การเลอนกราฟในหวขอท 3.2.2 ถง 3.2.4 ไดศกษาพาราโบลาทมจดยอดอยทจด

กำาเนด วงรและไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยทจดกำาเนด ภายใตเงอนไขดงกลาว สมการของภาคตดกรวยทง 3 ชนด มรปแบบอยางงาย สำาหรบหวขอนจะศกษาภาคตดกรวยทมจดยอดและศนยกลางอยทจดใดๆ และจะศกษาผลทเกดขนกบสมการของภาคตดกรวยเหลานนดวย

จากทไดศกษามาแลวเกยวกบการเลอนกราฟของฟงกชนตามแนวแกนซงมผลทำาใหสมการของฟงกชนเปลยนไป ในกรณทวไป สำาหรบสมการใดๆ ถาแทน x ดวย x-h หรอ x+h กราฟของสมการใหมคอ กราฟของสมการเดมทเลอนไปตามแนวนอน ถาแทน y ดวย y -k หรอ y+k กราฟของสมการใหมคอ กราฟของสมาชกเดมทเลอนไปตามแนวตง สรปสาระสำาคญไดดงน

ตวอยางเชน วงรทมสมการมกราฟดงแสดงในรปท 1 ถาเลอนวงรรปนใหจดศนยกลางของ

วงรไปอยทจด (h, k) แลวสมการของวงรรปใหมจะเปน

การเลอนกราฟของสมการถา h และ k เปนจำานวนจรงบวก แลว การแทน x ดวย x-h หรอ x+h และการแทน y ดวย y-k หรอ y+k จะมผลตอกราฟของสมการใดๆ ในตวแปร x และ y ดงน

วธการแทน กราฟเลอนไปอยางไร

1. แทน x ดวย x-h ทางขวา h

ตวอยางท 1 จงหาพกดของโฟกส เขยนวงรทเปนกราฟของสมการ

วธทำา จากสมการทกำาหนดให จะไดวาวงรมจดศนยกลางอยท (1, -2) ซงเกดจากการเลอนวงรทเปนกราฟของสมการ ทมจดศนยกลางทจดกำาเนดไปทางขวา 1 หนวย และลงลาง 2 หนวย จดปลายของแกนเอกและแกนโทของวงร คอ (0, 3), (0, -3) และ (2, 0), (-2, 0) ตามลำาดบถาเลอนจดเหลานไปทางขวา 1 หนวยและลงลาง 2 หนวย จะไดจดปลายของแกนเอกและแกนโทของวงรเปนกราฟของสมการ

ดงน(0, 3) เลอนไปยงจด (0+1, 3-2) = (1, 1)(0, -3) เลอนไปยงจด (0+1, -3-2) = (1, -5)(2, 0) เลอนไปยงจด (2+1, 0-2) = (3, -2)(-2, 0) เลอนไปยงจด (-2+1, 0-2) = (-1, -2)

นำาจดเหลานเปนขอมลเขยนวงรทงสอง ดงแสดงในรปท 2

อาศยหลกการเลอนกราฟ สามารถสรปเกยวกบกราฟและสมการของภาคตดกรวยแตละชนดไดดงตารางตอไปนภาคตดกรวย

กราฟ สมการรปแบบมาตรฐานและขอเทจจรงทสำาคญ

วงกลม สมการ จดศนยกลาง (h, k)รศมยาว r หนวย(ดหวขอ 3.2.1)

วงร สมการ แกนเอกอยในแนวนอน จดศนยกลาง (h, k) จดยอด (h-a, k), (h+a, k)โฟกส (h-c, k), (h+c, k); c2= a2 - b2

แกนเอกยาว 2a หนวย แกนโทยาว 2b หนวย(ดหวขอ 3.2.2) สมการ แกนเอกอยในแนวตง จดศนยกลาง (h, k) จดยอด (h, k-a), (h, k+a)โฟกส (h, k-c), (h, k+c); c2= a2 - b2

แกนเอกยาว 2a หนวย แกนโทยาว 2b หนวย(ดหวขอ 3.2.2)

พาราโบลา

สมการ แกนสมมาตรอยในแนวตงจดยอด (h, k)โฟกส (h, k+p)P > 0 เสนโคงหงายขนP < 0 เสนโคงควำาลงไดเรกตรกซ y = k – p(ดหวขอ 3.2.3)

สมการ แกนสมมาตรอยในแนวตงจดยอด (h, k)โฟกส (h+p, k)P > 0 เสนโคงเปดดานขวาP < 0 เสนโคงเปดดานซายไดเรกตรกซ x = h – p(ดหวขอ 3.2.3)

ไฮเพอรโบลา

สมการ แกนตามขวางอยในแนวนอนจดศนยกลาง (h, k)จดยอด (h-a, k), (h+a, k)โฟกส (h-c, k), (h+c, k); c2= a2 + b2

แกนตามขวางยาว 2a หนวย แกนสงยคยาว 2b หนวยสมการเสนกำากบ คอ

(ดหวขอ 3.2.4)สมการ แกนเอกอยในแนวตง จดศนยกลาง (h, k) จดยอด (h, k-a), (h, k+a)โฟกส (h, k-c), (h, k+c); c2= a2 + b2

แกนตามขวางยาว 2a หนวย แกนสงยคยาว 2b หนวยสมการเสนกำากบ คอ

(ดหวขอ 3.2.4)

ตวอยางท 2 จงหาจยอด โฟกส และไดเรกตรกซ และเขยนกราฟของ

วธทำาจดสมการของพาราโบลาทกำาหนดใหอยในรปแบบมาตรฐาน

จะไดวา พาราโบลาเปนเสนโคงเปดขวาทมจดยอดอยท (3, 2) ซงเปนพาราโบลาทเกดจากการเลอนพาราโบลาทมสมการ (ซงมจดยอดอยทจดกำาเนด) ไปทางขวา 3 หนวย และเลอนขนบน 2 หนวย จาก จะได

ดงนน โฟกสหางจากจดยอดไปทางขวา 2 หนวย และไดเรกตรกซอยหางจากจดยอดไปทางซาย 2 หนวย โฟกสคอ (5, 2) และไดเรกตรกซคอ พาราโบลาทงสอง เขยนแสดงในรปท 3

ตวอยางท 3 ภาคตดกรวยรปหนงมสมการเปน

(1) จงแสดงวาสมการทกำาหนดใหเปนสมการของไฮเพอรโบลา(2) จงหาจดศนยกลาง จดยอด โฟกส และเสนกำากบ และ

เขยนไฮเพอรโบลาวธทำา(1) จดสมการทกำาหนดใหอยในรปแบบมาตรฐาน

จะไดวาเปนสมการของไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางในแนวตง

(2) จากสมการรปแบบมาตรฐานในขอ (1) จะไดวา ไฮเพอรโบลานม

จดศนยกลางอยท (-1, 4)และเปนไฮเพอรโบลาทเกดจากการเลอนไฮเพอรโบลา

ทมจดศนยกลางอยทจดกำาเนด ไปทางดานซาย 1 หนวย และเลอนขนบน 4 หนวย และจะไดวา และ นนคอ และ

ดงนน จดยอดอยหางจากจดศนยกลางไปทางดานลางและทางดานบน 4 หนวย และ โฟกสอยหางจากจดศนยกลางไปทางดานลางและทางดานบน 5 หนวย นนคอ

จดยอดคอ (-1, 0) และ (-1, 8)โฟกส คอ (-1, 1) และ (-1, 9)

จากหวขอ 3.2.4 ทราบวา เสนกำากบของไอเพอรโบลาทมสมการ คอเสนตรงสองเสนทมสมการ และ โดยอาศย

หลกการเลอนกราฟ (ในหวขอ 3.2.5) ไปทจด (-1, 4) เสนกำากบของไฮเพอรโบลาทมสมการ สามารถหาไดดวยการแทนตวแปร x ดวย x+1 และตวแปร y ดวย y-4 ในสมการของเสนกำากบของไฮเพอรโบลาทมสมการ จะได

เสนกำากบ คอ และ ในการเขยนไฮเพอรโบลา อาจวาดรปสเหลยมมมฉากศนยกลาง

ของไฮเพอรโบลากอน ดานทขนานกบแกน X หางจากจดศนยกลาง (-1, 4) ดานละ 4 หนวย ดานทขนานกบแกน Y หางจากจดศนยกลางดานละ 3 หนวย ตอไปลากเสนกำากบตามแนวเสนทแยงมมของรปสเหลยมมมฉาก และเขยนไฮเพอรโบลาดงแสดงในรปท 4 ก

ถากระจายสมการของภาคตดกรวยใดๆ ทไดกลาวมาแลว และเขยนในรปแบบอยางงายจะไดสมการในรปแบบตอไปนเสมอ

(**)เมอ A และ C ไมเปนศนยพรอมกน และโดยกลบกน ถาเรมตน

จากสมการในรปแบบน แลวสามารถทำาใหเปนกำาลงสองสมบรณในตวแปร x และ y เพอดวาเปนสมการของภาคตดกรวยชนดใด ในบางกรณ กราฟของสมการอาจเปนเพยง เสนตรง 2 เสนตดกน จดหนงจด หรอ อาจไมมกราฟเลยกได กรณเหลานเรยกวา ภาคตดกรวยลดรป (degenerate conics) ดงเชนในตวอยางถดไป

หมายเหต ในการศกษาระดบสงขนไป ผเรยนอาจพบสมการ (**) ในรปแบบเตมของสมการกำาลงสองของสองตวแปร x และ y คอ

เมอ A, B และ C ไมเปนศนยพรอมกน ซงพจน Bxy สามารถทำาใหหายไปไดดวย หลกการหมนแกน ซงจะยงไมศกษาในระดบน

ตวอยางท 4 จงเขยนกราฟของ วธทำา เนองจากสมประสทธของ และของ มเครองหมายตางกน สมการนนาจะเปนสมการของไฮเพอรโบลา (ดงเชนสมการของตวอยางท 3) เพอทจะดวาขอสนนษฐานถกตองหรอไม ทำาสมการเปนกำาลงสองสมบรณ

สงเกตวา จำานวนขางขวาของเครองหมายเทากบเปน 0 ไมสามารถเขยนสมการใหมใหตรงกบรปแบบของสมการไฮเพอรโบลาทไดศกษามาแลว เมอวเคราะหตอไป สามารถแสดงวา แทจรงแลว สมการดงกลาวนเปนสมการของเสนตรง 2 เสนตดกน

จะได หรอ ดงนน หรอ เขยนกราฟของเสนตรงดงรปท 5

เนองจากสมการในตวอยางท 4 ดคลายกบสมการของไฮเพอรโบลา แตความจรงเปนสมการของเสนตรง 2 เสนตดกน เรยกกราฟของสมการนวา ไฮเพอรโบลาลดรป (degenerate hyperbola) วงรแปสภาพและพาราโบลาลดรป กเกดขนไดเมอจดรปแบบของสมการทดเหมอนกบจะเปนสมการของภาคตดกรวยโดยทำาเปนกำาลงสองสมบรณ ตวอยางเชน สมการ

ดคลายจะเปนสมการของวงร เพราะวา สมประสทธของ และ ของ มเครองหมายเหมอนกนแตเมอทำาเปนกำาลงสมบรณ จะได

ซงเปนสมการทไมมคำาตอบ เนองจากผลบวกของกำาลงสองของจำานวนจรงใดๆ เปนจำานวนจรงลบไมได สมการนเปนสมการของวงรลดรป

สรปสาระสำาคญเกยวกบสมการรปแบบทวไปของภาคตดกรวยไดดงน

สมการทวไปของภาคตดกรวยกราฟของสมการ เมอ A และ

C ไมเปนศนยพรอมกนเปนภาคตดกรวยหรอภาคตดกรวยลดรป ในกรณทไมใชภาคตดกรวยลดรป กราฟของสมการเปน

1. วงกลม ถา A = C2. วงร ถา AC > 03. พาราโบลา ถา AC = 0