แบบท 1.


x:-2,-1.99;2 x 2 1.99 2 .

y:-2;-1.99;2 y 2 1.99 2 .

f(x,y):x^2Space bar–y^2 f x y( ) x

2y

2 .

คลก



จะไดสญลกษณของการเขยนกราฟ

3 มต

f

f.

0

45

90

135

180

225

270

315

543210

5

0r t( )

t


การเขยนกราฟพ นผว 3 มต แบบท 2.


i:1;20 i 1 20 .

j:1;20 j 1 20 .

x[i:-2+0.2*i xi

2 0.2 i .

y[j:-2+0.02*j yj

2 0.2 j .

f(x,y):x^2Space bar–y^2 f x y( ) x2

y2

M[(i,j):f(x[iSpace bar,y[j) Mi j( )

f xi

yj

คลก



จะไดสญลกษณของการเขยนกราฟ

3 มต

M

M

การจดรปแบบของการเขยนกราฟ 3 มต

ทาไดโดยการกดดบเบลคลกทรปของกราฟ

จะไดเมนยอยของการเขยนกราฟ 3 มตคอ


เมน General

View ใชกาหนดเกยวกบมมมองของภาพ

Rotation กาหนดมมทหมนภาพ

องกบแกนมมฉาก ในการมองภาพ

Tilt กาหนดมมกม หรอ มมเงย

ของสายตาในการมองภาพ

Twist กาหนดมมทหมนภาพองกบแกนมมฉาก

ในการมองภาพ

Display As

Surface Plot กาหนดให plot กราฟแบบพนผว

Data Points กาหนดให plot กราฟแบบพนผวแบบกราฟแสดงขอมล

Bar Plot กาหนดให plot กราฟแบบ bar graph

Contour Plot กาหนดให plot กราฟแบบคอนทวร

Vector Field Plot กาหนดให plot สนามเวกเตอร

Patch Plot กาหนดให plot รปแบบพเศษ patch plot

Axes Style

Perimeter กาหนดใหแสดงแกนพกด หรอไมแสดงแกนพกด กราฟทดานลางของกราฟ

Corner กาหนดใหแสดงแกนพกด หรอไมแสดงแกนพกดในระบบพกด XYZ

None กาหนดใหไมแสดงแกนพกด

Frames

Show Border กาหนดใหแสดงขอบของรป

Show Box กาหนดใหแสดงกลองทคลมรป

เมน Axes

ใชกาหนดเกยวกบเสนของการเขยนกราฟ

X-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน X

Y-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน Y

Z-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน Z

เมน Apperarance

ใชในการกาหนดส การแรเงา ลกษณะเสน

ของการ plot กราฟ

เชน Alternate Mesh แสดงกราฟในรปแบบตาขาย


เมนยอย Graph Title

ใชกาหนดเกยวกบชอของกราฟ

เชนแสดงชอของกราฟ ชอของฟงกชน

โดยเลอกแสดงไวเหนอกราฟ ใตกราฟ

หรอไมแสดง

หมายเหต การหมนภาพพนผวสามารถทาไดโดยการนาเมาสไปดบเบลคลกทรป และนา pointer ชในกรอบรป

ของกราฟ การหมนภาพพนผวทาไดโดยใชการเคลอนทของเมาสเปนตวควบคม

ตวอยางของการเขยนกราฟแบบตาง ๆ

รปแบบการเลอกแบบท 1.



กราฟรปแบบ Contour Plot

M

M

M


3.8 ตวอยางการประยกตวธเขยนกราฟในรปแบบผสม

3.8.1 การเขยนกราฟ 2 เสนพรอมกน

ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + x – 1

และ g(x) = 102x – 12

แนะนาการพมพ

การพมพสตรของฟงกชนบนแกน Y

เมอพมพ f(x) ทตาแหนงแกน Y แลว ใหกด ,

จะเปนการขนบรรทดใหม

ใหพมพ g(x) แลว กด Tab เพอเลอนไปตาแหนงอน ๆ ตอไป

ตวอยาง กราฟพกดเชงขว

ของ f(t) = 5 + 4sin(t)

และ g(t) = 12cos(2t)

3.8.2 การเขยนกราฟใหมลกษณะของการแรเงา

แนะนาการพมพ

กาหนดโดเมนของการ Plot ใหตางกน

แตใชสตรของ f เหมอนกน

กาหนดชวง x และ t ใหตางกน

บนแกน Y ใหพมพ f(x),f(t)Tab

และ บนแกน X ใหพมพ x,tTab เลอกรปแบบการ plot ของเสนกราฟ f(t) เปนแบบ bar graph

3.8.3 การเขยนกราฟของคลาดบ และ กราฟเสนในกรอบเดยวกน

แนะนาการพมพ ทแกน Y ใหพมพ y[i,f(t)Tab

ทแกน X ใหพมพ x[i,tTab

กราฟเสนท 1 เลอก Type ของการ plot เปน points

กราฟเสนท 1 เลอก Weight การ plot เปน 3 และ กราฟเสนท 2 เลอก Type ของการ plot เปน lines

2 1 0 1 2

15

15

3030

15

f x( )

g x( )

22 x

t 0 0.1 2

f t( ) 5 4 sin t( )

g t( ) 12 cos 2 t( )

0

45

90

135

180

225

270

315

12840

12

0

f t( )

g t( )

t

4 3 2 1 0 1 2 3 4

2

4

6

88

0

f x( )

f t( )

44 x t

ORIGIN 1

i 1 5x

3

5

10

15

22

y

12

35

57

63

74

f x( ) 3 x 14

t 0 0.1 30

0 5 10 15 20 25

16

32

48

64

8080

0

yi

f t( )

250 xi t

x 2 1.9 2

f x( ) x3

x 1

g x( ) 10 x2

12 .

f x( ) x2

x 4 3.99 4.

t 2 1.9 2.5


3.8.4 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 2 เสนพรอมกน

แนะนาการพมพ การพมพบนแกน X ใหพมพ x(t), z(t)

การพมพบนแกน Y ใหพมพ y(t), w(t)

กาหนดรปแบบการ Plot ของเสน 1 เปนแบบ lines และ เลอก Symbol เปนวงกลม

กาหนดรปแบบการ Plot ของเสนท 2 เปนแบบ lines และ เลอก Symbol เปนสเหลยม

3.8.5 การเขยนกราฟโดยการกาหนดฟงกชนทตาแหนงของแกน และ รปแบบอน ๆ

กราฟของ )x2sin(e3y x กราฟของ y = sinx และ )x2sin(e3y x

กราฟของ x = cosy กราฟของ r = 8cos(2t) และ r = 6(cost + sint)

t 0 0.5 10

x t( ) 80 t

y t( ) 10 t2

100 t

z t( ) 60 t

w t( ) 15 t2

150 t

0 200 400 600 800100

100

200

300

400400

100

y t( )

w t( )

8000 x t( ) z t( )

y 1 0.99 4

2 1 0 1 21

1

2

3

4

y

cos y( )

t 0 0.01 2

0

45

90

135

180

225

270

315

1086420

8 cos 2 t( )

6 cos t( ) sin t( )( )

t

x 0 0.01 6

0 1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

3 ex sin 2 x( )

x

x 0 0.01 6

0 1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

3 ex sin 2 x( )

sin x( )

x

บทท 4.

การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad

ในบทนจะเปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป Mathcad เชนการพมพสตรคานวณทมความ

ยงยากซบซอน การแกไขสตรทพมพผด การเปลยนแปลงขนาดตวแปร ตวอกษร ตวเลข และการกาหนด

ขอความหรอคาอธบายตาง ๆ ฟงกชนทสาคญทางคณตศาสตร และ ตวแปรทสาคญทางคณตศาสตร

4.1 การกาหนดคาตางๆ ในการแสดงผลเกยวกบตวเลข

การกาหนดตาแหนงของทศนยม

คา default ของการแสดงผลทศนยมกาหนดใหแสดง 3 ตาแหนง

การแสดงผลในรปแบบเลขยกกาลง

คา default ของการแสดงผลการคานวณทใหญหรอเลกเกนไปจะแสดงเปนเลขยกกาลง

การกาหนดฐานของตวเลขในการคานวณ

คา default ของการแสดงผลการคานวณโดยทวไปจะคดเปนเลขฐาน 10


วธเปลยนรปแบบการแสดงผลของตวเลข

ขนท 1. เลอนเมาสไปท Menu Bar คลกท Format จะไดแถบคาสง

ใหเลอกคาสง Result

จะไดเมนยอยของการ Format ตวเลขและการแสดงผลเปนดงน

บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 74

เมน Result Format

เมนยอย Number Format

General

Number of decimal places

เลอกวาตองการแสดงผลกตาแหนง

โดยการเปลยนคาในชองตวเลข

Show trailing zeros

กาหนดให ตดศนยทายเลขทศนยม

ทงไปหรอใหแสดงออกมาดวย

Show exponents in engineering format ตองการแสดงผลเปนเลขยกกาลงหรอไม

Exponential threshold ใชกาหนดคา k , k = 1, 2, 3, ... , 15 เพอกาหนดเงอนไขในการแสดงผลตวเลข

ถาตวเลขทตองการแสดงผลมคาสงกวาหรอตากวา k

10

แลวใหแสดงผลในรปแบบเลขยกกาลง

เมนยอย Display Options

Matrix display style

เลอกการแสดงผลของตวแปร

ในรปแบบ เวกเตอร เมทรกซ หรอรปแบบตาราง

Imaginary value

เลอกสญลกษณแทนจานวนเชงซอน 1 เปน i หรอ j

Radix

เลอกการแสดงผลตวเลขเปนเลขฐาน 10, 2, 8 หรอ ฐาน 16

เมนยอย Unit Display

Format units

กาหนดใหแสดงหนวยของผลลพธการคานวณ

Simplify units when possible

กาหนดใหแสดงหนวยของผลลพธการคานวณตามความเหมาะสมของผลการคานวณทได

เมนยอย Tolerance

Complex threshold

กาหนดการแสดงผลเกยวกบจานวนเชงซอน

กาหนดคา k = 0, 1, 2, 3, ... , 63

ตวอยางเชน k = 10 ถา 1010

)zIm()zRe( แลว จะแสดงผลเฉพาะคาของ Re(z)

ถา 1010

)zRe()zIm( แลว จะแสดงผลเฉพาะคาของ Im(z)


Zero threshold

กาหนดการแสดงของตวเลขวา

ตองการปดเปนศนยหรอไม

k = 0, 1, 2, 3, ... , 307

การแสดงผลของตวเลขจะปดเปนศนยถาคาของตวเลขนนตากวา k10

ตวอยาง 008333.01201

จะแสดงผลตามคาของ Zero threshold ดงน

Zero threshold การแสดงผล

3 1

1200.008333 .

2 1

1200 .

ตวอยาง Number Format และผลลพธบนจอภาพ




ตวอยางการแสดงผลแบบเมทรกซกบรปแบบตาราง

ตวอยางผลลพธทเลอกใชคา Complex threshold

Complex threshold ผลการคานวณทแสดงผลออกมา

10 1

120

1

2i 8.333 10

3 0.5i .

1 1

120

1

2i 0.5i

1

4

1

150i 0.25

2 1

120

1

2i 8.333 10

3 0.5i .

Predefined Math Constants คอคาคงตวทโปรแกรม Mathcad กาหนดไวใหมดงน

สญลกษณ ตวแปร การพมพ คาตวเลข

Ctrl + Shift + z 307101

e e e 2.71828182845905 .

Ctrl + Shift + p 3.14159265358979 .

i 1i 1

j 1j 1

% % A% มคา = 100A

เชน 27 % 0.27 .

ORIGIN ORIGIN:k ORIGIN k .

กาหนดคา Subscript เรมตนของตวแปร

TOL TOL:0.000...01 คาท Mathcad กาหนดคอ TOL = 0.001

เราสามารถกาหนดเปนคาอน ๆ ได เชน

TOL 0.00001 .

CTOL CTOL:0.000...01 คาตวเลขทใชควบคมความถกตองของการ

หาผลเฉลยของระบบสมการ

ตวอยางเชนการหารากสมการ 2x – 2 = 0 ซงมคาราก x = 2

TOL 0.01 .

x 1 root x2

2 x 1.413828

TOL 0.000001 .

x 1 root x2

2 x 1.414214

คา TOL นอยคารากทไดจะถกตองมากขน คาสง root(f(x),x) คอรากของสมการ f(x) = 0

ORIGIN 1 i 1 3 j 1 3 xi j( )

i j .

x

2

3

4

3

4

5

4

5

6

x

1 2 3

1

2

3

2 3 4

3 4 5

4 5 6


4.2 การพมพสตรทยงยากซบซอน

การพมพสตรทางคณตศาสตรทมความยงยากซบซอนเชน 2

2z

e2

1)z(f

มแปนอกขระชวยในการพมพคอ

Space bar ใชขยายบรเวณของเสนตงฉาก (บรเวณเสนสนาเงนทคลมสตร) คราวละหนงขนตอน

แปนลกศร ใชเลอนตาแหนงของ Curser หรอ เสนตงฉาก ทอยในบรเวณสตร

แปนลกศร ใชยกเลกบรเวณของเสนตงฉากทกาลงคลมสตร

ตวอยางการพมพสตร 2

2z

e2

1)z(f


f(z):1

\

2*

2*Ctrl + Shift + p

Space bar

เสนตงฉากขยายมาคลมเลข 2

Space bar

เสนตงฉากขยายมาคลม

Space bar

เสนตงฉากขยายมาคลมทงเศษและสวน

*

e^

–z^2

เสนตงฉากคลมเฉพาะเลขกาลง 2


Space bar

เสนตงฉากขยายคลม 2z

/

เฉพาะบรเวณเสนตงฉากคลมเทานนทถกหาร

2

f z( )1

2 e

z2

2

หมายเหต f(z) เปนฟงกชนทชวยในการหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน เชน P(–1 z 1) = 0.6827

4.3 การลบ การคดลอก สตร ตวแปร และ ตวเลข

ใน Mathcad จะมอง สตร ตางๆ เปนบรเวณทลอมดวยกรอบสเหลยม

เมอทาการกดเมาสคางไว

แลวลากเมาสเขาไปทบรเวณของสตร

จะเหนกรอบสเหลยมคลมสตร

เมอปลอยมอกจะมกรอบสเหลยมคลมสตรทงหมด

และ มเสนตงฉากคลมสตรตวจรงภายใน

เชน ลากเมาสไปคลมสตร x + y = 17

ขณะนเราไดทาการเลอกบรเวณของสตรแลว

ขณะนเราสามารถทาการ copy , cut , paste หรอ เคลอนยายสตรได ดวยการกด

การกด ฟงกชนคย F2 หรอ Ctrl + C หมายถงการ Copy สตรหรอบรเวณทเลอกนน

ฟงกชนคย F3 หรอ Ctrl + X หมายถงการ Cut หรอการลบ สตรหรอบรเวณทเลอกนน

ฟงกชนคย F4 หรอ Ctrl + V หมายถงการ Paste สตรหรอบรเวณทเลอกไว

f z( )1

2 e

z2

2

z 4 3.99 4

t 1 0.9 1

1

1

zf z( )

d 0.6827 4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.5

0

f z( )

f t( )

44 z t


การเคลอนยายสตรทาไดโดยการนาเมาสไปขอบของสเหลยม เมอเรากดเมาสคางไวกจะเปนรปมอทขอบ เมอเรา

ลากเมาสไป กรอบสเหลยมทคลมสตรกจะยายตามไปดวย

4.4 การแกไขเกยวกบการพมพผด

เนองจาก Mathcad จะทาการจดรปแบบการพมพใหเหมาะสมตลอดเวลา ดงนนการทเราจะทาการลบอกษร

บางตวดวย Backspace หรอ Delete หรอการพมพแทรก Insert ภายในสตรอาจจะทาใหรปแบบของ

สตรขณะนนเปลยนแปลงไป อยางไรกตามหากเรามความชานาญในการเอา Pointer ไปชตองตาแหนงทเรา

ตองการ ลบ หรอ พมพแทรก กจะทาใหการแกไขทาไดสะดวกมากขน และทางเลอกสดทายสาหรบผทเรมตนใช

Mathcad ขอใหพมพใหมดทสด หรอพมพอยางชาตามคาแนะนา เมอชานาญแลวคอยพมพใหเรวขน

ตวอยางการแกไขสตรจาก 2

2z

e2

1)z(f

เปน

4ze2

)z(f


เอา Pointer ไปชทเลข 1 ของสตร

f z( )1

2 e

z2

2

Backspace

2


ในเครองหมาย

Backspace

Delete


Delete


ทเปนตวหาร 2z

BackspaceDelete

Delete

4 f z( )

2

e

z4

4.5 การทา Remark ใน Mathcad

ในการทางานเราสามารถเขยนคาอธบายเพอเปนหมายเหต

ประกอบสตรคานวณ และ/หรอ คาอธบายของตวโปรแกรม ตวอยางเชน

ในตวอยางน Program 1 addition เปนหมายเหตของตวโปรแกรมซง Mathcad เรยกขอมลแบบนวา Text

การพมพขอมลแบบ Text ใน Mathcad


“

Program 1 Addition

PageDown Program 1 addition

หมายเหต กด จะไดบรเวณสเหลยมสาหรบพมพขอความ

ในบรเวณกรอบของ Text การกด Enter คอการขนบรรทดใหมภายในกรอบ

การออกจากบรเวณของ Text ตองกด PageDown


4.6 การเปลยนแปลงขนาดและรปแบบของตวอกษร และ ตวเลข

การเปลยนแปลงขนาดและรปแบบตวอกษรตวเลข วธทาคลายกบการใชโปรแกรม Microsoft Word หรอ Excell

แตในโปรแกรม Mathcad จาแนกรปแบบออกเปน 3 กลมคอ

1. กลมตวเลข

2. กลมตวอกษร

3. กลมตวเลข และ ตวอกษรทอยในบรเวณของ Text

ตวอยาง ภาพจากหนาจอ Mathcad

1. Curser อยท text

2. ชองแสดงชนดเปน Normal

3. Font ของ text คอ Arial

4. ขนาดของ Font เปน 10 point


1. Curser อยท ตวแปร a

2. ชองแสดงชนดเปน Varibles

3. Font ของ Variables คอ Time New Roman



1. Curser อยท ตวเลข

2. ชองแสดงชนดเปน Constants

3. Font ของ Constants คอ Tahoma


การเปลยน Fonts หรอ ขนาดของ Fonts

ขนท 1. ใหนา pointer ไปคลกท Text, Variables หรอ Constants

ขนท 2. เลอกชนดของ Fonts เปน Time New Roman , Tahoma ตามทตองการ

ขนท 3. เลอกขนาดของ Fonts เปน 8, 10, 12, ... ตามทตองการ

ตวอยางเชน การเปลยน Text Variables และ Constants เปน Tahoma 12

Program additiona 1b 2a b 3


4.7 การหารากสมการ และผลเฉลยของระบบสมการและการควบคมความถกตอง

การคานวณเกยวกบการหารากของสมการ เชนการใชคาสง root หรอ การหาคาตอบของระบบสมการดวย

ชดคาสง Given...Find โปรแกรม Mathcad จะตรวจความถกตองวาคาตอบทไดนนถกตองมากหรอนอย โดย

การตรวจสอบคาคลาดเคลอนกบคาของ TOL และ CTOL ซงเปนตวแปรทกาหนดคาไวลวงหนาแลวเปน

0.001 ดงนนหากเราตองการความถกตองมากขนจะตองลดคาของ TOL หรอ CTOL ใหเลกลงเชนกาหนด

TOL = 0.0000001 หรอ CTOL = 0.00000001

การหารากของสมการ f(x) = 0

ขนท 1. กาหนดสตร f(x)

ขนท 2. กาหนดจดเรมตนของการประมาณคาราก

ขนท 3. กาหนดคา TOL

ขนท 4. ใชคาสง root(f(x),x)

ตวอยางการหารากของสมการ 2x – 2 = 0


f(x):x^2Spacebar–2 f x( ) x

22 .

x:1 x 1 .

TOL:0.1 TOL 0.1 .

root(f(x),x)= root f x( ) x( ) 1.406654 .

TOL:0.000001 TOL 0.000001 .

root(f(x),x)= root f x( ) x( ) 1.414214 .

หมายเหต คาจรงทถกตอง 14 ตาแหนงของรากสมการ 2x – 2 = 0 คอ 2 1.4142135623731 .

เมอเขาสโปรแกรม Mathcad ครงแรกคาของ TOL กาหนดไวเทากบ 0.001

การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยชดคาสง Given...Find

ขนท 1. กาหนดคา TOL

ขนท 2. กาหนดจดเรมตนของการประมาณคาราก

ขนท 3. ใชคาสง Given

ขนท 4. พมพระบบสมการ

ขนท 4. ใชคาสง Find

ตวอยางการหาจดตดของเสนตรง y – x = 0 กบ วงกลม 2x +

2y = 1


CTOL:0.00001 CTOL 0.00001 .

x:1 x 1 .

y:1 y 1 .


Given Given .

y-xCtrl+=0 x y 0 .

x^2Spacebar–+y^2

SpacebarCtrl+=1

x2

y2

1 .

Find(x,y)= Find x y( )

0.7071054437

0.7071054437

.

หมายเหต เมอเราลดขนาดของ CTOL ผลการคานวณจะถกตองมากขน ตวอยางเชน

หมายเหต พกดจดตดทแทจรงคอ (x = 0.707106781186547 , y = 0.707106781186547)

4.8 การบนทกแฟมขอมล Mathcad และ เรยกแฟมขอมลขนมาทางาน

เมอเรมทางานครงแรกกบ Mathcad จะเหนวาชอแฟมของงานทเราทาจะมชอทโปรแกรม Mathcad กาหนดคอ

[Untitled: 1] สมมตงานทเราทาขณะนคอ โปรแกรมการหารากสมการ

4.8.1 การบนทกแฟมขอมล

ขนท 1. คลกท File และเลอก คาสง Save

จะไดเมนยอยของการบนทกแฟม

ขนท 2. พมพชอแฟม

ตามทตองการเชน Findroot

CTOL 0.00001

x 1

y 1

Given

x y 0

x2

y2

1

Find x y( )0.707105443654304

0.707105443654304

.

CTOL 0.0000001

x 1

y 1

Given

x y 0

x2

y2

1

Find x y( )0.707106776742374

0.707106776742374

.


ขนท 4. คลกท Save

จะเหนวา [Untitled: 1] กลายเปน [Findroot] แลว

4.8.1 การเรยกแฟมขอมลเกาขนมาทางาน

สมมตขณะนจอภาพของเราวาง

เนองจากเขามาส Mathcad ครงแรก

ขนท 1. คลกท File และเลอกคาสง Open

จะไดเมนยอยของการเปดแฟม

ขนท 2. พมพชอแฟมทตองการเปดคอ Findroot

ขนท 3. คลก Open จะไดแฟมขอมลทตองการ

หมายเหต คาสง File\New.. คาสง File\Save As.. คาสง File\Close.. มลกษณะใชงานเหมอนกบการทางาน

ทวไปของระบบ Windows

บทท 5.

การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad

ในบทนจะเปนการนาคาสงตางของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad มาใชในการเขยนโปรแกรมเพอเพม

ความสามารถในการคานวณใหมากขน แผนภมสายงานทใชในการคานวณเปนดงน

เรมตน

กาหนดคาตางๆ ของตวแปร

คานวณคาตางๆ ตามสตร

แสดงผลการคานวณ

จบการทางาน

โปรแกรมท 1. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวของดาน a, b, c

แนวคดของโปรแกรมภาษา Mathcad คอการนา คาสงกาหนดคา คาสงคานวณ มาประกอบกนเปนการทางาน

แบบโปรแกรม จากโปรแกรมท 1. เราสามารถจาแนกสวนของการทางานตางๆ ดงน

สวนของ INPUT คอ สวนประมวลผลคอ สวนแสดงผลคอ

Program 1. Find area of triangle

a 3b 4c 5

sa b c

2


Area 6

a 3b 4c 5

sa b c

2

Area s s a( ) s b( ) s c( )Area 6

บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 86

เมอเราเปลยนคา a, b, c ใหมกจะไดผลการคานวณใหมดงน

โปรแกรมท 2. การหาเมทรกซผกผน และ เมทรกซผกพนของ A

โปรแกรมท 3. การหารากท n ของจานวนเชงซอน

โปรแกรมท 4. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด

หมายเหต ถา ( 1a , 1b ), ( 2a , 2b ), ( 3a , 3b ) เปนพกดจดยอดสามเหลยม

แลวพนทสามเหลยมเทากบ )bbaabbaa

det()21(

13131212

a 5

b 12

c 13

sa b c

2


Area 30

Program 2. Find inverse and adjoint matrix of A

A1

5

2

9

adjA A A1

A 1 A1 9

5

2

1

adjA9

5

2

1

Program 3. Find root of complex number

ORIGIN 0 a 81 b 0 i 1 z a b i n 4 r z

arg z( ) k 0 n 1 k 2 k

n x

knr cos k i sin k

xk

3

3i

-3

-3i

k

0

1

2

3

Program 4. Find area of triangle

a1 0 b1 0 a2 5 b2 0 a3 0 b3 12 .

Area1

2

a2 a1

a3 a1

b2 b1

b3 b1

Area 30


โปรแกรมท 5. การหาคาเฉลย และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

โปรแกรมท 6. การหาระยะทางจากจด ( 0x , 0y ) ไปยงเสนตรง ax + by + c = 0

โปรแกรมท 7. การเขยนกราฟของ f(x) และ )x(f '

โปรแกรมท 8. การหาความนาจะเปน

มลกบอลทงหมด N = 20 ลก เปนสดา k = 5 ลก

หยบออกมาพรอมกน n = 4 ลก

P(x) = ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสดา x ลกเทากบเทาใด

Program 5. Find mean and standard deviation

ORIGIN 1

x

2

5

7

11

15

n length x( )

i 1 n

xbar1

n

i

xi

n xbar 8 sd

1

n

i

xi 2

nxbar

2 sd 4.561

Program 6. Find distance from (xo,yo) to line ax+by+c = 0

a 3 b 4 c 10 xo 2 yo 5

distancea xo b yo c

a2

b2

distance 7.2

Program 8. Find Probability P(x)

C n r( )n

r n r N 20 k 5 n 4 x 0 n P x( )

C k x( ) C N k n x( )

C N n( )

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

10

5

5

10

15

2020

10

f x( )

fpi x( )

45 x

Program 7. Graph of f(x) and f '(x)

f x( ) x2

4 x 5 fpi x( )xf x( )d

d

x 5 4.99 4

x

0

1

2

3

4

P x( )

0.2817

0.4696

0.2167

0.0310

0.0010


โปรแกรมท 9. การคานวณในรปแบบการกระทาซา การหารากโดยวธของนวตน

การหารากของสมการ f(x) = 3x + 3

2x – 4x +6, 0x = 1 สตรการหารากคอ

)x(f

)x(fxx

n'

nn1n

โปรแกรมท 10. การคานวณคาเจาะจงและเวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ

โปรแกรมท 11. การคานวณคาความยาวเสนโคง

การหาความยาวเสนโคง r(t) = (62t , 4 2 t, 3

4t ) จาก t = –1 ถง t = 2

โปรแกรมท 12. การหารากของพหนามระดบขน 2 เชนการหารากของสมการ 2x + 2x –3 = 0

Program 10. Find eigen value and eigen vector of A

A1

2

1

2

eigenvals A( )0

3

eigenvec A 0( )0.707

0.707


0.894

Program 11. Find length of curve

t1 1 t2 2 x t( ) 6 t2

y t( ) 4 2 t3

z t( ) 3 t4

t1

t2

ttx t( )( )d

d

2

ty t( )( )d

d

2

tz t( )( )d

d

2

d 81

Program 12. Find root of polynomial degree 2

a 1 b 2 c 3

x1b b

24 a c

2 a x2

b b2

4 a c

2 a

x1 3 x2 1

Program 9. Find root of f(x) = 0 using Newton's Method

ORIGIN 0 f x( ) x3

3 x2

4 x 6 fpi x( )xf x( )d

d x

04 n 0 10 .

xn 1 x

n

f xn

fpi xn

n 1 5xn

-4.30000000

-4.26739384

-4.26697468

-4.26697461

-4.26697461

n

1

2

3

4

5


Program 14. Find area from z = a to z = b

a 1 b 2 f z( )1

2 e

z2

2

z 4 3.99 4 t a a 0.06 b

P a b( ) cnorm b( ) cnorm a( ) P a b( ) 0.1359

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.1

0.2

0.3

0.4

f z( )

f t( )

z t

โปรแกรมท 13. การหารากของพหนามระดบขน 3 เชนสมการ 3x – 6 2x + 3x + 10 = 0

เพราะฉะนนรากสมการคอ 5, –1, 2

โปรแกรมท 14. การหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน จาก z = a ถง z = b

โปรแกรมท 15. การหาสมการวงกลมทผานจด 3 จดทกาหนดให

จงหาสมการวงกลมทผานจด (3, –4), (3, 4), (4, 3)

Program 12. Find root of polynomial degree 3

ORIGIN 1 i 1 3 p 6 q 3 r 10 a1

33 q p

2 b

1

272 p

3 9 p q 27 r

A

3

b

2

b2

4

a3

27 B

3

b

2

b2

4

a3

27

x1

A B( )p

3 x

15

x2

A B

2

A B

2

3

p

3 x

21

x3

A B

2

A B

2

3p

3 x

32

Program 15. Find circle

x2

y2

25

25

25

x

3

3

4

y

4

4

3

1

1

1

1

0 8 x2

8 y2

200 0 .


สมการวงกลมทผานจด (3, –4), (3, 4), (4, 3) คอ 8 x2

8 y2

200 0 .

จงหาสมการวงกลมทผานจด (1, 1), (1, –1), (–1, 1)

สมการวงกลมคอ 4 x2

4 y2

8 0 .

โปรแกรมท 16. การหาสมการทรงกลมทผานจด 4 จดทกาหนดให

ตวอยาง จงหาทรงกลมทผาน 4 จดทกาหนดใหคอ (1, 2, 3), (–1, 2, 3), (1, –2, 3), (1, 2, –3)

สมการทรงกลมคอ 48 x2

48 y2

48 z2

672 0 .

ตวอยาง จงหาทรงกลมทผาน 4 จดทกาหนดใหคอ (1, 1, 1), (–1, 1, 1), (1, –1, 1), (1, 1, –1)

สมการทรงกลมคอ 8 x2

8 y2

8 z2

24 0 .

Program 15. Find circle

x2

y2

2

2

2

x

1

1

1

y

1

1

1

1

1

1

1

0 4 x2

4 y2

8 0 .

Program 16. Find conic equation

x2

y2

z2

14

14

14

14

x

1

1

1

1

y

2

2

2

2

y

3

3

3

3

1

1

1

1

1

0 48 x2

48 y2

48 z2

672 0 .

Program 16. Find conic equation

x2

y2

z2

3

3

3

3

x

1

1

1

1

y

1

1

1

1

y

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0 8 x2

8 y2

8 z2

24 0 .

บทท 6.

การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad

ในบทนจะเปนการนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป MATHCAD มาใชในการคานวณเพอเสรมการ

เรยนการสอนคณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม.4 – ม.6

6.1 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 011

1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2

2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา

3. การเขยนกราฟฟงกชน

4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 และการคานวณ

5. การแยกตวประกอบพหนาม และการกระจายพหนาม

6. การหาคาตอบของสมการพหนาม

ตวอยางการคานวณ

1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2

2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา

3. การเขยนกราฟฟงกชน

3 4 7 3 4 1 3 4 123

40.75

34

81 3 1.732532 2

x 1 3 f x( ) x2

x

1

2

3

x

1.0000

1.4142

1.7321

f x( )

1

4

9

y

2

5

7

f y( )

4

25

49

y3 8

125

343

x 3 2.99 3 f x( ) 2 x 3

3 2 1 0 1 2 33

3

6

9

f x( )

x

บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 92

4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10

จากฐาน 8 เปนฐาน 10 32o 26

จากฐาน 16 เปนฐาน 10 12h 18

ตวอยางการคานวณหาผลบวกและผลคณ

5. การแยกตวประกอบ และ กระจาย พหนาม

6. การหาคาตอบของสมการพหนาม


1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา

2. การคานวณคาฟงกชนประกอบ

3. การเปลยนองศาเปนเรเดยน และ เรเดยนเปนองศา

4. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot

5. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot

6. การหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก


1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา

การเขยนกราฟของวงกลม (x - 2)2 + (y + 3)

2 = 16

2h 2h 4 8h 8h 16 8h 9h 17 12o 13h 190

4o 4o 8 5o 3o 8 10h 10o 24 12o 12h 12 40

12 x3

16 x2

5 x 3 factor 2 x 3( ) 2 x 1( ) 3 x 1( )

2 x 3( ) 2 x 1( ) 3 x 1( ) expand 12 x3

16 x2

5 x 3

3 2 1 0 1

10

5

5

10

1515

10

f x( )

0

13 x

f x( ) 6 x3

11 x2

4 x 4

x 3 2.99 2

t 0root f t( ) t( ) 0.5

t 2

root f t( ) t( ) 0.667

x 2 1.99 6

y1 x( ) 3 16 x 2( )2

y2 x( ) 3 16 x 2( )2

4 2 0 2 4 6 8

8

6

4

2

22

8

y1 x( )

y2 x( )

84 x


การเขยนกราฟของพาราโบลา y = 2x

81

การเขยนกราฟของวงร 12)1y(

4)2x( 22

การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 14x

5y 22

2. การคานวณคาฟงกชนประกอบ

3. การเปลยนองศาเปนเรเดยน และ เรเดยนเปนองศา

การเปลยน องศา เปน เรเดยน การเปลยน เรเดยน เปน องศา

x 4 3.99 4

y x( )1

8x2

4 2 0 2 4

1

1

2

33

1

y x( )

44 x

x 4 3.99 0

y1 x( ) 1 2 1x 2( )

2

4

y2 x( ) 1 2 1x 2( )

2

4

5 4 3 2 1 0 1

2

1

1

2

3

44

2

y1 x( )

y2 x( )

15 x

x 4 3.99 4

y1 x( ) 5 1x2

4

y2 x( ) 5 1x2

4

4 2 0 2 4

6

4

2

2

4

66

6

y1 x( )

y2 x( )

44 x

x 1 3 f x( ) x2

3 g x( ) 3 x 2

x

1

2

3

f x( )

4

7

12

g x( )

5

8

11

f g x( )( )

28

67

124

g f x( )( )

14

23

38

degree 0 45 90 radian degree( )degree

180 .

degree

0

45

90

radian degree( )

0.0000

0.7854

1.5708

radian 1 3 degree radian( )radian

180 .

radian

1

2

3

degree radian( )

57.2958

114.5916

171.8873


4. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot

5. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot

6. การหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก

sin

3

0.866 cos

6

0.866 tan

4

1

sin 30 deg( ) 0.5 cos 45 deg( ) 0.707 tan 30 deg( ) 0.577

sec 1 csc

4

1.414 cot

4

1

ORIGIN 1

x

2

3

5

10

AM

1

4

i

xi

4 GM

1

4

i

xi

1

4

HM1

1

6

1

4

i

1

xi

AM 5 GM 4.162 HM 5.294

x 2 2 0.001 2

6.28 3.14 0 3.14 6.28

1.51

0.5

0.51

1.5

sin x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

1.51

0.5

0.51

1.5

cos x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

5

5

tan x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

5

3

1

1

3

5

cot x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

4

2

2

4

sec x( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

4

2

2

4

csc x( )

x



1. การคานวณคาเลขยกกาลง และ รปแบบของกรณฑ การจดรปแบบทางพชคณต

2. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = xloga การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง

3. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน

4. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน

5. การคานวณเกยวกบเมทรกซ


1. การคานวณคาเลขยกกาลง และ รปแบบของกรณฑ การจดรปแบบทางพชคณต

2. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = logax การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง

2 3

2 39.899

2 3

2 3factor 5 2 2

1

2 3

1

2

12 27 3 6.928 12 27 3 factor 4 3

1

2

a3

b3

a4

b4

factor

a2

a b b2

a b( ) b

2a2

x 2 1.99 4

2 1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

0.5x

x

2 1 0 1 2 3 4

4

8

12

16

2x

x

3 2n

4 2n 2

2n

2n 1

expand 43 2

n 4 2

n 2

2n

2n 1

simplify 4 .

x xx 0.1 0.11 6

0 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

log x 2( )

x

0 1 2 3 4

2

1

1

2

3

4

log x1

2

x


หมายเหต log(x, 2) คอลอการทมฐาน 2

3. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน

4. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน

asin 1( ) 1.571 asin 1( ) 90deg atan 1( ) 0.785 acsc 1( ) 1.571 acot 1( ) 135deg

acos 0.5( ) 1.047 asec 2( ) 1.047 asec 2( ) 60deg acos 0.5( ) 1.047 asec 2( ) 1.047

x 1 0.99 1

1 0.5 0 0.5 1

1.57

0.79

0.79

1.57

asin x( )

x

1 0.5 0 0.5 1

1.57

3.14

acos x( )

xx 10 9.99 10

10 5 0 5 10

1.57

0.79

0.79

1.57

atan x( )

x

10 5 0 5 10

0.79

1.57

2.36

3.14

acot x( )

xx 10 9.99 10

10 5 0 5 10

1.57

0.79

0.79

1.57

acsc x( )

x

10 5 0 5 10

0.79

1.57

2.36

3.14

asec x( )

x

x 1 4x

1

2

3

4

log x( )

0

0.301

0.477

0.602

log x 2( )

0.0000

1.0000

1.5850

2.0000

2x

2

4

8

16

0.2x

0.2000

0.0400

0.0080

0.0016


5. การคานวณเกยวกบเมทรกซ

การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ เมทรกซสลบเปลยน คากาหนดของเมทรกซ

การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชกฎคราเมอร

2x + 3y = 2

5x + 8y = 1

การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชคาสง Given...Find

2x + 3y = 2

5x + 8y = 1

การดาเนนการเบองตนกบเมทรกซหรอการแปลงแถวของเมทรกซ

แถวท 2 ถกบวกดวย แถวท 1 สลบกบแถวท 2 คาคงตว 10 คณแถวท 2

–2 เทาของแถวท 1


1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร

2. มมระหวางของสองเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน X และ แกน Y และ แกน Z

3. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน

4. การหารากท n ของจานวนเชงซอน

5. การหาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน

6. การหาพนทใตโคงปกต

A2

5

3

8

B5

4

8

7

A 1 AT2

3

5

8

A B7

9

11

15

A B22

57

37

96

4 A8

20

12

32

A1 8

5

3

2

x

1

2

3

8

2

5

3

8

x 2 y

2

5

1

2

2

5

3

8

y 1

x 0 y 0 Given 2 x 3 y 1

5 x 8 y 2 Find x y( )2

1

ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2 .

A2

5

3

8

A1 j( )

4 A1 j( )

A8

5

12

8

ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2.

A2

5

3

8

tempj

A1 j( )

A1 j( )

A2 j( )

A2 j( )

tempj

A5

2

8

3

ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2.

A2

5

3

8

A2 j( )

A2 j( )

2( ) A1 j( )

A2

1

3

2


z 16 r z arg z( ) k 0 3 x k( )4r cos

2 k

4

i sin 2 k

4

k

0

1

2

3

x k( )

1.414+1.414i

-1.414+1.414i

-1.414-1.414i

1.414-1.414i


1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร

2. มมระหวางของสองเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน X และ แกน Y และ แกน Z

3. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน

4. การหารากท n ของจานวนเชงซอน

5. การหาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน

u3

4

v5

12

u v8

16

4 u12

16

u v 63 u 5

i1

0

j0

1

u 3 i 4 j u3

4

u 5 4 u12

16

i 1 z 3 4 i w 5 12 i z w 8 16i z w 33 56i z 5

z

w0.101 0.041i arg z( ) 0.785 arg z( ) 45deg Re w( ) 5 Im w( ) 12

x

2

3

5

10

mean x( ) 5 median x( ) 4 stdev x( ) 3.082 var x( ) 9.5

u1

0

v1

1

angle acosu v

u v

angle 0.7854 angle 45deg .

i

1

0

0

j

0

1

0

k

0

0

1

u 2 i 3 j 6 k v 3 i 2 j 6 k .

v

3

2

6

u

2

3

6

u 7 u v

30

6

13

u v 36


0 5 10 15 20 25 30

1

1

22

1

an

300 n

1

10

i

i

55

1

10

i

i2

385

1

10

i

2 i 3( )2

2290 .

1

n

i

i

1

2n 1( )

2

1

2n

1

2

1

n

i

i

factor1

2n n 1( )

6. การหาพนทใตโคงปกต

หมายเหต cnorm(k) = พนทใตโคงปกตตงแต - ถง k

P(a, b) = cnorm(b) – cnorm(a) = พนทใตโคงปกตตงแต a ถง b


1. กราฟของลาดบ และการหาลมตของลาดบ

2. การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม

3. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชนโดยใชนยามลมต

4. การหาอนพนธของฟงกชนเปนสตร และ อนพนธอนดบสง

5. การเขยนกราฟของ f, f 6. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และ การหาพนทใตโคง


1. กราฟของลาดบ และการหาลมตของลาดบ

2. การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม

z 4 3.99 4 t 0 .04 2

f z( )1

2 e

z2

2

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5.5

0

f z( )

f t( )

44 z t

n 1 30

an

11( )n

n

cnorm 1( ) 0.8413 cnorm 2( ) 0.9772

P a b( ) cnorm b( ) cnorm a( ).

P 1 2( ) 0.1359 P 0 2( ) 0.4772 P 0 1( ) 0.3413

n1

1( )n

nlim

1

n

2 n 1

3 n 3lim

2

3

n

2 n2

1

n2

3lim

2 .


0h

x h( )2

x2

hlim

2 x0h

x h( )3

x3

hlim

3 x2

xx2d

d2 x

xx3d

d3 x

2

2xx3d

d

26 x .

3. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชนโดยใชนยามลมต

4. การหาอนพนธของฟงกชนเปนสตร และ อนพนธอนดบสง

5. การเขยนกราฟของ f, f

6. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล

และ การหาพนทใตโคง

1x2 x 1lim

3

1x

x2

1

x 1lim

20x

x

xlim

1

0x

25 x 5

xlim

1

10

x 3 2.99 7 f x( ) x3

6 x2

x 30 t 1 1.05 2

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

20

10

40

f x( )

f t( )

x t

1

2

xf x( )

d 18.25

3

5

xf x( )

d 8

1

t

xx2

x 1

d1

3t3

1

2t2

t11

6

0

t

xx x2

1

d1

3t2

1 3

2

1

3

1

n

i

i2

1

3n 1( )

3

1

2n 1( )

2

1

6n

1

6

1

n

i

i2

factor1

6n n 1( ) 2 n 1( ) .

0

4

xx

d 80

3

xx2

2

d 15 xx

d1

2x2

xx2

2

d1

3x3

2 x .

x 4 3.99 4 f x( ) 2 x3

3 x2

12 x 7 .

4 2 0 2 420

20

40

60

80

100

120

f x( )

xf x( )

d

d

x



1. การคานวณ n!, rn P , r

nC และ การกระจายทวนาม

2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล

3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

3.1 การหาคา m และ c จากสมการปกต และ ใชฟงกชนสาเรจรปของ Mathcad

3.2 กราฟของขอมลและสมการแสดงความสมพนธ y = mx + c


1. การคานวณ n!, rn P , r

nC และ การกระจายทวนาม

2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล

3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

n 5 r 1 n nPr n r( )n

n r( ) nCr n r( )

n

r n r( )

r

1

2

3

4

5

r

1

2

6

24

120

nPr n r( )

5

20

60

120

120

nCr n r( )

5

10

10

5

1

a b( )3expand a

33 a

2 b 3 a b

2 b

3

a b( )4expand a

44 a

3 b 6 a

2 b

2 4 a b

3 b

4

a b( )5expand a

55 a

4 b 10 a

3 b

2 10 a

2 b

3 5 a b

4 b

5

2 x y( )5expand 32 x

5 80 x

4 y 80 x

3 y

2 40 x

2 y

3 10 x y

4 y

5

ORIGIN 1 i 1 5

x

2

3

5

12

18

y

22

32

55

64

92

0 5 10 15 20

20406080100

100

0

yi

200 xi

1

5

i

xi

40

1

5

i

xi 2

506

1

5

i

yi

265

1

5

i

yi 2

17093

1

5

i

xiyi

2839


3.1 การหาคา m และ c จากสมการปกต

การหาคา m และ c โดยใชฟงกชนสาเรจรปของ Mathcad

3.2 กราฟของขอมลและสมการแสดงความสมพนธ y = mx + c

6.7 Mathcad กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance

ในหวขอนจะเปนการนาความสามารถของ Mathcad เขามาชวยหาคาตอบของขอสอบ Entrance ซงมขอสอบ

Entrance เปนจานวนมากทเราอาจจะหาคาตอบไดดวยการแทนคา คานวณคา หรอแมแตเขยนกราฟดกจะได

คาตอบ

ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2546 ขอ 18.

0x

lim 3x

1 [ x1 – x1 – )x1)(x1( 2 + )x1)(x1( 2 ] มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 41

3. 21 4. 1

การคานวณดวย Mathcad

เพราะฉะนนตอบขอ 3.

m 0 c 0 Given 5 c 40 m 26540 c 506 m 2839

Find m c( )3.866

22.075

m slope x y( ) m 3.866

c intercept x y( ) c 22.075

t 0 0.1 20 ycap t( ) m t c

0 5 10 15 20

20

40

60

80

100

yi

ycap t( )

xi t

0x

1

x3

1 x 1 x 1 x( ) 1 x2

1 x( ) 1 x2

lim

1

2



ถา xsin1

1

+ xsin1

1

= 8 โดยท x 23 แลว sin x + cos2x + tan3x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 213

2. 213

3. 2

13 4.

213




2sin 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบเทาใด


เพราะฉะนน 2sin 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบ 0.5


คาของ 1

47tan

23eccos

43tan

67sec

37sin4

เทากบขอใดตอไปน

1. 25 2.

23

3. 23 4.

25



TOL 0.000001 x root1

1 sin x( )

1

1 sin x( ) 8 x

240deg

x root1

1 sin x( )

1

1 sin x( ) 8 x

x 240deg

sin x( ) cos 2 x( ) tan 3 x( ) 1.366

3 1

20.366

3 1

21.366

3 1

21.366

3 1

20.366

1

90

n

1( )nsin n deg( )

2

0.5

4sin7

3

sec

7

6

tan3

4

csc

3

2

tan7

4

1

1.5


ขอสอบคณตศาสตร 1. ตลาคม 2545 ขอ 22.

กาหนดให f(x) = 2x – 2 x และ g(x) = 2x + 1

( fg )(–3) + ( gf )(3) เทากบขอใดตอไปน

1. –132 2. –84

3. 84 4. 132


เพราะฉะนน ( fg )(–3) + ( gf )(3) = –24 + 108 = 84

ขอสอบคณตศาสตร 2. ตลาคม 2545 ขอ 8.

ให x เปนจานวนจรง ซง 0 x 2

ชวงททาให sec x – tan x 0 และ sec x + tan x 0 คอชวงในขอใดตอไปน

1. (0, ) 2. (2 ,

23 )

3. (0, 2 ) (,

23 ) 4. (0,

2 ) (

23 , 2)


เพราะฉะนน ชวงททาให sec x – tan x 0 และ sec x + tan x 0 คอ (0, 2 ) (

23 , 2)

f x( ) x2

2 x

g x( ) x2

1

x 3xg f x( )( )d

d24

x 3xf g x( )( )d

d108

x 0 0.001 2

10

10

sec x( ) tan x( )

sec x( ) tan x( )

x

บทท 7.

การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad

ในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยนนสต นกศกษา หรอ ผสอน ไดนา

ความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad มาใชในการคานวณจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบทท 7

จงนา Mathcad มาเสรมการคานวณคณตศาสตรระดบอดมศกษาจาแนกเปนกลมตางๆ ดงน

1. แคลคลส 2. สมการเชงอนพนธ 3. การวเคราะหเชงตวเลข

4. พชคณตเชงเสน 5. สถตและความนาจะเปน 6. คณตศาสตรขนสง

7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย Mathcad

7.1.1 การคานวณคาลมต

7.1.2 การคานวณอนพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข

0x

x 4 2

xlim

simplify1

4

0h

1

h

1

2 h

1

2

lim

simplify1

4

0x

x sin x( )

1 cos x( )lim

simplify 2

2x

x2

1

2 x 4lim

simplify

x

x2

4

x 4lim

simplify 12x

x2

1

2 x 4lim

simplify

xx3

x2

1 d

dsimplify 3 x

2 2 x

xx sin x( )d

dsimplify sin x( ) x cos x( )

x 1 f x( ) x3

x2

1xf x( )d

d5

2x

f x( )d

d

28

x2 x

2 y

3 x

3 d

d4 x y

3 3 x

2

y2 x

2 y

3 x

3 d

d6 x

2 y

2

x x2 x

2 y

3 x

3 d

d

d

d4 y

3 6 x

y y2 x

2 y

3 x

3 d

d

d

d12 x

2 y

x y2 x

2 y

3 x

3 d

d

d

d12 x y

2

y x2 x

2 y

3 x

3 d

d

d

d12 x y

2

บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 106

7.1.3 การคานวณปรพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข

7.1.4 กราฟของฟงกชน f, f และ f

7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum) เชนผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3]

7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร

อนกรมเทยเลอรของฟงกชน sin(x)

x 4 3.999 4 f x( ) x3

x2

4 x 4

4 3 2 1 0 1 2 3 4

30

20

10

10

20

30

40

f x( )

xf x( )

d

d

x

4 3 2 1 0 1 2 3 4

30

20

10

10

20

30

40

f x( )

xf x( )

d

d

2x

f x( )d

d

2

x

sin x( ) series x 5 1 x1

6x3

sin x( ) series x 6 1 x1

6x3

1

120x5

f x( ) x2

4 x 6 n 10

a 1 b 3 i 1 n

hb a

n x

0a x

ixi 1 h

S

1

n

i

f xi x

ixi 1

S 4.68

f x( ) x2

4 x 6 n 100

a 1 b 3 i 1 n

hb a

n x

0a x

ixi 1 h

S

1

n

i

f xi x

ixi 1

S 4.6668

0

3

xx2

d 90

xsin x( )

d 21

t

xx2

d1

3t3

1

3

xx2

d simplify1

3x3

xsin x( )

d simplify cos x( ) xln x( )

d x ln x( ) x .

yxx2

y

d

d1

6x3

y2

0

t

y0

s

xx2

y

d

d1

6t2

s3

0

3

y0

2

xx2y

d

d 12

a

b

xf x( )

d 4.667 .


อนกรมเทยเลอรของฟงกชน cos(x)

อนกรมเทยเลอรของฟงกชน arctan(x)

อนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) = 2x1

1

7.1.7 การกาหนดคา ฟงกชนทนยามตางกนเปนเปนชวงๆ และการเขยนกราฟ

ตวอยาง f(x) =

4x232x0x

ตวอยาง f(x) =

x4,44x2,x2x0,2

7.1.8 การเขยนกราฟในพกดเชงขว ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos2 และ r = 5sin

0

45

90

135

180

225

270

315

543210

5

04 cos 2 ( )

0

45

90

135

180

225

270

315

6420

6

05 sin ( )

f x( ) if x 2 x 3( ) x 0 4 x

0

1

2

3

4

f x( )

0

1

3

3

3

f x( ) if x 2 2 if x 4 x 4( )( )

x 1 5 x

1

2

3

4

5

f x( )

2

2

3

4

4

1

1 x2

series x 5 1 1 x2

1 x4

1

1 x2

series x 7 1 1 x2

1 x4

1 x6

.

atan x( ) series x 5 1 x1

3x3

atan x( ) series x 7 1 x1

3x3

1

5x5

.

cos x( ) series x 3 11

2x2

cos x( ) series x 5 11

2x2

1

24x4

.

x 0 0.01 5

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

f x( )

x

x 0 0.01 5

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

f x( )

x


7.1.9 การเขยนกราฟ 3 มต เชน กราฟของ z = 2x –

2y

7.1.10 การเขยนกราฟของสวนโคง

เชนเสนโคงทเปนรอยทางของ r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 t 2

7.1.11 การหาพนทระหวางเสนโคง

เชน การหาพนทระหวาง f(x) = 2x + x – 1 และ g(x) = 4x + 3

7.1.12 การคานวณคาความยาวสวนโคง ตวอยางเชน

การหาความยาวเสนโคง r(t) = (62t , 4 2 3t , 3

4t ), –1 t 2

คานวณโดยตรง

หรอใชสตร

3 2 1 0 1 2 3 4 55

5

10

15

2020

5

f x( )

g x( )

53 x

t 0 0.01 2 x t( ) t y t( ) t2

1

2

tt

6 t2

d

d

2

t4 2 t

3 d

d

2

t

3 t4

d

d

2

d 81

x t( ) 6 t2

y t( ) 4 2 t3

z t( ) 3 t4

1

2

tt

x t( )( )d

d

2

ty t( )( )d

d

2

t

z t( )( )d

d

2

d 81

0 1 2

12345

5

0

y t( )

20 x t( )

x 2 1.9 2

y 2 1.9 2

f x y( ) x2

y2

f

.

f x( ) x2

x 1 g x( ) 4 x 3 x 3 2.99 5 .

x 0 root f x( ) g x( ) x( ) 1

x 5 root f x( ) g x( ) x( ) 4

1

4

xg x( ) f x( )( )

d 20.833


7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย Mathcad

7.2.1 กราฟของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก

7.2.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน

ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการ dxdy

– 2xy = x

สมการเชงเสน dxdy

+ P(x)y = Q(x) มสตรผลเฉลย y = C) + dx)x(Qe(edx)x(Pdx)x(P

เพราะวา P(x) = –2x และ Q(x) = x เพราะฉะนนผลเฉลยดวยการคานวณของ Mathcad คอ

7.2.3 การหารอนสเกยน ตวอยางเชนการหารอนสเกยนของ x xe , 2x xe

เพราะฉะนน W(x xe , 2x xe : x) = 2x x2e

7.2.4 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

ตวอยาง กาหนดสมการเชงอนพนธ 2

2

dx

yd + 3

dxdy

– 4y = 0 และ y(0) = 1, y(0) = –5

จงหาคาของ y(1)

หมายเหต สญลกษณ ใน Mathcad ทใชในการพมพ

.

y' 0( ) 5 ไดจากการพมพ Ctrl+F7

0 2 4 6 8 10

5

3

1

1

3

5

5

5

x t( )

0

100 t

x t( ) 4 sin 3 t

3

t 0 0.001 10 .

e

x2 x

d

xe

x2 x

d

x( )

d C

expand1

2exp x

2 C .

x ex

xx e

xd

d

x2

ex

xx2

ex

d

d

x2

exp x( )2

Given

2x

y x( )d

d

23

xy x( )d

d 4 y x( ) 0

y' 0( ) 5

y 0( ) 1

y Odesolve x 3( )

y 1( ) 0.518

0 1 2 3

1

0.5

0.5

11

1

y x( )

30 x


t2

et

laplace t2

s 1( )3

sin t( ) laplace t1

s2

1

2

s 1( )3

invlaplace s t2

exp t( )1

s2

1invlaplace s sin t( ) .

f x y( ) 1 x x0

0 y0

1 c 1 n 10000 i 1 n hc x

0

n

xi

xi 1 h y

iy

i 1 h f xi 1 y

i 1 yn

2.49995

7.2.5 การหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน

7.2.6 การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธดวยวธของออยเลอร (Euler’s method)

ตวอยางเชนกาหนด y = 1 + x และ y(0) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1)

สตรของออยเลอร ny = 1ny + hf( 1nx , 1ny ) เมอ f(x, y) = y, 0x = 0, 0y = 1

หมายเหต สมการ y = 1 + x และ y(0) = 1 มผลเฉลย y(x) = x + 2

x2 + 1 และ y(1) = 2.5

7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย Mathcad

7.3.1 การประมาณเสนโคง y(x) ทผานจด ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )

จงหาสมการเสนโคง y(x) ทผานจด (3, 4), (6, 13), (8, 6), (11, 10), (15, 13) และ (17, 18)

การคานวณดวย Mathcad แบบท 1.

การคานวณดวย Mathcad แบบท 2. ใชคาสง lspline, pspline, cspline และ interp

หมายเหต lspline, pspline, cspline และ interp เปนฟงกชนสาเรจรปทใชประมาณเสนโคงเมอกาหนดจดผาน

ORIGIN 1 i 1 6 t 0 0.1 20

x

3

6

8

11

15

17

y

4

13

6

10

13

18

m slope x y( )

c intercept x y( )

liney x( ) m x c

0 5 10 15 20

5

10

15

2020

0

yi

liney t( )

200 xi t

Vs lspline x y( )

liney t( ) interp Vs x y t( )

0 5 10 15 20

5

10

15

20

yi

liney t( )

xi t

Vs pspline x y( )


0 5 10 15 20

5

10

15

20

yi

liney t( )

xi t

Vs cspline x y( )


0 5 10 15 20

5

10

15

20

yi

liney t( )

xi t


7.3.2 การหารากของสมการ

ตวอยาง การหาราก 2x – 5 = 0

เพราะฉะนนรากสมการ 2x – 5 = 0 คอ x = 2.23607, –2.23607

การหารากของสมการ sinx – cosx = 0

เพราะฉะนนรากสมการ sinx – cosx = 0

คอ x = 0.785398 เรเดยน หรอ x = 45 องศา

7.3.3 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน และ ไมเชงเสน

ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ

x + y + z = 12 2x +

2y = 25

x – y + z = 4 x + y = 7

x + y – z = 2 การคานวณดวย Mathcad


เพราะฉะนน x = 4, y = 3

เพราะฉะนน x = 3, y = 4, z = 5

7.3.4 การประมาณคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy

และผานจด ( 0x , 0y )

โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร 1ny = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx , ny + hf( nx , ny ))

เมอ h = nxc 0

, 1nx = nx + h

จงหาคาประมาณคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy

และผานจด (0, 0)

หมายเหต ผลเฉลยแทจรงคอ y(x) = xe – x – 1 เพราะฉะนนคาจรง y(1) = 0.718282

7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย Mathcad

7.4.1 การคานวณเกยวกบเมทรกซ

f x( ) x2

5 x 2.5 root f x( ) x( ) 2.23607

x 2.5 root f x( ) x( ) 2.23607

A3

4

5

6

B4

6

7

8

A B7

10

12

14

A B42

52

61

76

A1 3

2

2.5

1.5

A 2

TOL 0.000001 x 0 root sin x( ) cos x( ) x( ) 0.785398

root sin x( ) cos x( ) x( ) 45deg

x 0 y 0 z 0

Given x y z 12

x y z 4

x y z 2

Find x y z( )

3

4

5

x 0 y 0

Given x2

y2

25

x y 7

Find x y( )4

3

ORIGIN 0 f x y( ) x y x0

0 y0

0 c 1 n 1000

hc x

0

n i 1 n x

ixi 1 h i 0 n 1

yi 1 y

ih

2

f xi

yi

f xi 1 y

ih f x

iy

i y

n0.718281 .


7.4.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยางเชน การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 10

4x – 5y = –2


7.4.3 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง

ตวอยางเชน การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของ A =

3104

7.4.4 การหาสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ ตวอยาง การหาสมการลกษณะเฉพาะของ A =

4231


7.4.5 การแปลงแถวเมทรกซ

แบบท 1. แถวท 1 คณดวย –2

แบบท 2. สลบแถว 1 กบ 2

แบบท 3. แถว 1 ถกบวกดวย 5 เทา ของแถวท 2

7.4.6 การแปลงเชงเสน

ตวอยาง การหาผลการแปลงเชงเสน T(x, y, z) = (–2y – 6z, 3y + 7z, x – 2y – 5z )

7.4.7 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R โดยใชกระบวนการของ Gram - Schmidt

ตวอยาง กาหนดมลฐาน { 1v =

111

, 2v =

110

, 3v =

100

} การคานวณดวย Mathcad มขนตอนดงน

x 0 y 0 Given 2 x 3 y 10

4 x 5 y 2

Find x y( )2

2

A4

1

0

3

eigenvals A( )3

4

eigenvec A 3( )0

1


0.707

A1

2

3

4

1

2

3

4

0 2 5 2

0

ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2

A1

3

2

4

A1 j( )

A1 j( )

5 A2 j( )

A16

3

22

4


A1

3

2

4

Tempj

A1 j( )

A1 j( )

A2 j( )

A2 j( )

Tempj

A3

1

4

2

T x y z( )

0

0

1

2

3

2

6

7

5

x

y

z

T 1 0 0( )

0

0

1

T 0 1 0( )

2

3

2

T 0 0 1( )

6

7

5


A1

3

2

4

A1 j( )

2 A1 j( )

A2

3

4

4


เพราะฉะนนมลฐานเชงตงฉากปกตคอ { 1u =

577.0577.0577.0

, 2u =

408.0408.0816.0

, 3u =

707.0707.00

}

7.4.8 การหาสมการภาคตดกรวยทผานจดทกาหนดให

การหาสมการเสนตรงทผานจด (1, 2) และ (4, 5)


สมการเสนตรงคอ –2x + 3y – 7 = 0

การหาสมการพาราโบลาทผานจด (-1, 2), (2, 5) และ (4, 10)


เพราะฉะนนสมการพาราโบลาคอ

27x – 30y + 32x + 84 = 0

หรอ

54x – 75y + 32y + 192 = 0

การหาสมการวงกลมทผานจด (3, 4), (-3, 4) และ (-4, 3)


สมการวงกลมคอ –502x –50

2y + 1250 = 0

v1

1

1

1

v2

0

1

1

v3

0

0

1

u1v1

v1 u1

0.577

0.577

0.577

w2 v2 v2 u1 u1 w2

0.667

0.333

0.333

u2w2

w2 u2

0.816

0.408

0.408

w3 v3 v3 u2 u2 v3 u1 u1 w3

0

0.5

0.5

u3w3

w3 u3

0

0.707

0.707

x

1

4

y

3

5

1

1

1

0 2 x 3 y 7 0 .

x

1

2

4

y

2

5

8

x2

1

4

16

1

1

1

1

0 27 x 30 y 3 x2

84 0 .

x

1

2

4

y

2

5

8

y2

4

25

64

1

1

1

1

0 54 x 75 y 3 y2

192 0 .

x2

y2

25

25

25

x

3

4

3

y

4

3

4

1

1

1

1

0 50 x2

50 y2

1250 0 .


การหาสมการไฮเพอรโบลาทผานจด (1, 1), (–1, 1), (2, -4) และ (-4, 3)


สมการไฮเพอรโบลาคอ –122x – 84

2y + 432y – 336 = 0

การหาสมการวงรทผานจด (5, 0), (–5, 0), (0, -4) และ (0, -4)


สมการวงรคอ 12802x + 2000

2y – 32000 = 0

7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย Mathcad

7.5.1 การสรางตารางความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม

หมายเหต ฟงกชน dbinom(x, n, p) เปนฟงกชนทใหคาเทากบ b(x, n, p)

7.5.2 การสรางตารางความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง

หมายเหต ฟงกชน dpois(x, ) มคาเทากบ !x

e x เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง

0.2 x 0 2 p x( )e

x

x x

0

1

2

p x( )

0.8187

0.1637

0.0164

dpois x 0.2( )

0.8187

0.1637

0.0164

x2

1

1

4

16

y2

1

1

16

4

x

1

1

2

4

y

1

1

4

2

1

1

1

1

1

0 12 x2

84 y2

432 y 336 0 .

x2

25

25

0

0

y2

0

0

16

16

x

5

5

0

0

y

0

0

4

4

1

1

1

1

1

0 1280 x2

2000 y2

32000 0 .

n 4 p 0.2 x 0 n b x n p( )n

x n x( )p

x 1 p( )

n x .

x

0

1

2

3

4

b x n p( )

0.4096

0.4096

0.1536

0.0256

0.0016

dbinom x n p( )

0.4096

0.4096

0.1536

0.0256

0.0016


7.5.3 การเขยนกราฟของการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง z, t, f, 2

Normal distribution

Standard Normal distribution

หมายเหต X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

dnorm(x, , ) =

2)x

(21

e21

pnorm(k, , ) = dxe21

2)x

(21k

= P(– X k)

qnorm(A, , ) = คาของ k ททาให pnorm(k, , ) มคาเทากบ A

t distribution

z 4 3.99 4 f z( )1

2 e

z2

2

4 3 2 1 0 1 2 3 4

f z( )

z

4 3 2 1 0 1 2 3 4

dnorm z 0 1( )

z

4 2 x 4 3.99 12 f x( )1

2 e

1

2

x

2

4 2 0 2 4 6 8 10 12

f x( )

x

4 2 0 2 4 6 8 10 12

dnorm x 4 2( )

x

dnorm 1 4 2( ) 0.0648

pnorm 4 4 2( ) 0.5

qnorm 0.5 4 2( ) 4

v 14 t 5 4.99 5

dt 2 14( ) 0.0595

pt 2 14( ) 0.9674h t( )

v 1

2

v

2

v

1t2

v

v 1

2

qt 0.9674 14( ) 2

h 2( ) 0.0595


หมายเหต t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร

dt(t, ) = 212

)vt1(

)2

(

)2

1(

ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมท

pt(k, ) = dt)vt1(

)2

(

)2

1(2

12k

= P(– t k)

qt(A, ) = คาของ k ททาให pt(k, ) มคาเทากบ A

Chi-square distribution

หมายเหต 2 เปนตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร

dchisq(x, ) = 2x

2

2

ex

)2

(2

1

ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร

pchisq(k, ) = 2x

2

2

k

0

ex

)2

(2

1

= P(– 2 k)

qchisq(A, ) = คาของ k ททาให pchisq(k, ) มคาเทากบ A

v 15 x 0 0.1 40

dchisq 10 15( ) 0.0629

f x( )1

2

v

2

v

2

x

v

21

e

x

2

pchisq 10 15( ) 0.1803

qchisq 0.1803 15( ) 10

f 10( ) 0.0629

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.02

0.04

0.06

0.08

f x( )

x

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.02

0.04

0.06

0.08

dchisq x 15( )

x

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

h t( )

t

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

dt t 14( )

t


F distribution

หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1 และ 2

dF(f, 1 , 2 ) =

221

2

121

121

21

2

121

)f1)(2

()2

(

f))(2

(

ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ

pF(k, 1 , 2 ) = df

)f1)(2

()2

(

f))(2

(

221

2

121

121

21

2

121k

0

= P(– F k)

qF(A, 1 , 2 ) = คาของ k ททาให pF(k, 1 , 2 ) มคาเทากบ A

7.5.4 การหาคาเฉลย และ ความแปรปรวนของตวแปรสมชนดตอเนอง

X เปนตวแปรสมชนดตอเนองทมฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน f(x) = 3

x 2 เมอ –1 x 2

เพราะฉะนนตวแปรสม X มคาเฉลย เทากบ 1.25 และ ความแปรปรวนเทากบ 0.6375

v1

4 v2

10 f 0 0.005 8

dF 3 4 10( ) 0.0577h f( )

v

1v

2

2

v1

v2

v1

2

f

v1

21

v

1

2

v2

2

1v

1

v2

f

v1 v2

2

pF 3 4 10( ) 0.9277

qF 0.9277 4 10( ) 3

h 3( ) 0.0577

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

h f( )

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

dF f 4 10( )

f

f x( )x2

3

1

2

xx f x( )

d 1.25 variance1

2

xx 2 f x( )

d variance 0.6375


4.5 5 5.5 6 6.5 72

3

4

ln yi

ln xi 4.5 5 5.5 6 6.5 7

2

3

4

ln yi

ln xi

x

x2

t1

1 t2

d atan x2 atan x( )

1

x

tt

d1

2x2

1

2

x 1

x

tt

dd

dx

x

x

x2

t1

1 t2

dd

d2

x

1 x4

1

1 x2

7.5.5 การหาสมการถดถอยและสมประสทธสหสมพนธ

สมการถดถอยคอ y = a + bx = 0.25 + 8.55x

สมประสทธสหสมพนธคอ 0.98043

7.5.6 การเขยนแผนภาพกระจายขอมลไดหลายๆ แบบ

แผนภาพการกระจายของขอมล

สเกลบนแกน (X, Y) และ (lnY, lnX)

แผนภาพการกระจายของขอมล สเกลบนแกน (lnX, Y) และ (lnY, X)

7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย Mathcad

7.6.1 การหาสตรของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ

7.6.2 การหาสตรอนพนธของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ

ORIGIN 1 i 1 8

x

150

235

432

511

645

759

834

915

y

10

12

15

23

32

34

36

38

4.5 5 5.5 6 6.5 7

10

20

30

40

yi

ln xi 0 200 400 600 800 1000

2

3

4

ln yi

xi

x

1

3

5

7

9

y

14

23

35

64

79

a intercept x y( ) a 0.2500

b slope x y( ) b 8.5500

r corr x y( ) r 0.9804


7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคา

7.6.4 ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) และ กราฟของฟงกชนเบสเซล

หมายเหต J0(x) คอ ฟงกชนเบสเซลอนดบ 0, J1(x) คอ ฟงกชนเบสเซลอนดบ 1, Jn(v, x) คอ ฟงกชนเบส

เซลอนดบ v

7.6.5 การหาอนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย

7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn อนดบตางๆ จากสตรโรดรกส )x(Pn = n2

n

n

n)1x(

dx

d

!n2

1

x 0.1 0.101 5 2( ) 1 3( ) 2 1.772454

0 1 2 3 4 5

510152025

x( )

x

1

2

1.772454 3

2

0.886227

1

2

1

2

3

2

1

2

1

2

x 0 0.01 10 J0 0( ) 1 J1 0( ) 0 Jn 1 0( ) 0 Jn 2 0( ) 0

0 2 4 6 8 10

1.51

0.5

0.51

1.5

J0 x( )

x

0 2 4 6 8 10

1.51

0.5

0.51

1.5

J1 x( )

x

0 2 4 6 8 10

1.51

0.5

0.51

1.5

Jn 1 x( )

x

0 2 4 6 8 10

1.51

0.5

0.51

1.5

Jn 2 x( )

x

1

21

1 xx2

1 d

d x

1

22

22

xx2

1 2d

d

2

3

2x2

1

2

3x

x4 d

d

324 x

x yy x( )

2x y( )

2 d

d

d

d8 y x

x yln x

2y

2 d

d

d

d4

y

x2

y2

2 x .

x ysin x( ) cos y( )( )d

d

d

dcos x( ) sin y( )


7.6.7 การหาสมประสทธ 0a , na , nb ของอนกรมฟเรยร

ตวอยาง f(x) = x และ f(x + 2) = f(x)

ตวอยาง f(x) = 2x และ f(x + 2) = f(x)

การเขยนกราฟของ f(x) และ อนกรมฟเรยรทหาได

7.6.8 การคานวณปรพนธตามเสนโคง

การหาคา C

dz)z(f เมอ f(z) = z, C เปนเสนโคง z(t) = t + i2t , 1 t 2

การหาคา C

dz)z(f เมอ f(z) = z, C เปนเสนโคง z(t) = cost + isint , 4 t

2

3.14 1.57 0 1.57 3.14

3.14

1.57

1.57

3.14

f x( )

S n x( )

x

i 1 z t( ) t i t2

f z( ) z

1

2

tf z t( )( )tz t( )d

d

d 6 7i

i 1 z t( ) cos t( ) i sin t( ) f z( ) z

4

2

tf z t( )( )tz t( )d

d

d 0.5 0.5i

f x( ) x1

xf x( )

d expand 01

xf x( ) cos n x( )

d expand 0 .

1

xf x( ) sin n x( )

d expand2

n2

sin n

2

ncos n

f x( ) x2

1

xf x( )

d expand2

3

2

1

xf x( ) sin n x( )

d expand 0 .

1

xf x( ) cos n x( )

d expand 2

n sin n

4

n3

sin n

4

n2

cos n

f x( ) x ORIGIN 0 n 0 5

.a

01

xf x( )

d an

1

xf x( ) cos n x( )

d bn

1

xf x( ) sin n x( )

d

Sn x( )a

0

21

5

n

an

cos n x( ) bn

sin n x( )

คู่มือโปรแกรมส...

Documents