matematicas ii 1

Matern' •

Tercera edici6n

Juan Antonio Cuellar Carvajal

Matemáticas II

Tercera edición

Juan Antonio Cuéllar CarvajalUniversidad Autónoma de Nuevo León

Revisión Técnica

M. en E. Ing. Gerardo Aguilera GonzálezUniversidad Autónoma de Nuevo León

Ana Laura Gutiérrez BanegasSistema Tecnológico de Monterrey

Javier Sarabia LeónInstituto Politécnico Nacional

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL

NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Coordinadora editorial: Alejandra Martínez ÁvilaEditor sponsor: Sergio G. López HernándezSupervisora de producción: Marxa de la Rosa PliegoFormación tipográfica: Overprint, S.A. de C.V.Diseño de portada: José Palacios Hernández

Matemáticas II Tercera edición

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Punta Santa Fe,Prolongación Paseo de la Reforma 1015Torre A, piso 17Colonia Desarrollo Santa FeDelegación Álvaro ObregónC.P. 01376, México D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0662-7

1234567890 10987654321Impreso en México Printed in Mexico

iii

Índice de contenido

Prólogo vi

Bloque 1 elementos básicos de la geometría 1

Evaluación de diagnóstico 2 Elementos básicos de la geometría 4 Relación entre puntos, rectas y planos 5 Ángulos en el plano 9 Interior y exterior de un ángulo 10 Sistema de medición de ángulos 10 Medición de ángulos 10 Clasificación de los ángulos según su

medida 12 Pares de ángulos especialmente

importantes 12 Rectas paralelas cortadas por una transversal o

secante 20 El triángulo 28 Clasificación de los triángulos 28 Segmentos y puntos importantes de un

triángulo 30 Recta de Euler 32 Propiedades de los triángulos 33 Evaluación sumativa 41

Bloque 2 Congruencia de triángulos 49 Evaluación de diagnóstico 50 Congruencia de triángulos 51 Marcas en las partes homólogas 51 Criterios de congruencia de triángulos 52 Uso de triángulos congruentes para demostrar

la congruencia de segmentos de recta y de ángulos 54

Evaluación sumativa 59

Bloque 3 Semejanza de triángulos 61 Evaluación de diagnóstico 62 Semejanza de triángulos 63 Criterios de semejanza de triángulos 63 Teoremas derivados de la semejanza de

triángulos 68 Teorema de Tales 68 Teorema de proporcionalidad en el

triángulo 69

La media geométrica en el triángulo rectángulo 75

Teorema de Pitágoras 77 Evaluación sumativa 84

Bloque 4 Polígonos 89 Evaluación de diagnóstico 90 Polígonos 91 Ángulos interiores y exteriores de un

polígono 92 Diagonales de un polígono 92 Clasificación de los polígonos 92 Clasificación de los polígonos según sus

ángulos 92 Elementos de un polígono regular 95 Relación entre el ángulo central, la apotema

y el lado de un polígono regular 96 Triangulación y propiedades de los polígonos

convexos 96 Propiedades de los polígonos convexos 98 Evaluación sumativa 106

Bloque 5 Circunferencia 111 Evaluación de diagnóstico 112 La circunferencia 113 Elementos de una circunferencia 113 Medición de ángulos en la circunferencia 115 Relación métrica de las tangentes a una

circunferencia 122 Evaluación sumativa 127

Bloque 6 Trigonometría 131 Evaluación de diagnóstico 132 Funciones trigonométricas de un ángulo agudo

de un triángulo rectángulo 133 Valores de las razones trigonométricas para

ángulos específicos 142 Funciones trigonométricas para ángulos de 30º

y 60º 142 Valores de las funciones trigonométricas para

45º 143

iv

Uso de la calculadora para hallar el valor de las funciones trigonométricas 143

Funciones trigonométricas inversas 145 Resolución de triángulos rectángulos 148 Aplicaciones de las razones

trigonométricas 152 Evaluación sumativa 162

Bloque 7 Funciones trigonométricas 171 Evaluación de diagnóstico 172 Funciones trigonométricas para ángulos de

cualquier medida 173 Funciones trigonométricas para un ángulo en

posición normal 174 Signo de los valores de las funciones

trigonométricas 174 Ángulos positivos y negativos 177 Funciones trigonométricas del ángulo −q en

términos de q 179 Funciones trigonométricas para ángulos

cuadrantales 179 Valor de las funciones trigonométricas para

q = 0° 179 Valores de las funciones trigonométricas para

90° 180 Valores de las funciones trigonométricas para

180° 180 Valores de las funciones trigonométricas para

270° 181 Ángulos coterminales 185 Ángulo de referencia 186 Círculo trigonométrico unitario 191 Radián 193 Relación entre grados sexagesimales y

radianes 193 Longitud de un arco subtendido por un

ángulo central 193 Gráficas de las funciones seno, coseno y

tangente 194 Gráfica de la función seno 195 Gráfica de la función coseno 196

Gráfica de la función tangente 197 Identidades trigonométricas

fundamentales 198 Evaluación sumativa 202

Bloque 8 Solución de triángulos oblicuángulos 209

Evaluación de diagnóstico 210 Resolución de triángulos oblicuángulos 211 Casos ambiguos 212 Evaluación sumativa 225

Bloque 9 Bases de estadística descriptiva 231 Evaluación de diagnóstico 232 Conceptos básicos de la estadística

descriptiva 233 Conceptos básicos 233 Organización de datos 235 Distribución de frecuencias y clases 239 Fronteras de clases 240 Amplitud de clase 240 Marca de clase 240 Construcción de una distribución de

frecuencias de datos agrupados 242 Distribución de frecuencias acumuladas 244 Distribución de frecuencias relativas 245 Representación gráfica de datos 247 Histograma 248 Polígono de frecuencias 249 La ojiva 251 Gráfica circular 252 Procesamiento de datos mediante medidas

numéricas 253 Medidas de tendencia central 253 La media 253 Obtención de la media de una

distribución de frecuencias de datos no agrupados 254

La mediana 256 La moda 258

v

Medidas de dispersión 262 El rango 263 Desviación media 263 La varianza 265 La desviación estándar 266 Evaluación sumativa 273

Bloque 10 Concepto de probabilidad 279 Evaluación de diagnóstico 280 Concepto de probabilidad 281

Espacios muestrales sencillos 282 Probabilidad de eventos simples 285 Probabilidad de eventos compuestos 290 Probabilidad de evento compuesto

A o B (A ∪ B) 290 Eventos mutuamente excluyentes 292 Eventos independientes y la regla de la

multiplicación 295 Eventos dependientes y la regla de la

multiplicación 297 Evaluación sumativa 303

Prólogo

vi

Prólogo

La aplicación del enfoque por competencias en las escuelas constituye un importante esfuerzo por lograr que la educación brinde a los estudiantes la posibilidad de desa-rrollar, a un mismo tiempo, las destrezas, las actitudes y los valores que les permitan participar eficazmente en diversos ámbitos de actividad del país.

La unesco, por ejemplo, ha manifestado, entre otras cosas, que además de los conocimientos y las habilidades, en el mundo actual es indispensable que los jóvenes adquieran una formación sólida en valores y actitudes a fin de integrarse plenamente como ciudadanos de un mundo más globalizado que nunca.

Ante ello, esta obra no es sino un instrumento, un puente que busca que los jóve-nes adopten un estilo de aprendizaje activo que no sólo favorezca la adquisición de conocimientos sino, también, el desarrollo de capacidades orientadas a que reconoz-can sus fortalezas y debilidades, enfrenten y resuelvan problemas, se comuniquen con eficacia, manejen conflictos, escuchen a los demás, se valoren a sí mismo y valoren a sus compañeros.

En principio, ello significa que los chicos han de hacer suyo el aprendizaje, rela-cionarlo con los conocimientos que ya poseen y transformarlo (transferirlo) para crear, desempeñar o encarar cualquier reto.

Así, a partir de la lectura y la realización de las actividades del libro el alumno se ejercitará en diversas habilidades, fundamentalmente las del razonamiento crítico, las cuales pueden compararse con los escalones de una pirámide, en la que cada destreza es un peldaño que lleva a otro nivel más alto, como se muestra en la figura de la izquierda.

La habilidad de la comprensión se refiere a la capacidad que tenemos para memo-rizar, para recordar, por medio de palabras, procedimientos, fórmulas, propiedades. En este nivel se aprenden los conocimientos básicos.

La segunda habilidad dentro de la pirámide del razonamiento crítico es el discer-nimiento. Discernir es distinguir algo, reconocer sus características. Se demuestra capacidad de discernir, por ejemplo, al describir un fenómeno (o una gráfica, o un una expresión matemática, que no son sino representaciones o modelos del fenómeno) usando palabras propias o al interpretar su significado y hacer predicciones con base en ello.

El entendimiento se evidencia, se materializa cuando se puede explicar algo en forma escrita, verbal o gráfica.

Por otra parte, uno de los propósitos de la educación basada en competencias es adquirir la habilidad de aplicar en distintas situaciones lo que se aprende, es decir, de transferir lo que se ha aprendido (conceptos, fórmulas, propiedades, etc.) a una situa-ción o contexto diferente.

Todos los problemas escritos que se resuelven en matemáticas son un ejemplo del uso de las destrezas de aplicación. Por ejemplo, el concepto de razón subyace al cálculo de la cantidad de vitamina C que debe ingerir una mujer embarazada; es decir, si los estudiantes son capaces de realizar ese cálculo significa que han transferido el concepto matemático de razón a la resolución de un problema cotidiano.

El análisis es como una lupa, ya que nos permite observar muy de cerca los compo-nentes de una situación. El análisis nos permite identificar, distinguir, comparar y clasi-ficar las relaciones entre variables, obtener conclusiones mediante el razonamiento deduc-tivo e inductivo y reconocer su validez, así como identificar relaciones de causa-efecto.

La habilidad de síntesis permite utilizar las destrezas de comprensión y análisis antes mencionadas e ir más allá. Esta habilidad implica agrupar conocimientos adqui-ridos para construir otros nuevos. Sintetizar, entonces, nos permite tender puentes.

Evaluación

Síntesis

Análisis

Aplicación

Discernimiento

Comprensión (memoria)

vii

La evaluación es el último peldaño de la pirámide del razonamiento crítico. Al evaluarnos juzgamos si hemos satisfecho o no lo que se esperaba de nosotros; en el ámbito escolar, lo que se esperaba de nosotros en cuanto a conocimientos, habilidades, actitudes y valores (o sea, en cuanto a competencias).

La resolución de problemasA lo largo del libro, principalmente en las secciones de aplicación, se busca favorecer la capacidad de resolver problemas. A menudo se cree que resolver un problema equivale a hallar la respuesta a una expresión matemática. Nada más lejos de la rea-lidad. La solución de problemas generalmente supone estos pasos:

• Identificar el conocimiento necesario para resolver el problema. • Extraer información de fuentes pertinentes. • Tomar decisiones lógicas y justificables. • Combinar en una solución coherente información parcial recibida de distintas

personas. • Aplicar soluciones antiguas a situaciones nuevas. • Aplicar soluciones nuevas a situaciones antiguas.

El resultado de este proceso casi siempre conduce a una decisión. Estas destrezas son valiosas más allá de cualquier clase: serán útiles para los estudiantes que busquen un mayor nivel de educación; además, son destrezas invaluables en el sitio de trabajo que cualquier empresa reconocerá en un empleado.

¿Cómo puede ayudar a los alumnos a aprender conceptos matemáticos (o cientí-ficos) y desarrollar destrezas para la resolución de problemas? No basta observar, leer, escribir, escuchar y seguir instrucciones. Los estudiantes ya no pueden aprender mate-máticas de esta manera, del mismo modo que no pueden aprender a jugar básquetbol viendo un partido por televisión. Deben involucrarse activamente en predecir qué sucederá y en responder a preguntas que pongan a prueba su comprensión de los conceptos. Casi en cada sección de actividades hallará ejercicios con tal orientación.

El trabajo en equipoEl enfoque por competencias requiere que los estudiantes sepan también trabajar en equipo, que en el proceso de resolver situaciones problemáticas sean eficaces, veraces y solidarios.

Lo ideal es formar equipos integrados por estudiantes con diferentes capacidades y talentos para que resuelvan las actividades que el profesor decida.

En principio, a lo largo de la obra se han incluido dos secciones, ComunicarparaaprenderyEscribirparaaprender, que fomentan el trabajo y la coevaluación en pare-jas. Sin embargo, con la guía del profesor y las condiciones del grupo, bien pueden emprenderse en equipo y servir a modo de heteroevaluaciones.

Con ello, los jóvenes no sólo demuestran la comprensión que han adquirido de conceptos, propiedades y fórmulas, sino también su capacidad para escuchar a sus compañeros, aprender de lo que dicen y confrontar sus respuestas con ellos, lo que los lleva a aumentar sus conocimientos y a enriquecerse como personas.

Finalmente, en el proceso de enseñanza-aprendizaje basado en competencias, además de las habilidades del razonamiento crítico y las habilidades disciplinarias señaladas en el plan de estudios, al usar este libro el estudiante adquiere otra serie de

viii

atributos personales que también son necesarios para su vida productiva. Entre ellos cabe citar los siguientes:

• Adquiere confianza en sí mismo. • Valora lo bien que se siente cuando aprende algo nuevo. • Reconoce las matemáticas como una habilidad para la vida. • Aprende a apreciar y a escuchar a sus compañeros. • Reconoce sus fortalezas y sus debilidades. • Aprende a relacionar lo que aprende con lo que ya sabía. • Aprende a trabajar en equipo. • Aprende a tomar decisiones. • Se asume como responsable de su propio aprendizaje. • Aquilata y respeta la diversidad de los pensamientos e ideas de los demás. • Adquiere valores éticos y disciplinarios.

Todo este conjunto de competencias, fomentadas en esta obra, resultan fundamenta-les para el desempeño individual y colectivo de los estudiantes en cualquier actividad. Esperamos entonces contribuir a que el término alumno (etimológicamente, “sin luz”) adquiera nueva dimensión.

AgradecimientosAgradezco encarecidamente a profesores, alumnos y colegas todos sus comentarios, críticas y correcciones, pues han contribuido a mejorar esta obra. Cuando tengo la oportunidad de reunirme con algunos de ellos suelo decirles de manera reiterada que, una vez publicado, un libro pasa a ser propiedad de sus lectores, quienes son los que realmente le infunden vida al cerrar el circuito de la comunicación. En este sentido, los profesores siguientes merecen un reconocimiento por la revi-sión paciente y meticulosa que han hecho del libro, así como por haberse tomado las molestias de hacernos llegar sus comentarios, sugerencias y correcciones:

Eduardo García Hernández e Isaías Apreza, del CETIS número 5, en el DF; Veróni-ca Córdoba Morales, del Sistema Tecnológico de Monterrey, campus Estado de Méxi-co; Rubén Muñoz y Marcos Abarca, del Instituto de Ciencias de Guadalajara, Jalis-co; Eduardo Anguiano García, J. Trinidad López Godínez, Beatriz García de Luna, Ruth Elizabeth Martínez Ramírez, Carlos Alberto Gutiérrez Terrazas, Marco Alan Palomino Moreno, Alejandro Novoa Pérez, Víctor Manuel González Tavera, Jose-fina Santiago Muñoz, Ma. Elena Villegas Salazar, Laura Elena Díaz Aguilar y Ho-racio Piña, de la UVM Hispano en el municipio de Coacalco; Héctor Rueda, del Colegio San Carlos; Sylvia Martha González Velasco y Luis Miguel Venegas Barrón, del Cet 1; José Antonio Dorantes Romo, del COBAQ; y Gilberto G. Peralta Barrón, de la Preparatoria Activo 20-30, en Ciudad Delicias, Chihuahua.

Elautor

BLO

QU

E1Situación didáctica

Como medida de precaución, el Consejo Nacional de Seguridad de Estados Unidos recomienda que para trabajar subido en una escalera de 15 pies de altura hay que recargarla en un muro de manera que el ángulo formado entre éste y la escalera mida 18º. Como se advierte en la figura de la página si-guiente, es más fácil fijar la medida de los ángulos rotulados x y y, pero ¿cómo hacerlo? En este bloque aprenderás varias formas.

Elementos básicos de la geometría


Rectas paralelas cortadas por una transversal o secante

El triángulo

OBjEtOS

dE CONOCimiENtO

2 B L O Q U E 1 ElEmEntos básicos dE la gEomEtRía

Evaluación de diagnóstico

5 pies (1.52 m)

15 pies(4.57 m)

yº xº

18º

i. �Haz� lo�que�se� indica�en�cada�uno�de� los�ejercicios�siguientes.

1. Identifica en la figura siguiente seis segmentos de recta.

4. Identifica el vértice del ángulo de la figura si-guiente.

R S T U

A

B

C

D

0

R

QP

J H M

LK

54º 36º90º

A

BC

2. Identifica en la figura siguiente todos los rayos o semirrectas que puedas nombrar.

3. Nombra seis ángulos que puedas identificar en la figura siguiente.

5. En la figura siguiente identifica:

a.� Dos ángulos agudos.b.� Dos ángulos obtusos.c.� Un ángulo recto.d.� Un par de ángulos complementarios.e.� Dos pares de ángulos suplementarios.

Elementos básicos de la geometría 3

6. En la figura siguiente identifica un par de ángu-los adyacentes.

C

B

A0

10.

120º (8x + 48)0

L3

L1L2L4


a.� Los pares de ángulos que son opuestos por el vértice.

b.� Los pares de ángulos adyacentes que son un par lineal.

P Q

R

S

30º 25º65º

60º

55º125º


a.� Un triángulo acutángulo.b.� Un triángulo obtusángulo.c.� Un triángulo rectángulo.

10º

(4x)0

ii.�Halla�el�valor�de�x�en�las�figuras�siguientes.

9.

28º

76º(4 x)º

B

CAD

11.

(x)º (6x)º

(2x)º

B

CA

12.

B

C

OA

13. En la figura siguiente identifica los ángulos cen-trales.


Relación entre puntos, rectas y planos

Ángulos en el plano

Sistema de medición de ángulos

Clasificación de los ángulos según su medida


La geometría deductiva parte de tres conceptos básicos no definidos: el punto, la línea y el plano, los cuales se denominan primitivos porque no hay palabras más sencillas para definirlos. Sin embargo, podemos describirlos intuitivamente para otorgarles un significado que ayude a comprenderlos.

Línea

El de línea también es un concepto geométrico no definido. La línea posee una sola dimensión: longitud, y carece de anchura y espesor.

Las líneas pueden ser rectas, curvas o combinar características de ambas.

Punto

Concepto geométrico no definido, el punto carece de dimensiones: no tiene longitud, anchura ni espesor. La idea de tal concepto puede sugerirse mediante la huella que deja un lápiz bien afilado tras presionarlo contra el papel (como se muestra en la figura 1 en la página siguiente).

Los puntos generalmente se designan con letras mayúsculas escritas en cursivas; así, decimos el punto A, el punto B, el punto C, el punto D, etcétera.

Una recta se representa gráficamente designando dos de sus puntos con letras mayúsculas cursivas, o bien, mediante una letra minúscula cerca de ella. La recta de la figura 2a, en la siguiente página, se lee “recta CD” y se simboliza CD o recta r.

Por su parte, una línea curva se genera mediante un punto que se mueve cam-biando continuamente de dirección (figura 2b).

Plano

El plano es un concepto geométrico no definido. Una superficie como la de una pared o la de un piso, entre otras, sugiere la idea de un plano. General-mente se designa con una sola letra mayúscula, a la cual puede preceder la palabra plano o tres de sus puntos no alineados. En la figura 3 que se mues-tra a continuación, se representa un plano, al que designamos con P o ABC.


ElEmEntosbásicosdElagEomEtría

Relación entre puntos, rectas y planos

Empecemos por señalar que la geometría plana estudia las propiedades de las figuras cuyos puntos estén sobre una superficie plana.

Al describir los conceptos de punto, línea y plano comienza el proceso de defi-nición de las figuras geométricas, así como el establecimiento de relaciones entre ellas. A continuación recordaremos algunos conceptos y sus definiciones.

Figura 3. Plano P.

B

A

P

C

Plano P

tiposdEpuntos

A B Cr

Figura 4. Puntos colineales: se hallan en una misma recta.

A

B

C

P

Plano P Figura 5. Puntos coplanares: se hallan en un mismo plano.

Puntos colineales

Son puntos ubicados en una misma línea recta. En la figura 4 los puntos A,�B y C son colineales.

Puntos coplanares

Son puntos ubicados sobre un mismo plano. En la figura 5 los puntos A,�B y C son coplanares.

Rectas paralelas

Son rectas que están en el mismo plano pero nunca se intersecan (es decir, no se cortan o cruzan), por más que se prolonguen (figura 6, en la siguiente página).

Figura 1. Un punto. Figura 2. líneas. a. Recta r o CD. b. línea curva.

C Dr

a.

A Bb.


En la figura 6 suponemos que por más que las rectas m y r se prolonguen en un sentido u otro no tendrán un punto en común; por tanto, son paralelas, lo que se simboliza m••r (el símbolo •• designa la condición de paralelismo).

tiposdErEctas

m

r

Figura 6. Rectas paralelas: jamás se intersecarán, por más que se prolonguen.

O

m

nLas rectas m y n se intersecan en el punto O

Figura 7. Rectas intersecantes: tienen un punto común. observa que forman una cruz, es decir, se cruzan en el punto común.

A

n m

r

Figura 8. Rectas concurrentes: tres o más rectas con un punto común.

Rectas intersecantes

Son dos rectas que tienen un punto en común (figura 7).

Rectas concurrentes

Son tres o más rectas con un punto en común (figura 8).

Segmento de recta AB

En una recta, digamos AB, la parte comprendida entre los puntos A� y B, ambos incluidos, se llama segmento�de�recta�AB y se denota o representa con AB. La distancia entre los puntos A y B es la longitud de AB y se denota mediante AB (figura 9).

En la figura 8 las rectas n, r� y m comparten el punto A, por ello, son rectas concurrentes.

ABA B

Figura 9. segmento de recta AB.

Segmentos de recta congruentes

Si dos segmentos de recta tienen la misma longitud, entonces son congruentes.

La congruencia de dos segmentos se designa con el símbolo ≅, que representa una combinación de los símbolos = (“igual tamaño”) y ∼ (“misma forma”). Por ejemplo, la expresión AB ≅ CD significa que AB y CD son congruentes, esto es, AB = CD.


De acuerdo con la definición anterior, la longitud del segmento de recta mostrado en la figura 10�es AE = AB + BC + CD + DE.

A

B

C

D

E

Figura 10. división de un segmento de recta.

A

B

C

Figura 11. B es el punto medio de AC

A Br

A B

a. Rayo o semirrecta AB ;

b. Rayo BA .

Figura 12. Rayos a. AB y b. BA.

división de un segmento de recta

Si un segmento de recta se divide en partes, su longitud es igual a la suma de las longitudes de sus partes.

Punto medio

Un punto B es el punto medio del segmento de recta AC si AB� = BC; es decir si B divide el segmento AC en dos partes de igual longitud (figura 11).

Rayos opuestos

Si los puntos P,�Q y R son colineales de manera que Q�esté entre P�y R, los rayos QP y QR se denominan rayos�opuestos (figuras 13a y 13b).

Bisectriz o bisector de un segmento de recta

La bisectriz es cualquier punto, recta, rayo o plano que pasa por el punto medio de un segmento de recta (figura 14).

Semirrecta o rayo AB

Si A y B son dos puntos de una recta r, entonces el conjunto de todos los puntos que están del mismo lado que A y que B se llama rayo�de�A�hacia�B y se denota por AB (figura 12).

A partir de la definición anterior, si en la figura 14 M�es el punto medio de PQ PQ, entonces:

• La recta RM es una bisectriz de PQ.• El segmento MN es una bisectriz de PQ.• El rayo MR es una bisectriz de PQ.• El punto M es una bisectriz de PQ.• El plano A es una bisectriz de PQ.

a.

b.

P Q

Q R

P Q R

Figura 13. Rayos opuestos.

P

R

M

N

AQ

Figura 14. bisectrices.


A

B

C

Figura 16. ángulo: figura formada por dos rayos (lados) y un punto común (vértice). En la figura, BA y BC son los lados del ángulo ABC y B es su vértice.

A

O

Figura 17. todos los puntos que se hallan en la curva que forma la circunferencia equidistan, es decir, se encuentran a la misma distancia del punto O, el centro de la circunferencia; por tanto, el segmento de recta OA es un radio.

Ángulo

Un ángulo es una figura geométrica formada por dos rayos que tienen un punto común. Los rayos se llaman lados y el punto común, vértice (figura 16).

Circunferencia

La circunferencia es una curva cerrada en la que todos los puntos están en un mismo plano y son equidistantes de un punto fijo, llamado centro. Cual-quier segmento de recta que une el centro con un punto de la circunferencia se llama radio (figura 17).

Arco

Si se eligen dos puntos de una circunferencia, éstos limitan dos porciones, cada una de las cuales se llama arco� (figura 18).

ABA

M

B

Figura 18. dos arcos en una circunferencia. El arco menor se designa con AB y el mayor con AMB.

Polígono

Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos de recta deno-minados lados (figura 15).

A

B

C

DEc. Pentágono, polígono de cinco lados.

P

Q

R

a. Triángulo, polígono de tres lados.

A

B C

D

b. Cuadrilátero, polígono de cuatro lados.

Figura 15. Polígonos.


r

A

O Br

Figura 19. ángulo central: el punto O es el centro de la circunferencia y AOB es un ángulo central.

Ángulo central

Un ángulo central es aquel cuyo vértice es el centro de una circunferencia (figura 19).

Semiplano

Toda recta de un plano lo divide en dos regiones llamadas semiplanos. La recta recibe el nombre de frontera y se considera parte de cada plano (figura 20).

AB

C

N

m .D.

..

Figura 20. la recta m divide el plano N en dos semiplanos. observa que A y B están en el mismo semiplano, mientras que D y C están en otro semiplano. la recta m es la frontera y pertenece a ambos semiplanos.

ángulos en el planoComo hemos señalado, el ángulo es la figura geométrica que resulta de la unión de dos rayos que comparten un extremo común. Los rayos se denominan lados�y el extremo común, vértice� (figura 16, página 8).

Un ángulo, que se representa con el símbolo ∠, puede escribirse de cualquiera de cuatro formas:

1. Mediante tres letras mayúsculas; la que se ponga en medio corresponde al vértice y las otras dos a puntos sobre los lados del ángulo (figura 21).

2. Con la letra mayúscula (cursiva) que corresponda al vértice (figura 22).3. Por medio de una letra minúscula en el interior del ángulo (figura 23).4. Mediante un número natural en el interior del ángulo (figura 24).

cuatroformasdErEprEsEntarunánguloEnlEnguajEmatEmático

AB

C

Figura 21. El ángulo con vértice en el punto B puede designarse ∠ABC o ∠CBA.

M

N Q

Figura 22. ángulo N o ∠N.

1

Figura 24. ángulo 1.

a

Figura 23. ángulo a o ∠a.


Interioryexteriordeunángulo

Consideremos el ángulo ABC�de la figura siguiente:

A

C

B

El rayo BC divide el plano en dos semiplanos, uno de los cuales contiene al punto A. El rayo BA también lo divide en dos semiplanos, uno de los cuales contiene al punto C. La intersección de estos semiplanos es el interior del ángulo ABC�(figura 25).

El exterior de un ángulo consta de todos los puntos que no están en el ángulo ni en su interior. En la figura 26 observa que el punto D está en el interior del ∠PQR, mientras que los puntos M y N se hallan en el exterior y, obviamente P, Q y R, en el ángulo.

sistema de medición de ángulosPara medir la magnitud de un ángulo generalmente se utilizan dos sistemas: sexa-gesimal y circular. La unidad del sistema sexagesimal es el grado, que se define como 1

360de una circunferencia y cuyo símbolo es °.Un ángulo de un grado es el ángulo central que abarca un arco de 1

360parte de una circunferencia. Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (′), y a su vez cada minuto también se divide en 60 partes iguales denominadas segundos (″).

A su vez, la unidad de medida del sistema circular es el radián, que se define como el ángulo central que subtiende un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia (figura 27).

En la figura 27 el punto O es el centro de la circunferencia, y los segmentos OB y OA son radios de la misma. Si la longitud del arco AB es de igual magnitud que el radio, entonces por definición el ángulo x mide un radian.

Medicióndeángulos

Para la planificación y construcción de puentes, carreteras, túneles y otras estruc-turas los agrimensores deben medir ángulos con precisión. Para realizar esta tarea en grados sexagesimales se utiliza un instrumento llamado transportador, que consiste en un segmento de recta unido a un semicírculo dividido en 180 partes iguales, cada una con un valor de 1°. El diámetro del semicírculo es el del segmento unido a él. Los transportadores tienen la escala marcada en las dos direcciones del arco, lo cual nos permite medir con mayor facilidad una gran variedad de ángulos.

A

C

B

Figura 25. la región sombreada la constituye el conjunto de puntos que están en el interior del ∠ABC.

N

M

Q

P

D

R

Figura 26. D es un punto en el interior del ángulo, en tanto que M y N son puntos en el exterior del ángulo.

x

r

r

A

BO

Figura 27. El ángulo x mide un radián, ya que la longitud de los segmentos OB y OA, radios de la circunferencia, es igual que la longitud del arco AB.

Cómo medir un ángulo con el transportador

Para hallar la medida de un ángulo en grados sexagesimales mediante un transportador se siguen estos pasos:

1. Se ubica el centro del transportador en el vértice del ángulo.2. Se alinea uno de los rayos con la marca cero.3. El otro rayo dará la medida del ángulo.


De acuerdo con el procedimiento descrito en el recuadro precedente, en la figura 28 se observa que ∠ABC mide 55°. En este caso, el solo número 55 se llama medida del ∠ABC.

Figura 28. ángulo medido con transportador.

0

1

0

20

30

40

50

60

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

180

17

0

160

15

0

14

0

13

0

120 110 1

00 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

B A

C

k

Cuando se usan las expresiones “un ángulo mide”, o “la medida de un ángulo es” no es necesario agregar la palabra grados o el símbolo (°); sólo debe describirse el número que corresponde a la medida del ángulo. A continuación se muestran las diferentes maneras de describir el ángulo ABC de la figura 28.

1. ABC = 55° (nota: para indicar la medida del ángulo el símbolo sustituya al símbolo ∠)

2. ∠ABC es un ángulo de 55°3. m∠ABC = 55 (ésta es la notación que generalmente se usa en esta obra)4. La medida del ángulo ABC es 55

Veamos ahora la definición de la bisectriz de un ángulo.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta cuyo origen es el vértice del ángulo, al que divide en dos ángulos de igual medida, es decir, en dos ángu-los congruentes (figura 29).

A

B

C

D

Figura 29. bisectriz de ∠ABC.

En la figura 29, ∠ABD�≅�∠CBD; en consecuencia, BD es bisectriz de ∠ABC.

Supón que en la figura 29, ∠CBD = (6x – 3) y m∠ABD = 33. Con base en estos datos, halla el valor de x.

SOLUCióNComo el rayo BD es bisectriz del ∠ABC, entonces:

∠CBD�≅ ∠ABDm∠CBD�= m∠ABD

6x – 3 = 33 6x = 33 + 3 6x = 36� x = 36

6� x = 6

De este modo, puesto que x = 6, ∠CBD = 33° y ∠ABD = 33°, ya que se trata de ángulos congruentes.

ejemplo 1


clasificación de los ángulos según su medidaDe acuerdo con su medida, los ángulos se clasifican en estas categorías:

• Ánguloagudo:mide más de 0°, pero menos de 90° (figura 30).• Ángulo recto: mide 90°. En la figura 31, el símbolo ⎤ indica que ∠B es un

ángulo recto.• Ánguloobtuso:mide más de 90°, pero menos de 180° (figura 32).• Ángulo llano: conocido también como ángulo� de� lados� colineales, es aquel

cuyos lados son rayos opuestos, de modo que mide 180° (figura 33).• Ángulocóncavo:mide más de 180°, pero menos de 360° (figura 34).• Perígono: mide 360°, es decir, es un ángulo que se origina cuando un rayo

gira y regresa a su posición original.

clasificacióndEángulossEgúnsumEdida

Q O P

Figura 33. ángulo llano: mide 180°. Figura 34. ángulo cóncavo: mide más 180°, pero menos de 360°.

\A es un ángulo agudo

A Figura 30. ángulo agudo: mide más de 0° pero menos de 90°.

C

B

A

Figura 31. ángulo recto: mide 90°.

A

BC

Figura 32. ángulo obtuso: mide más de 90°, pero menos de 180°.

Investiga lo que sea necesario y escribe una síntesis donde expliques cuándo un ángulo es:

a. Agudo b. Obtusoc. Recto d. Llanoe. Cóncavo f. Perígono

Ejemplifica cada uno de estos tipos de ángulos dibujando relojes ana-lógicos (es decir, con manecillas en la carátula). Lee tu texto frente al grupo y, con la guía del profesor, coméntalo hasta obtener conclusio-nes generales. Evalúa tu trabajo.

Escribir para aprEndEr

Paresdeángulosespecialmente importantes

A partir de su medida puede establecerse otra clasificación de los ángulos. Ense-guida se presentan sus definiciones.


Ángulos suplementarios

Dos ángulos cuya suma es 180°. A cada ángulo se le llama� suplemento� del�otro.

Ángulos opuestos por el vértice

Cuando dos rectas se intersecan, los pares de ángulos adyacentes que se forman se llaman opuestos�por�el�vértice� (figura 36).

Ángulos complementarios

Dos ángulos cuya suma da como resultado 90°. A cada ángulo se le llama�complemento�del�otro.

Ángulos conjugados

Dos ángulos cuya suma resulta en 360°. A cada ángulo se le llama conjugado�del�otro.

AB

C

a)D

b)

ab

P O Q

Figura 35. los ángulos ABC y CBD de la figura 35a son adyacentes, así como ∠a y ∠b de la figura 35b.

En la figura 35b, respecto a los ángulos a y b, observa que los lados no comunes son rayos opuestos, es decir, pertenecen a una misma recta. En este caso forman un par de ángulos lineales. Nota que este tipo de pares de ángulos son suplemen-tarios; en este caso, m∠a + m∠b = 180°.

a bc

d

Figura 36. ∠a y ∠b son opuestos por el vértice; ∠c y ∠d son opuestos por el vértice.

Dado ∠A = (7x + 4)° y ∠B = (3x + 16)°, determina:

a.La medida del ∠A y del ∠B si consideramos que se trata de ángulos complemen-tarios.

SOLUCióNComo ∠A y ∠B son complementarios, entonces m∠A�+�m∠B = 90°; por tanto:

(7x + 4) + (3x + 16) = 90

ejemplo 2

Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, pero que carecen de puntos interiores comunes. Los lados no comunes a ambos ángulos se llaman lados�exteriores�de� los�dos�ángulos�adyacentes (figura 35).

Ángulos adyacentes


Al eliminar signos de agrupación resulta:

7x + 4 + 3x + 16 = 90 10x + 20 = 90 10x = 90 – 20 = 70� x = 70

10 = 7

De acuerdo con el valor de x obtenido queda:

m∠A = (7x + 4) m∠B = (3x + 16)m∠A = 7(7) + 4 m∠B = 3(7) + 16m∠A = 53° m∠B = 37°

b.La medida del ∠B si son suplementarios.

SOLUCióNEn este caso, m∠A + m∠B = 180°; por tanto:

(7x + 4) + (3x + 16) = 180 10x + 20 = 180 10x = 180 – 20 10x = 160� x = 160

10 = 16

Por consiguiente:

m∠B = 3(16) + 16� m∠B = 48 + 16� m∠B = 64°

c. La medida del ∠A si se trata de ángulos conjugados.

SOLUCióNAquí, m∠A�+�m∠B = 360°; luego, (7x + 4) + (3x + 16) = 360. Al eliminar signos de agrupación y reducir términos semejantes resulta:

10x + 20 = 360 10x�= 360 – 20 10x�= 340 x = 340

10 = 34En consecuencia:

m∠A = 7(34) + 4� m∠A = 238 + 4 m∠A = 242°

Halla la medida del ∠AOB de la figura siguiente.

A

B

C O

(17x + 6)° (15x − 18)°

SOLUCióNSe observa que ∠AOB y ∠BOC son ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son rayos opuestos, o sea, forman un par de ángulos lineales; por tanto, son

ejemplo 3


ángulos suplementarios, de manera que m∠AOB� +� m∠BOC = 180. Al sustituir valores y eliminar signos de agrupación resulta:

(15x – 18) + (17x + 6) = 180 32x – 12 = 180 32x = 180 + 12 32x = 192 x = 192

32� x = 6Luego:

m∠AOB = 15(6) – 18� m∠AOB = 90 – 18� m∠AOB = 72 ∠AOB = 72°

Demuestra que los ángulos a y b�de la figura de la izquierda son congruentes (o sea, miden lo mismo).

SOLUCióNDe acuerdo con la figura, ∠a y ∠d, así como ∠b y ∠d son adyacentes y forman un par de ángulos lineales; por tanto, son suplementarios:

1. m∠a�+�m∠d = 180°2. m∠b�+�m∠d = 180°; por tanto

a�+�d = 180b�+�d = 180

Al multiplicar por –1 ambos miembros de la ecuación b + d = 180 resulta:

a�+�d�=�180–b – d = –180

Al sumar miembro a miembro las ecuaciones del sistema anterior se obtiene:

a – b = 0; por tanto a = b, es decir, ∠a ≅ ∠b

Se ha demostrado que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Aná-logamente podríamos probar que:

∠c ≅ ∠d

pero eso queda a tu cargo.

Determina la medida de los ángulos ABC y ABD de la figura siguiente.

A

C

D

E

B(5x + 20)° (3x + 36)°

SOLUCióNComo ∠ABC y ∠DBE son opuestos por el vértice, entonces m∠ABC�=�m∠DBE. Se sustituyen valores y se hacen las operaciones correspondientes, de este modo:

ejemplo 4

∠a �∠b�∠c

�∠d

ejemplo 5


5x + 20 = 3x + 36 5x�– 3x = 36 – 20 2x�= 16 x = 16

2 = 8Por consiguiente:

m∠ABC = 5x + 20� m∠ABC = 5(8) + 20� m∠ABC = 60° ∠ABC = 60°

Puesto que ∠ABC y ∠ABD son ángulos adyacentes que forman un par de ángulos lineales, entonces son suplementarios; luego:

m∠ABC�+�m∠ABD = 180° 60 + m∠ABD = 180°� m∠ABD = 180 – 60� m∠ABD = 120° ∠ABD = 120°Así, ∠ABC = 60° y m∠ABD = 120°.

I Actividades de aprendizaje

i.Resuelve� lo�que�se�pide�a�partir�de� las�figuras� indicadas.

1. Con base en la figura de la derecha, nombra con tres letras cada uno de los ángulos citados.

∠1 = ∠2 = ∠3 =

∠4 = ∠5 = ∠6 =

∠7 = ∠8 = ∠9 =

B D

A

E C1 3

2 4 7

5 6 8 9

En parejas, explica a un compañero qué relación hay entre:

a. Dos ángulos opuestos por el vérticeb. Dos ángulos adyacentes que forman un par linealc. Un par de ángulos complementariosd. Un par de ángulos suplementariose.� Un par de ángulos conjugados

Obtengan conclusiones y preséntenlas ante el grupo. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales y coevalúen su trabajo.

comunicarparaaprEndEr


2. En las carátulas de reloj analógico que se muestran enseguida, traza las manecillas según se indica y luego encuentra el ángulo que forman éstas.

a.�3 en punto: d. 5 en punto:

b.�4 en punto: e. 11 en punto:

c.� 10 en punto:

3. En la figura de la derecha, utiliza el transportador y mide los ángulos que se indican.

∠ABC�=� � ∠ABD =

∠ABE�=� � ∠ABF =

∠GBC�=� � ∠GBD =

∠GBE�=� � ∠GBF =

∠CBD�=� � ∠DBE = ABH

GF E

DC

50° 42°

4. Dos ángulos suplementarios están a razón de 6:4; encuentra la medida del ángulo menor.

72° 80°

5. Dos ángulos complementarios están a razón de 5:4. Halla la medida del ángulo mayor.

6. Sean A y B dos ángulos suplementarios, donde A = 8(2x – 3)° y B = 10(x + 3.5)°. Encuentra la medida del ángulo A.

7. Sean A y B dos ángulos complementarios, donde A = 4(x + 3)° y B = 7(x – 3)°. Determina la medida del ángulo B.


8. En la figura siguiente, sea AOC un ángulo recto. Encuentra la medida del ángulo BOC.

A

BC

O

∠BOC = (6x – 1)°

∠AOB = (4x + 1)°

44°

10. Sean A y B dos ángulos complementarios, donde m∠A = 7x + 4 y m∠B = 4x + 9. Halla la medida del ángulo B.

11. Encuentra la medida de dos ángulos complemen-tarios si su diferencia es de 12°.

9. Determina la medida de un ángulo que mide 44° más que la de su suplemento.

53°

12. Sean ∠N y ∠M dos ángulos suplementarios. Si la medida del ángulo N es 5° menos que cuatro veces la medida del ángulo M, halla la medida de ∠N.

(4x +

23)°

(2x + 1)°

B

C(4x)°

A

112° 143°

13. Encuentra la medida del ángulo ABC de la figura siguiente.


14. Halla la medida del ángulo EOD de la figura siguiente.

A

B

C

D

E

(5x + 10)°

(4x

− 15

)°

O

(7x + 20)°

∠AOB = 71°∠BOC = 109°

A

B

C(3x)°(5x + 36)°

O

15.

ii. En�los�ejercicios�siguientes,�a� los�que�corresponden�sendas�figuras,�encuentra� las�medidas�de� los�ángulos�AOB�y�BOC.

C O A

B

(6x − 13)° (7x − 2)°

16.

m∠AOB = 54°m∠BOC = 126°

∠AOB = 103°∠BOC = 77°

A

BC

D

(7x + 53)°

(3x + 85)°O

17.


x = 7y = 5

1 234

5 678

r1

r2

Figura 37. Recta secante: corta a dos rectas coplanares.

iii.A�partir�de� las�figuras�correspondientes,�encuentra� los�valores�de�x�y�y�en� los�problemas�20�y�21.

18. C

A

B

DO

(18x + 8y)°(4x + 14)°34° A

C

B

15x + °

(6x − 8)°(15y + 2)°

45

20. Halla el valor de y en la figura siguiente.

110°

(10x + 30)°

AOC

B

(25x + 10)°

21. Halla la medida del ángulo BOC de la figura si-guiente.

A

Bx

∆O

(15x + 10y)°(7y − 10)° 25°

19.

y = 8.7x = 5y = 7

Rectas paralelas cortadas por una transversal o secante

Una transversal o secante es una recta que interseca a dos o más rectas copla-nares, como se muestra en la figura 37. Cuando dos rectas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos: cuatro externos, que de acuerdo con la figura 37, son 1, 2, 7 y 8, y cuatro internos, que en esa figura son los ángulos 3, 4, 5 y 6.

Ángulos alternos internos

Los pares de ángulos internos, no adyacentes y que se encuentran en un lado diferente de la transversal se llaman alternos� internos. En la figura 37 el par de ángulos 4 y 6 son alternos internos, así como el 3 y el 5.


En el recuadro “Propiedades de los ángulos” en la página 23 se presentan las propiedades que indican cómo se relacionan los pares de ángulos recién definidos cuando una transversal corta dos rectas paralelas entre sí.

Con base en la figura de la derecha, halla el valor de x. Sea r1r2.

SOLUCióNSea ∠A = 137° y ∠B = (8x – 7)°. Como estos ángulos son alternos externos, entonces m∠A = m∠B; por tanto:

8x – 7 = 137 8x = 137 + 7 = 144 x = 144

8 x = 18

La comprobación queda a tu cargo.

A partir de la figura de la derecha, halla el valor de x y�y. Considera r1r2.

SOLUCióNEn este caso sea ∠A = (5y)°, ∠B = (7x – 3)° y ∠C = (8x – 12)°. Como ∠B y ∠C son alternos internos, entonces, m∠B� =� m∠C. Al hacer las sustituciones correspondientes queda:

Ángulos alternos externos

Los pares de ángulos externos, no adyacentes y que se encuentran en un lado diferente de la transversal se llaman alternos�externos.�En la figura 37, el par de ángulos 1 y 7, así como el 2 y 8 son alternos externos.

Ángulos correspondientes

Los pares de ángulos no adyacentes situados en el mismo lado de la trans-versal se llaman correspondientes. En la figura 37, los pares de ángulos 1 y 5, 2 y 6, 4 y 8 y 3 y 7 son correspondientes.

Ángulos conjugados

También conocidos como ángulos� conjugados, son los pares de ángulos, los dos internos o los dos externos, situados del mismo lado de la transversal. En la figura 37, los ángulos 1 y 8, así como 2 y 7 son conjugados externos; a la vez, 3 y 6 y 4 y 5 son conjugados internos consecutivos. A estos últimos pares de ángulos, respectivamente, también se les llama consecutivos�internos.

ejemplo 6

ejemplo 7

(5y)°

(8x 2 12)°

(7x 2 3)° r1

r2

B = (8x – 7)°

A = 137°

r1

r2


8x – 12 = 7x�– 38x – 7x = –3 + 12

x = 9

Como ∠A y ∠C son conjugados o consecutivos internos, entonces, m∠A�+�m∠C = 180. Al hacer las sustituciones correspondientes queda:

5y�+ (8x – 12) = 1805y�+ 8(9) – 12 = 180

5y + 60 = 180 5y�= 180 – 60 = 120 y = 120

5 y = 24

Queda a tu cargo la comprobación.

A partir de la figura siguiente, halla el valor de x. Sea r1r2.

SOLUCióNSea ∠A = 115° y ∠B = (9x – 2)°. Como dichos ángulos son correspondientes tenemos que m∠A� =� m∠B; por tanto, al hacer las sustitu-ciones respectivas se obtiene:

9x – 2 = 115 9x = 115 + 2 = 117 x = 117

9 x = 13


Supón que en el cuadrilátero de la figura de la derecha, ABCD y ADBC . Halla el valor de y.

SOLUCióNSi prolongamos los segmentos BC y AD, como se muestra en la figura de abajo a la derecha, se observa que ∠A y ∠B son consecutivos internos; por tanto, m∠A� +� m∠B = 180°. Al sustituir por los valores correspondientes queda:

(2y + 10) + (3y – 5) = 180 5y + 5 = 180 5y = 180 − 5 = 175 y = 175

5 y = 35


ejemplo 8

r1

r2

B

C

A

115°

(9x − 2)°

r1

r2

r1A

Br2

ejemplo 9

(3y − 5)°

A

B C

D

(2y + 10)°

A

B


propiEdadEsdElosángulos

1. Los ángulos alternos internos son congruentes entre sí.

34

5 6n

r

4. Los ángulos consecutivos internos son suplementarios.

1 2

8 7

r

n

1 2

34

5 6

78n

r

34

5 6

r

n

1 2

8 7

r

n

1 2

34

5 6

78

r

n

rn

Ángulos alternos internos: ∠4 y ∠6; ∠3 y ∠5.

∠4 ≅ ∠6 ∠3 ≅ ∠5

2. Los ángulos alternos externos son congruentes entre sí.

rn

Ángulos alternos externos: ∠1 y ∠7; ∠2 y ∠8.

∠1 ≅ ∠7 ∠2 ≅ ∠8

3. Los ángulos correspondientes son congruentes entre sí.

rn

Ángulos correspondientes: ∠1 y ∠5; ∠2 y ∠6; ∠4 y ∠8; ∠3 y ∠7.

∠1 ≅ ∠5 ∠2 ≅ ∠6 ∠4 ≅ ∠8 ∠3 ≅ ∠7

rn

Ángulos consecutivos internos: ∠4 y ∠5; ∠3 y ∠6.

� m∠4 + m∠5 = 180° m∠3 + m∠6 = 180°

5. Los ángulos conjugados externos son suplementarios.

rn

Ángulos conjugados externos: ∠1 y ∠8; ∠2 y ∠7.

m∠1 + m∠8 = 180° m∠2 + m∠7 = 180°

Si en la figura de abajo imaginariamente movemos la recta n paralelamente respecto de sí misma, de manera que quede sobre r, se deduce lo siguiente:

a. ∠1 ≅ ∠3 ≅ ∠5 ≅ ∠7b. ∠2 ≅ ∠4 ≅ ∠6 ≅ ∠8c. m∠par + m∠impar = 180

Por último, es importante precisar que si la transver-sal es perpendicular a las rectas paralelas, lógicamente todos los ángulos que se forman son rectos.


Considera que en la figura de la derecha MN AC . Halla el valor de y.

SOLUCióNComo MN AC , entonces ∠A y ∠M son correspondientes, lo mismo que ∠N y ∠C; por ende:

7x + 2 = 58 y 2y = 5x – 6

Para determinar el valor de y nece-sitamos conocer el de x, luego:

7x = 58 – 2 = 56 x = 56

7

x = 8

De acuerdo con el valor de x obte-nido:

2y�= 5x – 6 2y�= 5(8) – 6 2y = 40 – 6 = 34 y = 34

2 y = 17

Queda a tu cargo comprobar el resultado.

Halla m∠ABC de la figura de la derecha; consi-dera que BDAC .

SOLUCióNPara hallar la medida del m∠ABC se requiere conocer el valor de x. Como el rayo BD y el segmento de recta AC son paralelos, entonces ∠BAC y ∠EBD son correspondientes; así:

7x = 70 x = 70

7 = 10 ∠ABC = (2x + 15)° = [2(10) + 15]° ∠ABC = 35°


ejemplo 10

ejemplo 11

A

B

C

M N58° (2y)°

(7x + 2)° (5x − 6)°

A C

M N

A

B

E

C

D70°

(2x + 15)°

(7x)°

70°

(7x)°

Considera que en la figura de la izquierda las rectas r1 y r2 son paralelas y, en parejas, explica a un compañero cómo identificas los pares de ángulos siguientes:

a. Alternos internos b. Alternos externosc. Correspondientes d. Conjugados internos (consecutivos internos)

Obtengan conclusiones y expónganlas ante el grupo. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales y, con base en ellas, coeva-lúen su trabajo.


1 r1

r2

234

5 678


1. En la figura de la derecha, el ángulo 3 mide 125°. Encuentra la medida de los demás ángulos, si ABCD.

∠1 = ∠2 = ∠5 = ∠6 = ∠3 = ∠4 = ∠7 = � ∠8 =

i. Resuelve� los�ejercicios�siguientes�con�base�en� las�figuras�respectivas.

II Actividades de aprendizaje

1 2

34

5 6

78

A B

C D

2. En la figura siguiente, identifica los pares de ángulos:

a.�Alternos internos b.�Alternos externos c.� Correspondientes d.�Consecutivos internos e.� Opuestos por el vértice f.� Adyacentes que forman un par lineal

A B

C D

1 2

34

5 6

78

ii. En� los�ejercicios�3�a�15�halla� los�valores�de�x�y�y con�base�en� la�figura� siguiente.�En� todos� los�casos,� considera�que�r1r2 .

3.

150°

(20x − 10)° (8y − 2)°

r1

r2

x = 8y = 4


4.

120°

(15x + 30)°

(12y + 36)°

r1

r2

x = 23y = 14

(10y)°

(3x + 20)°

(8x − 30)°

r1

r2

x = 6y = 7

5.

x = 10y = 5

(25x − 8)°

(5x + 32)°

(3y)°

r1

r2

6.

x = 2y = 14

7.118°

(3x − 7)°

(9y − 8)°

r1

r2


8.

x = 30y = 5

x = 5y = 3

x = 17y = 4

x = 15y = 29

(4x)° (12y)°

60°

r1

r2

9. En este caso, considera que MN AC .

10. Considera que DE AC .

11. Considera que AC BD .

A

B

C

M N(50)°75°

(7x + 15)° (5y + 60)°

D E

B

A C

65° 70°

(3x + 14)° (2x + 9y)°

(2x + 5)°D

E

B

A C35°

(5y)°


A

B C

D

(6x)°

(4y + 8)°120°

El triángulo

Clasificación de los triángulos

Segmentos y puntos importantes de un triángulo

Recta de Euler

Propiedades de los triángulos

12. Considera que ADBC y AB CD.

A C

B

NM 70º 52º

(8x – 2)º (4x + 4y)º

x = 10y = 13

13. En la figura siguiente MN AC . Halla el valor de y.

x = 9y = 4

Como sabes, el triángulo es un polígono de tres lados. Los puntos donde éstos se cortan se llaman vértices.

En geometría, el triángulo se representa con el símbolo Δ. Para nombrarlo, además, pueden utilizarse las tres letras de sus vértices sin que importe el orden, o bien, emplear un número romano escrito dentro del triángulo. Por ejemplo, el triángulo de la figura 38 se designa con ΔABC o, simplemente, con I.

clasificación de los triángulosLos triángulos pueden clasificarse según la medida de sus lados o según la medida de sus ángulos. Primero definiremos los tipos de triángulos de� acuerdo�con� la�medida�de�sus� lados.

B

CA

I

Figura 38. Un triángulo.

El triángulo 29

triángulo equilátero

Es aquel cuyos lados miden lo mismo, es decir, tienen la misma longitud.

triángulo escaleno

Es el que tiene los tres lados de diferente longitud.

triángulo rectángulo

Es el que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90° (figura 40 en la página siguiente).

triángulo acutángulo

Es aquel cuyos tres ángulos son agudos de menos de 90° (figura 41) en la página siguiente.

triángulo isósceles

Es aquel en el que al menos dos de sus lados miden lo mismo, o sea, tienen igual longitud.

triángulo obtusángulo

Es el que tiene un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90° pero menor de 180° (figura 42 en la página siguiente).

Por otra parte, de�acuerdo�con�la�medida�de�sus�ángulos, los triángulos se clasifi-can en rectángulos, acutángulos y obtusángulos. A continuación se define cada uno de ellos.

Cabe señalar que en un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa; los otros dos, catetos.

En la figura 41, ∠A, ∠B y ∠C son ángulos agudos.

En la figura 42, ∠R es un ángulo obtuso.


segmentos y puntos importantes de un triángulo

tiposdEtriángulossEgúnsusángulos

A

B

C

AB = hipotenusa

Figura 40. triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto (90°).

B

CA

Figura 41. triángulo acutángulo: todos sus ángulos son agudos (menores de 90°).

P

I

R

Q

Figura 42. triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso (>90° y <180°).

Elabora un mapa conceptual titulado “Clasificación de los triángu-los”. Ilústralo con algunos ejemplos que tomes de tu entorno inme-diato. Presenta oralmente tu trabajo a tus compañeros y escucha sus comentarios. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones genera-les y, con esa base, evalúa tu labor.


Altura de un triángulo

Es un segmento de recta perpendicular trazado desde uno de los vértices del triángulo hasta el lado opuesto a éste (figura 43).

Observa que en el triángulo obtusángulo (figura 43a) dos de las alturas están fuera de él, mientras que en el rectángulo (figura 43c), dos de sus alturas coinci-den con sus catetos.

A

C

B

a)

hb

hcha

b) B

A C

hc

ha

hb

c)

CA

B

ha

hb

hc

Figura 43. alturas de un triángulo.

Una propiedad importante de un triángulo es que sus alturas concurren, es decir, pasan por un mismo punto, que recibe el nombre de ortocentro.

El triángulo 31

Ortocentro

El punto donde concurren las alturas de un triángulo se denomina ortocentro.

Las alturas se designan con la letra h�y una letra minúscula como subíndice que indica el lado opuesto al vértice del ángulo desde el que es trazada.

mediana

Es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto medio de su lado opuesto.

mediatriz

Es una semirrecta perpendicular a uno de los lados de un triángulo que pasa por el punto medio de ese lado. En un triángulo hay tres mediatrices y el punto donde se cortan se denomina circuncentro, el cual se halla a la misma distancia, es decir, equidista de los tres vértices del triángulo (figura 45).

Baricentro

Cualquier triángulo posee tres medianas que se cortan en un punto común llamado baricentro.

B

GP

A

R

Q

Cmb

ma mc

Figura 44. medianas y baricentro de un triángulo.

Merece indicarse que los físicos denominan centro�de�gravedad al baricentro. En la figura 44 se muestran las medianas y el baricentro de un triángulo acutángulo.

Una mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado opuesto al vértice. En la figura 44:

CP = mc

AQ = mA

BR = mB

G = baricentro

Una propiedad importante de un triángulo respecto a sus medianas es que el bari-centro está situado a dos tercios de la distancia de cada vértice al lado opuesto.

Si en la figura siguiente G es el baricentro del triángulo, observa que:

AGAQ = 8

12 = 23

BGBR = 6

9 = 23

CGCP = 10

15 = 23

B

QG

CRA

P6

4

103

5

8


A

a)

BC

O

b)

Q

P R

O

c)

M

N P

O

Figura 45. mediatrices y circuncentro de tres tipos de triángulos.

A

D

C

F

BE

Figura 46. bisectriz e incentro de un triángulo obtusángulo.

Observa en la figura 45 que:

1. En un triángulo rectángulo el circuncentro es el punto medio de la hipo-tenusa (AB) (figura 45a).

2. En un triángulo acutángulo el circuncentro está en el interior del triángulo (figura 45b).

3. En un triángulo obtusángulo el circuncentro está fuera del triángulo (figura 45c).

Bisectriz

Es una semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos de igual medida. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto común denominado incen-tro, el cual se caracteriza por ser equidistante de los tres lados del triángulo (figura 46).

Recta de EulerEl matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) encontró que el bari-centro, el ortocentro y el circuncentro de un triángulo están alineados. Por ello, se denomina recta�de�Euler de un triángulo la que contiene a esos tres puntos.

En la figura 47, el punto P es el ortocentro del ΔABC; G es el baricentro y O, el circuncentro; por consiguiente, r es la recta de Euler de ese triángulo.

El incentro y el circuncentro son los centros de las circunferencias que tienen una relación especial con el triángulo. Como sabes, un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de ella.

El polígono ABCD de la figura 48 está inscrito en la circunferencia. En este caso, se dice que la circunferencia está circunscrita en el polígono.

La circunferencia circunscrita al triángulo contiene los tres vértices de éste. El centro es el circuncentro del mismo, o sea, el punto de intersección de las media-trices (figura 49 en la siguiente página).

Un polígono está circunscrito a una circunferencia cuando sus lados son tan-gentes a ella. Como se observa en la figura 50, una tangente es cualquier recta que contiene sólo un punto de la circunferencia. En este caso se dice que la circunfe-rencia está inscrita en el polígono (figura 50 en la siguiente página).

El centro de la circunferencia inscrita en un triángulo es el punto de intersec-ción de las bisectrices de los ángulos del triángulo, o sea, el incentro. Los segmentos de recta que unen el centro de la circunferencia con los puntos de tangencia son radios de la misma (figura 51 en la siguiente página).

BA

O

G

D

P

C

r

Figura 47. Recta de Euler, la cual contiene el baricentro, el ortocentro y el circuncentro del triángulo.

D

C

B

A

O

Figura 48. Polígono inscrito en una circunferencia.

El triángulo 33

O BA

C

Figura 49. circunferencia circunscrita a un triángulo: su centro es el circuncentro del triángulo.

BA

DC

Figura 50. Polígono inscrito en una circunferencia.

D CA

B

I

Figura 51. ID es un radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC.

Propiedades de los triángulosEnseguida se presentan las propiedades de los triángulos. Cuando se considera necesario, se ofrecen ejemplos para que resulte más sencillo comprenderlas.

1. En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°, como se observa en la figura 52.

1

2

3

m1 + m2 + m3 = 180° Figura 52. la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Determina el valor de x en el triángulo de la figura de la derecha.

SOLUCióNDe acuerdo con la propiedad 1 de los trián-gulos, m∠A�+�m∠B�+�m∠C = 180°; por tanto, al hacer las sustituciones correspondientes queda:

60 + 80 + 2x�= 180 2x�= 180 – 140 = 40� x = 40

2� x = 20


Determina el valor de y en el triángulo de la figura de la derecha.

SOLUCióNPuesto que los ángulos internos de un trián-gulo suman 180°, tenemos que:

4y + 90 + m∠1 = 180

ejemplo 12

(2x)°60°

80°

A C

B

ejemplo 13 60°

60°

(4y)°

1 2


Para hallar el valor de y se necesita conocer el de m∠1. Con base en la figura, m∠1 = m∠2, ya que son opuestos por el vértice. Asimismo, se tiene que:

m∠2 + 60 + 60 = 180� m∠2 = 180 – 60 – 60� m∠2 = 60

Por consiguiente:

m∠1 = 60

Al sustituir m∠1 por 60 en la expresión inicial resulta:

4y + 90 + 60 = 180 4y = 180 – 150 = 30 y = 30

4� y = 7.5

Comprueba que con el valor obtenido la suma de los ángulos interiores del trián-gulo es igual a 180°.

2. En cualquier triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él (también llamados ángulos�opuestos al ángulo exterior.)

Un ángulo exterior de un triángulo es el que forman uno de sus lados y la prolongación de otro.

En la figura 53, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 y ∠6 son los ángulos exteriores o externos del ΔABC.

Observa que las parejas de ángulos exteriores 2 y 6, 3 y 4, y 1 y 5 son congruentes porque son opuestos por el vértice.

Los ángulos B y C son los opuestos al ángulo exterior 2 y al 6, res-pectivamente. Los ángulos A y C son los opuestos a los ángulos 3 y 4. Por último, A�y�B son los ángulos opuestos a los ángulos 1�y 5; por consi-guiente, de acuerdo con la propiedad enunciada y la figura 53, tenemos que:

• m∠2 = m∠B + m∠C • m∠4 = m∠A + m∠C• m∠6 = m∠B + m∠C • m∠1 = m∠A�+�m∠B• m∠3 = m∠A + m∠C • m∠5 = m∠A + m∠B

Por último, es importante precisar que un ángulo exterior forma un par de ángulos lineales con el ángulo interior que le es adyacente.

Determina el valor de x� y de� y en la figura siguiente.

SOLUCióNDe acuerdo con la figura, ∠B y ∠C son opuestos al ángulo exterior 1; en consecuencia:

m∠1 = m∠B�+�m∠C(20x – 37) = (8x – 5) + (7x + 3)

Al eliminar signos de agrupación resulta:

20x�– 37 = 15x�– 2 20x – 15x�= –2 + 37 5x = 35 x = 35

5� x = 7

B

A C

3 4

1

56

2

Figura 53. los ángulos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son los ángulos exteriores del triángulo ABC.

ejemplo 14

(8x − 5)°

∠1= (20x − 37)°

(7x + 3)°(11y)°1

B

AD C

El triángulo 35

Para encontrar el valor de y hay dos vías.

Primeravía: Segundavía:

Los ángulos 1 y A son adyacentes que forman un par lineal; luego, son suple-mentarios. Por consiguiente:

m∠1 + m∠A = 18020x – 37 + 11y = 180

20(7) – 37 + 11y = 180103 + 11y = 180

11y + 180 − 103 = 77y = 77

11y = 7

Por la propiedad 1 sabemos que m∠A + m∠B + m∠C = 180; así, al hacer las sustituciones respectivas queda:

(11y) + (8x – 5) + (7x + 3) = 18011y + 8(7) – 5 + 7(7) + 3 = 180

11y + 103 = 180y = 180 − 103

11y = 7

Como ya es costumbre, la comprobación queda a tu cargo.

3. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo, uno en cada vértice, es igual a 360°.

4. Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°.5. En un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipo-

tenusa�y los otros dos lados, catetos. Como recordarás, el teorema de Pitá-goras establece que “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. En la figura 54 se tiene que:

AB = hipotenusa de longitud igual a c AC = cateto de longitud igual a b BC = cateto de longitud a� c2 = a2 + b2

6. En cualquier triángulo sólo puede haber un ángulo recto.7. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios

(suman 90°).8. En todo triángulo sólo puede haber un ángulo obtuso.9. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

10. En un triángulo rectángulo isósceles, cada uno de los ángulos agudos mide 45°.

11. En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia (postulado de la desigualdad triangular).

12. En un triángulo isósceles, la altura que corresponde a la base también es mediana, bisectriz y mediatriz.

13. En un triángulo, a ángulos de igual medida les corresponden lados opues-tos de igual longitud.

En el triángulo de la figura de la izquierda, determina el valor de x. (La marca en los lados indica que los segmentos PQ y QR son congruentes.)

SOLUCióN

Como PQ ≅ QR, entonces:

ángulo opuesto a PQ ≅ ángulo opuesto a QR

∠R ≅ ∠P� m∠R�≅�m∠P

A

B

C

a

b

c

Figura 54. En un triángulo rectángulo, según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos, es decir, c2 = a2 + b2.

ejemplo 15

P R

Q

50°

x°


� m∠R�=�x� m∠P�+�m∠Q�+�m∠R = 180� x + 50 + x = 180 2x + 50 = 180 2x = 180 – 50 = 130 x = 130

2� x = 65


III Actividades de aprendizaje

i. Realiza� las�actividades�siguientes.

1. Escribe debajo de cada uno de los triángulos siguientes acutángulo,�obtusángulo o rectángulo, según corres-ponda.

2. Escribe debajo cada uno de los triángulos siguientes escaleno, equilátero o isósceles�no�equilátero, según corresponda.

La constelación la Osa Mayor posee tres de las estrellas más brillantes, las cuales forman un triángulo ARS como se muestra en la fi gura de la izquierda, donde m∠A = 40 y m∠R = 41. En parejas, explica a un compañero cómo determinas m∠S. Escucha atentamente su explica-ción. Obtengan conclusiones y preséntenlas ante el grupo. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales y coevalúen su trabajo.


35º

25º

60º

30º

60º

50º 70º

4 cm

4 cm

4 √2 cm8 cm 8 cm

8 cm

4 pulg.

6 pulg.10.3 pulg.

A

S

R

El triángulo 37

3. El soporte de los techos de una estructura tiene forma de un triángulo, como se muestra en la fi gura siguiente. Halla la medida del ángulo T.

R U S

T

72°

6. Sean A, B y C los ángulos interiores de un trián-gulo, donde ∠A = (2x + 35)°, ∠B = (4x – 10)° y ∠C = (3x – 7)°. Halla la medida del ángulo B.

4. Halla el valor de y en la fi gura siguiente.

(10y)° 120°

(3x − 10)º

(5x + 20)ºP R S

Q

7. En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos guardan entre sí la razón de 8:7. Encuentra la medida del ángulo menor.

42°x = 13.75y = 6

5. Los ángulos interiores de un triángulo guardan entre sí la razón de 4:5:6. Determina la medida del ángulo mayor.

8. Halla la medida del ángulo Q de la figura si-guiente.

xº

2xº

PR

Q

(x – 20)º


9. Halla la medida del ∠ABC de la figura siguiente.

80º

xºA

C

B

(3x – 22)º

A

B

D

C

54º 36º

120º 1 2

3

E

ii. Resuelve� los�ejercicios�10�a�12�con�base�en�este�dato:�en� la�figura�siguiente,�AB�es�paralela�a CD.

10. Halla m∠1. 11. Halla m∠2.

12. Halla m∠3.

iii.Las�preguntas�13�y�14�se�resuelven�con�base�en� la�figura�siguiente.

yº 60ºxº

35º50º

13. Halla el valor de x. 14. Halla el valor de y.

iv. Las�preguntas�15�y�16�se�resuelven�con�base�en� la�figura�siguiente.

A

B C

(2x + 21)º

xº

15. Halla el valor de x. 16. Halla m∠BAC.

El triángulo 39


17. A partir de la fi gura siguiente, halla el valor de x y el de y.

(12x + 2)º(14y)º

(5x + 21)º

(3x + 17)º150º (6y)º

xº

18. A partir de la fi gura siguiente, determina el valor de x y el de y.

x = 9y = 5

x = 60y = 5

Tres de las estrellas más brillantes de la constelación Leo forman un triángulo como el que se muestra en la fi gura siguiente. Escribe un resumen donde expliques cómo determinas m∠L. Léelo a tus compa-ñeros de la clase y, con la guía del profesor, obtengan conclusiones, con base en las cuales debes evaluar tu trabajo.


O

Leo

E

27°

93°

L


1. En la figura siguiente, AB = 5x + 6, BC = 2x + 1 y AC = 9x + 3. Halla la longitud de AC.

a.� 21b.� 22.5c.� 20d.� 24

Evaluación sumativa

i. Elige� la�respuesta�correcta.

A

B

C

70°36°

4. A y B son dos ángulos suplementarios, donde�A = 4(x – 1)° y B = 7(x – 2)°. Encuentra la medida del ángulo B.

a.� 68°b.� 18°c.� 72°d.� 112°

2. En la figura siguiente, M�es el punto medio de PQ. Halla el valor de y si�PM = 4y + 3�y�MQ = 7y – 18.

a.� 5b.� 6c.� 7d.� 8

11221

d) 8

P

M

Q

5. Sean A y B dos ángulos conjugados, con A = 12(x + 3)° y B = 4(x – 6)°. Determina la me-dida del ángulo B.

a.� 63°b.� 77°c.� 85°d.� 104°

637

3. Dos ángulos complementarios guardan entre sí la razón de 2:3. Determina la medida del ángulo menor.

a.� 80°b.� 40°c.� 54°d.� 36°

6. Halla la medida del ángulo AOB�de la figura si-guiente.

a.� 75°b.� 80°c.� 70°d.� 82°

C

B

A(10x+ 30)°(28x− 2)°

O


7. Determina el valor de x�en la figura siguiente.

a.� 9b.� 11c.� 8d.� 6e.� 5.5(15y 6)

(12x)

(13y 10)

8. A partir de la figura de abajo resuelve este ejer-cicio y el siguiente. Encuentra el valor de y.

a.� 2b.� 4c.� 7d.� 5

r r1 2| |

r1

r2

(3y 6)

(9x)

(6y 15)

10. A partir de la figura siguiente, encuentra el valor de y.

a.� 5b.� 3.5c.� 4d.� 4.5

r r1 2| |

r1

r2

(12.5y 3x) (13x 30)

100

ii. Contesta� las�preguntas�8�y�9�con�base�en� la�figura�correspondiente.�Elige� la�opción�correcta.

9. Determina el valor de x.

a.� 8b.� 3c.� 5d.� 9

11. Con base en la figura siguiente, determina el va-lor de x.

a.� 22b.� 24c.� 18d.� 20

r r1 2| |

r1

r2

(x 5y)

(7y 22)

(3y 2)

47

3


12. Con base en la figura siguiente, determina el va-lor de y.

a.� 6b.� 4c.� 7d.� 5

r r1 2| |

r1

r2(12y 9)

(15y 6)

13. En la figura siguiente, considera que OD es bi-sectriz de ∠AOB y determina el valor de y.

a.� 2b.� 4.5c.� 5d.� 6

r r1 2| |

B

Ar1

r2

D

O

(16y)

40

55

14. Con base en la figura siguiente, encuentra el va-lor de y.

a.� 2b.� 4.3c.� 5d.� 4

MN AC

A C

M N

B

70º 45º

| |

(8x − 2)º (9y + x)º

15. Con base en la figura siguiente, determina el va-lor de�y.�Considera que MN AC .

a.� 4b.� 7c.� 10d.� 5

A C

M N

B

60º 73º

(7x + 4)º(13y + x)º

4

16. Con base en la figura siguiente, determina el valor de y.

a.� y = 9b.� y = 1c.� y = 12d.� y = 17

(19x – 6)º

(16x + 12)º

(3x + 6y)º


17. La carretera representada en la figura siguiente divide una granja en dos partes. Los bordes opuestos del campo son paralelos y la carretera es una transversal. Considera que m∠5 = 110 y determina m∠4.

CercaCerca

1 2

7 85 6

3 4

Carretera

120°

18. Con base en la figura siguiente, halla el valor de x. (Elige la opción correcta.)

a.� x = 16b.� x = 13c.� x = 14d.� x = 15

C

B

OA

(10x – 20)º 70º

13

19. Los ángulos de un triángulo se hallan entre sí en la razón de 12:4:2. Determina la medida del ángulo mayor.

a.� 110°b.� 100°c.� 120°d.� 130°


20. Sean A, B�y C los ángulos de un triángulo, donde A = (2x – 7)°,�B = (5x + 3)° y C = (6x + 2)°. Determina la medida del ángulo B.

a.� 22°b.� 85°c.� 90°d.� 100°e.� 73°

36°

73°

21. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo guardan entre sí la razón de 5:4. Halla la medida del ángulo agudo mayor.

a.� 40°b.� 60°c.� 50°d.� 65°e.� 70°

50°

22. Encuentra la medida del ángulo B en la figura siguiente.

a.� 36°b.� 95°c.� 75°d.� 60°e.� 42°

D

B

CA

120º

(3x)º

(7x)º


23. Determina la medida del ángulo 3 en el triángulo de la figura siguiente. Considera que ∠2 = (2n�−�3)°, ∠3 = (3n�−�2)° y ∠4 = (4n�+�15)°.

a.� 58°b.� 64°c.� 59°d.� 50°e.� 56°

14

3

4 1 2

58°

24. En el triángulo de la figura siguiente, considera que DEST . Determina el valor de x.

a.� 18b.� 20c.� 35d.� 40e.� 45

R

D E

S T

40°

60°

(2x)°

40°

25. Con base en la figura siguiente, determina el valor de x.

a.� 14b.� 15c.� 13d.� 16

(9x − 6)°

70°

130°


26. Con base en la figura siguiente, halla la medida del ángulo B.

a.� 80°b.� 95°c.� 75°d.� 60°

x = 35

A C

B

(3x + 5)º

(3x)º xº

80°

27. Considera que en la figura siguiente, BCDE y CD⊥DE. Determina la medida de ∠5.

a.� 225°b.� 75°c.� 50°d.� 55°

A B

C

D

E F

1

45

50º

125º

2

3

50°

28. Con base en la figura siguiente, halla el valor de x.

a.� x = 35b.� x = 40c.� x = 45d.� x = 30

30º

50º 65º

xº

BLO

QU


Para calcular el ancho A′B′ de un lago, un agrimensor procede de esta forma: clava una vara en un punto P y después, orientada en dirección A′P, clava una estaca en el punto A, de modo que A′P = AP. Asimismo, mirando de P a B′ el agrimensor localiza el punto B de modo que B′P = BP (véase la figura en la página siguiente). El agrimensor dice a sus supervisores que la distancia AB es la longitud del ancho del lago. ¿Estás de acuerdo con el método que utilizó esta persona? Los conocimientos acerca de la congruencia de triángulos que adqui-rirás en este bloque te permitirán dar respuesta satisfactoria a esta pregunta.

Congruencia de triángulos


OBjEtOS

dE COnOCimiEntO

50 B L O Q U E 2 CongruenCia de triángulos


B’

B

A’

P

A

1. ¿Cómo se llaman los triángulos que tienen la misma forma y el mismo tamaño?

2. COMUNICAR PARA APRENDER. En parejas, ex-plica a un compañero el criterio LLL de la con-gruencia de triángulos.

3. COMUNICAR PARA APRENDER. Enuncia el cri-terio LAL de la congruencia de triángulos.

4. COMUNICAR PARA APRENDER. Enuncia el cri-terio ALA de la congruencia de triángulos.

5. Si en la fi gura siguiente BC ≅ AD y AB ≅ CD , ¿mediante qué criterio se demuestra que los triángulos ABC y ADC son congruentes?

A

B C

D

6. Si en la fi gura siguiente LN y OP se bisecan mu-tuamente en el punto M, ¿mediante qué criterio se demuestra que ΔOLM ≅ ΔNMP?

O

L M

P

N

7. Si en la fi gura siguiente RS ≅ US , ¿mediante qué criterio se demuestra que ΔSVR ≅ ΔSTU?

V

T

S

U

R


marcas en las partes homólogas

Criterios de congruencia de triángulos

Uso de triángulos congruentes para demostrar la congruencia de segmentos de recta y de ángulos

Congruencia de triángulos 51

En el bloque anterior aprendiste, entre otras cosas, que las figuras congruentes son las que tienen la misma forma y el mismo tamaño. La palabra congruente significa concordar, es decir, las figuras congruentes pueden hacerse coincidir en todas sus partes. Como vimos en el bloque 1, la congruencia se representa con el símbolo ≅, que combina los signos = (“igual tamaño”) y ∼ (“misma forma”).

Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o corres-pondientes. Por tanto, se habla de ángulos y lados correspondientes u homólogos.

Ya aprendiste varias características de los triángulos. Aquí se enuncia otra, que debes tener presente a lo largo de este bloque: cuando dos triángulos son congruen-tes, a ángulos homólogos les corresponden lados opuestos homólogos, y viceversa.

Escribe un resumen donde expliques cuándo dos triángulos son con-gruentes. Ilústralo, léelo a un compañero y escucha atentamente el suyo. Obtengan conclusiones. Preséntenlas ante el grupo y, con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales, con base en las cuales has de evaluar tu resumen.

ESCRIBIR paRa apRENDER

marcas en las partes homólogas

La proposición relativa a figuras congruentes y las demostraciones respectivas se facilitan identificando con una misma marca las partes congruentes, como se muestra en la figura 1.

En esa figura, el segmento de recta AB y su homólogo PR están marcados con una rayita; AC y su homólogo QP, con dos rayitas, y los ángulos homólogos entre sí, A y P, con tres rayitas. Las marcas en las partes homólogas pueden ser aún más útiles si se emplean colores distintos.

RA B

C

P

Q

Figura 1. Marcas para indicar las partes congruentes de dos triángulos.


Criterios de congruencia de triángulosDos triángulos son congruentes cuando sus tres pares de lados y ángulos tam-bién lo son; sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que unos cuantos pares de partes correspondientes son homólogas. Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para ser congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales explicaremos a continuación.

Criterio LAL

Si dos de los lados en un triángulo y el ángulo que forman son respectiva-mente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por éstos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes (figura 3).

Criterio LLL

Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, los triángulos son congruentes (figura 2).

Criterio ALA

Si en un triángulo dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son respec-tivamente congruentes con dos ángulos y el lado que queda entre ellos de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes (figura 4).

CRItERIoSDECoNgRuENCIaDEtRIáNguloS

AB ≅ XY BC ≅ YZ AC ≅ XZ

ZA

B

C X

Y

Figura 2. Criterio de congruencia lll.

AB ≅ ED BC ≅ EF ∠B ≅ ∠E

EA

B

C

F D

Figura 3. Criterio de congruencia lal.

∠A ≅ ∠P ∠C ≅ ∠R AC ≅ RP

A

B

C P

Q

R

Figura 4. Criterio de congruencia ala.


Sea que en la figura de la izquierda R es el punto medio de QS y ∠Q ≅ ∠S. Determina el criterio mediante el cual se demuestra que ∠QRP ≅ ∠TRS.

SOLUCiónComo R es el punto medio de QS , entonces QR ≅ RS . Además, ∠QRP ≅ ∠SRT porque son ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, el criterio para demostrar la congruencia de estos triángulos es:

QR ≅ RS L ∠QRP ≅ ∠SRT A ∠Q ≅ ∠S A

Por el criterio ALA se demuestra que ∠QRP ≅ ∠TRS.

ejemplo 1

ejemplo 2

ejemplo 3

P

RS

TQ

P

Q

R

S

T

Como se observa en la figura de la izquierda, XM es mediatriz de YZ . Demuestra que ∠XYM ≅ ∠XMZ.

SOLUCión

MY

X

ZM

I II

MY Z

XX

En este caso tenemos que:

∠XMY ≅ ∠XMZ porque es XM ⊥ YZ A XM I ≅ XM II M es el lado común L YM ≅ MZ porque XM es mediatriz de YZ L

En consecuencia, por medio del criterio LAL se demuestra que ∠XYM ≅ ∠XMZ.

En la figura de la izquierda, OL ≅ ON y OM es una mediana. Demuestra que ∠OLM ≅ ∠ONM.

SOLUCión

OM I ≅ OM II por ser lado común a ambos triángulos LOL ≅ ON dato dado LLM ≅ MN como OM es una mediana, entonces M es el punto medio de LN L

Por el criterio de congruencia LLL se comprueba que ∠OLM ≅ ∠ONM.

L N

O

M L M N

O

M

O

L N

O

M

I II


AC ≅ BC dato dado LCDI ≅ CDII porque es lado común de ambos triángulos LAD ≅ BD porque D es el punto medio de AB , pues CD es una mediana de AB L

Por el criterio LLL se demuestra que ∠I ≅ ∠II. Puesto que AD ≅ BD, entonces, el ángulo opuesto a AD es congruente con el ángulo opuesto a BD, es decir:

∠1 ≅ ∠2

uso de triángulos congruentes para demostrar la congruencia de segmentos de recta y de ángulosCuando dos triángulos son congruentes, sabemos que cada lado y cada ángulo de uno de ellos es congruente con el elemento homólogo del otro. Entonces, para demostrar que dos ángulos o dos segmentos son congruentes primero se comprueba que son elementos homólogos de dos triángulos congruentes, como se muestra en el ejemplo presentado después de la actividad siguiente.

En la figura de abajo considera que:

∠1 ≅ ∠2AB ⊥ ADCD ⊥ ADAB ≅ CD

En parejas, explica a un compañero cómo demuestras que AO ≅ DO . Escucha atentamente su explicación y obtengan conclusiones, que han de presentar ante el grupo. Con la guía del profesor, lleguen a con-clusiones generales, con base en las cuales coevaluarán su labor.

ComuNICaRpaRaapRENDER

A

C

D1 2

B

O

A partir de la figura siguiente, sabemos que AC ≅ BC y que CD es mediana de AB . Demuestra que ∠1 ≅ ∠2.

ejemplo 4

A B

C

D

1 2

I II

A D

C

1

I

B

C

D

2

II

SOLUCión



1. Si en la figura siguiente, AE y BD se bisecan mutuamente en C, determina por qué criterio se demuestra que ΔABC ≅ ΔEDC.

a. ALAb. LALc. LLL

A B

C

D E

2. En la figura siguiente, AB ⊥ AE, DE ⊥ AE, C es el punto medio de AE y ∠ACB ≅ ∠ECD. Determina por qué criterio se demuestra que ΔACB ≅ ΔECD.

a. ALAb. LALc. LLL

A

B

C

D

E

3. Si BE ≅ EC, AE ≅ ED, determina por qué criterios se demuestra que ΔI ≅ ΔII.

a. ALAb. LALc. LLL

A

B C

D

EI II


5. En la figura siguiente, C es el punto medio de BD y ∠2 ≅ ∠3. Comprueba que ΔABC ≅ ΔEDC.

a. Por el criterio ALAb. Por el criterio LALc. Por el criterio LLL

4. En la figura siguiente, BD biseca el ángulo ABC y BD ⊥ AC. Demuestra que AB ≅ BC.

a. Por el criterio ALAb. Por el criterio LALc. Por el criterio LLL1 2

A

B

CD

A

B C D

E

2 3

6. En la figura siguiente, Q es el punto medio de NP y OM. Demuestra que ΔI ≅ ΔII.


M

NO

P

QI II

7. En la figura siguiente, si AB ≅ AC y AD es una mediana, demuestra ΔABD y ΔACD son congruentes.

a. ALAb. LALc. LLL

A

B CD


8. En la figura siguiente, BC AD y AB CD . Demuestra que los triángulos I y II son congruentes.


C

A

B

D

E

M N

S

T

G

11. En la figura siguiente, B es el punto medio de DE. Demuestra que AE = CD .

C

D

AB

E

I

II

B

A D

C

I

II

12

3

4

9. En la figura siguiente, AB ≅ CD y E es el punto medio de BD . Demuestra que ΔAEB ≅ ΔCED.


10. En la figura siguiente, MS ⊥ SN , NG ⊥ MG y ST ≅ TG . Comprueba que ΔSTM y ΔGTN son congruentes.



12. Si los segmentos AD y BE se bisecan mutuamente en el punto C, demuestra que AD =BE .

Escribe una lista de los postulados o criterios para mostrar que los triángulos son congruentes. Para cada criterio dibuja un diagrama donde indiques las partes necesarias para mostrar la congruencia. Lee tu texto a un compañero y escucha el suyo con atención. Lleguen a conclusiones y preséntenlas frente al grupo. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales, con base en las cuales coevaluarán y corregirán su trabajo.


CD

A

B

E

I

II

El puente de la fi gura siguiente utiliza una estructura triangular en su diseño. Considera que los triángulos RTU y STU son congruentes y, con tal base, explica a un compañero cómo identifi car los ángulos y lados congruentes correspondientes. Escucha su explicación; lleguen a conclusiones y preséntenlas ante el grupo. Con la guía del profesor obtengan conclusiones generales, con base en las cuales coevaluaron su trabajo.

ComuNICaRpaRaapRENDER

R U S

T

evaluación sumativa 59

i. En los ejercicios 1 a 7, indica el criterio mediante el cual se demuestra que los triángulos señalados son congruen-tes. Elige la opción correcta.


1. En la figura siguiente, RS ≅ RQ y ST ≅ QT. De-muestra que ΔRST ≅ ΔRQT.

S

Q

R

T

a. Criterio ALA.b. Criterio LLL.c. Criterio LAL.

3. En la figura siguiente, ∠1 ≅ ∠2 y PS ⊥ QR. ¿Por medio de qué criterio de congruencia comprue-bas que ΔPQS ≅ ΔPRS?

P

Q

S

R

12

a. Criterio LLL.b. Criterio ALA.c. Criterio LAL.

2. En la figura siguiente, AB y CD se bisecan entre sí en el punto M. Demuestra que ΔACM ∠ ΔBDM e indica por qué criterio lo determinaste así.

A

C

D

B

M

a. Criterio ALA.b. Criterio LLL.c. Criterio LAL.

4. Puesto que en la figura siguiente ABCD y BCAD, ¿por medio de qué criterio de congruen-cia demuestras que ΔI ≅ ΔII?

I

II

B C

A D



5. En la figura siguiente, AC ≅ BC y CX es media-triz de AB. ¿Por medio de qué criterio de con-gruencia compruebas que ΔACX ≅ ΔBCX?

C

XA B

1 2


7. En la figura siguiente, RT ≅ ST y Q es el punto medio de RS . Por medio de qué criterio com-pruebas que ΔRTQ ≅ ΔSTQ?

T

SQR

6. En la figura siguiente, TQ es bisectriz de ∠RTS y TQ ⊥ RS . Por medio de qué criterio demuestras que ΔRTQ ≅ ΔSTQ?

T

QR S

a. Criterio ALA.b. Criterio LAL.c. Criterio LLL.

BLO

QU


En un día soleado, para calcular la altura de un asta Luis procedió de esta forma: primero observó que su profesor, cuya estatura es de 1.80 metros (m), proyectaba una sombra de tres metros y que, al mismo tiempo, el asta arro-jaba una sombra de 12 m (véase la figura en la página siguiente). Luego, con esta información construyó las razones y proporciones siguientes:

121.80 3

h =

Al resolver la proporción obtuvo que la altura del asta (h) era de 7.2 m. Como aprenderás, los triángulos semejantes pueden ayudarnos a resolver proble-mas como éste.

Semejanza de triángulos

OBjEtOS

dE cOnOcimiEntO


Teoremas derivados de la semejanza de triángulos

La media geométrica en el triángulo rectángulo

62 B L O Q U E 3 SemejAnzA de TriánguLoS



1. COMUNICAR PARA APRENDER. En voz alta y frente al grupo, explica a tus compañeros qué es una razón y qué es una proporción.

2. Resuelve esta proporción:

54

= 10x

3. Resuelve esta proporción:

12x

= x3

4. Calcula la longitud de la hipotenusa del triángu-lo rectángulo de la fi gura siguiente.

6 m

8 m

5. COMUNICAR PARA APRENDER. En parejas, ex-plica a un compañero cuándo dos triángulos son semejantes. Escucha lo que él te diga y obtengan conclusiones. Preséntenlas ante el grupo. Con la guía del profesor lleguen a conclusiones genera-les para coevaluar su trabajo.

6. Escribe el teorema de Pitágoras.

Profesor 1.80 m

sombra de 3 m sombra de 12 m

asta

Semejanza de triángulos 63

Para entender cabalmente qué es la semejanza, observa la figura siguiente:

Como puedes notar, se trata de una misma fotografía ampliada o reducida en distintas razones. ¿Qué es, entonces, la semejanza?

Figuras semejantes

En geometría, las figuras que tienen la misma forma pero diferente tamaño se llaman figuras semejantes.

Así, dos triángulos son semejantes si y sólo si hay una correspondencia entre ambos tal que sus ángulos homólogos sean congruentes y las medidas de sus lados correspondientes sean proporcionales.

Los triángulos ABC y A′B′C ′ mostrados en la figura 1 son semejantes si y sólo si:

∠A ≅ ∠A′∠B ≅ ∠B ′∠C ≅ ∠C ′

B ′C ′BC

= A′C ′AB

= A′B ′AB

Lo mismo que para establecer la congruencia, para determinar la semejanza de los triángulos resulta muy útil valerse de los criterios de semejanza presentados a continuación.

Criterios de semejanza de triángulosEn el bloque 2 aprendiste los criterios de congruencia para determinar si dos triángulos son, valga la expresión, congruentes. Ahora aprenderás los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes.

B

A C

B′

A′ C ′

B

A C

B′

A′ C ′ Figura 1. Triángulos semejantes:

sus ángulos homólogos son congruentes y las medidas de sus lados correspondientes, proporcionales.


criterios de semejanza de triángulos


Por ejemplo, por el criterio AA sabemos que los triángulos de la figura 2 son semejantes, lo que se representa con ΔEFD ∼ ΔBCA (el símbolo ∼ es de seme-janza).

criterio LAL (lado-ángulo-lado)

Si las medidas de dos lados de un triángulo son proporcionales a las medidas de dos lados correspondientes de otro triángulo y los ángulos correspondien-tes entre estos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes (figura 4, página 63).

Lados homólogos o correspondientes

Si dos triángulos son semejantes, a los pares de lados, uno de cada triángulo, que se oponen a los ángulos congruentes, también uno de cada triángulo, se les llama lados homólogos o correspondientes (figura 5 página 65).

criterio LLL (lado-lado-lado)

Si las medidas de los lados correspondientes de dos triángulos son proporcio-nales, entonces los triángulos son semejantes (figura 3 en la siguiente página).

criterio AA (ángulo-ángulo)

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro trián-gulo, entonces los triángulos son semejantes (figura 2 de la página siguiente).

Por ejemplo, los triángulos de la figura 3 son semejantes, es decir, ΔABC ∼ ΔDEF, ya que:

ABDE

= BCEF

= ACDF

= 4

Es decir, la razón entre la medida de los lados siempre es igual a 4.

Por ejemplo, los triángulos de la figura 4 son semejantes, ya que:

EDIH

= EFIJ

= 54

; además

∠E ≅ ∠I ΔEDF ∼ ΔIHJ

o sea, los dos lados correspondientes de ambos triángulos y los ángulos corres-pondientes entre esos lados son congruentes.

Si los triángulos de la figura 5 son semejantes, con ∠A ≅ ∠H y ∠B ≅ ∠I, entonces BC e IJ son homólogos, lo mismo que AC y HJ .


Criteriosdesemejanzadetriángulos

B

D

FE

A30º

30º

60º60º

C

Figura 2. Triángulos semejantes: tienen dos ángulos congruentes.

6 6.5

D

E

F5

24 26

A

B

C20

Figura 3. Triángulos semejantes: las medidas de los lados correspondientes guardan la misma proporción.

D

45

70ºE 25 F I

36

70º

H

J20

Figura 4. Triángulos semejantes: dos lados son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes.

B

A C

I

H J

Figura 5. Lados homólogos o correspondientes en triángulos semejantes.

BCIJ

= ACHJ

En parejas, explica a un compañero los criterios de semejanza de trián-gulos AA, LLL, LAL (si es necesario, traza las figuras que precises). Escucha atentamente lo que él te diga y, juntos, obtengan conclusiones, que han de presentar ante el grupo. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales y, con esa base, coevalúen su trabajo.

ComuniCarparaaprender


i. En los ejercicios 1 a 8, usa los criterios de semejanza de triángulos para comprobar que los triángulos que se indican sean semejantes.

1. ΔABC ∼ ΔAED.

A D C

E

B


2. ΔABC ∼ ΔEDC.

BD = 16DC = 4AE = 20EC = 5

A E

D

B

C

3. ΔABC ∼ ΔCED.A

C

E

D

B

4. ΔABC ∼ ΔDEC.B

A CD

E


5. ΔABC ∼ ΔDBE si ∠x ≅ ∠C.

A

B

C

EDx

6. ΔABC ∼ ΔDBE si ∠y ≅ ∠A.B

D

A

E

C

y

7. ΔDEC ∼ ΔAEB.

DE = 5EB = 20EC = 4AE = 16

A B

C5

16 20

4

E

D

8. ΔCED ∼ ΔCAB.

CE = 6AD = 14DC = 4BE = 21

C

D

A

E

B


A partir de la semejanza de triángulos se deduce una serie de teoremas, todos ellos de gran utilidad en diversas disciplinas, como la física, la ingeniería, la arquitectura, etcétera, y cuya aplicación iremos aprendiendo poco a poco.

Teorema de TalesEn la figura 6 se muestran las rectas r

1, r

2, r

3 y r

4. Como se observa, las rectas

r1 y r

2 se cortan en el punto P y las rectas r

3 y r

4 son paralelas entre sí. También

en la figura se advierte que estas rectas determinan los triángulos PQT y PRS, los cuales presentan un ángulo común (P) y cuyos lados opuestos a este ángulo son paralelos.

Dos triángulos que tienen un vértice común y cuyos lados opuestos a éste sean paralelos se llaman triángulos de Tales o triángulos en posición de Tales, en honor del geómetra griego Tales de Mileto. Con esta base se deduce el teorema siguiente.

teorema de tales

Si dos triángulos están en posición de Tales (es decir, son triángulos de Tales), entonces los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspon-dientes son proporcionales.

PT S

QR

r1

r2

r3 r4

Figura 6. Triángulos de Tales.

De acuerdo con este teorema, toda recta paralela a uno de los lados de un trián-gulo que corta a los otros dos lados determina un triángulo semejante a ese lado, y viceversa.

A partir de lo anterior, si en la figura 7 MN AC , entonces, tenemos que:

ΔABC ∼ ΔMBN∠A ≅ ∠M∠C ≅ ∠N

ABBM

= BCBN

= ACMN

Considera que en la figura siguiente MN ACP y halla el valor de x.

B

M

A

N

C

Figura 7. Triángulos de Tales: ángulos homólogos congruentes y lados correspondientes proporcionales.

B

8 12

10M

A

N

C

x

ejemplo 1

teoremas derivados de la semejanza de triángulos

teorema de tales

teorema de proporcionalidad en el triángulo

Teoremas derivados de la semejanza de triángulos 69

SOLUciónComo el segmento MN es paralelo al segmento AC , de acuerdo con el teorema de Tales tenemos que:

ABMB

= CBNB

10 + 88

=x + 1212

188

= x + 1212

x + 12 = 12(18)8

x + 12 = 27

x = 12 − 27

x = 15

Considera que en la figura siguiente, MN BC y halla el valor de x.ejemplo 2

B

ANC

x16

21 35

M

SOLUciónLos triángulos ABC y AMN están en posición de Tales; por tanto:

ACAN

= BCMN

21 + 3535

= 16x

56x35

= 16

56x = 16(35)

x = 56056

x = 10

Teorema de proporcionalidad en el triánguloComo sabes, un arpa es un instrumento musical con forma triangular cuyas cuerdas pueden considerarse rectas paralelas y su cuerpo y cuello, rectas trans-versales, como se observa en la figura siguiente:

transversal

rectas paralelas

transversal

cuello

cuerdas

cuerpo


Cada cuerda divide el cuerpo y el cuello proporcionalmente. Lo anterior se enun-cia en el teorema siguiente.

teorema de proporcionalidad en el triángulo

Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo y corta los otros dos en dos puntos diferentes, entonces divide estos lados en segmentos de longitudes proporcionales.

Con base en el teorema anterior, y si consideramos que en la figura 8 BDAE, entonces tenemos que:

ABBC

= EDDC

Utiliza el teorema de proporcionalidad en el triángulo para hallar el valor de x en la figura siguiente. Considera estos datos:

• MN AB • AM = 8• MC = 20 • BN = 10• NC = x

C

B

A

D

E

Figura 8. Los segmentos paralelos a AE que corten los lados serán proporcionales, según el teorema de proporcionalidad en el triángulo.

ejemplo 3

C

BA

NM

Escribe una síntesis donde expliques qué significa que la razón de proporcionalidad de cada par de lados correspondientes de dos trián-gulos semejantes sea 1. Léelo en voz alta frente al grupo; escucha los resúmenes de otros compañeros. Con la guía del profesor, obtén con-clusiones y, a partir de ellas, evalúa tu texto.


SOLUciónPuesto que el segmento de recta MN es paralelo al segmento AB, entonces, de acuerdo con el teorema de proporcionalidad en el triángulo, tenemos que:

820 − 8

= 10x

8x = 10(12)

x = 10(12)8

= 15

x = 15



i. En los ejercicios 1 a 10, halla el valor de x a partir de los datos y la figura proporcionados.

1. CD = x

AD = 12CE = 9EB = 15ABDE

C

D

A

E

B

x

x = 16

x = 7.2

2. AB = 36

AC = 24DE = 5x + 1EC = 2x + 6DEAB

A E C

D

B

x = 4

3. CD = 8

DA = 16CE = xEB = 20ABDE

A B

ED

C

x = 10

4. AD = 24

DC = 16DE = 2x – 8AB = 3x + 12DEAB

A B

ED

C


x = 4

5. CD = 3x − 11

DA = 2x + 1DE = 22AB = 55DEAB

A

D E

C

B

x = 7

6. BE = 12

CE = 15AD = 7x − 5CD = 20EDAB

A D C

E

B

12

15

x = 3

7. BC = 25

MN = 15AN = 6NC = xMNBC

A N

M

B

C

x = 4

8. AD = 12

CD = 24DE = 5x − 10AB = 4x − 1DEAB

A

ED

B

C


9. EB = 7x − 1

AB = 8BC = 12DC = 50EB DC

A B

E

D

C

x = 3

10. AB = 4x + 4

DE = 3x − 1BE = 18EC = 30ABDE

A D

B

E

C

x = 7

ii.APLICACIONES. En matemáticas, recibe el nombre de aplicación el problema de la vida real en el que hay que encontrar qué operaciones y métodos matemáticos llevan a su resolución. Sobre esta base, resuelve las aplicaciones siguientes.

11. En un día soleado, un joven de 1.7 metros (m) de estatura proyecta una sombra de 3 m. Calcula la altura de un asta que al mismo tiempo proyecta una sombra de 9 m.

Sombra de 3 m

Sombra de 9 m

1.7 m


12. Para establecer el ancho de un río, un ingeniero tomó las medidas a lo largo de la orilla, como se ilustra en la fi gura. Calcula el ancho del río.

D

B

AC E

a = ?

5.2 m

3.25 m 35 m20 m 200 m

15 m

h

5 m0.8 m

1.6 m

13. Un árbol proyecta una sombra de 6 metros (m) y un semáforo de 2.5 m de altura proyecta una sombra de 4 m. Halla la altura del árbol.

14. Una persona parada en la orilla del mar mira un barco anclado fuera de la costa. Para calcular la distancia toma las medidas que se ilustran en la fi gura. Calcula la distancia que hay del barco a la orilla de la costa.

15. De acuerdo con la física, los rayos de luz que inciden en un espejo se refl ejan con un ángulo congruente al de la incidencia. Una mujer de 1.6 metros (m) de altura coloca un espejo en el suelo, a 5 m de un árbol cuya altura desea calcu-lar. La mujer encuentra que si se coloca a 0.8 m del espejo como se muestra en la fi gura puede ver la copa del árbol refl ejada en él. ¿Cuál es la altura del árbol?

2.5 m

4 m6 m

72

10 m


Consideremos el triángulo rectángulo ABC mostrado en la figura 9. Como se observa, tiene altura CD trazada desde el vértice del ángulo recto C hasta la hipotenusa AB, y en ella podemos identificar los triángulos ABC, ACD y CBD.

Observa que los triángulos ACD y ABC son semejantes, ya que tienen el ángulo A en común y cada triángulo presenta un ángulo recto. Por consiguiente, por el criterio de semejanza AA (ángulo-ángulo) tenemos que:

ΔACD ∼ ΔABC

De igual manera, encontramos que ΔCBD ∼ ΔABC, ya que tienen el ángulo B en común y cada triángulo presenta un ángulo recto.

De acuerdo con lo anterior, podemos establecer la propiedad siguiente.

La media geométrica en el triángulo rectángulo

teorema de Pitágoras

media geométrica

El número x es la media geométrica entre los números positivos a y b si y sólo si a

x = x

b.

Semejanza a partir de un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, al trazar la altura desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa, los triángulos que se forman son semejantes con el triángulo original y, en consecuencia, también entre ellos.

A D B

C

Figura 9. Triángulo rectángulo.

Del análisis de la semejanza de los triángulos ACD y CBD de la figura 10 con-cluimos lo siguiente:

1. ∠2 ≅ ∠5; por tanto, CD y BD son lados correspondientes.2. ∠6 ≅ ∠1; por tanto, CD y AD son lados correspondientes.

Así, con base en el teorema de Tales se tiene que:

BDCD

= CDAD

Observa que el denominador de la primera fracción es CD y el numerador de la segunda también es CD. El número positivo que corresponde a CD es la media geométrica entre BD y AD.

A

1 2

5 63 4D B

C

Figura 10. Semejanza en un triángulo rectángulo.

Por consiguiente, CD es la media geométrica entre AD y BD.De manera más general, en un triángulo rectángulo se cumple siempre la rela-

ción métrica siguiente.


Determina la longitud de la altura AD del triángulo rectángulo de la figura de la izquierda.

SOLUciónEn este caso, contamos con los datos siguientes:

16h

= h4

16(4) = h2

h2 = 64

h = √64

h = 8

Por tanto, la media geométrica es h = 8, que es la longitud de la altura AD.

La altura trazada desde el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo hasta la hipotenusa también determina la siguiente relación métrica entre seg-mentos.

Relación entre catetos de un triángulo rectángulo

Cada cateto es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta.

media geométrica en un triángulo rectángulo

La altura relativa a la hipotenusa es la media geométrica entre las medidas de los dos segmentos que se determinan en la hipotenusa.

ejemplo 4

ejemplo 5

C16 4

D

h

B

A

Con base en esta propiedad y la figura 11 se obtienen las proporciones siguientes:

ca

= an

cb

= bm

Determina el valor de a y de b de acuerdo con la figura siguiente.

A m n

hab

B

C

c

Figura 11. Proporciones en un triángulo rectángulo.

A

4

a

b

B C

D2


SOLUciónComo hemos dicho, cada cateto es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta; por ende:

6a

= a2

; por tanto, a2 = 12

a = √12 = 3.46

Asimismo:6b

= b4

; por tanto, b2 = 24

b = √24 = 4.90

Así, tenemos que los catetos a y b del triángulo rectángulo original miden, res-pectivamente, 3.46 unidades y 4.90 unidades.

teorema de Pitágoras

El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos, es decir, de acuerdo con la figura 12:

c2 = a2 + b2

Teorema de PitágorasPodemos utilizar las relaciones de la media geométrica para demostrar el teorema de Pitágoras, que enunciamos a continuación. Cabe señalar que se atribuye al matemático griego Pitágoras la primera demostración de este teorema, de ahí que lleve su nombre.

Escribe un resumen donde expongas dos métodos para hallar el valor de x en la figura siguiente, donde DE AC . Lee tu texto ante tus compañeros y escucha el de algunos de ellos. Con la guía del profesor obtengan conclusiones, con las cuales debes evaluar tu texto.

esCriBir para aprender

A

106

x

D E

B

C

12

dEmOStRAciónDemostremos a continuación este teorema utilizando las relaciones métricas de la media geométrica y la figura 13. En la figura se indica que CB es la altura trazada desde el ángulo recto C del triángulo ACB; por consiguiente, cada cateto es media geométrica entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta, por tanto:

ca

= ay

; luego, a2 = cyA

c a

b

B

C

Figura 12.


cb

= bx

; luego, b2 = cx

Al sumar miembro a miembro las ecuaciones que resultan obtenemos:

a2 + b2 = cy + cx

a2 + b2 = c(x + y)

Observa en la figura 13 que x + y = c; por consiguiente:

a2 + b2 = c2

c2 = a2 + b2

a. Encuentra la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 10 centí-metros (cm).

SOLUciónDe acuerdo con el teorema de Pitágoras:

d 2 = (10 cm)2 + (10 cm)2

d 2 = 100 cm2 + 100 cm2

d 2 = 200 cm2 = 2(100) cm2

d = √2(100)2

d = 10√2 cm d = 14.14 cm

b. Una persona camina 4 kilómetros (km) hacia el Este y luego 3 km hacia el Norte, como se muestra en la figura. ¿A qué distancia se encuentra de su punto de par-tida?

SOLUción

d 2 = (4 km)2 + (3 km)2

d 2 = 16 km2 + 9 km2

d 2 = 25 km2

d 2 = √25 km2

d = 5 km

c. Determina la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 20 centímetros (cm).

SOLUciónEn un triángulo equilátero la altura biseca la base (lo mismo en el isósceles no equilátero). A partir de la figura de la izquierda y del teorema de Pitágoras obtenemos lo siguiente:

(20 cm)2 = h2 + (10 cm)2

400 cm2 = h2 + 100 cm2

h2 = 400 cm2 – 100 cm2

h2 = 300 cm2

h = √300 cm2 h = 17.32 cm

A

x y

hab

BD

C

c

Figura 13.

ejemplo 6

10 cm

10 cmd

O

S

N

E

d3

4

h20 cm 20 cm

10 cm 10 cm


En parejas, explica a un compañero cómo determinar el valor de x, de y y de z en la figura siguiente. Escucha su explicación. Obtengan conclusiones y preséntenlas al grupo. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales y, con ellas, coevalúen su trabajo.


A

10

y

8

BC z

x

Escribe un resumen donde expliques qué criterio de semejanza es apropiado utilizar para determinar la semejanza de los triángulos de la figura siguiente. Léelo en voz alta ante tus compañeros y escucha el de algunos de ellos; si hay discrepancias, presenten ordenadamente sus argumentos (el profesor otorgará el turno en el uso de la palabra). Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales.

esCriBir para aprender

40º120º

120º

J LS

K

T20º

R


8

3

y

x

i.En las figuras siguientes, halla el valor de x y de y.

1.

x = 4.9y = 5.74


2.

x = 11.18y = 27.38

8

y6

x

x = 16.67y = 10.0

3.

4x

6

y

x = 7.21y = 13

4.

5 2

xy

x = 3.16y = 3.74

5.

20

24y

x

x = 8.8y = 13.26

6.

5x

25y

x


ii. APLICACIONES.

7. En Estados Unidos, la mayor parte de los códigos de construcción limita la inclinación de un techo a trián-gulos rectángulos 3-4-5. Un modelo de este tipo de techo se muestra en la fi gura siguiente. Un constructor quiere colocar un soporte desde el punto D perpendicular a AC . Halla la longitud del soporte.

3 yd

xy4 yd

5 yd

C

A D B

10.4 cm

x = 2.4 yardas

8. Calcula la altura AB del edifi cio que se muestra en la fi gura siguiente.

CB = 22.5 piesAD = 5 pies

AB = 25 pies

9. ¿A qué altura llega una escalera de 5 metros (m) de longitud en un muro vertical, si su pie está a 2 m del muro?

2 m

5 m

4.6 m

10. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado igual a 12 centímetros (cm).

h12 cm12 cm

12 cm

B

C

A

10 pies D


11. Halla la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son 20 centímetros (cm) de largo por 21 cm de ancho.

12 m

13 m

d = 29 cm

12. Halla el perímetro y el área de un rectángulo que tiene 12 metros (m) de ancho y cuya diagonal mide 13 m.

A = 60 m2

P = 34 m

13. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 9 √2 metros.

d

A = 81 m2

d 21 cm


179.3 pies

15. La distancia entre la base de la Torre inclinada de Pisa y su parte más alta es 180 pies. La torre está desviada 16 pies de la perpendicular. Halla la distancia desde la parte más alta de la torre hasta el piso.

16 pies

180

pies

En parejas, explica a un compañero por qué se considera que la con-gruencia de triángulos es un caso particular de la semejanza de trián-gulos. Escucha atentamente su explicación. Obtengan conclusiones; preséntenlas ante el grupo. Con la guía del profesor, lleguen a conclu-siones generales y, con ellas como base, coevalúen su trabajo.


A = 1680 cm2

P = 188 cm

14. Halla el área y el perímetro del rectángulo de la figura siguiente.

74 cm

70 cm


C

A

D E

B

a. x = 3b. x = 4c. x = 2d. x = 5

AD = 42DC = 24CE = 3x + 2BE = 6x – 1

a. x = 7b. x = 6c. x = 5d. x = 4e. x = 8

2. Considera que en la figura siguiente DE AB y halla el valor de x.

C

A

D E

B

DE = 5x + 3AB = 15x − 3CE = 9EB = 12

a. x = 4b. x = 2c. x = 3d. x = 7

3. Considera que en la figura siguiente MN BC y determina el valor de x.

N

A M C

B BC = 9x + 5MC = 20MN = 5x − 3AC = 32


i.En los ejercicios siguientes, elige la opción correcta.

1. Considera que en la figura siguiente DE AB y determina el valor de x.


4. Una persona de 1.8 metros (m) de altura proyecta una sombra de 4 m. Calcula la altura de un árbol que al mismo tiempo proyecta una sombra de 10 m.

4 m 10 m

1.8 mh

a. 5 m b. 6 m c. 4.5 m d. 4 m

0.8 km

1.5 km 4.5 km

x

M

B

N

A

C

5. Encuentra la longitud del lago de la fi gura siguiente. Considera que BCMN .

A

BC E

D

x

22 pies 100 pies

25 pies

6. En la fi gura siguiente se presenta un método para calcular el ancho de un río. Si las medidas se toman a lo largo de la orilla como se muestra, ¿cuál es el ancho del río?

a. 72 pies b. 88 pies c. 80 pies d. 75 pies

a. 4.5 km b. 4 km c. 2.9 km d. 3.2 km


ii. Los ejercicios 7 y 8 se refieren a la figura siguiente.

5

4

10

y

x10

7. Halla el valor de x.

a. 3.2b. 3.5c. 2.5d. 2.75e. 6.25

8. Halla el valor de y.

a. 6.5b. 5.9c. 5.1d. 4.7e. 7.4

iii. Las preguntas 9 y 10 se refieren a la figura siguiente.

9. Halla el valor de y.

a. y = 5.3b. y = 4.8c. y = 5.9d. y = 5.7

7y

x

4

10. Halla el valor de x.

a. x = 7.1b. x = 6.6c. x = 6.1d. x = 7.5

3.2 5.1

34 cm 60 cm2

5.3 6.6

iv. Las preguntas 11 y 12 se refieren al rectángulo siguiente.

13 cm

A D

B C

5 cm

11. Obtén el perímetro del rectángulo.

a. 40 cmb. 34 cmc. 68 cmd. 36 cm

12. Obtén el área del rectángulo.

a. 30 cm2

b. 58 cm2

c. 60 cm2

d. 65 cm2


v. Las preguntas 13 y 14 se refi eren al rectángulo isósceles siguiente.

16 cm

h 20 cm20 cm

13. Calcula la altura del triángulo.

a. 15.6 cmb. 21.4 cmc. 17 cmd. 18.33 cm

14. Calcula el área del triángulo.

a. 73.2 cm2

b. 146.64 cm2

c. 156.9 cm2

d. 141.8 cm2

18.33 cm 146.64 cm2

6.48 m

vi. APLICACIONES.

15. El señor González utiliza una escuadra de carpintero (instrumento que se usa para trazar ángulos rectos) a fi n de calcular la anchura de un río. Procede de esta forma: primero coloca la escuadra en la parte más alta de una vara y luego señala a lo largo de OM el punto P al otro lado del río como se muestra en la fi gura; después, señala a lo largo de ON para localizar el punto Q. Resulta que QK = 0.5 metros (m) y OK = 1.8 m. Con esta base, calcula la distancia KP a lo ancho del río.

KQ

N

O

M

P

a. 7.5 mb. 6.48 mc. 5.8 md. 6.0 m


16. Un hipsómetro se puede utilizar para determinar la altura de un árbol. Carlos mira a través de un tubillo hacia la punta del árbol y obtiene las medidas que se muestran en el dibujo que aparece a continuación. Carlos mide 165 centímetros (cm) desde el suelo hasta sus ojos y se encuentra a 6 metros (m) del árbol. Con estos datos, halla la altura del árbol.

A

D

A

E

F

D

G

x

HF

6m165 cm8 cm

10 cm

Hipsómetro

Tubillo

a. 9.15 mb. 8.75 mc. 9.8 md. 6.45 m

BLO

QU


Dibuja en tu cuaderno un triángulo, un cuadrilátero convexo, un pentágono convexo y un hexágono convexo. Después, en la tabla de la página siguiente anota el número de diagonales que puedan trazarse en cada uno de ellos y luego el patrón formado por los números de la tabla. Con lo que estudies en este bloque aprenderás a dar sentido al resultado que obtengas.

Polígonos

Polígonos

OBjEtOS

DE COnOCimiEntO

90 B L O Q U E 4 Polígonos


1. ComuniCar para aprender. Explica oral-mente a un compañero qué es un polígono. Es-cucha atentamente su definición. Obtengan con-clusiones que corroborarán o corregirán con lo que aprendan a lo largo del bloque.

2. esCribir para aprender. Escribe un texto breve donde expliques cuándo un polígono es convexo y cuándo un polígono es cóncavo. Léelo ante tus compañeros de grupo y obtengan con-clusiones, que corroborarás o corregirás con lo que aprendas a lo largo del bloque.

3. Identifica cuál de los polígonos siguientes es con-vexo y cuál es cóncavo.

C

D

E

A

B

CD

E

A

B

4. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un triángulo?

5. ¿Qué relación hay entre la medida del ángulo in-terior (∠1) y el ángulo exterior (∠2) del triángulo de la figura siguiente?

12

6. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en el cua-drilátero de la figura siguiente?

C

DA

B

8. ¿Cuál es el número de los ángulos interiores del hexágono de la figura siguiente?

C

D

EF

A

B

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono n-ágono

número de lados

n

número de diagonales

Polígonos

Ángulos interiores y exteriores de un polígono

Diagonales de un polígono

Clasificación de los polígonos

Elementos de un polígono regular

triangulación y propiedades de los polígonos convexos

Polígonos 91

Una figura es un polígono si cumple estas condiciones:

1. Tiene tres o más lados.2. Los lados que tienen extremos en común no son colineales.3. Cada lado interseca a dos de los otros lados, pero sólo en sus extremos.

Con base en estos criterios podemos afirmar que la figura 2 no es un polígono, pues no satisface la condición 2: PQ y QT tienen un extremo común (Q) y son colineales. Tampoco satisface la condición 3, ya que RQ interseca a PQ, QS y QT en el punto Q.

Polígono

Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro (figura 1).

C

D

A

B

CD

E

A

B

Figura 1. Polígonos.

QT

R

P

S

Figura 2. no es polígono.


Ángulos interiores y exteriores de un polígonoLos ángulos formados por cada dos lados consecutivos de un polígono se llaman ángulos interiores, y los adyacentes a ellos, ángulos exteriores. En la figura 3 el ángulo 1 es un ángulo interior del polígono; el ángulo 2, un ángulo exterior.

Al referirnos a un polígono sus vértices (puntos comunes de dos lados de un polígono) se numeran en orden consecutivo. Por ejemplo, al referirnos al polígono de la figura 3 podemos decir que es el polígono ABCDEF.

Diagonales de un polígonoEl segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono se llama diagonal. En la figura 4 las líneas punteadas representan las diagonales del hexágono.

Clasificación de los polígonosSon dos los criterios para clasificar los polígonos: según el número de sus lados y según sus ángulos. De acuerdo con el número de lados, los polígonos se clasifican como se muestra en el cuadro 1.

Cuadro 1. Clasificación de polígonos según el número de sus lados.

Nombre Númerodelados

Triángulo Tres

Cuadrilátero Cuatro

Pentágono Cinco

Hexágono seis

Heptágono siete

octágono ocho

Eneágono nueve

Decágono 10

Endecágono 11

Dodecágono 12

Pentadecágono 15

n-ágono n lados

Clasificaciónde lospolígonossegúnsusángulos

De acuerdo con la medida de sus ángulos los polígonos se clasifican en cóncavos y convexos. Además, también de acuerdo con sus ángulos, los polígonos pueden ser equiángulos y equiláteros. A continuación explicamos cada uno de ellos.

C

DA

B

F E

1 2

Figura 3. Ángulos interiores y exteriores de un polígono.

Figura 4. Diagonales del hexágono.

Polígonos 93

Cabe mencionar que en el polígono cóncavo de la figura 6 el ángulo interno BCD es mayor de 180° pero menor de 360°. Observa que al prolongar BC su extensión corta o interseca a DE.

Por otra parte, todas las diagonales de un polígono convexo están en el interior de éste (figura 7). Si por lo menos una de las diagonales no lo está, entonces el polígono es cóncavo (figura 8).

Polígonos convexos y cóncavos

Un polígono es convexo cuando carece de ángulos interiores mayores de 180°. Si se prolonga cada uno de los lados de un polígono y las extensiones no intersecan a otro lado, entonces es un polígono convexo. En la figura 5 se muestra un polígono convexo y en la 6 uno que no es convexo. Este tipo de polígono recibe el nombre de polígono cóncavo.

ClasifiCaCióNdePolígoNossegúNsusáNgulos

B

A

C

E D

Figura 5. Polígono convexo: no tiene ángulos mayores de 180° y la recta con la que se prolonga cada uno de los lados no corta ninguno de ellos.

B

A

D

E

C

Figura 6. Polígono cóncavo: tiene al menos un ángulo mayor de 180° y la prolongación de cualquiera de sus lados corta al menos a uno de ellos.

Figura 7. Polígono convexo: sus diagonales se hallan dentro de él.

P Q

T S

U R

Figura 8. Polígono cóncavo: sus diagonales pueden hallarse fuera de él.

En este texto nuestro estudio se centrará en los polígonos convexos.


En parejas, explica a un compañero por qué el polígono de la figura siguiente es cóncavo. Escucha su explicación y obtengan conclusiones. Preséntenlas al grupo y, con la guía del profesor, lleguen a conclusio-nes generales, con base en las cuales han de coevaluar su trabajo.

ComuNiCarParaaPreNder

C

D

A

B

Polígono equiángulo

Un polígono es equiángulo si y sólo si todos sus ángulos son congruentes.

Polígono equilátero

Un polígono es equilátero si y sólo si sus lados son congruentes.

Polígono regular

Un polígono regular es el que es equilátero y equiángulo, o sea, aquel cuyos lados y ángulos interiores o exteriores son congruentes (figura 9).

Un polígono que no es regular se llama polígono irregular (figura 10).

A B

D C

55

5

5

Figura 9. Polígono regular: equiángulo y equilátero, es decir, sus lados y ángulos internos y externos son congruentes.

B

C

D

E

A

Figura 10. Polígono irregular.

Polígonos 95

Elementos de un polígono regularUna propiedad importante de los polígonos regulares es que pueden inscribirse y circunscribirse en una circunferencia, como se muestra en la figura 11. (Recuerda: un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de ella, y está circunscrito cuando sus lados son tangentes a una circun-ferencia.)

A partir de esta propiedad definiremos los elementos siguientes de un polígono regular.

Elementos de un polígono regular

Centrodelpolígonoregular. Los centros de las circunferencias en que se ins-cribe y se circunscribe un polígono regular coinciden. Este centro común se llama centro del polígono.

Radiodeunpolígonoregular. Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita al polígono; dicho de otra forma, un radio de un polígono regular es un segmento de recta que une el centro de éste con cualquiera de sus vértices. En la figura 12, OF y OA son radios del polígono ABCDEF.

Apotema de un polígono regular

La apotema de un polígono regular es el segmento de recta perpendicular a un lado (o sea, que forma un ángulo de 90° con ese lado) trazado desde el centro (figura 14).

E D

A

B

C

Figura 11. Un polígono (en este caso, un pentágono) inscrito y circunscrito en sendas circunferencias.

E D

CF

A B

O

Figura 12. Radios de un polígono.

Los radios de un polígono regular son congruentes y, además, bisecan el ángulo hacia el cual están dibujados. Así, en la figura 13, OA biseca al ∠BAF. En esa misma figura se advierte que un polígono regular puede descomponerse en tantos triángulos isósceles congruentes como lados tenga. Para ello basta trazar todos sus radios.

A

B

O

C

F E

D

Figura 13. Un polígono regular puede dividirse en tantos triángulos isósceles congruentes como lados tenga. En este caso, observa que el hexágono puede descomponerse en seis de tales triángulos.

B

A

EM

D

CO

Figura 14. OM es una apotema del polígono.

Respecto a la apotema de un polígono regular, tenemos las propiedades siguien-tes, las cuales se ilustran en la figura 15:

1. La apotema es un radio de la circunferencia inscrita en el polígono.2. Todas las apotemas de un polígono regular son congruentes.

D

BA

E CO

r

Figura 15. observa que todas las apotemas del pentágono son, al mismo tiempo, radios de la circunferencia en que éste se inscribe y que todas ellas son congruentes entre sí.


Relaciónentreelángulocentral, laapotemayel ladodeunpolígonoregular

Si en la figura 17 OM representa la apotema del polígono trazada desde el vértice O hacia AB , entonces el triángulo AOB se divide en los triángulos AOM y BOM, los cuales son congruentes, como demostraremos a continuación.

DEmOStrACión

• ∠A ≅ ∠B porque son ángulos opuestos a los lados congruentes del triángulo isósceles AOB.

• OM ≅ MO (propiedad reflexiva). Lado común del ΔAOM y del ΔBOM.• ∠AMO ≅ ∠BMO porque son ángulos rectos.• ∠AMO ≅ ∠BOM (en virtud de que ∠A ≅ ∠B y ∠AMO ≅ ∠BMO, entonces,

∠AMO ≅ ∠BOM).

Ángulo central

Se llama ángulo central de un polígono regular al que forman dos radios consecutivos (figura 16). Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida se calcula con la expresión 360

n, donde n repre-

senta el número de lados.

DE

F C

A B

O

Figura 16. El ∠AOB es uno de los ángulos centrales del hexágono. observa que

m∠AOB = 360º6 = 60º.

Por el criterio ALA se comprueba que los triángulos de la figura 18 son con-gruentes, ya que AM y BM son lados homólogos; luego, AM ≅ BM (figura 18).Por tanto, concluimos lo siguiente:

• La apotema OM biseca al lado AB.• La apotema OM biseca al ángulo central AOB.

Triangulación y propiedades de los polígonos convexosSupongamos que con cuatro tiras de madera formamos un rectángulo, de modo que haya juego en las uniones, utilizando únicamente un tornillo en cada una de ellas, como se muestra enseguida:

MA

O

B

r ra

Figura 17.

A M

O O

M B

Figura 18.

BC

D A

Polígonos 97

Si de los vértices A y B tiramos fuertemente hacia afuera, el rectángulo se deforma y da lugar a otros cuadriláteros, como se muestra abajo; lo mismo sucede con polígonos de más de cuatro lados.

En cambio, si construimos un triángulo con tiras de madera, no puede defor-marse, como se advierte en la figura de abajo; es decir, a diferencia de los polí-gonos de más de tres lados, el triángulo es una figura rígida.

En ingeniería es común el uso de estructuras triangulares a fin de aprovechar el hecho de que el triángulo es una figura rígida, o sea, indeformable.

¿Qué podemos hacer para que un polígono de más de tres lados se convierta en una figura rígida?

Para que un cuadrilátero no se deforme hay que ponerle una de sus diagona-les, con lo que se forman dos triángulos en lugar de un cuadrilátero. En general, para que un polígono se convierta en una figura rígida hay que poner el número de diagonales que se necesiten para triangularlo, como se muestra en la figura 19.

Figura 19. Diagonales para triangular polígonos.


Observa que el número de diagonales que se requiere trazar en un polígono para triangularlo es igual a n − 3, donde n es el número de lados.

Propiedadesde lospolígonosconvexos

1. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados, designada como Sa

i es igual a 180(n − 2), es decir:

Sai = 180(n − 2)

Ya sabemos cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo. Ahora cabe preguntarnos: ¿cómo se calcula la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono de más de tres lados?

Un cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos:

Suma de los ángulos interiores: 2 × 180° = 360°

Un pentágono se puede dividir en tres triángulos:


Un hexágono se puede dividir en cuatro triángulos:


Un heptágono se puede dividir en cinco triángulos:


Como hemos visto, un polígono de n lados se puede dividir en n − 2 trián-gulos; por tanto:

Suma de los ángulos interiores de un polígono: (n − 2)180°, donde n = número de lados, es decir

Sai = 180(n − 2)

2. Los pares de ángulos exterior e interior en cada vértice son suplementarios.

21

Figura 20. El ángulo exterior 1 y el interior 2 son adyacentes que forman un par de ángulos lineales; por ende, son suplementarios: m∠1 + m∠2 = 180°.

Polígonos 99

En general, en cada vértice tenemos que:

aexterior

+ ainterior

= 180°

3. La suma de la medida de los ángulos exteriores de un polígono, uno en cada vértice, es 360° (independientemente del número de lados que tenga el polí-gono).

Para comprobar esta propiedad, consideremos como caso particular el hexágono:

Sainterior

+ Saexterior

= 6(180)

En este caso tenemos que:

180(n − 2) + Sae = 6(180)

180(6 − 2) + Sae = 1080

180(6 − 2) + Saexteriores

= 1080

180(4) + Saexteriores

= 1080

720 + Saexteriores

= 1080

Saexteriores

= 1080 − 720

Saexteriores

= 360

En la figura 21 se muestra este proceso.

4. La medida de cada ángulo exterior (ae ) de un polígono regular de n lados es

igual a 360ºn

, es decir:

aexterior

= 360ºn

5. La medida de cada ángulo interior de un polígono regular de n lados es igual

a 180º (n − 2)n

, o sea:

ainterior

= 180º (n − 2)n

6. El número de diagonales (d) que pueden trazarse desde cada uno de los vér-tices de un polígono convexo de n lados es igual a n – 3, como se advierte en la figura 22.

A

1

B 2 C3

6

5

4

F E

D

Figura 21. la suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 180°. En el caso de este hexágono: m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5 + m∠6 = 180°.

A

A

D

n = 4

n = 5 n = 6

d = n − 3d = 4 − 3 = 1

d = n − 3 = 2d = 5 − 3 = 2

d = n − 3 d = 6 − 3 = 3

D

E

B

B

CC

Figura 22.

7. El número de diagonales (d) que se pueden trazar desde todos los vértices de un polígono está dado por la expresión:

d = n (n − 3)2

Enseguida se presentan ejemplos del uso de estas propiedades.


Halla la suma de los ángulos interiores de un octágono.

SOLUCiónSabemos que el octágono tiene ocho lados, es decir, n = 8, y que para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono se usa la fórmula

Sainteriores

= 180°(n − 2)

Al hacer las sustituciones correspondientes queda:

Sainteriores

= 180°(8 − 2)

Sainteriores

= 180°(6)

Sainteriores

= 1080°

Los ángulos interiores de un octágono suman 1080°.

El polígono regular que tiene 12 lados se llama dodecágono.

a. Determina la medida de cada ángulo interior.

SOLUCión OtrA víA

ai = 180º (n − 2)

n a

e = 360º

n

ai = 180º (12 − 2)

12 a

e = 360º

12 = 30º

ai = 150º a

e + a

i = 180

ai = 180 − a

e

ai = 180 − 30

ai = 150º

b. Halla el número de diagonales que pueden trazarse desde todos sus vértices.

SOLUCión

d = n (n − 3)2

; donde n = 12

d = 12 (12 − 3)2

d = 54

c. Encuentra la medida de cada ángulo central del polígono.

SOLUCión

ae = 360º

n = 360º

12 = 30º

ae = 30º

ejemplo 1

ejemplo 2

A B

EF

CH

DG

En parejas, explica a un compañero cómo hallar el número de lados de un polígono regular si conoces el número de sus diagonales. Asi-mismo, explícale cómo determinar la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular si conoces el número de lados. Si lo consideras apropiado, traza los dibujos necesarios. Escucha lo que exponga tu compañero y obtengan conclusiones, que han de presentar al grupo. Con la guía del profesor, coevalúen su trabajo.

ComuNiCarParaaPreNder

Polígonos 101

Los ángulos interiores de un hexágono se representan mediante A = 5x°, B = 3x°, C = 2.5x°, D = 3.5x°, E = 6x° y F = 5x°. Halla la medida del ∠A.

SOLUCiónEn este caso, n = 6. Al hacer las sustituciones correspondientes queda:

Sai = 180º (n − 2)

Sai = 180º (6 − 2)

Sai = 180º (4)

Sai = 720º

Por tanto:

m∠A + m∠B + m∠C + m∠D + m∠E + m∠F = 720

5x + 3x + 2.5x + 3.5x + 6x + 5x = 720

25x = 720

x = 72025

x = 28.8

m∠A = 5(28.8)

m∠A = 144

Así, el ángulo A mide 144°.

ejemplo 3

Escribe un resumen donde expliques por qué el polígono de la figura de la izquierda es cóncavo o es convexo. Lee tu texto frente al grupo y escucha el de algunos de tus compañeros. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales, a partir de las cuales has de evaluar y corregir tu texto.

esCriBir Para aPreNder

C

DE

F

A B


1. Encuentra la medida del ángulo C de un pentágono cuyos ángulos interiores se representan con ∠A = 2x°, ∠B = x°, ∠C = 3x°, ∠D = 4x° y ∠E = 5x°.

C = 108°


2. Los ángulos interiores de un cuadrilátero se representan con A = 1.4x°, B = 2.6x°, C = 3.5x° y D = 4.5x°. Halla la medida del ángulo B.

9

B = 78°

3. En un hexágono regular calcula:

a. La medida de cada ángulo interior.

120°

b. La medida de cada ángulo exterior.

60°

c. El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.

9

4. En un octágono regular calcula:

a. La suma de los ángulos interiores.

1080°

b. La medida de cada ángulo interior.

135°

c. La medida de cada ángulo exterior.

45°

d. El número total de diagonales que se puede trazar en el polígono.

20

5. Determina el número de lados de un polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°.

Polígonos 103

6. El ángulo interior de un polígono regular mide 156°. Determina:

a. El número de lados del polígono.

90

15

b. El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.

90

c. El valor de cada ángulo exterior.

24°

7. ¿Cuántos lados tiene un polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales desde todos sus vértices?

7

8. El ángulo exterior de un polígono regular mide 45°. Halla:

a. El número de lados.

8

b. La suma de los ángulos interiores.

1080°

c. El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.

20

d. La medida de cada ángulo interior.

135°

9. Un polígono regular tiene 15 lados. Determina:

a. La suma de los ángulos interiores.

2340°

b. La medida de cada ángulo interior.

156°

c. La medida de cada ángulo exterior.

24°

d. El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono.


10. Los ángulos interiores de un polígono regular suman 1440°. Halla:

a. El número de lados.

22

10

b. El número total de diagonales que pueden trazarse desde uno de sus vértices.

7

c. El número de diagonales que pueden trazarse desde todos sus vértices.

35

d. La medida de cada ángulo interior.

144°

e. La medida de cada ángulo exterior.

36°

11. Determina cuántos lados tiene un polígono convexo en el que se pueden trazar desde todos sus vértices:

a. 20 diagonales.

8

b. 44 diagonales.

11

12. Determina el número de lados de un polígono en el que la medida de uno de los ángulos interiores es:

a. 170°

36

b. 144°

10

c. 108°

5

d. 60°

3

13. Determina el número de lados de un polígono si la suma de sus ángulos interiores es de 3600°.

Polígonos 105

14. Encuentra el número de lados de un polígono regular si:

a. Su ángulo interior es de 165°.

6

24

b. Su ángulo exterior es de 5°.

72

c. La suma de sus ángulos interiores es de 1080°.

8

d. Su ángulo central mide 60°.

Escribe un resumen donde expliques cómo determinar:

a. La suma de los ángulos interiores de un polígono que tiene 12 lados y de otro que tiene n lados.

b. El número de lados de un polígono regular si conoces la medida de uno de sus ángulos exteriores.

Lee tu texto frente a tus compañeros. Discutan las diferencias y, con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales. Con base en ellas evalúa y corrige tu resumen.

esCriBir Para aPreNder

Tú decides: Martha sostiene que la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular de 15 lados es de 36°. Por su parte, Gina dice que es de 24°. ¿Quién está en lo correcto y por qué? En parejas, pre-senta tu punto de vista y escucha el de tu compañero. Obtengan con-clusiones y preséntenlas al grupo.

ComuNiCar(ydeBaTir)ParaaPreNder


i. Usa las figuras que se presentan para hallar lo que se indica.

1. Determina la medida del ángulo RUT de la figura siguiente.

U T

S

xºR

4xº 3xº

2xº


113º 1800º

3. Cuatro ángulos de un pentágono miden, respec-tivamente, 80°, 130°, 92° y 125°. ¿Cuánto mide el quinto ángulo?

a. 110°b. 113°c. 120°d. 145°

ii. En los ejercicios siguientes, elige la opción correcta.

4. Calcula la suma de los ángulos interiores de un dodecágono.

a. 1700°b. 2520°c. 1800°d. 1620°e. 1580°

130º

a. 144º c. 140º b. 150º d. 148º

C

D

E

B

A

100º80º

120º

70º

2. Determina la medida del ángulo interior C del polígono de la figura siguiente.

144º

a. 105º c. 130º b. 115º d. 120º


54 1440º

5. Determina la medida de cada ángulo interior de un hexágono regular.

a. 110°b. 60°c. 80°d. 120°

8. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores suman 2520°?

a. 14b. 15c. 12d. 16

120º 16

6. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos exteriores miden 45° cada uno?

a. 6b. 8c. 7d. 5

9. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 135°?

a. 8b. 7c. 10d. 9

8 8

7. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un po-lígono de 12 lados desde todos sus vértices?

a. 54b. 40c. 65d. 35

10. Determina la suma de los ángulos interiores de un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 36°.

a. 126°b. 1440°c. 900°d. 1620°


16 22.5º

11. Determina el número de diagonales que se pue-den trazar en un polígono cuyo ángulo exterior mide 22.5°.

a. 104b. 77c. 90d. 54

13. Determina el número de diagonales que se pue-den trazar en un polígono cuyos ángulos interio-res suman 2340°.

a. 77b. 90c. 104d. 119

104 90

12. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polí-gono regular en el que cada ángulo interior mide 108°?

a. 5b. 7c. 8d. 9

14. ¿Cuántos lados tiene un polígono en el que se pueden trazar 104 diagonales?

a. 15b. 16c. 14d. 12

5 16

iii. Resuelve las preguntas 15 a 18 con base en este dato: los ángulos interiores de un polígono regular suman 2520°. Elige la opción correcta.

15. Determina el número de lados del polígono.

a. 24b. 20c. 18d. 16

16. La medida de cada ángulo exterior.

a. 22.5°b. 20°c. 30°d. 45°e. 18.5°


36º 54

17. La medida de cada ángulo interior.

a. 160°b. 122.5°c. 165°d. 200°e. 157.5°

18. El número de diagonales que se pueden trazar en el polígono.

a. 135b. 90c. 77d. 104e. 88

157.5º 104

iv. Considera las preguntas 19 a 22 y calcula en un decágono lo siguiente.

19. La suma de los ángulos interiores.

a. 1800°b. 1440°c. 2160°d. 1620°e. 1400°

21. La medida de cada ángulo interior.

a. 144°b. 150°c. 135°d. 120°e. 105°

1440º 144º

20. La medida de cada ángulo exterior.

a. 60°b. 30°c. 45°d. 36°e. 175°

22. El número de diagonales que se pueden trazar.

a. 20b. 35c. 44d. 77e. 54


18 252

v. Considera las preguntas 23 a 27 y determina el número de lados de un polígono regular si…

23. Se pueden trazar 65 diagonales sobre él.

a. 10b. 12c. 13d. 14e. 9

26. Sus ángulos interiores suman 4140°.

a. 25b. 21c. 26d. 28e. 23

13 25

24. Cada ángulo interior mide 140°.

a. 7b. 8c. 20d. 11e. 9

27. Se pueden trazar 77 diagonales sobre él.

a. 14b. 16c. 20d. 13e. 11

9 14

25. Cada ángulo exterior mide 20°.

a. 18b. 17c. 19d. 16e. 26

28. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polí-gono regular en el que cada ángulo interior mide 165°?

a. 170b. 252c. 209d. 135

BLO

QU


Como sabes, los programas de hoja de cálculo permiten elaborar de manera automática gráficas como la circular presentada abajo, donde se muestran los gastos anuales de una empresa agrícola. Sin embargo, cabe preguntarnos: ¿cómo determina el programa (o el dibujante, en caso de que el trazo de la gráfica sea manual) qué tamaño se asigna a cada sección? En este bloque lo aprenderás.

Circunferencia

La circunferencia

Relación métrica de las tangentes a una circunferencia

OBjEtOS

dE COnOCimiEntO

112 B L O Q U E 5 CiRCunfeRenCia

Considera que en la figura siguiente el punto O es el centro de la circunferencia y, a partir de ello, identifica lo que se pide.


D

C

E

O

B

A

1. Todos los radios.

2. La recta tangente.

3. Todas las cuerdas.

4. La recta secante.

5. Todos los ángulos centrales.

6. Un ángulo inscrito.

7. Un ángulo semiinscrito.

La circunferencia 113

Algunos autores definen círculo como la región limitada por una circunferencia. En este texto consideraremos sinónimos los términos círculo y circunferencia. Por otra parte, el término circunferencia también se utiliza para designar la medida de ella, es decir, su perímetro.

elementos de una circunferenciaA continuación definiremos conceptos relacionados con la circunferencia.

Circunferencia

La circunferencia es el conjunto de los puntos en un plano que equidistan, es decir, que se hallan a la misma distancia de un punto fijo denominado centro (figura 1). Usualmente se identifica una circunferencia por su centro. Así, la circunferencia de la figura se llama circunferencia O y se representa mediante el símbolo } .

Radio

Es cualquier segmento de recta en el que uno de sus extremos es el centro de una circunferencia y el otro es un punto cualquiera de la misma (figura 2 en la siguiente página).

diámetro

Es una cuerda que contiene el centro de la circunferencia. La longitud de un diámetro es el doble de la longitud del radio (figura 4 en la siguiente página).

Cuerda

Es cualquier segmento de recta cuyos extremos son puntos que pertenecen a la circunferencia (figura 3 en la siguiente página).

.O

Figura 1. el punto O representa el centro de esta circunferencia. Observa que todos los puntos que la forman se encuentran a la misma distancia del punto que representa el centro.

También llamaremos radio a la distancia de cualquier punto de la circunferencia a su centro y lo designaremos con r.

La circunferencia

Elementos de una circunferencia

medición de ángulos en la circunferencia


Secante

Es cualquier recta que corta una circunferencia en dos puntos (figura 5).

tangente

Es cualquier recta que contiene un y sólo un punto de la circunferencia, el cual se llama punto de tangencia. La recta y la circunferencia son tangentes en ese punto (figura 6).

Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia. En la figura 6, r ⊥ OA .

ElEmEntosdEunacircunfErEncia

rOA

Figura 2. Radio. el segmento OA es uno de los radios de la circunferencia.

.C O

D

Figura 3. Cuerda: el segmento de recta CD es una cuerda de la circunferencia.

A

O

B

Figura 4. Diámetro: el segmento de recta AB es uno de los diámetros de la circunferencia.

O

Figura 5. Secante: corta la circunferencia en dos puntos.

Figura 6. Tangente: la recta r y la circunferencia son tangentes en el punto de contacto A. Observa que r es perpendicular (o sea, forma un ángulo recto o de 90°) con el radio OA .

A

O

r

En un dibujo, ilustra y describe las propiedades de los elementos siguientes de una circunferencia:

a. radio b. diámetro c. cuerda d. recta tangente e. recta secante f. arco

Junto con tus compañeros, pega tu dibujo en un muro del salón para formar una exposición. Revisa los trabajos de tus compañeros y, en una sesión plenaria y con la guía del profesor, obtengan conclusiones. Con base en ellas, corrige tu trabajo si es necesario.

EscriBir para aprEndEr


Medición de ángulos en la circunferencia

medida de un ángulo inscrito

Un ángulo inscrito es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de una circun-ferencia y sus lados contienen cuerdas de la misma. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados (figura 8).

medida de un ángulo central

Un ángulo central es aquel cuyo vértice es el centro de una circunferencia. La medida de un ángulo central es igual a la medida de su arco correspon-diente (figura 7).

A

B

O

Figura 7. La medida del ángulo central AOB es igual a AB.

En la figura de la izquierda, halla el valor de x si AC = 50° y ∠AOC = (5x + 10)º.

SOLUCiónEl ángulo AOC es un ángulo central cuyo arco correspondiente es AC ; por tanto:

m∠AOC = mAC 5x + 10 = 50 5x = 50 – 10 = 40

x = 405

x = 8

ejemplo 1

A

OC

50°

Demostraremos lo anterior considerando el caso en el que el centro de la circun-ferencia está sobre uno de los lados de un triángulo inscrito en ella (figura 9).

A

C

Bx°2

x°

Figura 8. Ángulo inscrito: la medida del ángulo inscrito ABC es mAC

2 .

OA

B

C

Figura 9. Triángulo inscrito en una circunferencia.

Si en la figura 10 el centro de la circunferencia es el punto O, se observará lo siguiente:

1. El ΔAOB es isósceles, puesto que OA y OB son radios de la circunferencia y, por tanto, de igual longitud.

2. Como el ángulo central BOC es un ángulo exterior del triángulo AOB, entonces m∠BOC = m∠A + m∠B (nos referimos a los ángulos A y B del triángulo AOB).

3. ∠A ≅ ∠B, ya que son ángulos opuestos de lados congruentes.

OA

B

C

Figura 10.


De acuerdo con lo anterior:

m∠BOC = m∠A + m∠A m∠BOC = 2(m∠A)

m∠A = m∠BOC2

m∠A = mBC2

Determina la medida del ángulo o arco que se pide en cada inciso con base en la figura de la izquierda.

a. Determina mBC

SOLUCión

m∠A = mBC2

mBC = 2m∠A

mBC = 2 (60)

mBC = 120°

b. Determina m∠C.

SOLUCión

m∠C = mAB2

m∠C = 702

m∠C = 35°

c. Halla m∠B.

SOLUCión

m∠B = mAC2 ; pero,

AB + BC + CA = 360°; de donde

70° + 120° + CA = 360°

CA = 360° – 70° – 120°

CA = 170°; por tanto,

m∠B = 170°2

m∠B = 85°

Con base en la figura de la izquierda, donde ∠AOB = 130°, determina la medida del ángulo o arco que se pide en cada inciso.

a. mBC .

SOLUCiónmBC = ∠Z; pero el ∠AOB y el ∠BOC son adyacentes y forman un par de ángulos lineales; por tanto, son suplementarios:

m∠AOB + m∠BOC = 180° 130° + Z = 180° Z = 180° − 130° = 50° BC = 50°

ejemplo 3

ejemplo 2

A

B

C

60°

70°

130°Z

OXA

B

C


b. m∠X

SOLUCión

m∠X = 12 mBC

m∠X = 12 (50)

m∠X = 25°

medida de un ángulo semiinscritro

Un ángulo semiinscrito es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de una circunferencia, pero uno de sus lados contiene una cuerda de la circunferencia y el otro es una recta tangente a la misma. La medida de un ángulo semiins-crito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados (figura 11).

En la figura 11 la medida del ángulo semiinscrito ABC es igual a:

m∠ABC = mBEC2

Veamos enseguida un ejemplo del cálculo de la magnitud de un ángulo semiins-crito.

Considera que en la figura de la izquierda el ∠ABC = 40°. Determina la medida del arco BEC.

SOLUCión

m∠ABC = 12 mBEC

40 = 12 mBEC; de donde

mBEC = 40(2)

mBEC = 80°

A B

C

D

E F

Figura 11. Ángulo semiinscrito.

ejemplo 4

AB

C

E

En parejas, explica a un compañero las características y propiedades de un ángulo:

a. Central de una circunferencia.b. Inscrito.c. Semiinscrito.

Escucha lo que él te diga e intercambien opiniones. Obtengan conclu-siones y plantéenlas oralmente ante el grupo. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales, con base en las cuales han de coeva-luar su trabajo.



Tú decides: María afirma que la medida del arco AMB de la figura siguiente es 70°, pero Jorge sostiene que es 140°. ¿Quién tiene razón?

70ºO

B

M

A

En equipos, y con la guía del profesor, organiza un breve debate en el que un equipo apoyará a María y el otro a Jorge con base en lo que has aprendido hasta ahora. Es importante que aprendas a deba-tir con respeto hacia la postura de tus compañeros y a defender tus ideas por medio de argumentos y datos corroborables.

comunicar(ydEBatir)paraaprEndEr


En cada uno de los ejercicios siguientes determina la medida del ángulo o arco que se indica. En todos los casos, el punto O representa el centro de la circunferencia.

1. Determina la medida del ángulo BAC.

z = 50°

A

B

CO

2. Si ∠A = 40°, ¿cuál es el valor de z?

A

B

Cz°

O

3. Determina la medida del ángulo A.

120°

A

B

CO


4. Establece la medida del ángulo AOB.A

BC

O40°

x

A

B

z

CM

Ox

N

5. Considera que en la circunferencia de la figura siguiente, ANB = 84° y AMC = 140°. Halla la medida de ∠x y ∠z.

∠A = 50°∠B = 95°∠C = 35°

A

B

C

x = 136°z = 68°

6. Halla la medida del ángulo B.

AB = 3x° AC = 5x° BC = 4x°

A

B

Cz

O

4x°6x°

75°

7. Si en la circunferencia de la figura siguiente, AB = 6x°, BC = 4x° y AC es un diámetro, ¿cuál es la medida del ángulo z? Determínala.

C

B

A

a

c

b

z = 54°

8. Considera que en la circunferencia de la figura siguiente a = 100° y b = 190°. Halla la medida de los ángulos A, B y C.


9. Considera que en la circunferencia de la figura siguiente AC es un diámetro y c = 120°. Determina la medida de los ángulos A, B y C.

A

B

CO

c

A

B

C

a = 5x

c = 3x

b = 4x

∠A = 30°∠B = 90°∠C = 60°

10. Considera que en la figura siguiente a:b:c = 5:4:3. Halla la medida de ∠A, ∠B y ∠C.

A

B

C

ac

b

∠A = 75°∠B = 60°∠C = 45°

11. Considera que en la figura siguiente ∠A:∠B:∠C = 5:4:3. Determina la medida de a , de b y de c .

A

B

C

ac

b

a = 150°b = 120°c = 90°

12. Considera que en la circunferencia de la figura siguiente ABC = 210°. Halla la medida del ángulo B.

∠A = 40°

A

B

OC

ac

b

∠B = 75°

13. Considera que en la figura siguiente AC es diámetro de la circunferencia y c:a = 5:4. Halla m∠A.


14. En la figura siguiente, la recta BD es tangente a la circunferencia y ANC = 140°. Determina la medida de ∠ACD.

DC

E

B

A

N

80°

R Q

P

120°X

70°

15. En la figura siguiente, considera que RQ es tangente a la circunferencia en el punto Q y PXQ = 120°. Halla la medida del ∠PQR.

QR

C

B

X

P

∠PQR = 60°

16. En la figura siguiente, BC es tangente a la circunferencia en el punto Q y ∠PQR = 85°. Halla la medida del arco PXQ .

D

N

A

C

B

PXQ = 170°

17. En la figura siguiente, BD es tangente a la circunferencia en B y ∠CBD = 40°. Halla la medida del arco BNC .


18. En la figura siguiente, la recta BE es tangente a la circunferencia en el punto A, AMC = 120° y ∠DAE = 45°. Determina:

D

EA

C

B

M

a. La medida del ángulo BAC.

90°

60°

b. La medida del arco AD.

Relación métrica de las tangentes a una circunferencia

En esta sección estudiaremos las propiedades de las tangentes a una circunfe-rencia.

1. Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.

En la figura de la izquierda, QR es tangente a la }P en el punto R, ¿cuál es el valor de x?

SOLUCiónComo PT es un radio, lo mismo que RP , entonces PT = 5.

Puesto que RQ ⊥ RP , entonces el triángulo PQR es rectángulo con ángulo recto en R. Por tanto, para hallar el valor de x utilizaremos el teorema de Pitágoras.

(PQ)2 = (RP)2 + (RQ)2

(5 + 8)2 = (5)2 + x2

x2 + 25 = 169 x2 = 169 – 25 x2 = 144 x = √144 x = 12

2. Dos tangentes a una circunferencia trazadas desde un mismo punto exterior son congruentes y forman ángulos congruentes con el segmento que une el centro de la circunferencia con el punto exterior (figura 12).

Respecto a la figura 12, como PA y PB son tangentes a la circunferencia, entonces:

AP = BPm∠1 ≅ m∠2

es decir, los ángulos 1 y 2 son congruentes.

ejemplo 5

T

Q

5

P

R x

8

O

A

21P

B

Figura 12.

Relación métrica de las tangentes a una circunferencia 123

En la figura de la izquierda, PA y PB son tangentes a la circunferencia O. Deter-mina el valor de x y de y si:

PA = 8x – 6 PB = 3x + 14 ∠APO = (8y − 15)° ∠BPO = (3y + 10)°

SOLUCión PA = PB, luego 8x – 6 = 3x + 14 8x – 3x = 14 + 6 5x = 20

x = 205

x = 4

Además, sabemos que ∠APO ≅ ∠BPO; por tanto, al sustituir valores queda:

8y – 15 = 3y + 10 8y – 3y = 10 + 15 5y = 25

y = 255

y = 5

ejemplo 6

O

A

P

B

Tú decides: en la figura siguiente, la recta L es tangente a la circun-ferencia en el punto A. La medida del ángulo BAC es 50°. Luisa sostiene que la medida del arco AMB es 100º, en tanto que Elena afirma que es de 50°. ¿Quién tiene la razón?

B

CL

MA

En equipos, y con la guía del profesor, organiza un breve debate en el que un equipo apoyará a Luisa y el otro a Elena con base en lo que has aprendido hasta ahora. Es importante que los argumentos que presenten puedan corroborarse matemáticamente.




1. En la figura siguiente, AB es tangente a }C en el punto B. Halla el valor de x.

Dx 15

AC

B

9

2. En la figura siguiente, GH es tangente a }F. Halla el valor de y.

21

20 HF

G

y

x = 8

D

1024

CA

B

y = 9

3. En la figura siguiente, BC es tangente a }A. Determina la longitud del segmento CD.

R15 15

8

Q

P E

CD = 16

4. En la figura siguiente, la recta RP es tangente a }Q. Calcula el perímetro del triángulo PQR.

64

Relación métrica de las tangentes a una circunferencia 125

y = 3

L24

(7x – 4)

OJ

K

x = 3

7. En la figura siguiente, JK y JL son tangentes a la circunferencia O. Halla el valor de x.

5. En la figura siguiente, AB y AC son tangentes a la circunferencia O. Halla la medida del ángulo CAO si:

• ∠BAO = 4(x – 2)° • ∠CAO = 5(x – 3)°

6. En la figura siguiente, AB y AC son tangentes a la circunferencia. Determina el valor de x si:

• ∠BAO = (8x + 11)° • ∠CAO = (13x – 4)°

C

OA

B

∠CAO = 20º

C

O

A

B

Q

(9y – 3)

O7

25

A

B

x = 4

8. En la figura siguiente, QA y QB son tangentes a la circunferencia O. Determina el valor de y.


Escribe una síntesis donde expliques cómo identificas los siguientes elementos de la circunferencia P:

a. Todos los radios b. Todas las cuerdasc. La recta secante d. La recta tangentee. Todos los diámetros f. Los ángulos centralesg. Un ángulo inscrito h. Un ángulo semiinscrito

D

CP

BT

A

Lee tu texto ante tus compañeros y escucha el de algunos de ellos. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales, a partir de las cuales has de evaluar tu trabajo.

EscriBir para aprEndEr

Tú decides: Rubén sostiene que la medida del ángulo A de la figura siguiente es 130°, mientras que Sergio dice que ∠A = 65°. ¿Quién tiene la razón?

130º

B

C

A

En equipos, y con la guía del profesor, organiza un breve debate en el que un equipo apoyará a Rubén y el otro a Sergio con base en lo que has aprendido hasta ahora.



i. Relaciona correctamente las columnas siguientes.

1. ( ) Conjunto de puntos en un plano equidistan-tes de un punto fijo llamado centro.

2. ( ) Segmento de recta en el que uno de sus ex-tremos es el centro de una circunferencia y el otro es un punto cualquiera de la misma.

3. ( ) Segmento de recta cuyos extremos son pun-tos que pertenecen a una circunferencia.

4. ( ) Cuerda que contiene el centro de la circun-ferencia.

5. ( ) Cualquier recta que corta una circunferen-cia en dos puntos.

6. ( ) Cualquier recta que contiene uno y sólo un punto de una circunferencia.

7. ( ) Ángulo cuyo vértice es el centro de una cir-cunferencia.

8. ( ) Ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de una circunferencia y sus lados contienen cuerdas de la misma.

9. ( ) ¿Qué nombre recibe el ángulo cuyo vértice es un punto de una circunferencia, uno de sus lados contiene una cuerda y el otro lado es una tangente a la circunferencia?

A

B

C

z = 40°O A

B

C

O30° Z


a. Ángulo inscrito.

b. Diámetro.

c. Ángulo semiinscrito.

d. Recta secante.

e. Circunferencia.

f. Ángulo inscrito.

g. Ángulo central.

h. Radio.

i. Recta tangente.

j. Cuerda.

k. Ángulo interior.

ii. Para cada una de las circunferencias siguientes, halla los valores que se indican (el punto O es el centro de la circunferencia indicada). Elige la opción correcta.

1. Halla la medida del ángulo A.

a. 80° b. 25° c. 20° d. 40°

2. Determina la medida del ángulo z.

a. 30° b. 45° c. 60° d. 68°

60º20º



a. 80° b. 160° c. 40° d. 60°A CO

∠AOB = 100º

B

7. Considera que a + b = 8c y determina la medida del ángulo B.

a. 30° b. 20° c. 40° d. 80°

42º

C

A B

ac

b

A

B

COx°

4. Halla el valor de x si AB = 110° y AC es un diá-metro.

a. 30° b. 35° c. 70° d. 45°

20º

5. En la figura siguiente, AC es un diámetro y a = 96°. Determina la medida del ángulo C.

a. 42° b. 46° c. 84° d. 92°

B

A CO

ac

b

40º 35

6. Considera que c = 135° y b = 150° y determina la medida del ángulo A.

a. 42.5° b. 75° c. 85° d. 37.5° e. 150°

B

A C

a

c

b


8. Encuentra la medida del ángulo A.a. 24°b. 144°c. 48°d. 72°

D

A

C

B

84º

11. En la figura siguiente, el ΔABC es equilátero y AD es tangente a la circunferencia en el punto A. Determina la medida del ángulo BAD.

a. 60° b. 120° c. 30° d. 45°

10. Obtén la medida del ángulo C.a. 72°b. 84°c. 60°d. 65°e. 96°

X

A C

B

72º 80º

13. En la circunferencia de la figura siguiente, con-sidera que AB = 62° y determina ∠BAC. Consi-dera también que AC es tangente a la circunfe-rencia en el punto A.

a. 62° b. 36° c. 124° d. 31°

31º

B

A C

ac

b

iii. Considera que en la figura siguiente, a = 2x°, b = 6x° y c = 7x° y resuelve los ejercicios 8 a 10. Elige la opción correcta.

X

A C

B

12. En la figura siguiente, halla mAB si consideras que ∠BAC = 40°. AC es tangente a la circunfe-rencia en el punto A.

a. 40° b. 80° c. 20° d. 70°

9. Calcula la medida del ángulo B.a. 48°b. 72°c. 65°d. 120°

24º 60º


12 16

C

PA

B

9x − 5

7x + 1

18. En la figura siguiente, AC y AB son tangentes a la circunferencia P. Halla el valor de x.

a. x = 2b. x = 1c. x = 4d. x = 5

S

P R

Q

14. En la circunferencia de la figura siguiente, consi-dera que ∠RPQ = 73° y halla mQSP . Considera también que PR es tangente a la circunferencia en el punto P.

a. 214° b. 270° c. 225° d. 287°

Q

O

UT

S

P R

16. En la figura siguiente, PR es tangente a la cir-cunferencia Q en el punto R. Determina el valor de x.

a. 16 b. 15 c. 17 d. 12Q

x

5

PR

8Q

12

xP R

8

17. En la figura siguiente, RP es tangente a la cir-cunferencia Q en el punto P. Halla el valor de x.

a. 16 b. 18 c. 17 d. 14

214º 70º

15. En la figura siguiente, PR es tangente a la cir-cunferencia O en el punto Q, ∠PQS = 40° y ∠TQU = 15°. Obtén la medida del arco ST .

a. 65° b. 70° c. 58° d. 76°

BLO

QU


Un paciente recibe un tratamiento con radioterapia para combatir un tumor localizado detrás de un órgano vital. Para no dañar el órgano, el radiólogo debe dirigir los rayos en cierto ángulo hacia el tumor. Si éste se halla 6.5 cen-tímetros (cm) debajo de la piel y los rayos penetran en el cuerpo 9.5 cm a la derecha del tumor, ¿cuál es el ángulo en que éstos deben entrar en el cuerpo? (Véase la primer figura de la página siguiente).

Los conocimientos de trigonometría que adquirirás en este bloque te per-mitirán resolver este problema y otros similares.

Trigonometría

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

Funciones trigonométricas inversas (ángulos a partir del valor de una función)

Aplicaciones de las funciones trigonométricas

OBjETOS

dE cOnOcimiEnTO

132 B L O Q U E 6 TrigonomETríA


1. En el triángulo rectángulo de la fi gura de la derecha, a = 24 y b = 7. Determina:a. sen A = d. cot A =

b. cos A = e. sec A =

c. tan A = f. cosec A =

2. Halla el valor de las funciones trigonométricas siguientes:

a. sen 40° = d. cot 65° =

b. cos 50° 45′ 30″ = e. sec 50° =

c. tan 20° 15′ 4″ = f. cosec 25° =

3. Dado sen B = 0.5, halla la medida del ángulo B.

4. Dado cos q = 0.85264, encuentra la medida del ángulo q.

5. Determina la medida del ángulo A del triángulo rectángulo de la fi gura siguiente.

c

b = 4

a = 3

A C

B

b

a

A C

B

6.5 cm

9.5 cmpiel

órgano

tumor

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo 133

¿Qué es la trigonometría? La palabra trigonometría proviene de las raíces griegas trigon, “triángulo”, y metra, “medida”. Por tanto, podemos definir la trigonome-tría como la rama de las matemáticas cuyo objeto de estudio son las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

A partir de esta definición, estudiemos las razones trigonométricas (también llamadas funciones trigonométricas) para los ángulos agudos de un triángulo rec-tángulo.

Consideremos el triángulo rectángulo ABC de la figura 1 con ángulo recto en C. Observa que los lados AC y BC forman el ángulo recto C; por tanto, el otro lado es la hipotenusa del triángulo, es decir, la hipotenusa del ΔABC es AB .

Respecto al ángulo A, lo forman el cateto AC y la hipotenusa AB ; por ende, el otro cateto del triángulo es su lado opuesto, o sea, el lado opuesto del ∠A en el ΔABC es el segmento BC .

El cateto que forma parte del ángulo A es el lado adyacente de éste, esto es, el lado adyacente del ∠A en el ΔABC es AC . Todo lo anterior se resume en la figura 2.

c

b

a

A C

B

Figura 1. Triángulo rectángulo ABC.

c

b

a

A C

B

Hipotenusa

Lado adyacente del /A

Lado opuesto del /A

Figura 2. Elementos del triángulo rectángulo ABC respecto al ángulo A.

Por analogía, respecto al ángulo B tenemos que los elementos del triángulo que-dan como se muestra en la figura 3.

Hipotenusa

Lado adyacente del ∠B

Lado opuesto del ∠B

B

A

Figura 3. Elementos del triángulo rectángulo ABC respecto al ángulo B.

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

Valores de las funciones trigonométricas para 30° y 60°

Valores de las funciones trigonométricas para 45°

Uso de la calculadora para hallar el valor de las funciones trigonométricas


Para cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo se tienen las definiciones siguientes.

Razones trigonométricas

• Seno: es la razón entre la longitud del lado opuesto y la de la hipotenusa. Se representa con el símbolo sen, de manera que:

sen = lado opuestohipotenusa

• Coseno: es la razón entre la longitud del lado adyacente y la de la hipote-nusa. Se representa con el símbolo cos, de forma que:

cos = lado adyacentehipotenusa

• Tangente: es la razón entre la longitud del lado opuesto y la del lado adya-cente. Se representa con el símbolo tan, o sea que:

tan = lado opuestolado adyacente

• Cotangente: es la razón entre la longitud del lado adyacente y la del lado opuesto. Se representa con el símbolo cot, de modo que:

cot = lado adyacentelado opuesto

• Secante: es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la del lado adya-cente. Se representa con el símbolo sec, de manera que

sec = hipotenusalado adyacente

• Cosecante: es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la del lado opuesto. Se representa con el símbolo cosec.

cosec = hipotenusalado opuesto

Si en el triángulo rectángulo ABC de la figura 4 a representa la longitud de BC ; b, la de AC , y c la de la hipotenusa AB , entonces tenemos las razones trigono-métricas siguientes respecto al ángulo A:

• sen A = ac . • cot A = b

a .

• cos A = bc . • sec A = c

b .

• tan A = ab . • cosec A = c

a .

Asimismo, para el ángulo B tenemos las razones siguientes:

• sen B = bc . • cot B = a

b .

• cos B = ac . • sec B = c

a .

• tan B = ba . cosec B = c

b .

Las seis razones que acabamos de definir se llaman razones o funciones trigonomé-tricas del ángulo de que se trata. Al respecto, es importante hacer las precisiones siguientes.

c

b

a

B

CA

Figura 4.


1. Observa que los ángulos A y B del triángulo rectángulo de la figura 4 son complementarios, es decir, m∠A + m∠B = 90°, y que se cumple lo siguiente:

• El seno de un ángulo es igual al coseno del otro es decir:

sen A = cos B y sen B = cos A

• La tangente de un ángulo es igual a la cotangente del otro, esto es:

tan A = cot B y tan B = cot A

• La secante de un ángulo es igual a la cosecante del otro, o sea:

sec A = cosec B y cosec B = sec A

2. Las razones trigonométricas seno y cosecante para cualquier ángulo agudo de un triángulo rectángulo son recíprocas entre sí, igual que el coseno y la secante, la tangente y la cotangente. Dicho de otro modo, respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura 4 tenemos que:

sen A(cosec A) = 1 y sen B(cosec B) = 1

cos A(sec A) = 1 y cos B(sec B) = 1

tan A(cot A) = 1 y tan B(cotan B) = 1

Enseguida se presentan algunos ejemplos del cálculo de las razones trigo-nométricas.

a. Se tiene que sen A = 0.6428. Determina el valor de cosec A.

SOLUciónSabemos que sen A(cosec A) = 1, de manera que al resolver esta ecuación para cosec A (es decir, al despejar cosec A) resulta:

cosec A = 1sen A

cosec A = 10.6428

cosec A = 1.5557

b. Se tiene que tan B = 0.4663. Determina el valor de cot B.

SOLUciónComo en el problema anterior, sabemos que tan B(cot B) = 1, de manera que al resolver para cot B se obtiene:

cot B = 1tan B

cot B = 10.4663

cot B = 2.1445

3. Los valores de las razones trigonométricas para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo dependen únicamente de su medida, no de la longitud de sus lados, como se advierte en la figura 5.

En esa figura se muestran los triángulos rectángulos QMN y QM′N′, en los que el ∠Q es común a ambos triángulos. Respecto a este ángulo, el ∠Q, en el triángulo QMN tenemos que:

sen Q = MNQM

ejemplo 1

Q N9

M9

N

M

Figura 5. Dos triángulos rectángulos, QMN y QM′N′.


y en el triángulo QM′N′:

sen Q = M′N′QM′

Los triángulos QMN y QM′N′ son semejantes, ya que:

• ∠Q ≅ ∠Q (ángulo común a ambos triángulos)• ∠N ≅ ∠N′ (porque son ángulos rectos)

Por el criterio de semejanza AA se demuestra que ΔQMN ∼ ΔQM′N′. Por consiguiente, sus lados homólogos son proporcionales; en consecuencia:

MNM′N′ = QM

QM′

MNQM = M′N′

QM

sen ∠MQN = sen ∠M′QN′

De acuerdo con lo anterior, el valor de sen Q es igual para ambos trián-gulos, y lo mismo se cumple para las demás razones trigonométricas.

Determina el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos A y B del triángulo rectángulo de la figura de la izquierda.

SOLUciónCalculemos primero la longitud del cateto AC (es decir, del lado b) por medio del teorema de Pitágoras:

c2 = a2 + b2 Teorema de Pitágoras

b2 = c2 – a2

Al sustituir valores queda:

b2 = 102 – 62

b2 = 64 b = √64 b = 8

De acuerdo con los valores de a, b y c, se tiene que:

sen A = LOH = 6

10 = 35 sen B = LO

H = 810 = 4

5

cos A = LAH = 8

10 = 45 cos B = LA

H = 610 = 3

5

tan A = LOLA = 6

8 = 34 tan B = LO

LA = 86 = 4

3

cot A = LALO = 8

6 = 43 cot B = LA

LO = 68 = 3

4

sec A = HLA = 10

8 = 54 sec B = H

LA = 106 = 5

3

cosec A = HLO = 10

6 = 53 cosec B = H

LO = 108 = 5

4

donde LO es el lado opuesto, LA el lado adyacente y H la hipotenusa.

ejemplo 2

A C

B

c = 10a = 6

b


Determina el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo A del trián-gulo rectángulo de la figura de la izquierda.

SOLUciónSe calcula primero la longitud del cateto a utilizando el teorema de Pitágoras:

c2 = a2 + b2 Teorema de Pitágoras


16 = a2 + 9 a2 = 16 – 9 = 7 a = √7

De acuerdo con los valores de a, b y c se tiene que:

sen A = LOH = √7

4 cot A = LALO = 3

√7 = 3√7

√7√7 = 3√7

7

cos A = LAH = 3

4 sec A = HLA = 4

3

tan A = LOLA = √7

3 cosec A = HLO = 4

√7 = 4√7

√7√7 = 4√7

√7

Dado sen q = 12 , halla el valor de las demás funciones trigonométricas si q es

uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

SOLUciónHemos aprendido que

sen q = lado opuestohipotenusa

Consideremos ahora el triángulo rectángulo de la figura siguiente, en el que la longitud del lado opuesto al ángulo q es 1 y la de la hipotenusa, 2.

En parejas, explica a un compañero por qué las razones trigonomé-tricas no dependen del tamaño del triángulo. Escucha su explicación y, juntos, obtengan conclusiones. Preséntenlas oralmente al grupo y, con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales, a partir de las cuales han de coevaluarse.


ejemplo 3

ejemplo 4

A C

B

b = 3

c = 4a

21

u

x

Por el teorema de Pitágoras se tiene que:

x2 + 12 = 22

x2 = 4 – 1 = 3 x = √3


Entonces:

sen q = 12 cot q = √3

1 = √3

cos q = √32 sec q = 2

√3 = 2(√3)

√3(√3) = 2(√3)3

tan q = 1√3

= 1(√3)√3(√3) = √3

3 cosec q = 21 = 2

Considera que q es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y, en parejas, indica a un compañero qué relación hay entre sen q y cosec q ; cos q y sec q ; tan q y cot q . Usa como referencia el triángulo rectán-gulo siguiente. Escucha a tu compañero y obtengan conclusiones. Coevalúen su trabajo.

θ



i. Los siguientes son ejercicios para practicar lo que has aprendido acerca de las razones o funciones trigonométricas para un ángulo agudo.

1. A partir del triángulo rectángulo de la figura siguiente define las funciones trigonométricas para:

a. El ángulo P.b. El ángulo Q.

P

x

Q

y R

z

sen P = sen Q =

cos P = cos Q =

tan P = tan Q =

cot P = cot Q =

sec P = sec Q =

cosec P = cosec Q =


2. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo rectángulo de la figura.

sen A = cot A =

cos A = sec A =

tan A = cosec A = c

A C

B

b 60

a 91

3. Calcula los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo rectángulo de la figura.

sen A = cot A =

cos A = sec A =

tan A = cosec A = c

A C

B

b 4

a 3

4. Determina los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A del triángulo rectángulo de la figura.

sen A = cot A =

cos A = sec A =

tan A = cosec A = c

A C

B

b 8

a 15

5. Halla los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo de la figura.

sen B = cot B =

cos B = sec B =

tan B = cosec B = c 13

A C

B

b 5

a

6. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo de la figura.

sen B = cot B =

cos B = sec B =

tan B = cosec B = c

A C

B

b 1

a 1


7. Calcula los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo de la figura.

sen B = cot B =

cos B = sec B =

tan B = cosec B =

A C

B

b 6

c 10a

8. Determina el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo de la figura.

sen B = cot B =

cos B = sec B =

tan B = cosec B =

A C

B

b

c 2a 3

9. Halla el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo B del triángulo rectángulo de la figura.

sen B = cot B =

cos B = sec B =

tan B = cosec B =

A C

B

b 24

a 70

10. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas del ángulo A del triángulo de la figura siguiente.

sen A = cot A =

cos A = sec A =

tan A = cosec A =

A C

B

b 20

a 21

11. En el triángulo rectángulo de la figura siguiente sen q = 817 ; halla:

cos q =

tan q =

cosec q = θ


15. Dado cot A = 2.1445, halla tan A.

a. 0.4663b. 0.5885c. 0.42954d. 0.4954

16. Dado sec A = 1.19175, halla cos A.

a. 0.8697b. 0.9417c. 0.8391d. 0.9206

17. Dado cot A = 3.4585, halla tan A.

a. 0.27961b. 0.2891c. 0.2648d. 0.3563

18. Dado cosec A = 1.6576, halla sen A.

a. 0.60328b. 0.9645c. 0.48516d. 0.5947

19. Dado sen q = 0.4313, halla cosec q.

a. 1.9518b. 2.5645c. 2.31857d. 2.9541

20. Dado cos q = 0.4155, halla sec q.

a. 2.4067b. 2.3604c. 2.5217d. 2.8546

21. Dado tan A = 1.902, halla cot A.

a. 0.614b. 0.4817c. 0.52576d. 0.5915

22. Dado cosec A = 1.4944, halla sen A.

a. 0.66916b. 0.78917c. 0.59102d. 0.70900

12. En el triángulo rectángulo de la figura siguiente cot q = 1235 ; halla:

tan q =

sen q =

cos q =

θ

13. En el triángulo rectángulo de la figura siguiente cos a = 2425 ; encuentra:

sen a =

tan a =

sec a =

α

14. En el triángulo rectángulo de la figura siguiente, cot q = 2, halla:

tan q =

sen q =

cos q =

θ

ii. En los ejercicios siguientes, elige la opción correcta.

0.669160.60328

2.318570.4663

2.40670.8394

0.525760.2891


Gracias a los fundamentos de la geometría es posible deducir, como haremos en las secciones siguientes, el valor de las razones trigonométricas de ángulos con medidas específicas.

En concreto, en las próximas secciones veremos cómo determinar el valor de tales razones, primero para ángulos de 30° y 60° y luego para ángulos de 45°.

Funciones trigonométricas para ángulos de 30° y 60°Ya has aprendido que la medida de cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero es de 60°. Consideremos ahora que el triángulo ABC de la figura 6 es equilátero y que la longitud de cada uno de sus lados es igual a 2.

Con fundamento en la geometría (bloque 1) sabemos que al trazar el segmento BD perpendicular al lado AC (figura 7):

AD = CD = 22 = 1

∠ABD ≅ ∠CBD = 30°

Si consideramos el ΔABD, con base en el teorema de Pitágoras tenemos (figura 8):

(BD)2 + (1)2 = (2)2

(BD)2 = 4 – 1 = 3BD = √3

Hallemos a continuación los valores de las funciones trigonométricas para 30° y 60°:

sen 30° = LOH = 1

2 sen 60° = cos 30° = √32

cos 30° = LAH = √3

2 cos 60° = sen 30° = 12

tan 30° = LOLA = 1

√3 = 1

3 × √3√3

= √33 tan 60° = cot 30° = √3

cot 30° = LALO = √3

1 = √3 cot 60° = tan 30° = √33

sen 30° = LOH =

2√3 =

2√3 × √3

√3 = 2√3

3 sec 60° = cosec 30° = 2

cosec 30° = HLO = 2

1 = 2 cosec 60° = sec 30° = 2√33

B

A C

x 2

x 2

x 2

60º

60º 60º

Figura 6. Triángulo equilátero; la medida de cada uno de sus ángulos internos es de 60°.

B

DA C60º 60º

30º 30º2 2

1 1

Figura 7. El segmento BD es perpendicular al lado AC .

2

A D1

B

30º

60º

3

Figura 8. Uno de los triángulos rectángulos en que se dividió el triángulo equilátero de la figura 6.

Valores de las razones trigonométricas para ángulos específicos

Razones trigonométricas para ángulos de 30° y 60°

Razones trigonométricas para ángulos de 45°

Uso de la calculadora para hallar el valor de las funciones trigonométricas

Valores de las razones trigonométricas para ángulos específicos 143

Valores de las funciones trigonométricas para 45°Consideremos un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos tienen una longitud igual a 1, como se muestra en la figura 9. Por el teorema de Pitágoras sabemos que en ese triángulo:

c2 = (1)2 + (1)2

c2 = 2 c = √2

A partir de la definición de las razones trigonométricas:

sen 45° = 1√2

= 1√2

× √2√2

= √22 cot 45° = 1

1 = 1

cot 45° = 1√2

= √22 sec 45° = √2

1 = √2

tan 45° = 11 = 1 cosec 45° = √2

1 = √2

Naturalmente, mediante una calculadora (incluida la de los sistemas operativos de las computadoras, como la de Windows) puede hallarse el valor de las razones trigonométricas, como veremos en la sección que sigue.

Uso de la calculadora para hallar el valor de las funciones trigonométricasLa resolución de muchos problemas de aplicación requiere conocer los valores de las funciones trigonométricas para ángulos en particular. Tales valores pueden hallarse en tablas trigonométricas, o bien, utilizando una calculadora científica.

La decisión de emplear tablas o calculadora corresponde al maestro o al cri-terio del alumno. En mi opinión, lo recomendable es el empleo de la calculadora.

Las calculadoras científicas contienen las teclas sen, cos y tan , las cuales se pueden utilizar para calcular el valor correspondiente a las funciones seno, coseno y tangente para un ángulo, cualquiera que sea su medida, siguiendo los pasos descritos a continuación:

Paso 1. Revisa que la calculadora esté en la modalidad de grados (DEG).Paso 2. Oprime la tecla de la función sen, cos o tan , según sea el caso. (Nota: ten

presente que en muchas calculadoras la tecla sin equivale a sen.)Paso 3. Teclea la medida del ángulo.Paso 4. Oprime la tecla = .Paso 5. El número que aparece en la pantalla es el valor de la función trigonomé-

trica correspondiente para el ángulo indicado.

Halla el valor de sen 50° con la calculadora.

SOLUciónPaso 1. Revisa que la calculadora esté en la modalidad de grados (DEG).Paso 2. Oprime la tecla sen.Paso 3. Teclea 50.Paso 4. Pulsa = .Paso 5. En la pantalla aparece el número 0.76604…; entonces, sen 50° = 0.76604

En la figura siguiente se muestra cómo es posible obtener el seno de 50° mediante la calculadora de Windows.

B

A C

a 5 1

b 5 1

c

45°

45°

Figura 9. Triángulo rectángulo isósceles. En este caso cada cateto vale 1.

ejemplo 5


Para hallar el valor de las funciones trigonométricas cotangente, secante y cose-cante se utiliza su función recíproca respectiva, como se ejemplifica a continua-ción.

Halla los valores de las razones trigonométricas cotangente, secante y cosecante para un ángulo de 62°.

SOLUciónLas calculadoras carecen de las teclas cot, sec y cosec, pero hemos aprendido que:

• tan A(cot A) = 1, por tanto cot A = 1tan A .

• cos A(sec A) = 1, por tanto, sec A = 1cos A .

• sen A(cosec A) = 1, por tanto, cosec A = 1sen A .

En consecuencia, para obtener lo que se pide en este ejemplo hacemos lo siguiente:

cot 62° = 1tan 62° = 1

1.8807 = 0.5317

sec 62° = 1cos 62° = 1

0.46947 = 2.1300

cosec 62° = 1sen 62° = 1

0.88295 = 1.1326

En la figura siguiente se muestra cómo obtener el primer resultado, el de la cotangente de 62°, mediante una calculadora.

ejemplo 6

1. Se oprime la tecla 12. Se oprime la tecla ÷ 3. Se oprime la tecla tan 4. Se pulsa 62 5. Se oprime la tecla =

Respecto al triángulo de la figura siguiente, escribe un resumen donde expliques qué relación hay entre:

• sen A y cos B • cos A y sen B • tan A y cot BLee tu texto ante tus compañeros y, con la guía del profesor, obten-

gan conclusiones generales.

eSCriBir para aprender

1. Primero pasa de la calculadora estándar a la científica (elige el comando respectivo del menú Ver); 2. Asegúrate de que el botón de opción Sexagesimal esté habilitado; si no es así, haz clic en él; 3. Teclea 50, que es el ángulo cuyo seno se quiere encontrar en este ejemplo; 4. Finalmente, oprime la tecla sin (que equivale a sen); 5. El resultado aparece de inmediato.

AC

B

Funciones trigonométricas inversas 145


i. Halla el valor de las funciones trigonométricas que se indican. Elige la opción correcta.

1. sen 46°a. 0.8217b. 0.7592c. 0.71934d. 0.6986

2. cos 68°a. 0.3746b. 0.3526c. 0.3923d. 0.3651

3. tan 52°30′ 45″a. 1.3546b. 1.1986c. 1.4007d. 1.3038

4. cot 35°a. 0.7002b. 1.6518c. 1.3948d. 1.4281

5. sec 15°a. 1.0748b. 1.03527c. 1.04852d. 1.0512

6. cosec 28°a. 1.13257b. 2.1908c. 2.13005d. 1.8916

7. cot 50°a. 0.83909b. 2.1908c. 2.13005d. 1.2485

8. sec 68°a. 2.6694b. 0.3746c. 2.7895d. 1.0785

9. cosec 40°a. 1.6836b. 1.8510c. 1.5557d. 1.4892

Funciones trigonométricas inversas

Aplicaciones de las razones trigonométricas

A menudo, en la resolución de problemas relacionados con la trigonometría se requiere hallar la medida de un ángulo cuando se conoce el valor de una de las funciones trigonométricas.

La expresión sen−1 A se denomina seno inverso del ángulo A y significa la medida del ángulo cuyo valor de la función seno es A. Análogamente, cos−1 A significa el ángulo cuyo coseno es A; tan−1 A, el ángulo cuya tangente es A, etcétera.

Es importante precisar que en las expresiones sen−1 A, cos−1 A, tan−1 A, etcétera, el número −1 no es un exponente: la potencia −1 de sen A, cos A y tan A se expresa, respectivamente, de la siguiente manera: (sen A)−1 (cos A)−1, (tan A)−1, etcétera.

Para utilizar una calculadora a fin de encontrar la medida de un ángulo agudo cuando se conoce el valor de la función trigonométrica seno, coseno o tangente para dicho ángulo se sigue el procedimiento descrito a continuación:

Paso 1. Revisa que la calculadora esté en la modalidad de grados (DEG).Paso 2. Oprime la tecla INV , SHIFT o 2ND, según la calculadora.Paso 3. Pulsa la tecla sen , cos o tan , según sea el caso.Paso 4. Teclea el valor dado de la función trigonométrica.Paso 5. Pulsa la tecla = .Paso 6. El número que aparece en la pantalla es la medida del ángulo agudo

correspondiente.

1.42810.71934

0.3746


a. Halla la medida del ángulo agudo A si sen A = 0.74314.

SOLUción

q = sen−1 0.74314

Con la calculadora en la modalidad de grados (DEG):

Paso 1. Oprime la tecla INV , SHIFT o 2ND, según la calculadora.Paso 2. Oprime la tecla sen.Paso 3. Teclea el número 0.74314.Paso 4. Pulsa u oprime la tecla = .Paso 5. En la pantalla aparece el número 47.99958; luego:

∠A = 48°

b. Encuentra la medida del ángulo agudo B si cot B = 0.26795.

SOLUciónLa función tangente es la recíproca de la cotangente, entonces:

tan B (cotan B) = 1

tan B = 1cotan B

tan B = 10.26795

tan B = 3.732

Se utilizará a continuación la calculadora para hallar la medida del ∠B.

Paso 1. Oprime la tecla SHIFT , INV o 2ND, según la calculadora.Paso 2. Oprime la tecla tan .Paso 3. Teclea el número 3.732.Paso 4. Oprime la tecla = .Paso 5. En la pantalla aparece el número 74.9998; luego:

∠B = 75°

ejemplo 7

Escribe un instructivo breve donde expliques cómo usar la calculadora para hallar la medida del ángulo agudo B si:

a. sen B = 0.4258 b. cos B = 0.85264c. tan B = 1 d. cot B = 2.12511e. sec B = 2.2027 f. cosec B = 4.2837

Lee tu texto ante tus compañeros y escucha el de alguno de ellos. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones, con base en las cuales has de evaluar tu trabajo.


Funciones trigonométricas inversas 147


i.En los ejercicios de esta actividad, el ángulo que se indica es agudo.

1. Dado sen A = 0.76604, halla la medida del ángulo A.a. 48°b. 52°c. 47°d. 50°

2. Dado cos A = 0.731354, halla la medida del án-gulo A.a. 43°b. 39°c. 47°d. 49°

3. Dado sen A = 0.573576, encuentra la medida del ángulo A.a. 28°b. 40°c. 30°d. 35°

4. Dado cot A = 0.70021, da la medida del ángulo A.a. 50°b. 55°c. 58°d. 62°

5. Dado sec q = 2.3662, encuentra la medida del ángulo q .a. 60°b. 70°c. 62°d. 65°

6. Dado cosec q = 1.74345, halla la medida del án-gulo q .a. 35°b. 32°c. 31°d. 38°

7. Dado sec A = 1.30541, halla la medida del ángulo A.a. 38°b. 40°c. 45°d. 48°

8. Dado cosec A = 2.9238, halla la medida del án-gulo A.a. 22°b. 18°c. 25°d. 20°

9. Dado cot B = 0.57736, encuentra m∠B.a. 60°b. 58°c. 64°d. 53°

10. Dado sen B = 0.819152, halla la medida del án-gulo B.a. 55°b. 52°c. 58°d. 50°

11. Dado cos A = 0.46948, da la medida del ángulo A.a. 65°b. 58°c. 62°d. 67°

12. Dado tan q = 1, halla la medida del ángulo q .a. 40°b. 45°c. 48°d. 50°

40°50°

20°43°

60°35°

55°55°

62°65°

45°35°


Resolver un triángulo rectángulo consiste en determinar la medida de sus ángu-los agudos y la longitud de sus tres lados. Para ello se requiere conocer dos de sus elementos, además del ángulo recto; uno debe ser la longitud de uno de sus lados.

Como veremos, tal resolución puede efectuarse utilizando las fórmulas de las razones trigonométricas que acabamos de aprender para determinar la medida de los ángulos agudos del triángulo.

a. Resuelve el triángulo rectángulo de la izquierda.

SOLUciónEn la resolución de este triángulo rectángulo pueden emplearse las fórmulas siguientes:

sen A = ac y cos A = b

c

Cabe señalar que no se puede utilizar la razón tan A = ab porque se desconoce

el valor de a y b; en consecuencia:

sen 63° = a80

de donde:

a = 80 sen 63° = 80(0.8910) a = 71.28

Asimismo:

cos A = ba

cos 63° = b80

b = 80 cos 63° b = 36.32

Por último, se halla la medida del ángulo B:

m∠A + m∠B = 90° 63° + m∠B = 90° m∠B = 90° − 63° m∠B = 27°

b. Resuelve ahora el triángulo rectángulo de la izquierda.

SOLUciónLa longitud del lado c se calcula utilizando el teorema de Pitágoras:

c2 = a2 + b2

c2 = (5)2 + (12)2

c2 = 25 + 144 c2 = 169 c = √169

c = 13

Resolución de triángulos rectángulos

Aplicaciones de las razones trigonométricas

ejemplo 8

C

B

A

ac 5 80

b63°

B

A C

a 5 5c 5

b 5 12

resolución de triángulos rectángulos 149

Para determinar la medida del ángulo A puede usarse la fórmula tan A = ab ;

luego: tan A = 5

12 ; de donde

∠A = tan−1 512

∠A = 22.62°

Se halla a continuación el ∠B o m∠B de este modo:

m∠A + m∠B = 90° 22.62 + m∠B = 90° m∠B = 90° − 22.62° m∠B = 67.38°

En parejas, explica a un compañero qué razón trigonométrica usas para hallar el valor de a en el triángulo rectángulo de la figura siguiente. Escucha respetuosamente la explicación de tu compañero y obtengan conclusiones.

40

25º

b

a

A C

B


IV Actividades de aprendizaje

i. Resuelve los ejercicios siguientes de resolución de triángulos rectángulos. Elige la opción correcta.

1. Halla el valor del cateto b del triángulo rectángulo de la figura siguiente.

a. 30.64b. 25.71c. 47.6d. 41.04

c = 120

b

70º

a

A C

B

41.04


2. Halla el valor del cateto a del triángulo rectángulo de la figura.

a. 41.0b. 98.56c. 50.34d. 112.76

c 50º

a

b = 60A C

B

3. Determina el valor del cateto a del triángulo rectángulo de la figura.

a. 26.8b. 42c. 34.4d. 36.8

c a

75º

100A C

B

4. Encuentra el valor del cateto b del triángulo rectángulo de la figura.

a. 52.33b. 56.85c. 64.3d. 66.98

85

b

52ºA C

B

5. Halla el valor de c del triángulo rectángulo de la figura.

a. 93.34b. 78.3c. 59.6d. 85.4

c 60

50º

A C

B

6. Determina el valor de c en el triángulo rectángulo de la figura.

a. 112.9b. 103.52c. 120.8d. 116.4

c

100

75º

A C

B

50.34

26.8

52.33

93.34

103.52


7. Encuentra la medida del ángulo A del triángulo rectángulo de la figura.

a. 36.87°b. 30.96°c. 53.13°d. 55°

25

15A C

B

8. Halla la medida del ángulo A del triángulo rectángulo de la figura.

a. 55.15°b. 34.85°c. 30.7°d. 29.75°

3520

A C

B

9. Halla la medida del ángulo A del triángulo rectángulo de la figura.

a. 21.8°b. 66.4°c. 24.3°d. 68.2°

45

18

A C

B

10. Encuentra la medida del ángulo B del triángulo rectángulo de la figura.

a. 34.21°b. 40.9°c. 42.84°d. 44.5°

17

25

A C

B

11. Halla la medida del ángulo B del triángulo rectángulo de la figura.

a. 60°b. 30°c. 26.6°d. 40°

1326

A C

B

12. Halla la medida del ángulo B del triángulo rectángulo de la figura.

a. 74.2°b. 66.8°c. 23.2°d. 24.6°

15

35

A C

B

53.13°

34.85°

21.8°

42.84°

60°

23.2°


Aplicaciones de las razones trigonométricasComo veremos en los ejemplos siguientes, las razones trigonométricas tienen numerosas aplicaciones en la vida diaria, por ejemplo, el cálculo de distancias horizontales, ángulos de elevación (a partir de la medida de sombras, por ejem-plo), ángulos en que ha de reclinarse una escalera al recargarla en un muro, etcétera.

a. Desde la cúspide de un faro de 30 metros (m) de altura sobre el nivel del mar se observa que el ángulo de depresión respecto de un velero es de 25°. Calcula la distancia horizontal del faro al barco.

13. Halla el valor de x del triángulo rectángulo de la fi gura.

a. 23.83°b. 16.78°c. 19.85°d. 14.65°

x

20

50ºA C

B

ejemplo 9

R S

Q

Ángulo dedepresión = 25º

SOLUciónEl ángulo que forman la línea visual de un observador y un objeto con la hori-zontal se llama ángulo de depresión si el objeto está debajo de la horizontal; en cambio, si está arriba, se denomina ángulo de elevación.

AObservador

ObservadorA

Línea visual

Línea visual

Objeto

Objeto

Ángulo de elevación

Ángulo de depresión

16.78


Sea x la distancia horizontal del barco al faro; entonces:

tan 65° = x30

x = 30 m tan 65°x = 64.3 m

1.8

u

3.6

1.8 m

3.6 m

6 m3 m

h = 30

25º

65º

90º25º

x

b. Determina el ángulo de elevación del Sol si una persona de 1.8 m de estatura proyecta una sombra de 3.6 m.

SOLUciónEl ángulo de elevación es el ángulo que forma el Sol con el horizonte; entonces:

tan q = 1.83.6

tan q = 0.5 ∠q = tan−1 0.5 ∠q = 26.56°

C. ¿Qué ángulo debe formar con el piso una escalera de 6 m de longitud si se quiere alcanzar la parte más alta de una pared de 3 m?


SOLUción

sen B = 36

sen B = 0.5 ∠B = sen−1 0.5 sen B = 0.5 ∠B = sen−1 0.5 ∠B = 30°

d. ¿A qué distancia del pie de una torre de 40 m de altura deberá colocarse un observador para que el ángulo de elevación a la cúspide de la torre sea de 60°?

tan 60° = 40x

x tan 60° = 40tan 60°

x = 23.0 m

60°

40 m

x

40 m

d = ?

60º

Línea visual

En parejas, explica a un compañero qué razón trigonométrica usar para hallar la medida del ángulo q en el triángulo rectángulo de la figura siguiente. Obtengan conclusiones y preséntenlas al grupo. Escu-chen respetuosamente las de algunos de sus compañeros. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales, con base en las cuales coevaluarán su trabajo.

θ

12

9



V Actividades de aprendizaje

i. Triángulos rectángulos como modelos matemáticos.

1. Un árbol de 20 metros (m) de altura proyecta una sombra de 28 m de largo. Halla el ángulo de elevación del Sol.

32.17 m

28 m

h = 20 m

35.5°

2. Un árbol de 18 metros (m) de altura proyecta una sombra de 10 m de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol?

10 m

18 m

60.94°

15 m

d = ?

25º

C B

3. Cuando el Sol está a 25° sobre el horizonte, ¿cuál es el largo de una sombra que proyecta un edificio de 15 metros (m) de altura?


4. Un edifi cio proyecta una sombra de 92.33 metros (m) cuando el ángulo de elevación del Sol es de 18°. Calcula la altura del edifi cio.

8.26 m

18º

92.33 m

30 m

5. En un edifi cio se apoya una escalera cuyo pie se ubica a 1.4 metros (m) de la pared. ¿Cuál es la longitud de la escalera, si el ángulo que forma con la pared es de 30°?

1.4 m

30ºl = ?

2.8 m

6. La sombra que proyecta una persona de 1.68 metros (m) de estatura es de 1.22 m. En ese instante un árbol proyecta una sombra de 6 m. Calcula la altura del árbol.

1.22 m6 m

h = ?

1.68 m


7. De lo alto de un faro a 40 metros (m) sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un velero es de 12°. ¿A qué distancia horizontal del faro se encuentra el barco?

40 m

12º

d = ?

71.5 m

l

1.8 m

56º

188.2 m

8. Una escalera se apoya contra una pared de modo que su extremo inferior está a 1.8 metros (m) de ella. Si el ángulo que forma la escalera con el piso es de 56°, ¿cuál es su longitud?

60 m

d50º

A

3.2 m

9. Un topógrafo necesita calcular la anchura de un río. Desde un punto A ubicado frente a un árbol en la orilla opuesta, camina 60 metros (m) a la derecha. Si el ángulo entre la orilla del río y la línea de visibilidad hacia el árbol en este punto es de 50°, ¿cuál es la anchura del río?


10. Una escalera de 5 metros (m) se apoya contra la pared de un edificio de modo que su extremo inferior queda separado 2 m del pie del edificio. Halla el ángulo que forma la escalera con la horizontal.

l = 5m

2 m

28.6 m

23º

d

y

1.55 m

66.4°

11. ¿A qué distancia del pie de un edificio de 40 metros (m) de altura debe colocarse el observador de la figura siguiente para que el ángulo de elevación o la cúspide del edificio sea de 23°?

40º

1.75 m

32 m

y

1.75 m

90.6 m

12. Una persona de 1.75 metros (m) de estatura se halla a 32 m de la base de un edificio y observa que el ángulo de elevación a la cúspide de éste es de 40°. Determina la altura del edificio.


13. Desde la cima de un edifi cio de 30 metros (m) de altura se observa que el ángulo de depresión a un punto A es de 16°. Halla la distancia de dicho punto a la base del edifi cio.

30 m

d A

D16º

8 m

15º

50 m

d = ?

104.6 m

14. Un observador ve, desde lo alto de un faro de 50 metros (m) de altura, un barco en el mar, con un ángulo de depresión de 15°. ¿A qué distancia se halla el barco del faro?

1.22 m

1.68 m

5.81 m

h = ?

186.6 m

15. La sombra que proyecta una persona de 1.68 metros (m) de altura es de 1.22 m. En ese instante un árbol proyecta una sombra de 5.81 m. Calcula la altura del árbol.


16. Un persona de 1.7 metros (m) de estatura proyecta una sombra de 62 cm de largo. En ese instante una casa proyecta una sombra de 2.19 m. ¿Cuál es la altura de la casa?

h = ?1.7 m

62 cm2.19 m

561 m

50 m

60 m

6 m

17. Una torre de televisión de 50 metros (m) de altura proyecta una sombra de 60 m. Halla el ángulo de elevación del Sol.

80 m

d200 m6º

39.8°

18. Desde un barco, un observador determina que el ángulo de elevación a una torre de 80 metros (m) de altura, situada a 200 m de la playa, es de 6°. ¿Cuán lejos está el barco de la orilla?


19. Dos estaciones de seguimiento separadas una distancia de 400 metros (m) entre sí miden los ángulos de elevación de un globo meteorológico, los cuales son de 65° y 46°, respectivamente, como se muestra en la fi gura. Calcula la altura del globo en el momento de las mediciones.

400 m

46º 65º

h = ?

x

12 m

1.5 m

45º

801 m

20. Martha quiere determinar la altura de un árbol. Ella sostiene una escuadra de 45° como se muestra en la fi gura siguiente. Martha está a 12 m del árbol y sus ojos a 1.5 metros (m) de la superfi cie. Calcula la altura del árbol.

13.5 m

Escribe un breve informe donde expliques qué es la trigonometría, qué son las razones o funciones trigonométricas en un triángulo rec-tángulo y en qué situaciones pueden usarse. Asegúrate de mencionar algunas de sus aplicaciones. Lee tu texto frente a tus compañeros; escucha el de algunos de ellos. Con la guía del profesor obtén conclu-siones generales, con base en las cuales has de evaluar tu texto.



1. Encuentra el valor de tan A.

a. 817

b. 158

c. 1517

d. 815

e. 1715

2. Encuentra el valor de sec A.

a. 1517

b. 178

c. 817

d. 158

e. 1715

3. Encuentra el valor de cosec A.

a. 1715

b. 178

c. 158

d. 815

e. 817

4. Encuentra el valor de cot A.

a. 817

b. 158

c. 1517

d. 815

e. 1715

5. Encuentra el valor de sen A.

a. 817

b. 158

c. 178

d. 1517

e. 1715

6. Encuentra el valor de cos A.

a. 817

b. 158

c. 1517

d. 815

e. 1715

i. A partir del triángulo rectángulo de la figura siguiente resuelve los problemas 1 a 6. Elige la opción correcta.

B

A C

16

30


1517

178

158

815

817

1715


ii.A partir del triángulo rectángulo de la figura siguiente resuelve los problemas 7 a 12. Elige la opción correcta.

A

B

C

4058

7. Determina el valor de cot A.

a. 2029

b. 2920

c. 2021

d. 2921

e. 2120

8. Encuentra el valor de cos A.

a. 2129

b. 2029

c. 2021

d. 2120

e. 2921

9. Encuentra el valor de sec A.

a. 2129

b. 2029

c. 2021

d. 2120

e. 2921

10. Encuentra el valor de tan B.

a. 2129

b. 2029

c. 2021

d. 2120

e. 2921

11. Encuentra el valor de cosec B.

a. 2120

b. 2129

c. 2029

d. 2920

e. 2921

12. Encuentra el valor de sen B.

a. 2120

b. 2129

c. 2029

d. 2920

e. 2921

2120

2120

2921

2129

2129

2921


iii.Resuelve los ejercicios siguientes con base en los datos indicados y la figura. Elige la opción correcta.

13. Considera que en el triángulo rectángulo de la figura siguiente sen q = 817 . Halla tan q.

a. 819

b. 198

c. 158

d. 815

e. 12

q

2425

14. Considera que en el triángulo rectángulo de la figura siguiente cot q = 247 . Determina cos q.

a. 724

b. 2425

c 2025

d. 1213

e. 725

q

815


v.En los ejercicios 22 a 30, los ángulos que se indican son agudos. Elige la opción correcta.

15. Halla el valor de sen 50° 48′12″.a. 0.775b. 0.8117c. 0.71597d. 0.6534

17. Determina el valor de tan 68° 18′36″.a. 2.5141b. 0.7865c. 0.6625d. 0.6633e. 0.6573

19. Determina el valor de cot 40°.a. 0.8391b. 1.4625c. 2.418d. 1.1917e. 1.3247

21. Determina el valor de sec 28°.a. 2.13b. 0.88294c. 0.46947d. 1.7425e. 1.13257

16. Halla el valor de cos 48° 30′24″.a. 0.7841b. 0.6625c. 0.5962d. 0.6573

18. Determina el valor de sec 60°.a. 0.5b. 2.4c. 2d. 1.1547e. 1.2471

20. Determina el valor de cosec 57°.a. 0.8387b. 1.19236c. 1.83607d. 2.15e. 2.5

iv. Uso de calcUladora. Emplea una calculadora científica para resolver los ejercicios 15 a 21. Elige la opción correcta.

22.5141

1.192361.1917

1.13257

22. Dado sen q = 0.6531, halla la medida del ángulo q.a. 51°b. 45.6°c. 41.9°d. 40.77°

40.77°

23. Dado cos q = 0.4783, halla la medida del ángulo q.a. 61.4°b. 68.1°c. 71.6°d. 58.4°

61.4°


18.2°

24. Dado tan q = 1.8807, halla la medida del ángulo q.a. 56.8°b. 69.7°c. 62°d. 63.8°

62°

25. Dado cot q = 1.881, halla la medida del ángulo q.a. 34°b. 31.6°c. 28°d. 23°

28°

26. Dado sec q = 2.5, halla la medida del ángulo q.a. 58.6°b. 66.42°c. 61°d. 71.6°

66.42°

27. Dado cosec q = 3.2, halla la medida del ángulo q.a. 18.2°b. 20.5°c. 15.6°d. 20.9°


vi. Para cada uno de los triángulos rectángulos siguientes determina los valores que se piden (preguntas 31 a 40). Elige la opción correcta.

31. Halla la longitud del cateto YZ.

a. 69.28b. 103.92c. 100d. 115.6e. 60

32. Halla la longitud del cateto PQ.

a. 89.4b. 112.5c. 97.4d. 96.5

Z

X

Yx 5 ?

120

30°M

P

Q

m 5 ?126

50°

96.5103.92

20°

65°

29. Dado sec q = 1.221, halla la medida del ángulo q.a. 28°b. 41°c. 39°d. 35°

35°

30. Dado cosec q = 2.9238, halla la medida del ángulo q.a. 15.4°b. 20°c. 23°d. 18°

28. Dado cot q = 0.46631, halla la medida del ángulo q.a. 57°b. 72°c. 65°d. 69°



a. 69.7°

A

B

C

54

20

b. 65.2°c. 72.4°d. 73.6°

189.340.5°

51.2°69.7°

34. Halla la longitud de la hipotenusa del triángulo de la figura.

a. 109.7

A

B

C

80

50°

b. 98.6c. 104.4d. 115.2

28.86°104.4

35. Halla la medida del ángulo B del triángulo de la figura.

a. 71°

A

B

C

97

63

b. 49.5°c. 38.6°d. 40.5°

36. Halla la medida del ángulo B del triángulo de la figura.

a. 53.47°

A

B

C

45

56

b. 40°c. 51.2°d. 58.5°

37. Halla la medida del ángulo P del triángulo de la figura.

a. 25.77°

P

Q

R

29 14

b. 32.4°c. 28.86°d. 30.2°

38. Halla la longitud de la hipotenusa del triángulo de la figura.

a. 189.3

P

Q

R65°

80

b. 98.6c. 165.4d. 156.6


39. Halla la medida del cateto BC del triángulo de la fi gura.

a. 19.3

A

B

C

40

20°

a

b. 14.6c. 30.8d. 13.7

40. Halla la medida del cateto AC del triángulo de la fi gura.

a. 138.56

A

B

C

160

60°

a

b

b. 80c. 74.8d. 85.1

8013.7

vii. aPlIcacIoNes.

41. Encuentra el ángulo de elevación del Sol si un joven de 1.6 metros (m) de estatura proyecta una sombra de 1.2 m.

a. 46°

1.6 m

1.2 m

b. 62°c. 59°d. 53.1°

137.4 m

53.1°

43. Desde la cúspide de un faro de 50 metros (m) de altura sobre el nivel del mar se observa que el ángulo de depresión a un bote es de 20°. Calcula la distancia horizontal del faro al bote.

a. 145 m

20º

50 m

x

b. 130.1 mc. 137.4 md. 106 m


25.2 m

45. Hay satélites lanzados a una órbita geosincrónica, lo cual signifi ca que la altitud del satélite respecto al centro de la Tierra es constante. Calcula la altitud del satélite que se muestra en la fi gura siguiente. El diámetro de la Tierra es de 12 800 kilómetros.

a. 25 600 km

30º

rAltitud

Satéliteb. 12 800 kmc. 6 400 kmd. 15 800 km

12 800 km

42. Una escalera se apoya contra la pared de un edifi cio; su pie está a 1.6 metros (m) de la pared. Calcula la longitud de la escalera si ésta forma un ángulo de 60° con el piso.

a. 2 m

1.6 m

60º

b. 2.15 mc. 3.2 md. 4.44 me. 2.39 m

3.2 m

44. A una distancia de 30 metros (m) de la base de una torre, un topógrafo observa que el ángulo de elevación a su cúspide es de 40°. Calcula la altura de la torre.

a. 20 m

h=?

40º

30 m

b. 25.2 mc. 36 md. 29 m

BLO

QU


Un avión se mueve hacia el Este. Para evitar una fuerte tormenta, el piloto gira la nave 20° hacia el Norte y vuela 60 millas. Luego hace otro giro de 120° y retoma el curso original. ¿Cuántas millas recorrió de más el avión al hacer esta maniobra de desvío? Ni más ni menos que ¡430 millas!

En este ejemplo, como en muchos otros problemas de aplicación, hay que tratar con ángulos que no son agudos, por lo que es necesario ampliar las defi-niciones de las funciones trigonométricas vistas en el bloque anterior y añadir las correspondientes a ángulos de cualquier medida.

Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida

Círculo trigonométrico unitario

OBjEtOS

dE CONOCimiENtO

172 B L O Q U E 7 FunCiones trigonométriCas


1. Ubica en el sistema de coordenadas los puntos siguientes:

a. (5, 7) b. (0, 4)c. (−2, 5) d. (−4, 0)e. (−3, −5) f. (0, −4)g. (2, −4)

y

x

2. Calcula la distancia r del origen al punto P(4, 3) de la figura siguiente.

y

x

r

O 4

3

3. En la figura siguiente, ¿cuál es la distancia no dirigida del origen al punto P(−6, 0)?

y

x−6

4. Evalúa las expresiones a. 07 y b. 4

0

5. El centro de la circunferencia siguiente está si-tuado en el origen del sistema de coordenadas. Considera que su radio es 1 y halla las coorde-nadas del punto P.

y

x30º

(0, 1)P(x, y)

6. Halla la medida del ángulo qr de las figuras si-guientes.

y

xO

150ºur

y

x360º

ur

220º

ur O

y

x

y

xO

150ºur

y

x360º

ur

220º

ur O

y

x

y

xO

150ºur

y

x360º

ur

220º

ur O

y

x

Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida

Funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal

Signo de los valores de las funciones trigonométricas

Ángulos positivos y negativos

Funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales

Ángulos coterminales

Ángulo de referencia

Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida 173

Las funciones trigonométricas pueden generalizarse para cualquier ángulo que esté en posición normal o estándar en el plano cartesiano… pero ¿cuál es esa posición?

Un ángulo está en posición normal o estándar en un sistema de coordenadas cartesianas cuando su vértice se ubica en el origen de ese sistema, uno de sus lados, el inicial, coincide con el eje x y el otro lado, denominado terminal, rota en el plano hasta alcanzar su posición final (figura 1).

O O

Iy

x

Lado term

inal

Lado inicial

y

)c)a

)d)b

xO

II

Lado terminal

Lado inicial

y

xLado inicial

Lado

term

inal

III

y

x

IV

Lado terminal

Lado inicial

u

uu

u

Figura 1. Ángulos en posición normal o estándar: el vértice se halla en el origen, el lado inicial coincide con el eje x y el lado terminal se mueve (rota) a su posición final.


Funciones trigonométricas para un ángulo en posición normalSi en la figura 2 se considera el punto P(x, y) en el plano cartesiano, el cual no coincide con el origen de coordenadas, con distancia r al origen y donde q es el ángulo generado por la semirrecta OP, las razones trigonométricas para el ángulo q se definen en la forma:

sen q = yr cot q = x

y

cos q = xy sec q = r

x

tan q = yx cosec q = r

y

signo de los valores de las funciones trigonométricasEl signo de una función trigonométrica para un ángulo en posición normal depende del cuadrante en que se sitúe su lado terminal, debido a que una o ambas coordenadas del punto P(x,y)pueden ser negativas. El valor de r siempre es positivo, ya que la distancia del origen al punto P(x,y)es no dirigida, es decir, sólo se considera su magnitud (longitud).

Determinemos a continuación el signo de las funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal en cada uno de los cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas.

Y

y

x

r

x5 abscisay5 ordenada

XO

P(x, y)

Q

u

r2 5x21y2

Figura 2.

Cuadrante ii

Cuando el lado terminal está en el segundo cuadrante, el signo de la coordenada x es negativo y el de la ordenada y, positivo; por tanto (figura 4):

sen q = y (+)r (+) signo de sen q = (+)

cos q = x (−)r (+) signo de cos q = (−)

tan q = y (+)x (−) signo de tan q = (−)

Las funciones cotangente, secante y cosecante en cual-quier cuadrante tienen el mismo signo que su función recíproca correspondiente.

Cuadrante i

En el cuadrante I todos los valores de las funciones tri-gonométricas tienen signo positivo, pues la abscisa (x) y la ordenada (y) tienen ese signo (figura 3).

SignodeloSvaloreSdelaSfuncioneStrigonométricaS

P (x, y)

Y

XO

y

x

r

u

Figura 3. Las funciones trigonométricas son positivas cuando el lado terminal del ángulo respectivo se halla en el cuadrante i del plano cartesiano.

P (x, y)

Y

XO

y

x

r

u

Figura 4. Cuando el lado terminal se halla en el segundo cuadrante, el seno de q es positivo y el coseno y la tangente, negativos.


Conclusión

Los signos de los valores de las funciones trigonométricas del ángulo q dependen del cuadrante en que se encuentre el lado terminal, según se resume en la tabla siguiente:

cuadrante senq cosq tanq cotq secq cosecq

i + + + + + +

ii + − − − − +

iii − − + + − −

iV − + − − + −

Para manejar de manera más práctica los signos de las funciones trigonométricas podemos utilizar la regla istc. De acuerdo con ella, en el primer cuadrante todas las funciones presentan igual signo (el cual es positivo); en el segundo cuadrante sólo el seno y su función recíproca son positivos, mientras que las restantes tie-nen signo negativo; en el tercer cuadrante la tangente y su función recíproca son positivas, y el resto tiene signo negativo; por último, en el cuarto cuadrante el coseno y su función recíproca presentan signo positivo, mientras que las funciones restantes son negativas.

Cuadrante iV

Cuando el lado terminal de un ángulo en posición nor-mal está en el cuarto cuadrante, la abscisa (x) tiene signo positivo, mientras que la ordenada y, negativo; por tanto (figura 6):

sen q = y (−)r (+) signo de sen q = (−)

cos q = y (+)r (+) signo de cos q = (+)

tan q = y (−)x (+) signo de tan q = (−)

Cuadrante iii

En este cuadrante las coordenadas x y ytienen ambas signo negativo; luego (figura 5):

sen q = y (−)r (+) signo de sen q = (−)

cos q = x (−)r (+) signo de cos q = (−)

tan q = y (−)x (−) signo de tan q = (+)

P (x, y)

Y

X

y

x

r

u

Figura 5. Cuando el lado terminal está en el tercer cuadrante, el seno y el coseno de q son negativos y su tangente, positiva.

Y

X

A4

5 23

P (4, 23)

Figura 6. Cuando el lado terminal está en el cuarto cuadrante, el seno y la tangente de q son negativos y su coseno, positivo.

ii i

s i

t C

iii iV


Escribe una síntesis donde expliques cuándo un ángulo está en posi-ción normal o estándar. Acompaña tu texto de un dibujo. Intercám-bialo con un compañero y coevalúen su trabajo.

eScriBir para aprender

El punto (−8, 15) está sobre el lado terminal de un ángulo q en posición nor-mal. Determina el valor de las funciones trigonométricas para dicho ángulo.

SOLUCióNSegún las coordenadas del punto dado, x = −8 y y = 15. Al usar el teorema de Pitágoras para determinar r tenemos que:

r2 = x2 + y2 Teorema de Pitágoras r2 = (−8)2 + (15)2

r2 = 289 r = 17

Al sustituir valores en las fórmulas de las funciones trigonométricas queda:

sen q = yr = 15

17

cos q = xr = −8

17 = − 817

tan q = yx = 15

−8 = 158

cot q = xx = −8

15 = − 815

sec q = rx = 17

−8 = −178

cosec q = 1715

Dado sen A = −35 , halla el valor de las demás funciones trigonométricas.

SOLUCióNLa función seno tiene signo negativo en el tercero y cuarto cuadrantes; por tanto, hay dos puntos P(x,y) donde y = −3 y r = 5, como se muestra en la figura.

ejemplo 1

P(28, 15)

x

y

r15

28 O

Y

X

AA

x x

P(x, 23)

r 5 5 r 5 5

P(x, 23)

23 23

ejemplo 2


Por consiguiente, hay dos ángulos en posición normal; cada uno de ellos puede ser el ángulo A, uno en el tercero y otro en el cuarto cuadrante.

A continuación se encuentran los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo A en el tercer cuadrante.

En este cuadrante la x presenta signo negativo y mediante el teorema de Pitá-goras se tiene que: r2 = x2 + y2 Teorema de Pitágoras (5)2 = x2 + (−3)2

25 = x2 + 9 x2 = 16 x = 4

Al sustituir estos valores en las fórmulas de las funciones trigonométricas se obtiene:

sen A = yr = −3

5 = − 35

cos A = xr = −4

5 = − 45

tan A = yx = −3

−4 = 34

cot A = 43

sec A = 5−4 = − 5

4

cosec A = −53 = 5

3

En el cuarto cuadrante la x tiene signo positivo, luego:

sen A = yr = −3

5 = − 35

cos A = xr = 4

5

tan A = yx = −3

4 = − 34

cot A = 4−3 = − 4

3

sec A = 54

cosec A = 5−3 = − 5

3

Y

X

A24

235

P (24, 23)

P(4,23)

Y

X

5

4A

23

Ángulos positivos y negativosA diferencia de la geometría, disciplina en la que se consideran únicamente ángu-los positivos, en trigonometría también los hay negativos, según la dirección en

En parejas, explica a un compañero cómo hallar el valor de las fun-ciones trigonométricas sen q, cos q, tan q, cot q, sec q y cosec q si el punto (−7, −24) está en el lado terminal de un ángulo en posición normal o estándar. Obtengan conclusiones y preséntenlas oralmente a sus compañeros. Escuchen las de otras parejas y, con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales, con base en las cuales han de coevaluar su labor.

comunicarparaaprender


que gire el lado terminal de un ángulo en posición normal respecto al sentido de las manecillas del reloj y el criterio adoptado.

En este texto consideraremos como ángulo positivo el que gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Supongamos que la posición inicial del lado terminal de un ángulo coincide con el eje x positivo; entonces, si gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj (Q), al coincidir con el eje positivo y habrá generado un ángulo de 90°; cuando coincida con el eje negativo x lo será de 180°; con el eje y negativo, de 270°; cuando regrese a su posición inicial, 360°; con el eje y positivo nuevamente de 450° (90° + 360°), y así sucesivamente.

Asimismo, si gira en la misma dirección que la de las manecillas del reloj (P) al cambiar su posición inicial (coincidente con el eje x positivo) y coincidir con el eje y negativo habrá generado un ángulo de −90°; cuando coincida con el eje x negativo, de −180°; con el eje y positivo, de −270°; cuando regrese a su posición inicial, de −360°. En la figura 7 se muestran gráficamente todos estos movimientos.

y

x

u 5 90°

y

x

u 5 180°

y

x

u 5 270°

y

x

u 5 360°

u 5 2270°

y

x

u 5 2180°

y

x

u 5 2360°

y

x

y

xu 5 290°

Figura 7. movimientos del lado terminal de un ángulo a. en sentido contrario al de las manecillas del reloj y b. en el sentido de las manecillas.

a) b)


Funciones trigonométricas del ángulo −q en términos de q

Consideremos el caso en el que el ángulo q esté en el primer cuadrante y, por consiguiente, −q en el cuarto cuadrante, como se muestra en la figura 8.

Sea P un punto cualquiera que esté en el lado terminal de q y P′ en el de −q, donde las coordenadas de P son (a, b) y las de P′(a, −b) como se muestra en la figura 9.

y

x2u

u

Figura 8. en este caso, −q está en el primer cuadrante y, por tanto, −q está en el cuarto.

y

Oxa

r

r

b

Q

2b

P (a, b)

P9(a, 2b)

2u

u

Figura 9.

Observa que los triángulos OPQ y OP′Q son congruentes; por consiguiente, OP ≅ OP′, cuya longitud de dichos segmentos representaremos con la letra r; entonces:

sen q = br sen − q = −b

r = −sen q

cos q = ar cos − q = a

r = cos q

tan q = ba tan − q = −b

a = −tan q

cot q = ab cot − q = a

−b = −cot q

sec q = ra sec − q = r

a = sec q

cosec q = rb cosec −q = r

−b = −cosec q

Lo anterior se cumple sin importar en qué cuadrante esté el ángulo −q.

Funciones trigonométricas para ángulos cuadrantalesEn principio, cabe señalar que un ángulo es cuadrantal cuando su lado terminal coincide con uno de los ejes, x o y, de un sistema de coordenadas cartesianas.

A continuación hallaremos el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantales: 0°, 90°, 180° y 270°.

Valor de las funciones trigonométricas para q = 0°

Cuando q = 0°, entonces su lado terminal coincide con el eje positivo x y la ordenada de P(x, y) es igual a cero, o sea, y = 0, como se muestra en la figura 10. Por tanto, usamos el teorema de Pitágoras para calcular r:

r2 = x2 + y2 Teorema de Pitágoras r2 = x2 + (0)2

r2 = x2

r = |x| r = x

y

xO (x, 0)

P(x, y)5P(x, 0)0°

q

Figura 10. en este caso, q = 0°, por lo que su lado terminal coincide con el eje positivo x.


De acuerdo con lo anterior, tenemos que los valores para las funciones trigono-métricas son, en este caso:

sen 0° = yr = 0

r = 0

cos 0° = xr = 1

tan 0° = yr = 0

r = 0

cot 0° es indefinida, ya que la división entre cero no existe y lo representamos con el símbolo ∞, es decir:

cot 0° = ∞

sec 0° = rx = 1

cosec 0° = ry = ∞


Cuando q = 90°, el lado terminal coincide con el eje y positivo y la abscisa del punto P(x, y) es igual a cero, esto es, x = 0, como se muestra en la figura 11. Al usar el teorema de Pitágoras para obtener el valor de r queda:

r2 = x2 + y2 Teorema de Pitágoras r2 = (0)2+ y2

r2 = y2

r = |y|De lo anterior resulta:

sen 90° = yr = 1

cos 90° = xr = 0

r = 0

tan 90° = yx = ∞ indefinida

cot 90° = xy = 0

y = 0

sec 90° = ry ∞ (indefinida)

cosec 90° = ry = 1


Cuando q = 180°, el lado terminal coincide con el semieje negativo x, como se muestra en la figura 12; entonces:

r = |x|

y= 0; luego,

sen 180° = yr = 0

r = 0

cos 180° = xr = x

|x| = −1 (recuerda que el signo de x es nega-tivo)

tan 180° = yx = 0

r = 0

cot 180° = xy ∞ (indefinida)

sec 180° = rx = |x|

x = −1

cosec 180° = ry = ∞ (indefinida)

y

x

P(x, y) 5P(0, y)

90°

Figura 11. aquí, q = 90°, por lo que su lado terminal coincide con el eje y positivo y x = 0.

y

xu 5 180°

P(x, 0)

Figura 12. en el caso de q = 180°, su lado terminal coincide con el semieje negativo x, lo que significa que el valor de x será negativo.



Cuando q = 270°, el ángulo en posición normal coincide con el semieje y negativo, como se muestra en la figura 13; por tanto, x = 0 y la ordenada y tiene signo negativo. En consecuencia:

r = |y|

sen 270° = yr = y

|y| = −1

cos 270° = xr = 0

tan 270° = yx ∞ (indefinida)

cot 270° = xy = 0

y = 0

sec 270° = rx = ∞ (indefinida)

cosec 270° = ry = |y|

y = −1

y

x

P (x, y) 5 (0, y)

u 5 270°

Figura 13. Cuando q = 270°, el ángulo en posición normal coincide con el semieje y negativo, lo que significa que x = 0 y la ordenada y tiene signo negativo.


i. Hazlasoperacionesnecesariaseindicaelvalordelasfuncionestrigonométricasapartirdelainformacióndada.

1. El punto (4, −3) está sobre el lado terminal del ángulo q en posición normal. Halla el valor de las funciones trigonométricas de q.

sen q = cot q =

cos q = sec q =

tan q = cosec q =

23

4

P(4, 2 3)

O x

y

r

En parejas, explica a un compañero, según la dirección en que gira el lado terminal, cuál es la diferencia que hay entre los ángulos q = 140° y q = −140°. Escucha atenta y respetuosamente lo que él te explique. Obtengan conclusiones y preséntenlas ante sus compañeros. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales y coevalúen su trabajo.



2. El punto (−24, 70) está sobre el lado terminal del ángulo q en posición normal. Determina el valor de las funciones trigonométricas de q.

sen q = cot q =

cos q = sec q =

tan q = cosec q =

P (224, 70)

x

y

r

224 O

70

u

25

212

x

y

r

u

3. El punto (−5, −12) está en el lado terminal del ángulo q en posición normal. Determina el valor de las fun-ciones trigonométricas.

sen q = cot q =

cos q = sec q =

tan q = cosec q =

4. El punto (20, −21) está en el lado terminal del ángulo q en posición normal. Halla el valor de las funciones trigonométricas para q.

sen q = cot q =

cos q = sec q =

tan q = cosec q =

5. El punto (−8, 15) está en el lado terminal del ángulo q en posición normal. Determina el valor de las funciones trigonométricas para q.

sen q = cot q =

cos q = sec q =

tan q = cosec q =


6. El punto (−24, −7) está en el lado terminal del ángulo q en posición normal. Halla el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo q.

sen q = cot q =

cos q = sec q =

tan q = cosec q =

7. Escribe en la tabla de abajo el signo de las funciones trigonométricas para cada uno de los cuadrantes de un sistema de coordenadas. Utiliza la regla istc.

funcióni ii iii iv

i S t c

sen

cos

tan

cot

sec

cosec

8. Halla el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantales.

Ángulo sen cos tan cot sec cosec

0°

90°

180°

270°

ii. Enlosejercicios9a12consideraqueelánguloqestáenposiciónnormaloestándar.

9. Dado sen q = − 35 , encuentra el valor de cos q si su lado terminal está en el cuarto cuadrante.


10. Dado cos q = − 513 , halla el valor de tan q si su lado terminal está en el tercer cuadrante.

11. Dado tan q = − 2021 , determina el valor de sen q si su lado terminal está en el segundo cuadrante.

12. Dado cos q = − 941 , halla el valor de tan q si su lado terminal está en el tercer cuadrante.

13. Dado tan q = 815 , encuentra el valor de cos q si su lado terminal está en el tercer cuadrante.

14. Dado sen q = 3537 , determina el valor de cos q si su lado terminal está en el segundo cuadrante.


Ángulos coterminalesSe llaman ángulos coterminales los que están en posición normal y cuyos lados terminales coinciden; por ejemplo, 60° y 780° (figura 14a), −45° y 315° (figura 14b), etcétera.

60º

a) Y

X780º

315º

245º

b) Y

X

Figura 14. Ángulos coterminales: están en posición normal y sus lados terminales coinciden, como los ángulos de a. 60° y 780°, o b. −45° y 315°.

Observa que:780° = 60° + 2(360°)

−45° = −45° + (360°)

Las funciones trigonométricas repiten sus valores con cada incremento o dismi-nución de la medida del ángulo en 360°; es decir, son iguales para el ángulo q y para q ± 360n, donde n es un entero positivo cualquiera. Esto se debe a que q y q ± 360 son ángulos coterminales.

Los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 390°, 750°, 1110°, −330° y −690° son iguales. Observa lo siguiente:

390° = 300° + 360°

750° = 30° + 2(360°)

1110° = 30° + 3(360°)

−330° = 30° − 360° −690° = 30° − 2(360°)

En conclusión,si dos o más ángulos son coterminales, los valores de las funciones trigonométricas que les corresponden son iguales.

ejemplo 3

Tú decides: Chuy afirma que los ángulos A = −20° y B = 1060° son coterminales, mientras que Carlos sostiene lo contrario. ¿Quién tiene razón? Organiza un debate breve, en el que el profesor hará las veces de moderador. Al exponer argumentos, cada equipo debe explicar qué es un ángulo coterminal y, sobre esa base, sostener su postura.

comunicar(ydeBatir)paraaprender


Ángulo de referenciaSe llama ángulodereferencia al ángulo agudo que forma el lado terminal de un ángulo q en posición normal con el eje x de un sistema de coordenadas. El ángulo de referencia se representa con q r.

En la figura 15 se muestra el ángulo de referencia q r para el ángulo q en posi-ción normal en cada uno de los cuadrantes.

Determina,encadacaso,silosparesdeángulosqueseindicansoncoterminaleseindícaloescribiendocotenlalínea.

1. 0° y 720° = 2. 675° y 1035° =

3. 400° y 1480° = 4. −80° y −1160° =

5. 320° y 1860° = 6. −50° y −1130° =

7. −60° y 660° = 8. −20° y 1060° =

9. −180° y 180° = 10. 0° y −360° =


yy

yy

xx

xx

rr

O O

OO

a)

c)

b)

d )

5 r r

r 5 360 2 ur

r 5 r 5 180 2

r 5 2 180°

P (x, y)P (x, y)

P (x, y)P (x, y)

Figura 15. Ángulo de referencia, q r.

Según el cuadrante donde está el lado terminal de un ángulo en posición nor-mal, la medida de su ángulo de referencia está dada por:

q r = q si 0° < q < 90° q r = 180° − q si 90° < q < 180° q r = q − 180° si 180° < q < 270° q r = 360° − q si 270° < q < 360°

Para hallar el ángulo de referencia, en caso de que q sea mayor que 360°, se le restan múltiplos de 360° hasta reducirlo a un ángulo comprendido entre 0° y 360°, y a continuación se aplica la fórmula correspondiente según el cuadrante donde quedó el lado terminal del ángulo reducido.


Si es un ángulo negativo se le suman múltiplos de 360° hasta reducirlo a un ángulo comprendido entre 0° y 360°, y después se aplica la fórmula correspondiente según el cuadrante donde haya quedado el lado terminal del ángulo reducido.

El ángulo de referencia puede utilizarse para hallar los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo q, cuando está en su posición normal, siguiendo el procedimiento descrito a continuación:

1. Se determina el ángulo de referencia (q r).2. Se halla el valor de la función trigonométrica indicada para qr.3. Se determina, por medio de la regla istc, el signo de la función trigono-

métrica cuyo valor se quiere encontrar.4. El valor de una función trigonométrica de q es igual al valor para el ángulo

de referencia (q r) anteponiendo el signo de q correspondiente, según el cuadrante donde está su lado terminal.

Enseguida se presentan algunos ejemplos de la determinación del ángulo de refe-rencia.

Determina lo que se indica en cada caso a partir de los datos siguientes:

sen 50° = 0.766 cos 50° = 0.643 tan 50° = 1.1917

a. Halla sen 230°.

SOLUCióNEn este caso tenemos: q r = 230° − 180° q r = 50° sen q r = 0.766 sen q = −sen qr

sen q = −0.766 (Recuerda: como indica la regla istc, el seno es negativo en el III cuadrante)b. Halla tan 310°.

SOLUCióN

q r = 360° − 310° q r = 50° tan q r = 1.1917 tan q = −tan q r

tan q = −1.1917 (Recuerda: la tangente es negativa en el IV cuadrante)

c. Halla cos (−230°).

SOLUCióN

cos(−230°) = cos(−230° + 360°) cos(−230°) = cos(130°) q r = 180° − 130° q r = 50° cos q r = 0.643 cos 130° = −0.643

cos(−230°) = −0.643 (Recuerda: el coseno es negativo en el II cuadrante)

ejemplo 4

230ºx

y

r

310ºx

y

r 5 50º

2230ºx

y

r


Escribe un resumen donde expliques cómo hallar el ángulo de refe-rencia (q r) de un ángulo q en posición normal si su lado terminal está a. en el cuadrante II; b. en el cuadrante III; c. en el cuadrante IV, y d. en el cuadrante I. Lee tu texto en voz alta ante tus compañeros y escucha el de algunos de ellos. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones, con base en las cuales has de evaluar tu trabajo.


III

i. Hallaelángulodereferenciadelosángulosindicados.

1. 132°.

2. 217°.

3. 285°.

4. 116°.

5. 302°.

6. 318°.

7. −45°.

8. −100°.

Actividades de aprendizaje

qr =qr =

qr =qr =

qr =qr =

qr =qr =


ii. Utilizalatablasiguiente,elconceptodeángulodereferenciaylareglaistcparahallarlosvaloresdelafuncióntrigonométricapara losángulosquese indican.

30° 45° 56° 70° 15°

sen 0.5 0.707 0.829 0.9397 0.2588

cos 0.866 0.707 0.5592 0.342 0.966

tan 0.5773 1 1.4825 2.7474 0.268

9. −265°.

13. 846°.

14. −1285°.10. −296°.

15. −1400°.

11. 1465°.

16. −786°.

12. 2853°.

qr =qr =

qr =qr =

qr =qr =

qr =qr =


funciónq

senq cosq tanq cotq secq cosecq

210°

345°

236°

110°

495°

930°

124°

970°

−210°

−1496°

1020°

−45°

−124°

−345°

iii.Evalúa lasexpresiones trigonométricassiguientes.

1. sen 0° + 3 cos 0° + sen 90° − 2 cos 180.

2. sen 75° − 4 sen 35° + cos 180° + 3 sen 90°.

6 −1.22474

3. tan 45° + 5 sen 60° − 2 cos 0° + 3 cos 180°.

0.67162 1

5. 2 sen 90° − 3 cosec 270° − 5 cos 180° + 2 tan 180°.

4.5 1

6. 5 sen 90° − 4 cos 0° − 2 cos 180° + 8 sen 180°.

7. cos 465° + cos 165°.

8. sen 30° cos 60° + sen 60° cos 30°.

9. cos 30° cos 60° − sen 30° sen 60°.

10. sen2 50° + cos2 50°.

11. sen2 75° + cos2 75°.

12. tan 50° + tan 10°1 − tan 50° tan 10°

10 1

3 1.732

4. sen 90° − sen 180° + 5 sen 30° + cos 90° − cos 180°.

0.3301 0

Círculo trigonométrico unitario 191

Consideremos ahora un ángulo q en posición normal o estándar en el primer cua-drante de un sistema de coordenadas, de manera que su vértice coincida con el centro de un círculo unitario, el cual corta el lado inicial OX de dicho ángulo en el punto A, el lado terminal en B y el eje y en C, como se muestra en la figura 16.

Tracemos el segmento de recta BD perpendicular al semieje positivo OX, y las tangentes a la circunferencia en los puntos A y C hasta que intersequen el lado terminal del ángulo q o sus prolongaciones a través de O en los puntos E y F, respectivamente, como se muestra en la figura 17.


Radián

Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente

identidades trigonométricas fundamentales


Se llama círculo trigonométrico unitario aquel cuyo centro coincide con el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y cuyo radio tiene una longitud igual a la unidad.

Y

Xr = 1 O

C B

A

u

Figura 16. el vértice del ángulo q, que está en posición normal, coincide con el centro de un círculo unitario.

Y

Xr = 1 O

C

B

E

F

AD

u

Figura 17.

Observa en esa figura que por el criterio de semejanza de triángulos AA se demuestra que los triángulos OBD, OFAyOCEson semejantes:

• ∠BOD≅∠AOF porque es ángulo común a los triángulos BOD y AOF• ∠BOD≅∠OEC porque son alternos internos• ∠ODB≅∠OAF≅∠OCEporque son ángulos rectos

Con base en lo anterior y con las definiciones de las funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal en el primer cuadrante tenemos que (figura 18):


sen q = BDOB = BD

1 = BD cot q = ODBD = CE

OC = CE

cos q = ODOB = OD

1 = OD sec q = OBOD = OF

OA = OF1 = 1

tan q = BDOD = AF

OA = AFr = AF cosec q = OB

OD = OEOC = OE

seca

nte

cose

cant

e

cot

FOE = cosec u

O

O9

O

D A X

B

C

E9

cos

seno tang

ente

E

F9

u

Figura 18. Funciones trigonométricas en el círculo unitario.

Como se observa en la figura 18, el círculo trigonométrico unitario permite repre-sentar el valor de una función trigonométrica como la longitud de un segmento de recta. En los otros cuadrantes la representación lineal de los valores de las funciones trigonométricas se obtiene de manera análoga.

El valor de una función está dado por la longitud del segmento de recta corres-pondiente, en tanto que el signo está dado por la dirección indicada. (Podemos aplicar la regla istc.) El signo tanto de OE como de OF se considera positivo cuando se miden en el lado terminal del ángulo, y negativo cuando se miden en la prolongación de dicho lado (figura 19).

II cuadrante III cuadrante IV cuadrante

sen AOB = BD sen AOB = −BD sen AOB = −BDcos AOB = −OD cos AOB = −OD cos AOB = ODtan AOB = −AF tan AOB = −AF tan AOB = −AFcot AOB = −CE cot AOB = CE cot AOB = −CEsec AOB = −OF sec AOB = −OF sec AOB = OFcosec AOB = OE cosec AOB = −OE cosec AOB = −OE

EF

B

C

DO

A

b)

X

Y

E

F

B

D

C

O A

a)

X

Y

B

E

F

D

C

O A

c)

X

Y

Figura 19. Funciones trigonométricas en el círculo unitario y en los cuadrantes ii a iV.


radiánA fin de comprender cabalmente las gráficas de las funciones seno, coseno y tan-gente respecto al círculo unitario debes aprender primero el concepto de radián. Como dijimos en el bloque 2, para medir la magnitud de un ángulo generalmente se utilizan dos sistemas: sexagesimal y circular. La unidad del sistema sexagesi-mal es el grado, en tanto que la del circular es el radián. Cabe preguntar ¿qué es un radián?

relación entre grados sexagesimales y radianesPuesto que el radián tiene como lados dos radios y subtiende un arco de igual longitud que un radio, entonces, en una circunferencia hay 2pr

r , lo que equivale a 2p , es decir:

2p (1 rad) = 360° 1 rad = 360°

2p

1 rad = 180°p = 57.3° = 57° 17′ 45″ = 57.3°

por tanto, se concluye que para convertir radianes en grados sexagesimales se multiplica por 180° y se divide entre p , o bien, se multiplica por 57.3°.

Por su parte, para convertir grados en radianes se multiplica por p y se divide entre 180°, o bien, se divide entre 57.3°. Veamos estos ejemplos:

a. 3 radianes equivalen a 3 180°p = 171.9°

b. 40° equivalen a 40 p180° rad = 2p

9 rad ≅ 0.7 rad

c. 120° equivalen a 120 p180° =

2p

9 rad = 2.093 rad

Longitud de un arco subtendido por un ángulo central

Si en la figura 21 r representa la longitud del radio de la circunferencia y S la del arco subtendido por un ángulo central q, entonces la medida de q en radianes se define por la expresión:

q = sr luego S = rq

Radián

En la figura 20 el punto O es el centro de la circunferencia y los segmentos OB y OA son radios de ésta. Si la longitud del arco AB es de igual magnitud que el radio, entonces, por definición, el ángulo x es un radián.

Figura 20. un radián.

O

r

r

A

B

x

A

B

S

r

O

r

θ

Figura 21.


Halla la longitud de un arco que subtiende un ángulo central de 40° perteneciente a una circunferencia de radio igual a 10 centímetros.

SOLUCióNSabemos que S = rq. Como q debe estar expresado en radianes, entonces q =

40° p180° radianes.

ejemplo 5

Comunicar para aprender

En parejas, define con tus propias palabras el concepto radián. Escucha la definición de tu compañero y obtengan conclusiones. Preséntelas ante el grupo y, con la guía del profesor, coevalúen su trabajo.

gráficas de las funciones seno, coseno y tangenteSi t es un número real que representa la medida, en radianes, de un ángulo central (q ) que subtiende un arco con punto inicial A(1, 0) y con punto final P(x, y) sobre un círculo trigonométrico unitario (véase la figura 16), entonces, de acuerdo con las definiciones de las funciones trigonométricas seno y coseno, en términos de un círculo unitario, tenemos que:

sen q = sen t = yr = y

1 = y; luego: y = sen t

cos q = cos t = xr = x

1 = x; luego: x = cos t

En la figura 22 se muestran estas relaciones.Por consiguiente, el punto P(x,y) se puede denotar por P(cos t, sen t), como

se muestra en la figura 23.Con base en lo anterior, cada número real t determina un par de números

ordenados (cos t, sen t). El conjunto de todas las parejas ordenadas (t, cos t) se llama funcióncosenosobrelosnúmerosreales, mientras que el conjunto de los pares ordenados (t, sen t) se denomina funciónsenosobre losnúmerosreales.

y

P (x, y)(0, 1)

(−1, 0)A(1, 0)

(0, 21)

u = t xt

Figura 22.

y

x

P (cos t, sen t)(0, 1)

(−1, 0)

A(1, 0)

(0, −1)

= tt

U

u

Figura 23. Coordenadas del punto P de la figura 22 expresadas en términos de funciones trigonométricas.

O r = 10 cm= 40°

B

S

Aθ

q = 2p

9 rad

q = 0.698 rad.

También podemos proceder así:

q = 4057.3 rad = 0.698 rad

Como q = 0.698 rad y r = 10 cm, entonces:

S = 10(0.698) S = 6.98


Si hacemos que t aumente de 0 a 2p radianes, el punto P(x, y) gira alrededor del círculo unitario en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Al analizar el modelo de cambio de las coordenadas del punto P(x, y) se observa lo siguiente:

variacióndet sent cost

de 0 a p2 (de 0° a 90°) aumenta de 0 a 1 disminuye de 1 a 0

de p2 a p (90° a 180°) disminuye de 1 a 0 disminuye de 0 a −1

de p a 3p2 (de 180° a 270°) disminuye de 0 a −1 aumenta de −1 a 0

de 3p2 a 2p (de 270° a 360°) aumenta de −1 a 0 aumenta de 0 a 1

En la figura 24 se advierten estas variaciones.Para valores mayores que 2p radianes o menores que cero, los valores de sen

t y cos t se repiten siguiendo como modelo los valores de dicho intervalo; es decir, las funciones seno y coseno son periódicas, con periodo 2p. En general, tenemos esta propiedad periódica: si n es cualquier número entero, entonces:

sen(t + 2pn) = sen tcos(t + 2pn) = cos t

La variación y periodicidad de la función seno y la función coseno se pueden describir trazando sus gráficas, lo cual haremos a continuación.

Gráfica de la función seno

En la tabla siguiente se muestran las coordenadas de varios puntos correspon-dientes a la función seno y = sen t en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2p radianes.

t 0p6

p3

p2

2p3

5p6 p

7p6

4p3

3p2

5p3

11p6 2p

y = sen t 0 0.5 0.866 1 0.866 0.5 0 −0.5 −0.866 −1 −0.866 −0.5 0

La gráfica de y = sen t para el intervalo 0 ≤ t ≤ 2p se obtiene uniendo los puntos cuyas coordenadas se dan en la tabla anterior, como se muestra en la figura 25.

90º

0º

270º

−180º

(0, 1)

(−1, 0) (1, 0)

P(0, −1)

Figura 24.

p

t

y

1

−1

0

y 5 sen t para el intervalo 0 ≤ t ≤ 2p radianes

p

3p

2

2p

3

3p

2

5p

6

4p

3

5p

3

11p

6

7p

6

p

62p

Figura 25. gráfica de la función y = sen t para el intervalo 0 ≤ t ≤ 2p radianes.


Como la función es periódica con periodo 2p, el trazo se repite siguiendo el mismo modelo a la derecha y a la izquierda de la gráfica obtenida en intervalos de 2p, como se advierte en la figura 26.

y

1

−1−p 2p 3p 4pp

0− 2p −3p

2

−p

2

p

2

3p

2

5p

2

7p

2 t

Figura 26. La función y = sen t tiene periodo de 2p, es decir, cada 2p su trazo se repite.

p 2p

t

y

1

−1

0

y = cos t; 0 ≤ u ≤ 2π

p

3

p

6p

2

2p

3

5p

6

4p

3

7p

6

3p

2

5p

3

Figura 27. gráfica de la función y = cos t para el intervalo 0 ≤ t ≤ 2p radianes.

Gráfica de la función coseno

Si se sigue el mismo método que en la sección anterior puede trazarse la gráfica de la función coseno. En la tabla siguiente se enumeran coordenadas de varios puntos que corresponden a la función y = cos t en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2p radianes.

t 0p6

p3

p2

2p3

5p6 p

7p6

4p3

3p2

5p3

11p6 2p

y = cos t 1 0.866 0.5 0 −0.5 −0.866 −1 −0.866 −0.5 0 0.5 0.866 1

La gráfica de la función y = cos t en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2p radianes, la cual se muestra en la figura 27, se obtiene uniendo los puntos cuyas coordenadas se dan en la tabla anterior.

Como la función coseno es periódica con periodo 2p, entonces el trazo se repite a la izquierda y a la derecha siguiendo el mismo modelo a la anterior en intervalos de 2p (figura 28).


Gráfica de la función tangente

En la tabla siguiente se enumeran las coordenadas de diferentes puntos corres-pondientes a la función y = tan t para valores de t en el intervalo de − p2 a p2 radianes.

t − p2

− p3

− p4

0 p4

p3

p2

y = tan t indefinida −1.73 −1 0 1 1.73 indefinida

Como la función y = tan t es indefinida para t = − p2 y t = p2 , entonces veamos qué pasa con el valor de esta función cuando t toma valores menores que p2 , pero muy próximos a este número, y valores mayores que − p2 , pero muy próximos también a este número.

p2 = 90°; luego − p2 = −90°; luego

tan 89.9 = 572.95 tan (−89.9) = −57295

tan −89.9 = 5729.5 tan (−89.99) = −5729.5

tan (89.99) = 5729.5 tan (−89.999) = −57295

tan 89.999 = 57295 tan (−89.9999) = −572957.7

tan 89.9999 = 572957.7 tan (−89.99999) = −5729577

tan 89.99999 = 5729577

Al analizar lo anterior se nota que el valor de y = tan t crece sin límite cuando los valores de tse acercan cada vez más a p2 (con t< p2 ); es decir, crece indefi-nidamente. Asimismo, se advierte que cuando t se aproxima cada vez más a − p2 (con t>− p2 ) el valor de la función decrece sin límite.

Si se unen los puntos cuyas coordenadas se dan en la tabla anterior y se con-sidera el comportamiento de la función para valores próximos a − p2 y a p2 para t > − p2 y t < p2 se obtiene la gráfica (figura 29), la cual describe la variación de y = tan t en el intervalo − p2 < t< p2 .

Las rectas punteadas t=− p2 y t= p2 reciben el nombre de asíntotasverticales de la función, y su principal característica (como aprenderás en un curso posterior de matemática) es que nunca se cortan con la gráfica de la función, es decir, no tienen puntos en común.

La función y = tan t es periódica con periodo p; por tanto, el mismo modelo se repite, entre otros, en los intervalos que se indican en la figura 30.

−2p −p−1

1

p 2p 3p 4p

y

t

Figura 28. La función y = cos t tiene periodo de 2p, es decir, cada 2p su trazo se repite.

3

2

1

1

−1

−2

−3

y

− p

2− p

4− p

3O

p < t < p2 2

p

2

p

3

p

4

y = tan t; −

Figura 29. gráfica de y = tan t en el intervalo − p2 < t p2 .


identidades trigonométricas fundamentalesEntre las funciones trigonométricas existen diferentes relaciones, las cuales se expresan por medio de las denominadas identidadestrigonométricas. Algunas de éstas, realmente fundamentales, son las siguientes.

y

3

2

1

0t

y = tan t

− 3p

2

3p

2

5p

2

p 2

− p

− p

2

Figura 30. La gráfica de y = tan t tiene por un periodo de p.

identidades recíprocas

1. sen q csc q = 12. cos q sec q = 13. tan q cot q = 1

identidades en forma de cociente

4. tan q = sen qcos q

5. cot q = cos qsen q

identidades Pitagóricas

6. sen2 q + cos2 q = 17. sec2 q = 1 + tan2 q8. cosec2 q = 1 + cot2 q

A continuación utilizaremos las definiciones de las funciones trigonométricas y el círculo unitario para demostrar las identidades trigonométricas en forma de cociente y las pitagóricas.


dEmOStRACióN dE LA idENtidAd tRiGONOmétRiCA tan q = sen qcos q

De acuerdo con la definición de la función tangente para el ángulo q en posición normal en el círculo unitario tenemos que:

tan q = yx

Como hemos visto, respecto a la figura 31 las coordenadas del punto P(x, y) son x = cos q y y = sen q ; por tanto:

tan q = yx = sen q

cos q


tan q = sen qcos q

Análogamente se demuestra que cot q = cos qsen q

dEmOStRACióN dE LA idENtidAd PitAGóRiCA sen2 q + cos2 q = 1Con base en el teorema de Pitágoras y el círculo unitario de la figura 32 tenemos que:

x2 + y2 = 1

sen q = x, luego sen2 q = x2

cos q = y, luego cos2 q = y2

De acuerdo con lo anterior:x2 + y2 = 1, o sea

sen2 q + cos2 q = 1

dEmOStRACióN dE LA idENtidAd PitAGóRiCA sec2 q = 1 + tan2 qDe acuerdo con la definición de la función secante para el ángulo q en posición normal en el círculo unitario tenemos que:

sec q = rx = 1

x ; luego

sec2 q = 1x

2 = 1

x2 ; entonces

sec2 q = 1 + tan2 q

1x2 = 1 + sen2 q

cos2 q

1x2 = 1 +

y2

x2

1x2 = x2 + y2

x2

1x2 = 1

x2

dEmOStRACióN dE LA idENtidAd cosec2 q = 1 + cot2 qDe acuerdo con la definición de las funciones trigonométricas cosec q y cot q para el ángulo q en posición normal o estándar en el círculo unitario y respecto a la figura 33 tenemos que:

cosec2 q = r2

y2 = 1y2

cot q = xy ; luego

cot2 q = x2

y2

y

x

P(x, y)

r = 1

u

Figura 31.

y

x

P(x, y)

r = 1

u

Figura 32.

y

x

P(x, y)

u

Figura 33.


Entonces demostremos que:

1y2 = 1 + x2

y2

1y2 = y2 + x2

y2

1y2 = 1

y2

Escribe un resumen donde expliques cuál es el comportamiento de las funciones 1. y = sen xy 2. y = cos xcuando x varía de:

a. 0 a p2 radianes (de 0° a 90°)

b. p2 a p radianes (de 90° a 180°)

c. p a 3p2 radianes (de 180° a 270°)

d. 3p2 a 2p radianes (de 270° a 360°)

Léelo en voz alta a tus compañeros y escucha el de algunos de ellos. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones, con base en las cua-les debes evaluar tu texto.


IV

i. Enlascircunferenciasunitariassiguienteshalla lascoordenadasdelpuntoP(x,y).

3. 1. y

x30º

P(x, y)

y

x60º

P(x, y)

Actividades de aprendizaje


y

x20º

P(x, y)

y

x45º

P(x, y)

2. 4.

En parejas, explica a un compañero cómo hallar las coordenadas del punto P(x, y) de la circunferencia unitaria de la figura siguiente. Escu-cha lo que él te diga. Obtengan conclusiones y preséntenlas al grupo. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales, con base en las cuales han de coevaluar su trabajo.


y

x50º

P(x, y)


i. Consideraqueel ladoterminaldeunánguloAenposiciónnormalsehallaenelpunto(−24,70)yresuelve losproblemas1,2y3.Elige laopcióncorrecta.


1. Determina sen A.

a. 1237

b. 1233

c. 1235

d. 3537

e. 3735

2. Determina cos A.

a. 3537

b. −1237

c. 1237

d. −3512

e. 3512

3537

3. Determina tan A.

a. 3512

b. −3512

c. 1235

d. −1235

e. 3514

4. Halla cos A.

a. 1519

b. −1715

c. −1517

d. 1517

e. −1519

ii. Consideraqueel ladoterminaldelánguloAenposiciónnormalsehallasobreelpunto(−15,−8)yresuelve losproblemas4a6.

5. Halla sen A.

a. −815

b. −158

c. 815

d. 158

e. − 817


6. Halla tan A.

a. −85

b. −158

c. 815

d. 158

e. 1517

7. Halla el ángulo de referencia del ángulo que mide 312°.

a. qr = 52°b. qr = 48°c. qr = 46°d. qr = 44°

8. Halla el ángulo del referencia del ángulo q = 144°.

a. 54°b. 35°c. 34°d. 36°

9. Determina el ángulo de referencia del ángulo q = 218°.

a. 36°b. 38°c. 54°d. 52°

10. Determina el ángulo de referencia del ángulo q = 298°.

a. 28°b. 72°c. 52°d. 62°

11. Halla el ángulo de referencia del ángulo q = 950°.

a. qr = 30°b. qr = 40°c. qr = 60°d. qr = 50°e. qr = 20°


18. Dado tan q = −2.1445, halla la medida del ángulo q si su lado terminal está en el cuarto cuadrante.

a. 345°b. 295°c. 325°d. 315°e. 305°

12. Halla el ángulo de referencia del ángulo q = −1065°.

a. 18°b. 25°c. 15°d. 20°

13. Encuentra el ángulo de referencia del ángulo q = −960°.

a. qr = 30°b. qr = 60°c. qr = 55°d. qr = 65°

14. Halla el ángulo de referencia del ángulo q = −1840°.

a. qr = 70°b. qr = 50°c. qr = 60°d. qr = 40°

15. Dado sen q = −0.86602, halla la medida del án-gulo q si su lado terminal está en el tercer cua-drante.

a. 300°b. 230°c. 255°d. 240°e. 220°

16. Dado cos q = −0.93969, halla la medida del ángu-lo q si su lado terminal está en el segundo cua-drante.

a. 20°b. 160°c. 200°d. 150°e. 340°

17. Dado cos q = -0.96592, halla la medida del án-gulo q si su lado terminal está en el tercer cua-drante.

a. 195°b. 345°c. 165°d. 205°e. 215°


iii. Utiliza la tabla siguiente y el ángulo de referencia para determinar el valor de las funciones trigonométricasquese indican(problemas19a29).Elige laopcióncorrecta.

q 15° 20° 30° 45°

sen q 0.2588 0.342 0.5 0.707

cos q 0.9659 0.9397 0.866 0.707

tan q 0.2679 0.3640 0.5773 1

19. Halla tan 165°.

a. 0.2679b. 0.3640c. −0.2679d. −0.3640e. −0.5773

22. Halla cot 520°.

a. 0.364b. −0.364c. −2.7474d. 2.7474e. 3.7327

20. Halla sen 200°.

a. −0.2588b. −0.5c. −0.342d. 0.342e. −0.866

23. Halla sen 930°.

a. −0.5b. 0.5c. −0.866d. 0.866e. −0.342

21. Halla cos 300°.

a. 0.5b. −0.5c. −0.866d. −0.707e. 0.866

24. Halla sen 1065°.a. −0.342b. 0.342c. −0.2588d. 0.2588e. −0.707


25. Halla sec 880°.a. −1.064b. 1.064c. −1.035d. 1.035e. 1.1547

29. Halla tan −195°.

a. −0.2679b. −0.364c. 0.2679d. 0.364e. −0.5773

26. Halla cosec 945°.

a. 1.4142b. 3.864c. −1.4142d. −3.864

30. Determina el valor de cot 230°.

a. 1.1975b. 0.8081c. 0.8391d. −0.8391e. 0.9653

27. Halla sen −420°.

a. −0.5.b. 0.5.c. −0.866d. 0.866e. 0.9397

31. Determina el valor de sec 415°.

a. −1.7434b. 1.7434c. 1.2207d. −1.2207e. 1.19175

28. Halla cos −470°.

a. −0.9397b. 0.9397c. −0.707d. −0.342e. 0.342

32. Determina el valor de cosec −140°.

a. 0.64278b. −1.3054c. 1.3054d. 1.5557e. −1.5557


y

x135º

P(x, y)

33. Determina el valor de cosec 2p (el ángulo 2p está expresado en radianes).

a. 1b. –1c. 0d. 2e. indefinido

34. Determina el valor de cot 4p3 4p

3 radianes .

a. −1.732b. −1.8516c. 1.732d. 1.8516e. 0.5773

35. Determina el valor de sec 3p (3p rad).

a. 0b. 1c. −1d. 3

iv. Determina loquese indicaencadacaso.Elige laopcióncorrecta.

36. Halla las coordenadas del punto P(x, y) de la circunferencia unitaria de la figura siguiente.

a. P 1√2

, 1√2

b. P 1√2

, − 1√2

c. P − 1√2

, − 1√2

d. P − 1√2

, 1√2



a. P 12 , − √3

2

b. P − √32 , − 1

2

c. P − 12 , − √3

2

d. P − 12 ,− √3

2


a. P − √32 , 1

2

b. P √32 , − 1

2

c. P − 12 , √3

2

d. P 12 , − √3

2

y

x210º

P(x, y)

y

x300º

P(x, y)

BLO

QU


Un topógrafo necesita calcular la distancia del estrecho de un río. Se encuentra parado en un punto de la orilla y la línea de observación de un árbol situado en la margen opuesta. Luego camina 90 metros hacia el Este, a lo largo de la orilla con la línea de observación del mismo árbol. En la figura de la página siguiente se muestran las mediciones que obtuvo. ¿Cuál es la distancia del estrecho?

Para resolver problemas como éste donde aparecen triángulos oblicuángu-los, es decir, que no son rectángulos, podemos emplear funciones trigonomé-tricas. Dos métodos que se usan son la ley de los senos y la ley de los cosenos, temas que aprenderás en este bloque.

Solución de triángulos oblicuángulos

Resolución de triángulos oblicuángulos

OBjEtOS

DE COnOCimiEntO

210 B L O Q U E 8 Solución de tRiánguloS oblicuánguloS


80º 85º

Este

90 m

Árbol

1. Dada la expresión c2 = a2 + b2 – 2ab cos C, halla el valor de c si a = 7, b = 4 y ∠C = 52°.

3. Si sen 47º14 = sen 33º

x , halla el valor de x.

5. Si sen Ax = sen 47º

14 , halla la medida del ángulo A.

7. Determina la medida del ángulo A del triángulo de la fi gura siguiente.

15

12

60º

A

C

B

2. Dada la expresión c2 = a2 + b2 – 2ab cos C, deter-mina el valor de c si a = 12, b = 13 y ∠C = 120°

4. Si cos A = −0.5, determina la medida del ángulo A.

8. Dada la expresión c2 = a2 + b2 − 2ab cos C, re-suelve para cos C.

9. Dada la expresión a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, re-suelve para cos A.

15

20

120º

A

CB

D

6. Halla la longitud de la diagonal AC del parale-logramo de la fi gura siguiente.

Resolución de triángulos oblicuángulos 211

Resolución de triángulos oblicuángulos

Casos ambiguos

Por medio de las funciones trigonométricas que aprendiste en el capítulo ante-rior es posible establecer determinadas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera. Estas relaciones se utilizan para resolver triángulos oblicuángulos y se expresan mediante las dos leyes siguientes:

• Ley de los cosenos• Ley de los senos

En los párrafos siguientes se definen y explican ambas leyes.

Ley de los cosenos

El cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los otros dos lados, menos el doble del pro-ducto de la longitud de dichos lados, por el coseno del ángulo que éstos formarán.

Si a, b y c son las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera, y C denota la medida del ángulo comprendido entre los lados de longitud a y b (figura 1), se tiene que c2 = a2 + b2 − 2ab cos C, que es la expresión matemá-tica de la ley de los cosenos.

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

Ley de los senos

Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Si a, b y c son las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera y A, B y C son, respectivamente, los ángulos que se oponen a dichos lados, enton-ces se tiene la relación siguiente, que no es otra que la ley de los senos:

asen A = b

sen B = csen C

o también:sen A

a = sen Bb = sen C

c

Asimismo, de acuerdo con la figura 1 tenemos que:

b2 = a2 + c2 − 2ac cos Ba2 = b2 + c2 − 2ac cos A

En la resolución de triángulos oblicuángulos, la ley de los cosenos resulta de gran utilidad cuando se conocen dos lados y la magnitud del ángulo comprendido entre ellos, o cuando se conocen sus tres lados.

B

A C

c a

b

Figura 1.

B

A C

c

b

a

Figura 2.


En la solución de triángulos oblicuángulos la ley de los senos es muy útil cuando se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos, o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

casos ambiguosCuando se quiere resolver un triángulo oblicuángulo en el que se conocen un ángulo, su lado opuesto y uno de sus lados adyacentes, existen cuatro posibili-dades de respuesta. En la figura 3 se muestran estas posibilidades; en cada una de ellas se presentan los datos siguientes: el ángulo A, su lado opuesto a y un lado adyacente a ese ángulo (es decir, uno de los lados que lo forman), que hemos designado x.

a. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente.ejemplo 1

A C

B

c

46

75

135°

SOLUCiónSe determina primero la longitud de AB mediante la ley de los cosenos. Puesto que AB = c, entonces:

c2 = (46)2 + (75)2 − 2(46)(75) cos 135° c2 = 2116 + 5625 − (−4879.0) c2 = 2116 + 5625 + 4879.0 c2 = 12 620 c = √12620 c = 112.3

A

x a b

A b

xa

xa

A

x

A

a

b

Figura 3. a. Si x sen A < a < b, entonces hay dos soluciones. b. no existe triángulo si a < x sen A. c. Si a ≥ x, existe una sola solución. d. una solución si a = sen A.

a.

c.

b.

d.


Para hallar la medida del ángulo A se utiliza la ley de los senos. De acuerdo con la figura de este ejemplo:

sen Aa = sen C

c

sen A75 = sen 135º

112.3

sen A = 75 (sen 135º)112.3

sen A = 75 (0.7071)112.3

sen A = 0.47224

A = sen−1 0.47224

A = 28.2º

A continuación se determina la medida del ángulo B:

m∠A + m∠A + m∠C = 180° 28.2 + m∠A + 135 = 180°

de donde resulta:

m∠B = 16.8°

Resuelve el triángulo oblicuángulo de la figura siguiente.ejemplo 2

74

35

50

A C

B

SOLUCiónSe halla primero la medida del ángulo C. Con base en la ley de los cosenos:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

c2 + 2ab cos C = a2 + b2

2ab cos C = a2 + b2 − c2

cos C = a2 + b2 − c2

2ab

cos C = (50)2 + (35)2 − (74)2

2(50)(35)

cos C = 2500 + 1225 − 54763500

cos C = −0.500

∠C = cos−1 (−0.500)

C = 120º

A continuación se determina la medida del ángulo B mediante la ley de los senos:sen B

b = sen Cc

sen B = b sen Cc


sen B = 35 sen 120º74

sen B = 0.4096

B = arc sen−1 0.4096

B = 24.2º

Por tanto, ∠A = 35.8° (ya que ∠A = 180° − ∠B − ∠C).

Resuelve el triángulo oblicuángulo mostrado en la figura siguiente.ejemplo 3

ejemplo 4

B

CA

c

b 550

a

40° 70°

B

CA

25

28

60°

SOLUCiónDe acuerdo con la figura, B = 70°; por tanto, b = c, o sea, c = 50. (En un triángulo, a ángulos congruentes corresponden lados opuestos de igual longitud.)

Por la ley de los senos se tiene:

sen Aa = sen B

50 , o sea

sen 40ºa = sen 70º

50 ; luego

50 sen 40º = a sen 70º, de donde

a = 50 sen 40sen 70º

a = 34.2

Halla la medida del ángulo A del triángulo mostrado en la figura siguiente.

SOLUCiónDe acuerdo con la ley de los senos se tiene que:

sen A25 = sen B

28

sen A = 25 sen (60º)28

sen A = 0.77324

∠A = sen−1 0.77324

∠A = 50.6º



i. Resuelve los ejercicios siguientes. Elige la opción correcta.

1. Halla la longitud del lado AB del triángulo oblicuángulo de la figura siguiente.

a. 35.4b. 30.1c. 28.6d. 32.5

En parejas, explica a un compañero si debe usarse primero la ley de los senos o la de los cosenos para resolver el triángulo de la figura siguiente. Escucha atenta y respetuosamente lo que él te diga. Obten-gan conclusiones y preséntenlas oralmente ante sus demás compañe-ros; escuchen las de algunos de ellos. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales, con base en las cuales han de coevaluar su trabajo.


B

C

A 5047°

63°

A

B

C

120°

b 5 20

a 514.6c 5

15.4

25.6

65°

B

A C

2. Determina la longitud del lado AB del triángulo de la figura siguiente.

a. 23.65b. 27.28c. 20.50d. 21.0

30.1

23.65


3. Determina la longitud del lado BC del triángulo de la figura siguiente.

a. 80.2b. 60.4c. 70.1d. 74.6

28°

a 5

b 5 46

c 5 112

A

B

C

36°

a 5 50

b 5

c 5 78.1

A

B

C

4. Halla la longitud del lado AC del triángulo de la figura siguiente.

a. 42.3b. 52.6c. 47.8d. 50.9

100°c 5 40.0

a 5 50

b 5

C

A

B


a. 76.4b. 69.2c. 61.5d. 68.0

74.6

47.8

69.2


A C

B

50

40

120°

c 5

6. Halla la medida del ángulo A del triángulo mostrado en la figura siguiente. (Sugerencia: calcula primero el valor de c.)

a. ∠A = 33.7°b. ∠A = 20.5°c. ∠A = 30.0°d. ∠A = 40°

7. Halla la medida del ángulo C de la figura siguiente. (Sugerencia: calcula primero el valor de a.)

a. ∠C = 45.1°b. ∠C = 50.2°c. ∠C = 38.5°d. ∠C = 40°

b 576

49°

c 554

B

A C

a 5

24 26

20

B

A C

8. Halla la medida del ángulo C del triángulo de la figura siguiente.

a. ∠C = 61.2°b. ∠C = 65°c. ∠C = 54.8°d. ∠C = 68.5°

∠A = 33.7°

∠C = 45.1°

∠C = 61.2°


74

35

50

AC

B

9. Determina la medida del ángulo A del triángulo de la figura siguiente.

a. ∠A = 25.6°b. ∠A = 40.1°c. ∠A = 32.7°d. ∠A = 35.8°

B

CA

a 5 40

b 5

c 5

40° 75°

12. Encuentra la longitud del lado AB del triángulo de la figura siguiente.

a. 58b. 69.4c. 65.2d. 60.1

A B

C

b 5 12

c 5 8

a 5 8

10.Halla la medida del ángulo B del triángulo de la figura siguiente.

a. ∠B = 103.6°b. ∠B = 110°c. ∠B = 97.2°d. ∠B = 112.8°

A C

B

25

17

13

11. Halla la medida del ángulo C del triángulo de la figura siguiente.

a. ∠C = 115.8°b. ∠C = 112.2°c. ∠C = 100.5°d. ∠C = 124.6°

∠A = 35.8°

∠B = 97.2°

∠C = 112.2°

60.1


c = 56

80°

B

A Cb = 40

a =

13. Halla la medida del ángulo B del triángulo de la figura siguiente.

a. 52.3°b. 44.7°c. 40.1°d. 39.6°

129°22°

c 5 80

A

B

Cb 5

a 5


a. 50b. 56c. 45d. 46

150°

a 535

b 5

c 550

A

B

C

15. Halla la medida del ángulo A del triángulo de la figura siguiente.

a. 26.4°b. 18.8°c. 20.5°°d. 23.1°

c 5 100

b 5 50A

C

B

45°

a 5

16. Halla la longitud del lado BC del triángulo de la figura siguiente.

a. 80.1b. 73.7c. 62d. 69.6

44.7°

50

20.5°

73.7


B

CA

a 5 8

b 5 11.29

83°

19. Determina la medida del ángulo A del triángulo de la figura siguiente.

a. ∠A = 50.8°b. ∠A = 38.5°c. ∠A = 49°d. ∠A = 44.7°

B

A C

a 540c 5

36° 73°

18. Halla la longitud del lado AB del triángulo de la figura siguiente.

a. 65b. 70c. 54d. 61

CA

B

c 5 80

22° 130°

a 5

b 5

17. Halla la longitud del lado BC del triángulo de la figura siguiente.

a. 47.5b. 34.2c. 35.8d. 39.12

39.12

65

∠A = 44.7°


ii.AplicAciones.

20. Un muchacho sostiene dos globos, uno en cada mano. El ángulo de elevación del globo en la mano izquierda es de 20° y la cuerda mide 10 metros (m). El ángulo de elevación del globo en la mano derecha es de 30° y la cuerda mide 6 m. Calcula la distancia que hay entre los globos.

a. d = 15.8 mb. d = 12.6 mc. d = 13.0 md. d = 14.6 m

10 m 6 m

20º 30º

6

4 4

6 10

10

A C

B

21. Tres circunferencias de radios 4, 6 y 10 centímetros (cm), respectivamente, son tangentes entre sí en la parte externa, como se muestra en la figura siguiente. Halla la medida del ángulo C.

a. ∠C = 38.2°b. ∠C = 43.5°c. ∠C = 34.7°d. ∠C = 30°

60 m

200 m

30°

22. Para calcular el perímetro de un terreno de forma triangular, un arquitecto camina 200 metros (m) hacia el Este. Después de girar 30° camina otros 60 m. Calcula el perímetro del terreno.

a. 600 mb. 513.7 mc. 486.3 md. 500 m

d = 14.6 m

∠C = 38.2°

513.7 m


d

60º

P

R

Q

15.4 m 22.6 m

23. Para determinar la distancia entre dos cabañas que se encuentran en las orillas de un lago, un topógrafo se situó en el punto R. Luego caminó a cada cabaña y midió 15.4 metros (m) y 22.6 m, respectivamente (véase la fi gura). Por último, midió el ángulo PRQ, que resultó ser de 60º. ¿Cuál es la distancia entre las cabañas?

a. 24 mb. 18 mc. 26 md. 20 m

40º162 km

240 kmA B

Cd

24. Un avión vuela 240 kilómetros (km) de la ciudad A a la ciudad B; luego cambia su rumbo 40º y se dirige a la ciudad C, ubicada a 162 km de B. ¿Cuál es la distancia de la ciudad A a C?

a. d = 378.7 kmb. d = 420.5 kmc. d = 350 kmd. d = 396.8 km

A

B

C

Río

25. Se desea construir un puente colgante que debe atravesar un río desde el punto A hasta el punto C, como se muestra en la fi gura siguiente. Un topógrafo obtiene estas mediciones: AB = 600 metros (m); ∠ABC = 75° y ∠BCA = 45°. Calcula la distancia del punto B al punto C.

a. 735 mb. 0.5 mc. 0.5 md. 0.06 m

20 m

378.7 km

735 m


PQ

R

Lago

26. Un cable telefónico submarino debe cruzar un lago desde el punto P hasta el punto Q, como se muestra en la fi gura siguiente. En los puntos P, Q y R se hallan unos postes. Un ingeniero obtuvo las mediciones siguientes: RP = 100 metros (m); ∠QPR = 110°, y ∠RQP = 40°. Determina la distancia que hay entre los puntos P y Q.

a. 86.4 mb. 70.5 mc. 77.8 md. 80.2 m

400 m

h

30º45º

27. Determina la altura (h) de la montaña de la fi gura siguiente.

a. h = 546.4 mb. h = 540.1 mc. h = 558.7 md. h = 562.9 m

A

B12 km

C

28. Desde dos torres vigía A y B, separadas 12 kilómetros (km) entre sí, se localiza un incendio en el punto C como se muestra en la fi gura siguiente. La estación B informa que el ángulo ABC mide 65°, mientras que la estación A notifi ca que la medida del ángulo BAC es de 75°. ¿Cuán lejos está el fuego de la torre A?

a. 20.4 kmb. 15.6 kmc. 19.8 kmd. 16.92 km

77.8 m

546.4 m

16.92 km


A

BC

29. Para determinar la distancia a través de un gran cañón, en una de las orillas se utiliza una línea de referencia AB de 800 metros (m) de longitud como se muestra en la fi gura 46. Se obtuvieron los resultados siguientes: m∠BAC = 60°; m∠ABC = 100°. ¿Cuál es la distancia del punto A al punto C?

a. 2303.5 mb. 2077.8 mc. 2108 md. 2025.7 m

Escribe un texto donde describas dos casos en los que pueda usarse la ley de los cosenos y dos en los que pueda usarse la ley de los senos para resolver un triángulo. Léelo en voz alta ante tus compañeros; escucha respetuosamente el de algunos de ellos. Con la guía del pro-fesor obtengan conclusiones generales, con base en las cuales has de evaluar tu texto.


Tú decides: Fernando sostiene que puede usar la ley de los senos para resolver el triángulo de la fi gura siguiente, en tanto que Alejandra afi rma que debe aplicarse la ley de los cosenos. ¿Quién tiene la razón? Con la guía del profesor, quien moderará la actividad, organiza un breve debate, en la que una parte del grupo apoyará a Fernando y la otra a Alejandra. Obtengan conclusiones.

ComuniCar(YdeBaTir)paraaprender

B

CA

12

1341°

2303.5 m



i. Los ejercicios 1 y 2 se refieren al triángulo oblicuángulo de la figura siguiente. Elige la opción con la respuesta correcta a cada ejercicio.

B

CA b = 45

c =

120º

a = 25

1. Halla el valor de C.

a. 70.6b. 56.4c. 50.6d. 61.44e. 78.6

20.63°

61.44


a. 20.63°b. 18.73°c. 36.8°d. 23.5°e. 32°


ii. Los ejercicios 3 y 4 se refieren al triangulo oblicuángulo de la figura siguiente.

B

CA

c = 3020º

a = 48

3. Determina la longitud del lado AC .

a. 42.5b. 22.3c. 28.9d. 36.8

19.2

B

CA 14

30

30º

a =

5. Encuentra la longitud del lado BC del triángulo oblicuángulo de la figura siguiente.

a. 26.4b. 19.2c. 20.5d. 30.2

27.4°

22.3

4. Determina la medida del ángulo C.

a. 27.4°b. 35.6°c. 32.4°d. 24.5°


6. Encuentra la medida del ángulo C del triángulo de la figura siguiente.

a. 58.7°b. 35°c. 43.9°d. 36.9°e. 53.13°

B

C

A28

30

26

B

CA 16

720.42

7. Encuentra la medida del ángulo A del triángulo oblicuángulo de la figura siguiente.

a. 15.36°b. 20.5°c. 12.8°d. 17.2°

53.13°

B

C

A

74

50

35

8. Determina la medida del ángulo B del triángulo de la figura siguiente.

a. 130°b. 120°c. 105°d. 110°e. 115°

17.2°

120°


A

BC

60º

80 m 120 m

iii.AplicAciones.

9. Se desea determinar la distancia BC a través de la base de un volcán como el que se muestra en la fi gura siguiente. Se miden las distancias AB y AC y resultan ser de 120 metros (m) y 180 m, respectivamente. El ángulo BAC mide 60°. Calcula la distancia aproximada a lo largo del volcán.

a. 196 mb. 205 mc. 145.4 md. 158.7 m

10. Un avión vuela de la ciudad A a la B, ubicada a 100 millas de distancia; después, cambia su rumbo 60° y se dirige a la ciudad C. Si la distancia entre las ciudades A y C es de 312.25 millas, ¿cuál es la distancia que hay de B a C?

a. 280 millasb. 240 millasc. 275 millasd. 250 millas

A B

C

60º

100 mi

312.25 mi

158.7 m

B

CA

a = 40

70º50º

b =

11. Halla el valor b en el triángulo de la fi gura siguiente.

a. 38.66b. 50.7c. 41.8d. 45.22

250 millas

45.22


B

CA

56

40º

70

12. Halla la medida del ángulo A del triángulo oblicuángulo de la fi gura siguiente.

a. 30.95°b. 35.2°c. 27.8°d. 38.5°

B

CA

45

68º

38

13. Determina la medida del ángulo C del triángulo de la fi gura siguiente.

a. 59.3°b. 48.6°c. 47.1°d. 51.5°

30.95°

51.5°

iV. pRoYecTo. Explica por escrito cómo resolverías el problema siguiente. Puedes hacerlo en pareja o en equipo de tres personas.

14. Para calcular la distancia entre las casas A y B de la fi gura siguiente, un topógrafo determinó que el ángulo BAC es de 48°; luego caminó una distancia de 36 metros (m) y determinó que el ángulo ACB mide 56°. ¿Cuál es la distancia entre las casas?

a. 35 mb. 39.14 mc. 30.76 md. 32.28 m

48º 56º

36 mA

B

C


15. Para calcular la altura h de la montaña que se muestra en la figura siguiente, un topógrafo determinó que el ángulo BAD es de 20°; después, caminó 240 metros (m) de A a C, donde midió el ángulo ACB, que resultó ser de 15°. ¿Cuál es la altura h de la montaña?

a. 270 mb. 250.8 mc. 243.75 md. 240.1 m

D A x

C

B

h

240 m

20º 15º

B

C

A 37.5 m60º

56.2 m

16. En sus orígenes, la altura de la torre inclinada de Pisa era de 56.2 metros (m). Después de alejarse 37.5 m de la base de la torre, como se muestra en la figura siguiente, un topógrafo encuentra que el ángulo de elevación es de 60°. Halla la medida del ángulo CAB. (Sugerencia: halla primero la longitud de BC .

a. 84.7°b. 80.5°c. 79.5°d. 86.1°

BLO

QU


En cierta ciudad se ha medido durante una semana la concentración de alco-hol en la sangre de conductores que se vieron envueltos en accidentes fatales. A fin de obtener conclusiones preliminares, los investigadores determinaron la media, la mediana y la moda de esos datos y las confrontaron con la ley de esa ciudad, que prohíbe conducir con un nivel de concentración de alcohol mayor que 0.10. Con lo que aprendas en este bloque podrás obtener ese tipo de estadísticos y, con base en ellos, llegar a conclusiones acerca del compor-tamiento de ciertos fenómenos.

Bases de estadística descriptiva

Conceptos básicos de la estadística descriptiva

Representación gráfica de datos

Procesamiento de datos mediante medidas numéricas

OBjEtOS

dE COnOCimiEntO

232 B L O Q U E 9 Bases de estadístiCa desCRiPtiva


1. A partir de la siguiente distribución de frecuencias de datos agrupados determina lo que se indica en cada inciso.

Intervalodeclase Frecuencia

10-14 8

15-19 28

20-24 25

25-29 12

30-34 3

35-39 2

N = 80

a. Los límites inferiores de clase. b. Los límites superiores de clase.c. Las fronteras inferiores de clase. d. Las fronteras superiores de clase.e. El ancho o amplitud de cada clase. f. La marca de clase de cada intervalo de clase.

2. Si la media de 84, 92, x, 75 y 80 es 86, ¿cuál es el valor de x?

3. En una clase de historia la calificación final de los estudiantes es la mayor de la media y la mediana. Si Juan obtuvo 89, 82, 90, 76 y 85 puntos de 100 en sus exámenes parciales, ¿cuál es su calificación final?

4. La media de diez números es 75. ¿Cuál es el promedio si se añaden 80 y 76?

5. Para los datos 4, 5, 5, 7, 8 y 13, ¿cuál de las opciones siguientes es verdadera?

a. La mediana es uno de los datos. b. El conjunto de los datos carece de moda.c. El promedio de los datos es 7. d. La moda es mayor que la media.e. La mediana es mayor que la media.

Conceptos básicos de la estadística descriptiva

Conceptos básicos

Organización de datos

distribución de frecuencias y clases

Construcción de una distribución de frecuencias de datos agrupados

distribución de frecuencias acumuladas

distribución de frecuencias relativas

Conceptos básicos de la estadística descriptiva 233

Desde sus orígenes, la estadística fue usada por los Estados para la recolección y el análisis de datos relativos a la población y su riqueza. De hecho, la palabra estadística proviene de la voz italiana statista, que significa estadista.

Hoy en día, cuando en los procesos de investigación se realizan mediciones o conteos es necesario recurrir a instrumentos que auxilien en la recopilación, la pre-sentación, el análisis y la interpretación de los datos obtenidos. Esos instrumentos los brinda la estadística.

Por ello, podemos afirmar que esta disciplina se emplea para describir, rela-cionar y analizar los valores de datos económicos, políticos, sociales, biológicos, físicos, psicológicos, etcétera. También ayuda a reunir y elaborar tablas (tabular) de datos, así como a interpretar y analizar la información así organizada para luego, con base en ella, tomar decisiones.

Por citar algunos casos, en la física y en la química la estadística se usa en la experimentación para obtener datos y probar hipótesis. En la ingeniería se ocupa en el proceso del control total de calidad. En la agricultura los métodos estadísticos sirven para determinar los efectos de los insecticidas y fertilizantes en los campos agrícolas. En la educación, la estadística se utiliza para determinar la correlación entre la calificación obtenida por los estudiantes en su examen de admisión a la universidad y la eficiencia terminal.

En este texto definiremos entonces la estadística como la ramadelasmatemáti-cascuyoobjetoesayudararecolectar,organizar,presentaryanalizardatosnuméricosrelativosaunconjuntodeobservaciones, loquepermiteobtenerconclusionesválidasqueformaránpartedelprocesodetomadedecisiones.

Para su estudio, la estadística se divide en dos áreas: estadística descriptiva y estadística inferencial. La primera tiene por objeto guiar la recolección, presen-tación y descripción de datos numéricos. Por su parte, la segunda, la estadística inferencial, se ocupa de los métodos para la toma de decisiones con base en el análisis y la interpretación de la información (datos numéricos) obtenida mediante métodos descriptivos.

En este bloque estudiaremos conceptos básicos de la estadística descriptiva.

Conceptos básicosToda disciplina científica emplea un vocabulario propio y la estadística no es la excepción. Por ello, a continuación definiremos algunos términos fundamentales que contribuyen a comprender cómo se realizan las pruebas estadísticas.


La población de interés debe determinarse cuidadosamente y se considera defi-nida por completo sólo cuando se especifica una lista cabal de sus miembros. Así, el conjunto de los estudiantes que presentaron el examen de admisión a una universidad es un ejemplo de una población bien definida.

En ocasiones el tamaño de una población puede resultar muy grande para analizarla en su totalidad, de modo que, en general, se trabaja con una parte de ella. Esa parte, más pequeña y más manejable, se denomina muestra.

muestra

La muestra es un subconjunto de una población, el cual se selecciona mediante distintos métodos.

Variable y dato

Una variable es una característica de interés que presentan los elementos de una población o de una muestra.

Por su parte, un dato es el valor de la variable asociado a un elemento de una población o de una muestra.

Población

Es el conjunto de todos los elementos de un grupo que se estudia.

El concepto de muestra es de suma importancia para el análisis estadístico. Por ejemplo, si se quiere determinar la estatura promedio de 4000 estudiantes es lógico suponer que tomar la medida de cada uno de ellos resultaría impráctico. Por ende, puede obtenerse al azar una muestra de esa población, por ejemplo, una muestra de 500 estudiantes y entonces proceder a medir su estatura.

Pero ¿para qué se estudia una población o una muestra? Los elementos de una población o de una muestra se analizan para identificar sus características y, con ello, las variables que presentan.

Por citar algunos casos, son variables la edad de un estudiante al ingresar en la preparatoria, su estatura, su peso, etcétera. A la vez, si tenemos, por ejem-plo, que Rubén entró en la preparatoria a los 15 años, mide 1.74 metros y pesa 65 kilogramos, entonces cada una de estas mediciones es un valor individual, es decir, es un dato para cada una de las variables citadas.

Es importante señalar que una variable puede ser discreta o continua. Las variablesdiscretas son las que están limitadas generalmente a números enteros. Con frecuencia son resultado de la enumeración o del conteo. El número de estudiantes de una escuela, de automóviles vendidos en un año, la cantidad de huevos que ponen las gallinas de una granja son ejemplos de variables discretas.

En cambio, una variablecontinua es la que puede tomar cualquier valor den-tro de un rango. Los valores que puede adquirir una variable continua suelen ser


producto de una medición. Por ejemplo, la cantidad de leche que produce una vaca es un dato continuo porque no está restringida a números enteros, o sea, a cantidades discretas.

Parámetro

Un parámetro es una medición numérica que describe alguna característica de una población.

Experimento

Un experimento es la actividad mediante la cual se obtiene un conjunto de datos.

Estadístico

Es una medición numérica que describe alguna característica de una muestra.

La edad promedio y el sueldo promedio de todos los asalariados de una empresa son ejemplos de parámetros poblacionales.

Por ejemplo, se encontró que a 62% de una muestra de 250 estudiantes de una preparatoria no les gusta la matemática. Este porcentaje es un estadístico, ya que se basa en una muestra, no en la población completa de todos los estudiantes.

Investiga información adicional acerca de la estadística, como ejem-plos de aplicación, y con base en ella y lo aprendido en el texto escribe un informe breve sobre la importancia de esta disciplina. Léelo ante tus compañeros y escucha atenta y respetuosamente el de algunos de ellos. Enriquece o corrige tu trabajo según corresponda.


Organización de datosCuando se requiere estudiar una característica de una población o de una mues-tra el primer problema por resolver es la recopilación u obtención de datos. Una vez hecho esto, el paso siguiente es determinar cómo deben organizarse éstos de modo que proporcionen información útil.

Los investigadores usan tablas y gráficas para organizar los datos recopilados y cuentan con dos procedimientos muy útiles para describir y resumir la informa-


ción obtenida: la distribución de frecuencias y ciertas medidas descriptivas de la distribución: la media, la mediana, la moda, la desviación estándar, etcétera.

Una lista desordenada de un conjunto grande de datos no dice mucho a un investigador. Por ello los organiza en una forma más manejable: construye una distribucióndefrecuencias.

distribución de frecuencias

Una distribución de frecuencias es una tabla en la que se presentan en forma estructurada todos los datos recopilados de la variable de estudio. Esa tabla permite identificar las frecuencias u ocurrencias de las mediciones o los con-teos realizados.

Se llama frecuencia absoluta, o simplemente frecuencia, el número de veces que se repite el i-ésimo término. Se representa con el símbolo fi.

Construye una distribución de frecuencias para las calificaciones siguientes de un examen de biología:

62 80 78 82 56

98 60 40 90 80

56 78 98 78 96

50 86 90 62 76

SOLUCiónComo primer paso se ordenan los datos de menor a mayor. En una inspección rápida se observa que hay valores en los grupos de 40, 50, 60, 70, 80 y 90. Pue-den ordenarse utilizando el método conocido como representación de tallo-hoja. El tallo se forma con el primer o los primeros dígitos, mientras que la hoja se construye con el resto de ellos.

En nuestro ejemplo, el tallo será el primer dígito y la hoja el segundo; así, el primer dato es 40, de modo que 4 es el tallo y 0 la hoja.

Tallo Hoja

4 0

5 6 6 0

6 2 4 2

7 8 8 8 6

8 0 2 0 6

9 8 0 8 6 0

ejemplo 1


Con base en este diagrama de tallo-hoja ordenamos a continuación los datos en forma ascendente:

40 50 56 56 62

62 64 76 78 78

78 80 80 82 86

90 90 96 98 98

Como segundo paso, y una vez ordenados los datos, se usan dos columnas para construir la distribución de frecuencias. En la columna de la izquierda se escriben las diferentes calificaciones y en la de la derecha, sus frecuencias.

Calificacionesxi fi(frecuencia)

40 1

50 1

56 2

62 2

64 1

76 1

78 3

80 2

82 1

86 1

90 1

96 1

98 2

n = Σ = 20

Nota: el símbolo Σ significa suma de un conjunto de valores, en este caso, de las frecuencias.


1. Construye una distribución de frecuencias para las calificaciones siguientes de un examen de filosofía:

65 78 73 66 84

85 65 61 84 65

68 65 96 78 85

84 78 68 90 66


Calificacionesxi fi(frecuencia)

2. Los datos siguientes corresponde a las calificaciones de un examen de química. Con base en ello, resuelve lo que se indica en cada inciso.

60 70 75 65

85 55 60 85

65 60 50 60

70 85 65 70

65 70 65 55

Tallo Hoja

5 5 0 5

6 0 5 0 5 0 0 5 5 5

7 0 5 0 0 0

8 5 5 5


a. Construye una distribución de frecuencias.

Calificaciónx Frecuenciafi

b. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen?

c. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación menor de 70?

d. ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó el examen?

distribución de frecuencias y clasesCuando un investigador recopila un conjunto grande de datos resulta útil distri-buirlos en clases o categorías y determinar la frecuencia que corresponde a cada una de ellas. La tabulación de los datos por clases, junto con sus correspondientes frecuencias de clase se llama distribucióndefrecuenciasparadatosagrupados.

En la tabla 1 se presenta una distribución de frecuencias para datos agrupados que muestra el tiempo en minutos que tardan 50 estudiantes en trasladarse de su casa a su escuela.

La primera clase consta de los tiempos que van de los 5 a los 10 minutos, lo que se indica escribiendo 5 - 10. Como hay 12 estudiantes en esta clase, la corres-pondiente frecuencia de clase es 12.

El intervalo que define una clase se llama intervalodeclase. En la distribución anterior identificamos los intervalos de clase siguientes:

tabla 1. tiempo que tardan 50 estudiantes en trasladarse de casa a la escuela (en minutos).

Intervalodetiempo Frecuenciafi

5-10 12

11-16 14

17-22 15

23-28 9


5-1011-1617-2223-28

Los límites inferiores de clase son los datos más pequeños que pueden pertenecer a las diferentes clases. En las clases arriba citadas tales límites son 5, 11, 17 y 23.

Por su parte, los límites superiores de clase son los datos más grandes que pueden pertenecer a las diferentes clases. Los límites superiores de clase de la dis-tribución de frecuencias anterior son 10, 16, 22 y 28.

Fronteras de clases

Respecto a la tabla 1, si los tiempos se miden con precisión de un minuto, el intervalo de clase 5 - 10 incluye teóricamente todas las medidas desde 4.5 hasta 10.5 minutos. Estos números, no presentes en los datos pero que se hallan en medio del límite superior de una clase y del límite inferior de la clase siguiente, son las fronteras de clase o verdaderos límites de clase. El menor es la fronterainferior y el mayor es la fronterasuperior.

Amplitud de clase

La amplituddeclase, también conocida como anchodeclase, es la diferencia entre las fronteras superior e inferior. Si todos los intervalos de clase de una distribu-ción de frecuencias presentan la misma amplitud, la representamos con c. En este caso, la amplitud de un intervalo de clase c también es igual a la diferencia entre un límite inferior de clase y el límite inferior de la clase siguiente. Por tanto, si consideramos nuestro ejemplo, tenemos que:

c = 10.5 − 4.5 = 6 c = 16.5 − 10.5 = 6 c = 22.5 − 17.5 = 6 c = 28.5 − 22.5 = 6

es decir, la amplitud de clase c = 6.

Marca de clase

La marca de clase es el valor medio del intervalo de clase y se obtiene mediante la fórmula

X = Límite inferior de clase + Límte superior de clase2

donde X representa la marca de clase. Para continuar con nuestro ejemplo del tiempo de traslado de casa a la escuela (tabla 1), tenemos lo siguiente:

Intervalodeclase MarcadeclaseX

5-10 5 + 102 = 7.5

11-16 11 + 162 = 13.5

17-22 7 + 222 = 19.5

23-28 23 + 282 = 25.5


1. A continuación se muestran las calificaciones obtenidas por un grupo en una prueba de aptitud para la lectura. A partir de ellas determina lo que se indica en cada inciso.


32 - 34 13

35 - 37 19

38 - 40 26

41 - 43 19

44 - 46 18

47 - 49 12

50 - 52 5


a. El límite superior de clase del intervalo de clase 44-46.

b. El límite inferior de clase del intervalo de clase 35-37.

c. La frontera de clase inferior del intervalo de clase 41-43.

d. La frontera de clase superior del intervalo de clase 32-34.

e. La marca de clase del intervalo de clase 47-49.

f. El ancho de clase de cada intervalo.


Construcción de una distribución de frecuencias de datos agrupadosEn la tabla siguiente se muestra el número de viajeros que han decidido trasla-darse por cierta aerolínea en los últimos 50 días (cada celda representa un día):

69 102 85 80 84

86 91 74 70 84

83 79 78 78 74

95 78 79 65 71

97 74 91 77 72

71 85 102 72 81

94 59 59 93 73

76 70 57 50 92

69 57 70 83 84

79 77 77 68 81

Utilicemos el método tallo-hoja para ordenar los datos anteriores:

Tallo Hoja

5 9 7 9 7 0

6 9 9 5 8

7 1 6 9 9 8 4 0 7 4 8 9 0 7 0 8 7 2 4 1 2 3

8 6 3 5 5 0 3 4 4 1 4 1

9 5 7 4 1 1 3 2

10 2 2

En la tabla siguiente se muestran los datos ordenados en forma ascendente:

50 70 80 91 102

57 70 81 91 102

57 70 81 92

59 71 83 93

59 71 83 94

65 72 84 95

68 72 84 97

69 73 84

69 74 85

74 85

74 86

(Continúa)


76

77

77

77

78

78

78

79

79

79

Una vez ordenados los datos, es necesario establecer el criterio acerca del número de intervalos de clase que vamos a emplear. A este respecto, conviene señalar que las distribuciones de frecuencia de datos agrupados se emplean para revelar o destacar el patrón que presenta una población. Muchas o muy pocas clases podrían confundir ese patrón y, por tanto, no daría claridad a un análisis. A la vez, demasiados intervalos de clase serían tan confusos como la misma lista de datos originales.

En general, si bien el investigador decide cuántos intervalos de clase formará con base en su conjunto de datos y en los objetivos de su trabajo, es aconsejable emplear de cinco a 20 intervalos. En nuestro ejemplo, seleccionemos seis intervalos.

El paso siguiente para elaborar la distribución de frecuencias es calcular la amplitud de clase que tendrán los intervalos. Como se busca que todos ellos tengan la misma amplitud se usa la fórmula:

Amplitud de clase (c)

= Rango (R)número de clases (k) = Dato de mayor valor − Dato de menor valor

número de clases (k)

En la mayoría de las veces, la amplitud así obtenida no es un número entero, por lo que debe considerarse el número de decimales que se desea. Con esto en mente, conviene redondear dicho número hacia el valor superior y no hacia el inferior para asegurarnos que k veces la amplitud de clase sea mayor que el rango (el rango es igual al dato de mayor valor menos el de menor valor) y, con ello, que los valores extremos de los datos estén en las clases.

Determinemos el ancho de clase de los intervalos:

c = Rk = 102 − 50

6 = 8.67 ≈ 8.7

Como resulta poco práctico trabajar con un valor como 8.7, lo redondeamos hacia arriba, de modo que quede en 9.

El paso siguiente es determinar el límite inferior de cada intervalo de clase.Para el primer intervalo, el límite inferior de clase será el menor de los datos.

Para los intervalos siguientes, los límites inferiores se obtienen sumándole el ancho de clase al límite inferior del intervalo anterior.

50 –59 –68 –77 –86 –95 –


A continuación se determina el límite superior de cada intervalo de clase. Los límites superiores de clase son los valores mayores que pueden asignarse a cada clase. En nuestro ejemplo: 58, 67, 76, 85, 94 y 103. Observa que la amplitud de clase es igual a la diferencia entre los límites de clase inferiores consecutivos.

Intervalosdeclase

50-58

59-67

68-76

77-85

86-94

95-103

Por último, se requiere asignar cada dato al intervalo de clase en el que queda incluido para obtener la frecuencia de clase, es decir, el número de datos que pertenecen a la clase:

Intervalodeclase Frecuenciafi

50-58 3

59-67 3

68-76 15

77-85 19

86-94 6

95-103 4

n = Σ = 50

distribución de frecuencias acumuladasLa frecuencia acumulada de un dato o una clase es la suma de la frecuencia de la clase o el dato y las frecuencias de las clases anteriores a ella. Se representa con fa.

Construye una distribución de frecuencias acumuladas para los datos de la siguiente tabla:

Intervalosdeclase Frecuenciafi

22-32 1

33-43 2

44-54 5

55-65 2

66-76 9

77-87 9

88-98 10

ejemplo 2

(Continúa)


99-109 3

110-120 4

121-131 3

n = Σ = 50

SOLUCión

Intervalodeclase Frecuenciafi Frecuenciasacumuladasfa

22-32 1 1

33-43 2 2 + 1 = 3

44-54 5 5 + 3 = 8

55-65 2 8 + 2 = 10

66-76 9 10 + 9 = 19

77-87 9 19 + 9 = 28

88-98 10 28 + 10 = 38

99-109 5 38 + 5 = 43

110-120 3 43 + 3 = 46

121-131 4 46 + 4 = 50

distribución de frecuencias relativasUna distribución de frecuencias relativas incluye los mismos intervalos de clase que una distribución de frecuencias, pero utiliza las frecuencias relativas en lugar de las frecuencias reales; así:

Frecuencia relativa= Frecuencia de clasen

donde n es la suma de todas las frecuencias. En ocasiones la frecuencia relativa se expresa como porcentaje.

Construye la distribución de frecuencia relativa y de frecuencia relativa acumu-lada que corresponde a la distribución de frecuencias siguiente:


50-59 3

60-69 7

70-79 18

80-89 12

90-99 8

100-109 2

n = Σ = 50

ejemplo 3


SOLUCión

Intervalodeclase

Frecuenciafi

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativaacumuladafra

50-59 3 350 = 0.06 0.06

60-69 7 750 = 0.14 0.20

70-79 18 1850 = 0.36 0.56

80-89 12 1250 = 0.24 0.80

90-99 8 850 = 0.16 0.96

100-109 2 250 = 0.04 1.00

n = 50


La tabla siguiente corresponde a la distribución de frecuencias de calificaciones finales de 70 estudiantes en el examen de física. Construye en tu cuaderno una distribución de frecuencias de datos agrupados. Considera 10 intervalos de clase.

Calificación Frecuencia Calificación Frecuencia

50 1 74 1

51 1 75 1

52 1 76 2

54 1 78 1

56 1 79 8

58 1 80 2

59 3 81 1

60 2 82 3

63 2 84 1

64 1 85 2

66 3 87 1

67 1 89 1

68 5 91 1

69 3 92 1

70 8 95 1

71 4 96 1

72 2 98 1

73 1 n = 70

Representación gráfica de datos 247

2. Construye una distribución de frecuencias acumuladas con los datos de la tabla siguiente. Escribe la suma correspondiente en la columna de la derecha.

Intervalodeclase Frecuenciafi Frecuenciasacumuladasfa

40-49 5

50-59 8

60-69 10

70-79 10

80-89 9

90-99 6

n = 48

3. La distribución siguiente de frecuencias corresponde a la cantidad de dinero que 50 estudiantes invierten en libros de texto cada semestre. Construye las columnas que corresponden a la marca de clase, frecuencias acumuladas, frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas.

Intervalodeclase

Frecuenciafi MarcadeclaseX

Frecuenciaacumuladafa

Frecuenciarelativafr

Frecuenciarelativaacumuladafra

100-124 8

125-149 11

150-174 8

175-199 6

200-224 10

225-249 6

250-274 1

n = 50

Representación gráfica de datos

Histograma

Polígono de frecuencias

La ojiva

Gráfica circular

La organización de datos mediante distribuciones de frecuencia es una herramienta útil para describir, interpretar y obtener conclusiones acerca de un conjunto de datos. Ahora, en esta sección representaremos gráficamente tales datos a fin de observar su comportamiento.


Las gráficas que analizaremos son:

• El histograma• El polígono de frecuencias• La ojiva• La gráfica circular o pastel

Como veremos, cada una de estas gráficas resulta especialmente útil en condi-ciones particulares, de manera que no sólo es importante aprender a trazarlas sino, además, cuándo hacerlo.

HistogramaEl histograma es una representación visual de un conjunto de datos en una suce-sión de rectángulos construidos en un sistema de coordenadas rectangulares.

Su elaboración se basa en una tabla de distribución de frecuencias, como se indica a continuación.

trazo de un histograma

1. Se eligen los ejes rectangulares de forma que los datos (la variable) se ubiquen en el eje horizontal y la frecuencia en el vertical. Este último debe mostrar el cero; sin embargo, es innecesario especificar el punto cero en el eje horizontal.

2. Se marcan en el eje horizontal los límites o las fronteras de clase. Natu-ralmente, se usan los que representen mejor la variable.

3. Se trazan rectángulos cuyas bases sean iguales a los tamaños o amplitudes de los intervalos de clase y cuya altura sea igual a la frecuencia absoluta correspondiente.

En la figura 1, la gráfica de la derecha es el histograma que corresponde a la distribución de frecuencias ubicada a su izquierda.

Intervalodeclase Frecuenciaabsoluta

22-32 1

33-43 2

44-54 5

55-65 2

66-76 9

77-87 9

88-98 10

99-109 5

110-120 3

Figura 1. Histograma trazado a partir de la distribución de frecuencias que se muestra a la izquierda.

f10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

021.5 43.5

32.565.5

54.587.5

76.5109.5

98.5 120.5

Núm

ero

de e

stud

iant

es

X


Polígono de frecuenciasEl polígono de frecuencias es una representación visual de un conjunto de datos por medio de una sucesión de segmentos de recta construidos en un sistema de coordenadas rectangulares.

Para elaborar un polígono de frecuencias se toma como base la tabla de fre-cuencias y se incluye una columna para las marcas de clase. A continuación se describe el procedimiento.

trazo de un polígono de frecuencias

1. Se eligen los ejes de igual manera que para el histograma: hay que esco-gerlos de forma que los datos (la variable) se ubiquen en el eje horizontal y la frecuencia en el vertical.

2. Las marcas de clase se ubican en el eje horizontal y la frecuencia en el vertical.

3. Se grafican los puntos formados por la marca de clase y la frecuencia de clase.

4. Los puntos que resultan del paso anterior se unen con segmentos de recta.5. Se agregan clases con frecuencia cero en ambos extremos de la distribución

a fin de unir la gráfica a la escala horizontal.

Es más sencillo graficar un polígono de frecuencias que un histograma, ya que sólo se ubican puntos en un sistema de coordenadas, como veremos en el ejemplo que sigue.

Construye un polígono de frecuencias para la distribución de frecuencias de la tabla siguiente:


5-9 2

10-14 4

15-19 5

20-24 8

25-29 21

30-34 6

35-39 2

40-44 2

SOLUCiónAl considerar los puntos formados con la marca de clase y la frecuencia absoluta se obtiene el polígono de frecuencias mostrado en la figura 2.

ejemplo 4


Intervalodeclase Marcadeclase Frecuencia

0-4* 2 0

5-9 7 2

10-14 12 4

15-19 17 5

20-24 22 8

25-29 27 21

30-34 32 6

35-39 37 2

40-44 42 2

45-49* 47 0

Σ = 50

Nota: observa que el primer y el último intervalos de clase son ficticios con fre-cuencia cero.

Si consideramos los puntos formados por la marca de clase y la frecuencia relativa obtenemos el polígono que se muestra en la figura 3.

Figura 2. Polígono de frecuencias.

f

25

24

15

10

5

02 7 12 17 22 27 32 37 42 47 X

Marca de clase

24 5

8

21

6

2 2

Figura 3. Polígono de frecuencias trazado considerando la frecuencia relativa.

0.450.4

0.350.3

0.250.2

0.150.1

0.050

2 7 12 17 22 27 32 37 42 47

Marca de clase

0.040.08 0.1

0.16

0.42

0.04

0.12

Frec

uenc

ia r

elat

iva

0.04


La ojivaUna ojiva es una gráfica de una distribución de frecuencias acumuladas o de frecuencias relativas acumuladas. Para graficarla procedemos siguiendo los pasos que se mencionan a continuación.

trazo de una ojiva

1. Se eligen los ejes de forma similar a los histogramas: hay que escogerlos de forma que los datos (la variable) se ubiquen en el eje horizontal y la frecuencia en el vertical.

2. El primer punto se forma de esta manera: la abscisa es el límite inferior del primer intervalo de clase y la ordenada es cero.

3. Los puntos siguientes se forman con los límites superiores de clase y las frecuencias acumuladas de cada intervalo donde la abscisa es el límite superior y la ordenada es la frecuencia acumulada.

4. Se unen los puntos con segmentos de recta.

Este tipo de gráfica nos permite ver cuántos datos están por encima de ciertos valores, en vez de cuántos datos hay en un intervalo.

En la figura 4 se presenta la ojiva de las frecuencias acumuladas junto con la distribución de frecuencias respectiva.

Intervalodeclase Frecuenciafi Frecuenciaacumuladafa

5–9 2 2

10–14 4 6

15–19 5 11

20–24 8 19

25–29 21 40

30–34 6 46

35–39 2 48

40-44 2 50

Figura 4. Ojiva.

60

50

40

30

20

10

05 9 14 19 24 29 34 39 44

0 26

11 19

40 46

48

50


Gráfica circularUna gráfica circular es la representación visual de los datos por medio de un círculo dividido en sectores cuyos ángulos son directamente proporcionales a las frecuencias relativas.

trazo de una grafica circular o de pastel

1. Se calculan las frecuencias relativas fr.2. Se calculan los ángulos q de los sectores con la fórmula q = fr × 360°.3. Se traza la circunferencia dividida en sectores cuyos ángulos se calcularon

en el paso anterior.

Los datos siguientes representan los puntos obtenidos en una prueba de admisión a una preparatoria, aplicada a 360 estudiantes de tercer año de secundaria. Con base en ellos traza una gráfica de pastel.

puntos Frecuenciaabsolutafi


Ánguloengradosq=fr×360°

321 a 331 4 4360 4

332 a 342 10 10360 10

343 a 353 29 29360 29

354 a 364 60 60360 60

365 a 375 78 78360 78

376 a 386 63 63360 63

387 a 397 52 52360 52

398 a 408 31 31360 31

409 a 419 25 25360 25

420 a 430 8 8360 8

Para trazar la gráfica circular puede emplearse un trasportador o la computa-dora; la gráfica de pastel quedaría como se muestra en la figura 5, que se dibujó mediante un programa de hoja de cálculo.

En la gráfica de pastel de la izquierda se observa el ángulo del sector circular, así como la frecuencia relativa y el porcentaje del “pastel” que representa.

ejemplo 5

6017%

7822%

6317%

5214%

82%

41%

103%

298%

257%31

9%

Frecuencias y porcentajes

Figura 5. Gráfica circular o de pastel.

6317%

7822%

5214%

6017%

Procesamiento de datos mediante medidas numéricas 253

Las distribuciones de frecuencias y las gráficas permiten entender el comporta-miento y la tendencia de los datos recopilados; sin embargo, esto es insuficiente, ya que impide establecer proposiciones cuantitativas. Para ello hay que observar que las distribuciones tienen dos características:

1. La acumulación de los datos alrededor de un valor central.2. La dispersión de los datos alrededor de un valor central.

Las medidas numéricas asociadas a estas características son las denominadas medidasdetendenciacentral y las medidasdedispersión.

Medidas de tendencia centralUna forma útil de describir una característica de un conjunto de datos consiste en hallar valores, conocidos como medidasde tendencia central, en torno de los cuales los datos tienden a concentrarse, de manera que los “representan”.

Las medidas de tendencia central que trataremos en este libro son la media, la mediana y la moda.

La media

Esta medida de tendencia central, conocida también como promedio aritmético,es la más comúnmente utilizada y se define como la suma de todos los valores que adquiere la variable dividida entre el número total de éstos.

Si x1, x2, x3,…, xn representan los valores de la variable entonces la media, que se simboliza con x (equis barra), está determinada por la expresión:

x = ΣxN

donde x representa la media, Σx la suma de todos los datos y N el número total de éstos.

Halla la media del siguiente conjunto de datos:

6, 3, 8, 5, 4, 3, 7, 2, 9, 8

SOLUCiónAquí el número total de datos es 10, es decir, N = 10, luego:

x = ΣxN = 6 + 3 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 2 + 9 + 8

10 = 5510

x = 5.5

Procesamiento de datos mediante medidas numéricas

medidas de tendencia central

medidas de dispersión

ejemplo 6


Obtención de la media de una distribución de frecuencias de datos no agrupados

Para calcular la media de una distribución de frecuencias de datos no agrupados se utiliza la fórmula:

x = ΣfxN

donde x representa la media, ∑ fx el producto de una frecuencia de ocurrencia (la f ) por un dato (la x) y N el número total de datos.

Halla la media de la siguiente distribución de frecuencias:

x Frecuenciaf

1 3

2 4

3 2

4 6

5 7

6 9

7 8

8 6

9 4

10 3

N = 52

SOLUCión

x f fx

1 3 3

2 4 8

3 2 6

4 6 24

5 7 35

6 9 54

7 8 56

8 6 48

9 4 36

10 3 30

N = 52 Σfx = 300

ejemplo 7


Por tanto:

x = ΣfxN = 300

52

x = 5.8

Para obtener la media de una distribución de frecuencia de datos agrupados se utiliza la fórmula:

x = Σfixi

N

donde xi es la marca de clase, fi la frecuencia de la clase y N el número total de datos.

Halla la media de la siguiente distribución de frecuencias de datos agrupados.

Distribución de frecuencias de los niveles de cotinina de 45 fumadores.

Cotininaenmg/ml

Frecuencia

0–99 16

100–199 12

200–299 14

300–399 2

400–499 1

N = 45

SOLUCión

Intervalodeclase Frecuenciafi Marcadeclasexi fx

0–99 16 49.5 792

100–199 12 149.5 1794

200–299 14 249.5 3493

300–399 2 349.5 699

400–499 1 449.5 449.5

N = 45 Σfi xi = 7227.5

x = ΣfxN = 7227.5

45

x = 160.6 mg/ml

ejemplo 8


La mediana

La mediana (Me) de un conjunto de datos no agrupados, previamente ordenados, es el dato que divide en dos partes iguales el total de ellos.

Para calcular la mediana de un conjunto de datos no agrupados procedemos de la siguiente manera:

1. Se ordenan los datos.2. Si el número de datos es un número impar, la mediana (Me) es el dato que

está en la posición central.3. Si el número de datos es un número par, se tienen dos datos centrales y la

mediana es la media de los dos valores centrales.

a. Una muestra de los ingresos de una compañía por ventas mensuales en miles de dólares para siete meses es de:

58, 56, 67, 54, 48, 50 y 63

Determina la mediana de este conjunto de datos.

SOLUCiónSe ordenan primero los datos 48, 50, 54, 56, 58, 63, 67. El valor central (el de en medio) de la serie ordenada anterior es 56; por tanto:

Me = 56 mil dólares

b. Determina la mediana del siguiente conjunto de datos:

6, 5, 9, 7, 18, 12, 11 y 15

SOLUCiónSe ordenan primero los datos: 5, 6, 7, 9, 11, 12, 15 y 18. El número de datos es un número par, por ende, la mediana es la media de los valores centrales, que son 9 y 11.

Me = 9 + 112 = 9 + 11

2

Me = 10

Halla la mediana de la siguiente distribución de frecuencias de datos no agru-pados:

x fi

1 2

2 3

3 4

4 5

5 4

6 3

7 2

N = 23

ejemplo 9

ejemplo 11


SOLUCiónComo primer paso, mediante una distribución de frecuencias acumuladas se loca-liza la posición de la mediana, que es a la mitad de los datos:

Posición de la mediana = 232 = 11.5

x fi fa

1 2 2

2 3 5

3 4 9

4 5 14

5 4 18

6 3 21

7 2 23

N = 23

Con base en lo anterior, el valor de la mediana es 4, es decir,

Me = 4

Si los datos están agrupados, la mediana se determina de esta forma:

1. Se localiza la posición de la mediana; para ello es necesario construir una distribución de frecuencias acumuladas.

2. Se utiliza la fórmula

Me = LMe +

N2

− fa

fMe cMe

donde Me representa la mediana, LMe el límite inferior del intervalo de clase donde se encuentra la mediana, N el número total de datos, fa la suma de las frecuencias anteriores a la clase donde se localiza la mediana, fMe la frecuencia de la clase donde se encuentra la mediana y cMe la amplitud de la clase donde está la mediana.

Cabe señalar que algunos autores emplean la frontera inferior de clase en lugar del límite inferior de clase. Para evitar confusiones, en este texto usaremos la fórmula presentada arriba.

Determina la mediana de la siguiente distribución de frecuencias de datos agru-pados:

Intervalodeclase fi

20–29 10

30–39 16

40–49 27

ejemplo 12


50–59 32

60-69 15

N = 100

SOLUCiónSe agrega primero a la tabla la columna de frecuencias acumuladas ( fa):

Intervalodeclase f fa

20–29 10 10

30–39 16 26

40–49 27 53

50–59 32 85

60–69 15 100

Puesto que N = 100, entonces se busca el quincuagésimo dato N2 = (50). Se

observa que este dato cae dentro del intervalo 40–49. En este caso tenemos que LMe = 40, N = 100, fa = 26, fMe = 27 y c = 10. Entonces se hacen las sustituciones respectivas en la fórmula:

Me = LMe +

N2

− fa

fMe CMe

Me = 40 +

1002

− 26

27 10

Me = 40 + 8.89 Me = 48.9

La moda

Para datos no agrupados, la moda, denotada por Mo, es el dato que presenta mayor frecuencia. La moda puede no existir e incluso no ser única, en caso de existir.

a. Halla la moda de este conjunto de datos: 35, 45, 52, 56, 67 y 67.

SOLUCiónLa moda de este conjunto de datos es 67, pues es el que se presenta con mayor frecuencia.

b. Halla la moda de este conjunto de datos: 52, 48, 50, 49 y 47.

SOLUCiónSe observa que este conjunto de datos carece de moda.

c. Los salarios por hora de nueve trabajadores de una pequeña empresa son $9, $8, $9, $7, $5, $6, $3, $4, $8. Encuentra la moda.

SOLUCiónSe observa que este conjunto de datos contiene dos modas: $8 y $9.

ejemplo 13


d. Halla la moda de la siguiente distribución de frecuencias de datos no agrupados.

x f

1 2

2 4

3 5

4 7

5 6

6 4

7 6

SOLUCiónEn el caso de una distribución de frecuencias simple, la moda es el valor de mayor frecuencia. En este ejemplo, la moda es 4, es decir

Mo = 4

Para utilizar el valor de la moda de una distribución de frecuencias de datos agrupados se emplea la fórmula siguiente:

Mo = LMo + Δ1

Δ1 + Δ2 c

donde LMo es el límite inferior de la clase modal (es decir, la frecuencia más alta de la clase c); Δ1 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal − frecuencia de la clase que le antecede; Δ2 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal − frecuencia de la clase que le sigue, y c es el ancho de clase de la clase modal.

Halla la moda de la distribución de frecuencias siguiente:

Intervalodeclase Frecuenciaf

50–59 3

60–69 7

70–79 18

80–89 12

90–99 8

100-109 2

N = 50

SOLUCiónLa clase modal es 70-79, pues es la que tiene la frecuencia más alta; por ende:

ejemplo 14


LMo = 70 Δ1 = 18 − 7 = 11 Δ2 = 18 − 12 = 6 c = 10

Al hacer las sustituciones correspondientes queda:

Mo = LMo + Δ1

Δ1 + Δ2 c

Mo = 70 + 11

11 + 6 10

Mo = 76.47

Mo ≈ 76.5

IV Actividades de aprendizaje

i. AplicAciones.

1. En la clase de Educación para la salud se pidió a 15 estudiantes de una preparatoria seleccionados al azar que dijeran el número de horas que durmieron la noche anterior. Los datos obtenidos fueron: 7, 8, 5, 6, 8, 9, 5, 8, 11, 10, 8, 6, 7, 7, 6. Determina:

a. La media b. La mediana c. La moda

x = 7.4 horas

a. La media b. La mediana c. La moda

30 min

2. En la misma clase de Educación para la salud se pidió a 18 estudiantes que se sometieran a una prueba para medir su capacidad física para el ejercicio. La capacidad de estos estudiantes medida en minutos (min) fue: 30, 27, 35, 26, 30, 29, 33, 31, 32, 31, 25, 32, 25, 27, 30, 30, 33, 34. Determina:


3. Los datos siguientes son los aumentos de peso en gramos (g) de 80 pollos alimentados con una dieta rica en proteínas. Con base en ellos, determina lo que se indica en cada inciso.

aumentodepesox Frecuenciafi

20.8 10

22.5 16

24.6 22

25.0 18

26.8 14

N = 80

a. El aumento de peso medio.

b. La mediana de la distribución de frecuencias.

c. La moda de la distribución de frecuencias.

x = 24.2 g

a. La media de comidas. b. La mediana de comidas. c. El número modal de comidas.

x = 16.5 comidas Me=17.5 comidas Mo= 18.7 comidas

4. “Comida sobre ruedas” es un programa que consiste en llevar comida caliente a enfermos confinados en casa y se desea evaluar sus servicios. El número de comidas diarias que suministra aparece en la siguiente distribución de frecuencias:

Númerodecomidasdiarias(x) Númerodedías(frecuencia)

0–6 4

7–13 6

14–20 10

21–27 8

28–34 2

N = 30


5. El ausentismo diario de una empresa parece ir en aumento. El año pasado un promedio de 40.2 empleados estuvo ausente algunos días. Se recolectó una muestra del año en curso y los resultados se ubicaron en la distribución de frecuencias que se muestra a continuación. Con base en ella determina lo que se indica en cada inciso.

Númerodeempleadosausentes Díasenlosqueesenúmeroestuvoausente

20-28 3

29-37 9

38-46 8

47-55 10

56-64 9

65-73 6

N = 45

a. La media. b. La mediana. c. La moda.

x = 48.2 Me= 49.25 Mo= 53

d. Con base en los resultados, ¿a qué conclusiones llegas? En parejas, discútelo, obtén conclusiones y preséntalas oralmente a tus compañeros de clase.

Medidas de dispersiónHemos visto que la moda, la mediana y la media sirven para ubicar el centro de un conjunto de datos. Pero para formarse el panorama de lo que en realidad indican los datos, es decir, para interpretarlos cabalmente rara vez es suficiente contar con esas medidas de tendencia central.

Una descripción más completa puede obtenerse si también se mide cuán dis-persos están los datos alrededor de la tendencia central. Justo para ello se emplean las medidas de dispersión o de variabilidad, ya que indican cuánto se desvían los datos, por ejemplo, de la media.

En otras palabras, para tener una base completa que permita, posteriormente, tomar decisiones se necesita conocer tanto las medidas de tendencia central como las comúnmente conocidas como de dispersión o variabilidad.

Las medidas de dispersión miden cuánto se separan (dispersan) los datos alre-dedor de la tendencia central. En esta sección trataremos las siguientes medidas de dispersión o variabilidad:

• El rango• La desviación media• La varianza• La variación estándar o desviación estándar


El rango

El rango (R) es la diferencia que hay entre el dato de mayor valor y el de menor valor. Esta medida de dispersión es la más simple y fácil de calcular; sin embargo, presenta la desventaja de que sólo considera dos datos, el resto son obviados.

Los datos siguientes indican el tiempo en segundos (s) que tomó a 10 automóviles acelerar desde el reposo hasta alcanzar una velocidad de 100 kilómetros por hora (km/h). ¿Cuál es el rango?

14, 15, 12, 18, 17, 14, 19, 16, 15 y 20

SOLUCión Dato mayor = 20 segundos Dato menor = 12 segundos

Rango (R) = 20 segundos – 12 segundos R = 8 segundos

Desviación media

La desviación media, representada con DM, de un conjunto de números x1, x2, x3, … xn se define como:

DM = Σ |xi − x |N

donde DM es la desviación media, |xi − x| es el valor absoluto de la desviación de xi respecto a la media de los datos x, Σ|xi − x|es la suma de todas las desvia-ciones absolutas y N es el número total de datos.

Halla la desviación media de este conjunto de datos: 1, 2, 4, 6, 8 y 9.

SOLUCiónPaso 1: encuentra la media de los datos.

x = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 9

6

x = 306

x = 5

Paso 2: determina la desviación absoluta |xi − x| de cada dato:

xi |xi−x |

1 |1 – 5| = 4

2 |2 – 5| = 3

4 |4 – 5| = 1

6 |6 – 5| = 1

8 |8 – 5| = 3

9 |9 – 5| = 4

ejemplo 15

ejemplo 16


Paso 3: halla la suma de todas las desviaciones absolutas:

Σ |xi − x|=4 + 3 + 1 + 1 + 3 + 4 |xi − x|=16

Paso 4: encuentra la desviación media.

DM = Σ |xi − x |n

DM = 166

DM = 83 = 2.67

V Actividades de aprendizaje

i. AplicAción. Sobreunaescaladiseñadaparamediractitudeshacialasegregaciónracial,dosgruposuniversitariosobtuvieron lospuntajessiguientes:

GrupoA GrupoB

4 3

6 3

2 2

1 1

1 4

1 2

1. Compara la variabilidad de actitudes hacia la segregación racial entre los miembros de los grupos A y B calculando el rango de los puntos para cada grupo.


2. Compara la variabilidad calculando la desviación media de los puntajes para cada grupo.

3. ¿Cuál grupo presenta mayor variabilidad de puntaje de actitud? Escribe una breve síntesis y léela en voz alta frente a tus compañeros de grupo.

La varianza

La varianza es una medida de la dispersión de los datos respecto a la media. Se simboliza con s2 y se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media, dividida entre el número total de datos (N), es decir,

s2 = Σ (x − x )2

N

Veamos un ejemplo de su aplicación.


Halla la varianza de este conjunto de datos: 8, 3, 6, 3 y 5.

SOLUCiónPaso 1: se determina la media de los datos:

x = 8 + 3 + 6 + 3 + 5

5 = 5

x = 5

Paso 2: se obtiene el cuadrado de cada desviación respecto a la media:

x (xi−x)2

8 (8 – 5)2 = 9

3 (3 – 5)2 = 4

6 (6 – 5)2 = 1

3 (3 – 5)2 = 4

5 (5 – 5)2 = 0

Paso 3: se calcula la suma de las desviaciones cuadráticas obtenidas en el paso anterior:

Σ (xi − x)2=9 + 4 + 1 + 4 + 0 Σ (xi − x)2=18

Paso 4: finalmente, se calcula la varianza:

s2 = Σ (x − x )2

N

s2 = 185

s2 = 3.6

La desviación estándar

Al utilizar la varianza como medida de dispersión en lugar de la desviación media se obtiene un cambio en la unidad de medición, lo que dificulta la inter-pretación de resultados. Así, la varianza de los datos del ejemplo anterior es 3.6, pero ¿3.6 unidades cuadradas de qué?

Entonces, para regresar a la unidad de medición original, obtengamos la raíz cuadrada de la varianza. Dicho de otro modo, obtengamos la desviación estándar, que se representa con el símbolo s y se define como la raíz cuadrada de la varianza:

s = Σ (x − x )2

N

A fin de obtener una mejor estimación de la desviación estándar de una población algunos autores la definen como

s = Σ (x − x )2

n−1

pero como para grandes valores de n prácticamente es inexistente la diferencia entre ambas definiciones, en este libro nos quedamos con la primera de ellas.

Un método sencillo para calcular la desviación estándar (sencillo porque se trabaja directamente con los datos no procesados) es el uso de la fórmula:

ejemplo 17


s = Σ x2

N − x2

donde s es la desviación estándar, Σx2 la suma de los datos no procesados eleva-dos al cuadrado, N = el número total de datos y x2 la media elevada al cuadrado.

Halla la desviación estándar o típica del siguiente conjunto de datos: 9, 8, 6, 1, 2, 4.

SOLUCión

Método 1 Método 2:En este caso, empleamos la fórmula:

s = Σ (x − x )2

N

donde:

x = 9 + 8 + 6 + 1 + 2 + 4

6 = 5

luego:

s = (9−5)2+(8−5)2+(6−5)2+(1−5)2+(2−5)2+(4−5)2

6

s = 16+9+1+16+9+16

s = 2.94

En este otro caso tenemos empleamos:

s = Σ x2

N − x2

donde:

Σx2 = (9)2 + (8)2 + (6)2 + (1)2 + (2)2 + (4)2 = 202

luego:

s =

2026 − (5)2 = √8.67

s = 2.94

Por otra parte, para obtener la desviación estándar de un conjunto de datos orde-nados en forma de una distribución de frecuencia simple (datos no agrupados), aplicamos la fórmula:

s = Σ fx2

N − x2

ejemplo 18

Escribe un resumen donde expliques cómo hallar la media, la mediana, la moda, el rango, la varianza y la desviación estándar de la distribu-ción de frecuencias siguiente. Léelo ante tus compañeros y escucha el de algunos de ellos. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales; úsalas para evaluar tu texto.

x F

1 2

2 3

3 6

4 5

5 1

6 3



Halla la desviación estándar de la siguiente distribución de frecuencias:

x Frecuencia f

1 1

2 2

3 2

4 5

5 3

6 2

7 1

SOLUCiónPaso 1: multiplica cada valor x por su frecuencia correspondiente para obtener fx y hallar Σ fx.

Paso 2: multiplica cada fx por x para obtener fx2 y hallar Σ fx2.

Ambos pasos se representan en la tabla siguiente:

X f fx fx2

1 1 1 1

2 2 4 8

3 2 6 18

4 5 20 80

5 3 15 75

6 2 12 72

7 1 7 49

N = 16 Σ fx = 65 Σ fx2 = 303

Paso 3: se determina la media:

x = ΣfxN =

6516 = 4.06

Paso 4: se determina la desviación estándar mediante la fórmula:

s = Σ fx2

N − x

luego:

s = 30316 − (4.06)2

s = √18.9375 − 16.4836

s = √2.4539 s = 1.57

ejemplo 19


Halla la desviación estándar o típica de la siguiente distribución de frecuencia de datos agregados:


2-4 2

5-7 4

8-10 5

11-13 3

14–16 2

17-19 1

N = 17

SOLUCiónPara encontrar la desviación estándar de una distribución de frecuencias de datos no agrupados utilizamos la fórmula:

s = Σ fx2

N − x2

donde x representa la marca de clase del intervalo de clase correspondiente.

Intervalodeclase f Marcadeclasex

fx fx2

2-4 2 3 6 18

5-7 4 6 24 144

8-10 5 9 45 405

11-13 3 12 36 432

14-16 2 15 30 450

17-19 1 18 18 324

N = 17 Σfx = 159 Σfx2 = 1773

A continuación se calcula la media:

x = Σ fxN =

15917

x = 9.35

Ahora se determina el valor de la desviación estándar:

s = Σ fx2

N − x2

s = 177317 − (9.35)2

s = 4.1

ejemplo 20


En parejas, explica a un compañero cómo hallar el rango, la varianza y la desviación estándar de este conjunto de datos, que reflejan los tiempos de espera en minutos de ocho clientes de un banco: 4, 2, 6, 6, 7, 8, 9 y 10. Escucha atentamente la explicación de tu compañero. Juntos, obtengan conclusiones y preséntenlas ante el grupo. Escuchen las de otros compañeros. Con la guía del profesor, lleguen a conclu-siones generales, con base en las cuales han de coevaluar su trabajo.

CoMuNICaRpaRaapRENDER

VI Actividades de aprendizaje

1. La tabla siguiente es una distribución de frecuencias de altura de 100 estudiantes de una preparatoria. Halla lo que se indica en cada inciso.

alturaenpulgadas Númerodeestudiantes

Marcadeclasex fx fx2

60-62 7

63-65 20

66-68 44

69-71 25

72-74 4

N = 100 Σfx = Σfx2 =

a. Media b. Desviación estándar c. Varianza

x = 67 2 s2 = 4


2. La tabla siguiente corresponde a los niveles de cotinina de una muestra de 42 fumadores. Halla lo que indica en cada inciso:

Cotininaenmg/ml

frecuencia Marcadeclase

fx fx2

0–99 10

100–199 12

200–299 14

300–399 4

400-499 2

N = 42 Σfx = Σfx2 =

El año pasado, el tiempo para terminar un trabajo determinado en las oficinas administrativas de una editorial arrojó las estadísticas siguientes en horas: una media de 12.8, una mediana de 13.6, una moda de 15.1 y una desviación estándar de 2.9. El director general contrató a un consultor para que evaluara los cambios en la eficiencia de los empleados. En la tabla siguiente se muestran los datos más recientes. Calcula los estadísticos correspondientes (media, mediana, moda, varianza y desviación estándar) a estos datos y prepara un breve informe de tus conclusiones.


a. Media b. Varianza. c. Desviación estándar.

x = 192.36 s2 = 11 971.7 s = 109.4


Horastomadashastalaterminacióndeltrabajo

Númerodevecesquedichotrabajosetomóestetiempo

5–6.99 4

7–8.99 8

9–10.99 12

11–12.99 8

13–14.99 5

15–16.99 2

Intervalodeclase

Frecuencia Marcadeclasex

fx fx2

5–6.99 4

7–8.99 8

9–10.99 12

11–12.99 8

13–14.99 5

15–16.99 2



i. Laspreguntas1a8serefierena lasiguientedistribucióndefrecuencias:

presiónsanguíneasistólicadevarones Frecuencia

90–99 1

100–109 4

110–119 24

120–129 18

130–139 14

140–149 3

150-159 1

1. Identifica los límites inferiores de clase.

2. Identifica los límites superiores de clase.

3. Identifica las fronteras inferiores de clase.

4. Identifica las fronteras superiores de clase.

5. Identifica el ancho de clase.

6. Identifica a cuántos varones se les tomó la presión sanguínea.

7. ¿Cuántos varones tienen la presión sanguínea sistólica menor que 120?

8. ¿Cuántos varones tienen la presión sanguínea sistólica mayor que 139?

9. La tabla siguiente representa el número de obreros de una gran compañía que faltaron al trabajo en un periodo de 50 días consecutivos. Construye las columnas correspondientes a la marca de clase, frecuencia acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.

obreros Frecuencia Marcadeclase

Frecuenciaacumuladafa


Frecuenciarelativaacumulada

3–6 10

7–10 7

11–14 5

15–18 8

19–22 12

23-26 8


ii. Enlasactividadessiguientes,eligelaopcióncorrecta.

10. Si la media de cinco enteros consecutivos es w, ¿cuál es la mediana de estos números?

a. w − 1b. w + 1c. w − 2d. w + 2e. w

11. La media de diez números es 75. ¿Cuál es el pro-medio si se añaden 80 y 76?

a. 76.5b. 76c. 75.5d. 78

12. En una clase de historia las calificaciones finales de los estudiantes es la mayor de la media y la mediana. Un estudiante obtuvo las calificaciones siguientes en sus exámenes parciales: 89, 82, 90, 76 y 85. ¿Cuál es la calificación que recibe?

a. 89.5b. 86.5c. 85d. 90

13. La media de 84, 92, x, 75 y 80 es 86. ¿Cuál es el valor de x?

a. 97b. 96c. 99d. 98

14. En la tabla siguiente se muestran los pesos en ki-logramos (kg) de un grupo de amigos. ¿Cuántos pesan 58 kg si se sabe que la media es 55.8 kg?

peso Frecuencia

54 4

58 x

52 2

56 8

a. x = 7b. x = 6c. x = 5d. x = 6.5

75.5

99

x = 6


15. Para los datos 4, 5, 5, 7, 8 y 13, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

a. El conjunto de datos carece de moda.b. El promedio de los datos es 7.c. La mediana es uno de los datos.d. La mediana es mayor que la media.e. La moda es mayor que la media.

iii. Conbaseen la información siguiente, contesta laspreguntas16a18.Acontinuación sepresentan las edadesdemotociclistasquesehirieronmortalmenteenaccidentesdetránsitoen laciudaddeMonterrey:

25, 31, 20, 30, 24, 40, 15, 23, 20, 25, 28, 20, 26, 42, 17, 30, 21, 14, 34, 15

16. Halla la media del conjunto de datos.

a. 22 añosb. 24 añosc. 23 añosd. 25 años

17. Determina la mediana.

a. 24.5 añosb. 25 añosc. 24 añosd. 25.5 años

18. Halla la moda

a. 20 añosb. 40 añosc. 30 añosd. No tiene moda

20 años

24.5 años25 años


iv. Laspreguntas19a24serefierena lasiguientedistribucióndefrecuenciassimple:

x f

1 1

2 1

3 2

4 5

5 7

6 9

7 8

8 6

9 4

10 3

N = 46

19. Encuentra la media de la distribución de frecuen-cias.

a. x = 6.26b. x = 7.2c. x = 6.84d. x = 6.0

20. ¿Cuál es la mediana de la distribución de fre-cuencias?

a. 4b. 7c. 5d. 6

21. Identifica la moda.

22. Determina el rango.

23. Halla la varianza de la distribución de frecuen-cias.

a. 5.08b. 5.6c. 4.33d. 3.87

24. Encuentra la desviación estándar o típica de la distribución de frecuencias.

a. 2.08b. 2.25c. 2.37d. 1.97

x = 6.26

4.336

2.08


v. Laspreguntas25a29refierena lasiguientedistribucióndefrecuenciasdedatosagrupados:

Intervalodeclase Frecuenciaf

5–7 1

8–10 5

11–13 6

14–16 3

17–19 2

N = 17

25. Encuentra la media.

a. x = 13b. x = 12c. x = 12.5d. x = 13.5

26. Encuentra la mediana.

a. Me = 12b. Me = 12.5c. Me = 12.25d. Me = 12.6

27. Encuentra la moda.

a. Mo = 12b. Mo = 11.75c. Mo = 12.25d. Mo = 11.5

28. Encuentra la varianza de la distribución de fre-cuencias.

a. 11.83b. 10.59c. 11.5d. 9.85

29. Encuentra la desviación estándar.

a. 3.43b. 3.14c. 3.40d. 3.25

Me = 12.25

10.59Mo = 11.75

3.25


vi. AplicAción.Calculalamedia,lamediana,lamodayladesviaciónestándardelosdatossiguientesycomparaambosaños.¿Cuálessontusconclusiones?

El ausentismo diario en una oficina parece ir en aumento. El año pasado un promedio de 45.6 empleados estuvo ausente algunos días con una desviación estándar de 14.5. El director de la oficina contrató a un consultor externo para evaluar el ausentismo de este año. Se recolectó una muestra de datos para el año en curso y aquí se muestran en la siguiente distribución de frecuencias:

Númerodeempleadosausentes Díasenlosqueestenúmeroestuvoausente

20 – 28 5

29 – 37 9

38 – 46 10

47 – 55 8

56 – 64 6

65 – 73 2

N = 40

Intervalodeclase Frecuencia Marcadeclase fx fx2

20–28 5

29–37 9

38–46 10

47–55 8

56–64 6

65–73 2

N = 40 Σfx = Σfx2 =

BLO

QU


Una tabla de mortalidad muestra que la probabilidad de que Olivia y Laura vivan 30 años más son 0.6 y 0.7, respectivamente.

¿Cómo se llega a tales resultados? Y cabe preguntar: ¿cuál es la probabili-dad de que dentro de 30 años ambas ya no existan? ¿Cuál es la probabilidad de que dentro de 30 años únicamente viva Olivia? ¿Cuál es la probabilidad de que dentro de 30 años únicamente viva Laura?

Las reglas de la probabilidad que aprenderás en este bloque te permitirán, entre otras tareas, responder a las anteriores preguntas.

Concepto de probabilidad

Concepto de la probabilidad

OBjEtOS

dE COnOCimiEntO

280 B L O Q U E 9 ConCepto de probabilidad


Responde a las preguntas siguientes:

1. Si se tira un dado

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 o un 5?

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 o un número mayor que 3?

2. Una caja contiene seis bolas azules, cuatro verdes y ocho negras. Si se extrae aleatoriamente una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea

a. verde? b. azul o verde? c. negra? d. roja?

3. Si se tira una moneda tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila las tres veces?

4. Un tazón contiene ocho bolitas rojas, dos blancas, cuatro azules y seis negras

a. Si se extraen dos bolas sucesivamente (una y luego la otra) con reemplazo o reposición,1 ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda negra?

b. Si se extraen sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda azul?

1 Esto significa que se selecciona una bola, se observa su color, y se repone o devuelve a la caja y a continuación se revuelven bien las bolas y se realiza la segunda selección.

Concepto de probabilidad 281

Concepto de probabilidad

Espacios muestrales sencillos

Probabilidad de sucesos simples

Probabilidad de eventos compuestos

La matemática es un instrumento para comprender y transformar el mundo. Esto se pone de manifiesto cuando expresamos matemáticamente las leyes de la natu-raleza.

La matemática que has estudiado hasta ahora se aplica a la descripción causal de los fenómenos. Este tipo de descripción permite, hasta cierto punto, predecir las consecuencias si se conocen las causas.

Por ejemplo, si sabemos la altura desde la que se deja caer un objeto, podemos calcular la velocidad con la que chocará con el suelo por medio de la fórmula v = √2gh, donde g representa la aceleración debida a la gravedad y h la altura.

Este tipo de fenómenos, que pueden ser modelados mediante una descripción causal, reciben el nombre de fenómenos deterministas. Pero no son los únicos que existen. Además de los fenómenos deterministas hay otros, denominados fenómenos aleatorios, para los que resulta imposible hacer una descripción causal, ya que no es posible predecir su resultado.

Un ejemplo de fenómeno aleatorio es la determinación del sexo de un embrión, pues la ciencia actual no permite predecir cómo se acoplarán los cromosomas sexuales y, por tanto, no podemos conocer el sexo hasta que el embrión esté for-mado y desarrollado.

Sin embargo, el hecho de que sea imposible una descripción causal no significa que los fenómenos aleatorios o relativos al azar no puedan describirse matemáti-camente.

En estos casos se emplea una descripción probabilística, y en este bloque hare-mos una introducción al estudio de la probabilidad.

Hay diferentes formas de presentar el concepto de probabilidad; en este texto nos limitaremos al concepto clásico basado en la noción intuitiva de sucesos igual-mente probables.

De manera intuitiva consideramos que dos sucesos son igualmente probables cuando ambos tienen la misma probabilidad de ocurrir o, lo que es lo mismo, si repetimos el experimento un número muy grande de veces, ambos ocurrirán, de manera aproximada, el mismo número de veces.

Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire esperamos que el hecho de que muestre una águila y el hecho de que muestre un sol sean igual de probables. Si lanzamos una moneda diez mil veces, debe resultar águila aproximadamente el mismo número de veces que sol, o sea, unas cinco mil veces.


espacios muestrales sencillosA continuación se considerarán algunos casos de experimentos probabilísticos y de sus espacios muestrales.

a. Si se lanza un dado, éste puede caer de seis maneras posibles: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Luego, el espacio muestral es el conjunto:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b. Si se lanzan dos dados, éstos pueden caer de 36 maneras posibles, las cuales pueden determinarse de los diagramas de árbol siguientes:

Probabilidad y espacio muestral

Si un suceso A puede ocurrir en n casos de m casos posibles e |igualmente probables, entonces, la probabilidad de que ocurra A, lo cual se representa con P(A), se define como:

P(A) = nm = número de casos favorables

número de casos posibles

Por otra parte, el conjunto de todos los resultados posibles de todo proceso que produce un resultado u observación (experimento) se llama espacio muestral.

En parejas, explica a un compañero cuándo un fenómeno es aleatorio y cuándo es determinista. Cita ejemplos. Escucha la explicación de tu compañero. Obtengan conclusiones y preséntenlas oralmente al resto del grupo. Con la guía del profesor, lleguen a conclusiones generales.


ejemplo 1

1

123456

4

123456

2

123456

5

123456

3

123456

6

123456


El espacio muestral para este experimento sería el conjunto:

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2),

(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

c. Si se lanza una moneda, ésta puede caer de dos formas: águila o sol; por tanto, el espacio muestral de este experimento sería el conjunto

S = {C, X}

dondeC significa águila y X significa sol.

d. Si se lanzan dos monedas, éstas pueden caer de cuatro formas posibles, que se pueden determinar a partir del diagrama de árbol siguiente:

Elespacio muestral de este experimento sería el conjunto

S = {(C, X), (C, C), (X, C), (X, X)}

e. Si se lanzan tres monedas, éstas pueden caer de ocho formas posibles, que pueden determinarse a partir del diagrama de árbol siguiente:

CC

CX

XCX

XC

CX

XCX

CCX

XCX

El espacio muestral de este experimento es el conjunto:

S = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}

e. Una caja contiene una bola roja, una blanca y otra azul. Si se seleccionan dos bolas con remplazo o reposición (recuerda que esto significa que se selec-ciona una bola, se observa su color y se repone o devuelve a la caja) y a continuación se revuelven bien las bolas y se realiza la segunda selección, el espacio muestral resultante puede presentarse de dos formas: mediante un diagrama de árbol o por medio de nota-ción de conjuntos

S = {RR, RB, RA, BR, BB, BA, AR, AB, AA}

RRBA

BRBA

ARBA


f. Es el mismo que el experimento anterior, excepto que la primera bola no se repone. El espacio muestral es el siguiente, expresado en diagrama de árbol a la izquierda y en notación de conjuntos:

S = {RB, RA, BR, BA, AR, AB}

g. Una caja de dominó contiene 28 fichas. Si se extrae una de la caja, su valor sería uno de 28 resultados posibles (pues puede ser cualquiera de las 28 fichas), de manera que el espacio muestral tendría 28 elementos y podríamos expresarlo así:

S = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6) (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6)}

h. En una baraja de póquer se tiene cuatro palos (series de cartas), cada uno de los cuales se forma de 13 cartas:

As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

Por tanto, si se extrae una carta al azar el espacio muestral es el siguiente:

Palos

Trébol (negro): As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

Diamantes (rojo): As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

Corazón (picas) negro: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

Corazón (picas) rojo: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

Observa que cada palo contiene tres figuras: J, Q y R.

Antes de ver algunos ejemplos de probabilidad de eventos simples, es importante precisar lo siguiente:

1. El valor de una probabilidad siempre es un valor numérico entre cero y uno.

0 ≤ P(A) ≤ 1

2. Si el evento no puede ocurrir, su probabilidad es cero.3. Si el evento ocurre siempre, entonces su probabilidad es 1.4. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es P, entonces de que no ocurra

es 1 − P y lo representamos con q, de modo que

q = 1 − P

RBA

BRA

ARB

Elabora un pequeño cartel donde expliques cómo determinar el espa-cio muestral de los siguientes eventos:

• Se tira un dado.• Se tiran dos dados simultáneamente.• Se tiran dos monedas cuyas caras son águila y sol.• Se tiran tres monedas simultáneamente.



probabilidad de eventos simplesUn suceso es simple si su ocurrencia o no ocurrencia no está relacionada con ningún otro evento.

a. Calcula la probabilidad de que al tirar un dado caiga un número par:

SOLUCiónEl espacio muestral de este suceso es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los casos favorables son: {2, 4, 6}; luego,

P = número de casos favorablesnúmero de casos posibles

P = 36 = 1

2

P = 12

b. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma de las puntuaciones sean 10.

SOLUCiónEl espacio muestral de este suceso se forma de 36 posibilidades:

S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Son tres los casos favorables: (4, 6), (5, 5) y (6, 4); por tanto:

P = número de casos favorablesnúmero de casos posibles = 3

36 = 112

P = 112

c. Una bolsa contiene 10 bolas rojas y cinco negras. Si se saca aleatoriamente una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?

SOLUCiónEn este caso tenemos que el número de casos favorables es igual a 10 y el número de casos posibles es igual a 15; por ende:

P = 1015

P = 23

d. Tres monedas cuyas caras son águila y sol, respectivamente, se lanzan simultá-neamente al aire. Halla la probabilidad de que salgan dos águilas.

Naturalmente, ilustra tu cartel con diagramas de árbol. En un muro del salón, pégalo, y lo mismo deben hacer tus compañeros. Organicen una exposición y reconozcan los tres mejores carteles (los criterios serán claridad y exactitud conceptual, así como pulcritud y creativi-dad en la presentación.)

ejemplo 2


SOLUCiónSe determina primero el espacio muestral:

AA A

X

X AX

XA A

X

X AX

ejemplo 3

S = {AAA, AAX, AXA, AXX, XAA, XAX, XXA, XXX}

El número de casos favorables es tres, en tanto que el de casos posibles es ocho; entonces,

P = 38

a. Si se extrae aleatoriamente una carta de una baraja de 52 cartas, determina la probabilidad de que sea un diamante.

SOLUCiónUna baraja tiene cuatro palos y cada uno de ellos consta de 13 cartas y el espacio muestral es el siguiente:

Palos

Trébol (negro): As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

Diamantes (rojo): As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

Corazón negro: , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

Corazón rojo: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, R

De acuerdo con lo anterior, el número de casos favorables es 13 y el de casos posibles es 52; luego:

P = 1352

P = 14

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea negra?

SOLUCiónNúmero de casos favorables = 26; número de casos posibles = 52; por ende:

P = 2652

P = 12

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un 7?

SOLUCiónNúmero de casos favorables = 4; número de casos posibles = 52

P = 452

P = 113


d. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea figura?

SOLUCiónCada palo tiene tres figuras, J, Q, R; entonces, el número de casos favorables es 12 y el de casos posibles es 52. Por tanto:

P = 1252

P = 313


1. En un grupo de 35 alumnos hay 14 varones. Si se selecciona uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

P = 45

P = 0.6

2. En una caja hay 40 tornillos, de los cuales ocho están oxidados. Si se selecciona uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no esté oxidado?

3. Si se selecciona una letra al azar de la palabra matemática, ¿cuál es la probabilidad de que sea una vocal?

4. Si se tira un dado, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga un número par?


a. no sea verde? b. no sea blanca? c. no sea azul?

5. Si se tira un dado, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga un múltiplo de 9?

7. Una urna contiene seis bolas verdes, cuatro blancas y ocho azules. Si se extrae una al azar, ¿cuál es la pro-babilidad de que sea…

8. Si se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea mayor que 7?

6. Una urna contiene ocho bolas rojas, cinco ne-gras y 12 blancas. Si se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra?

59

512


736

9. Si se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea un múltiplo de 5?

10. Si se saca al azar una carta de una baraja, halla la probabilidad de que sea...a. Un rey. b. Un ocho. c. Un as de corazones.

d. De color rojo. e. Un diamante. f. Un rey de corazones negros (picas).

g. Una figura. h. Una figura de color negro. i. Un corazón.

P = 126


probabilidad de eventos compuestosSe llaman eventos compuestos los que se forman combinando varios eventos sim-ples. En este bloque estudiaremos los siguientes eventos compuestos:

1. La probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B, lo que se simbo-liza con P(A o B).

2. La probabilidad de que ocurran los eventos A y B, P(A y B).

Puesto que el espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles, resulta útil considerar las operaciones de unión e intersección entre dos conjuntos. Supongamos los conjuntos

A = {2, 3, 4, 5, 6} y B = {4, 5, 6, 7, 8}.

Como sabes, el conjunto que resulta de la intersección de A con B, lo que se representa con A ∩ B, es el que se forma por los elementos comunes de A y B:

A ∩ B = {4, 5, 6}

La relación entre los conjuntos A y B se muestra en la fi gura 1.Por su parte, el conjunto A unión B, simbolizado con A ∪ B, es el que se for-

mado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; en nuestro ejemplo:

A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Esta relación entre los conjuntos A y B se muestra en la fi gura 2.

Probabilidad del evento compuesto A o B (A ∪ B)

Consideremos el experimento de lanzar un solo dado. El espacio muestral corres-pondiente es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o un número mayor que 4?

Estos dos eventos pueden representarse por medio de los conjuntos A = {2, 4, 6} y B = {5, 6}. En la fi gura 3 se muestra el diagrama de Venn de la relación entre A y B.

2

3

7

8

Figura 1. diagrama de Venn de a ∩ b.

2

3

5

67

8

Figura 2. diagrama de Venn de la operación a ∪ b.

2

46 5

Figura 3.

Sabemos que P(A) = 36 = 1

2 y que P(B) = 26 = 1

3 . Por tanto, parece razonable sumar las probabilidades P(A) y P(B) para encontrar P(A ∪ B). Sin embargo, en el diagrama de la fi gura 3 se observa que los eventos A y B tienen en común el resultado 6. Si sumamos la probabilidad P(A) y P(B) contaríamos el resultado 6 dos veces. Para evitar este conteo doble restamos P(A ∩ B) de la suma P(A) + P(B); por ende, la probabilidad de obtener un número par o un número mayor que 4 se logra de esta manera:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 36 + 1

2 − 16 = 4

6

P(A ∪ B) = 23

A

A

A

B

B

B


En suma, se tiene lo siguiente.

Probabilidad de un evento compuesto A o B (A ∪ B)

Si A y B son dos eventos definidos de un espacio muestral representado con la letra S, entonces P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B); expresado en nota-ción de conjuntos tenemos que:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

a. Al sacar una baraja de póquer, ¿cuál es la probabilidad de que sea una figura (F) o un diamante (D), es decir, determina P(F o D)?

SOLUCiónSabemos que

P(F ∪ D) = P(F) + P(D) − P(F ∩ D)

donde cada palo tiene tres figuras: J, Q, R. Entonces, como la baraja consta de cuatro palos y 52 cartas, tenemos que:

P(F) = 1252

Puesto que cada palo tiene 13 cartas:

P(D) = 1352 .

Por último, hay tres figuras que son diamantes (J, Q, R); por tanto:

P(F ∩ D) = 352

De acuerdo con lo anterior, al sustituir los valores obtenidos en la fórmula queda:

P(F ∪ D) = P(F) + P(D) – P(F ∩ D)

P(F ∪ D) = 1252 + 13

52 − 352

P(F ∪ D) = 1126

b. Una urna contiene ocho bolas verdes, 15 bolas rojas y siete negras. Si se extrae una, ¿cuál es la probabilidad de que sea verde (V) o negra (N)?

SOLUCión

P(V ∪ N) = P(V) + P(N) – P(V ∩ N), donde

P(V) = 830

P(N) = 730

Puesto que una bola no puede ser verde y negra a la vez, entonces no hay ninguna intersección entre ellas, es decir, P(V ∩ N) = 0, de modo que:

P(V ∪ N) = P(F) + P(D) – P(F ∩ D)

P(V ∪ N) = 830 + 7

30 − 0

P(V ∪ N) = 1530

P(V ∪ N) = 12

ejemplo 4


Eventos mutuamente excluyentes

Cuando dos eventos carecen de elementos en común entonces son mutuamente excluyentes. Si la ocurrencia de un evento A imposibilita la ocurrencia de un evento B, entonces A ∩ B = 0 y, por tanto, A y B son eventos mutuamente inclu-yentes. De lo anterior se deriva la regla de la adición.

Regla de la adición para el evento compuesto A ∪ B

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes definidos en un espacio mues-tral, entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Esto puede generalizarse a más de dos eventos mutuamente excluyentes.

P(A o B o C o … o E) = P(A) + P(B) + P(C) + … + P(E)

Escribe una síntesis donde expliques la diferencia entre un evento sim-ple y uno compuesto. Léela a tus compañeros de clase y escucha atenta y respetuosamente la de algunos de ellos. Con la guía del pro-fesor obtengan conclusiones. Con ellas como base, evalúa tu texto.



i. Resuelve los ejercicios siguientes.

1. Se tira un dado. Halla:

a. La probabilidad de que se obtenga un 4 o un 5.

P = 13 P = 5

6

b. La probabilidad de que se obtenga un número par o un número menor que 4.


ii. AplicAciones.

3. De 200 pacientes entrevistados en un hospital, se encontró que 80 eran hipertensos, 70 diabéticos y 60 pade-cían ambas enfermedades. Si se selecciona un paciente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hipertenso o diabético?

2. Se extrae al azar una carta de una baraja; determina:

a. La probabilidad de que la carta sea un tré-bol o un diamante.

P = 12 P = 11

26

P = 25

P = 23

b. La probabilidad de que la carta sea un diamante o una figura.

P = 920

4. La probabilidad de que Mario apruebe biología es de 2

5 y la de que apruebe química es 1

5. Si la

probabilidad de aprobar ambos cursos es de 15,

¿cuál es la probabilidad de que apruebe química o biología?

5. Un dado tiene tres caras negras numeradas de 1 a 3 y tres caras blancas numeradas de 4 a 6. Si se tira el dado, ¿cuál es la probabilidad de obte-ner un número par o una cara blanca?


6. Si se extrae al azar una carta de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de obtener un as o un rey?

P = 611 P = 2

9

P = 213 P = 2

3

7. Una despensa contiene seis latas de frijoles, cin-co de elotes y tres de chícharos. Por descuido se introduce una lata cuya fecha de caducidad ya se cumplió. Si se extrae una lata al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de frijol o la caduca?

P = 715 P = 4

13

8. Una bolsa contiene cinco canicas rojas, siete azules y 10 verdes. Si se extrae aleatoriamente una, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o azul?

9. Si se tira un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar o un múltiplo de 3?

10. Si se extrae al azar una carta de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que la carta sea un diaman-te o un as?

11. Si se tiran dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntajes sea 10 o que mues-tren el mismo número?


a. La probabilidad de que la bolita sea roja.

12. Un tazón tiene 18 bolitas rojas, 12 blancas, 14 azules y seis negras. Si se extrae al azar una bolita, halla:

P = 925 P = 2

5

b. La probabilidad de que la bolita no sea blanca.

P = 925 P = 19

25

c. La probabilidad de que la bolita sea blanca o negra.

d. La probabilidad de que la bolita no sea ni roja ni blanca.

Eventos independientes y la regla de la multiplicación

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.

Por ejemplo, la obtención de un cuatro al tirar un dado y un águila al tirar una moneda es un evento compuesto de dos sucesos independientes, pues la ocurren-cia de un cuatro en el dado no afecta la probabilidad de la aparición de águila en la moneda, y viceversa.

De ello se deriva la regla de la multiplicación para sucesos independientes.


a. Calcula la probabilidad de obtener un número impar al tirar un dado y obtener un águila al lanzar una moneda.

SOLUCiónLa probabilidad de obtener un número impar (1, 3, 5) al tirar un dado es:

Pdado = 12

Por su parte, laprobabilidad de que caiga águila al lanzar una moneda es:

Pmoneda = 12

Puesto que estos eventos son independientes, entonces la probabilidad (P) de obtener un número impar y un águila está determinada por la expresión:

P = Pdado × Pmoneda


P = 12

12

P = 14

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos águilas al lanzar una moneda al aire dos veces?

SOLUCiónLa probabilidad de que caiga águila en cada lanzamiento es 1

2 ; por tanto:

P = 12 1

2

P = 14

La probabilidad de que Juan resuelva un problema de álgebra es de 34 , mientras

que la de Carlos es de 23 . ¿Cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto

al menos por uno de los dos?

SOLUCiónUna forma sencilla de hallar la probabilidad de “uno al menos”, lo que equivale a “uno o los dos”, es calcular la probabilidad de ninguno y a continuación restar el resultado de 1; esto es:

P(uno al menos) = 1 − P(ninguno)

La probabilidad de que Juan no resuelva el problema es 1 − 34 ; o sea 1

4 . La pro-babilidad de que Carlos no lo resuelva es 1 − 2

3 = 13 . Por ende, la probabilidad

de que ambos no resuelvan el problema es:14 1

3 = 112

Regla de la multiplicación para eventos independientes

Sean A y B dos sucesos independientes. Si P(A) y P(B) son las probabilidades respectivas de que ocurran ambos sucesos, entonces la probabilidad de que A y B ocurran de manera simultánea o sucesiva es igual al producto P(A) × P(B).

ejemplo 5

ejemplo 6


Con base en lo anterior, la probabilidad de que al menos uno de los dos resuelva el problema es:

1 − 112 = 11

12

P = 1112

Eventos dependientes y la regla de la multiplicación

Consideremos la probabilidad de extraer aleatoriamente dos cartas de diamantes de un mazo de cartas, primero una y luego otra sin reposición. La probabilidad de que la carta sea diamante en la primera extracción es:

P1 = 1352

Si suponemos que la primera carta extraída es de diamantes de entre 51 cartas, la probabilidad de que la carta sea diamante en la segunda extracción es:

P2 = 1251

En este caso la probabilidad de la segunda extracción depende de la primera y, por consiguiente, estos sucesos son dependientes. De ello se deriva la regla de la multiplicación para sucesos dependientes.

Regla de la multiplicación para sucesos dependientes

Si P(A) es la probabilidad de un suceso A cuya ocurrencia afecta la proba-bilidad de la ocurrencia de un segundo suceso B P(B), entonces la probabi-lidad (P) de que A y B ocurran en este orden, está dado por

P = P(A) × P(B)

ejemplo 7

Forma equipos de cinco personas y, con la guía del profesor, organiza una mesa redonda en donde un representante de cada equipo explique cuándo dos eventos aleatorios son:

a. Mutuamente excluyentes.b. Independientes.c. Dependientes.

El profesor será el moderador, por lo que mantendrá el orden de la mesa al otorgar los turnos para exponer. Asimismo, señalará las con-clusiones e indicará qué expositor fue más preciso y más claro en su explicación.

ComuniCar(enmeSaredonda)paraaprender

Una bolsa contiene ocho bolas rojas y siete verdes. Se sacan aleatoriamente dos bolas sucesivamente, es decir, una y luego otra, sin reposición. Calcula la proba-bilidad de que la primera sea roja y la segunda verde.


SOLUCiónLa probabilidad de que la primera bola sea roja es:

P1 = 815

Como no hay reposición, la probabilidad de que la segunda bola sea verde es:

P2 = 714 = 1

2

Por tanto, la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda verde, sin reposición, está dada por:

P = 815

12

P = 415

Escribe un texto donde expliques cómo hallar P(A ∪ B) si los eventos aleatorios A y B son eventos aleatorios mutuamente excluyentes. Lee en voz alta tu texto ante tus compañeros y escucha el de algunos de ellos. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales. Con ellas evalúa tu texto.



1. Una caja contiene cuatro bolas rojas y dos azules. Si se sacan aleatoriamente dos bolas, una por una sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda azul?

P = 415


2. Las probabilidades de que A y B resuelvan un problema son de 23 y de 3

5 , respectivamente. Halla la probabi-lidad de que el problema sea resuelto al menos por uno de los dos.

P = 1315

3. La probabilidad de que César apruebe el examen de física es de 12 y la de que Mario es de 2

3 . ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos lo apruebe?

P = 0.782 P = 0.012

P = 56

4. Una tabla de mortalidad muestra que las probabilidades de que A y B vivan 20 años más es de 0.92 y 0.85, respectivamente. Con base en esta información determina la probabilidad de que…

a. ambos vivan dentro de 20 años. b. ambos estén muertos dentro de 20 años.


5. Si se tira un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo en los tres lanzamientos?

P = 0.138 P = 0.068

c. A esté vivo y B haya muerto. d. A haya muerto y B esté vivo.

P = 116

P = 18

6. Si se lanza una moneda cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener águila en los cuatro lanzamientos?


7. Si se lanza un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 1 en el primer lanzamiento, un número par en el segundo y un divisor de 12 en el tercero?

P = 518 P = 5

18

P = 572

8. De una caja que contiene cuatro bolas negras y cinco rojas se toman dos bolas sucesivamente, una y luego otra, sin reposición. Determina la probabilidad de que ambas bolas sean…

a. negras. b. rojas.

P = 16 P = 5

18

c. la primera roja y la segunda negra. d. la primera negra y la segunda roja.


Supón que los eventos A, B y C son dependientes. Si P1 es la proba-bilidad de que ocurra el evento A, P2 la de que ocurra el evento B después de que hayan ocurrido A, y P3 la de que ocurra C después de que A y B hayan ocurrido en ese orden, explica a un compañero cómo hallar la probabilidad de que todos los eventos ocurran en el orden indicado. Escucha la explicación de tu compañero. Obtengan conclusiones y preséntenlas oralmente al resto del grupo. Con la guía del profesor, obtengan conclusiones generales, con base en las cuales han de coevaluar su trabajo.


9. La probabilidad de que un vendedor logre vender una casa es de 34 y la probabilidad de que logre vender una

segunda casa es de 25 . Determina la probabilidad de que…

a. tenga éxito en ambos casos.

b. fracase en ambos casos. c. logre vender la primera, pero no la segunda.

P = 310 P = 9

20P = 320

P = 625

10. Una caja contiene seis bolas rojas y cuatro amarillas. Si se sacan dos bolas sucesivamente (una y luego la otra) y con reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda amarilla?



i. Relaciona correctamente las columnas.

1. ( ) En un grupo de 45 alumnos hay 25 varones. Si se selecciona uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

Si se saca al azar una carta de una baraja… Resuelve las preguntas 2 a 5.

2. ( ) ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un rey?

3. ( ) ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un trébol?

4. ( ) ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea una figura?

5. ( ) ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un as de diamantes?

6. ( ) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un divisor de 8?

7. ( ) Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntajes sea 10?

Una urna contiene 10 bolas verdes, ocho azules y seis blancas. Contesta las pregun-tas 8 a 10.

8. ( ) Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea verde?

9. ( ) Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?

10. ( ) Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

a. 12

b. 152

c. 0

d. 23

e. 112

f. 34

g. 49

h. 14

i. 512

j. 13

k. 413

l. 59

m. 126

n. 113

o. 313

ii. Resuelve los ejercicios siguientes. Elige la opción correcta.

11. Si se extrae al azar una carta de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que sea un trébol o una figura?

a. 1126

b. 112

c. 1526

d. 2552

12. La probabilidad de que Miguel apruebe física es de 3

5 y de que apruebe matemáticas es de 14 . Si la

probabilidad de que apruebe ambas materias es 25 , ¿cuál es la probabilidad de que apruebe física o matemáticas?

a. 12

b. 710

c. 35

d. 920

1126


13. Si se tira un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 2 o un 5?

a. 12

b. 1136

c. 16

d. 13

14. Si se extrae una carta al azar, ¿cuál es la proba-bilidad de que sea un as o una figura?

a. 213

b. 14

c. 313

d. 413

23

16

13

413

15. Una bolsa contiene cuatro canicas rojas, 10 negras y seis verdes. Si se extrae una canica, ¿cuál es la proba-bilidad de que…

A. sea roja?

a. 14

b. 25

c. 15

d. 310

B. no sea verde?

a. 710

b. 910

c. 310

d. 45

C. sea verde o negra?

a. 35

b. 45

c. 710

d. 910

16. Si se tira un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar o un número primo?

a. 13

b. 12

c. 56

d. 23

45

710

17. Halla la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al tirar un dado y obtener un águila al lanzar una moneda.

a. 13

b. 12

c. 16

d. 23


18. Una caja contiene 6 bolas azules, 8 bolas rojas y cuatro negras.

A. Si se extraen al azar dos bolas sucesiva-mente (una y luego otra) con reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea azul y la segunda roja?

a. 425

b. 427

c. 19

d. 429

B. Si se extraen al azar sucesivamente dos bolas (una y luego otra) sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea azul y la segunda negra?

a. 451

b. 117

c. 552

d. 821

19. La probabilidad de que Roberto resuelva un pro-

blema es de 25 , mientras que la probabilidad de

que Luis lo resuelva es de 23 . ¿Cuál es la proba-

bilidad de que ambos lo resuelvan?

a. 15

b. 13

c. 315

d. 415

20. Al tirar un dado tres veces, ¿cuál es la probabi-lidad de obtener un número mayor que 2 en los tres lanzamientos?

a. 125216

b. 23

c. 827

d. 29


21. Una tabla de mortalidad muestra que la probabilidad de que Perla y Laura vivan 20 años más es de 0.80 y 0.75, respectivamente.

A. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas vivan dentro de 20 años?

a. 0.65b. 0.58c. 0.70d. 0.60

B. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas no existan dentro de 20 años?

a. 0.05b. 0.06c. 0.04d. 0.07

0.60 0.05

C. ¿Cuál es la probabilidad de que únicamente viva Perla dentro de 20 años?

a. 0.1b. 0.2c. 0.3d. 0.15

D. ¿Cuál es la probabilidad de que únicamente viva Laura dentro de 20 años?

a. 0.1b. 0.2c. 0.3d. 0.15

22. La probabilidad de que César y Mario aprueben el examen final de matemáticas es 34 y 2

3 , respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos apruebe el examen?

a. 34

b. 112

c. 56

d. 1112

matematicas ii 1

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