Текст1без презен
DESCRIPTION
UMK LogicTRANSCRIPT
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Министерство образования Республики Коми
Коми республиканский физико-математический лицей-интернат
Баженова Светлана Леонидовна
Алгебра логики в курсе информатики
Учебно-методический комплекс
Сыктывкар 2007
Содержание
Содержание.....................................................................................................................................1Введение..........................................................................................................................................2Элементы алгебры логики.............................................................................................................3Высказывания. Операции над высказываниями.........................................................................3
1. Формальная и математическая логика. Алгебра логики................................................32. Высказывания.....................................................................................................................33. Операции над высказываниями........................................................................................4
Значения истинности. Таблицы истинности для составных высказываний............................71. Повторение. Групповая работа для трех групп...............................................................72. Построение таблиц истинности для составных высказываний.....................................73. Эквивалентные высказывания..........................................................................................84. Тождественно ложные и тождественно истинные высказывания.................................95. Задачи на закрепление материала.....................................................................................96. Домашнее задание..............................................................................................................9
Аксиомы алгебры логики. Законы алгебры логики..................................................................101. Самостоятельная работа..................................................................................................102. Аксиомы логики...............................................................................................................103. Основные законы алгебры логики..................................................................................104. Нормальная форма логической формулы......................................................................115. Домашнее задание............................................................................................................11
Построение таблиц истинности. Упрощение логических выражений....................................121. План урока........................................................................................................................122. Ход урока..........................................................................................................................123. Разминка............................................................................................................................124. Инструктаж для участников игры..................................................................................135. Домашнее задание............................................................................................................16
Базисные логические элементы персонального компьютера..................................................171. Решение задач...................................................................................................................172. Домашнее задание............................................................................................................19
Логические функции, таблицы истинности, логические схемы..............................................20Полусумматор и сумматор..........................................................................................................20
1. Повторение........................................................................................................................202. Решение задач...................................................................................................................203. Одноразрядный двоичный полусумматор.....................................................................214. Домашнее задание............................................................................................................22
Триггер и одноразрядный двоичный сумматор........................................................................23Решение задач с использованием алгебры логики....................................................................23
1. Триггер..............................................................................................................................232. Одноразрядный двоичный сумматор.............................................................................243. Решение логических задач с помощью алгебры высказываний..................................25
Зачет по основам логической алгебры.......................................................................................28Литература....................................................................................................................................30
2
ВведениеНа изучение элементов алгебры логики в курсе информатики и информационно-
коммуникационных технологий в средней школе отводится, на мой взгляд, слишком мало времени. Конечно, для такого распределения часов можно указать ряд объективных причин, в частности, ту, что чрезмерный информационный объем курса не позволяет выделять достаточное количество часов на изучение того или иного раздела. В свою очередь, перегруженность курса вызвана тем, что в рамки одной учебной дисциплины «Информатика и информационно-коммуникационные технологии» фактически нужно поместить два предмета: программирование и технологии, причем в абсолютном большинстве предлагаемых различными авторами примерных программ изучение этих предметов идет «вперемешку» - раздел теории информации или программирования чередуется с разделом технологий.
На мой взгляд, такой подход является нерациональным, как с точки зрения временных затрат (при возврате к определенному блоку нужно повторять основные моменты давно пройденного материала), так и с точки зрения стройности и логической завершенности изучаемого материала (после «перемешанного» курса в головах учащихся может образоваться такая же мешанина из технологий и программирования).
Гораздо разумнее вести обучение параллельно по двум курсам: информатике и информационным технологиям и программированию, сохраняя между ними тесную связь при изучении отдельных разделов.).
Учебный план КРФМЛИ позволяет из курса информатики и информационно-коммуникационных технологий выделить в отдельный курс вопросы, относящиеся к теории информации, системам счисления, методам хранения информации в компьютере, основам алгебры логики, началам программирования (основная школа, элективный курс), и дальнейшее изучение программирования и языка разметки гипертекстовых документов (старшая школа, инвариантная часть).
При таком разделении предметов можно выделить достаточное количество часов на изучении наиболее важных разделов, к которым относится и алгебра логики.
Этот раздел важен не только потому, что позволяет понять общие принципы работы отдельных узлов персонального компьютера. Полученные знания учащиеся нашего лицея могут применить на уроках математики. Кроме этого, в силу специфики лицея, большинство наших выпускников выбирают факультеты естественно-научного направления, где также требуются глубокие и прочные знания алгебры логики.
В Коми республиканском физико-математическом лицее на изучение алгебры логики отводится 16 часов, которые разбиты на 8 занятий по два академических часа каждое. Ряд занятий снабжен мультимедийными презентациями, которые повышают наглядность изучаемого материала. (Ссылки на презентации имеются в текстах занятий).
Темы занятий:1. Элементы алгебры логики. Высказывания. Операции над высказываниями.2. Значения истинности. Таблицы истинности для составных высказываний.3. Аксиомы логики. Законы логики.4. Построение таблиц истинности. Упрощение логических выражений.5. Базисные логические элементы персонального компьютера.6. Логические функции, таблицы истинности, логические схемы. Полусумматор и
сумматор.7. Решение задач с использованием алгебры логики.8. Зачет по основам алгебры логики.
Данная разработка представляет законченный учебно-методический комплекс по изучению и преподаванию алгебры логики в специализированных школах и лицеях.
В настоящее время она внедрена и реализуется в курсе вычислительной математики и программирования в 8 классе лицея. Как показал опыт, изучение алгебры логики по
3
0111
? 0 (1)
Рисунок 1
предложенному плану позволяет получить глубокие и прочные знания по данному разделу и применить их при изучении соответствующих тем в курсе математики и курсе булевой алгебры в вузе.
Элементы алгебры логики(Для демонстрации слайдов после открытия презентации использовать клавишу управления курсором «вправо»).
Высказывания. Операции над высказываниями1. Формальная и математическая логика. Алгебра логики
Структура персонального компьютера достаточно сложна, но при ближайшем рассмотрении в ней можно выделить сравнительно небольшое число различных элементов, из которых состоят узлы и блоки персонального компьютера. Такие элементы иногда называют модулями (модуль оперативной памяти, модуль процессора и т.п.). Внешне модуль представляет собой коробочку с ножками. Коробочка вставляется в специальные разъемы на материнской плате. У каждого модуля имеется несколько десятков входов, на которых может иметься или отсутствовать напряжение - 1 или 0. (Рисунок 1). В результате выполнения некоторой операции на всех выходах модуля мы также получаем некоторое значение напряжения (1) или его отсутствие (0). Это значение передается дальше в качестве одного из входов в следующий модуль. В рамках этого раздела мы будем изучать, какие операции могут происходить внутри данного блока, и какое значение в результате появится на выходе, но не с точки зрения физики, а с точки зрения науки, которая называется логической алгеброй. Таким образом, мы будем изучать логическое устройство персонального компьютера.
Логика – наука о доказательных рассуждениях.Рассуждение – цепочка взаимосвязанных фактов и умозаключений, вытекающих
друг из друга.Приведем пример такого рассуждения:
Чем больше учишься, тем больше знаешь.Чем больше знаешь, тем больше забываешь.Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.Следовательно, чем больше учишься, тем меньше знаешь.Чем меньше учишься, тем меньше знаешь.Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.Следовательно, чем больше учишься, тем меньше знаешь.Так для чего учиться?
Ясно, что в этом софизме кроется подвох – из того, что ты много знаешь, совсем не обязательно вытекает то, что ты все забудешь. Но в качестве примера рассуждения эта цепочка вполне подходит.
Основателем логики считается древнегреческий философ Аристотель. Логику, основанную Аристотелем, принято называть формальной логикой, т.к. правильность рассуждения определяется только его логической конструкцией (структурой), и не зависит от конкретного содержания входящих в него рассуждений. (Приведем пример рассуждения: «Если Аня получила отличную оценку, то наступит Новый год». С точки зрения содержания – это утверждение не имеет смысла; но логическая конструкция – следование – не содержит ошибок).
В середине XIX века на основе труда английского математика Джорджа Буля «Математический анализ логики» возникла наука, получившая название математической логики. Буль перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логические операции.
Раздел математической логики, изучающий строение логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов, называется алгеброй логики (булевой алгеброй).
4
Можно сказать, что математическая логика изучает доказательные рассуждения, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.
2. ВысказыванияМы сделали вывод, что алгебра логики изучает некоторые величины, которые могут
принимать только два значения - быть истинными или ложными (двоичные величины). Эти величины называются логическими высказываниями.
Простое высказывание – повествовательное предложение, принимающее одно из двух возможных значений – истина или ложь.
Составное высказывание – комбинация простых высказываний, соединенных логическими операциями.
Значения высказываний могут обозначать по-разному: истина - ложь; 1 - 0; + -.Приведем примеры высказываний и найдем их значения:
1. А = В марте 31 день. А = 1;2. В = 13 > 27. В = 0;3. С = 24 – 1 – простое число. С = 1.
Предложения «Закрой окно» и «Который час?» не имеют значения, т.к. не являются высказываниями.
Наряду с высказываниями в булевой алгебре используются и предикаты – высказывания с переменными, которые при одних значениях переменной могут стать истинными высказываниями, при других – ложными. Например: Х>0; «Город – столица России»
3. Операции над высказываниями1. Логическое умножение (конъюнкция) – бинарная операция, в результате
которой получается составное высказывание, истинное, если истинны оба простых высказывания, и ложное, если хотя бы одно из них ложно.
Существует несколько обозначений для этой операции: , и, and, &.Примеры: А=Сегодня пасмурно.
В=Идет дождь. АВ=Сегодня пасмурно и идет дождь.
АВ=1 тогда и только тогда, когда А=1 и В=1.Для определения значения составных высказываний строятся таблицы истинности:
А В АВ0 0 00 1 01 0 01 1 1
2. Логическое сложение (дизъюнкция) – бинарная операция, в результате которой получается составное высказывание, истинное, если истинно хотя бы одно простое высказывание, и ложное, если ложны оба.
Обозначение операции: , или, or.Примеры: А=Сегодня пасмурно.
В=Идет дождь. АВ=Сегодня пасмурно или идет дождь.
АВ=0 в том и только том случае, когда А=0 и В=0.Таблица истинности:
А В А В0 0 00 1 11 0 11 1 1
5
3. Логическое отрицание (инверсия) – унарная операция, в результате которой получается составное высказывание со значением, противоположным исходному.
Обозначение операции: , ¯, не, not.Инверсия может получиться прибавлением частицы «не» к признаку или
использованием признака, противоположному данному.Примеры: А=Это платье белое.
A =Это платье не белое.
A =Это платье черное.Таблица истинности:
А A0 11 0
Постройте инверсии к следующим высказываниям: У всех треугольников сумма углов равна 1800. Существует человек с кривым носом. Все кошки серые. Каждая рыба в озере – щука. В лицее есть отличники по информатике.
Можно сделать вывод, что для высказывания, содержащего слова «все», «любой», «каждый», инверсия будет включать выражение «существует хотя бы один» (объект с противоположным признаком). И наоборот, для высказывания со словами «существует». «несколько», «некоторые» инверсия должна включать слова «все», «любой», «каждый».
Всего в алгебре логики 16 операций, но любую из оставшихся можно выразить через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.
В нашем курсе мы будем рассматривать еще три операции.4. Исключающее «или» - бинарная операция, в результате которой получается
составное высказывание, истинное, если исходные высказывания имеют разные значения, и ложное, если исходные высказывания имеют одинаковые значения.
Обозначения операции: , или – или, либо – либо, xor.Таблица истинности:
А В А В
0 0 00 1 11 0 11 1 0
Примеры: А=Я буду изучать немецкий язык. В=Я буду изучать испанский язык. АВ=Я буду изучать либо немецкий, либо испанский язык.
5. Логическое следование (импликация) – бинарная операция, в результате которой получается составное высказывание, ложное, если из истины следует ложь, и истинное во всех остальных случаях.
Обозначение операции: , . В русском языке эта операция выражается с помощью конструкций: если …, то …; влечет; следовательно.
Таблица истинности:А В А В А В (В А)0 0 1 10 1 1 01 0 0 11 1 1 1
Примеры: А=Сегодня 3 февраля. В=Идет урок информатики.
6
АВ= Сегодня 3 февраля, следовательно идет урок информатики. ВА=Идет урок информатики, следовательно, сегодня 3 февраля.
6. Эквиваленция (равнозначность) – бинарная операция, в результате которй получается составное высказывание, истинное, если исходные высказывания имеют одинаковые значения, и ложное, если исходные высказывания имеют разные значения.
Обозначение операции: , , ~. В русском языке эта операция выражается с помощью конструкций: тогда и только тогда; Это все равно, что …; Это одно и то же, что …; В том и только том случае…
Таблица истинности:А В АВ0 0 10 1 01 0 01 1 1
Примеры: А=Дважды два равно четырем. В=Наступила зима. АВ= Дважды два равно четырем тогда и только тогда, когда наступила
зима.Для операций дизъюнкции, конъюнкции и эквивалентности действует
переместительный закон.Приоритетность логических операций при отсутствии скобок:ОтрицаниеКонъюнкцияДизъюнкция, исключающее «или»ИмпликацияЭквивалентность.
Примечание. При наличии свободного времени можно поиграть с детьми в так называемые «веселые инверсии». Учитель произносит некую фразу, а дети должны составить инверсию к этому предложению. Инверсия является пословицей, поговоркой, крылатой фразой, названием известного литературного произведения, фильмом и т.д. Например, к фразе «Последний пельмень пластом» инверсией является «Первый блин комом».
Фразы учителя могут быть такими:1. Своими ногами лед раскидывать 2. Ничтожная вьетнамская траншея.3. Существует рыбак, не желающий слышать, где плавает карась 4. Толпа в лесу – сила.
7
Значения истинности. Таблицы истинности для составных высказываний
1. Повторение. Групповая работа для трех группПримечание. Класс разбивается на три группы во главе с капитаном. Каждая группа
получает тексты вопросов, на которые отвечает в порядке очереди. Отвечающего определяет капитан группы. Один раз за все время работы отвечающий может воспользоваться помощью группы. Группа может получить дополнительные баллы за исправления и дополнения ответов других групп или оштрафована за некорректное поведение.
1. У доски: построить таблицы истинности для основных логических операций в случае трех высказываний (заранее на доске начертить исходную сетку для задания).
А В С АВС АВС АВС
2.a. Дайте определение логики.b. Что мы называем рассуждением?c. Почему логика, созданная Аристотелем, называется формальной?
3. a. В чем заключается вклад Д. Буля в логику?b. Дайте определение логической алгебры.c. Дайте определение и приведите примеры высказываний.
4.a. Почему высказывание – двоичная функция?b. Какие высказывания называются составными?c. Перечислите операции над высказываниями.
5. a. Дайте определение инверсии.b. Что получается в результате импликации?c. Какая операция называется эквивалентностью (эквиваленцией)?
6. Расставьте порядок действий в логическом выражении:
a. a∧b ↔ a→b∨a
b. a∨b∧a→b∨a
c. a∧b ↔ a∧b7. Постройте инверсии к высказываниям
a. Стройную роддом испортит.b. Уходи от них болеть или волк, или медведь.c. Последний пельмень пластом.
2. Построение таблиц истинности для составных высказыванийЕсть известная поговорка: «Пить и курить – здоровью вредить!». Скажите, в каком
случае здоровью может быть нанесен ущерб? Пострадает ли здоровье, если человек только пьет? Только курит? Исправьте поговорку так, чтобы она стала логически правильной.
Построим по исходной поговорке логическую функцию и определим ее значения истинности по таблице. Поговорка состоит из трех простых высказываний, соединенных логическими операциями: пить (а); курить (b); здоровью вредить (c).
Получим логическую функцию от трех переменных f (a , b , c )=a∧b→c . Построим по ней таблицу истинности:
a b c ab abc0 0 0 0 10 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 0 1 0 11 1 0 1 0
8
1 1 1 1 1 Построим логическую функцию по отрывку из стихов Маяковского: «Если мальчик
любит мыло и зубной порошок, этот мальчик очень милый, поступает хорошо». Проделав те
же рассуждения, получим функцию от 4-х переменных. f (a ,b , c ,d )=a∧b→c∧d . Таблица истинности для этой функции состоит из 16 строк:
a b c d ab cd f(а,b,c,d)
0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 0 10 0 1 1 0 1 10 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 10 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 11 0 1 0 0 0 11 0 1 1 0 1 11 1 0 0 1 0 01 1 0 1 1 0 01 1 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1 1
3. Эквивалентные высказывания
1. Постройте таблицы истинности для логической функции f (a , b )=a∨b . a b a f(a,b
)a→b
0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 0 0 01 1 0 1 1
Полученный результат соответствует результату импликации над этими же высказываниями.
2. Постройте таблицы истинности для логической функции g(a ,b )=(a→b )∧(b→a ) a b a→b b→a g(a,b) a ↔ b0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 11 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1
Полученный результат соответствует результату эквивалентности над этими же высказываниями.
Мы получили, что два различных высказывания имеют одинаковые таблицы истинности при одинаковых значениях переменных.
Высказывания, у которых при одинаковых значениях исходных высказываний совпадают таблицы истинности, называются эквивалентными (тождественно равными).
a→b≡a∨b; a↔b≡(a→b)∧(b→a)
Доказать, что a↔b≡(a∧b )∨(a∧b)
9
Для доказательства построим таблицу истинности:a b a∧b a∧b (a∧b )(a∧b ) a ↔ b
0 0 0 1 1 10 1 0 0 0 11 0 0 0 0 01 1 1 0 1 1
Доказать, что:
4. Тождественно ложные и тождественно истинные высказывания
Существуют высказывания, значения истинности которых всегда равны нулю (a∧a )
или всегда равны 1 (a∨a ). Такие высказывания называются тождественно ложными: a∧a≡0 ; или тождественно истинными: a∨a≡1 . Тождественно истинные высказывания иногда называют тавтологиями.
Доказать, что f (a , b )=a∧b∧(a→b)≡0a b a∧b a→b f (a , b )0 0 0 1 00 1 0 1 01 0 1 0 01 1 0 1 0
При вычислении значений истинности логических функций (решении логических связок) тавтологии можно заменять единицей, а тождественно ложные высказывания нулем.
При этом справедливы следующие равенства:
0∧a≡00∨a≡a1∨a≡11∧a≡a0→ a≡1
5. Задачи на закрепление материалаПостроить таблицы истинности:
1. (( a∨b )→b )∧(a∨b)
2. a∧b→b)≡(a∨b )
3. a→b≡b→a
6. Домашнее задание1. Построить логические функции и таблицы истинности к высказыванию
Кто не курит и не пьет, тот здоровеньким помрет 2. Докажите, что:
a. a∨b≡a∧b
b. a∧b≡a∨b
10
Аксиомы алгебры логики. Законы алгебры логики
1. Самостоятельная работа
Вариант 1.
1. Что изучает логическая алгебра?2. Дайте определения дизъюнкции и конъюнкции. Постройте таблицы истинности.
Приведите примеры.3. Какие высказывания называются тождественно истинными? Приведите
примеры. Докажите.4. Построить таблицу истинности для логической функции:
f (a ,b )=a∧b↔a∨b5. Доказать, что
a∧b∧( a→b )≡0Вариант 2
1. Дайте определения простого и составного высказываний. Что такое предикат?2. Дайте определения инверсии, импликации, эквивалентности. Постройте
таблицы истинности. Приведите примеры.3. Какие высказывания называются тождественно ложными? Приведите
примеры. Докажите.4. Построить таблицу истинности для логической функции
f (a , b )=a→b↔ b→a5. Доказать, что
(a∨b→b )∧(a∧b )→b≡1
2. Аксиомы логики1. Аксиома исключенного третьего
Истинно или высказывание, или его отрицание.2. Аксиома непротиворечивости
Высказывание или его отрицание не могут быть истинными или ложными одновременно.
3. Аксиома отрицания отрицания При отрицании инверсии получаем исходное высказывание.
3. Основные законы алгебры логикиНа основании аксиом формулируются и доказываются законы алгебры логики.
Некоторые из них очевидны, и мы не будем приводить их доказательства, другие будем доказывать построением таблиц истинности.
1. Переместительный (коммутативный) закон a∨b≡b∨aa∧b≡b∧aa ↔ b≡b ↔ a
2. Сочетательный (ассоциативный) закон (a∨b )∨c≡a∨(b∨c )(a∧b )∧c≡a∧(b∧c )
3. Распределительный (дистрибутивный) закон a. Умножения относительно сложения
a∧(b∨c )≡a∧b∨a∧c
11
a b c b∨c a∧(b∨c ) a∧b a∧c a∧b∨a∧c0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1
b. Сложения относительно умноженияa∨(b∧c )≡( a∨c )∧( a∨b )
a b c b∧c a∨(b∧c ) a∨b a∨c (a∨b )∧(a∨c )0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
4. Формулы де Моргана Выполняя домашнее задание, вы уже доказывали эти тождества.
c. a∨b≡a∧b (Отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний)
d. a∧b≡a∨b (Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний)
5. a→b≡a∨b ; a→b≡a∧b6. a∧(b∨a )≡a ; a∨a∧b≡a
7. a∧( a∨b )≡a∧b
8. a∨a∧b≡a∨b9. a∨a≡a ; a∧a≡a
4. Нормальная форма логической формулыТабличный способ определения истинности составного логического выражения имеет
ограниченное применение, т.к. при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме.
Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания. При этом знаки отрицания находятся только при переменных.
Для приведения формул к нормальной форме можно пользоваться аксиомами и законами логической алгебры.
Упростите выражения:
1) x∨(x∨ y )∨( y∧x∧ y )=x∧( x∨ y )∨( y∧x∧ y )=x∨ y∨x∧ y=x∧ y∨x∧ y≡1
2) x∨ y∨x∧ y∧ y∨x=x∨ y∨x∨ y∧ y∨x=1∧ y∨x≡0
5. Домашнее заданиеРаспределиться по группам. Каждая группа готовит по 4 вопроса соседям по разделам: «Определения операций»; «Аксиомы и примеры к аксиомам»; «Законы булевой алгебры»; «Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания».
12
Построение таблиц истинности. Упрощение логических выражений
Занятие проводится в форме игры «ЭФОП» (ЭФфективный ОПрос). Данная форма может быть использована в тех случаях, когда со следующего урока начинается изучение нового раздела, где необходимо опираться на знание основных понятий и определений этого раздела (здесь как раз такой случай: со следующего урока изучается раздел «Базисные логические элементы»), а также в качестве урока подготовки к контрольной работе.
1. План урока1. Выбор жюри, обоснование включения в жюри каждого конкретного человека,
объяснение функций жюри. 2. Деление на группы, представление групп, разминочные вопросы, получение пакета
заданий (Пакет заданий может быть снабжен материалами для повторения – в этом случае учащиеся имеют право использовать этот пакет при подготовке вопросов для других групп. Если повторение материала было задано в качестве домашнего задания, то в этом случае материалы для повторения не выдаются, и их использование на уроке запрещено).
3. Работа в группах, подготовка вопросов. Группа готовит по два вопроса для соперников из разных разделов изученного материала. Нужно учитывать то, что вопросы могут повторяться, поэтому каждая группа должна иметь в резерве хотя бы один запасной вопрос по каждому разделу. (Данный этап может быть пропущен, если подготовка вопросов была предложена в качестве домашнего задания к занятию).
4. Определение порядка очередности ответов (по жребию). 5. Ответы на вопросы. Вопросы для группы с данным жребием задают остальные
группы. Затем команды меняются ролями.6. Вопросы, подготовленные жюри, задаются в том же порядке.7. Подведение итогов, оценка работы каждой группы, награждение лучшей группы и
лучшего игрока.
2. Ход урока1 этап. Ввод в игру. Психологические и педагогические установки на работуДобрый день, уважаемые ученики!В курсе логической алгебры мы изучили три раздела «Высказывания и операции над
ними», «Эквивалентные, тождественно истинные и тождественно ложные высказывания», «Аксиомы и законы логической алгебры». Сегодняшний урок будет посвящен повторению изученного материала, и на его основе мы выясним, как можно упрощать логические выражения. Упрощение логических выражений во многом напоминает упрощение алгебраических выражений, с которыми вы сталкивались на уроках математики. Разница только в одном: на уроках математики вы использовали законы алгебры, к примеру, формулы сокращенного умножения. Здесь же мы будем применять законы логической алгебры, к примеру, формулы де Моргана.
Повторение будет организовано в форме игры «ЭФОП», что означает «эффективный опрос».
Для проведения игры класс разбивается на три группы в таком составе:Группа № 1 ( _________________________________________________________).
Капитаном группы назначается ________________________________________.Группа № 2 ( _________________________________________________________).
Капитаном группы назначается ________________________________________.Группа № 3 ( _________________________________________________________).
Капитаном группы назначается ________________________________________.
3. Разминка Начинаем игру с разминки. В качестве разминки каждой группе предлагается по три
вопроса, которые не оцениваются, но помогут вам почувствовать себя командой. Первый
13
вопрос проверит знание основных определений и понятий. Во втором вопросе нужно будет построить инверсию к некоторому высказыванию по правилам логической алгебры (строгую инверсию). При ответе на третий вопрос нужно проявить знания не только логической алгебры, но и русского фольклора. Ответом должна быть пословица или поговорка.
Первая группа:a. Что такое инверсия?b. Существует человек с разноцветными глазами.c. Стройную роддом испортит.
Вторая группаa. В каких случаях дизъюнкция дает истинное высказывание?b. Все ученики 8 а класса обладают исключительными вычислительными
способностями. c. В шумной речке ангелов нет.
Третья группаa. Верно ли то, что конъюнкция между истиной и ложью дает истинное
высказывание? b. Любой металл проводит тепло. c. Последний пельмень пластом.
2 этап. Проведение игры
4. Инструктаж для участников игрыКаждая группа сейчас получит пакет с материалами для повторения и критериями
оценок работы группы. Вы должны подготовить по два вопроса для каждой группы ваших оппонентов. Нужно учитывать то, что вопросы могут повторяться, поэтому группа должна иметь в резерве несколько запасных вопросов. На повторение материала и подготовку вопросов вам будет выделено 10 минут.
(Примечание 1. Разбиение класса на группы и получение пакетов с критериями оценки работы группы может быть сделано в конце предыдущего занятия с целью экономии времени на данном уроке. В этом случае пакет с материалами для повторения может не выдаваться, поскольку учитель в конце предыдущего занятия называет разделы, по которым группе нужно подготовить вопросы. В этом случае не нужно выделять время и на подготовку вопросов).
На капитанов групп возлагается утверждение вопросов, предлагаемых членами группы, выбор отвечающего. Кроме этого, капитан должен подавать сигнал в том случае, если у группы имеются дополнения к ответам другой группы
За все время игры можно единственный раз воспользоваться помощью группы. Необходимость такой помощи определяет отвечающий. Использование помощи или отказ от нее не изменяет количество баллов, полученных группой.
Группа может получить добавочные баллы за дополнения; может быть оштрафована за некорректное поведение (шум, замечания к ответам соперников и т.п.)Судить вашу игру будет независимое и компетентное жюри в составе ______________________________________________________________________________.
Для того, чтобы окончательно решить вопрос о том, какая из команд окажется лучшей, жюри в конце игры задаст каждой команде свои вопросы, после чего будет подведен окончательный итог.
В ходе игры может быть выделен лучший участник игры, который получит звание «Эрудит математической логики».Критерии оценок будут выданы каждой команде вместе с пакетом заданий для повторения.
Теперь капитаны групп вытянут жребий, который определит, в каком порядке группы будут отвечать на вопросы.
Работа группы будет оцениваться по следующим критериям:Содержание вопросов Максимум - 1 балл за каждый вопрос Содержание ответов Максимум - 3 балла за каждый ответ Первый вопрос жюри Максимум - 3 балла за ответВторой вопрос жюри Максимум - 4 балла за ответ
14
Дополнения Максимум 2 балла за одно дополнение Активностьчленов команды на протяжении всей игры
Максимум 4 балла
Оригинальность ответаМаксимум 1 балл при ответе на каждый вопрос соперников
Критерии оценки:«5»- более 25 баллов «4»- 18 – 25 баллов «3»-ниже 18 баллов
(Примечание 2. Дополнительные баллы за оригинальность ответа группа может получить в том случае, если ее ответ дополнен примерами в виде крылатых фраз, пословиц, поговорок, названий известных фильмов, книг и т.п. Например, фраза «Я мыслю, следовательно, я существую» может служить примером для импликации; пословица «Кто в лес, кто по дрова» - примером исключающего «или»; пословица «Один с сошкой, а семеро с ложкой» - примером конъюнкции).
За промежуточными итогами игры вы можете наблюдать на экране. Здесь же вы увидите
окончательные итоги игры, место, которое заняла каждая группа, и ее оценку.
(Примечание 3. К игре учитель готовит расчетную таблицу для подведения промежуточных и окончательных итогов игры. Такую таблицу можно подготовить в программе MS Excel. Для подсчета суммы баллов используется функция СУММ, для выставления общей оценки – функция ЕСЛИ, для определения места, которое заняла группа – функция РАНГ. Такая таблица позволяет следить за каждым этапом игры и повышает азарт и соревновательный дух ее участников). Таблица может выглядеть так (приведена часть таблицы):
A B C1 Группа 12 3 Вопрос Ответ4 1 5 2 6 3 7 4 8 5 0 9 6 0 10 Дополнения 0 11 Активность 0 12
Оригинальность ответа 0
13 Баллы =СУММ(B4:C13)14 Оценка
=ЕСЛИ(C14>=26;5; ЕСЛИ(C14>=18;4;ЕСЛИ(C14>=13;3;"")))
15 Место =РАНГ(C14;$C14:$G14;)
В ходе игры участники задают друг другу вопросы, каждый из которых получает оценку жюри.
Итак, участники закончили задавать свои вопросы. Теперь наступает очередь жюри, которое задает каждой группе по два вопроса. Ответ на первый вопрос оценивается в три балла, на второй – в 4 балла. Несмотря на то, что на вопрос отвечает определенная группа, решают задачи и делают записи все участники игры.Вопросы жюри
15
Первая группаa. Построить составные высказывания и расставить порядок действий
Если вы по коридору мчитесь на велосипеде,А навстречу вам из кухни вышел папа погулять - Не сворачивайте в кухню – в кухне твердый холодильник.Тормозите лучше в папу – папа мягкий, он простит.
b. Расставить порядок действий и доказать тождество:
( A ↔ B )∧(B→ A )∨C )≡0
Вторая группаa. Построить составные высказывания и расставить порядок действий
Если ты попал в больницу и не хочешь там лечиться,Жди, когда к тебе в палату самый главный врач придет.Если ты его укусишь - кончится твое леченье – В тот же вечер из больницы заберут тебя домой.
b. Расставить порядок действий и доказать тождество:( A ↔B )→(( A→B )∨C )≡1
Третья группаa. Построить составные высказывания и расставить порядок действий
Если вы решили твердоСамолет угнать на Запад,Но не можете придумать,Чем пилотов напугать,Почитайте им отрывкиИз сегодняшней газеты, - И они в страну любуюВместе с вами улетят
b. Расставить порядок действий и доказать тождество:
( A→C )∧A→(B∨C )≡0(Примечание 4.Вопросы жюри могут демонстрироваться на экране. Для их
подготовки могут быть использованы программы пакета MS Office – MS Word, MS Excel, MS Power Point). Предпочтительнее последняя, поскольку простыми средствами можно быстро создать документ, оформленный в соответствующем стиле. Все учащиеся выполняют задания в тетради, т.к. умение строить таблицы истинности и упрощать логические выражения пригодится при изучении раздела «Базисные логические элементы персонального компьютера»).
(Примечание 5. При выполнении задания на доказательство тождества важно показать, что задание может быть выполнено не только построением таблицы истинности, но и путем упрощения логических формул. Поскольку учащиеся не вполне владеют данным методом, то решение задачи должно быть выполнено у доски). Ниже приводятся решения.
( A ↔ B )∧(B→ A )∨C=( A∧B∨A∧B)∧(B→A )∧C=( A∧B∨A∧B )∧B∧A∧C≡0( A ↔B )→(A→B)∨C=( A∧B∨A∧B )∨A∨B∨C=A∨B∨A∧B∨C=1∨C≡1( A→C )∧A→(B∨C )=(A∨C )∧A∧B∨C=A∧C∧B∧C≡03 этап. Анализ и обобщение
Слово предоставляется жюри и учителю для объявления итогов игры и главного эрудита.
По итогам игры первое месть заняла группа №___ в составе ____________________. Всем
членам группы будет поставлена оценка ____
16
Второй стала группа №______, игроками которой являются _____________________. Эти
ребята получают оценку _____.
Третье место получает группа № ____. Ее члены __________________________
заработали оценку ____.
Звание эрудита математической логики получает ________________.
(Примечание. Учитель может подготовить небольшие призы для участников игры и главного эрудита. Важно, чтобы призами были награждены все участники, независимо от занятого ими места).
4 этап. Рефлексия Здесь учащиеся могут высказать свои замечания к структуре и содержанию занятия.
Данный этап может быть реализован следующим образом. Учитель заранее готовит небольшие карточки с изображением солнышка, на которых ученики могут выразить свое эмоциональное состояние во время занятия: солнышко может улыбаться или плакать. Кроме этого, учащиеся получают и другие карточки, на которых написано: «Я …», и продолжают предложение, высказывая свои замечания, предложения и пожелания. Кроме этого, учащиеся могут высказать свое мнение о прошедшей игре и непосредственно в ходе обсуждения ее результатов.
5. Домашнее заданиеУпростить логические выражения. Проверить правильность выполнения задания
построением таблиц истинности для исходного и окончательного выражений:
( A∨B )→B∨C );((C∨B )→B )∧( A∧B )→B((C∨B )→B )∧( A∨B )→B
17
- +
▪▪
▪▪
▪▪
▪
▪&X
Y
yxyxf ),(
- +
▪▪
▪▪
▪
▪
▪
▪1
X
Y
yxyxf ),(
xxf )(О
X
- +
▪▪
&X
Y
yxyxf ),(О
- +
▪▪
▪
▪
▪
- +
▪▪
▪
▪1X
Y
yxyxf ),(О
Базисные логические элементы персонального компьютера(Для демонстрации слайдов после открытия презентации использовать клавишу управления курсором «вправо»).
В электронике каждой из логических операций соответствует некоторая электронная схема. Такие схемы называются вентилями.
В пределах нашего курса мы будем изучать пять групп вентилей.
1. Вентиль «И»
2. Вентиль «ИЛИ»
3. Вентиль «НЕ»
4. Вентиль «И-НЕ»
5. Вентиль «ИЛИ-НЕ»
Можно сказать, что из различных сочетаний пяти вентилей выполнены блоки персонального компьютера.
1. Решение задачЗадача 1По данной логической функции построить схему вентилей и таблицу истинности:
18
&
O
),( yxfX
Y
1
&O ),( yxfX
Y
&O
X
Y
1O
yx ),( yxf
Y &O
X
),( yxf1
OO
X3 &
X2
),( yxf1
O
X1
f ( x , y )=( x∨ y )∧x≡x∧x∨ y∧x≡ y∧x
Задача 2По данной логической функции построить схему вентилей и таблицу истинности:f ( x , y )=x∨x∧ y≡x
Задача 3Какие значения получатся на выходе следующей схемы?
Задача 4Какие значения получатся на выходе следующей схемы?
Задача 5Построить логические схемы и таблицы истинности для функции:
1. f ( x1 , x2 , x3 )=x1∧( x2∨x3 )
Решение:
x1 x2 x3 x2 x2∨x3 f ( x1 , x2 , x3 )0 0 0 1 1 00 0 1 1 1 00 1 0 0 0 00 1 1 0 1 0
19
x y x xy 0 0 1 00 1 1 11 0 0 01 1 0 0
&X
Y
1
Y &
X
1
1
x
y
1 0 0 1 1 11 0 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1
2. f ( x1 , x2 , x3 )=x1∧x2∨x1∧x3
Задача 6По логическим схемам записать функции и построить таблицы истинности.
2. Домашнее заданиеПостроить логическое выражение, соответствующее данной схеме. Упростить выражение и построить для него новую логическую схему и таблицу истинности.
20
Х2
Х1
О
О
1
Х
Y О
&
Y
X О
1
Логические функции, таблицы истинности, логические схемыПолусумматор и сумматор
1. Повторение1. Сравните:
a. 85716 и Е0116
b. 34510 и 34516
c. 0,34510 и 0,34516
d. 1112 и 1113
2. Запятая в троичном числе перенесена на 3 знака влево. Какой операции это соответствует?
3. Число умножается на 16, в результате чего к исходному числу добавляется справа два нуля. В какой системе счисления записано это число?
4. Было 11 яблок. Каждое из них разрезали надвое и получили 110 половинок. Может ли быть такое? Сколько было яблок?
5. Переведите по схеме Горнера:e. 1223 f. 10С16
6. Начертить на доске схемы, соответствующие вентилям И-НЕ, ИЛИ-НЕ.7. Дайте определения тождественно ложных высказываний, эквивалентных
высказываний, импликации, эквивалентности
2. Решение задачЗадача 1 Упростить схему и построить для нее таблицу истинности
f ( x1 , x2 , x3 )=x1∧x2∨x3∧x2∨x1∧x3≡x2∧( x1∨x3 )∨x1∧x3≡x2∨ x1∧x3∨x1∧x3≡¿ ¿x2∨x1∧( x3∨x3 )≡x2∨x1
Задача 2Упростить логическую функцию и построить для нее схему и таблицу истинности
f ( x , y )= y∨x∨ y≡ y∧(x∨ y )≡ y∧xx y y y∧x0 0 1 00 1 0 01 0 1 11 1 0 0
Задача 3 По данной таблице истинности восстановить логическую функцию и схему:
В данном случае легко догадаться, что логическая операция,
соответствующая данной таблице – импликация: f ( x , y )=x→ y≡x∨ y . Но, к сожалению, далеко не всегда можно догадаться, какой логической
функции и какой схеме соответствует данная таблица истинности. В таких
случаях используется нормальная дизъюнктивная форма.
21
x y f (x,y) 0 0 10 1 11 0 01 1 1
&
1O
О
О
1
1
▪
▪ &
y
x
О
О
▪
▪
&
&1
x
Для ее построения анализируются единицы на выходе таблицы и находятся произведения таких значений входов, при которых получается 1. Затем вычисляется логическая сумма этих произведений.
В данном примере на выходе 3 единицы, которые получаются при следующих
значениях: x∧ y ; x∧ y ; x∧ y . Находя логическую сумму этих значений, получим:
f ( x , y )= x∧ y x∧ y x∧ y ¿ x∧( y∨ y )∨x∧ y≡( x∨x )∧( x∨ y )≡ x∨ y
Задача 4 По данной таблице истинности восстановить логическую функцию и схему:
f ( x , y )=x∧ y∨x∧ y≡ y∧( x∨x )≡ y
Задача 5По данной таблице истинности восстановить логическую функцию и схему:
f ( x , y , z )=x∧ y∧ z∨x∧ y∧z∨x∧ y∧z≡z∧( x∧ y∨x∧ y∨x∧ y )≡¿ ¿ z∧( x∧( y∨ y )∨x∧ y )≡z∧( x∨x∧ y )≡z∧( x∨ y )≡ z∨x∧ y
3. Одноразрядный двоичный полусумматорЗадача 6Построить логическую функцию и схему вентилей для исключающего ИЛИ.
f ( x , y )=x∧ y∨x∧ y≡( x∨x∧ y )∧( y∨x∧ y )≡( x∨ y )∧( y∨x )
22
x y f (x,y) 0 0 10 1 01 0 11 1 0
x y z f ( x , y , z )0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 0
x y f (x,y) 0 0 00 1 11 0 11 1 0
О
О
1
1
▪
▪ &
y
x
&
f (x,y
p(x,y)
y
О
О
▪
▪
&
&1
x
& P(x,y)
1
&O
O
Все многообразие математических операций в процессоре сводится к сложению двоичных чисел: вычитание можно выразить как сложение двух чисел с разными знаками; умножение и деление как многократное сложение и вычитание.
Устройство, выполняющее сложение двух двоичных чисел в одном разряде без учета единицы переноса, называется одноразрядным двоичным полусумматором и выражается логической функцией ИСКЛЮЧАЮЩЕГО ИЛИ.
Таким образом, мы построили два варианта схемы одноразрядного двоичного полусумматора.
С учетом единицы переноса в старший разряд в таблице и в схеме добавится значение еще одного выхода: p(x,y)=xy
При построении таблицы истинности одноразрядного сумматора нужно учитывать еще и единицу переноса из младшего разряда. В таблице истинности одноразрядного сумматора будут три входа и три выхода:x y p1 s p0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
4. Домашнее задание1. Построить схему для одноразрядного сумматора.2. Упростить функцию. Построить схему и таблицу истинности:
f (a , b , c )=a∨b→b∨c3. По схеме записать функцию и построить таблицу истинности:
23
x y f (x,y) p(x,y) 0
0 0 0
0 1 1 01 0 1 01 1 0 1
1
1
S
R
Q
Q
О
О
Триггер и одноразрядный двоичный сумматор. Решение задач с использованием алгебры логики
1. ТриггерТриггер – электронная схема, которая может находиться в одном из двух устойчивых
состояний (0 и 1). При отсутствии входных сигналов триггер может сохранять свое состояние сколь угодно долго. Таким образом, можно утверждать, что триггер способен хранить ровно 1 бит информации.
Отдельно взятые триггеры используются достаточно редко, как правило, некоторое количество триггеров объединяют вместе, при этом полученное устройство называют регистром. Регистры содержатся во всех вычислительных узлах – начиная с процессора и заканчивая периферийными устройствами.
Существуют два вида триггеров – на базе элементов ИЛИ – НЕ и на базе элементов И – НЕ.
Рассмотрим первый из них. Он имеет два входа S (Set – установка) и R (Reset – сброс), которые используются для установки триггера в единичное состояние и для сброса в нулевое и два выхода – прямой и
инверсный (Q и Q ). Иногда такую схему называют RS – триггером. За единичное состояние триггера договорились принимать такое, при котором Q=1.
Сигнал на один из входов каждого элемента снимается с выхода другого. Именно наличие такого соединения и дает триггеру возможность сохранять свое состояние после прекращения действия сигналов (как вы помните, ни один из логических элементов не в состоянии поддерживать сигнал на выходе после прекращения действия входного напряжения).
Для двух входов существуют 4 комбинации нулей и единиц. Мы будем рассматривать три из них, т.к. для триггера на базе вентилей ИЛИ – НЕ состояние (1, 1) считается запрещенным. Мы сейчас попытаемся доказать следующее: сигнал, полученный на выходе Q в некоторый момент времени, остается постоянным после того, как на входы перестанет поступать напряжение.
1) Пусть S=1, R=0. Тогда значение Q =0. В этом случае Q=1. На нижний вход верхнего вентиля также поступила 1.
2) Проверим, что получится на этом же выходе, когда на входы перестанет поступать
напряжение (S=0, R=0). Значение Q останется равным 0, т.к. на нижнем входе 1. Следовательно, на выходе Q значение 1 сохраняется.
Значит, можно сделать следующие выводы: каким бы ни было предыдущее состояние триггера, при поступлении 1 на установочный вход S, на выходе Q устанавливается 1, которая сохраняется после прекращения сигнала.
3) Пусть теперь S=0, R=1. Тогда на выходе Q получаем 0, который поступит на
нижний вход верхнего вентиля, и значение Q будет равно 1.4) Прекратим подавать сигнал на вход R. (R=0, S=0). В этом случае на верхний вход
нижнего вентиля поступит 1, и значение Q останется равным 0. Значит, можно сделать следующие выводы: каким бы ни было предыдущее состояние
триггера, при поступлении 1 на вход сброса R, на выходе Q устанавливается 0, который сохраняется после прекращения сигнала.
Режим S=0, R=0 называют режимом хранения информации, т.к. в этом случае сохраняются значения предыдущего сигнала.
24
O
O
&
▪ &
▪
1
&
&
1 P▪
&
▪
▪
1&
▪
▪
O
&1 S
x
y
p1
Рис. 1
Теперь становится ясно, почему состояние S=1, R=1 считается запрещенным: после снятия входных сигналов (особенно одновременного!) результат становится непредсказуемым.
2. Одноразрядный двоичный сумматорПри построении таблицы истинности одноразрядного сумматора мы учитывали еще и
единицу переноса из младшего разряда. В таблице истинности одноразрядного сумматора будут три входа и три выхода:
Применив нормальную дизъюнктивную форму, получим следующие логические функции для выходов S и Р:S( x , y , p1 )=x∧ y∧p1∨x∧ y∧p1∨x∧ y∧p1∨x∧ y∧p1≡p1∧( x∧ y∨x∧ y )∨p1 (x∧ y∨x∧ y );P( x , y , p1 )=x∧ y∧p1∨x∧ y∧p1∨x∧ y∧p1∨x∧ y∧p1≡p1∧(x∧ y∨x∧ y )∨x∧ y .
Соответствующая схема одноразрядного двоичного сумматора оказывается достаточно сложной (рис. 1).
Если же мы будем учитывать то, что при сложении младшего разряда (вход p1) со значением суммы S также используется полусумматор, то схема сумматора может быть представлена как совокупность двух полусумматоров, соединенных вентилем «ИЛИ» для получения значения на выходе P (рис. 2).
25
x y p1 S P0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
S
Рис. 2
P
O▪ ▪ &
1&
x
y▪
p1
O▪
&
1
&
▪
1
3. Решение логических задач с помощью алгебры высказыванийЗадача1 На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
1) Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя;
v→p∧d≡v∨p∧d≡12) Если будет дождь, то будет пасмурная погода без ветра;
d→ p∧v≡d∨p∧v≡13) Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра;
p→d∧v≡p∨d∧v≡1Каждое из этих высказываний истинно, значит, логическое произведение трех
высказываний должно быть равно 1.
f=(v∨p∧d )∧¿ ¿(d∨p∧v )∧¿ ¿( p∨d∧v )≡1Построим таблицу истинности и проверим, при каких значениях переменных значение
истинности будет равно 1v p d v p d p∧d ¿ v p∧v ¿d d∧v ¿ p f
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 00 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 00 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 01 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 11 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 01 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 01 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Ответ: Будет ветер, ясно, без дождя.Задача 2
Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на олимпиаде по физике четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
Сергей – первый, Роман – второй;Сергей – второй, Виктор – третий;Леонид – второй, Виктор – четвертый.Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились
места?Решение.Исходя из того, что в каждом ответе только одно утверждение истинно, получим:
26
1) С1Р2=12) С2В3=13) Л2В4=1
Составим логическую функцию: (С1Р2) ( С2В3) (Л2В4) = (С1 С2 С1В3Р2 С2 Р2В3) (Л2В4)=(С1В3Л2) (С1 В3 В4 ) (Р2 В3 Л2 ) (Р2 В3 В4 )=С1В3Л2=1;
Ответ: Сергей – 1; Леонид – 2; Виктор -3; Роман – 4.Задача 3
Определите, кто из подозреваемых участвовал в преступлении, если известно:если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал;если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал.
Решение Составим логические функции для приведенных высказываний.
1) I∨P→S≡¿ ¿I∨P∨S≡I∧P∨S =1
2) I→S≡¿ ¿I∨S≡I∧S=1Если оба высказывания истинны, то получим:
( I∧P∨S )∧¿ ¿( i∧s )≡( I∧P∧S )∨( S∧I∧S )≡I∧P∧S≡1Ответ: Иванов участвовал, Сидоров и Петров – нет.
Задача 4Три одноклассницы – Аня, Маша и Валя занимаются во Дворце пионеров в разных
кружках: танцевальном, хоровом, драматическом. На вопрос, кто в какой кружок ходит, они ответили:
Аня: «Я в танцевальном». (Ат=1)Валя: «Я не в танцевальном». (Вт=0)Маша: «Я не в хоровом». (Мх=0)В каком кружке каждая из них занимается, если две девочки солгали, а одна сказала
правду?Решение
Рассмотрим три случая:
1) Пусть Аня сказала правду, а Валя и Маша солгали. Тогда получим Ат∧Вт∧М х=1
, чего не может быть, т.к. девочки занимаются в разных кружках.
2) Пусть Валя сказала правду, а Маша и Аня солгали, тогда получим Ат∧Вт∧М х=1 , чего также не может быть, поскольку либо Аня, либо Валя должны ходить на танцы, т.к. в хор уже ходит Маша.
3) Пусть Маша сказала правду, а Аня и Валя солгали. Тогда Ат∧Вт∧М х=1 . Получили, что Валя ходит на танцы; Маша может ходить либо на танцы, либо на драму, но, поскольку на танцы ходит Валя, то Маша посещает драмкружок; Аня может ходить либо в хор, либо в драмкружок, но, т.к. в драмкружок ходит Маша, то Аня посещает хор.
Ответ: Валя – танцы, Маша – драмкружок, Аня – хор.Задача 5Три ковбоя Билл, Джон и Сэм ходят в салун «У Гарри» вместе. При этом:
1) Если Джон заказывает виски, то и Билл также заказывает виски;2) Если Сэм заказывает виски, то и Джон также заказывает виски;3) Либо Джон, либо Сэм всегда заказывают виски, иногда делают это вместе;4) Либо Билл, либо Сэм заказывают виски, но никогда не делают этого в один и тот же
день.Кто пьет виски в салуне «У Гарри»?
РешениеСоставим логические функции для приведенных высказываний.
Д→Б =1С→Д=1ДС =1
27
Б С =1Обозначим логическое произведение этих высказываний через К. По условию задачи
К=1. Составим таблицу истинности:Д Б С Д→Б С→Д ДС Б
СК
0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 1 0 1 1 00 1 0 1 1 0 1 00 1 1 1 0 1 0 01 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 1 1 01 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 0 0
Ответ: Джон и Билл пьют виски.
28
Зачет по основам логической алгебры1. Рассуждение. Формальная логика. Математическая логика. Логическая алгебра. Простое
и составное высказывание. Предикат. Логические операции. 2. Тождественно истинные, тождественно ложные, эквивалентные высказывания. Примеры.
Логические функции. Построение таблиц истинности по логическим функциям. 3. Аксиомы логической алгебры. Законы логической алгебры. 4. Базисные логические элементы. Схемы. Построение логических функций и таблиц
истинности по схемам. Построение таблиц истинности и схем по логическим функциям. Нормальная дизъюнктивная форма.
5. Двоичный одноразрядный полусумматор. Сумматор. Триггер. 6. Решение логических задач с помощью алгебры высказываний.
A. На столе стоят два одинаковых ящика. В каждом из них находится либо белый, либо черный шарик. На первом из ящиков надпись; «По крайней мере, в одном из этих ящиков находится белый шарик». На втором: «Черный шарик находится в другом ящике». Известно, что эти надписи либо обе истинны, либо обе ложны. Есть ли в каком-нибудь ящике белый шарик, и, если есть, то в каком именно?
B. В квартире раздался звон разбитого стекла, и в окно влетел футбольный мяч. Хозяин выбежал с мячом в руках во двор и увидел трех растерянных мальчишек. «Кто это сделал?» - спросил он. Андрей ответил: «Это сделал я или Боря». Борис сказал: «Ни я, ни Вова здесь ни при чем». Вова возразил: «Это сделал я, Андрей не виноват». Позже выяснилось, что в каждом ответе одно высказывание ложно, другое истинно. Кто же разбил окно?
C. Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая находку, каждый высказал по два предположения:
Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в пятом веке». Боря; «Это сосуд финикийский и изготовлен в третьем веке».
Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в четвертом веке». Учитель истории Борис Рудольфович сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?
D. В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка. Известно, что:1 Если А нарушил, то и B нарушил правила обмена валюты. 2 Если В нарушил, то и С нарушил или А не нарушал. 3 Если D не нарушил, то А нарушил, а С не нарушал. 4 Если D нарушил, то и А нарушил.
Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?
E. Три свидетеля дали показания, что преступники скрылись с места преступления:1 На черном «Бьюике» 2 На синем «Форде» 3 Не на черном «Крайслере».
Каждый из них в чем-то одном ошибался. На какой машине скрылись преступники?
F. Кто из школьников играет в шахматы, если известно следующее:1 Если Андрей или Виктор играет, то Света не играет. 2 Если Виктор не играет, то играют Света и Дима.3 Света играет.
G. Однажды гномы, решившие отправиться за сокровищами, собрались на совет, чтобы с обсудить возможные опасности, которые их ожидают. Было высказано три предположения: 1 Их либо захватят гоблины, либо нападет дракон, либо они заблудятся в лесу, либо их ожидают две, а, может, все три из этих опасностей.
2 Если дракон не нападет, то они утонут в реке. 3 И дракон нападет, и заблудятся в лесу.
29
Помогавший им волшебник заверил, что второе и третье предположения ложны. Какие опасности угрожают гномам?
Задания к зачету по основам логической алгебры.1. Построить инверсии к высказываниям:a. Все люди добрые.b. Для любого угла выполнено основное тригонометрическое тождество. c. Существует теленок с двумя головами.d. Каждый восьмиклассник – отличник. e. Некоторые металлы не проводят тепло.
2. Построить логическую функцию и таблицу истинности по высказываниям:a. Если вы нарвали яблок у соседа в огороде
И не знаете, куда бы их на время положить,
Не давайте их соседу, он не скажет вам спасибо; Съешьте вы их лучше сами потихоньку, за углом.
b. Кто не курит и не пьет, тот здоровеньким помрет c. Я буду читать, если есть хорошая книга и есть свободное время, или, если я ищу
ответ на интересующий меня вопрос и надеюсь найти его в этой книге.
3. Доказать, что
a. a∧b∧( a→b )≡0
b. a∧b∨a≡b∧a
c. x∨x∨ y∨ y∧x∧ y≡14. Построить по логическим функциям схемы вентилей и таблицы истинности.
a. f (a ,b , c )=(c∨b→b)∧a∧b→b
b. f (a , b , c )=(c∨b→b)∧(a∨b )→b
c. f (a ,b , c )=a∧b∨a∧c
5. По предложенным схемам построить логические функции и таблицы истинности
30
Литература1. Программы образовательных учреждений. Информатика. - М.: Просвещение, 2002.2. Семакин И.Г., Залогова Л.А.
Информатика. Базовый курс. 7 – 9 кл. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.3. Семакин И.Г., Хеннер Е.К.
Задачник-практикум в 2т. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.4. Семакин И.Г., Шеина Т.Ю.
Преподавание базового курса информатики в средней школе. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
5. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Углубленный курс. 10 – 11 кл. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
6. Информатика. Еженедельная газета издательского дома «Первое сентября»7. Компьютерные инструменты в образовании. Периодическое издание
Северо - Западного отделения Российской Академии образования.8. Кузнецов А.А. и др.
Материалы для подготовки и проведения итоговой аттестации выпускников средних общеобразовательных учреждений по информатике. 11 кл. – М.: Дрофа, 2001.
9. Методика преподавания информатики. – М.: Издательский центр «Академия», 2005.10. Угринович Н.Д
Преподавание курса «Информатика и ИКТ» в основной и старшей школе 7 – 11. Методическое пособие. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004.
31