matematicas ii f
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UNIDAD I :
GUA DEL ALUMNO.SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA
SUBSECRETARA DE EDUCACIN SUPERIOR E INVESTIGACIN CIENTFICA
SUBSISTEMA DE UNIVERSIDADES TECNOLGICAS
COORDINACIN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLGICAS
ELABOR:GRUPO DE DIRECTORES DE LA CARRERA DE BIOTECNOLOGIAREVIS:COMISIN ACADMICA NACIONAL DEL REA COMISION AGROINDUSTRIAL ALIMENTARIA
APROB:COORDINACIN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLGICASFECHA DE ENTRADA EN VIGOR:MAYO 2002
Revisin No . 0.Fecha de revisin: Pgina F-CADI-SA-MA-24-GP-A
I. DIRECTORIO
DR. REYES TAMEZ GUERRA
SECRETARO DE EDUCACIN PBLICA
ING. EDMUNDO GUAJARDO GARZA
SUBSECRETARIO DE EVALUACIN Y EDUCACIN SUPERIOR
DR. ARTURO NAVA JAIMES
COORDINADOR GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLGICAS
RECONOCIMIENTOS
LIC. MARA IRMA SALAZAR HERNANDEZ
UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE SANTA CATARINA
M. en C. HERIBERTO MARTN HERNNDEZ VLEZ.
UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE TORREON
Matemticas II D.R. ( 20001
ESTA OBRA, SUS CARACTERSTICAS Y DERECHOS SON PROPIEDAD DE LA: COORDINACIN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLGICAS (CGUT) FRANCISCO PETRARCA No. 321, COL. CHAPULTEPEC MORALES, MXICO D.F.
LOS DERECHOS DE PUBLICACIN PERTENECEN A LA CGUT. QUEDA PROHIBIDA SU REPRODUCCIN PARCIAL O TOTAL POR CUALQUIER MEDIO, SIN AUTORIZACIN PREVIA Y POR ESCRITO DEL TITULAR DE LOS DERECHOS.
ISBN (EN TRMITE)
IMPRESO EN MXICO.
III NDICECONTENIDOPGINA
IPORTADA1
IIDIRECTORIO Y RECONOCIMIENTOS 3
IIIINDICE 5
IVINTRODUCCIN A LA ASIGNATURA 6
V
UNIDADES TEMTICAS
FUNCIONES
CONTINUIDAD
LIMITES
GRAFICAS
DERIVADAS
MXIMOS Y MNIMOS
OPTIMIZACIN
INTEGRALES DEFINIDAS7
VIDESARROLLO DE CONTENIDOS7
VIIBIBLIOGRAFA
VIIIGLOSARIO
IX EXAMEN DE DIAGNSTICO
IV. INTRODUCCIN DE LA ASIGNATURA.
OBJETIVO : QUE EL ALUMNO MANEJE LAS HERRAMIENTAS MATEMTICAS PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA INDUSTRIA EN GENERAL Y DESARROLLAR SU CAPACIDAD ANALTICA Y LGICA EN LA APLICACIN DE ESTAS HERRAMIENTAS.
V. CONTENIDOS TEMTICOS
UNIDAD TEMTICA I: FUNCIONES.
HORAS TEORA
: 2
HORAS PRCTICA: 2
HORAS TOTALES
: 4
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Comprenda el concepto de funcin
OBJETIVO PRCTICO: Calcular el valor de una funcin que se aproxima a un nmero. RELACIN
Sean S y T conjuntos de nmeros, entonces una relacin de S a T es un conjunto de pares ordenados (x, y) tales que x (S y y(T.
Una relacin es cualquier subconjunto del producto cartesiano S x T.
Ejemplo:
Sean S = (2,3( y T = (3, 4, 5( entonces puede definir una relacin de S a T como sigue
r = ((2, 3), (2, 4), (2, 5) (3, 4), (3, 5)(para sta relacin en particular se observa que x ( y, para el mismo conjunto de nmeros, podemos definir otras relaciones, por ejemplo
R = (3, 3(en ste caso la relacin est definida por x = y.
Para los dos ejemplos de relaciones anteriores se coloca a los elementos de S como primeros elementos de los pares ordenados. Un par en el que el orden de sus componentes es relevante es un par ordenado (x , y) ( (y, x).
Al conjunto cuyos primeros elementos son los componentes de una relacin, se le llama dominio de la relacin. Mientras que al conjunto cuyos elementos son las segundas componentes del par ordenado se le llama rango de la relacin.
Ejemplo.
Dada la relacin r =((2, 4), (3, 9), (4, 16)(, el dominio est determinado por
D = (2, 3, 4( y el rango R = (4, 9, 6(, ntese que r puede definirse como y = x2FUNCIN
Las relaciones en que para cada elemento del dominio hay solamente un elemento en el rango se llaman funciones.
Una funcin es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto (llamado dominio de la funcin) exactamente un valor de otro conjunto, el conjunto de todos los valores asignados se llama el rango de la funcin.
En la figura 1 se representa la grafica de la expresin y = x2 es una funcin ya que si se establece un dominio D = (-2, -1, 0, 1, 2, 3( y sustituimos cada uno de los valores en dicha funcin, encontramos los siguientes valores
Para y (rango) R =(0, 1, 4, 9(. Observe la siguiente figura:Figura 1.Aqu se observa que para cada valor de x hay un valor en y, esto cumple con la definicin de funcin; donde para cada valor de x hay uno y solo un valor en y.
La figura 2 no es funcin el siguiente ejemplo:
Figura 2.
La definicin dice que una funcin asigna exactamente un valor a cada elemento del dominio, entonces, en este ejemplo en particular, no se trata de una funcin pues el elemento 1 tiene dos valores asignados.
En la siguiente figura 3, se presenta un ejemplo de una grfica que representan una funcin.
Figura 3.
Son ejemplos de funciones las siguientes expresiones:
FUNCIN IMPLCITA Y FUNCIN EXPLCITA
Una funcin implcita de dos variables, x y y, se expresa por una ecuacin no resuelta para ninguna de esas variables.
Ejemplo:
x2 2xy + y2 = 6x 4y + 1
Una funcin implcita se convierte en explcita, despejando a una de las variable
Ejemplo:
x2 + y2 = 36
despejando tenemos y = 6 x
en la que y es una funcin explcita de xTIPOS DE FUNCIONES
Funciones algebraicas: Pueden ser racionales o irracionales.
Ejemplo:
a)
b)
c)
d)
c)
d)
Funcin Racional: Son funciones que no contienen exponentes fraccionarios.
Ejemplo:
Funciones potencia: la funcin est elevada a una potencia que es un nmero entero.
Funcin exponencial: el exponente contenido es una funcin.
Ejemplo:
Problemas.
Si
Entonces
Ejercicios.1. - Dado demostrar que
.
2. - Si, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2).
3. - Si hallar F(0).
4. - Dado, demostrar que f(t+1)=
5. - Dado que demostrar que
6. - Dado que, demostrar que
7. - Dado, demostrar que
8. - Dado, demostrar que
9. - Si, demostrar que
10. - Dado, demostrar que
11. - Dado, demostrar que
UNIDAD TEMTICA 2:CONTINUIDAD.
HORAS TEORA
:2
HORAS PRCTICA
:4
HORAS TOTALES
:6
OBJETIVO APRENDIZAJE: Obtener la continuidad de una funcin
OBJETIVO PRCTICO: Calcular la continuidad de una funcin en un intervalo dado.
Se dice que una funcin f(x) es continua en el intervalo a< x < b si f es continua para todo valor de x del intervalo. Ntese que la grafica de una funcin continua carece de brechas o saltos por pequeos que sean.
UNIDAD TEMTICA 3: LIMITES.
HORAS TEORA
:3
HORAS PRCTICA
:5
HORAS TOTALES
:8
OBJETIVO TERICO: Expresar el fundamento de la nocin de limite de una funcin.
OBJETIVO PRCTICO: Clculos de limites de funciones algebraicas elementales.
LIMITES Y CONTINUIDAD
Consideremos la grfica de la siguiente funcin.
Para todo valor distinto de 1 podemos usar las tcnicas habituales, pero para x = 1 la funcin no puede ser evaluada. Al graficar esta funcin, resulta que la grfica es una parbola con un hueco en el punto (1, 3) como se muestra en la figura 4.
Figura 4.
Aunque x no puede hacerse 1, podemos ir tan cerca como queramos de 1, como consecuencia, f(x) se hace tan prximo como queramos a 3, decimos que el limite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3 y escribimos:
Lim x(1 f (x) = 3Cuando la funcin no puede evaluarse para un valor dado de x se dice que la grfica de la funcin es discontinua, por ejemplo en la figura 5, tenemos
Cuando una funcin pude definirse para todos los valores posibles de x se dice que dicha funcin es continua, por ejemploLimites que no existen.
En la figura 6 se observe la grfica.
De la grfica vemos que cuando x se acerca a cero por la derecha o por la
izquierda, f(x) crece sin tope. Se observa entonces, que la curva (funcin) no se aproxima a un nmero real cuando x tiende a cero, o sea, el valor para el cual la funcin no puede ser evaluada no est sobre la grfica de dicha funcin.
PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Si b y c son nmeros reales, n un entero positivo, f y g funciones que tienen limites cuando x(C, entonces
Lim x (c [ b ( f(x) ] = b [Lim x(c f(x) ] multiplicacin por un escalar
Lim x (c [ f(x) ( g(x) ] = Lim x (c f(x) ( Lim x (c g(x) suma o diferencia
Lim x (c [ f(x) g(x) ] = [Lim x (c [Lim x (c f(x) ] [Lim x (c g(x) ] producto
Lim x (c f(x) = Lim x (c f(x), si Lim x (c g(x) ( 0 cociente
g(x) Lim x (c g(x)
Lim x (c [ f(x) ]n = [Lim x (c f(x) ]n
FORMAS DE ENCONTRAR LIMITES
Los limites pueden ser evaluados por sustitucin directa. Si el limite no puede calcularse por sustitucin directa cuando x tiende a un valor determinado, digamos C por ejemplo, (x(C), intntese encontrar una funcin que coincida con todos los intervalos de x salvo x = C.
1. - Calculo de limites directamente
Ejemplo: Calcular el limite de la siguiente funcin
Solucin: Sustituyendo el valor de x = 3 se obtiene el limite
Calculo del limite de una funcin donde el denominador se hace cero y el limite no puede ser determinado.
Ejemplo: Encontrar el lmite de la siguiente funcin
al sustituir x = 5 en la funcin el denominador se hace cero, es una divisin indeterminada.
Solucin: Transformar la funcin en otra funcin donde su denominador sea diferente de cero, esto puede hacerse factorizando el numerador como sigue.
Ejemplos:
1. - Demostrar que
EMBED Equation.3 Divdanse el numerador y el denominador por, que es la mayor potencia de x .
Entonces tenemos
Ejercicios.
Demostrar las siguientes igualdades.
1. -
2. -
3. -
4. -
UNIDAD TEMTICA 4: GRAFICAS.
HORAS TEORA:
1
HORAS PRCTICA:2
HORAS TOTALES
: 3
OBJETIVO TEORICO: Describir la derivada como una razn de cambio.
OBJETIVO PRACTICO: Formular la derivada de funciones algebraicas simples por medio de incrementos.UNIDAD TEMTICA 5: DERIVADAS.
HORAS TEORA:
5
HORAS PRCTICA:10
HORAS TOTALES
: 15
OBJETIVO TEORICO: Describir la derivada como una razn de cambio.
OBJETIVO PRACTICO: Formular la derivada de funciones algebraicas simples por medio de incrementos.
LA DERIVADA
Para un crculo podemos caracterizar la tangente en un punto como la recta perpendicular a la recta radial que pasa por p.
Ver la siguiente figura 7.
Figura 7.
Sin embargo para una curva arbitraria el problema es ms difcil, por ejemplo en las siguientes curvas representadas en la figura 8.
Figura 8.
El problema de hallar la recta tangente en un punto se reduce a hallar su pendiente. Y esta puede aproximarse mediante rectas que pasen por P y por otro punto de la curva, a las que llamaremos recta secante se muestra en la figura 9.
Figura 9.
Si [ c, f( c ) ] es el punto de tangencia y [ c + (x, f (c + (x)] es otro punto de la grfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos es:
Obtendremos cada vez ms aproximaciones a la pendiente de la tangente sin mas que acercar el otro punto al de tangencia. Figura 10.
Figura 10.
Si f est definida en un intervalo contenido c y existe el limite.
Llamaremos a la recta que pasa por [ c, f (c )] con pendiente m la recta tangente a la grfica de f en el punto [c, f ( c )]
El limite utilizado para definir la pendiente de la tangente se usa tambin para definir una de las dos operaciones fundamentales del Clculo, la derivada.
La derivada de una funcin f en x est dada por:
Siempre y cuando exista el limite.
Algunas formas de representar la derivada son:
Encontrar la derivada de una funcin con el concepto de limite.Mtodo general para obtener la derivada de una funcin.
Para obtener la derivada de una funcin se realizan las operaciones siguientes:
1. - Dar un incremento (x a la variable x, corresponder un incremento (y a la
funcin y.
2. - Rstese la funcin dada de la incrementada.
3. - Divdase el resultado anterior entre el incremento de la variable ( (x ).
4. - Paso al lmite, haciendo que (x tienda a cero.
El lmite del segundo miembro es la derivada.
Por ste mtodo se han obtenido las formulas de derivacin para calcular derivadas rpidamente sin recurrir a ste mtodo.
Ejemplo: Obtener la derivada de la siguiente funcin por medio del mtodo de incrementos.
Derivacin.-
Ejemplos.
Hallar la derivada de la funcin
Aplicando los pasos sucesivos de la regla general. Obtenemos, despus de hacer.
Primer paso.
Segundo paso.
Tercer paso.
Cuarto paso. En el segundo miembro hagamos
O bien.
Ejemplo 2. Hallar la derivada de
Resolucin. Hagamos
Primer paso.
Segundo paso.
Tercer paso.
Cuarto paso. En el segundo miembro
Hagamos.
Ejemplo 3. Hallar derivada de la funcin
Resolucin. Hagamos
Primer paso.
Segundo paso.
Tercer paso.
Cuarto paso. En el segundo hagamos. Tendremos:
Problemas.
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.
1. -
2. -
3. -
4. -
5. -
6. -
7. -
8. -
9. -
10. -
11. -
12. -
13. -
14. -
15. -
16. -
17. -
LA DERIVADA Y REGLAS DE DERIVACIN
OBJETIVO TEORICO: Identificar las formulas de derivacinOBJETIVO PRACTICO: Calcular la derivada de funciones algebraicas. Aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
TEMA : REGLAS DE DERIVACIN.
En el tema anterior se utiliz la definicin por limites para hallar la derivada. A continuacin se dan varias reglas de derivacin que permiten hallar derivadas sin recurrir a la definicin.
Reglas para derivar funciones algebraicas.
1. -
2. -
3. -
4. -
5. -
6. -
6a. -
7. -
7a. -
8. -
9. -
Derivadas de una constante.
Si se sabe que una funcin tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta funcin es constante, y podemos representarla por
Cuando x toma un incremento, el valor de la funcin no se altera; es decir, y
Ejercicios:
Comprobar cada una de las siguientes derivadas.
1. -
2. -
3. -
4. -
5. -
Comprobar cada una de las siguientes derivadas.
1. -
2. -
PROCEDIMIENTO DE DERIVACIN
A continuacin se presentan diferentes casos de funciones a derivar y se sugiere la forma o tcnica de derivacin para cada caso correspondiente.
1) Regla de la constante
La derivada de una constante es cero.
Dx ( K ) = 0 donde c es el nmero real
Ejemplo: Derivar y = 7
y = 0
2) Regla de las potencias
Dx un = unn-1 DxuEjemplo: Derivar f(x) = x3 y = 3x2 Dx (x)
y = 3x2 (1)
y = 3x2 Ejemplo:
Regla de la suma y la diferencia
Dx[ u + v + z ( = Dxu + Dxv + Dxz
Ejemplo.
Derivacin de una funcin conteniendo un radical
Ejemplo.
REGLAS PARA DERIVAR PRODUCTOS Y COCIENTES
Regla del producto
Sea una funcin del tipo y = uv o f(x) = uv, donde u y v representan funciones.
Las dos funciones se encuentran multiplicando, por lo que para derivarla se aplica la siguiente formula.
Dx uv = uDxv + vDxu
Donde Dx significa dy/dx la derivada de y con respecto a x
Ejemplo. Hallar la derivada de f(x) = (3x 2x2) (5 + 4x)Donde u = (3x 2x2) y v = (5 + 4x)f(x) = (3x 2x2) Dx (5 + 4x) + (5 + 4x) Dx (3x 2x2)
f(x) = (3x 2x2) (4) + (5 + 4x) (3 4x)
f(x) = 12x 8x2 + 15 20x + 12 16x2f(x) = -8x 24x2 27
Ejemplo: Derivar y = (1 + x-1) (x 1)
Donde u = (1 + x-1) y v = (x 1)
y = (1 + x-1) Dx (x 1) + (x 1) Dx(1 + x-1)
y = (1 + x-1) (1) + (x 1) (-x-2)
2) Regla del cociente.
Dada la funcin f(x) = u / v la funcin representa un cociente, don u y v representan funciones, su derivada se encuentra aplicando la formula:
Expresar primero la formula de la derivada. Conteniendo a u y v,
Derivada de productos y cocientes
Derivacin aplicando la regla de la cadena
Esta regla se refiere a la derivacin de funciones compuestas.
Ejemplo de funciones que se derivan fcilmente sin la regla de la cadena.
Ejemplo de derivadas de funciones que no pueden ser derivadas sin la regla de la
Cadena.
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
OBJETIVO TERICO: Identificar las formulas de derivacin de funciones trigonomtricas, exponenciales y logartmicas.
OBJETIVO PRCTICO: Obtener la derivada de funciones trigonomtricas, exponenciales y logartmicas.
1. - Derivada del seno y el coseno
Ejemplo.
Derivar la funcin y = 3 cos 5x
aplicar la formula Dx cos u = - senu Dxu donde u = 5x
y = 3 Dx (cos 5x) Dx (5x)
y = 3 ( -sen 5x ) (5)
y = -15 sen 5x
Ejemplo
y = 2-1 sen2 ax
y = 2-1 ( sen ax )2
y = (2-1) (2) (sen ax) Dx (sen ax)
y = a (sen ax ) ( cos ax )
Ejemplo.
Derivar y = ( (cos 2x)Aplicar la regla de la cadena
y = (cos 2x)1/2
Empezar derivando como un
y = (cos 2x ) 1/2+ Dx (cos 2x ) Dx (2x)
y = 8 cos 2x ) 1/2 ( -sen 2x ) (2 )
Derivada de una funcin trigonomtrica inversa.
Obtener la derivada de la funcin trigonomtrica inversa aplicando la regla correspondiente.
Ejemplo
Derivar la siguiente funcin y = arc tg ax2
Derivadas de funciones exponenciales
Para derivar una funcin exponencial se aplica la formula Dx eu = eu Dxu, donde u representa una funcin y no un exponente.
Ejemplo: Derivar la siguiente funcin exponencial:
Ejemplo Encontrar la derivada de y = xexAplicando la formula Dx (u v) = uDx v + v Dx u llamada tambin la regla del producto, donde
Derivadas de funciones logartmicas
La funcin exponencial natural f(x) = ex es continua y creciente, esta funcin exponencial natural tiene inversa y se llama funcin logartmica.
Sea x un nmero real positivo, la funcin logaritmo natural (ln x) tiene la siguiente definicin:
Lx = b si eb = x
Esto significa que la ecuacin logartmica se puede escribir en la forma exponencial equivalente.
Ejemplos: ln 1 = 0 entonces e0 = 1
ln e = 1 entonces e1 = e
ln e 1 = -1 entonces e 1 = 1/e
Como la funcin f -1 (x) = ln x se define como la inversa de f(x) = ex, su grfica es la reflejada en la funcin exponencial natural como se muestra en la siguiente figura 11.
Figura 11
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1) ln xy = lnx + ln y
2) ln x/y = ln x ln y
3) ln xy = y ln x
Derivando la funcin logaritmo natural
Ejemplo
Derivar la funcin f(x) = ln 2x
Aplicando la frmula Dx lnu = 1/u Dx u
Dx ln(x2 + 1) = Dx ln 2x = 1/2x Dx(2x)
y = 1/2x (2)
y = 1/x
Ejemplo. Derivar la funcin y = ln (x2 + 1)
Aplicando la formula anterior
Ejemplo. Derivar F (x) = x lnx
Aplicando la regla del producto
y = x Dx lnx + lnx Dx (x)
y = x/x Dx(x) + lnx (1)
y =1 + lnx
Derivadas sucesivas La derivada de la primera derivada de una funcin se llama segunda derivada, si esta se deriva, se obtiene la tercera derivada, cuya derivada es la cuarta derivada de la funcin dada.
Formas de representar derivadas sucesivas: D f ( x) ; D2 f ( x ); D3 f (x ); etc
F (x ) o y; f ( x ) o y; etc
Ejemplo de derivadas sucesivas
a) y = x4 3x3 + 2x2 6x 8
y = 4x3 9x2 + 4x 6
y = 12x2 18x + 4
y = 24x 18
yIV = 24
yv = 0
b) y = sen 3x
y = cos 3x d3x
y = 3 cos 3x
y = -9 sen 3x
yIV = -27 cos 3x
yV = 81 sen 3x, etc
Derivadas parciales
Sea una funcin u, funcin de dos variables independientes x y y; esto es u = f (x, y )
Si y se supone constante, entonces u es una funcin de x. La derivada de u con respecto a x (manteniendo a y constante) se llama derivada parcial u con respecto a x, y su notacin es
(u / (x
Del mismo modo si se deriva u con respecto a y, suponiendo a x constante, se obtendr la derivada parcial de u con respecto a y, cuya notacin anloga es
(u / (y
Ejemplo
u = 3x2 2xy + 5y2 6x 2y + 7
(u / (x
= 6x 2y 6
(u / (x
= -2x + 10y - 2
Ejemplo de aplicacin.
Resulvase el sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables, que se obtiene anulando las derivadas parciales de la ecuacin cannica. Los respectivos valores de x y y representan la abscisa y la ordenada del centro de la curva.
Ejemplo
a) 5x2 4xy + y2 16x + 4y + 16 = 0
la solucin de ste sistema de ecuaciones nos daX = 4 y y = 6
b) 3x2 y2 + 6x + 4y 13 = 0 ( hiprbola )
la solucin de sta ecuacin nos es ( -1, 2), este punto representa el centro de la hiprbola.
LA DERIVADA Y REGLAS DE APLICACIN
TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLCITAS
OBJETIVO TEORICO: Identificar una funcin implcita y conocer el proceso de derivacin.
OBJETIVO PRACTICO: Derivar funciones implcitas.
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLCITAS
Para obtener la derivada de una funcin implcita, se procede en primer trmino a despejar la variable considerada como funcin.
Ejemplo.
Dada la funcin, expresada por la ecuacin x2 4y = 1 al considerar y funcin implcita de x, antes de obtener la derivada, despejamos y, es decir:
En algunos casos es complicado despejar y por lo que se procede a derivar trmino a trmino, considerando a y como funcin de x en cada trmino; por ltimo, se despeja y de la ecuacin resultante.
Ejemplo
Dada la ecuacin expresada por la ecuacin x2 xy + y2 = 1 donde y = f ( x )
Derivando trmino a trmino, resulta
APLICACIONES DE LA DERIVADA.
MOVIMIENTO RECTILNEO Y CIRCULAR
Objetivo Terico: Expresar la derivada de una funcin como velocidad y aceleracin.
Objetivo Prctico: Por medio de la derivada resolver problemas cinemticas de posicin, velocidad y aceleracin.
MOVIMIENTO RECTILNEO (VELOCIDAD Y ACELERACIN)
Sea AB un eje orientado, sobre el que se toma un punto O como origen. Sea OM el camino recorrido por el mvil M al cabo de un tiempo t. Sea So el espacio o camino inicial de M en el momento inicial t = 0. Como se muestra en la figura 12 siguiente.
EMBED Equation.3
Figura 12.
El camino recorrido por M es una funcin de t: S = f (t)
O sea la velocidad es la derivada del camino respecto al tiempo.
Se llama velocidad inicial ((o ) el valor que toma (, cuando t = 0.
Si ( ( 0, el movimiento es llamado directo. Si ( ( 0, el movimiento es contrario, la velocidad del mvil disminuye y el mvil retrocede en distancia.
El mvil M se encuentra en un punto lmite, cuando la velocidad se anula con cambio de signo.
Se define la aceleracin media como
La aceleracin en un momento cualquiera t, es:
La aceleracin es, pues, la derivada de la velocidad respecto al tiempo, lo que es lo mismo, la segunda derivada de S respecto a t, o bien, el producto de la velocidad por la derivada de sta respecto a S.
La aceleracin ( tambin se expresa en esta forma.
En efecto, d( = d( . ds = ds. d( = ( . d(El movimiento es acelerado, si ( (( ( 0 ( ( y ( son de igual signo)
El movimiento es retardado, si ( ( ( ( 0 ( ( y ( son de signos contrarios)
MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME.
Es aqul cuya velocidad es constante. Sus ecuaciones son:
s = s0 + (t
( = (0 = K
MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
Es aqul cuya aceleracin es constante. Sus ecuaciones son:
s = s0 + (0t + ( t2
( = (0 + ( t
( = K
Ejemplo
Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial (0 = 58.86 m/s. Calcular su velocidad al cabo de 3 segundos. Cundo deja de subir y que altura alcanza?
Ecuacin s = 58.86t g t2 , g = 9.81 m/s2Solucin: Obtener la derivada de la ecuacin de la distancia con respecto al tiempo, esto nos representa la velocidad en cualquier tiempo t.
Para encontrar la velocidad despus de t = 3 segundos, se sustituye ste valor en la
derivada obtenida.
( = 29.43 m/s
El cuerpo deja de subir cuando su velocidad es nula, ( = 0
O sea 0 = 58.86 9.81 t
Despejando t tenemos: t = 6 segundos
Para t = 6 resulta s = 176.58 metros, que es la altura que alcanza.
OTRAS APLICACIONES DE LA DERIVADA . TRABAJO Y POTENCIA.
Si un cuerpo de peso W es levantado verticalmente el camino s, se efecta un trabajo ( = Ws. Si el movimiento es uniforme, s = ( t . Por lo tanto.
( = W ( t
Entonces : d( / dt = W ( Por lo tanto, la potencia es la derivada del trabajo respecto al tiempo.
Supongamos ahora que el cuerpo cae libremente, el trabajo ( es:
( = W s = W g t2 = W g t2
Entonces d( = W g t
Como se sabe g t / dt = ( ( d( / dt = W( = Potencia
Ejemplo
Un cuerpo de peso W = 30 kg cae libremente durante t segundos. Calcular el espacio recorrido, su velocidad, aceleracin, trabajo y potencia cuando has transcurrido 6 segundos.
s = g t ( ( = g t ( aceleracin = g;
( = W g t2
Potencia = W g t
Para t = 6 se obtiene s = 176.58 m
( = 58.86 m/s, aceleracin = 9.81 m/s2
( = 5297. 4 kg
Potencia 1765.8 kg m/s.
UNIDAD TEMTICA 6: MXIMOS Y MINIMOS
HORAS TEORA:
3
HORAS PRCTICA:6
HORAS TOTALES
9
OBJETIVO TERICO: Reconocer los conceptos geomtricos de mximo y mnimo, puntos de inflexin, seccin cncava funcin creciente o decreciente, etc.
OBJETIVO PRCTICO: Por medio de la derivada, encontrar los puntos mximos y mnimos de una funcin, los puntos donde hay inflexin, donde la funcin es creciente o decreciente, etc.APLICACIONES DE LA DERIVADA
TEMA : TANGENTES Y NORMALES
OBJETIVO TERICO: Identificar rectas tangentes y normales a curvas y rectas
OBJETIVO PRCTICO: Aplicar la derivada para encontrar rectas tangentes y normales a curvas dadas.
RECTAS TANGENTES Y NORMALES
Sean P y Q dos puntos de una curva, como se muestra en la figura 13,
Figura 13.
Es la pendiente de la secante PQ
Si supongamos que Q se mueve a lo largo de la curva hacia la posicin que tiene P, la recta PQ gira alrededor de P y tiende a ocupar la posicin PT como limite.
Esta recta PT es la tangente a la curva en P, a medida que Q se aproxima a P, (T ( 0 y la pendiente de la secante PQ tiene por limite la pendiente de la tangente PT; luego podemos concluir que:
Pendiente de la tangente en P = tg ( = lim (y/(x cuando (x ( 0.
Es decir dy/dx = tg ( = pendiente de la tangente en el punto P.
El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto.
Ejemplo: Obtener la tangente de la parbola y = x2 en el punto (2, 4).
La grfica de la funcin se muestra a continuacin.
Figura 14.
Derivando la funcin con respecto a x se obtiene la pendiente, ya que dy/dx = tg ( = m en un punto, entonces
luego, la pendiente de la distancia de PT es 4 y su inclinacin es tg 1 4 = 75 58
En algunas aplicaciones de la derivada es necesario determinar, cuando la funcin tiene un valor mximo o un valor mnimo.
Sea la funcin y = 4x x2, la grfica que se muestra en la figura 15 .
De la figura se deduce que el valor mximo de la curva est en x = 2, es decir, en el punto y = 4 que es el valor mximo de la funcin.
Como el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la recta tangente es ese punto; sin recurrir a la grfica se puede hallar el valor de x mediante el siguiente procedimiento:
Figura 15.
1. - Obtener el valor de la derivada de la funcin
2. - Igualar a cero la ecuacin que resulta.
3. - Resolver la ecuacin para hallar el valor crtico de x.
4. - Sustituir el valor crtico de x en la funcin dada y encontrar el valor de y.
5. - Tomar un valor ligeramente mayor y otro ligeramente menor que el valor crtico de x y sustituir en la derivada de la funcin.
6. - Si la pendiente resulta con un valor (+) a (-) entonces, se trata de un mximo, y si cambia de (-) a (+) entonces es un mnimo.
Ejemplo : Encontrar el valor mximo o mnimo de la funcin y = 4x x2Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos
Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2
Para x = 1.9 dy / dx = 4 2 (1.9) = 0.2 es positivo
Para x = 2.1 dy/dx = 4 2 (2.1) = -0. 2 es negativo
Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto mximo.
Ejemplo: Determinar si la grfica de la funcin y = x2 3x + 6 presenta un mximo o un mnimo, mediante el mtodo de la derivada.
Siguiendo el procedimiento anterior
1) dy/dx = 2x 3
2) 2x 3 = 0, donde x = 3/2 = 1.5
3) Tomar dos valores cercanos a x = 3/2
Para x = 1 dy/dx = 2(1) 3 = 3 2 = -1 es negativo
Para x = 2 dy/dx = 2(2) 3 = 4 3 = 0 es positivo
La grfica va de positivo a negativo, entonces la grfica presenta un valor mnimo; va de decreciente a creciente.
Para conocer la coordenada en y del valor mnimo; sustituimos x = 3/2 en la funcin
y = (3/2)2 3(3/2) + 6, de donde y = 3
Ejemplo: Sea la funcin y = 1/3x3 2x2 + 3x + 1, determinar los mximos o mnimos de dicha funcin.
Siguiendo el procedimiento, tenemos
1) dy/dx = x2 4x + 3
2) x2 4x + 3 = 0, factorizando tenemos ( x 3 ) ( x 1) = 0
de donde x1 = 3 y x2 = 1
Para x = 3 toma dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor.
3) Para x = 2.5 dy/dx = -0.75 es negativo
Para x = 3.5 dy/dx = 1.25 es positivo
La pendiente va de (-) a (+) , por lo tanto el valor es un mnimo.
Las coordenadas en y se determina sustituyendo en la funcin el valor de x = 3 y tenemos y = 1
Para el valor de x = 1, tomamos un valor ligeramente menor y otro ligeramente mayor.
Para x = 0.5 dy /dx = 1.25 es positivo
Para x = 1.5 dy/dx = -0.75 es negativo
Esto representa un mximo con la coordenada en y = 2
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIN.
Dada una curva de ecuacin y = f(x)
Si la pendiente de esta recta tangente a esa curva es ( + ) a la izquierda y ( - ) a la derecha del punto A, entonces la curva tiene un valor mximo, se dice que la curva es cncava hacia abajo.
Si la pendiente de una recta tangente a esa curva es (-) a la izquierda y (+) a la derecha en un punto B, entonces la curva presenta un mximo, la curva es cncava hacia arriba.
Si la pendiente de una recta tangente a la curva tiene el mismo signo a ambos lados del punto, como en C; entonces, la curva solo cambia el sentido de la concavidad y por tanto no presenta un mximo ni mnimo. Se trata de un punto de inflexin.
CALCULO DE PUNTO MXIMO Y MNIMO DE UNA FUNCIN.
El mtodo consiste en encontrar la primera y segunda derivada de la funcin, siguiendo los pasos que a continuacin se enumeran:
I.- Hallar la primera derivada de la funcin
II.- Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuacin para determinar los valores crticos.
III.- Obtener la segunda derivada de la funcin.
IV.- Sustituir en la segunda derivada cada uno de los valores crticos obtenidos. Si el resultado es negativo se tendr un mximo y si es positivo se tendr un mnimo.
El mtodo no es aplicable cuando la segunda derivada es igual a cero.
Ejemplo. Hallar los mximos y mnimos de cada funcin empleando el mtodo de la segunda derivada.
a) y = x4 + 32x
I.-
y = 4x3 + 32
II.-
0 = 4x3 + 32
x3 = 32/4
x3 = 8
x = 2 valor crtico
III.- y = 12x2IV.-
y = 12 (2)2
y = 48 ste valor es positivo, entonces, el valor es un mnimo.
b) y = x3 2x2 + x
I.-
y = 3x2 4x + 1
II.-
0 = 3x2 4x + 1
factorizando
(x 1) (3x 1) = 0
x1 = 1 x2 = 1/3
III.-
y = 6x 4
y = 6x 4
para x = 1 valor crtico
para x = 1/3 valor crtico
IV.-
y = 6(1) 4
y = 6 (1/3) 4
y = 6-4
y = (6/3) 4
y = 2 y = 2-4
y = -2 Este es un mnimo por ser (+)
ste es un mximo por ser (-)
UNIDAD TEMTICA 7: OPTIMIZACION.
HORAS TEORA:
3
HORAS PRCTICA: 6
HORAS TOTALES
: 9
DE APLICACIN DE MXIMOS Y MNIMOS
OBJETIVO TERICO: Reconocer el procedimiento de encontrar los mximos y mnimos aplicado a problemas geomtricos o fsicos.
OBJETIVO PRCTICO: Aplicar el concepto de derivada a problemas de encontrar los mximos o mnimos.
Es posible resolver problemas en los que se buscan valores mximos o mnimos, si podemos expresarlos mediante una funcin de dos variables.
En los problemas de mximos y mnimos se sigue, por regla general la siguiente norma: expresar la funcin cuyos valores extremos se buscan, en trminos de una sola variable independiente, convenientemente escogida; anular la derivada de la funcin respecto a dicha variable, y despejar sta.
En muchos casos el mismo problema indica si se trata de una valor mximo o un mnimo. En los casos dudosos, recrrase al criterio de la segunda derivada, recordando que, si sta es positiva, hay un mnimo; si es negativa hay un mximo.
Ejemplo:
Hallar las dimensiones de una caja sin tapa de 108 cm3 de volumen que tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada, para que en su construccin se emplee la menor cantidad posible de material.
Considerando la figura 17, se tiene.
Figura 17.Si x = lado de la base y v = 108, la altura ser de 108/x2Entonces el rea requerida es A = x2 + 4x ( 108/x2 )
A = x2 + 432/x
A = x2 + 432 x-1 donde x debe ser tal que A sea un mnimo.
Derivando la funcin tenemos:
Para saber si se trata de un mximo o un mnimo tomar un valor ligeramente menor y otro ligeramente mayor y sustituir en dA / dx.
Para x = 5
Por lo tanto para x = 6 la funcin tiene un mnimo. Entonces el lado de la base
mide 6 cm. Y la altura h = 108/36 = 3 cm.
Su rea ser A = 36 + 24(3) = 108 cm2En la siguiente grfica de la figura 18, se presenta el comportamiento de la funcin A = x2 + 432/x
Figura 18.Se observa que la funcin tiene un mnimo en el punto TEjemplo
Demostrar que si se requiere construir un bote de hojalata cerrado, en forma de cilindro circular recto de un litro de capacidad y gastar la menor cantidad posible de hojalata, se requiere que la altura sea igual a dimetro de la base.
Considerando la figura 19, tenemos:
Figura 19.
r = radio de la base
h = altura
El rea toral del cilindro ser.
A = 2(r2 + 2(rh
Como la capacidad del bote es de un litro, por consiguiente su volumen equivale a un decmetro cbico.
Sustituyendo la ecuacin de la altura en la ecuacin del rea, resulta
Derivando la funcin obtenida para A, se tiene:
Igualando a cero la derivada resulta:
Obtener la segunda derivada para saber si se trata de un mximo o un mnimo.
Sustituyendo r = 3( (1/2() en la segunda derivada y resolviendo su valor tenemos:
Como el valor es positivo, se presenta un mnimo.
Para obtener la altura h, sustituimos r = 3(( 1/2() en la ecuacin h = 1/((r2), de donde
h = 3(( 4/()
Comparando este valor de h con el dimetro 2r resulta
2r = 3((4/()
Luego, h = 2r, lo que significa que la altura es igual al dimetro, que es lo que se quiere demostrar.
Podemos comprobar que el bote cilndrico con estas dimensiones tiene una capacidad de un litro, aplicando la frmula del volumen de un cilindro.
UNIDAD TEMTICA 8:INTEGRALES DEFINIDAS
HORAS TEORA:
7
HORAS PRCTICA:14
HORAS TOTALES
: 21
OBJETIVO TERICO: Identificar las diversas formulas para la integracin de funciones algebraicas.
OBJETIVO PRCTICO: Obtener la integracin de diversas funciones aplicando las formulas de integracin.El problema del Clculo Integral consiste en hallar la funcin a que corresponde una determinada derivada o diferencial.
El procedimiento mediante el cual hallamos una funcin a que corresponde cierta derivada se llama integracin y se representa por el signo (, que se lee integral de
Supongamos ahora que se conoce f(x) y se desea saber cul es f (x); por ejemplo, si se conoce f(x) = 2 cos 2x y se pide f(x), es claro que f(x) buscada es sen 2x. Pero sen 2x no es la nica funcin cuya derivada es 2cos 2x ya que sta es tambin la derivada de sen 2x + C, una constante cualquiera.
As podemos escribir:
( f(x) = f(x)
( f(x) dx = f(x)
dx indica que x es la variable de integracin.
En el Clculo Integral se emplean diferenciales en lugar de derivadas.
Ejemplo:
Si f(x) = x3Entonces el diferencial es d(x)3 = 3x2 dx
Luego (3x2 dx = x3Ejemplo:
Si
f(x) = sen x
Entoncesdsen x = cos dx
Luego
( cos x dx = sen x
Consideremos los siguientes ejemplos:
Si d (x3) = 3x2 dx, su integral es ( 3x2 dx = x3Si d (x3 + 2) = 3x2 dx, su integral es ( 3x2 dx = x3 + 2
Si d(x3 5) = 3x2 dx por lo tanto ( 3x2 dx = x3 5
Se concluye que la diferencial tiene un nmero infinito de integrales que solo
difieren en una constante. La constante C se llama constante de integracin.
Las integrales de los ejemplos anteriores reciben el nombre de integrales indefinidas, ya que se desconoce el valor de C.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL
1. - Suma Algebraica
( du + d( - dw = (du + (d( + (dw
2. - Factor constante antes de la integracin.
(a d( = a (d(A continuacin se presentan las frmulas de integracin que permiten integrar
PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIN APLICANDO LAS FORMULAS CORRESPONDIENTES.
1. - Integrar (7 dx
Solucin : aplicar la frmula no. 1
( K du = K
(7 dx = 7 + C
2. - Integrar (dx/11
Solucin: aplicar la frmula no. 1
(1/11) (dx = (1/11 )x + C
3. - Integrar:(x5 dx
Solucin: aplicar la frmula no. 2
( un = ( u n-1 )/ (n+1) + C
(x5 dx = x6 / 6 + C
4. - Integrar ( 5 (x dx
Solucin : aplicar la frmula no. 2
5. - Integrar ( (x 5) (x + 3) dx
Solucin: primero desarrollar el producto de los dos binomios.
( (x 5) (x + 3) dx = ( (x2 + 3x 5x 15) dx
= ( (x2 2x 15) dx
( (x 5) (x + 3) dx = x3 x2 15x + C
FORMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIN Y
TCNICAS DE INTEGRACININTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE
OBJETIVO TERICO: Identificar funciones que no son posibles de integrar con las frmulas.
OBJETIVO PRCTICO: Integrar funciones donde es necesario un cambio de variable.
La tcnica consisten en introducir una nueva variable u, convenientemente escogida, para que la ( dada se reduzca a una ms sencilla y de resolucin casi siempre inmediata.Ejemplo. Integrar
Tomando como u = bx + c, tenemos:
de donde du = b dx
dx = du / b
sustituyendo en
tenemos
donde
y
Donde , entonces
Ejemplo: Integrar
Sustituyendo
Ejemplo. Integrar:
( cos 3x dx
Entonces:
cos 3x dx = 1/3 ( cos u du
= 1/3 sen u + C
= 1/3 sen 3x + C
FORMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIN Y TCNICAS DE INTEGRACIN
LA INTEGRAL DEFINIDA
OBJETIVO TERICO: Reconocer el concepto de integral definida.
OBJETIVO PRCTICO: Integrar diversas funciones y aplicar los lmites establecidos para encontrar el valor de la funcin integrada.
LA INTEGRAL DEFINIDA
Derivada del rea de una curva.
Considere una funcin continua y se y = g (x) la ecuacin de una curva AB, como se muestra en la figura. Al valor inicial x = a de la variable, corresponde el valor inicial MP para la funcin. Considerando MP fija, y sea una ordenada variable. Designemos por S el rea MMQP. Al incremento MM = (x de la variable le corresponde el incremento (y. El rea se incrementa, a su vez (S = MNTQ. Figura 21.
Figura 21.
rea MNTS ( MNTQ ( rea MNRQ
O sea ( y + (y (x ( (S ( y (x
Si (x tiende a cero, los incrementos de y y de S tambin tienden a cero. La ordenada MQ permanece fija, y en el paso al lmite se tendr:
La diferencial del rea de una curva es igual a la ordenada de la curva por la diferencial de la variable independiente.
Esto es, dS representa la diferencial del rea comprendida debajo de la curva, el eje XX y dos ordenadas.
Si se integra la ltima expresin, tenderemos:
S = ( S = g (x) dx
O sea el rea comprendida entre una curva, el eje XX y dos ordenadas es igual a la integral del producto de la ordenada variable de la curva, por la diferencial de su abscisa correspondiente.
CALCULO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIN
Sustituyendo ( g(x) dx por f(x) + C, tenemos:
S = f(x) + C
Para calcular C , hay que observar que, para x = a, el valor de S es nulo. Por lo tanto, la ltima expresin da:
0 = f (a ) + C ( C = -f (a)
El valor de S es, entonces, S = f(x) f(a), y el valor del rea MMQP (si x toma un valor particular OM= b) es: La integral deja de ser indefinida y se convierte en definida, los cual se expresa as:que se lee integral de a b de ye de equis . Los lmites de la integral son a y b, puede escribirse:
o = f(b) f(a)
Ejemplo: Obtener la integral definida de 1/3 x3 dx
Se escribe
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
AREA BAJO LA CURVA
OBJETIVO TERICO: Describir el concepto de rea bajo la curva y rea entre curvas.
OBJETIVO PRCTICO: Por medio de la integracin encontrar el rea bajo la curva y el rea entre curvas. Una de las principales aplicaciones del Clculo Integral es la de encontrar reas de superficies limitadas por curvas. Considere la curva AB con ecuacin y = f(x). Si trazamos el segmento ( O y ( Ox, se tiene la curva comprendida entre P y Q , como se muestra en la figura 22.
Figura 22.
Si consideramos que = x1 = x2
= y1 = y2
El rea PMNQ ser igual a la suma de todos los segmentos de la base dx y la altura y. Al pensar que y es la altura media y dx la base, puede hacerse tan pequea como se pueda, entonces:
El rea de un solo segmento es y dx, pero siendo S el rea total, entonces el rea de un segmento ser dS. Por lo tanto el rea total ser:
S = ( ds = ( y dx
Para hallar el valor del rea total o sea S, solamente se integra y dx.
Para obtener el rea comprendida entre PMNQ, es necesario integrar entre dos lmites, es decir, cuando x vale x2 y cuando x vale x1, entonces
S = y dx
Ejemplo: Encontrar el rea bajo la curva de la siguiente ecuacin en los lmites dados.
S = (3 + 4x2) dx
Integrando, tenemos:
Sustituyendo los lmite
Ejemplo: Obtener el rea limitada por la curva de ecuacin y = 2x 2x2 el eje Ox y las ordenadas que parten de x1 =0 y x2 =1 , se muestra en la figura 23.
Figura 23.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
TEMA : VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
OBJETIVO TERICO: Conocer el concepto de slido en revolucin.
OBJETIVO PRCTICO: Aplicar la integral para encontrar el volumen de un slido en revolucin.
Un slido es un cilindro recto si est limitado por dos regiones planas R1 y R2, que pertenecen a dos planos paralelos, y por una superficie lateral generada por un segmento rectilneo, que tiene sus extremos en las fronteras o lmites de R1 y R2, el cual se desplaza siempre en forma perpendicular a los planos de R1 y R2. La figura siguiente muestra un cilindro recto.(Figura 24 )
Figura 24.La altura del cilindro es la distancia perpendicular entre los planos de R1 y R2 y la base del cilindro es R1 o R2.
Si la base es una regin acotada por una circunferencia se tiene un cilindro rectangular recto, como se muestra en la siguiente figura 25.
Figura 25.
El volumen de una cilindro recto est dado por V = Ah
Consideremos un slido S que est entre dos planos perpendiculares al eje x en a y b. Sea A (x) unidades cuadradas el rea de la seccin plana de S perpendicular al eje x en x. Se requiere que A es continua en (a, b(.
Sea (x particin del intervalo cerrado ( a, b ( dado por
a = x0 ( x1 ( x2.... xn = b
Entonces existen n intervalos de la forma (xi1 , xi( donde i = 1, 2 3,....n, donde la longitud del i-simo subintervalo
(ix = xi xi-1.
La figura 26 muestra el i-simo cilindro recto, el cual recibe el nombre de elemento de volumen. Si (iV unidades cbicas es el volumen del i-simo elemento, entonces.
(iV = A (wi) (i x
La suma de las medidas de los n elementos es
(i V = A (Wi) (ix.
Figura 26.Esta suma es una aproximacin de lo que intuitivamente llamamos nmero de unidades cbicas del volumen del slido.
DEFINICIN DEL VOLUMEN DE UN SLIDO
Sea S un slido tal que S est entre dos planos perpendiculares al eje x en a y b: si la medida del rea de la seccin plana S perpendicular al eje en x, est dada por A(x), donde A es continua en (a, b(, entonces la medida del volumen de S est dada por:
V = A(x) dx
Ejemplo: La siguiente figura muestra un cilindro circular recto, que tiene una altura de h unidades y un radio de la base de r unidades, el origen est en el punto de una base y su altura se miden a lo largo del lado positivo del eje x. Una seccin plana a una distancia de x unidades del origen tiene un rea de A(x) unidades cuadradas, donde
A(x) = (r2
V = A (x) dx
V = (r2 dx
V = xr2x
V = (r2h
La grfica de la figura 28 que se muestra enseguida:
Figura 28.
En el caso de que S fuera un slido que est entre planos perpendiculares al eje y en C y d, y la medida del rea de la seccin plana de S perpendicular al eje y y en y est dada por A(y), donde A es continua en (C, d). Entonces la medida del volumen de S est dada por:
V = A(y) dy
Si f una funcin continua en el intervalo cerrado ( a, b ( y suponga que f(x) ( 0 para toda x en (a, b(. Si S es el slido de revolucin obtenido al girar alrededor del eje x la regin limitada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas x = a y x = b y si V unidades cbicas es el volumen de S, entonces:
V = ( ( f(x)(2 dx
Ejemplo: Calcule el volumen del slido de revolucin generado cuando la regin acotada por la curva y = x2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 2 se gira alrededor del eje x, la figura 29, se muestra enseguida:
Figura 29.
La figura 30 se muestra la regin y un elemento rectangular del rea. La siguiente figura muestra el slido de revolucin y un elemento de volumen. La medida del volumen del slido del disco est dada por:
Figura 30.
Cuando en eje de revolucin y una frontera de la regin girada son el eje y o cualquier recta paralela al eje x o al eje y, se aplica un procedimiento igual al seguido en ste ejemplo.
Ejemplo: Calcular el slido de revolucin generado al girar alrededor de la recta x = 1 la regin limitada por la curva.
(x 1)2 = 20 4y y las rectas x = 1, y = 1, y = 3 y a la derecha de x = 1.
Al resolver la ecuacin de la curva para x, tenemos.
Se toma una particin del intervalo ( 1, 3 ( del eje y
Se toma una participacin del intervalo ( 1, 3( del eje y
El slido generado se muestra enseguida en la figura 31.
Figura 31.Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo cerrado ( a, b(. Tales que f(x) ( g(x) ( 0 para toda x en ( a, b(. Si V unidades cbicas es el volumen del slido de revolucin generado al girar alrededor del eje x la regin limitada por las curvas y = f(x) y y = g(x) y las rectas x = a, x = b, entonces
Ejemplo: Calcular el volumen del slido generado al girar alrededor del eje x la regin acotada por la parbola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3
Los puntos de interseccin de las dos curvas son (-1, 2) y (2, 5). La figura 32 siguiente muestra la regin y un elemento rectangular de rea
Figura 32.
El slido de revolucin y un elemento de volumen se presentan en la
siguiente figura 33.
Figura 33.
Ejemplo: Calcule el volumen del slido generado al girar alrededor de la recta x = -4, la regin limitada por las dos parbolas x = y y2 y x = y2 3
Las rectas se intersectan en los puntos (-2, -1) y (-3/4, 3/2). La regin y un elemento rectangular de rea se muestran en la siguiente figura 34.
Figura 34.
El slido de revolucin as como un elemento de volumen se muestra
enseguida. SE muestra en la figura 35
Figura 35.
Si F(y) = y y2 y G(y) = y2 3. El nmero de unidades cbicas del volumen de la arandela circular es
V = ( ( 4 y y2 )2 ) ( 4 + y2 - 3)2 dy
V = ( ( -2y3 9y2 + 8y + 15) dy
V = ( ( -1/2y4 3y3 + 4y2 + 15y
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE REAS PLANAS
OBJETIVO TERICO: Identificar el concepto de centroide y momento de inercia.
OBJETIVO PRCTICO: Analizar y encontrar el centroide y el momento de inercia de reas planas.
Considere una placa delgada de masa distribuida en forma continua en dos dimensiones y con densidad de rea constante. A tal regin se le llama lmina.
Considere un sistema de n partculas ubicadas en los puntos (x1, y1) (x2, y2).....(xn, yn) en el plano xy, y sean las medidas de sus masas m1, m2 .....mn, despreciables. El centro de masa es el punto donde la lmina est en equilibrio, como se muestra en la siguiente figura 36:
Figura 36.
La figura muestra ocho partculas colocadas sobre la placa. L a identificacin de la i-sima partcula es mi, que es la medida de su masa. La placa est en equilibrio sobre un punto de apoyo ubicado en el centro de masa denotado por (x,y). Para determinar el centro de masa de dicho sistema, primero se debe definir la masa total del sistema y el momento de masa del sistema con respecto a los ejes coordenados
Suponga que la i-sima partcula ubicada en el punto (xi,yi) tiene masa mi kilogramos. Entonces la masa total del sistema es M kilogramos, donde:
M = miEl momento de masa de la i-sima partcula con respecto al eje y es mixi kilogramos metros, y su momento de masa con respecto al eje x es mixi kilogramos metros. Si M kilogramos metros es el momento del sistema de n partculas con respecto al eje x, entonces:
My = mi xi y Mx = mi xiEl centro de masa del sistema es el punto () donde
El punto () puede representarse como el punto tal que si la masa total del sistema del M kilogramos se concentrase ah, entonces el momento de masa del sistema con respecto al eje y sera Mx kilogramos metros y su momento con respecto al eje x sera My kilogramos metro.
Ejemplo: Determine el centro de masa del 4 partculas cuyas masas tienen medidas 2, 4, 6 y 1 las cuales se ubican en los puntos (5,-2), (-2,1), (0,3) (4, -1) respectivamente.
Calcular MyMy = mi xi = 2(5) + 6(-2) + 4(0) + 1(4) = 2
Calcular MxMx = mi yi = 2(-2) + 6(1) + 4(3) + 1(-1) = 13
M = mi = 2 + 6 + 4 + 1 = 13
Por lo tanto
X = 2/13 y y = 1
El centro de masa est en ( 2/13 , 1 )
Sea L la lmina homognea cuya densidad de rea constante es kilogramos por metro cuadrado, la cual est limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Suponga que la funcin f es continua en el intervalo cerrado ( a,b( y que f(x) ( 0 para toda x en (a,b). Como lo muestra la figura 38 siguiente:
Figura 38.DEFINICIN DE MASA, MOMENTO DE MASA Y CENTRO DE MASA DE UNA LMINA.
Sea L una lmina homognea cuya densidad de rea constante es kilogramos por metro cuadrado. La cual est limitada por la curva. Y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. La funcin es continua en (a,b( y f(x) ( 0 para toda x de (a,b(. Si M kilogramos de masa total de la lmina L, entonces
M = k f(x) dx
Si Mx kilogramos metro es el momento de masa de la lmina L con respecto al eje x, entonces
M = (1/2) k (f(x)(2 dx
Si My kilogramos metro es el momento de masa de la lmina L con respecto al eje y, entonces
M = k x f(x) dx
Si () es el centro de masa de la lmina L, entonces
Podemos hallar el centro de una regin plana en lugar del centro de masa de una regin homognea, por lo tanto se considerar el centro de masa como centroide de la regin. En lugar de momento de masa se considerarn momentos de la regin.
Sea R la regin limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. La funcin f es continua en (a,b( y f(x) ( 0 para toda x de (a,b(. Si Mx denota el momento de R con respecto al eje x y Mx denota el momento de R respecto al eje y., entonces
Mx = (1/2) (f(x)(2 dx
My = x f(x) dx
Si () es el centroide de la regin plana de R cuya rea es A unidades cuadradas y Mx y M y se define como
Ejemplo: Determinar el centroide de la regin del primer cuadrante limitada por la curva y2 = 4x, el eje x y las rectas x = 1 y
x = 4
Si f(x) = 4x
Entoncesf(x) = ( 4x
F(x) = 2(x
f(x) = 2 x1/2El rea de la regin est dada por
A = f(x) dx
A = 2 x1/2 dx
A = 4/3 x3/2
Ahora se calcula My y Mx
My = x f(x) dx
My = x (2x1/2) dx
My = 2 ( x3/2 dx
My = 4/5 x 5/2
My = 124
5
Mx = 1/2 ( ( f(x) (2 dx
Mx = () 4x dx
Mx = x
My = 15
Calcular ahora y
= 93/35 = 45/28
El centroide est en ( 93/35, 45/28 )
En el ejemplo siguiente la regin est limitada por dos curvas en lugar de una y el eje x. El mtodo para determinar el centroide es el mismo que el anterior, pero las ecuaciones para Mx y My ahora dependen de las ecuaciones que definen las curvas.
Determinar el centroide limitado por las curvas y = x2 y y = 2x + 3
Los puntos de interseccin de las curvas son (-1,1) y (3,9). En la figura se muestra la regin junto con el i-simo elemento rectangular.
Sea f(x) = x2 y g(x) = 2x + 3. El centroide del i-simo elemento rectangular est en el punto ( mi, (f(mi) + g(mi)( donde mi es el punto medio del i-simo subintervalo ( xi-1, xi(. La medida del rea de la regin est dada por
A = ( g(x) f(x9 ( dx
A = ( 2x + 3 x2 ) dx
A = 32/3
Calcular My y Mx
My = x ( g(x) f(x) ( dx
My = x (2x + 3 x2 ) dx
Mx = ( g(x) + f(x) ( - ( g(x) - f(x) ( dx
Mx = ( (2x + 3) + x2 ( ( (2x + 3) x2 ( dx
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PRESIN Y TRABAJO
OBJETIVO TERICO: Reconocer el concepto de presin y trabajo
OBJETIVO PRCTICO: Calcular la presin y el trabajo aplicando el mtodo de la integral.
En la fsica se utiliza el trmino trabajo para caracterizar la energa de movimiento de un cuerpo cuando ste es movido cierta distancia debido a una fuerza que acta sobre el, de modo que W = Fd
Donde F = fuerza y d = distancia
Sea F una funcin continua en el intervalo cerrado (a,b( y f(x) unidades la fuerza que acta sobre un objeto en el punto x del eje x. Si W unidades es el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de a a b , entonces
W = f(x) dx
Ejemplo: Una particular se mueve a lo largo del eje x debido a la accin de una fuerza de f(x) libras cuando la partcula est a x pies del origen. Si f(x) = x2 + 4, calcule el trabajo realizado conforme la partcula se mueve del punto donde x = 2 hasta el punto donde x = 4.
Se toma una particin del intervalo cerrado (2,4(. Si W libras-pie es el trabajo realizado cuando la partcula se mueve del punto donde x = 2 hasta el punto donde x = 4, entonces
FUERZA EJERCIDA POR LA PRESIN DE UN FLUIDO
Otra aplicacin de la integral definida en fsica consiste en determinar la fuerza ejercida por la presin de un lquido sobre una placa sumergida en l o sobre un lado del recipiente que lo contiene.
La presin de un lquido es la fuerza por unidad cuadrada de rea ejercida por el peso del lquido. As, si ( es la densidad del lquido, entonces la presin ejercida por el lquido en un punto a h unidades debajo de la superficie del lquido es P unidades, donde P = ( h
El tamao del recipiente no importa en lo que a la presin se refiere. Por ejemplo, a una profundidad de 5 pies en una alberca llena de agua salada la presin es la misma que a 5 pies del Ocano Pacfico, considerando que la densidad del agua es la misma.
Suponga que se introduce horizontalmente una capa delgada en el lquido de un recipiente. Si A unidades cuadradas es el rea de la placa sumergida y F es la medida de la fuerza ejercida por el lquido que acta sobre la cara superior de la placa, entonces F = PA
Si se sustituye el valor de la presin en sta ecuacin, tenemos F = ( h A
Ejemplo:
Una lmina rectangular de hojalata de 8 pies por 12 pies se sumerge en un tanque que contiene agua a una profundidad de 10 pies. Como se muestra en la figura 40 Calcular la fuerza ejercida por la presin del agua sobre la cara superior de la lmina
Figura 40.
Si P son lb/pie2 es la presin ejercida por el agua en un punto de la cara superior de la lmina, entonces P = 10 (El rea de la lmina es de 96 pie2. De este modo, si F libras es la fuerza debida a la presin del agua que acta sobre la cara superior de la lmina, entonces F = 96 P
Al sustituir 10( por P, tenemos F = 960 P
Como ( = 624 en el sistema ingls F = 960 (62.4)
F = 60 000
Por lo tanto, la fuerza ocasionada por la presin del agua sobre la cara superior de la lmina de hojalata es de 60 000 lb.
Ahora suponga que se sumerge una placa delgada verticalmente en el lquido de un recipiente. Entonces, en puntos de la placa a diferentes profundidades la presin, calculada mediante P = ( h, es diferente y ser mayor en la parte inferior que en la
parte superior de la placa. Para definir la presin causada por la presin de un lquido sobre una placa vertical se utiliza el principio de Pascal.
Principio de Pascal: En cualquier punto de un lquido, la presin es la misma en todas las direcciones.
En la siguiente figura 41:
Figura 41.Sea ABCD la regin limitada por el eje x, las rectas x = a y x = b y la curva y = f(x), donde la funcin f es continua y f(x) ( 0 en el intervalo (a, b(. Elija los ejes coordenados de modo que el eje y quede sobre la superficie del lquido. Considere el eje x vertical con el sentido positivo hacia abajo, de modo que f(x) unidades es la longitud de la placa a una profundidad de x unidades.
Sea ( una particin del intervalo cerrado (a, b( que divide al intervalo en n intervalos. Elija un punto en el i-simo subintervalo, de modo que xi-1 ( wi ( xi. Dibuje los n rectngulos horizontales. El i-simo rectngulo tiene una longitud de f(wi) unidades y un ancho de (ix unidades.
Si se gira cada elemento rectangular 90(, cada elemento se convertir en un aplaca sumergida horizontalmente en el lquido a una profundidad wi unidades debajo de la superficie del lquido y perpendicular a la regin ABCD. Entonces, la medida de la fuerza sobre el i-simo elemento rectangular es ( wi f(wi) (ix. Una aproximacin de la medida de la fuerza total ejercida por la presin del lquido sobre la placa es
( wi f(wi) (ix faltan datos de la sumatoria
Suponga que una placa se sumerge verticalmente en un lquido para el cual la medida de su densidad es (.
La longitud de la placa a una profundidad x unidades debajo de la superficie del lquido es f(x) unidades, donde f es continua en el intervalo cerrado (a, b( y f(x) ( 0 en (a, b(. Si F es la medida de la fuerza ejercida por la presin del lquido sobre la placa, entonces
F = ( x f(x) dx
Ejemplo.
Una artesa, cuya seccin transversal es un trapecio, est llena de agua. Si el trapecio mide 3 pies de ancho en su parte superior, 2 pies de ancho en su parte inferior, y 2 pies de profundidad, calcule la fuerza total ejercida por la presin del agua en un lado de forma trapezoidal de la artesa.
La figura muestra el lado de la artesa junto con un elemento rectangular de rea. Puesto que una ecuacin de la recta AB es y = 3/2 1/4x
F(x) = 3/2 xSi se gira el elemento rectangular un ngulo de 90(, la fuerza sobre el elemento es 2 ( wi f(wi) (ix libras. Si F libras es la fuerza total sobre el lado de la artesa, entonces
F = 2( x f(x) dx
F = 2( x ( 3/2 1/4x) dx
F = 2 ( ( x2 1/12 x3 (
F = 14/3 (Con ( = 62.4, la fuerza total es de 291 libras. Ver figura 42.
Figura 42.
Ejemplo: Los extremos de un tanque de gasolina son regiones semicirculares, cada una con radio de 2 pies: Determine la fuerza ejercida por la presin en un extremo si el tanque est lleno de gasolina, la cual tiene una densidad de 41 lb/pie2La figura 43 muestra el extremo de un tanque junto con un elemento rectangular de rea,
Figura 43.
al resolver la ecuacin de la semicircunferencia para y se tiene y = ((4 x2). La fuerza sobre el elemento rectangular es 2(wi((4 wi2) (ix libras. Por tanto, si F libras es la fuerza total. Sobre el lado semicircular del tanque, entonces
Con ( = 41, la fuerza total es de 219 lb.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
LONGITUD DE ARCO
OBJETIVO TERICO: Expresar el concepto de longitud de arco.
OBJETIVO PRCTICO: Aplicar la integral para encontrar la longitud de arco.
Sea f la funcin continua en el intervalo cerrado ( a,b( y considere la grfica de sta funcin definida por la ecuacin y = f(x), la cual se muestra en la siguiente figura 44.
Figura 44.
La porcin de la curva desde el punto A (a,F(a)) hasta el punto B (b, f(b)) se denomina arco. Se desea asignar un nmero a lo que se considera la longitud de dicho arco. Si el arco es un segmento de recta, desde el punto (x1,y1) hasta el punto (x2, y2) se sabe por la frmula de la distancia entre dos puntos que su longitud est dada por( (x2 x1)2 + (y2 y1)2. Esta formula se utiliza para definir la longitud de un arco en general.
Sea ( una particin del intervalo cerrado (a,b ( formada al dividir el intervalo en n subintervalos eligiendo cualesquiera n 1 nmeros intermedios entre a y b. Sea x0 = a y xn =b, y X1, x2, x3, . . ., xn-1, los nmeros intermedios de modo que ;
x ( x1( x2 ( . . . ( xn-1( xn. As, el 1-simo subintervalo es ( xi-1, xn(, y su longitud, denotada por (ix, es xi- xi-1, donde i = 1, 2, 3, . . . , n. Entonces, si (((( (.
Asociado con cada punto (xi,0) del eje hay un punto Pi(xi,f(xi)) de la curva. Dibuje un segmento de recta desde cada punto Pi-1 al siguiente punto Pi. La longitud del segmento de recta de Pi-1 a Pi se denota por (Pi-1 Pi( y est determinada por la frmula de la distancia
= ( ((xi xi-1)2 + (yi yi-1)2(La suma de las longitudes de los segmentos es
+ . . . + + . . . +
La cual puede escribirse de la siguiente forma
La grfica se muestra a continuacin en la figura 45.
Figura 45.
Suponga que la funcin f es continua en el intervalo cerrado( a,b(: Adems considere que existe un nmero L que tiene la siguiente propiedad: Para cualquier ( ( 0 existe una ( ( 0 tal que para cada particin ( del intervalo ( a,b( es cierto queSi (((( (( ( entonces ( ( - L ( ( ( Entonces se escribe L = lim(((( (( 0 ( ( Y L se denomina la longitud de arco de la curva y = f(x) desde el punto A(a,f(a)) hasta el punto B(b,f(b)).
Si la funcin f y su derivada f son continuas en el intervalo cerrado (a,b(, entonces la longitud del arco de la curva y = f(x) a partir del punto (a,f(a)) hasta el punto (b,f(x)) est dada por
L = ( ((1 + ( f(x)(2 (dx
x = 1, u = 13; cuando x= 8, u = 40, entonces
La longitud de arco es 7.634
Si la funcin g y su derivada g son continuas en el intervalo cerrado ( c,d(, entonces la longitud del arco de la curva x = g(y) a partir del punto (g( c ),c) hasta el punto (g(d),d) est dada por:
EMBED Equation.3
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PAGE 3
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_1107365633.unknown
_1107506077.unknown
_1107512449.unknown
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_1107691874.unknown
_1107692149.unknown
_1107689801.xlsGrfico1
0.1111111111
0.1189060642
0.1275510204
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f4
-4.0080.00
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0.8014.30
1.0010.00
1.204.75
1.40-1.30
1.60-7.94
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f4
80
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-22
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10
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-46
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-8
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76.0096
f3
x
-4.00-28.00
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y=x`2+2x-30-0.803.49
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3.20-3.23
3.401.30
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4.0020.00
4.2028.09
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f3
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8
8.168
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5
3.488
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x
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f2
0
-0.76
-1.44
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-3
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-3.96
-3.84
-3.64
-3.36
-3
-2.56
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-1.44
-0.76
0
0.84
1.76
2.76
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5
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7.56
8.96
10.44
12
13.64
15.36
17.16
19.04
21
23.04
25.16
27.36
29.64
32
f1
x
-7.00-1.67
-6.75-1.50
-6.50-1.33
y=2/3 x +3-6.25-1.17
-6.00-1.00
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1
1.1666666667
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1.5
1.6666666667
1.8333333333
2
2.1666666667
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2.5
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2.8333333333
3
3.1666666667
3.3333333333
3.5
3.6666666667
3.8333333333
4
4.1666666667
4.3333333333
4.5
4.6666666667
Hoja2
30.1111111111
2.90.1189060642
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