МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р. А. Браже

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ для студентов очно-заочной и заочной форм обучения по техническим направлениям подготовки бакалавров

Учебное пособие

Ульяновск УлГТУ

2016

УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 Б 87

Рецензенты: кафедра теоретической и прикладной физики

Новосибирского государственного аграрного университета (зав. кафедрой – доктор технических наук, профессор А. П. Пичугин);

доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой физик и химии Пензенского государственного университета архитектуры и строительства

Г. И. Грейсух

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Браже, Р. А.

Б 87 Лекции по физике для студентов очно-заочной и заочной форм обучения по техническим направлениям подготовки ба-калавров : учебное пособие / Р. А. Браже. – Ульяновск : УлГТУ, 2016. − 312 с. ISBN 978-5-9795-1517-5

Пособие содержит изложение лекций по физике, прочитанных авто-ром в течение ряда последних лет студентам 1–2 курса заочно-вечернего факультета Ульяновского государственного технического университета. Соответствует федеральным государственным образовательным стан-дартам высшего образования для технических направлений подготовки бакалавров с общей трудоемкостью по дисциплине «Физика» в объеме 8–12 зачетных единиц.

Предназначено для студентов высших учебных заведений очно-заочной и заочной форм обучения по техническим направлениям подго-товки бакалавров.

Печатается в авторской редакции. УДК 53(075.8)

ББК 22.3я73 © Браже Р. А., 2016

ISBN 978-5- 9795-1517-5 © Оформление. УлГТУ, 2016

Оглавление

Предисловие......................................................................................................... 8 Введение ................................................................................................................ 10 Глава 1. Механика............................................................................................. 15 Лекция 1 ...................................................................................................................... 15 1.1. Физические основы классической механики ............................................... 15

§ 1. Постулаты классической механики ........................................................ 15 § 2. Преобразования координат Галилея ....................................................... 19 § 3. Законы Ньютона ........................................................................................ 23 § 4. Сложение скоростей ................................................................................. 24 § 5. Сложение ускорений ................................................................................ 26 § 6. Центр масс ................................................................................................. 26 § 7. Поступательное движение твердого тела ............................................... 28 § 8. Вращательное движение твердого тела .................................................. 29

Лекция 2 ...................................................................................................................... 37 1.2. Законы сохранения ............................................................................................ 37

§ 1. Теорема Нётер ........................................................................................... 37 § 2. Закон сохранения импульса ..................................................................... 38 § 3. Закон сохранения момента импульса ..................................................... 40 § 4. Закон сохранения механической энергии .............................................. 43

Лекция 3 ...................................................................................................................... 49 1.3. Физические основы релятивистской механики .......................................... 49

§ 1. Постулаты релятивистской механики..................................................... 49 § 2. Преобразования Лоренца для координат и скоростей .......................... 51 § 3. Сокращение масштабов ............................................................................ 54 § 4. Замедление времени ................................................................................. 55 § 5. Относительность одновременности событий ........................................ 57 § 6. Релятивистские масса и импульс ............................................................ 58 § 7. Релятивистские выражения для энергии ................................................ 59

Глава 2. Электричество и магнетизм .................................................. 62 Лекция 4 ...................................................................................................................... 62 2.1. Уравнения электромагнитного поля ............................................................. 62

§ 1. Характеристики электрического и магнитного полей .......................... 62 § 2. Первое уравнение Максвелла .................................................................. 66

3

§ 3. Второе уравнение Максвелла .................................................................. 68 § 4. Третье уравнение Максвелла ................................................................... 70 § 5. Четвертое уравнение Максвелла ............................................................. 72 § 6. Полная система уравнений Максвелла ................................................... 72

Лекция 5 ...................................................................................................................... 74 2.2. Электростатика и магнитостатика ................................................................ 74

§ 1. Уравнения электростатики и магнитостатики ....................................... 74 § 2. Электроемкость. Конденсаторы .............................................................. 76 § 3. Индуктивность. Соленоиды ..................................................................... 78 § 4. Энергия и силы в электростатике ............................................................ 80

Лекция 6 ...................................................................................................................... 82 2.3. Законы стационарных токов ........................................................................... 82

§ 1. Характеристики электрического тока ..................................................... 82 § 2. Правила Кирхгофа .................................................................................... 84 § 3. Классическая теория электропроводности металлов ............................ 86 § 4. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме ............................. 88 § 5. Энергия и мощность в электрической цепи ........................................... 88

Глава 3. Колебания и волны ..................................................................... 91 Лекция 7 ...................................................................................................................... 91 3.1. Свободные незатухающие колебания ............................................................ 91

§ 1. Гармонический осциллятор ..................................................................... 91 § 2. Физический маятник ................................................................................. 94 § 3. Идеальный колебательный контур .......................................................... 96

Лекция 8 ...................................................................................................................... 99 3.2. Сложение гармонических колебаний ............................................................ 99

§ 1. Сложение когерентных колебаний ......................................................... 99 § 2. Биения ....................................................................................................... 101 § 3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний .............................. 103 § 4. Фигуры Лиссажу ...................................................................................... 106

Лекция 9 ..................................................................................................................... 108 3.3. Затухающие и вынужденные колебания ...................................................... 108

§ 1. Затухающие колебания ............................................................................ 108 § 2. Характеристики затухающих колебаний ............................................... 112 § 3. Вынужденные колебания ........................................................................ 115 § 4. Резонанс .................................................................................................... 116

Лекция 10 ................................................................................................................... 119 3.4. Волновые процессы .......................................................................................... 119

§ 1. Упругие волны ......................................................................................... 119

4

§ 2. Электромагнитные волны ....................................................................... 121 § 3. Энергия бегущей волны .......................................................................... 123 § 4. Скорости распространения упругих волн ............................................. 126 § 5. Стоячие упругие волны ........................................................................... 131

Глава 4. Волновая оптика .......................................................................... 135 Лекция 11 ................................................................................................................... 135 4.1. Поляризация света ........................................................................................... 135

§ 1. Понятие о поляризации волн. Виды поляризации света...................... 135 § 2. Поляризация света на границе раздела сред ......................................... 137 § 3. Поляризация света при прохождении через кристаллы ...................... 140 § 4. Управление поляризацией света ............................................................ 142 § 5. Искусственная анизотропия среды ........................................................ 147

Лекция 12 ................................................................................................................... 150 4.2. Интерференция света ....................................................................................... 150

§ 1. Понятие интерференции волн ................................................................ 150 § 2. Условия максимумов и минимумов интерференции ........................... 151 § 3. Временная и пространственная когерентность излучения .................. 153 § 4. Интерференция света от двух щелей ..................................................... 155 § 5. Интерференция света в тонких пластинках .......................................... 156

Лекция 13 ................................................................................................................... 159 4.3. Дифракция света ............................................................................................... 159

§ 1. Принцип Гюйгенса – Френеля ................................................................ 159 § 2. Зоны Френеля. Зонные пластинки ......................................................... 161 § 3. Дифракция Фраунгофера на щели ......................................................... 164 § 4. Дифракционная решетка ......................................................................... 166

Лекция 14 ................................................................................................................... 171 4.4. Взаимодействие света с веществом ............................................................... 171

§ 1. Дисперсия волн. Соотношение Рэлея .................................................... 171 § 2. Физическая природа дисперсии света ................................................... 172 § 3. Поглощение света .................................................................................... 174 § 4. Рассеяние света ........................................................................................ 175

Глава 5. Квантовая физика ....................................................................... 179 Лекция 15 ................................................................................................................... 179 5.1. Квантовая природа излучения ....................................................................... 179

§ 1. Тепловое излучение ................................................................................. 179 § 2. Формула Планка и ее следствия ............................................................. 183 § 3. Внешний фотоэффект .............................................................................. 188

5

§ 4. Давление света ......................................................................................... 191 § 5. Эффект Комптона .................................................................................... 193

Лекция 16 ................................................................................................................... 195 5.2. Волновые свойства частиц ............................................................................. 195

§ 1. Волны де Бройля ...................................................................................... 195 § 2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга .................................... 196 § 3. Уравнение Шредингера ........................................................................... 198 § 4. Прохождение частицы через потенциальный барьер .......................... 202 § 5. Частица в одномерной потенциальной яме ........................................... 204 § 6. Линейный гармонический осциллятор .................................................. 207

Лекция 17 ................................................................................................................... 209 5.3. Физика атомов и молекул ............................................................................... 209

§ 1. Атом водорода .......................................................................................... .209 § 2. Многоэлектронные атомы....................................................................... 215 § 3. Характеристическое рентгеновское излучение .................................... 219 § 4. Молекулы .................................................................................................. 221

Лекция 18 ................................................................................................................... 225 5.4. Атомное ядро ..................................................................................................... 225

§ 1. Строение атомных ядер ........................................................................... 225 § 2. Критерий устойчивости ядра .................................................................. 228 § 3. Радиоактивность ...................................................................................... 231 § 4. Деление тяжелых ядер ............................................................................. 234 § 5. Ядерный синтез ........................................................................................ 236

Глава 6. Молекулярная физика и термодинамика .................... 238 Лекция 19 ................................................................................................................... 238 6.1. Основы классической статистической физики .......................................... 238

§ 1. Распределение Максвелла ....................................................................... 238 § 2. Характерные скорости движения молекул ............................................ 240 § 3. Распределение Больцмана ....................................................................... 243 § 4. Энтропия ................................................................................................... 244

Лекция 20 ................................................................................................................... 249 6.2. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа ............................... 249

§ 1. Внутренняя энергия идеального газа ..................................................... 249 § 2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории ................... 252 § 3. Кинетическая теория явлений переноса в газах ................................... 255

Лекция 21 ................................................................................................................... 262 6.3. Начала термодинамики ................................................................................... 262

§ 1. Первое начало термодинамики ............................................................... 262

6

§ 2. Классическая теория теплоемкостей ..................................................... 265 § 3. Теорема Карно .......................................................................................... 267 § 4. Второе начало термодинамики ............................................................... 269 § 5. Третье начало термодинамики ............................................................... 272

Лекция 22 ................................................................................................................... 273 6.4. Фазовые состояния, переходы и равновесия .............................................. 273

§ 1. Основные понятия ................................................................................... 273 § 2. Уравнение Клапейрона – Клаузиуса ...................................................... 276 § 3. Уравнение Ван-дер-Ваальса ................................................................... 278 § 4. Критические параметры .......................................................................... 282

Глава 7. Элементы физики твердого тела ..................................... 284 Лекция 23 ................................................................................................................... 284 7.1. Симметрия кристаллов. Тепловые свойства твердых тел ....................... 284

§ 1. Кристаллическая решетка ....................................................................... 284 § 2. Дефекты кристаллической решетки ....................................................... 288 § 3. Фононы. Распределение Бозе – Эйнштейна .......................................... 290 § 4. Теплоемкость твердых тел ...................................................................... 292

Лекция 24 ................................................................................................................... 296 7.2. Электропроводность твердых тел ................................................................. 296

§ 1. Распределение Ферми – Дирака ............................................................. 296 § 2. Элементы зонной теории твердых тел ................................................... 298 § 3. Электропроводность металлов ............................................................... 303 § 4. Электропроводность полупроводников ................................................ 306

Список использованной литературы ................................................ 312

7

Предисловие

Процесс преподавания любой дисциплины, в том числе физики, студентам очно-заочной (вечерней) и зочной форм обучения обладает рядом особенностей. Во-первых, в учебных планах для этих катего-рий обучающихся предусмотрен значительно меньший процент ауди-торных занятий, чем у студентов очной формы обучения. Основной упор сделан на самостоятельную работу студентов с учебной литера-турой. Во-вторых, из-за проблем, связанных с работой, эти студенты значительно чаще, чем студенты-очники, пропускают даже те немно-гочисленные аудиторные занятия, которые предусмотрены расписа-нием занятий. Наконец, в-третьих, это студенты, как правило, более старшего возраста, окончившие школу сравнительно давно, и поэтому уровень их стартовых знаний по предмету крайне низкий.

Эти обстоятельства диктуют необходимость наличия для сту-дентов-вечерников и заочников отдельных учебных пособий, отлич-ных от используемых студентами-очниками. Такие учебные пособия должны быть более краткими и конкретными. Они не должны быть перегружены сложными математическими преобразованиями. Они должны быть написаны более образным языком и снабжены более содержательными и наглядными иллюстрациями и примерами. Разу-меется, при всем этом не должны пострадать строгость изложения теоретического материала и корректность полученных выводов.

К сожалению, в настоящее время, насколько известно автору, учебные пособия по физике, содержащие лекционный материал, для студентов очно-заочной и заочной форм обучения по федеральным го-сударственным стандартам высшего образования по техническим на-правлениям бакалавриата в отечественной учебно-педагогической практике отсутствуют. Что касается задачников по физике, то широко известное и повсеместно использовавшееся в нашей стране учебное

8

пособие А. Г. Чертова «Физика. Методические указания и контроль-ные задания для студентов-заочников инженерно-технических специ-альностей вузов (включая сельскохозяйственные вузы)» не переиздава-лось с 1987 года и, конечно, уже не отражает реалий сегодняшнего дня.

В связи с этим, издание учебной литературы по физике, ориен-тированной на использование студентами-вечерниками и заочниками, представляется крайне важной и актуальной задачей. Автор надеется, что предлагаемое пособие внесет некоторый вклад в решение этой задачи.

Указанное учебное пособие представляет собой сокращенный и упрощенный, в соответствии со спецификой очно-заочной и заочной форм обучения, вариант ранее изданных книг: Р. А. Браже. Лекции по физике. − Ульяновск: УлГТУ, 2011. – 383 с. и Р. А. Браже. Лекции по физике. – СПб.: Издательство «Лань», 2013. – 320 с. Кроме того, в по-собие добавлен раздел «Элементы физики твердого тела», крайне важный для студентов, обучающихся по радиотехническим, машино-строительным и строительным направлениям подготовки бакалавров. Исправлены также многочисленные опечатки, допущенные в выше-названных книгах.

Р. А. Браже

9

Введение

Физика (от др.-греч. ϕυσις − природа) – это наука, изучающая наиболее общие закономерности, определяющие строение и эволю-цию материального мира. Материя хотя и переводится с латыни как вещество, в настоящее время рассматривается в более широком смысле. В философии под материей понимается философская катего-рия для обозначения объективной реальности, включающей в себя бесконечное множество всех существующих в мире объектов и сис-тем, а также любых форм движения, отношений и взаимодействий. В физике используется более узкий подход: материя – это фунда-ментальное понятие, связанное с любыми существующими в природе объектами, о которых можно судить по оказываемому с их стороны воздействию или реакции. При этом оказываемое воздействие мы мо-жем воспринимать непосредственно через органы чувств, благодаря ощущениям, или установить его наличие при помощи каких-либо приборов.

В современной физике выделяют три формы существования ма-терии: вещество, поле и физический вакуум. При этом вещество рас-сматривается как вид материи, обладающий массой покоя и дис-кретной структурой, образуемой взаимодействующими системами фундаментальных частиц.

Стандартная модель строения вещества, сложившаяся в совре-менной физике, исходит из того, что вся «видимая» материя во Все-ленной состоит из фундаментальных частиц трех типов: лептонов, кварков и носителей взаимодействия – бозонов. Фундаментальные частицы связаны с четырьмя типами известных науке фундаменталь-ных взаимодействий: гравитационным, слабым, электромагнитным и сильным.

10

Особой формой материи являются физические поля. Под физи-ческим полем понимается состояние пространства, возмущенное благодаря наличию в нем того или иного фундаментального силового взаимодействия. В связи с этим можно говорить о гравитационном поле, электромагнитном поле, поле слабых ядерных сил, поле сильных ядерных взаимодействий. Любое физическое поле не обладает массой покоя и имеет континуальную (непрерывную) структуру. Колебания характеристик силового поля распространяются в пространстве в виде соответствующих волн, например, электромагнитных. Упомянутые выше бозоны − переносчики фундаментальных взаимодействий, по сути дела, являются квантами колебаний соответствующих полей.

Термин «вакуум» в переводе с латинского означает «пустота». Однако космическое пространство, даже в отдалении от космических объектов (звезд и планет), никогда не бывает пустым. Эта среда за-полнена множеством взаимодействующих между собой виртуальных частиц, не проявленных в нашем мире ввиду того, что их время жиз-ни много меньше времени, необходимого для их регистрации. При взаимодействии таких частиц между собой некоторые из них могут приобрести энергию, во много раз увеличивающую время их сущест-вования. По сути дела в современной физике физический вакуум за-меняет понятие «эфир», которое было отвергнуто Эйнштейном в ходе закладки им основ специальной теории относительности. Однако от-крытие виртуальных частиц позволяет рассматривать физический ва-куум как форму материи, находящуюся в самом низком энергетиче-ском состоянии. Согласно квантовой физике это означает, что такая материя не имеет поступательного движения, а может совершать только так называемые «нулевые» колебания, как и гипотетический некогда «эфир».

Поскольку физика изучает наиболее общие законы, связанные со строением, взаимодействием и движением материи, то она являет-

11

ся основой всех прочих естественных наук, таких как химия, биоло-гия, науки о Земле (физика атмосферы и гидросферы, физика земного ядра, метеорология, экология и др.), астрономия, космология. Физика является фундаментом и для техники. Современное состояние энерге-тики, радиотехники, машиностроения, самолетостроения, автомоби-лестроения, кораблестроения, вычислительной техники и систем те-лекоммуникации, космонавтики немыслимо без знания физики. Именно поэтому эту науку изучают как основную студенты практи-чески всех направлений обучения в технических университетах.

Есть три структурных уровня материи: макромир, микромир и мегамир. Макромир представлен объектами, размеры которых нахо-дятся в пределах от долей миллиметра до десятков тысяч километров. Это мир, который вокруг нас и доступен нашему непосредственному изучению, как с помощью каких-либо приборов, так и без них. Мик-ромир – это мир атомных и субатомных масштабов. Для его исследо-вания ученым приходится изобретать и использовать соответствую-щее научное оборудование: электронные, туннельные и атомно-силовые микроскопы, ускорители заряженных частиц и пр. Мегамир представляет собой мир звездных масштабов, включающий в себя как отдельные звездные системы (в том числе нашу Солнечную систему), так и их скопления (галактики, метагалактики), всю Вселенную. Ис-следование мегамира также невозможно без соответствующего инст-рументария: телескопов (в том числе радиотелескопов), космических аппаратов и техники, используемой для изучения приходящих к нам из космоса различных частиц и излучений.

Критерием истины и подтверждением наших знаний о природе всегда была, есть и будет практика. Однако мы вынуждены признать, что далеко не все в этом мире поддается непосредственной экспери-ментальной проверке. Мы не можем проникнуть в объекты микроми-ра, размеры которых в принципе меньше, чем любые приборы, кото-

12

рые мы могли бы создать. Мы не можем опытным путем исследовать объекты микромира, время жизни которых меньше, чем мы можем измерить (виртуальные частицы). Мы не можем экспериментально изучать процессы, происходящие в космологических масштабах про-странства и времени. Поэтому в физике огромную роль играет моде-лирование – способ, состоящий в том, что реальный объект заменяет-ся другим объектом (моделью), свойства которого находятся во вза-имно однозначном соответствии со свойствами оригинала. Модели-рование может быть мысленным, физическим, математическим, в том числе численным (на компьютере).

В сущности физика – это искусство моделирования. Проводя ли лабораторный эксперимент, выдвигая ли какую-то научную гипотезу, разрабатывая ли теорию некоторого физического явления, занимаясь ли построением математической модели объекта или явления, недос-тупного нам по пространственным, временным или финансовым при-чинам, мы всегда изучаем не сам объект, не само явление, а их упро-щенную модель. Здесь возникают проблемы. Во-первых, изучая что-то в лабораторных условиях, а тем более на модели, мы обрываем множество связей данного объекта или явления с другими телами, присутствующими в реальном мире. Во-вторых, измерительные при-боры, математические методы и вычисления вносят погрешности, ко-торые также искажают истину. Какова же в таком случае достовер-ность нашего знания?

Что касается погрешностей, то их можно оценить. С тем, как это делается, студентов знакомят в физическом практикуме. С физиче-скими теориями и математическими моделями дело обстоит сложнее. В истории физики неоднократно бывали случаи, когда укоренившие-ся в сознании ученых взгляды оказывались ошибочными. Достаточно вспомнить теорию теплорода или бытовавшие некогда представления об электрической жидкости. Мы, конечно, понимаем, что знания, по-

13

лученные таким образом, страдают неполнотой и требуют время от времени уточнения. Но мы также осознаем, что если новая научная теория включает в себя, как частный случай, более ранние представ-ления и предсказывает новое знание, подкрепляемое экспериментом напрямую или косвенно, вписываясь в общую научную картину мира, то наше знание об окружающем мире обладает целостностью. Это вселяет в нас уверенность в познаваемости природы и в то, что мы находимся на правильном пути в достижении этой цели.

14

Глава 1 Механика Лекция 1

1.1. Физические основы классической механики § 1. Постулаты классической механики

Механикой называется часть физики, изучающая движение и взаимодействие материальных тел. При этом механиче-ское движение рассматривается как изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в про-странстве.

Основоположниками классической механики являются Г. Гали-

лей (1564–1642) и И. Ньютон (1643–1727). Методами классической механики изучается движение любых материальных тел (кроме мик-рочастиц) со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. Движение микрочастиц рассматривается в квантовой меха-нике, а движение тел со скоростями, близкими к скорости света – в релятивистской механике (специальной теории относительности). В зависимости от того, движение каких объектов изучается, механику делят на механику материальной точки, механику твердого тела, ме-ханику сплошных сред и т. д.

Поскольку никакое движение вне пространства и времени не-возможно, договоримся, прежде всего, о содержании этих понятий. Строгое определение понятий пространство и время было дано еще в начале XIV в. английским философом У. Оккамом (1285–1349). Оккам первым из ученых предложил давать определения различным

15

понятиям, указывая, мерой чего они являются. Этот подход сохраня-ется в физике и поныне. Так, например, мы говорим, что масса – это мера инерции материальных тел, энергия – это универсальная мера различных форм движения материи. Согласно Оккаму, пространство – это мера структуры и протяженности материи, а время – это мера длительности событий и явлений материального мира.

В классической механике свойства пространства и времени счи-таются абсолютными, т. е. не зависящими от выбора системы отсчета. Они постулируются, т. е. принимаются без доказательства, исключи-тельно исходя из здравого смысла и непротиворечивости нашему по-вседневному опыту. Эти свойства представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1 Свойства пространства и времени, принятые в классической физике

Пространство Время 1. Трехмерное 1. Одномерное 2. Евклидовое 2. Евклидовое 3. Однородное 3. Однородное 4. Изотропное 4. Необратимое 5. Континуальное 5. Континуальное

Трехмерность пространства означает, что положение матери-

альной точки в таком пространстве в общем случае задается тремя не-зависимыми координатами. Соответственно, одномерность времени означает, что текущее значение времени задается только одним чис-лом. Если Вам 17 лет, то именно 17, а не 17 и, допустим, −72 или ка-кое-то комплексное значение 17 + i31. Разумеется, численные значе-ния и пространственных координат, и времени в каждой конкретной системе отсчета зависят от выбора ее начала и используемых единиц измерения.

Евклидовость пространства и времени означает, что сами по се-бе они не искривлены и описываются в рамках евклидовой геометрии.

16

Однородность пространства означает, что его свойства не зави-сят от расстояния до наблюдателя. Однородность времени означает, что оно не растягивается и не сжимается, а течет равномерно.

Изотропность пространства означает, что его свойства не зави-сят от направления. Поскольку время одномерно, то об изотропности его говорить не приходится. Время в классической механике рассмат-ривается как «стрела времени», направленная из прошлого в будущее. Оно необратимо: нельзя вернуться в прошлое и что-то там «подпра-вить».

И пространство, и время континуальны (от лат. continuum – не-прерывное, сплошное), т. е. их можно дробить на все более мелкие части сколь угодно долго. Иначе говоря, в пространстве и времени нет «прорех», внутри которых они бы отсутствовали.

Еще раз подчеркнем, что указанные в табл. 1.1 свойства про-странства и времени отражают объективные характеристики лишь ок-ружающего нас макромира. Они совершенно не обязательно должны быть такими же в микромире (мире атомных и субатомных масшта-бов) или в мегамире (мире звездных масштабов).

Механику принято делить на кинематику и динамику.

Кинематика изучает движение тел как простое перемеще-ние в пространстве, вводя в рассмотрение так называемые кинематические характеристики движения: перемещение, скорость и ускорение.

При этом скорость материальной точки рассматривается как быстрота ее перемещения в пространстве или, с математической точ-ки зрения, как векторная величина, равная производной по времени ее радиус-вектора:

0

lim .t

r drvt dt∆ →

∆= =

∆

(1.1)

17

Обратите внимание: символ d/dt – это просто обозначение производ-ной по времени как отношения бесконечно малого значения той величи-ны, на которую действует данный дифференциальный оператор, к беско-нечно малому приращению времени. Знак вектора над ним не ставится!

Ускорение материальной точки рассматривается как быстрота

изменения ее скорости или, с математической точки зрения, как век-торная величина, равная производной по времени ее скорости или второй производной по времени ее радиус-вектора:

2

2 .dv d radt dt

= =

(1.2)

Динамика изучает движение тел в связи с действующими на них силами, оперируя так называемыми динамически-ми характеристиками движения: массой, импульсом, силой и др.

При этом масса тела рассматривается как мера его инерции, т. е. сопротивляемости по отношению к действующей на данное тело силе, стремящейся изменить его состояние (привести в движение или, наоборот, остановить, или изменить скорость движения). Масса мо-жет рассматриваться также как мера гравитационных свойств тела, т. е. его способности взаимодействовать с другими телами, также об-ладающими массой и находящимися на некотором расстоянии от данного тела.

Импульс тела рассматривается как количественная мера его движения, определяемая как произведение массы тела на его ско-рость:

.p mv= (1.3)

18

Сила рассматривается как мера механического действия на дан-ное материальное тело со стороны других тел. § 2. Преобразования координат Галилея

Механическое движение некоторого исследуемого тела мы мо-жем количественно оценить, лишь изучая его перемещение относи-тельно других тел. В связи с этим, введем понятие системы отсчета:

Под системой отсчета понимается тело или совокупность тел, которые условно считаются неподвижными и относи-тельно которых рассматривается движение изучаемого тела.

С каждой системой отсчета связывают некоторую систему ко-

ординат, обычно декартовых. Начало системы координат помещают, как правило, в точку пространства, где находится тело, принятое за систему отсчета. При этом само тело не изображают, а лишь подразу-мевают его присутствие.

Различают инерциальные и неинерциальные системы отсчета (соответственно ИСО и НИСО). ИСО – это такие системы отсчета, которые либо покоятся, либо двигаются прямолинейно и равномерно (без ускорения). В противном случае мы имеем дело с НИСО.

В этом есть некоторая уловка. Дело в том, что в природе, строго говоря, вообще нет тел, которые бы покоилось или двигались прямо-линейно и равномерно, и которые можно было бы использовать в ка-честве ИСО. Любое тело, находящееся на Земле, вместе с ней враща-ется вокруг земной оси и вокруг Солнца, вместе с Солнцем – вокруг центра Галактики и т. д. Но на небольших, по сравнению с радиусом вращения, перемещениях по дуге окружности мы с приемлемой точ-ностью можем считать такие перемещения прямолинейными.

19

Для большинства технических задач ИСО можно считать систе-му отсчета, жестко связанную с Землей. В задачах астрономии и кос-монавтики за ИСО принимают систему, связанную с центром масс Солнечной системы и с осями, направленными на три далекие звезды. Так что ИСО – это математически абстрактное понятие.

Важнейшим постулатом классической механики является сфор-мулированный Галилеем в 1632 г. принцип относительности движе-ния (принцип относительности Галилея):

Во всех инерциальных системах отсчета все законы меха-ники одинаковы (т. е. описываются одинаковыми уравне-ниями).

Именно благодаря этому принципу мы и можем достаточно

простым образом получить все наши знания о механическом движе-нии тел. Страшно подумать, какой выглядела бы эта наука, если бы уравнения движения во всех системах отсчета имели бы математиче-ски различный вид. Тогда для каждой отдельно взятой системы от-счета нужно было бы создавать свою физику.

Итак, для выявления всех тонкостей механического движения достаточно знать законы движения тел в ИСО. Поскольку различные ИСО могут относительно друг друга двигаться с постоянными скоро-стями, нам нужно уметь переходить от пространственно-временного описания движения тела в одной ИСО к описанию этого движения в другой ИСО.

Пусть, например, ИСО S′движется с постоянной скоростью V вдоль положительного направления оси x ИСО S. Тогда, как легко ви-деть из рис. 1.1, радиус-векторы некоторой точки P в системе S′и в системе S связаны соотношением 0r r r′ = −

, где 0r – радиус-вектор на-

20

чала системы ,S ′ проведенный из начала системы S , которую мы ус-ловно считаем неподвижной.

r

y

rr

P

x, x

y

zz

00

( )S ( )S V

0

Разложим обозначенные на рис. 1.1 радиус-векторы по коорди-натам:

,r ix jy k′ ′ ′ ′= + +

,r ix jy kz= + +

0 0 ,r ix iVt= +

где , , i j k

– единичные векторы (орты) направлений x, y, z. Они, ес-

тественно, совпадают с ортами направлений , , x y z′ ′ ′ , так как

, , x x y y z z′ ′ ′ . Далее, используя выражение 0r r r′ = −

, получаем

,,,

.

x x Vty yz zt t

′ = −′ =′ =′ =

(1.4)

Формулы (1.4) носят название преобразований Галилея. Естест-

венно, если скорость переноса V системы S′ относительно системы S имеет другое направление, то выражения (1.4) имеют иной вид.

Рис. 1.1. К выводу преобразований Галилея

21

Обратите внимание: одинаковость хода времени в обеих рассматривае-мых ИСО не следует из рис. 1.1. Этот факт постулируется нами, исходя из нашего повседневного опыта. Нам кажется логичным, что часы, от-считывающие время в данной аудитории, показывают такое же время, как и часы наблюдателя, проезжающего на автомобиле мимо универси-тета (при условии, что и те, и другие часы были предварительно сверены по сигналам точного времени).

Пусть, например, мы наблюдаем некоторое тело в виде длинно-

го тонкого стержня, лежащего на оси x в системе S. Его длина, равная разности координат конца x2 и начала x1, может быть найдена как

2 1L x x= − .

Из (1.4) следует, что длина этого же тела, измеренная наблюда-

телем, находящимся в системе S′ , равна

2 1 2 2 1 1( ) ( ).L x x x Vt x Vt′ ′ ′= − = − − −

Поскольку измерения координат конца и начала стержня должны проводиться одновременно, то 2 1t t= и 2 1L x x L′ = − = .

Аналогично, из (1.4) следует, что длительность какого-либо со-бытия, измеренная по часам наблюдателя, находящегося в системе S,

2 1t tτ = −

равна длительности этого же события, измеренной по часам наблюда-теля, находящегося в системе S′ :

2 1 2 1 .t t t tτ τ′ ′ ′= − = − =

22

Величины, остающиеся неизменными при каких-либо преобра-зованиях, например, не зависящие от выбора системы отсчета, назы-ваются инвариантами (от лат. invarians – неизменяющийся). Таким образом, в классической механике имеется два инварианта: длина те-ла и длительность события. § 3. Законы Ньютона

В основе классической механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г. Они ниоткуда не выводятся, а являются обобщением результатов наблюдения за движением и взаи-модействием тел в природе, т. е. постулатами теории. Приведем эти законы в современной формулировке.

Первый закон Ньютона

Если на тело не действуют никакие силы или их равнодей-ствующая равна нулю, то оно сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения.

На языке математики это выглядит так:

0 0.ii

F a= ⇒ =∑

Второй закон Ньютона

Производная импульса тела по времени равна результи-рующей силе, действующей на это тело.

Математически это можно записать в следующем виде:

23

.dp Fdt

=

(1.5)

Для частного случая движения тела с постоянной массой (m = const), принимая во внимание (1.2), (1.3), получаем известную из школьного курса физики форму записи второго закона Ньютона:

.ma F=

Третий закон Ньютона

При взаимодействии двух тел сила, с которой первое тело действует на второе, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

В математической записи это выглядит так:

12 21.F F= −

(1.6)

Законы Ньютоны выполняются лишь в ИСО. Поскольку это математическая абстракция, то применение законов Ньютона к реаль-ным системам отсчета приводит к погрешностям, связанным с дейст-вием в них сил инерции. В ряде случаев это обстоятельство необхо-димо учитывать.

§ 4. Сложение скоростей

Вернемся к рис. 1.1 и допустим, что система S′ участвует как в поступательном (с постоянной скоростью V

), так и во вращательном (с постоянной угловой скоростью ω ) движении относительно ИСО S. Таким образом, в общем случае система S′может быть НИСО. Тогда

24

выполняется следующий закон нахождения скорости материальной точки P в неподвижной ИСО S:

абс отн пост вр ,v v v v= + + (1.7)

где абс /v dr dt=

− ее абсолютная скорость, отн /v dr dt′= − относи-

тельная скорость, т. е. скорость движения относительно системы S′ ,

постv V=

− скорость поступательного движения НИСО относительно

ИСО, а врv = [ ]rω ′ − скорость вращения материальной точки относи-

тельно оси, проходящей через начало системы координат, связанной с НИСО.

Ради простоты изложения мы опустили здесь подробности вы-вода выражения (1.7), однако последнее слагаемое в нем требует не-которых пояснений, так как содержит векторное произведение векто-ров ω и .r′

Векторным произведением векторов a и b

называется вектор c ab =

, образующий с векторами-сомножителями правовинтовую

тройку векторов, модуль которого sinc a b α=

(см. рисунок).

Правовинтовая тройка векторов соответствует правилу буравчика или штопора: если рукоятку штопора поворачивать в направлении от первого вектора ко второму по наиболее короткому расстоянию, то направление его ввинчивания указывает, как направлен вектор векторного произведения данных векторов.

a

b

c

α

25

§ 5. Сложение ускорений

Чтобы найти абсолютное ускорение материальной точки, про-дифференцируем по времени выражение (1.7). Вновь опуская под-робности вывода, можно получить следующее выражение:

отн абс пост К цб ,a a a a a= + + +

(1.8)

где отн отнa dv dt=

− относительное ускорение, абс абсa dv dt= − абсо-

лютное ускорение, постa dV dt= − − поступательное ускорение

(в случае, если constV ≠ ), [ ]K отн2a vω= −

− кориолисово ускорение, на-

званное так в честь французского физика Г. Кориолиса (1792–1843), занимавшегося изучением влияния вращения системы отсчета на от-

носительное движение материальной точи, и [ ]цбa rω ω ′= −

− цен-

тробежное ускорение. Вам оно больше известно в виде, приводимом

в школьных учебниках физики: 2цбa rω= или 2

цб /a v r= . Приведен-

ное здесь векторное выражение является более общим, так как опре-деляет не только численное значение центробежного ускорения, но и его направление. § 6. Центр масс

Под центром масс (центром инерции) системы материаль-ных точек понимают точку, радиус-вектор которой

1

11

1 ,N

Ni ii

C i iNiii

m rr m r

mm=

==

= =∑ ∑∑

где im и ir

– соответственно масса и радиус-вектор i-й ма-териальной точки, а m – масса всей системы.

26

Обратите внимание: понятие центра масс не тождественно понятию центра тяжести. Последний имеет смысл только для твердого тела, нахо-дящегося в однородном поле тяжести.

Умножим на массу всей системы производную по времени ра-

диус-вектора ее центра масс:

1 1 1.

N N NC i

i i i i ii i i

dr drdm m r m m v Pdt dt dt= = =

= = = =∑ ∑ ∑

т. е.

,Cmv P=

где Cv – скорость движения центра масс, а P

– полный импульс сис-

темы. Продифференцируем теперь полученное выражение по времени:

,CC

dv dPm madt dt

= =

(1.9)

где Ca – ускорение, с которым движется центр масс системы.

С другой стороны,

( )( ) ( )

1 1 1

,N N N

i ei i i i

i i i

dP d p F F Fdt dt = = =

= = = +∑ ∑ ∑

где верхние индексы в круглых скобках относятся соответственно к внутренним (англ. internal) и внешним (англ. external) силам, дейст-вующим на i-ю материальную точку. Суммируя внутренние и внеш-ние силы по отдельности, можем записать

27

( )1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

.N N N N

i e i e ei i ij i

i i j iF F F F F

−

= = = =

+ = + =∑ ∑∑ ∑

(1.10)

Первая сумма представляет собой сумму сил парных взаимодей-

ствий всех материальных точек, образующих систему, между собой. Она равна нулю по третьему закону Ньютона. Вторая сумма равна ре-зультирующей всех внешних сил, действующих на систему. Объеди-няя (1.9), (1.10), получаем

( ).eCma F=

(1.11)

Выражение (1.11) является записью теоремы о движении цен-тра масс системы:

Центр масс системы движется так, как двигалась бы мате-риальная точка с массой, равной массе всей системы, под действием всех внешних сил, приложенных к данной сис-теме.

§ 7. Поступательное движение твердого тела

Рассмотрим наиболее простой случай системы материальных

точек – так называемое абсолютно твердое тело.

Под абсолютно твердым телом в механике понимают та-кое тело, взаимное расположение точек которого не изме-няется со временем, а также в процессе движения.

Модель абсолютно твердого тела позволяет решать большой круг задач, связанных с движением реальных тел. В дальнейшем, го-воря о твердом теле, мы будем иметь в виду именно такое тело.

28

При поступательном движении твердого тела все его точки в любой момент времени будут двигаться параллельно друг другу с одинаковой скоростью i Cv v=

и с одинаковым ускорением i Ca a= .

Отсюда следует, что поступательное движение твердого тела одно-значно характеризуется движением его центра масс и подчиняется теореме о движении центра масс системы (1.11).

В частности, если на твердое тело не действует никакая сила или

их равнодействующая равна нулю ( )( ) 0eF =

, то оно сохраняет со-

стояние покоя или прямолинейного равномерного движения. § 8. Вращательное движение твердого тела

Вращение материальной точки. Рассмотрим вращение твердо-го тела вокруг неподвижной оси z, проходящей через его центр инер-ции О. Вначале, для удобства, проанализируем характеристики вра-щения произвольной материальной точки массой im из массива этого

тела, имеющей радиус-вектор ir (рис. 1.2). В общем случае это вра-

щение ускоренное и происходит за счет действия силы i iF m a=

со

скоростью iv . z

Lω

dϕO dl

F a = m v

a

k

m

r

i

i

i

i

i

i

Рис. 1.2. Вращение материальной точки вокруг неподвижной оси

29

Определим угловую скорость материальной точки как угол ее поворота в единицу времени:

,d kdtϕω =

(1.12)

где k

− единичный вектор направления оси .z Угловая скорость – векторная величина. Ее направление опре-

деляется правилом буравчика (см. выше): если рукоятку буравчика поворачивать в направлении вращения материальной точки, то на-правление его ввинчивания указывает направление вектора угловой скорости.

Обратите внимание: в отличие от вектора линейной скорости, вектор угловой скорости направлен не в сторону движения материальной точки, а вдоль оси ее вращения. В связи с этим отметим, что векторы делятся на полярные (обычные) и аксиальные (псевдовекторы). Первые не связаны с вращением, а вторые описывают вращение вокруг некоторой оси. Вектор угловой скорости является аксиальным вектором.

Угловое ускорение материальной точки рассматривается как

быстрота изменения ее угловой скорости или, с математической точ-ки зрения, как векторная величина, равная производной по времени ее угловой скорости:

2

2 .d d kdt dtω ϕε = =

(1.13)

Если величина угловой скорости возрастает со временем

( 0dω > ), то вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угло-

вой скорости: ε ω↑↑ . Если вращение замедляется ( 0)dω < , то на-

30

правления векторов углового ускорения и угловой скорости противо-положны друг другу: ε ω↑↓

. Из рис. 1.2 следует, что перемещение рассматриваемой матери-

альной точки за время dt по дуге окружности радиуса ir

i idl rdϕ= .

Тогда линейная скорость этой материальной точки

.ii i i

dl dv r rdt dt

ϕ ω= = = (1.14)

Чтобы получить нужные направления векторов , , i iv rω

(см. рис. 1.2), выражение (1.14) в векторной записи должно быть представлено в виде

[ ]i iv rω= . (1.15)

Кинетическая энергия нашей материальной точки с учетом вы-

ражения (1.14) может быть записана в виде

2 2 2

.2 2i i i i

im v m rK ω

= =

Величина 2

i i iI m r= (1.16)

называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения. Тогда выражение для кинетической энергии вращения материальной точки принимает вид

31

2

.2

ii

IK ω= (1.17)

По аналогии с моментом силы, известным вам из школьного

курса физики как произведение силы на плечо, или, в векторной запи-

си, как M rF =

, введем понятие момента импульса материальной

точки

[ ]i i iL r p=

. (1.18)

Здесь, согласно (1.3), i i ip m v=

– импульс этой материальной

точки. По аналогии импульсом момент импульса (1.18) может быть записан в виде

.i iL I ω=

(1.19)

Продифференцируем выражение (1.18) по времени:

[ ] [ ] ,i i ii i i i i i i i

i

dL d dr dpr p p r v p rF Mdt dt dt dt

= = + = + =

,ii

dL Mdt

=

(1.20)

так как, в силу коллинеарности векторов iv и ip , [ ] 0.i iv p =

Дифференцируя по времени выражение (1.19), в предположении const,iI = c учетом (1.13) получаем

.ii

dL Idt

ε=

(1.21)

32

Сравнивая (1.20) и (2.21), можем записать

.i iI Mε =

(1.22)

Выражение (1.21) является аналогом второго закона Ньютона

(1.5) для вращательного движения материальной точки, а (1.22) пред-ставляет собой частный случай этого закона, когда ее момент инер-ции не изменяется в процессе вращения.

Вращение твердого тела. Обобщим теперь выражения (1.18)–(1.20), (1.22) на случай сплошного твердого тела. Для этого мы долж-ны взять пределы сумм соответствующих величин по всем матери-альным точкам, устремляя их число в бесконечность:

2 2

1

lim ,N

iN i m V

I I r dm r dVρ→∞

=

= = =∑ ∫ ∫

т. е. момент инерции твердого тела

2 .

V

I r dVρ= ∫ (1.23)

1 1

lim lim ,N N

i iN Ni i I

L L I dI Iω ω ω→∞ →∞

= =

= = = =∑ ∑ ∫

т. е. момент импульса твердого тела

.L Iω=

(1.24)

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

,N N

i e e ei i i

i i

dL M M M Mdt = =

= + = =∑ ∑

33

так как 1

( ) ( )

1 1 10

N N Ni i

i iji i j

M N M−

= = =

= =∑ ∑∑

по аналогии с векторной суммой всех внутренних сил в системе.

Полученное выражение

( )edL Mdt

=

(1.25)

носит название основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Его частный случай для постоянного мо-мента инерции тела легко получается суммированием (1.22) и имеет следующий вид:

( ).eI Mε =

(1.26)

Пример. Рассмотрим применение формулы (1.23) к задаче оты-скания момента инерции тонкого длинного стержня, вращающегося относительно оси, проходящей через один из его концов под произ-вольным углом (рис. 1.3).

0

z

l

dl

Lα

r = l sin α

Рис. 1.3. К выводу момента инерции стержня

34

Объем элемента стержня длиной dl dV Sdl= , где S – площадь его поперечного сечения. Тогда момент инерции всего стержня отно-сительно выбранной оси

2 2 3 2 2 2

0

1 1sin sin sin .3 3

L

I S l dl SL mLρ α ρ α α= = =∫

Если ось вращения перпендикулярна стержню ( / 2)α π= , то

21 .3

I mL= (1.27)

Чтобы найти момент инерции тела относительно другой оси,

следует воспользоваться теоремой Штейнера:

Момент инерции тела относительно некоторой оси враще-ния равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей параллельно данной оси через центр масс те-ла, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

20 .I I mb= +

Таким образом, на практике достаточно знать, как вычисляется

момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Для рассмотренного выше стержня момент инерции относи-тельно оси, проходящей через его середину (центр масс) перпендику-лярно стержню, воспользовавшись теоремой Штейнера, можно найти как

22 2

01 1 .3 2 12

LI mL m mL = − =

(1.28)

35

В табл. 1.2 приведена аналогия межу соответствующими кине-матическими и динамическими характеристиками поступательного и вращательного движений.

Таблица 1.2 Характеристики поступательного и вращательного движений

Поступательное движение Вращательное движение

drvdt

=

– скорость d kdtϕω =

– угловая скорость

2

2dv d radt dt

= =

– ускорение 2

2d d kdt dtω ϕε = =

– угловое ускорение

m – масса 2

V

I r dVρ= ∫ – момент инерции

p mv= – импульс L Iω=

– момент импульса

dpFdt

=

– сила dLM rFdt

= =

– момент силы

ma F=

– основное уравнение дина-мики для случая m = const

I Mε =

– основное уравнение дина-мики для случая I = const

2

2mvK = – кинетическая энергия

2

2IK ω

= – кинетическая энергия

36

Лекция 2 1.2. Законы сохранения § 1. Теорема Нётер

Немецкий математик Эмми Нётер в 1918 г. доказала теорему, оказавшую большое влияние на понимание природы законов сохра-нения ряда физических величин, увязав их со свойствами симметрии пространства и времени. Вот ее формулировка:

Если система сохраняет свои свойства при каком-либо преобразовании переменных, то в ней действует закон со-хранения некоторой физической величины, связанной с данным преобразованием.

Иначе говоря, если система инвариантна относительно каких-

либо преобразований пространственных координат и/или времени, то в ней обязательно должен действовать закон сохранения той физиче-ской величины, которая имеет отношение к данному преобразованию. Мы не будем здесь доказывать эту теорему. Наш предмет – физика, и перед нами стоят другие задачи. Прежде всего, попытаемся выяснить, сколько именно и каких физических величин должно сохраняться в классической механике.

Как было отмечено в лекции 1, в классической механике про-странство считается трехмерным, однородным и изотропным. Оно также евклидово (не искривлено) и континуально (сплошное). Это по-зволяет ввести в рассмотрение некоторую систему отсчета, с которой связана декартова система из трех пространственных координат. Ее можно преобразовывать следующим образом: или транслировать

37

(осуществлять пространственный перенос начала координат в каком-либо направлении), или поворачивать вокруг начала координат. В первом случае свойства системы не должны изменяться вследствие однородности пространства. Во втором – вследствие его изотропно-сти.

Время в классической механике полагается одномерным и одно-родным. Оно евклидово, необратимо и континуально. Следовательно, можно ввести понятие «стрелы времени», направленной из начала его отсчета в будущее. Единственным преобразованием такой временнóй координаты является перенос начала отсчета времени (временнáя трансляция).

Таким образом, постулируемые в классической механике свойства симметрии пространства и времени допускают сущест-вование в ней законов сохранения трех физических величин. Ри-скнем предположить, что это импульс, момент импульса и энергия.

Обратите внимание: в действительности существует еще одно преобра-зование пространственных координат – зеркальное отражение в плоско-сти, переводящее правовинтовую тройку координатных осей в левовин-товую. Ему соответствует закон сохранения четности: зеркальное изо-бражение процесса физически реализуемо с той же вероятностью, что и сам процесс. Например, если некоторое тело падает сверху вниз, на зем-лю, то в зеркальном изображении данного процесса мы наблюдаем то же самое, а не противоположное явление – отрыв тела от земли.

Однако в макромире это настолько привычное явление, что закон со-хранения четности выглядит тривиально и в классической механике обычно не упоминается.

§ 2. Закон сохранения импульса

Рассмотрим замкнутую систему из N взаимодействующих меж-ду собой тел (рис. 2.1). Это означает, что в системе действуют только

внутренние силы iF

, а внешние силы отсутствуют или их действие

38

скомпенсировано: ( ) 0 ( 1,2,3,..., )eiF i N= =

. Используя свойство одно-

родности пространства, переместим систему из первоначального по-ложения 1 в некоторое новое положение 2 путем трансляции на про-извольный вектор .r

1

2N

F1 F2

FN

1

2N

F1 F2

FN

r

Положение 1 Положение 2

Работа внутренних сил по перемещению системы

121

0,N

ii

A F r=

= =∑

так как приращения кинетической энергии системы при этом не про-исходит. Поскольку вектор трансляции r произвольный, то из запи-санного выражения следует, что

1

0,N

ii

F=

=∑

(2.1)

т. е. векторная сумма всех внутренних сил в замкнутой системе равна нулю. Как было показано в лекции 1, это утверждение эквива-лентно третьему закону Ньютона. Таким образом, третий закон Нью-

Рис. 2.1. Трансляция замкнутой системы тел не изменяет их взаимного распо-ложения в пространстве, а также мгновенных значений скоростей движения

( constiv = ) и кинетической энергии системы в силу однородности пространства

39

тона, который мы ранее рассматривали как постулат классической механики, фактически является следствием однородности простран-ства.

Запишем теперь второй закон Ньютона для i-го тела, имея в ви-ду его центр масс:

.ii

dp Fdt

=

Просуммируем это выражение по всем i от 1 до N с учетом (2.1):

1 1

0,N N

ii

i i

dp d dPpdt dt dt= =

= = =∑ ∑

где P

– полный импульс системы. Отсюда следует, что

const.P =

(2.2)

Полный импульс замкнутой системы тел с течением вре-мени не изменяется.

Данное утверждение называется законом сохранения импуль-са. Как видим, этот закон обусловлен инвариантностью системы от-носительно пространственных трансляций или, что одно и то же, яв-ляется следствием однородности пространства.

§ 3. Закон сохранения момента импульса

Вернемся к рассмотрению описанной в предыдущем параграфе замкнутой системы тел, полагая теперь, что действующие на них

внутренние силы iF

создают моменты сил i i iM r F =

, где ir – ради-

40

ус-вектор i-го тела (его центра масс), проведенный из центра масс 0 системы (рис. 2.2). Ввиду отсутствия внешних сил, их моменты также отсутствуют. Повернем систему вокруг оси, проходящей через точку 0 перпендикулярно чертежу, на некоторый бесконечно малый угол dϕ .

1

2N

0N

1

2

Положение 1 Положение 2

M

MM

1 2

N

0N

1

2

M

MM

dϕ

Работа, совершенная внутренними силами при повороте систе-

мы в изотропном пространстве, равна нулю, так как при этом прира-щения кинетической энергии системы не происходит:

121

0.N

i ii

dA F dl=

= =∑

Здесь idl

– вектор перемещения центра масс i-го тела. Выразим эту

работу через моменты внутренних сил iM

, вводя векторный элемент

угла поворота dϕ , направление которого совпадает с направлением

угловой скорости вращения (см. рис. 2.3, на котором показано враще-

Рис. 2.2. Поворот замкнутой системы тел не изменяет их взаимного распо-ложения в пространстве, а также мгновенных значений модулей скоростей

движения ( constiv = ) и кинетической энергии системы в силу изотропности

пространства

41

ние i-го тела). Для этого перепишем тривиальное выражение

i idl r dϕ= в векторном виде: [ ]i idl r dϕ= −

. Тогда

[ ] ;i i i i i i iF dl F r d r F d M dϕ ϕ ϕ = − = =

121

0,N

ii

dA M dϕ=

= =∑

откуда, в силу произвольного выбора dϕ , получаем, что в замкнутой

системе нулю равна не только векторная сумма всех внутренних сил, но и векторная сумма всех их моментов:

1

0.N

ii

M=

=∑

(2.3)

rdl

ω

dϕ

dϕi

ii

0

Согласно основному закону динамики вращательного движения (см. лекцию 1), производная по времени момента импульса i-го тела

Рис. 2.3. Взаимное расположение векторов , i iF dl

и dϕ

42

.ii

dL Mdt

=

Просуммируем это выражение по всем i от 1 до N с учетом (2.3):

1 1

0,N N

i ii

i i

dL d dLLdt dt dt= =

= = =∑ ∑

где L

– полный момент импульса системы. Отсюда следует, что

const.L =

(2.4)

Полный момент импульса замкнутой системы тел с тече-нием времени не изменяется.

Данное утверждение называется законом сохранения момента

импульса. Как видим, этот закон обусловлен инвариантностью сис-темы относительно пространственных вращений или, что одно и то же, является следствием изотропности пространства.

§ 4. Закон сохранения механической энергии

Вспомним вначале, что в механике различают кинетическую и потенциальную энергии. Кинетическая энергия системы – это мера ее механического движения в пространстве.

Кинетической энергией системы из N материальных точек называется величина

2

1

,2

Ni i

i

m vK=

= ∑

43

где im и iv – соответственно масса и скорость движения i-й материальной точки.

Выше было показано, что в замкнутой системе наличие внут-ренних сил не изменяет ее кинетической энергии ни при поступатель-ном, ни при вращательном движении. Так как сколь угодно сложное движение системы может быть разложено на поступательное и вра-щательное, это означает, что при любом перемещении системы рабо-та внутренних сил не вызывает изменения ее кинетической энергии.

Кинетическая энергия замкнутой системы может изменяться только в результате взаимодействия с внешними телами (системами).

В частности, работа внешних сил ( )eiF

по перемещению системы из

некоторого положения 1 в новое положение 2 приводит к возраста-нию ее кинетической энергии. Действительно,

2 2 2 2( )

121 1 11 1 1 1

.N N N

e i ii i i i i

i i i

dp dvA dA F dl dl m dldt dt= = =

= = = =∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

С учетом того, что i idl v dt=

, а i i i iv dv v dv= (последнее выраже-

ние легко получить, дифференцируя тождество 2 2i iv v= ), получаем

( ) ( )2 222 1

12 2 11 1 11

.2 2

N N Ni i i i

i i ii i i

m v m vA m v dv K K

= = =

= = − = −∑ ∑ ∑∫

Таким образом,

12 2 1.A K K= − (2.5)

По отношению к совершаемой работе все действующие в при-

роде силы делятся на консервативные и неконсервативные.

44

Консервативными силами называются такие силы, работа которых не зависит от формы траектории перемещения тела, а определяется лишь его начальным и конечным по-ложениями.

В противном случае силы называются неконсервативными. Примера-ми консервативных сил являются силы тяжести и кулоновские силы. Силы трения и силы сопротивления среды – неконсервативные силы, так как совершаемая ими работа приводит к превращению части ме-ханической энергии в тепловую энергию, величина которой зависит от протяженности траектории перемещения. В форме теплоты энер-гия рассеивается в пространстве, переходя в энергию хаотического (теплового) движения частиц. Поэтому силы трения и сопротивления относятся к диссипативным силам (от лат. dissipatio – рассеяние).

Отметим, что не все неконсервативные силы являются диссипа-тивными. Например, гироскопические силы, к которым относятся си-лы Кориолиса и Лоренца, действуют всегда перпендикулярно к ско-рости перемещения тела и пропорциональны величине этой скорости. Их работа равна нулю при любом перемещении тела, но от консерва-тивных сил они отличаются тем, что зависят не только от положения тела, но и от скорости его движения.

Если на систему действуют только консервативные силы, то для нее можно ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия системы – это мера ее способности совершать работу в поле консервативных сил. Так как консервативные силы являются конфи-гурационными силами, т. е. зависят только от координат системы, то и потенциальная энергия системы является только функцией коорди-нат. Положив ее значение равным нулю в какой-то одной точке про-странства (например, в бесконечно удаленной точке либо на поверх-ности земли или другого тела), можно определить потенциальную

45

энергию системы в любой другой точке относительно выбранной точки нулевой потенциальной энергии.

Потенциальной энергией системы в некоторой точке про-странства называется физическая величина, численно равная работе консервативных сил по перемещению этой системы из данного положения в положение, где ее потен-циальная энергия принята равной нулю.

Тогда работа консервативных сил по перемещению системы из

положения 1 в положение 2 (рис. 2.4) будет равна 12 10 02 10 20 1 2 ,A A A A A U U= + = − = − (2.6)

так как 20 02A A= − ввиду смены знака dl

на противоположный в вы-

ражении для работы. Из (2.6) следует, что работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы.

1

0

2

Приравнивая правые части выражений (2.5) и (2.6), получаем

2 1 1 2 1 1 2 2; .K K U U K U K U− = − + = +

Рис. 2.4. Работа консервативных сил по перемещению тела из положения 1 в положение 2 не зависит от формы траектории перемещения: 12 10 02A A A= +

46

Полная механическая энергия замкнутой системы, равная сумме ее кинетической и потенциальной энергий, при на-личии только консервативных сил остается постоянной:

const.E K U= + =

Заметим, что при выводе данного утверждения было неявно

сделано допущение об однородности времени. Действительно, при непостоянстве ходе времени потенциальная энергия системы должна зависеть не только от пространственных координат тел, составляю-щих систему, но и от времени, т. е. ( , , , )U U x y z t= . Тогда полный

дифференциал U выражается через частные производные по коорди-натам и времени:

,U U U UdU dx dy dz dtx y z t

∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂

причем для консервативных сил

, , .x y zU U UF F Fx y z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂

Справедливость записанных выражений вытекает из сделанного

выше вывода, что работа консервативной силы равна убыли потенци-

альной энергии, т. е. ( )ex y zdA F dl F dx F dy F dz dU= = + + = −

. Тогда

2

12 2 11

, , ( ) .U U UdU dA dt dA dU dt A U U dtt t t

∂ ∂ ∂= − + = − + = − − +

∂ ∂ ∂∫

Сравнивая это выражение с (2.5), получаем

47

2

2 2 1 11

.UK U K U dtt

∂+ = + +

∂∫ (2.7)

Лишь в случае однородного времени функция U не может зави-

сеть от t, т. е. / 0U t∂ ∂ = , и мы приходим к стандартной формулиров-ке закона сохранения механической энергии. Таким образом, закон сохранения полной механической энергии в замкнутой системе явля-ется следствием ее инвариантности относительно трансляций во вре-мени или, что одно и то же, вытекает из однородности времени.

48

Лекция 3 1.3. Физические основы релятивистской механики § 1. Постулаты релятивистской механики

Когда вы идете в вагоне движущегося поезда, то вашу скорость относительно железнодорожного полотна легко найти, воспользовав-шись законом сложения скоростей (см. § 4 лекции 1). Например, если вы идете со скоростью 5 км/ч по ходу поезда, а он движется со скоро-стью 100 км/ч, то скорость вашего перемещения относительно рель-сов равна 105 км/ч. Если же вы пойдете в обратную сторону с той же скоростью, то относительно рельсов вы будете двигаться со скоро-стью 95 км/ч.

К концу XIX века, когда в результате экспериментов О. Ремера (1675), А. Физо (1849), Ж. Фуко (1850), А. Майкельсона (1878) была измерена скорость света, а Дж. Максвеллом (1865) выдвинута кон-цепция об электромагнитной природе света, возникла подобная про-блема. Ведь была измерена скорость распространения света относи-тельно Земли, но она вращается вокруг своей оси, вокруг Солнца и вместе с ним вокруг центра Галактики. Вот если бы удалось опреде-лить скорость света «в чистом виде», относительно некой абсолютной инерциальной системы отсчета, в которой бы скорость света не зави-села от движения Земли…

С античных времен считалось, что такой абсолютной ИСО явля-ется эфир. По древнегреческой мифологии эфир – это верхний, луче-зарный слой воздуха. Ученые XIX века полагали, что существует та-кая идеальная неподвижная среда, в которой двигаются все небесные тела и распространяется свет. Ее по традиции и называли эфиром. Ра-зумеется, к летучим органическим соединениям, называемым эфира-

49

ми, в том числе к хорошо известному этиловому эфиру, этот космиче-ский эфир никакого отношения не имел.

Американские физики А. Майкельсон и Э. Морли в 1887 г. осу-ществили опыт, целью которого было обнаружение влияния движе-ния Земли на скорость распространения света – так называемого «эфирного ветра». Однако их опыт дал отрицательный результат: ока-залось, что скорость света не зависит от направления его движения относительно движущейся Земли.

Сами авторы опыта и многие другие ученые конца XIX – начала XX веков так и не смогли объяснить, почему не удалось доказать движение Земли относительно эфира и почему свет ведет себя столь «странным» образом, игнорируя классический закон сложения скоро-стей. Лишь в 1905 г. А. Эйнштейн, глубоко переосмыслив основные представления о свойствах пространства и времени, объяснил отрица-тельный результат опыта Майкельсона – Морли. В результате им бы-ла создана специальная теория относительности (СТО) или реля-тивистская механика, ставшая обобщением классической механики на случай движения тел со скоростями, близкими к скорости света в вакууме.

В основе СТО лежат два постулата или принципа, в пользу справедливости которых говорит весь экспериментальный материал, в том числе и опыт Майкельсона – Морли:

1) принцип относительности; 2) принцип постоянства скорости света во всех ИСО. Первый постулат представляет собой обобщение принципа от-

носительности Галилея на любые физические процессы:

Все физические явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета.

50

Второй постулат утверждает следующее:

Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциаль-ных системах отсчета.

Таким образом, скорость света занимает особое положение в природе: она инвариантна относительно преобразований координат, связанных с переходом от одной ИСО к другой. Это обусловлено тем, что скорость света в вакууме является предельной величиной для скорости движения тел или возмущений физических полей, создан-ных этими телами, – волн. Понятным этот факт становится лишь при обращении к идеям современной космологии, в частности, к пред-ставлению о Большом взрыве, положившем начало нашей Вселенной около 13,7 млрд лет назад, и последовавшим за этим процессом воз-никновения субатомных частиц, атомов, вещества и силовых взаимо-действий между ними. Интересующихся деталями данного процесса мы отсылаем к соответствующей литературе.

Что касается проблемы «эфирного ветра», то она отпала сама собой, раз выяснилось, что для света все ИСО равноправны. Сам же термин эфир сохранился в нашей речи лишь применительно к радио- и телепередачам. Физики отождествляют эфир в указанном выше смысле с понятием физический вакуум. § 2. Преобразования Лоренца для координат и скоростей

Преобразования координат Галилея (см. § 2 лекции 1) основаны на предположении, что длина тела и время являются инвариантами. Это предположение вытекает из здравого смысла и опыта повседнев-ной жизни, но оно терпит фиаско при обращении к большим скоро-стям движения.

51

Понятно, что вытекающий из преобразований Галилея класси-ческий закон сложения скоростей (см. § 4 лекции 1) не может выпол-няться в рамках новых постулатов. Действительно, если в выражении (1.7), позволяющем найти скорость тела абсv в лабораторной ИСО S ,

зная его скорость отнv в движущейся со скоростью пост constv V= =

ИСО S ′ , когда вр 0v = , положить отн ,v с=

где с − скорость света в ва-

кууме, то получается абс .v c V= +

Это противоречит второму постула-

ту, так как при c V↑↑

получается абс .v c>

Поэтому преобразования Галилея в релятивистской механике должны быть заменены на другие преобразования координат, не про-тиворечащие ее постулатам. Такие преобразования были получены в 1904 г. голландским физиком Х. Лоренцем еще до появления СТО в ходе попыток объяснения отрицательного результата опыта Майкель-сона – Морли. Их называют преобразованиями Лоренца, и для рас-сматривавшихся в лекции 1 двух ИСО они имеют следующий вид:

2

2

2

, , ,1

/ .1

x Vtx y y z z

t Vx ct

β

β

−′ ′ ′= = =−

−′ =−

(3.1)

Здесь /V cβ = – относительная (по отношению к скорости света с в

вакууме) скорость переноса системы S' относительно системы S вдоль направления x. Разумеется, при другом направлении переноса, выра-жения (3.1) принимают иной вид.

Обратим внимание, что при малых скоростях движения ( / 1)V c преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Га-

лилея (1.4), рассмотренным в лекции 1.

52

Воспользуемся теперь преобразованиями Лоренца (3.1), записав их для бесконечно малых приращений координат и времени:

2

2 2

/, , , .1 1

dx Vdt dt Vdx cdx dy dy dz dz dtβ β

− −′ ′ ′ ′= = = =− −

Запишем компоненты скорости как соответствующие производные:

2 22

,/ 1 /1 /

xx

x

dx Vdx dx Vdt v Vdtdxdt dt Vdx c Vv cV cdt

υ−′ − −′ = = = =

′ − −−

22 2

2 22

11 1 ,/ 1 /1 /

xy

x

dydy vdy dt

dxdt dt Vdx c Vv cV cdt

ββ βυ

−′ − −′ = = = =′ − −−

22 2

2 22

11 1 ./ 1 /1 /

zz

x

dzdz vdz dt

dxdt dt Vdx c Vv cV cdt

ββ βυ

−′ − −′ = = = =′ − −−

Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей можно записать следующим образом:

2 2

2 2 2

1 1, , .1 1 1

y zxx y z

x x x

v vv Vv v vVv Vv Vvc c c

β β− −−′ ′ ′= = =− − −

(3.2)

53

§ 3. Сокращение масштабов

Рассмотрим движение некоторого тонкого стержня вдоль оси x условно неподвижной ИСО S (рис. 3.1). Пусть он движется со скоро-стью V. Его длина в этой системе отсчета равна разности координат конца и начала стержня: 2 1L x x= − . В ИСО , связанной со стержнем,

в которой он покоится, его длина, согласно преобразованиям Лоренца (3.2),

2 2 1 1 2 1 2 10 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) .1 1

x Vt x Vt x x V t tL x xβ β

− − − − − −′ ′= − = =− −

x

x

y

y( )S

( )S V

V

L

L0

xx

xx

21

12

Естественно, что измерение координат конца и начала стержня

следует производить в один и тот же момент времени ( 2 1t t− ). Тогда

из записанной выше формулы следует, что

0 21LLβ

=−

Рис. 3.1. Релятивистское сокращение масштабов

54

или

2

0 1 .L L β= − (3.3)

Здесь 0L – длина предмета, измеренная в системе отсчета, относи-

тельно которой он покоится, – его собственная длина, а L – длина этого же предмета, измеренная в системе отсчета, относительно кото-рой он движется, – его релятивистская длина.

Из (3.3) видно, что для наблюдателя, мимо которого предмет перемещается, его продольные (относительно направления движения) размеры представляются тем более сокращенными в масштабах, чем больше скорость перемещения. В частности, при V c= длина предме-та, «пролетающего» мимо такого наблюдателя, для него обращается в нуль. При малых по сравнению со скоростью света в вакууме скоро-стях движения ( 1)β , в классическом пределе, мы, как и ранее в

лекции 1, получаем, что 0L L= .

§ 4. Замедление времени

Пусть в некоторой точке x в условно неподвижной ИСО S (рис. 3.2) происходит событие, длительность которого, измеренная часами, находящимися здесь же, составляет 0 2 1t tτ = − . В ИСО S ′ ,

движущейся со скоростью V относительно S, имеются другие часы, ход которых синхронизировали с первыми часами заблаговременно. По этим часам длительность рассматриваемого события, согласно преобразованиям Лоренца (3.1), составляет

( ) ( )2 12 12 2 2 1 2 12

2 1 2 2.

1 1

Vx Vx Vt t t t x xc c ct tτβ β

− − − − − − ′ ′= − = =

− −

55

x x

x

yy

V

( )S( )S

t

t

Естественно, что начало и конец события происходят в одной и той же точке пространства 2 1( )x x x= = . Тогда из записанной выше

формулы следует, что

02

.1ττβ

=−

(3.4)

Здесь 0τ – длительность события, измеренная по часам, неподвижным

относительно места, где оно происходит – собственное время, а τ – длительность этого же события, измеренная по часам, которые дви-жутся относительно этого места, – релятивистское время.

Из (3.4) видно, что у движущегося наблюдателя часы «тикают» медленнее, и они отстают по сравнению с часами неподвижного на-блюдателя тем сильнее, чем больше скорость движения. В частности, если наблюдатель движется со скоростью света в вакууме V c= , то все происходящие вокруг него события останавливаются. При малых по сравнению со скоростью света в вакууме скоростях движения

Рис. 3.2. Релятивистское замедление времени

56

( 1)β , в классическом пределе, мы, как и ранее в лекции 1, получа-

ем, что 0τ τ= .

§ 5. Относительность одновременности событий

Пусть в двух разных точках 1x и 2x некоторой ИСО S (рис. 3.3)

одновременно происходят какие-либо два события ( 1 2t t= ). Вопрос:

будут ли эти события также одновременными для наблюдателя, нахо-дящегося в ИСО S ′ , которая движется относительно S с некоторой скоростью V в направлении, соединяющем точки 1x и 2x ?

x x

y y

z z

OOx x

V( )S ( )S

1 2

t t1 2

Разность времен фиксации рассматриваемых событий в ИСО S

2 1 0t t t∆ = − = (события одновременны). В ИСО S ′

2 1 2 12

2 1 2

( ) ( ).

1

Vt t x xct t tβ

− − −′ ′ ′∆ = − =

−

Однако теперь первая скобка в числителе дроби, которая у нас

уже встречалась, равна нулю, а вторая – нет (события происходят в разных точках). Следовательно, 0t′∆ ≠ , и события, одновременные

Рис. 3.3. К обоснованию относительности одновременности событий

57

в одной ИСО, вовсе не обязаны быть одновременными в другой ИСО. Более того, если наблюдатель движется от точки 1x к точке 2x

( 0)V > , то 0t′∆ < , т. е. событие в точке 1x происходит раньше, чем в

точке 2x . Наоборот, если наблюдатель движется от точки 2x к точке

1x ( 0)V < , то 0t′∆ > , и событие в точке 1x происходит позже, чем в

точке 2x . Обратите внимание: из относительности одновременности событий еще не следует нарушение причинной связи событий. Действительно, ес-ли 0t∆ > , например, из точки 1x в направлении мишени, находящейся в

точке 2x , произведен выстрел, то

2 2

2 2

1 10,

1 1

xx V Vvt c ct t tβ β

∆− −∆′∆ = ∆ = ∆ >− −

так как xv c< (пуля движется медленнее света). Значит, попадание пули в мишень происходит позже выстрела. Причинная связь событий не зависит от выбора системы отсчета.

§ 6. Релятивистские масса и импульс

Можно показать, что для того, чтобы второй закон Ньютона (уравнение движения) был инвариантен относительно преобразова-ний Лоренца, он должен быть записан в виде

( ) ,dp v Fdt

=

(3.5)

где так называемые релятивистские импульс и масса зависят от ско-рости движения тела:

( ) ,p v mv= (3.6)

58

02

.1mmβ

=−

(3.7)

Величина 0m называется массой покоя тела, так как при 0V cβ = = 0m m= . Итак, наряду с такими рассмотренными выше ре-

лятивистскими эффектами, как сокращение масштабов, замедление времени и относительность одновременности, в СТО есть еще один эффект – возрастание массы тела, движущегося относительно наблю-дателя. § 6. Релятивистские выражения для энергии

Из выражений (3.6), (3.7) следует, что

2 2 2 2 20 ,p m c β γ= (3.8)

где

2

1, .1

Vc

β γβ

= =−

Рассмотрим очевидное тождество:

2 2

2 2 2 2

1 / 11 / 1 /

V cV c V c

− =− −

или, то же самое в других обозначениях,

2 2 2 1.γ β γ− =

Умножим левую и правую части этого выражения на одну и ту

же величину 2 20( )m c :

59

2 2 2 2 2 2 20 0( ) ( ) ( ) .m c m cγ β γ− =

Используя (3.8), перепишем его в виде

2 2 2 2 2 2 20 0( ) ( ) .m c p c m cγ − =

Выясним физический смысл первого члена (без квадрата) в по-

лученном выражении, полагая 1β .

2 2

2 2 2 20 00 0 02

11 .2 21

m c m Vm c m c m cγ ββ

= ≈ + + ⋅⋅ ⋅ ≈ + −

Обратите внимание: процедура, которой мы воспользовались, называ-ется разложением функции в степенной ряд. Если вы пока не умеете это-го делать, то можете просто убедиться в справедливости данного при-

ближения, сравнивая значения величин 21 / 1 β− и 21 (1 / 2)β+ , задавая

убывающий ряд значений 0,1; 0,01; 0,001, ...β =

Поскольку второе слагаемое в правой части – кинетическая энергия тела, т. е. энергия, обусловленная его движением, то первое слагаемое также должно иметь смысл энергии, в данном случае – энергии покоящегося тела или его энергии покоя. Сумма обеих энер-гий составляет полную энергию тела. Тогда при достаточно больших значениях β полная релятивистская энергия тела

0E E K= + (3.9)

может быть представлена в виде

60

220

2,

1m cE mc

β= =

− (3.10)

а тождество, с которым мы работали, дает связь энергии и импульса тела:

2 2 2 20 .E p c E− = (3.11)

Из выражения (3.10) Эйнштейн пришел к следующему фунда-

ментальному выводу: энергия системы, из каких бы видов энергии она не состояла (механической, электрической, химической и т. д.), пропорциональна ее массе.

Таким образом, масса тела, которая в классической механике выступала как мера инерции или мера гравитационного действия, в релятивистской механике выступает в новом качестве – как мера энергосодержания системы (тела).

Изменение полной энергии системы сопровождается эквива-лентным изменением ее массы:

2/m E c∆ = ∆ (3.12) и наоборот.

61

Глава 2 Электричество и магнетизм Лекция 4 2.1. Уравнения электромагнитного поля § 1. Характеристики электрического и магнитного полей

При описании электрических полей обычно используют две си-ловые характеристики: напряженность и индукцию электрического поля, и одну скалярную характеристику – потенциал электрического поля.

Напряженностью электрического поля в некоторой его точке называется физическая величина, равная отноше-нию силы, с которой это поле действует на положительный заряд, помещенный в данную точку, к величине этого за-ряда:

.FE

Q=

Определим единицу измерения напряженности электрического

поля:

[ ] Н Н м с Дж/с Вт В1 1 1 1 1 Кл Кл м с А м А м м

E ⋅ ⋅= = = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅(вольт на метр).

Индукция электрического поля или электрическое смеще-ние является силовой характеристикой электрического по-

62

ля в веществе и в однородном изотропном диэлектрике связана с его напряженностью следующим образом:

0 ,D Eε ε=

где ε0 = 8,85 ∙ 10-12 Ф/м – электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), а ε − относи-тельная диэлектрическая проницаемость среды.

Единица измерения индукции электрического поля

[ ] 2

Ф В Кл1 1 м м м

D ⋅= =

⋅(кулон на метр в квадрате).

Потенциалом электрического поля в некоторой его точке называется величина, численно равная работе, совершае-мой полем при удалении единичного положительного заря-да из данной точки поля в точку, где его потенциальная энергия равна нулю (например, в бесконечно удаленную точку):

.AQ

ϕ =

Единица измерения потенциала электрического поля

[ ] Дж Дж с Вт1 1 1 1В Кл Кл с А

ϕ ⋅= = = =

⋅(вольт).

Обратите внимание: потенциальную энергию заряда и потенциал элек-трического поля мы можем ввести только потому, что кулоновские силы, как и гравитационные силы в механике, являются консервативными си-лами.

При описании магнитных полей также используют две силовые

характеристики: индукцию и напряженность магнитного поля. Основной силовой характеристикой магнитного поля, определяющей его величину в вакууме, является индукция магнитного поля.

63

Индукцией магнитного поля в некоторой его точке называ-ется величина, равная отношению максимального враща-тельного момента, действующего на малый контур с то-ком, помещенный в данную точку, к магнитному моменту этого контура:

max .m

MBp

=

На рис. 4.1 показан для определенности прямоугольный контур

площади 2 ,S rl= находящийся в однородном магнитном поле. По контуру протекает электрический ток силой I. Под магнитным моментом контура с током понимается величина, равная произведе-нию силы тока на площадь контура: .mp IS=

B

F

F

I

r2 l

Привлекая рис. 4.1, легко увидеть, что max max ,2M rF=

2 .mp Irl= Тогда индукцию магнитного поля можно определить иначе.

Индукция магнитного поля в некоторой его точке – это ве-личина, равная отношению максимальной силы, дейст-вующей со стороны поля на перпендикулярный ему малый отрезок проводника с током, к длине этого отрезка и силе тока в нем:

max .FBlI

=

Рис. 4.1. К понятию индукции магнитного поля

64

Единица измерения индукции магнитного поля

[ ] Н1 1Тл А м

B = =⋅

(тесла).

Обратите внимание: выражения для В в качестве определений индук-ции магнитного поля записаны нами без указания знака вектора. Это свя-зано с тем, что вектор индукции магнитного поля – аксиальный вектор. Его направление не совпадает с направлением вращательного момента, действующего на контур с током, или направлением силы, действующей на проводник с током. Обсуждение вопроса о направлении вектора B

мы пока отложим.

Напряженность магнитного поля является силовой харак-теристикой магнитного поля в веществе и в однородном изотропном магнетике связана с его индукцией следующим образом:

0

,BHµ µ

=

где 7 7

0 4 10 12,56 10µ π − −= ⋅ ≈ ⋅ Гн/м – магнитная постоянная (магнитная проницаемость вакуума), а – относительная магнитная проницаемость среды.

Единица измерения напряженности магнитного поля

[ ] 2

Тл м Тл м А Тл м А А1 1 1 1Гн Вб Тл м м

H ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ (ампер на метр).

Обратите внимание: скалярного потенциала магнитного поля нет. Это связано с неконсервативным характером магнитных сил.

65

§ 2. Первое уравнение Максвелла

Рассмотрим некоторый замкнутый проводящий контур L (рис. 4.2), пронизываемый изменяющимся во времени магнитным по-лем. Согласно закону электромагнитной индукции, открытому М. Фарадеем в 1831 году, в контуре индуцируется ЭДС, пропорцио-нальная скорости изменения магнитного потока: i tε = −∆Φ ∆ . Знак

«минус» здесь учитывает правило Ленца: возникающая ЭДС всегда приводит к появлению индукционного тока, направленного таким об-разом, чтобы его магнитное поле препятствовало изменению внешне-го магнитного поля. Так как магнитный поток, в общем случае, явля-ется функцией не только времени, но и координат, то правильнее бу-дет записать этот закон в виде

Φ .i tε ∂= −

∂ (4.1)

B t( )

IL

S

i

Рис. 4.2. Появление индукционного тока в контуре, пронизываемом

изменяющимся во времени магнитным полем

66

По определению ЭДС в контуре равна работе сторонних (неэлектрических) сил по перемещению единичного положительного заряда, т. е.

сторстор стор

1 .iL L

AF dl E dl

Q Qε = = =∫ ∫

Вместо напряженности поля сторонних сил стор сторE F Q=

в по-

следнее выражение можно подставить сумму стор eE E E= +

, где eE

–

напряженность электростатического поля, так как в поле неподвиж-ных электрических зарядов (поле консервативных сил) работа по пе-ремещению заряда по замкнутому контуру равна нулю:

0.e e e

L L

A F dl Q E dl= = =∫ ∫

Напомнив вам эту школьную истину, мы теперь можем перепи-

сать (4.1) в виде

.L

i Edlε = ∫

(4.2)

С другой стороны,

Φ ,S S

BBdS dSt t t

∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂

∫ ∫

(4.3)

где S – произвольная поверхность, стягиваемая контуром L. Тогда (4.1) эквивалентно следующей записи:

.L S

BEdl dSt

∂= − ∂

∫ ∫

(4.4)

67

Выдающийся английский физик Дж. К. Максвелл первым дога-дался, что наличие проводящего контура для появления электриче-ского поля в окрестности изменяющегося во времени магнитного по-ля вовсе необязательно. Он лишь позволяет обнаружить это поле по возникающему в нем индукционному току. Характерной особенно-стью этого поля является то, что оно не связано с какими-либо заря-дами, его силовые линии замкнуты. Поэтому такое поле называют вихревым электрическим полем.

Интеграл от векторной функции по замкнутому контуру в мате-матике принято называть циркуляцией этой функции по данному кон-туру, а интеграл векторной функции по некоторой поверхности – потоком этой функции через данную поверхность. Тогда, в соответ-ствии с (4.4), математическая формулировка первого уравнения Максвелла выглядит следующим образом:

Циркуляция вектора напряженности вихревого электриче-ского поля по некоторому контуру равна взятому со зна-ком «минус» потоку вектора скорости изменения индукции магнитного поля через произвольную поверхность, стяги-ваемую данным контуром.

§ 3. Второе уравнение Максвелла

В соответствии с (4.4) вихревое электрическое поле создается изменяющимся во времени магнитным полем. Но тогда, наоборот, магнитное поле (всегда вихревое) должно создаваться изменяющимся во времени электрическим полем:

,L S

DHdl dSt′

∂= ∂

∫ ∫

(4.5)

68

где S ′ – некоторая поверхность, стягиваемая произвольным контуром L (рис. 4.3). Если вместо поверхности S ′ рассмотреть некоторую по-верхность S, пересекаемую током плотности j I S= , где I – сила пе-

ременного тока, протекающего через конденсатор, то на его обклад-ках должно выполняться равенство

0 0 0 .c

c c c c

SD E U U U Q IC jt t t d d t S t S t S S

ε ε ε ε ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Здесь d и cS – соответственно расстояние между обкладками конден-

сатора емкости C и их площадь.

S

S

S III c

Ток смещения

Ток проводимости

Если вид поверхности ( S ′ или S) не оговорен заранее, то, в об-щем случае, вместо (4.5) следует записать такое выражение:

.L S

DHdl j dSt′

∂= + ∂

∫ ∫

(4.6)

Из него следует, что изменяющееся во времени электрическое по-ле, подобно току проводимости – току, связанному с направлен-

Рис. 4.3. Токи проводимости и смещения

69

ным движением зарядов в проводящей среде, создает в окружаю-щем пространстве магнитное поле. По этой причине изменяющееся во времени электрическое поле называют током смещения, имея в виду, что плотность этого тока равна скорости изменения индукции (смещения) электрического поля:

.смDjt

∂=∂

(4.7)

Согласно (4.6) математическая формулировка второго уравне-

ния Максвелла может быть дана в таком виде:

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому замкнутому контуру равна потоку вектора плотности полного тока, складывающегося из тока прово-димости и тока смещения, через произвольную замкнутую поверхность, стягиваемую данным контуром.

Поэтому (4.6) называют также законом полного тока. § 4. Третье уравнение Максвелла

Рассмотрим положительный точечный заряд Q, создающий в

некоторой точке пространства электрическое поле напряженности E

(рис. 4.4). Как известно, для электрического поля точечного заряда

20

1 .4

QErπε ε

=

Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью S,

проходящей через рассматриваемую точку. Поток вектора E

через эту поверхность (см. рис. 4.4)

70

E

S

S

S

d

d

d

Q

= r dΩ2

Ω

22

0 04

1 .4S S

Q QEdS EdS r drππε ε ε ε⊥= = Ω =∫ ∫ ∫

Используя связь напряженности и индукции электрического по-

ля, последнее выражение можно записать в виде

.S

DdS Q=∫

(4.8)

Если внутри поверхности S находится несколько зарядов или

имеется некоторое непрерывное распределение заряда, то в правой части (4.8), в силу принципа суперпозиции (наложения) электриче-ских полей, следует указать полный заряд:

.S V

DdS dVρ=∫ ∫

(4.9)

Рис. 4.4. К выводу теоремы Гаусса – Остроградского

71

Таким образом,

Поток вектора индукции электрического поля через про-извольную замкнутую поверхность равен заряду, охваты-ваемому этой поверхностью.

Выражение (4.9), представляющее собой математическую за-пись третьего уравнения Максвелла, называют также теоремой Гаусса – Остроградского.

§ 5. Четвертое уравнение Максвелла

Теорема Гаусса – Остроградского (4.9) показывает, что элек-трическое поле создается электрическими зарядами. Так как маг-нитное поле, согласно (4.6), создается токами проводимости (движу-щимися электрическими зарядами) и токами смещения (изменяющи-мися во времени электрическими полями), то отдельных магнитных зарядов нет. Поэтому

Поток вектора индукции магнитного поля через произ-вольную замкнутую поверхность равен нулю:

0.

S

BdS =∫

(4.10)

Это утверждение составляет содержание четвертого уравнения Максвелла.

§ 6. Полная система уравнений Максвелла

Сведем теперь выражения (4.4), (6.6), (4.9), (4.10) в единую сис-тему уравнений, называемых уравнениями Максвелла в честь этого создателя теории электромагнитного поля (первые уравнения такого поля были им записаны в 1855–1856 гг.):

72

0

,

,

,

.S V

L S

L S

S

BEdl dSt

DHd

DdS d

l j dSt

V

BdS

ρ′

∂= − ∂

∂= + ∂

=

=

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

(4.11)

Уравнения Максвелла обычно дополняют тремя уравнениями, связывающими входящие в них векторные функции коэффициентами, зависящими от свойств среды:

0

0

,

,

.

D E

B H

j E

ε ε

µ µ

σ

=

=

=

(4.12)

С первыми двумя уравнениями мы уже знакомы: это связь ин-дукции и напряженности электрического и магнитного полей. Третье выражение представляет собой закон Ома в дифференциальной форме. Здесь σ – удельная электропроводность среды (величина, об-ратная ее удельному электрическому сопротивлению). Действитель-но, в однородном электрическом поле отрезка прямого провода на-пряженность поля E U I= , где U – падение напряжения на участке

длиной l, сила тока, согласно (4.12),

,U UI jS ES Sl R

σ σ⊥ ⊥ ⊥= = = = (4.13)

где R – сопротивление провода. Полученное выражение представляет собой обычную, интегральную форму записи закона Ома для одно-родного участка цепи.

73

Лекция 5

2.2. Электростатика и магнитостатика § 1. Уравнения электростатики и магнитостатики

Электростатикой называется часть теории электричест-ва, занимающаяся изучением электрических полей непод-вижных электрических зарядов. Магнитостатикой называется часть теории магнетизма, занимающаяся изучением магнитных полей постоянных электрических токов.

В обоих случаях мы имеем дело со стационарной ситуацией, ко-гда состояние источников полей и сами поля не зависят от времени. В этом случае система уравнений Максвелла (4.11) с учетом уравне-ний связи (4.12) распадается на две независимые системы уравнений:

− уравнения электростатики

0

,

0,

,

S V

L

DdS dV

Edl

D E

ρ

ε ε

=

=

=

∫ ∫

∫

(5.1)

− уравнения магнитостатики

0

0,

,

.S

S

L

Hdl jd

d

S

B

B

H

S

µ µ′

=

=

=∫

∫ ∫

(5.2)

74

К этим уравнениям следует добавить выражения, определяющие характеристики модельных источников полей. К уравнениям (5.1) – вытекающее из закона Кулона выражение для электрического поля точечного заряда:

30

1 .4

QrrE

πε ε=

(5.3)

а к уравнениям (5.2) – закон Био – Савара – Лапласа для магнит-ного поля элемента тока:

03

[ .4

]dlrdB Ir

µ µπ

=

(5.4)

Данное уравнение аналогично по своему смыслу (5.3). Из него

следует, что индукция магнитного поля, создаваемого элементом то-ка, как и напряженность электрического поля точечного заряда, об-ратно пропорциональна квадрату расстояния до него. Правда, вектор индукции магнитного поля является аксиальным вектором в отличие от вектора напряженности электрического поля, который является полярным вектором.

Кроме того, к уравнениям электростатики (5.1), (3.3) следует добавить условие безвихревого (потенциального) характера электро-статического поля:

grad ,E ϕ= −

(5.5)

где скалярная функция ϕ является потенциалом электростатиче-

ского поля, введенным в прошлой лекции. Здесь gradϕ − градиент

потенциала, обозначающий его векторную производную следующего вида:

grad .i j kx y zϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

75

Формула (5.5) выражает тот факт, что разность потенциалов ка-ких-либо двух точек в электростатическом поле равна работе куло-новских сил по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую:

2

1 21

.Edlϕ ϕ ϕ∆ = − = ∫

(5.6)

Знак «минус» в (5.5) показывает, что с увеличением расстояния до за-ряда его электрическое поле ослабевает.

§ 2. Электроемкость. Конденсаторы

Электроемкостью проводника называется физическая ве-личина, равная отношению накопленного на нем заряда к потенциалу электрического поля на его поверхности:

.QCϕ

=

Если рядом с заряженным проводником находится другой про-

водник, то на нем индуцируется заряд противоположного знака, а ме-жду проводниками возникает разность потенциалов ϕ∆ . Электриче-

ское поле в такой системе проводников локализуется, в основном, между проводниками, а ее электроемкость выше, чем электроемкость уединенного проводника. Системы из двух разноименно заряженных проводников называются конденсаторами. Они служат для накопле-ния электрического заряда и его передачи в другие участки электри-ческой цепи. Емкость конденсатора находится по формуле

.ΔQCϕ

= (5.7)

76

Рассмотрим в качестве примера цилиндрический конденсатор длиной l с радиусами проводников (обкладок) 1R и 2 1R R> , заполнен-

ный однородным изотропным диэлектриком с относительной диэлек-трической проницаемо-стью ε (рис. 5.1). Элек-трическое поле между ко-аксиально расположенны-ми обкладками конденса-тора обладает осевой сим-метрией, поэтому первое уравнение системы (5.1) может быть записано в следующем виде:

.nS

D dS Q=∫

Интегрирование в этом выражении проводится только по боко-вой поверхности цилиндра текущего радиуса 1 2R r R≤ ≤ , так как через торцевые поверхности потоки вектора индукции электрического поля равны нулю. Поэтому, с учетом того, что 0nD D Eε ε= = , данное вы-ражение сводится к виду 0 2E rl Qε ε π⋅ = , откуда напряженность элек-трического поля в конденсаторе

0

.2

QErlπε ε

=

В аксиально-симметричном электростатическом поле связь на-

пряженности и потенциала (5.5) принимает вид E d drϕ= − , следова-

тельно, разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

l

R

R

1

2

r

Рис. 5.1. Цилиндрический конденсатор

77

2 2

1 1

2

0 0 1

Δ ln .2 2

R R

R R

RQ dr QEdrl r l R

ϕπε ε πε ε

= = =∫ ∫

Подставляя полученное выражение в формулу (5.7), находим

емкость цилиндрического конденсатора

( )

0

2 1

2 .ln

lCR Rπε ε

= (5.8)

В радиотехнике часто используется понятие погонной емкости,

т. е. емкости, приходящейся на единицу длины линии передачи. Для коаксиального кабеля из формулы (5.8) получается следующее выра-жение для погонной емкости:

( )0

пог2 1

2 .ln

CRR

πε ε= (5.9)

§ 3. Индуктивность. Соленоиды

Индуктивностью проводника называется физическая ве-личина, равная отношению сцепленного с ним магнитного потока к силе протекающего в нем электрического тока:

Φ .LI

=

Потокосцепление проводника с собственным магнитным полем

будет больше, если он образует замкнутый контур, пронизываемый этим магнитным полем. Еще больше будет величина потокосцепле-ния многовиткового контура – катушки индуктивности. Однослой-ную катушку индуктивности с плотно, виток к витку, намотанным

78

изолированным проводом называют соленоидом. Индуктивность со-леноида можно вычислить по формуле

Ψ ,LI

= (5.10)

где Ψ ΦN= – потокосцепление соленоида из N витков с его собствен-ным магнитным полем, созданным в результате протекания по нему тока силой I.

Найдем индуктивность торидально-го соленоида, представляющего собой соленоид, свернутый в кольцо радиуса R (рис. 5.2). Поскольку магнитное поле

внутри тороида однородное и H dl↑↑

, второе уравнение системы (5.2) можно записать в виде

2 ,L

Hdl Inl In Rπ= = ⋅∫

где n N l= – число витков на единицу длины соленоида. Интеграл в

левой части уравнения равен 2H Rπ⋅ . Следовательно, напряженность магнитного поля в соленоиде

,H In= (5.11) а магнитная индукция

0 .B Inµ µ= (5.12)

Потокосцепление соленоида 2

0Ψ ΦN BS nl In Vµ µ⊥= = = , где V – внутренний объем соленоида. Подставляя последнее выражение в (5.10), найдем индуктивность тороидального соленоида:

I

R

Рис. 5.2. Тороидальный соленоид

79

20 .L n Vµ µ= (5.13)

Отметим, что формулы (5.11)–(5.13) справедливы также для

прямого бесконечно длинного соленоида. Выше предполагалось, что среда внутри соленоида (его сердеч-

ник) является однородным изотропным магнетиком, магнитная про-ницаемость которого постоянна и не зависит от силы тока, проте-кающего через соленоид. В некоторых случаях, например, при ис-пользовании ферромагнитных сердечников, магнитная проницае-мость, а значит и индуктивность, зависят от величины магнитного поля, т. е. являются функцией силы тока в соленоиде. § 4. Энергия и силы в электростатике

Как было показано в школьном курсе физики, энергия заряжен-ного конденсатора (пусть, для простоты, это будет плоский конденса-тор емкости С, находящийся под напряжением U )

2 2220 0 01 ,

2 2 2 2S ECU UW U Sd V

d dε ε ε ε ε ε = = = =

где S и d – соответственно площадь обкладок конденсатора и расстоя-ние между ними, смысл остальных величин ясен из контекста. Поде-лив последнее выражение на объем конденсатора V, найдем объемную плотность энергии электрического поля в конденсаторе:

2

0 .2 2 2

EDEW EDwV

ε ε= = = =

(5.14)

80

Выражение (5.14) пригодно как для однородного, так и для не-однородного электрического поля, так как оно относится к малой об-ласти пространства. При этом запись через скалярное произведение

векторов E

и D

верна лишь для изотропного диэлектрика, когда

E D↑↑

. В общем случае, если мы имеем дело с неоднородным ди-электриком, энергию электрического поля можно вычислить сле-

дующим образом: V

W wdV= ∫ .

Рассмотрим теперь плоский конденсатор, который зарядили до заряда Q± на пластинах, а затем отключили от источника ЭДС. Есте-

ственно, что противоположно заряженные пластины притягиваются друг к другу. Какова сила этого притяжения? Мы можем выразить эту силу через градиент потенциальной энергии (см. лекцию 2), т. е. через градиент энергии заряженного конденсатора:

2 2

0 0 ,2 2zE EdW dVF S

dz dzε ε ε ε

= − = − = − (5.15)

где S – площадь каждой из пластин конденсатора. Знак «минус» пока-зывает, что пластины притягиваются друг к другу.

Давление, оказываемое этой силой на диэлектрик, находящийся между пластинами,

2

0 .2

zF Ep wS

ε ε= = = (5.16)

Деформация диэлектрика за счет сил давления, вызванных элек-трическим полем, называется электрострикцией. Так как выражения (5.14)–(5.15) сохраняются и в случае нестационарных полей, то элек-трострикция может быть и переменной. Это позволяет, например, ис-пользовать электрострикционные преобразователи для возбуждения упругих волн в различных средах.

81

Лекция 6

2.3. Законы стационарных токов § 1. Характеристики электрического тока

Электрическим током называется процесс направленного переноса электрических зарядов.

В отсутствии электрического тока заряды в проводящей среде

совершают хаотическое тепловое движение, и через любую поверх-ность в обоих направлениях в среднем проходит одинаковое количе-ство носителей заряда одного знака. При наложении электрического поля заряды, продолжая хаотически двигаться, начинают направленно перемещаться (дрейфовать): в направлении поля – положительные за-ряды или противоположно полю – отрицательные заряды.

Исходной характеристикой электрического тока является физическая величина, называемая плотностью тока

,j Qnu=

где Q – заряд носителя, n – их концентрация, u – ско-рость дрейфа.

Если в переносе заряда участвуют носители разных по знаку и

(или) величине зарядов, то следует пользоваться формулой

,i i ii

j Q n u=∑

82

где суммирование производится по всем типам носителей заряда.

Величина, равная потоку вектора плотности тока j

через некоторую поверхность площади S, называется силой тока

.s

I jdS= ∫

В системе СИ сила тока измеряется в амперах: [ ] 1 AI = . Соот-

ветственно, 2[ ] 1 А/мj = (ампер на метр в квадрате).

Энергетическими характеристиками электрического тока явля-ются разность потенциалов, электродвижущая сила (ЭДС) и напряже-ние.

Разностью потенциалов каких-либо двух точек электриче-ского поля называется физическая величина, равная рабо-те кулоновских сил по перемещению единичного положи-тельного заряда из одной точки в другую:

2

1 21

.Edlϕ ϕ− = ∫

Электродвижущей силой, действующей на каком-либо уча-стке цепи между точками 1 и 2, называется физическая ве-личина, равная работе сторонних (не кулоновских) сил по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую:

2

12 стор1

.E dlε = ∫

83

Падением напряжения (напряжением) на участке цепи ме-жду точками 1 и 2 называется физическая величина, рав-ная суммарной работе как кулоновских, так и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую:

2

12 стор1

( ) .U E E dl= +∫

Обратите внимание: и разность потенциалов, и ЭДС, и напряжение из-меряются в одних и тех же единицах (вольтах), но смысл их различен.

§ 2. Правила Кирхгофа

Пусть имеется узел некоторой электрической цепи, в котором сходятся несколько проводников с токами (рис. 6.1). Скорость, с ко-торой заряд вытекает из данного узла, может быть представлена в следующем виде:

.S

QjdSt

∂= −

∂∫

Однако, чтобы потенциал узла не изменялся во времени (иначе ток не будет стационарным), необхо-димо, чтобы выполнялось условие

const.Q = Левая часть полученно-

го выражения представляет собой алгебраическую сумму токов, вхо-дящих в рассматриваемый узел и выходящих из него. Следователь-

I

I I

I

V

S

1

2

3

4

Рис. 6.1. К выводу первого пра-вила Кирхгофа

84

но, алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:

0.kk

I =∑ (6.1)

Это утверждение носит название первого правила Кирхгофа.

Оно является следствием закона сохранения заряда: какой заряд вхо-дит в узел, такой заряд из него и выходит; в узле цепи стационарного тока не происходит ни накопления заряда, ни его убывания.

Рассмотрим теперь закон Ома в дифференциальной форме для неоднородного участка цепи 1–2, содержащего источник сторон-них сил):

стор стор( ) ( grad ).j E E Eσ σ ϕ= + = − +

Поделим это выражение на σ и проинтегрируем вдоль линии

тока по данному участку цепи:

2 2

1 2 стор1 1

1 ( ) .jdl E dlϕ ϕσ

= − +∫ ∫

Далее

2 2

12 стор 121 1

1 ; ,jl Iljdl IR E dlS

εσ σ σ

= = = =∫ ∫

и мы получаем закон Ома для неоднородного участка цепи:

12 1 2 12( ) .IR ϕ ϕ ε= − + (6.2)

85

Для замкнутого контура из нескольких участков цепи (в общем случае неоднородных) суммирование (6.2) по всем участкам, с учетом

того, что 1 2( ) 0kkϕ ϕ− =∑ , приводит к выводу, что сумма падений

напряжения на всех участках замкнутого контура в электриче-ской цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в дан-ном контуре:

.k k kk k

I R ε=∑ ∑ (6.3)

Это утверждение называется вторым правилом Кирхгофа. Оба

правила Кирхгофа широко применяются для расчета электрических цепей. § 3. Классическая теория электропроводности металлов

В основе разработанной Друде и Лоренцем теории электропро-водности проводников лежит модель, согласно которой ионы в узлах кристаллической решетки считаются неподвижными, а свободные электроны, ускоряются приложенным электрическим полем и сталки-ваются с ионами в процессе своего движения. При каждом столкно-вении с ионом электрон полностью теряет свою кинетическую энер-гию, и, следовательно, его скорость дрейфа в этот момент времени равна нулю. Перед очередным столкновением скорость дрейфа элек-трона достигает максимального значения. Таким образом, средняя скорость дрейфа max / 2u u⟨ ⟩ = . В свою очередь, maxu можно найти,

зная ускорение a, сообщаемое электрону кулоновской силой, дейст-вующей в электрическом поле напряженности E:

86

max ,eEu am

τ τ= ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

где e – элементарный заряд, равный по модулю заряду электрона, m – масса, а τ⟨ ⟩ – среднее время свободного пролета электрона, рав-ное отношению его средней длины свободного пробега λ⟨ ⟩ к средней скорости движения v⟨ ⟩ . Следовательно, средняя скорость дрейфа электронов в проводнике

.2eEu

m vλ⟨ ⟩

⟨ ⟩ =⟨ ⟩

Так как плотность тока в металле j en u= ⟨ ⟩ , то

2

.2e Ej E

m vλ⟨ ⟩

=⟨ ⟩

В соответствии с законом Ома в дифференциальной форме, ко-

эффициент при E в правой части полученного выражения равен удельной электропроводности металла σ , т. е.

2

.2e n

m vλσ ⟨ ⟩

=⟨ ⟩

(6.4)

Обратите внимание: в теории Друде – Лоренца предполагается, что скорость дрейфа электронов во много раз меньше их средней скорости теплового движения ( u v⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ). Отсюда следует, что классическая тео-рия электропроводности металлов неверна, по крайней мере, в двух слу-чаях: в области достаточно сильных электрических полей и при низких температурах. Однако и в обычных условиях эта теория лишь качествен-но объясняет уменьшение электропроводности и, стало быть, возраста-

87

ние сопротивления металлов с увеличением температуры. Действитель-но, из теории, согласно формуле (6.4), следует, что 1 / Tσ = , в то время как эксперимент дает следующую зависимость: 1 / Tσ = . Корректную теорию электропроводности металлов удается построить лишь на основе квантовых представлений о движении электронов в проводниках.

§ 4. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

Как вы, должно быть, помните из школьного курса физики, за-

кон Джоуля – Ленца утверждает, что количество теплоты, выделенное в проводнике при протекании электрического тока, пропорционально квадрату силы тока в нем, сопротивлению проводника и времени про-текания тока:

2 .Q I R t= ∆ (6.5)

Поскольку I jS ESσ= = , / ( )R l Sσ= , а уд/ ( )Q tSl P∆ = – тепло-

та (энергия), выделяемая при протекании тока в единицу времени в единице объема проводника, т. е. удельная мощность тока, то из (6.5) следует, что

2уд .P Eσ= (6.6)

Выражение (6.6) называется законом Джоуля – Ленца в диф-ференциальной форме. § 5. Энергия и мощность в электрической цепи

Пусть к источнику сторонних сил с ЭДС ε и внутренним со-противлением r подключена нагрузка с сопротивлением R.

Полная мощность, выделяемая в цепи за счет работы сторонних сил, 0P Iε= . Сила тока в замкнутой цепи / ( )I R rε= + . Если цепь за-

88

корочена ( 0R = ), то сила тока в цепи достигает своего максимального значения, равного току короткого замыкания кз /I rε= . Соответст-

венно, 2

0max кз .P Irεε= =

Внутри источника выделяется мощность 21P I r= . Ее макси-

мальное значение 2

1max 2maxP Prε

= =

также достигается при токе короткого замыкания.

Во внешней цепи выделяется мощность 21 0 2P P P I I rε= − = − .

Ее максимальное значение можно найти из условия максимума для данного выражения, приравняв нулю производную 2P по I . Тогда

2 max кз/ (2 ) / 2P PI r Iε= = = , а 2

2max .4

Pr

ε=

Следовательно, максимальная мощность в нагрузке выделяется

при токе, равном половине тока короткого замыкания, т. е. когда со-противление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, а ее значение в четыре раза меньше максимально возможной мощно-сти источника.

Коэффициент полезного действия электрической цепи

22

0

.P I I r Ir U RP I R r

ε εηε ε ε− −

= = = = =+

89

Отметим, что при R r= , т. е. при выделении в нагрузке макси-мальной мощности, 0,5η = .

На рис. 6.2 представлены зависимости распределения мощности в цепи и ее коэффициента полезного действия от силы тока.

P P P

P P

P

II II II

1,0

0,5

η

кзкз кзкз 22

0

0

1

1

2

24

, ,

ε

ε2

2 r

r

Обратите внимание: одну и ту же мощность на нагрузке можно полу-чить в двух разных режимах. При этом режиму с кз / 2I I< ( )R r> соот-

ветствует больший КПД, чем режиму с кз / 2I I> ( )R r< .

Рис. 6.2. Распределение мощности в цепи стационарного электрического тока и коэффициент ее полезного действия в зависимости от силы тока

90

Глава 3 Колебания и волны Лекция 7

3.1. Свободные незатухающие колебания § 1. Гармонический осциллятор

Осциллятор (от лат. oscillo – качаюсь) – это колебательная система. Осциллятор называется гармоническим, если в нем происходят гармонические колебания.

Примерами гармонических осцилляторов могут служить раз-

личные маятники (математический, пружинный, крутильный), коле-бательный контур и другие колебательные системы, в которых проис-ходят колебания малой амплитуды. Рассмотрим подробнее этот вопрос на примере математического маят-ника. Моделью такого маятника мо-жет служить тяжелый грузик доста-точно малых размеров, подвешенный на длинной нити и совершающий колебания под действием силы тяже-сти (рис. 7.1).

Согласно закону сохранения энергии, в отсутствии сил сопротив-ления среды, кинетическая энергия маятника в текущем положении, ха-

Рис. 7.1. Математический маятник

l

m

α

α

0

91

рактеризуемом углом отклонения α, равна убыли потенциальной энергии: 0K U U= − . При этом

21 ,2

K Iω= 2 ,I ml= ,ω α=

где I – момент инерции вращающегося грузика, ω – угловая скорость вращения.

Как видно из рис. 7.1,

0 0(1 cos )U mgl α= − ; (1 cos )U mgl α= − .

Тогда закон сохранения энергии принимает вид

2 20

1 (cos cos )2

ml mglα α α= − .

Дифференцируя последнее выражение по времени, получаем

singl

α α α α⋅ = − .

Сократив на α и обозначив 0/g l ω= , получаем уравнение

движения математического маятника в виде

20 sin 0.α ω α+ = (7.1)

В случае малых углов отклонения от положения равновесия

sinα α≈ , и уравнения (7.1) принимает вид

92

20 0.α ω α+ = (7.2)

Уравнение (7.2) называется дифференциальным уравнением

гармонических колебаний. Его решение имеет вид

0 0cos( ),A tα ω ϕ= + (7.3)

где амплитуда A и начальная фаза 0ϕ колебаний определяются на-

чальными условиями: начальным углом отклонения и начальной ско-ростью движения маятника. Уравнение (7.3) называют уравнением гармонических колебаний.

Выпишем выражения для кинетической, потенциальной и пол-ной энергий гармонических колебаний математического маятника:

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0

1 1 1sin ( ) sin ( );2 2 2

K ml ml A t mglA tα ω ω ϕ ω ϕ= = + = + (7.4)

2 2 20 0

1 1(1 cos ) cos ( ).2 2

U mgl mgl mglA tα α ω ϕ= − = = + (7.5)

Здесь мы воспользовались разложением косинуса малого угла в

степенной ряд: 2

cos 1 ...2!

αα = − + . Тогда

21 .2

E K U mglA= + = (7.6)

Из (7.5) следует, что

Потенциальная энергия гармонического осциллятора про-порциональна квадрату смещения колеблющейся величи-ны относительно ее равновесного значения.

93

§ 2. Физический маятник

Под физическим маятником понимают произвольное твер-дое тело, совершающее колебания в поле силы тяжести от-носительно точки подвеса, расположенной выше его цен-тра масс.

На рис. 7.2 изображен такой маятник. В идеале – это абсолютно

твердое тело. Поэтому его момент инерции constI = и расстояние от точки подвеса до центра масс constd = . Движение центра масс маят-ника описывается основным уравнением динамики вращательного движения:

,I Mε = (7.7)

где ε α= – угловое ускорение, sinM mgd α= − – момент действую-

щей силы (веса). Знак «минус» здесь выражает тот факт, что этот мо-мент силы стремится вернуть отклоненный маятник в положение рав-новесия. Иными словами, направления вектора M

и вектора углово-го смещения dα противоположны (см. рис. 7.2). В результате урав-

нение (7.7) принимает вид

sin 0.mgdI

α α+ =

При малых углах отклонения маят-ника от положения равновесия sinα α≈ , дифференциальное урав-нение колебаний физического маят-ника можно записать в виде

20 0α ω α+ = , (7.8)

где 0 / .mgd Iω = Рис. 7.2. Физический маятник

d

C

О

α

mg

M dα

94

Соответственно решение уравнения (7.8) – уравнение гармони-ческих колебаний физического маятника – имеет вид

0 0cos( )A tα ω ϕ= + , (7.9)

где 0ω – циклическая частота колебаний, а их период

2 .ITmgd

π= (7.10)

Предельным случаем физического маятника является рассмот-

ренный нами выше математический маятник. Действительно, если те-ло маятника вырождается в материальную точку массой m, то d l= ,

т. е. длине математического маятника, а 2I ml= . Тогда 0 /g lω = , а

2 /T l gπ= . Последнее выражение представляет собой известную

вам из школьного курса физики формулу Гюйгенса для периода коле-баний математического маятника.

Длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный физический маятник, на-зывается приведенной длиной физического маятника.

Приравнивая правые части формулы Гюйгенса и выражения

(7.10), видим, что приведенная длина физического маятника опреде-ляется следующим соотношением:

пр .Ilmd

= (7.11)

95

Зная приведенную длину физического маятника, его период ко-лебаний можно вычислить по формуле

пр2 .l

Tg

π= (7.12)

Используя физический маятник, можно экспериментальным пу-

тем определить его приведенную длину и вычислить ускорение сво-бодного падения из выражения (7.12). Такой метод дает гораздо бо-лее точный результат, чем способ нахождения ускорения свободного падения с помощью весьма грубой модели математического маятни-ка. Дело в том, что для более точного определения периода колебаний математического маятника, необходимо измерить время некоторого числа колебаний (не менее десяти) и поделить его на число колеба-ний. При этом из-за затухания, связанного с сопротивлением воздуха, чтобы обеспечить малые углы отклонения маятника от равновесия, приходится использовать весьма длинный математический маятник (длиной в несколько метров). Это неудобно в условиях лабораторного эксперимента. § 3. Идеальный колебательный контур

Под идеальным колебательным контуром понимают элек-трическую цепь, состоящую из сосредоточенных в разных областях пространства конденсатора и катушки индуктив-ности. Активное сопротивление контура считается равным нулю.

На рис. 7.3 показан такой колебательный контур. Конденсатор

заряжается от источника напряжения, затем с помощью переключате-ля замыкается на катушку индуктивности. Потери энергии в контуре

96

отсутствуют: джоулево тепло не вы-деляется из-за того, что активное со-противление равно нулю, потери на излучение практически отсутствуют из-за слабой связи электрического поля конденсатора с магнитным по-лем катушки индуктивности.

Из второго правила Кирхгофа следует, что падение напряжения на конденсаторе равно ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности:

.C sdIU Ldt

ε= = − (7.13)

Так как /CU Q C= , /I dQ dt Q= = , /dI dt I Q= = , где Q – за-

ряд на обкладках конденсатора, то уравнение (7.13) можно перепи-сать в виде

20 0,Q Qω+ = (7.14)

где 0 1/ LCω = .

Решение дифференциального уравнения гармонических колеба-ний (7.14) в колебательном контуре имеет вид

m 0 0cos( ),Q Q tω ϕ= + (7.15)

где 0ω – циклическая частота колебаний. Период колебаний

2 ,T LCπ= (7.16)

т. е. описывается известной из школьной физики формулой Томсона.

C L

1 2

Рис. 7.3. Идеальный колебатель-ный контур

97

Падение напряжения на конденсаторе

m0 0cos( ),C

Q QU tC C

ω ϕ= = + (7.17)

Сила тока в контуре

0 m 0 0 0 m 0 0sin( ) cos( / 2),I Q t Q tω ω ϕ ω ω ϕ π= − + = + + (7.18)

т. е. ток опережает напряжение на конденсаторе по фазе на / 2π .

Энергия электрического поля в конденсаторе

2 22m

0 01 cos ( ).

2 2C

CCU QW t

Cω ϕ= = + (7.19)

Энергия магнитного поля в катушке индуктивности

2

2 2 20 m 0 0

1 sin ( ).2 2L

LIW LQ tω ω ϕ= = + (7.20)

Так как 20 1/L Cω = , то полная энергия электромагнитного поля

в колебательном контуре

2 2m m ,

2 2C LCU LIW W W= + = = (7.21)

где m m /U Q C= , а m 0 mI Qω= – соответственно амплитуды напряже-

ния и силы тока.

98

Лекция 8

3.2. Сложение гармонических колебаний § 1. Сложение когерентных колебаний

Колебания называются когерентными (от лат. cohaerens – находящийся в связи) или согласованными, если они про-исходят в одном и том же направлении, имеют одинаковые частоты и постоянную во времени разность фаз.

Пусть накладываются друг на друга когерентные колебания

произвольной природы следующего вида:

( )1 1 0 01cos ,A tψ ω ϕ= + (8.1)

( )2 2 0 02cos ,A tψ ω ϕ= + (8.2)

Под 1ψ и 2ψ здесь понимаются смещения относительно равно-

весных значений колеблющейся величины (например, угла отклоне-ния маятника или заряда на обкладках конденсатора). Для анализа ха-рактера результирующих колебаний воспользуемся графическим ме-тодом представления колебаний в виде вращающихся векторов (см. рис. 8.1).

Суть графического метода (метода векторных диаграмм) представ-ления колебаний состоит в том, что колебания представляются вра-щающимся вектором. При этом амплитуда колебаний соответствует модулю данного вектора, их циклическая частота – его угловой ско-рости вращения, фаза колебаний – углу отклонения вектора от фик-сированного направления, начальная фаза соответствует начально-му значению этого угла, а смещение – проекции конца вектора на указанное направление в данный момент времени.

99

А

А

А

ϕ

ϕ

ϕ

ω

1

12

2

0

ψ0

Поскольку частоты складываемых колебаний одинаковы, векто-

ры их изображающие вращаются с одинаковой угловой скоростью. Суммарный вектор, модуль которого равен амплитуде результирую-щих колебаний, вращается с той же угловой скоростью. Следователь-но, результирующие колебания также будут гармоническими колеба-ниями с той же циклической частотой, что и исходные колебания.

Величина смещения в этих колебаниях (проекция конца вектора A

на ось ψ ) будет зависеть от времени по закону

( )0 0cos .A tψ ω ϕ= + (8.3)

Амплитуду результирующих колебаний легко найти, используя

теорему косинусов:

( )2 2 21 2 1 2 2 12 cos .A A A A A ϕ ϕ= + + − (8.4)

Рис. 8.1. К сложению когерентных колебаний

100

Тангенс начальной фазы результирующих колебаний также лег-ко определить из рис. 8.1, суммируя соответствующие проекции век-торов:

1 1 2 20

1 1 2 2

sin sintg .cos cos

A AA A

ϕ ϕϕϕ ϕ+

=+

(8.5)

В зависимости от значения 2 1ϕ ϕ ϕ∆ = − амплитуда результи-

рующих колебаний может принимать значения в интервале 2 1 2 1.A A A A A− ≤ ≤ +

Максимальное значение амплитуды max 2 1A A A= + достигается

при 2mϕ π∆ = , где 0,1,2,3,m = … Такие колебания называются син-

фазными. Синфазные колебания максимально усиливают друг друга. Минимальное значение амплитуды min 2 1A A A= − становится возмож-

ным при (2 1)mϕ π∆ = + . Такие колебания называются противофаз-

ными. Противофазные колебания максимально ослабляют друг друга. При равенстве амплитуд складываемых противофазных колебаний наблюдается их полное взаимное гашение. § 2. Биения

Под биениями понимают результат наложения колеба-ний одинакового направления с близкими значениями частоты.

Пусть складываемые колебания описываются уравнениями

1 1cos ,A tψ ω= (8.6)

2 2cos ,A tψ ω= (8.7)

101

где 2 1ω ω ω= + ∆ , причем 1ω ω∆ . Амплитуды обоих колебаний для

простоты анализа приняты одинаковыми, а значения начальных фаз –нулевыми. Результат суммирования (8.6), (7.7) имеет вид

2 1 2 11 2 2 cos cos .

2 2A t tω ω ω ωψ ψ ψ − +

= + = (8.8)

Обозначив

2 1 2 1мод

Δ , ,2 2 2

ω ω ω ω ωω ω− += = = (8.9)

перепишем (8.8) в следующем виде:

мод cos .A tψ ω= (8.10)

Уравнение (8.10) описывает амплитудно-модулированные коле-

бания, при этом амплитуда модуляции

мод мод2 cos .A A tω= (8.11)

График таких колебаний показан на рис. 8.2.

t

ψ

2A

2AT

T

мод

b

Рис. 8.2. Картина биений в случае наложения колебаний одинаковой амплитуды

102

Рассмотренный случай представляет собой простейший пример модуляции амплитуды высокочастотных колебаний более низкочас-тотными гармоническими колебаниями. В представляющих интерес для практического использования в радиотехнике, телекоммуникаци-онных системах и т. п. используются более сложные законы модуля-ции. При этом может модулироваться не только амплитуда, но также и частота, и фаза колебаний. Заметим, что периодические биения воз-никают только при наложений колебаний вида (8.6), (7.7). Как видно из рис. 8.2, период биений равен половине периода модуляции:

модb

2 . 2

TT π

ω=∆

=

(8.12)

§ 3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим прямоугольную рамку, в центре которой находится шарик массой m, удерживаемый четырьмя одинаковыми пружинами жесткостью k (рис. 8.3).

Рис. 8.3. К сложению взаимно перпендикулярных колебаний

103

Такой шарик может совершать механические колебания как в горизонтальном (x), так и в вертикальном (y) направлении с частотой

0 / .k mω = Пусть уравнения этих колебаний имеют вид

1 0cos ,x A tω= (8.13)

2 0cos( ),y A tω ϕ+ ∆= (8.14)

т. е. начальные фазы колебаний подобраны таким образом, что их разность равна начальной фазе вторых колебаний.

Из уравнения (8.13) можем найти

2

0 0 21 1

cos , sin 1 .x xt tA A

ω ω= = − (8.15)

Из уравнения (8.14) с учетом (8.15) получаем

2

0 0 22 1 1

cos cos sin sin cos 1 sin .y x xt tA A A

ω ϕ ω ϕ ϕ ϕ= ∆ − ∆ = ∆ − − ∆

Последнее выражение легко привести к виду

2 2

22 2

1 2 1 2

2 cos sin .x y xyA A A A

ϕ ϕ+ − ∆ = ∆ (8.16)

Проанализируем возникающие здесь частные случаи. 1. 0.ϕ∆ = В этом случае (8.16) сводится к уравнению прямой,

проходящей через I и III квадранты (см. рис. 8.4):

104

x

y12

3

2

1

.Ay xA

= (8.17)

2. .ϕ π∆ = ± Теперь из (8.16) получается уравнение прямой, про-

ходящей через II и IV квадранты:

2

1

.Ay xA

= − (8.18)

3. / 2.ϕ π∆ = ± При такой разности фаз складываемых колебаний

(14.16) дает уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

2 2

2 21 2

1.x yA A

+ = (8.19)

На рис. 8.4 представлены все рассмотренные выше частные слу-

чаи движения шарика, участвующего в двух взаимно перпендикуляр-ных колебаниях одинаковой частоты. В общем случае, если

Рис. 8.4. Результат сложения взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты

105

0, , / 2,ϕ π π∆ ≠ ± ± шарик будет двигаться по эллипсу, уравнение

которого задается формулой (8.16) для конкретного значения ϕ∆ .

Направление вращения (по часовой стрелке или против часовой стрелки) определяется начальными условиями задачи. § 4. Фигуры Лиссажу

Французский ученый Ж. А. Лиссажу исследовал сложение вза-имно перпендикулярных колебаний, отношения частот которых яв-ляются рациональными числами, т. е. 1 2/ /p qω ω = , где p и q – це-

лые числа. Иначе говоря, вместо (8.13), (8.14) складываются взаимно перпендикулярные колебания следующего вида:

1 cos ,x A p tω= (8.20)

2 cos( ).qy A tω ϕ+ ∆= (8.21)

Не вдаваясь в детали, отметим, что при / 2ϕ π∆ = в этом случае

получаются замкнутые периодические движения с периодом 0T , рав-

ным наименьшему кратному из периодов 1 2 / ( )T pπ ω= и

2 2 / ( )T qπ ω= складываемых колебаний. На рис. 8.5 показаны некото-

рые из таких кривых, называемых фигурами Лиссажу. При их по-строении придерживаются следующего правила: отношение частот складываемых колебаний обратно отношению чисел пересечений кривой с осями координат, т. е.

.y

x

Npq N=

106

y

x x

x

y

y

A

A

A

A

A

A

1

2

2

22

1 1

1A

A1 A1

AA

22

A

а б

в

Для случаев, изображенных на рис. 8.5, / 4 / 2 2 /1p q = = (a),

/ 2 / 6 1/ 3p q = = (б), / 6 / 8 3 / 4p q = = (в) соответственно.

Отметим, что чем ближе к единице рациональная дробь, выра-жающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фи-гура Лиссажу. При / 1p q = мы возвращаемся к рассмотренному в § 3

частному случаю фигур Лиссажу – результату сложения взаимно пер-пендикулярных колебаний одинаковой частоты.

Рис. 8.5. Примеры фигур Лиссажу

107

Лекция 9

3.3. Затухающие и вынужденные колебания § 1. Затухающие колебания

Рассмотрим примеры возникновения затухающих колебаний в колебательных системах различной физической природы.

Упругий маятник. Пусть тело массы m, прикрепленное к пру-жине жесткости k, будучи выведенным из равновесного положения, совершает малые колебания в направлении x (рис. 9.1). Кроме силы упругости eF kx= − на тело действует также сила сопротивления сре-

ды, пропорциональная скорости движения и направленная противо-положно вектору скорости: rF rx= − , где r – коэффициент сопротив-

ления. Вес тела скомпенсирован силой реакции опоры: mg N= −

.

m g

xO

N

Fe Fr

Рис. 9.1. Упругий маятник в условиях сопротивления среды

108

Уравнение движения такого упругого маятника можно записать в виде

.mx kx rx= − −

Собрав все члены в левой части уравнения и поделив на коэф-фициент при старшей производной, получаем

202 0x x xβ ω+ + = , (9.1)

где / (2 )r mβ = – коэффициент затухания, а 0 /k mω = – цикличе-

ская частота незатухающих колебаний. При 0β ω< уравнение (9.1)

имеет решение вида

0 0cos( )tx A e tβ ω ϕ−= + , (9.2)

где 0A – начальная амплитуда, а 2 20ω ω β= − – циклическая часто-

та затухающих колебаний. Колебательный контур. Пусть колебательный контур, рас-

смотренный в § 3 лекции 7, содержит кроме конденсатора и катушки индуктивности последовательно включенный с ними резистор, вно-сящий активное сопротивление R (рис. 9.2).

C L

1 2 R

Рис. 9.2. Колебательный контур, содержащий активное сопротивление

109

Тогда, в соответствии со вторым правилом Кирхгофа, сумма па-дений напряжения на конденсаторе и резисторе должна равняться ЭДС самоиндукции в катушке:

C RU U LI+ = − .

Так как /CU Q C= , RU RI RQ= = , I Q= , то записанное выра-

жение можно представить в виде

/ 0LQ RQ Q C+ + =

или 202 0Q Q Qβ ω+ + = , (9.3)

где / (2 )R Lβ = , а 0 1 / ,LCω = как и выше, обозначают соответствен-

но коэффициент затухания и циклическую частоту незатухающих ко-лебаний (теперь уже заряда на обкладках конденсатора). По аналогии с (9.2) уравнение затухающих колебаний в рассматриваемом колеба-тельном контуре имеет вид

m0 0cos( )tQ Q e tβ ω ϕ−= + , (9.4)

где m0Q теперь обозначает начальную амплитуду, а 2 20ω ω β= − , как

и прежде, циклическую частоту затухающих колебаний ( 0β ω< ).

Уравнения (9.1) и (9.3), равно как и их решения (9.2) и (9.4), ма-тематически эквивалентны. Между ними существует глубокая физи-ческая аналогия, отраженная в табл. 9.1, что позволяет представить дифференциальное уравнение затухающих колебаний в обобщенной форме:

110

202 0ψ βψ ω ψ+ + = , (9.5)

где ψ – обобщенное смещение. При 0β ω< решение уравнения (9.5)

имеет вид

0 0cos( )tA e tβψ ω ϕ−= + . (9.6)

Таблица 9.1 Аналогия в описании механических и электромагнитных колебаний

Параметры механических колебаний

Параметры электромаг-нитных колебаний

Обобщенные параметры

x – смещение Q – заряд ψ – обобщенное смеще-ние

v x= – скорость I Q= – сила тока ψ – обобщенная ско-рость

m – масса L – индуктивность J – инертность

k – жесткость 1 / C – обратная емкость S – жесткость

r – коэффициент сопро-тивления

R – активное сопротив-ление

R – резистивность

/ 2r mβ = – коэффици-ент затухания

/ (2 )R Lβ = – коэффици-ент затухания

/ (2 )R Jβ = – коэффици-ент затухания

/k mω = – частота не-затухающих колебаний

1 / LCω = – частота не-затухающих колебаний

0 /S Jω = – частота не-

затухающих колебаний

F – сила U – напряжение F – обобщенная сила

111

Как видно из табл. 9.1, индуктивность в электромагнитных про-цессах играет ту же роль, что и масса в механических явлениях – это мера инерции системы: согласно правилу Ленца, ЭДС самоиндукции (тем бóльшая, чем больше индуктивность) всегда действует таким об-разом, чтобы препятствовать причине, ее вызывающей. Величина, об-ратная емкости конденсатора, аналогична жесткости пружины или коэффициенту квазиупругой силы, возвращающей систему к положе-нию равновесия. Активное сопротивление аналогично коэффициенту сопротивления среды.

На рис. 9.3 представлены графики затухающих механических колебаний (для случая 0β ω< ) и апериодического затухания (для

случая 0β ω≥ ).

xA

At

0

0

0

xA

t0

0

1

2

а б

§ 2. Характеристики затухающих колебаний

Наряду с коэффициентом затухания β для количественного

описания величины затухания в теории колебаний используется ряд других характеристик.

Рис. 9.3. Графики затухающих колебаний (а) и апериодического затухания (б). Случаи 1 и 2 отличаются величиной затухания: в первом случае система может

совершить однократный переход через положение равновесия, а во втором – затухание настолько велико, что система не успевает совершить даже одного

полупериода колебаний.

112

Как следует из (9.2), (9.4), (9.6), отношение двух последова-тельных амплитуд, отличающихся по времени на один период коле-баний,

( ) .( )

TA t eA t T

β∆ = =+

(9.7)

Эта величина называется декрементом колебаний (от лат.

decrementum – уменьшение), а ее логарифм – логарифмическим дек-рементом колебаний:

ln Tλ β= ∆ = . (9.8)

Из (9.6) следует, что за время 1 /τ β= амплитуда колебаний

уменьшается в «e» раз. Такое время принято называть временем ре-лаксации колебательной системы. Используя время релаксации, вы-ражение (9.8) можно переписать в виде

1 1 ,/ e

TT N

λτ τ

= = = (9.9)

где eN – число колебаний, за которое амплитуда убывает в «e» раз.

Часто пользуются также понятием добротность колебательной системы. Эта величина представляет собой умноженное на 2π отно-шение энергии, запасенной в системе, к средней энергии потерь за период колебаний (т. е. к средней рассеиваемой мощности, умножен-ной на период колебаний):

2 2S S

E EQE P T

π π= =⟨ ⟩ ⟨ ⟩

. (9.10)

113

Средняя мощность рассеяния, с учетом сделанного в § 1 допу-щения о пропорциональности силы сопротивления скорости (на при-мере механических колебаний),

2 2 2 2 20 0 02 sin ( )t

S SP F x r x m A e tββ ω ω ϕ−⟨ ⟩ = −⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ = ⟨ + ⟩ .

В случае слабого затухания показательная функция изменяется

значительно медленнее, чем квадрат синуса, что позволяет вывести ее за знак усреднения, а среднее за период значение квадрата синуса равно 1/2. Поэтому

2 2 2 20

1 12 2 ( ) 2 .2 2

tSP m A e kA t Eββ ω β β−⟨ ⟩ = ⋅ = ⋅ =

Тогда выражение (9.10) можно представить в виде

eQ NTπ π πβ λ

= = = (9.11)

т. е. в случае слабо затухающих колебаний добротность колебатель-ной системы пропорциональна числу колебаний, совершаемых систе-мой за время, в течение которого их амплитуда убывает в «е» раз.

Типичные значения добротности некоторых колебательных сис-тем представлены в табл. 9.2.

Таблица 9.2 Добротность некоторых колебательных систем

Вид колебательной системы Q

Рояльная струна 103

Медный СВЧ резонатор 104

Возбужденный атом 107

Возбужденное атомное ядро 1012

114

§ 3. Вынужденные колебания

Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые происходят под действием внешней периодически изменяющейся вынуждающей силы.

Если вынуждающая сила изменяется во времени по гармониче-

скому закону:

0 cos sF F tω= ,

где sω – частота вынуждающей (стимулирующей) силы, то в случае

слабого затухания уравнение динамики для механической колебательной системы можно записать в виде

0 cos smx kx rx F tω= − − +

или, после деления на коэффициент при старшей производной,

20 02 cos sx x x f tβ ω ω+ + = , (9.12)

где / (2 )r mβ = , 0 /k mω = , 00

Ffm

= .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (9.12), как доказывается в математике, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (когда правая часть равна нулю) и частного решения данного неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения, как было показано в § 1, представляет собой затухающие колебания вида (9.2). Его вклад играет заметную роль лишь на начальной стадии процесса, когда колебания еще не установились. С течением времени, вследствие затухания, роль этого слагаемого все более уменьшается,

115

и установившиеся колебания описываются лишь частным решением уравнения (9.12). Как доказывается в математике, оно имет вид

02 22 2 2 2 200 0

2cos arctg .( ) 4

ss

ss

fx t βωωω ωω ω β ω

= − −− +

(9.13)

§ 4. Резонанс

Резонансом называется явление резкого возрастания ам-плитуды вынужденных колебаний при приближении час-тоты вынуждающей силы к частоте собственных колеба-ний системы.

Для того чтобы определить точное значение резонансной часто-ты, нужно найти условие максимума амплитуды в уравнении вынуж-денных колебаний (9.13) или, что одно и то же, условие минимума выражения, стоящего под знаком корня в ее знаменателе. Продиффе-ренцировав его по переменной sω и приравняв результат нулю, полу-

чаем 2 2 204( ) 8 0.s S sω ω ω β ω− − + =

Данное уравнение имеет три корня:

0sω = и 2 20 2sω ω β= ± − ,

первый из которых является условием максимума, а не минимума, а отрицательный корень, как не имеющий физического смысла, должен быть отброшен. Таким образом, частота, на которой имеет место ре-зонанс величины x ,

2 2res 0 2ω ω β= − . (9.14)

116

Подставляя (9.14) в амплитуду вынужденных колебаний, опи-сываемых уравнением (9.13), получаем выражение для резонансной амплитуды:

0 0res 2 2

0

,22

f fAβωβ ω β

= =−

(9.15)

где 2 20ω ω β= − – циклическая частота затухающих колебаний в

системе (см. § 1 настоящей лекции). Из (9.14), (9.15) следует, что в отсутствии затухания ( 0)β = резонансная частота совпадает с часто-

той собственных колебаний системы, а резонансная амплитуда обра-щается в бесконечность. Графики зависимости амплитуды вынужден-ных колебаний A и сдвига фаз ϕ смещения x относительно вынуж-

дающей силы F от ее частоты sω представлены на рис. 9.4.

При 0sω → все резонансные кривые стремятся к предельному

значению 20 0 0/ /A f F kω= = . При sω →∞ они асимптотически стре-

мятся к нулю (система не успевает отклониться от положения равно-весия). Наконец, чем меньше затухание и выше добротность колеба-

тельной системы, тем больше значение резонансной амплитуды resA .

Как следует из (9.13), смещение отстоит по фазе от вынуждаю-щей силы в пределах от 0 до π (рис. 94, б). При резонансе res( )sω ω= этот фазовый сдвиг / 2ϕ π≤ достигает значения / 2π при 0β = ).

Обратите внимание: мы исследовали здесь лишь случай резонанса смещений для механических колебаний. Похожим образом возникает ре-зонанс заряда и напряжений в колебательном контуре, как можно дога-даться, рассматривая табл. 9.1. Однако, поскольку вынужденные колеба-ния присущи также производной смещения по времени (скорости) и про-изводной заряда по времени (току), то существуют и резонанс скоростей, и резонанс токов. Они наблюдаются на других частотах, чем резонансы смещений и напряжений.

117

A

β

β

β

β β β

β ββ

21

1

1

2

2

3

3

3

< <

ω ωω

ω ω s

s0

0

res

0

0

ϕ

π/2

π

f 00 ω2/

а

б

Рис. 9.4. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (б) характеристики резонанса

118

Лекция 10

3.4. Волновые процессы § 1. Упругие волны

Пусть в однородной, изотропной упругой среде имеется некото-рый плоский источник колебаний (рис. 10.1), одна из точек которого О связана с началом декартовой системы координат.

x, y, zx

y

O

z( )

ln

r

ϕ

Пусть эта характерная точка источника колеблется по закону

(0,0,0, ) cos .u t A tω=

До точки ( , , ) x y z колебания доходят с запаздыванием на время

/t l v′ = , где v – скорость распространения волны, а l – удаление

Рис. 10.1. Распространение фронта плоской упругой волны в пространстве

119

фронта волны, проходящего через указанную точку, от источника. Тогда уравнение колебаний в точке ( , , )x y x выглядит следующим об-

разом:

( ), , , cos ( ) cos ( ).u x y z t A t t A t l v′= − = −ω ω

Если n – единичный вектор нормали к фронту, то

cosl r nrϕ= = . Вводя волновой вектор k kn=

, где /k vω= – волновое

число, можно представить уравнение монохроматической плоской бе-гущей упругой волны в виде

( ) ( ), cos .u r t A t kr= −

ω (10.1)

В одномерном случае, когда волна распространяется вдоль оси x,

,kr kx=

и (10.1) принимает вид

( ) ( ), cos .u x t A t kx= −ω (10.2)

График этого уравнения представлен на рис. 10.2. Путь, прохо-димый волной за время одного полного периода колебаний – длина волны

2 .vvT πλω

= = (10.3)

u

A

A

λ

tt

t t

x

v

0

01

12 =

=+∆

Рис. 10.2. График плоской упругой волны, распространяющейся вдоль оси x, для двух разных моментов времени

120

Используя (10.1), найдем частные производные смещения u по времени и координатам:

( ) ( )2

2 22sin ; cos ;u uA t kr A t kr u

t tω ω ω ω ω∂ ∂

= − − = − − = −∂ ∂

( ) ( )2

2 22sin ; cos ;x x x

u uk t kr k A t kr k ux x

ω ω∂ ∂= − = − − = −

∂ ∂

2 2

2 22 2; .y zu uk u k u

y z∂ ∂

= − = −∂ ∂

Вводя оператор Лапласа 2 2 2 2 2 2 ,x y z∆ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ записан-

ные выражения можно свести к виду

( )2 2

2 2 2 22 2 2

1Δ ,x y zuu k k k u k u u

v v tω ∂

= − + + = − = − =∂

2

2 21 .uuv t

∂∆ =

∂ (10.4)

Уравнение (10.4) называется волновым уравнением для плоских

упругих волн в однородной, изотропной среде. § 2. Электромагнитные волны

Если в упругих волнах колеблются частицы среды, то в элек-тромагнитных волнах колеблются электрическое и магнитное поля. Следовательно, в отличие от упругих волн, электромагнитные волны могут распространяться даже в вакууме.

Рассмотрим для простоты случай однородной, изотропной сре-ды, когда относительные диэлектрическая и магнитная проницаемо-

121

сти являются постоянными величинами ( , const)ε µ = . Будем предпо-

лагать также, что среда не заряжена (т. е объемная плотность заряда 0ρ = ) и не проводит электрический ток (т. е. удельная электропро-

водность среды 0σ = ). Частным случаем такой среды является ваку-ум ( , 1ε µ = ).

Из уравнений Максвелла (см. лекцию 4) для рассматриваемой среды после довольно громоздких преобразований, которые мы здесь опускаем, можно получить следующие два уравнения, описывающие распространение в ней электромагнитных волн:

2 2

2 2 2 21 1, ,E HE Hv t v t

∂ ∂∆ = ∆ =

∂ ∂

(10.5)

где

0 0

1 1 .c cvn

= = =ε µ εµ εµ

(10.6)

Здесь v обозначает скорость распространения электромагнит-

ных волн в среде с относительными диэлектрической и магнитной

проницаемостями ε и µ , 0 01/c ε µ= – скорость распространения

электромагнитных волн в вакууме (электродинамическая постоян-

ная), а n = εµ – показатель преломления среды, показывающий, во

сколько раз уменьшается скорость волны в данной среде по сравне-нию с вакуумом.

Решения уравнений (10.5) для плоских электромагнитных волн, бегущих вдоль оси x в рассматриваемой нами среде, имеют вид, ма-тематически эквивалентный выражению (10.2), являющемуся реше-нием аналогичного уравнения (10.4):

122

( ) ( )m mcos , cos ,E E t kx H H t kxω ω= ± = ±

(10.7)

где mE

и mH

– соответственно амплитуды колебаний напряженности

электрического и магнитного полей, а знаки «плюс» и «минус» соот-ветственно относятся к волнам, бегущим вдоль отрицательного и по-ложительного направлений оси x. Электрическое поле здесь обуслов-лено изменением во времени магнитного поля, а магнитное поле, в свою очередь, обусловлено изменением во времени электрического поля. Оба поля вихревые, поэтому их силовые линии перпендикуляр-ны друг другу. График такой волны представлен на рис. 10.3.

x

y

z

0

vE

Hm

m

§ 3. Энергия бегущей волны

Пусть за время dt через площадку площадью S⊥ , перпендику-

лярную направлению распространения бегущей волны любой приро-ды, будет перенесена энергия dE , запасенная в объеме dV цилиндра с площадью оcнования dS⊥ и длиной vdt (рис. 10.4). Если /w dE dV= –

объемная плотность энергии в волне, то dE wvS dt⊥= .

Рис. 10.3. График плоской бегущей электромагнитной волны в неограниченной, однородной, изотропной, незаряженной диэлектрической среде

123

Потоком энергии волны называется физическая величина, равная энергии, переносимой волной в единицу времени через некоторую площадку, перпендикулярную направле-нию распространения волны:

.dEdt

Φ =

Плотностью потока энергии волны называется физиче-ская величина, равная потоку ее энергии через перпенди-кулярную к направлению распространения волны пло-щадку единичной площади:

1 .dES wvS S dt⊥ ⊥

Φ= = =

Поскольку скорость распространения волны v является вектор-

ной величиной, то имеет смысл ввести вектор плотности потока энергии

.S wv=

(10.8)

vdt

v

Рис. 10.4. К выводу выражения для вектора плотности потока энергии волны

124

Понятие о потоке энергии бегущей волны было впервые введено русским физиком Н. А. Умовым (уроженцем г. Симбирска) в 1874 г. Вектор плотности потока энергии применительно к электромагнит-ным волнам ввел в 1884 г. английский физик Дж. Пойнтинг.

Интенсивностью волны называется среднее по времени значение плотности потока энергии бегущей волны:

.I S w v= =

Упругие волны. Средняя плотность энергии в упругой волне

может быть найдена как энергия гармонических колебаний элемента упругой среды единичного объема:

2 22 2(1 / 2) 1 ,

2dE dV Aw AdV dV

ρ ω ρω⟨ ⟩= = =

где ρ – средняя плотность среды, ω и А – соответственно частота и

амплитуда волны. Отсюда, согласно определению, интенсивность уп-ругой волны

2 21 .2

I A vρω= (10.9)

Электромагнитные волны. Объемная плотность энергии элек-

тромагнитного поля складывается из соответствующих слагаемых для электрической и магнитной составляющих этого поля:

( )2 20 0

1 .2

w E Hε ε µ µ= +

125

В рассматриваемой нами однородной, изотропной, незаряжен-ной и непроводящей среде оба этих слагаемых равны по величине,

откуда 0 0E Hε ε µ µ= и, согласно (10.5),

0 0 .w EH EH vε εµ µ= =

В соответствии с (10.8) вектор Пойнтинга /S EHv v=

или

.S EH =

(10.10)

Тогда интенсивность электромагнитной волны

2 2 20 00 m

0 0

1 ,2

I S E v E Eε ε ε εε εµ µ µ µ

= = = =

(10.11)

так как среднее значение квадрата косинуса равно 1/2. Здесь имеется в виду усреднение за время, превышающее период колебаний.

Обратите внимание: интенсивность как упругих, так и электромагнит-ных волн пропорциональна квадрату амплитуды, однако, в отличие от упругих волн, в случае электромагнитных волн она не зависит от часто-

ты колебаний. Дело здесь в том, что 2ρω – это коэффициент упругости единичного объема колеблющейся среды, определяющий объемную плотность энергии в упругих волнах. Влияние среды на объемную плот-ность энергии в электромагнитных волнах проявляется через значения ее относительных диэлектрической и магнитной проницаемостей.

§ 4. Скорости распространения упругих волн

Прежде всего, отметим, что распространение упругих волн в твердых телах существенно отличается от их распространения в жид-костях и газах. В твердых телах упругими являются как продольные

126

деформации растяжения-сжатия, так и поперечные деформации сдви-га. Поэтому в изотропных твердых телах могут распространяться как продольные волны, в которых частицы среды колеблются в направле-нии распространения волны, так и поперечные волны, в которых час-тицы колеблются перпендикулярно этому направлению. В кристаллах наличие анизотропии упругих свойств приводит к тому, что чисто продольные и чисто поперечные упругие волны могут распростра-няться лишь в направлениях так называемых акустических нормалей, а в прочих направлениях распространяются квазипродольные и ква-зипоперечные упругие волны.

В жидкостях и газах сдвиговые деформации не являются упру-гими. По этой причине в них могут распространяться лишь продоль-ные упругие волны. Разумеется, здесь мы имеем в виду лишь обыч-ные, не слишком вязкие жидкости.

Твердые тела. Пусть вследствие распространения упругой вол-ны в некотором стержне с площадью поперечного сечения S за время dt деформируется масса ,dm Svdtρ= где ρ – плотность материала

стержня, v – скорость распространения волны. Уравнение движения деформируемой части стержня имеет вид

( ) ,d mx dm x F S

dt dtσ= = =

(10.12)

где x– колебательная скорость частиц среды в области деформации (в силу малости величины dm ее можно считать одинаковой для всех частиц и не зависящей от времени в течение деформации), F – сила упругой деформации и σ – упругое напряжение в среде.

Согласно закону Гука, для деформаций растяжения-сжатия Eσ ε= , а для деформаций сдвига Gσ ε= , где E – модуль Юнга, G –

127

модуль сдвига, а Δ /l lε = – относительная деформация. Тогда урав-нение (10.12) можно переписать в виде

vx Eρ ε= (10.13)

для продольных волн или в виде

vx Gρ ε= (10.14)

для сдвиговых волн. Поскольку Δl xt= , а l vt= , то из (10.13), (10.14) получаем вы-

ражения для скоростей распространения продольных и поперечных упругих волн в стержне:

,LEvρ

= (10.15)

.TGvρ

= (10.16)

Здесь для скоростей распространения продольных (longitudinal – англ.) и поперечных (transverse – англ.) волн введены соответственно обозначения Lv и Tv .

Газы. В случае газов в (10.15) можно подставить выражение для плотности среды, полученное из уравнения Клапейрона – Менделее-ва: / ( ),p RTρ µ= где p– давление газа в области деформации. Оно

совпадает с упругим напряжением: p E Eσ ε= = ≈ , поскольку газы

обладают хорошей сжимаемостью ( 1ε ≈ ). Тогда для скорости распро-странения упругих волн в газах получаем

.RTvµ

= (10.17)

128

Снова воспользовавшись уравнением Клапейрона – Менделеева, можно переписать (10.17) в виде

.pvρ

= (10.18)

Следует отметить, что и температура Т в (10.17), и давление p ,

и плотность газа ρ в (10.18) соответствуют своим значениям в облас-

ти сжатия (разрежения). Считая, что процесс распространения упру-гих волн в газе является изотермическим (T = const) и используя закон Бойля – Мариотта

constmpV RTµ

= =

в виде

const,p RTρ µ= =

Ньютон записал выражение для скорости упругих волн (10.18) в виде

0

0

,Npvρ

= (10.19)

где 0p и 0ρ – соответственно равновесные значения давления и плот-

ности газа. Применительно к упругим волнам звукового диапазона формула (10.19) определят так называемую ньютоновскую или изо-термическую скорость звука.

Она дает заниженный результат по сравнению с эксперимен-тально найденными значениями скорости звука в газах, так как в дей-ствительности процесс распространения упругих волн в них, как пра-вило, не является изотермическим. Тепловой поток не успевает вы-

129

ровнять температуры в областях сжатия и разрежения. Более строгое рассмотрение вопроса о скорости звука в условиях адиабатического распространения (без теплообмена) приводит к формуле

0

0

,pv γρ

= (10.20)

где γ – показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа

при постоянном давлении и постоянном объеме. Заметим, однако, что формула (10.19) дает правильный резуль-

тат в случае весьма коротких упругих волн, когда длина свободного пробега молекул газа оказывается больше половины длины волны. Тогда, не успевая столкнуться друг с другом, молекулы могут перено-сить тепло из области сжатия в область разрежения и выравнивать температуру газа.

Жидкости. Свойства жидкостей сочетают в себе свойства твер-дых тел и газов. Их сжимаемость хуже, чем у газов, но выше, чем у твердых тел.

Сжимаемостью называется физическая величина, равная отношению относительного уменьшения объема тела к вы-звавшему его увеличению давления:

1 .Vp V

β ∆= −

∆

Сжимаемость, соответствующая условиям адиабатического

процесса, называется адиабатической сжимаемостью. Величина, обратная сжимаемости, называется модулем объемной упругости. Тогда по аналогии с формулами (10.15), (10.16), с учетом сказанного выше относительно трудностей выравнивания температуры в облас-

130

тях сжатия и разрежения, скорость распространения упругих волн в жидкостях можно найти следующим образом:

ad

1 ,vρβ

= (10.21)

где ρ – плотность, а adβ – адиабатическая сжимаемость жидкости.

§ 5. Стоячие упругие волны

Пусть некоторый источник колебаний S (рис. 10.5) возбуждает в упругой среде 1 плоскую монохроматическую волну, которая распро-страняется в отрицательном направлении оси x, частично отражается от другой упругой среды 2 и частично в нее проходит.

xL0

S12 irt

Уравнения падающей, отраженной и проходящей волн соответ-ственно имеют вид

( )1cos ,iu A t x vω= + (10.22)

( )1cos ,ru RA t x vω= − (10.23)

( )2cos ,tu TA t x vω= + (10.24)

Рис. 10.5. Отражение и прохождение упругой волны на границе раздела двух сред

131

где R и T – соответственно амплитудные коэффициенты отраже-ния и преломления, которые мы найдем из граничных условий.

На границе раздела сред ( 0x = ) величина суммы смещений час-тиц в падающей и отраженной волнах должна совпадать по величине со смещением частиц в проходящей волне, а интенсивность проходя-щей волны должна равняться разности интенсивностей падающей и отраженной волн:

,i r tu u u+ = (10.25)

,i r tI I I− = (10.26)

Согласно (10.9), интенсивность упругой волны

2 21 ,2

I A Zω= (10.27)

где Z vρ= обозначает так называемый акустический характеристи-

ческий импеданс среды (от англ. impedance – препятствовать) – аналог электрического характеристического импеданса для гармонических процессов. Подставляя (10.22) – (10.24) в (10.25), а (10.27) в (10.26), получаем

2 21 1 2 ,

1 , Z R Z T Z

R T − =

+ =

откуда

1 2

1 2

.Z ZRZ Z−

=+

(10.28)

Рассмотрим несколько частных случаев. 1. 1 20 ( )R Z Z= = – согласованная нагрузка. В этом случае па-

дающая волна беспрепятственно без отражений проходит во вторую среду.

132

2. 2 11 ( )R Z Z= – отражение от акустически более мягкой

среды. В среде 1 возникает суперпозиция падающей и отраженной волн одинаковой амплитуды:

( ) ( )( )

1 1

1

cos cos

2 cos cos .i ru u u A t x v A t x v

A x v t

ω ω

ω ω

= + = + + − =

= (10.29)

Уравнение (10.29) описывает стоячие упругие волны с амплиту-

дой, равной 12 cos( / ).A x vω

3. 1 21 ( )R Z Z= − – отражение от акустически более жест-

кой среды. В этом случае отражение упругих волн происходит с из-менением фазы на противоположную или, как говорят, с потерей по-луволны. Физический смысл этого явления состоит в том, что части-цы более мягкой среды (например, воздуха) не в состоянии раскачать частицы более жесткой среды (например, твердого тела). Суперпози-ция падающей и отраженной волн в среде 1 приводит к возникнове-нию стоячих волн следующего вида:

( ) ( )( )

1 1

1

cos cos

2 sin cos .i ru u u A t x v A t x v

A x v t

ω ω

ω ω

= + = + − − =

= (10.30)

На этот раз амплитуда стоячей волны описывается выражением

12 sin( / ).A x vω

Ясно, что в стоячих волнах имеются точки, где амплитуда коле-баний равна нулю в любой момент времени – так называемые узлы стоячей волны, и точки где амплитуда достигает максимального зна-чения 2А – пучности стоячей волны. Для случая 3 координаты узлов (с англ. nodes) определяются выражением 1sin( / ) 0,x vω = откуда, с

учетом (10.3)

133

( )1nod 0,1,2, .

2vx n n nπ λω

= ± = ± = (10.31)

Координаты пучностей (с англ. antinodes) находятся из условия

1sin( / ) 1x vω = :

( )1anti

1 1 0,1,2, .2 2 2

vx n n nπ λω

= ± + = ± + =

(10.32)

Из (10.31), (10.32) видно, что расстояние как между соседними

узлами, так и между соседними пучностями равно половине длины волны, а между соседними узлами и пучностями – четверти длины волны.

На рис. 10.6 показан график стоячей волны, возникающей при отражении от более жесткой среды, для ряда фиксированных момен-тов времени.

u

x

x

x

x

x

0

t =T/4

t = 0

t =T/2

t = T3/4

t =T

Рис. 10.6. График стоячей упругой волны (узлы показаны точками)

134

Глава 4

Волновая оптика Лекция 11 4.1. Поляризация света § 1. Понятие поляризации волн. Виды поляризации света

Оптикой называется часть теории волновых явлений, изу-чающая законы и особенности распространения электро-магнитных волн, длины волн которых лежат в диапазоне, воспринимаемом человеческим зрением, либо непосредст-венно вблизи этого диапазона.

Человеческий глаз воспринимает электромагнитные волны, на-зывая их светом, с длиной волны в воздухе от 400 нм (фиолетовый свет) до 700 нм (красный свет). Волны с длиной волны меньшей, чем 400 нм, относят к ультрафиолетовому диапазону, а с длиной волны, превышающей 700 нм, – к инфракрасному диапазону.

Поляризацией волн называется характер происходящих в них колебаний. Если колебания в волне происходят по оп-ределенному закону, то говорят, что волна является поля-ризованной.

Электромагнитные волны оптического диапазона от обычных

источников света представляют собой суперпозицию несогласован-ных друг с другом цугов волн, излучаемых множеством отдельно взя-тых атомов или молекул. Хотя каждый такой волновой цуг и является

135

«кусочком» поперечной электромагнитной волны, совокупность цу-гов, испускаемых некоторым набором атомов или молекул в течение какого-либо промежутка времени, содержит в себе колебания, в кото-рых вектор напряженности электрического поля (световой вектор) не имеет выделенного направления в плоскости, перпендикулярной на-правлению распространения волны. Такой свет называется естест-венным светом.

Обратите внимание: световым вектором мы назвали вектор напряжен-ности электрического поля вообще-то электромагнитной волны. А как же вектор напряженности ее магнитного поля? Дело в том, что свет распро-страняется более или менее хорошо только в диэлектриках, поэтому маг-нитным полем световой волны можно пренебречь.

Если колебания электрического поля в световой волне происхо-дят строго в одной плоскости, то такой свет называется плоскополяри-зованным светом. Световая волна, в которой конец вектора напря-женности электрического поля по мере распространения волны опи-сывает винтовую линию, образующую круговую или эллиптическую спираль, называется соответственно поляризованной по кругу (цир-кулярно поляризованной) или эллиптически поляризованной. В этом случае мы имеем дело с циркулярно поляризованным светом или эл-липтически поляризованным светом. Наконец, свет может быть час-тично поляризованным. Такая ситуация имеет место, если в плоско-сти перпендикулярной направлению распространения света сущест-вует некоторое преимущественное направление колебаний светового вектора. Все перечисленные выше виды поляризации света показаны на рис. 11.1.

Для частично поляризованного света вводится понятие степени поляризации

136

max min

max min

,I IPI I

−=

+ (11.1)

где maxI и minI – интенсивности двух световых волн, соответствую-

щих разложению исходного частично поляризованного света на две составляющие, поляризованные в направлении преимущественных колебаний и перпендикулярно ему.

E

E E

E

а б

в г

Существуют различные способы получения поляризованного света. Ниже мы рассмотрим наиболее распространенные из этих способов. § 2. Поляризация света на границе раздела сред

Пусть на границу раздела сред с относительным показателем преломления 21n падает луч естественного света под таким специаль-

но подобранным углом Бi , что отраженный и преломленный лучи об-

Рис. 11.1. Различные виды поляризации света: естественный (а), плоскополя-ризованный (б), циркулярно (эллиптически) поляризованный (в), частично

поляризованный (г)

137

разуют прямой угол (рис. 11.2). Разложим мысленно падающий луч на два плоскополяризованных луча равной интенсивности, один из которых поляризован в плоскости падения, а другой – в плоскости, перпендикулярной к ней. Поскольку световая волна должна быть по-перечной, то при таком подборе условий падения в отраженном луче остаются лишь колебания в плоскости, перпендикулярной к плоско-сти падения. Иначе говоря, отраженный луч будет плоскополяризо-ванным. В преломленном луче нарушится равенство интенсивностей составляющих его двух плоскополяризованных лучей, и он станет частично поляризованным.

iБ

r 90

1

2

ЕС ППС

ЧПС

Перейдем теперь к математической стороне дела. Согласно за-кону преломления света,

221

1

sin .sin

ni nr n

= =

В нашем случае

Рис. 11.2. Поляризация отраженного света при его падении под углом Брюстера к границе раздела двух сред. Здесь ЕС – естественный свет, ППС – плоскополя-

ризованный свет, ЧПС – частично поляризованный свет

138

( )Б Б

Б 21ББ

sin sin tg .cossin 90

i i i nii

= = =−

Таким образом, Б 21tg .i n= (11.2)

Явление поляризации света при отражении под определенным углом от границы раздела сред было открыто Брюстером, в связи с чем выражение (11.2) называют законом Брюстера.

При падении естественного света под произвольным углом па-дения отраженный луч так же, как и преломленный, будет частично поляризованным. Его можно разложить на два луча, в одном из кото-рых колебания светового вектора происходят параллельно плоскости падения, а в другом – перпендикулярно к ней. Для соответствующих коэффициентов отражения Френелем были получены формулы:

( )( )

( )( )

2 2

2 2

tg sin, .

tg sini r i ri r i r

ρ ρ⊥

− −= =

+ +

(11.3)

Заметим по ходу дела, что для случая Бi i= из (11.3) получаются

0ρ =

и 0 1ρ⊥< < , что подтверждает наши ранее сделанные выводы.

В случае падения естественного света на стопку прижатых друг к другу параллельных стеклянных пластинок (рис. 11.3) за счет мно-гократных отражений и прелом-лений на идентичных границах раздела преломленную волну можно практически полностью поляризовать путем последова-тельного повышения степени по-ляризации проходящего света. Рис. 11.3. Стопа Столетова

ЕС

ППС

139

Такую конструкцию называют стопой Столетова в честь придумав-шего ее профессора Московского университета А. Г. Столетова. Од-нако интенсивность полученной таким образом плоскополяризован-ной световой волны весьма мала из-за потерь в результате многократ-ных отражений.

§ 3. Поляризация света при прохождении через кристаллы

В силу анизотропии оптических свойств кристаллов, скорость распространения света в них зависит от направления распространения и поляризации световой волны. Если в изотропной среде точечный источник света излучает сферическую волну, то в кристаллах он ис-пускает одновременно две волны: обыкновенную, фронт которой сфе-рический, и необыкновенную, фронт которой является эллипсоидаль-ным (рис. 11.4).

v

vv

vо о

ee

СС

На рис. 11.4 представлен наиболее простой случай, когда эллип-

соид скоростей необыкновенной волны является эллипсоидом враще-

Рис. 11.4. Поверхности скоростей обыкновенной и необыкновенной волн, ис-пускаемых точечным источником света в одноосных оптически положительном

(слева) и оптически отрицательном (справа) кристаллах. С – оптическая ось кристалла

140

ния. Он касается сферы в двух противоположных точках, через кото-рые можно провести единственную общую для сферы и эллипсоида ось вращения, в направлении которой скорости распространения обыкновенной и необыкновенной волн совпадают. Такое направление называют оптической осью кристалла. В более общем случае в кри-сталле может быть две оптические оси. Такие кристаллы называются двуосными.

Кристаллы, в которых скорость распространения необыкновен-ной волны не превышает скорости распространения обыкновенной волны ( )0ev v≤ , принято называть оптически положительными.

Наоборот, кристаллы, в которых 0ev v≥ , называют оптически отри-

цательными. Плоскость, которая проходит через оптическую ось кристалла и

падающий на него световой луч, называют главным сечением кри-сталла. Необыкновенный луч всегда поляризован в главном сечении кристалла, а обыкновенный – в плоскости, перпендикулярной к глав-ному сечению.

Рассмотрим теперь прохождение естественного света через плоскопараллельную кристаллическую пластинку (рис. 11.5). Для простоты анализа будем иметь в виду случай нормального падения на кристалл плоской световой волны, которую мы можем интерпретиро-вать как совокупность параллельных лучей. Будем также предпола-гать, что оптическая ось кристалла лежит в плоскости падения и обра-зует с поверхностью кристалла некоторый угол.

При таких условиях обыкновенный и необыкновенный лучи в кристалле распространяются под некоторым углом. Это явление на-зывается двойным лучепреломлением. На выходе из кристаллической пластинки мы имеем два плоскополяризованных, смещенных друг относительно друга параллельных световых пучка со взаимно пер-пендикулярными плоскостями поляризации.

141

С

ЕС

Наряду с двулучепреломлением, некоторые кристаллы обладают

свойством дихроизма – избирательного поглощения световой волны определенной поляризации, например, необыкновенной. Тогда на вы-ходе из кристаллической пластинки мы получаем плоскополяризо-ванный световой луч. На использовании явления дихроизма основан принцип действия многих поляризаторов света.

§ 4. Управление поляризацией света

Закон Малюса. Рассмотрим прохождение естественного света через систему из двух поляризаторов, главные плоскости которых (плоскости, в которых поляризован проходящий через них свет) обра-зуют некоторый угол ϕ по отношению друг к другу (рис. 11.6).

Рис. 11.5. Двойное лучепреломление света в одноосном оптически положительном кристалле

142

ϕ

ЕС

I

I

Iо

ест

П

А

При прохождении естественного света через поляризатор он

становится плоскополяризованным, а его интенсивность уменьшается от значения естI до значения 0I . Через второй поляризатор (его назы-

вают в такой системе анализатором) пройдет только та составляющая падающего на него света, в которой вектор напряженности электри-ческого поля совпадает по направлению с главной плоскостью поля-ризатора, т. е. 0 cosE E ϕ= . Поскольку интенсивность электромагнит-

ной волны пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, то на выходе из рассматриваемой системы поляризаторов получаем

20 cos .I I ϕ= (11.4)

Выражение (11.4) носит название закона Малюса, хотя пра-вильнее было бы его называть законом Малю, что ближе к произно-шению фамилии открывшего этот закон французского физика (E. Malus).

В падающем на первый поляризатор естественном свете угол ϕ

принимает всевозможные значения в интервале от 0 до 2π. Поэтому в формуле (11.4) мы должны взять среднее значение квадрата косинуса:

Рис. 11.6. К выводу закона Малюса

143

20 ест ест

1cos .2

I I Iϕ= =

Таким образом, при прохождении через поляризатор теряется

половина интенсивности падающего на него света. Вращение плоскости поляризации. Молекулярная или кри-

сталлическая структура некоторых веществ обладает винтовой сим-метрией. Такие вещества обладают способностью поворачивать плос-кость поляризации проходящего через них света. Это явление называ-ется оптической активностью. Оптическая активность присуща мно-гим органическим веществам и их растворам (скипидар, сахар, глю-коза и др.), а также неорганическим твердым телам, встречающимся в двух так называемых энантиоморфных кристаллических модифика-циях, отличающихся направлением вращения плоскости поляризации проходящего света (например, правый и левый кварц). Проанализиру-ем это явление на модели прохождения плоскополяризованного света через среду, состоящую из спиральных молекул (рис. 11.7).

x xx

у

z

EE E

E

yy

z+ D

ϕ

Дойдя до молекулы, электрическое поле световой волны вызы-

вает вынужденные колебания ее валентных электронов. Эти колеба-ния, распространяются далее в среде в виде вторичных волн, суперпо-зиция которых формирует поле волны за молекулой. Естественно, что

Рис. 11.7. К объяснению вращения плоскости поляризации света

144

в точке x D+ , где D – диаметр молекулы, колебания электронов про-

исходят с некоторым опозданием по фазе по сравнению с колебания-ми электронов в точке x . Пусть, дойдя до молекулы в точке x , свето-вая волна поляризована в направлении y. Из-за спирального строения молекулы, вынужденные колебания ее валентных электронов дадут z-составляющие вектора E

в поле световой волны. Причем в точках x и x D+ эти составляющие будут направлены в противоположные стороны. Однако, наличие разности фаз соответствующих колебаний не позволит им скомпенсировать друг друга. Поэтому в результи-рующей волне появляется составляющая zE и происходит поворот

плоскости поляризации света на некоторый угол. При прохождении света через слой чистого оптически активного

вещества толщиной l угол поворота плоскости поляризации

,lϕ α= (11.5)

где α – постоянная вращения, своя для каждого вещества. В раство-рах оптически активных веществ

[ ] ,C lϕ α= (11.6)

где C – концентрация оптически активного вещества в растворе, [ ]α –

удельная постоянная вращения, т. е. постоянная вращения, приходя-щаяся на единицу концентрации оптически активного вещества.

Формула (11.6) была получена французским биологом и физи-ком Био и носит название закона Био. Он широко применяется в це-лях анализа и контроля концентрации некоторых веществ, обла-дающих оптической активностью, в ряде технологических процессов: в производстве сахара, виноделии, фармакологии и др.

145

Оптическую активность можно вызвать и искусственно. Пример такого явления – эффект Фарадея. При наложении на изотропную среду магнитного поля напряженности Н и пропускании через нее вдоль этого поля плоскополяризованного света наблюдается поворот плоскости поляризации на угол

.VHlϕ = (11.7)

Здесь V – постоянная Верде, зависящая от вещества и длины волны света.

Полуволновая и четвертьволновая пластинки. Если кристал-лическая пластинка, рассмотренная в § 3 настоящей лекции (см. рис. 11.5), вырезана таким образом, что оптическая ось параллельна ее граням, то на выходе из такой пластинки два луча (бывший обыкно-венный и бывший необыкновенный) со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации пространственно совместятся. Однако, из-за разных скоростей распространения в кристалле, эти лучи будут об-ладать разностью хода 0ed n n∆ = − , где d – толщина пластинки, а en

и 0n – соответственно показатели преломления необыкновенной и

обыкновенной волн. Если эта разность хода будет составлять нечетное число полу-

волн (так называемая полуволновая пластинка), что соответствует разности фаз взаимно перпендикулярных колебаний, кратной π, то при падении на такую пластинку плоскополяризованного света на выходе из нее мы получим также плоскополяризованный свет, но с плоскостью поляризации, повернутой на 90°. Из вышесказанного яс-но, что толщина полуволновой пластинки должна удовлетворять ус-ловию

/20

1 , 0,1,2,3,2 e

d m mn nλ

λ = + = − (11.8)

146

Если же упомянутая разность хода составит нечетное число чет-вертей волн (четвертьволновая пластинка), что соответствует разно-сти фаз, кратной π/2, то при падении на такую пластинку плоскополя-ризованного света на выходе из нее мы получим в общем случае эл-липтически поляризованный свет. Если направление колебаний в па-дающем луче составляет с главным сечением кристалла угол в 45°, то на выходе из четвертьволновой пластинки мы получим циркулярно поляризованный свет. Толщина четвертьволновой пластинки должна удовлетворять условию

/40

1 , 0,1,2,3,4 e

d m mn nλ

λ = + = − (11.9)

Из принципа обратимости световых лучей следует, что при па-

дении на четвертьволновую пластинку эллиптически поляризованно-го света на выходе из нее получается плоскополяризованный свет. § 5. Искусственная анизотропия среды

Недостатком естественных двупреломляющих кристаллов явля-ется их «жесткость» – невозможность тонкой перестройки свойств простыми внешними воздействиями. Этот недостаток устраняется при создании и использовании искусственной анизотропии в изо-тропных средах. Остановимся на некоторых примерах такого рода.

Фотоупругость. Если твердую изотропную среду подвергнуть одноосному сжатию, то она приобретает свойства одноосного кри-сталла с оптической осью, направление которой совпадает с направ-лением деформации. При снятии деформации изотропные свойства среды восстанавливаются, поэтому такое явление получило название фотоупругости.

147

Разность показателей преломления необыкновенного и обыкно-венного световых лучей в такой среде

0 ,en n ασ− = (11.10)

где α – постоянная фотоупругости, зависящая от материала, а σ – приложенное механическое напряжение. Явление фотоупругости ши-роко используется при исследовании распределения механических напряжений в прозрачных моделях сложных конструкций (мостовых опор, крыльев самолетов др.)

Эффект Керра. Если кювету с непроводящей жидкостью, со-стоящей из полярных молекул, поместить в сильное однородное элек-трическое поле, например, расположить между пластинами конденса-тора, то она также становится аналогом одноосного кристалла. При этом оптическая ось такого «кристалла» сонаправлена с направлени-ем электрического поля. Такое явление называется эффектом Керра. Разность показателей преломления необыкновенного и обыкновенно-го лучей в этом случае

20 0 ,en n K Eλ− = (11.11)

где K – постоянная Керра для данной жидкости, 0λ – длина волны

падающего света (в вакууме), E – напряженность приложенного электрического поля.

Помещая ячейку Керра между поляризатором и анализатором, главные плоскости которых взаимно перпендикулярны, можно реали-зовать модулятор света или оптический затвор, подавая на конденса-тор либо переменное напряжение, либо импульс напряжения специ-ально подобранной величины. Малая инерционность эффекта Керра

148

обеспечивает высокое быстродействие таких устройств, что очень важно для современных волоконно-оптических линий передачи.

Известен и магнитный аналог эффекта Керра. Его называют эффектом Коттона – Мутона. Однако, из-за малой величины соот-ветствующей константы (аналога постоянной Керра) в известных жидкостях, он пока не получил широкого практического применения.

149

Лекция 12 4.2. Интерференция света § 1. Понятие интерференции волн

При одновременном распространении в пространстве сразу не-скольких волн происходит их сложение друг с другом и образование некоторой результирующей волновой картины. Здесь возможны две принципиально различные ситуации.

В одном случае имеет место принцип суперпозиции, т. е. интен-сивность суммарной волны в любой точке пространства взаимодейст-вия и в любой момент времени равна сумме интенсивностей исход-ных волн:

.ii

I I= ∑

Примером такого явления является сложение световых волн от всех электрических лампочек в комнате. При этом освещенность лю-бой поверхности равна сумме освещенностей, создаваемых на данной поверхности каждой из лампочек в отдельности.

В другом случае принцип суперпозиции нарушается, и имеет место интерференция волн.

Интерференцией волн называется такое их наложение друг на друга, при котором в одних точках пространства взаи-модействия интенсивность результирующей волны усили-вается, а в других точках – ослабляется, т. е. возникают максимумы и минимумы интенсивности.

150

Необходимым требованием для возникновения интерференции является условие когерентности (согласованности) складываемых волн.

Когерентными называются волны, имеющие одинаковые частоты, поляризацию, направление распространения и постоянную во времени разность фаз в каждой точке про-странства взаимодействия.

Приведенное определение отражает случай абсолютной коге-

рентности, который на практике в точности реализовать не удается. Из-за немонохроматичности излучения обычных источников света и несогласованности актов его испускания различными атомами или молекулами условие когерентности удается обеспечить лишь на оп-ределенное время и в относительно небольшом объеме. Ниже мы вер-немся к обсуждению этой проблемы, а пока что будем предполагать складываемые волны абсолютно когерентными.

Наиболее простым случаем интерференции оказывается случай двулучевой интерференции, к описанию которого мы и приступим. § 2. Условия максимумов и минимумов интерференции

Рассмотрим наложение двух абсолютно когерентных плоских световых волн, распространяющихся в однородной недиссипативной среде:

( )( )

1 1 1

2 2 2

cos ,

cos .m

m

E E t kr

E E t kr

ω

ω

= −

= − (12.1)

151

В некоторой фиксированной точке пространства, куда доходят обе волны, мы имеем сложение двух колебаний одинаковой частоты и одинакового направления. Это позволяет нам воспользоваться мето-дом векторных диаграмм (см. § 1 лекции 8), чтобы найти амплитуду результирующего колебания. Из векторной диаграммы (рис. 12.1) на-ходим

( )2 2 21 2 1 2 2 12 cos .m m m m mE E E E E k r r= + + − (12.2)

Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату ее амплитуды (см. лекцию 10), то из (12.2) следует, что

1 2 1 22 cos ,I I I I I k= + + ∆ (12.3)

где 2 1r r∆ = − – разность хода

складываемых лучей. Послед-нее слагаемой в (12.3) принято называть интерференционным членом. Именно его наличие

определяет усиление или ослабление интенсивности результирующей волны по сравнению с простой суммой интенсивностей складывае-мых волн.

В частности, максимумы интенсивности будут наблюдаться, если выполняется условие

2 2 , 0,1 , 2, 3, ,k m mπ πλ

∆ = ∆ = = …

или, окончательно .mλ∆ = (12.4)

E

E

E

m

m

m

1

12

2

E

ωt - kr

ωt - krО

Рис. 12.1. К выводу формулы (12.2)

152

В свою очередь, легко увидеть, что условие минимумов интен-сивности имеет вид

( )2 1 .2

m λ∆ = + (12.5)

Таким образом, в интерференционных максимумах разность

хода складываемых волн составляет четное число полуволн (целое число длин волн), а в минимумах – нечетное число полу-волн. § 3. Временная и пространственная когерентность излучения

Выше уже были изложены причины, по которым излучение ре-альных источников света не может быть абсолютно когерентным.

Поскольку излучение атомов и молекул не является строго мо-нохроматическим, а происходит в некоторой полосе частот ν∆ , то составляющие волновой пакет волны с меньшей частотой (большей длиной волны) через некоторое время оказываются в противофазе с составляющими большей частоты (меньшей длины волны). Время, через которое немонохроматическая волна теряет свою когерент-ность, называется временем когерентности. Оно вычисляется по формуле

ког1 .tν

=∆

(12.6)

За это время волна успевает пройти расстояние, называемое

длиной когерентности:

153

ког ког ,vl vtν

= =∆

(12.7)

где v – скорость распространения волны в данной среде.

Отсюда следует, что разность хода интерферирующих волн не должна превышать длину когерентности. Это накладывает ограниче-ния на размер базы интерференционных устройств. Для обычных ис-точников света, даже при использовании светофильтров, длина коге-рентности обычно не превышает нескольких сантиметров. Длина ко-герентности лазерного излучения может достигать несколько десят-ков километров.

Несогласованность актов излучения различных атомов или мо-лекул в протяженных источниках света является причиной их про-странственной некогерентности. В связи с этим вводится понятие ра-диуса когерентности когρ – радиуса поперечного сечения пучка, в

пределах которого излучение остается когерентным. Таким образом, для наблюдения интерференции в интерференционных схемах с раз-делением пучка необходимо, чтобы складываемые волны брались из одного объема когерентности

2ког ког ког .V lπρ= (12.8)

Обратите внимание: на возможность наблюдения интерференции, влияет также инерционность регистрирующего прибора. Если ин-

терференционный член 1 22 cosI I k∆ в выражении (12.3) претерпевает

хаотические флуктуации, то его среднее значение, регистрируемое инер-ционным прибором, оказывается равным нулю, и интерференция не на-блюдается. Менее инерционный, высокоскоростной прибор зарегистри-рует хаотическую смену интерференционных картин. Это означает, что принцип суперпозиции носит статистический характер. Он справедлив для весьма инерционных приемников излучения в силу быстрой хаоти-ческой смены кратковременных интерференционных картин.

154

§ 4. Интерференция света от двух щелей

Рассмотрим предложенную Юнгом схему интерференции света от двух одинаковых щелей (рис. 12.2). Излучение от протяженного источника света S диафрагмируется для обеспечения достаточной пространственной когерентности. Далее из этого пучка с помощью двух узких длинных щелей в непрозрачной пластине, расположенных на расстоянии l друг от друга, формируются два когерентных луча. Интерференционная картина наблюдается на экране Э, удаленном от щелей на расстояние D l , не превышающее длину когерентности. В точке О, где разность хода 0∆ = , наблюдается центральный мак-симум. По обе стороны от него располагаются боковые максимумы и минимумы в виде светлых и темных полос.

DS

S

S

r

r11

2

2∆

l

x

О

Э

Лучи от щелей, проходя расстояния 1r и 2r , приходят в некото-

рую точку экрана, удаленную от точки О на расстояние x, с разностью хода ∆. Поскольку 1 2r r≈ , то можно составить пропорцию

,xl D∆

=

откуда

Рис. 12.2. Интерференционная схема Юнга

155

.lxD

∆ =

Используя условие максимумов (18.4), из последнего выражения

получаем их координаты:

max .Dx ml

λ= (12.9)

Расстояние между соседними максимумами будет одинаковым и равным

( )1 .D D Dx m ml l l

λλ λ∆ = + − = (12.10)

В связи с ухудшением когерентности складываемых лучей при увеличении их разности хода, общая ширина интерференционной картины ограничена, а интенсивность света в наблюдаемых максиму-мах постепенно уменьшается.

§ 5. Интерференция света в тонких пластинках

Пусть луч монохроматического света падает из воздуха под не-которым углом i на плоскопараллельную прозрачную пластинку с по-казателем преломления n (рис. 12.3), испытывая в ней многократные отражения и преломления. При достаточно малой толщине пластинки b, первично отраженный луч 1 и вторично отраженный луч 2 будут когерентны и могут интерферировать друг с другом при совмещении. Конечно, в общем случае следует учитывать вклад в интерференцию и лучей более высокого порядка отражения, но мы здесь ограничимся анализом лишь двулучевой интерференции.

156

1

2

ii

r

r b

А

В

С

D

n

Напомним, что при нахождении разности хода лучей, двигав-шихся в разных средах, берется разность их оптических длин пути, т. е. произведений геометрических длин пути на показатель прелом-ления соответствующей среды. Поэтому разность хода лучей 1 и 2

2 1Δ nr r= − , где 1r AD= , 2r AB BC= + . Из геометрических соображе-

ний имеем:

1 2 tg sin r b r i= ; 2 2 / cosr b r= .

2Δ 2 tg sin .cos

bn b r ir

= −

Так как tg sin / cosr r r= , а sin / sini r n= , то Δ 2 cosbn r= . Пере-

ходя от угла преломления к более удобному для задания исходных данных углу падения, перепишем выражение в виде

2 22 sin .b n i∆ = −

Рис. 12.3. К интерференции в тонких пластинках

157

Здесь следует дополнительно учесть потерю полуволны света за счет отражения луча 1 от более плотной среды (см. лекцию 10). Окончательно получаем

2 2 02 sin ,2

b n i λ∆ = − − (12.11)

где 0λ – длина волны в воздухе.

Приравнивая (12.11) 0mλ , в соответствии с условием (12.4), по-

лучаем количество наблюдаемых в отраженном свете под углом ин-

терференционных максимумов:

2 2

0

2 sin 1 .2

b n imλ−

= − (12.12)

Обратите внимание: в тонких пластинках интерференцию можно на-блюдать и в проходящем свете, за счет наложения преломленных волн. Однако в этом случае потери полуволны света не происходит, поскольку вторично преломленные волны отражаются от менее плотной среды.

Наблюдаемые в плоскопараллельных пластинках и пленках ин-

терференционные полосы называются полосами равного наклона. При интерференции света в клиновидных пластинках и пленках также возникают полосы. Их называют полосами равной толщины. Каждый из вас видел отражение света от пленок маслянистых жидкостей, раз-литых на воде. Это комбинация интерференционных полос равного наклона и равной толщины, в виду того, что толщина таких пленок не однородна. Они кажутся окрашенными в различные цвета, потому что для разных углов наблюдения и разных толщин пленки условия мак-симумов интерференции выполняются для различных спектральных составляющих белого света.

158

Лекция 13

4.3. Дифракция света § 1. Принцип Гюйгенса – Френеля

Под дифракцией (от лат. diffractus – разломанный) волн в пер-воначальном, узком смысле понималось огибание ими препятствий.

В современном, более широком смысле

Дифракцией волн называют любые отклонения при их рас-пространении от законов геометрической оптики.

«Разломанность» структуры волнового фронта, возникающая

при взаимодействии волн с краями препятствия, приводит к появле-нию максимумов и минимумов интенсивности волны за препятствием и к ее захождению в область геометрической тени.

Явление дифракции легко объяснить с помощью принципа Гюйгенса – Френеля:

Каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, огибающая фронтов которых образует фронт волны в последующий момент времени.

Это положение проиллюстрировано на рис. 13.1 для случая ди-

фракции света на длинной узкой щели в непрозрачной пластине. В изотропной среде, например, в воздухе, вторичные волны, испус-каемые точечными источниками, являются сферическими. Дифраги-рованные лучи, перпендикулярные фронту волны, частично огибают препятствие. На экране, расположенном за щелью, возникает распре-деление максимумов и минимумов освещенности – дифракционная

159

картина. Она характеризуется большим центральным максимумом и гораздо меньшими боковыми максимумами.

Различают дифракцию Фраунгофера, или дифракцию в парал-лельных лучах (рис. 13.2а), и дифракцию Френеля, или дифракцию в непараллельных лучах (рис. 13.2б). Для создания параллельных лучей могут использоваться линзы, в фокус которых помещают точечный источник света. Существует и другой способ: дифракция наблюдается вдали от препятствия, так что идущие от него лучи можно считать почти параллельными.

экра

н

экра

н

ss

а б

Рис. 13.1. Иллюстрация принципа Гюйгенса - Френеля

Рис. 13.2. Дифракция Фраунгофера (а) и дифракция Френеля (б)

160

§ 2. Зоны Френеля. Зонные пластинки

Под зонами Френеля понимают однотипные участки вол-нового фронта, построенные таким образом, что расстоя-ния от соседних зон до некоторой выбранной точки – фоку-са – отличаются на половину длины волны в данной среде.

На рис. 13.3 приведено построение зон Френеля для некоторого участка сферического фронта радиуса 0r .

r

r

b

b

b

b

h

ОP

m

m+

+

+

0

2

λ

λ

λ

/2

/2

/2

Как следует из рис. 13.3,

( ) ( ) ( )2 2 220 0 m/ 2mr r h b m b hλ− − = + − + .

Сокращая одинаковые члены в обеих частях данного выражения

и пренебрегая слагаемым 2 2 / 4m λ , так как 0 , r bλ , находим высоту

сферического сегмента, соответствующего зоне номера m :

Рис. 13.3. Схема построения зон Френеля

161

m0

.2

b mhr b

λ=

+ (13.1)

Площади построенных таким образом зон Френеля для не слишком больших m одинаковы:

01 0 1

0

2 ;r bS r hr bππ λ= =+

0 0 02 1 2 1

0 0 0

2 r b r b r bS S Sr b r b r bπ π πλ λ λ+= − = − =+ + +

и т. д. Радиусы зон

( )m 0 m 0 m2 2mr r h h r h= − ≈ ,

откуда

0m

0

.r br mr b

λ=+

(13.2)

Поскольку лучи от соседних зон Френеля приходят в точку Р в

противофазе, а площади всех зон одинаковы, то результирующая на-пряженность электрического поля световой волны в этой точке

( ) ( ) 11 2 3 4 m 1 mE P E E E E E−= − + − +…+ − =

( ) 11 1 3 3 5 m2 4 1 .

2 2 2 2 2 2mE E E E E EE E − = + − + + − + +…+ −

162

Выражения в круглых скобках приблизительно равны нулю. Отсюда

( ) ( ) 11 m

1 1 ,2

mE P E E− = + − (13.3)

т. е. если открыто четное число зон Френеля, то в точке Р будет на-блюдаться минимум освещенности, а если нечетное – максимум. Причем вклад в результат дают только первая и последняя зоны. Если сделать непрозрачными все четные или, наоборот, все нечетные зоны, то в точке Р будет максимум освещенности, так как все приходящие в эту точку лучи будут складываться в фазе.

Выполненная из прозрачного материала, например, из стекла модель волнового фронта с непрозрачными четными (нечетными) зо-нами Френеля называется амплитудной зонной пластинкой (рис. 13.4а). Она может служить для усиления света в фокусе этой пластинки, т. е. является аналогом линзы. Но это плохая линза, так как половина падающего на нее света пропадает впустую. Если не-прозрачные участки зонной пластинки сделать прозрачными, но саму пластинку выполнить ступенчатой, так чтобы между лучами, идущи-ми к фокусу из соседних зон, появилась дополнительная разность хо-да, кратная нечетному числу полуволн, то получится так называемая фазовая зонная пластинка (рис. 13.4б). Она даже внешне напоминает линзу.

d=2k-1n-1

λ2

а б

Рис. 13.4. Амплитудная (а) и фазовая (б) зонные пластинки (n – показатель преломления материала)

163

Отметим, что зоны Френеля не обязательно должны быть сфе-рическими или круговыми. В частности, они могут быть плоскими и прямыми, т. е. являться в совокупности аналогами цилиндрических линз.

Зональные фокусирующие устройства можно использовать не только в оптике, но также в акустике и радиотехнике. В радиолокации и радиоастрономии широко используются так называемые антенные решетки, состоящие из отдельных элементов (излучателей), каждый из которых осуществляет прием или излучение электромагнитных волн с заданным фазовым сдвигом и амплитудой. § 3. Дифракция Фраунгофера на щели

Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нор-мально на длинную узкую щель в непрозрачной пластине (рис. 13.5а).

а1 2 3

∆

О

N

R

R

xEО∆ϕ

∆ϕ 2

EE

1

m N

а б

Рис. 13.5. Дифракция Фраунгофера плоской световой волны на щели (а) и век-торная диаграмма (б), иллюстрирующая нахождение амплитуды дифрагирован-

ного света

164

Вследствие дифракции за щелью оказываются лучи самого раз-личного направления, в том числе и такие, которые заходят в область геометрической тени. Линза, установленная напротив щели, собирает любую совокупность параллельных лучей в дифракционные полосы на экране, расположенном в ее фокальной плоскости.

Для отыскания распределения интенсивности дифрагированного света воспользуемся методом векторного представления колебаний (см. лекцию 8). Как видно из рис. 13.5а, разность хода лучей, дифра-гированных от краев щели на угол ϕ , Δ sina ϕ= , где a – ширина ще-

ли, а разность фаз соответствующих волн

2 2 sin ,aπ πϕ ϕλ λ

∆ = ∆ = (13.4)

где λ – длина световой волны в рассматриваемой среде. Разобьем фронт волны в пределах щели на N одинаковых узких

ленточных зон и сложим векторы, характеризующие колебания на-пряженности электрического поля световых волн, приходящих из этих зон в текущую точку наблюдения на экране. Амплитуды указан-ных волн, равные длине векторов, примерно одинаковы:

1 2 3 NE E E E≈ ≈ ≈…≈ , а их фаза постепенно увеличивается по мере

увеличения номера зоны. Поэтому складываемые векторы образуют ломанную линию, вписанную в дугу окружности некоторого радиуса R (рис. 13.5б).

Сдвиг фаз волн, приходящих в точку наблюдения от левого и правого краев щели, определяемый выражением (13.4), изобразится на векторной диаграмме углом ϕ∆ между выбранным направлением

отсчета x и касательной к окружности, проведенной через конец по-

следнего вектора NE

. Из построения видно, что амплитуда результи-

рующей волны mE , дифрагированной на угол ϕ к нормали, равна

165

m 2 sinΔ / 2E R ϕ= .

Радиус окружности R можно найти, зная амплитуду 0E неди-

фрагированного света, которая на векторной диаграмме представля-

ется длиной дуги, стягиваемой вектором mE

. Действительно, если ее

спрямить, то полученный вектор будет представлять собой амплитуду результирующих колебаний, создаваемых световыми волнами, при-ходящими в точку наблюдения из всех N зон без всякого сдвига фаз, т. е. без дифракции. Так как 0 / ΔR E ϕ= , то амплитуда дифрагирован-

ного на угол ϕ света

m 0sin(Δ / 2) .

Δ / 2E E ϕ

ϕ=

Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату ам-

плитуды, то ее распределение на экране определяется выражением

( ) 2

0

sin 2.

2I I

ϕϕ∆

= ∆ (13.5)

Как следует из (13.5), минимумы интенсивности дифрагирован-ного света наблюдаются при Δ / 2 mϕ π= , где 1, 2, m = ± ± … . С учетом

(13.4) это дает условие минимумов дифракции света на щели:

sin .a mϕ λ= (13.6)

§ 4. Дифракционная решетка

Рассмотрим теперь дифракцию света на системе из N одинако-вых щелей шириной a каждая, прорезанных в непрозрачной пластине с периодом d (рис. 13.6а). Такое устройство называется амплитудной дифракционной решеткой.

166

R

R

xE О∆ψ

∆ψ 2

EE

m1

m mN

б

а bd

Nщелей

∆ϕ

а

N

N

Разность хода лучей, дифрагированных от краев соседних щелей

на угол ϕ ,

sind ϕ∆ = ,

а разность фаз соответствующих волн

2 sin .dπψ ϕλ

∆ = (13.7)

Сложим векторы, характеризующие колебания напряженности

электрического поля световых волн, приходящих в некоторую точку экрана из всех N щелей, учитывая разность фаз (13.7) между ними (рис. 13.6б). Амплитуда световой волны, дифрагированной на угол ϕ , в этом случае

m 2 sin ( Δ / 2)E R N ψ= ,

а амплитуда света, дифрагированного только одной щелью ( 1)N = ,

Рис. 13.6. Дифракция плоской световой волны на амплитудной дифракционной решетке (а) и векторная диаграмма (б), описывающая это явление

167

m1 2 sin (Δ / 2).E R ψ=

Исключая из двух последних уравнений R , получаем с учетом

соответствующего выражения для m1E , выведенного ранее, что

m m1 0sin ( Δ / 2) sin(Δ / 2) sin ( Δ / 2) .sin (Δ / 2) Δ / 2 sin (Δ / 2)

N NE E Eψ ϕ ψψ ϕ ψ

= =

Возводя полученное выражение в квадрат, получаем выражение,

описывающее распределение интенсивности дифрагированного света в виде

( ) ( )( )

22

0

sin 2 sin 2,

2 sin 2N

I Iϕ ψ

ϕ ψ ∆ ∆

= ∆ ∆ (13.8)

где Δϕ и Δψ описываются формулами (13.4), (13.7). График этого

распределения представлен на рис. 13.7.

0λ λ/ /а а λ22 /аλ /а

I/I0

sin ϕ

Рис. 13.7. Распределение интенсивности дифрагированного света в случае амплитудной дифракционной решетки, у которой N = 4 и d/a = 3

168

Анализ выражения (13.8) приводит к следующим выводам: 1. Первый множитель в круглых скобках описывает дифракцию

света на каждой щели решетки в отдельности. Он приводит к про-странственной модуляции дифракционной картины по интенсивности (пунктирная линия на рис. 13.7) и обусловливает наличие главных ми-нимумов, описываемых условием (13.6).

2. Второй множитель в круглых скобках учитывает вклад меж-щелевой интерференции света. При Δ / 2 nψ π= , где 0, 1, 2, n = ± ± …

этот множитель достигает своего максимального значения 2N . С учетом (13.7) это дает условие так называемых главных максиму-мов:

sin .d nϕ λ= (13.9)

Число главных максимумов ограничено и, как следует из (13.9), определяется условием

.n d λ≤ (13.10)

3. При Δ / 2N pψ π= , где p – любое целое число, кроме

0, , 2 , N N± ± … , второй множитель в (13.8) обращается в нуль. С уче-том (13.9) это дает условие добавочных минимумов:

sin .pdN

ϕ λ= (13.11)

Если p принимает запрещенные выше значения, то (13.11) сво-

дится к условию (13.9) главных максимумов. Это означает, что между каждой парой главных максимумов будет 1N − добавочных миниму-мов и 2N − добавочных максимумов (см. рис. 13.7), интенсивность которых во много раз меньше интенсивности главных максимумов.

169

4. Если отношение периода решетки к ширине щели является целым числом: / ( 1, 2, 3, )d a k k= = … , то, как следует из (13.6) и

(13.9), каждый k-й главный максимум пропадает, а на его месте появ-ляется главный минимум.

В заключение отметим, что кроме рассмотренной здесь одно-мерной дифракционной решетки могут существовать двумерные и трехмерные решетки. Естественными трехмерными дифракционными решетками являются кристаллические решетки твердых тел, в кото-рых периодическое расположение атомов эквивалентно перемычкам, а промежутки между ними – щелям. Поскольку для наблюдения ди-фракции существенное значение имеет соизмеримость периода ре-шетки с длиной волны, то на кристаллических решетках дифрагируют рентгеновские лучи с длиной волны порядка нескольких ангстрем. Это явление широко используется в рентгеноструктурном анализе различных кристаллических материалов.

170

Лекция 14

4.4. Взаимодействие света с веществом § 1. Дисперсия волн. Соотношение Рэлея

Термин дисперсия (от лат. dispergo – рассеивать) был введен в физику И. Ньютоном в 1672 г. в ходе описания разложения белого света в спектр при его прохождении через призму. Это явление объ-ясняется зависимостью показателя преломления света (отношения его скорости распространения в вакууме к скорости распространения в данной среде) от частоты. Позднее это название распространили на любые волновые процессы в линейных системах и теперь

Под дисперсией понимают зависимость фазовой скорости гармонических волн от их частоты (длины волны).

В частности, дисперсия приводит к «расползанию» волнового импульса по мере его распространения в диспергирующей среде из-за того, что образующие этот импульс гармонические составляющие разной частоты распространяются с различной скоростью.

Отметим, что сложные волновые процессы описываются с ис-пользованием двух скоростей распространения.

Фазовая скорость волны – это скорость, с которой распростра-няется в пространстве фронт волны – поверхность равных фаз, наи-более удаленная от источника в данный момент времени. Она вычис-ляется по формуле

,vkω

= (14.1)

где ω – частота волны, а k – волновое число.

171

Групповая скорость волны, состоящей из гармонических волн разных частот, определяется по формуле

гр ,dvdkω

= (14.2)

Подставляя в (14.2) ω , найденное из (14.1), и принимая во вни-

мание, что 2 /k π λ= , получаем

( )гр2d dv dv d dvv vk v k v k v

dk dk d dk k dλ π

λ λ= = + = + = −

или

гр .dvv vd

λλ

= − (14.3)

Выражение (14.3) было получено английским физиком Рэлеем (1842–1919) и называется соотношением Рэлея. Из него видно, что, в зависимости от знака /dv dλ , групповая скорость волны может быть как меньше, так и больше ее фазовой скорости.

В большинстве сред фазовая скорость с ростом длины волны возрастает ( / 0).dv dλ > Такая дисперсия называется нормальной.

В случае нормальной дисперсии, как видно из (14.3), грv v< . В неко-

торых случаях имеет место аномальная дисперсия, когда / 0dv dλ < и

грv v> .

§ 2. Физическая природа дисперсии света

Теоретическое объяснение явления дисперсии света, как элек-тромагнитных волн определенного частотного диапазона, в веществе было дано нидерландским физиком Х. А. Лоренцем (1853–1928). Согласно этой теории, электрическое поле световой волны вызывают вынужденные колебания валентных электронов среды. Отклонение

172

электронов из равновесных положений, в свою очередь, приводит к периодической во времени поляризации среды. При небольших ин-тенсивностях падающего света поляризация единицы объема вещест-ва (его поляризованность) пропорциональна напряженности электри-ческого поля световой волны:

0( ) ( ),P t E tε χ= (14.4)

где 0ε – диэлектрическая проницаемость вакуума; а χ – поляризуе-

мость среды, связанная с ее относительной диэлектрической прони-цаемостью соотношением

0

1 1 .PE

ε χε

= + = + (14.5)

Показатель преломления среды (см. § 2 лекции 10) n εµ= , а

так как в диэлектриках, в которых только и распространяется свет,

относительная магнитная проницаемость 1µ ≈ , то 2nε ≈ . Поскольку

при вынужденных колебаниях смеще-ния частиц имеют определенный сдвиг фаз относительно вынуждающей силы, а их амплитудно-частотная зависимость носит резонансный характер (см. лек-цию 9), то и показатель преломления среды будет зависеть от частоты (длины волны) падающего света.

На рис. 14.1 показана зависимость ( )n λ в окрестности одной из собствен-

ных длин волн 0λ колебаний электрона.

Участки 1–2 и 3–4 этой зависимости в соответствии с определением, данным в

1

λλ0

n, α

nα

1

2

3

4

Рис. 14.1. Зависимость пока-зателя преломления n и ко-эффициента поглощения α

от длины волны света

173

§ 1, относятся к случаям нормальной дисперсии, а участок 2–3 – к аномальной дисперсии. В области аномальной дисперсии имеет место сильное резонансное поглощение света, поэтому принципиально не-возможно, чтобы групповая скорость световой волны превысила ско-рость света в вакууме.

§ 3. Поглощение света

При прохождении через вещество электромагнитные волны те-ряют часть своей энергии за счет взаимодействия с атомами вещества. Теряемая энергия электромагнитного поля волны преобразуется в другие виды энергии, главным образом, в энергию хаотического теп-лового движения частиц вещества, которое при этом нагревается.

Рассмотрим нормальное падение плоской световой волны на пластинку некоторого прозрачного вещества толщиной l (рис. 14.2). Естественно, что ослабление интенсивности световой волны при про-хождении некоторого слоя вещества dx будет пропорционально тол-щине слоя и интенсивности волны ,I достигшей этого слоя:

,dI Idxα= − (14.6)

где α − коэффициент про-порциональности, зависящий от свойств вещества – коэф-фициент поглощения света. Проинтегрируем (14.6):

0 00

; ln ,I l

I

dI Idx lI I

α α= − = −∫ ∫

где 0I − интенсивность па-дающего света.

l0 x

II0

dx

Рис. 14.2. К выводу закона поглощения света

174

Потенцируя полученное выражение, получаем

0e .lI I α−= (14.7)

Выражение (14.7) называется законом Бугера – Ламберта – Бера. Он был установлен в 1729 г. французским ученым П. Бугером и впоследствии подробно исследован немецким ученым И. Ламбертом. Немецкий ученый А. Бер в 1852 г. опытным путем показал, что в рас-творах поглощающего свет вещества в непоглощающих растворите-лях коэффициент поглощения пропорционален концентрации раство-ра. Это означает, что свет поглощается в результате его взаимодейст-вия именно с отдельными молекулами (точнее, с валентными элек-тронами, входящими в их состав атомов). В концентрированных рас-творах данная закономерность нарушается из-за влияния взаимодей-ствия между близко расположенными молекулами поглощающего свет вещества.

Наиболее сильное поглощение света имеет место в области ре-зонансного взаимодействия электронов с электрическим полем свето-вой волны, поэтому коэффициент поглощения света веществом имеет четко выраженную зависимость от частоты. При этом спектры по-глощения газов имеют линейчатый вид. Спектры жидкостей и твер-дых оптически прозрачных диэлектриков полосатые, а металлы почти непрозрачны в области видимого света. § 4. Рассеяние света

Под рассеянием света понимают изменение направления его распространения в результате взаимодействия с веще-ством.

Физическая природа рассеяния света веществом была раскрыта

в 1907 г. российским физиком Л. И. Мандельштамом. Он показал, что рассеяние света возможно только в оптически неоднородных средах,

175

показатель преломления которых хаотически изменяется от точки к точке. Примерами таких сред являются так называемые мутные сре-ды: различные аэрозоли, эмульсии, коллоидные растворы, матовые стекла и т. п.

Для световой воны такие среды представляют собой трехмерные дифракционные решетки с нерегулярным периодом. Поэтому распре-деление интенсивности дифрагированного света в них имеет вид су-перпозиции дифракционных картин от множества дифракционных решеток с различным периодом. Иначе говоря, свет, по мере своего распространения в веществе, равномерно рассеивается в различные стороны.

Боковое рассеяние приводит к дополнительному, по сравнению с поглощением, ослаблению проходящего света. Тогда формула (14.7) может быть представлена в виде

( )0e ,lI I α κ− += (14.8)

где κ − так называемый коэффициент экстинкции (от лат. extinctio – гашение).

Л. И. Мандельштам и М. Смолуховский показали также, что рассеяние света может происходить даже в чистых средах (например, в чистых газах и жидкостях), не содержащих каких-либо частиц при-месей, за счет флуктуаций плотности, вызванных хаотическим тепло-вым движением молекул. Такое рассеяние называется молекулярным рассеянием света.

Электрическое поле световой волны вызывает периодическую поляризацию рассеивающих частиц. Они, таким образом, становятся диполями с периодически изменяющимся дипольным моментом. Из теории электромагнетизма известно, что амплитуда волны, излу-чаемой диполем, пропорциональна квадрату частоты его колебаний. Соответственно, интенсивность рассеянного света пропорциональна

176

его частоте в четвертой степени или обратно пропорциональна длине волны в четвертой степени:

44

1 .I ωλ

∝ ∝ (14.9)

Выражение (14.9) называется законом Рэлея. Молекулярным рассеянием объясняется, в частности, голубой

цвет неба и красный цвет зари. По закону Рэлея голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем оранжевые и красные. Поэтому в прохо-дящем свете преобладают последние, и Солнце у горизонта кажется более красным, чем в зените.

Интенсивность рассеянного света зависит от угла рассеяния ϕ :

( )21 cos ,I I ϕ⊥= + (14.10)

где I⊥ − интенсивность света, рассеянного перпендикулярно направ-

лению распространения первичного пучка. График этого углового распределения представлен на рис. 14.3.

Из (14.10) и рис. 14.3 ясно, почему небо над полюсами не столь голубое, как в южных широтах. Действительно, в высоких широтах Солнце поднимается низко над горизонтом, и мы видим небо, окра-шенное световыми лучами, рас-сеянными под большими угла-ми. Их интенсивность сущест-венно ниже, чем на умеренных, а тем более на тропических ши-ротах.

Из-за поперечного харак-тера электромагнитных волн рассеянный атмосферой свет поляризован (см. рис. 14.4).

Рис. 14.3. Зависимость интенсив-ности рассеянного света от угла

рассеяния

177

По этой причине в полярных широтах с помощью поляризатора можно опре-делить местонахождение Солнца даже тогда, когда оно находится ниже уровня горизонта (полярной ночью). Для этого достаточно, постепенно по-ворачивая голову вдоль линии гори-зонта, рассматривать его через поля-ризатор, одновременно вращая его.

Направление, в котором при вращении поляризатора происходит пол-ное гашение проходящего света, соответствует направлению на Солнце.

Большое влияние на оптические свойства атмосферного воздуха оказывают капельки воды и кристаллики льда. Когда Солнце освеща-ет завесу дождя, на противоположной от него стороне неба в отра-женных лучах наблюдается дифракция света на капельках воды. Хотя они и расположены в целом хаотически, все же расстояния между ними не сильно различаются между собой. Поэтому возникает нечто похожее на пространственную дифракционную решетку, и мы можем видеть радугу – часть дифракционного круга, ограниченного Землей. Внешний круг радуги окрашен в красный цвет, а внутренний в фиоле-товый, что соответствует меньшим углам дифракции для более ко-ротких волн (см. § 4 лекции 13).

Похожая ситуация имеет место, когда в морозном воздухе скап-ливается много мелких кристалликов льда. Тогда вокруг Солнца воз-никает гало (от греч. hálōs – круг) – круги, кольца, столбы или пятна. Гало не столь красочно, как радуга, и наблюдается реже, хотя для Си-бири представляет собой довольно обычное явление.

Рис. 14.4. Луч 2, рассеянный под углом 90º к проходящему лучу 1, является плоскополя-

ризованным

xE

E1

2

178

Глава 5

Квантовая физика Лекция 15 5.1. Квантовая природа излучения § 1. Тепловое излучение

Прежде, чем приступать к изучению законов теплового излуче-ния, договоримся о терминологии.

Потоком энергии излучения какого-либо тела называется физическая величина, равная энергии, излучаемой данным телом в единицу времени:

. еdEФdt

=

Энергетической светимостью тела называется физическая величина, равная потоку энергии излучения данного тела с единицы площади его поверхности:

. ee

Ф dERS Sdt

= =

Спектральной плотностью энергетической светимости (излучательной способностью) тела называется физиче-ская величина, равная энергетической светимости данного тела, приходящейся на единичный интервал частот или дин волн излучения:

; . e edR dRr rd dω λω λ

= =

179

Из последнего определения следует, что r d r dω λω λ= . В свою оче-

редь, 2

22 2 .

2c cd d d d

cπ π λλ ω ωω ω π

= = − = −

Знак «минус» показывает, что с увеличением частоты длина

волны уменьшается. Спектральная плотность энергетической свети-мости – величина положительная, поэтому после сокращения на dω связь rω и rλ выглядит следующим образом:

2

. (15.1)2

r rcω λπ

λ=

Приведем еще одно определение:

Поглощательной способностью тела называется физиче-ская величина, равная отношению потока энергии, погло-щенного телом, к полному потоку энергии, падающему на данное тело:

( ) ( ); . e e

e e

Ф ФФ Ф

a aω λ

ω λ′ ′= =

Индексы ω и λ здесь означают, что поглощательная способ-ность тела зависит от частоты (длины волны) излучения.

Если тело поглощает все падающее на него излучение ( 1)a = , то

его называют абсолютно черным телом. Если поглощательная спо-собность тела меньше единицы, но является величиной постоянной ( const 1)a = < , то такое тело принято называть серым телом. В про-

чих случаях тело называется нечерным.

180

Обратите внимание: названия «черное тело», «серое тело» не следует понимать буквально. Цвет этих тел может быть каким угодно. Более то-го, они сами могут быть источниками теплового излучения. Например, абсолютно черное тело, помимо того, что поглощает все падающее на него внешнее излучение, может само при этом весьма ярко светиться.

Рассмотрим систему из произ-вольного числа N различным обра-зом нагретых тел (рис. 15.1), окру-женных теплоизолирующей оболоч-кой. Через некоторое время данная система придет в термодинамиче-ское равновесие. Это означает, что тело, которое сильнее излучает, должно и сильнее поглощать энер-гию, т. е.

1 2

... .N

r r ra a a

ω ω ω

ω ω ω

= = =

Немецкий физик Р. Кирхгоф придал этому утверждению вид физического закона:

Отношение излучательной способности тела к его погло-щательной способности есть универсальная функция час-тоты (длины волны) излучения и температуры.

Различают две функции Кирхгофа: ( , )f T r aω ωω = и

( , ) .T r aλ λϕ λ = Между ними существует связь, определяемая форму-

лой (15.1):

( )22πc( , ) ( , ). 15.2λ

T f Tϕ λ ω=

12

N

Рис. 21.1. К объяснению за-кона Кирхгофа

181

Как следует из определения функции Кирхгофа, ее физический смысл состоит в том, что она равна спектральной плотности энерге-тической светимости абсолютно черного тела. Фактически функция Кирхгофа определяет закономерности теплового излучения любого тела, ведь излучательная способность нечерного тела получается пу-тем умножения этой функции на его поглощательную способность. Поэтому достаточно исследовать особенности теплового излучения абсолютно черного тела.

Зависимость ( , )Tϕ λ легко установить экспериментально. Для

этого можно воспользоваться моделью абсолютно черного тела в виде сосуда с длинным узким горлом, окруженного теплоизолирующей оболочкой (рис. 15.2). Попадающее извне в такой сосуд излучение те-ряется в нем, как в лабиринте, и назад практически не выходит. Внутрь сосуда помещается некоторое нагретое тело, тепловое излуче-ние которого выходит наружу и разлагается в спектр при помощи призмы. Для каждой спектральной составляющей измеряется энерге-тическая светимость и вычисляется ее спектральная плотность. Полу-чающиеся при этом результаты отображены на графике.

λ

λ,

T

TT

T ϕ ( )

1

2

3

0

Рис. 15.2. Модель абсолютно черного тела (слева) и результаты, к которым она приводит (справа). Здесь 1 2 3T T T< <

182

Из рис. 15.2 видно, что с увеличением температуры абсолютно черного тела спектральная плотность его энергетической светимости возрастает, а максимум излучательной способности сдвигается в строну более коротких волн излучения.

§ 2. Формула Планка и ее следствия

Многие известные ученые конца XIX в. безуспешно пытались разработать теорию теплового излучения, объясняющую все особен-ности поведения функции Кирхгофа. Однако это удавалось сделать лишь для некоторых частных случаев. Например, английские физики Рэлей и Джинс вывели формулу, удовлетворительно объясняющую зависимость излучательной способности тела от длины волны излу-чения в области длинных волн. Австрийские физики Стефан и Больц-ман показали, что энергетическая светимость нагретого тела пропор-циональна четвертой степени его температуры. Немецкий физик Вин получил закон, согласно которому длина волны, на которую прихо-дится максимум спектральной плотности энергетической светимости, обратно пропорциональна температуре тела.

Лишь в 1900 г. немецкий физик Макс Планк получил математи-ческое выражение для функции Кирхгофа, адекватно описывающее экспериментальные результаты, о которых говорилось выше. Правда, ему это удалось сделать ценой формального и непонятного для того времени допущения, что атомы и молекулы излучают свет не посто-янно, а отдельными порциями – квантами. Энергия каждого такого кванта пропорциональна частоте излучения: hε ν ω= = , где

346,626 10 Дж сh −= ⋅ ⋅ – коэффициент пропорциональности, получив-

ший название постоянной Планка, а 34(2 ) 1,054 10 Дж сh π −= = ⋅ ⋅ –

так называемая приведенная постоянная Планка.

183

Не вдаваясь в подробности вывода, приведем формулы Планка для функций ( , )f Tω и ( , )Tϕ λ , связанных между собой соотношени-

ем (15.2): 3

2 2 /( )1( , ) , (15.3)

4 e 1kTf Tc ω

ωωπ

=−

2 2

5 2 /( )4 1( , ) . (15.4)

e 1c kTcT π λ

πϕ λλ

=−

Оказывается, что все частные закономерности теплового излу-чения, о которых говорилось в начале этого параграфа, естественным образом вытекают из формулы Планка. Доказательством этого мы сейчас и займемся.

Формула Рэлея – Джинса. В области длинных волн (малых частот) / ( ) 1kTω . Тогда экспоненту в выражении (15.3) можно

разложить в степенной ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения:

e 1 ... .kT

kT

ω ω+= +

В итоге формулы (15.3) и (15.4), с учетом (15.2), принимают вид

2

2 2( , ) , (15.5)4

f T kTc

ωωπ

=

42( , ) . (15.6)cT kTπϕ λλ

=

184

Выражение (15.6) было получено Рэлеем и Джинсом еще до по-явления формулы Планка. Оно более или менее правдоподобно опи-сывает зависимость излучательной способности тела от длины волны излучения в области длинных волн, но терпит фиаско на коротких волнах (см. рис. 15.3). В истории физики это обстоятельство получило название «ультрафиолетовой катастрофы», так как теория Рэлея и Джинса предсказывала устремление излучательной способности тела в бесконечность при приближении длины волны излучения к нулю, что не укладывалось ни в какие физические представления.

ϕ(λ,T)

λ0

1

2

Закон Стефана – Больцмана. Найдем энергетическую свети-мость абсолютно черного тела, исходя из определения ее спектраль-ной плотности и физического смысла функции Кирхгофа:

*

0

( , ) .eR f T dω ω∞

= ∫

Подставляя сюда формулу Планка (15.3), возьмем записанный

интеграл:

Рис. 15.3. Сопоставление зависимостей излучательной способности абсолют-но черного тела от длины волны излучения, предсказываемых формулами

Планка (1) и Рэлея – Джинса (2)

185

43 3*

2 2 / 2 20 0

,4 e 1 4 e 1e kT x

d kT x dxRc cω

ω ωπ π

∞ ∞ = = − − ∫ ∫

где / ( )x kTω= .

Полученный интеграл табличный. Его значение равно 4 /15.π

Таким образом, 2 4

* 42 3 .

60ekR T

cπ

=

Коэффициент при Т4 в полученном выражении состоит из одних

констант. Его можно обозначить одной буквой, вычислить и предста-вить результат для температурной зависимости энергетической све-тимости абсолютно черного тела в окончательном виде:

* 4. (15.7)eR Tσ=

Выражение (15.7) называется законом Стефана – Больцмана, а

коэффициент 8 2 45,67 10 Вт/(м К )σ −= ⋅ ⋅ – постоянной Стефана – Больцмана. Как и формула Рэлея – Джинса, закон Стефана – Больц-мана был получен еще до появления формулы Планка.

С учетом поглощательной способности и закона Кирхгофа, за-кон Стефана – Больцмана для нечерного тела можно записать в виде

* 4, (15.8)eR a Tσ=

где а – коэффициент поглощения излучения (коэффициент черноты) поглощающего тела.

186

Законы Вина. Найдем длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсо-лютно черного тела. Для этого нам нужно найти условие максимума функции (15.4), приравняв к нулю производную ( , )Tϕ λ по λ :

( ), d Td

ϕ λλ =

( )2 2 /( ) 2 /( )5 2 42 2

10 22 /( )

2 / e ( 1/ ) 5 e 14 0.e 1

c kT c kT

c kT

c kTcπ λ π λ

π λ

λ π λ λ λπλ

− + −= − =

−

Это эквивалентно уравнению

( )e 5 e 1 0,x xx − − =

где 2 / ( )x c kTπ λ= . Полученное уравнение является трансцендент-

ным уравнением и допускает лишь численное решение. Результат этого численного решения: 4,965x = . Отсюда

max2 1 .4,965

cTk

πλ =

Обозначив коэффициент при обратной температуре как C′ , по-

лучаем первый закон Вина (закон смещения):

max , (15.9)CTλ ′=

где 32,9 10 м КC −= ⋅ ⋅′ − первая постоянная Вина.

187

Второй закон Вина. Найдем теперь само максимальное значе-ние спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела. Оно имеет место в области коротких волн (2 / ( ) 1)с kTπ λ , когда единицей в знаменателе выражения (15.4)

можно пренебречь. Подставляя в образовавшееся при этом выраже-ние закон смещения (15.9), находим

max2 2 2 22 /( ) 2 /( )5

max 5 5max

.( )

4 4e ec kT c kCC

с сr Tπ λ ππ πλ

− − ′′

= =

Собирая все константы в одну, получаем второй закон Вина:

,5max (15.10)r C T= ''

где 5 3 51,3 10 Вт/(м К )C − ⋅= ⋅'' – вторая постоянная Вина.

Таким образом, формула Планка описывает все особенности те-плового излучения, и из нее вытекают все законы такого излучения, открытые ранее. Но она не отвечает на главный вопрос – какова при-рода квантов энергии? Ответ на этот вопрос мы сможем дать лишь когда вплотную займемся изучением законов движения электронов в атомах и молекулах вещества.

§ 3. Внешний фотоэффект

Внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов металлами при падении на них света или из-лучения из ближней инфракрасной и ультрафиолетовой части спектра электромагнитных волн.

Обратите внимание: кроме внешнего фотоэффекта существует также внутренний фотоэффект – явление генерации свободных носителей заря-да в полупроводниках под действием света или излучения из ближней инфракрасной и ультрафиолетовой части спектра электромагнитных волн. Не путайте эти два явления.

188

Внешний фотоэффект был открыт немецким физиком Г. Герцем в 1887 г. и систематически исследован профессором Московского университета А. Г. Столетовым в 1888−89 гг. Однако в то время еще не было известно, какие именно заряженные частицы вылетают из металла при падении на него света.

В 1898 г. немецкий физик Ф. Ленард использовал для исследо-вания фотоэффекта катодно-лучевую трубку – вакуумированный со-суд с впаянными в него электродами. С помощью такого устройства Дж. Дж. Томсон открыл в 1897 г. электрон. Ленард несколько усо-вершенствовал трубку Томсона: он сделал в ней отросток с кварце-вым окном для пропускания ультрафиолета (рис. 15.4а). По сути это был первый фотоэлемент, для которого Ленард построил вольт – ам-перную характеристику (рис. 15.4б).

V

mA

УФ

I

UU 0з

Iн

а б

Рис. 15.4. Схема установки Ленарда для исследования фотоэффекта (а) и типичная вольт – амперная характеристика фотоэлемента (б)

189

Опыты Ленарда полностью подтвердили закономерности фото-эффекта открытые Столетовым. Кроме того, поскольку к тому време-ни электрон уже был открыт, Ленард показал, что из фотокатода вы-летают именно электроны. Ленард установил, что в условиях осве-щенного фотокатода для прекращения фотоэффекта к фотоэлементу необходимо приложить напряжение противоположной полярности – так называемое задерживающее напряжение, величина которого про-порциональна частоте падающего на фотокатод излучения: з .U ω

Теорию фотоэффекта построил в 1905 г. А. Эйнштейн. Для это-го он воспользовался гипотезой Планка о квантах энергии (1900 г.). Согласно формуле Эйнштейна для фотоэффекта, энергия кванта излучения ω расходуется на преодоление электроном работы выхо-да из металла A и сообщение ему кинетической энергии 2

max 2( ) / 2:mv

2max . (15.11)

2mvAω = +

Обратите внимание: в формуле (15.11) под работой выхода из металла понимается минимальная энергия, которую нужно со-общить электрону, чтобы вырвать его из металла. Поскольку вырываемые электроны могут находиться в разных энергети-ческих состояниях, то скорость их вылета различна.

Из (15.11) следует, что для прекращения фотоэффекта нужно за-тормозить вылетающие электроны, приложив к фотоэлементу задер-живающее напряжение такой величины, чтобы работа электрического поля равнялась максимальной кинетической энергии электронов:

2max

з .2mv eU=

Подставляя это равенство в (15.11), можно найти задерживаю-щее напряжение

190

з . (15.12)AUe eω

= −

Оно прямо пропорционально частоте падающего света, как и было показано в опытах Ленарда.

Из (15.11) также следует, что минимальная энергия кванта, спо-собного выбить электрон из фотокатода, min .Aω = Отсюда макси-

мальная длина волны излучения, вызывающего фотоэффект,

min min2 / .cλ π ω= Обозначая, min 0 ,λ λ= получаем

02 . (15.13)c

Aπλ =

Поскольку максимальная длина волны электромагнитного излу-чения, видимого человеческим глазом, соответствует красному свету, величина 0λ получила название красной границы фотоэффекта.

§ 4. Давление света

Свет, падая на какую-либо поверхность, оказывает на нее давле-ние. То, что мы не замечаем этого давления, означает лишь, что оно очень мало. В 1889 г. русский физик-экспериментатор П. Н. Лебедев из Московского университета провел простой, но убедительный опыт по демонстрации светового давления.

Под стеклянным колоколом на тонкой кварцевой нити было подвешено легкое коромысло с двумя крылышками (рис. 15.5а). Поверхность одного из них была покрыта сажей, а другого – посереб-рена. Зачерненное крылышко поглощает практически весь падающий на него свет, а посеребренное крылышко почти весь падающий свет отражает. Значит, изменение импульса, испытываемое посеребрен-ным крылышком вдвое больше, чем зачерненным, и давление света на него выше. Поэтому при направлении достаточно мощного пучка света на крылышки, коромысло поворачивается на некоторый угол.

191

Свет Лазер

а б

Чтобы устранить побочные эффекты, связанные со столкнове-ниями молекул разогретого воздуха вблизи крылышек с их поверхно-стью, воздух из-под колокола откачивался.

В наше время эффектная демонстрация давления света прово-дится с помощью лазера (рис. 15.5б). Излучение от лазера мощностью в несколько десятых долей ватта направляется на стеклянную сферу диаметром около 10 мкм, и она зависает в воздухе, ярко светясь из-за рассеяния на ней падающего света. В начале эксперимента сфера кла-дется на стеклянную пластину, а уже затем под нее подводится лазер-ный луч. Чтобы исключить «прилипание» сферы к пластине под дей-ствием сил Ван-дер-Ваальса, последнюю «встряхивают» при помощи акустических колебаний.

Займемся теперь вопросом о величине светового давления. Энергия светового кванта (Эйнштейн назвал его фотоном) ,ε ω= его

релятивистская масса 2/ ,m cω= а импульс / .p mc cω= = Пусть на

некоторую площадку площади S падает в единицу времени N фото-нов. Количество отраженных в единицу времени фотонов RN, где R – коэффициент отражения. Количество поглощенных в единицу време-

Рис. 15.5. Схема опыта Лебедева по демонстрации давления света (а) и современная демонстрация этого явления (б) с использованием лазера

192

ни фотонов равно (1–R)N. Отсюда суммарное изменение импульса площадки в единицу времени, т. е. действующая на площадку сила

2 (1 ) (1 ) .dpF RN R N R Ndt c c c

ω ω ω= = + − = +

Здесь учтено, что изменение импульса, вызванное каждым от-раженным фотоном, вдвое больше, чем поглощенным фотоном. Соот-ветственно световое давление на площадку

(1 ) .F Np RS S c

ω= = +

Величина / ( )N Scω представляет собой плотность потока энер-

гии световой волны, поделенной на скорость ее распространения, т. е. объемную плотность энергии w в световой волне (см. § 3 лекции 10). Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для давления света:

(1 ) . (15.14)p R w= +

§ 5. Эффект Комптона

Под эффектом Комптона понимается рассеяние электро-магнитных волн на свободных электронах, сопровождаю-щееся увеличением длины волны.

Этот эффект был открыт американским физиком А. Ком-птоном в 1922 г. и наблюдается для больших частот рассеиваемо-го электромагнитного излучения (в рентгеновской области и вы-ше). На рис. 15.6 показана век-торная диаграмма, выражающая

p

p

pе

θ

Рис. 15.6. К объяснению эффекта Комптона

193

закон сохранения импульса в данном явлении. Импульс исходного рентгеновского кванта / .p cω= Импульс

электрона после столкновения с рентгеновским квантом ep mv=

(предполагается, что до столкновения с квантом электрон покоился). Импульс рассеянного на электроне под углом θ рентгеновского кван-та / .p cω′ ′= Из рисунка уже видно, что частота рассеянного излу-

чения должна быть меньше, чем падающего, а длина волны, соответ-ственно, больше, т. е. ,ω ω′ < а .λ λ′ >

Займемся теперь количественной стороной дела. Законы сохра-нения энергии и импульса для рассматриваемого процесса имеют вид

2 2

0 ,m c mcω ω+ = +′

p p mv= +′ .

Здесь 0m – масса покоя электрона, а 20 / 1m m β= − – его релятиви-

стская масса. Не теряя времени на алгебраические выкладки, приве-дем вытекающий из записанных законов сохранения результат для приращения длины волны рассеянного излучения:

(1 cos ). (15.15)Cλ λ θ∆ = −

где величина

0 (15.16)С

hm cλ =

называется комптоновской длиной волны электрона. Часто использу-ется также приведенная комптоновская длина волны электрона

13/ 2 3,86 10 мСλ π −= = ⋅ .

194

Лекция 16 5.2. Волновые свойства частиц § 1. Волны де Бройля

Как было показано в прошлой лекции, тепловое излучение, внешний фотоэффект, давление света, эффект Комптона легко объяс-нить, если электромагнитное излучение (т. е. волны) рассматривать как поток частиц – квантов, энергия и импульс которых соответст-венно равны

(16 ), .1ε ω=

2 . (16.2)p c

ω πλ= =

Но тогда не верно ли обратное утверждение: нельзя ли движу-щиеся частицы вещества рассматривать как некоторые волны с выте-кающими из (16.1), (16.2) значениями частоты и длины волны, рав-ными

, (16.3)εω =

,2 2 (16.4)p mvπ πλ = =

где m – масса частицы, а v – ее скорость?

По-видимому, подобные мысли возникали в голове у молодого французского физика Луи де Бройля, когда он в 1924 г. выступил с «безумной» на взгляд своих старших коллег идеей, что все движу-

195

щиеся частицы являются волнами. Однако де Бройль подтвердил свою идею расчетами, из которых следовало, что волновые свойства становятся заметными только у частиц атомного и субатомного мас-штаба – так называемых микрочастиц.

Действительно, для пылинки массой 6 кг10 m −= при скорости движения 1 м/сv = дебройлевская длина волны, вычисленная по формуле (16.4), равна 286,6 10 мλ −≈ ⋅ , что меньше размеров любого известного физического объекта и, следовательно, не может быть из-мерено при помощи каких-либо инструментов. Однако для электро-на 31( 9,1 10 кг) m −= ⋅ при той же скорости движения получается значе-

ние 0,72 ммλ = . Эта величина может быть легко измерена. Наличие волновых свойств у электронов было блестяще под-

тверждено в 1927 г. американскими физиками К. Дэвиссоном и Л. Джермером путем наблюдения их дифракции на кристаллической решетке твердого тела (кристалла никеля). Позднее волновые свойст-ва были обнаружены и у других микрочастиц. § 2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Волновые свойства микрочастиц проявляются в том, что для них невозможно указать точные значения координаты и импульса, так как волну нельзя локализовать в какой-то одной точке пространства. В виде физического принципа это положение было сформулировано в 1927 г. немецким физиком В. Гейзенбергом:

Независимо от точности измерительных приборов, прин-ципиально невозможно одновременно измерить значения двух сопряженных динамических параметров микрочасти-цы, например, ее координаты и импульса.

196

Математически это записывается в виде так называемого соот-ношения неопределенностей:

,x p∆ ⋅∆ ≥ (16.5)

где Δx и Δp – соответственно неопределенности (т. е. погрешности)

измерения координаты и импульса частицы. Из (16.5) следует, что чем точнее мы знаем значение одного из двух сопряженных динами-ческих параметров частицы, тем с большей погрешностью можем оп-ределить значение другого параметра.

Рис. 16.1 поясняет природу соотношения неопределенностей Гейзенберга. Частица с импульсом p и длиной волны де Бройля

2 / pλ π= дифрагирует на щели шириной Δ a x= .

p

p

ϕ

ϕ

∆

∆

x

p

Поскольку при дифракции на щели (см. § 3 лекции 13) вся ди-фракционная картина практически сосредоточена в центральном мак-симуме и ограничена первыми минимумами, то, используя условие минимумов дифракции, можно записать

Рис. 16.1. К объяснению соотношения неопределенностей Гейзенберга

197

sin ,a mϕ λ= (16.6)

где Δa x= , sin Δ /p pϕ = , 1m = , 2 / pλ π= .

Из (16. 6) следует, что

2 .x p π∆ ⋅∆ = (16.7)

Выражение (16.6) подтверждает формулу (16.5). Существуют и другие формы записи соотношения неопределенностей. Так, подстав-ляя в (16.7) Δ Δp k= , где 2 /k π λ= – волновое число, получаем

1.x k∆ ⋅∆ ≥ (16.8)

Подставляя в (16.8) Δ / Δk vω= , Δ / Δx v t= , где v – скорость вол-ны (частицы), приходим к выражению

1.tω∆ ⋅∆ ≥ (16.9)

Используя (16.3), можем записать, что Δ / ΔEω = и получить еще одно выражение для соотношения неопределенностей:

.E t∆ ⋅∆ ≥ (16.10)

Из выражения (16.10) следует, что чем больше энергия состоя-ния, в котором находится микрочастица, чем короче время ее жизни в этом состоянии. § 3. Уравнение Шредингера

Как мы выяснили ранее, любая движущаяся микрочастица обла-дает волновыми свойствами, иначе говоря, является волной де Брой-ля. В простейшем случае уравнение такой волны можно представить в виде уравнения плоской бегущей волны (см. лекцию 10), записав его в комплексной форме:

198

( )( , ) e .i t krr t A ω− −Ψ =

(16.11)

Обратите внимание: согласно известной из математики формуле Эйле-

ра, ( )e cos( ) sin( ).i t kr t kr i t krω ω ω− − = − − −

Таким образом, действи-тельная часть выражения (16.10), а именно она имеется в виду, может быть записана в виде привычного нам уравнения плоской бегущей волны

в форме, похожей на (10.1): ( , ) cos( ).r t A t krωΨ = −

Используя выражения (16.1) и (16.2), можно переписать (16.11)

в следующем виде: ( )

( , ) e ,i Et pr

r t A− −

Ψ =

(16.12)

Для стационарных силовых полей, в которых движется микро-

частица, в уравнении (16.12) можно разделить пространственную и временную части:

/( , ) ( )e .iEtr t rψ −Ψ =

(16.13)

Функцию ( , )r tΨ

, описывающую состояние микрочастицы (она

же волна де Бройля) в точке пространства с радиус-вектором r в мо-

мент времени t , называют волновой функцией. Функцию ( )rψ назы-

вают волновой функцией для стационарных состояний частицы. Мы видим, что волновая функция играет роль смещения в вол-

нах де Бройля, правда, пока не знаем, что же именно в них смещает-ся? Волна – это процесс распространения колебаний. Что колеблется в волне де Бройля микрочастицы, мы также пока не представляем, ведь частица летит, на наш взгляд, прямолинейно и равномерно.

К обсуждению физической природы волн де Бройля мы вернем-ся несколько позже, а пока займемся их математическим описанием.

199

Волновое уравнение, которому удовлетворяет волновая функция (16.12), было найдено австрийским физиком Э. Шрёдингером (имен-но так, ближе к немецкому оригиналу, произносится его фамилия) в 1926 г.:

2

,2

U im t

∂Ψ− ∆Ψ + Ψ =

∂

(16.14)

где 2 2 2

2 2 2x y z∂ ∂ ∂

∆ = + +∂ ∂ ∂

– оператор Лапласа, а U – потенциальная функция, равная взятому с обратным знаком потенциалу силового поля, в котором движется час-тица.

Уравнение (16.14) называется временным уравнением Шре-дингера. Представив волновую функцию Ψ в виде (16.13), легко по-лучить стационарное уравнение Шредингера, описывающее не за-висящие от времени состояния частицы:

( )2

2 0,m E Uψ ψ∆ + − =

(16.15)

где E – полная энергия частицы. Уравнение Шредингера играет для микрочастиц ту же роль, что

и второй закон Ньютона для макрочастиц. Законы Ньютона для мик-рочастиц не применимы. Это следует из соотношения неопределенно-стей Гейзенберга. Мы не можем одновременно указать для микрочас-тицы значения ее координаты и импульса, следовательно, не можем говорить о траектории движения и применять законы классической механики.

Как предложил считать в 1926 г. немецкий физик-теоретик М. Борн, вероятность ( , )dP r t обнаружения частицы в некотором объ-

200

еме dV пропорциональна величине этого объема и интенсивности I дебройлевской волны частицы, которая, в свою очередь, пропорцио-нальна квадрату амплитуды этой волны:

22 *( , ) ; .dP r t IdV I A∝ ∝ = ΨΨ = Ψ (16.16)

Отсюда следует, что квадрат модуля волновой функции части-

цы равен плотности вероятности ее обнаружения в данной точке пространства в данный момент времени:

( ) ( )2 ,Ψ( , ) , . (16.17)

dP r tr t w r tdV= =

Вероятность обнаружить частицу во всем объеме V ее возмож-

ной локализации, естественно, равна единице:

( ), 1.Vw r t dV =∫

Следовательно, 2Ψ 1. (16.18)

VdV =∫

Выражение (16.18) называется условием нормировки волновой функции.

Из структуры уравнения Шредингера и вышеприведенных рас-суждений ясно, что волновая функция должна обладать следующими свойствами:

– однозначность, – непрерывность, – непрерывная диффренцируемость (гладкость), – нормируемость.

201

Таким образом, относительно природы волн де Бройля и описы-вающей их волновой функции можно сделать вывод, что это волны вероятности: в них колеблется вероятность обнаружения микрочас-тицы в рассматриваемом месте.

Обратите внимание: как и законы Ньютона, уравнение Шредингера ни-откуда не выводится. Оно просто подобрано таким образом, чтобы ему удовлетворяло уравнение бегущей волны де Бройля. Поскольку сущест-вование волн де Бройля подтверждается опытным путем, то уравнение Шредингера, таким образом, не противоречит опыту и может быть по-стулировано как основополагающее уравнение квантовой механики.

§ 4. Прохождение частицы через потенциальный барьер

Рассмотрим прямоугольный потенциальный барьер высотой 0U

и шириной a (рис. 16.2а), на который налетает микрочастица с энер-гией 0E U< .

x

x

0

0 a

a

UЕ < U0

0

Re xψ( )

a

б

I II III

U

Рис. 16.2. Прохождение частицы через прямоугольный потенциальный барьер: а – вид барьера, б – вид волновой функции частицы вне и внутри барьера

202

По законам классической физики такая частица не может пре-одолеть барьер и проникнуть из области I через область II в область III, так как в области II ее импульс является мнимой величиной:

0 02 2 ( ) 2 ( ). p mK m E U i m U E= = − = −

В квантовой механике следует рассматривать волны де Бройля

( ) e , i pxx Aψ =

причем в областях I–III эти волны, соответственно, имеют вид

2

1 1( ) e ,i mE x

x Aψ = (16.19)

01 2 ( )

2 2( ) e ,m U E x

x Aψ− −

= (16.20)

2

3 3( ) e .i mE x

x Aψ = (16.21)

Графики этих волн представлены на рис. 16.2б. Выражение (16.20) показывает, что внутри барьера амплитуда

дебройлевской волны частицы экспоненциально уменьшается, но для барьера конечной ширины вероятность обнаружить частицу за барье-ром отлична от нуля. Такое проникновение частицы через барьер на-зывается туннельным эффектом.

Коэффициент прозрачности барьера можно найти как отноше-ние вероятности нахождения частицы за барьером к вероятности ее нахождения перед барьером:

0

22 2 ( )2

22

( )e . (16.22)

(0)

m U E aaD

ψ

ψ

− −= ≈

203

§ 5. Частица в одномерной потенциальной яме

Пусть частица находится внутри одномерной бесконечно глубо-кой прямоугольной потенциальной ямы ширины а (рис. 16.3). На стенках ямы U →∞ , поэтому вероятность обнаружить там частицу равна нулю.

0 а x

n = 2n = 1

n = 3

n = 4

U, E , Re ψnn

Из этих соображений составим для рассматриваемой частицы

краевую задачу, включающую уравнение Шредингера (16.15) для од-номерного случая и граничные условия:

2

2 22 0, (16.23)d m E

dxψ ψ+ =

( ) ( )0 0. (16.24)aψ ψ= =

Рис. 16.3. Схема стационарных уровней энергии частицы в потенциальной яме и вид волновой функции в соответствующих энергетических состояниях

204

Обозначив 2 22 /mE k= , сведем выражение (16.23) к уравнению Гельмгольца

22

2 0, (16.25)d kdxψ ψ+ =

решение которого имеет вид

( )sin . (16.26)A kxψ α= +

Из граничных условий (16.24) следует, что

0, / ( 1, 2, 3, ...).k n a nα π= = ± = (16.27)

Подставляя в (16.27) обозначение для k , находим величины разрешенных значений энергии частицы:

2 2

22 . (16.28)

2nE nmaπ=

C учетом (16.27) для стационарных состояний частицы в яме

решение уравнения Шредингера (16.26) принимает вид

( ) sin . (16.29)nnx A xaπψ =

Амплитуду A волновой функции можно найти из условия нор-мировки (16.18), записав его для одномерного случая:

2 2 2

0

1 2sin 1; 1; .2a nA xdx A a Aa a

π = = =∫

Таким образом, n-е стационарное состояние частицы описывает-

ся решением

205

2 sin . (16.30)nnx xa a

Соответствующее ему частное решение временного уравнения

Шредингера можно записать в виде

2Ψ , , e sin e . (16.31) n ni iE t E t

n nnx t x t xa a

Общее решение, описывающее переход между n-м и m-м ста-

ционарными состояниями, представляется в виде линейной комбина-

ции соответствующих частных решений:

Ψ , Ψ , Ψ , . (16.32)2nm n max t x t x t

Плотность вероятности обнаружения частицы в точке x в мо-

мент времени t, согласно (16.17), (16.32),

2

Ψ , nm nmw x t

)(2 2sin sin 2sin sin e n mi E E tn m n mx x x xa a a a

колеблется с частотой

. (16.33)n mnm

E E

Из (16.31) и рис. 16.3 видно, что стационарным состояниям час-

тицы соответствуют стоячие волны де Бройля. При переходе из одно-

го стационарного состояния в другое происходит излучение или по-

глощение кванта энергии частотой ,nm определяемой выражением

(16.33).

206

§ 6. Линейный гармонический осциллятор

Рассмотрим теперь частицу, находящуюся в параболической по-тенциальной яме (рис. 16.4) вида

2. (16.34)2

kxU =

n = 0n = 1

n = 2 n = 3n = 4n = 5

0 x

U, En

Из теории колебаний (см. § 1 лекции 7) следует, что в этом слу-чае частица будет совершать гармонические колебания с частотой

/k mω = . По аналогии с прямоугольной потенциальной ямой можно предположить, что из-за локализации частицы в ограниченной облас-ти пространства снова будут иметь место дискретные по энергии со-стояния частицы в яме.

Уравнение Шредингера в данном случае имеет вид

2 2 2

2 22 0. (16.35)2

d m m xEdtψ ω ψ

+ − =

Рис. 16.4. Схема энергетических уровней частицы в параболической потен-циальной яме

207

Для параболических граничных условий оно приводит к стацио-нарным энергетическим состояниям с энергией

( )1 0, 1, 2, 3, . (16.36)2nE n nω

= + = …

При 00 / 2n E ω= = . Это так называемая энергия нулевых ко-

лебаний одномерного (линейного) гармонического осциллятора. Существование таких колебаний связано с волновой природой мик-рочастиц и может быть обосновано с помощью соотношения неопре-деленностей Гейзенберга (16.5).

В данном случае Δ 2 , Δ 2 ,x x p p= =

где x и p – соответственно средние по времени (действующие) зна-

чения координаты и импульса частицы. Таким образом,

22 2 .4x p ≥

С другой стороны, 2 22 2 2

22 .2 2 2 8

p pm mE K U xm m pω ω= + = + ≥ +

Найдем minE :

( ) ( )( )

2 2 2 2 222 222 2

10; 0; ; ;2 4 28E m m mp pmp p

ω ω ω∂ = − = = =∂

0min1 1 1 .4 4 2E E ω ω ω= = + =

Обратите внимание: в отличие от прямоугольной потенциальной ямы, где энергия стационарных состояний увеличивается с ростом n по квад-ратичному закону, в параболической потенциальной яме энергетические уровни расположены эквидистантно.

208

Лекция 17 5.2. Физика атомов и молекул § 1. Атом водорода

Атом водорода (Н), а также водородоподобные ионы (Не+, Li2+ и др.) являются наиболее простыми атомными системами. В них един-ственный электрон удерживается вблизи ядра с зарядом Ze, где Z – порядковый номер соответствующего химического элемента (рис. 24.1). По сути дела, электрон удерживается в некоторой беско-нечно глубокой сферической потенциальной яме. Следовательно, как и в §§ 5, 6 прошлой лекции, мы можем ожидать, что электрон в таких системах будет иметь дискретный набор возможных значений энергии.

y

x

z

Ze

er

rsin cosθ ϕ

-θ

ϕ

rsin sinθ ϕ

rcosθ

Стационарное уравнение Шредингера (16.14) для рассматривае-

мой системы имеет вид

( )22 0, (17.1)m E Uψ ψ∆ + − =

Рис. 17.1. Сферические координаты электрона в водородоподобной системе

209

где 2

0

14

ZeU rπε= −

− потенциальная энергия электрона в электрическом поле ядра.

В уравнении (17.1) следует перейти к сферическим координатам и решить его в предположении, что кинетическая энергия электрона меньше, чем потенциальная энергия, взятая по модулю: K U< , ина-

че электрон не будет удерживаться ядром. Ввиду возникающих при этом математических трудностей, мы опустим сам процесс решения, а обсудим лишь получающиеся результаты.

Полная энергия электрона, находящегося в атоме (ионе),

22

0,1 1

2 4ZeE mv rπε= −

естественно, отрицательна. Шредингер показал, что она может при-нимать лишь дискретные значения:

( )4 2

2 2 20

1, 2, 3, . (17.2)8nme ZE nh nε

= − = …

Из сферической симметрии задачи следует, что ее решение

можно представить в виде

( ) ( ) ( ), , R Y , , (17.3)nnlm lmr rψ θ ϕ θ ϕ=

где ( )Rn r радиальная компонента решения, выражаемая через по-

линомы Лагерра; ( )Y , lm θ ϕ – угловая компонента решения, выражае-

210

мая через сферические функции; , , n l m – квантовые числа. Они име-ют следующий физический смысл:

• n – главное квантовое число. Оно характеризует энергию ста-ционарных состояний электрона в атоме (17.2) и принимает зна-чения

1, 2, 3, ;n = …

• l – орбитальное квантовое число. Оно характеризует орбиталь-ный момент импульса электрона в атоме

( 1) (17.4)M l l= +

и принимает значения

( )0, 1, 2, 3, , 1 .l n= … −

Орбитальное квантовое число принимает nзначений. Возможны только такие переходы электрона из одного стационарного со-стояния в другое, при которых выполняется правило отбора

Δ 1;l = ±

• m – магнитное квантовое число. Оно характеризует проекцию момента импульса электрона на физически выделенное направ-ление в пространстве (направление внешнего поля)

( ) 17.5zM m=

и принимает значения

0, 1, 2, 3, , .m l= ± ± ± … ±

Магнитное квантовое число принимает 2 1l + значение, а при квантовых переходах электрона выполняется правило отбора

0, 1.m∆ = ±

211

Таким образом, одному и тому же значению энергии электрона в атоме отвечают несколько состояний с различными значениями l и m. Говорят, что такие состояния вырождены, а кратность вырождения (число состояний с одинаковыми значениями nE ) равна числу все-

возможных допустимых значений m :

( ) ( )1

2

02 1 1 3 5 2 1 1 .

n

ll n n

−

=+ = + + +…+ − + =∑

Полученный результат не отражает возможных различий в ори-ентации собственного момента импульса электрона (спина). С учетом спина кратность вырождения получается вдвое большей.

На рис. 17.2 показана схема энергетических уровней электрона в атоме водорода и возможные излучательные или поглощательные пе-реходы между ними – спектральные линии, объединенные в спек-тральные серии. При переходе на более низкий энергетический уро-вень происходит испускание кванта электромагнитной энергии, а при переходе на более высокий уровень – поглощение.

Представленные на рис. 17.2 спектральные серии названы по имени известных ученых-спектроскопистов конца XIX–начала XX вв. Частоты линий излучения (поглощения) этих серий можно вычислить по вытекающей из (17.2) формуле:

42

2 3 2 2 20

1 1 ;32

n mnm

E E me Zm n

ωπ ε

−= = −

* 22 2

1 1 (17.6)nm R Zm n

ω

= −

или

22 2

1 1 1 . (17.7)nm

RZm nλ

= −

212

n = 1

n = 2

n = 3n = 4n = 5

l = 5l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 l = 4s p d f g h

( 13,6E = - эВ)

Серия Лаймана (УФ)

Серия Бальмера (видимый свет)

Серия Пашена (ИК)

Серия БрэкетаСерия Пфунда

Формулы (17.6) и (17.7) называются формулами Ридберга в честь известного шведского физика И. Р. Ридберга (1854–1919), сис-тематизатора атомных спектров.

Постоянные

* 16 12,07 10 сR −= ⋅

и

( )* 7 1/ 2 1,097 10 мR R cπ −= = ⋅

называются постоянными Ридберга.

Рис. 17.2. Спектральные серии атома водорода

213

Иногда выражение (17.7) называют сериальной формулой Баль-мера, отдавая дань уважения швейцарскому учителю физики И. Баль-меру, установившему ее частный случай для m = 2 (серия Бальмера).

Согласно выражениям (16.16), (17.3), радиальное распределение электронной плотности вероятности в водородоподобной системе

( ) 2.~ R ( ) (17.8)n nw r r

Графики этого распределения для s- и p-состояний в атоме во-дорода представлены на рис. 17.3.

w r( )n

0 10 20 30 В1

w r( )n

0 10 20 30

n = 3

n = 1

n = 2n = 3

n = 2

s- lсостояние = ( 0)

p- lсостояние = ( 1)

а

б

В1r

r

Угловое распределение электронной плотности вероятности

( ) ( )2

, ~ Y , (17.9)lm lmw θ ϕ θ ϕ

представлено на рис. 17.4.

Рис. 17.3. Радиальное распределение электронной плотности вероятности в атоме водорода: s-состояние (а), p-состояние(б). Расстояние от электро-

на до ядра отложено в значениях радиуса первой боровской орбиты

1 0,53 ABr ≈

214

z

1s

2s

3s 3p

2p

3d m = 0

m = 0

m = 0m = 1

m = 1

m = -1m = -1m = -2

m = 2

Рис. 17.3, 17.4 дают представление о местах наиболее и наиме-

нее вероятного положения электрона относительно ядра в атоме во-дорода для различных квантовых состояний. Для водородоподобных ионов рассмотренные распределения имеют похожий вид.

§ 2. Многоэлектронные атомы

В предыдущем параграфе мы уже упоминали о наличии у элек-трона собственного момента импульса – спина. Величина спина ха-рактеризуется так называемым спиновым квантовым числом s через формулу, похожую на (17.4):

,( 1) (17.10)sM s s= +

Рис. 17.4. Угловое распределение электронной плотности вероятности в атоме водорода для низкоэнергетических состояний. Внешнее поле

направлено вдоль оси z

215

а его проекция на физически выделенное направление – через форму-лу, похожую на (17.5):

, (17.11)sz sM m=

где sm – магнитное спиновое квантовое число. У электрона 1/ 2s = , а

1/ 2sm = ± .

Все микрочастицы делятся на два класса. Частицы с целочис-ленными значениями спинового квантового числа называются бозо-нами (в честь индийского физика Ш. Бозе), а частицы с дробными (полуцелыми) значениями s – фермионами (в честь итальянского фи-зика Э. Ферми). Бозоны являются «коллективистами»: они «обожают» себе подобные частицы и могут накапливаться в любом квантовом состоянии в любом количестве. Фермионы, наоборот, являются «ин-дивидуалистами»: в одном квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона. Такое поведение фермионов было установ-лено в 1924 г. В. Паули и получило название принципа Паули. При-менительно к электронам в атоме принцип Паули можно сформули-ровать следующим образом:

В одном атоме не может быть двух и более электронов с одинаковым набором квантовых чисел.

Состояние электрона в атоме можно охарактеризовать четырьмя квантовыми числами: n, l, m, и ms. В дальнейшем нам будет удобнее пользоваться другим набором квантовых чисел для отдельных элек-тронов в атоме:

• n – главное квантовое число; • l – орбитальное квантовое число; • j – квантовое число полного момента импульса, складываемого

из орбитального и спинового моментов; • mj – квантовое число проекции полного момента импульса на

физически выделенное направление в пространстве.

216

Квантовые числа j и mj принимают значения через единицу и вычисляются по следующим правилам:

, (17.12)l s j l s− ≤ ≤ +

. (17.13)jj m j− ≤ ≤

В многоэлектронном атоме электроны стараются сначала запол-

нить состояния с меньшей энергией (такие состояния более устойчи-вы), постепенно переходя в состояния с большей энергией. Но при этом неукоснительно должен соблюдаться принцип Паули. Распреде-ление электронов в атоме по состояниям происходит с образование оболочек и подоболочек.

Оболочкой называется совокупность электронов в атоме, имеющих одинаковые значения главного квантового числа n.

Внутри оболочки электроны вырождены по всем остальным

квантовым числам, кроме n. Следовательно, максимальное количест-во электронов, которые могут находиться в одной оболочке, состав-ляет 22nN n= (см. § 1 настоящей лекции). В зависимости от значения

n оболочкам присваиваются следующие буквенные обозначения:

Оболочка K L M N O P Q … n 1 2 3 4 5 6 7 …

nN 2 8 18 32 50 72 98 …

Подоболочкой называется совокупность электронов внутри одной оболочки, имеющих одинаковые значения орбитально-го квантового числа l.

217

Максимальное количество электронов, могущих находиться в одной подоболочке, составляет 2(2 1)lN l= + , так как m пробегает

значения чрез единицу от - l до l , и для каждого значения m возмож-ны два значения sm . В зависимости от значения l подоболочкам при-

сваиваются следующие буквенные обозначения:

Подболочка s p d f g h … l 0 1 2 3 4 5 …

lN 2 6 10 14 18 22 … В действительности, в основном состоянии атома подоболочки

высоких номеров часто оказываются незаполненными, так как из-за вытянутости соответствующих угловых распределений электронной плотности вероятности (атомных орбиталей) энергия электрона в та-ких состояниях должна быть большей, чем в s-состоянии следующей оболочки. Поэтому, по принципу минимума энергии, оказывается бо-лее выгодным начать застройку следующей оболочки.

До калия заполнение энергетических состояний идет согласно возрастанию чисел n и l . Но уже у калия, имеющего 19 электронов, электронная конфигурация выглядит следующим образом:

2 2 6 2 6 0 11 2 2 3 3 3 4s s p s p d s ,

т. е. пропущены целых десять d-состояний в M-оболочке. Здесь числа 1, 2, 3 и т. д. означают номер оболочки (значения квантового числа n), а буквы s, p, d и т. д. – номер подоболочки (буквенные обозначения для орбитального квантового числа l). Верхние индексы указывают число электронов в соответствующей подоболочке. Подобные нару-шения последовательности заполнения состояний нарастают по мере приближения к концу таблицы Менделеева.

218

Химические свойства элементов не зависят от внутренних за-полненных электронами оболочек, а определяются количеством элек-тронов на внешней оболочке, так называемыми валентными электро-нами. Химическое сродство разных элементов определяется тем об-стоятельством, что у похожих по своим химическим свойствам эле-ментов в одинаковых валентных оболочках, независимо от номера оболочки, находится одинаковое число электронов. Так, например, у всех щелочных металлов единственный валентный электрон находит-ся в s-подоболочке.

§ 3. Характеристическое рентгеновское излучение

В 1895 г. немецкий физик-экспериментатор В. Рентген открыл излучение с длиной волны, более короткой, чем длина волны ультра-фиолетовых лучей. Это излучение получило название рентгеновского излучения или X-лучей. Его источником являются рентгеновские трубки, некоторые радиоактивные изотопы, ускорители частиц. Соб-ственно говоря, Рентген открыл так называемое тормозное рентге-новское излучение, возникающее при торможении электронов при по-падании на антикатод рентгеновской трубки и имеющее сплошной спектр. Однако при высоких напряжениях, приложенных к рентге-новской трубке, на фоне сплошного спектра наблюдаются четкие ли-нии другого вида рентгеновского излучения, названного характери-стическим рентгеновским излучением, спектр которого зависит от материала антикатода.

Детальное исследование этого вида рентгеновского излучения было проведено английским физиком Г. Мозли, открывшим в 1913 г. закон, которому подчиняются длины волн линий излучения:

219

( )2 2 21 1 1 . (17.14)nm

R Zm n

σλ

= − −

Выражение (17.14) очень похоже на формулу Ридберга (17.7),

описывающую длины волн излучения в спектрах одноэлектронных систем (атома водорода и водородоподобных ионов), отличаясь от последней лишь величиной σ , называемой постоянной экранирования.

Природа характеристического рентгеновского излучения имеет простое объяснение. Ускоренные сильным электрическим полем электроны выбивают электроны из внутренних электронных оболочек атомов антикатода. На их место приходят электроны из оболочек бо-лее высокого номера. Так, при удалении электронов из К-оболочки возникает К-серия излучения, при удалении электронов из L-оболочки – L-серия и т. д. (рис. 17.5). В пределах одной серии ли-нии излучения снабжаются индексами, например, , , , .K K Kα γβ …

K

L

M

N

K-серия

L-серия

M-серия

Рис. 17.5. Спектр характеристического рентгеновского излучения

220

Смысл введения в формулу (17.14) постоянной экранирования совершенно понятен. Электроны внутренних оболочек уменьшают (экранируют) положительный заряд ядра для электронов, совершаю-щих квантовые переходы. Например, на электроны из К-серии дейст-вует не только поле ядра заряда Ze, но и поле одного оставшегося в К-оболочке электрона, имеющего отрицательный заряд. Поэтому для линий К-серии постоянную экранирования часто принимают равной единице ( 1)σ = . Строго говоря, это не совсем точно, так как система

«атомное ядро – электрон» не обладает сферической симметрией. Значения постоянной экранирования для различных материалов анти-катода и разных серий характеристического излучения находят из эксперимента. Их можно найти в справочниках. § 4. Молекулы

Молекулы состоят из одинаковых или различных атомов, со-единенных между собой в одно целое посредством химических связей. Для выяснения физической природы этих связей достаточно ограни-читься рассмотрением простейших двухатомных молекул. Экспери-ментальные факты показывают, что межатомное взаимодействие в молекулах происходит лишь между внешними (валентными) электро-нами входящих в них атомов. Наиболее простой молекулой в этом смысле является молекула водорода Н2, состоящая из двух атомов во-дорода Н с одним единственным электроном в каждом.

В грубом модельном приближении можно считать, что каждый из этих двух электронов находится в некоторой потенциальной яме. В случае изолированных атомов эти потенциальные ямы разделены широким потенциальным барьером, препятствующим переходу элек-трона из «своего» атома в «чужой» атом (см. рис. 17.6а). Там же пока-

221

заны соответствующие волновые функции ψ , описывающие состоя-

ние электронов. При сближении атомов в молекулу потенциальный барьер меж-

ду ямами становится «прозрачным», и электроны могут переходить от атома к атому, принадлежа к молекуле в целом. Результирующая вол-новая функция этой пары электронов может быть представлена в виде суммы или разности волновых функций обоих электронов:

1 2ψ ψ ψ= ± (рис. 17.6б,в). Знак «плюс» здесь соответствует парал-

лельным спинам электронов, а знак «минус» − антипараллельным.

U

ψ

a б

в

Рис. 17.6. Модель, объясняющая образование молекулы Н2

В соответствии с принципом Паули (см. § 2 настоящей лекции) электроны с параллельными спинами будут отталкиваться друг от друга. Поэтому в данном случае устойчивая молекула образоваться не может. Напротив, антипараллельные спины способствуют локализа-ции электронов преимущественно между атомными ядрами, что по-зволяет создать устойчивую конструкцию (рис. 17.7).

222

а б Рис. 17.7. Схема движения пары электронов вокруг двух атомных ядер: парал-

лельные спины (а), антипараллельные спины (б)

Полная энергия молекулы состоит из суммы трех слагаемых:

,e v rE E E E= + + (17.15)

где eE − энергия, определяемая электронной конфигурацией молеку-

лы (электронная энергия), vE − энергия колебательного движения

ядер атомов, образующих молекулу, относительно их равновесных положений (вибрационная энергия), rE − энергия вращательного

движения молекулы как целого объекта (ротационная энергия). Вибрационная энергия в приближении гармонических колеба-

ний записывается в виде, похожем на формулу (16.34):

1 ,2vE v ω = +

(17.16)

где v =0, 1, 2, … − вибрационное квантовое число, на которое при ко-лебательных переходах в молекуле накладывается следующее прави-

ло отбора: 1.v∆ = ± Частота колебаний / ,k Mω = где k − коэффици-

ент квазиупругой силы, свойственной данной межатомной связи, M − приведенная масса молекулы.

223

Ротационная энергия молекулы (см. § 8 лекции 1)вычисляется по формуле

( )2 2

1 ,2 2r

IE r rI

ω= = +

(17.17)

где r =1, 2, 3, … − ротационное квантовое число, на которое при вращательных переходах накладывается правило отбора 1.r∆ = ±

На рис. 17.8 показаны схема энергетических уровней двухатом-ной молекулы и пример колебательно-вращательного перехода, со-провождающегося испусканием кванта электромагнитной энергии ω .

При переходе молекулы из одного энергетического состояния в другое в общем случае изменяются все три слагаемых в выражении (17.15). В результате каждая спектральная линия, испускаемая при электронно-колебательных переходах, приобретает тонкую враща-тельную структуру и превращается в полосу. Потому молекулярные спектры полосатые.

hω

Электронные уровни

Колебательные уровни

Вращательные уровни

Рис. 17.8. Энергетические уровни двухатомной молекулы

224

Лекция 18 5.4. Атомное ядро § 1. Строение атомных ядер

В 1909–1910 гг. Х. Гейгер и Э. Марсден, работая под руково-дством Э. Резерфорда в Манчестерском университете, провели ряд экспериментов по рассеянию альфа-частиц в тонких металлических пленках. В ходе этих экспериментов было установлено, что некото-рые из частиц рассеиваются на углы, превышающие 90°. Это обстоя-тельство сыграло решающую роль в открытии Резерфордом атомно-го ядра – заряженного положительно плотного образования в центре атома. Диаметр ядра оказался примерно в 104 раз меньше, чем разме-ры самого атома. Ядро самого легкого химического элемента – атома водорода – получило название протона.

Поскольку к тому времени уже было известно, что при β − - рас-падах из атомных ядер вылетают электроны, была высказана гипоте-за, что ядра более тяжелых, чем водород, элементов состоят из прото-нов и электронов. Однако протонно-электронная модель ядра встре-тила непреодолимые трудности после установления в 1927 г. соотно-шения неопределенностей Гейзенберга. Дело в том, что электрон, за-ключенный в атомном ядре размером порядка 10-14 м, должен был бы иметь наименьшую кинетическую энергию около 100 МэВ. В то же время самые быстрые электроны, испускаемые атомными ядрами при

β − - распадах, имеют энергию всего лишь около 4 МэВ. Проблема получила разрешение после открытия в 1932 г.

Дж. Чедвиком нейтрона, предсказанного еще в 1920 г. независимо Э. Резерфордом и У. Харкинсом. Вскоре Д. Д. Иваненко и В. Гейзен-

225

берг предложили протонно-нейтронную модель ядра, которая остает-ся общепринятой и по настоящее время.

Протон представляет собой ядро самого легкого изотопа водо-рода – протия. Оно имеет заряд +е, равный по величине, но противо-положный по знаку заряду электрона. Масса протона 1836 p em m= .

Его спиновое квантовое число равно 1/2. Нейтрон не имеет электри-ческого заряда, но во всем остальном он очень похож на протон. Его масса 1839 enm m= , а спин также равен 1/2. Общее название для

протонов и нейтронов – нуклоны (от лат. nucleus – ядро).

Атомные ядра принято обозначать символом XAZ , где X – обо-

значение химического элемента; Z – число протонов в ядре (оно опре-деляет порядковый номер элемента в таблице Менделеева); А – мас-совое число, равное сумме числа протонов и числа нейтронов, содер-жащихся в ядре: A Z N= + .

По представительству в ядре протонов и нейтронов их подраз-деляют на следующие семейства: изотопы – ядра с одинаковым числом протонов. Это ядра одно-

го и того же химического элемента. Примерами изотопов могут

служить изотопы водорода: 1 2 3 1 1 1Н, Н, Н. Здесь 1

1Н – это ядро

обычного водорода – протия (протон), 21Н – ядро тяжелого во-

дорода – дейтерия (дейтрон), 31Н – ядро сверхтяжелого водорода

– трития (тритон); изотоны – ядра с одинаковым числом нейтронов. Примерами

изотонов являются 21Н , 3

2 Не;

изобары – ядра с одинаковым значением массового числа.

Например, 31Н и 3

2 Не – это изобары.

Понятно, что объем атомного ядра тем больше, чем больше в нем содержится нуклонов: ~V A . Отсюда следует, что радиус ядра пропорционален кубическому корню из его массового числа:

226

3я 0R r A= . (18.1)

Коэффициент 150 1,3 10 м 1,3r −≈ ⋅ = ферми соответствует значе-

нию 1A = , т. е. 0r – это примерный радиус ядра атома обычного водо-

рода – протона. Плотность ядерного вещества

( )17я

я 3 30

кг2 10 .4 3 м

nm AmV r A

ρπ

= ≈ ≈ ⋅

Для сравнения отметим, что средняя плотность вещества в ато-мах около 5 32 10 кг/м⋅ , а наибольшая плотность вещества в условиях Земли порядка 4 310 кг/м . Отсюда следует, что основная масса нашей Вселенной сосредоточена именно в атомных ядрах образующего ее вещества.

Какие силы удерживают атомное ядро от распада вследствие взаимного отталкивания протонов? Ясно, что это каким-то образом связано с нейтронами. Но нейтроны не имеют электрического заряда. Следовательно, внутриядерное взаимодействие не является электро-магнитным.

Не может оно быть и гравитационным взаимодействием, так как оно во много раз слабее, чем электромагнитное. Стало быть, кулонов-ское отталкивание протонов друг от друга не скомпенсировать грави-тационным притяжением.

Советские физики И. Е. Тамм и Д. Д. Иваненко высказали идею, что ядерные силы имеют обменный характер: протоны и нейтроны обмениваются некоторой третьей (промежуточной) частицей и тем самым оказываются связанными друг с другом. Развивая эту идею, японский физик-теоретик Х. Юкава в 1935 г. рассчитал характеристи-ки этой частицы (она получила название π -мезона). Оказалось, что ее

227

масса должна составлять около 200 масс электрона. Предсказанные Юкавой частицы были обнаружены в 1947 г. экспериментально. Выяснилось, что существуют положительный (π + ), отрицательный (π − ) и нейтральный ( 0π ) мезоны. Заряд π + - и π − -мезонов равен по величине элементарному заряду. Масса заряженных мезонов одина-кова и равна 273 me. Масса 0π -мезона равна 264 me. Обменное взаи-модействие между нуклонами описывается следующей схемой:

0 0; ; ; p n n p p p n nπ π π π+ −↔ + ↔ + ↔ + ↔ + .

Ядерные силы являются короткодействующими: радиус их дей-

ствия ограничивается размерами атомного ядра ( 15~ 10− м). Вследствие этого они обладают свойством насыщения: эффективно взаимодейст-вуют только близкие друг к другу нуклоны. По этой причине в тяже-лых атомных ядрах количество нейтронов значительно превосходит число протонов, ибо внутренние нейтроны слабо удерживают пери-ферийные протоны от взаимного отталкивания. Кроме того, ядерные силы обладают зарядовой независимостью: интенсивность взаимо-действия протонов с протонами, нейтронов с нейтронами и протонов с нейтронами совершенно одинакова. Наконец, ядерные силы явля-ются нецентральными силами, так как они зависят от взаимной ори-ентации спинов взаимодействующих нуклонов. § 2. Критерий устойчивости ядра

Параметром, определяющим устойчивость атомных ядер, явля-ется энергия связи, равная работе, которую нужно совершить, чтобы разделить ядро на нуклоны и удалить их друг от друга на такие рас-стояния, при которых они практически не взаимодействуют друг с

228

другом. В соответствии с формулой Эйнштейна, связывающей массу и энергию (см. § 7 лекции 3), энергия связи ядра выражается через его дефект масс:

2свE mc= ∆ . (18.2)

Дефект масс показывает, насколько масса ядра яm меньше сум-

мы масс входящих в него нуклонов:

( ) яp nm Zm A Z m m∆ = + − − . (18.3)

Добавим в (18.3) eZm и одновременно вычтем эту величину,

принимая во внимание, что сумма масс протона и электрона равна массе атома водорода Нm , а сумма массы ядра и Z масс электронов

равна массе атома аm :

( )Н аnm Zm A Z m m∆ = + − − . (18.4)

В ядерной физике энергию частиц обычно измеряют не в джо-улях, а в мегаэлектронвольтах (МэВ), а их массу – в атомных едини-цах массы (а.е.м.). При этом, согласно формуле (18.2), 1 а.е.м. соот-ветствует энергии в 931,5 МэВ. Следовательно, для расчета энергии связи ядра удобно пользоваться простым соотношением:

( )св (МэВ) а.е.м. 931,5 МэВ/а.е.м.E m= ∆ ⋅ (18.5)

Для сравнения устойчивости различных атомных ядер важно знать не абсолютное значение энергии связи, а удельную энергию свя-зи, равную энергии связи, приходящейся на один нуклон: св /E A .

На рис. 18.1 показана кривая, усреднено изображающая зависимость удельной энергии связи стабильных атомных ядер от их массового числа.

229

8

6

4

2

50 100 150 2000 А

E /A, Мэвсв

Из нее видно, что сильнее всего связаны нуклоны в ядрах с мас-

совыми числами около 60 (для элементов от Cr до Zn). Удельная энергия связи в этой области достигает 8,7 МэВ, оставаясь практиче-ски постоянной величиной. Это постоянство имеет отношение к на-сыщению ядерных сил, о котором говорилось в предыдущем пара-графе.

Медленное убывание св /E A при больших значениях массового

числа объясняется возрастанием кулоновского отталкивания прото-нов. Быстрое убывание св /E A при малых значениях А обусловлено

невысокой интенсивностью ядерных сил в случае малого числа ну-клонов. Отсюда следует возможность выделения энергии при реали-зации двух прямо противоположных типов ядерных реакций: деления тяжелых ядер на более легкие и синтеза более тяжелых ядер из легких.

Рис. 18.1. Зависимость удельной энергии связи атомных ядер от массового числа

230

§ 3. Радиоактивность

Радиоактивностью (от лат. radio – испускаю лучи и activus – действенный) называется спонтанное превращение неус-тойчивых атомных ядер в более устойчивые, сопровождае-мое испусканием ядерных излучений.

Известны четыре типа радиоактивности: альфа-распад, бета-

распад (в том числе электронный захват), гамма-излучение и протон-ная радиоактивность. Естественная радиоактивность впервые наблю-далась в 1896 г. А. Беккерелем в солях урана. Искусственная радиоак-тивность, наблюдаемая у изотопов, полученных в результате ядерных реакций, была открыта Ирен и Фредериком Жолио-Кюри в 1934 г.

Альфа-распад. Под альфа-распадом понимают такое ядерное превращение, при котором нестабильное атомное ядро переходит в более устойчивое ядро другого химического элемента, испуская ядро гелия (альфа-частицу):

4 42 2X Y He,A A

Z Z−−→ + (18.6)

где XAZ обозначает исходное (материнское) ядро, 4

2YAZ−− – получаю-

щееся (дочернее) ядро, 42 He – альфа-частицу.

Бета-распад. Бета-распадом называют такое ядерное превраще-ние, при котором нестабильное атомное ядро переходит в более ус-тойчивое ядро другого химического элемента путем испускания (поглощения) электрона или испускания позитрона. Соответственно различают

• электронный распад (β − -распад):

1X YA AZ Z ee ν−

+→ + + , (18.7)

231

• позитронный распад (β + -распад):

1X Y ,A AZ Z ee ν+

−→ + + (18.8)

• электронный захват (e− -захват) – захват электрона из K-

оболочки (реже L- или M-оболочки) собственного атома:

1X Y ,A AZ Z ee ν−

−+ → + (18.9)

где e− – электрон (β − -частица), e+ – позитрон (β + -частица),

eν – электронное нейтрино, eν – электронное антинейтрино.

При β − -распаде один из нейтронов материнского ядра превра-

щается в протон, испуская при этом электрон и электронное антиней-трино:

en p e ν−→ + + . (18.10)

При β + -распаде имеет место обратный процесс – превращение

одного из протонов материнского ядра в нейтрон, сопровождаемое испусканием позитрона и электронного нейтрино:

ep n e ν+→ + + . (18.11)

Процесс, описываемый уравнением (18.11), невозможен для свободного протона, так как его масса меньше, чем масса нейтрона. Однако, находясь в ядре, он может заимствовать недостающую энер-гию у окружающих нуклонов.

При e− -захвате имеет место следующее превращение нуклонов:

ep e n ν−+ → + . (18.12)

232

Гамма-излучение. Гамма-излучение представляет собой про-цесс перехода возбужденного атомного ядра в более устойчивое со-стояние путем испускания γ -кванта:

*X X γA AZ Z→ + . (18.13)

Протонная радиоактивность. Под протонной радиоактивно-стью (открыта в 1963 г. Г. Н. Флеровым с сотрудниками) понимают ядерное превращение, при котором нестабильное атомное ядро пере-ходит в более устойчивое состояние путем испускания протона:

11X YA A

Z Z p−−→ + . (18.14)

Протонному распаду подвержены ядра с дефицитом нейтронов. Теоретически возможно испускание как одного, так и двух протонов. Однако экспериментально пока удавалось наблюдать только одно-протонный распад.

Легко видеть, что во всех видах радиоактивности имеет место сохранение зарядового и массового чисел.

Независимо от вида радиоактивного превращения, его количе-ственное описание подчиняется общим закономерностям. Естествен-но, что количество ядер dN , распадающихся за время dt , пропорцио-нально как числу имеющихся ядер N , так и времени аспада:

,dN Ndtλ= −

где λ – константа, зависящая от вида радиоактивного изотопа, назы-ваемая постоянной распада. Интегрируя данное выражение, получа-ем закон радиоактивного распада:

0e ,tN N λ−= (18.15)

где 0N – начальное количество ядер, N – количество ядер, оставших-

ся нераспавшимися к моменту времени t .

233

Важной характеристикой радиоактивного распада является пе-риод полураспада.

Периодом полураспада называется время, за которое распадается половина имевшихся в начальный момент времени ядер.

Чтобы найти период полураспада T , положим в (18.15)

0 / 2N N= , t T= :

0 01 e2

TN N λ−= .

Отсюда

ln 2Tλ

= . (18.16)

§ 4. Деление тяжелых ядер

Как отмечалось в § 2 настоящей лекции, тяжелые атомные ядра склонны делиться на более легкие. Такое деление может быть спон-танным и вынужденным. Спонтанное деление ядер урана на два при-мерно равных по массе осколка было обнаружено в 1940 г. Г. Н. Фле-ровым и К. А. Петржаком. Затем это явление было обнаружено для многих других тяжелых ядер. Вынужденное деление ядер урана при его облучении нейтронами было открыто в 1938 г. немецкими учены-ми О. Ганом и Ф. Штрассманом и объяснено О. Фришем и Л. Мейт-нер. Мейтнер также предсказала возможность осуществления цепной

ядерной реакции деления. Для ядер 23592 U при их облучении медлен-

ными (тепловыми) нейтронами такая реакция может идти по несколь-ким схемам:

235 1 144 89 192 0 56 36 0U Ba Kr 3 , n n Q+ → + + + (18.17)

234

235 1 94 140 192 0 38 54 0U Sr Xe 2 n n Q+ → + + + (18.18)

или

235 1 140 94 192 0 55 37 0U Cs Rb 2 , n n Q+ → + + + (18.19)

где 200 МэВQ ≈ – энергетический выход реакции.

Каждому акту деления сопутствует испускание двух или трех нейтронов. Если хотя бы часть из них замедлить, то они могут погло-щаться другими ядрами урана и вызывать новые акты деления. Таким образом, процесс деления можно сделать самоподдерживающимся и регулируемым. Такая цепная ядерная реакция была впервые осущест-влена в 1942 г. под руководством Э. Ферми.

Осколки деления оказываются радиоактивными и претерпевают

цепочку β − и γ-распадов, пока не превратятся в стабильные ядра.

Кроме ядер 23592 U медленными нейтронами делятся также ядра

233 230 23992 90 94U, Th, Pu, но эти изотопы в природе не встречаются и могут

быть получены лишь искусственным путем. Ядра 238

92 U и 23290Th делятся быстрыми нейтронами:

238 1 239 239 23992 0 92 93 94U U Np Pun e−+ → → + → , (18.20)

232 1 233 233 233

90 0 90 91 92Th Th Pa U n e−+ → → + → . (18.21) 23994 Pu и 233

92 U альфа-радиоактивны, однако их период полураспа-

да так велик (24 400 лет у плутония и 162 000 лет у тория), так что эти ядра можно считать практически стабильными. Зато они делятся мед-ленными нейтронами и их можно использовать в качестве ядерного топлива. При этом количество образующихся ядер, способных де-литься медленными нейтронами, может превышать количество деля-щихся ядер. Поэтому атомные реакторы на быстрых нейтронах назы-

235

вают реакторами-размножителями или бридерами (от англ. breeder – племенной производитель). § 5. Ядерный синтез

Для синтеза атомных ядер их нужно сблизить на расстояние по-рядка 10-15 м, при котором начинают действовать ядерные силы. Для этого необходимы температуры не ниже 107 К. В связи с тем, что для ядерного синтеза требуются очень высокие температуры, этот про-цесс называют термоядерной реакцией.

Наиболее просто выглядит термоядерная реакция синтеза дей-терия и трития, реализуемая в водородной бомбе:

2 3 4 11 1 2 0Hed t n+ → + . (18.22)

Для достижения необходимых температур запалом в такой бом-бе служит обычная атомная (урановая или плутониевая) бомба. Реак-ция синтеза (18.22) сопровождается выделением энергии, равной 17,6 МэВ или около 3,5 МэВ на один нуклон. Это значительно боль-ше, чем в ядерных реакциях деления (около 0,85 МэВ на нуклон при делении ядра урана).

В естественных условиях термоядерные реакции протекают на звездах. Для звезд типа нашего Солнца, где температура в недрах дос-тигает 107–108 К, предположительно имеет место протонно-протонный цикл, протекающий следующим образом:

1 1 21 1 1 ep p d e ν++ → + + ,

2 1 31 1 2 Hed p γ+ → + ,

3 3 4 1 12 2 2 1 1He He He p p+ → + + .

Результатом реакции является превращение водорода в гелий.

236

На звездах с более высокой температурой более вероятен угле-

родно-азотный цикл:

12 1 136 1 7 N γС p ,

13 137 6N C ee ,

13 1 146 1 7C N γp ,

14 1 157 1 8N O γp ,

15 158 7O N ee ,

15 1 12 47 1 6 2N C Hep .

Итогом этой реакции также является превращение водорода в

гелий. Количество ядер углерода остается неизменным. Они играют роль катализатора.

Проблема управляемого термоядерного синтеза до сих пор не решена. Основная трудность в решении этой задачи – удержание вы-

сокотемпературной водородной плазмы и управление числом актов

синтеза. Тем не менее, ученые надеются справиться со всеми техно-

логическими трудностями, ведь освоение управляемого термоядерно-

го синтеза даст человечеству практически неисчерпаемый источник

энергии.

237

Глава 6 Молекулярная физика и термодинамика Лекция 19

6.1. Основы классической статистической физики

§ 1. Распределение Максвелла

Пусть ( )f v – функция, пропорциональная количеству молекул

газа, имеющих значение скорости, равное v (рис. 19.1). Ясно, что до-ля молекул со скоростями, близкими к нулю или к бесконечности, очень мала. Бóльшая часть молекул имеет некоторые средние скоро-сти движения. Будем называть введенную таким образом функцию

( )f v функцией распределения молекул по скоростям.

0 vv dv

f v( )

dNvN

Рис. 19.1. К выводу распределения Максвелла

238

Рассмотрим бесконечно малый интервал скоростей dv в окрест-ности значения v . Число молекул, обладающих скоростями из этого интервала vdN , должно быть пропорционально ширине интервала dv

и общему количеству молекул N , причем коэффициентом пропор-циональности должна служить функция ( )f v :

( )vdN Nf v dv= ,

откуда

( ) 1 vdNf vN dv

= . (19.1)

Таким образом, физический смысл функции ( )f v состоит в том,

что ее значение для каждого конкретного значения скорости равно относительной доле молекул, приходящихся на единичный интервал скоростей в окрестности данного значения скорости.

Интеграл

( )0 0

1vdNf v dvN

∞ ∞

= =∫ ∫ ,

так как это сумма всех относительных долей молекул. Условие

( )0

1f v dv∞

=∫ (19.2)

называется условием нормировки для функции распределения ( )f v .

В геометрическом смысле это означает, что площадь фигуры, ограни-ченной графиком функции ( )f v и осью абсцисс, равна единице.

В 1859 г. Дж. К. Максвелл доказал, что

( )2

22 .emv

kTf v A v−

=

239

Мы не будем сейчас выводить эту формулу, так как это потре-бовало бы от нас хорошего знания теории вероятностей. Но мы мо-жем найти значение коэффициента А, используя условие нормировки (19.2):

2

22

0

e 1mv

kTA v dv∞

−=∫ .

Это табличный интеграл, его значение известно, и получается, что

3 2

42

mAkT

ππ

=

,

где m – масса молекулы. Таким образом, окончательное выражение для функции распределения Максвелла молекул по скоростям имеет вид

( )23 2

224 e2

mvkTmf v v

kTπ

π− =

. (19.3)

§ 2. Характерные скорости движения молекул

Используя (19.3), можно найти наивероятнейшую скорость мо-лекул, отвечающую максимуму кривой распределения (рис. 19.1). Для этого нужно просто приравнять нулю производную ( )f v по v :

2 2

2( ) e 2 0mv

kTdf v mvA vdv kT

− = − =

.

Данное уравнение имеет три корня, два из которых 0v = и

v →∞ соответствуют минимумам ( )f v , а третий корень

240

в2kTvm

= (19.4)

как раз и дает значение наивероятнейшей скорости молекул.

Чтобы найти среднюю арифметическую скорость молекул v⟨ ⟩ , нужно поделить суммарную скорость всех молекул газа на их число:

( )0 0

1vv vdN vf v dv

N

∞ ∞

⟨ ⟩ = =∫ ∫ .

Снова получается табличный интеграл, из которого

8kTv

mπ⟨ ⟩ = . (19.5)

Тем же способом можно найти среднюю квадратичную ско-

рость молекул 2квv v= ⟨ ⟩ :

( )2 2

0

3kTv v f v dvm

∞

⟨ ⟩ = =∫ ;

кв3kTvm

= . (19.6)

Характерные скорости молекул, как показывают расчеты по

формулам (19.4)–(19.6), для большинства газов при комнатной темпе-ратуре оказываются в пределах нескольких сотен метров в секунду.

Справедливость распределения Максвелла (19.3) была провере-на экспериментально в 1920 г. немецким физиком О. Штерном. Он использовал два коаксиальных цилиндра, вращающихся с одинаковой угловой скоростью ω (рис. 14.2).

241

По оси вращения была протянута тон-кая проволока, покрытая серебром. Через проволоку пропускался электрический ток. Серебро испарялось и через узкую щель во внутреннем цилиндре оседало на стенке внешнего цилиндра в виде полоски шири-ной ΔS . Полоска получалась размытой, так как быстрые молекулы достигали большого цилиндра раньше, а медленные молекулы – несколько позже, и он успевал повернуться на некоторый угол Δ Δtϕ ω= .

Время пролета молекул между стен-ками цилиндров

Δ R rtv−

= ,

где R и r – соответственно радиусы боль-шого и малого цилиндров. Ширина осевшей полоски серебра

( )R R rS Rv

ωϕ −∆ = ∆ = ,

откуда ( )R R rv

Sω −

=∆

.

Измерив толщину полоски серебра в разных местах вдоль ее ширины, можно было качественно подтвердить факт, что большинст-во молекул движется с некоторой средней скоростью. Ее значение, вычисленное по последней формуле, оказалось в хорошем соответст-вии с результатами расчетов по формулам (19.4)–(19.6).

r

R ∆S

ω

∆ϕ

Рис. 14.2. Схема опыта Штерна

242

h+dh р-dp

h p

§ 3. Распределение Больцмана

Рассмотрим вертикальный столб воздуха, мысленно построен-

ный в атмосфере (рис. 19.3). Убыль атмосферного давления при подъ-еме на высоту dh

dp gdhρ= − .

Плотность воздуха ρ най-

дем из уравнения Клапейрона – Менделеева, полагая, что темпе-ратура не зависит от высоты при малом изменении последней:

pRTµρ = ,

где µ – молярная масса газа, а

R – универсальная газовая посто-янная. Тогда

dp gdhp RT

µρ= − ;

0 0

p h

p

dp g dhp RT

µρ= −∫ ∫ ;

0egh

RTp pµ

−= . (19.7)

Выражение (19.7) называется барометрической формулой. Зна-

чение 0p соответствует давлению на высоте 0h = , выбираемой ус-

ловно, например, на поверхности Земли. Видно, что с возрастанием высоты давление воздуха уменьшается по экспоненциальному закону

Рис. 19.3. К выводу распре-деления Больцмана

243

и тем быстрее, чем больше молярная масса газа и меньше его темпе-ратура.

Так как давление газа пропорционально концентрации n содер-жащихся в нем молекул, а / /R m kµ = , то из (19.7) следует

0emghkTn n

−= . (19.8)

Формула (19.8) называется распределением Больцмана молекул

по потенциальным энергиям. Мы вывели ее для частного случая по-тенциальной энергии pE mgh= молекул газа в поле силы тяжести, но

под pE можно понимать потенциальную энергию частиц в любом си-

ловом поле.

§ 4. Энтропия

Энтропией называется функция состояния системы, про-порциональная логарифму ее статистического веса:

ln S k W= .

Это определение было предложено Л. Больцманом в 1872 г., хо-тя само понятие «энтропия» было введено в физику Р. Клаузиусом еще в 1865 г. из термодинамических соображений (об этом мы пого-ворим позже). В записанном выражении k – постоянная Больцмана, а W – статистический вес системы.

Под статистическим весом системы понимается число всевозможных допустимых способов, которыми может быть задано состояние данной системы.

244

Например, в системе с 1N = частицей, могущей занимать одну из 2n = пространственных ячеек (рис. 19.4) 2W = . Если 2N = , то

4W = . Для 2N = получается 8W = . В общем случае NW n= .

W = 2

W = 4

W = 8

Весьма важным обстоятельством является то, что статистиче-

ский вес системы равен произведению статистических весов всех подсистем, на которые можно разбить данную систему:

1

m

ii

W W=

=∏ .

Рис. 19.4. К понятию «статистический вес» системы

245

Именно поэтому Больцман использовал в определении энтропии логарифм W . Тогда энтропия системы оказывается равной сумме эн-тропий ее частей.

Наибольший статистический вес и максимальную энтропию система имеет в состоянии термодинамического равновесия, когда частицы максимально перемешаны. Отсюда следует физический смысл энтропии:

Энтропия системы является мерой ее близости к состоя-нию равновесия или мерой хаоса в системе.

Рассмотрим теперь цилиндр со свободно скользящим поршнем

(рис. 19.5), в котором находится N молекул идеального газа. Осуще-ствим изотермическое расширение ( const)T = газа от объема 1V до

объема 2V .

Состояние 1 Состояние 2

V V1 2

При изотермическом процессе внутренняя энергия системы не изменяется ( )Δ 0U = , и все затраченное количество теплоты Q расхо-

дуется на работу, совершаемую газом: Q A= .

Рис. 19.5. К выводу свойств энтропии

246

Изменение энтропии газа

22 1 2 1

1

Δ ln ln ln WS S S k W k W kW

= − = − = .

Если бы в газе была только одна молекула ( 1)N = , то мы бы

имели

2 2

1 1

W VW V

= ,

так как в большем объеме находится больше пространственных ячеек для размещения молекулы.

В случае 1N >

2 2

1 1

NW VW V

=

,

и

2

1

Δ ln VS kNV

= .

Число молекул N равно произведению числа Авогадро на коли-чество молей газа:

AMN Nµ

= .

Поэтому

2 2

1 1

Δ ln lnAV VM M RT A QS kNV T V T Tµ µ

= = = = .

Изотермический процесс является идеализированным примером

обратимых процессов. В общем случае последнее выражение следует записать в виде

247

QdS

Tδ

≥ (19.9)

или

2

1

Δ QSTδ

≥ ∫ , (19.10)

где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак неравенства – к необратимым (реальным) процессам. Из (19.9), (19.10) вытекают два основных свойства энтропии:

1. В изолированной системе ( )= constQ энтропия постоян-на в случае обратимых процессов и возрастает при необра-тимых процессах (принцип возрастания энтропии).

2. При температуре, стремящейся к абсолютному нулю, эн-тропия любой системы стремится к нулю.

Последнее утверждение получается из следующих соображений:

( ) ( ) ( )0

0T QS T S T S

Tδ

= − = ∫ ; 0

lim 0T

S→

= .

248

Лекция 20 6.2. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа § 1. Внутренняя энергия идеального газа

Молекулы различных газов отличаются химическим составом, размером, количеством и взаимным расположением входящих в них атомов, а также силой их взаимодействия между собой. Учесть все эти различия в одном простом уравнении, описывающем энергетиче-ские характеристики газа, чрезвычайно сложно, поэтому задачу уп-рощают, вводя различные идеализированные модели газа. Наиболее простой из таких моделей является модель идеального газа.

Под идеальным газом понимается газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малые размеры и не взаимодейству-ют друг с другом на расстоянии, а участвуют лишь в упру-гих столкновениях.

При достаточном разрежении и температурах, далеких от тем-пературы конденсации, любой реальный газ близок по своим свойст-вам к идеальному газу. Некоторые газы: азот, кислород, водород, ге-лий даже при обычных температурах и атмосферном давлении мало отличаются от идеального газа. Из этих газов состоит воздух, поэтому при решении практических задач его также часто рассматривают как идеальный газ.

Рассмотрим вначале одноатомный идеальный газ. Средняя энер-гия его молекул, которые могут совершать лишь поступательное дви-жение,

249

22

1 1

1 1 3 32 2 2 2

N Ni

ii i

mv m m kTv kTN N m

ε= =

= = = =∑ ∑ .

Здесь мы использовали выражение для средней квадратичной скоро-сти молекул из лекции 19.

Введем теперь понятие числа степеней свободы молекулы.

Под числом степеней свободы молекулы понимают число независимых обобщенных координат, которое необходимо задать для описания ее положения и ориентации в про-странстве.

Л. Больцман сформулировал положение, получившее название

принципа Больцмана, согласно которому все степени свободы теп-лового движения равноценны. Так как одноатомная молекула может совершать свое поступательное движение лишь по трем независимым направлениям, т. е. имеет три степени свободы поступательного дви-жения ( )пост 3n = , то из последнего выражения следует, что на одну

степень свободы приходится энергия, равная / 2kT . Общее число степеней свободы молекулы, состоящей из не-

скольких атомов (рис. 20.1), складывается из степеней свободы ее по-ступательного, вращательного и колебательного движений:

пост вр кол2i n n n= + + .

Число степеней свободы колебательного движения удваивается,

потому что оно характеризуется двумя видами энергии: кинетической и потенциальной.

250

Из рис. 20.1 ясно, что двухатомные молекулы могут иметь три

поступательные, две вращательные (вращение вокруг третьей коор-динатной оси ничего нового не вносит) и одну колебательную степень свободы.

Таким образом, максимальное число степеней свободы двух-атомной молекулы, согласно вышеприведенной формуле, равно семи. Трех- и более атомные молекулы могут иметь три поступательные, три вращательные (если атомы не расположены на одной прямой) и несколько колебательных степеней свободы, число которых зависит от количества атомов в молекуле, их взаимного расположения и воз-можных типов колебаний.

Обратите внимание: число степеней свободы молекул газа зависит от его температуры. При низких температурах молекулы газа могут совер-шать лишь поступательное движение. С увеличением температуры газа молекулы постепенно вовлекаются во вращательное движение. При дальнейшем увеличении температуры в молекулах, также постепенно, начинают проявляться колебательные движения. Однако до температур порядка 1000 К молекулы большинства газов еще можно считать жест-кими. Тогда для двухатомных газов 5i = , а для трех- и более атомных

6i = .

Рис. 20.1. Возможные степени свободы молекул

251

Вернемся к средней энергии молекул. Из вышеприведенных рассуждений ясно, что в общем случае средняя энергия одной моле-кулы определяется выражением

2i kTε⟨ ⟩ = . (20.1)

Внутренняя энергия идеального газа складывается из энергии всех его молекул:

2 AiU N kTNε ν= ⟨ ⟩ = ,

где AN – число молекул в одном моле (число Авогадро), а ν – число

молей газа. Поскольку AkN R= , где R – универсальная газовая по-

стоянная, то окончательно выражение для внутренней энергии иде-ального газа можно представить в виде

2iU RTν= . (20.2)

В случае, если идеальный газ состоит из смеси m различных компонентов,

1

12

m

k kk

U RT i ν=

= ∑ ,

где ki и kν соответственно число степеней свободы и число молей

k-го компонента. § 2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Пусть имеется сосуд сферической формы, в котором находится N молекул идеального газа (рис. 20.2). Пусть одна из них, i-я, упруго ударяется в точке А о стенку сосуда под углом α к нормали.

252

Поскольку тангенциальная составляющая скорости молекулы при этом не изменя-ется, а нормальная составляющая изменя-ет свой знак на противоположный, то из-менение импульса молекулы при одно-кратном столкновении со стенкой сосуда

Δ cos ( cos )i i ip mv mvα α= − − =

2 cosimv α= .

Расстояние, проходимое молекулой до следующего столкнове-

ния со стенкой сосуда, 2 cosAB R α= ,

где R – радиус сосуда. Конечно, между двумя столкновениями со стенкой сосуда наша i-я молекула могла неоднократно столкнуться с другими молекулами и изменить траекторию своего движения, но мы всегда можем считать, что в точке В оказалась именно она, так как молекулы не различимы между собой.

Число столкновений молекулы со стенкой сосуда в единицу времени

2 cosiv

Rν

α= .

Сила, с которой i-я молекула действует на стенку сосуда, со-

гласно второму закону Ньютона, равна изменению ее импульса в еди-ницу времени:

2

Δ ii i

mvF pR

ν= = ,

а сила, действующая со стороны всех молекул,

А

ВО

αα

i

vi

Рис. 20.2. К выводу основно-го уравнения молекулярно-

кинетической теории

253

2

1

1 N

ii

F mvR =

= ∑ .

Чтобы найти давление газа, нужно эту силу поделить на пло-

щадь внутренней поверхности сосуда:

( )( )

2 2 21 1

2 31

1 31 1 2 24 4 3 3 2 3

N NN

i ii i iк

i

mv mv mvF Np ES R R R V Vπ π

= =

=

= = = = =∑ ∑ ∑ .

Так как /N V n= – число молекул в единице объема (концен-

трация молекул), то последнее выражение можно переписать в виде

23 кp n E= . (20.3)

Формула (20.3) описывает основное уравнение молекулярно-

кинетической теории идеального газа, согласно которому

Давление идеального газа равно двум третьим от средней кинетической энергии поступательного движения всех мо-лекул этого газа, находящихся в единице его объема.

Поскольку в соответствии (20.1) 3 / 2( )кE kT= , то (20.3) можно

записать в более простом виде:

p nkT= . (20.4)

Из выражения (20.4) следует, что

ApV nVkT NkT N kT RTν ν= = = = ,

254

что нам известно как уравнение Клапейрона – Менделеева:

pV RTν= . (20.5)

§ 3. Кинетическая теория явлений переноса в газах

К явлениям переноса относят большую группу процессов, в ко-торых на молекулярном уровне происходит перенос в пространстве через вещество каких-либо макровеличин. Мы остановимся здесь лишь на одномерных процессах, при которых указанный перенос происходит в одном направлении, например, в направлении x (рис. 20.3).

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ x

1

1

1

1 1

1

< >λ-

< >λ

+

<

<

λ

λ >

> dψ

dψ

/

/

dx

dx

Рис. 20.3. К выводу обобщенного уравнения явлений переноса

255

Пусть 1Ψ – физическая величина (масса, импульс, энергия и

т. п.), переносимая каждой отдельной молекулой за счет столкнове-ний с другими молекулами. Перенос этой величины Ψ всеми сталки-вающимися молекулами за время dt через площадку площади S , перпендикулярную x , в направлении убывания 1Ψ и возрастания x

( )1Ψ / 0d dx <

11

1 ΨΨ Ψ6

dd nS v dtdx

λ↑ = ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩

,

а в направлении возрастания 1Ψ и убывания x

11

1 ΨΨ Ψ6

dd nS v dtdx

λ↓ = ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩

.

Здесь n – концентрация молекул, а v⟨ ⟩ – их средняя арифметическая скорость. Кроме того, сделано предположение, что в однонаправлен-ном процессе вдоль одной из трех независимых координат участвует лишь 1/6 часть всех молекул из объема nS v dt⟨ ⟩ (поровну в положи-тельном и отрицательном направлениях оси).

Результирующий перенос величины Ψ составляет

11 ΨΨ Ψ Ψ3

dd d d v n Sdtdx

λ↑ ↓= − = − ⟨ ⟩⟨ ⟩ .

Обобщенное уравнение явлений переноса можно представить в

виде

1ΨΨ dd a Sdtdx

= − , (20.6)

где

256

13

a v nλ= ⟨ ⟩⟨ ⟩ (20.7)

− коэффициент переноса. Знак «минус» в уравнении (20.6) выражает тот факт, что перенос происходит в направлении, противоположном градиенту величины 1Ψ

Диффузия. В этом случае переносимой величиной является масса: Ψ M= , причем каждая молекула переносит массу, равную массе самой молекулы: 1Ψ /m nρ= = , где ρ – плотность газа. Тогда

уравнение (20.6) принимает вид

ddM D Sdtdxρ

= − , (20.8)

где

13

D v λ= ⟨ ⟩⟨ ⟩ (20.9)

обозначает коэффициент диффузии. Выражение (20.8) известно как закон Фика, так как в форме

ΔΔ ΔΔ

M D S txρ

= − ,

т. е. для конечных приращений параметров, оно было эксперимен-тально установлено немецким ученым А. Фиком еще в 1855 г. Здесь мы его вывели из чисто кинетических представлений.

Обратите внимание: уравнение диффузии (20.8) описывает так назы-ваемую самодиффузию – явление переноса частиц какой-либо среды (молекул, атомов, электронов и т. п.), стремящегося выровнять имею-щуюся в среде неоднородность их концентрации. Кроме этого простей-шего случая диффузии могут наблюдаться и более сложные виды пере-носа массы: взаимная диффузия в системе из частиц разного сорта, тер-модиффузия (при наличии градиента температуры), электродиффузия (при наличии электрического поля) и др.

257

Вязкость. Переносимой величиной является импульс: Ψ P= , причем каждая молекула переносит импульс 1Ψ p mv= = , где v –

скорость течения газа. Уравнение (20.6) в данном случае принимает вид

1 13 3

dv dvdP nm v Sdt v Sdtdx dx

λ ρ λ= − ⟨ ⟩⟨ ⟩ = − ⟨ ⟩⟨ ⟩

или

dvdP Sdtdx

η= − , (20.10)

где коэффициент вязкости

Dη ρ= . (20.11)

Выражение (20.10) фактически представляет собой закон Нью-тона для внутреннего (вязкого) трения в газах и жидкостях, опубли-кованный им еще в 1687 г. в знаменитых «Математических началах натуральной философии». Действительно, /dP dt , согласно второму закону Ньютона, соответствует силе вязкого трения, возникающего между двумя параллельными слоями жидкости (газа) площади S при наличии градиента скорости /dv dx . Мы вывели этот закон из кине-тических представлений.

Теплопроводность. Это перенос тепла: Ψ Q= , причем каждая молекула переносит количество теплоты, равное средней энергии мо-лекул газа, т. е. 1Ψ ( / 2)i kT= , где i – число степеней свободы молеку-лы, а k – постоянная Больцмана. Тогда (20.6) сводится к виду

13 2

i dTdQ n k v Sdtdx

λ= − ⟨ ⟩⟨ ⟩ .

258

Поскольку /n N V= , а общее число молекул N в объеме V газа может быть выражено через число молей ν и число Авогадро AN :

/An N Vν= , то

,2 2 2 2

AV

kNi i i R M i Rn k cV V

ν ρ ρµ µ

= = = =

где R – универсальная газовая постоянная, µ – молярная масса газа,

M – его фактическая масса, ρ – плотность, Vc – удельная теплоем-

кость газа при постоянном объеме. С учетом сделанных выкладок уравнение теплопроводности принимает вид

dTdQ Sdtdx

κ= − , (20.12)

где коэффициент теплопроводности

VD cκ ρ= . (20.13)

Уравнение (20.12) было получено французским математиком и

физиком Ж. Б. Фурье в его работе «Аналитическая теория тепла», опубликованной в 1822 г., и называется законом Фурье для тепло-проводности. Мы его получили из кинетических представлений как частный случай явлений переноса.

Электропроводность. В данном явлении переносится электри-ческий заряд: Ψ q= , причем каждая частица переносит от столкнове-

ния к столкновению лишь долю заряда, участвующего в дрейфе под действием электрического поля, т. е.

2

1/ 2Ψ ,

2e

T

W e ee eW kT kT

ϕ ϕ= = =

259

где e – элементарный заряд, eW – энергия заряда, приобретаемая им

при движении в электрическом поле с текущим значением потенциа-ла ϕ , TW kT= – энергия хаотического теплового движения заряда.

Подставляя полученное выражение в (20.6), получаем

213 2

e ddq n v SdtkT dx

ϕλ= − ⟨ ⟩⟨ ⟩ .

Так как каждый заряд обладает тремя степенями свободы, то его

средняя энергия 23

2 2mkT v

=⟨ ⟩ .

Следовательно,

2 213 2 2

e nen vkT m v

λλ σ< >⟨ ⟩⟨ ⟩ = =

< >,

где σ – известная из классической теории электропроводности ме-таллов (см. § 3 лекции 6) удельная электропроводность среды. Спра-ведливости ради, следует отметить, что мы здесь допустили некото-

рую неточность, приравняв 2 3 /v kT m⟨ ⟩ = и 2 8 / ( )v kT mπ⟨ ⟩ = . В дан-

ном случае это не является грубой ошибкой, так как сама величина σ , полученная из классической теории электропроводности, не дает точ-ного значения удельной электропроводности.

Таким образом, уравнение электропроводности можно записать в следующем виде:

ddq Sdtdxϕσ= − , (20.14)

260

где коэффициент электропроводности

2

2ne

m vλσ ⟨ ⟩

=⟨ ⟩

. (20.15)

Уравнение (20.14) – это не что иное, как известный нам закон

Ома в дифференциальной форме (см. § 6 лекции 4). Действительно, /dq dt I= – сила тока, /I S j= – плотность тока, /d dx Eϕ− = – на-

пряженность электрического поля. Следовательно, (20.14) эквива-лентно выражению

j Eσ= .

Завершая данный параграф, заметим, что величина, переносимая

через некоторую площадку в единицу времени, называется потоком этой величины, а поток, приходящийся на единицу площади, называ-ется плотностью потока. Таким образом, ( )Ψ Ψ /j d Sdt= – это плот-

ность потока переносимой величины Ψ . Тогда из обобщенного урав-нения явлений переноса (20.6) следует, что плотность потока дина-мического параметра системы (массы, импульса, теплоты, заряда и т. п.) пропорциональна взятому со знаком «минус» градиенту некоторого обобщенного потенциала этой системы (плотности, скорости, температуры, электрического потенциала и т.п.):

ΨΦdj

dxλ= − ,

где λ – некоторый коэффициент пропорциональности (кинетический коэффициент). Это так называемый принцип линейности, сформу-лированный в 1931 г. американским химиком и физиком норвежского происхождения Л. Онсагером.

261

Лекция 21 6.3. Начала термодинамики § 1. Первое начало термодинамики

Термодинамика – это раздел физики, изучающий связи и взаимопревращения различных видов энергии, теплоты и работы в макроскопических системах.

Термодинамика основывается на установленных опытным пу-тем законах, называемых началами термодинамики.

Первое начало термодинамики представляет собой обобщение закона сохранения энергии, первоначально сформулированного для механических систем, на тепловые процессы:

Количество теплоты, сообщенное системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и работу, совершаемую системой против внешних сил.

В дифференциальной форме первое начало термодинамики можно записать следующим образом:

,Q dU Aδ δ= + (21.1)

где Qδ – количество теплоты, сообщенное системе, dU – изменение внутренней энергии, Aδ – работа, совершаемая системой. Здесь нами учтено, что внутренняя энергия является функцией состояния систе-мы. Поэтому ее бесконечно малое изменение описывается полным дифференциалом ( d ). Количество теплоты и совершаемая работа за-висят от вида термодинамического процесса, т. е. являются функция-

262

ми процесса. Поэтому и бесконечно малое количество сообщаемой теплоты, и бесконечно малая величина совершаемой при этом работы обозначаются как неполные дифференциалы или функционалы (δ ).

Обратите внимание: количество теплоты нельзя рассматривать как ко-личество какой-то энергии, содержащейся в системе. Это динамическое понятие, которое проявляется лишь в процессе. Говорить о количестве содержащегося в теле тепла столь же бессмысленно, как и говорить о со-держании в нем работы.

О возможности превращения теплоты в работу впервые заявил немецкий врач Ю. Р. Майер в 1841 г. В 1843 г. английский физик Дж. Джоуль экспериментально доказал, что теплоту можно получить за счет механической работы, и вычислил механический эквивалент теплоты. Наконец, в 1847 г. немецкий естествоиспытатель Г. Гельм-гольц сформулировал и математически обосновал закон сохранения энергии и отметил его всеобщий характер, показав, что ему подчиня-ются не только механические, но и тепловые, электрические, физио-логические и другие процессы.

Функционал количества теплоты Qδ в (21.1) можно связать с изменением температуры, введя понятие теплоемкости системы:

Теплоемкостью термодинамической системы называется физическая величина, равная отношению количества теп-лоты, сообщенного системе, к вызванному этой теплотой изменению ее температуры:

.QCdTδ

=

Различают удельную теплоемкость или теплоемкость, прихо-дящуюся на единицу массы вещества:

1 Qcm dTδ

=

и молярную теплоемкость или теплоемкость, приходящуюся на один моль вещества:

1 .QCdTµδ

ν=

263

Используя последнюю формулу, можем написать, что Q C dTµδ ν= , откуда

2

1

.T

T

Q C dTµν= ∫ (21.2)

Дифференциал работы в (21.1) можно представить в виде ( )A Fdl pSdl pd Sl pdVδ = = = = , откуда

2

1

.V

V

A pdV= ∫ (21.3)

Изохорический процесс. При изохорическом процессе ( constV = ), как следует из (21.3), работа не совершается: 0A = .

Изобарический процесс. В условиях изобарического процесса ( constp = ) (21.3) приводит к следующему выражению для совершае-

мой работы: 2 1( )A p V V= − .

Изотермический процесс. При изотермическом процессе ( constT = ), подставляя в (21.3) pdV , выраженное из уравнения Кла-

пейрона – Менделеева, получаем

2

1

2

1

ln .V

V

VdVA RT RTV V

ν ν= =∫

Дифференциал внутренней энергии в (21.1), согласно формуле (20.2) из прошлой лекции, ( / 2)dU i RdTν= , откуда

.2iU R Tν∆ = ∆ (21.4)

Используя (21.2)–(21.4), первое начало термодинамики можно записать в интегральной форме:

.Q U A= ∆ + (21.5)

264

§ 2. Классическая теория теплоемкостей Перепишем первое начало термодинамики (21.1) в виде

.2iC dT RdT pdVµν ν= + (21.6)

Первое слагаемое в правой части (21.6) соответствует измене-нию внутренней энергии идеального газа, поэтому все выводы, сде-ланные на основе этого выражения, также будут относиться к идеаль-ному газу.

Изохорический процесс. При constV = из (21.6) следует, что молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме

.2ViC Rµ = (21.7)

Изобарический процесс. При constp = из уравнения Клапей-

рона – Менделеева следует, что pdV RdTν= , и (21.6) приводится к

виду

,2piC R Rµ = + (21.8)

откуда молярная теплоемкость идеального газа при постоянном дав-лении

2 .2p

iC Rµ+

= (21.9)

Из (21.8) также следует формула Майера, связывающая моляр-ные теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и при по-стоянном давлении:

.p VC C Rµ µ= + (21.10)

265

Поделив (21.9) на (21.7), найдем так называемый показатель адиабаты, входящий в уравнение адиабатического процесса (см. ниже):

2 .p

V

C iC i

µ

µ

γ += = (21.11)

Изотермический процесс. В соответствии с определением мо-лярной теплоемкости, при constT =

.TCµ = ±∞ (21.12)

Адиабатический процесс. В отсутствие теплообмена с окру-жающей средой 0Qδ = , как следует из того же определения,

0.SCµ = (21.13)

Молярную теплоемкость для адиабатического процесса мы обо-значили как теплоемкость при постоянной энтропии, так как в этом процессе /dS Q Tδ= (см. § 4 лекции 19).

Теплоемкость твердых тел. В сравнении с газами твердые тела обладают очень малой сжимаемостью, поэтому работой расширения можно пренебречь, положив в (21.6) 0pdV = . Каждый атом в кри-

сталлической решетке твердого тела обладает кол2 3 3 6i n= = ⋅ = сте-

пенями свободы. Тогда из (21.6) следует, что молярная теплоемкость твердого тела вычисляется по формуле

3 .С Rµ = (21.14)

Это так называемый закон Дюлонга и Пти, открытый экспери-ментально французскими учеными П. Л. Дюлонгом и А. Пти в 1819 г. и хорошо описывающий теплоемкости твердых тел при достаточно высоких температурах. Ввиду зависимости числа степеней свободы от температуры (см. § 1 лекции 20) формула (21.17) приводит к не-

266

верным (завышенным) значениям теплоемкости твердых тел в облас-ти низких температур. Строгая теория теплоемкости твердых тел мо-жет быть построена лишь на основе квантовых представлений о коле-баниях кристаллической решетки. § 3. Теорема Карно

Любой тепловой двигатель, работающий по повторяющемуся циклу, состоит из трех основных элементов: нагревателя, рабочего тела и холодильника (рис. 21.1а).

Нагреватель

Холодильник

РТ

1

2

3

4

p

V

Q

Q

Q

Q

T

T

T1

1

1

2

2

<

б

A = Q - Q1 2

2

1

1<Q

а

В каждом цикле рабочее тело (например, пары какого-нибудь топлива) получает от нагревателя количество теплоты 1Q и отдает хо-

лодильнику количество теплоты 2 1Q Q< . За счет разности этих коли-

честв теплоты совершается работа. Коэффициент полезного действия (КПД) любой тепловой машины, таким образом, определяется сле-дующим выражением:

Рис. 21.1. Схема работы тепловой машины (а) и цикл Карно (б) для идеальной тепловой машины

267

1 2

1

.Q QQ

η −= (21.15)

Возникает вопрос: каков предельно достижимый КПД произ-

вольной тепловой машины? Ответ на этот вопрос был дан в 1824 г. французским инженером Н. Карно. Карно показал, что КПД идеаль-ной тепловой машины, т. е. теплового двигателя, в котором отсутст-вуют потери на трение, излучение и другие процессы, связанные с не-обратимостью превращения энергии, независимо от природы рабоче-го тела, определяется исключительно температурой нагревателя (Т1) и температурой холодильника (Т2).

В качестве идеального рабочего цикла Карно предложил цикл (рис. 21.1б), состоящий из двух изотерм (1–1, 3–4) и двух адиабат (2–3, 4–1). Изотермический процесс является обратимым, так как должен быть бесконечно медленным процессом, чтобы в системе не успевали возникать градиенты температуры. Адиабатический процесс обратим, наоборот, в силу требования своей бесконечной быстроты, чтобы в системе не успевал произойти теплообмен.

Количество теплоты, переданной от нагревателя рабочему телу на участке его изотермического расширения

21 12 1

1

ln .VQ A RTV

ν= =

В свою очередь, количество теплоты, отданное рабочим телом

холодильнику на участке изотермического сжатия

42 34 2

3

ln .VQ A RTV

ν= =

268

Уравнения адиабат для участков расширения и сжатия рабочего тела, соответственно, имеют вид

1 11 2 2 3 ,TV T Vγ γ− −=

1 1

2 4 1 1 .T V TVγ γ− −=

Из четырех последних уравнений несложно получить формулу для КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно:

1 2 1 2

1 1

.Q Q T TQ T

η − −= = (21.16)

Математически теорему Карно можно записать в виде

1 2 1 2

1 1

.Q Q T TQ T− −

≤ (21.17)

где знак равенства соответствует обратимым циклам, а знак неравен-ства – необратимым циклам. § 4. Второе начало термодинамики

Если первое начало термодинамики представляет собой распро-странение закона сохранения энергии на тепловые процессы (см. §1 настоящей лекции), то второе начало термодинамики устанавливает направление протекания тепловых явлений. Исторически было дано несколько качественных формулировок этого начала. Р. Клаузиус дал следующую формулировку: «Теплота не может самостоятельно пере-ходить от менее нагретого тела к более нагретому телу». М. Планк связал второе начало термодинамики с принципиальными особенно-

269

стями протекания циклических процессов: «Невозможен такой пе-риодический процесс, единственным результатом которого было бы превращение теплоты в работу». Теорема Карно позволяет придать этим формулировкам количественный характер.

Запишем неравенство (21.20) в виде

1 2

1 2

.Q QT T

≤

Поскольку 2Q – теплота, которая отнимается от рабочего тела,

то, с учетом знака этой величины, последнее выражение можно запи-сать следующим образом:

1 2

1 2

0Q QT T

+ ≤

или

10.

Ni

i i

QT=

≤∑

При непрерывном изменении состояния рабочего тела по произ-

вольному циклу сумма перейдет в интеграл по замкнутому контуру:

0.QTδ

≤∫ (21.18)

Выражение (21.18) называется неравенством Клаузиуса.

Клаузиус назвал отношение количества сообщенного телу теплоты к температуре приведенной теплотой. Из (21.21) вытекает, что можно ввести некоторую функцию состояния термодинамической системы, изменение которой связно с изменением полученной системой приве-денной теплоты следующим образом:

270

.QdSTδ

≥ (21.19)

Клаузиус назвал эту функцию энтропией (от греч. εντροπια –

поворот, разворот), поскольку она характеризует степень обратимо-сти термодинамических процессов.

Неравенство Клаузиуса в дифференциальной форме (21.19) бы-ло получено нами в лекции 19 из статистических представлений и больцмановского определения энтропии. Там же были сформулиро-ваны основные свойства энтропии, в том числе принцип возрастания энтропии в изолированной системе. Из него и вытекает второе нача-ло термодинамики, которое мы теперь, следуя Больцману, можем сформулировать таким образом:

В изолированной системе все тепловые явления наиболее вероятно протекают в направлении, приводящем к возрас-танию энтропии.

Таким образом, все предшествующие формулировки второго

начала термодинамики теперь получили статистическое обоснование. Самопроизвольный переход тепла от менее нагретого тела к более на-гретому, полное превращение теплоты в работу и уменьшение энтро-пии при необратимых процессах в изолированной системе – все эти явления нарушают тенденцию движения системы в сторону термоди-намического равновесия. Однако для малых количеств передаваемой теплоты и для систем из небольшого количества частиц эти процессы не абсолютно запрещены, а всего лишь маловероятны. В больших системах они могут наблюдаться в виде флуктуаций – случайных от-клонений от средних значений наблюдаемых величин.

271

§ 5. Третье начало термодинамики

Одним из свойств энтропии, вытекающих из неравенства Клау-зиуса (см. § 4 лекции 19), является равенство энтропии любой систе-мы нулю при температуре, равной абсолютному нулю:

0lim 0.T

S→

= (21.20)

Это утверждение называется теоремой Нернста в честь немец-

кого физико-химика В. Нернста, высказавшего его в 1906 г. Часто теорему Нернста называют третьим законом термодинамики:

При температуре, стремящейся к абсолютному нулю, эн-тропия любой термодинамической системы стремится к нулю.

272

Лекция 22 6.4. Фазовые состояния, переходы и равновесия § 1. Основные понятия

Под фазой в термодинамике понимается однородная (гомо-генная) по химическому составу и физическим свойствам часть термодинамической системы, отделенная от других ее частей (фаз), имеющих иные свойства, границами разде-ла, на которых происходит изменение свойств.

Примерами различных термодинамических фаз одного и того же химического вещества – воды – являются жидкая вода, лед и водяной пар. Они могут встречаться вместе. Например, весной поверхность водоема еще покрыта льдом, но он тает под лучами солнца, и в возду-хе появляются пары воды. Однако было бы ошибкой отождествлять агрегатные состояния вещества (твердое, жидкое и газообразное) с его термодинамическими фазами. Понятие фазы гораздо шире, чем агрегатное состояние, и различных фаз у вещества может быть гораз-до больше трех. Так, в твердом состоянии вещество может образовы-вать несколько различных по симметрии и физическим свойствам кристаллических модификаций. Это явление называется аллотропией или полиморфизмом. Хорошо известны различные полиморфные мо-дификации углерода: алмаз, графит, карбин – нитевидные кристаллы, состоящие из параллельно ориентированных цепочек углеродных атомов. К ним следует добавить различные наноаллотропы углерода: фуллерены, нанотрубки, наноленты, графен и т. п. низкоразмерные кристаллические структуры. Жидкое состояние вещества также мо-жет быть представлено различными фазами. Например, существуют

273

жидкий гелий-I (обычная жидкость) и жидкий гелий-II (сверхтекучая жидкость).

Фазы подразделяют на однокомпонентные и многокомпонент-ные (смеси, сплавы и т. д.). В состоянии термодинамического равно-весия потоки частиц между различными фазами также уравновешены, вследствие чего массы контактирующих фаз остаются неизменными. Говорят, что в этом случае имеет место фазовое равновесие. В усло-виях фазового равновесия, при отсутствии химических реакций в фа-зах, выполняется правило фаз:

( )Ф 2 ,к i= + − (22.1)

где Ф – число равновесных фаз в термодинамической системе, к – число компонентов в этой системе, i – число степеней свободы системы.

Под числом степеней свободы системы в данном случае пони-мается число ее параметров состояния, которые могут изменяться, будучи связанными друг с другом каким-либо соотношением. Так, например, в однокомпонентной системе ( )1к = равновесие дух фаз

( )Ф 2= характеризуется только

одной степенью свободы ( )1i = .

Это означает, что при заданном объеме ( )constV = изменение

температуры ведет к измене-нию только одного из трех тер-модинамических параметров – давления (см. рис. 22.1). В слу-чае же равновесия трех фаз, со-гласно (22.1), число степеней

p

T

Т

К

Тв

Ж

Г

0Рис. 22.1. Диаграмма фазовых состоя-ний и равновесий простого вещества

( pT -диаграмма)

274

свободы системы равно нулю. Отсюда следует, что на pT -диаграмме

равновесие между объемом, давлением и температурой возможно только в одной точке. Ее называют тройной точкой. Линия равнове-сия жидкость – пар (газообразное состояние) заканчивается в крити-ческой точке К, где теряется различие между жидкостью и ее паром.

Перейдем теперь к фазовым переходам. Прежде всего, отметим, что они бывают двух видов.

Фазовыми переходами первого рода называются такие фа-зовые превращения, при которых происходит выделение или поглощение некоторого количества теплоты.

Примерами таких переходов, в частности, являются переходы из одного агрегатного состояния вещества в другое: плавление кри-

сталлизация, испарение конденсация, возгонка или сублимация

(переход вещества из твердого состояния в газообразное, минуя жид-кую фазу) десублимация. При этом теплота поглощается, если при

фазовом переходе происходит разрыв связей между молекулами и увеличение степени хаотичности их движения. Напротив, при образо-вании дополнительных связей между молекулами теплота выделяется.

Фазовыми переходами второго рода называются такие фа-зовые превращения, при которых теплота не выделяется и не поглощается, но имеет место скачкообразное изменение некоторых физических констант вещества (теплоемкости, вязкости, электропроводности, диэлектрической или маг-нитной проницаемости и т. п.).

Примерами фазовых переходов второго рода являются ферро-

магнетик парамагнетик, сегнетоэлектрик диэлектрик, переходы

в сверхпроводящее и сверхтекучее состояния и обратно.

275

§ 2. Уравнение Клапейрона – Клаузиуса

Данное уравнение имеет отношение к фазовым переходам пер-вого рода в однокомпонентной термодинамической системе в услови-ях двухфазного равновесия. Рассмотрим его вывод на примере фазо-вого перехода жидкость насыщенный пар.

p

VmVmV1

1

2

2

34

Т

T - dT

dp

Пусть рабочим телом будет система жидкость – насыщенный

пар. Осуществим над ней цикл Карно (рис. 22.2). Учтем, что на изо-терме в этой двухфазной системе давление будет постоянным. Пусть удельная теплота фазового перехода равна λ . Переведем при темпе-ратуре Т массу m вещества из жидкой фазы в паровую (процесс 1 2). Затем переведем систему адиабатически в бесконечно близкое

состояние (процесс 2 3). Теплота испарения в этом процессе берет-

ся от самой жидкости, в результате чего ее температура понизится на величину dT . Это автоматически приведет к понижению давления пара на величину dp . Далее завершим цикл переходами 3 4 и 4 1.

Рис. 22.2. К выводу уравнения Клапейрона - Клаузиуса

276

Работа, совершаемая в данном цикле, равна его площади. Заме-няя криволинейные участки адиабат, в силу их малости, отрезками прямых, найдем площадь цикла как площадь параллелограмма:

( )2 1 ,A m V V dp′ ′= − (22.2)

где 1V ′ и 2V ′ – соответственно удельные объемы жидкости и пара.

Согласно теореме Карно, КПД данного цикла может быть вы-числен как

.dTT

η = (22.3)

С другой стороны, используя определение КПД цикла и выра-

жение (22.2), можем записать, что

( )2 11 2

1 1

.m V V dpQ Q A

Q Q mη

λ′ ′−−

= = = (22.4)

Приравнивая правые части выражений (22.3) и (22.4), получаем

2 1

1 .dpdT T V V

λ=

′ ′− (22.5)

Это и есть уравнение Клапейрона – Клаузиуса. Оно определя-

ет угол наклона кривой фазового равновесия при фазовых переходах первого рода.

Отметим, что знак производной в уравнении (22.5), т. е. харак-тер наклона, определяется знаком теплоты перехода и знаком разно-сти соответствующих удельных объемов. Например, для воды линия плавления имеет отрицательный наклон, так как плотность льда меньше плотности воды и, следовательно, 2 1 0.V V′ ′− <

277

§ 3. Уравнение Ван-дер-Ваальса

Нидерландский физик И. Д. Ван-дер-Ваальс в 1873 г. ввел в уравнение Клапейрона – Менделеева поправки, позволившие исполь-зовать это уравнение для описания состояния реальных газов. Эти по-правки учитывают объем самих молекул газа и силы взаимодействия между ними.

Вспомним, что уравнение Клапейрона – Менделеева имеет сле-дующий вид:

.pV RTν= (22.6)

Для того, чтобы в (22.6) учесть «собственный» объем, занимае-

мый сами молекулами, нужно вначале ввести понятие эффективного диаметра молекулы.

Под эффективным диаметром молекулы реального газа понимается кратчайшее расстояние, на которое могут сблизиться две молекулы при своем взаимодействии, рас-сматриваемом как столкновение.

Из рис. 22.3 ясно, что эффективный диаметр молекулы вдвое превышает радиус действия сил межмолекулярного отталкивания, обуслов-ленных взаимной поляризацией молекул при их сближении друг с другом: эфф 2d r= . Тогда

«собственный» объем, занимаемый одной мо-лекулой,

3эфф

1 .6iV dπ=

dэфф

Рис. 22.3. Объем парного столкновения молекул

278

При столкновении двух молекул недоступным для других моле-

кул является объем

32 эфф

4 ,3

V dπ=

из которого на одну молекулу приходится лишь половина этой вели-чины: 1 2 / 2V V= . На все молекулы в одном моле газа недоступный

объем составляет, таким образом, величину

31 эфф

4 4 .6A A i Ab N V d N V Nπ= = = (22.7)

Величина b называется постоянной Ван-дер-Ваальса, опреде-

ляющей поправку к объему одного моля газа в уравнении Клапейрона – Менделеева. Для каждого реального газа она своя.

Кроме сил отталкивания, действующих на близких расстояниях, между молекулами реального газа, находящимися на расстояниях, не-сколько превышающих их эффективный диаметр, действуют силы притяжения. Это приводит к увеличению давления газа и необходи-мости введения соответствующей поправки в (22.6).

Дополнительное давление пропорционально квадрату концен-трации молекул, так как оно обусловлено силами притяжения каждой из молекул, находящихся в единице объема газа, всех остальных мо-лекул из того же объема, и поэтому должно умножаться на число этих молекул. В случае одного моля реального газа, это дополнительное давление

2 ,apV

′ = (22.8)

279

где a – постоянная Ван-дер-Ваальса, определяющая поправку на до-полнительное давление к одному молю газа в уравнении Клапейрона – Менделеева (для каждого реального газа своя).

С учетом поправок a и b уравнение (22.6) принимает вид

( )22 ,ap V b RT

Vν ν ν + − =

(22.9)

где ν – число молей газа. Уравнение (22.9) называется уравнением Ван-дер-Ваальса, а газ, который оно описывает, принято называть ван-дер-ваальсовым газом.

Ограничимся, для простоты, в дальнейшем рассмотрением од-ного моля ван-дер-ваальсова газа ( 1ν = ) и перепишем уравнение (22.9) в виде

3 2 0.RT a abV b V Vp p p

− + + − =

(22.10)

Это кубическое относительно V уравнение, имеющее в общем случае три корня. Их легко увидеть на семействе изотерм ван-дер-ваальсова газа (рис. 22. 4), когда одному и тому же давлению соот-ветствуют три различных значения объема (точки В, D и F).

p

V

А

B

CD

EF

K

П

Ж Ж - П

Г

G

Рис. 22.4. Изотермы Ван-дер-Ваальса

280

Изотермы Ван-дер-Ваальса разделяются на три вида. Одна из них проходит через критическую точку К и называется критической изотермой.

При температурах выше критической вещество находится в га-зообразном состоянии, а изотермы тем больше похожи на изотермы идеального газа, чем выше температура.

При температурах ниже критической изотермы описывают не только газообразное, но и жидкое состояние, в котором может ока-заться реальный газ. Область ниже критической точки, ограниченная колоколообразной пунктирной линией, соответствует двухфазным со-стояниям жидкость – пар. Газообразное состояние вещества при тем-пературе ниже критической соответствует его ненасыщенному пару.

В области двухфазных состояний участки изотермы ВС и EF описывают неустойчивые короткоживущие (метастабильные) состоя-ния: ВС – перегретая жидкость, а EF – переохлажденный пар. Реаль-ная изотерма испытывает скачки из этих состояний на пунктирную линию ВDF фазового равновесия жидкость – пар. Вертикальная пунк-тирная линия в области малых значений объема отсекает область, не-доступную молекулам газа вследствие наличия у них собственного объема.

Таким образом, введение поправок Ван-дер-Ваальса в уравнение Клапейрона – Менделеева позволило не только учесть конечные раз-меры молекул и их взаимодействие на расстоянии друг от друга, но и привело к гораздо более важному результату. Уравнение Ван-дер-Ваальса наряду с газообразным состоянием описывает также и со-стояние жидкости, и состояние ненасыщенного пара, и состояние жидкость – насыщенный пар, в которых может оказаться реальный газ при определенных условиях.

281

Обратите внимание: ван-дер-ваальсов газ и реальный газ – это не одно и то же. Ван-дер-ваальсов газ является всего лишь одним из простых мо-дельных представлений реального газа, более или менее хорошо описы-вающим его состояние как функцию термодинамических параметров. Существуют и другие, более сложные модели реального газа и соответ-ствующие им уравнения.

§ 4. Критические параметры

Критической точке, в которой теряется различие между жидко-стью, паром и газом, соответствуют критические значения давления, объема и температуры: к к к, ,p V T . В этой точке все три корня уравне-

ния (22.10) становятся равными друг другу, и оно принимает вид

( )3к 0V V− =

или 3 2 2 3

к к к3 3 0.V V V V V V− + − = (22.11)

Приравнивая друг другу коэффициенты при одинаковых степе-

нях V и свободные члены в уравнениях (22.10) и (22.11), получаем систему из трех алгебраических уравнений:

2 3к к к3 , 3 , .k

k k k

RT a abb V V Vp p p

+ = = =

Решая эту систему, находим значения критических параметров

реального газа, выраженные через универсальную газовую постоян-ную и постоянные Ван-дер-Ваальса:

к 3 ,V b= (22.12)

282

к 2 ,27

apb

= (22.13)

к8 .

27aTRb

= (22.14)

Часто используется обратная процедура: экспериментально оп-

ределяют критические параметры газа, а по ним находят постоянные Ван-дер-Ваальса. Из (22.12)–(22.14) легко найти, что

2 к к кк к

к

83 , , .3 3

V p Va p V b RT

= = = (22.15)

Знание постоянных Ван-дер-Ваальса позволяет судить о разме-

рах и взаимодействии молекул на расстоянии, а также решать задачи на термодинамические процессы в реальных газах, применяя уравне-ние Ван-дер-Ваальса.

283

Глава 7 Элементы физики твердого тела

Лекция 23

7.1. Симметрия кристаллов. Тепловые свойства твердых тел

§ 1. Кристаллическая решетка

Твердые тела, в которых атомы или молекулы вещества распо-лагаются периодическим образом, называют кристаллами. Для анали-за строения кристаллов вводят вспомогательный геометрический об-раз, называемый кристаллической решеткой.

Кристаллической решеткой твердого тела называется гео-метрически правильная пространственная решетка, в уз-лах которой могут находиться его атомы или молекулы.

Тремя семействами параллельных плоскостей любую кристал-лическую решетку можно разбить на одинаковые параллелепипеды, трансляцией которых вдоль их ребер можно построить всю решетку. Вариантов такого разбиения существует множество, однако всегда можно выбрать тот из них, при котором возникают параллелепипеды минимального объема. Такой параллелепипед называют элементар-ной ячейкой (рис. 23.1).

Французский кристаллограф О. Браве в 1848 г. показал, что су-ществует только 14 типов элементарных ячеек, удовлетворяющих следующим правилам:

• симметрия ячейки должна соответствовать симметрии кристалла;

284

• ячейка должна иметь максимальное количество равных ре-бер и равных углов;

• при условии выполнения первых двух правил, элементар-ная ячейка должна иметь минимальный объем.

ab

c

αβ

γ

Такие элементарные ячейки называют ячейками Браве. В зави-

симости от соотношений между ребрами а, b, с ячейки и углами , , α β γ между ними, ячейки Браве можно разделить на 7 сходно-

угольных систем (сингоний):

• кубическая ( , 90 );a b c α β γ= = = = =

• тетрагональная ( , 90 );a b c α β γ= ≠ = = =

• ромбическая ( , 90 );a b c α β γ≠ ≠ = = =

• ромбоэдрическая ( , 90 );a b c α β γ= = = = ≠

• гексагональная ( , 90 , 120 );a b c α β γ= ≠ = = =

• моноклинная ( , 90 , 90 );a b c α β γ≠ ≠ = = ≠

• триклинная ( , 90 ).a b c α β γ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

Российский военный инженер, минералог и кристаллограф А. В. Гадолин в 1867 г. показал, что, в зависимости от сочетания та-ких элементов симметрии, как поворотные оси, плоскости симметрии, инверсионные оси и центр симметрии, все кристаллы можно сгруп-пировать в 32 класса точечной симметрии.

Рис. 23.1. Кристаллическая решетка твердого тела и ее элементарная ячейка

285

К упомянутым четырем элементам точечной симметрии, остав-ляющим без изменения положения в пространстве хотя бы одну точку объекта, можно добавить так называемые элементы пространственной симметрии: трансляции, плоскости скользящего отражения и винто-вые оси симметрии. Это позволило в 1890 г. выдающемуся русскому кристаллографу Е. С. Федорову открыть 230 пространственных групп симметрии кристаллов. Годом позже этот же результат был получен немецким математиком и кристаллографом А. Шенфлисом на основе математической теории групп.

Для определения направлений и расположения атомных плоско-стей в кристалле используются так называемые индексы Миллера – взаимно простые числа, связанные с отрезками, отсекаемыми вы-бранной плоскостью на трех осях кристаллографической системы ко-ординат X, Y, Z. При этом соответствующие направления указываются индексами Миллера в квадратных скобках, а перпендикулярные к этим направлениям плоскости – теми же индексами в круглых скоб-ках. На рис. 23.2 показаны некоторые направления в кристалле куби-ческой сингонии. Так, например, направление пространственной диа-гонали куба указывается как [111], а перпендикулярная к этому на-правлению плоскость как (111).

Z

XY

[100] [110]

[010]

[001] [111]

[001]

(111)

Рис. 23.2. Обозначение направлений и плоскостей в индексах Миллера

286

Выше мы дали краткое описание структуры и симметрии клас-сических кристаллов, имеющих дальний порядок в расположении атомов. В жидкостях и аморфных твердых телах упорядоченное рас-положение молекул или атомов распространяется лишь на близкие друг к другу частицы. Поэтому говорят, что эти вещества имеют ближний порядок.

Долгое время считалось, что в кристаллах могут существовать лишь поворотные оси симметрии 1, 2, 3, 4 и 6-го порядка, имеющиеся в ячейках Браве. Однако в 1982 г. израильский физик А. Шехтман от-крыл совершенно новый тип кристаллов – так называемые квазикри-сталлы, в которых, как и в обычных кристаллах, имеется дальний по-рядок, но присутствуют поворотные оси симметрии 5, 7, 8, 10, 12 и т. д. порядка, запрещенные для классических кристаллов. Такой тип кристаллизации оказался присущ некоторым быстро охлажденным металлическим сплавам, например, Al6Mn.

Представление о сим-метрии квазикристаллов можно получить на примере их двумерной модели, како-вой является мозаика Пенро-уза, изображенная на рис. 23.3. В квазикристаллической решетке отсутствует трансля-ционная симметрия. В ней нельзя выделить элементар-ную ячейку, но, тем не менее, на всем своем протяжении она сохраняет упорядоченный характер.

Рис. 23.3. Фрагмент мозаики Пенроуза

287

§ 2. Дефекты кристаллической решетки

До сих пор мы имели в виду идеальные кристаллы. В реальных кристаллах часто бывают отклонения от строгой периодичности – дефекты кристаллической решетки. Различают следующие два типа дефектов: точечные и протяженные.

К точечным дефектам относятся (рис. 23.4): • вакансии (отсутствие атома в узле кристаллической ре-

шетки; • включения (наличие «лишнего» атома в междоузлии); • замещения (замена «своего» атома в узле кристаллической

решетки на чужеродный атом примеси); • комплексы точечных дефектов, например, пара вакансия –

собственный междоузельный атом.

а б в

К протяженным дефектам относятся:

• линейные дефекты или дислокации (от лат. dislocatio – смещение) – нарушения правильности расположения кри-сталлических плоскостей вдоль некоторой линии;

• поверхностные дефекты: поверхности самого кристалла, плоскости двойникования, границы зерен и др.;

• объемные дефекты: трещины, поры и т.п.

Рис. 23.4. Виды точечных дефектов: вакансия (а), включение (б), замещение (б)

288

Из дислокаций наиболее распространены краевая дислокация и винтовая дислокация (рис. 23.5). Чтобы представить себе, как выгля-дит краевая дислокация, можно вообразить книгу, в которой одна из страниц имеет меньшую ширину, чем остальные страницы. Винтовая дислокация сочетает в себе сдвиг части кристалла относительно неко-торой линии и вращение вокруг нее. В зависимости от направления вращения винтовые дислокации бывают правыми и левыми.

а б

Наличие дефектов снижает механическую прочность твердых тел, увеличивает их электрическое сопротивление, снижает оптиче-скую прозрачность и влияет на другие физические характеристики.

Для борьбы с дефектами используют различные методы. Одним из них является метод зонной плавки. Он состоит в том, что часть кристалла (зона) плавится, а затем подвергается рекристаллизации. Восстановить правильность кристаллической решетки позволяет так-же отжиг. Дело в том, что при повышении температуры увеличивает-ся коэффициент диффузии дефектов, и они выходят на поверхность.

Дефекты могут играть и полезную роль. Пластическая деформа-ция (прокат, ковка и т. п.) приводит к появлению многочисленных дислокаций, хаотически ориентированных в пространстве. Это за-трудняет разрушение кристалла по сетке дислокаций, что увеличивает его прочность, но снижает пластичность.

Рис. 23.5. Дислокации: краевая (а), винтовая (б)

289

В искусственно выращенные кристаллы корунда (Al2O3) вводят ионы хрома (Cr3+), что превращает корунд в красный рубин, или ионы титана (Ti4+), что превращает его в синий сапфир. Примесные ионы (центры окраски) являются источниками вынужденного излучения, что широко используется в твердотельных лазерах.

Примесные полупроводники являются основой всей современ-ной микроэлектроники. Их электропроводность значительно превы-шает электропроводность чистых (собственных) полупроводников. § 3. Фононы. Распределение Бозе – Эйнштейна

Кристалл, состоящий из N атомов, представляет собой кван-товую колебательную систему с 3 N степенями свободы. В про-стейшем приближении это система из 3 N связанных линейных гармонических осцилляторов типа описанного в § 6 лекции 16. Внутренняя энергия кристалла, таким образом, может быть пред-ставлена в виде

3

1

1 . 2

N

i ii

U n ω=

= +

∑ (23.1)

Таким образом, за вычетом энергии нулевых колебаний, энергия поля упругих колебаний кристалла состоит из дискрет-ных порций (квантов) энергии

.i iε ω= (23.2)

По аналогии с квантами колебаний электромагнитного поля фотонами, такие кванты получили название фононов.

Обратите внимание: хотя фононы во многом похожи на фотоны, между ними имеется одно существенное отличие, связанное с отличием поля упругих колебаний от поля электромагнитных колебаний. Фононы могут

290

существовать только в некоторой упругой среде, в то время как фотоны могут существовать и в вакууме. По этой причине, в отличие от настоя-щих частиц (электронов, протонов, фотонов и т д.) фононы называют квазичастицами (от лат. quasi – как бы).

А. Эйнштейн в 1907 г. показал, что в условиях термодинамиче-ского равновесия среднее число фононов с энергией iω определяет-

ся выражением

1 .e 1i

i kTn ω=−

(23.3)

Выражение (23.3) представляет собой частный случай распреде-ления Бозе – Эйнштейна, которому подчиняются все частицы с цело-численными значениями спина, в том числе фотоны и фононы:

( )1 ,

e 1ii E kTn µ−=

− (23.4)

где iE – энергия частицы в i -м состоянии, а µ – химический потенциал

системы, под которым понимается величина, равная изменению энергии системы при добавлении в нее или удалении из нее одной частицы.

Распределение (23.4) лежит в основе квантовой статистики Бозе – Эйнштейна, созданной в 1924 г. Частицы, подчиняющиеся этой статистике, называют бозонами. Напомним (см. § 1 лекции 17), что для бозонов принцип Паули не выполняется. Они все склонны скапливаться в одном квантовом состоянии с наиболее низкой в дан-ных условиях энергией.

График распределения Бозе – Эйнштейна представлен на рис. 23.6. Здесь индекс i , обозначающий номер частицы, для простоты опущен.

Заметим, что химический потенциал µ в распределении (23.4)

не может принимать положительные значения, так как в противном

291

случае при E µ< среднее число бозонов оказалось бы отрицатель-

ным, что лишено физического смысла.

E

<n>

0µ

§ 4. Теплоемкость твердых тел

В § 2 лекции 21 уже говорилось о недостатках классической теории теплоемкости твердых тел, описываемой законом Дюлонга и Пти. С целью устранения этих недостатков А. Эйнштейн в 1907 г. разработал квантовую теорию теплоемкости твердого тела, исходя из представлений о передаче тепла фононами. При этом он сделал уп-рощающее предположение, что все фононы независимы друг от друга и имеют одинаковую энергию .ω

Тогда внутренняя энергия кристалла вместо выражения (23.1) может быть записана в виде

3 3 .e 1 e 1

AkT kT

N NU ω ωω ν ω

= =− −

(23.5)

Продифференцировав (23.5) по температуре, можно получить формулу Эйнштейна для молярной теплоемкости кристалла:

Рис. 23.6. Распределение Бозе – Эйнштейна

292

( )2

2e3 ,

e 1

E

E

TE

T

dUC RdT Tµ ν

Θ

Θ

Θ = = −

(23.6)

где E kωΘ = – так называемая температура Эйнштейна.

Рассмотрим два предельных случая, к которым сводится выра-жение (23.6).

1. Высокие температуры ( )ET Θ . Тогда

e 1 ...E T E

TΘ Θ

= + +

и, ограничившись первыми двумя членами этого разложения в знаме-нателе, а в числителе только первым членом, формулу (23.6) можно свести к виду

3 .C Rµ =

Таким образом, при высоких, по сравнению с температурой Эйнштейна, температурах мы приходим к классическому закону Дю-лонга и Пти.

2. Низкие температуры ( )ET Θ . В этом случае e 1E TΘ , и

(23.6) принимает вид

2

3 e E TEC RTµ

−ΘΘ =

. (23.7)

При 0T → выражение (23.7) практически экспоненциально

стремится к нулю, так как его возрастание по закону 2T − происходит значительно медленнее, чем спад по экспоненте. Эксперимент под-тверждает обращение теплоемкости в нуль при нулевой температуре, но только качественно, так как дает при низких температурах зависи-

мость 3C Tµ ∝ .

293

В 1912 г. П. Дебай усовершенствовал теорию теплоемкости Эйнштейна, приняв во внимание, что колебания атомов в кристалли-ческой решетке твердого тела не являются независимыми. Смещение из положения равновесия одного атома приводит, с некоторым запо-зданием, к смещению соседних атомов. В результате образуются стоячие упругие волны с некоторым спектром частот.

Для случая простой кристаллической решетки, у которой в эле-ментарной ячейке содержится лишь один атом, теория Дебая приво-дит к следующей формуле:

3 3

0

33 12 ,e 1 e 1

D

D

TD

x TD

T x dx TC Rµ

Θ

Θ

Θ = − Θ − − ∫ (23.8)

где m /D TωΘ = – температура Дебая. Здесь mω – максимальная час-

тота колебаний атомов в кристаллической решетке, определяемая из

выражения 3 2m 6v nω π= , где v – фазовая скорость распространения

упругих волн, а n – концентрация атомов. При низких температурах ( )DT Θ формула (23.8), как и фор-

мула Эйнштейна (23.6) сводится к Закону Дюлонга и Пти: 3C Rµ = .

При высоких температурах ( )DT Θ (23.8) приводится к виду

3412 ,

5 D

TC Rµπ

= Θ (23.9)

подтверждающему экспериментально открытый факт устремления теплоемкости к нулю при низких температурах по закону кубической параболы.

294

К телам со сложной кристаллической решеткой теория Дебая в чистом виде не применима ввиду наличия в них множества ветвей в спектре упругих колебаний.

На рис. 23.7 приведены зависимости ( )C Tµ , построенные со-

гласно формулам (23.6) и (23.8).

Tθθ0

C

3R

D E

µ

1

2

В завершение вопроса отметим, что изложенная выше теория теплоемкости твердых тел относится к диэлектрикам. В металлах и полупроводниках к теплоемкости кристаллической решетки добавля-ется теплоемкость газа свободных носителей заряда: электронов в ме-таллах и электронов и/или дырок в полупроводниках. Однако, по-скольку эта составляющая существенно меньше, чем решеточная теп-лоемкость, то теплоемкость проводников не слишком отличается от теплоемкости диэлектриков. Гораздо в большей степени она зависит от температуры Дебая для данного материала.

Рис. 23.7. Температурная зависимость теплоемкости твердых тел в приближении Дебая (1) и в приближении Эйнштейна (2)

295

Лекция 24 7.2. Электропроводность твердых тел

§ 1. Распределение Ферми – Дирака

В отличие от рассмотренных в § 3 прошлой лекции фононов электроны являются фермионами (см. также § 1 лекции 17), и для них распределение по энергетическим состояниям имеет иной вид:

( )1( ) .

e 1FE E kTf E−

=+

(24.1)

Выражение (24.1) носит название распределения Ферми – Дирака в честь итальянского физика Э. Ферми и английского физика П. Дирака, независимо друг от друга разработавших в 1925–1926 гг. статистику частиц с полуцелым спином. Здесь ( )f E – функция Фер-

ми – Дирака, имеющая смысл среднего числа частиц, находящихся в состоянии с энергией E (числа заполнения уровня с энергией E ), или, что одно и то же, вероятности заполнения этого состояния), а FE –

так называемая энергия Ферми, определяющая энергию состояния, вероятность заполнения которого равна 1 2 . По сути дела, энергия

Ферми является упомянутым в § 3 прошлой лекции химическим по-тенциалом системы, так как она соответствует средней энергии, при-ходящейся на один фермион: половина частиц имеет бóльшую энер-гию, половина – меньшую.

График распределения Ферми – Дирака представлен на рис.24.1. Из него видно, что при температуре, равной абсолютному нулю, все частицы имеют одинаковую энергию, равную FE , т. е. имеет место

вырождение частиц по энергиям. С возрастанием температуры «хвост» функции распределения растягивается.

296

f E( )1,0

0,5

0 Е

~kT

T=0

T>0

EF

Поведение ферми-газа существенно зависит от соотношения

между температурой кристалла и так называемой температурой Ферми F FE kΘ = . Различают два предельных случая.

1. Низкие температуры ( )FT Θ , когда FkT E . В этом случае

электронный газ называется вырожденным, и для его описания сле-дует пользоваться распределением Ферми – Дирака (24.1).

2. Высокие температуры ( )FT Θ , когда FkT E . В этом слу-

чае можно воспользоваться разложением экспоненты в степенной

ряд: ( ) ( )e 1 / ...FE E kTFE E kT− = + − + , и (24.1) переходит в распреде-

ление Больцмана (см. § 3 лекции 19):

( ) e e .FE E

E kTkTf E−

− −= ∝ (24.2)

Такой электронный газ называют невырожденным. При комнат-ной температуре ( )300 K ,T = как легко подсчитать, 0,026kT = эВ, что

намного меньше типичных значений энергии Ферми в металлах. По этой причине электронный газ в металлах при температурах, близ-ких к комнатным, является вырожденным, и для его описания следует использовать статистику Ферми – Дирака.

Рис. 24.1. Распределение Ферми – Дирака

297

§ 2. Элементы зонной теории твердых тел

Регулярное расположение ионов в кристаллической решетке твердого тела создает для электронов электрическое поле с периоди-чески изменяющимся электрическим потенциалом. На рис. 24.2 это проиллюстрировано на примере одномерной кристаллической решет-ки в виде линейной цепочки атомов.

x

U d

По сути дела электроны в кристалле находятся в периодически

расположенных полубесконечно глубоких потенциальных ямах с по-тенциальными барьерами между ними. В свете того, что было сказано в §§ 5,6 лекции 16, понятно, что пространственное ограничение мест локализации электронов приводит к тому, что их энергетический спектр становится дискретным, и возникает некоторая система энер-гетических уровней, на которых они могут находиться.

При сближении атомов расстояние d между ними уменьшается, и они начинают влиять друг на друга своими электрическими полями, так как превращаются в диполи. Это приводит к снятию вырождения с уровней энергии. Они расщепляются на подуровни, которые к тому же уширяются.

Рис. 24.2. Потенциальный рельеф в виде периодической последовательности потенциальных ям

298

Уширение подуровней энергии обусловлено соотношением не-определенностей Гейзенберга (см. § 2 лекции 16). Чем ближе атомы друг к другу, тем меньше ширина разделяющих их потенциальных барьеров и выше вероятность туннельных переходов электронов от атома к атому. Время пребывания электрона в пределах одного атома в некотором энергетическом состоянии сокращается и, соответствен-но, неопределенность энергии этого состояния (ширина подуровня) увеличивается. При этом, чем выше энергия, тем больше «размы-тость» подуровня. Высоко расположенные уровни энергии при таком расщеплении и «размытии» могут перекрываться.

Таким образом, энергетический спектр электронов в кристаллах оказывается разделенным на ряд чередующихся разрешенных и за-прещенных зон. На рис. 24.3 это проиллюстрировано графически.

Для дальнейшего рассмотрения вопроса важно понимать, что число атомов в кристалле, т. е. его размеры, не влияет на ширину зон, а определяет лишь плотность подуровней энергии в разрешенных зо-нах. Типичная ширина зон составляет несколько электрон-вольт, а интервал энергии между подуровнями порядка 10-22 эВ.

Уровни энергииизолированныхатомов

Запрещенная зона

Запрещенная зона

Разрешенная зона

Перекрытиеразрешенныхзон

d

E

Рис. 24.3. Образование энергетических зон в кристаллах

299

Разрешенную зону, образовавшуюся из тех уровней энергии, на которых располагаются валентные электроны, называют валентной зоной, а разрешенную зону, расположенную над валентной зоной – зоной проводимости.

При изучении электропроводящих свойств твердых тел во вни-мание принимается лишь валентная зона, зона проводимости и разде-ляющая их запрещенная зона. При этом все твердые тела подразде-ляются на металлы, диэлектрики и полупроводники.

Металлы. Для того, чтобы ускориться под воздействием при-ложенного электрического поля и, стало быть, увеличить свою энер-гию, свободные электроны в металле должны иметь возможность подняться на более высокие энергетические уровни, которые, в свою очередь, должны быть не заняты. В связи с этим

Металлами называются такие твердые тела, у которых ва-лентная зона заполнена электронами частично либо пере-крывается со следующей разрешенной зоной.

Схема зонной структуры различных твердых тел показана на рис. 24.4. На нем слева представлено заполнение энергетических уровней в разрешенной зоне электронами при температуре, равной абсолютному нулю. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне может находиться не более двух электронов с противополо-жено ориентированными спинами. Они показаны жирными точками. В металлах (рис. 24.4а) верхний заселенный электронами уровень при 0Т = К – это уровень Ферми FE (см. рис. 24.1). Справа приведена

упрощенная схема зон, в которой область, заполненная электронами, покрыта штриховкой.

Потолок валентной зоны обозначен как vE (от англ. valence –

валентный), дно зоны проводимости – cE (от англ. conductive – прово-

дящий), ширина запрещенной зоны – gE (от англ. gap – щель).

300

Ec

EcEcEF

EF

EF

Ev

Ev

Eg

Eg

a

б

в

г

e+

e -

EF

Рис. 24.4. Зонная структура твердых тел: а – металлы, б – диэлектрики, в – полупроводники, г – полуметаллы

301

Диэлектрики. В диэлектриках внешнее электрическое поле не в состоянии создать направленное движение электронов, так как они все находятся в валентных подоболочках своих атомов. Это означает, что в валентной зоне свободных уровней энергии нет (рис. 24.4б), а «перепрыгнуть» в зону проводимости у электронов энергии не хвата-ет. В терминах зонной теории

Диэлектриками называются твердые тела с заполненной электронами валентной зоной и шириной запрещенной зо-ны более 5 эВ.

Полупроводники. При температуре равной абсолютному нулю полупроводники электрический ток не проводят. При их нагревании внешнее электрическое поле создает слабый ток, величина которого возрастает с увеличение температуры. С точки зрения зонной теории

Полупроводниками называются твердые тела с заполнен-ной электронами валентной зоной и шириной запрещенной зоны от 0,1 до 5 эВ.

При этом полупроводники с шириной запрещенной зоны от 0,1 до 3 эВ называют узкозонными полупроводниками, а с ши-риной запрещенной зоны от 3 до 5 эВ – широкозонными полу-проводниками.

Если температура полупроводника отлична от нуля, то некото-рые быстрые электроны, энергия которых превышает ширину запре-щенной зоны, могут оторваться от своих атомов и переместиться в зону проводимости. Образуются сразу пары свободных носителей за-ряда (рис. 24.4в): электроны в зоне проводимости и дырки (разрывы валентных связей в местах ушедших электронов) в валентной зоне. С ростом температуры концентрация таких носителей возрастает, и электропроводность полупроводника увеличивается.

Полуметаллы. Если ширина запрещенной зоны равна нулю (рис. 24.4г), то она сливается в зонной проводимости, и твердое тело,

302

фактически, становится металлом, так как теперь для электронов по-является возможность занимать вышележащие уровни энергии и уча-ствовать в протекании электрического тока. Такие металлы принято называть полуметаллами.

Поскольку уровень Ферми определяет среднюю энергию элек-тронов, то у металлов он находится в разрешенной зоне (она же зона проводимости), а у полупроводников и диэлектриков – в запрещенной зоне. § 3. Электропроводность металлов

Как уже отмечалось в § 1 настоящей лекции, электронный газ в металлах является вырожденным, и для его описания необходимо пользоваться статистикой Ферми – Дирака (24.1). Она характеризует вероятность заполнения электронами имеющихся квантовых состоя-ний. Число же самих этих состояний в единице объема металла, при-ходящихся на единичный интервал энергии – плотность электрон-ных состояний – описывается другой функцией распределения:

( )3 21 2

32

( ) 2 .m

g E Eh

π= (24.3)

Число электронов в единице объема с энергией от E до E dE+ с учетом того обстоятельства, что в одном состоянии могут находиться два электрона с противоположными спинами, тогда можно найти как

2 ( ) ( ) .dn f E g E dE= (24.4)

Отсюда концентрация электронов, имеющих энергию в интер-вале от 1E до 2,E найдется в виде интеграла

303

( )( )

2

1

3 2 1 2

3 /

24 .

e 1F

E

E E kTE

m E dEnh

π−

∆ =+∫

Полагая 1 0E = , а 2 ,E →∞ из записанного выражения можно по-

лучить концентрация свободных электронов в металле:

( )3 22 3

328 .

3 Fm

n Eh

π= (24.5)

Из (24.5) легко выразить энергию Ферми в металле, если для не-

го известна концентрация свободных электронов:

2 32 3 .2 8Fh nEm π =

(24.6)

На рис. 24.5 представлены графики распределения по энергиям

плотности электронных состояний и концентрации свободных элек-тронов, приходящейся на единичный интервал энергии.

g E( ) dn/dE

EE0 0

2kT

EF

Рис. 24.5. Графики зависимости от энергии плотности электронных состояний и концентрации самих электронов

304

Из приведенных графиков видно, что увеличить свою энергию во внешнем электрическом поле и участвовать в протекании электри-ческого тока может лишь небольшая часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми, поскольку все низлежащие состояния заняты.

С ростом температуры количество таких электронов увеличива-ется пропорционально температуре кристалла, а поскольку электро-ны, в действительности, являются волнами де Бройля, то увеличива-ется также пропорционально температуре вероятность их рассеяния на фононах. Это объясняет прямо пропорциональную зависимость удельного сопротивления металлов от температуры, которую не мог-ла объяснить классическая теория электропроводности Друде – Лоренца (см. § 3 лекции 6).

Квантовые представления об электропроводности металлов по-зволили объяснить также явление сверхпроводимости, открытое еще в 1911 г. нидерландским физиком Г. Камерлинг-Оннесом. Квантовая теория сверхпроводимости, построенная американскими физиками Дж. Бардиным, Л. Купером и Дж. Шриффером 1957 г., показывает, что при температурах ниже так называемой критической температуры

( )сT T< в результате обмена фононами происходит спаривание элек-

тронов. В таких электронных парах фононы отбирают энергию у од-ного электрона и передают ее другому. В результате энергия электро-нов не изменяется при рассеянии на фононах, и сопротивление метал-ла обращается в нуль.

В металлах и их сплавах критическая температура, при которой наступает сверхпроводимость, невелика. Например, в сплаве Nb3Sn

18,2cT = К. В последнее время на основе медь-содержащих керамик

созданы высокотемпературные сверхпроводники, в которых критиче-ская температура превышает 100 К. Одним из таких материалов явля-ется керамика HgBa2Ca2Cu3O8+x, у которой 135cT = К.

305

§ 4. Электропроводность полупроводников

Собственная проводимость. Структура энергетических зон в собственных (чистых, без примесей) полупроводниках была показана на рис. 24.4в. В таких полупроводниках имеется два типа носителей заряда: электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. Соответственно, плотность создаваемого ими электрического тока

( ),e h i e hj j j en v v= + = + (24.7)

где индекс «е» относится к электронам (от англ. electrons – электро-ны), а индекс «h» – к дыркам (от англ. holes – дырки). Концентрация и тех, и других в собственных полупроводниках одинакова:

e h in n n= = (24.8)

и обозначена in (от англ. intrinsic conduction – собственная проводи-

мость). Скорости дрейфа соответствующих носителей заряда обозна-чены как ev и hv .

В собственных полупроводниках уровень Ферми располагается приблизительно посередине запрещенной зоны, ширина которой су-щественно превышает значения тепловой энергии носителей при тем-пературах, близких к комнатным. Поэтому 2F gE E E kT− ≈ , и

распределение Ферми – Дирака (24.1) принимает вид распределения Больцмана:

( )21( ) e .

e 1g

F

E kTE E kTf E −−

= ≈+

(24.9)

Из (24.9) следует, что концентрация носителей заряда также удовлетворяет распределению Больцмана:

20e ,gE kT

in n −= (24.10)

306

где значение 0n соответствует .T →∞ Поскольку в выражении (24.7)

скорости дрейфа электронов и дырок слабо зависят от температуры, то, переходя к подвижностям носителей заряда , ,e e h hv E v Eµ µ= =

где E – напряженность приложенного электрического поля, можем записать его в виде

( ) 20 e .gE kT

e hj en Eµ µ −= +

Сравнивая эту запись с законом Ома в дифференциальной фор-ме ( j Eσ= ), получаем зависимость удельной проводимости для соб-

ственных полупроводников в виде

20e ,gE kTσ σ −= (24.11)

где ( )0 0 e henσ µ µ= + – значение коэффициента электропроводности

при .T →∞ Логарифмируя (24.11), получаем

0ln ln .2

gEkT

σ σ= − (24.12)

Зависимость (24.12), как функ-ция обратной температуры, показана на рис. 24.6. Из нее, в частности, можно найти ширину запрещенной зоны полупроводника:

2 tg ,gE k α= (24.13)

где α – угол наклона графика. Анализируя полученные резуль-

таты, видим, что возрастание элек-тропроводности собственных полу-

ln σ

ln σ0

1/T0

α

Рис. 24.6. Зависимость собст-венной проводимости полупро-

водника от температуры

307

проводников с увеличением температуры обусловлено ростом кон-центрации свободных носителей заряда (электронов и дырок). Этим обстоятельством полупроводники принципиально отличаются от ме-таллов, электропроводность которых с увеличением температуры уменьшается.

Примесная проводимость. Различают примесные полупро-водники n -типа и p -типа.

В полупроводниках n -типа атомы примеси имеют более высо-кую валентность, чем собственные атомы. Например, это могут быть атомы пятивалентного фосфора (P) в кристаллической решетке из атомов четырехвалентного кремния (Si). Четыре валентных электрона фосфора образуют совместно с четырьмя валентными электронами кремния прочные ковалентные связи, а «лишний» пятый электрон может легко оторваться от своего атома и перейти в зону проводимо-сти, если ему сообщить энергию ионизации d c dE E E∆ = − (рис. 24.7а).

Примесь, создающая в полупроводнике избыточные электроны, назы-вается донорной примесью. Атомы донорной примеси подбирают та-ким образом, чтобы занимаемые ими уровни энергии располагались в запрещенной зоне полупроводника вблизи дна зоны проводимости.

В полупроводниках p -типа атомы примеси имеют меньшую ва-

лентность, чем собственные атомы. В кристаллической решетке из атомов кремния это могут быть, например, атомы трехвалентного бо-ра (B). Для образования четвертой ковалентной связи с окружающими соседними атомами кремния у атома бора не хватает одного валент-ного электрона. Такая разорванная связь называется дыркой (рис. 24.7а). Но эта связь может быть восстановлена путем захвата недостающего электрона из валентной подоболочки какого-либо со-седнего атома кремния. При этом атом кремния, лишившийся элек-трона, превращается в отрицательный ион, а в его разорванной ва-лентной подоболочке образуется дырка. Примесь, захватывающая

308

электроны для образования химических связей с окружающими ато-мами полупроводника, называется акцепторной примесью (от англ. accept – захватывать). Энергия ионизации акцепторных атомов равна

a a vE E E∆ = − . Атомы акцепторной примеси стараются подбирать та-

ким образом, чтобы занимаемые ими уровни энергии располагались в запрещенной зоне полупроводника вблизи потолка валентной зоны.

E

E

E

Ed

F

c

v

разрыв связи (дырка)

E

E

E

Ed

F

c

v

EE

E

E

аF

c

v

“лишний” электрон

a

б

Рис. 24.7. Примесные атомы (а) и структура энергетических зон (б) в случае полупроводников n-типа (вверху) и р-типа (внизу)

309

На рис. 24.7б показаны зонные диаграммы для примесных полу-проводников n-типа и р-типа. Поскольку энергия ионизации примес-ных атомов намного меньше, чем ширина запрещенной зоны, то ясно, что при температурах, близких к комнатным, концентрация электро-нов n в полупроводниках n-типа значительно превышает концентра-цию дырок p :

,d in n p n≈ ≈

а концентрация дырок в полупроводниках р-типа значительно пре-вышает концентрацию электронов:

.a ip n n n≈ ≈

Здесь dn и an – соответственно концентрации донорных и акцептор-

ных атомов, а in – концентрация собственных носителей заряда –

электронов и дырок, обусловливающих собственную проводимость полупроводника.

В полупроводниках n-типа основными носителями заряда явля-ются электроны, и плотность создаваемого ими тока

.e ej env= (24.14)

В полупроводниках р-типа основными носителями заряда явля-ются дырки, и плотность создаваемого ими тока

.h hj epv= (24.15)

Температурная зависимость примесной проводимости находит-ся так же, как и в случае собственной проводимости, и описывается похожей формулой

/20e ,adE kT

ad adσ σ −∆= (24.16)

где индекс «ad» соответствует донорной (d) или акцепторной (а) примеси (от англ. admixture – примесь).

310

α

α

ad

1/T

ln σ

0

А

ВC

D

На рис. 24.8 в полулогарифмическом масштабе показана зави-

симость удельного сопротивления примесного полупроводника от об-ратной температуры. При низких температурах (больших значениях 1/T) наблюдается примесная проводимость. При высоких температу-рах (малых значениях 1/T), достаточных для перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости, – собственная проводимость.

Область ВС, в пределах которой проводимость не изменяется, соответствует температурам, при которых все атомы примеси уже ио-низованы, а собственная проводимость еще не началась. В действи-тельности здесь имеется некоторая слабая зависимость проводимости от температуры, обусловленная температурной зависимостью под-вижности носителей заряда, которой мы для простоты анализа задачи пренебрегли выше.

Вопросы, связанные с электропродностью полупроводников, имеют большое значение при разработке радиоэлектронных прибо-ров. Физические основы этих приборов изучаются в соответствую-щих специальных дисциплинах.

Рис. 24.8. Температурная зависимость электропроводности примесного полупроводника: АВ – область примесной проводимости, ВС – область

ионизации примесных атомов, CD – область собственной проводимости

311

312

Список использованной литературы 1. Киттель, Ч. Берклеевский курс физики; в 5 т. / пер. с англ.;

Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман [и др.]; под ред. А. И. Шаль-

никова, А. С. Ахматова, А. О. Вайсенберга. – М. : Мир, 1971–

1972.

2. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике: в 9 т. / пер. с

англ.; Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс; под ред. Я. А. Сморо-

динского. – М. : Мир, 1977.

3. Орир, Дж. Физика: в 2 т. / пер. с англ.; Дж. Орир; под ред.

Е. М. Лейкина. – М. : Мир, 1981.

4. Сивухин, Д. В. Общий курс физики: в 5 т. – М. : Наука, Физмат-

лит, МФТИ, 1989–2006.

5. Савельев, И. В. Курс общей физики: в 3 т. – СПб. : Лань, 2011.

6. Браже Р. А. Лекции по физике. – СПб. : Лань, 2013.

7. Епифанов, Г. И. Физика твердого тела. – М. : Высшая школа,

1977.

Учебное электронное издание

БРАЖЕ Рудольф Александрович

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ для студентов очно-заочной и заочной форм обучения по техническим направлениям подготовки бакалавров

Учебное пособие

ЭИ 757. Объем данных 5,34.

ЛР 020640 от 22.10.97

Печатное издание Подписано в печать 06.05.2016. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л. 18,14. Тираж 200 экз. Заказ 446.

Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.

ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32. Тел.: (8422) 778-113

E-mail: venec@ulstu.ru http://www.venec.ulstu.ru