UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA

CA2-5

ANA BELEN VILLACIS VILLACIS

QUITO, 14 DE ENERO DEL 2013

UNIDAD V: OPTIMIZACION DE FUCIONES

1

TRAZADO DE CURVAS : MÁXIMOS Y MNIMOS I CONCAVIDAD. PUNTOS DE INFLEXION. USO DE DERIVADAS GRAFICADORES: GRAPHMATICA, MATHALAB. OPTIMIZACION DEFINICION MÁXIMOS Y ,MÍNIMOS DE UNA FUNCION CON APLICACIÓN DE DERIVADA OPTIMIZACION DE COSTOS, UTILIDADES, ETC.

CURVAS: MÀXIMAS Y MÌNIMAS.

> X

Y

MAX

MIN

PROBLEMAS DE APLICACIÒN.

1. Un terreno rectangular va a cercarse y dividirse en tres partes iguales por dos cercas paralelas a uno de los lados. Si se va a usar un total de 800m de cerca encuentre las dimensiones del terreno para que su área sea máxima.DatosTerreno: Rectangular División: 3 partes igualesCercas: 2 cercas paralelasTotal de cerca: 800 mCondición: Maximización

2

a 100m a 100m a 100m a 100m

b 200 m

b 200m

666,67 m2 666,67 m2 666,67 m2

GENERACIÓN DE VARIABLESÁrea= Base x AlturaA = a.bA= f (a, b)Perímetro del RectánguloP= a + a + a + a +b +b P= (4a + 2b) P= f (x) 800 = 2a + b a = (400-b)/2a = 200 – b/2Reemplazamos el valor de a en la ecuación del áreaA=a.bA= (200-b/2) bA= 200b – b2/2A=f (b)A' = 200 - 2b/2 A'= 200 – bA''= -1A'= 0200 – b = 0b = 200mSi A'' < 0 E M Si A'' > 0 E m Como A'' -1 < 0 EMa = (400-b)/2a = (400-200)/2

3

a = 100m A= b * aA= 200 m x 100 m A= 20000 área total a cercarseA = 20000/3A= 6666.67 m2GRAFICO: A b0 0

7200 4010200 6012800 8015000 10016800 12018200 14019200 16019800 18020000 20019800 22019200 24018200 260

4

Interpretación: El área de cada lote es de 6666.66 m22. Se dispone de 320m de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debe usarcé la cerca para que el área encerrada sea lo más grande posible?

DatosTerreno: Rectangular Total de cerca: 320 mCondición: Maximización

b

a

Área del rectángulo: base x alturaA=a.bA= f(a, b)Perímetro del rectángulo: Suma de los ladosP= a + b + a + bP= 2a + 2b320 = 2a+ 2b160 = a + ba = 160 - b Reemplazo “a” en la fórmula del ÁreaA = (160 – b) bA = f (b) A = 160b – b2A'= 160 – 2bA''=-2A'=0160 – 2b = 0b = 160/2b = 80mSi A'' < 0 E M Si A'' > 0 E m

5

Como A'' -2 < 0 EMb = 80 en a = 160 - b a = 160-80a = 80m a= 80metrosb= 80 metros Área A = b* a A = 80 *80 = 6400 m2GRAFICO:

A b0 0

4800 405500 506000 606300 706400 80 * El àrea a cercarse es 6400 metros cuadrados 6300 906000 100

6

Interpretación: EL área máxima cercada será de 6+400 metros cuadrados.

3. Una caja abierta se va a construir con un pedazo de cartón cuadrado de 42cm de lado, recortando un pequeño cuadrado de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que debe tener el volumen máximo?

V = Área *altura V = (42 – 2x) (42 – 2x) xV = f (X) V = (1764 - 168x + 6x)Derivamos V'= -168 +6xV''= -168 + 6(14)V'=-84Como v” es = -84 <0 3 x2−168 x+1764= 0x=−b±√b2−4ac

2a

7

x=168±√1682−4 (3)(1764)

2(3)

x=168±√213366x1 = 42x2 = 14GRAFICO V = (1764 - 168x + 6x)

Interpretación: Las dimensiones de la caja para tener el volumen máximo deben ser de 8400.4. Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada. Los lados de la caja costaran $3,00 por pie cuadrado y la base costara $4,00 por pie cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo que pueda construirse con $48,00?

Datos$48,00 para construir$ 4,00 base por pie cuadrado

8

$ 3,00 lados por pie cuadrado

y xx : lado basey : altura baseV = base*alturaBase = x.x=x2V = f(x, y)Costo = Costo base + costo paredesC = x2 .4+ xy.3C =4x2 + 3xyC = f(x, y) 48 = 4x2 + 3xyy= 48−4 x

2

3 xV= x2((48-4x2)/3x)V= (48x – 4x3)/3V= 16x – 4/3x3V= f(x)V'= 160-4x2V''=-8xV'=0Si V'' < 0 E M Si V'' > 0 E m Como V'' -2x < 0 EM16-4x2=04x2=16x =±2x = 2 piesy=48−4(2)2

3(2)

9

y= 5,33C = 4848 = 4x2 + 3xy4x2 + 3xy ≤ 484(2)2 + 3(2)(5,33) ≤ 4847.98<48 Interpretación.- La caja de volumen máximo puede construirse con $48,00.

5. El propietario de una licorería espera vender 800 botellas de un popular vino blanco. El costo del vino es de 0,85 ctvs. por botella, los derechos de pedido son de $10,00 por despacho y el costo de almacenamiento de una botella durante todo el año es de 0,40 ctvs. El vino se consume a una tasa uniforme durante todo el año, y cada despacho llega a penas se ha terminado el anterior.a. ¿Cuántas botellas debe pedir el propietario en cada despacho para bajar al mínimo sus costos?DatosEstimado: 800 botellasCosto por botella: 0,85 ctvs.Derechos de pedido: $10,00 por despachoCosto Almacenamiento: 0,40 ctvs. Por todo el añoDespacho: Inmediato a penas se acaba el anteriorx : número de botellasCosto = Costo de vino + costo pedido + costo de almacenamientoCosto = 0.85x + 0.40x + 10(800/x)C=f(x)C= 1.25x + (8000/x)C'= 1.25 – (8000/x2)C''= 16000/x2C'=0Si C'' < 0 E M Si C'' > 0 E m Como C'' 16000/X2 > 0 Em

10

1,25 – (8000/x2) = 0(8000/x2) = 1,25x2 = 8000/1,25x = 80GRAFICO: C x

250 40222,5 50

208,33 60201,79 70

200 80201,39 90

205 100210,23 110

Interpretación: El lote óptimo es de 80 botellas por pedido.Por cada 80 botellas el costo total es de $200.6. Una compañía de buses alquila sus unidades solamente a grupos de cuarenta a más personas. Si un grupo contiene exactamente 40 personas a cada uno se cobra $60,00. Sin embargo en grupos más grandes la tarifa de todos se reduce en

11

0,50 ctvs. Cada persona que pase de cuarenta. ¿Qué tamaño de grupo producirá los mayores ingresos para la compañía de buses?Datos:Grupo: 40 personasValor: $60.00 cada persona Grupos de más de 40 personas descuento de 0.50 ctvs. Por personas.x : Número de personasI: IngresosI = (40-x)(60-0.5x)I = 2400 – 20x + 60x + 0.5x2I = 2400 + 40x – 0.5x2

I'= 40 - xI''= -1I'=0Si I'' < 0 E M Si I'' > 0 E m Como I'' -1 < 0 EM 40 – x = 0x = 40Grupo = 40 + xGrupo = 40 + 40GRAFICO:

I(x) x2400 03000 203150 303200 403150 503000 60

12

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 20 40 60 80

Interpretación: El grupo de 80 personas producirá los mayores ingresos para la compañía.7. Una librería puede obtener del editor de libros un libro a un costo de $3,00. La librería calcula que puede vender 200 ejemplares a un precio de $15,00 y que podrá vender 10 ejemplares más por cada reducción de 0,50 ctvs. ¿A qué precio debe vender los libros la librería para elevar al máximo su utilidad?

Datos:Precio de compra: $3,00 por libroVenta estimada: 200 libros $15,00 por libro10 ejemplares más por cada reducción de 0.5 ctvs.Condición: Maximizar utilidadVenta = Numero de libros * preciox : Numero de incremento que hace T = (200 + 10x) (15 - 0,50x)T = 3000 – 100x + 150x – 5x2T = -5X2 + 50x + 3000T'= - 10x + 50T''= - 10T'=0

13

Si T'' < 0 E M Si T'' > 0 E m Como T'' -10 < 0 EM-10x + 50 = 0-10x = -50x = 5GRAFICO:

T(x) x3000 03045 13080 23105 33120 43125 53120 63105 73080 83045 93000 10

2980

3000

3020

3040

3060

3080

3100

3120

3140

0 5 10 15

Interpretación: Para maximizar la Utilidad la Librería debe vender cada ejemplar del libro a $5 de esa manera obtendrá una utilidad de $3125.8. El producto de dos números positivos es 128. El primero se suma al cuadrado del segundo.a. ¿Qué tan pequeña puede ser esta suma?b. ¿Qué tan grande puede ser esta suma?

14

2 Númerosx : Primer Númeroy : Segundo NúmeroPrimera Ecuaciónxy = 128Segunda Ecuaciónx + y2 = SS = f (x, y)y = (128/x)S = x + (128/x)2S = f (x)S = x + (1282/x2)S = x + (16384/x2)S = x + 16384x-2

S'= 1 – 2(16384) x-3S''= -2 (-3) (16384) x-4S''= 98304 x-4S'=0Si S'' > 0 E m Como S'' -10 < 0 Em1 – 32768 x-3 = 0(32768/ x3) = 1x3 = 32768x = 3√32768 x = 32y = 128/32y = 4GRAFICO:

15

Interpretación: Los dos números buscados son:x = 32y = 49. La función en dólares del costo promedio de un fabricante está dado por :

C= 500ln (q+20)

Encuentre el costo marginal cuando q = 50C ¿¿) qC ¿¿)dcdq

=[ ln (q+20 ) ]500−500q . 1

q+20.1

[ ln (q+20 ) ]˄2

q =50dcdq

=[ ln (50+20 ) ]500− 500 (50 )

(50 )+20[ ln (50+20 ) ]˄2

C '=( ln70 )500−25000

70(ln 70 )˄2

C´= $97, 90 por unidadPara una empresa la producción diaria en el día T está dado por:

16

q=500(1−e−0,2 t) Encuentre la razón de cambio con respecto a q cuando t = 10 días.q (t) = 500 (1 - e−0.2 t)q = f (t)dqdt

= ddt

¿

dqdt

=500 ddt

(1−e−0.2 t )+(1−e−0.2 t ) ddt500

dqdt

=[−e−0.2 t (−0.2 ) ]

dqdt

=500 (0.2e−0.2 t )

t = 10dqdt

=500 (0.2e−0.2 (10) )

dqdt

=500 (0.2e−2 )

= $13,53 por día10. Para un empresa la producción diaria en el día t esta dado por:q= 500(1-e−0.2 t ¿. Encuentre la razón de cambio para cuando t= 10 días

17

11. Un estudiante ha hecho un contrato para producir 150 velas con la forma de una mascota de un colegio. Planea comprar una cantidad de moldes de uso repetido para velas a un taller mecánico a $3,00 cada uno luego contrata a un trabajador al que le paga $1,50 la hora para que llene los moldes con cera.Se necesitan 3 horas para producir una sola vela con un molde.a) ¿Cuántos moldes debe comprar el estudiante para mantener sus costos en el menor nivel posible.b) ¿Cuánto dinero ganara el estudiante si se usa el número óptimo de moldes?Datos: Producción: 150 velas con forma de una mascotaMoldes: Compra en un taller mecánico a $3,00 cada moldeTrabajador: $1,50 la hora para que llene los moldes con ceraTiempo de producción: 3 horas cada velax : Numero de moldesCostos: Costo Molde + Costo Mano de obraC=3 x+( 1.5x )3∗150

C=3 x+ 675x

C=3 x+675x−1

q = f (x)

18

C'= 3 - 675 x−2C''= 1350 x−3C'=03−675x−2=0675

x2=3

x2=225

x=±15x = 15 moldesGRAFICO: Cf (x) x234 3

130,5 6102 9

92,25 1290 15

91,5 1895,14 21

19

Interpretación: Se debe fabricar 15 moldes para minimizar los costos.EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVADAS1. y= e

x+e− x

3

dyde

=3dde

(ex+e− x)−(e x+e− x ) dde3

32

dyde

=3 (ex∗1+e− x (−1 ) )−0

9

dyde

=3ex−3e−x

9

2. y=xe x

20

lny=lnxex

lny=lnx+lne x

lny=lnx+xlne x

lny=lnx+x

1y. y ´=1

x.1

y ´= y ( 1x +1)

y ´=xe x( 1x +1)y '=e x+xex

CORRECCION DE LA PRUEBA.1. La función de un empresa de electrodomésticos de laptop es p=2400-6q . p $/u los consumidores demandan q unidades.Ingreso = precio * unidadesI = (2400-6q)qI = 2400q-6q2I`= 2400-12qI”=-122400-12q=0-12q=-2400q = 200 unidades I=(2400-6(200))*200I = $ 24.000GRAFICO:

I q105000 50180000 100225000 150240000 200225000 250180000 300

21

105000 350

Interpretación: Se deben vender 200 unidades para obtener una utilidad de $ 240000.

2. h(t)= 16t2 +35t+22h`(t) 32t+8532t+85=032t=-85/362T=-25.66RESPUESTA: No existe porque el tiempo no se mide en números negativos.

DEBER DEL DIA 15 DE NOVIEMBRE DEL 2012.1. Una imprenta recibe un pedido para hacer un cartel rectangular que contiene 60cm2 de impresión rodeada por márgenes de 3cm a cada lado y 4cm en la parte superior e inferior. ¿Cuáles con las dimensiones del pedazo de papel más pequeño que puede usarse para hacer el cartel?DATOS : Lados : 3 cm cada lado Superior: 4cm Inferior: 4cm Área de impresión: 60 cm2

22

A= a*b A = x * y A = (x+8)(y+6)A = (x - 8)(y – 6)60= (x - 8)(y – 6)y = 60

x−8+6

A = f(x) A= x ( 60x−8 +6)A= 60x2+12 x

x−8Derivamos:A`= -−6 x2+96 x−96

¿¿Como A” >0 A” = 6x2 +96x -96x=−b±√b2−4ac

2a

x=−96±√962−4 (−6 )(96)

2 (−6 )

x=−96±√11520−12x1 = 12,71x2 = 0,714y = 60

x−8+6y = 16,94

23

GRAFICO:A = x*y X y

360 10 36252 12 21

215,33 12,71 16,94224 14 16216 16 13,5220 20 11

Interpretación: El punto mínimo se logra cuando x = 12,71 y y= 16,94

CONCAVIDAD PUNTOS DE INFLEXIONY= X3

24

X Y0 01 12 8

-1 -1-2 -8

CARACTERISTICAS:

Todos los números son reales Simétrica respecto al origen Continuidad ( es curva) Con el punto de inflexión se puede ver si es cóncava o convexa No es polígono

25

UNIDAD VI: CÁLCULO INTEGRAL Integración Definiciones Técnicas de integración Fórmulas de integración Métodos de integración (sustitución) Integral definida Áreas entre curvas Excedentes entre consumidores y productores

TECNICAS DE INTEGRACION.1) ∫undu= un+1

n+1+c

2) ∫ duu

=ln+c

3) ∫ endu=eu+c4) ∫ du

u2−a2

FORMULAS DE INTEGRACIÓN1) ∫undu= un+1

n+1+C

2) ∫ duu

=lu u+C

3) ∫ eudu=eudu

4) ∫ du

u2−a2= 1

2aluu−au+a

EJERCICIOS 1)

Y= X3−3x2

dydx

= y =3 x2+6 x

26

dy=¿(3x2−6 x ¿dxy= ∫ (3x2−6 x )dx

y= ∫ (3x52 )dx−∫86 x ¿dx¿

y= 3∫ x2dx−6∫ x dxy = 3 x2+1

2+1−6 x

1+1

1+1+c

y= 33x3−6

2x2+c

y = x3−3 x2+c2) y=3 x3−12 x2+12x

dydx

=(3 x3−12 x2+12 x)dx

dy= (3 x3−12x2+12 x¿dxy=∫ (3x3−12 x )dxy= ∫ (3x3 )dx−∫ (12 x2 )dx –∫(12 x)dx y = 3∫ (x3 )dx−12∫ (x2 )dx−12∫ ( x )dx

y= 3 x3+13+1

−12 x2+1

2+1+12 x

1+1

1+1+c

y= 34x4-4x3+6 x2+c

3) y´= 2 ( 32 x )+3x−12

dydx

=3 x+3 x−12

dy=(3 x+3 x−12 )dxy= ∫ (3 x+3 x−12 )dx

y= 3∫ ( x )dx+3∫(x¿¿−12

)dx¿

y=3 x1+11+1+3

x−12

+1

−12

+1+c

y = 32x2+6 x

12+c

4) y´= (3x-1¿2+6 x (3x−1 )

27

demostrar que la función de donde viene la es derivada es : y = x(3x-1¿2

dydx

=(3x-1¿2+(18 x2−6 x )

dydx

=(9 x2−6 x+1 )+(18 x2−6 x )

dy= [ (9x2−6 x+1 )+(18 x2−6 x ) ]dxy= ∫ [ (9 x2−6 x+1 )+ (18 x2−6 x) ]dxy=9∫ (x2 )dx−6∫ (x )dx−1∫ dx+18∫(x¿¿2)dx−6∫ ( x )dx ¿

y= 9 x2+12+1

−6 x1+1

1+1+18 x2+1

2+1−6 x

1+1

1+1+c

y = 3x3−3 x2+x+6x3−3 x2+cy = (9x3−6 x2+x¿+cy =x(3x-1¿2+c

DEBER DEL DIA 18 DE DICIEMBRE DEL 2012 1. Y '= X

2√x2−1

U=x2−1

du=2 xdx

du2

=x dx

Y '=X

2√x2−1=dydx

=x

(x2−1)1/2=dy=

x

(x2−1)1/2dx=∫

du2

u1 /2=12∫

du

u1 /2

¿12∫ u

−12 du=

12u

−12

+1

−12

+1+c=u

12+c

Y=(x2−1)12+c

2. ∫ x dx2√ x2+1

28

U=x2+1

du=2 xdx

du2

=x dx

∫ x dx2√ x2+1

=dydx

=x

(x2+1)1 /2=dy=

x

(x2−1)1 /2dx=∫

du2

u1/2=12∫

du

u1/2

¿12∫ u

−12 du=

12u

−12

+1

−12

+1+c=u

12+c

Y=(x2−1)12+c

RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES

1¿∫2√1+ 2√ x

2√xdx

Y = 2∫(1+x12)1/2[ 12 x

−12 dx ]

Y=2(1+x1 /2)3 /2

32

+ c

Y= 43(1+ 2√ x)3 /2+c

2¿∫ 2√t (3−t 2√ t)0.6dt

Y=−23∫(3−t

35 )0.6[−32 t

12 dt ]

Y=−32

(3−t 32)1.6

1.6+c

29

Y=−512

(3−t 2√t )1.6+c

3¿∫ 9x5−6x 4−e x3

7 x2dx

Y=∫(¿ 9 x5

7 x2−6 x

4

7 x2− e x

3

7 x2)dx ¿

Y=∫ 97 x3−∫ 67 x

2−∫ e7x

Y=97x4

4−67x3

3− e7x2

2

Y= 928x4− 6

21x3− e

14x2

4 ¿∫ (ee2

+xe−2 x )dxY=ee

2

∫ dx+e∫ xedx−∫ x dx

Y=ee2

x+ 1e+1

xe+1−x2+c

5¿∫ ex+e−x

ex−e−xdx

Y=∫ 1

ex−e−x[ (ex+e−x )dx ]

Y=ln (ex−e−x )+c

6¿∫5¿¿¿

Y=3∫5¿¿

Y=3¿

7¿( x3−12√ x4−4 x

−ln 7)dx

30

Y= 14∫¿¿

Y=16

¿

8¿∫ x−x−2

x2+2 x−1dx

Y=12∫

1

x2+2x−1¿¿

Y=12ln [x2+2 x−1 ]+c

9¿∫¿¿¿

Y=−∫(e− x+6)[−e− xdx ]

Y=−¿¿

10¿∫ x3+x2−x−3x2−3

dx

Y=∫(x+1+ 2x

x2−3 )dxY=∫ (x+1 )dx+∫ 1

x2−3[2x dx ]

Y= x2

2+x+ ln [ x2−3 ]+c

11¿∫ xx+1

dx

Y=∫(1− 1x+1 )dx

Y=x−ln ( x+1 )+c

31

12¿∫ x ex2

2√ex2+2dx

Y=12∫¿¿

Y=12¿¿

Y=2√ex2+2+c

13¿∫ 2 x4−8x3−6 x2+4

x3dx

Y=∫(2 x−8−6x + 4x3 )d xY=2∫ x dx−8 x−6∫ 1x dx+4∫ x

−3dx

Y=2 x2

2−8x−6 lnx+4 x

−2

−2+c

Y=x2−8x−6 lnx− 2

x2+c

E JERCICIOS DE APLICACIÓN CON PROBLEMAS 1) La función del costo marginal para el producto de un fabricante está dado por dcdq

=10− 100q+10 , el costo total esta dado en dólares ($), cuando se producen 100 unidades, el costo promedio es de $ 50.00 por unidad. Determinar el costo fijo del fabricante

dcdq

=10− 100q+10

C = ∫(10− 100q+10 )dq

C = 10∫ dq−100∫ dqq+10

32

C = 10q – 100 ln (q+10) + C1C = 50; q = 100C = c

q

50 = 100q−100 ln (q+0 )+C1100

50 = 10(100) – 100ln (100+10) + C15000 = 1000 – 470C1 = 4770C = 10q+100ln (q+100) + 4470

2) ∫ 5 ex

1+3exdx

ARTIFICIOu = 1+3exdu = 3exdxex dx = du

3

Y = 5 ∫( ex

1+3ex )dx

Y = 35∫

duu

Y = 35ln+C

33

Y = 35ln (1+3ex)+C

3) ∫ √1+√x√x

dx

Y = √1√x + √x√x

Y = ∫ 1x1/2

+ x1 /2

x1 /2dx

4) Se estima que dentro de x meses la población de cierto pueblo cambiara a una razón de 2+6√ x personas por mes. La población actual es de 5000 personas. ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?DATOSX = mesesdpdx

=2+6 √x

dp = (2+6√ x )dx

P = (2+6√ x )dx (P )

P = ∫ (2+6 x12 )dx

P = 2∫ dx+6∫ x1/2dx

P = 2 x+ 6 x 3232

+C

P = 2 x+4 x3 /2+CP = f (x) P = 50005000 = 2(0) + 4(0)3 /2 + C

34

C = 5000P = 2 x+4 x 32+5000P = 2 (9 )+4(932 )+5000P = 5126 PERSONAS

5) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es 3q2+60 q+400 en dólares ($)por unida, cuando se ha producido q unidades del total de la producción de las 2 primeras unidades es CT = 2 sobre unidades; $ 900.00 ¿Cuál es el costo total de producción de las 5 primeras unidades?

dcdq

=3q2−60q+400

dc=(3q2−60q+400 )dqC=∫ (3q2−60q+400 )dqC=3∫ q2dq−60∫qdq+400∫ dqC=3 q

3

3−60q

2

2+400q+C1

C=q3−30q2+400q+C1900=23−30 (22 )+400 (2 )+C1900=8−120+800+C1C1=212

C=q3−30q2+400q+212C1=5

3−30 (52 )+400 (5 )+212C1=125−750+2000+212C1=1587$6) Hallar la función f (x) cuya tangente tiene la pendiente

m=3 x2+1, para cada valor de“x” y cuya recta pase por el punto (2,6)dydx

=(3 x2+1 )

dy=(3 x2+1 )dxy=∫ (3x2+1 )dxy=3∫ x2dx+∫ dx

35

y=x3+x+C6=23+2+C6=8+2+CC=−4y=x3+x−4

X Y0 - 42 6-2 -14-2 -1

Integrales indefinidasy=∫ f ( x )dx

36

INDITEGRALES DEFINIDAS y=∫

a

b

f ( x )dx

REGLAS DE INTEGRACION1) ∫

a

b

Kf ( x )dx=K∫a

b

f ( x )dx

2) ∫a

b

( f ( x )+g ( x ) )dx=∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

g ( x )dx

EJERCICIOS1) ∫

0

1x3

√1+ x4

ARTIFICIO1+x4=u4 x3=du

x3dx=du4

∫0

1du4

u1 /2

14∫0

1

u1 /2du

¿ [ 14 ( u3/2

32 )+C]

¿¿

¿ 16¿

¿ 16¿

37

¿ 16(2.83−1)

¿ 1.8318

2) ∫−1

3

(3 x2−x+6 )dx

¿ [x3− x2

2+6+C ]

¿ [33−322 +6+C ]−[ (−13 )− (−12 )2

+6 (−1 )+C ]¿27−9

2+18+C+1+ 1

2+6−C

¿52−4=4 8

3) ∫1

2

¿¿

¿4∫1

2

t1 /3dt+∫1

2

t ¿¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

¿33√24+ 5

4

8−3−24

8

¿6 3√2+ 6258

−5

¿6 3√2+5858

∫0

1

e3 tdt

38

∫0

1

e3 td (3 t )

¿ 13

(e3 t )+C

¿ [ 13 (e3 t )]¿ 13

[e3(1)−e3 (0) ]

¿ 13

[e3−1 ]

4) ∫2

3

( y2−2 y+1 )dy

¿∫2

3

y2dy−∫2

3

2 ydy+∫2

3

dy

¿ [ y33 − y2+ y+C]¿ [ 333 −32+3+C ]−[ 233 −2 (22 )+2+C ]¿3+C−8

3+6−C

¿ 73

5) ∫4

1

(2t−3 t 2 )dt

¿∫4

1

2 t dt−∫4

1

3 t 2dt

¿ [ t 2−t3 ]¿ [12−13 ]− [42−43 ]¿ (1−1 )−(16−64 )

39

¿48

6) ∫1 /2

3 /2

(x2+x+1 )dx

¿∫1 /2

3 /2

x2dx+∫1 /2

3 /2

x dx+∫1 /2

3 /2

dx

¿ [ x33 + x2

2+x+C]

¿ [ 3323 +

32

22

+ 32+C ]−[ 1323 +

12

22

+ 12+C]

¿ [ 276 + 94+ 32+C ]−[ 16+ 14+ 12 +C]

¿ 334

+C−1112

−C

¿ 2237) La función de costo marginal de un fabricante es

dcdq

=0.004 q2−0.5q+50, si esta dado en dólares ($).Determinar el costo de incrementar la producción de 65 a 75 a unidades.dcdq

=0.004 q2−0.5q+50

dc=(0.004q2−0.5q+50 )dq

C=∫65

75

(0.004 q2−0.5q+50 )dq

C=0.004∫65

75

q2dq−0.5∫65

75

qdq+50∫65

75

dq

C=[0.004 q33 −0.5 q2

2+50 q]

C=0.0043

(753−653 )−0.52

(752−652 )+50 (75−65 )

40

C=196.33−350+500

C=346.33$

8) Encontrar en área de la región limitada por la curva y=x2+2 x+2 del eje “X” y las rectas x = - 2 y x = 1 GRAFICO:

X Y0 21 5-1 1-2 1

A=∫−2

1

(x2+2x+2 )dx

A=[ x33 +x2+2 x+C]

41

A=[ 133 +12+2+C]−[−23−22+2(−2)+C ]

A=13+1+2+C+8−4+4−C

A=6

A1= 233

+(2)2−2 (2 )+C−(−033 −(−02 )−2 (−0 )−C )A1= 83+4+4+c−cA1= 10,67A2=( 033 + (02 )+2 (0 )+C)−(−133 )−¿

A2= c + 13+1+2−c

A2= -3,339) Hallar el área de la región limitada por la recta y=2 por el eje x y la recta vertical: X= 2

Y=2X A= ∫

0

2

2 x dx

A= 2¿¿02 X3

A= ¿02 X2

A= (2¿¿2 – (O)2 = 4

GRAFICO: Y X

0 04 26 3

42

10)Halle el área de la región limitada por la curva y= −x2+4x-3 y el eje ×A= ∫

3

1

−X2+ 4X – 3A= −¿ x3

3 + 42 x2

2 - 3x + c ¿13

A= ( 333 +2(3)2−3 (3 )+C)−¿ (−133 +2 (1)2– 3(1)+C)A= (−9+18+9+C ) - (−13 +2−3+C)A= -9 + 18 – 9 +C + 1

3 - 2 + 3 – C

A= 43

=> 1,33 GRAFICO:

Y X0 04 26 3

43

11)Halle área del área de región en el primer cuadrante que se encuentre bajo la curva y= 1x y esta limitada por esta curva y las rectas y=x;y=0

Y=1x

R= R1+R2R1 = ∫

0

1

xdx

R1= X22 |

0

1

R1 = 122

- 022

= 12

R2 = ∫1

21X

dx R2 = |n x|12 R2 = ¿ n (1)R2 = 0,69 – 0 R2 = 0,69

44

R = 12 + 0,69

R= 1,19 um2GRAFICO:

Y X1 1

0.5 20,33 30.25 4

2 0,5

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS Y= ∫ X2dx Condiciones iníciales Y= ∫

b

a

dx

Y=f ( x)dydx

= ddx

dydx

= f 1 ( x )

45

12) y”=(x+1¿32 ; y(3)´= 0 ; y(3) = 0. Encontrar y y´= ∫¿¿y´= ¿¿y´= ¿¿0= ¿¿

0=3252

+c

0= 645

+c

C=64513)Encontrar el área de la región limitada entre la función y = x2-4, la recta y = 4x , y el eje de las x.

y = x2-4y = 4xx2-4=4xx2-4x-4=0x=−b±√b2−4ac

2a

x=−(−4)±√42−4 (1)(−4)

2(1)

x=−4 ±√322

X1= 2+2√2= 4,83X2= 2-2√2= -0,83Y1= 19,33Y2=-3,32P1= (4,83 , -0,83)P1= (-0,83 , -3,32)A1= ∫

0

4,83

(4 x )dx=2 x2 ] ∫0

4.83

¿2¿¿¿

46

A2= ∫2

4,83

( X2−4 )dx=∫ X3

3−4 x ] ∫

2

4,83

¿23,57

3,32

0,83

EJERCICIOS DE LAS TUTORIAS1) Un terreno rectangular va a cercarse y dividirse en tres partes iguales por dos cercas paralelas a uno de los lados. Si se va a usar un total de 800m de cerca encuentre las dimensiones del terreno para que su área sea máxima.DatosTerreno: Rectangular

47

División: 3 partes igualesCercas: 2 cercas paralelasTotal de cerca: 800 mCondición: Maximización

a 100m a 100m a 100m a 100m

b 200 m

b 200m

666,67 m2 666,67 m2 666,67 m2

GENERACIÓN DE VARIABLESÁrea= Base x AlturaA = a.bA= f (a, b)Perímetro del RectánguloP= a + a + a + a +b +b P= (4a + 2b) P= f (x) 800 = 2a + b a = (400-b)/2a = 200 – b/2Reemplazamos el valor de a en la ecuación del áreaA=a.bA= (200-b/2) bA= 200b – b2/2A=f (b)A' = 200 - 2b/2 A'= 200 – bA''= -1A'= 0200 – b = 0b = 200mSi A'' < 0 E M Si A'' > 0 E m

48

Como A'' -1 < 0 EMa = (400-b)/2a = (400-200)/2a = 100m A= b * aA= 200 m x 100 m A= 20000 área total a cercarseA = 20000/3A= 6666.67 m2GRAFICO:

A b0 0

7200 4010200 6012800 8015000 10016800 12018200 14019200 16019800 18020000 20019800 22019200 24018200 260

49

Interpretación: El área de cada lote es de 6666.66 m2

2.-)∫0

1x3

√1+ x4

ARTIFICIO1+x4=u4 x3=du

x3dx=du4

∫0

1du4

u1 /2

14∫0

1

u1 /2du

¿ [ 14 ( u3/2

32 )+C]

¿¿

50

¿ 16¿

¿ 16¿

¿ 16(2.83−1)=1.83

18

3¿∫ (ee2

+xe−2 x )dxY=ee

2

∫ dx+e∫ xedx−∫ x dx

Y=ee2

x+ 1e+1

xe+1−x2+c

4 ¿∫ ex+e−x

e x−e−xdx

Y=∫ 1

ex−e−x[ (ex+e−x )dx ]

Y=ln (ex−e−x )+c

5¿∫2√1+ 2√ x2√x

dx

Y = 2∫(1+x12)1/2[12 x

−12 dx ]

Y=2(1+x1 /2)3 /2

32

+ c

Y= 43(1+ 2√ x)3 /2+c

51

Contenido:UNIDAD V: OPTIMIZACION DE FUCIONES…………………………………… 1PROBLEMAS DE APLICACIÒN.....................................................................1EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVADAS...........................................18

52

CORRECCION DE LA PRUEBA...................................................................18DEBER DEL DIA 15 DE NOVIEMBRE DEL 2012........................................19CONCAVIDAD PUNTOS DE INFLEXION....................................................22UNIDAD VI: CÁLCULO INTEGRAL...................................23TECNICAS DE INTEGRACION....................................................................23FORMULAS DE INTEGRACIÓN..................................................................23EJERCICIOS.................................................................................................23DEBER DEL DIA 18 DE DICIEMBRE DEL 2012..........................................25EJERCICIOS DE APLICACIÓN CON PROBLEMAS.....................................29INDITEGRALES DEFINIDAS.......................................................................33REGLAS DE INTEGRACION........................................................................33EJERCICIOS.................................................................................................33EJERCICIOS DE LAS TUTORIAS.................................................................43