Ecuación de Continuidad

Fenómenos de Transporte

ILQ – 230 (II – 2011) Prof. Alonso Jaques

Informaciones - Pagina ramos online habilitada - Quiz 25/11/2001, tópico ecuación de

continuidad - Fijar horarios de ayudantía y calendario

de certámenes

Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:

• “Hipótesis del Medio Continuo”

• Volumen de Control Invariante

• ….

Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:

• La cantidad de materia en volumen de control es descrita por:

• La razón de cambio del balance en el volumen de control:

Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:

• El cambio de inventario en el volumen de control esta dado por el balance de materia que pasa por la superficie del mismo:

①

Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:

• Considerando que el volumen de control esta “fijo” se puede considerar:

• Comparando los resultados resultado para ambos lados de ①:

②

Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:

• Aplicando el teorema de la divergencia se puede tener ambas integrales en ② en base a integral de volumen.

• Agrupando términos y considerando volumen de control arbitrario se tiene:

Ecuación de Continuidad

Ejemplo: Considerando una reacción química ocurriendo al fondo de un estanque (altura H, y diámetro D) produciendo generación de gases con la siguiente generación de espuma. Considerando la siguiente expresión para el cambio de la densidad de la mezcla a medida de avance de la reacción química:

𝑑𝜌

𝑑𝑡= −𝑘 𝜌 − 𝜌𝑒

Determine: - La velocidad de ascenso en el fluido a medida que la reacción avanza - La altura final del fluido en el estanque. Asuma, mezcla homogénea, y el efecto de fricción de las paredes.

Ecuación de Continuidad, Balance Diferencial Consideraciones:

• Fluido puro

• Flujo a través de elemento de volumen estacionario fijo en el espacio

• Concentración de fluido igual a ρ [M/ L3]

𝝆𝒖𝒙 |𝒙 𝝆𝒖𝒙 |𝒙+∆𝒙

Δx

Δz

Δy

x

y z

𝝆𝒖𝒛 |𝒛

𝝆𝒖𝒚 |𝒚+∆𝒚

𝝆𝒖𝒚 |𝒚

𝝆𝒖𝒛 |𝒛+∆𝒛

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

− 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜

𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

=𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

= ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥 + ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦 + ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜

𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

= ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥 + ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦 + ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧

𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑚𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜

𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜

= ∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝜕𝜌

𝜕𝑡

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

− 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜

𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

=𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜

∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝜕𝜌

𝜕𝑡= ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥 − ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥

+ ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦 − ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦

+ ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧 − ρ𝑢𝑦 |𝑧+∆𝑧

𝜕𝜌

𝜕𝑡=

ρ𝑢𝑥 |𝑥− ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥

∆𝑥+

ρ𝑢𝑦 |𝑦− ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦

∆𝑦+

ρ𝑢𝑧 |𝑧− ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧

∆𝑧

𝜕𝜌

𝜕𝑡=

lim∆𝑥→0

ρ𝑢𝑥 |𝑥 − ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥

∆𝑥+ lim

∆𝑦→0

ρ𝑢𝑦 |𝑦 − ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦

∆𝑦+ lim

∆𝑧→0

ρ𝑢𝑧 |𝑧 − ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧

∆𝑧

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −

𝜕 𝜌𝑢𝑥

𝜕𝑥+

𝜕 𝜌𝑢𝑦

𝜕𝑦+

𝜕 𝜌𝑢𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝜌

𝜕𝑡= − 𝛻 ∙ 𝜌𝐮 Ecuación de Continuidad

Se puede escribir la ecuación de continuidad en base molar, considerando el peso molecular promedio del medio

• Coordenadas rectangulares (x,y,z)

• Coordenadas cilíndricas (r,θ,z)

• Coordenadas esféricas (r,θ,φ)

𝜕𝜌

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥𝜌𝑢𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦𝜌𝑢𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧𝜌𝑢𝑧 =0

𝜕𝜌

𝜕𝑡+

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝜌𝑟𝑢𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕θ𝜌𝑢θ +

𝜕

𝜕𝑧𝜌𝑢𝑧 =0

𝜕𝜌

𝜕𝑡+

1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟𝜌𝑟2𝑢𝑟 +

1

𝑟∙𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕θ𝜌𝑢θ𝑠𝑖𝑛𝜃 +

1

𝑟∙𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕φ𝜌𝑢φ =0

Problemas Propuestos: - Verifique si el flujo de Hagen-Poiseville, puede ser valido para flujo incompresibles. - Verifique que el flujo dado por el siguiente campo de velocidades dado

por 𝐮 = 𝑥3𝑦, 2𝑦𝑥2𝑧, 0 no corresponde para fluido incompresible. - Determine la componente faltante del siguiente campo de velocidades

incompresible, 𝐮 = 𝑥3𝑦, 2𝑦𝑥2𝑧, ? - Si se tiene un flujo unidireccional, incompresible en coordenadas

cartesianas, verifique si el la velocidad puede cambiar en la dirección del flujo.

𝐮 = 𝑦, −𝑥, 0

Representación Vectorial