目錄

1. 鋪放方塊2. 猜謎(1)3. 將軍飲馬4. 海島有多高5. 20136. 巧分巧克力7. 17298. 幾何題(一)9. 幾何題(二)10. 等邊三角形(1)11. 正方形12. 等邊三角形(2)13. 正整數解-200014. log 2不是有理數

鋪放方塊-問題

若在一個長和闊皆為 68 單位的平面上, 盡量鋪放多一些長和闊皆為 3 單位的方塊使得各個方塊互不重疊。我可以放 489 個方塊 !! 你也可以嗎 ?怎樣放 ???

鋪放方塊-解答

先舖放 484 塊 抽去 220 塊 補回 225 塊

A

B

C

D

A = (2, 34),B = (34, 66)C = (66, 34),D = (34, 2)

AB =√322 + 322 > 45.25

共放得 484− 220 + 225 = 489 塊!

猜謎(1)-問題

有四對夫婦一邊閑話家常，一邊啖荔枝。他們一共吃了32顆荔枝。太太們吃荔枝的數目分別是：少娟１顆，少莉２顆，少慧3顆，少紅４顆。先生們吃荔枝的數目分別是：何老大與太太的數目一樣，黃小二是太太的兩倍，張老三是太太的三倍，李四是太太的四倍。試說出何太，黃太，張太和李太的名字。

猜謎(1)-解答

1.設何太，黃太，張太和李太吃荔枝的數目分別是 ：H,W,C,及 L。

2.所以, H +W + C + L = 10 ( ??? )

3.且 H + 2W + 3C + 4L = 32− 10 = 22

4.因此, W + 2C + 3L = 12

5. L 不可能等如 4

6.且 L 亦不可能等如 3 或 1 ( ??? )

7.所以 L = 2, W + 2C = 6

8.由此 ，W = 4,C = 1,H = 3

9.少娟是張太，少莉是李太，少慧是何太，而少紅是黃太。

將軍飲馬-問題

1.一位將軍由A地出發前往B地，先到筆直的河岸邊去飲馬，然后再去B地，他怎樣走的路線才是最短呢？

AB

2.若A的坐標為(0,2)，B的坐標為(6,3)，河岸邊的方程為 y = 0，馬兒飲水后比未飲水時跑快一倍，他該怎樣走才是最快呢？

將軍飲馬-問題(一)解答

1.設飲馬的地點為 C 點。

2.以河岸為對稱軸，設 B’ 對稱於B點。所以, CB = CB ′。

3.題目要求 AC 與 CB 之和為最短。因為 AC + CB = AC + CB ′

4.當 A,C ,B ′ 三點共線時 AC + CB ′

的長度為最短。

5.所以, C 點為 AB ′ 與河岸的交點。

AB

C

將軍飲馬-問題(二)解答

1.設飲馬的地點為 C (x , 0) 點。

2.題目轉化為求 x 使得 2AC + CB 的值為最小。

3.可以用微積分，或二分法，或用試算表等方法,求 x。

4.由試算表, x ≈ 1

x AC CB 2AC + CB0.6 2.0880 6.1774 10.35350.7 2.1189 6.0901 10.32800.8 2.1540 6.0033 10.31140.9 2.1931 5.9169 10.30321 2.2360 5.8309 10.30301.1 2.2825 5.7454 10.31051.2 2.3323 5.6603 10.32511.3 2.3853 5.5758 10.34651.4 2.4413 5.4918 10.3744

海島有多高:問題

圖中位於 A、B的兩枝標杆等高，若AB=100m，AC=12.3m，BD=12.7m，標杆的高度為 0.5m，ACBD 成一直線，海島有多高？你可以只用加、減、乘、除求得答案嗎?

∼ ∼∼

∼∼

∼∼ ∼ ∼∼∼ ∼∼ ∼

h

A BC D

海島有多高-解法(一)

I本題是《海島算經》(公元 263 年) 中的第一題:

今有望海島，立兩表(於 A，B)齊高三丈(k)，前後相去千步(AB)，令後表與前表三相直(海島，A，B 成一直線)。從前表卻行一百二十三步(AC)，人目著地取望島峰，與表末三合(島峰，表末，C 成一直線)。從後表卻行一百二十七步(BD)，人目著地取望島峰，亦與表末三合．問島高(h)及去表各幾何？

h

A BQ C D

I《海島算經》共有九題測距的問題。所用的長度單位有里、丈、步、尺、寸;1里=180丈; 1丈=10尺:1步=6尺,1尺=10寸。

I《海島算經》提供的方法:

術曰:以表高乘表間為實;相多為法,除之。所得加表高,即得島高。求前表去島遠近者:以前表卻行乘表間為實;相多為法。除之,得島去表數。(表高=k, 相多=BD − AC , 實=分子, 法=分母)

島高 =k × AB

BD − AC+ k, 島距(QA) =

AC × AB

BD − AC

海島有多高-解法一(續)

要解這一題，我們可以用三角或相似三角形的方法來解。以下的方法，我國二千多年前的數學家早已得知，解法簡單，當中用到劉徽的 出入相補原理:矩形對角線兩側餘下的矩形面積相等(如圖)。

A

B

A 的面積 = B 的面積

I如圖,著黃色的矩形的面積皆知,只要找到有關綠色矩形的面積,問題便可解決。

I由出入相補原理,(1)=(6),(1)+(2)+(3)=(8)

I (2)+(3) = (8) -(6)

I 5× AB = (BD − AC )x

I x =5× AB

BD − AC

I島高=x + 5 =5× AB

BD − AC+ 5

I由 (1) = (6), 5× QA = x × AC

I QA =AC × AB

BD − AC

I島遠 =AC × AB

BD − AC

A BQ

P L M N R

C D

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8) x

5

海島有多高-解法(二)

用相似三角形解:I4PXY ∼ 4PCD

ICD

XY=

PD

PY=

PQ

PZ

ICD

AB=

PZ + ZQ

PZ

ICD

AB= 1 +

k

PZ

Ik

PZ=

CD

AB− 1

Ik

PZ=

CD − AB

AB

Ik

PZ=

BD − AC

AB

I PZ =k × AB

BD − AC

I PQ =k × AB

BD − AC+ k

A B

XZ

Q C D

P

Yk

2013:問題

問題 : 有幾多組連續數的總和為 2013

2013:解

1.若 n(n > 1) 個連續數之首項為 a, 其和,S =n

2(2a + (n − 1))

2. n 與 (2a + (n − 1)) 的奇偶性各異, 且 n < (2a + n − 1)。

3.若 S = 2013, 2S = 4026 = n(2a + (n − 1))

4. 4026 = 2× 3× 11× 61

5.將 4026 表成兩個數的成積有 8 個組合:1× (2× 3× 11× 61), 2× (3× 11× 61), 3× (2× 11× 61),11× (2× 3× 61), 61× (2× 3× 11), (2× 3)× (11× 61),(2× 11)× (3× 61), (2× 61)× (3× 11)

6.有 7 組解由正整數組成:

I 2 項 : 1011 + 1012

I 11 項:178 + · · · + 182︸ ︷︷ ︸

5項

+183 + 184 + · · · + 188︸ ︷︷ ︸5項

I 61 項: 3 + · · · + 32︸ ︷︷ ︸30項

+33 + 34 + · · · + 63︸ ︷︷ ︸30項

I 3 項 : 670 + 671 + 672

I 6 項 : 333 + 334 + 335 + 336 + 337 + 338

I 22 項: 81 + 82 + · · · + 102

I 33 項: 45 + · · · + 60︸ ︷︷ ︸16項

+61 + 62 + · · · + 77︸ ︷︷ ︸16項

巧分巧克力:問題

不許量度,只許切一刀,可以將以下 7 塊大小相同,長方形的巧克力等分成 5 份嗎?

巧分巧克力:解

如下圖,將 5 塊巧克力,沿虛線切一刀便可。

1729:問題

1729 具有以下的一個有趣性質:

1.各數字的總和 = 1 + 7 + 2 + 9 = 19

2.將 19 這個數倒序寫出, 得 91

3. 19x91 = 1729 得回原數，

請找出所有具同樣性質的數

1729:解

1.設有這些性質的數為 N , 且 N 有 n 個位，所以 N > 10n−1

2. N 的 n 個位數字的總和小於 10n, 其倒序寫出的數亦小於 10n

3.由此, 10n × 10n > N > 10n−1

4. n2 > 10n−3, n < 5

5.若 N 為 1 位數, 顯然, 1 為惟一的解;

6.若 N 為 2 位數, 數字的總和需為個位數,小於 10 而大於 3, 是故 N 為平方數:16, 25, 36, 49, 64 或 81， 81 為惟一的解;

7.若 N 為 3 位數, 數字的總和需為 2 位數, 可以 10a + b 表出,倒序寫出的數為 10b + a, 且 (10a + b)(10b + a) = N < 1000, 10a + b ≤ 18:I 10(a2 + b2) + 101ab < 1000, ab ≤ 9I b = 0 無解;I現考慮 a ≤ b, (a, b) 可能為:(1, 9), (1, 8), · · · , (1, 1), 和 (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3)I 19× 91 > 18× 81 > 17× 71 = 1207, 16× 61 = 976,捨去I 15× 51 = 765, 14× 41 = 574, 13× 31 = 403, 12× 21 = 252, 11× 11 = 121 皆捨去I 22× 22 = 484, 23× 32 = 736, 24× 42 = 1008, 33× 33 = 1089皆捨去I N 為 3 位數無解;

1729:解(續)

1.若 N 為 4 位數, 數字的總和 ≤ 36, 可以 10a + b 表出,倒序寫出的數為10b + a, 且 1000 < (10a + b)(10b + a) = N < 10000

2. (10a + b)× (10b + a) = 10(a2 + b2) + 101ab, a ≤ 3I a 6= 0I若 a = 1, (10a + b)(10b + a)的最大值為 19× 91 = 1729I若 a = 2, (10a + b)(10b + a)的最大值為 29× 92 = 2668I若 a = 3, (10a + b)(10b + a)的最大值為 36× 63 = 2268I由此, N < 2668, 其各個位數字的總和 ≤ 29I 16× 61 = 976 < 1000, 16× 61 > 15× 51 > · · · > 11× 11, 所以, 數字的總和6= 11, · · · , 16

I 17× 71 = 1207, 18× 81 = 1458(1 + 4 + 5+ 8 = 18), 19× 91 = 1729(1 + 7 + 2+ 9 = 19)I 25× 52 = 1300, 26× 62 = 1612, 27× 72 = 1944, 28× 82 = 2296, 29× 92 = 2668皆捨去

具有題目要求性質的數字僅為: 1, 81, 1458 和 1729

幾何題(一):問題

如圖，ABC為一等邊三角形，P為劣弧BC上的一點。

A B

C

P

證明 : PB + PC = PA

幾何題(一):解

1.由 Ptolemy 定理,PA× BC = PB × AC + PC × AB

2.因為, AB = BC = AC

3.所以,PA× AB = PB × AB + PC × AB

4. PA = PB + PC A B

C

P

幾何題(二):問題

如圖，P 為兩相交圓 A,B 的一個交點, 過 P 作一條不包含公共弦的直線分別再交圓 A,B 於 X ,Y 使得 PX = PY。

A B

XP

Y

幾何題(二):解

分析:

1.以 P 為中心,將圓 B 旋轉 180◦ 得圓 B ′

2. B 的像點落在 B ′。3.因為 PX = PY , Y 的像點落在 X。

4.且有, ∠BPY = ∠B ′PX ,

5.由此, B ′P = BP ,B ′PB 成一直線。

作圖方法:

1.延長 BP 至 B ′, 使得 BP = B ′P ,2.以 B ′ 為圓心, B ′P 為半徑, 作圓。

3.命圓 B ′,A 的另一交點為 X ,

4.聯 XP , 命 XP 的延線與圓 B 的另一交點為 Y ,

5. XY 為所求的線段。

AY

B ′

B

PX

等邊三角形(1):問題

如圖，∠BAC = 60◦，4ABX ,4BCY ,4ACZ 為等邊三角形。

證明：S4BCY + S4ABC = S4ABX + S4ACZ (S4 : 4 面積)

A

B

C

Z

X

Y

等邊三角形(1):解

1.在 AC 上作 D，使 AB = AD，所以 ABD 為等邊三角形。

2.4ABC ≡ 4BDY ≡ 4ADZ

3. DY = AC = CZ

4. ∠YDC = ∠DCZ = 60◦

5. DYCZ 為一平行四邊形。

6. S4ABC + S4BYC= S4ABD + S4BYD + S4CYD= S4ABX + S4ADZ + S4CZD= S4=ABX + S4ACZ

A

B

C

Z

X

Y

D

正方形

把九個邊長分別為1，4，7，8，9，10，14，15，18的正方形拼成一個矩形。

正方形: 解

182152

142102 92

827242

若將對稱的安排視作相同的排列,你可以證明這個解是唯一的嗎?

等邊三角形 (2):問題作一任意凸四邊形,在每條邊上交替地向外及向外作等邊三角形,得到的這四個等邊三角形的頂點,有甚麼特點 ?

如圖, ABCD 為給定的凸四邊形, 4ABX ,4BCY ,4CDZ ,4DAW 為等邊三角形, X ,Y ,Z ,W有甚麼關係? 請證明你的猜想!

A

B

C

D

X

Y

Z

W

等邊三角形 (2): 解

XYZW 為一平行四邊形!

A

B

C

D

X

Y

Z

W

證明:

1.如圖, 聯 XW ,BD

2.考慮三角形 4XAW ,4BAD,

3. ∠XAW = 60◦ + ∠BAW4. ∠BAD = ∠BAW + 60◦ = ∠XAW5. XA = BA

6. AW = AD

7.4XAW ≡ 4BAD

8.由此, XW = BD

9.同理可以證明 ZY = BD

10.由此, XW = ZY

11.同理可以證明 WZ = CA = XY

12.因此, XYZW 為一平行四邊形。

正整數解-2000: 問題

求 x2 + y2 = 2000 的所有正整數解。

正整數解-2000:解

1.先證明所有奇數的平方被 8 除皆餘 1:-若 a = 2n + 1, a2 = 4n(n + 1) + 1

- n, n + 1 為一奇一偶

-所以 a2 = 8k + 1

2.若 x , y 皆為奇數, x2 + y2 被 8 除餘 2, 與 2000 能被 8 整除矛盾

3.若 x , y 為一奇一偶, x2 + y2 為奇數, 亦與 2000 能被 8 整除矛盾

4.由此 x , y 皆為偶數

5.設 x = 2X , y = 2Y

6.同理, X ,Y 皆為偶數

7.設 x = 4M , y = 4N

8.得 M2 + N2 = 125

9.M ,N 為一奇一偶, 且1 ≤ M ,N ≤ 11

10.若先考慮 M 為偶數,得 M = 2, 10

11.所以 (M ,N) =(2, 11), (11, 2), (5, 10), (10, 5)

12. x2 + y2 = 2000 的所有正整數解為(8,44), (44,8), (20, 40), 及 (40,20)

log 2不是有理數: 問題

證明 log 2不是有理數。

log 2不是有理數:解

1. log 2 ≥ 0,

2.若 log 2 為有理數，則可將 log 2 表為約至最簡的分數m

n, 其中 m, n > 0

且最大公因數為 1。

3.因為 log 2 =m

n, 有 n log 2 = m

4. 2n = 10m = 2m5m

5.因為 5 不能整除 2n

6.由此,log 2 不能表為一個最簡分數

7. log 2不是有理數