1 ย 22102 4 2 25เวลา 6 1elsd.ssru.ac.th/chuchakaj_ch/pluginfile.php/249/course... ·...

1

แผนการจัดการเรียนรูท่ี 1

หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง จํานวนตรรกยะ

วิชา ค22102 ช่ือรายวิชา คณิตศาสตร 4 กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร

ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 2 ภาคเรียนท่ี 2 ปการศึกษา 2561 เวลา 1 ช่ัวโมง

ผูสอน อาจารยชูฉกาจ ชูเลิศ

ตัวช้ีวัดช้ันป

ค 1.1 เขาใจถึงความหลากหลายของการแสดงจํานวนและการใชจํานวนในชีวิตจริง

ค 1.1 ม.2/1 เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมและเขียนทศนิยมซํ้าในรูปเศษสวน

ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร และการ

นําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตร และเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ และมีความคิด

ริเริ่มสรางสรรค

ค 6.1 ม.2/1 ใชวิธีการท่ีหลากหลายในการแกปญหา

ค 6.1 ม.2/4 ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตรในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ

ไดอยางถูกตองและชัดเจน

จุดประสงคการเรียนรู

นักเรียนสามารถเขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยมซํ้าได

สาระสําคัญ

จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนท่ีเขียนแทนไดดวยทศนิยมซํ้าหรือเศษสวน ab

เม่ือ a และ b เปนจํานวน

เต็มท่ี b ≠ 0

สาระการเรียนรู

ดานความรู

จํานวนตรรกยะ

2

ดานทักษะ / กระบวนการ

1. การแกปญหา

2. การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร และการนําเสนอ

คุณลักษณะอันพึงประสงค

1. ใฝเรียนรู

2. มีวินัย

3. มุงม่ันในการทํางาน

สมรรถนะสําคัญ

1. ความสามารถในการสื่อสาร

2. ความสามารถในการคิด

3. ความสามารถในการแกปญหา

กิจกรรมการเรียนรู

กิจกรรมนําเขาสูบทเรียน

1. ครูกลาวถึงจํานวนท่ีนักเรียนเคยทราบมาแลว เชน จํานวนเต็มและเศษสวน โดยใหนักเรียน

ชวยกันยกตัวอยางจํานวนเหลานี้

2. ครูกลาววาจํานวนขางตนท่ีสามารถเขียนใหอยูในรูป ab

เม่ือ a และ b เปนจํานวนเต็มท่ี b

≠ 0 เรียกวา จํานวนตรรกยะ (rational number)

3. ครูกลาววาเศษสวนสามารถเขียนใหอยูในรูปทศนิยมได โดยใชวิธีการหารยาว

กิจกรรมพัฒนาผูเรียน

4. ครูยกตัวอยางการเขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยม โดยใชวิธีการหารยาว

ตัวอยาง จงเขียนเศษสวนตอไปนี้ใหอยูในรูปทศนิยม

1) 74

2) 1115

3) - 2533

4) - 1137

5) 2955

จํานวนตรรกยะ (rational number) คือ จํานวนท่ีเขียนแทนไดดวยเศษสวน

ab

เม่ือ a และ b เปนจํานวนเต็มท่ี b ≠ 0

3

วิธีทํา 1) 74

1. 75

4 7.0 0

4

3 0

2 8

2 0

2 0

0

ดังนั้น 74

= 1.75 หรือ 1.75000...

2) 1115

0.7 3 3 315 1 1.0 0 0 0

0

1 1 0

1 0 5

5 0

4 5

5 0

4 5

5 0

4 5

5


= 0.7333...

4

3) - 2533

0. 7 5 7 533 2 5.0 0 0 0

0

2 5 0

2 3 1

1 9 0

1 6 5

2 5 0

2 3 1

1 9 0

1 6 5

2 5

ดังนั้น - 2533

= - 0.7575...

4) - 1137

0. 2 9 7 2 9 737 1 1.0 0 0 0 0 0

0

1 1 0

7 4

3 6 0

3 3 3

2 7 0

2 5 9

1 1 0

7 4

3 6 0

3 3 3

2 7 0

2 5 9

1 1


= - 0.297297...

5

5) 2955

0. 5 2 7 2 755 2 9.0 0 0 0 0

0

2 9 0

2 7 5

1 5 0

1 1 0

4 0 0

3 8 5

1 5 0

1 1 0

4 0 0

3 8 5

1 5


= 0.52727...

5. ครูกลาววาจากตัวอยางขอ 1) ถึง 5) สามารถเขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยมไดดังนี้

1) 74

= 1.75000... หรือ •

1.750

2) 1115

= 0.7333... หรือ •

0.73

3) - 2533

= - 0.7575... หรือ - • •

0.75

4) - 1137

= - 0.297297... หรือ - • •

0.297

5) 2955

= 0.52727... หรือ • •

0.527

6. ครูกลาววาทศนยิมท่ีไดจากขอ 1) ถึง 5) เรียกวา ทศนิยมซํ้า ซ่ึงสามารถจัดทศนิยมซํ้าเปน 2

กลุม ดังนี้

1) ทศนิยมซํ้าศูนยหรือทศนิยมรูจบ ซ่ึงไมนิยมเขียนตัวซํ้าศูนย เชน

•

1.750 เขียนเปน 1.75

•

0.50 เขียนเปน 0.5

•

- 0.6250 เขียนเปน - 0.625

•

- 2.250 เขียนเปน - 2.25

6

2) ทศนิยมซํ้าท่ีไมใชทศนิยมซํ้าศูนย ซ่ึงไมสามารถบอกจํานวนเลขโดดหลังจุดทศนิยม

ได แตสามารถบอกทศนิยมตัวตอไปได เชน

•

0.73 อานวา ศูนยจุดเจ็ดสามสามซํ้า

- • •

0.75 อานวา ลบศูนยจุดเจ็ดหาเจ็ดหาซํ้า

- • •

0.297 อานวา ลบศูนยจุดสองเกาเจ็ดสองเกาเจ็ดซํ้า

• •

0.527 อานวา ศูนยจุดหาสองเจ็ดสองเจ็ดซํ้า

กิจกรรมรวบยอด

7. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัดท่ี 1

8. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยแบบฝกหัดท่ี 1

ส่ือการเรียนรู/แหลงเรียนรู

1. PowerPoint เรื่อง จํานวนตรรกยะ

2. หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตรพ้ืนฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 2 เลม 2

การวัดและการประเมิน

เปาหมาย หลักฐาน เครื่องมือวัด เกณฑการประเมิน


- จํานวนตรรกยะ

- แบบฝกหัดท่ี 1 - แบบฝกหัดท่ี 1 - ตรวจสอบความถูก

ตองและความเขาใจ

ตัวช้ีวัด

- ค 1.1 ม.2/1

- ค 1.1 ม.2/2

- ค 1.4 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4

- แบบฝกหัดท่ี 1


- ตรวจสอบความถูก



- ใฝเรียนรู

- วินัย

- มุงม่ันในการทํางาน

- การเขาเรียน

- การทํางานในชั้นเรียน

- การบานท่ีไดรับ

มอบหมาย

- เขาเรียน

- มีสวนรวมในกิจกรรม

การเรียน

- เขาเรียนตรงเวลา

- เม่ือครูถามนักเรียนมี

ความกระตือรือรนและ

ความสนใจในการตอบ

- รับผิดชอบงานท่ีไดรับ


7


สมรรถนะ

- ความสามารถในการ

สื่อสาร

- ความสามารถในการคิด

- ความสามารถในการแก

ปญหา



- ตรวจสอบความถูก


8


หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง จํานวนตรรกยะ






ค 1.1 ม.2/2 จําแนกจํานวนจริงท่ีกําหนดให และยกตัวอยางจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ

ค 1.4 เขาใจระบบจํานวนและนําสมบัติเก่ียวกับจํานวนไปใช

ค 1.4 ม.2/1 บอกความเก่ียวของของจํานวนจริง จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ








1. นักเรียนสามารถเขียนทศนิยมซํ้าใหอยูในรูปเศษสวนได

2. นักเรียนสามารถบอกไดวาจํานวนท่ีกําหนดใหเปนจํานวนตรรกยะหรือไม

3. นักเรียนสามารถยกตัวอยางจํานวนตรรกยะได


จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนท่ีเขียนแทนไดดวยทศนิยมซํ้าหรือเศษสวน ab

เม่ือ a และ b เปนจํานวน

เต็มท่ี b ≠ 0

9
















ช่ัวโมงท่ี 1


1. ครูทบทวนการเขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยม โดยใชวิธีการถามตอบกับนักเรียน

2. ครูกลาวถึงการเขียนทศนยิมซํ้าใหอยูในรูปเศษสวน และครูทบทวนการเขียนทศนิยมซํ้าศูนย

ใหอยูในรูปเศษสวน โดยการทําตัวสวนใหเปน 10, 100, 1000, … ข้ึนอยูกับจํานวนเลขโดดหลังจุดทศนิยมเชน

1) 0.8 = 810

2) - 0.25 = - 25100

3) 0.584 = 5841000


3. ครูกลาวถึงการเขียนทศนิยมซํ้าท่ีไมใชทศนิยมซํ้าศูนยใหอยูในรูปเศษสวน ดังนี้

1) ถาหลังจุดทศนิยมเปนทศนิยมซํ้าท้ังหมด ใหนําเลขโดดท่ีเปนทศนิยมซํ้ามาเขียน

เปนตัวเศษ และเขียน 9, 99, 999, … เปนตัวสวนตามจํานวนทศนิยมซํ้า

10

ตัวอยางท่ี 1 จงเขียนทศนิยมซํ้าตอไปนี้ใหอยูในรูปเศษสวน

1) •

0.4 2) • •

0.62 3) • •

1.326

วิธีทํา 1) •

0.4 = 49

2) • •

0.62 = 6299

3) • •

1.326 = 3261999

2) ถาหลังจุดทศนิยมไมเปนทศนยิมซํ้าท้ังหมด ใหนํา

เลขโดดหลังทศนิยมทั้งหมด − เลขโดดที่ไมเปนทศนยิมซํ้า

เลข 9 ตามจํานวนทศนิยมซํ้า แลวตอดวยเลข 0 ตามจํานวนเลขโดดที่ไมเปนทศนิยมซํ้า

ตัวอยางท่ี 2 จงเขียนทศนิยมซํ้าตอไปนีใ้หอยูในรูปเศษสวน

1) •

0.56 2) •

1.123 3) • •

0.457

4) • •

1.6534 5) • •

0.84518

วิธีทํา 1) •

0.56 = 56 - 590

= 5190

2) •

1.123 = 123 - 121

900 =

1111900

3) • •

0.457 = 457 - 4990

= 453990

4) • •

1.6534 = 6534 - 651

9900 =

646919900

5) • •

0.11204 = 11204 - 1199900

= 1119399900

4. ครูกลาววา เราสามารถเขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยมซํ้าไดและเขียนทศนิยมซํ้าใหอยูใน

รูปเศษสวนได จึงกลาวไดอีกอยางหนึ่งวา จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนท่ีเขียนแทนไดดวยทศนิยมซํ้าหรือเศษสวน

ab





11



1. ครูทบทวนจํานวนตรรกยะ พรอมใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางจํานวนตรรกยะ

2. ครูและนักเรียนชวยกันตอบคําถามในหนังสือหนา 39 มารูจักจํานวนตรรกยะกันเถอะ


3. ครูกลาวถึงจํานวนตรรกยะวาเปนจํานวนชนิดตาง ๆ ดังแผนผังตอไปนี้

4. ครูกลาวถึงสถานการณตางๆ ท่ีเก่ียวของกับปริมาณท่ีเปนจํานวนตรรกยะในรูปของจํานวน

เต็มและเศษสวนในชีวิตประจําวัน พรอมใหนักเรียนยกตัวอยางเพ่ิมเติม เชน

- คนไทยดื่มนมเฉลี่ย 4 ลิตรตอคนตอป

- กรุงเทพมหานครมีพ้ืนท่ีประมาณ 1,569 ตารางกิโลเมตร

- นิดหนอยมีน้ํามันพืชเหลืออยูประมาณ 3 ใน 4 ของขวด

5. ครูกลาววาสําหรับปริมาณท่ีเปนทศนิยมซํ้าท่ีไมใชทศนิยมซํ้าศูนยเปนปริมาณท่ีไมสะดวกใน

การนําไปใช จึงมักใชคาประมาณหรือใชเศษสวนแทน ดังสถานการณตอไปนี้

สถานการณท่ี 1 คุณแมมีลูกเกดอยู 1 กลอง เม่ือแบงใหลูก 3 คนเทาๆ กัน จะแบงได

คนละ 1 ÷ 3 ซ่ึงเทากับ •

0.3 ของกลอง จึงกลาววา ลูกแตละคนไดลูกเกด 13

ของกลอง

สถานการณท่ี 2 ปอมซ้ือกลวยหอมมาหนึ่งหวีราคา 28 บาท มีกลวยอยู 9 ผล ปอม

คํานวณราคากลวยหอมไดผลละ •

3.1 บาท เขาจึงประมาณกลวยหอมราคาผลละ 3 บาท

สถานการณท่ี 3 ครอบครัวแกวซ่ึงมีสมาชิก 6 คน ไปรับประทานอาหารเย็นท่ีสวน

อาหารแหงหนึ่งคิดเปนเงินคาอาหาร 1,120 บาท เม่ือคํานวณคาอาหารตอคนแลวได •

186.6 บาท แกวจึง

ประมาณเปนจํานวนเต็มสิบ แลวบอกพอวา คาอาหารตอคนประมาณ 190 บาท

6. ครูและนักเรียนชวยกันตอบคําถามในหนังสือหนา 43 เปนจํานวนตรรยะหรือไม

จํานวนตรรกยะ (rational number) คือ จํานวนท่ีเขียนแทนไดดวยทศนิยมซํ้า

หรือเศษสวน ab



จํานวนเต็ม เศษสวนท่ีไมใชจํานวนเต็มหรือทศนยิมซํ้า

จํานวนเต็มลบ ศูนย จํานวนเต็มบวก

12




1. PowerPoint เรื่อง จํานวนตรรกยะ





- จํานวนตรรกยะ





- ตรวจสอบความถูกตอง

และความเขาใจ


- ค 1.1 ม.2/2

- ค 1.4 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4









- วินัย




















ปญหา







13


หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง จํานวนอตรรกยะ






ค 1.1 ม.2/1 เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมและเขียนทศนิยมซํ้าในรูปเศษสวน





นําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตร และเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ และมีความคิด






1. นักเรียนสามารถบอกไดวาจํานวนท่ีกําหนดใหเปนจํานวนอตรรกยะหรือไม

2. นักเรียนสามารถยกตัวอยางจํานวนอตรรกยะได

3. นักเรียนสามารถบอกความเก่ียวของระหวางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได


จํานวนอตรรกยะ คือ จํานวนท่ีไมสามารถเขียนแทนไดดวยทศนิยมซํ้าหรือเศษสวน ab

เม่ือ a และ b

เปนจํานวนเต็มท่ี b ≠ 0

14



จํานวนอตรรกยะ














1. ครูทบทวนแผนผังของจํานวนตรรกยะ และพรอมใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางจํานวน

ตรรกยะ

2. ครูกลาววาจํานวนเต็ม เศษสวน และทศนิยมซํ้า มีประโยชนและสามารถนําไปใชได อยาง

กวางขวาง แตยังมีปญหาหรือสถานการณบางอยางท่ีไมสามารถใชจํานวนดังกลาวแทนปริมาณท่ีตองการสื่อได


จํานวนเต็ม เศษสวนท่ีไมใชจํานวนเต็มหรือทศนิยมซํ้า


15


3. ครูยกตัวอยางสถานการณดังนี้

โรงเรียนแหงหนึ่งตองการทําสวนหยอมหนาโรงเรียนเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยใหมี

พ้ืนท่ีขนาด 2 ตารางวา สวนหยอมนี้จะมีดานแตละดานยาวเทาไร

ครูอธิบายวาพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทากับผลคูณของความยาวของดาน เม่ือให x แทน

ความยาวของดาน จึงไดวา

x x⋅ = 2

x2 = 2

ดังนั้น การหาความยาวของดาน จึงเปนการหาจํานวนท่ียกกําลังสองแลวได 2 โดยเริ่มจากการ

ลองแทนคา x ดวยจํานวนเต็มบวก ดังนี้

1)

จากตาราง จะไดวา x มีคาอยูระหวาง 1 กับ 2

2) เพ่ือหาคา x เปนทศนิยมหนึ่งตําแหนง จึงแบงชวงระหวาง 1 กับ 2 ออกเปนสิบสวนเทาๆ

กัน แลวพิจารณาวา x ควรมีคาเทาใด โดยลองแทนคา x ดวยทศนิยมหนึ่งตําแหนงท่ีอยูระหวาง 1 และ 2 ดังนี้

จากตาราง จะไดวา x มีคาอยูระหวาง 1.4 กับ 1.5

3) เพ่ือหาคา x เปนทศนิยมสองตําแหนง จึงแบงชวงระหวาง 1.4 กับ 1.5 ออกเปนสิบสวน

เทาๆ กัน แลวพิจารณาวา x ควรมีคาเทาใด โดยลองแทนคา x ดวยทศนิยมสองตําแหนงท่ีอยูระหวาง 1.4 กับ

1.5 ดังนี้


4) เพ่ือหาคา x เปนทศนิยมตําแหนงถัดๆ ไป จึงทําในทํานองเดียวกัน ดังตารางตอไปนี้


x 1 2

x2 1 4

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

x2 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61

x 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49

x2 1.9881 2.0164 2.0449 2.0736 2.1025 2.1316 2.1609 2.1904 2.2201

x 1.411 1.412 1.413 1.414 1.415 ...

x2 1.990921 1.993744 1.996569 1.999396 2.002225 ...

16



4. ครูอธิบายตอวา ถาหาคา x ตอไปเรื่อยๆ จะพบวา คาท่ีไดนั้นเปนทศนิยมท่ีไมสิ้นสุด ซ่ึงเม่ือ

ใชเครื่องคํานวณคิด ผลปรากฏวาไดคา x เปนทศนิยมหลายตําแหนง ดังนี้

1.414213562373095048801688724209...

ซ่ึงทศนิยมในลักษณะนี้ไมสามารถเขียนแทนไดดวยเศษสวนหรือทศนิยมซํ้า

เม่ือไมสามารถแทน x ไดดวยเศษสวนหรือทศนิยมซํ้า จึงจําเปนตองแทน x ดวยจํานวนชนิด

ใหมโดยใชเครื่องหมายกรณฑ ( ) ดังนั้นจึงเขียนสัญลักษณ 2 แทน จํานวนบวกท่ียกกําลังสองแลวได 2

นั่นคือจากปญหาขางตน สวนหยอมมีดานแตละดานยาว 2 วา

5. ครูกลาววา 2 เปนตัวอยางของจํานวนท่ีไมสามารถเขียนแทนไดดวยทศนิยมซํ้า จึงไม

สามารถเขียนแทนไดดวยเศษสวน ดังนั้น 2 จึงไมใชจํานวนตรรกยะ แตเปนจํานวนอตรรกยะ

6. ครูยกตัวอยางจํานวนอตรรกยะเพ่ิมเติม เชน

- 1.234567891011121314...

- 3.4323223222...

- 16.79779777977779...

- -4.399339933399...

- π = 3.141592653589793238462…

- 3 = 1.73205080756887…

- 5 = 2.23606797749979…

- 7 = 2.64575131106459…

เปนตน


7. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางจํานวนอตรรกยะจํานวน 10 ขอ ลงในสมุด

x 1.4141 1.4142 1.4143 1.4144 1.4145 ...

x2 1.99967881 1.9996164 2.00024449 2.00052736 2.00081025 ...

x 1.41421 1.41422 1.41423 1.41424 1.41425 ...

x2 1.9999899241 2.0000182084 2.0000464929 2.0000747776 2.0001030625 ...

จํานวนอตรรกยะ (irrational number) คือ จํานวนท่ีไมสามารถเขียนแทนได

ดวยทศนิยมซํ้าหรือเศษสวน

ab เม่ือ a และ b เปนจํานวนเต็มท่ี b ≠ 0

17


1. PowerPoint เรื่อง จํานวนอตรรกยะ





- จํานวนอตรรกยะ

- สมุด

- สมุด




- ค 1.1 ม.2/1

- ค 1.1 ม.2/2

- ค 1.4 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4

- สมุด

- สมุด





- วินัย




















ปญหา

- สมุด

- สมุด



18


หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง จํานวนอตรรกยะและเรื่องรากท่ีสอง







ค 1.1 ม.2/3 อธิบายและระบุรากท่ีสองและรากท่ีสามของจํานวนจริง

ค 1.2 เขาใจถึงผลท่ีเกิดข้ึนจากการดําเนินการของจํานวนและความสัมพันธระหวางการดําเนินการตาง ๆ

และใชการดําเนินการในการแกปญหา

ค 1.2 ม.2/2 อธิบายผลท่ีเกิดข้ึนจากการหารากท่ีสองและรากท่ีสามของจํานวนเต็ม เศษสวน และ

ทศนิยม บอกความสัมพันธของการยกกําลังกับการหารากของจํานวนจริง










1. นักเรียนสามารถบอกความเก่ียวของระหวางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได

2. นักเรียนสามารถอธิบายความหมายของรากท่ีสองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได

3. นักเรียนสามารถอานและใชสัญลักษณ ไดถูกตอง


19

จํานวนอตรรกยะ

จํานวนอตรรกยะ คือ จํานวนท่ีไมสามารถเขียนแทนไดดวยทศนิยมซํ้าหรือเศษสวน ab

เม่ือ a และ b

เปนจํานวนเต็มท่ี b ≠ 0

รากท่ีสอง

- ให a แทน จํานวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย รากท่ีสองของ a คือ จํานวนจริงท่ียกกําลังสองแลวได a

- ถา a เปนจํานวนจริงบวก รากท่ีสองของ a มีสองราก คือ รากท่ีสองท่ีเปนบวก ซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ

a และรากท่ีสองท่ีเปนลบ ซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ - a ถา a = 0 รากท่ีสองของ a คือ 0

- ( a )2 = a และ (- a )2 = a

- การพิจารณาวารากท่ีสองของจํานวนตรรกยะบวกเปนจํานวนตรรกยะหรือจํานวนอตรรกยะ ทําไดดังนี้

สําหรับจํานวนเต็มบวก พิจารณาดังนี้

1. ถาสามารถหาจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนเต็มบวกท่ีกําหนดให

รากท่ีสองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะท่ีเปนจํานวนเต็ม

2. ถาไมสามารถหาจํานวนเต็มท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนเต็มบวกท่ีกําหนดให รากท่ี

สองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ

สําหรับจํานวนตรรกยะบวกอ่ืนๆ ท่ีไมใชจํานวนเต็ม พิจารณาดังนี้

ถาสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนตรรกยะบวกท่ีกําหนดให รากท่ี

สองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะ แตถาไมสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวน

ตรรกยะบวกท่ีกําหนดให รากท่ีสองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ



1. จํานวนอตรรกยะ

2. รากท่ีสอง









20







1. ครูทบทวนจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ พรอมใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยาง

- จํานวนตรรกยะ (rational number) คือ จํานวนท่ีเขียนแทนไดดวยทศนิยมซํ้าหรือ

เศษสวน ab


- จํานวนอตรรกยะ (irrational number) คือ จํานวนท่ีไมสามารถเขียนแทนไดดวย

ทศนิยมซํ้าหรือเศษสวน ab



2. ครูกลาววา จํานวนท่ีเปนจํานวนตรรกยะหรือจํานวนอตรรกยะ เรียกวา จํานวนจริง

3. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม ฉันอยูตรงไหน โดยใหนักเรียนจําแนกจํานวนท่ีกําหนดใหวาเปน

จํานวนตรรกยะหรือจํานวนอตรรกยะ





จํานวนจริง

จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ

จํานวนเต็ม เศษสวนท่ีไมใชจํานวนเต็มหรือทศนิยมซํ้า


21


1. ครูทบทวนเรื่องเครื่องหมายกรณฑ ( ) ท่ีนักเรียนไดพบในเรื่องจํานวนอตรรกยะ โดยครู

กลาววาสิ่งท่ีนักเรียนไดพบนั้นเรียกวา รากท่ีสอง จากนั้นครูจึงกลาวถึงบทนิยามของรากท่ีสอง ดังนี้

เชน รากท่ีสองของ 25 คือ 5 เนื่องจาก 52 = 25

รากท่ีสองของ 25 คือ -5 เนื่องจาก (-5)2 = 25

รากท่ีสองของ 225 คือ 15 เนื่องจาก 152 = 225

รากท่ีสองของ 225 คือ -15 เนื่องจาก (-15)2 = 225

2. ครูกลาวเพ่ิมเติมวา

จํานวนอตรรกยะท่ีนักเรียนไดพบมาแลว เชน 2 , 3 เปนรากท่ีสองท่ีเปนบวกหรือเรียก

อีกอยางหนึ่งวา กรณฑท่ีสองของ a

และจากบทนิยามจะไดวา ( a )2 = a และ (- a )2 = a เชน

- ( 2 )2 = 2 × 2 = 2 และ (- 2 )2 = (- 2 ) × (- 2 ) = 2

- ( 4 )2 = 4 × 4 = 4 และ (- 4 )2 = (- 4 ) × (- 4 ) = 4

- ( 14

)2 = 14

× 14

= 14

และ (- 14

)2 = (- 14

) × (- 14

) = 14

- ( 0.1 )2 = 0.1 × 0.1 = 0.1 และ (- 0.1 )2 = (- 0.1 ) × (- 0.1 ) = 0.1


3. ครูยกตัวอยางการหารากท่ีสอง ดังนี้

ตัวอยาง จงหารากท่ีสองของจํานวนตอไปนี้

1) 49 2) 0.01 3) 13 4) 25

บทนิยาม ให a แทน จํานวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย รากท่ีสองของ a คือ จํานวนจริงท่ี

ยกกําลังสองแลวได a

ถา a เปนจํานวนจริงบวก รากท่ีสองของ a มีสองราก คือ รากท่ีสองท่ีเปนบวก

ซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ a และรากท่ีสองท่ีเปนลบ ซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ - a

ถา a = 0 รากท่ีสองของ a คือ 0

22


รากท่ีสองของ 49 มีสองราก เขียนแทนดวย 49 และ - 49

เนื่องจาก 49 = 27 = 7

และ - 49 = - 27 = -7

ดังนั้น รากท่ีสองของ 49 คือ 7 และ -7

2) 0.01

รากท่ีสองของ 0.01 มีสองราก เขียนแทนดวย 0.01 และ - 0.01

เนื่องจาก 0.01 = 2(0.1) = 0.1

และ - 0.01 = - 2(0.1) = -0.1

ดังนั้น รากท่ีสองของ 0.01 คือ 0.1 และ -0.1

3) 13

รากท่ีสองของ 13 มีสองราก เขียนแทนดวย 13 และ - 13

เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มใดท่ียกกําลังสองแลวเทากับ 13

ดังนั้น รากท่ีสองของ 13 คือ 13 และ - 13

โดยท่ี 13 และ - 13 เปนจํานวนอตรรกยะ

4) 25

รากท่ีสองของ 25

มีสองราก เขียนแทนดวย 25

และ - 25

เนื่องจาก ไมมีจํานวนตรรกยะใดท่ียกกําลังสองแลวเทากับ 25

ดังนั้น รากท่ีสองของ 25

คือ 25

และ - 25

โดยท่ี 25

และ - 25

เปนจํานวนอตรรกยะ


4. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปการหารากท่ีสองของจํานวนตรรกยะบวกวาสามารถพิจารณาได

ดังนี้


1. ถาสามารถหาจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนเต็มบวกท่ี

กําหนดให รากท่ีสองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะท่ีเปนจํานวนเต็ม

23

2. ถาไมสามารถหาจํานวนเต็มท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนเต็มบวกท่ีกําหนดให

รากท่ีสองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ


ถาสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนตรรกยะบวกท่ี

กําหนดให รากท่ีสองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะ แตถาไมสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสอง

แลวเทากับจํานวนตรรกยะบวกท่ีกําหนดให รากท่ีสองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ




1. PowerPoint เรื่อง จํานวนอตรรกยะ





- จํานวนอตรรกยะ

- ใบกิจกรรม

ฉันอยูตรงไหน










- ค 1.1 ม.2/2

- ค 1.1 ม.2/3

- ค 1.4 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4













- วินัย















24







ปญหา











25


หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง รากท่ีสอง










ทศนยิม บอกความสัมพันธของการยกกําลังกับการหารากของจํานวนจริง








1. นักเรียนสามารถอธิบายความหมายของรากท่ีสองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได

2. นักเรียนสามารถอานและใชสัญลักษณ ไดถูกตอง

3. นักเรียนสามารถอธิบายความสัมพันธของการยกกําลังและการหารากท่ีสองของจํานวนจริงบวกหรือ

ศูนยได

26


- ให a แทน จํานวนจริงบวกใดๆ หรือศูนย รากท่ีสองของ a คือ จํานวนจริงท่ียกกําลังสองแลวได a

- ถา a เปนจํานวนจริงบวก รากท่ีสองของ a มีสองราก คือ รากท่ีสองท่ีเปนบวก ซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ

a และรากท่ีสองท่ีเปนลบ ซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ - a ถา a = 0 รากท่ีสองของ a คือ 0

- ( a )2 = a และ (- a )2 = a

- การพิจารณาวารากท่ีสองของจํานวนตรรกยะบวกเปนจํานวนตรรกยะหรือจํานวนอตรรกยะ ทําไดดังนี้


1. ถาสามารถหาจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนเต็มบวกท่ีกําหนดให

รากท่ีสองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะท่ีเปนจํานวนเต็ม

2. ถาไมสามารถหาจํานวนเต็มท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนเต็มบวกท่ีกําหนดให รากท่ี

สองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ


ถาสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวนตรรกยะบวกท่ีกําหนดให รากท่ี

สองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะ แตถาไมสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสอง แลวเทากับจํานวน

ตรรกยะบวกท่ีกําหนดให รากท่ีสองของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ



รากท่ีสอง












27



1. ครูทบทวนการหารากท่ีสองท่ีไดเรียนในคาบท่ีแลว โดยครูกลาวเพ่ิมเติมวา ถารากท่ีสองของ

จํานวนจริงบวกเปนจํานวนตรรกยะ เราจะไมนิยมเขียนรากท่ีสองนั้นโดยใชเครื่องหมาย


2. ครูและนักเรียนชวยกันหารากท่ีสองเพ่ิมเติม ดังนี้

ตัวอยาง จงหาคาของจํานวนตอไปนี้

1) 81 2) - 100 3) 0.0016

4) 0.0144 5) 94

6) - 25121


เนื่องจาก 81 = 29 = 9

ดังนั้น 81 = 9

2) - 100

เนื่องจาก - 100 = - 210 = -10

ดังนั้น - 100 = -10

3) 0.0016

เนื่องจาก 0.0016 = 2(0.04) = 0.04

ดังนั้น 0.0016 = 0.04

4) 0.0144

เนื่องจาก 0.0144 = 2(0.15) = 0.15

ดังนั้น 0.0144 = 0.15

5) 94

เนื่องจาก 94

=

232

= 32


= 32

28

6) - 25121

เนื่องจาก - 25121

= -

2511

= - 511


= - 511


3. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม ทางออกอยูไหน 1

4. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยกิจกรรม ทางออกอยูไหน 1


1. PowerPoint เรื่อง รากท่ีสอง





- รากท่ีสอง


ทางออกอยูไหน 1






- ค 1.1 ม.2/3

- ค 1.2 ม.2/2

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4









- วินัย


















ปญหา







29


หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง การหารากท่ีสอง









ค 1.2 ม.2/1 หารากท่ีสองและรากท่ีสามของจํานวนเต็มโดยการแยกตัวประกอบ และนําไปใชในการ

แกปญหา พรอมท้ังตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบ



ค 1.3 ใชการประมาณคาในการคํานวณและแกปญหา

ค 1.3 ม.2/1 หาคาประมาณของรากท่ีสองและรากท่ีสามของจํานวนจริง และนําไปใชในการแกปญหา

พรอมท้ังตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบ







30


นักเรียนสามารถหารากท่ีสองของจํานวนจริงท่ีกําหนดใหโดยแยกตัวประกอบ การประมาณ การเปด

ตาราง หรือการใชเครื่องคํานวณ และนําไปใชแกปญหาได


การหารากท่ีสองของจํานวนจริงทําไดหลายวิธี ไดแก การแยกตัวประกอบ การประมาณ การเปดตาราง

และการใชเครื่องคํานวณ



การหารากท่ีสอง














1. ครูทบทวนการหารากท่ีสองโดยการหาจํานวนจริงท่ียกกําลังสองแลวไดจํานวนท่ีกําหนด

2. ครูกลาววาการหารากท่ีสองยังสามารถทําไดหลายวิธี ไดแก การแยกตัวประกอบ การ

ประมาณ การเปดตาราง และการใชเครื่องคํานวณ


3. ครูยกตัวอยางการหารากท่ีสองโดยการแยกตัวประกอบ ดังนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงหารากท่ีสองของจํานวนตอไปนี้

1) 256 2) 784 3) 1,089

31


เนื่องจาก 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

= ( )22 × 2 × 2 × 2

= 2 × 2 × 2 × 2

= 16

และ - 256 = -16


2) 784

เนื่องจาก 784 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7

= ( )22 × 2 × 7

= 2 × 2 × 7

= 28

และ - 784 = -28


3) 1,089

เนื่องจาก 1,089 = 3 × 3 × 11 × 11

= ( )23 × 11

= 3 × 11

= 33

และ - 1,089 = -33

ดังนั้น รากท่ีสองของ 1,089 คือ 33 และ -33

ตัวอยางท่ี 2 จงหาคาของจํานวนตอไปนี้

1) 676 2) 1,225 3) - 1,764


เนื่องจาก 676 = 2 × 2 × 13 × 13

= ( )22 × 13

= 2 × 13

= 26

ดังนั้น 676 = 26

32

2) 1,225

เนื่องจาก 1,225 = 5 × 5 × 7 × 7

= ( )25 × 7

= 5 × 7

= 35

ดังนั้น 1,225 = 35

3) - 1,764

เนื่องจาก - 1,764 = - 2 × 2 × 3 × 3× 7 × 7

= - ( )22 × 3× 7

= - (2 × 3 × 7)

= -42

ดังนั้น - 1,764 = -42

ตัวอยางท่ี 3 จงหาคาของจํานวนตอไปนี้

1) 24 2) - 50 3) 108 4) - 162


เนื่องจาก 24 = 2 × 2 × 2 × 3

= 22 × 2 × 3

= 2 6

ดังนั้น 24 = 2 6

2) - 50

เนื่องจาก - 50 = - 2 × 5 × 5

= - 22×5

= -5 2

ดังนั้น - 50 = -5 2

3) 108

เนื่องจาก 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3

= 2 22 × 3 × 3

33

= 2 × 3 3

= 6 3

ดังนั้น 108 = 6 3

4) - 162

เนื่องจาก - 162 = - 2 × 3 × 3× 3 × 3

= - 2 22 × 3 ×3

= -(3 × 3 2 )

= -9 2

ดังนั้น - 162 = -9 2





1. PowerPoint เรื่อง การหารากท่ีสอง





- การหารากท่ีสอง






- ค 1.1 ม.2/3

- ค 1.2 ม.2/1

- ค 1.2 ม.2/2

- ค 1.3 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4







- วินัย










34

- มุงม่ันในการทํางาน มอบหมาย ความสนใจในการตอบ









ปญหา





35


หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง การหารากท่ีสอง

























36




















1. ครูกลาวถึงการหารากท่ีสองอีกหนึ่งวิธีคือการประมาณ ซ่ึงการหารากท่ีสองของจํานวนเต็ม

บวก เม่ือรากท่ีสองของจํานวนเต็มบวกนั้น ไมเปนจํานวนเต็ม คาท่ีไดจะเปนจํานวนอตรรกยะ แตเพ่ือความ

สะดวกในการนําไปใช จึงตองหาคาประมาณของจํานวนอตรรกยะนั้น


2. ครูอธิบายวิธีการหารากท่ีสองโดยการประมาณ จากการยกตัวอยาง ดังนี้

ตัวอยาง จงหาคาประมาณของจํานวนตอไปนี้

1) 13 2) 27 3) 54


1.1) ใหตรวจสอบวา 13 มีคาอยูระหวางรากท่ีสองท่ีสามารถหาคาเปนจํานวน

เต็มไดของจํานวนใด

37

13

9 16

3 4

1.2) ใหทําการคํานวณ ดังนี้

13 - 9 4= 16 - 9 7

1.3) จัดรูปใหเปนจํานวนคละ แลวเปลี่ยนเปนเศษสวน จากนั้นจึงประมาณคา

เปนทศนิยมหนึ่งตําแหนง ดังนี้

13 = 437

= 257

= 3.6

ดังนั้น คาประมาณของ 13 = 3.6

2) 27



27

25 36

5 6


27 - 25 2= 36 - 25 11



27 = 2511

= 5711

= 5.2


3) 54



38

54

49 64

7 8


54 - 49 5= 64 - 49 15



54 = 5715

= 11015

= 7.3














- ค 1.1 ม.2/3

- ค 1.2 ม.2/1

- ค 1.2 ม.2/2

- ค 1.3 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4





39




- วินัย




















ปญหา





40


หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง การหารากท่ีสอและเรื่องรากท่ีสาม

























41





















1. ครูกลาวถึงการหารากท่ีสองอีกหนึ่งวิธีคือการเปดตาราง ซ่ึงเปนวิธีท่ีสะดวกกวาการหารากท่ี

สองโดยคาประมาณ


2. ครูและนักเรียนรวมกันหาคําตอบจากกิจกรรม ดูตารางรากท่ีสอง ในหนังสือเรียนหนา 63

3. ครูใหนักเรียนตอบคําถามในหนังสือเรียนหนา 64


4. ครูกลาววาการหารากท่ีสองโดยการเปดตาราง ยังมีขีดจํากัด ไมสามารถใชหารากท่ีสองของ

จํานวนจริงบวกไดทุกจํานวน และไมสามารถหาทศนิยมหลายตําแหนงตามตองการได ซ่ึงวิธีท่ีสามารถใชไดกับทุก

42

จํานวนจริงบวกและสามารถหาเปนทศนิยมหลายตําแหนงได และสะดวกกวาการเปดตาราง คือ การใชเครื่อง

คํานวณหรือเครื่องคิดเลข

5. ครูใหนักเรียนหารากท่ีสองโดยการใชเครื่องคํานวณหรือเครื่องคิดเลข เพ่ือเปนการยืนยันวา

วิธีนี้เปนวิธีท่ีสะดวก



1. ครูกลาวถึงการหารากท่ีสองของศูนยและจํานวนจริงบวกใด ๆ ท่ีนักเรียนเคยเรียนมาแลว ซ่ึง

เปนการหาจํานวนจริงท่ียกกําลังสองแลวไดจํานวนจริงนั้น ซ่ึงในทํานองเดียวกัน การหารากท่ีสามของจํานวนจริง

ใด ๆ เปนการหาจํานวนจริงท่ียกกําลังสามแลวไดจํานวนจริงนั้น


2. ครูยกตัวอยางการหารากท่ีสาม ดังนี้

ตัวอยาง จงหารากท่ีสามของจํานวนตอไปนี้

1) 27 2) -125 3) 0.001 4) 164

5) 10


เนื่องจาก 3 27 = 3 33 = 3

ดังนั้น รากท่ีสามของ 27 คือ 3

2) -125

เนื่องจาก 3 -125 = 3 3(-5) = -5

ดังนั้น รากท่ีสามของ -125 คือ -5

3) 0.001

เนื่องจาก 3 0.001 = 3 3(0.1) = 0.1

ดังนั้น รากท่ีสามของ 0.001 คือ 0.1

4) 164

เนื่องจาก 3 164

=

331

4 =

14

บทนิยาม ให a แทน จํานวนจริงใด ๆ รากท่ีสามของ a คือ จํานวนจริงท่ียกกําลังสาม

แลวได a เขียนแทนดวยสัญลักษณ 3 a

โดยสัญลักษณ 3 a อานวา รากท่ีสามของ a

43

ดังนั้น รากท่ีสามของ 164

คือ 14

5) 10

เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มใดท่ียกกําลังสามแลวเทากับ 10

ดังนั้น รากท่ีสามของ 10 คือ 3 10 ซ่ึงเปนจํานวนอตรรกยะ

3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายถึงการหารากท่ีสามของจํานวนตรรกยะวาสามารถพิจารณา

ไดดังนี้

สําหรับจํานวนเต็ม พิจารณาดังนี้

1. ถาสามารถหาจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งท่ียกกําลังสาม แลวเทากับจํานวนเต็มท่ี

กําหนดให รากท่ีสามของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะท่ีเปนจํานวนเต็ม

2. ถาไมสามารถหาจํานวนเต็มท่ียกกําลังสาม แลวเทากับจํานวนเต็มท่ีกําหนดให ราก

ท่ีสามของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ

สําหรับจํานวนตรรกยะอ่ืนๆ ท่ีไมใชจํานวนเต็ม พิจารณาดังนี้

ถาสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสาม แลวเทากับจํานวนตรรกยะท่ีกําหนดให

รากท่ีสามของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะ แตถาไมสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสาม แลวเทากับ

จํานวนตรรกยะท่ีกําหนดให รากท่ีสามของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ

4. ครูกลาวเพ่ิมเติมวา จากบทนิยามจะไดวา 3 3( a ) = a เชน

- 3 3( 2 ) = 3 2 × 3 2 × 3 2 = 2

- 3 3( 8 ) = 3 8 × 3 8 × 3 8 = 8

- 3 3( -64 ) = 3 -64 × 3 -64 × 3 -64 = -64

- 3 3( 0.005 ) = 3 0.005 × 3 0.005 × 3 0.005 = 0.005

-

3

3711

= 3 711

× 3 711

× 3 711

= 711


5. ครูและนักเรียนรวมกันสรุป โดยใหนักเรียนสังเกตวา รากท่ีสามของจํานวนจริงใดๆ มีเพียง

รากเดียว เชน รากท่ีสามของ 8 คือ 2 และรากท่ีสามของ -8 คือ -2 เม่ือเปรียบเทียบกับรากท่ีสองจะพบวา รากท่ี

สองของจํานวนจริงบวกใดๆ จะมีสองราก เชน รากท่ีสองของ 9 คือ 3 และ -3




1. PowerPoint เรื่อง การหารากท่ีสอง

44






- สมุด


- สมุด





- ค 1.1 ม.2/3

- ค 1.2 ม.2/1

- ค 1.2 ม.2/2

- ค 1.3 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4

- สมุด


- สมุด






- วินัย




















ปญหา

- สมุด


- สมุด




45


หนวยการเรียนรูท่ี 1 ความรูเบ้ืองตนเกี่ยวกับจํานวนจริง เรื่อง รากท่ีสาม







ค 1.2 เขาใจถึงผลท่ีเกิดข้ึนจากการดําเนินการของจํานวนและความสัมพันธระหวางการดําเนินการตางๆ และใช

การดําเนินการในการแกปญหา




นําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตร และเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืนๆ และมีความคิด






1. นักเรียนสามารถอธิบายความหมายของรากท่ีสามของจํานวนจริงได

2. นักเรียนสามารถอานและใชสัญลักษณ 3 ไดถูกตอง

3. นักเรียนสามารถอธิบายความสัมพันธของการยกกําลังสามและการหารากท่ีสองของจํานวนจริงได

46


- ให a แทน จํานวนจริงใดๆ หรือศูนย รากท่ีสามของ a คือ จํานวนจริงท่ียกกําลังสามแลวได a เขียน

แทนดวยสัญลักษณ 3

- การพิจารณาวารากท่ีสามของจํานวนตรรกยะเปนจํานวนตรรกยะหรือจํานวนอตรรกยะ ทําไดดังนี

สําหรับจํานวนเต็ม พิจารณาดังนี้

1. ถาสามารถหาจํานวนเต็มจํานวนหนึ่งท่ียกกําลังสาม แลวเทากับจํานวนเต็มท่ีกําหนดให ราก

ท่ีสามของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะท่ีเปนจํานวนเต็ม

2. ถาไมสามารถหาจํานวนเต็มท่ียกกําลังสาม แลวเทากับจํานวนเต็มท่ีกําหนดให รากท่ีสาม

ของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ

สําหรับจํานวนตรรกยะอ่ืนๆ ท่ีไมใชจํานวนเต็ม พิจารณาดังนี้

ถาสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสาม แลวเทากับจํานวนตรรกยะท่ีกําหนดให รากท่ีสาม

ของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนตรรกยะ แตถาไมสามารถหาจํานวนตรรกยะท่ียกกําลังสาม แลวเทากับจํานวน

ตรรกยะท่ีกําหนดให รากท่ีสามของจํานวนนั้นจะเปนจํานวนอตรรกยะ



รากท่ีสาม












47



1. ครูทบทวนการหารากท่ีสามท่ีไดเรียนในคาบท่ีแลว โดยครูกลาวเพ่ิมเติมวา ถารากท่ีสามของ

จํานวนจริงเปนจํานวนตรรกยะ เราจะไมนิยมเขียนรากท่ีสามนั้นโดยใชเครื่องหมาย 3


2. ครูและนักเรียนชวยกันหารากท่ีสามเพ่ิมเติม ดังนี้

ตัวอยาง จงหาคาของจํานวนตอไปนี้

1) 3 216 2) 3 3(-10) 3) - 3 -0.027 4) - 3 64125

วิธีทํา 1) 3 216

เนื่องจาก 3 216 = 3 36 = 6

ดังนั้น 3 216 = 6

2) 3 3(-10)

เนื่องจาก 3 3(-10) = -10

ดังนั้น 3 3(-10) = -10

3) - 3 -0.027

เนื่องจาก - 3 -0.027 = - 3 3(-0.3) = -0.3

ดังนั้น - 3 -0.027 = -0.3

4) - 3 64125

เนื่องจาก - 3 64125

= -

334

5 = - 4

5

ดังนั้น - 3 64125

= - 45


3. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม ทางออกอยูไหน 2

4. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยกิจกรรม ทางออกอยูไหน 2


1. PowerPoint เรื่อง รากท่ีสาม


48




- รากท่ีสาม








- ค 1.1 ม.2/3

- ค 1.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/4









- วินัย




















ปญหา







49


หนวยการเรียนรูท่ี 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง สมบัติของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก





ค 3.2 ใชการนึกภาพ (visualization) ใชเหตุผลเก่ียวกับปริภูมิ (spatial reasoning) และใชแบบจําลองทาง

เรขาคณิต (geometric model) ในการแกปญหา

ค 3.2 ม.2/2 ใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการใหเหตุผลและแกปญหา


นําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืนๆ และมีความคิด



ค 6.1 ม.2/3 ใหเหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลไดอยางเหมาะสม

ค 6.1 ม.2/4 ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตรในการสื่อสารการสื่อความหมายและการนําเสนอ



นักเรียนสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมมุม

ฉาก


สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขอหนึ่งกลาววา สําหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กําลังสองของความ

ยาวของดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของกําลังสองของความยาวของดานประกอบมุมฉาก ซ่ึงเรียกวา

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เม่ือกําหนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยให c แทน ความยาวดานตรงขามมุมฉาก a และ b แทน

ความยาวของดานประกอบมุมฉากจะไดวา c2 = a2 + b2

50



สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก



2. การใหเหตุผล












1. ครูทบทวนเรื่องรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใหนักเรียนพิจารณารูปสามเหลี่ยม แลวให

นักเรียนบอกวารูปใดบางเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และครูอธิบายสวนประกอบของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนี้

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากเปนรูปสามเหลี่ยมท่ีมีมุมหนึ่งมีขนาดมุม 90 องศา มีดาน

ตรงขามมุมฉากเปนดานท่ียาวท่ีสุดและมีดานอีกสองดานท่ีเหลือเรียกวา ดานประกอบ

มุมฉาก

C a B

cb

A

51


2. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม เชื่อมความสัมพันธ โดยใหนักเรียนวัดความยาวของดานตรงขาม

มุมฉาก แลวบันทึกผลลงในตารางท่ีกําหนดใหและตอบคําถาม

3. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปผลการทํากิจกรรม ไดดังนี้

จากตาราง ผลท่ีไดในกิจกรรมขางตน เม่ือกําหนดให สามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุม

ฉากท่ีมีมุม ACB เปนมุมฉาก ดังรูป

c แทน ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก

a และ b แทน ความยาวของดานประกอบมุมฉาก

จะได c2 = a2 + b2

ความสัมพันธระหวางความยาวของดานท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขางตน กลาวไดวา

ซ่ึงเรียกวา ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และเชื่อกันวานักคณิตศาสตรชาวกรีกท่ีชื่อพีทาโกรัสเปนผู

พิสูจนไดเปนคนแรก

4. ครูและนักเรียนชวยกันนําสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาเขียนแสดงความสัมพันธ

ระหวางความยาวของดานท้ังสาม ดังนี้

C B

A ดานตรงขามมุมฉาก

ดานประกอบมุมฉาก

ดานประกอบมุมฉาก

C a B

cb

A

สําหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กําลังสองของความยาวของดานตรงขาม

มุมฉาก เทากับผลบวกของกําลังสองของความยาวของดานประกอบมุมฉาก

52

ตัวอยาง จงใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เขียนแสดงความสัมพันธระหวางความ

ยาวของดานท้ังสาม

วิธีทํา 1.

z2 = x2 + y2

2.

c2 = 32 + 42





1. PowerPoint เรื่อง สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก


y

z

x

4

c 3

53




- สมบัติของรูปสามเหลี่ยม

มุมฉาก


เชื่อมความสัมพันธ








- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4











- วินัย




















ปญหา









54


หนวยการเรียนรูท่ี 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส





ค 3.2 ใชการนึกภาพ (visualization) ใชเหตุผลเก่ียวกับปริภูมิ (spatial reasoning) และใช

แบบจําลองทางเรขาคณิต (geometric model) ในการแกปญหา

ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร

และการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืนๆ และมี

ความคิดริเริ่มสรางสรรค








1. นักเรียนสามารถนําความสัมพันธระหวางความยาวของดานท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใชใน

การแกปญหา

2. นักเรียนสามารถหาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เม่ือกําหนดความยาว

ของดานสองดานใหโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสได

3. นักเรียนสามารถเขียนความสัมพันธของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานท้ังสามของรูปสามเหลี่ยม

มุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสได

55


ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลาวไววารูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กําลังสองของความยาวของดานตรงขามมุมฉาก

เทากับผลบวกของกําลังสองของความยาวของดานประกอบมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลาวไดอีกแบบหนึ่ง

วา สําหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของพ้ืนท่ี

ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก


















1. ครูทบทวนสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นคือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ท่ีกลาววา

เม่ือกําหนดให สามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีมีมุม ACB เปนมุมฉาก ดังรูป



56




2. ครูและนักเรียนทบทวนการเขียนแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานท้ังสาม โดย

ครูมีรูปมาใหนักเรียนดู แลวใหนักเรียนตอบคําถาม


3. ครูกลาววาจากการเขียนแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานท้ังสามนั้น เรา

สามารถหาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีตองการทราบไดเสมอ เม่ือทราบความยาว

ของดานอีกสองดานของรูปสามเหลี่ยมนั้น

4. ครูยกตัวอยางและใหนักเรียนชวยกันหาคําตอบ เชน

ตัวอยางท่ี 1 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จงหาความยาวดาน c

วิธีทํา จากความสัมพันธระหวางความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จะไดวา c2 = a2 + b2

= 92 + 122

= 81 + 144

= 225

c = 225

= 15

ดังนั้น ดาน c ยาว 15 หนวย

C a B

c b

A

C 9 B

c 12

A

57

ตัวอยางท่ี 2 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จงหาความยาวดาน a


จะไดวา c2 = a2 + b2

132 = a2 + 122

a2 = 132 - 122

= 169 - 144

= 25

a = 25

a = 5

ดังนั้น ดาน a ยาว 5 หนวย


5. ครูใหนักเรียนทํา Exercise 1 Pythagorean Theorem ใน Workbook หนา 101-103


1. PowerPoint เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

2. โปรแกรม GSP เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

3. หนังสือ DISCOVERING MATHEMATICS 2 Workbook




- ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

- Exercise 1

Workbook

หนา 101-103

- Exercise 1

Workbook

หนา 101-103




- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4

- Exercise 1

Workbook

หนา 101-103

- Exercise 1

Workbook

หนา 101-103



C a B

13 12

A

58




- วินัย




















ปญหา

- Exercise 1

Workbook

หนา 101-103

- Exercise 1

Workbook

หนา 101-103



59


หนวยการเรียนรูท่ี 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส





ค 3.2 ใชการนึกภาพ (visualization) ใชเหตุผลเก่ียวกับปริภูมิ (spatial reasoning) และใช

แบบจําลองทางเรขาคณิต (geometric model) ในการแกปญหา

ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร

และการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ และมี

ความคิดริเริ่มสรางสรรค








1. นักเรียนสามารถนําความสัมพันธระหวางความยาวของดานท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใชใน

การแกปญหา

2. นักเรียนสามารถหาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เม่ือกําหนดความยาว

ของดานสองดานใหโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสได

3. นักเรียนสามารถเขียนความสัมพันธของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานท้ังสามของรูปสามเหลี่ยม

มุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสได

60


ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลาวไววารูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กําลังสองของความยาวของดานตรงขามมุมฉาก

เทากับผลบวกของกําลังสองของความยาวของดานประกอบมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลาวไดอีกแบบหนึ่ง

วา สําหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของพ้ืนท่ี

ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก



















1. ครูทบทวนสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นคือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ท่ีกลาววา



61

เม่ือกําหนดให สามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีมีมุม ACB เปนมุมฉาก ดังรูป





2. ครูกลาววาจากการเขียนแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานท้ังสามนั้น เรา

สามารถหาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีตองการทราบไดเสมอ เม่ือทราบความยาว

ของดานอีกสองดานของรูปสามเหลี่ยมนั้น

3. ครูยกตัวอยางและใหนักเรียนชวยกันหาคําตอบ เชน

ตัวอยางท่ี 3 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จงหาความยาวดาน a


จะไดวา a2 = b2 + c2

= 82 + 152

= 64 + 225

= 289

a = 289

= 17

ดังนั้น ดาน a ยาว 17 หนวย

ตัวอยางท่ี 4 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จงหาความยาวดาน c

C a B

c b

A

A 8 C

a 15

B

A 7 C

25 c

B

62


จะไดวา a2 = b2 + c2

252 = 72 + c2

c2 = 252 - 72

= 625 - 49

= 576

c = 576

= 24

ดังนั้น ดาน c ยาว 24 หนวย






1. ครูกลาววาทฤษฎีบทพีทาโกรัสท่ีเคยกลาวไปแลวนั้นเปนท่ีรูจักกันมานานกวา 3,000 ป แต

คนในสมัยนั้นสังเกตเห็นความสัมพันธนี้ ในลักษณะท่ีเปนความสัมพันธของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานท้ัง

สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก


2. ครูอธิบายความสัมพันธขางตน โดยใหนักเรียนดูตัวอยางจากโปรแกรม GSP ดังนี้

ให ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีมี ˆABC เปนมุมฉาก มี BC = 3 หนวย, AC = 4 หนวย

และ AB = 5 หนวย จากนั้นสรางรูปสี่เหลี่ยม ABIH บนดาน AB รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED บนดาน BC และรูป

สี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF บนดาน AC ดังรูป

C

B

A

D

E

F G

I

H

63

จะได พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABIH เทากับ 52 = 25 ตารางหนวย

พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED เทากับ 32 = 9 ตารางหนวย

พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF เทากับ 42 = 16 ตารางหนวย

ซ่ึง 25 = 9 + 16

ดังนั้น พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABIH เทากับ ผลบวกของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

BCED และพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF

3. ครูทําการเปลี่ยนความยาวดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และใหนักเรียนหาพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยม

จัตุรัส ดังตัวอยางขางตน และใหนักเรียนสังเกตถึงความสัมพันธของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานท้ังสาม

ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก


4. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความสัมพันธของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานท้ังสามของ

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซ่ึงเปนทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกแบบหนึ่งวา


1. PowerPoint เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

2. โปรแกรม GSP เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส






- แบบฝกหัดท่ี 2 - แบบฝกหัดท่ี 2 - ตรวจสอบความถูกตอง



- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4



สําหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขาม

มุมฉาก เทากับผลบวกของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก

64




- วินัย




















ปญหา



65


หนวยการเรียนรูท่ี 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง การแกปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส















ค 6.1 ม.2/5 เชื่อมโยงความรูตางๆ ในคณิตศาสตร และนําความรู หลักการ กระบวนการทาง

คณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับศาสตรอ่ืนๆ


นักเรียนสามารถแกปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสได


การแกปญหาทางคณิตศาสตรบางปญหาสามารถใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส ท่ีกลาววา สําหรับรูป

สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กําลังสองของความยาวของดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของกําลังสองของความ

ยาวของดานประกอบมุมฉาก

66





การแกปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส





4. การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตร และเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืนๆ











1. ครูทบทวนการหาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีตองการทราบ

เม่ือทราบความยาวของดานอีกสองดานของรูปสามเหลี่ยมนั้น โดยการถาม-ตอบ


2. ครูยกตัวอยางโจทยปญหาท่ีใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการแกปญหา ดังนี้

C a B

cb

A

67

ตัวอยางท่ี 1 กลองบรรจุนมสดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 3.5 เซนติเมตร ยาว 5 เซนติเมตร

และสูง 12 เซนติเมตร ผูผลิตตองการติดหลอดดูดชนิดตรงแนบกับกลองโดย

ไมใหหลอดดูดนั้นยาวพนกลอง เขาจะใชหลอดดูดไดยาวท่ีสุดก่ีเซนติเมตร

วิธีทํา

กําหนดให รูปสามเหลี่ยม ABC เปนแบบจําลองของกลองบรรจุนมสด

โดยมี AB เปนความยาวของหลอดดูด

จะได AB2 = AC2 + BC2

AB 2 = 122 + 52

AB 2 = 144 + 25

AB 2 = 169

AB = 169

AB = 13

ดังนั้น เขาใชหลอดดูดไดยาวท่ีสุด 13 เซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 2 บันไดยาว 6.5 เมตร วางพิงผนังตึกใหเชิงบันไดหางจากผนัง 2.5 เมตร อยาก

ทราบวาปลายบนของบันไดอยูหางจากพ้ืนก่ีเมตร

วิธีทํา

กําหนดให รูปสามเหลี่ยม ABC เปนแบบจําลองการวางของบันได

โดยมี AC เปนระยะหางจากปลายบนของบันไดถึงพ้ืน


(6.5)2 = AC2 + (2.5)2

AC2 = (6.5)2 - (2.5)2

AC2 = 42.25 - 6.25

AC2 = 36

C 5 B

12

A

C 2.5 B

6.5

A

68

AC = 36

AC = 6

ดังนั้น ปลายบนของบันไดอยูหางจากพ้ืน 6 เมตร


3. ครูใหนักเรียนแกโจทยปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส Exercise 2 Problem Solving

involving Pythagoras’ Theorem ใน Workbook หนา 104-111


1. PowerPoint เรื่อง การแกโจทยปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส






- Exercise 2

Workbook

หนา 104-111

- Exercise 2

Workbook

หนา 104-111




- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4

- ค 6.1 ม.2/5

- Exercise 2

Workbook

หนา 104-111

- Exercise 2

Workbook

หนา 104-111





- วินัย



- การทํางานใน

ชั้นเรียน
















- ความสามารถในการแกปญหา

- Exercise 2

Workbook

หนา 104-111

- Exercise 2

Workbook

หนา 104-111



69


หนวยการเรียนรูท่ี 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง การแกปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส


















นักเรียนสามารถแกปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสได


การแกปญหาทางคณิตศาสตรบางปญหาสามารถใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส ท่ีกลาววา สําหรับรูป

สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กําลังสองของความยาวของดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของกําลังสองของความ

ยาวของดานประกอบมุมฉาก

70





การแกปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส
















1. ครูทบทวนการหาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีตองการทราบ

เม่ือทราบความยาวของดานอีกสองดานของรูปสามเหลี่ยมนั้น โดยการถาม-ตอบ


2. ครูยกตัวอยางโจทยปญหาท่ีใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการแกปญหา ดังนี้

C a B

cb

A

71

ตัวอยางท่ี 3 เราใชความยาวของเสนทแยงมุมของหนาจอโทรทัศน เพ่ือบอกขนาดของ

โทรทัศน โทรทัศนเครื่องหนึ่งมีหนาจอท่ีวัดตามแนวเสนทแยงมุมได 20 นิ้ว

ถาหนาจอโทรทัศนสูง 12 นิ้ว จงหาวาหนาจอโทรทัศนยาวเทาไร

วิธีทํา กําหนดให รูปสามเหลี่ยม ABC เปนแบบจําลองสวนหนึ่งของหนาจอโทรทัศน

โดยมี BC เปนความยาวของหนาจอโทรทัศน


202 = 122 + BC2

BC2 = 202 - 122

BC2 = 400 - 144

BC2 = 256

BC = 256

BC = 16

ดังนั้น หนาจอโทรทัศนยาว 16 นิ้ว

ตัวอยางท่ี 4 จงหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีมีดานยาว 7 เซนติเมตร และดานตรงขาม

มุมฉากยาว 25 เซนติเมตร

วิธีทํา กําหนดให รูปสามเหลี่ยม ABC แทน รูปสามเหลี่ยมท่ีโจทยกําหนด

1) หาดาน AC


252 = AC2 + 72

AC2 = 252 - 72

AC2 = 625 - 49

12 นิ้ว 20 นิ้ว

C

20

B

12

A

C 7 B

25

A

72

AC2 = 576

AC = 576

AC = 24

ดังนั้น ดาน AC ยาว 24 เซนติเมตร

2) หาพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม ABC

จะได พ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม ABC = 12

× 7 × 24

= 84 ตารางเซนติเมตร

ดังนั้น พ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม ABC คือ 84 ตารางเซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 5 กําหนดตําแหนงท่ีตั้งบานของสินใจ ตลาด และโรงเรียนเปนจุดยอดของรูป

สามเหลี่ยมมุมฉาก ซ่ึงตลาดอยูหางจากบานของสินใจ 1.8 กิโลเมตร และอยู

หางจากโรงเรียน 2.4 กิโลเมตร โดยทุกๆ วัน ตอนเชาสินใจจะปนจักรยาน

จากบานตรงไปยังโรงเรียนโดยไมผานตลาด แตตอนเย็นหลังเลิกเรียนสินใจจะ

ปนจักรยานไปตลาดเพ่ือซ้ือกับขาวกอนกลับบาน จงหาวาในแตละวันสินใจปน

จักรยานเปนระยะทางก่ีกิโลเมตร

วิธีทํา กําหนดให รูปสามเหลี่ยม ABC เปนแบบจําลองของตําแหนงท่ีตั้งบานของสินใจ

ตลาด และโรงเรียน

1) หาระยะทางจากบานไปโรงเรียน


AB 2 = (2.4)2 + (1.8)2

AB 2 = 5.76 + 3.24

AB 2 = 9

AB = 9

AB = 3

ดังนั้น ระยะทางจากบานไปโรงเรียนมีระยะทาง 3 กิโลเมตร

นั่นคือ ในแตละวันสินใจปนจักรยานเปนระยะทาง 3 + 2.4 + 1.8 = 7.2 กิโลเมตร

ตลาด 1.8บาน

2.4

โรงเรียน

C 1.8B

2.4

A

73

ตัวอยางท่ี 6 ชายคนหนึ่งสูง 6 ฟุต ยืนอยูหางจากจุดปลอยบอลลูน 400 ฟุต บอลลูนลอยข้ึน

ไปจากจุดปลอยบอลลูน 306 ฟุต จงหาวาศีรษะชายคนนี้อยูหางจากบอลลูน

ก่ีฟุต

วิธีทํา 1) หาดาน CQ

จะได CQ = 306 – 6 = 300 ฟุต

2) หาระยะหางจากศีรษะของชายคนนี้กับบอลลูน

จะได PC2 = PQ2 + CQ2

PC 2 = 4002 + 3002

PC 2 = 160,0002 + 90,0002

PC 2 = 250,0002

PC = 250,000

PC = 500

ดังนั้น ศีรษะชายคนนี้อยูหางจากบอลลูน 500 ฟุต





1. PowerPoint เรื่อง การแกโจทยปญหาโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส


C

B 6 ฟุต

A

P Q 400 ฟุต

306 ฟุต

74








- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4

- ค 6.1 ม.2/5





- วินัย




















ปญหา



75


หนวยการเรียนรูท่ี 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส


















1. นักเรียนสามารถเขียนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได

2. นักเรียนสามารถนําทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใชในการแกปญหาได


สําหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ถากําลังสองของความยาวของดานดานหนึ่งเทากับผลบวกของกําลัง

สองของความยาวของดานอีกสองดาน แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

76



บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
















1. ครูสนทนากับนักเรียนเก่ียวกับการหารูปสามเหลี่ยมมุมฉากในสมัยอดีตและปจจุบัน โดยการ

ใชเชือก 13 ปม

2. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม ลองทําดู เพ่ือตรวจสอบวาความยาวของดานท้ังสามของรูป

สามเหลี่ยมสงผลใหสามเหลี่ยมนั้นๆ เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม


3. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปผลการทํากิจกรรม ไดดังนี้

ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีความยาว a, b และ c หนวย และ c2 = a2 + b2 จะไดวาสามเหลี่ยม

ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และมีดานยาว c หนวยเปนดานตรงขามมุมฉาก

และสามารถสรุปเปนบทกลับของทฤษฎบทพีทาโกรัสไดวา

สําหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ถากําลังสองของความยาวของดานดานหนึ่ง

เทากับผลบวกของกําลังสองของความยาวของดานอีกสองดาน แลวรูปสามเหลี่ยมนั้น

เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

77

4. ครูกําหนดความยาวของดานท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมตางๆ มาให แลวใหนักเรียน

ตรวจสอบวารูปสามเหลี่ยมท่ีกําหนดใหเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม เชน

1) 5, 12, 13

2) 8, 17, 15

3) 8, 10, 12


5. ครูใหนักเรียนทํา Exercise 3 Coverse Pythagoras’ Theorem ใน Workbook หนา

112

6. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลย Exercise 3 Coverse Pythagoras’ Theorem


1. PowerPoint เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส





- บทกลับของ


- Exercise 3 Coverse

Pythagoras’

Theorem หนา 112


Pythagoras’





- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4

- ค 6.1 ม.2/5


Pythagoras’



Pythagoras’






- วินัย















78







ปญหา


Pythagoras’



Pythagoras’




79


หนวยการเรียนรูท่ี 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส









นําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ และมีความคิด






ค 6.1 ม.2/5 เชื่อมโยงความรูตาง ๆ ในคณิตศาสตร และนําความรู หลักการ กระบวนการทาง

คณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับศาสตรอ่ืน ๆ


1. นักเรียนสามารถเขียนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได

2. นักเรียนสามารถนําทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใชในการแกปญหาได


สําหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ถากําลังสองของความยาวของดานดานหนึ่งเทากับผลบวกของกําลัง

สองของความยาวของดานอีกสองดาน แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก


80


บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส





4. การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตร และเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ











1. ครูและนักเรียนรวมกันทบทวนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส


2. ครูและนักเรียนรวมกันหาคําตอบเพ่ิมเติมวารูปสามเหลี่ยมท่ีกําหนดใหเปนรูปสามเหลี่ยมมุม

ฉากหรือไม

ตัวอยางท่ี 1 ∆ABC มีดานยาว 21 เซนติเมตร 72 เซนติเมตร และ 75 เซนติเมตร ดังรูป จง

แสดงวา ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม

วิธีทํา ให a = 21

b = 72

c = 75

จะได a2 = 441

A

B

C

75

72

21

81

b2 = 5,184

c2 = 5,625

a2 + b2 = 441 + 5,184 = 5,625

ดังนั้น c2 = a2 + b2

นั่นคือ ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวอยางท่ี 2 กําหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงแสดงวา ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีทํา เนื่องจาก ∆CDB เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จะได BC2 = CD2 + DB2

= 122 + 162

= 144 + 256 ดังนั้น BC2 = 400

และเนื่องจาก ∆ADC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จะได AC2 = CD2 + AD2

= 122 + 92

= 144 + 81 ดังนั้น AC2 = 225

จะได AC2 + BC2 = 225 + 400

= 625

AB2 = (9 + 16)2

= 625

ดังนั้น AB 2 = AC2 + BC2

นั่นคือ ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีมี ACB เปนมุมฉาก

9 A

12

16 B

C

D

82

ตัวอยางท่ี 3 จากรูป กําหนดให AB = 21 หนวย, BC = 28 หนวย, CD = 7.2 หนวย, DE =

9.6 หนวย และ AE = 37 หนวย จงหาพ้ืนท่ีของ ∆ACE

วิธีทํา เนื่องจาก ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จะได AC2 = AB2 + BC2

= 212 + 282

= 441 + 784 = 1225

ดังนั้น AC = 35

และเนื่องจาก ∆CDE เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จะได CE2 = CD2 + DE2

= (7.2)2 + (9.6)2

= 51.84 - 92.16

= 144 ดังนั้น CE = 12

นั่นคือ ∆ACE มีพ้ืนท่ี = 12

× 12 × 35 = 210 ตารางหนวย


3. ครูใหนกัเรียนทําแบบฝกหัดท่ี 4



1. PowerPoint เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส


A

B C D

E

37

28 7.2

9.6 21

83




- บทกลับของ







- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4

- ค 6.1 ม.2/5







- วินัย




















ปญหา





84


หนวยการเรียนรูที่ 3 การประยุกตของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เรื่อง ทบทวนการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว





ค 4.2 ใชนิพจน สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร (mathematical model) อ่ืน ๆ แทน

สถานการณตาง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและนําไปใชแกปญหา

ค 4.2 ม.2/1 แกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว พรอมท้ังตระหนักถึงความ

สมเหตุสมผลของคําตอบ





ค 6.1 ม.2/3 ใหเหตุผลประกอบการตัดสินใจและสรุปไดอยางเหมาะสม




1. นักเรียนสามารถบอกสมบัติของการเทากันได

2. นักเรียนสามารถแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวโดยใชสมบัติของการเทากันได


สมการ คือ ประโยคท่ีแสดงการเทากันของจํานวน โดยมีสัญลักษณ = บอกการเทากัน

สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คือ สมการซ่ึงมี x เปนตัวแปรและมีรูปท่ัวไปเปน ax + b = 0 เม่ือ a, b

เปนคาคงตัว และ a ≠ 0

คําตอบของสมการ คือ จํานวนท่ีแทนตัวแปรในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง

85

การแกสมการ คือ การหาคําตอบของสมการ

การหาคําตอบของสมการ วิธีหนึ่งคือ การใชสมบัติการเทากัน ไดแก สมบัติสมมาตร สมบัติถายทอด

สมบัติการบวก สมบัติการคูณ



การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว















1. ครูสนทนากับนักเรียนเก่ียวกับการหาคําตอบของสมการ โดยครูยกตัวอยางและใหนักเรียน

ชวยกันหาคําตอบของสมการโดยวิธีการทดลองแทนคาตัวแปร

2. ครูยกตัวอยางสมการท่ีซับซอนกวาเดิม แลวใหนักเรียนลองหาคําตอบของสมการ ซ่ึงสมการ

ลักษณะนี้จะใชเวลานานกวาจะแทนคาตัวแปรไดสําเร็จ ครูจึงแนะนําใหนักเรียนหาคําตอบของสมการโดยการใช

สมบัติการเทากัน ไดแก สมบัติสมมาตร สมบัติถายทอด สมบัติการบวก และสมบัติการคูณ


3. ครูอธิบายสมบัติการเทากัน พรอมยกตัวอยางประกอบ ดังนี้

1) สมบัติสมมาตร

“ถา a = b แลว b = a เม่ือ a และ b แทนจํานวนจริงใด ๆ”

86

เชน 3 + 4 = 7 หรือ 7 = 3 + 4

x - 3 = 2x + 7 หรือ 2x + 7 = x - 3

2) สมบัติถายทอด

“ถา a = b และ b = c แลว a = c เม่ือ a, b และ c แทนจํานวนจริงใด ๆ”

เชน ถา 2 + 3 = 5 และ 5 = 1 + 4 แลว 2 + 3 = 1 + 4

ถา x = 5 + 7 และ 5 + 7 = 12 แลว x = 12

3) สมบัติการบวก

“ถา a = b แลว a + c = b + c เม่ือ a, b และ c แทนจํานวนจริงใด ๆ”

เชน ถา a = 5 แลว a + 3 = 5 + 3

ถา x + 7 = 2 แลว (x + 7) – 7 = 2 - 7

4) สมบัติการคูณ

“ถา a = b แลว ca = cb เม่ือ a, b และ c แทนจํานวนจริงใด ๆ”

เชน ถา m + 1 = 2n แลว 3(m + 1) = 3(2n)

ถา –3x = 15 แลว -3x 15 = -3 -3

4. ครูยกตัวอยางการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว โดยใชสมบัติการเทากัน ดังนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงแกสมการ a5

+ 2 = 7

วิธีทํา a5

+ 2 = 7

นํา -2 มาบวกท้ังสองขางของสมการ

จะได a5

+ 2 + (-2) = 7 + (-2)

หรือ a5

= 5

นํา 5 มาคูณท้ังสองขางของสมการ

จะได a5

× 5 = 5 × 5

a = 25

ตรวจคําตอบ แทน a ดวย 25 ในสมการ a5

+ 2 = 7

จะได 255

+ 2 = 7

5 + 2 = 7

7 = 7 เปนสมการท่ีเปนจริง

ดังนั้น 25 เปนคําตอบของสมการ a5

+ 2 = 7

87

ตัวอยางท่ี 2 จงแกสมการ x + 5 1 4 - = 2 5 5

วิธีทํา x + 5 1 4 - = 2 5 5

นํา 15

มาบวกท้ังสองขางของสมการ

จะได x + 52

- 15

+ 15

= 45

+ 15

หรือ x + 52

= 55

หรือ x + 52

= 1

นํา 2 มาคูณท้ังสองขางของสมการ

จะได x + 52

× 2 = 1 × 2

หรือ x + 5 = 2


จะได x + 5 + (-5) = 2 + (-5)

x = -3

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย -3 ในสมการ x + 5 1 4 - =

2 5 5

จะได (-3) + 5 1 4 - =

2 5 5

2 1 - 2 5

= 45

1 - 15

= 45

45

= 45

เปนสมการท่ีเปนจริง

ดังนั้น -3 เปนคําตอบของสมการ x + 5 1 4 - = 2 5 5

ตัวอยางท่ี 3 จงแกสมการ 5y – 3(y - 1) = -9

วิธีทํา 5y – 3(y - 1) = -9

ใชสมบัติการแจกแจง

จะได 5y - 3y + 3 = -9

หรือ 2y + 3 = -9


จะได 2y + 3 + (-3) = -9 + (-3)

2y = -12

88

นํา 12

มาคูณท้ังสองขางของสมการ

จะได 2y × 12

= -12 × 12

หรือ y = -6

ตรวจคําตอบ แทน y ดวย -6 ในสมการ 5y – 3(y - 1) = -9

จะได 5(-6) - 3((-6) - 1) = -9

-30 + 21 = -9

-9 = -9 เปนสมการท่ีเปนจริง

ดังนั้น -6 เปนคําตอบของสมการ 5y – 3(y - 1) = -9

ตัวอยางท่ี 4 จงแกสมการ 5(x - 7) = -3(2x - 3)

วิธีทํา 5(x - 7) = -3(2x - 3)


จะได 5x – 35 = -6x + 9

นํา 6x มาบวกท้ังสองขางของสมการ

จะได 5x – 35 + 6x = -6x + 9 + 6x

11x - 35 = 9

นํา 35 มาบวกท้ังสองขางของสมการ

จะได 11x – 35 + 35 = 9 + 35

11x = 44

นํา 111


จะได 11x × 111

= 44 × 111

x = 4

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 4 ในสมการ 5(x - 7) = -3(2x - 3)

จะได 5(4 - 7) = -3(2(4) - 3)

5 × (-3) = (-3) × 5


ดังนั้น 4 เปนคําตอบของสมการ 5(x - 7) = -3(2x - 3)

89

ตัวอยางท่ี 5 จงแกสมการ 2 2 1x + = x - 3 5 3

วิธีทํา 2 2 1x + = x - 3 5 3

นํา ค.ร.น. ของ 3 และ 5 คือ 15 มาคูณท้ังสองขางของสมการ

จะได 15( 2x + 3

) = 15( 2 1x - 5 3

)


จะได 15x + 15 × 23

= 15 × 25

x – 15 × 13

x

15x + 10 = 6x - 5

นํา -6x มาบวกท้ังสองขางของสมการ

จะได 15x + 10 + (-6x) = 6x - 5 + (-6x)

9x + 10 = -5


9x + 10 + (-10) = -5 + (-10)

9x = -15

นํา 19


จะได 19

× 9x = 19

× (-15)

x = 5-3

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 5-3

ในสมการ 2 2 1x + = x - 3 5 3

จะได 2 2 1x + = x - 3 5 3

5-3

+ 23

= 25

( 5-3

) - 13

3-3

= -1515


ดังนั้น 5-3

เปนคําตอบของสมการ 2 2 1x + = x - 3 5 3

90

ตัวอยางท่ี 6 จงแกสมการ 5(x + 1) 2 - 3x 37 - = 2 3 3

วิธีทํา 5(x + 1) 2 - 3x 37 - = 2 3 3

นํา ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ 6 มาคูณท้ังสองขางของสมการ

จะได 6 5(x + 1) 2 - 3x[ - ]2 3

= 6 × 373


จะได 6 × 5(x + 1)

2- 6 ×

2 - 3x3

= 74

15(x + 1) – 2(2 – 3x) = 74


จะได 15x + 15 - 4 + 6x = 74

21x + 11 = 74


21x + 11 + (-11) = 74 + (-11)

21x = 63

นํา 121


จะได 121

× 21x = 121

× 63

x = 3

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 3 ในสมการ 5(x + 1) 2 - 3x 37 - =

2 3 3

จะได 5(x + 1) 2 - 3x 37 - = 2 3 3

5(3 + 1) 2 - 3(3) -

2 3 =

373

10 + 73

= 373

373

= 373


ดังนั้น 3 เปนคําตอบของสมการ 5(x + 1) 2 - 3x 37 - =

2 3 3

91


5. ครูใหนักเรียนทํา

- Exercise 1 Solving Equations Using Addition Property of Equations ใน

Workbook หนา 130-132

- Exercise 2 Solving Equations Using Multiplication Property of Equations ใน


6. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลย Exercise 1 - 2







- การแกสมการเชิงเสนตัว

แปรเดียว

- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 130-137

- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 130-137




- ค 4.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4

- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 130-137

- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 130-137





- วินัย




















ปญหา

- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 130-137

- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 130-137



92


หนวยการเรียนรูท่ี 3 การประยุกตของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

เรื่อง การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเกี่ยวกับจํานวน

















นักเรียนสามารถแกโจทยปญหาโดยใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได


การแกปญหาเก่ียวกับสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว สามารถใชข้ันตอนของโพลยาในการหาคําตอบ ดังนี้

ข้ันตอนท่ี 1 ทําความเขาใจโจทยปญหา โดยพิจารณา

- สิ่งท่ีโจทยถาม

- สิ่งท่ีโจทยกําหนด

93

ข้ันตอนท่ี 2 วางแผนการแกปญหา โดยอาจจะวาดรูป เขียนแผนภาพ สรางตาราง เปนตน

ข้ันตอนท่ี 3 ดําเนินการตามแผน

ข้ันตอนท่ี 4 ตรวจสอบคําตอบ



การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเก่ียวกับจํานวน















1. ครูทบทวนการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว โดยการยกตัวอยางและใหนักเรียนชวยกันหา

คําตอบ


2. ครูและนักเรียนรวมกันแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวท่ีเก่ียวกับจํานวน ดังนี้

ตัวอยางท่ี 1 ผลบวกของจํานวนเต็มสามจํานวนเรียงกันได 75 จงหาผลคูณของท้ังสาม

จํานวน

วิธีทํา ให x แทน จํานวนท่ีนอยท่ีสุดในสามจํานวนนี้

จะไดวา จํานวนถัดไปจาก x เปน x + 1

จํานวนท่ีถัดไปจาก x + 1 เปน x + 2

เนื่องจาก ผลบวกของจํานวนท้ังสามจํานวนเปน 75

ดังนั้น x + (x + 1) + (x + 2) = 75

94

3x + 3 = 75

3x = 75 – 3

3x = 72

x = 24

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 24 ในสมการ x + (x + 1) + (x + 2) = 75

จะได 24 + (24 + 1) + (24 + 2) = 75

24 + 25 + 26 = 75


ดังนั้น จํานวนท้ังสามจํานวน คือ 24, 25 และ 26 ซ่ึงบวกกันได 75 และผลคูณของจํานวน

สามจํานวนนี้ คือ 24 × 25 × 26 = 15,600

ตัวอยางท่ี 2 ถาผลบวกของจํานวนค่ีสามจํานวนเรียงกันเปน 75 จงหาจํานวนท้ังสามจํานวน

นั้น

วิธีทํา ให x แทน จํานวนค่ีท่ีนอยท่ีสุดในสามจํานวนนั้น

จะไดวา จํานวนค่ีจํานวนถัดไป เปน x + 2

จํานวนค่ีท่ีถัดไปจาก x + 2 เปน x + 4

เนื่องจาก ผลบวกของจํานวนค่ีสามจํานวนเปน 75

ดังนั้น x + (x + 2) + (x + 4) = 75

3x + 6 = 75

3x = 75 - 6

3x = 69

x = 23

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 23 ในสมการ x + (x + 2) + (x + 4) = 75

จะได 23 + (23 + 2) + (23 + 4) = 75

23 + 25 + 27 = 75


ดังนั้น จํานวนท้ังสามจํานวน คือ 23, 25 และ 27 ซ่ึงบวกกันได 75

ตัวอยางท่ี 3 พิมพาอายุมากกวานอง 6 ป อีกหาปขางหนาพิมพาจะมีอายุเปนสองเทาของ

นอง จงหาวาปจจุบันพิมพาอายุก่ีป

วิธีทํา ให x แทน อายุปจจุบันของพิมพา

จะไดวา พิมพามีอายุมากกวานอง 6 ป

แสดงวา ปจจุบันนองมีอายุ x – 6

95

อีกหาปขางหนาพิมพาจะมีอายุเปนสองเทาของนอง

ดังนั้น x + 5 = 2(x - 1)

x + 5 = 2x - 2

2x - x = 5 + 2

x = 7

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 7 ในสมการ x + 5 = 2(x - 1)

จะได 7 + 5 = 2(7 - 1)

12 = 14 - 2


ตรวจสอบความสมเหตุสมผล

ปจจุบันพิมพาอายุ 7 ป อีกหาปพิมพามีอายุ 7 + 5 = 12 ป

ปจจุบันนองของพิมพามีอายุ 7 - 6 = 1 ป อีกหาปนองของพิมพามีอายุ 1 + 5 = 6 ป

นั่นคือ อีกหาปขางหนา พิมพาจะมีอายุเปน 12 ÷ 6 = 2 เทาของนอง

ดังนั้น ปจจุบันพิมพามีอายุ 7 ป


3. ครูใหนักเรียนทํา Exercise 3 Solving the linear Equations with One Veriable ใน









- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142



อายุของพิมพา x ป

อายุของนอง x - 6 ป

ปจจุบัน

เพ่ิมข้ึน 5 ป อายุของพิมพา x + 5 ป

อายุของนอง (x - 6) + 5 = x - 1 ป

อีกหาปขางหนา

96



- ค 4.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142





- วินัย




















ปญหา

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142



97



เรื่อง การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเกี่ยวกับจํานวน

และเรื่อง การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ





















98








การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเก่ียวกับจํานวน

















คําตอบ


2. ครูและนักเรียนรวมกันแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวท่ีเก่ียวกับจํานวน ดังนี้

ตัวอยางท่ี 4 ปจจุบันมะลิอายุมากกวาเฟองฟา 6 ป อีกหาปขางหนามะลิจะมีอายุเปนสาม

เทาของอายุเฟองฟาเม่ือสามปท่ีแลว จงหาวาปจจุบันมะลิและเฟองฟามีอายุก่ีป

วิธีทํา ให x แทน อายุปจจุบันของเฟองฟา

จะไดวา ปจจุบันมะลิมีอายุ x + 6 ป

99

อีกหาปขางหนา มะลิจะมีอายุเปนสามเทาของอายุเฟองฟาเม่ือสามปท่ีแลว

ดังนั้น x + 11 = 3(x - 3)

x + 11 = 3x – 9

3x - x = 11 + 9

2x = 20

x = 10

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 10 ในสมการ x + 11 = 3(x - 3)

จะได 10 + 11 = 3(10 - 3)

21 = 30 - 9



ปจจุบันเฟองฟาอายุ 10 ป และมะลิอายุ 16 ป

อีกหาปขางหนามะลิมีอายุ 16 + 5 = 21 ป

เม่ือสามปท่ีแลวเฟองฟามีอายุ 10 - 3 = 7 ป

นั่นคือ อีกหาปขางหนา มะลิจะมีอายุเปน 21 ÷ 7 = 3 เทาของอายุของเฟองฟาเม่ือสามปท่ี

แลว

ดังนั้น ปจจุบันเฟองฟามีอายุ 10 ป และปจจุบันมะลิมีอายุ 10 + 6 = 16 ป

ตัวอยางท่ี 5 ซ้ือแตงโมสองขนาดรวม 20 ผล เปนเงิน 600 บาท ถาแตงโมขนาดเล็กราคา

ผลละ 24 บาท แตงโมขนาดใหญราคาผลละ 44 บาท จงหาวาซ้ือแตงโมขนาด

เล็กมากกวาแตงโมขนาดใหญก่ีผล

วิธีทํา ใหซ้ือแตงโมขนาดเล็ก x ผล

ซ้ือแตงโมสองขนาดรวม 20 ผล

ซ้ือแตงโมขนาดใหญ 20 - x ผล

เฟองฟา

อายุ x - 3

สามปท่ีแลว

ลดลง 3 ป เฟองฟาอายุ x ป

มะลิอายุ x + 6 ป

ปจจุบัน

เพ่ิมข้ึน 5 ป มะลิอายุ x + 6 + 5

= x + 11 ป

อีกหาปขางหนา

100

จํานวนผล × ราคาตอผล = จํานวนเงิน

แตงโมขนาดเล็ก x × 24 = 24x

แตงโมขนาดใหญ 20 – x × 44 = 44(20 - x)

ซ้ือแตงโมท้ังหมดเปนเงิน 600 บาท

ดังนั้น 24x + 44(20 - x) = 600

24x + 880 - 44x = 600

44x - 24x = 880 - 600

20x = 280

x = 14

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 14 ในสมการ 24x + 44(20 - x) = 600

จะได 24(14) + 44(20 - 14) = 600

336 + 264 = 600



ซ้ือแตงโมขนาดเล็ก 14 ผล ราคาผลละ 24 บาท เปนเงิน 14 × 24 = 336 บาท

ซ้ือแตงโมขนาดใหญ 6 ผล ราคาผลละ 44 บาท เปนเงิน 6 × 44 = 264 บาท

ซ้ือแตงโมท้ังหมดเปนเงิน 336 + 264 = 600 บาท

นั่นคือ ซ้ือแตงโมขนาดเล็ก 14 ผล ซ้ือแตงโมขนาดใหญ 20 - 14 = 6 ผล

ดังนั้น ซ้ือแตงโมขนาดเล็กมากกวาแตงโมขนาดใหญ 14 - 6 = 8 ผล


3. ครูใหนักเรียนทํา Exercise 3 Solving the linear Equations with One Veriable ใน





คําตอบ


2. ครูและนักเรียนรวมกันแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวท่ีเก่ียวกับอัตราสวนและ

รอยละ ดังนี้

101

ตัวอยางท่ี 1 พอคาคนหนึ่งซ้ือขาวกลองและขาวมันปูเพ่ือนํามาผสมกันใหได 100 กิโลกรัม

เขาซ้ือขาวมันปูกิโลกรัมละ 20 บาท ซ้ือขาวกลองกิโลกรัมละ 18 บาท เม่ือ

นํามาผสมกันแลว เขาขายไปท้ังหมดไดกําไร 40% คิดเปนกําไร 776 บาท

จงหาวาพอคาซ้ือขาวแตละชนิดอยางละก่ีกิโลกรัม

วิธีทํา ใหพอคาซ้ือขาวกลองมา x กิโลกรัม

จะไดวา พอคาซ้ือขาวมันปูมา 100 - x กิโลกรัม

พอคาซ้ือขาวกลองกิโลกรัมละ 18 บาท คิดเปนเงิน 18x บาท

พอคาซ้ือขาวมันปูกิโลกรัมละ 20 บาท คิดเปนเงิน 20(100 - x) บาท

ดังนั้น ตนทุนของขาวผสม เทากับ 18x + 20(100 - x) บาท

ขายขาวผสมไดกําไร 40% คิดเปนเงิน 776 บาท

จะไดสมการเปน 40100

× [18x + 20(100 - x)] = 776

25

× [18x + 2,000 - 20x)] = 776

25

× (2,000 - 2x) = 776

2,000 - 2x = 776 × 52

2,000 - 2x = 1,940

-2x = 1,940 - 2,000

-2x = -60

x = 30

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 30 ในสมการ 40100

× [18x + 20(100 - x)] = 776

จะได 40100

× [18(30) + 20(100 - 30)] = 776

40100

× (540 + 1,400) = 776

40100

× 1,940 = 776

776 = 776


102


ถาพอซ้ือขาวกลอง 30 กิโลกรัม จะซ้ือขาวมันปู 100 - 30 = 70 กิโลกรัม

ซ้ือขาวกลอง 30 กิโลกรัม คิดเปนเงิน 18 × 30 = 540 บาท

ซ้ือขาวมันปู 70 กิโลกรัม คิดเปนเงิน 20 × 70 = 1,400 บาท

จะไดกําไร 40100

× (540 + 1,400) = 25

× 1,940 = 776

ดังนั้น พอคาซ้ือขาวกลอง 30 กิโลกรัม และซ้ือขาวมันปู 70 กิโลกรัม

ตัวอยางท่ี 2 ปจจุบันเตยอายุมากกวาเตา 6 ป อีก 14 ปขางหนาอัตราสวนของอายุของ

เตยตออายุของเตาเปน 5 : 4 ปจจุบันเตยและเตาอายุเทาไร

วิธีทํา ใหปจจุบันเตยมีอายุ x ป

จะไดวา เตามีอายุ x - 6 ป

อีก 14 ปขางหนาเตยจะมีอายุ x + 14 ป

อีก 14 ปขางหนาเตาจะมีอายุ x - 6 + 14 = x + 8 ป

เนื่องจากอีก 14 ปขางหนาอายุของเตยตออายุของเตาเปน 5 : 4

ดังนั้นจึงเขียนเปนสัดสวนไดเปน x +14 5 = x +8 4

จะไดสมการเปน (x + 14) × 4 = (x + 8) × 5

4x + 56 = 5x + 40

4x - 5x = 40 - 56

x = 16

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 16 ในสมการ (x + 14) × 4 = (x + 8) × 5

จะได (16 + 14) × 4 = (16 + 8) × 5

30 × 4 = 24 × 5



ถาปจจุบันเตยมีอายุ 16 ป เตาจะมีอายุ 16 - 6 = 10 ป

อีก 14 ปขางหนาเตยจะมีอายุ 16 + 14 = 30 ป และเตาจะมีอายุ 10 + 14 = 24 ป

อัตราสวนของอายุของเตยตออายุของเตาเปน 30 : 24 หรือ 5 : 4

ดังนั้น ปจจุบันเตยมีอายุ 16 ป และเตามีอายุ 10 ป

ตัวอยางท่ี 3 จะตองใชสารละลายเทาไรท่ีมีสวนผสมของแอลกอฮอล 80% ไปรวมกับ

สารละลาย 5 ลิตร ซ่ึงสวนผสมของแอลกอฮอล 30% เ พ่ือทําให เปน

สารละลายท่ีมีสวนผสมของแอลกอฮอล 40%

103

วิธีทํา ใหสารละลายท่ีมีสวนผสมของแอลกอฮอล 80% มีจํานวน x ลิตร

จะไดวา เม่ือนําไปรวมกับสารละลาย 5 ลิตร ท่ีมีสวนผสมของแอลกอฮอล 30% จะ

ไดสารละลายท่ีมีสวนผสมของแอลกอฮอล 40% จํานวน x + 5 ลิตร

ภาชนะแรก สารละลาย x ลิตร มีแอลกอฮอล 80100

× x = 0.8x ลิตร

ภาชนะท่ีสอง สารละลาย 5 ลิตร มีแอลกอฮอล 30100

× 5 = 1.5 ลิตร

ภาชนะที่สาม สารละลาย x + 5 ลิตร มีแอลกอฮอล 40100

× (x + 5) = 0.4(x + 5) ลิตร

จะไดสมการเปน 0.8x + 1.5 = 0.4(x + 5)

0.8x + 1.5 = 0.4x + 2

0.4x = 0.5

x = 1.25

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 1.25 ในสมการ 0.8x + 1.5 = 0.4(x + 5)

จะได 0.8(1.25) + 1.5 = 0.4(1.25 + 5)

1 + 1.5 = 0.4 × 6.25

2.5 = 2.5 เปนสมการท่ีเปนจริง


ถาสารละลายท่ีมีสวนผสมของแอลกอฮอล 80% มีจํานวน 1.25 ลิตร

เม่ือนําไปรวมกับสารละลาย 5 ลิตร ท่ีมีสวนผสมของแอลกอฮอล 30% จะไดสารละลายท่ีมี

สวนผสมของแอลกอฮอล 40% จํานวน 1.25 + 5 = 6.25 ลิตร

ดังนั้น จะตองใชสารละลายท่ีมีแอลกอฮอล 80% จํานวน 1.25 ลิตร


3. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัดในหนังสือเรียนหนา 110 - 111

4. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยแบบฝกหัดหนา 110 - 111

x ลิตร 5 ลิตร x + 5

ลิตร

แอลกอฮอล 80% แอลกอฮอล 30% แอลกอฮอล 40%

104









- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142

- แบบฝกหัด

หนา 110 - 111

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142


หนา 110 - 111




- ค 4.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142


หนา 110 - 111

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142


หนา 110 - 111





- วินัย




















ปญหา

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142


หนา 110 - 111

- Exercise 3

Workbook

หนา 137-142


หนา 110 - 111



105



เรื่อง การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ























106






การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเก่ียวกับอัตราสวนและรอยละ
















คําตอบ


2. ครูและนักเรียนรวมกันแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวท่ีเก่ียวกับอัตราสวนและ

รอยละ ดังนี้

ตัวอยางท่ี 4 รานคาแหงหนึ่งประกาศลดราคาสินคาทุกชนิด 20% ถาสินคาชนิดหนึ่งติด

ประกาศราคาท่ีลดแลวเปน 280 บาท จงหาวาสินคานี้เดิมราคาก่ีบาท

วิธีทํา ให x แทน ราคาสินคากอนลดราคา

จะไดวา เม่ือลดราคาสินคา 20% สินคานั้นจะมีราคา 20100

× x = x5

บาท

107

จะไดสมการเปน x - x5

= 280

4 x5

= 280

x = 280 × 54

x = 350

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 350 ในสมการ x - x5

= 280

จะได 350 - 3505

= 280

350 - 70 = 280



ราคาสินคากอนลดมีคาเทากับ 350 บาท ลดราคา 20%

หรือลดราคา 20100

× 350 = 70 บาท

สินคาจึงติดประกาศราคาท่ีลดแลว 350 – 70 = 280 บาท

ดังนั้น สินคาชิ้นนี้เดิมมีราคา 350 บาท

ตัวอยางท่ี 5 รานทําเครื่องเรือนแหงหนึ่งรับเหมาทําโตะและมานั่งนักเรียนใหแกโรงเรียนแหง

หนึ่งจํานวน 80 ชุด คิดเปนเงิน 28,600 บาท ปรากฏวามีกําไร 10% อยาก

ทราบวาตนทุนของโตะและมานั่งชุดละก่ีบาท

วิธีทํา ให x แทน ราคาตนทุนของโตะและมานั่งแตละชุด

จะไดวา ตนทุนของโตะและมานั่ง 80 ชุด คิดเปนเงิน 80x บาท

คารับเหมาทําโตะและมานั่งคิดเปนเงิน 28,600 บาท

กําไรจากการรับเหมาคิดเปนเงิน 28,600 - 80x บาท

แตกําไรในการเหมาครั้งนี้คิดเปน 10%

จะไดสมการเปน 28,600 - 80x80x

= 10100

100(28,600 - 80x) = 10 × 80x

28,600 - 80x = 8x

28,600 = 88x

x = 28,600

88

x = 325

108

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 325 ในสมการ 100(28,600 - 80x) = 10 × 80x

จะได 100[28,600 - 80(325)] = 10 × 80(325)

2,860,000 - 2,600,000 = 260,000

260,000 = 260,000 เปนสมการท่ีเปนจริง


ตนทุนของโตะและมานั่งราคาชุดละ 325 บาท

ตนทุน 80 ชุด คิดเปนเงิน 80 × 325 = 26,000 บาท

รับเหมาทําโตะและมานั่งเปนเงิน 28,600 บาท

จะไดกําไร 28,600 - 26,000 = 2,600 บาท

คิดเปนกําไรได 2,60026,000

× 100 = 10%

ดังนั้น ตนทุนของโตะและมานั่งชุดละ 325 บาท






2. หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตรชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 2 ภาคเรียนท่ี 2 สํานักพิมพแม็ค







หนา 110 - 111


หนา 110 - 111




- ค 4.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4


หนา 110 - 111


หนา 110 - 111



109




- วินัย




















ปญหา


หนา 110 - 111


หนา 110 - 111



ฃ

110



เรื่อง การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเกี่ยวกับอัตราเร็ว























111






การแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวเก่ียวกับอัตราเร็ว
















คําตอบ


2. ครูและนักเรียนรวมกันแกโจทยปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวท่ีเก่ียวกับอัตราเร็ว ดังนี้

ตัวอยางท่ี 1 สมปองและสมชายขับรถออกจากจุดเริ่มตนเดียวกัน เวลาเดียวกัน แตขับรถไป

ในทางตรงขามกัน ถาสมปองขับรถดวยอัตราเร็วนอยกวาสมชาย 15 กิโลเมตร

ตอชั่วโมง หลังจากท้ังสองขับรถได 5 ชั่วโมง โดยไมหยุดพัก รถท้ังสองคันอยู

หางกัน 825 กิโลเมตร จงหาวาสมปองและสมชายขับรถดวยอัตราเร็ว ก่ี

กิโลเมตรตอชั่วโมง

112

วิธีทํา ใหสมชายขับรถดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง

สมปองขับรถดวยอัตราเร็ว x - 15 กิโลเมตรตอชั่วโมง

ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา

รถท่ีสมชายขับ

รถท่ีสมปองขับ

5x = x × 5

5(x - 15) = (x - 15) × 5

จะไดสมการเปน 5x + 5(x - 15) = 825

5x + 5x - 75 = 825

10x = 825 + 75

x = 90010

x = 90

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 90 ในสมการ 5x + 5(x - 15) = 825

จะได 5(90) + 5(90 - 15) = 825

450 + 375 = 825



สมชายขับรถดวยอัตราเร็ว 90 กิโลเมตรตอชั่วโมง

สมปองขับรถดวยอัตราเร็ว 90 - 15 = 75 กิโลเมตรตอชั่วโมง

สมชายขับรถ 5 ชั่วโมง ไดระยะทาง 90 × 5 = 450 กิโลเมตร

สมปองขับรถ 5 ชั่วโมง ไดระยะทาง 75 × 5 = 375 กิโลเมตร

สมชายและสมปองขับรถไดระยะทาง 450 + 375 = 825 กิโลเมตร

ดังนั้น สมชายขับรถดวยอัตราเร็ว 90 กิโลเมตรตอชั่วโมง และสมปองขับรถดวยอัตราเร็ว 75

กิโลเมตรตอชั่วโมง

ตัวอยางท่ี 2 รฐาข่ีรถจักรยานไปตามถนนสายหนึ่งดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง ขา

กลับเขาใชเสนทางเดิมแตอัตราเร็วเปลี่ยนเปน 8 กิโลเมตรตอชั่วโมง ถารฐาใช

825 กิโลเมตร

จุดเร่ิมตน สมชายขบัดวยอัตราเร็ว

x กม./ชม. เวลา 5 ชม.

สมปองขบัดวยอัตราเร็ว

x - 15 กม./ชม. เวลา 5 ชม.

113

เวลาข่ีรถจักรยานไปและกลับ 3 ชั่วโมงแลว จงหาวารฐาข่ีรถจักรยานท้ังหมดก่ี

กิโลเมตร

วิธีทํา ใหรฐาข่ีรถจักรยานขาไปและขากลับเท่ียวละ x กิโลเมตร


ขาไป

ขากลับ

x = 10 × x

10

x = 8 × x8

จะไดสมการเปน x10

+ x8

= 3

4x + 5x = 120

9x = 120

x = 1209

x = 403

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 403

ในสมการ x10

+ x8

= 3

จะได ×40

3 10 +

×40

3 8 = 3

4030

+ 4024

= 3

5418

= 3



ขาไปรฐาข่ีรถจักรยานดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง ระยะทาง 403


ขาไปรฐาใชเวลา 403

÷ 10 = ×40

3 10 = 4

3 ชั่วโมง

จุดเร่ิมตน

ขาไปขี่รถจกัรยานดวยอัตราเร็ว 10 กม./ชม. ระยะทาง x กม.

ขากลับขี่รถจกัรยานดวยอัตราเร็ว 8 กม./ชม. ระยะทาง x กม.

114

ขากลับรฐาข่ีรถจักรยานดวยอัตราเร็ว 8 กิโลเมตรตอชั่วโมง ระยะทาง 403


ขาไปรฐาใชเวลา 403

÷ 8 = ×40

3 8 = 5

3 ชั่วโมง

รฐาใชเวลาท้ังหมด 43

+ 53

= 93

= 3 ชั่วโมง

ดังนั้น รฐาข่ีรถจักรยานเปนระยะทางท้ังหมด 403

× 2 = 2263


ตัวอยางท่ี 3 มานะข่ีรถจักรยานยนตดวยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง ไปตามถนนสาย

หนึ่ง อีกสองชั่วโมงตอมา มาโนชข่ีรถจักรยานยนตตามไปดวยอัตราเร็ว 80

กิโลเมตรตอชั่วโมง โดยออกจากจุดเริ่มตนเดียวกันไปทางเดียวกัน จงหาวา

มาโนชข่ีรถก่ีชั่วโมงจึงจะไปทันมานะ

วิธีทํา ใหท้ังสองคนเดินทางทันกันในเวลา x ชั่วโมง ซ่ึงเปนเวลาท่ีมาโนชออกเดินทาง

มานะออกเดินทางกอนสองชั่วโมง จึงใชเวลา x + 2 ชั่วโมง


มานะ

มาโนช

60(x + 2) = 60 × (x + 2)

80x = 80 × x

จะไดสมการเปน 80x = 60(x + 2)

80x = 60x + 120

80x - 60x = 120

20x = 120

x = 6

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 6 ในสมการ 80x = 60(x + 2)

จะได 80(6) = 60(6 + 2)

480 = 360 + 120



มานะข่ีรถดวยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง เปนเวลา 8 ชั่วโมง

จุดเร่ิมตน

มานะขี่รถจักรยานยนตดวยอัตราเร็ว 60 กม./ชม. เวลา x + 2 ชั่วโมง

มาโนชขี่รถจักรยานยนตดวยอัตราเร็ว 80 กม./ชม. เวลา x ชั่วโมง

115

คิดเปนระยะทาง 60 × 8 = 480 กิโลเมตร

มาโนชข่ีรถดวยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตรตอชั่วโมง เปนเวลา 6 ชั่วโมง


ท้ังสองเดินทางดวยระยะทางท่ีเทากัน แสดงวาข่ีรถจักรยานไดทันกัน

ดังนั้น มาโนชข่ีรถจักรยานยนตเปนเวลา 6 ชั่วโมง จึงจะไปทันมานะ

ตัวอยางท่ี 4 สมชายออกเดินทางดวยอัตราเร็ว 5 กิโลเมตรตอชั่วโมง เม่ือเวลา 09.00 น. อีก

2 ชั่วโมงตอมา สมโชคออกเดินทางตามมาโดยใชเสนทางเดียวกับสมชายดวย

อัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมงสมโชคจะเดินทางทันสมชายเม่ือเวลาเทาไร

วิธีทํา ใหสมโชคเดินทางในเวลา x ชั่วโมง ถึงจะตามทันสมชาย

สมชายออกเดินทางกอนสองชั่วโมง จึงใชเวลา x + 2 ชั่วโมง


สมชาย

สมโชค

5(x + 2) = 5 × (x + 2)

10x = 10 × x

จะไดสมการเปน 10x = 5(x + 2)

10x = 5x + 10

10x - 5x = 10

5x = 10

x = 2

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 2 ในสมการ 10x = 5(x + 2)

จะได 10(2) = 5(2 + 2)

20 = 10 + 10



สมชายออกเดินทางดวยอัตราเร็ว 5 กิโลเมตรตอชั่วโมง เปนเวลา 4 ชั่วโมง


สมโชคออกเดินทางดวยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง เปนเวลา 2 ชั่วโมง


ท้ังสองเดินทางดวยระยะทางท่ีเทากัน แสดงวาเดินทันกัน

ดังนั้น สมโชคจะเดินทางทันสมชายเม่ือเวลา 13.00 น.

116

ตัวอยางท่ี 5 วิทยและแกนข่ีจักรยานออกจากบานซ่ึงอยูหางกัน 30 กิโลเมตร ในเวลาเดียวกัน

โดยอัตราเร็วในการข่ีจักรยานของวิทยเปน 32

เทาของอัตราเร็วของแกน ถาเขา

พบกันในเวลา 2 ชั่วโมง จงหาอัตราเร็วในการข่ีจักรยานของท้ังสองคน

วิธีทํา ใหแกนข่ีจักรยานดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง

จะไดวา วิทยข่ีจักรยานดวยอัตราเร็ว 32

x กิโลเมตรตอชั่วโมง


วิทย

แกน

3x = 32

x × 2

2x = x × 2

จะไดสมการเปน 2x + 3x = 30

5x = 30

x = 6

ตรวจคําตอบ แทน x ดวย 6 ในสมการ 2x + 3x = 30

จะได 2(6) + 3(6) = 30

12 + 18 = 30



แกนข่ีจักรยานมาดวยอัตราเร็ว 6 กิโลเมตรตอชั่วโมง

วิทยข่ีจักรยานมาดวยอัตราเร็ว 32

× 6 = 9 กิโลเมตรตอชั่วโมง

แกนข่ีจักรยาน 2 ชั่วโมงไดระยะทาง 2 × 6 = 12 กิโลเมตร

วิทยข่ีจักรยาน 2 ชั่วโมงไดระยะทาง 2 × 9 = 18 กิโลเมตร

แกนและวิทยอยูหางกัน 12 + 18 = 30 กิโลเมตร

ดังนั้น แกนข่ีจักรยานมาดวยอัตราเร็ว 6 กิโลเมตรตอชั่วโมง และวิทยข่ีจักรยานมาดวย

อัตราเร็ว 9 กิโลเมตรตอชั่วโมง




117


หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตรพ้ืนฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 2 เลม 2







หนา 115 - 116


หนา 115 - 116




- ค 4.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4


หนา 115 - 116


หนา 115 - 116






- วินัย




















ปญหา


หนา 115 - 116


หนา 115 - 116



118


หนวยการเรียนรูท่ี 4 เสนขนาน เรื่อง เสนขนานและมุมภายใน







ค 3.2 ม.2/1 ใชสมบัติเก่ียวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมและสมบัติของเสนขนานใน

การใหเหตุผลและการแกปญหา









1. นักเรียนสามารถบอกไดวามุมคูใดเปนมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด เม่ือกําหนดให

เสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง

2. นักเรียนสามารถบอกไดวาเม่ือเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเม่ือ

ขนาดของขนาดของมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา และนําสมบัตินี้ไปใชได

119


บทนิยามของเสนขนาน

เสนตรงสองเสนท่ีอยูบนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ตอเม่ือ เสนตรงท้ังสองเสนนั้นไมติดกัน

ระยะหางระหวางเสนขนาน

เสนตรงสองเสนขนานกัน ก็ตอเม่ือ ระยะหางระหวางเสนตรงสองเสนนั้นเทากัน

มุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด

AB เรียกวา เสนตัด AB

เรียก x และ y วา มุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB

เรียก u และ v วา มุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB

เม่ือเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนี้ขนานกัน ก็ตอเม่ือ ขนาดของมุมภายในท่ีอยู

บนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา



เสนขนานและมุมภายใน















1. ครูสนทนาถึงสิ่งของท่ีมีลักษณะเปนเสนขนาน เชน รางรถไฟ ราวบันได รั้ว เสนบรรทัดใน

สมุด เปนตน และใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางเพ่ิมเติม

B

A

x

y

u

v

120

2. ครูกลาวถึงบทนิยามของการขนานกันของเสนตรง วาเปนดังนี้

“เสนตรงสองเสนท่ีอยูบนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ตอเม่ือ เสนตรงท้ังสองเสนนั้นไมตัดกัน”

3. ครูกลาววา การตรวจสอบวาเสนตรงคูใดขนานกันนั้น นอกจากจะใชบทนิยามในการ

ตรวจสอบแลว ยังสามารถใชการพิจารณาระยะหางระหวางเสนตรงสองเสน ดังนี้

“เสนตรงสองเสนขนานกัน ก็ตอเม่ือ ระยะหางระหวางเสนตรงสองเสนนั้นเทากัน”

4. ครูทบทวนการเขียนสัญลักษณท่ีใชแทนเสนตรงสองเสนขนานกัน ดังนี้

เม่ือ

AB และ

CD ขนานกัน กลาวไดวา

AB ขนานกับ

CD

หรือ

CD ขนานกับ

AB

เขียนแทนดวยสัญลักษณ

AB //

CD หรือ

CD //

AB

5. ครูใหนักเรียนตอบคําถาม เสนตรงคูใดขนานกัน ในหนังสือเรียน หนา 122 โดยใหนักเรียน

พิจารณาวา เสนตรงคูใดขนานกัน พรอมใหเหตุผลประกอบ

6. ครูกลาววาการตรวจสอบวาเสนตรงคูใดขนานกันหรือไมนั้น ยังมีอีกวิธีการอ่ืนท่ีสามารถ

ตรวจสอบได โดยการพิจารณาขนาดของมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด


7. ครูอธิบายถึงมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด ดังนี้

จากรูป

AB เรียกวา เสนตัด AB

เรียก x และ y วา มุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB

เรียก u และ v วา มุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด AB

ในการเขียนรูปเสนตัด AB อาจใช AB หรือ

AB แทน

AB ก็ได

8. ครูใหนักเรียนตอบคําถาม มุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด ในหนังสือเรียนหนา

123 โดยใหสํารวจวามุมคูใดเปนมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด

9. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม ผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด ใน

หนังสือเรียนหนา 124 โดยแบงเปน 2 ตอน ดังนี้

1) ใหนักเรียนสํารวจวาขนาดของมุมภายในแตละคูท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด รวมกัน

เทากับ 180 องศาหรือไม เม่ือกําหนดให

AB และ

CD ไมขนานกัน และมี

XY เปนเสนตัด

2) ใหนักเรียนสํารวจวาขนาดของมุมภายในแตละคูท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัด รวมกัน

เทากับ 180 องศาหรือไม เม่ือกําหนดให

AB และ

CD ขนานกัน และมี

XY เปนเสนตัด

10. ครูใหนักเรียนหาขอสรุปเก่ียวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของ

เสนตัดกับการขนานกันของเสนตรงคูนั้น ซ่ึงจะตองไดผลสรุปวา

A B

C D

B

A

x

y

u

v

121

“เม่ือเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนี้ขนานกัน ก็ตอเม่ือ ขนาดของมุมภายใน

ท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา”

11. ครูยกตัวอยางการนําขอสรุปขางตนมาใช ดังนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงพิจารณาวาเสนตรงแตละคูตอไปนี้ขนานกันหรือไม เพราะเหตุใด

1) 2)

3)

วิธีทํา 1) ขนานกัน เพราะ ขนาดของมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกัน

เทากับ 75 + 105 = 180 องศา

2) ขนานกัน เพราะ ขนาดของมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกัน

เทากับ 123 + 57 = 180 องศา

3) ไมขนานกัน เพราะ ขนาดของมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกัน

เทากับ 91 + 90 = 181 องศา ซ่ึงไมเทากับ 180 องศา

ตัวอยางท่ี 2 กําหนดเสนตรง a และ b ขนานกันและมีเสนตรง c เปนเสนตัด จงหาคาของ

ตัวแปรในแตละขอ

1) 2)

3)

123°

57°

75°

105°

91°

a

b

c

x

66°

a b

c

131° x

(x+15)°

77°

a

b

c

122

วิธีทํา 1) x + 66 = 180 จะได x = 114

2) x + 131 = 180 จะได x = 49

3) (x+15) + 77 = 180 จะได x = 88






2. หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตรชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 2 ภาคเรียนท่ี 2 สํานักพิมพภูมิบัณฑิต





- เสนขนานและมุมภายใน




- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4





- วินัย




















ปญหา



123


หนวยการเรียนรูท่ี 4 เสนขนาน เรื่อง เสนขนานและมุมแยง

















1. นักเรียนสามารถบอกไดวามุมคูใดเปนมุมแยง เม่ือกําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง

2. นักเรียนสามารถบอกไดวาเม่ือเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเม่ือ มุม

แยงมีขนาดเทากัน และนําสมบัตินี้ไปใชได

124


เรียก x และ y วาเปนมุมแยง และ

เรียก u และ v วาเปนมุมแยง

ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงจะมีขนาดเทากัน

ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหเกิดมุมแยงท่ีมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นจะขนานกัน



เสนขนานและมุมแยง















1. ครูใหนักเรียนดูรูปเสนตรงท่ีขนานกันและไมขนานกัน ดังนี้

เสนตรงท่ีขนานกัน เสนตรงท่ีไมขนานกัน

จากรูป เรียกมุม x และ y วาเปนมุมแยง และ เรียก u และ v วาเปนมุมแยง

x

v

u

y

x

v

u

y

x

v

u

y

125


2. ครูกลาววา “ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงจะมีขนาดเทากัน”

จากรูป


CD และมี

EF เปนเสนตัด

ทําใหเกิดมุมแยง จะไดวา มุมแยงมีขนาดเทากัน คือ

x = y และ u = v

3. ครูใหนักเรียนตอบคําถาม ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงพิจารณาวามุมแยงคูใดมีขนาดเทากัน

1) ถา


CD และมีเสนตัด

EF

มุมแยง AEF = DFE

และ BEF = CFE

2) ถา


CD และมีเสนตัด

AE

มุมแยง BAE = CEA

3) ถา


CD , ABC = 55° และ

BAC = 76°

มุมแยง BAC= DCA = 76°

4. ครูกลาววา การตรวจสอบวา เสนตรงสองเสนขนานกันหรือไม นอกจากจะพิจารณาจาก

ขนาดของมุมภายในท่ีอยูบนขางเดียวกันของเสนตัดแลว ยังสามารถพิจารณาจากขนาดของมุมแยงได ดังทฤษฎี

บทดังนี้

“ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นจะขนาน

กัน”

A B

C D

x

v

u

y

E

F

A

B

C

D

E F

B

C D

A

E

A

B C

D

E

76°

55°

126


ตัวอยางท่ี 2 จงพิจารณาวาเสนตรง รังสี หรือสวนของเสนตรงคูใดขนานกัน พรอมท้ังให

เหตุผล

1)

AE // BC

เพราะ มุมแยง EAC = BCA

2) AD //

BM

เพราะ มุมแยง ADC= MCD

3)

SR //

PQ

เพราะ มุมแยง 110° = 110° หรือ

มุมแยง 100° = 100°

4) ไมมีสวนของเสนตรงคูใดท่ีขนานกัน

6. ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติมจากการใชสมบัติท่ีกลาวมาตั้งแตตน ดังนี้

ตัวอยางท่ี 3 จงหาคาของตัวแปรท่ีไมทราบคา

1)

y = 180 - (38 + 82) = 60° (ขนาดของมุมตรง)

x = 60 + 38 = 98° (มุมแยง)

A E

B C A B

C D M

N

P Q

R S

110°

110°

100°

100°

E

A

B C

D 40°

40°

30°

A B

C D

E

F

38° 82° y

38° x

127

2)

y = 50° (มุมแยง)

ACB = 180 - (50 + 60) = 70° (มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม)

x = 180 - (70 + 50) = 60° (ขนาดของมุมตรง)

3)

x = 25° (มุมแยง)

y = 180 - (40 + 25) = 115° (มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม)








C

A

B

D

E x y

60°

50°

A B

C D

25° 40°

y x

128




- เสนขนานและมุมแยง




- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4





- วินัย




















ปญหา



129


หนวยการเรียนรูท่ี 4 เสนขนาน เรื่อง เสนขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน

















1. นักเรียนสามารถบอกไดวามุมคูใดเปนมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสน

ตัด เม่ือกําหนดใหเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง

2. นักเรียนสามารถบอกไดวาเม่ือเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเม่ือ มุม

ภายนอกและมุมภายในท่ีอยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน และนําสมบัตินี้ไปใชได

130


เรียก 1, 2 , 7 และ 8 วา มุมภายนอก

เรียก 3 , 4 , 5 และ 6 วา มุมภายใน

เรียก 1 และ 5 , 2 และ 6 , 7 และ 3 , 8 และ 4 วาเปนมุม

ภายนอกและมุมภายในท่ีอยูบนตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด

ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยูตรงขามบนขางเดียวกันของ

เสนตัดจะมีขนาดเทากัน

ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยูตรงขามบนขางเดียวกันของ

เสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นจะขนานกัน



เสนขนานและมุมภายนอกและมุมภายใน















1. ครูใหนักเรียนดูรูปเสนตรงท่ีขนานกันและไมขนานกัน ดังนี้

เสนตรงท่ีขนานกัน เสนตรงท่ีไมขนานกัน

4

6

3

5

2 1

8 7

4

6

3

5

2 1

8 7

4

6

3

5

2 1

8 7

131


2. ครูกลาววา “ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยู

ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดจะมีขนาดเทากัน”

จากรูป


CD และมี

EF เปนเสนตัด

จะไดวา 1 = 3 และ 2 = 4


ตัวอยางท่ี 1 กําหนดให

CD //

EF และมี AB เปนเสนตัด จงอธิบายวา ACD มีขนาด

เทากับขนาดของมุมใด

วิธีทํา เนื่องจาก

CD //

EF มี AB เปนเสนตัด

จะได ACD เปนมุมภายนอกท่ีอยูตรงขามกับ CBF ซ่ึงเปนมุมภายในบนขางเดียวกัน

ของเสนตัดเสนขนาน

ดังนั้น ACD = CBF

ตัวอยางท่ี 2 จงหาคาของตัวแปรท่ีไมทราบคา

1)

ACD = 180 - 70 = 110° (ขนาดของมุมตรง)

x = ACD = 110°

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในท่ี

อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดจะมีขนาดเทากัน)

y = 70° (มุมแยง)

A B

C D 4 3

E

F

2 1

A B C

D

E

F

A B C

D

E

F

70° y x

132

2) ให ABCD เปนสี่เหลี่ยมดานขนาน

y = 65°

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในท่ี

อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดจะมีขนาดเทากัน)

x = 180 - 65 = 115°

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวขนาดของมุมภายในท่ีอยูบน

ขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180 องศา)

3)

2x + 3 = 71 (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว

2x = 71 - 3 มุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยูตรงขามบนขาง

x = 682

เดียวกันของเสนตัดจะมีขนาดเทากัน)

x = 34

4. ครูกลาววา การตรวจสอบวา เสนตรงสองเสนขนานกันหรือไม ยังสามารถพิจารณาจาก

ขนาดของมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดได ดังทฤษฎีบทดังนี้

“ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมภายนอกและมุมภายในท่ีอยูตรงขามบนขาง

เดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นจะขนานกัน”


ตัวอยางท่ี 3 จงพิจารณาวาเสนตรง รังสี หรือสวนของเสนตรงคูใดขนานกัน พรอมท้ังให

เหตุผล

1)

DF // CB

เพราะ EAD เปนมุมภายนอกและ ABC เปนมุม

ภายในท่ีอยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด

BE มีขนาดเทากัน

A B

C E

D 65°

x

y

A

B

C D

E F

(2x + 3)°

71°

E A B

C D

F

133

2) AB // MN

เพราะ MNC เปนมุมภายนอกและ ABC เปนมุม


BC มีขนาดเทากัน

3) AB // CD

เพราะ PBA เปนมุมภายนอกและ BDC เปนมุม


PD มีขนาดเทากับ 44 องศา

4)

MN // PQ เพราะ ABN เปนมุมภายนอกและ ADQ เปนมุม

ภายในท่ีอยู ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด AF มีขนาดเทากับ 130

องศา

QR // NP เพราะ QEF เปนมุมภายนอกและ NCD เปนมุม ภ า ย ใ น ท่ี อ ยู

ตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัด AF มีขนาดเทากับ 96 องศา


6. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัดท่ี 3, Exercise 1 Properties of Parallel lines ใน

Workbook หนา 118-119 และ Exercise 2 Parallel lines ใน Workbook หนา 119-125

7. ครูและนักเรียนรวมกันเฉลยแบบฝกหัดท่ี 3, Exercise 1 และ Exercise 2






A

B C

M

N

44°

44°

46°

A

B

C

D

E

F

P Q

130° 84° 50° 96°

A B C

D E F

N

M P

Q

R

134




- เสนขนานและมุม

ภายนอกและมุมภายใน


- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 118-125


- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 118-125




- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4


- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 118-125


- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 118-125





- วินัย




















ปญหา


- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 118-125


- Exercise 1 - 2

Workbook

หนา 118-125



135


หนวยการเรียนรูท่ี 4 เสนขนาน เรื่อง เสนขนานและรูปสามเหล่ียม

















1. นักเรียนสามารถบอกไดวาขนาดของมุมภายในท้ังสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา

และนําสมบัตินี้ไปใชได

2. นักเรียนสามารถบอกไดวาถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกท่ีเกิดข้ึนจะมี

ขนาดเทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น และนําสมบัตินี้ไปใชได

3. นักเรียนสามารถบอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปท่ีมีความสัมพันธกันแบบมุม-มุม-ดานเทากันทุก

ประการ และนําสมบัตินี้ไปใชได

136


ขนาดของมุมภายในท้ังสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา

ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกท่ีเกิดข้ึนจะมีขนาดเทากับผลบวกของขนาด

ของมุมภายในท่ีไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมท่ีมีขนาดเทากันสองคู และดานคูท่ีอยูตรงขามกับมุมคูท่ีมีขนาดเทากัน ยาว

เทากันหนึ่งคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ



เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม















1. ครูตั้งคําถามและทบทวนเก่ียวกับรูปสามเหลี่ยม โดยกลาวถึงขนาดของมุมภายในของรูป

สามเหลี่ยมวามีขนาดของมุมท้ังสามรวมกันเทากับ 180 องศา

2. ครูกลาววาจากขอความขางตนสามารถนํามาใชในการกลาวเก่ียวกับขนาดของมุมภายนอก

และขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมได

137


3.

จากรูป กําหนด ∆ABC และตอ BC ออกไปทางจุด C ถึงจุด D เรียก ACD วา มุมภายนอก

ของ ∆ABC เรียก ACB และ ACD วาเปนมุมประชิด หรืออาจกลาววา ACB เปนมุมประชิดของ ACD


ตัวอยางท่ี 1 จงหาคา x และ y จากรูปท่ีกําหนดให

1) x = y = 130 ÷ 2 = 65°

2) x = 180 - (75 + 45) = 60°

y = 75 + 60 = 135°

3) x = 35°

y = 180 - (27 + 35) = 118°

5. ครูกลาววายังมีการนําทฤษฎีบทเก่ียวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

ไปพิสูจนเก่ียวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ดังนี้

A

B C D

ทฤษฎีบท ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกท่ีเกิดข้ึนจะมีขนาด

เทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

130°

x

y

75°

45° x y

35°

27° x

y

ทฤษฎีบท ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมท่ีมีขนาดเทากันสองคู และดานคูท่ีอยูตรงขามกับมุมคู

ท่ีมีขนาดเทากัน ยาวเทากันหนึ่งคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเทากันทุก

ประการ

138

รูปสามเหลี่ยมท่ีมีความสัมพันธแบบทฤษฎีบทนี้ เรียกวา มีความสัมพันธกันแบบมุม-มุม-ดาน

(ม.ม.ด.)

6. ครูยกตัวอยางการพิสูจนความเทากันทุกประการแบบมุม-มุม-ดาน

ตัวอยางท่ี 1 จากรูป กําหนดให ∆ABE และ ∆DCF เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี AEB และ

DFC เปนมุมฉาก AB // CD และ AB = CD จงพิสูจนวา ∆ABE และ ∆DCF

เทากันทุกประการ

กําหนดให ∆ABE และ ∆DCF เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก,

AEB = DFC = 90°, AB // CD และ AB = CD

ตองการพิสูจนวา ∆ABE ≅ ∆DCF

พิสูจน 1. AB // CD (กําหนดให)

2. ABE = DFC (เสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด

กัน แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน)

3. AEB = DFC = 90° (กําหนดให)

4. AB = CD (กําหนดให)

ดังนั้น ∆ABE ≅ ∆DCF (ม.ม.ด.)

7. ครูกลาววาเราสามารถใชความสัมพันธแบบมุม-มุม-ดาน แทนความสัมพันธแบบมุม-ดาน-มุม

ได




A

B C

D

E F

A B

C D

E

F

139








- เสนขนานและ

รูปสามเหลี่ยม


- แบบฝกหัดท่ี 4 - ตรวจสอบความถูกตอง



- ค 3.2 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/1

- ค 6.1 ม.2/3

- ค 6.1 ม.2/4







- วินัย




















ปญหา





1 ย 22102 4 2 25เวลา 6 1elsd.ssru.ac.th/chuchakaj_ch/pluginfile.php/249/course... ·...

Documents