10.1.1.35.1879

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  • 8/18/2019 10.1.1.35.1879

    1/12

    S t a b i l i t y A n a l y s i s O n t h e N i c h o l s C h a r t a n d I t s    

    A p p l i c a t i o n i n Q F T        

    W e n h u a C h e n a n d D o n a l d J . B a l l a n c e  

    C e n t r e f o r S y s t e m s & C o n t r o l  

    D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g  

    U n i v e r s i t y o f G l a s g o w  

    G l a s g o w G 1 2 8 Q Q  

    U K 

    A u g u s t , 1 9 9 7  

    A b s t r a c t  

    A n e w s t a b i l i t y c r i t e r i o n o n N i c h o l s c h a r t i s p r e s e n t e d . I t p r o v i d e s  

    a n a l t e r n a t i v e g r a p h i c a l m e t h o d f o r s t a b i l i t y a n a l y s i s o n N i c h o l s c h a r t .

    F u r t h e r m o r e t h i s r e s u l t c a n b e u s e d t o t e s t t h e s t a b i l i t y o f t h e n e w n o m -  

    i n a l c l o s e d - l o o p s y s t e m a r i s i n g i n Q F T c o n t r o l l e r d e s i g n m e t h o d f o r n o n -  

    m i n i m u m p h a s e a n d u n s t a b l e p l a n t s , w h i c h i s d i c u l t t o t e s t w i t h t h e  

    e x i s t i n g s t a b i l i t y c r i t e r i o n .

    k e y w o r d s : S t a b i l i t y a n a l y s i s , Q u a n t i t a t i v e F e e d b a c k T h e o r y , s t a b i l i t y c r i -  

    t e r i o n , N i c h o l s c h a r t  

    1 I n t r o d u c t i o n  

    I n Q F T a n d o t h e r f r e q u e n c y d o m a i n d e s i g n m e t h o d s , t h e r o b u s t s t a b i l i t y i s  

    g u a r a n t e e d b y e n s u r i n g t h a t t h e n o m i n a l c a s e i s s t a b l e a n d t h e f o l l o w i n g e q u a l i t y  

    h o l d s 1 +   L  (  j !  )  6= 0 f o r a n y a l l o w a b l e u n c e r t a i n t i e s , w h e r e   L  (  j !  ) i s o p e n - l o o p  

    t r a n s m i s s i o n s , o r o p e n - l o o p p l a n t s . T h i s i s s o - c a l l e d Z e r o E x c l u s i o n T h e o r e m .

    I n Q F T t h e l a t e r i s a c h i e v e d b y i m p o s i n g t h e r o b u s t s t a b i l i t y m a r g i n c o n d i t i o n ,

    f o r i n s t a n c e , t h e h i g h - f r e q u e n c y   U  c o u r t o r . I t i s t h e r e f o r e e s s e n t i a l t o g u a r a n t e e  

    t h e s t a b i l i t y o f t h e n o m i n a l c a s e i n t h e Q F T d e s i g n p r o c e d u r e a n d i f t h e n o m i n a l  

    c a s e i s s t a b l e a n d t h e r o b u s t m a r g i n c o n d i t i o n i s s a t i s e d , t h e r o b u s t s t a b i l i t y  

    f o l l o w s . S i n c e t h e l o o p s h a p i n g i s p e r f o r m e d o n t h e N i c h o l s c h a r t a n d a g r a p h i c  

    C A D e n v i r o n m e n t f o r Q F T c o n t r o l l e r d e s i g n w a s d e v e l o p e d a s a c o m m e r c i a l  

    Q F T T o o l b o x i n M A T L A B 2 ] , i t i s v e r y i n t e r e s t i n g t o o b t a i n t h e g r a p h i c a l  

    s t a b i l i t y c r i t e r i o n . I n a d d i t i o n , t o d e v e l o p a n e w s t a b i l i t y c r i t e r i o n h a s i t s e l f  

    m e a n i n g . T h e w e l l - k n o w n g r a p h i c a l s t a b i l i t y c r i t e r i o n i s t h e c e l e b r a t e d N y q u i s t  

    s t a b i l i t y c r i t e r i o n ( f o r e x a m p l e , s e e 9 ] ) . T h i s c r i t e r i o n w a s e x t e n d e d t o t h e  

    N i c h o l s c h a r t f o r Q F T d e s i g n r e c e n t l y 7 ] .

    W h e n d e s i g n i n g Q F T c o n t r o l l e r f o r n o n - m i n i m u m p h a s e a n d u n s t a b l e p l a n t s  

    w i t h H o r o w i t z a n d S i d i m e t h o d 6 , 4 ] , C h e n a n d B a l l a n c e 3 ] s h o w n o t o n l y t h e  

    r o b u s t b o u n d s b u t a l s o t h e s t a b i l i t y l i n e   R 

    m u s t b e s h i f t e d w i t h f r e q u e n c y .

  • 8/18/2019 10.1.1.35.1879

    2/12

     j

    0   X

    Y

    db

    0

    40

    -60

    -20

    -40

    20

    60

    R

    Rn

    c

    -180   0-360

    r

    φ

    +  -1

    -

    +

    F i g u r e 1 : D e n i t i o n s o f p o s i t i v e a n d n e g a t i v e c r o s s i n g  

    W h e n t h e s t a b i l i t y l i n e   R 

    m o v e s w i t h f r e q u e n c y i n Q F T d e s i g n , i t i s d i c u l t  

    t o u s e t h e e x i s t i n g s t a b i l i t y c r i t e r i o n d i r e c t l y . T h a t i s , i t i s d i c   L e m m a   7 ] : F o r  

    t h e N i c h o l s a n d N y q u i s t p l o t w i t h t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e c r o s s i n g d e n i t i o n s  

    i n F i g . 1 , t h e f o l l o w i n g s a r e e q u i v a l e n t :

    1 . T h e f e e d b a c k s y s t e m i s s t a b l e .

    2 . T h e o n e - s h e e t e d f u l l N i c h o l s p l o t o f   L  (  s  ) d o e s n o t i n t e r s e c t t h e p o i n t  

    (  ?  1 8 0 

     

    ; 0  d b  ) , a n d t h e n e t s u m o f i t s c r o s s i n g s o f t h e r a y   R 

    : =  f  (  ; r 

    0

    ) :

      =  ?  1 8 0 

     

    , r 

    0

    >  0  d b  g  i s e q u a l t o   n  .

    3 . T h e m u l t i p l e s h e e t e d f u l l N i c h o l s p l o t o f   L  (  s  ) d o e s n o t i n t e r s e c t a n y o f  

    t h e p o i n t s ( 2  k  + 1 )  q  , k  = 0  ;   1  ;   2  ; , a n d t h e n e t s u m o f i t s c r o s s i n g s o f  

    t h e r a y s   R 

    + 2  k q  i s e q u a l t o   n  .

    u l t t o t e s t w h e t h e r o r n o t t h e p l o t   L 

    (  s  ) i n t e r s e c t s t h e s t a b i l i t y l i n e g r a p h i c a l l y  

    i n t h e l o o p s h a p i n g p r o c e d u r e . I t i s i n t e r e s t i n g t o d e v e l o p a n e w g r a p h i c a l  

    s t a b i l i t y c r i t e r i o n .

    I n t h i s p a p e r t h e p l o t i n N i c h o l s c h a r t a n d t h e p l o t i n N y q u i s t c h a r t o f   L  (  j !  ) 

    f o r  !  2  (  ? 1  ; +  1  ) a r e c a l l e d t h e f u l l N i c h o l s p l o t a n d t h e f u l l N y q u i s t p l o t o f  

    L  (  j !  ) o r o f t h e t r a n s f e r f u n c t i o n   L  (  s  ) , r e s p e c t i v e l y . T h e h a l f p a r t s o f t h e f u l l  

    N i c h o l s p l o t a n d t h e f u l l N y q u i s t p l o t o f   L  (  s  ) a r e c a l l e d t h e h a l f N i c h o l s p l o t  

    a n d t h e h a l f N y q u i s t p l o t o f   L  (  s  ) r e s p e c t i v e l y , a n d , f o r s i m p l i c i t y , c a l l e d t h e  

    N i c h o l s p l o t a n d t h e N y q u i s t p l o t o f   L  (  s  ) o r  L  (  j !  ) i n t h i s p a p e r . M o r e o v e r t h e  

    s t e a d y g a i n o f a p l a n t   L  (  s  ) w i t h   n  i n t e g r a l s i s d e n e d a s  

    = l i m  

    s  !  0 

    L  (  s  )  s 

    2 S t a b i l i t y C r i t e r i o n  

    I n g e n e r a l t h e m a g n i t u d e o f t h e t r a n s f e r f u n c t i o n d e c r e a s e s w i t h f r e q u e n c y a n d  

    i t o n l y i n c r e a s e s i n a n a r r o w f r e q u e n c y r a n g e . I n T h i s p a p e r , i t i s a s s u m e d t h e  

    p l o t   L  (  s  ) o n l y i n t e r s e c t t h e 0  d b  l i n e f o r a t m o s t o n e t i m e .

    A s t a b l e p l a n t i s c o n s i d e r e d r s t , a n d t h e n a p l a n t w h i c h h a s o n e u n s t a b l e  

    p o l e . F i n a l l y , w e s h o w t h e s t a b i l i t y a n a l y s i s o f a n o p e n - l o o p p l a n t w i t h m u l t i p l e  

    u n s t a b l e p o l e s c a n b e c o n v e r t e d t o t h a t o f a p l a n t w i t h o n e u n s t a b l e p o l e o r a  

    s t a b l e p l a n t .

    2 . 1 S t a b l e p l a n t s  

    F i r s t c o n s i d e r t h e s t a b l e p l a n t w i t h p o s i t i v e s t e a d y g a i n   k 

    . T h e d i s c u s s i s  

    b a s e d o n F i g u r e 2 . T h e N i c h o l s p l o t o f   L  (  s  ) s t a r t s e i t h e r f r o m t h e p o i n t   A 

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    3/12

    40DB

    0DB0 180

    80DB

    -40DB

    C

    R R

    -180

    B

     A 

    HD

    E F 

    F i g u r e 2 : T h e N i c h o l s P l o t f o r S t a b l e P l a n t  

    a b o v e t h e 0  d b  l i n e o r t h e p o i n t   B  b e l o w t h e 0  d b  l i n e b o t h o n t h e 0 d e g r e e  

    v e r t i c a l l i n e w h e t h e r o r n o t t h e o p e n l o o p p l a n t h a s i n t e g r a l s . W h e n a p l a n t  

    h a s  n  i n t e g r a l s , w e m u s t a d d t h e l i n e f r o m 0  

     

    t o  n    9 0 

     

    i n N i c h o l s c h a r t a s i n  

    t h e N y q u i s t p l o t . W h e n t h e p l o t   L  (  j !  ) s t a r t s f r o m t h e p o i n t   A  , i t , d e n i t e l y ,

    m u s t g o o u t t h e r e g i o n w h i c h i s d e n e d b y t h e b o u n d a r i e s   D E E F   a n d  F H  .

    S o t h e t o t a l n u m b e r f o r t h e N i c h o l s p l o t o f   L  (  s  ) c r o s s e s t h e b o u n d s   D F  , E F 

    a n d  F H  i s o d d . I f t h e p l o t   L  (  s  ) c r o s s e s   E F  f o r o n e t i m e t h e n i t c r o s s e s   D E 

    a n d  F H  f o r e v e n t i m e s . M o r e o v e r t h e n u m b e r s f o r t h e p o s i t i v e c r o s s i n g a n d  

    t h e n e g a t i v e c r o s s i n g a s d e n e d i n L e m m a 1 a r e e q u a l d u e t o t h e m o n o t o n e  

    p r o p e r t y o f t h e g a i n   j L  (  s  )  j . A c c o r d i n g t o L e m m a 1 , t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s  

    s t a b l e . I f t h e p l o t d o e s n o t i n t e r s e c t t h e l i n e s e g m e n t   E F  , i . e . , t h e l i n e s e g m e n t  

    C  : =  f  (  ; r  ) : r  = 0  d b ; ?  1 8 0 

     

    <

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    4/12

    40DB

    0DB0 180

    80DB

    -40DB

    C

    R R

    -180

    B

     A 

    1

    2

    3

    D H

    F E

    F i g u r e 3 : N y q u i s t P l o t s f o r P l a n t s w i t h o n e U n s t a b l e p o l e  

    p l o t o f   L  (  s  ) c r o s s e s t h e s t a b i l i t y l i n e f o r e v e n t i m e s ( i n c l u d i n g z e r o ) . H e n c e t h e  

    f e e d b a c k s y s t e m i s u n s t a b l e .

    W h e n t h e s t e a d y g a i n   k 

    i s n e g a t i v e a n d   j k 

    j i s l a r g e r t h a n 0 d b , t h e r e a r e  

    t w o c a s e s . O n e i s t h e c r o s s i n g a t   !  = 0 i s p o s i t i v e . T h e n t h e f e e d b a c k s y s t e m s  

    i s s t a b l e i f a n d o n l y t h e n e t n u m b e r o f o t h e r c r o s s i n g s i s z e r o . I t i m p l i e s t h e  

    f e e d b a c k s y s t e m i s s t a b l e i f a n d o n l y i f t h e N i c h o l s p l o t w i l l i n t e r s e c t t h e 0   d b  l i n e  

    w i t h i n t h e p h a s e r a n g e (  ?  1 8 0 

     

    ; 1 8 0 

     

    ) a s t h e p l o t 1 i n F i g . 3 . T h e o t h e r i s t h e  

    c r o s s i n g i n   !  = 0 i s n e g a t i v e . T h e s t a r t i n g p o i n t o f t h e p l o t i n   !  = 0 

    h a s t h e  

    p h a s e l e s s t h a n   ?  1 8 0 

     

    a s t h e p l o t s 2 a n d 3 i n F i g . 3 . T h e n t h e f e e d b a c k s y s t e m  

    i s s t a b l e i f a n d o n l y i f t h e n e t n u m b e r o f t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e c r o s s i n g s o f  

    t h e f u l l N i c h o l s p l o t a r e 2 s i n c e t h e p l a n t h a s o n e u n s t a b l e p o l e a n d t h e r e i s  

    o n e n e g a t i v e c r o s s i n g i n   !  = 0 . D u e t o t h e s y m m e t r y , t h e n e t n u m b e r o f t h e  

    h a l f p a r t o f t h e f u l l N i c h o l s p l o t , i e . , N i c h o l s p l o t , i s 1 . I t i m p l i e s t h e N i c h o l s  

    p l o t o f   L  (  s  ) w i l l r e t u r n t o t h e r e g i o n c o m b i n e d b y t h e l i n e s e g m e n t s   D E  , E F 

    a n d  F H  , a n d t h e N i c h o l s p l o t m u s t a l s o i n t e r s e c t t h e 0  d b  l i n e w i t h i n t h e p h a s e  

    r a n g e (  ?  1 8 0 

     

    ; 1 8 0 

     

    ) . H e n c e w h e t h e r i t i s p o s i t i v e c r o s s i n g o r n e g a t i v e c r o s s i n g  

    a t  !  = 0 , t h e f e e d b a c k s y s t e m i s s t a b l e i f a n d o n l y i f i t c r o s s e s t h e l i n e s e g m e n t  

    C  . T h e r e s u l t f o r t h e p l a n t w i t h o n e u n s t a b l e p o l e i s s u m m a r i s e d a s f o l l o w s .

    P r o p o s i t i o n 2   : F o r t h e p l a n t   L  (  s  ) w i t h o n e u n s t a b l e p o l e , t h e f e e d b a c k  

    s y s t e m i s s t a b l e i f a n d o n l y i f t h e h a l f p a r t o f t h e N i c h o l s p l o t c r o s s e s t h e l i n e  

    s e g m e n t   C  : =  f  (  ; r  ) : r  = 0  d b ; ?  1 8 0 

     

    <

  • 8/18/2019 10.1.1.35.1879

    5/12

    −360 −270 −180 −90 0−40

    −30

    −20

    −10

    0

    10

    20

    30

    40

    6 db

    3 db

    1 db

    0.5 db

    0.25 db

    0 db

    −1 db

    −3 db

    −6 db

    −12 db

    −20 db

    −40 db

    Open−Loop Phase (deg)

       O  p  e  n −

       L  o  o  p   G  a   i  n   (   d   b   )

    F i g u r e 4 : N i c h o l s P l o t o f E x a m p l e 1  

    p o l e b u t w i t h m i r r o r m o d i c a t i o n .

    P r o p o s i t i o n 3   : C o n s i d e r t h e p l a n t w i t h 2  k  u n s t a b l e p o l e s , k  = 1  ; 2  ; , a n d  

    s h i f t t h e N i c h o l s p l o t o f   L  (  s  ) r i g h t o n m u l t i p l e s h e e t e d N i c h o l s c h a r t f o r   k  s h e e t s .

    T h e f e e d b a c k s y s t e m i s s t a b l e i f a n d o n l y i f t h e p l o t i n t e r s e c t s t h e l i n e s e g m e n t  

    C  : =  f  (  ; r  ) : r  = 0  d b ; ?  1 8 0 

     

    <   1 . W h e n   k    1 , t h e  

    o p e n l o o p s t e a d y g a i n   j k 

    j i s e q u a l t o o r l e s s t h a n 0 d b . H e n c e f o l l o w i n g t h e  

    P r o p o s i t i o n 1 , t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s a l s o s t a b l e f o r a l l   k >  0 .

  • 8/18/2019 10.1.1.35.1879

    6/12

    −360 −270 −180 −90 0−40

    −30

    −20

    −10

    0

    10

    20

    30

    40

    6 db

    3 db

    1 db

    0.5 db

    0.25 db

    0 db

    −1 db

    −3 db

    −6 db

    −12 db

    −20 db

    −40 db

    Open−Loop Phase (deg)

       O  p  e  n −

       L  o  o  p   G  a   i  n   (   d   b   )

    F i g u r e 5 : N i c h o l s P l o t o f E x a m p l e 2  

    −360 −270 −180 −90 0−40

    −30

    −20

    −10

    0

    10

    20

    30

    40

    6 db

    3 db

    1 db

    0.5 db

    0.25 db

    0 db

    −1 db

    −3 db

    −6 db

    −12 db

    −20 db

    −40 db

    Open−Loop Phase (deg)

       O  p  e  n −

       L  o  o  p   G  a   i  n   (   d   b   )

    F i g u r e 6 : N i c h o l s P l o t o f E x a m p l e 3  

    E x a m p l e 2   : T h e p l a n t i s t h e s a m e a s t h e p l a n t i n E x a m p l e 1 b u t t h e g a i n i s  

    n e g a t i v e . T h e N i c h o l s p l o t f o r t h e p l a n t w i t h   k  =  ?  2 i s d e p i c t e d i n F i g . 5 . S i n c e  

    t h e N i c h o l s p l o t i n t e r s e c t s t h e t h e 0   d b  l i n e o u t w i t h t h e r a n g e (  ?  1 8 0 

     

    ; 1 8 0 

     

    ) a n d  

    t h e g a i n i s n e g a t i v e , t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s u n s t a b l e f o r   k  =  ?  2 b y u s i n g  

    P r o p o s i t i o n 1 . F r o m t h e F i g . 5 , w e c a n n d t h e N i c h o l s p l o t c r o s s e s t h e 0  d b  l i n e  

    l e s s t h a n o r e q u a l t o   ?  1 8 0 

     

    f o r a n y   k  ?  1 a n d t h e s t e a d y g a i n   j k 

    j i s l e s s t h a n  

    0  d b  , a n d w h e n   ?  1  < k

  • 8/18/2019 10.1.1.35.1879

    7/12

    −360 −270 −180 −90 0−160

    −140

    −120

    −100

    −80

    −60

    −40

    −20

    0

    20

    40

    6 db3 db

    1 db0.5 db

    0.25 db0 db

    −1 db

    −3 db−6 db

    −12 db

    −20 db

    −40 db

    −60 db

    −80 db

    −100 db

    −120 db

    −140 db

    −160 db

    Open−Loop Phase (deg)

       O  p  e  n −

       L  o  o  p   G  a   i  n   (   d   b   )

    F i g u r e 7 : N i c h o l s P l o t o f E x a m p l e 4  

    −360 −270 −180 −90 0−80

    −60

    −40

    −20

    0

    20

    40

    6 db3 db

    1 db

    0.5 db0.25 db

    0 db

    −1 db

    −3 db

    −6 db

    −12 db

    −20 db

    −40 db

    −60 db

    −80 db

    Open−Loop Phase (deg)

       O  p  e  n −

       L  o  o  p   G  a   i  n   (   d   b   )

    F i g u r e 8 : N i c h o l s P l o t o f E x a m p l e 5  

    w e d o n ' t n e e d t o c o u n t t h e n u m b e r s o f t h e n e g a t i v e a n d p o s i t i v e c r o s s i n g s a s i n  

    7 ] s i n c e t h e r e i s a t m o s t o n e t i m e c r o s s i n g o f t h e 0 d b l i n e f o r t h i s p l a n t .

    E x a m p l e 5  . N o w w e e x a m i n e a p l a n t w i t h i n t e g r a l s . A s t a b l e t y p e 1 s y s t e m  

    L  (  s  ) = 

    s  (  s  + 1 ) (  s  + 1 0 )  

    ( 3 ) 

    i s c o n s i d e r e d .

    S i n c e t h e p l a n t h a s a p o s i t i v e g a i n a n d h a s a i n t e g r a l , t h e l i n e f r o m 0  

     

    t o 

    ?  9 0 

     

    i s a d d e d a n d w e d r a w t h e p l o t f r o m   ?  9 0 

     

    a s  !  = 0 

    . T h e p l o t f o r t h e  

    p l a n t w i t h   k  = 1 i s s h o w n i n F i g . 8 . A c c o r d i n g t o t h e s u c i e n t a n d n e c e s s a r y  

    c o n d i t i o n f o r i n P r o p o s i t i o n 1 , w e c o n c l u d e t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e f o r  

    k  = 1 . B y i n c r e a s i n g t h e s t e a d y g a i n   k  , t h e p l o t w i l l m o v e u p . W h e n   k >  1 0 0 ,

    t h e p l o t c r o s s e s t h e 0 d b l e s s t h a n - 1 8 0  

     

    , S o t h e c l o s e d l o o p s y s t e m b e c o m e s  

    u n s t a b l e w h e n   k    1 0 0 .

    E x a m p l e 6  . C o n s i d e r a t y p e 1 u n s t a b l e s y s t e m  

    L  (  s  ) = 

    s  (  s  ?  1 ) 

    ( 4 ) 

    T h e g a i n f o r p l o t t i n g i s   k  = 1 . B e c a u s e t h e p l a n t h a s t h e n e g a t i v e g a i n , t h e  

    N i c h o l s p l o t s t a r t s f r o m   ?  1 8 0 

     

    . T h e N i c h o l s p l o t i s g i v e n i n F i g . 9 . T h i s i s a  

    s t a b i l i t y a n a l y s i s p r o b l e m f o r t h e p l a n t w i t h o n e u n s t a b l e p o l e a n d t h e n e g a t i v e  

    g a i n , s o P r o p o s i t i o n 2 s h o u l d b e u s e d . B e c a u s e t h e p l o t i n t e r s e c t s t h e 0  d b  l i n e f o r  

    t h e p h a s e l e s s   ?  1 8 0 

     

    , t h e f e e d b a c k s y s t e m i s u n s t a b l e a c c o r d i n g t o t h e s u c i e n t  

    a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n i n P r o p o s i t i o n 2 . M o r e o v e r i t i s i m p o s s i b l e t o i n c r e a s e  

  • 8/18/2019 10.1.1.35.1879

    8/12

    −360 −270 −180 −90 0−40

    −30

    −20

    −10

    0

    10

    20

    30

    40

    6 db

    3 db

    1 db

    0.5 db

    0.25 db

    0 db

    −1 db

    −3 db

    −6 db

    −12 db

    −20 db

    −40 db

    Open−Loop Phase (deg)

       O  p  e  n −

       L  o  o  p   G  a   i  n   (   d   b   )

    F i g u r e 9 : N i c h o l s P l o t o f E x a m p l e 6  

    −360 −270 −180 −90 0−40

    −30

    −20

    −10

    0

    10

    20

    30

    40

    6 db

    3 db

    1 db

    0.5 db

    0.25 db

    0 db

    −1 db

    −3 db

    −6 db

    −12 db

    −20 db

    −40 db

    Open−Loop Phase (deg)

       O  p  e  n −

       L  o  o  p   G  a   i  n   (   d   b   )

    F i g u r e 1 0 : N i c h o l s P l o t o f E x a m p l e 7  

    o r d e c r e a s e t h e g a i n s u c h t h e p l o t c r o s s e s t h e 0  d b  l i n e w i t h i n (  ?  1 8 0 

     

    ; 1 8 0 

     

    ) . T h e  

    t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s u n s t a b l e f o r a l l   k >  0 .

    E x a m p l e 7  . I n t h i s e x a m p l e a n o n - m i n i m u m p h a s e p l a n t i s c o n c e r n e d . T h e  

    p l a n t i s g i v e n b y  

    L  (  s  ) = 

    k  ( 1  ?  s  ) 

    s  (  s  + 1 ) 

    ( 5 ) 

    T h e N y q u i s t p l o t i s d r a w n o n a N i c h o l s c h a r t f o r t h e g a i n   k  = 1 a s s h o w n  

    i n F i g . 1 0 . S i n c e t h e g a i n f o r t h i s p l a n t i s p o s i t i v e a n d t h e o p e n - l o o p p l a n t i s  

    s t a b l e , t h e s t a b i l i t y o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s a n a l y s e d b y P r o p o s i t i o n 1 . T h e  

    c l o s e d - l o o p s y s t e m i s u n s t a b l e s i n c e t h e p l o t i n t e r s e c t s t h e 0  d b  l i n e a t   ?  1 8 0 

     

    .

    O b v i o u s l y t h e s t a b i l i t y r e q u i r e m e n t i s s a t i s e d i f t h e p l o t i s l o w e r e d . S o t h e  

    c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e i f a n d o n l y i f 0   < k

  • 8/18/2019 10.1.1.35.1879

    9/12

    −360 −270 −180 −90 0−160

    −140

    −120

    −100

    −80

    −60

    −40

    −20

    0

    20

    40

    6 db3 db

    1 db0.5 db

    0.25 db0 db

    −1 db

    −3 db−6 db

    −12 db

    −20 db

    −40 db

    −60 db

    −80 db

    −100 db

    −120 db

    −140 db

    −160 db

    Open−Loop Phase (deg)

       O  p  e  n −

       L  o  o  p   G  a   i  n   (   d   b   )

    F i g u r e 1 1 : T h e N i c h o l s P l o t f o r S t a b l e P l a n t  

    o n l y i n t e r s e c t s t h e 0   d b  l i n e o n e t i m e . S i n c e t h e N i c h o l s p l o t i n t e r s e c t s t h e 0  d b 

    l i n e w i t h i n t h e r a n g e ( - 1 8 0  

     

    ; 1 8 0 

     

    ) a n d t h e o p e n p l a n t i s s t a b l e , f o l l o w i n g f r o m  

    P r o p o s i t i o n 1 , t h i s c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e .

    H e n c e t h e r e s u l t i n t h i s s e c t i o n p r o v i d e s a n a l t e r n a t i v e m e t h o d f o r g r a p h i c a l  

    s t a b i l i t y t e s t i n Q F T d e s i g n . M o r e o v e r t h e a d v a n t a g e o f t h i s m e t h o d i n Q F T  

    d e s i g n f o r n o n - m i n i m u m p h a s e a n d u n s t a b l e p l a n t s i s s h o w n i n t h e n e x t s e c t i o n .

    4 A p p l i c a t i o n i n Q F T D e s i g n  

    H o r o w i t z a n d S i d i 6 , 4 ] d e v e l o p a m e t h o d f o r Q F T c o n t r o l l e r d e s i g n f o r u n -  

    c e r t a i n n o n - m i n i m u m p h a s e a n d u n s t a b l e p l a n t s . T h e k e y i d e a i s t o c o n v e r t  

    t h e l o o p - s h a p i n g p r o b l e m f o r a n u n s t a b l e a n d / o r n o n m i n i m u m p h a s e n o m i n a l  

    p l a n t t o t h a t f o r a s t a b l e n o n m i n i m u m p h a s e n o m i n a l p l a n t . T h e r e a s o n i s i n  

    n u m e r i c a l d e s i g n i t i s m o r e c o n v e n i e n t t o w o r k w i t h a m i n i m u m p h a s e f u n c t i o n  

    b e c a u s e t h e B o d e i n t e g r a l s 1 ] c a n b e u s e d a n d t h e o p t i m a l l o o p s h a p i n g c a n  

    b e d e r i v e d 5 , 6 ] . I n a d d i t i o n , a l t h o u g h t h e s a m e l i m i t a t i o n s i m p o s e d b y r i g h t  

    p l a n e z e r o s a n d p o l e s e x i s t w h a t e v e r c h o i c e i s m a d e a n d a p p e a r i n o n e f o r m o r  

    a n o t h e r , t h i s m e t h o d e x p l i c i t l y r e v e a l s t h e l i m i t a t i o n s o n   L  (  j !  ) a n d m a k e s i t  

    m u c h e a s i e r t o s e e i f t h e a s s i g n e d s p e c i c a t i o n s c a n b e s a t i s e d . T h e m e t h o d  

    s u g g e s t e d b y H o r o w i t z a n d S i d i 6 , 4 ] i s t o s h i f t t h e r o b u s t b o u n d s f o r t h e u n -  

    s t a b l e n o n - m i n i m u m p h a s e n o m i n a l p l a n t t o t h a t f o r t h e s t a b l e a n d m i n i m u m  

    p h a s e n o m i n a l p l a n t . T h i s m e t h o d i s n o w r e c o g n i s e d a s a n e e c t i v e m e t h o d t o  

    d e a l w i t h n o n - m i n i m u m p h a s e a n d u n s t a b l e p l a n t s w i t h i n Q F T f o r m u l a t i o n ( f o r  

    e x a m p l e s e e 1 0 , 8 ] ) . R e c e n t l y C h e n a n d B a l l a n c e 3 ] p o i n t o u t t h a t n o t o n l y  

    t h e r o b u s t b o u n d s b u t a l s o t h e s t a b i l i t y l i n e f o r t h e n e w n o m i n a l p l a n t m u s t b e  

    s h i f t e d . T h a t i s , t h e s t a b i l i t y l i n e   R 

    m o v e s w i t h t h e f r e q u e n c y   !  . S i m i l a r l y , i t  

    c a n b e s h o w n t h a t t h e p h a s e r a n g e (  ?  1 8 0 

     

    ; 1 8 0 

     

    ) o n t h e 0  d b  l i n e f o r t e s t i n g t h e  

    s t a b i l i t y s h o u l d a l s o b e m o v e d l e f t o r r i g h t .

    M o r e s p e c i c a l l y , w h e n   P 

    (  s  ) =  P 

    0

    (  s  )  A  (  s  ) , t h e p h a s e r a n g e (  ?  1 8 0 

     

    ?  a r g (  A  (  j !  ) )  ; 1 8 0 

     

    a r g (  A  (  j !  ) ) ) o f   P 

    0

    (  s  ) a t f r e q u e n c y   !  c o r r e s p o n d s t o t h e p h a s e r a n g e (  ?  1 8 0 

     

    ; 1 8 0 

     

    f o r  P 

    (  s  ) . N e x t a s i m p l e e x a m p l e i s i l l u s t r a t e d t o s h o w h o w t o a p p l y t h e n e w  

    s t a b i l i t y c r i t e r i o n i n Q F T d e s i g n f o r n o n - m i n i m u m p h a s e a n d u n s t a b l e p l a n t s .

    I t i s s h o w n t h a t i t i s m u c h e a s i e r t o t e s t t h e s t a b i l i t y o f t h e n o m i n a l c l o s e d - l o o p  

    s y s t e m g r a p h i c a l l y w i t h t h e s t a b i l i t y c r i t e r i o n d e v e l o p e d i n t h i s p a p e r t h a n w i t h  

    t h e s t a b i l i t y c r i t e r i o n i n 7 ] .

  • 8/18/2019 10.1.1.35.1879

    10/12

    Open−loop:

    Closed−loop:

    Frequency:

    −384.97deg,45.41dB

    −0.13deg,−0.04dB

    n/a rad/sec

    −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0

    −30

    −20

    −10

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    X: Phase (degrees) Y: Magnitude (dB)

    11111111

    0.10.312361050

    F i g u r e 1 2 : S h i f t i n g B o u n d s a n d P h a s e R a n g e o f S t a b i l i t y  

    E x a m p l e 9   : C o n s i d e r a s i m p l e s e c o n d o r d e r u n s t a b l e p l a n t  

    P  (  s  ) = 

    k  (  s  +  a  ) 

    s  (  s  ?  2  : 5 ) 

    ( 7 ) 

    w h e r e t h e u n c e r t a i n p a r a m e t e r s   k  a n d  a  a r e w i t h i n t h e s a m e r a n g e s i n  

    k  2  1  ; 1 0 ] ; a  2  0  : 1  ; 1 ] ( 8 )  

    F o r s i m p l i c i t y , o n l y t h e r o b u s t s t a b i l i t y i s c o n s i d e r e d a n d r o b u s t p e r f o r m a n c e i s  

    n o t c o n s i d e r e d . T h e r o b u s t s t a b i l i t y c a n b e i m p o s e d b y  

    L  (  s  ) 

    1 +  L  (  s  ) 

      2  : 1 f o r a l l   a  2  0  : 1  ; 1 ] ; k  2  1  ; 1 0 ] ; ( 9 ) 

    T h e p l a n t u n d e r t h e p a r a m e t e r s   k  = 1 a n d   a  = 1 i s c h o s e n a s t h e n o m i n a l c a s e .

    (  s  ) = 

    (  s  + 1 ) 

    s  (  s  ?  2  : 5 ) 

    ( 1 0 )  

    T h i s p l a n t h a s o n e u n s t a b l e p o l e . A c c o r d i n g t o H o r o w i t z a n d S i d i m e t h o d 6 , 4 ,

    3 ] , c h o o s e  

    0

    (  s  ) = 

    (  s  + 1 ) 

    s  (  s  + 2  : 5 ) 

    ( 1 1 )  

    a s t h e n e w s t a b l e m i n i m u m p h a s e n o m i n a l p l a n t . T h e s h i f t i n g b o u n d s a n d t h e  

    s t a b i l i t y l i n e s a t t h e f r e q u e n c i e s   ! 

    = 0  : 1 , 0 . 3 , 1 , 2 , 3 , 6 , 1 0 , 5 0 a r e p l o t t e d i n  

    F i g . 1 2 . A c o n t r o l l e r  

    G  (  s  ) = 6  : 5 8 2  : ( 1 2 )  

    i s d e s i g n e d b y l o o p s h a p i n g 3 ] . A s s h o w n i n F i g . 1 2 , i t i s p o s s i b l e f o r t h e  

    N y q u i s t p l o t t o i n t e r s e c t t h e s t a b i l i t y l i n e w i t h i n t h e f r e q u e n c y b a n d   !  2  1  ; 2 ] .

    S i n c e , s i m i l a r t o t h e m o s t o f t h e N i c h o l s p l o t s , t h e p h a s e d o e s n ' t m o n o t o n e l y  

    v a r y w i t h f r e q u e n c y   !  i n t h i s b a n d , i t i s d i c u l t t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e l o o p  

    t r a n s m i s s i o n   L  (  s  ) u n d e r t h e c o n t r o l l e r i n t e r s e c t s t h e s h i f t e d s t a b i l i t y l i n e s   R  (  !  ) 

    a n d t h e n u m b e r s o f t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e c r o s s i n g s i s a l s o d i c u l t t o b e  

    c o u n t e d . S o i t i s d i c u l t t o a n a l y s e t h e s t a b i l i t y o f t h e n o m i n a l c l o s e d - l o o p  

    s y s t e m u n d e r t h e c o n t r o l l e r   G  (  s  ) ( 1 2 ) b y t h e s t a b i l i t y c r i t e r i o n 7 ] . T h i s i s a l s o  

    o u r m o t i v a t i o n t o d e v e l o p t h e n e w s t a b i l i t y c r i t e r i o n .

    1 0 

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    11/12

    N o w t h e s t a b i l i t y c r i t e r i o n p r o p o s e d i n t h e a b o v e s e c t i o n i s u s e d t o a n a l y s e  

    t h e s t a b i l i t y o f t h e n o m i n a l c l o s e d - l o o p s y s t e m i n F i g . 1 2 . S i n c e t h i s n o m i n a l  

    p l a n t   P 

    (  s  ) w i t h o n e u n s t a b l e p o l e a n d t h e g a i n i s n e g a t i v e , a c c o r d i n g t o P r o -  

    p o s i t i o n 2 , t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e i f a n d o n l y i f t h e p l o t s h o u l d i n t e r s e c t  

    t h e 0  d b  l i n e w i t h i n t h e p h a s e (  ?  1 8 0 

     

    ; 1 8 0 

     

    ) . W h e n t h e r o b u s t b o u n d s o f t h e  

    n o m i n a l p l a n t   P 

    (  s  ) a r e s h i f t e d t o t h a t o f t h e n o m i n a l p l a n t   P 

    0

    (  s  ) , t h e p h a s e  

    r a n g e a l s o s h i f t s f r o m (  ?  1 8 0 

     

    ; 1 8 0 

     

    ) t o (  ?  1 8 0 

     

    ?  a r g (  A  (  j !  ) ) , 1 8 0  

     

    ?  a r g  A  (  j !  ) ) ) 

    a s s h o w n i n F i g . 1 2 . I t i s e a s y t o s h o w t h e p l o t c r o s s e s t h e 0  d b  l i n e n e a r f r e -  

    q u e n c y   !  = 6 w i t h t h e p h a s e a b o u t   ?  7 5 

     

    . T h e p h a s e r a n g e f o r s t a b i l i t y b e c o m e s  

    (  ?  1 4 0 

     

    ; 2 2 0 

     

    ) a t f r e q u e n c y   !  = 6 . C l e a r l y i t i s w i t h i n t h i s p h a s e r a n g e . F o l -  

    l o w i n g t h e n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n f o r s t a b i l i t y i n P r o p o s i t i o n 2 , t h e  

    n o m i n a l c l o s e d - l o o p s y s t e m u n d e r t h e c o n t r o l l e r i s s t a b l e . I n o t h e r w o r d s , w i t h  

    t h e n e w s t a b i l i t y c r i t e r i o n i n h a n d , i t i s v e r y e a s y t o k n o w h o w t o s h a p e t h e  

    l o o p t r a n s m i s s i o n   L  (  s  ) s u c h t h a t t h e n o m i n a l s t a b i l i t y o f t h e n o m i n a l c l o s e d -  

    l o o p s y s t e m i s g u a r a n t e e d w h e n t h e Q F T d e s i g n i s p e r f o r m e d i n t h e g r a p h i c a l  

    C A D e n v i r o n m e n t . T h i s i s t h e m a i n a d v a n t a g e o f t h e g r a p h i c a l s t a b i l i t y c r i -  

    t e r i o n . F o r e x a m p l e , t h e n o m i n a l c l o s e d - l o o p s y s t e m i s a l w a y s s t a b l e w h e n t h e  

    c o n t r o l l e r g a i n i s i n c r e a s e d i n t h i s e x a m p l e . T h e n o m i n a l c l o s e d - l o o p s y s t e m i s  

    a l s o s t a b l e u n t i l d e c r e a s i n g t h e c o n t r o l g a i n s u c h t h a t t h e p l o t c r o s s e s t h e 0  d b 

    l i n e a t f r e q u e n c y 2 ,

    5 C o n c l u s i o n  

    I n Q F T , w h e n H o r o w i t z a n d S i d i 6 , 4 ] m e t h o d i s e m p l o y e d t o d e s i g n r o b u s t  

    c o n t r o l l e r s f o r n o n - m i n i m u m p h a s e a n d u n s t a b l e p l a n t s , C h e n a n d B a l l a n c e 3 ]

    p o i n t o u t t h a t t h e s t a b i l i t y o f t h e n e w n o m i n a l p l a n t m u s t b e r e f o r m u l a t e d .

    T h a t i s t h e s t a b i l i t y l i n e v a r i e s w i t h f r e q u e n c y . I t i s d i c u l t t o a n a l y s e t h e  

    s t a b i l i t y o f t h e c l o s e d - l o o p n o m i n a l s y s t e m s b y t h e e x i s t i n g s t a b i l i t y c r i t e r i o n .

    A n e w g r a p h i c a l s t a b i l i t y c r i t e r i o n o n N i c h o l s c h a r t w a s p r o p o s e d , w h i c h i s  

    b a s e d o n t h e p h a s e i n f o r m a t i o n w h e n t h e p l o t g a i n i s 0  d b  . A s s h o w n i n t h e  

    l a s t e x a m p l e , t h i s c r i t e r i o n p r o v i d e s a n e e c t i v e m e t h o d f o r s t a b i l i t y a n a l y s i s o f  

    t h e n e w n o m i n a l s y s t e m s . I t u t i l i s e s t h e g a i n p r o p e r t y o f t h e t r a n s f e r f u n c t i o n .

    M o r e o v e r a l t h o u g h t h i s c r i t e r i o n i s a p p l i c a b l e f o r t h e p l o t c r o s s i n g t h e 0 d b  

    l i n e a t m o s t o n e t i m e , a s w e s h o w n i n t h i s p a p e r , i t i s a n e e c t i v e a l t e r n a t i v e  

    m e t h o d f o r s t a b i l i t y a n a l y s i s o f m o s t o f p h y s i c a l s y s t e m s s i n c e m o s t o f p l a n t s  

    h a v e m o n o t o n e p r o p e r t y o f t h e g a i n .

    R e f e r e n c e s  

    1 ] H . W . B o d e . N e t w o r k A n a l y s i s a n d F e e d b a c k A m p l i e r D e s i g n   . v a n N o s -  

    t r a n d , N e w Y o r k , 1 9 4 5 .

    2 ] C . B o r g h e s a n i , Y . C h a i t , a n d O . Y a n i v . Q u a n t i t a t i v e F e e d b a c k T h e o r y  

    T o o l b o x U s e r M a n u a l  . T h e M a t h W o r k I n c . , 1 9 9 5 .

    3 ] W e n h u a C h e n a n d D o n a l d J . B a l l a n c e . Q F T d e s i g n f o r u n c e r t a i n n o n -  

    m i n i m u m p h a s e a n d u n s t a b l e p l a n t s . I n   P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 8 A m e r i c a n  

    C o n t r o l C o n f e r e n c e  , P h i l a d e l p h i a , U . S . A . , 1 9 9 8 .

    1 1 

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    12/12

    4 ] I . M . H o r o w i t z . Q u a n t i t a t i v e F e e d b a c k D e s i g n T h e o r y ( Q F T )  , v o l u m e 1 .

    Q F T P u b l i c a t i o n s , 4 4 7 0 G r i n n e l A v e . , B o u l d e r , C o l o r a d o 8 0 3 0 3 , U S A ,

    1 9 9 2 .

    5 ] I . M . H o r o w i t z a n d M . S i d i . S y n t h e s i s o f f e e d b a c k s y s t e m s w i t h l a r g e p l a n t  

    i g n o r a n c e f o r p r e s c r i b e d t i m e - d o m a i n t o l e r a n c e s . I n t . J . C o n t r o l  , 1 6 : 2 8 7 {  

    3 0 9 , 1 9 7 2 .

    6 ] I . M . H o r o w i t z a n d M . S i d i . O p t i m u m s y n t h e s i s o f n o n - m i n i m u m p h a s e  

    f e e d b a c k s y s t e m w i t h p l a n t u n c e r t a i n t y . I n t . J . C o n t r o l  , 2 7 : 3 6 1 { 3 8 6 , 1 9 7 8 .

    7 ] N . C o h e n , Y . C h a i t , O . Y a n i v , a n d C . B o r g h e s a n i . S t a b i l i t y a n a l y s i s u s i n g  

    n i c h o l s c h a r t s . I n C o n s t a n t i n e N . H o u p i s a n d P h i l l i p R . C h a n d l e r , e d i t o r s ,

    P r o c e e d i n g s o f t h e S y m p o s i u m o n Q u a n t i t a t i v e F e e d b a c k T h e o r y  , p a g e s 8 0 {  

    1 0 3 , D a y t o n , O h i o , U . S . A . , 1 9 9 2 .

    8 ] R . E . N o r d g r e n , O . D . I . N w o k a h , a n d M . A . F r a n c h e k . N e w f o r m u l a t i o n s f o r  

    q u a n t i t a t i v e f e e d b a c k t h e o r y . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R o b u s t a n d N o n l i n -  

    e a r C o n t r o l  , 4 : 4 7 { 6 4 , 1 9 9 4 .

    9 ] M . V i d y a s a g a r , R . K . B e r t s c h m a n n , a n d C . S . S a l l a b e r g e r . S o m e s i m p l i c -  

    a t i o n s o f t h e g r a p h i c a l n y q u i s t c r i t e r i o n . I E E E T r a n s . A u t o m a t i c C o n t r o l  ,

    3 3 ( 3 ) : 3 0 1 { 2 0 5 , 1 9 8 8 .

    1 0 ] O . Y a n i v a n d I . M . H o r o w i t z . Q u a n t i t a t i v e f e e d b a c k t h e o r y | r e p l y t o c r i -  

    t i c i s m s . I n t . J . C o n t r o l  , 4 6 ( 3 ) : 9 4 5 { 9 6 2 , 1 9 8 7 .

    1 2