0 เฉลย pre-pat1 วิชาความถน ัดทางคณ ิตศาสตร...

0 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT1 วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร’์มีนา (ทาง INTERNET)

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT1 วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร’์มีนา (ทาง INTERNET) 1

เฉลยขอสอบ PRE-GAT & PAT’มีนา PAT1 : วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร รหัสวชิา 71

1. b. 2. c. 3. b. 4. b. 5. a. 6. c. 7. b. 8. a. 9. c. 10. c. 11. b. 12. b. 13. c. 14. a. 15. d. 16. c. 17. a. 18. c. 19. d. 20. c. 21. a. 22. c. 23. c. 24. d. 25. c. 26. d. 27. a. 28. a. 29. c. 30. d. 31. c. 32. a. 33. c. 34. d. 35. b. 36. c. 37. c. 38. a. 39. c. 40. b. 41. b. 42. a. 43. d. 44. c. 45. d. 46. b. 47. c. 48. b. 49. c. 50. d. 1. เฉลย b. ก. จริง และ ข. เท็จ จาก (p ∧ q) ↔ ∼(p ∧ r) มีคาความจริงเปนจริง ดังนั้น (p ∧ q) ≡ ∼(p ∧ r) แบงพิจารณาเปน

2 กรณี กรณีท่ี 1 p ∧ q ≡ T และ ∼(p ∧ r) ≡ T ≡ ∼p ∨ ∼r กรณีนี้พิจารณา p ∧ q เปนหลัก เพราะมีคาความจริงเปนจริงกรณีเดียว จาก p ∧ q ≡ T ∴ p ≡ T q ≡ T จาก ∼p ∨ ∼r ≡ T เนื่องจาก p ≡ T ∴ ∼T ∨ ∼r ≡ T F ∨ ∼r ≡ T ∼r ≡ T r ≡ F สรุปกรณีนี้ p ≡ T, q ≡ T และ r ≡ F T T T F T T F F ก. p → (q ∨ r) มีคา T ข. p → (q ∧ r) มีคา F กรณีท่ี 2 p ∧ q ≡ F และ ∼(p ∧ r) ≡ ∼p ∨ ∼r ≡ F กรณีนี้พิจารณา ∼p ∨ ∼r เปนหลัก เพราะมีคาความจริงเปนเท็จกรณีเดียว นั่นคือ ∼p ≡ F และ ∼r ≡ F ดังนั้น p ≡ T และ r ≡ T เนื่องจาก p ∧ q ≡ F แต p ≡ T ∴ T ∧ q ≡ F ∴ q ≡ F สรุปกรณีนี้ p ≡ T, q ≡ F และ r ≡ T T F T T T F F T ก. p → (q ∨ r) มีคา T ข. p → (q ∧ r) มีคา F นั่นคือ ก. จริง และ ข. เท็จ


2. เฉลย c. ∀x∃y[x2 - y = y2 - x] แบงเปน 3 กรณี กรณีท่ี 1 x = -1 จะได (-1)2 - y = y2 - (-1) y2 + y = 0 y(y + 1) = 0 y = 0, -1 ∈ U กรณีท่ี 2 x = 0 จะได 0 - y = y2 - 0 y2 + y = 0 y = 0, -1 ∈ U กรณีท่ี 3 x = 1 จะได (1)2 - y = y2 - (1) y2 + y - 2 = 0 (y + 2)(y - 1) = 0 y = 1, -2 (1 ∈ U) นั่นคือแตละคาของ x ∈ U จะมีคา y ∈ U อยางนอย 1 คา ท่ีทําใหสมการ x2 - y = y2 – x ∴ ∀x∃y[x2 - y = y2 - x] มีคาความจริงเปนจริง 3. เฉลย b. A ⊆ {P(A)} a. ถูก Q φ ⊆ A เนื่องจากพาวเวอรเซตมีสมาชิก คือ สับเซตของเซตนั้น และ φ เปนสับเซตของทุกเซต

ดังนั้น φ เปนสมาชิกของทุกพาวเวอรเซตแนๆ ไมวา A จะเปนเซตใดก็ตาม b. ผิด เห็นไดชัดเจน (โดยอาศัยความเขาใจ คําวา “สับเซต”) {P(A)} เปนเซตที่มีสมาชิกเดียว ขณะท่ี A

มี 4 สมาชิก c. ถูก Q {φ, {φ}} เปนสับเซตของเซต A d. ถูก Q A - P(A) = A - AI P(A) = {0} ; เพราะวา φ, {0}, {φ} ตางก็เปนสับเซตของ A ∴ n(A - P(A)) = 1 4. เฉลย b. 256 ขอนี้อาศัยหลัก คือ จํานวนท่ี 4 และ 6 หารลงตัว จะตองหาร ค.ร.น. ของ 4 กับ 6 ลงตัวดวย ในท่ีนี ้

คือ 12 AI B = {x | 0 < x ≤ 100 และ 4 และ 6 ตางก็หาร x ลงตัว} = {x | 0 < x ≤ 100 และ 12 หาร x ลงตัว} = {12(1), 12(2), 12(3), ..., 12(8)} n(AI B) = 8 nP(AI B) = 28 = 256


5. เฉลย a. {x | 4x2 - 12x + 5 = 0} พิจารณา |2x - 3|5 = 32 = 25 |2x - 3| = 2 2x - 3 = ±2 2x - 1 = 0, 2x - 5 = 0 (2x - 1)(2x - 5) = 0 4x2 - 12x + 5 = 0 6. เฉลย c. 2.5 จากความจริงท่ีวา ถา α1, α2, α3 เปนคําตอบที่ไมซํ้ากันของสมการ ax3 + bx2 + cx + d = 0 แลว

จะไดวา α1 + α2 + α3 = - ab

ดังนั้น α1 + α2 + α3 = - 25)(-

= 25

= 2.5 *(x - α1)(x - α2)(x - α3) = 0 เปนสมการเดียวกับ x3 + a

b x2 + ac x + a

d = 0 จะได x3 - (α1 + α2 + α3)x2 + (α1α2 + α1α3 + α2α3)x - α1α2α3 = 0 เปนสมการ

เดียวกับ x3 + ab x2 + a

c x + ad = 0

นั่นคือ 1. α1 + α2 + α3 = - ab

2. α1α2 + α1α3 + α2α3 = ac

3. α1α2α3 = - ad

ขอสังเกต กรณีนี้ α1, α2, α3 ตองไมซํ้ากัน เพราะถามีตัวใดซํ้ากัน อยางเชน α1 = α2 จะทําใหเซตคําตอบของสมการ คือ {α1, α3} แทนท่ีจะเปน {α1, α2, α3} ทําใหผลบวกในเซตคําตอบผิดไป

7. เฉลย b. (-∞, 1) เขียนสมการใหมเปน 1 x |1 x|3

-- < -x

แบงเปน 2 กรณี กรณีท่ี 1 x - 1 > 0 จะได 1 x

1) 3(x-- < -x

หรือ x > 1 3 < -x x < -3 กรณีนี้ไมมีคําตอบ เพราะ x > 1 ดวย กรณีท่ี 2 x - 1 < 0 จะได 1 x

1) (x3 ][--- < -x

หรือ x < 1 -3 < -x x < 3 และ x < 1 ดังนั้น กรณีนี้เซตคําตอบ คือ (-∞, 1)

4 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT1 วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร’์มีนา (ทาง INTERNET) 8. เฉลย a. - 2

3 จาก g(x) = 2x + 5 จะได g-1(x) = 2

5 x - f-1og-1(x) = f-1(g-1(x)) = f-1

2 5 x - = 5x – 2 จะได f(5x - 2) = 2

5 x - ให 5x - 2 = 8 x = 2 ดังนั้น แทน x = 2 จะได f(8) = 2

5 2 - = - 2

3 9. เฉลย c. (2, 4] f(x) = 2 x 4x -

= 4) 4x (x 4 2+--

= 22) (x 4 -- Df คือ เซตคําตอบของอสมการ 4 - (x - 2)2 ≥ 0 (x - 2)2 ≤ 4 - 4 ≤ x - 2 ≤ 4 -2 ≤ x – 2 ≤ 2 0 ≤ x ≤ 4 จะได Df = [0, 4] และจะเห็นวา 0 ≤ 22) (x 4 -- ≤ 2 ดังนั้น Rf = [0, 2] Df - Rf = [0, 4] - [0, 2] = (2, 4]


10. เฉลย c. f ไมเปนฟงกชัน 1 - 1 เขียนกราฟของ f(x) = x2 - 4x Df = (-∞, 0]U [4, 6] Rf = [0, ∞) จะเห็นวา f ไมเปนฟงกชัน 1 - 1 เพราะ (0, 0) และ (4, 0) อยู

ในฟงกชัน f เขียนกราฟของ g(x) = 3x, x ∈ (-∞, 1] Dg = (-∞, 1] Rg = (0, 3] g เปนฟงกชัน 1 – 1 11. เฉลย b. - 7

73

tan θ - sec θ = 37

∴ sec θ - tan θ = - 37

เนื่องจาก sec2 θ - tan2 θ = 1 (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1 sec θ + tan θ = θθ tan sec

1-

= 37

1-

= - 73

= - 773

0

y

4 6

(6, 8)

x

0

y

1

3 (1, 3)

x


12. เฉลย b. 1 - 2x2 arccos x - arcsin x = 2010

π ...(1) จากสูตร arccos x + arcsin x = 2

π ...(2) (1) + (2) ; 2 arccos x = 2

π + 2010π

cos(2 arccos x) = cos

ππ + 2010 2

2 cos2(arccos x) - 1 = -sin

π2010

2x2 - 1 = -sin

π2010

∴ sin

π2010 = 1 - 2x2

13. เฉลย c. 2 3 sin A - sin 2A + sin 3A = sin A + sin 3A - sin 2A = 2 sin

+23A A cos

23A A - - sin 2A = 2 sin 2A cos(-A) - sin 2A = 2 sin 2A cos A - sin 2A = sin 2A (2 cos A - 1) = 0 เนื่องจาก 0 < A < 2

π → 0 < 2A < π → sin 2A > 0 ∴ 2 cos A - 1 = 0 cos A = 2

1 A = 3

π tan A - tan 2A + tan 3A = tan 3

π - tan

π32 + tan

π

33

= tan 3π - tan

ππ 3 - + tan (π)

= 3 - (- 3 ) + 0 = 2 3


14. เฉลย a. (2.5, 5] y = kx + 1 ...(1)

4x2

- 40y2

= 1 ...(2) จุดตัดกันของกราฟจาก (1) และ (2) คือ คําตอบของระบบสมการ (1) และ (2)

แทน y = kx + 1 ลงใน (2) ; 4x2

- 401) (kx 2+ = 1

10x2 - (k2x2 + 2kx + 1) = 40 (10 - k2)x2 - 2kx - 41 = 0 ...(3) กราฟท้ังสองจะตัดกันเมื่อคาจาก (3) เปนจํานวนจริง ดังนั้น (-2k)2 - 4(10 - k2)(-41) ≥ 0 ; (จาก b2 - 4ac ≥ 0) 4k2 + 1640 - 164k2 ≥ 0 160k2 ≤ 1640 k2 ≤ 160

1640 = 10.25 - 10.25 ≤ k ≤ 10.25 ดังนั้น k = 3 15. เฉลย d. y = 6

y

D เสนไดเรกตริกซ

25 ,5V 2x y =

E

F(5, -1)x

จากรูป จะเห็นวาจุดยอด คือ จุด

25 5, VF = 2

5 - (-1) = 27

= VD DE = VD + VE = 2

7 + 25

= 6 ∴ สมการเสนไดเรกตริกซ คือ y = 6


16. เฉลย c. 7x2 + 7y2 + 4x - 82y + 55 = 0 ใหวงกลมมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุด C(h, k) รัศม ีR

y

2 4-2 0

C(h, k)

A(4, 3)B(-2, 1)

-2

R R

x

L

D(0, -3)

จากรูป CA ⊥ L ; ∴ mCA ⋅ mL = -1

== 23 0 23)( 0 mL -

--

4 h3 k

--

⋅

23 = -1

3k - 9 = 8 - 2h 3k + 2h = 17 ...(1) CB = CA จะได (h + 2)2 + (k - 1)2 = (h - 4)2 + (k - 3)2 h2 + 4h + 4 + k2 - 2k + 1 = h2 - 8h + 16 + k2 - 6k + 9 12h + 4k - 20 = 0 3h + k = 5 ...(2) 3(2) ; 9h + 3k = 15 ...(3) (3) - (1) ; 7h = -2 h = - 7

2 แทนคา h = - 7

2 ใน (2) ; k = 5 - 3

72 - = 741

R2 = CA2

= 2

4 72

-- +

23 741

-

= 491300

∴ สมการวงกลม คือ 2

72 x

+ +

2741 y

- = 49

1300 7x2 + 7y2 + 4x - 82y + 55 = 0


17. เฉลย a. (2, 6) y

x0-2 2 4 6

C(2, 3) B(6, 3)

P(x, y)

A(-2, 3)

จากเง่ือนไขการเคล่ือนท่ีของอนุภาค ทําใหทราบวาทางเดินของอนุภาคจะเปนกราฟรูปวงรีท่ีมีจุดโฟกัส

อยูท่ี A(-2, 3) และ B(6, 3) PA + PB = 10 = ความยาวของแกนเอก = 2a ∴ a = 5 AB = 6 - (-2) = 8 = 2C C = 4 จุดศูนยกลางของวงรี คือ จุดก่ึงกลางระหวางจุด A และจุด B ดังนั้น จุดศูนยกลางของวงรี คือ จุด (2, 3) b2 = a2 - c2 = 52 - 42 = 9 b = 3

สมการของวงรี คือ 22

52) (x - + 2

2

33) (y - = 1

พิจารณาจุด (2, 6) 22

52) (2 - + 2

2

33) (6 - = 0 + 2

2

33

= 1 ดังนั้น จุด (2, 6) สอดคลองกับสมการ จึงเปนจุดท่ีอยูบนวงรี


18. เฉลย c. (1.0, 1.2)

4x121

-

= (25)3-2x

(2-1)1-4x = (52)3-2x 24x-1 = 56-4x

224x

= 4x6

55

24x ⋅ 54x = 2 ⋅ 56 104x = 2 ⋅ 56 = 10 ⋅ 55

= 105

210

= 5

6

210

4x = log

56

210 = 6 log 10 - 5 log 2

= 6 - 5 × 0.301 = 4.495 x = 44.495 = 1.12375 ∈ (1.0, 1.2) 19. เฉลย d. 46 52x-y = 625 = 54 2x - y = 4 ...(1) 23y-2x = 8 2 = 23 ⋅ 21/2 = 27/2 3y - 2x = 2

7 ...(2) (1) + (2) ; 2y = 4 + 2

7 = 2

15 y = 4

15 แทนใน (1) ; 2x - 4

15 = 4 2x = 4

15 + 4 = 4

31 4y + 8x = 4

415 + 4

431 = 15 + 31 = 46

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT1 วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร’์มีนา (ทาง INTERNET) 11 20. เฉลย c. ก. ผิด และ ข. ถูก

y

1-1

x207 y

=

x203 y

=

1

x203 y

=

x207 y

=

x

เขียนกราฟของ y =

x203

และ y =

x207

จะไดกราฟดังรูป เนื่องจากฟงกชันท้ังสองเปน

เอกซโพเนนเชียลฟงกชัน และเปนฟงกชันลด

จะเห็นวาเมื่อ x = 1 จะได 1

203

+

1207

= 20

10 = 21 < 1

และเมื่อ x = 0 จะได 0

203

+

0207

= 2

และถา x > 1 คาของ x

203

+

x207

จะย่ิงมีคานอยลง

ถา x เปนคําตอบของสมการแลว 0 < α < 1 ก. ผิด และสมการนี้

x203

+

x207

= 1 มีคําตอบเดียว ข. ถูก

21. เฉลย a. ก. ถูก และ ข. ถูก

ก. C41(A) = (-1)4+1 2 1 0 3 2 1 4 3 2

(ตัดแถวท่ี 4 และหลักท่ี 1)

= - 2 1 0 3 2 1 2 1 0

-- = -

2 1 0 3 2 1 0 0 0

= 0 ก. ถูก ข. xy = z (xy)(y-1) = z(y-1) x = z(y-1) det (x) = det (zy-1) = det z det (y-1)

= 3 2 1 0

⋅ ydet1 = (-2)

4 3 2 1

1

= 6 42-- = 1

det (x-1) = xdet1 = 1 ข. ถูก

( 1R′ = R1 - 2R2) ( 1R ′′ = 1R′ + 3R′ )


22. เฉลย c. -2 ให a14 เปนสมาชิกในแถวที่ 1 และหลักท่ี 4 ของ A-1 a14 = A det

C41

C41 = (-1)4+1 21 0 111 10 1

--

= - 21 0 111 10 1

--

= - 21 0 111 210

--

= -

++ + 0 2 1

2 1 1)1( 0 12 --

(ใชหลักท่ี 1 เปนหลัก จะได 21 0 111 210

--

= a11c11 + a21c21 + a31c31)

= 21 21 -

= -4 det (A) = (1)(1)(1)(2) = 2 ∴ a14 = - 2

4 = -2 23. เฉลย c. 3

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

----

--

wzyx

=

2438

-

เปนระบบสมการที่มี 4 สมการ 4 ตัวแปร x, y, z, w พิจารณาสมการ (1) x - y + z + w = 8 ...(1) สมการ (4) x - y - z + w = 2 ...(4) (1) - (4) ; 2z = 6 z = 3

( 1R′ = R1 + R2)


24. เฉลย d. 521

Av ต้ังฉากกับ Bv จะได Av ⋅ Bv = 0 (เวกเตอรต้ังฉากกันใชสมบัตินี้เสมอ) (x iv + y jv ) ⋅ (4 iv - 3 jv ) = 0 4x - 3y = 0, y = 3

4 x ...(1) | Av | = 3 จะได 22 y x + = 3 x2 + y2 = 9 ...(2)

x2 + 2

x34

= 9

x2 + 916 x2 = 9

25x2 = 81 x = ± 5

9 x = 5

9 , y = 34

59 = 5

12

x = - 59 , y = 3

4

59- = - 512

Av ⋅ Cv > 0 (x iv + y jv ) ⋅ (-5 iv + 5 jv ) > 0 -5x + 5y > 0 y > x ∴ x = 5

9 , y = 512

x + y = 59 + 5

12 = 5

21 25. เฉลย c. av + 6

1 bv จากรูป EF = EA + AF = 2

1 BA + 31 AC

= 21 (BD + DA) + 3

1 (AD + DC) = 2

1 [ av + ( av + bv )] + 31 [-( av + bv ) + av ]

= 21 (2 av + bv ) - 3

1 bv = av + 2

1 bv - 31 bv

= av + 61 bv

A

B CD

EF


26. เฉลย d. 3 3 + i (z - 2 3 )3 + 8i = 0 (z - 2 3 )3 = -8i หารากที่ 3 ของ -8i ; -8i = 8(-i) = 8

ππ + 23 sin i 23 cos

ให α1, α2, α3 เปนรากท่ี 3 ของ -8i

จากสูตร รากที่ n ของ r(cos θ + i sin θ) = r1/n

θπθπ +++ n 2k sin i n 2k cos

โดย k = 0, 1, 2, ..., (n - 1)

α1 = 81/3

ππππ ++

+

3 23 0 sin i 3 23 0 cos (k = 0)

= 2

ππ + 2 sin i 2 cos

= 2i

α2 = 81/3

ππππ ++

+3 23 2 sin i 3 23 2 cos (k = 1)

= 2

ππ + 67 sin i 67 cos = 2

i21 23 -- = - 3 - i

α3 = 81/3

ππππ ++

+3 23 4 sin i 3 23 4 cos (k = 2)

= 2

ππ + 611 sin i 611 cos = 2

i21 23 - = 3 - i

จะได (z1 - 2 3 ) = 2i, z1 = 2 3 + 2i

| z1| = 22 2 )3(2 + = 16 = 4 (จํานวนเต็ม) (z2 - 2 3 ) = - 3 - i, z2 = 3 - i | z2| = 22 1)( )3( -- + = 2 (จํานวนเต็ม) (z3 - 2 3 ) = 3 - i, z3 = 3 3 - i | z3| = 22 1)( )3(3 -+ = 2 7 ∴ z1 + z2 = (2 3 + 2i) + ( 3 - i) = 3 3 + i


27. เฉลย a. วงรี จากความจริงท่ีวา |z1 - z2| คือ ระยะหางระหวางจุด z1, z2 ในระนาบเชิงซอน จะไดวา |z + 1 - 2i| + |z - 7 - 2i| = |z - (-1, + 2i)| + |z - (7 + 2i)| = 10 นั่นคือ ผลบวกของระยะจากจุด (x, y) ไปยังจุด (-1, 2) และจุด (7, 2) บนระนาบเชิงซอนเทากับ

10 หนวย ดังนั้น กราฟของสมการ |z + 1 - 2i| + |z - 7 - 2i| = 10 จึงเปนรูปวงรีท่ีมีจุด (-1, 2) และ (7, 2)

เปนจุดโฟกัส และมีแกนเอกยาว 10 หนวย (ตามนิยามของกราฟวงรี) 28. เฉลย a. 525 หาจุดตัดของเสนตรง 3x + 2y = 80 ...(1) 2x + 3y = 70 ...(2) 3(1) ; 9x + 6y = 240 ...(3) 2(2) ; 4x + 6y = 140 ...(4) (3) - (4) ; 5x = 100 x = 20 แทนใน (1) ; 3(20) + 2y = 80 60 + 2y = 80 2y = 80 - 60 = 20 y = 10 จุดตัด คือ (20, 10)

(x, y) C = 15x + 30y A(35, 0) B(20, 10) C(0, 40)

525 600 1200

จากตาราง คาตํ่าสุดของ C = 525

40

y

x352x + 3y = 703x + 2y = 80

380

370

C(0, 40)

B(20, 10)

A(35, 0)


29. เฉลย c. 163

2 a 3n2 bnlim 3

3

n -+

∞→

= 1

3ab = 1

b = 3a

n

1n 22 2b aab∑

∞

=

+ =

n

1n 22 2(3a) aa(3a)∑

∞

=

+

= n

1n 22218a a

3a∑∞

=

+

= n

1n 193∑∞

=

เปนอนุกรมเรขาคณิต a1 = 19

3 = r

= 193 1

193

-

=∞ r 1a S 1-

= 163

30. เฉลย d. 1 พิจารณา 1) n(n

n 1 n+

+ - = 1 nnn 1 n

+

+ -

= n1 - 1 n

1+

∑∞

=

++

1n 1) n(nn 1 n - = ∑

∞

=

+1n 1 n1 n

1 -

จะได Sn =

21 11 - +

31

21 - +

41

31 - +

... +

+ 1 n1

n1 -

= 1 - 1 n1+

∴ ∑∞

=

++

1n 1) n(nn 1 n - = nn

Slim∞→

= 1


31. เฉลย c. มีผลบวกอนันตเปน 1 an = det

nA21

= n

A21 det

= n2 A det 21

= n

1) (141

+

= n

21

∴ ∑∞

=1nna = ∑

∞

=

1n

n21 เปนอนุกรมเรขาคณิต ซ่ึง a1 = 2

1 = r

= 21 1

21-

= 1 32. เฉลย a. 16

27

f(27) h) f(27f(8) h) f(8lim

0h --

++

→

= h

f(27) h) f(27 h

f(8) h) f(8 lim

0h --

+

+

→

= (27)f(8)f′′

=

+

+

3 23

3 23

271

2713

1

81

813

1

=

+

+

91 3141 21

= 94 43

= 43 × 4

9 = 16

27


33. เฉลย c. (-1, 43 ) เปนชวงท่ี f เปนฟงกชันเพ่ิม

f(x) = x4 - x3 - 4x2 + 6x - 5 f′(x) = 4x3 - 3x2 - 8x + 6 = x2(4x - 3) - 2(4x - 3) = (4x - 3)(x2 - 2) = (4x - 3)(x - 2 )(x + 2 )

-

43+ - +

2- 2 จากทฤษฎีเสนจํานวนจะเห็นวาชวง (-1, 4

3 ) f′(x) > 0 ดังนั้น ชวง (-1, 4

3 ) เปนชวงท่ี f เปนฟงกชันเพ่ิม 34. เฉลย d. 5

72 f(x) = x (x ≥ 0) f-1(x) = x2

∴ g(x) = x1 (x)f 1 +- = x

1 x2 +

= xx2

+ x1

= x3/2 + x-1/2

ดังนั้น พ้ืนท่ีท่ีตองการ = ∫ +4

1)1/23/2 dx x (x -

= 4

11/25/2 |2x x52

+

=

+ 1/25/2 2(4) (4)52 -

+ 2 52 = 5

64 + 4 - 52 - 2

= 572 ตารางหนวย


35. เฉลย b. 48 เนื่องจาก f(1) > 3 เราจะแยกไดเปน 2 กรณี กรณีท่ี 1 f(1) = 4 จากรูปจะเห็นวาสมาชิก A ขางซายท่ีเหลือ คือ 2, 3, 4, 5 สมาชิก A ขางขวา

ท่ีเหลือ คือ 1, 2, 3, 5 มีจํานวนเทากัน คือ 4 จํานวน จับคูกันแบบ 1 - 1 ได 4! = 24 วิธี

12345

A12345

A

กรณีท่ี 2 f(1) = 5 พิจารณาทํานองเดียวกับกรณีท่ี 1 ก็จะได 24 วิธีเชนกัน ดังนั้น จํานวนฟงกชันตามท่ีโจทยตองการ = 24 + 24 = 48 36. เฉลย c. 70 จากโจทยจะเห็นวาแตละวิธี นักเรียนชายจะสลับท่ีกันระหวางนักเรียนชายไมได เชนเดียวกับนักเรียนหญิง

ก็ไมสามารถสลับท่ีระหวางนักเรียนหญิงดวยกันได แตระหวางนักเรียนชายกับนักเรียนหญิงสลับท่ีกันได ดังนั้น ส่ิงท่ีตองพิจารณา คือ ในตําแหนงท้ัง 8 ตําแหนงนั้น เราจะเลือกมา 4 ตําแหนง เพ่ือใหนักเรียนชาย

สวนท่ีเหลืออีก 4 ตําแหนง ก็จะเปนของนักเรียนหญิง จํานวนวิธีท้ังหมด =

48 = 4!4!

8! = 70 37. เฉลย c. 9

2 n(S) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 (แตละฉบับจะใสตูใดก็ได) n(E) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 (ฉบับแรกใสตูไหนก็ได ฉบับที่ 2 เหลืออีก 2 ตู ฉบับสุดทายเหลือตูเดียว) P(E) = 3 3 3

1 2 3⋅⋅⋅⋅ = 9

2 38. เฉลย a. 11

6 ตามเง่ือนไขจากโจทยจะแบงไดเปน 3 กรณี กรณีท่ี 1 ไดสีแดง 2 ลูก สีน้ําเงิน 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก ได = C(4, 2) ⋅ C(3, 1) ⋅ C(5, 1) = 6 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90 กรณีท่ี 2 ไดสีแดง 1 ลูก สีน้ําเงิน 2 ลูก สีเหลือง 1 ลูก ได = C(4, 1) ⋅ C(3, 2) ⋅ C(5, 1) = 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 กรณีท่ี 3 ไดสีแดง 1 ลูก สีน้ําเงิน 1 ลูก สีเหลือง 2 ลูก ได = C(4, 1) ⋅ C(3, 1) ⋅ C(5, 2) = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 = 120 ∴ n(E) = 90 + 60 + 120 = 270 n(S) = C(12, 4) = 8!4!

12! = 495 P(E) = 495

270 = 5530 = 11

6


39. เฉลย c. 0.7 E = {(2, 3, 4), (2, 4, 5), (2, 5, 6), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)} n(E) = 7 (ในรูป ∆ ใดๆ ผลบวกของ 2 ดาน จะยาวกวาดานท่ีเหลือ) n(S) = C(5, 3) = 10 P(E) = 10

7 = 0.7 40. เฉลย b. 8

2 คาเฉล่ียเลขคณิตของเด็กกลุมนี้ ณ ปจจุบัน = 5 6 5 4 3 2 ++++ = 4

สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน S = N)x (x

N

1i2

i∑=

-

S = 54) (6 4) (5 4) (4 4) (3 4) (2 22222 ----- ++++

= 510 = 2 เนื่องจาก ix′ = xi + 4 ∴ x′ = x + 4, S′ = S = 2 (ไมวาจะผานไปก่ีป สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของอายุเด็กกลุมน้ีก็ยังเหมือนเดิมเสมอ) x = 4 จะได x′ = 4 + 4 = 8 สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของอายุเด็กกลุมน้ีอีก 4 ปขางหนา

= คาเฉล่ียเบนมาตรฐานสวนเบ่ียง

= xS′′

= 82


41. เฉลย b. 10 ชวงคะแนน ความถี่ ความถี่สะสม

1-10 4 4 11-20 x 4 + x 21-30 y 4 + x + y 31-40 10 14 + x + y 41-50 7 21 + x + y 51-60 3 24 + x + y

ชวงคะแนน f F

1-10 4 4 11-20 6 10 21-30 10 20 31-40 10 30 41-50 7 37 51-60 3 40

จากตารางจะได x4+x = 20.5 = Q1 ∴ 4 + x = 4

1 (24 + x + y) [จาก xi = Qk → i = 4k (N)]

16 + 4x = 24 + x + y 3x - y = 8 ...(1) และ x4+x+y = มัธยฐาน = 30.5 ∴ 4 + x + y = 2

y x 24 ++ [จาก xi = Med → i = 2N ]

8 + 2x + 2y = 24 + x + y x + y = 16 ...(2) (1) + (2) ; 4x = 24 x = 6, y = 10 หาคา Q3 i = 4

3 (40) = 30 ∴ Q3 = x30 = 40.5

Q.D. = 2Q Q 13 - = 2

20.5 40.5 - = 10


42. เฉลย a. 2 เน่ืองจาก ∑

=

5

1i

2i A) (x - มีคานอยท่ีสุด เม่ือ A = 5 แสดงวาขอมูลชุดน้ีมี x = 5 (ทฤษฎี)

จะไดวา 5 a 6 5 4 3 ++++ = 5 a = 7

ความแปรปรวน = 55) (7 5) (6 5) (5 5) (4 5) (3 22222 ----- ++++

= 52 1 0 1 2 22 ++++-

= 2 43. เฉลย d. 10 จากความจริง ∑

=

N

1iiZ = 0

∑=

20

1iiZ = 0

Zอ + ∑=

19

1iiZ = 0

Zอ + 2.5 = 0 Zอ = -2.5

S60 xอ - = -2.5

S60 35 - = -2.5

-25 = -2.5S S = 10


44. เฉลย c. 48.96 เน่ืองจาก คะแนนสอบของนายแสงชัย = P67

ให Zส = คามาตรฐานของคะแนนสอบของนายแสงชัย จากเสนโคงความถ่ีของ Z จะได A ของ Zส = 0.17 ∴ Zส = 0.44 (จากตาราง) S

45 xส - = 0.44 ;

= Sx x Z ii

- xส - 0.44S = 45 ...(1) จากโจทย x

S = 0.20 45S = 0.20 ...(2) แทนใน (1) ; S = (0.20)(45) = 9 xส - 0.44(9) = 45 xส = 45 + 3.96 = 48.96 45. เฉลย d. 81,000 บาท ในท่ีน้ีโจทยกําหนดคา y = 150 ลานบาท ตองเขียนสมการความสัมพันธในรูป x = ay + b

y x xy y2 10 4 3 6 7

5 2 1 3 4

50 8 3 18 28

100 16 9 36 49

Σy = 30 Σx = 15 Σxy = 107 210 ∑

=

5

1iix = a ∑

=+

5

1ii 5b y

15 = 30a + 5b ...(1)

∑=

5

1iii xy = a ∑

=

5

1i2iy + b ∑

=

5

1iiy

107 = 210a + 30b ...(2) 7(1) ; 105 = 210a + 35b ...(3)

0.5

0.17

Z0 สZ


(3) - (2) ; -2 = 5b, b = - 52

แทนใน (1) ; 15 = 30a + 5

52- a = 30

17 จะได x = 30

17 y - 52

ขายได 150 ลานบาท ∴ y = 15 x = 30

17 (15) - 52

= 8.1 ตองลงทุน = 8.1 × 10,000 บาท = 81,000 บาท 46. เฉลย b. 9 พิจารณา 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, ... เพ่ือใหงายตอการวิเคราะหลําดับนี้ จะแบงพจนตางๆ ในลําดับนี้เปน 1 , 1, 3 , 1, 3, 5 , 1, 3, 5, 7 , 1, 3, 5, 7, 9 , ... กลุมท่ี 1 กลุมท่ี 2 กลุมท่ี 3 กลุมท่ี 4 กลุมท่ี 5 จะพบวา กลุมท่ี 1 มี 1 พจน กลุมท่ี 2 มี 2 พจน ใหพจนท่ี 1280 อยูในกลุมท่ี n ∴ จํานวนพจนท้ังหมดถึงกลุมท่ี n = 1 + 2 + 3 + ... + n = 2

1) n(n + จะเห็นวา ถา n = 50 จะได 2

1) 50(50 + = 1275 ดังนั้น พจนท่ี 1280 จะอยูในกลุมท่ี 51 และเรียงอยูในลําดับท่ี 5 ของกลุม กลุมท่ี 51 1, 3, 5, 7, 9, ..., 51 พจน ∴ a1280 = 9


47. เฉลย c. -1 เน่ืองจาก P(n) - Q(n) = 0 เม่ือ n = 1, 2, 3, ..., 2009 แสดงวาคําตอบของสมการ P(x) - Q(x) = 0 คือ 1, 2, 3, ..., 2009 เน่ืองจาก P(x) และ Q(x) เปนพหุนามดีกรี 2009 จะเขียนสมการไดในรูป A(x - 1)(x - 2) ... (x - 2009) = P(x) - Q(x) (A เปนจํานวนจริง) ถา x = 2010 จะได A(2009)(2008)(2007) ... 1 = P(2010) - Q(2010) = 1 A((2009)!) = 1 A = (2009)!

1 จะได P(x) - Q(x) = (2009)!

1 (x - 1)(x - 2) ... (x - 2009) x = 0 จะได P(0) - Q(0) = (2009)!

1 (0 - 1)(0 - 2) ... (0 - 2009)

= - (2009)!(2009)!

= -1 48. เฉลย b. (250-261) เน่ืองจาก k หารดวย 7 แลวเหลือเศษ 6 แสดงวา k + 1 หารดวย 7 ลงตัว และ k หารดวย 9 แลวเหลือเศษ 8 แสดงวา k + 1 หารดวย 9 ลงตัว และ k หารดวย 12 แลวเหลือเศษ 11 แสดงวา k + 1 หารดวย 12 ลงตัว ดังนั้น k + 1 เปน ค.ร.น. ของ 7, 9, 12 ค.ร.น. ของ 7, 9, 12 = 252 ∴ k = 251 49. เฉลย c.

5545

9

จาก a10 = b12 ...(1) และ a2b = b3a ...(2) a = b12/10 = b6/5 แทนใน (2) ; (b6/5)2b = b3a 5

6 (2b) = 3a = 3(b6/5) เอา 3b หาร ; 5

4 = b1/5

5

54

= b

∴ a = 6/55

54

=

654

a + b = 6

54

+

554

=

554

+ 1 54

= 5

54

59 =

5545

9


50. เฉลย d. 161 242 = 243 - 1 = 35 - 1 หาร 324 + k ดวย 35 - 1 319 + 314 + 39 + 34 35 - 1 324 + k 324 - 319 324 - 319 + k 324 - 319 - 314 324 - 319 - 314 + k 324 - 319 - 314 - 39 324 - 319 - 314 - 39 + k 324 - 319 - 314 – 39 - 34 324 - 319 - 314 – 39 - 34 + k ∴ 34 + k = 35 - 1 = 242 k = 242 - 81 = 161

0 เฉลย pre-pat1 วิชาความถน ัดทางคณ ิตศาสตร...

Documents