0 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET)

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 1

เฉลยขอสอบ PRE-GAT & PAT’มีนา PAT3 : วิชาความถนัดทางวิศวกรรม รหัสวิชา 73

1. c. 2. c. 3. c. 4. c. 5. a. 6. b. 7. d. 8. d. 9. a. 10. c. 11. d. 12. b. 13. a. 14. c. 15. c. 16. d. 17. c. 18. d. 19. c. 20. b. 21. d. 22. b. 23. c. 24. d. 25. d. 26. a. 27. c. 28. d. 29. d. 30. a. 31. d. 32. c. 33. b. 34. d. 35. c. 36. c. 37. d. 38. d. 39. c. 40. b. 41. a. 42. d. 43. b. 44. d. 45. b. 46. d. 47. c. 48. d. 49. c. 50. d. 51. d. 52. c. 53. a. 54. b. 55. d. 56. d. 57. c. 58. b. 59. c. 60. b. สวนที ่1 ฟสิกส ขอ 1-40 (ขอละ 5 คะแนน) 1. เฉลย c. 100 km/h

BA BAvv

Avv-

Bvv

km/h 80 vB =

km/h 60 vA = ความเร็วของ B ท่ีวัดโดย A เรียกวา ความเร็วของ B สัมพัทธกับ A ซ่ึงนิยามดังนี้ BAvv = Bvv - Avv ตามรูปขวา แสดงวา | BAvv | = 2

A2B v v +

= 22 (60) (80) + = 100 km/h 2. เฉลย c. 83.3 W จากนิยามกําลัง P = t

W∆∆ จึงไดวาพ้ืนท่ีใตกราฟ P - t เทากับงาน W จากรูปของโจทย เราไดงาน

ในชวง 60 s คือ W = 2

1 (100)(60 + 40) = 5000 J กําลังเฉล่ีย P = t

W = 60

5000 = 83.3 W

2 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET)

3. เฉลย c.

a

t

ขณะลูกปงปองตกลงมาจะมีแรงตานจากอากาศ (แรงหนืด) ซ่ึงแปรผันตรงกับอัตราเร็ว ดังนั้นชวงแรก

ลูกปงปองเคลื่อนท่ีเร็วขึ้น ชวงหลังเคล่ือนท่ีดวยอัตราเร็วประมาณวาคงตัวเนื่องจากแรงตานมีคาใกลเคียงกับน้ําหนัก ในแงความเรงของลูกปงปองจะมีคาลดลงเขาใกลศูนย กราฟ v-t และ a-t แสดงดังรูป v

t

a

t 4. เฉลย c. 2R

V2 vR

t

ความตางศักยครอม R เปนแบบกระแสตรงครึ่งคล่ืน ดังรูป ในกรณีท่ีเปนความตางศักย กระแสสลับ

แบบเต็มคล่ืนของแหลงกําเนิดคา Vrms หรือ V = 2v หรือ 2v = V2 ในกรณีครึ่งคล่ืนได 2v = 2V2 หรือ

ไดคา rms คือ V′ = 2V จึงหากําลังของ R ไดจาก

P = RV 2′ = 2R

V2 ซ่ึงเปนครึ่งหนึ่งของกรณีเต็มคล่ืน 5. เฉลย a. 8

1

2 m

mgv 4g a =

mg

kf

จากรูป ไดสมการการเคล่ือนท่ี คือ mg - fk = 3ma mg - µk(2mg) = 3m

4g

µk = 81

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 3

6. เฉลย b.

22

Aa 1

2gh-

จากสมการตอเนื่อง A1v1 = A2v2 ได ดังนั้น Au = av ...(1) จากสมการแบรนูลลี P + 2

1 ρv2 + ρgh = คงท่ีใหรูเปนระดับอางอิง ดังนั้น P0 + 2

1 ρu2 + ρgh = P0 + 21 ρv2 ...(2)

แทนคา u จาก (1) ใน (2) ได 2

1 ρ2

Aav

+ ρgh = 2

1 ρv2

21 v2

22

Aa 1- = gh

v =

22

Aa 1

2gh-

7. เฉลย d. ประจุไฟฟาใน C เทากับ CV ตัวเหนี่ยวนําและตัวเก็บประจุเมื่อตอในวงจรกระแสตรงที่สภาวะสุดทาย ตัวเหนี่ยวนําจะเปนเพียงลวด

ตัวนํา และตัวเก็บประจุจะไมมีกระแสผานเนื่องจากประจุสะสมเต็มวงจรตามโจทยจะไมมีกระแสในวงจร จึงทําใหความตางศักยครอม C เทากับ V และมีประจุ Q = CV (ไมมีความตางศักยครอม R และครอม L) โดยพลังงานภายในตัวเก็บประจุ คือ 2

1 CV2 8. เฉลย d. มีความรอนไหลออกจากกระบอกสูบ

Q T คงตัวF (อัด)

(P เพิ่มขึ้น)

ขณะอัดลูกสูบชาๆ แกสจะทํางานเปนลบ เนื่องจากปริมาตรลดลง (งานภายนอกท่ีกระทําตอแกสเปนบวก)

ในขณะที่อุณหภูมิของแกสคงตัวตลอดเวลา เพราะสมดุลความรอนกับส่ิงแวดลอมทุกๆ ขณะ จากกฎขอท่ีหนึ่งของเทอรโมไดนามิกส Q = ∆U + W แต ∆U = 0 เพราะอุณหภูมิคงตัว (U = 2

3 nRT) ดังนั้น Q = W แต W เปนลบ (งานท่ีแกสทํา) จึงได Q เปนลบ ซ่ึงหมายถึง ระบบคายความรอน

เราอาจมองงายๆ วางานท่ีส่ิงแวดลอมภายนอกกระทําตอแกสเปล่ียนเปนความรอนท่ีไหลออกจากระบบท้ังหมด เพราะพลังงานภายในของระบบไมเปล่ียนแปลง (อุณหภูมิคงตัว)

A

ahu

v

0P

0P

4 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET)

9. เฉลย a. R2V1

2

12N

N

50%

1V

1I

1N

2IR2V

2N ประสิทธิภาพหมอแปลงเปน 50% แสดงวา P2 = 100

50 P1

RV22 = 2

1 I1V1 ...(1)

แต 21

VV = 2

1NN หรือ V2 = 1

2NN V1 แทนคาใน (1) ได

RV

NN 21

2

12

= 21 I1V1

I1 = R2V1

2

12N

N

10. เฉลย c. ทรงกระบอกทั้งสองมีขนาดโมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนหมุนเทากัน ขนาดความเรงเชิงมุมของทรงกระบอก คือ ∝ = I

τ เมื่อเวลาผานไป t (เริ่มจากหยุดนิ่ง) จะได อัตราเร็วเชิงมุม ω = ω0 + ∝t = I

τ t ...(1) พลังงานจลนการหมุน Ek = 2

1 Iω2

= 21 I

2It

τ

= It

21 22τ ...(2)

ขนาดโมเมนตัมเชิงมุม L = Iω = I

τIt

= τt ...(3) เนื่องจากโมเมนตความเฉื่อย (I) ของทรงกระบอกกลวง (mr2) มากกวาของทรงกระบอกตัน ( 2

1 mr2) เมื่อใช τ และ t เทากัน ทําใหสรุปไดวา

ωกลวง < ωตัน, Ek กลวง < Ek ตัน และ Lกลวง = Lตัน

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 5 11. เฉลย d. θ cos 8

R ระยะไกล R หาไดจากสมการ R = g

2 sin u2 θ

เมื่อลดมุมเหลือ 2θ และอัตราเร็วตนเหลือ 2

u จะได

R′ = 4g sin u2 θ

ดังนั้น RR′ = θ

θ2 sin 4

sin

= θθθ

cos sin 8 sin ; (จาก sin 2θ = 2 sin θ cos θ)

ดังนั้น R′ = θ cos 8R

12. เฉลย b. 4 2 m/s2 การเคล่ือนท่ีเปนวงกลมที่อัตราเร็วไมคงตัวมีความเรงท้ังในแนวสูศูนยกลาง ( cav ) และในแนวสัมผัส

( tav ) ซ่ึงความเรง 2 คานี้จะต้ังฉากกัน โดยท่ี ac = r

v2 at = อัตราการเปลี่ยนแปลงอัตราเร็ว = t

v∆∆

จากโจทยได ac = rv2 = 100

(20)2 = 4 m/s2 at = t

v∆∆ = 4 m/s2

ขนาดความเรง (รวม) หาไดจาก a = 2

t2c a a + = 4 2 m/s2

13. เฉลย a. L2ABl

ความเร็ว v ของแทงตัวนําท่ีเวลาใดๆ คือ v = ωA sin (ωt + φ0) เมื่อ φ0 เปนเฟสเร่ิมตน แรงเคลื่อนไฟฟา e ท่ีเวลาใดๆ หาไดจาก e = vBl = AB ωl sin (ωt + φ0) แสดงวาแทงตัวนําเปนแหลงกําเนิดกระแสสลับแบบไซน โดยมีแรงเคลื่อนสูงสุด Em = AB ωl และ

ตอกับความตานเชิงเหนี่ยวนํา XL = ωL ดังนั้น กระแสยังผล I = 2

Im = L

m X 2

E×

= L2ABωωl

= L2ABl

6 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 14. เฉลย c. ทรงกลมทั้งสองถึงปลายลางพ้ืนเอียงดวยอัตราเร็วเชิงมุมรอบจุดศูนยกลางมวลไมเทากัน ความเรงของวัตถุท่ีกล้ิงโดยไมไถลลงตามพ้ืนเอียงขึ้นกับมุมเอียงและรูปทรงเรขาคณิตเทานั้น ดังนั้น

ทรงกลมตันจะกล้ิงลงดวยความเรงเทากันถึงแมมวลและรัศมีจะตางกัน และทรงกลมตันท้ังสองจึงถึงพ้ืนดวยอัตราเร็วและเวลาเทากัน แตอัตราเร็วเชิงมุมตางกันเพราะจาก v = ωr แสดงวาทรงกลมใบเล็กจะมีอัตราเร็วเชิงมุมมากกวา

หมายเหตุ ความเรงของการกลิ้งลงตามพื้นเอียงโดยไมไถล คือ a =

2mrI 1 sin g

+

θ

ซ่ึงหาไดจากสมการ τΣv = αΣv , FvΣ = amv และ a = αr 15. เฉลย c. 21.6 N แรงลัพธบนวัตถุเทากับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุตามสมการ Fv = t

P∆∆v

= t)v(m

∆∆ v

เมื่อสนใจขณะใดๆ (∆t → 0) จะได Fv = m t

v∆∆v + vv t

m∆∆ (อนุพันธของผลคูณ)

= amv + vv tm∆∆

แทนคาตามท่ีโจทยกําหนดได F = 10(2) + 4(0.4) = 21.6 N สังเกตวา Fv = amv ใชเมื่อ m คงท่ีเทานั้น 16. เฉลย d. A

sin F 2 θ

Fθ

AF sin θθ= sin

A พื้นท่ี

F cos θ

Fθ

ความเคนในแนวตั้งฉากกับพ้ืนท่ีเอียงคือ S⊥ =

θ

θ

sinA

sin F

= A sin F 2 θ

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 7 17. เฉลย c. 0.16 m และ 2250 Hz

20 m/s 20 m/s

v = 340 m/sBA

ความยาวคลื่นท่ี B ไดรับ λหนา = s

sf v v -

= 200020 340 -

= 0.16 m

ความถ่ีท่ี B ไดรับ f0 = fs

±±

s0 v v

v v

= 2000

+ 20 340 20 340

- = 2250 Hz หมายเหตุ อัตราเร็วของผูสังเกตไมมีผลตอการวัดความยาวคลื่น สําหรับเครื่องหมายของ v0 และ vs

ใชหลักอัตราเร็วเสียงสัมพัทธกับ 0 และ s 18. เฉลย d. I อาจเพ่ิมขึ้นหรือลดลง อิมพิแดนซ Z ของวงจรอนุกรม RLC คือ

Z = 2CL

2 ) X (X R -+ = 22

C1 L R

ωω+ -

สังเกตวา เมื่อเพ่ิมความถ่ีเชิงมุม ω จะทําให Z เพ่ิมขึ้น ถา ωL > C1ω แต Z จะลดลงถา

C1ω > ωL ดังนั้นกระแสยังผล I = V/Z จึงอาจเพ่ิมขึ้นหรือลดลงก็ได กราฟระหวาง I และ ω แสดงคราวๆ ดังรูป

I

ω

LC1 r =ω

โดย ωr เปนความถ่ีเชิงมุมท่ีทําใหเกิดการส่ันพอง คือ มีกระแสยังผลสูงสุด ซ่ึงเกิดเมื่อ XL = XC

8 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 19. เฉลย c. tan θ

θ mg

va

N

มวลรวม = MF

mθ

F cos θ

N f kµ=

F sin θ

แรงเสียดทานทําใหความเรงของภาชนะมีทิศซาย (ความหนวง) และผิวของเหลวดานขวาสูงกวาดานซาย

ดังรูป ให m เปนชิ้นของเหลวเล็กๆ บริเวณผิวซ่ึงมีแรงดัน F ในแนวตั้งฉาก จึงได F sin θ = ma F cos θ = mg ดังนั้น a = g tan θ ถา M เปนมวลรวม จะได µkN = ma µkmg = mg tan θ ดังนั้น µk = tan θ

20. เฉลย b. tABv

A

R

C

B

D

i

t

vAC

กระแสจะผานไดโอด D ไดก็ตอเมื่อ vAB > 0 โดยขณะมีกระแส i ผาน ความตางศักยครอม D หรือ

vAC = 0 เพราะถือวา RD = 0 จากโจทยกําหนดครึ่งแรก vAC < 0 แสดงวาขณะนั้นไมมีกระแสผานจึงทําให vBC = 0 และ vAB = vAC

ในครึ่งหลัง vAC = 0 แสดงวากระแสผาน D ไดจึงทําให vAB > 0 และ vBC = -iR จึงไดกราฟ vAB และ vBC ดังรูป

tvAB

t

vBC

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 9 21. เฉลย d. มีความเรงเชิงมุม 20 rad/s2 ทิศพุงออก เฟองท่ีหมุนจะทําใหเฟองติดกันหมุนในทิศตรงขามโดยมีอัตราเร็วท่ีขอบเฟองเทากัน และขนาด

ความเรงในแนวสัมผัสท่ีขอบเฟองเทากัน พิจารณาเฟอง A และ B ตามโจทย

rA rBωBωA

αA αB

vA = vBatA = atB

แต v = ωr และ at = αr จึงได ωArA = ωBrB 50(20) = ωB(10) ωB = 100 rad/s (ทวนเข็ม) และ αArA = αBrB 10(20) = αB(10) αB = 20 rad/s2 (ทวนเข็ม) 22. เฉลย b. TC, TB และ TA

θ

θ

T0T0 sin θ

T0 cos θT0 sin θ

T0 cos θT0

cg

T sin α

T cos αα

T

W ให W เปนน้ําหนักของสายไฟ หาแรงตึง T0 ท่ีปลายสองดาน ดังนี้ 2T0 sin θ = W T0 = θ sin 2

W ความตึงเชือกท่ีตําแหนงท่ีเชือกทํามุม α ใดๆ กับแนวระดับหาไดจากสมดุลแรงในแนวราบ คือ T cos α = T0 cos θ =

θ sin 2W cos θ

T = αθ

cos 2 cot W

สังเกตวาความตึง T เพ่ิมขึ้นเมื่อ cos α ลดลง หรือเมื่อ α เพ่ิมขึ้น แสดงวา TC < TB < TA

10 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 23. เฉลย c. คล่ืน W1 มีพลังงานมากกวาคล่ืน W2 คล่ืนในตัวกลางเดียวกันมีอัตราเร็วเทากัน โดยถาความถ่ีมากกวาจะมีความยาวคลื่นส้ันกวา และถามี

แอมพลิจูดมากกวาและความถี่มากกวาจะมีพลังงานมากกวาพลังงานคล่ืน αf2A2 จากโจทยคล่ืน W1 มีความถ่ีมากกวา W2 แตคล่ืน W2 อาจมีพลังงานมากกวาหรือนอยกวาคล่ืน W1

24. เฉลย d. 237W

C30°

A

B 2 WRBx W

RAx = RBxRBy

ยาว

23W B R ByAy ==

l สมมติแรงแนวราบ และแนวดิ่งท่ีจุด A และ B เปนดังรูป เมื่อคิดโมเมนตรอบจุด B ได Mตาม = Mทวน W

2l + 2W

2l = RAx l sin 30°

RAx = 3W พิจารณาท่ีคานอันบนตามรูปซาย จะได Fx = RAx = 3W Fy + RAy = 2W Fy + 2

3W = 2W Fy = 2

W

ขนาดแรงที่จุด C คือ F = 2y

2x F F +

= 22

2W (3W)

+

= 237W

C

A

2 W

FyRAx

23W RAy =

Fx

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 11 25. เฉลย d. 5

3R

A B A BR

R/2 R/2

R/2 R/2R/2C

DEF

G H

F

HG

ECD

(ทุกตัว = R) วงจรดานซายมีความสมมาตรโดยระนาบ ABHG เปนระนาบสมมาตรจึงทําให VC = VD และ

VE = VF และยุบรวมเปนจุดเดียวกันไดดังรูปขวา ซ่ึงการหา RAB จะตัดความตานทาน R/2 สองตัวบนท้ิงได เพราะไมมีกระแสผาน (ไมครบวงจร) จึงได

RAB = R 23R

(R)23R

+

= 53R

26. เฉลย a. 7

60 µF

A B

C

D

+ - + -

+ - + -

1C 3C

5C

2C 4C

วงจรตัวเก็บประจุดังรูป เปนวงจรแบบบริดจ ซ่ึงจะอยูในสภาพสมดุล (VCD = 0 และ Q5 = 0) ก็ตอเมื่อ

21

CC =

43

CC

วงจรตามโจทย เมื่อตัดตัวกลางทิ้งจะได ดังรูป

A B

F 740 8 20

(20)(8) µ=+

F 720 4 10

(10)(4) µ=+ ดังนั้น CAB = 740 + 720 = 760 µF

12 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) ขอสังเกต การคิดคาความจุรวม จะไมเหมือนกับคิดความตานทานรวม คือ 1. ตัวเก็บประจุตอขนานกัน คาความจุรวม = C1 + C2 2. ตัวเก็บประจุตออนุกรมกัน คาความจุรวมหาจาก C

1Σ =

1C1 +

2C1

จะเห็นวาจะใชสูตรสลับกับการคิดความตานทานรวม 27. เฉลย c. 2

R0 พิจารณาวงจร ดังรูป มีความจริงท่ีนักเรียนควรจําไดวาคา R ท่ีทําใหกําลังของ R สูงสุด คือ R = r ซ่ึงพิสูจนไดดังนี้ P = I2R =

2r R E

+ R

dRdP = E2 dRd

+ 2r) (R R

0 = E24

2

r) (R r) 2R(R r) (R ][

+

++ -

สูตรอนุพันธผลหาร

dxd

g(x)f(x) = 2][g(x)

(x)gf(x) (x)fg(x) ′′ -

(R + r)2 = 2R(R + r) R2 + 2Rr + r2 = 2R2 + 2Rr R = r จะเห็นวา R ไมขึ้นกับคา E

E

R

0R

0R เทียบเทากับE

R

0R

E = 00R ไดเปน

R

/2R0E E ′=Σ

วงจรตามโจทยอาจมองไดวา R0 2 ตัวตอขนานกันไดความตานทานรวม 2

R0 เสมือนเปนความตานทานภายในของเซลลไฟฟาท่ีมีแรงเคลื่อน Eรวม คาหนึ่งหาไดจากสูตร

Eรวม = 211221

r rrE rE

++

= 0000

R R)0(R )E(R

++ = 2

E

E

R

r

I

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 13 จึงไดวงจร ดังรูป

E/2

R

R0/2 สรุปวากําลัง R สูงสุด เมื่อ R = 2

R0 หมายเหตุ เราอาจหาคา R ตามโจทยโดยตรงจากการหากําลัง P ของ R โดยตรง แลวใชเง่ือนไข

dRdP = 0 แตจะยาวมาก 28. เฉลย d. I1r1 + I1R1 = E1 - I2R2 R1

R2

I1 I2

I3 R3

E1r1

E2r2

A

B ตามกฎขอท่ีสองของเคอรชอฟฟ ในแตละวงปดจะมี ΣV = 0 หรือ ΣIR = ΣE สําหรับวงจรที่มี

เพียงเซลลไฟฟาและตัวตานทาน เมื่อใหทิศวนตามเข็มเปนทิศบวกจะได วงซาย I1r1 + I1R1 + I2R2 = E1 วงขวา I3R3 + I3r2 - I2R2 = E2 วงนอก I1r1 + I1R1 + I3R3 + I3r2 = E1 + E2 เทียบสมการเหลานี้กับตัวเลือก จะไดวาตัวเลือก d. ถูกตอง 29. เฉลย d. 2k

m)g (M + สปริงสองตัวตอขนานกันจึงได kรวม = k + k = 2k และระบบมีคาบการส่ัน T = 2π 2k

m M +

จะได ω = T2π = m M

2k+

เมื่อมวล m เริ่มหลุดลอยจากกลองพอดีจะมีแรงแนวฉาก N = 0 ดังรูป ขณะนี้ความเรงของกลองเทากับ gv แสดงวาระบบตอง

มีขนาดความเรงสูงสุดไมเกิน g ความเรงสูงสุดของ SHM มีขนาด

amax = ω2A = 22

T4π A

g =

+ m M2k A

A = 2km)g (M +

N = 0

gmv

พ้ืนกลอง

14 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 30. เฉลย a. 4.8 m/s2 และ 8 m/s2 ตามลําดับ

m

N2 N1

a (เรง)

m

N2 N1

a′ (หนวง)

0 fS2 ≈′ S1f S2f S1f ขณะรถเรงเครื่องแรงเสียดทานท่ีลอหนาซ่ึงเปนลอขับเคล่ือนเปนแรงลัพธท่ีทําใหรถมีความเรง ตามรูป

ซาย fS1 = ma ความเรงสูงสุดหาไดจากการเกิดแรงเสียดทานสถิตสูงสุด µSN1 = mamax 0.8

2.51.5 m(10) = mamax

amax = 4.8 m/s2 ขณะรถเบรกจะเกิดแรงเสียดทานตานท้ังลอหนาและลอหลังทําใหเกิดความหนวง a′ โดยคาสูงสุดหา

ไดจาก µS(N1 + N2) = maxam ′ 0.8(mg) = maxam ′ maxa′ = 8 m/s2 31. เฉลย d.

2f s f

- v

sO I

f

v

s′

v′

ตามรูปเปนภาพจริง ดังนั้น f1 = s

1 + s1′ ...(1)

แตอัตราเร็ว v = - dtds และ v′ = dt

sd ′ เมื่อหาอนุพันธสมการ (1) เทียบกับเวลาท้ังสองดาน จะได

0 = -s-2 dtds - s′-2 dt

sd ′

= 2sv - 2s

v′′

v′ = 2

ss

′ v ...(2)

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 15 จาก (1) จะได f

s = 1 + ss′

ss′ = f

f s - ...(3)

แทนคา ss′ จาก (3) ใน (2) ได

v′ = 2

f s f

- v ขอสังเกต ผลท่ีไดแสดงวา v′ = m2v เมื่อ m เปนกําลังขยายในแนวตั้งฉากกับแกนมุขสําคัญ

32. เฉลย c.

มวง

แดง

แสงท่ีมีความถ่ีตางกันจะหักเหไดตางกัน โดยแสงสีมวง (fมาก) หักเหเบนจากแนวเดิมไดมากท่ีสุด

ในขณะที่แสงสีแดงหักเหเบนจากแนวเดิมไดนอยท่ีสุด ดังนั้นความยาวโฟกัสสําหรับแสงสีมวงจะมีคานอยกวาความยาวโฟกัสสําหรับแสงสีแดงตามรูปตัวเลือก c.

33. เฉลย b. 20 N ขณะลอยนิ่งมีระยะจมครึ่งหนึ่ง

= 2v vจม จึงได mg = B1 20 = B1 ขณะใชแรง F กดใหจมมิด จะได F + mg = B2 = 2B1 F + 20 = 2(20) F = 20 N สังเกต ในตอนแรกแรง mg = 20 N ทําใหวัตถุจมไดครึ่งหนึ่งพอดี ดังนั้นอีกครึ่งหนึ่งท่ีเหลือก็ควรใชแรง

เทากัน ในการกดลงไป ∴ F = 20 N 34. เฉลย d. 3

4π W ให P เปนกําลังเครื่องจักรแตละเครื่อง ท่ีระยะหาง 100 m มีระดับความเขมเสียง 80 dB หาความเขม

จากสมการ β = 10 log 0I

I

80 = 10 log 1210I-

I = 10-4 W/m2

16 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) ดังนั้น จากสูตร I = 2r4

Pπ

จึงได

10-4 = 2(100)43P

π

P = 34π W

35. เฉลย c. 0.75 mm ความตึงเชือกหาไดจากกฎของนิวตันขอท่ีสอง T - mg = ma T = mg + ma = 100 + 10(5) = 150 N มอดูลัสของยัง Y = φ

S = ll∆AF โดย F = T

รยะยืด ∆ l = YAFl

= )10 )(20(10(150)(1)

610 -×

= 7.5 × 10-4 m = 0.75 mm 36. เฉลย c. 125 นาที ความรอน Q = Pt = 1ml + mc∆T + 2ml แทนคาในหนวย kJ ไดดังนี้ 4(t) = 10(330) + 10(4.2)(100) + 10(2250) = 3300 + 4200 + 22500 t = 7500 s = 125 นาที 37. เฉลย d. ลดลง 3% พิจารณาอากาศที่อยูในหองจะไดวา 11

1T

Pρ = 22

2T

Pρ

เมื่อ ρ = m/v โดย P1 = P2 = Pa เนื่องจากหองเปด ดังนั้น ρ1T1 = ρ2T2 ρ1(300) = ρ2(310) ρ2 = 0.97ρ1 แสดงวาความหนาแนนของอากาศลดลง 3%

a

mg

T

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 17 38. เฉลย d. ใชมาโนมิเตอรวัดความดันเกจของน้ําท่ีกนถัง ถูกตอง เพราะมาโนมิเตอรใชวัดความดันเกจของของเหลวหรือแกส a. ไมถูกตอง เพราะกระแสจะมีคามากจนแอมมิเตอรเสียหาย b. ไมถูกตอง เพราะตองใชโวลตมิเตอรตอครอมความตานทาน เพ่ือวัดความตางศักย c. ไมถูกตอง เพราะบารอมิเตอรแบบปรอทใชวัดความดันบรรยากาศ 39. เฉลย c. จุดศูนยกลางมวลของระบบหลังระเบิดเคล่ือนท่ีลงในแนวดิ่งดวยความเรงคงตัว การระเบิดเปนไปตามกฎอนุรักษโมเมนตัม คือ กอนระเบิดPvΣ = หลังระเบิดPvΣ ทิศทางการระเบิด แสดงดังรูป

m

Pv

2m1Pv

Pv

2m

2Pv

ถูกตอง เพราะแรงลัพธกระทําตอระบบ คือ gmv ท้ังกอนระเบิดและหลังระเบิด ดังนั้นจุดศูนยกลาง

มวลของระบบจึงตกลงอิสระดวยความเรง gv คงตัว a. ไมถูกตอง เพราะอีกกอนหนึ่งจะเคล่ือนท่ีในแนวเฉียงดวยโมเมนตัม 2P

v ดังรูป b. ไมถูกตอง (ตามรูป) d. ไมถูกตอง เพราะหลังระเบิดชิ้นสวนท้ังสองมีอัตราเร็วไมเทากันโดย v2 > v1 เพราะ P2 > P1 (ตาม

รูป) หลังระเบิดจึงมีพลังงานจลนไมเทากัน 40. เฉลย b. (0.32)T สมการปริมาณสารกัมมันตรังสีท่ีเหลืออยูท่ีเวลา t คือ m = m0e-λt เมื่อ λ = T

ln2

หรือ ln

0mm = -λt

แทนคาได ln

10080 = - T

2 ln t

-0.223 = - T0.693 t

t = (0.32)T

18 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) สวนที ่2 เคม ี ขอ 41-50 (ขอละ 5 คะแนน) 41. เฉลย a. ง. ค. ข. ก. R-COOH (ก.) และ R-OH (ข.) เกิดพันธะไฮโดรเจน และ R-COOH มขีั้วแรงกวา R-OH

นอกจากนี้ ก. ยังมีมวลโมเลกุลมากกวา ข. ∴ ก. จึงมีจุดเดือดสูงท่ีสุด สวน Ketone (ค.) จะเกิดแรงระหวางขั้ว แต Hydrocarbon (ง.) จะไมเกิดท้ังแรงระหวางขั้วและพันธะไฮโดรเจน จึงมีจุดเดือดตํ่าท่ีสุด ดังนั้นจุดเดือดและจุดหลอมเหลวจึงเรียงลําดับไดดังนี้ Hydrocarbon < Ketone < Alcohol < Carboxylic

42. เฉลย d. C10H22 > C8H16 > C6H14 C6H14 + 9.5O2 6CO2 + 7H2O C8H16 + 12O2 8CO2 + 8H2O C10H22 + 15.5O2 10CO2 + 11H2O เราอาจคํานวณปริมาณ O2 ท่ีใชในการเผาไหม CXHY 1 โมล ใหสมบูรณได = X + 4

Y 43. เฉลย b. B > D > C > A A = 2, 8, 3 B = 2, 8, 8, 1 C = 2, 8, 2 D = 2, 8, 8, 2 ย่ิงเวเลนซอิเล็กตรอนนอย และคาบสูงๆ จะเกิดพันธะไอออนิกไดงาย ∴ B > D > C > A 44. เฉลย d. D A = 2, 7 (F2) B = 2, 6 (O2) C = 2, 8, 7 (Cl2) D = 2, 8, 8 (Ar) เปนแกสเฉื่อย 45. เฉลย b. Cu(s) + 2AgNO3(aq) Cu(NO3)2(aq) + 2Ag(s) Cu เปนโลหะ กลายเปน Cu2+ ใน Cu(NO3)2 แสดงวา Cu เสียอิเล็กตรอน 46. เฉลย d. U238

92 + n10 Te139

52 + Zr9740 + 3 n1

0 ปฏิกิริยาฟชชัน คือ ปฏิกิริยานิวเคลียรท่ีเกิดจากการยิงอนุภาคนิวตรอนเขาไปยังนิวเคลียสของธาตุหนัก แลวทําใหแตกออกเปนธาตุท่ีเลขอะตอมนอยกวา และไดนิวตรอนอนุภาคใหมออกมา

47. เฉลย c. +4NH , -

42POH , -3HCO

ทุกตัวสามารถแตกตัวให H3O+ ได +

4NH + H2O ⇔ NH3 + H3O+ -

42POH + H2O ⇔ -24HPO + H3O+

-3HCO + H2O ⇔ -2

3CO + H3O+

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 19 48. เฉลย d. สารละลาย สารละลายจะมีจุดเดือดและจุดหลอมเหลวไมคงท่ี สวนสารประกอบ ธาตุ เปนสารบริสุทธิ์ ดังนั้นจึงจะ

มีจุดเดือดและจุดหลอมเหลวที่คงท่ี 49. เฉลย c. ประกอบดวย ไอโซออกเทน 90% และเฮปเทน 10% โดยมวล เลขออกเทนเปนเลขท่ีบอกคุณภาพน้ํามันเบนซิน เลขออกเทน 90 หมายความวา น้ํามันมีสมบัติ

การเผาไหมเชนเดียวกับเชื้อเพลิงท่ีประกอบดวยไอโซออกเทน 90% และเฮปเทน 10% โดยมวล 50. เฉลย d. สารละลายนี้เปนสารละลายของสารสีเขียวในของเหลวไมมีสีท่ีไมใชน้ํา เมื่อนําไปกล่ันแลวปรากฏของเหลวใสออกมา แสดงวาของเหลวนี้ไมใชสารบริสุทธิ์ แตเปนสารละลายท่ี

มีสีของเหลวใสเปนตัวทําละลาย โดยมีสารสีเขียวเปนตัวละลายและของเหลวไมใชน้ํา เพราะจุดเดือด 79°C สวนที ่3 คณิตศาสตร ขอ 51-60 (ขอละ 5 คะแนน) 51. เฉลย d. 44 < A < 45 ให R เปนรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีมีความกวาง x หนวย และมีความยาว y หนวย ให f(x) เปนความยาวเสนรอบรูปของ R ∴ f(x) = 2x + 2y จาก xy = 125 ∴ f(x) = 2x + 2

x125

f′(x) = 2 - 250x-2 = 0 2x

250 = 2

∴ x2 = 125 x = 125 (ความยาวตองมากกวาหรือเทากับ 0) = 5 5 ∴ y = 55

125 = 525

55 = 5 5

∴ ความยาวเสนรอบรูป คือ 2(5 5 ) + 2(5 5 ) = 20 5 จาก 5 ≈ 2.23 ∴ 20 5 ≈ 44.6 ∴ 44 < A < 45 52. เฉลย c. 23 คน เนื่องจากแตละคนจะเกิดไดเพียงหนึ่งวันและมีวันท้ังหมด 7 วัน จึงตองเลือกนักเรียนชายอยางนอย 8

คน จึงจะมั่นใจไดวามีนักเรียนชายอยางนอยสองคนเกิดวันเดียวกัน และในทํานองเดียวกันตองเลือกนักเรียนหญิงอยางนอย 15 คน จึงจะมั่นใจไดวามีนักเรียนหญิงอยางนอย 3 คน เกิดวันเดียวกัน

ดังนั้น จึงตองเลือกนักเรียนชายและนักเรียนหญิงรวมกันนอยท่ีสุด 8 + 15 = 23 คน

20 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 53. เฉลย a. 425 จากโจทย จํานวนทอน้ําในกองท่ี 1 คือ 15 + 14 + 13 + 12 + 11 = 65 จํานวนทอน้ําในกองท่ี 2 คือ 14 + 13 + 12 + 11 + 10 = 60 จํานวนทอน้ําในกองท่ี 3 คือ 13 + 12 + 11 + 10 + 9 = 55 M M จํานวนทอน้ําในกองท่ี 10 คือ 06 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20 ∴ จํานวนทอน้ําท้ังหมด คือ 65 + 60 + 55 + ... + 20 S10 = 2

10 (65 + 20) = 5(85) = 425 54. เฉลย b. 53136 จากแผนภาพ ในป 2551 สินคา B จําหนายได 5

18000 × 18 = 64800 ชิน้ เนื่องจากในป 2552 สินคา B มียอดขายลดลง 18% ดังนั้น ในป 2552 สินคา B จําหนายได 100

82 × 64800 = 53136 ชิ้น 55. เฉลย d. การดําเนินการจะเปนไปโดยไมหยุด ให k ∈ {1, 2, 3, 4, 5} A = k และ B = 9 เนื่องจาก 9 ≤ 9k ≤ 45 และ 9k ≠ 0 ดังนั้นทําคําส่ังท่ี 3 ให B เพ่ิมขึ้น A ∴ B = 9 + k ให A เพ่ิมขึ้น B ∴ A = k + (9 + k) = 9 + 2k ให A เปนเศษท่ีไดจากการหาร A ดวย B จาก 9 + 2k = (9 + k) + k ∴ A = k = เศษ สังเกตวา เมื่อทําถึงคําส่ังท่ี 5 คา A จะเทากับคาแรกท่ีเลือกเสมอ ซ่ึง 9A ≥ 50 และ 9A ≠ 0

ดังนั้น การดําเนินการจะเปนไปโดยไมหยุด 56. เฉลย d. มีขอถูกมากกวาหนึ่งขอ สมมติราคาสินคา 100 บาท ถาใชคูปองสวนลด 20% สินคาจะเหลือราคา 80 บาท พิจารณาการใชคูปองสวนลด 15% กอน แลวตามดวยคูปองสวนลด 6% สินคาจะเหลือราคา

× 100 10015 100 - = 100 - 15 = 85 บาท

แลวเมื่อใชคูปองสวนลด 6% ตอ สินคาจะเหลือราคา

× 85 1006 85 - = 85 - 5.1 = 79.9 บาท

ซ่ึงมีราคาถูกกวาการใชคูปองสวนลด 20%

บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET) 21 สังเกตวา หากใชคูปองสวนลด 6% กอน แลวตามดวยคูปองสวนลด 15% สินคาจะเหลือราคา

× 100 1006 100 - - 100

15

× 100 1006 100 - = 94 - 100

15 × 94

= 94 - 203 × 94

= 79.9 บาท ซ่ึงมีราคาเทากับการใชคูปองสวนลด 15% กอน แลวตามดวยคูปองสวนลด 6% ดังนั้น จึงมีขอถูกมากกวาหนึ่งขอ 57. เฉลย c. 210 รูป การแบงรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากออกเปน 1 ชิ้น จะมีรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก 1 รูป การแบงรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากออกเปน 2 ชิ้น จะมีรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก เทากับ 2 + 1 = 3 รูป การแบงรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากออกเปน 3 ชิ้น จะมีรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก เทากับ 3 + 2 + 1 = 6 รูป การแบงรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากออกเปน 4 ชิ้น จะมีรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก เทากับ 4 + 3 + 2 + 1 = 10 รูป M ดังนั้น การแบงรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากออกเปน 20 ชิ้น จะมีรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก 1 + 2 + 3 + ... + 20 = 2

20(21) = 210 รูป 58. เฉลย b. จํานวนท่ีท้ังสามคนเลือกเปนจํานวนนับ ให a แทนจํานวนท่ีนายขาวเลือก b แทนจํานวนท่ีนายแดงเลือก c แทนจํานวนท่ีนายดําเลือก จากโจทยไดวา 4

3 (b - a) = 34 (b + c) ...(1)

9(c + a) = 2b ...(2) จาก (1) ; 4

3 b - 43 a = 3

4 b + 34 c

43 b - 3

4 b = 34 c + 4

3 a 12

16b 9b - = 129a 16c +

-7b = 16c + 9a ∴ 16c + 9a + 7b = 0 7c + (9c + 9a) + 7b = 0 7c + 9(c + a) + 7b = 0 7c + 9

92b + 7b = 0 (จาก (2)) 7c + 9b = 0 ∴ b ≠ c ยกเวน b = c = 0 ...(3) 7(b + c) = -2b b + c = - 7

2 b

22 บัณฑิตแนะแนว เฉลย PRE-PAT3 วิชาความถนัดทางวิศวกรรม’มีนา (ทาง INTERNET)

แทนใน (1) ; 43 (b - a) = 3

4

b72 -

+ 218 43 b = 43 a ∴ b ≠ a ยกเวน b = a = 0 ...(4)

จะได a ≠ b ≠ c หรือ a = b = c = 0 ถา a = b = c = 0 จะไดวา มีอยางนอยสองคนท่ีเลือกจํานวนเดียวกัน จาก (3) และ (4) ∴ ขอ b ผิด 59. เฉลย c. 112 ตองเลือกคา x และ y ท่ีทําให

x21

+ y มีคามากท่ีสุด

และเลือก z ท่ีมีคานอยท่ีสุด เนื่องจาก y =

x21

เปนฟงกชันลด

ดังนั้น เลือก x = 0 y = 55 z = 0.5

∴ z y 21

x+

= 0.555 21

0+

=

2155 1 +

= 2(56) = 112 60. เฉลย b. 3 ชั่วโมง 18 นาที รถยนตว่ิงดวยความเร็ว 120 กิโลเมตร ในเวลา 60 นาที ∴ ในเวลา 60 นาที รถยนตว่ิงได 120 กิโลเมตร ∴ ในเวลา 165 นาที รถยนตว่ิงได 60

120 × 165 = 330 กิโลเมตร รถจักรยานยนตว่ิงดวยความเร็ว 100 กิโลเมตร ในเวลา 60 นาที ∴ ในระยะทาง 100 กิโลเมตร รถจักรยานยนตใชเวลา 60 นาที ∴ ระยะทาง 330 กิโลเมตร รถจักรยานยนตใชเวลา 100

60 × 330 = 198 นาที ∴ รถจักรยานยนตใชเวลาวิ่ง 198 นาที หรือ 3 ชั่วโมง 18 นาที