1.2 matematicas ii

Departamento del Ámbito Científico – Tecnológico

ESPA/ESPAD

MATEMÁTICAS

Nivel 1.2

Centro de Educación de Personas Adultas – GIJÓN

Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 2

POLIEDROS ............................................................................................................................................ 7

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO .......................................................................................................................... 7

POLIEDROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS ................................................................................................................. 8

PRISMAS ................................................................................................................................................ 8

ELEMENTOS DE UN PRISMA: ............................................................................................................................ 8

CLASES DE PRISMAS ....................................................................................................................................... 9

DESARROLLO DEL PRISMA ............................................................................................................................... 9

ÁREAS Y VOLUMEN DE UN ORTOEDRO ................................................................................................ 10

Áreas del ortoedro ............................................................................................................................. 10

Volumen del ortoedro ........................................................................................................................ 10

PRISMAS: ÁREAS Y VOLUMEN ............................................................................................................. 11

Áreas de un prisma ............................................................................................................................ 11

PIRÁMIDES .......................................................................................................................................... 12

ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE: ..................................................................................................................... 12

CLASES DE PIRÁMIDES .................................................................................................................................. 12

DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE ..................................................................................................................... 12

PIRÁMIDE: ÁREAS Y VOLUMEN ........................................................................................................................ 13

Áreas de la pirámide .......................................................................................................................... 13

Volumen de la pirámide ..................................................................................................................... 13

CUERPOS DE REVOLUCIÓN ................................................................................................................... 13

CILINDRO................................................................................................................................................... 13

Elementos del cilindro ........................................................................................................................ 14

Desarrollo del cilindro ........................................................................................................................ 14

CILINDRO: ÁREAS Y VOLUMEN ............................................................................................................. 15

Áreas del cilindro ............................................................................................................................... 15

Volumen de un cilindro ...................................................................................................................... 15

CONO ................................................................................................................................................... 15

ELEMENTOS DEL CONO ................................................................................................................................. 15

DESARROLLO DEL CONO ................................................................................................................................ 16

CONO: ÁREAS Y VOLUMEN ............................................................................................................................. 16

Áreas del cono.................................................................................................................................... 16

Volumen de un cono .......................................................................................................................... 16

LA ESFERA .................................................................................................................................................. 17

Elementos de la esfera ....................................................................................................................... 17

ESFERA: ÁREA Y VOLUMEN .................................................................................................................. 17

Área de la esfera ................................................................................................................................ 17

Volumen de la esfera ......................................................................................................................... 17

UNIDADES DE VOLUMEN ..................................................................................................................... 18

RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD ............................................................................ 18

PROPORACIONALIADAD ARITMÉTICA .................................................................................................. 19

RAZÓN Y PROPORCIÓN .................................................................................................................................. 19


PROPORCIÓN .............................................................................................................................................. 19

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES ............................................................................................ 19

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD ............................................................................................................... 19

CUARTO PROPORCIONAL .............................................................................................................................. 20

Calculo del cuarto proporcional ......................................................................................................... 20

PROPORCIONALIDAD DIRECTA. APLICACIONES ................................................................................... 21

REGLA DE TRES SIMPLE ................................................................................................................................. 21

PORCENTAJES ............................................................................................................................................. 22

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL % DE IVA ....................................................................................... 24

Calcular precio final de un artículo después de aplicarle el IVA. ....................................................... 24

Calcular el precio inicial conocido el precio final y el IVA aplicado. ................................................... 24

REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES .................................................................................................... 25

PORCENTAJES: TABLAS ESTADÍSTICAS ................................................................................................. 26

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES .............................................................................. 27

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA ..................................................................................................................... 27

REGLA DE TRES COMPUESTA ............................................................................................................... 27

SOLUCIÓN MEDIANTE PROPORCIONES: ............................................................................................................ 27

SOLUCIÓN UTILIZANDO EL SISTEMA DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD: .......................................................................... 28

REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES: ................................................................................... 32

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA ........................................................................................ 33

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA........................................................... 34

Datos de una función representados en una tabla: ........................................................................... 34

Datos de una función representados en un gráfico: .......................................................................... 34

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA ....................................................................................... 36

PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA ..................................................................................................... 37

Semejanza de figuras planas ............................................................................................................. 37

APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS. ................................................................................................... 38

Escalas ............................................................................................................................................... 38

Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra. ...................................................... 40

TEOREMA DE TALES ..................................................................................................................................... 41

TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES ................................................................................................ 41

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES ............................................................................................................ 42

Dividir un segmento en partes iguales ............................................................................................... 42

TEOREMA DE PITÁGORAS .............................................................................................................................. 43

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS ..................................................................................................... 44

Calcular la altura de una escalera: .................................................................................................... 44

Cálculo de la diagonal de un rectángulo. ........................................................................................... 44

Cálculo de la apotema de un hexágono regular ................................................................................ 44

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ............................................................................................................ 45

EXPERIMENTOS ALEATORIOS .......................................................................................................................... 45

SUCESOS: ESPACIO MUESTRAL ....................................................................................................................... 45

Suceso elemental. .............................................................................................................................. 45

Suceso compuesto ............................................................................................................................. 45

Espacio muestral ................................................................................................................................ 45


FRECUENCIAS ............................................................................................................................................. 46

Frecuencia absoluta ........................................................................................................................... 46

Frecuencia relativa ............................................................................................................................. 47

PROBABILIDAD............................................................................................................................................ 47

FRECUENCIA Y PROBABILIDAD ........................................................................................................................ 47

ESTADÍSTICA............................................................................................................................................... 48

VARIABLES ESTADÍSTICAS: CLASIFICACIÓN ......................................................................................................... 48

Clasificación de las variables estadísticas: ......................................................................................... 48

LAS TABLAS ESTADÍSTICAS ............................................................................................................................. 48

Tablas: variables cuantitativas discretas y cualitativas ..................................................................... 48

Tablas: variables cuantitativas continuas .......................................................................................... 50

TIPOS DE INTERVALOS: ................................................................................................................................. 50

FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA ................................................................................................................. 51

TABLA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Y PORCENTAJES VARIABLE DISCRETA: ................................................................ 51

TABLA DE FRECUENCIAS Y PORCENTAJES VARIABLES CONTINUAS ........................................................................... 52

FRECUENCIAS ACUMULADAS. ......................................................................................................................... 53

GRÁFICOS .................................................................................................................................................. 53

VARIABLES DISCRETAS ............................................................................................................................ 53

Diagrama de barras: .......................................................................................................................... 53

Polígono de frecuencias: .................................................................................................................... 54

VARIABLES CONTINUAS .......................................................................................................................... 54

Histograma: ....................................................................................................................................... 54

Polígono de frecuencias: .................................................................................................................... 55

DIAGRAMA DE SECTORES .............................................................................................................................. 56

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN ....................................................................................................................... 57

Media aritmética : ........................................................................................................................... 57

Mediana ............................................................................................................................................. 59

Calcular la mediana cuando la variable estadística es discreta ......................................................... 60

Cálculo de la mediana si los valores están agrupados en intervalos. ............................................... 60

Moda, Mo .......................................................................................................................................... 61

NÚMEROS ENTEROS ............................................................................................................................ 65

MAGNITUDES ABOLUTAS Y RELATIVAS .............................................................................................................. 65

NÚMEROS ENTEROS, Z ................................................................................................................................. 65

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS SOBRE LA RECTA ............................................................................ 66

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO ...................................................................................................... 66

ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS ................................................................................................................. 66

NÚMEROS OPUESTOS ................................................................................................................................... 66

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ........................................................................................................... 67

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS. ....................................................................................................................... 67

La suma de dos números del mismo signo ........................................................................................ 67

La suma de dos números enteros de distinto signo ........................................................................... 67

Suma y resta de más de dos números enteros ................................................................................... 68

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS ........................................................................................................................ 69

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS ...................................................................................................................... 69

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ......................................................................................................... 70

DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS ..................................................................................................... 71

POTENCIACIÓN ........................................................................................................................................... 71

Propiedades de la potenciación ......................................................................................................... 71

OPERACIONES CON POTENCIAS.............................................................................................................. 72


OPERACIONES COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS .......................................................................................... 73

ÁLGEBRA .............................................................................................................................................. 75

EXPRESIÓN ALGEBRAICA ............................................................................................................................... 75

EL LENGUAJE ALGEBRAICO ..................................................................................................................... 75

ECUACIÓN .................................................................................................................................................. 76

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ........................................................................................................................ 76

Ecuaciones del tipo ax = b .................................................................................................................. 76

Ecuaciones en las que los miembros tienen varios términos ............................................................ 76

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ......................................................................................................................... 77

FUNCIONES .......................................................................................................................................... 79

COORDENADAS CARTESIANAS ........................................................................................................................ 79

CONCEPTO DE FUNCIÓN ............................................................................................................................... 80

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN .............................................................................................................. 81

Mediante un texto: ............................................................................................................................ 81

Mediante una tabla: .......................................................................................................................... 81

Mediante un gráfico: ......................................................................................................................... 82

Mediante una fórmula o expresión algebraica: ................................................................................. 82

FUNCIÓN: DOMINIO Y RECORRIDO................................................................................................................... 84

FUNCIONES DISCONTINUA Y CONTINUA ............................................................................................................ 85

FUNCIÓN: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO ...................................................................................................... 86

MÁXIMOS Y MÍNIMOS .................................................................................................................................. 86

FUNCIONES PERIÓDICAS................................................................................................................................ 88

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA ....................................................................................................... 88

FUNCIÓN AFÍN ............................................................................................................................................ 89

EJEMPLOS DE INTERPRETACIÓN GRÁFICAS ......................................................................................................... 90

Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento. ............................................................................. 90

ANÁLISIS DEL DOMINIO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN. ..................................................................................... 90

Dominio y recorrido ........................................................................................................................... 91

Crecimiento y decrecimiento ............................................................................................................. 92

Continuidad y discontinuidad ............................................................................................................ 92

Cuerpos geométricos


POLIEDROS

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

Los elementos de un poliedro son los siguientes:

Caras: son los polígonos que limitan y cierran el espacio ocupado por el poliedro.

Aristas: son las líneas donde coinciden por pares las caras.

Vértices: son los puntos donde coinciden tres o más caras.

Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras.

Ángulo poliedro: es el ángulo formado por tres o más caras, con un punto común, el vértice.

Desarrollo plano de un poliedro: es la superficie que resulta al extenderlo sobre un plano:



POLIEDROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

Poliedros convexos son poliedros en los que al prolongar cualquiera de sus caras, estas no cortan al poliedro.

Poliedros cóncavos son poliedros que tienen alguna cara que al prolongarla corta el poliedro.

PRISMAS

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.

ELEMENTOS DE UN PRISMA:

Bases o caras básicas: son dos polígonos iguales situados en planos paralelos.

Caras laterales: son paralelogramos.

Aristas básicas: son los lados de los polígonos de las bases.

Aristas laterales: son los lados de las caras laterales que unen las bases.

Vértices: son los puntos donde se cortan las aristas.

Altura: es la distancia entre las bases.



CLASES DE PRISMAS

Para nombrar un prisma hacemos referencia a los polígonos de las bases.

Prismas rectos: son prismas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.

Prismas oblicuos: son prismas cuyas caras laterales son romboides o rombos.

Prismas regulares: son los prismas cuyas bases son polígonos regulares.

Prismas irregulares: son los prismas cuyas bases son polígonos irregulares.

Prismas paralelepípedos: son prismas que tienen todos sus lados paralelogramos.

Ortoedros: son prismas cuyas caras son todas rectángulos.

DESARROLLO DEL PRISMA

El desarrollo plano de un prisma recto está formado por los dos elementos siguientes:

- Los dos polígonos de las bases.

- Un rectángulo compuesto de sus caras laterales, cuya altura es la altura del prisma y el largo el perímetro de la base.

El desarrollo plano de un prisma oblicuo está compuesto por un romboide y los dos polígonos de la base.



ÁREAS Y VOLUMEN DE UN ORTOEDRO

a = largo b= profundo c = altura

El área lateral del ortoedro es igual al área de las caras laterales sin las bases.

El área total es el área lateral más el área de las dos bases.

Las fórmulas siguientes indican cómo calcular área lateral y total de un ortoedro:

Áreas del ortoedro

Área lateral = 2ac + 2bc

Área total: 2ab + 2ac + 2bc

Las áreas del ortoedro se pueden expresar de la forma siguiente:

Área lateral = perímetro base · altura

Área total = área lateral + 2 · área base

El área se expresa en m2 y sus múltiplos y divisores.

Volumen del ortoedro

Volumen = a · b · c

Volumen = largo · ancho · alto

Volumen = área de la base por altura

El volumen se expresa en m3 o en sus múltiplos y divisores.

a

c

b



PRISMAS: ÁREAS Y VOLUMEN

Áreas de un prisma

Área lateral = Perímetro base · altura

Área total = Área lateral + 2 · Área base

Se expresa en m2, sus múltiplos y divisores.

Volumen de un prisma

Volumen prisma = Área base · altura

El volumen se expresa en m3 o sus múltiplos y divisores.



PIRÁMIDES

La pirámide regular es un poliedro limitado por un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base.

ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE:

Base: es un polígono cualquiera.

Caras laterales: son triángulos que concurren en un punto llamado vértice de la pirámide.

Aristas básicas y aristas laterales: son las aristas de la base y de las caras laterales.

Altura: es el segmento perpendicular trazado desde el vértice a la base.

Las pirámides se nombran añadiendo a la palabra pirámide el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).

CLASES DE PIRÁMIDES

Pirámide recta: se caracteriza porque todas sus caras laterales con triángulos isósceles. Si no es así, decimos que la pirámide es oblicua.

Pirámide regular: es la que además de ser recta, su base es un polígono regular. Si no cumple estas dos condiciones, la pirámide se denomina irregular.

Apotema de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE

El desarrollo de una pirámide está formado por tantos triángulos isósceles como lados tenga la base y el polígono de la base.



PIRÁMIDE: ÁREAS Y VOLUMEN

El área lateral de una pirámide es igual al perímetro de la base por la apotema dividido entre dos:

Áreas de la pirámide

Área lateral = 2

pirámideapotemaxbaseladePerímetro

Área total = Área lateral + área de la base

Volumen de la pirámide

Volumen = 3

alturabaseArea

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje. El cono, el cilindro y la esfera no son poliedros porque no están limitados por polígonos.

CILINDRO

Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado a partir de un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.



Elementos del cilindro

Eje del cilindro: es el lado sobre el que gira el rectángulo que genera el cilindro.

Altura: es la longitud del eje.

Generatriz: es la longitud del lado opuesto al eje, o el lado que genera la superficie lateral del cilindro.

Bases: son dos círculos iguales y paralelos que se generan al girar los lados perpendiculares al eje.

Radio: es el radio de la base, o la longitud de los lados perpendiculares al eje.

Desarrollo del cilindro

El desarrollo de un cilindro está formado por dos figuras geométricas planas:

Un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base y su altura es la altura del cilindro.

Dos círculos iguales que constituyen las bases.



CILINDRO: ÁREAS Y VOLUMEN

El área lateral del cilindro es igual al área del rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base:

Áreas del cilindro

Área lateral = 2 rh

Área total = Área lateral + 2 · área de la base = 2πrh + 2 r2

Volumen de un cilindro

Volumen = r2h

CONO

El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.

ELEMENTOS DEL CONO

Eje del cono: es el cateto sobre el que gira el triángulo.

Altura: es la longitud del eje.

Generatriz: es la longitud de la hipotenusa del triángulo.

Base: es el círculo generado al girar el cateto perpendicular al eje.

Radio: es el radio de la base o la longitud del cateto perpendicular al eje.



DESARROLLO DEL CONO

El desarrollo de un cono está formado por los dos siguientes elementos:

- Un sector circular con longitud 2πr, siendo r el radio de la base, y radio del sector coincide con generatriz del cono g.

- Un círculo con radio r.

CONO: ÁREAS Y VOLUMEN

Áreas del cono

Área lateral = πrg

Área total = área lateral + área de la base = πrg + πr 2

Volumen de un cono

Volumen = 3

hrπ

3

alturabaseArea2



LA ESFERA

La esfera es un cuerpo en revolución engendrado por un semicírculo que gira en torno a su diámetro.

Elementos de la esfera

Eje de la esfera: es el diámetro sobre el que gira el semicírculo.

Centro: es el centro del semicírculo.

Radio: es el radio del semicírculo.

La esfera no tiene desarrollo plano. No se diferencia el área lateral y área total:

ESFERA: ÁREA Y VOLUMEN

Área de la esfera

Área de la esfera = 4πr2

Volumen de la esfera

Volumen esfera =



UNIDADES DE VOLUMEN

El metro cúbico es la medida del volumen de un cubo que tiene 1 m de arista.

UNIDADES DE VOLUMEN

NOMBRE SÍMBOLO

MULTIPLOS

miriámetro cúbico mam3

kilómetro cúbico km3

hectómetro cúbico hm3

decámetro cúbico dam3

UNIDAD metro cúbico m3

DIVISORES

decímetro cúbico dm3

centímetro cúbico cm3

milímetro cúbico mm3

RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD

La relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa es la siguiente:

1m3 = 1kl = tonelada (t)

1 dm3 = 1litro (L) = kg

1 cm3 = 1mL = 1g

Ejemplos:

VOLUMEN CAPACIDAD MASA

59 dm3 = 59 l = 59 kg

35 m3 = 35 kl = 35 t

250 cm3 = 250 mL = 250 g

Proporcionalidad aritmética


PROPORACIONALIADAD ARITMÉTICA

RAZÓN Y PROPORCIÓN

La razón es la relación entre dos magnitudes. La razón se expresa como cociente entre las dos magnitudes. Una razón se escribe de la forma siguiente:

b

a → “a es a b” →

econsecuent

eantecedent.

PROPORCIÓN

Una proporción es la igualdad entre razones.

d

c

b

a “a es b, como c es a d”

Los términos a y d se llaman extremos; los términos b y c, medios.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES

Toda proporción cumple la siguiente propiedad: “El producto de medios es igual al producto de extremos”

d

c

b

aa · d = b · c

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

La constante de proporcionalidad es el resultado de dividir el valor del consecuente entre el valor del antecedente.

Ejemplo: La tabla muestra la relación entre número de pasajeros, x; y el coste del viaje, y.

Cantidad de Pasajeros (x)

antecedente 1 2 3 4 5

Coste viaje € (y)

consecuente 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00



Si dividimos cada consecuente, fila segunda de la tabla, entre su antecedente, fila primera obtenemos el valor de la constante de proporcionalidad:

1,205

6,00

4

4,80

3

3,60

2

2,40

1

1,20

En nuestro ejemplo, la constante de proporcionalidad es 1,20 que es el precio de un billete.

Definimos constante de proporcionalidad, k, dadas dos variables x, e y relacionadas directamente proporcional como el resultado de dividir la variable dependiente, y, entre la variable independiente, x.

k = y/x

CUARTO PROPORCIONAL

Cuarto proporcional es el término desconocido de una razón. La letra equis, x, se utiliza para indicar el cuarto proporcional.

Ejemplo: La proporción 60

x

12

2

relaciona número de personas y la cantidad que

pagan por una entrada de cine.

La x, cuarto proporcional, es el número de personas que corresponde a la cantidad de 60 euros:

Calculo del cuarto proporcional

Para calcular el cuarto proporcional de una proporción procedemos de la forma siguiente:

1. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:

12 · x = 2 · 60

2. Despejamos la x:

x = 1012

60·2personas



PROPORCIONALIDAD DIRECTA. APLICACIONES

Dos magnitudes de una razón son directamente proporcionales si al aumentar el valor del antecedente; aumenta el valor de su consecuente. Y si al disminuir el valor del antecedente disminuye el valor del consecuente.

REGLA DE TRES SIMPLE

La regla de tres simple nos permite solucionar problemas en los que intervienen dos razones. La regla de tres la resolvemos siguiendo tres pasos:

1. Planteamos la proporción.

2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones.

3. Despejamos la x: calculamos el cuarto proporcional

Ejemplo 1: Calcule el coste de 12 botellas de agua si 3 botellas cuestan 0,90 €.

1. Planteamos la proporción, la razón que tiene el término que se va a calcular, x se coloca en primer lugar; es decir a la izquierda del signo igual:

3 botellas → 0,90 €

→ 12

3

x

0,90

12 botellas → x


3x = 0,90 · 12

3. Despejamos la x:

€3,603

12·0,90x



PORCENTAJES

Porcentaje es una forma de medir partes de un todo representado por 100.

El porcentaje nos permite comparar conjuntos con diferente cantidad de elementos.

Ejemplo 1: El 20% de los 70 coches vendidos durante este mes son de color blanco. ¿Cuántos coches blancos se han vendido?

1. Planteamos la proporción, la razón primera es la tiene el término x:

100 vendidos → 20 blancos

70 vendidos → x →

70

100

x

20

2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones : 100x = 20 · 70

3. Despejamos la x:

14100

1400

100

70·20 x coches blancos

Ejemplo 2: Si 6 de los 30 alumnos de la clase tienen ojos azules. Calcula el tanto por ciento de niños que tienen ojos azules en una clase.

1. Planteamos la proporción, la razón primera es la tiene el término x:

Si de 30 alumnos → 6 tienen ojos azules →

100

30

x

6

Si fueran 100 → x tendrán ojos azules

2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 30x = 6· 100

3. Despejamos la x

2030

6·100x → 20% tienen ojos azules

El porcentaje se puede calcular utilizando el sistema de reducción a la unidad dividimos la parte entre el todo y multiplicamos el resultado por 100.

20100·30

6x %



Ejemplo 3: Mil ochocientas personas, que equivalen al 60% de los participantes de una prueba, obtuvieron calificación positiva. Calcula el número total de personas que tomaron parte en la prueba.

El 60% 1 800

Todos: 100% x 100

60

x

1800

3000

60

100·1800x personas

Ejemplo 4: En una votación participan 600 personas. ¿Qué tanto por ciento de los votos obtuvo un candidato que recibió 120 votos?

600 participantes 120 votos

100 “ x 100

600

x

120

%20

600

100·120x

Solución utilizando el sistema de reducción a la unidad:

20%100·600

120x

Ejemplo 5: He pagado 158 euros después de hacerme un 20% de descuento ¿Cuál era el precio inicial del artículo?

80 precio final 100 precio inicial

158

80

x

100

€197,50

80

158x100x

158 x

Ejemplo 6: Juan colocó 225 cajas de las 500 que tenía que colocar. Pedro colocó 264 de las 600 que le correspondían. ¿Cuál de los dos trabajó más eficazmente? Razónalo.

Calculamos el porcentaje de cajas que ha colocado cada uno.

45%100·500

225 Juan

44%100·600

264Pedro.

Juan colocó el 45% y Pedro, el 44 %. El porcentaje nos indica cuántas cajas hubiera colocado si hubieran tenido que colocar 100 cada uno.



RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL % DE IVA

Calcular precio final de un artículo después de aplicarle el IVA.

Ejemplo: El precio de una tele es 700 € más el 21% de IVA. Calcular el precio final.

Primera interpretación del IVA: Por cada 100 €, precio inicial, se paga 21 € de IVA.

Por 100 pago 21 € de IVA

Por 700 x 700

100

x

21

100

21·700x = 147 €

700 + 147 = 847,00 € precio final

Segunda interpretación del IVA: Si el precio inicial es de 100 €, el precio final, su precio después de aplicar el IVA, será 121 €.

Precio inicial Precio final

700

100

x

121

100

700·121x = 847 €

100 → 121 €

700 → x

NOTA: el precio final de un artículo se puede calcular sin hacer la regla de tres, multiplicando el precio inicial por 1,00 + % IVA.

Calcular el precio inicial conocido el precio final y el IVA aplicado.

Ejemplo: Hemos pagado 1089 € por un artículo después de aplicarle el 21% de IVA Calcula el precio inicial y lo que supuso el IVA.

Precio final Precio inicial

→ €900121

1089·100x precio inicial 121 € → 100 €

1089 → x

Precio final – precio inicial = 1.089 – 900 = 189 € supuso el IVA

NOTA: el precio inicial de un artículo, conocido su precio final, se calcula sin hacer la regla de tres dividiendo el precio final entre 1,00 + % IVA.



REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Ejemplo 1: Juan y Manuel colaboraron en el desarrollo de un proyecto. Los beneficios obtenidos se repartieron proporcionalmente al número de horas que cada uno dedicó a su realización. Si ganaron 15.000 €, ¿cuánto cobró cada uno teniendo en cuenta que Juan utilizó 240 horas y Manuel, 260 horas?

Solución empleando el método de reducción a la unidad:

240 + 260 = 500 horas se trabajaron en total

15.000 : 500 = 30 € por hora

Juan: 240 x 30 = 7.200 €

Manuel: 260 x 30 =7800 €

Solución usando la regla de tres.

Total de horas trabajadas: 240 + 260 = 500 horas

500 horas trabajada → 15.000 €

240 h Juan → x

€7200500

000 15·240x

500 horas trabajada → 15.000 €

260 h Manuel → x

€7800500

00015·260x

Una tercera forma de resolver el problema es aplicando las propiedades de las proporciones. En nuestro ejemplo procedemos de la forma siguiente:

500

00015

260

Manuel

240

Juan 7200

500

00015240J 7800

500

00015260M



PORCENTAJES: TABLAS ESTADÍSTICAS

El porcentaje nos permite comparar situaciones en las que la cantidad de elementos de los conjuntos a relacionar son diferentes.

Ejemplo 1: En la tabla siguiente aparecen los lanzamientos y encestes de 3 jugadores. Comparamos su efectividad utilizando el porcentaje de aciertos.

Lanzamientos Encestes frecuencia relativa %

Jugador 1 8 5 5 : 8 = 0,625 0,625 x 100 = 62,5 %

Jugador 2 20 8 8 : 20 = 0,4 0,4 x 100 = 40 %

Jugador 3 15 9 9 : 15 = 0,6 0,6 x 100 = 60 %

Dividimos la cantidad de aciertos de cada uno, parte, entre las veces que ha lanzado a cesta, todo. El resultado es el tanto por uno o frecuencia de aciertos relativa al número de tiros.

Si la frecuencia relativa la multiplicamos por 100, obtenemos el tanto por ciento.

Ejemplo 2: En la tabla siguiente aparece el resultado de preguntar el color de coche preferido a 50 personas:

Color nº Personas frecuencia relativa %

Blanco 4 4 : 50 = 0,08 0,08 x 100 = 8 %

Negro 19 19: 50 = 0,38 0,38 x 100 = 38 %

Rojo 15 15: 50 = 0,30 0,3 x 100 = 30 %

Verde 12 12 : 50 = 0, 24 0’24 x 100 = 24 %

Total = 50



MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

La relación entre dos magnitudes es inversamente proporcional cuando al multiplicar del valor de la antecedente la consecuente queda dividida; o si al dividir la antecedente, la consecuente queda multiplicada.

Dicho de forma: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando a un aumento o disminución de una le corresponde una disminución o aumento de la magnitud relacionada con ella: “A más le corresponde menos y a menos, más.”

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Ejemplo: Dos trabajadores tardan 24 días en hacer una tapia. ¿Cuánto tardarán en hacer el mismo trabajo 6 trabajadores?

Plantemos la regla de tres

1. Proporción 2. Propiedad fundamental

3. Despejamos la x

Inversa

2

6

x

24

→ 6 · x = 24 · 2

días 8

6

48

6

2•24 x 2 trabaj. → 24 días

6 “ → x

Observa que la razón inversa, que no tiene la x, se invierte.

REGLA DE TRES COMPUESTA

En la regla de tres compuesta intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

SOLUCIÓN MEDIANTE PROPORCIONES:

Ejemplo: Cuatro personas pagan 2.400 euros por un viaje que dura 10 días. Calcule cuánto pagarán 6 personas por el mismo viaje si lo amplían 5 días.

Directa Directa

4 personas → 10 días → 2400 euros

6 “ → 15 “ → x “

Comparamos las razones de dos en dos: Relacionamos cada razón con la razón que contiene la incógnita, x, para determinar si su relación es inversa o directamente proporcional. En nuestro ejemplo, procedemos de la forma siguiente:



“Seis personas son más que 4, luego a más personas más dinero a pagar”: la relación entre personas y precio a pagar es directamente proporcional.

“Quince días son más días que 10, luego a más días más precio a pagar.”: la relación entre días y precio a pagar es directamente proporcional”.

IMPORTANTE: como comparamos las razones de dos en dos, no tenemos en cuenta los valores de las otras razones que intervienen en la regla de tres compuesta. Es decir, a más personas siempre pagamos más y no tenemos en cuenta si los días aumentan o disminuyen.

Una vez analizada la relación entre las razones, procedemos de forma semejante a como se hace en el proceso de resolución de una regla de tres simple:

1. Planteamos la razón:

15•6

10•4

x

2400 →

90

40

x

2400

Observa que se hacen los productos para que quede una proporción con dos razones, una de ellas contiene la incógnita


40x = 2400 · 90

3. Despejamos la x;

€540040

90·2400x

SOLUCIÓN UTILIZANDO EL SISTEMA DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD:

Distribuimos los datos en forma de tabla. En la primera fila, colocamos los datos iniciales que nos da el enunciado del problema. El procedimiento tiene dos fases: reducción a la unidad y solución.

Fase de reducción a la unidad:

Dividimos cada dato inicial entre su valor para obtener 1. Y hacemos los mismo con el dato conocido de la razón que tiene la incógnita, x. En nuestro ejemplo: dividimos entre 4 que es el valor inicial de la razón personas y los 2400 valor inicial de la razón euros.

Dividimos entre 10 la razón de los días, y el resultado obtenido anteriormente de dividir la razón que contiene la incógnita entre 4.



Fase de solución:

Multiplicamos cada 1 obtenido en el proceso de reducción a la unidad por los nuevos valores. La cantidad obtenida durante proceso de reducción en la columna que contiene la x, se multiplica también por el nuevo valor de cada razón si la relación es directamente proporcional.

Datos =

Directa Directa

4 personas 10 días 2400 euros

Reducción a la unidad 4 : 4 = 1 2 400 : 4 = 600

10 : 10 = 1 600 : 10 = 60

Solución 1 · 6 60 · 6 = 360

1 · 15 360 · 15 = 5400 euros

Ejemplo 2: Seis obreros trabajando 8 horas diarias terminan una obra en 15 días. Calcula cuántos días emplearán 10 obreros trabajando 4 horas diarias para realizar la misma tarea.

Analizamos la relación entre las magnitudes que intervienen en la regla de tres:

Inversa Inversa

6 obreros → 8 horas → 15 días

10 → 4 “ → x “

1. Planteamos la razón. Las razones inversas se invierten:

8•6

4•10

x

15

→

48

40

x

15

2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones

40x = 15 · 48

3. Despejamos la x

días1840

48·15x



Solución utilizando el método de reducción a la unidad:

Datos =

Inversa Inversa

6 obreros 8 horas 15 días

Reducción a la unidad 6 : 6 = 1 15 x 6 = 90

8 : 8 = 1 90 x 8 = 720

Solución 1 · 10 720 : 10 = 72

1 · 4 72 : 4 = 18

Fase de reducción a la unidad: en este caso la relación entre las magnitudes de las razones es inversamente proporcional.

Observa, que los valores situados en la columna de la incógnita se han multiplicado. Si la relación entre magnitudes es inversa, en la fase de reducción a la unidad se multiplican los valores situados en la columna de la incógnita.

Fase de solución: multiplicamos el 1 obtenido en el proceso de reducción a la unidad por los nuevos valores de cada razón que se indican en el enunciado del problema.

Observa: los datos situados en la columna días se dividen en lugar de multiplicarlos. Recuerda que cuando la relación entre las magnitudes es inversamente proporcional, aplicamos la operación opuesta en la columna que contiene la incógnita.

Ejemplo 3: Si 5 máquinas en 6 horas confeccionan 60 jerséis, ¿cuántas máquinas se necesitarían para hacer 100 jerséis en 5 horas?

Inversa Directa

5 máquinas → 6 horas → 60 jerséis

x → 5 “ → 100 “

Analizamos la relación entre las magnitudes de las razones respecto a la razón que contiene la x tomadas de dos en dos.

“Cien jerséis son más que 60, a más jerséis más máquinas se necesitarán”. La relación es directamente proporcional.

“Cinco horas son menos que 6, a menos horas trabajando necesitamos más máquinas funcionado”. La relación es inversamente proporcional.

Una vez analizada de relación entre las razones, planteamos la proporción:



La razón que contiene la x es la que se escribe a la izquierda del igual.

El antecedente de la razón situada a la derecha del igual es el producto de todos los antecedentes de las razones que no contienen la equis; y el consecuente, el producto de sus consecuentes.

MUY IMPORTANTE: los términos de las razones inversas se invierten al hacer la proporción.

100•6

60•5

x

5

1. Hacemos los productos para plantear la proporción:

600

300

x

5

2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 300 x = 5 · 600

3. Despejamos la x:

máquinas10300

600•5x

Solución utilizando el método de reducción a la unidad:

Datos =

Directa Inversa

60 jerséis 6 horas 5 maquinas

Reducción a la unidad

60 : 60 = 1 5 : 60

6 : 6 = 1 60

5 · 6

Solución

1 · 100 6·60

5· 10

1 · 5 )6·100·60

5( : 5 = 10

Observa, que en la fase de reducción a la unidad de la relación entre horas y cantidad de máquinas es inversamente proporcional; por lo tanto, multiplicamos el valor conocido de la razón que contiene la incógnita, máquinas.

En la fase de solución multiplicamos la razón inversa, horas, por el valor dado en el enunciado y dividimos en la columna que contiene la incógnita, máquinas.

Se pueden facilitar los cálculos si se hacen todas las operaciones al final del proceso.



REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES:

Repartir una cantidad inversamente proporcional respecto a unos números consiste en que al mayor número le debe corresponder la menor cantidad y al mayor, la menor cantidad.

Ejemplo: Repartir inversamente proporcional 4200 € al tiempo empleado por los tres primeros clasificados en una prueba. Los tiempos de los tres primeros clasificados fueron los siguientes: a) 3 horas; b) 5 horas y c) 6 horas.

1er Clasificado 2º Clasificado 3er Clasificado

3 horas 5 horas 6 horas

Para que al menor número le corresponda la mayor cantidad y al mayor le corresponda la menor, repartimos sobre el inverso de cada número inicial.

El inverso de un número entero es la fracción que tiene como numerador 1, y de denominador el número entero. Luego los inversos de 3, 5 y 6 son los siguientes:

3

1

5

1

6

1

Reducimos a común denominador: utilizamos el sistema de productos cruzados.

90

30

90

18

90

15

Una vez reducidas las fracciones a común denominador, procedemos a hacer el reparto utilizando sólo los numeradores. (Si es posible, simplificamos las fracciones).

Se procede a repartir sobre los denominadores siguiendo los mismos pasos que cuando se hacen repartos directamente proporcionales.

1er clasificado = €200063

420030

2ª Clasificado = €120063

4200·18

3er clasificado = €100063

20015

NOTA: si los números sobre los que se hace el reparto son fracciones, se repartirá a la fracción inversa. Es decir, si la fracción es 2/3 repartimos a 3/2



FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

En la tabla siguiente tenemos la relación entre el número lápices que compramos, x; con el precio a pagar, y. El precio de cada lápiz es de 2 €.

Número de lápices (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio a pagar (y) 2 € 4 € 6 € 8 € 10 € 12 € 14 € 16 € 18 € 20 €

La cantidad de lápices, x, la llamaremos variable independiente.

La cantidad de euros, y, es la variable dependiente.

Si dividimos la variable dependiente entre la variable independiente, obtenemos el valor de la constante de proporcionalidad. En nuestro ejemplo: 2/1; 4/2; 6/3; 8/4…

y/x = k , k = constante de proporcionalidad.

La expresión matemática que relaciona la cantidad de lápices y su coste es la expresión analítica o algebraica de la función de proporcionalidad.

La relación entre la cantidad de lápices y el precio a pagar viene indicada por la expresión algebraica: y = 2x.

La función de proporcionalidad directa se suele representar por una expresión algebraica que tiene la forma siguiente:

y = mx

O también:

y = mx + b

m es el valor de la constante de proporcionalidad, k. En nuestro ejemplo, el valor de m es 2.

La expresión algebraica y = 2x indica que tenemos que multiplicar por 2 la cantidad de lápices que compramos, variable dependiente, x.

Un ejemplo de la expresión algebraica y = mx + b puede el siguiente: la cantidad que tenemos que pagar a un técnico que cobra 16 € la salida y 30 € por hora trabajada. En este caso la expresión algebraica es y = 30x + 16.



REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD

DIRECTA

Ejemplo 1: Representamos gráficamente la función que relaciona el número de lápices y el importe que pagamos si el precio de cada lápiz es de 2 ,00 €.

Número de lápices (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio a pagar (y) 2 € 4 € 6 € 8 € 10 € 12 € 14 € 16 € 18 € 20 €

Datos de una función representados en una tabla:

En la primera fila aparecen los valores de la variable independiente, x,

En la segunda fila de la tabla, aparecen los valores de la variable dependiente, y, estos valores se colocan en el eje vertical del gráfico.

Datos de una función representados en un gráfico:

En el eje horizontal, x, se coloca la cantidad de lapiceros que se compran. El cantidad de lápices se representa con la letra x, variable independiente.

En el eje vertical, y, se coloca el importe que se paga según el número de lápices que se compran. Los costes, valores y, dependen del número de lápices que compramos, por lo que reciben el nombre de variable dependiente.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Euro

s: e

je y

; var

iab

la d

epen

die

nte

Número de lápices: eje x, variable independiente



Cuando la variable independiente sólo puede tomar valores expresados con números naturales o enteros, los puntos no se unen.

Las variables independientes que toman como valores sólo números naturales o enteros reciben el nombre de variables discretas. Ejemplos: cantidad de llamadas telefónicas que hacemos al día, el número de hermanos, cantidad de libros, etc.

Los gráficos que representan estas situaciones utilizan puntos o columnas

Ejemplo 2: En la tabla se indica la relación entre cantidad y lo que se paga por chorizo cuyo precio por kilo es 10 €. La expresión analítica o algebraica de la función es la siguiente: y = 10x

Cantidad, x - kg 0 0,5 0,75 1 1,5 1,75 2 2,25 2,50

Precio, y - € 0 5 7,5 10 15 17,5 20 22,5 25

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5

Var

iab

le d

epen

die

nte

-y

,

Cantiidad en kilos: x ; variable independiente

La variable independiente puede tomar valores expresados con números decimales. Las variables independientes que toman como valores números decimales reciben el nombre de variables continuas.

Los gráficos que representan funciones cuyo dominio es una variable continua suelen ser rectas, puntos unidos, histogramas: rectángulos unidos.



FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

En la tabla siguiente aparece la relación entre el número de personas y el tiempo, utilizado para realizar una determinada tarea. El tiempo se expresa en minutos.

Cantidad de personas (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (y) 60 30 20 15 12 10 8,6 7,5 6,7 6

Al aumentar la cantidad de personas que intervienen, variable independiente, disminuye el tiempo en desarrollar la tarea, variable dependiente. La relación entre las dos magnitudes, personas y tiempo, es inversamente proporcional.

La expresión analítica de la función es la siguiente: x

60y

No unimos los puntos para indicar que los valores del eje x pueden expresarse sólo con números enteros: x es una variable discreta.

La función de proporcionalidad inversa suele tener una expresión analítica o

algebraica del tipo x

ay , donde a representa a un número racional y x a la variable

independiente.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Va

ria

ble

de

pe

nd

ien

te:

y =

tie

mp

o

Variable independiente, y, = número de personas

y = 60/x

Proporcionalidad geométrica


PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

Semejanza de figuras planas

Dos figuras son semejantes si sus lados correspondientes, u homólogos, son proporcionales y sus ángulos iguales. Es decir; tienen "la misma forma" y sólo se diferencian en su tamaño.

Si los dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales:

FD

CA

FE

CB

ED

BA

Suponemos que cada lado del triángulo menor mide 8 m, 10 m, 6 m. y la razón de semejanza entre los lados de los dos triángulos es 2. De acuerdo con la definición de semejanza podemos escribir la siguiente proporción:

26

AC

10

CB

8

BA

FD

CA

FE

CB

ED

BA

Luego los lados del triángulo mayor miden 16 m, 20 m y 12 m para que se cumpla la proporción en la que la constante de proporcionalidad es 2:

26

12

10

20

8

16

FD

CA

F E

CB

ED

BA

El número fijo por el que multiplicamos para obtener una figura mayor; o dividimos para obtener una figura menor, es la razón de semejanza.

Aa

Ba

Ca F

aa

Ea

Da



APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS.

Escalas

La semejanza de figuras nos permite hacer representaciones de objetos reales a un tamaño más grande (ampliaciones) o más pequeño (reducciones).

Escala es la relación entre la dimensión dibujada y la dimensión real medidas utilizando la misma unidad. Las escalas se expresan en forma de cociente.

realdimensión

dibujadadimensiónEscala

La escala se indica utilizando dos cantidades separadas por dos puntos (:). El primer elemento de la escala suele ser el 1, que se refiere a la dimensión dibujada. El segundo elemento, indica la cantidad de cm o mm reales que corresponden a 1 cm o mm en la representación, plano o mapa.

En las representaciones de objetos la razón de semejanza recibe el nombre de factor de escala. Ejemplo, 1:250

En la escala, 250 es la razón de semejanza o factor de escala. En un plano a escala 1:250, cada centímetro o mm del plano equivale a 250 centímetros o mm en la realidad.

Ejemplo 1: Calcular la longitud real de un local representado en un plano hecho a escala 1:250. La longitud en el plano es de 10 cm. Expresar el resultado en metros.

1 cm. en plano 250 cm. en realidad

10 cm en plano x cm. en realidad

cm. 5002 1

10•250 x ;

10

1

x

250

2500 cm = 25 metros

El problema se puede solucionar sin necesidad de utilizar la regla de tres. Para ello aplicamos el siguiente procedimiento:

Si 1 cm en el plano = 250 cm en la realidad; 10 cm del plano será igual a 10 veces más en la realidad:

10 x 250 cm = 2500 cm = 25 m



Ejemplo 2: En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 5 centímetros. Teniendo en cuenta que la distancia en la realidad entre las dos ciudades es de 400 km. Calcula la escala que se utilizó para dibujar el mapa.

Solución mediante una regla de tres simple: 400 km = 40.000.000 cm

Plano/mapa Realidad

1

5

00000040

x→

00000085

1·00000040x

La escala es 1 : 8 000 000

5 cm → 40 000 000 cm

1 cm → x

Solución utilizando el concepto de escala: se divide la distancia real, expresada en cm o mm, entre la distancia dibujada.

5 cm → 400 km = 40 000 000 centímetros.

realdimensión

dibujadadimensiónEscala

00000040

5

x

1

5x = 1 · 40 000 000

00000085

00000040·1x

La escala es 1 : 8 000 000

Ejemplo 3: La distancia real entre dos ciudades es de 4,48 km. Calcula la escala que se ha utilizado en un mapa si las dos ciudades están a una distancia de 5,6 cm

4,48 km = 448 000 cm

Si 5,6 cm en el mapa representan 448 000 cm reales, cada cm en el plano equivale a:

000805,6

000448cm reales

La escala es 1 : 80 000



Ejemplo 4: En una representación a escala 1:50, ¿qué medidas tendrá una mesa rectangular de 8 m x 6 m?

8 m = 800 cm

6 m = 600 cm

800 : 50 = 16 cm en el plano

600 : 50 = 12 cm en el plano

16 cm x 12 cm, medidas en el plano.

Utilizando una regla de tres el problemas se plantea de la forma siguiente:

50 cm reales → 1 en el plano → → 50x = 1 · 800 →

800 “ “ → x

8 m reales = 16 cm en el plano

50 cm reales →1 en el plano →

→ 50x = 1 · 600 →

600 “ “ → x

6 m reales = 12 cm en el plano

Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra.

Ejemplo: Calcula la altura del muro teniendo en cuenta el valor de la altura de la estaca, 50 cm y de la sombra que proyecta, 80 cm. Sombra muro = 6 m

Para solucionar el problema utilizamos el centímetro como unidad de longitud.

6 m

8 m

50 cm

80 cm

6 m

x m



Aplicando la propiedad de la semejanza, escribimos la proporción que relaciona los lados homólogos de las figuras semejantes. La altura del edificio, x, será uno de los términos de la proporción.

80

600

50

x

→ 80x = 50 · 600

→ m 3,75 cm 375

80

600·50x

TEOREMA DE TALES

Si tres rectas paralelas, a, b, y c, cortan a otras dos rectas r y s, los segmentos que determinan son proporcionales.

CB

BC

BA

AB

CA

AC

CB

BC

BA

AB

CA

AC

BA

AB

La proporción anteriores expresan el teorema de Tales.

La razón de dos segmentos es el resultado de dividir sus longitudes

TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES

Los triángulos ACE y BCD comparten el ángulo C, están encajados. Los lados opuestos al ángulo C son paralelos. En estos casos se dice que los dos triángulos están en posición de Tales. Cuando dos triángulos se pueden colocar en posición de Tales, sus lados son proporcionales:

BD

AE

CD

CE

BC

AC

A

E

D

B C



APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

Dividir un segmento en partes iguales

El Teorema de Tales nos permite dividir un segmento en partes iguales (cinco en el ejemplo).

.Ejemplo 1: Divide el segmento AB en 5 partes iguales

Se traza una semirrecta a partir de A. Sobre ella se marcan, con el compás, 5 segmentos iguales con la longitud que se quiera. Se une la última marca con B y se trazan paralelas, una por cada marca de la semirrecta.

Ejemplo 2: Divide el segmento AB en dos partes de manera que la segunda parte sea el triple de la primera.

Procedemos como en el ejemplo anterior. Los segmentos dibujados en la recta r, no tendrán la misma medida: si el valor del primero es d; el valor del segundo segmento será 3d.

B A

3d

d



TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras se enuncia de la forma siguiente:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Si llamamos a la hipotenusa, a y a los catetos, b y c, el teorema de Pitágoras se expresa matemáticamente de la forma siguiente:

a2 = b

2 + c

2

De la fórmula anterior se deducen las tres siguientes:

Fórmula que nos permite calcular la hipotenusa conocida la longitud de los catetos:

c b = a 22

Fórmulas para calcular uno de los catetos conocida la longitud de la hipotenusa y la del otro cateto:

c a = b 22

b a = c 22

Hipotenusa = a



6 m

3,6 m

h

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Calcular la altura de una escalera:

Una escalera de 6 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 3,6 m de la pared.

a) ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?

m4,823,0412,96363,66h 22

Cálculo de la diagonal de un rectángulo.

m10100643686x 22

Cálculo de la apotema de un hexágono regular

Calculamos la apotema de un hexágono que tiene 10 m de lado.

Teniendo en cuenta que el radio del hexágono es igual al lado:

m8,667525100510a 22

8 m

6 m x

10 m

5 cm

a 10 m

Probabilidad y estadística


PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Aleatorios: al realizar un experimento aleatorio no podemos predecir el resultado que se obtendrá: depende del azar. Ejemplo: si tiramos una moneda no podemos predecir qué cara va a quedar visible

Deterministas: sí se puede predecir el resultado que se va a producir. Ejemplo si hoy es lunes, podemos predecir que mañana será martes.

SUCESOS: ESPACIO MUESTRAL

Suceso elemental.

Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio es un suceso elemental. Ejemplo: el resultado de lanzar una moneda al aire tiene dos sucesos elementales: {cara, cruz}

Suceso compuesto

Un suceso es compuesto cuando contiene dos o más sucesos elementales. Ejemplo: que salga un número par cuando lanzamos un dado. S = {2, 4, 6}

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los sucesos elementales. Se representa con la letra E.

Ejemplos:

Experimento lanzar un dado:

Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sucesos elementales → {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Sucesos compuestos: → Obtener un número par = {2, 4, 6}

Obtener un número mayor que 3 = {4, 5, 6},

Lanzar una moneda y anotar el número de caras:

Espacio muestral → E = {cara, cruz}

Sucesos elementales → {cara}, {cruz}



FRECUENCIAS

La frecuencia de un suceso elemental es el número de veces que ocurre al realizar un experimento. Diferenciamos la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta correspondiente a un suceso de un experimento es el número de veces que ocurre dicho suceso al realizar el experimento.

Ejemplo: He lanzado un dado 20 veces los resultados obtenidos son los siguientes que se han representado en una tabla de frecuencias:

1 2 2 2 2 2 3 3 4 4

5 5 5 5 5 5 6 6 6 6

Para representar los resultados obtenidos en un experimento en una tabla de frecuencias se procede de la forma siguiente:

Columna 1ª: se colocan todos los posibles valores de cada suceso elemental, xi. En el ejemplo, los posibles valores que se suceden al tirar el dado de seis caras: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Columna 2ª: aparece la frecuencia absoluta que indica el número de veces que un valor ha ocurrido al tirar el dado. La frecuencia se representa por fi

La frecuencia absoluta de un suceso xi se representa por fi

La frecuencia del número dos al tirar el dado la podemos expresar de la forma siguiente:

f2 = 5

Frecuencia del suceso salir un número par A = {2, 4, 6} es igual a la suma de la frecuencia de cada uno de los sucesos elementales:

FA = f2 + f4 + f6 = 5 + 2 + 4 = 11

Observa que la suma de la frecuencia absoluta de todos los posibles valores es igual al número de veces que se ha lanzado el dado:

Numero lanzamientos = N = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6

Tabla de frecuencias

Valores suceso

xi

Frecuencia absoluta

fi

1 1

2 5

3 2

4 2

5 6

6 4



Frecuencia relativa

La frecuencia relativa de un suceso es el cociente de su frecuencia absoluta entre el número de veces que se realiza el experimento. La frecuencia relativa de un suceso, xi, se representada por hi

Después de lanzar 20 veces un dado hemos obtenido los resultados que se muestran en la tabla siguiente:

Suceso elemental

xi

Frecuencia absoluta

fi

Frecuencia relativa

hi

1 1 1: 20 = 0,05

2 5 5 : 20 = 0,25

3 2 2 : 20 = 0,10

4 2 2 : 20 = 0,10

5 6 6 : 20 = 0,30

6 4 4 : 20 = 0,20

Total lanzamientos = N 20

PROBABILIDAD

La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso.

Si la probabilidad de un suceso es igual a 1, decimos que es un suceso seguro porque siempre ocurre.

Si la probabilidad de un suceso es 0, decimos que es un suceso imposible porque nunca ocurre.

FRECUENCIA Y PROBABILIDAD

La probabilidad de un suceso se considera equivalente a la frecuencia relativa de dicho suceso.

La regla de Laplace afirma que la probabilidad de un suceso es igual al número de casos favorables que contiene el suceso dividido entre el número total de sucesos posibles.

Ejemplo. Tiramos un dado: la probabilidad de que salga 5, será 1/6, La probabilidad de que salga un número par será 3/6,



ESTADÍSTICA

Estadística es la ciencia encargada de recopilar y ordenar datos referidos a diversos fenómenos para su posterior análisis e interpretación.

Población es el conjunto de elementos en los que se estudia un determinado aspecto o característica.

Muestra es una parte de la población. Es importante escoger correctamente la muestra: deber ser representativa, es decir, dar una información similar a la obtenida si estudiásemos toda la población.

VARIABLES ESTADÍSTICAS: CLASIFICACIÓN

Variable estadística, xi, es toda característica o aspecto de los elementos de una población o muestra que se puede estudiar.

Clasificación de las variables estadísticas:

Variables cualitativas: Se expresan con palabras. Ejemplos color de pelo, deporte favorito, etc.

Variables cuantitativas: los valores que pueden tomar son números. Pueden ser discretas o continuas.

Variables cuantitativas discretas: sus valores son números naturales o enteros. Ejemplo: número de personas que asisten a un evento, veces que vamos al cine, cantidad de coches o teles, etc.

Variables cuantitativas continuas: pueden tomar cualquier valor entero, decimal, fraccionario. Ejemplos: peso, altura, tiempo que se tarda en realizar una tarea

LAS TABLAS ESTADÍSTICAS

Las tablas estadísticas sirven para organizar los datos de una variable estadística y estudiarlos con mayor facilidad.

Tablas: variables cuantitativas discretas y cualitativas

En la primera columna se colocan los diferentes valores de la variable. Los valores de la variable cualitativa o cuantitativa discreta o continua se representan por xi.

En la segunda columna, se colocan los valores de la frecuencia absoluta, fi. La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece cada uno de los valores de la variable.



Ejemplo: En la tabla siguiente vemos los deportes que practican una muestra formada por 40 personas. La variable es cualitativa.

Deportes

xi

Frecuencia absoluta

fi

Frecuencia relativa

hi

Atletismo 8 8 : 40 = 0,20

Futbol 12 12 : 40 = 0,30

Tenis 6 6 : 40 = 0,15

Baloncesto 10 10 : 40 = 0,25

Balonmano 4 4 : 40 = 0,10

Total, N = 40

Columna 1ª: se colocan los valores de la variable, xi. La variable es cualitativa, se expresa con palabras.

Columna 2ª: está el número de personas que practican cada deporte, la frecuencia absoluta de cada variable, fi.

Columna 3ª: se coloca la frecuencia relativa.

La frecuencia relativa se calcula dividiendo el valor fi entre 40, el total de personas que intervinieron en la encuesta, N. La frecuencia relativa se expresa aproximada a las centésimas.

La frecuencia relativa es equivalente a la probabilidad.

A la vista de los datos de la tabla podemos afirmar que la probabilidad de que al preguntar a un miembro de la muestra elija el futbol como su deporte favorito es de 0,30; y que elija baloncesto, de 0,25.

La probabilidad de que un miembro de la muestra elija como sus dos deportes favoritos son tenis y baloncesto es de: 0,15 + 0,25 = 0,40

La probabilidad de que los tres deportes favoritos de los miembros de la muestra sean futbol, tenis y baloncesto es de 0,30 + 0,15 + 0,25 = 0,70.



Tablas: variables cuantitativas continuas

Cuando la variable estadística es cuantitativa continua, los valores se suelen agrupar en intervalos de igual amplitud.

Para realizar cálculos se utiliza el valor medio de cada intervalo que se llama marca de clase. Para calcular la marca de clase de cada intervalo, sumamos sus extremos y dividimos entre dos. Ejemplo: (170 + 180)/2 = 175.

Para calcular la marca de clase podemos dividir la amplitud de los intervalo entre 2 y sumar su resultado al extremo de la izquierda de cada intervalo. Ejemplo: 10 : 2 = 5; 170 + 5 = 175; 180 + 5 = 185 …

Ejemplo: En la tabla aparecen los datos obtenidos respecto a la estatura de 200 jugadores de baloncesto.: marca de clase, frecuencias absolutas y relativas.

Estatura en cm

xi

marca de clase Frecuencia absoluta

fi

Frecuencia relativa

hi

[170 - 180) 175 32 0,16

[180 - 190) 185 45 0,225

[190 - 200) 195 41 0,205

[200 - 210) 205 47 0,235

[210 - 220) 215 23 0,115

[220 - 230) 225 12 0,06

200 1

La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de jugadores y la suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

TIPOS DE INTERVALOS:

Abierto, (2, 5) contiene todos los puntos entre 2 y 5, no incluye a ambos.

Cerrado, [2, 5] contiene todos los puntos entre 2 y 5, sí incluye a ambos.

Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, (2, 5] contiene todos los puntos entre 2 y 5, y no contiene a 2 pero sí a 5.

Cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, [2, 5) contiene todos los puntos entre 2 y 5, y sí contiene a 2 pero no a 5.



FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA

Frecuencia absoluta, fi, de un conjunto de datos es el número de veces que se repite cada valor de la variable, xi.

Frecuencia relativa, hi, es igual a la frecuencia absoluta de cada variable dividida entre el número total de datos (N)

Nh if

i

La frecuencia relativa es siempre un número comprendido entre 0 y 1

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, N.

La suma de las frecuencias relativas es 1.

Porcentaje (%) es el resultado de multiplicar la frecuencia relativa por 100

TABLA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Y PORCENTAJES VARIABLE DISCRETA:

En la tabla siguiente aparecen los resultados obtenidos al preguntar a 50 alumnos, cuántos hermanos tiene cada uno:

xi

Frecuencia absoluta

fi

Frecuencia relativa

hi

Porcentaje

%

0 6 6 : 50 = 0,12 0,12 x 100 = 12

1 16 16 : 50 = 0,32 0,32 x 100 = 32

2 15 15 : 50 = 0,30 0,30 x 100 = 30

3 10 10 : 50 = 0,20 0,20 x 100 = 20

4 3 3 : 50 = 0,06 0,06 x 100 = 6

∑fi = N = 50 100 %

La variable xi, es el número de hermanos. Toma valores discretos: 0, 1, 2…

La frecuencia absoluta, fi de cada valor de la variable es el número de alumnos que respondieron que tienen 0, 1, 2,… hermanos. Es decir f3 = 10

La frecuencia relativa, hi es el resultado de cada valor fi entre 50, total de alumnos, N.

%: tanto por ciento que se obtiene al multiplicar la frecuencia relativa por 100.



TABLA DE FRECUENCIAS Y PORCENTAJES VARIABLES CONTINUAS

Los resultados de un test de inteligencia aplicad a una muestra de 25 personas se indican en la tabla:

Primera columna: los valores de la variable, se distribuyen en 6 intervalos.

Segunda columna: están los valores de la marca de clase de cada intervalo. La marca de clase se obtiene dividiendo entre dos la suma de los extremos del intervalo.

Tercera columna: se indica el número de veces que aparece cada dato, frecuencia absoluta.

Cuarta columna: se calcula el cociente entre la frecuencia absoluta de cada dato y la cantidad de elementos de la muestra: 25. El resultado de la división es el valor de la frecuencia relativa.

Quinta columna: se obtiene el porcentaje, que es el resultado de multiplicar la frecuencia relativa por 100.

Intervalo Marca de clase xI fi hi %

[65, 75) 70 5 0,20 20

[75, 85) 80 4 0,16 16

[85, 95) 90 4 0,16 16

[95, 105) 100 6 0,24 24

[105, 115) 110 4 0,16 16

[115, 125) 120 2 0,08 8

N = ∑fi = 25 100 %

La expresión N = ∑fi significa que el total de los miembros de la muestra, N, es igual a la suma de todas las frecuencias absolutas., fi



FRECUENCIAS ACUMULADAS.

Frecuencia absoluta acumulada, Fi, de un valor xi, es la suma de las frecuencias fi de todos los valores menores o iguales que él.

Frecuencia relativa acumulada, Hi de un valor xi es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos:

N

FH i

i

Ejemplo: Las edades, en años, de 20 jóvenes que han participado en un determinado estudio aparecen en la tabla.

Observa que los datos xi se han ordenado de mayor a menor.

FRECUENCIAS

DATOS

xi

Absoluta

fi

Absoluta acumulada

Fi

Relativa

hi

Relativa acumulada

HI

13 6 6 0,30 0,30

14 7 13 0,35 0,65

15 4 17 0,20 0,85

16 3 20 0,15 1

N = 20

GRÁFICOS

Los gráficos que se utilizan para representar los datos dependen del tipo de variable:

Para representar variables discretas se utilizan gráficos de barras, columnas, polígonos de frecuencias, puntos

Las variables continuas se representan con histogramas, polígonos de frecuencias, rectas.

VARIABLES DISCRETAS

Diagrama de barras:

Se usan para representar datos cualitativos o cuantitativos discretos.



Los valores de la variable, xi, se colocan sobre el eje horizontal, eje x, y se levantan barras de altura igual a la frecuencia representada. Los valores de la frecuencias se colocan en el eje vertical, eje y.

Eje horizontal xi Fútbol Baloncesto Tenis Atletismo Natación

Eje vertical fi 18 12 6 10 4

Ejemplo: Diagrama de barras se utiliza para representar datos cualitativos o cuantitativos discretos.

18

12

6

10

4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Fut bol Baloncest o Tenis At let ismo Natación

Frec

uenc

ia a

bsol

uta;

f i

Valores de la variable, xi

Gráfico: frecuencia absoluta

Polígono de frecuencias:

Es una línea poligonal que se obtiene a partir del diagrama de barras.

VARIABLES CONTINUAS

Histograma:

Los valores de variables cuantitativas continuas se representan con histogramas.

Sobre el eje horizontal se señalan los extremos de los intervalos y se levantan rectángulos de altura igual a la frecuencia representada.



Ejemplo: representamos en un histograma los datos de la tabla siguiente:

Estatura

cm

Marca de clase

xi

Número de alumnos

fi

[140, 150) 145 15

[150, 160) 155 35

[160, 170) 165 50

[170, 180) 175 65

[180, 190) 185 30

[190, 200) 195 5

N = 200

Polígono de frecuencias:

Se obtiene al unir los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos del histograma.

15

35

50

65

30

5

05

101520253035404550556065

[140, 150) [150, 160) [160, 170) [170, 180) [180, 190) [190, 200)

Fre

cu

en

cia

s: e

je y

Valores de la variable: eje x

Histograma: variables continuas



DIAGRAMA DE SECTORES

El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.

Los datos se representan en un círculo, dividido en sectores. Cada sector representa un valor de la variable.

La amplitud de un sector, su ángulo, es proporcional a la frecuencia del dato que representa. Ángulo del sector circular = hi · 360º. Si conocemos el porcentaje, el ángulo es igual al porcentaje · 360º/100

Ejemplo: La tabla recoge los datos obtenidos de preguntar a 40 personas sobre su deporte favorito. El resultado se representa en un diagrama de sectores:

Deportes fi hi % Ángulo

Fútbol 22 0,55 55% 0,55 · 360º = 198º

Baloncesto 12 0,3 30% 0,3 · 360º = 108º

Tenis 6 0,15 15% 0,15 · 360º = 54º

N = 40

Fútbol55%

Baloncesto30%

Tenis15%

Gráfico de sectores

Otros gráficos que pueden utilizarse son los siguientes:

Cartograma1. Cuando el estudio estadístico se hace en una zona geográfica, la representación gráfica se puede hacer sobre un mapa, coloreando con distintos colores cada una de las regiones representadas en el estudio.

Pictograma2. Consiste en la representación gráfica del estudio realizado utilizando dibujos alusivos a los distintos valores de la variable estadística.



MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Media aritmética :

Ejemplo 1: Calculamos la media aritmética de las notas que ha obtenido un grupo de 10 alumnos:

4 4 5 5 5 5 6 7 7 9

5,710

57

10

9776555544x

Distribuyendo los datos en una tabla:

Calificaciones

xi

Nº alumnos

fi fi · xi

4 2 8

5 4 20

6 1 6

7 2 14

9 1 9

N = 10 57

Aplicamos la fórmula para calcular la media aritmética:

media nota5,710

57

N

x·Σfx ii

Observa que el uso de tablas facilita los cálculos. ∑fi· xi es la expresión matemática que indica que se debe sumar todos los productos obtenidos al multiplicar el valor de la variable por su frecuencia. En nuestro ejemplo, la calificación por el número de alumnos que la han obtenido.



Ejemplo 2. En la tabla aparecen el número de hijos de 50 personas que trabajan en una determinada empresa.

Nº Hijos

xi

Nº trabajadores

fi fi · xi

0 10 0

1 25 25

2 10 20

3 4 12

4 1 4

N = 50 61

La media aritmética es la siguiente: hijos22,150

61

N

x·Σfx ii

Columna 1: valores de la variable. En nuestro ejemplo, cantidad de hijos que tiene cada trabajador entrevistado.

Columna 2: valores de la frecuencia absoluta de cada variable. Número de trabajadores que no tienen o tienen uno o más hijos.

Celda inferior, columna 2: sumatoria de todas las frecuencias absolutas. La suma coincide con el número total de trabajadores que respondieron: cantidad de elementos de la muestra o población.

Columna 3: producto del valor de cada variable por su frecuencia absoluta.

Columna 3, celda inferior: suma de los resultados obtenidos al multiplicar el valor de la variable por su frecuencia.

Ejemplo 3: Cálculo de la media aritmética cuando la variable xi es continua.

Para calcular la media aritmética cuando los valores de la variable están distribuidos en intervalos se utiliza la marca de clase.

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo.

Observa que en la cuarta columna cuya cabecera es fI · xI aparece el resultado de multiplicar la marca de clase por su frecuencia.



En la celda inferior de la cuarta columna aparece la suma de todos los productos obtenidos al multiplicar la frecuencia absoluta por la marca de clase.

Intervalos Marca de clase

xi

Frecuencia

fi

fI · xI

[45, 55) 50 6 300

[55, 65) 60 10 600

[65, 75) 70 19 1 330

[75, 85) 80 11 880

[85, 95) 90 4 360

N = 50 3 470

Media aritmética = 69,450

3470

N

x·Σfx ii

Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Ejemplo: calculamos la mediana de los datos obtenidos en una encuesta sobre una variable en la que los resultados obtenidos son los siguientes: 1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8,

1º. Ordenamos los datos de menor a mayor.

1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8

2º. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8 Me = 7

Ejemplo 2: Los resultados obtenidos en otro estudio forman una serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Me = (7 + 8)/2 = 7,5



Calcular la mediana cuando la variable estadística es discreta

Si la variable es discreta, para calcular Me, ponemos las frecuencias acumuladas Fi:

Hijos

xi

Frecuencia absoluta

fi

Frecuencia acumulada

Fi

1 6 6

2 5 11

3 2 13

4 1 14

N = 14

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 4

Dividimos entre dos para calcular el valor medio. En el ejemplo da 7. El valor de la mediana será el valor xi que coincide con una frecuencia acumulada con valor inmediato superior a 7.

hijos2Me11F72

14i

En el ejemplo, la frecuencia acumulada inmediata superior a 7 es 11. La frecuencia acumulada 11 corresponde al valor de la variable, xi = 2 hijos. Por lo tanto, la mediana es 2 hijos.

Cálculo de la mediana si los valores están agrupados en intervalos.3

La mediana de una variable estadística con datos agrupados en intervalos, es la marca de clase el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que la mitad del número de datos. Es decir, xi que corresponde a Fi > N/2

Ejemplo: En la tabla aparece el tiempo que 30 personas tardan en recorrer cierta distancia fija.

La mitad del número de datos es 30 : 2 = 15

La mediana estará en el intervalo con una frecuencia acumulada inmediatamente superior al resultado de dividir N/2. En el ejemplo es el valor 19.



El valor de la mediana es xi = 9,5 minutos situado en la Fi = 19.

Tiempos Marca de clase

xi

Nº atletas

(fi)

Frecuencias acumuladas

Fi

[8 – 9) 8,5 11 11

[9 – 10) 9,5 8 19

[10 – 11) 10,5 5 24

[11 – 12) 11,5 1 25

[12 – 13) 12,5 3 28

[13 – 14) 13,5 0 28

[14 – 15) 14,5 2 30

N = 30

Moda, Mo

Es el valor que más se repite; es decir, el dato que tiene mayor frecuencia. Si la variable es continua, hablamos de intervalo modal.

Ejemplo: Una encuesta realizada a 10 pilotos en la que se les preguntaba sobre el número de vuelos semanales muestra los datos representados en la tabla siguiente:

Nº vuelos xi

Frecuencia absoluta

fi


Fi

fI · xI

0 2 2 0

1 4 6 4

2 3 9 6

3 1 10 3

N = 10 ∑fi · xi = 13

La media aritmética es: vuelos,3110

3·12·31·40·2x

O de otra forma: 1,310

13

N

x·Σfx ii

Moda: la frecuencia mayor es 4, que corresponde a 1 vuelo: Mo = 1 vuelo



Mediana: Ordenados los datos: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3. Me = ovuel12

11

Ejemplo: En una fiesta asisten 35 amigos. Se les pregunta por su edad (en años) se anotan los datos en la tabla siguiente:

Edad

xi

Frecuencia absoluta

fi


Fi

fi · xi

19 6 6 114

20 7 13 140

21 9 22 189

22 7 29 154

23 5 34 115

24 1 35 24

N = 35 ∑fi · xi = 736

Media aritmética:

x = ,032135

736

35

1·245·237·229·217·206·19

De otra forma:

21,0335

736

N

x·Σfx ii

Mediana: 21 (35: 2 = 17,5; frecuencia acumulada mayor 17,5 es 22 que corresponde al valor xi = 21 Moda = 21, es el valor más repetido.

La moda puede tener más de un valor. Si la moda tiene más de un valor de la variable, la distribución de se llama bimodal, trimodal o multimodal.



1 Ejemplo de cartograma

2 Ejemplo de pictograma

60

30

20 15

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4

TIEMPO



3 FORMA DE CALCULAR EL VALOR MÁS EXACTO DE LA MEDIANA, Me

Como la mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, para calcularla debemos utilizar los datos siguientes:

Tiempos Minutos:

Marca de clase tiempos (minutos)

xi

Nº atletas (fi)

Frecuencias acumuladas Fi

[8 – 9) 8,5 11 11

[9 – 10) 9,5 8 19

[10 – 11) 10,5 5 24

[11 – 12) 11,5 1 25

[12 – 13) 12,5 3 28

[13 – 14) 13,5 0 28

[14 – 15) 14,5 2 30

N = 30

Hallamos el intervalo donde se encuentra la mediana: dividimos entre 2, la suma de todas las frecuencias absolutas que corresponden a cada intervalo de valores xi: 30/2 = 15. El valor 15 está en el intervalo [9, 10) que corresponde a la Fi = 19

Los datos que tenemos que utilizar para calcular la mediana son los siguientes:

El límite inferior del intervalo que contiene la mediana es 9

El valor de la frecuencia acumulada del intervalo anterior: Fi = 11

El valor de la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra la mediana es fi = 8

La amplitud de los intervalos en los que están distribuidas los valores de la variable xi = 1.

Aplicamos la fórmula siguiente:

9,51·8

11159Me

Números enteros, Z


NÚMEROS ENTEROS

MAGNITUDES ABOLUTAS Y RELATIVAS

Magnitudes absolutas su cantidad se expresa sin necesidad de indicar el sentido. Ejemplo, el peso de una persona.

Magnitudes relativas son magnitudes en las que es necesario hacer referencia al sentido en que se toman. Las magnitudes relativas se expresan utilizando números enteros.

Altitud respecto a un punto origen; fechas: antes o después de nuestra era. Temperaturas: sobre o bajo cero; sótanos de un edificio, altitud respecto al mar.

NÚMEROS ENTEROS, Z

Los números enteros tienen signo, positivo,+ o negativo, –, para indicar el sentido de la magnitud respecto a un punto tomado como origen, 0. Los números naturales se toman siempre como números enteros positivos. Ejemplo 4 = + 4.

Sótano planta número tres: Planta – 3.

Temperatura de 15 grados centígrados bajo cero: − 15.

Saldo negativo en cuenta, números rojos, de doscientos euros: – 200 €.

Z= {...− 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3,+ 4, + 5...}

El conjunto de los números enteros¸ conjunto Z, (positivos y negativos) surge ante la necesidad de ampliar el conjunto de los números, N, naturales (positivos). Los números enteros nos permiten expresar el resultado de la sustracción o resta cuando el minuendo es menor que el sustraendo. Ejemplo: 4 – 9 = – 5

El conjunto de números enteros, Z, está formados por tres clases de números: enteros positivos, coinciden con los naturales, N; enteros negativos y cero.

Z{0}ZZ

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto, están incluidos dentro del conjunto de los números enteros.

ZN

Números enteros, Z


REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS SOBRE LA RECTA

Tomamos un punto de la recta como origen y lo designamos con el número 0. Dividimos en segmentos de igual longitud a la izquierda y derecha del punto origen

A la derecha del cero, ponemos todos los números naturales, enteros positivos: + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6,...

A la izquierda del 0, colocamos los números negativos − 1, − 2, − 3, − 4, − 5, − 6...

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

El valor absoluto de un número entero es el valor numérico del número sin tener en cuenta el signo. El valor absoluto en una recta numérica es la distancia entre el número y el cero. Se expresa siempre con un número natural, sin signo.

La expresión matemática, /– 8/ = 8, se lee: “valor absoluto de menos 8 es igual a 8”

ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Cuando comparamos números enteros debemos aplicar los siguientes criterios:

Si los números son positivos: el mayor será el que tenga mayor valor sin tener en cuenta el signo. Se ordenan como los naturales. Ejemplo: + 50 > + 5. Se lee “+50 es mayor que + 5”

Si los números son negativos: el mayor será el que tenga menor valor absoluto, valor prescindiendo del signo. Ejemplo: − 50 < − 5. Se lee: “− 50 es menor que − 5”

Si uno es positivo y otro negativo: un número positivo siempre es mayor que un número negativo. Ejemplo: + 5 > − 500

Todos los números enteros negativos son menores que cero, 0.

NÚMEROS OPUESTOS

El opuesto de un número entero tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo. El opuesto de un número entero es su simétrico respecto al cero, 0. Ejemplo: el opuesto de + 5 es el número – 5. Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto y si se suman dan como resultado cero. Es decir, /− 5/ = /+ 5/ = 5

Números enteros, Z


OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS.

La suma de dos números del mismo signo

Se suman los valores absolutos de los números y se pone el signo que tienen todos los números.

Ejemplo 1: (+ 7) + (+ 5) = + 7 + 5 = +12

Ejemplo 2: – 7 + (– 5) = –12

Los paréntesis se utilizan para separar el signo del número del signo de la operación.

Cuando sumamos números enteros positivos, podemos prescindir del signo del número. Ejemplo:

(+ 7) + (+ 5) =, se puede escribir de la forma siguiente: 7 + 5 =

La suma de dos números enteros de distinto signo

Se restan sus valores absolutos y colocamos el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplo 1: 3 + (– 8) = – 5

Ejemplo 2 = – 2 + 7 = + 5

Resumiendo:

Signo de los

sumandos

Signo del resultado

Operación que

hacemos Ejemplos

Dos

positivos Positivo suma (+ 3) + (+ 4) = + 7

Dos

negativos Negativo suma (− 3) + (− 5) = − 8

diferente signo El signo del

número con mayor valor absoluto

resta (– 5) + (+ 9) = + 4

(+ 4) + (− 7) = − 3

Números enteros, Z


Suma y resta de más de dos números enteros

Para sumar varios números enteros procedemos de la forma siguiente

1. Quitamos paréntesis aplicando la regla se los signos.

2. Si después de quitar paréntesis tenemos números con diferente signo, sumamos por una parte todos los positivos y, por otra, todos los negativos.

3. El signo del resultado será más (+) si la cantidad de positivos obtenidos en el paso dos es mayor que la de negativos. El signo del resultado será menos (–) si la cantidad de negativos obtenida en el paso segundo es mayor que la de los positivos.

4. Restamos al valor al número con mayor absoluto el menor valor absoluto.

Regla de los signos para quitar paréntesis

Signo antes paréntesis Signo del resultado Ejemplos

+ por + Positivo + +(+ 12) = +12

– por – Positivo + − (− 9) = + 9

+ por – Negativo – (− 8) = − 8

– por + Negativo – − (+ 5) = − 5

Ejemplo: 5 + 8 + (−3) + 5 + (−6) + (−9) + 3 + 6 + (−14) =

1. Quitamos paréntesis aplicando la regla se los signos.

= 5 + 8 − 3 + 5 − 6 − 9 + 3 + 6 − 14 =

2. Sumamos los positivos por una parte y los negativos por otra, lo expresamos matemáticamente de la siguiente forma:

= + 27 − 32 =

3. Determinamos el signo del resultado: el signo del resultado de nuestro ejemplo es negativo porque en el paso dos se obtuvieron más negativos que positivos.

4. Restamos el número al mayor valor absoluto el menor. 32 – 27 = +5

ATENCIÓN: Si después de quitar paréntesis todos los números obtenidos tienen el mismo signo, simplemente se suman y se pone el signo que tienen todos los números.

Ejemplo 1: −1 + (− 2) − (+ 3) − (+ 4) = − 1 − 2 − 3 − 4 = − 10

Ejemplo 2: − (−3 ) + (+ 2) − (−1) = + 3 + 2 + 1 = + 6

Números enteros, Z


RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Para restar números enteros procedemos de la forma siguiente: quitamos paréntesis y luego procedemos como si fuera una suma.

Observarás que dependiendo del signo de los números que intervienen en la operación se debe sumar para obtener la solución de la resta.

Ejemplo: (+ 5) − (+ 18) =

Quitamos paréntesis:

(+ 5) − (+18) = + 5 − 18 =

Procedemos como si estuviéramos sumando:

= + 5 − 18 = – 13

Ejemplo: (– 5) – (+ 9) =

Quitamos paréntesis aplicando la regla de los signos:

(− 5) − (− 9) = − 5 − 9 =

Procedemos de forma semejante a la suma: − 5 − 9 = −14

Sumamos para obtener el resultado final porque después de quitar paréntesis todos los números tienen el mismo signo.

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS

1. Se quitan los paréntesis aplicando la regla de los signos.

2. El signo más delante de un paréntesis no cambia el signo de los números que están dentro del paréntesis. El signo menos delante de un paréntesis cambia el signo a todos los números que están dentro del paréntesis.

Regla de los signos aplicadas a paréntesis

+ ( … ) =

Se quitan los paréntesis dejando el mismo signo de todos los números que están dentro del paréntesis. Ejemplo:

− 3 + (7 − 5 + 2) = − 3 + 7 − 5 + 2 = − 8 + 9 = + 1

– ( … ) =

Cambiamos los signos de todos los números que están dentro del paréntesis. Ejemplo:

7 − (3 − 4 + 2) = 7 − 3 + 4 − 2 = + 11 − 5 = + 6

Números enteros, Z


Una vez quitados todos los paréntesis, Se suman los positivos por una parte y los negativos por otra.

Se restan los resultados poniendo el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: 15 − (− 2) + (− 8) – (17 – 23) + (8 − 33) =

Quitamos paréntesis

15 + 2 – 8 – 17 + 23 + 8 – 33 =

Si al quitar los paréntesis tenemos números positivos y negativos, sumamos positivos por una parte y los negativos por otra.

Determinamos el signo del resultado. El signo es negativo porque obtuvimos más negativos que positivos.

= + 48 – 58 = –

Una vez determinado el signo restamos del mayor valor absoluto el menor: 58 – 48

= + 48 – 58 = – 10

Ejemplo: si al quitar paréntesis todos los números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y el signo será el obtenido al quitar paréntesis.

(−3) + (− 4 − 5) − (6 + 1 + 3) − 5 =

= − 3 − 4 − 5 − 6 − 1 − 3 = −22

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Siempre que multiplicamos números enteros se aplica la regla de los signos. En la tabla aparece la regla de los signos y ejemplos de multiplicaciones de dos números enteros.

Regla de los signos para la multiplicación

Signo factores Signo del resultado Ejemplos

+ por + + Positivo (+ 4) · (+ 8) = + 32

– por – + Positivo (– 5) · (–7 ) = + 35

+ por – – Negativo (+ 7) · (– 4) = − 28

– por + – Negativo (–3 ) · (+ 5) = − 15

Números enteros, Z


DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS

El resultado de una división exacta de números enteros otro número entero. La regla de los signos se aplica para solucionar divisiones exactas.

Las divisiones no exactas tienen como resultado un número decimal o racional. Ejemplos:

30 : 6 = + 5 18 : (− 3) = − 6 (− 72) : (− 8) = + 9

30 = 6 · (+ 5) 18 = (− 3) · (− 6) (− 72) = (− 8) · (+ 9)

El resultado de la división (+ 7) : (+ 3) = no es un número entero.

POTENCIACIÓN

La potenciación indica en forma abreviada el producto de un número por sí mismo. Ejemplo: 3 · 3 · 3 · 3 = 34.

Los términos de la operación potenciación son los siguientes:

Base: es el número que se multiplica.

Exponente: indica la cantidad de veces que se multiplica la base.

Ejemplo: en la potencia, 25 , 2 es la base de la potencia y el 5 es el exponente.

25 se lee: “dos elevado a cinco o dos elevado a la quinta”.

Si el exponente es 2, se lee elevado al cuadrado o, simplemente, al cuadrado.

Si el exponente es 3, se dice elevado al cubo.

Si el exponente es 4, se dice elevado a la cuarta.

Si es 5, 6… se leerán a la quinta, sexta… y así sucesivamente.

Propiedades de la potenciación

El resultado de elevar un número entero positivo o negativo a un exponente par siempre es un número entero positivo.

Ejemplos: (–3)4= (– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) = + 81

(– 1)8 = + 1

¡ATENCIÓN!: – 14 = – 1

Números enteros, Z


El resultado de elevar un número entero negativo a exponente impar es siempre un número entero negativo.

Ejemplos: (– 2)3 = (– 2) · (– 2) · (–2 ) = – 8 (– 1)3 = – 1

Un número negativo sin paréntesis elevado a un exponente par o impar es siempre negativo:

Ejemplos: – 22 = – 2 · 2 = – 4 – 24 = – 2 · 2 · 2 · 2 = –1 6

El resultado de elevar un número entero a un exponente 0 es siempre 1. Es decir: a0 = 1

Ejemplos: (– 2)0 = 1 40 = 1 (+ 2)0 = 1

¡Importante!. – 20 = – 1

Todo número se puede expresar como potencia de exponente 1: a1 = a

Ejemplos: 2 = 21 5 = 51

El resultado de elevar un número entero a un exponente negativo es igual a 1 dividido entre el número entero elevado al exponente positivo.

Ejemplo: 70,00000010

7

10

710·7

4

4

Todo número decimal se puede expresar como producto de un entero por una potencia con base 10 y exponente negativo: 0,000 039 = 3,9 · 10 – 5

OPERACIONES CON POTENCIAS

Producto de potencias con la misma base: a m · a n = a m + n

Ejemplo: 2 5 · 2 2 = 2 5 + 2 = 2 7

División de potencias con la misma base: a m : a n = a m − n

Ejemplo: 25 : 22 = 2 5 − 2 = 23

Números enteros, Z


Potencia de una potencia: (a m)n = a m · n

Ejemplo: (2 5)3 = 215

Producto de potencias con el mismo exponente: a m · b m = (a · b)m

Ejemplo: 23 · 43 = (2 · 4)3 = 83

Cociente de potencias con el mismo exponente: a n : b n = (a : b)n

Ejemplo: 103 : 23 = (10 : 2)3 = 53

OPERACIONES COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS

Al hacer operaciones combinadas de números enteros debemos aplicar la siguiente jerarquía de las operaciones:

Ejemplos: 7 + 3 · 4 + 2 · 5 = 7 + 12 + 10 = +29

3 + (− 4) (− 5) = 3 + (+20) = 3 + 20 = +23

(− 2) · (− 3) − (−1) (− 5) = + 6 − (+ 5) = +6 − 5 = +1

(5 + 7) · (6 + 4) = (+12) (+10) = +120

3 · (5 − 7) = 3 · (− 2) = − 6

3 · (5 − 7) − 2 ·(4 − 5) = 3(− 2) − 2(− 1) = − 6 + 2 =−4

3 + 23 + 32 = 3 + 8 + 9 = +20

(5 – 3)2 + (4 − 3)3 = (+ 2)2 + (+1)3 = + 4 + (+1) = + 4 + 1 = + 5

1º paréntesis y corchetes

2º raíces y potencias

3º multiplicaciones y divisiones

4º sumas y restas

Números enteros, Z


Álgebra


ÁLGEBRA

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

La palabra álgebra procede del árabe y hace referencia a la parte de la matemática que atiende al estudio generalizado de las operaciones aritméticas, mediante la utilización de números, letras y signos operacionales.

Toda expresión en la que aparecen números y letras relacionadas entre sí por signos aritméticos, recibe la denominación de expresión algebraica y al conjunto de éstas y las reglas de empleo de sus elementos (números, letras y signos) es lo que se conoce como lenguaje algebraico.

La aritmética utiliza solamente números para realizar las operaciones matemáticas de suma, resta, multiplicación, división, etc. En el álgebra, el dato desconocido toma un valor genérico que viene dado por una letra cualquiera, normalmente x, y se denomina variable.

Ejemplos de expresiones algebraicas:

A = xy A= x2 y = 3x3 + 2x2 + 4x + 1

Las letras representan valores que no conocemos y podemos considerarlas como la generalización de un número. Las llamaremos variables.

EL LENGUAJE ALGEBRAICO

Lenguaje cotidiano Lenguaje

aritmético/algebraico

Cuatro veces cinco es igual a veinte 5 · 4 = 20

El doble de un número: si el número es x, su doble será: 2x

La mitad de un número: x/2

La suma de dos números x + y

El 21% de un número 0,21xx100

21

El cociente entre dos números x/y

El cuadrado de un número x2

La suma de los cuadrados de dos números x2 + y2

Álgebra


ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para un sólo valor de la cada letra, variable, que interviene en la expresión algebraica.

Miembros. Son las expresiones algebraicas situadas a cada lado del signo igual.

Términos: son los sumandos que forman cada miembro

Incógnitas: son las letras que intervienen de la ecuación. Se suelen utilizar: x, y, z.

Soluciones: son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad se cumpla.

Grado de la ecuación: es el exponente máximo de la incógnita de la ecuación

ECUACION 1

er

MIEMBRO 2º

MIEMBRO TÉRMINOS INCOGNITAS SOLUCIONES

4x = 24 4x 20 4x, 24 x 6

2x + 3 = 17 2x + 3 15 2x, 3, 17 x 7

2x + 4 = x + 9 2x + 4 x + 9 2x, 4 , x, 9 x 5

x2 = 16 x2 16 x2, 16 x + 4, – 4

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Resolver una ecuación es hallar el valor que debe tener la incógnita para que se cumpla la igualdad.

Ecuaciones del tipo ax = b

Despejamos la x: a

bx

Ejemplo: 7x = 21

37

21x

Ecuaciones en las que los miembros tienen varios términos

1. Trasposición de términos: todas las incógnitas, “x”, las colocamos en la parte izquierda del igual y todos los números en la parte derecha.

2. Hacemos operaciones.

3. Despejamos la incógnita tal y como se procedió en el apartado anterior

Álgebra


Ejemplo 1: Resolver la ecuación 2x – 5 = 9

1. Trasposición de términos: cuando trasponemos los términos cambiamos los signos de los términos que se trasponen:

2x = 9 + 5

2. Hacemos operaciones

2x = + 14

3. Despejamos la incógnita

72

14x

Ejemplo 2: Resolver la ecuación: 3x + 2 = x + 10

1. Trasposición de términos: cuando trasponemos los términos cambiamos los signos de los términos que se trasponen:

3x – x = + 10 – 2

2. Hacemos operaciones

2x = + 8

3. Despejamos la incógnita

42

8x

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Problemas de tanto por ciento

Ejemplo 1: Me han hecho un descuento del 20% sobre el precio que se indicaba en la etiqueta. Calcula el precio que tenía la etiqueta

20% = 0,20

x = precio que marcaba la etiqueta

0,20x = es el valor del descuento

Plantamos la siguiente ecuación

El precio que marcaba la etiqueta menos el descuento es igual al precio que he pagado. Expresado den forma algebraica:

x – 0,20x = 540

Álgebra


Resolvemos la ecuación:

0,8x = 540

x = 6758,0

540

El precio marcado en la etiqueta era: 675,00 €

Ejemplo 2: He pagado después de añadirme el 21% de IVA por un artículo 756,25 €. Calcula su precio sin IVA.

21% = 0,21

x = precio inicial del artículo

x +0,21x = precio final del artículo

La expresión algebraica es la siguiente:

x + 0,21x = 756,25

Solucionamos la ecuación:

1,21x = 756,25

x = 62521,,1

25.756

Precio inicial del artículo: 625,00 €

Otros

En una reunión asisten 27 personas. Si el número de mujeres es el doble que de hombres, ¿cuántos hombres hay en la reunión? Solución ecuación

DATOS Ecuación Solución ecuación

Distribución por sexo

Total asistentes

x + 2x = 27

x + 2x = 27

3x = 27

93

27x

Hombres: x

27

Mujeres: 2x

Funciones


FUNCIONES

COORDENADAS CARTESIANAS

Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se escribe P(x, y).

La primera coordenada, x, se mide sobre el eje de abscisas, que es eje horizontal, OX. Se denomina abscisa del punto P.

La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje de ordenadas o vertical, OY. Se denomina ordenada del punto P.

El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas.

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes. El orden de los cuadrantes es el que puedes ver en la figura siguiente:

Signos

Abscisa Ordenada

1er cuadrante + +

2º cuadrante − +

3er cuadrante − −

4º cuadrante + −

Funciones


En la imagen siguiente están representados varios puntos en un eje de coordenadas cartesianas.

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado.

La variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x.

Una función establece pares de valores relacionados, (x, y). Estos pares pueden ser representados en un sistema de coordenadas como si fueran puntos. Los puntos forman la gráfica de la función.

Según las variables que se relacionan en la función, los puntos pueden unirse o no.

Funciones


FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN

Mediante un texto:

Mediante el enunciado de un problema: descripción verbal y/o escrita que nos indica la relación entre las dos variables de una función, variable independiente, x; y la variable dependiente, y.

Mediante una tabla:

Los valores de la variable independiente y dependiente se organizan en forma de tabla. Normalmente la variable independiente, x, se coloca en la primer fila y la variable dependiente, y, en la segunda fila.

Ejemplo 1: La variación de la temperatura máxima durante un periodo de tiempo expresado en días.

Días (x) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Temperatura (y) 16 10 12 24 20 16 14 18 20 18

Ejemplo 2: Una tienda ofrece un modelo de teléfono móvil por 45 € la unidad. En la tabla aparece la relación entre las variables.

Nº de móviles (x) 1 2 3 4 5 6

Precio en € (y) 45 90 135 180 225 270

Funciones


Mediante un gráfico:

Para expresar gráficamente una función expresada mediante una tabla de valores, se representan sus pares de valores como puntos en un sistema de eje cartesianos:

- Los valores de la variable independiente se representan sobre el eje horizontal o de abscisas: eje x.

- Los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical o de ordenadas, eje y.

Ejemplo 1: Gráfico que corresponde al precio que pagamos según la cantidad de móviles que compramos. Cada móvil vale 50 €.

No unimos los puntos porque no podemos comprar 1,5 móviles o 2,5 móviles.

Mediante una fórmula o expresión algebraica:

La expresión algebraica de una función se escribe con una expresión similar a la siguiente

y = f(x)

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6

Eje

y:

va

ria

ble

de

pe

nd

ien

te

Eje x: variable independiente - dominio de la función

y = 50 x

Funciones


La expresión y = f(x) se llama ecuación de la función o expresión analítica. A partir de la ecuación de la función obtenemos la tabla de valores.

Para obtener el valor de y, sustituimos el correspondiente valor de x en la ecuación y operamos.

Ejemplo 1: La expresión algebraica que representa la función que relaciona el número de móviles con el precio a pagar es la siguiente: y = 50x

En la tabla se ve cómo obtenemos el valor de la variable independiente:

Nº de móviles (x) 1 2 3 4 5 6

Precio en € (y) 50 100 150 200 250 300

Ejemplo 2: La expresión algebraica de la función siguiente relaciona a cada número su doble menos uno:

y = 2x – 1, es decir f(x) = 2x – 1

Elaboramos la tabla de valores:

x y = f(x)

x y

– 2 f(x) = 2 · (– 2) – 1= – 4 – 1 = – 5 – 2 – 5

– 1 f(x) = 2 · (– 1) – 1= – 2 – 1 = – 3 – 1 – 3

0 f(x) = 2 · (0) – 1= 0 – 1 = – 1 0 – 1

+ 1 f(x) = 2 · (+ 1) – 1= + 2 – 1 = + 1 + 1 + 1

+ 2 f(x) = 2 · (+ 2) – 1= + 4 – 1 = + 3 + 2 + 3

Funciones


Representamos gráficamente la función sobre un eje de coordenadas cartesianas.

En este caso es posible unir todos los puntos porque se puede calcular el doble menos una unidad de cualquier número aunque no sea entero.

La gráfica de una función es la representación del conjunto de puntos que definen la función.

FUNCIÓN: DOMINIO Y RECORRIDO

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente, x

El recorrido de una función es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente y.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0 1 2 3 4 5

Eje

y

= r

ec

orrid

o

Eje x = dominio de la función

Funciones


FUNCIONES DISCONTINUA Y CONTINUA

Función discontinua: una función es discontinua si no se puede dibujar de un sólo trazo, y los puntos donde necesitamos levantar el lápiz se denominan puntos de discontinuidad.

Ejemplo: la función que relaciona el número de la cantidad de lápices y su precio, 0,50 € es discontinua. No puede dibujarse de un solo trazo. En el gráfica se representa la cantidad a pagar para 1, 2, 3, 4, 5 lápices.

Función continua: una función es continua si su gráfica sí se puede dibujar de un sólo trazo, es decir, no presenta puntos de discontinuidad.

Ejemplo: Si un kilo de tomates cuesta 2,00 €, representa la función que relaciona el peso con el precio que tenemos que pagar.

Peso kg 0 0,25 0,5 0 1 1,25 1,5 1,75 2

Precio € 0,00 0,50 1,00 0,00 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

Re

corr

ido

d

e l

a fu

nci

ón

; y

Dominio de la función, x

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0 1 2 3 4 5

Eje

y =

re

co

rrid

o

Eje x = dominio de la función

Funciones


FUNCIÓN: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Dada una función f(x) y dos valores x1 y x2 tales que x1< x2

- Si f(x2) – f(x1) > 0 , la función es creciente entre x1 y x2 - Si f(x2) – f(x1) < 0 , la función es decreciente entre x1 y x2

La gráfica muestra la temperatura en una ciudad de un día de primavera. Observamos en qué tramos crece o decrece.

- La gráfica es creciente desde las 6:00 horas hasta las 12:00 horas.

Al aumentar los valores del tiempo (horas), aumentan los valores de la temperatura; siguiendo la trayectoria de la función (de izquierda a derecha, esta crece.

- Tres tramos de la gráfica son decrecientes desde las 0:00 horas hasta las 6:00 horas, y desde las 12:00 hasta las 16:00 horas y desde las 18:00 horas hasta las 0:00 horas

Al aumentar los valores del tiempo (horas), disminuyen los valores de la temperatura; siguiendo la trayectoria de la función (de izquierda a derecha), esta decrece

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Una función tiene un máximo en un punto si, a la izquierda de ese punto, la función es creciente, y a la derecha es decreciente.

02468

10121416182022242628

0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 0:00

Te

mp

era

tura

Hora del día

Funciones


Una función tiene un mínimo en un punto si, a la izquierda de ese punto, es decreciente, y a la derecha, creciente.

Ejemplo:

La siguiente gráfica muestra el perfil de la etapa de una prueba ciclista, donde la coordenada x representa los kilómetros recorridos y la coordenada y representa la altura respecto al nivel del mar.

Los puntos (70, 1200), (110, 800) y (170,1000) son máximos.

En ellos, la gráfica pasa de ser creciente a decreciente.

Los puntos (90, 600), (150, 200) y (190, 600) son mínimos.

En ellos, la gráfica pasa de ser decreciente a creciente.

En el kilómetro 70, la gráfica tiene un máximo absoluto, porque es donde alcanza la mayor altura sobre el nivel del mar, 1200 m.

En el kilómetro 150, decimos que la función tiene un mínimo absoluto; porque es donde alcanza la menor altura, 200 m.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 50 100 150 200

Alt

ura

e

n

m

Distancia en km

Perfil etapa

Funciones


FUNCIONES PERIÓDICAS

En una función periódica, su gráfica se repite cada cierto intervalo, que se denomina periodo. Es decir f(x) = f(x + T), siendo T el valor del periodo.

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Una función de proporcionalidad directa o función lineal se expresa de la forma:

y = m · x siendo m un número cualquiera

La representación gráfica de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

La inclinación de esta recta respecto al eje de abscisas (x) viene representada por el número m, que recibe el nombre de pendiente. Cuanto mayor sea m, más inclinada estará la recta respecto al eje x, es decir, mayor será el ángulo que esta recta forma con la horizontal.

Si entre dos magnitudes existe una relación de proporcionalidad directa, la función que representa dicha relación es una función lineal.

El gráfico representa una función de proporcionalidad directa:

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0 1 2 3 4 5

Re

crri

do

de

la f

un

ció

n =

eje

y

Dominio función = eje x

Función proporcionalidad directa: y = 2x

Funciones


FUNCIÓN AFÍN

Una función afín se expresa de la forma y = mx + n Siendo m y n dos números cualesquiera

m, pendiente de la recta

Si m > 0, la recta es creciente.

Si m > 0, la recta es decreciente.

n: ordenada en el origen.

La representación gráfica de estas funciones es una recta que no pasa por el origen de coordenadas, sino por el punto (0, n).

Las funciones de proporcionalidad directa o funciones lineales son un caso particular de las funciones afines cuando n = 0

0; -3

1; 2

2; 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-3 -2 -1 0 1 2 3

Función afin: y = 2x - 3

Funciones


EJEMPLOS DE INTERPRETACIÓN GRÁFICAS

Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento.

En un hospital se ha estado tomando la temperatura a un enfermo cada hora y han anotado los resultados en la gráfica siguiente

A) Cuál es la temperatura del enfermo a las 4 de la madrugada? ¿Y a las 4 de la tarde?’ Respuesta: 38ºC; 37,5ºC

B) ¿Entre qué horas se mantiene estable la temperatura? Respuesta: entre la 2 y 4 de la mañana y entre las 6 y las 8 de la tarde.

C) ¿cuál es la máxima temperatura que alcanza?¿A qué hora la alcanza? Respuesta: 39ºC a las dos de la tarde.

D) Describe textualmente la evolución de la temperatura de este enfermo

Respuesta: a lo largo del día se observan variaciones importantes de temperatura. Entre las 12 de la noche del día anterior hasta las 8 de la mañana, el paciente evoluciona favorablemente, puesto que la temperatura baja desde los 38,5 ºC hasta los 37 ºC. A partir de aquí, se produce un empeoramiento que le lleva a alcanzar a las 2 de la tarde 39 ºC. Rápidamente se produce una mejora, puesto que en dos horas la temperatura disminuye un grado y medio. Vuelve a haber una pequeña recaída y a continuación una mejora al final del día hasta alcanzar los 37 ºC

ANÁLISIS DEL DOMINIO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El dominio de la función anterior, temperatura del paciente, toma los valores comprendidos entre 0 horas y 24 horas.

El recorrido de la función está comprendido entre 37º y 39º

36,5

37

37,5

38

38,5

39

39,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

º C

Hora del día

Funciones


Observa el gráfico que recoge el peso de un bebé durante el primer año de vida.

El dominio de esta función comienza desde el primer momento de vida, es decir 0 meses, hasta el final del estudio que se hace que es 12 meses. Dominio f(x) = {0, 12}

El valor más pequeño de la variable y que pertenece a la función es 2,5 kg y el más alto 10 kg, por tanto, el recorrido es el siguiente: Recorrido f (x) = {2,5; 10}

Dominio y recorrido

En el fráfico de la función se ve que la función está dibujada desde – 2 hasta 9, excepto en las zonas comprendidas entre 2 y 4, y entre valores 6 y 7; Por lo tanto:

Dom F(x) = {− 2, 9} – {2, 4} – {6, 7}

Si se oberva el eje y, de abajo a arriba, se ve que la función existe entre los valores y = 0 e y = 6. Ni por debajo de 0, ni por encima de 6, está la función dibujada, es decir no existe. Por tanto: Recorrido f(x) = {0, 6}

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12

R

e

c

o

r

r

i

d

o

Dominio de la función: volores entre 0 y 10 meses

0

1

2

3

4

5

6

7

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

R e

c o

r r

i d

o

D o m i n i o

Funciones


Crecimiento y decrecimiento

Según el gráfico la función es creciente en los intervalos {1, 4} y {7, 9}

Es decreciente en {4, 5} y {9, 10}

Es constante en {5, 7}

Continuidad y discontinuidad

La gráfica siguiente muestra la función y = 1,5x. Relaciona la cantidad de cuadernos con su coste. La función es discontinua puesto que la variable x es discreta, no se puede comprar un cuaderno y medio. La función sólo existe para valores naturales.

El gráfico de la función que representa la relación entre el precio a pagar.

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1,5

3

4,5

6

7,5

9

10,5

0 1 2 3 4 5

Ca

nti

da

d a

ap

ga

r e

n €

- y

Cant idad de cuadernos - x

Función discontinua - variable dsicreta

Funciones


Su expresión analítica es y = 1,5x

1,5 es el precio del kilo

x = el peso.

Como la variable dependiente x, puede tomar valores no enteros, numeros decimales o racionales, los puntos pueden unirse.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Ca

nti

da

d a

pa

ga

r e

n e

uro

s

P e s o e n k g

Función continua - variable continua y = 1,5x

POLÍGONO NOMBRE FORMA ÁREA

ÁR

EA

S D

E

LA

S

F

IGU

RA

S P

LA

NA

S

TRIÁNGULOS Triángulo rectángulo

2

h·bA

CU

AD

RIL

ÁT

ER

OS

PA

RA

LE

LO

GR

AM

OS

(la

do

s p

ara

lelo

s

do

s a

do

s)

Cuadrado

A = l · l = l2

Rectángulo

A = b· h

Rombo

2

d·DA

Romboide A = b· h

TR

AP

EC

IOS

(Tie

ne

n d

os la

do

s

para

lelo

s)

Trapecio rectángulo

h·2

bBA

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

TR

AP

EZ

OID

ES

(No t

iene

n

nin

gún

la

do

pa

rale

lo)

Trapezoide

Se divide en triángulos

POLÍGONOS DE n LADOS Polígonos regulares

Circunferencia Círculo Corona circular Sector circular

Longitud = 2πr Área A = Área =

CUERPOS

AREA LATERAL

ÁREA TOTAL VOLUMEN

ORTOEDRO

Área lateral = Perímetro base x altura

Área total = A lateral + 2 · área base

largo · ancho · alto

a · b · c

CUBO

Área lateral = 4 · lado2 = 4l

2

Área total = 6 · lado2 = 6l

2

largo · ancho · alto

lado3 = l

3

PRISMAS

Área lateral = Perímetro base · altura (h)

Área total = Área lateral + 2 · área base

Área Base · altura

PIRAMIDE

Área lateral =

2

· piramideapotemabasePerimetro

Área tota l= Área lateral + área base 3

alturabaseArea ·

CILINDRO

Área lateral = 2πr · h

Área total = 2πr·h + 2πr2

Área base · altura

r2 h

CONO

Área lateral = πr · generatriz = πrg

Área total = πrg + πr2

3

hπr 2

ESFERA

A = 4 πr2

Área x radio /3

3

rπ4 3

LONGITUD SUPERFICIE VOLUMEN CAPACIDAD MASA

M Ú

L T

I P

L O

S

tonelada (t) = 1000 kg

quintal (q) = 100 kg

miriámetro

mam

miriámetro cuadrado

mam2

miriámetro cúbico

mam3

mirialitro

mal

miriagramo mag = 10 kg

kilómetro

km

kilómetro cuadrado

km2

kilómetro cúbico

km3

kilolitro

kl

kilogramo

kg

hectómetro

hm

hectómetro cuadrado

hm2

hectómetro cúbico

hm3

hectolitro

hl

hectogramo

hg

decámetro

dam

decámetro cuadrado

dam2

decámetro cúbico

dam3

decalitro

dal

decagramo

dag

UNIDAD

metro

m

metro cuadrado

m2

metro cúbico

m3

litro

l ( L )

gramo

g

D I V

I S

O R

E S

decímetro

dm

decímetro cuadrado

dm2

decímetro cúbico

dm3

decilitro

dl

decigramo

dg

centímetro

cm

centímetro cuadrado

cm2

centímetro cúbico

cm3

centilitro

cl

centigramo

cg

milímetro

mm

milímetro cuadrado

mm2

milímetro cúbico

mm3

mililitro

ml – mL

miligramo

mg

Cambio de unidadesRelación entre unidades de volumen, masa y capacidad:

1 m3 = 1 kl = 1 t

1 dm3 = 1 litro = 1 kg

1 cm3 = 1 mL = 1 g

De mayor a menor, → multiplicar De menor a mayor, → dividir

Longitud, capacidad, masa por 10

Superficie: por 100

Volumen: por 1000

Longitud, capacidad, masa: entre 10

Superficie: entre 100

Volumen: entre 1000

Sistema de numeración y métrico decimal

Magnitud Unidad de millón

Centena de millar

Decena de millar

Unidad de millar

centena decena unidad décima centésima milésima

UM = 1 000 000 Cm =100 000 Dm = 10 000 Um = 1000 c = 100 d = 10 u = 1 dm = 0,1 cm = 0,01 mm = 0,001

Longitud mam km hm dam m dm cm mm

Superficie mam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Volumen mam3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Capacidad mal kl hl dal l (L) dl cl ml

Masa tonelada (t) quintal(q) mag kg hg dag g dg cg mg

Relación sistema decimal/sexagesimal Expresar en forma decimal unidades de tiempo dadas en el sistema sexagesimal

S. D. N.

Unidades sistema sexagesimal Dividimos entre sesenta (60) y la cantidad obtenida se expresa en la unidad inmediatamente superior.

15 min : 60 = 0,25 h

12 s → 12 : 60 = 0,2 min

hora minutos segundos

h min s

1/10 = 0,1 = 6 min 6 s 0,1 s Expresar en sistema sexagesimal unidades dadas en el sistema decimal

¼ = 0,25 = 15 min 15 s 0,25 s Ejemplo 1: 2,35 horas

2,35 horas = 2 h + 0,35 h

0,35 h x 60 = 21 min

2,35 horas = 2 horas 21 min

Ejemplo 2: 5,27 horas

5,27 horas = 5 h + 0,27 h

0,27 h x 60 = 16, 2 min → 16 min + 0,2 min

0,2 min x 60 = 12 s

5,27 horas = 5 horas 16 min 12 s

½ = 0,50 = 30 min 30 s 0,50 s

¾ = 0,75 = 45 min 45 s 0,75 s

0,1 = 6 min 6 s 0,1 s

1 = 1 h 1 min 1 s

1.2 matematicas ii

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