1. estudio de recursos analíticos imprescindibles para el

Departamento de Ciencias Económicas

2400 – Matemática 1 – 2do Cuatrimestre 2021

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DOCUMENTO DE CLASE

Clase N°8: Estudio de funciones

1. Objetivo/s de la clase: Estudio de recursos analíticos imprescindibles para el análisis de funciones

2. Mapa conceptual de la clase:

Estudio de funciones

Crecimiento y

decrecimiento de

una función

Extremos de una

función

Dominio,

ceros, asíntotas

Condiciones necesarias y

suficientes

Concavidad, puntos

de inflexión

Estudio completo y grafico

de la función



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3. Desarrollo

Función estrictamente creciente

Sea una función 𝑓(𝑥) continua en un intervalo (𝑎; 𝑏).

Se dice que dicha función es estrictamente creciente en el intervalo (𝑎; 𝑏) si y solo si

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

Función estrictamente decreciente


Se dice que dicha función es estrictamente decreciente en el intervalo (𝑎; 𝑏) si y solo si

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)

Ahora, a través de un ejemplo iremos relacionando el concepto del crecimiento de una función

con el signo de la derivada de la función en un punto.

Tomaremos una función 𝑓(𝑥) derivable sobre en un intervalo (−12; 12)



3

Nos interesa saber, en primera medida, qué le ocurre a la función en los puntos marcados.

Nótense que hay puntos verdes y puntos rojos

¿Cómo se comporta dicha función en los puntos rojos y cómo se comporta en los puntos verdes?

¿Puede decir algo de la función en esos puntos? ¿Cómo es?

En los puntos rojos la función es creciente.

En los puntos verdes la función es decreciente.



4

Ahora bien, lo siguiente que haremos es vincular de manera intuitiva el crecimiento y

decrecimiento de la función con el signo de la derivada primera de la función.

Esto lo vamos a hacer de la siguiente manera…

Trazaremos primero la recta tangente en cada uno de los puntos rojos

¿Cómo es el signo de la pendiente de la recta tangente en cada punto rojo?

Rta: El signo de la pendiente de cada una de las rectas tangentes es positivo.

No estamos preguntando ¿cuánto vale la pendiente?, solamente ¿cuál es el signo de la pendiente

de cada recta tangente?

Recuerde que se puede conocer el signo de la pendiente de una recta observando el crecimiento

de la función lineal.

Ahora toca el turno de trazar las rectas tangentes en los puntos verdes



5

¿Cuál es el signo de la pendiente de la recta tangente en cada punto verde?

Rta: El signo de la pendiente de cada una de las rectas tangentes es negativo.

Reunamos ahora los datos obtenidos en un cuadro. Para eso pondremos nombre a los puntos

rojos y verdes para hacer más fácil y ordenada la lectura:

Recuerde que dado cierto punto de la función, es lo mismo decir que la recta tangente a la curva

en ese punto tiene pendiente positiva o que la función tiene derivada positiva en ese punto.

Así como es lo mismo decir que la recta tangente a la curva en ese punto tiene pendiente

negativa o que la función tiene derivada negativa en ese punto.

Observando los gráficos completamos el cuadro y lo ampliamos incluyendo el crecimiento de

la función:

Punto Pendiente Signo de 𝑓′(𝑥) Función

A Positivo Positivo Creciente



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B Positivo Positivo Creciente

C Positivo Positivo Creciente

D Negativo Negativo Decreciente

E Negativo Negativo Decreciente

F Negativo Negativo Decreciente

G Negativo Negativo Decreciente

H Negativo Negativo Decreciente

I Positivo Positivo Creciente

J Positivo Positivo Creciente

K Positivo Positivo Creciente

Entonces, vinculemos ahora el crecimiento de la función y su derivada.

¿Puede aventurar alguna conclusión?

Podemos inferir que:

Si la derivada es positiva la función es estrictamente creciente.

Si la derivada es negativa la función es estrictamente decreciente.

Esto que acabamos de afirmar no es gracias a este ejemplo. Es gracias a la teoría que demuestra

esto, el ejemplo sólo sirvió para ilustrar y hacer más accesible la teoría. Visto lo anterior,

necesitamos ahora precisar ciertos conceptos.

Criterio de la Derivada Primera para determinar el crecimiento de una función

Sea 𝑓(𝑥) una función derivable en un intervalo (𝑎; 𝑏).

I) Si ∀𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃): 𝒇′(𝒙) > 𝟎 entonces 𝒇(𝒙) es estrictamente creciente en (𝒂; 𝒃).

Justificación: Recordemos la definición de función derivada

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Por hipótesis esta derivada es positiva, por lo tanto el cociente es positivo. Si un cociente es

positivo tenemos dos posibilidades:

(i) Denominador y numerador ambos positivos. Es decir:

ℎ > 0 y 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) > 0



7

Pero si 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) > 0 entonces podemos escribir: 𝑓(𝑥 + ℎ) > 𝑓(𝑥)

Además, si ℎ > 0 ocurre que 𝑥 + ℎ > 𝑥

En un gráfico se vería así:

Reuniendo lo anterior en una sola expresión, tenemos:

si 𝑥 + ℎ > 𝑥 entonces 𝑓(𝑥 + ℎ) > 𝑓(𝑥)

Pero esto no es otra cosa que la definición de función estrictamente creciente en un intervalo.

Es decir, 𝑓(𝑥) es estrictamente creciente en (𝑎; 𝑏)

(ii) Denominador y numerador ambos negativos. Es decir:

ℎ < 0 y 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) < 0

Pero si 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) < 0 entonces podemos escribir: 𝑓(𝑥 + ℎ) < 𝑓(𝑥)

Además, si ℎ < 0 ocurre que 𝑥 + ℎ < 𝑥

En un gráfico se vería así:



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Reuniendo lo anterior en una sola expresión, tenemos:

si 𝑥 + ℎ < 𝑥 entonces 𝑓(𝑥 + ℎ) < 𝑓(𝑥)

Pero esto no es otra cosa que la definición de función estrictamente creciente en un intervalo.

Es decir, 𝑓(𝑥) es estrictamente creciente en (𝑎; 𝑏)

II) Si ∀𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃): 𝒇′(𝒙) < 𝟎 entonces 𝒇(𝒙) es estrictamente decreciente en (𝒂; 𝒃).

Se puede justificar de manera análoga.

En este caso la derivada tiene signo negativo, y por tanto, el cociente deberá ser negativo. Es

decir: denominador positivo y numerador negativo, o al revés.

Función creciente




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Se dice que dicha función es creciente en el intervalo (𝑎; 𝑏) si y solo si

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2)

Propiedad: Sea 𝑓(𝑥) una función derivable en un intervalo (𝑎; 𝑏).

Si ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑓′(𝑥) ≥ 0 entonces 𝑓(𝑥) es creciente en (𝑎; 𝑏).

Función decreciente


Se dice que dicha función es decreciente en el intervalo (𝑎; 𝑏) si y solo si

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2)

Propiedad: Sea 𝑓(𝑥) una función derivable en un intervalo (𝑎; 𝑏).

Si ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏): 𝑓′(𝑥) ≤ 0 entonces 𝑓(𝑥) es decreciente en (𝑎; 𝑏).

Puntos Críticos de 1ra especie

Recordemos el Teorema de Fermat:

Si 𝑓(𝑥) tiene un extremo relativo en 𝑥 = 𝑐 y existe 𝑓′(𝑐), entonces 𝑓′(𝑐) = 0

El recíproco de este teorema es falso, ya que no es cierto que si 𝑓′(𝑐) = 0 implica que existe

un extremo local en 𝑥 = 𝑐 .

Veamos el siguiente gráfico.



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(Aclaración importante para entender el gráfico: se han trazado con rojo ciertas rectas tangentes

a la curva. Como se observa todas son horizontales, por lo tanto todas tienen pendiente cero,

por lo tanto también es cero la derivada de la función en cada punto de tangencia)

Nótese en el gráfico que no es cierto que si la derivada se anula en un punto existe en él un

extremo.

Pero probablemente usted me dirá:

- ¡Pero yo veo que 𝑓′(𝑎) = 0 y allí hay un extremo!

Y yo le contesto:

- ¡Es cierto!, pero fíjese también lo que ocurre en 𝑥 = 𝑏. Allí 𝑓′(𝑏) = 0 y sin embargo en

𝑥 = 𝑏 no hay extremo alguno.

El contrarrecíproco del Teorema de Fermat es:

Si 𝑓′(𝑐) ≠ 0, entonces 𝑓(𝑥) no tiene un extremo relativo en 𝑥 = 𝑐

Sabemos que el contrarrecíproco de un Teorema siempre cierto. Es decir, en los puntos donde

la derivada no es cero no hay extremos locales.

Resumiendo: para que en un punto del dominio de una función derivable exista un extremo

local la derivada debe ser igual a cero allí, pero que la derivada sea cero no asegura que exista

un extremo.

Si recordamos la clase de derivadas, también pueden existir extremos relativos en puntos del

dominio donde la derivada no existe (en un punto cuspidal, por ejemplo). Pero, que la derivada

no exista, tampoco asegura la existencia de extremos locales (en un punto de inflexión, por

ejemplo).



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Entonces, que la derivada se anule o que no exista en un punto del dominio son condiciones

NECESARIAS (pero no SUFICIENTES) para que la función tenga un extremo relativo allí.

Por lo tanto, para determinar en qué puntos del dominio de una función será posible que existan

extremos locales, debemos encontrar los puntos “sospechosos” o “candidatos” a ser extremos

de dicha función. Los mencionados “candidatos” se conocen como Puntos Críticos de 1ra

Especie.

Decimos que 𝒙 = 𝒄 es un punto crítico de 1ra especie, si está en algunos de estos casos:

Tipo 1: 𝒄 ∈ 𝑫𝒇 𝐲 𝒇′(𝒄) = 𝟎

Tipo 2: 𝒄 ∈ 𝑫𝒇 𝐲 ∄𝒇′(𝒄)

En el siguiente gráfico mostramos diferentes posibilidades de puntos críticos que podríamos

encontrar al estudiar una función.

Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en 𝑥 = 𝑎 o 𝑥 = 𝑏 , en donde la

derivada se anula (se hace cero), y en donde luego se comprobará que existen extremos

allí.

Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en 𝑥 = 𝑐, en donde la derivada no

existe (derivadas laterales finitas y distintas), y en donde luego se comprobará que existen

extremos allí.

Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en 𝑥 = 𝑑 , en donde la derivada

tampoco existe (derivadas laterales infinitas de distinto signo), y en donde luego se

comprobará que existen extremos allí.



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Pero también puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en 𝑥 = 𝑒, en donde si

bien la derivada se anula, luego se comprobará que no existen allí extremos.

Y finalmente puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en 𝑥 = 𝑓, en donde si

bien la derivada no existe (derivadas laterales infinitas de igual signo), luego se comprobará

que no existen allí extremos.

Es decir, que un punto sea critico no significa que deba alcanzar un extremo necesariamente,

simplemente quiere decir que puede haber en él un extremo. Luego hay que verificar, con algún

criterio, si hay o no extremo. Para determinar esto utilizaremos dos criterios:

o Criterio de la Primera Derivada

o Criterio de la Segunda Derivada

Criterio de la Primera Derivada (para la determinación de extremos relativos)

Sea una función continua en el intervalo abierto (𝑎; 𝑏) que contiene a un único punto crítico de

1ra especie 𝑥 = 𝑐.

(i) Si la derivada a la izquierda de 𝒙 = 𝒄 es positiva (función creciente) y la derivada a la

derecha de 𝒙 = 𝒄 es negativa (función decreciente) entonces en (𝒄; 𝒇(𝒄)) existe un máximo

relativo de 𝒇(𝒙).



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(ii) Si la derivada a la izquierda de 𝒙 = 𝒄 es negativa (función decreciente) y la derivada a

la derecha de 𝒙 = 𝒄 es positiva (función creciente) entonces en (𝒄; 𝒇(𝒄)) existe un mínimo

relativo de 𝒇(𝒙).

Veamos a continuación un ejemplo de cómo se hallan los extremos de una función.

Ejemplo. Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −3

2𝑥2 − 6𝑥 + 1 se pide hallar sus extremos relativos.

1°) Primero hallemos la derivada primera:

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 3𝑥 − 6

2°) Hallemos los puntos críticos de 1ra especie. Al ser un polinomio, la función es derivable

en todos los reales. Entonces, si hay puntos críticos, son de Tipo 1. Debemos entonces, resolver

la ecuación:

𝑓′(𝑥) = 0

3𝑥2 − 3𝑥 − 6 = 0

𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −1

Entonces el conjunto de los puntos críticos es: {−1; 2}

3°) Ahora aplicamos el Criterio de la Primera Derivada para determinar el crecimiento en

cada uno de los intervalos determinados por los puntos críticos.



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𝑓 ′(−2) = 3 ⋅ (−2)2 − 3 ⋅ (−2) − 6 = +12

𝑓 ′(0) = 3. 02 − 3.0 − 6 = −6

𝑓 ′(3) = 3. 32 − 3.3 − 6 = +12

Luego, existen un máximo en 𝑥 = −1 y un mínimo en 𝑥 = 2.

Hallemos las imágenes para cada valor reemplazando en la función (sí, en la función original)

y concluyamos el ejercicio.

𝑓(−1) = (−1)3 −3

2(−1)2 − 6(−1) + 1 =

9

2

𝑓(2) = 23 −3

2. 22 − 6.2 + 1 = −9

Respuesta: La función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −3

2𝑥2 − 6𝑥 + 1 posee un punto máximo en 𝑀 = (−1;

9

2) y

un punto mínimo en 𝑚 = (2; −9)

Avancemos un poco más con la teoría. ¡Nuevas definiciones que se suman! 😊

Criterio de la Segunda Derivada (para la determinación de extremos relativos)

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto crítico de la función 𝑓(𝑥) tal que 𝑓´(𝑐) = 0.

(i) Si 𝒇′′(𝒄) < 𝟎 entonces 𝒇(𝒄) es un máximo relativo de 𝒇(𝒙).

(ii) Si 𝒇′′(𝒄) > 𝟎 entonces 𝒇(𝒄) es un mínimo relativo de 𝒇(𝒙).

En el caso de que ocurra que 𝑓′′(𝑐) = 0 o bien en el caso de que ∄𝑓′′(𝑐), el criterio no aporta

información. En este caso se deberá emplear el criterio anterior (el de la primera derivada).



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Ejemplo 1: Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 4 se pide hallar sus máximos y mínimos relativos.

Calculemos primero 𝑓′(𝑥) / 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥

Busquemos ahora los Puntos Críticos.

Tipo 1:

Debemos entonces, resolver la ecuación:

𝑓′(𝑥) = 0

3𝑥2 − 6𝑥 = 0

3𝑥(𝑥 − 2) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2

Tipo 2:

No hay, ya que no ocurre para ningún valor de 𝑥 tal que ∄𝑓′(𝑥)

Por lo tanto, el conjunto de los puntos críticos es {0; 2}

Analizamos ahora cada punto crítico:

Utilizamos el Criterio de la Segunda Derivada. Encontremos primero esta derivada:

𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 6

Evaluamos ahora 𝑓′′(𝑥) en cada uno de los puntos críticos hallados.

𝑓′′(0) = 6.0 − 6 = −6 < 0

Entonces en 𝑥 = 0 existe un máximo relativo

𝑓′′(2) = 6.2 − 6 = 6 > 0

Entonces en 𝑥 = 2 existe un mínimo relativo

Hallamos las imágenes de cada valor de 𝑥.

𝑓(0) = 03 − 302 + 4 = 4

𝑓(2) = 23 − 3. 22 + 4 = 0

Respuesta:

El máximo relativo de 𝑓(𝑥) es 𝑀 = (0; 4) y el mínimo relativo es 𝑚 = (2; 0)



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Ejemplo 2. Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥2 se pide hallar sus máximos y mínimos relativos.

Calculemos primero 𝑓′(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 1 ∙ 𝑒−𝑥2+ 𝑥𝑒−𝑥2

∙ (−2𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑒−𝑥2∙ (1 + 𝑥 ∙ (−2𝑥))

𝑓′(𝑥) = 𝑒−𝑥2∙ (1 − 2𝑥2)

Busquemos ahora los Puntos Críticos.

Tipo 1:

Debemos entonces, resolver la ecuación:

𝑓′(𝑥) = 0

𝑒−𝑥2∙ (1 − 2. 𝑥2) = 0

Como 𝑒−𝑥2≠ 0, debe ser:

1 − 2 ⋅ 𝑥2 = 0

𝑥2 =1

2

Luego:

𝑥1 = √1

2=

1

√2=

1

√2∙

√2

√2=

√2

2

𝑥2 = −√1

2= −

1

√2= −

1

√2∙

√2

√2= −

√2

2

Tipo 2:

No hay, ya que no ocurre para ningún valor de 𝑥 tal que ∄𝑓′(𝑥)

Por lo tanto, el conjunto de los puntos críticos es {√2

2; −

√2

2}

Analizamos ahora cada punto crítico:

Utilizamos el Criterio de la Segunda Derivada. Encontremos primero esta derivada:

𝑓′′(𝑥) = (𝑒−𝑥2∙ (1 − 2𝑥2))

′

𝑓′′(𝑥) = (𝑒−𝑥2)

′∙ (1 − 2𝑥2) + (1 − 2𝑥2)′ ∙ 𝑒−𝑥2



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𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2∙ (−2𝑥) ∙ (1 − 2𝑥2) + (−4𝑥) ∙ 𝑒−𝑥2

𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2∙ [(−2𝑥) ∙ (1 − 2𝑥2) + (−4𝑥)]

𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2∙ (−2𝑥 + 4𝑥3 − 4𝑥)

𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2∙ (4𝑥3 − 6𝑥)

𝑓′′(𝑥) = 2𝑥𝑒−𝑥2∙ (2𝑥2 − 3)

Evaluamos ahora 𝑓′′(𝑥) en cada uno de los puntos críticos hallados.

𝑓′′ (√2

2) = 2 ∙

√2

2∙ 𝑒

−(√2

2)

2

∙ [2 (√2

2)

2

− 3] = √2 ∙ 𝑒−1

2 ∙ (1 − 3) = −2 ∙ √2 ∙ 𝑒−1

2 < 0

Entonces en 𝑥 =√2

2 existe un máximo relativo

𝑓′′ (−√2

2) = 2 ∙ (−

√2

2) ∙ 𝑒

−(−√2

2)

2

∙ [2 (−√2

2)

2

− 3] = −√2 ∙ 𝑒−1

2 ∙ (1 − 3) = 2 ∙ √2 ∙ 𝑒−1

2 > 0

Entonces en 𝑥 = −√2

2 existe un mínimo relativo

Hallamos las imágenes de cada valor de 𝑥.

𝑓 (√2

2) =

√2

2∙ 𝑒

−(√2

2)

2

=√2

2∙ 𝑒−

1

2 ≈ 0,429

𝑓 (−√2

2) = −

√2

2∙ 𝑒

−(−√2

2)

2

= −√2

2∙ 𝑒−

1

2 ≈ −0,429

Respuesta:

El máximo relativo de 𝑓(𝑥) es 𝑀 = (√2

2; 0,429) y el mínimo relativo es 𝑚 = (−

√2

2; −0,429)

Observación: Los criterios de la Primera y de la Segunda derivada nos dicen que condiciones

son SUFICIENTES para la existencia de extremos relativos.



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Máximo absoluto

Sea 𝐴 un subconjunto del dominio de 𝑓(𝑥) y 𝑐 ∈ 𝐴.

Decimos que 𝑓(𝑐) es máximo absoluto de 𝑓(𝑥) en 𝐴 si y sólo si ∀𝑥 ∈ 𝐴: 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)

En el Gráfico 1 observamos una función cuyo conjunto dominio son todos los números reales.

Se muestra allí que 𝑓(𝑐) es el máximo absoluto de esa función en todo su dominio.

En el Gráfico 2 observamos una función cuyo conjunto dominio es el intervalo cerrado [𝑎; 𝑏].

Se muestra allí que 𝑓(𝑏) es el máximo absoluto de esa función.

Mínimo absoluto

Sea 𝐴 un subconjunto del dominio de 𝑓(𝑥) y 𝑐 ∈ 𝐴.

Decimos que 𝑓(𝑐) es mínimo absoluto de 𝑓(𝑥) en 𝐴 si y sólo si ∀𝑥 ∈ 𝐴: 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥)

En el Gráfico 3 observamos una función cuyo conjunto dominio son todos los números reales.

Se muestra allí que 𝑓(𝑐) es el mínimo absoluto de esa función.



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En el Gráfico 4 observamos una función cuyo conjunto dominio es el intervalo cerrado [𝑎; 𝑏].

Se muestra allí que 𝑓(𝑎) es el mínimo absoluto de esa función.

Extremos absolutos en un intervalo cerrado

Tenemos que recordar que si una función 𝑓(𝑥) es continua en un intervalo cerrado [𝑎; 𝑏], por

el teorema de Weierstrass, tiene un máximo y mínimo absolutos en [𝑎; 𝑏]. Razón por la cual, si

queremos determinar los máximos y/o mínimos absolutos de una función en un intervalo

cerrado [𝑎; 𝑏], debemos determinar los máximos y/o mínimos relativos y compararlos con los

valores que toma la función en los extremos del intervalo. Es decir:

Si buscamos el mínimo absoluto de una función [𝑎; 𝑏], debemos elegir el menor valor entre

el mínimo relativo (si existe), 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏).

Si buscamos el máximo absoluto de una función [𝑎; 𝑏], debemos elegir el mayor valor entre

el máximo relativo (si existe), 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏).

Observación: Si 𝑫𝒇 = [𝒂; 𝒃], los extremos del intervalo 𝒙 = 𝒂 y 𝒙 = 𝒃, son puntos críticos

donde puede existir un extremo y habrá que revisarlos.

Ejemplo. Hallar los valores máximos y mínimos absolutos que alcanza la función si:

𝑓: [0; 3] → ℝ / 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 5

Como 𝑓(𝑥) es una función polinómica, continua en el intervalo [0; 3], sabemos que tendrá un

máximo y un mínimo absolutos en él. También sabemos que 𝑓(𝑥) es derivable en el intervalo

(0; 3). Luego los puntos críticos “sospechosos” de ser extremos absolutos surgirán de:

Los puntos donde la derivada primera sea igual a cero

Los extremos del intervalo [0; 3]

Tenemos que 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥2 − 3

Debemos entonces resolver la ecuación

3𝑥2 − 3 = 0

De donde 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −1 ∉ [0; 3]

Luego el conjunto de los puntos críticos es: {0; 1; 3}



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Para saber dónde se alcanzan el mayor y menos valor de la función, basta con reemplazar en

ella y comparar:

𝑓(0) = 03 − 3 ∙ 0 + 5 = 5 ⇒ 𝑓(0) = 5

𝑓(1) = 13 − 3 ∙ 1 + 5 = 3 ⇒ 𝑓(1) = 3

𝑓(3) = 33 − 3 ∙ 3 + 5 = 23 ⇒ 𝑓(3) = 23

El máximo absoluto de la función en [0; 3] se alcanza en 𝑥 = 3

El mínimo absoluto de la función en [0; 3] se alcanza en 𝑥 = 1

Respuesta:

El máximo absoluto de la función en [0; 3] es: (3; 𝑓(3)) = (3; 23)

El mínimo absoluto de la función es en: (1; 𝑓(1)) = (1; 3)

Concavidad de una función en un intervalo

Sea una función 𝑓(𝑥) derivable en el intervalo (𝑎; 𝑏).

Se dice que dicha función es cóncava hacia arriba, cuando las rectas tangentes a la función en

cada punto de tangencia se encuentran por debajo de la curva de 𝑓(𝑥).

Se dice que dicha función es cóncava hacia abajo, cuando las rectas tangentes a la función en

cada punto de tangencia se encuentran por arriba de la curva de 𝑓(𝑥).

Criterio de la Derivada Segunda para determinar la concavidad de una función

I) Si ∀𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃): 𝒇′′(𝒙) > 0 entonces 𝒇(𝒙) es cóncava hacia arriba en (𝒂; 𝒃)

II) Si ∀𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃): 𝒇′′(𝒙) < 0 entonces 𝒇(𝒙) es cóncava hacia abajo en (𝒂; 𝒃)

Punto de Inflexión

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥).

Se dice que 𝑥 = 𝑐 es un punto de inflexión de la función cuando en 𝑥 = 𝑐 cambia la concavidad

de la curva.



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En los gráficos podemos observar como en un punto de inflexión la curva de la función atraviesa

a su tangente.

Para hallar los puntos de inflexión de una función se hallará, en primera medida, los puntos

“sospechosos” de ser puntos de inflexión (condiciones NECESARIAS), y luego se aplicará

algún criterio para la confirmación o no del punto de inflexión (condiciones SUFICIENTES).

Puntos Críticos de 2ª especie

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥).

Los puntos donde puede haber punto de inflexión se llaman Puntos Críticos de Segunda

Especie. Pueden ser:

Tipo 1: 𝒄 ∈ 𝑫𝒇 𝐲 𝒇′′(𝒄) = 𝟎

Tipo 2: 𝒄 ∈ 𝑫𝒇 𝐲 ∄𝒇′′(𝒄)

Criterio de la Segunda Derivada (para la determinación de puntos de inflexión)

Sea una función continua en el intervalo abierto (𝑎; 𝑏) que contiene a un único punto crítico de

2ª especie 𝑥 = 𝑐.

Si la derivada segunda a la izquierda de 𝒙 = 𝒄 es positiva (cóncava hacia arriba) y la

derivada segunda a la derecha de 𝒙 = 𝒄 es negativa (cóncava hacia abajo), o la derivada

segunda a la izquierda de 𝒙 = 𝒄 es negativa (cóncava hacia abajo) y la derivada segunda

a la derecha de 𝒙 = 𝒄 es positiva (cóncava hacia arriba), entonces en (𝒄; 𝒇(𝒄)) existe un

punto de inflexión de 𝒇(𝒙).



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Es decir, si al atravesar el punto 𝑥 = 𝑐 la derivada segunda cambia de signo, entonces en

(𝑐; 𝑓(𝑐)) hay un punto de inflexión.

Criterio de la Tercera Derivada (para la determinación de puntos de inflexión)

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto crítico de segunda especie de la función 𝑓(𝑥) tal que 𝑓′′(𝑐) = 0

Si 𝒇′′′(𝒄) ≠ 𝟎 entonces en (𝒄; 𝒇(𝒄)) existe un punto de inflexión de 𝒇(𝒙).

En el caso de que ocurra 𝑓′′′(𝑐) = 0 o bien en el caso de que ∄𝑓′′′(𝑐), el criterio no aporta

información. En este caso se deberá emplear el criterio anterior (el de la segunda derivada para

puntos de inflexión)

Ejemplo. Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2, hallar sus puntos de inflexión

1°) Hallamos la segunda derivada

𝑓 ′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥

𝑓 ′′(𝑥) = 6𝑥 − 2

2°) Buscamos los puntos críticos Tipo 1 y Tipo 2:

Tipo 1: Debemos resolver la ecuación:

𝑓′′(𝑥) = 0

6𝑥 − 2 = 0

Obtenemos 𝑥 =1

3

Tipo 2: no hay ya que 𝑓′′(𝑥) es un polinomio.

Luego el conjunto de los puntos críticos de segunda especie es: {1

3}

3°) Aplicamos el Criterio de la Derivada Segunda (para puntos de inflexión)

Recordemos que debemos analizar el signo de la segunda derivada a la izquierda y a la derecha

de 𝑥 =1

3



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Luego, al existir cambio de concavidad a izquierda y a derecha de 𝑥 =1

3, se confirma que en

𝑥 =1

3 hay un punto de inflexión.

La función tiene un punto de inflexión en (1

3; 𝑓(

1

3)) = (

1

3; −

2

27)

Bien, ¡al fin llegamos! El objetivo de todo este análisis es, entre otros, poder realizar un gráfico

aproximado de una función cualquiera. Este gráfico se realizará realizando un estudio completo

de la función, encontrando:

Dominio de la función

Cortes con los ejes

Asíntotas

Extremos

Intervalos de Crecimiento

Puntos de inflexión

Intervalos de Concavidad

Ejemplo. Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 − 8, realizar el estudio completo y graficar

Dominio. 𝐷𝑜𝑚 = ℝ

Corte con los ejes.

Corte con el eje y: Como 𝑓(0) = −8, la curva corta al eje y en (0; −8)

Cortes con el eje x: Debemos resolver la ecuación

𝑓(𝑥) = 0

𝑥4 − 2𝑥2 − 8 = 0



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Esta es una ecuación especial, tan especial que tiene nombre particular: se llama bicuadrada.

Les muestro el paso a paso:

Como 𝑥4 = (𝑥2)2. Podemos escribir:

(𝑥2)2 − 2𝑥2 − 8 = 0

Realizamos un cambio de variable: llamamos 𝒕 = 𝒙𝟐. Nos queda así que:

𝑡2 − 2𝑡 − 8 = 0

Resolviendo la ecuación obtenemos que:

𝑡 = 4 o 𝑡 = −2

¡Pero debemos obtener 𝑥 ! Entonces tomamos los valores obtenidos de 𝒕 y volvemos a la

variable original:

𝒙𝟐 = 𝒕

(i) Si 𝑡 = 4, tenemos 𝑥2 = 4

|𝑥| = √4

|𝑥| = 2

Es decir 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2

(ii) Si 𝑡 = −2, tenemos 𝑥2 = −2

Esta ecuación no tiene solución ya que 𝑥2 ≥ 0

Luego, la curva corta al eje x en (−2; 0) y en (2; 0)

Asíntotas. Las funciones polinómicas carecen de asíntotas.

Extremos – Intervalos de Crecimiento.

Buscamos los puntos críticos.

Tipo 1. Debemos resolver la ecuación:

𝑓′(𝑥) = 0

4𝑥3 − 4𝑥 = 0

4𝑥(𝑥2 − 1) = 0



25

4𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −1

Tipo 2. No hay de este tipo ya que la función es derivable en ℝ.

Luego, el conjunto de los puntos críticos es: {0; 1; −1}

Los analizamos con el Criterio de cambio de signo de la Primera Derivada:

Concluimos que:

Existe máximo relativo en: 𝑀 = (0; 𝑓(0)) = (0; −8)

Existen mínimos relativos en: 𝑚1 = (−1; 𝑓(−1)) = (−1; −9)

𝑚2 = (1; 𝑓(1)) = (1; −9)

La función crece en: (−1; 0) ∪ (1; +∞)

La función decrece en: (−∞; −1) ∪ (0; 1)

Puntos de inflexión – Intervalos de Concavidad.

Buscamos los puntos críticos.

Tipo 1. Debemos resolver la ecuación:

𝑓′′(𝑥) = 0

12𝑥2 − 4 = 0

𝑥2 =4

12=

1

3

|𝑥| = √1

3=

1

√3=

√3

3

Es decir 𝑥 = −√3

3 ≈ −0,577 ∨ 𝑥 =

√3

3≈ 0,577

Tipo 2: No hay, ya que la derivada segunda es un polinomio.



26

Luego, el conjunto de los puntos críticos es {−√3

3 ;

√3

3 }

Los analizamos con el Criterio de cambio de signo de la Segunda Derivada:

Concluimos que:

Existen dos puntos de inflexión: 𝐼1 = (−√3

3; 𝑓 (−

√3

3)) = (−

√3

3; −

77

9)

𝐼2 = (√3

3; 𝑓 (

√3

3)) = (

√3

3; −

77

9)

La función es cóncava hacia arriba en: (−∞; −√3

3) ∪ (

√3

3; +∞)

La función es cóncava hacia abajo en: (−√3

3;√3

3)

Con todos estos datos realizamos el gráfico.

Los puntos rojos son los extremos, los azules son los puntos de inflexión y los negros son los

cortes con los ejes.

Observar que (0; −8) es el punto donde la curva corta al eje "𝑌", y además es un máximo

relativo (es decir, debería ser un punto negro y rojo).



27

4. Bibliografía:

[1] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México – Thomson

Editions

[2]RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de Cálculo,

Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed.

[3] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2,

Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición

5. Actividades pedagógicas

Pueden trabajar con los siguientes ejercicios del TP

TRABAJO PRÁCTICO: ESTUDIO DE FUNCIONES

Los ejercicios obligatorios son: 1) a. 2) b,d. 3) a,c,d. 4) a,b. 5) a,e,f,h,p,r.

1) Estudia el crecimiento o decrecimiento de las funciones en los puntos que se indican:

a) 2f x 5x 3x 1 en 𝑥 = 1

b) f x 1 x 3 en 𝑥 = 0

c) f x x en 𝑥 = −2

d) 1

f x x

en 𝑥 = 3

2) Encontrar los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones:

a)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 − 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥

c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 2 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝐿𝑛(𝑥)

3) Hallar los máximos y mínimos relativos de:

a) 3f x x 3x 2

b) 5 2f x x 20x 3

c)

3

2

xf x

x 1

d) 3 2f x x 6x 9x 2

4) Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión:



28

a) f(x) = x3 + 4 x2 – 6 x + 3

b) 3x

2)x(f

c) 2

4

x

1x)x(f

d) 3 2f(x) x 6x 1

e) 8 x2xf(x) 24

f) 2xe)x(f

g) xe 1)(xf(x)

5) Dadas las siguientes funciones realizar el estudio completo y graficarlas:

a) f (x) = x 4 – 2 x2

b) f (x) = 3 2x

c) f(x) = x (x - 3) 2

d) f(x) = 2 x 3 – 3 x 2

e) f(x) = x 3 – 3 x 2 – 2

f) 1 x2

1xf(x)

g) x

x1)x(f

h) x

2xx)x(f

2

i) 1x

x)x(f

2

3

j) 2

3

)1x(

x)x(f

k) x

2x)x(f

l) )1x(

x)x(f

2

m) 4x

4x)x(f

2

2

n) 1x

x)x(f

2

o) 2xe)x(f

p) f(x) = (1 - x) e x

q) 12

12)x(f

x

x

r) f(x) = x e x

s) f(x) = x 2 e-x

t) f(x)= )4x(

62

u) x

xln)x(f

v) x42)x(f

w) x1

x1ln)x(f



29

RESPUESTAS 1) reciente. b- Creciente.

c-Decreciente.

d- Decreciente.

2) a) Crece: (2; +∞) Decrece: (−∞; 2)

b)Crece: (−∞; −1

3) ∪ (1; +∞) Decrece: (−

1

3; 1)

c) Crece. (−∞; 0) ∪ (3; +∞) Decrece:(0; 3)

d) Crece: (𝑒−1; +∞) Decrece: (0; 𝑒−1)

3) a-Máximo (−1, 4 ) Mínimo (1, 0)

b- Máximo (0, 3) Mínimo (2, -45)

c- Mínimo (3,27

4)d- Máximo (1, 6) Mínimo (3, 2)

4) a-Cóncava hacia arriba: (−4

3; +∞) Cóncava hacia abajo: (−∞; −

4

3)

b- Cóncava hacia arriba: (3; +∞) Cóncava hacia abajo: (−∞; 3)

c- Cóncava hacia arriba: );0()0;(

d- Cóncava hacia abajo: (−∞; 2) Cóncava hacia arriba: (2; +∞)

Punto de inf lexión: (2, −15)

e- Cóncava hacia arriba: (−∞;√3

3) ∪ (

√3

3; +∞)

Cóncava hacia abajo: (−√3

3;

√3

3)

Puntos de inf lexión: (−√3

3; −8,55) 𝑦 (

√3

3; −8,55)

f - Cóncava hacia arriba: (−∞; −√2

2) ∪ (

√2

2; +∞)



30

Cóncava hacia abajo: (−√2

2;

√2

2)

Puntos de inf lexión: (−√2

2; 𝑒−

1

2) 𝑦 (√2

2; 𝑒−

1

2)

g- Cóncava hacia arriba: (3; +∞)Cóncava hacia abajo: (−∞; 3)

Punto de inf lexión:(3;2

𝑒3)

5)

a) 𝑀 = (0; 0) 𝑚 = (1; −1) 𝑚 = (−1; −1)P. )9

5;

3

3(I1 P. )

9

5;

3

3(-I2

b) 𝑚 = (0,0)

c) (1;4)M 𝑚 = (3; 0)𝑃𝐼(2; 2)

d) 𝑀𝑎𝑥 = (0; 0) 𝑚𝑖𝑛 = (1; −1)𝑃𝐼 = (1

2; −

1

2)

e) 𝑀(0; − 2) 𝑚(2; − 6) 𝑃𝐼(1; − 4) f) No tiene Máximos ni mínimos ni ptos . de inf lexión.

Asíntotas:𝑦 =1

2 , 𝑥 = −

1

2

g) No tiene Máximos ni mínimos ni ptos . de inf lexión.

Asíntotas:𝑦 = 1 , 𝑥 = 0 ,

h) 𝑀𝑎𝑥 = (−√2; −2√2 − 1)𝑀𝑖𝑛 = (√2; 2√2 − 1)

Asíntotas:𝑦 = 𝑥 − 1 , 𝑥 = 0

i) 𝑀𝑎𝑥 = (−√3; −3√3

2) 𝑚𝑖𝑛 = (√3;

3√3

2) 𝑃𝐼 = (0; 0)

Asíntotas : 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = − 1

j) 𝑚𝑖𝑛 = (3;27

4) 𝑃𝐼 = (0; 0)Asíntotas:𝑦 = 𝑥 + 2 , 𝑥 = 1

k) No tiene Máximos ni mínimos ni ptos . de inf lexión

Asíntotas:𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 0

l) No tiene Máximos ni mínimos, 𝑃𝐼 = (0; 0)



31

Asíntotas: 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑥 = − 1

m) 𝑚𝑖𝑛 = (0; −1)𝑃𝐼1 = (2

√3; −

1

2) 𝑃𝐼2 = (−

2

√3; −

1

2)Asíntotas:𝑦 = 1

n) 𝑀𝑎𝑥 = (1;1

2) 𝑀𝑖𝑛 = (−1; −

1

2) 𝑃𝐼1 = (0; 0)𝑃𝐼2 = (√3;

√3

4) 𝑃𝐼3 = (−√3; −

√3

4)

Asíntotas: 𝑦 = 0

o) 𝑀𝑎𝑥 = (0; 1)𝑃𝐼1 = (√2

2; 𝑒−

1

2) 𝑃𝐼2 = (−√2

2; 𝑒−

1

2)Asíntotas: 𝑦 = 0

p) 𝑀𝑎𝑥 = (0; 1)𝑃𝐼 = (−1;2

𝑒)Asíntotas: 𝑦 = 0 cuando x tiende a

q) No tiene Máximo ni mínimo,𝑃𝐼 = (0; 0)

Asíntotas: 𝑦 = 1 cuando x tiende a ; 𝑦 = −1 cuando x tiende a

r) 𝑚𝑖𝑛 = (−1; −1

𝑒) 𝑃𝐼 = (−2; −

2

𝑒2 )Asíntotas: 𝑦 = 0 cuando x tiende a

s) 𝑀𝑎𝑥 = (2;4

𝑒2) 𝑚𝑖𝑛 = (0; 0)𝑃𝐼1 = (2 − √2;1

5) 𝑃𝐼2 = (2 + √2;

2

5)

Asíntotas: 𝑦 = 0 cuando x tiende a

t) 𝑀𝑎𝑥 = (0; −3

2)Asíntotas: 𝑦 = 0 , 𝑥 = − 2 , 𝑥 = 2

u) 𝑀𝑎𝑥 = (𝑒;1

𝑒) 𝑃𝐼 = (𝑒

3

2;3

2

𝑒32

)Asíntotas: 𝑦 = 0cuando x tiende a ; x = 0

v)𝑚𝑖𝑛 = (4; √2)

w) 𝑃𝐼 = (0; 0) Asíntotas: 𝑥 = − 1 , 𝑥 = 1

6. Material complementario de la clase:

Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la guía y

enriquecerte mucho más: y links de videos relacionados con el tema.

Ejercicio Resuelto

Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la guía y enriquecerte

mucho más:

1) Dada la función 𝑓(𝑥) =1

4𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 + 12𝑥 + 5 , calcula sus extremos.



32

Sabemos que en los valores de 𝑥 en donde la derivada primera resulte igual a cero podrán

existir máximos y/o mínimos relativos de una función.

Recordemos que esta es parte de la CONDICIÓN NECESARIA para la existencia de

máximos y/o mínimos relativos y recordemos también que a dichos valores de 𝑥 se los

conoce con el nombre de Puntos críticos de primera especie Tipo 1..

Bien, ahora calculemos primero 𝑓′(𝑥):

𝑓′(𝑥) = (1

4𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 + 12𝑥 + 5)

′

= 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12

Igualemos a cero dicha derivada:

𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 = 0

Resolvemos esta ecuación. Para hacerlo basta con dividir por Ruffini por alguna raíz que

obtengamos por otro medio, como ser el Teorema de Gauss.

Aplicamos el teorema al ejercicio siendo las posibles raíces racionales los valores:

±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12

Reemplazando estos valores encontramos que 𝑥 = 2 es una de las raíces, por lo cual la

utilizamos para encontrar las restantes raíces utilizando la Regla de Ruffini:

𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 = 0

1 -3 -4 12

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

Resolvemos esta ecuación y obtenemos las soluciones 𝑥 = 3 y 𝑥 = −2

Hemos encontrado entonces que los puntos críticos (los valores para los cuales la primera

derivada se anula) son 𝑥 = 2 ; 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 3.

Ahora veamos si en algunos de ellos existe un máximo o un mínimo.

Utilizaremos el criterio de la Segunda Derivada.

Encontremos primero esta derivada:

𝑓′′(𝑥) = (𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12)′ = 3𝑥2 − 6𝑥 − 4



33

Evaluemos 𝑓′′(𝑥) en cada uno de los puntos críticos hallados:

𝑓′′(2)=3. 22 − 6.2 − 4 = −4 < 0 ⟹ en 𝑥 = 2 existe un máximo

𝑓′′(−2) = 3(−2)2 − 6(−2) − 4 = +20 > 0 ⟹ en 𝑥 = −2 existe un mínimo

𝑓′′(3) = 3. 32 − 6.3 − 4 = +5 > 0 ⟹ en 𝑥 = 3 existe un mínimo

Hallemos las imágenes de cada valor de 𝑥 para responder correctamente el ejercicio.

𝑓(2) =1

4. 24 − 23 − 2. 22 + 12.2 + 5 = 17

𝑓(−2) =1

4. (−2)4 − (−2)3 − 2. (−2)2 + 12. (−2) + 5 = −15

𝑓(3) =1

4. 34 − 33 − 2. 32 + 12.3 + 5 =

65

4

Respuesta:

La función 𝑓(𝑥) =1

4𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 + 12𝑥 + 5 posee un máximo en 𝑀 = (2; 17), posee

un mínimo en 𝑚1 = (−2; −15) y otro mínimo en 𝑚1 = (3;65

4).

2) Dada la función 𝑓(𝑥) =𝑥2+1

𝑥 , calcula los máximos y los mínimos de la misma.

Sabemos que en los valores de 𝑥 en donde la derivada primera resulte igual a cero o la

derivada no exista pueden existir máximos y/o mínimos relativos de una función.

Lo que hay que tener en cuenta aquí es que esta función NO ESTÁ DEFINIDA PARA

TODOS LOS REALES, por lo tanto, cuando dibujemos la recta numérica para estudiar su

crecimiento habrá que sacar de ella los valores que NO SON del DOMINO.

¡Hallemos entonces primero su dominio!

Sabemos que todo denominador debe ser siempre distinto de 0. ′

Entonces el dominio será 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ − {0}

Ahora continuemos…

1°) Buscamos Puntos críticos:



34

Tipo 1: Hallamos 𝑓′(𝑥)

𝑓′(𝑥) = (𝑥2 + 1

𝑥)

′

=2𝑥. 𝑥 − (𝑥2 + 1). 1

𝑥2=

𝑥2 − 1

𝑥2

Analicemos primero la condición 𝑓′(𝑥) = 0

𝑥2 − 1

𝑥2= 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥1 = 1 ∨ 𝑥2 = −1

Tipo 2: Analicemos ahora cuando ∄𝑓′(𝑥)

Para esto miremos la derivada y preguntémonos si esta derivada NO EXISTE para algún

valor del dominio de la función.

La respuesta es NO, ya que si bien en 𝑥 = 0 la derivada no existe, este valor no pertenece

al dominio de 𝑓(𝑥).

Nuestros puntos críticos son entonces 𝑃𝐶´ = {1; −1}

2°) Analicemos cada uno de los puntos críticos:

Veamos ahora cómo cambia el signo de la derivada a izquierda y a derecha de cada

número, ya que el mismo nos indicará cómo crece o decrece la función en los intervalos

determinados por los puntos críticos (criterio de la Primera Derivada).

Analicemos el signo de 𝑓′(𝑥) en cada intervalo.

Para esto tomaremos un valor cualquiera de dicho intervalo y lo reemplazaremos en la

derivada.

Para que esto resulte ágil veamos que muchas veces NO ES NECESARIO OBTENER EL

VALOR DE LA DERIVADA sino SOLAMENTE el SIGNO de la derivada en dicho

punto.



35

Por ejemplo:

𝑓′(−2) =(−2)2−1

(−2)2> 0 es evidente que el numerador es positivo y que el denominador

también lo es, por lo tanto, aplicando la regla de los signos de una división vemos que el

cociente es positivo, es decir, MAYOR QUE 0.

𝑓′(−0,5) =(−0,5)2 − 1

(−0,5)2< 0

𝑓′(0,5) =(0,5)2 − 1

(0,5)2< 0

𝑓′(0,5) =(0,5)2 − 1

(0,5)2< 0

𝑓′(2) =(2)2 − 1

(2)2> 0

Luego, en 𝑥1 = 1 existe un mínimo y en 𝑥2 = −1 existe un máximo.

Hallemos las imágenes de cada valor de 𝑥 para responder correctamente el ejercicio.

𝑓(−1) =(−1)2+1

−1= −2 y 𝑓(1) =

12+1

1= 2

Respuesta:

La función 𝑓(𝑥) =𝑥2+1

𝑥 posee un máximo en 𝑀 = (−1; −2) y posee un mínimo en

𝑚 = (1; 2) .

También pueden consultar los siguientes links:

Puntos críticos. Crecimiento / Decrecimiento. Máximos y Mínimos.



36

https://www.youtube.com/watch?v=ml8x6DBMjZ8&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bl

dIMzOEi3ws&index=47&t=0s

https://www.youtube.com/watch?v=EpIzvUA9yQY&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bl

dIMzOEi3ws&index=62

https://www.youtube.com/watch?v=XNOBzLAiGrw

https://www.youtube.com/watch?v=Li5LBqjHKUI

https://www.youtube.com/watch?v=YHE81T4b7KU

https://www.youtube.com/watch?v=sE5jdoJd97g

https://www.youtube.com/watch?v=TyImHCEj7Bg&list=PL71h9nkUDIJePPFRIQmCI

DXo_uMScaNvw&index=15&t=0s

Concavidad y punto de inflexión.

https://www.youtube.com/watch?v=-g-Hf1JxH5s

https://www.youtube.com/watch?v=twmEBaHhESk

https://www.youtube.com/watch?v=kMfePhuclxw

https://www.youtube.com/watch?v=VWEukE0M0bI&list=PLRenu6lMxFiKCwMloa7ca

veqDIM3OATei&index=16&t=0s

Estudio completo de funciones.

https://www.youtube.com/watch?v=Q73XxigqTP8

https://www.youtube.com/watch?v=GIWiUWvwl-E

https://www.youtube.com/watch?v=0TecY5-sWpY

https://www.youtube.com/watch?v=K5vmrxaLfCo

https://www.youtube.com/watch?v=AJ7YEjBE9YA&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8b

ldIMzOEi3ws&index=63

https://www.youtube.com/watch?v=ml8x6DBMjZ8&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=47&t=0s

https://www.youtube.com/watch?v=ml8x6DBMjZ8&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=47&t=0s

https://www.youtube.com/watch?v=EpIzvUA9yQY&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=62

https://www.youtube.com/watch?v=EpIzvUA9yQY&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=62

https://www.youtube.com/watch?v=XNOBzLAiGrw

https://www.youtube.com/watch?v=Li5LBqjHKUI

https://www.youtube.com/watch?v=YHE81T4b7KU

https://www.youtube.com/watch?v=sE5jdoJd97g

https://www.youtube.com/watch?v=TyImHCEj7Bg&list=PL71h9nkUDIJePPFRIQmCIDXo_uMScaNvw&index=15&t=0s

https://www.youtube.com/watch?v=TyImHCEj7Bg&list=PL71h9nkUDIJePPFRIQmCIDXo_uMScaNvw&index=15&t=0s

https://www.youtube.com/watch?v=-g-Hf1JxH5s

https://www.youtube.com/watch?v=twmEBaHhESk

https://www.youtube.com/watch?v=kMfePhuclxw

https://www.youtube.com/watch?v=VWEukE0M0bI&list=PLRenu6lMxFiKCwMloa7caveqDIM3OATei&index=16&t=0s

https://www.youtube.com/watch?v=VWEukE0M0bI&list=PLRenu6lMxFiKCwMloa7caveqDIM3OATei&index=16&t=0s

https://www.youtube.com/watch?v=Q73XxigqTP8

https://www.youtube.com/watch?v=GIWiUWvwl-E

https://www.youtube.com/watch?v=0TecY5-sWpY

https://www.youtube.com/watch?v=K5vmrxaLfCo

https://www.youtube.com/watch?v=AJ7YEjBE9YA&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=63

https://www.youtube.com/watch?v=AJ7YEjBE9YA&list=PLTef2OIG6VtLhP9l6TFh8bldIMzOEi3ws&index=63

1. estudio de recursos analíticos imprescindibles para el

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