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Istituzioni di Fisica SubnucleareA. Bettini 2006

Capitolo 5 Elettrodinamica quantistica

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I componenti del modello standard. I quark

B Q I Iz S C B T m

d 1/3 –1/3 1/2 –1/2 0 0 0 0 4 - 8 MeV

u 1/3 2/3 1/2 +1/2 0 0 0 0 1.5 - 4 MeV

s 1/3 –1/3 0 0 –1 0 0 0 80 - 130 MeV

c 1/3 2/3 0 0 0 +1 0 0 1.15 - 1.35 GeV

b 1/3 –1/3 0 0 0 0 –1 0 4.1 - 4.4 GeV

t 1/3 2/3 0 0 0 0 0 +1 173±3 GeV

Ci sono 6 quark, ciascuno con un “sapore” (per d e u è Iz)

Tre coppie con cariche –1/3 e 2/3 segno del sapore del quark = segno carica elettricaIF e EM conservano tutti i sapori, non trasformano un quark in un altro, le ID li violanoI quark hanno JP=1/2+

Ipercarica definita come Y ≡B +S+C +B+T Q =I z +Y / 2

Non esistono liberi; i valori delle masse hanno significato solo entro uno schema teorico assunto

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Invarianza di gauge dell’EMLa costante di accoppiamento dell’interazione EM è la costante di struttura fine

α =

1

4πε 0

qe2

hc=

1

137

α è adimensionale, quindi indipendente da unità di misura e piccola

La carica elettrica si conserva. Miglior limite τ e > 4 ×1026 a

Conservazione carica elettrica invarianza sotto il gruppo di gauge U(1)

Macroscopicamente: equazioni di Maxwell

•implicano conservazione della carica

•sono gauge-invarianti ∇⋅

rj −

∂ρ

∂t= 0

rA ⇒

rA' =

rA+∇χ; φ⇒ φ' =φ−∂χ

∂tχ(r,t) = funzione di gauge

Fock 1929; la lagrangiana quantistica è gauge invariante se si cambia contemporaneamente anche la funzione d’onda dell’elettrone (della particella) di un fattore di fase dipendente dal punto-istante

ψ ⇒ ψ ' = eiχrr ,t( )ψ

Si scrive l’hamiltoniana del campo EM libero più quella dell’elettrone libero, si impone l’invarianza di gauge; si ottiene l’interazione elettromagnetica

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Invarianza di gaugeTutte le interazioni hanno lagrangiana invariante sotto un gruppo di gauge

Ciò implica in ogni caso una carica conservata in modo assoluto

La struttura del gruppo determina la struttura della carica corrispondente

•QED: gruppo U(1); una carica=elettrica, positiva o negativa; mediatore: fotone, massa nulla, senza carica elettrica (non interagiscono tra loro)

•QCD: gruppo SU(3); Gruppo SU(3), tre carche di colore (R,G,B), ciascuna dei due segni; mediatori: 8 gluoni; masse nulle, hanno carica di colore (due ciascuno), interagiscono tra loro

•EW: gruppo SU(2)U(1); Gruppo SU(2)U(1), contiene anche EM. L’interazione debole dipende dalla chiralità del fermione, che può essere left o right: i due stati hanno carica debole diversa. I mediatori W+, W– e Z˚ hanno masse grandi (80 e 90 GeV rispettivamente); hanno carica debole, interagiscono tra loro

Il MS è stato sottoposto a test di precisione alle macchine acceleratrici e ai collisori, senza mai fallire. Ma, nei laboratori sotterranei dedicati allo studio di fenomeni naturali rari si sono osservati fatti in contrasto che implicano che

•I neutrini di sapore definito, e, e τ non sono stati stazionari, ma si trasformano uno nell’altro al passare del tempo. Sono sovrapposizioni degli stati stazionari 1, 2 e .

•I sapori leptonici sono violati (potrebbe esserlo anche il numero leptonico)

•I neutrini hanno massa piccolissima, ma non nulla

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I fermioni del modello standard

fermioni antifermioniRdRsRbRdRsRbGdGsGbGdGsGbBdBsBbBdBsBbRuRcRtRuRcRtGuGcGtGuGcGtBuBcBtBuBcBteτeτe––τ–e++τ+

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L’atomo di idrogenoNotazione spettroscopica: n 2s+1Lj

•n = numero quantico principale

•s = spin totale degli elettroni Per H sempre 2s+1=2

•lo omettiamo scrivendo nLj (nSj, nPj, nDj, …)

•j momento angolare totale degli elettroni (non include quello del nucleo, il che darebbe la struttura iperfina)

En =−Rhcn2 =−

1.6n2 eV

In prima approssimazione c’è molta degenerazione tra i livelli dell’H

La velocità dell’elettrone è << c ( 10–2)

Equazione di Schroedinger se V –1/r l’energia dei livelli dipende solo da n

Ma se si osserva lo spettro ad alta risoluzione (Fabry-Perot, lamina di Lummer, ecc.) le righe appaiono formate da multipletti struttura fina

Ci interessa il livello n=2

E2 −E1 =Rhc 1−14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=4

Rhc=10.2 eV

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Esperimento di Lamb e RetherfordLa struttura fina è un effetto relativistico equazione di Dirac al 1˚ in α2 [ (1/137)2]

En, j =−Rhcn2 1+

α 2

n1

j +1/ 2−

4n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Tutti i livelli, tranne S, si sdoppiano a causa dell’interazione spin-orbita (momento magnetico orbitale con momento magnetico dell’elettrone)

Ma per V –1/r l’energia dei livelli dipende solo da n e da j non da l

E(2S1/2) ≠ E(2P1/2)?

Impossibile con spettroscopio

Forzare transizioni 2S1/2 2P3/2 creando un campo a radiofrequenza (decine di GHz)

Ipotesi ∆E =E(2S1/2) – E(2P1/2)>0 (Lamb shift)

il livello 2S1/2 è metastabile (τ>>10–8 s) . Infatti

• 2S1/2 1S1/2 proibita da ∆l=±1

•velocità di 2S1/2 2P1/2 (∆E)3 piccolissima

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L’effetto ZeemanSupponiamo E(2S1/2)–E(2P1/2) 1 GHz

Applicando campo magnetico, i livelli si sdoppiano

Per 0.05 < B < 0.25 T circa il livello 2S1/2,m=–1/2 è vicino ad un livello 2P1/2 e si mescola con questo. Non più metastabile decade ( 10–8 s)2S1/2(m=+1/2) si allontana dai 2P e rimane metastabile

E B( ) =E 0( )+gmBB

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Lamb e Retherford. L’apparato (1/2)

1.Forno Dissociazione termica H atomico (65%); velocità <v>8000 m/s

2.Eccitazione 1S1/2 2S1/2 (1/108) con fascio di elettroni [impossibile tramite luce (l=±1)]

3.Campo B (aggiustabile) divide in due tutti i livelli: m=+1/2 e m=–1/2

•2S1/2 (m=+1/2) è metastabile τ 100µs percorso d 10–48 103 = 0.8 m

•tutti gli altri sono instabili τ 10 ns percorso d 10–88 103 0.1 mm

4.Cavità a radiofrequenza () per forzare transizioni 2S1/2(m=+1/2) 2P3/2

•2P3/2(m=–3/2) non raggiungibile, ∆m=–2

•tre transizioni possibili: a 2P3/2(m=–1/2), 2P3/2(m=+1/2), 2P3/2(m=+3/2)

•se la frequenza del campo em è in risonanza con una di queste transizioni, per il valore fissato di B, i sono pompati e 2S1/2(m=+1/2) non arrivano al rivelatore al rivelatore

•2S1/2 (m=+1/2) arrivano al rivelatore se e B non sono in risonanza

•Gli atomi 2P sono metastabili e non arrivano, comunque, al rivelatore

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Lamb e Retherford. L’apparato (2/2)

5. Il rivelatore deve essere sensibile agli atomi eccitati non a quelli nel livello fondamentale. Lastrina di tungsteno

•lavoro di estrazione dal W, WW 6 eV; per gli atomi eccitati E(n=2)–E(n=1) 10.2 eV

•quindi un atomo di H eccitato può cedere energia a un elettrone nel W che ne esce

6. Gli elettroni sono raccolti da un sensibile pico-amperometro (I 10–14 A)

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Lamb e Retherford. RisultatiSi fissa a un valore opportuno la frequenza del campo a micro-onde e si varia lentamente B, cercando i valori di risonanza (B*) [per i quali ∆E=µgB*∆m =µgB*=h] transizione a 2P instabile, decade subitoa B* si osserva un minimo dell’intensità di correnteSi ripete per diversi valori di

punti rossi

Le rette vs. B* porgono

∆EB=h vs. B* per ciascuna delle transizioni studiate

Estrapolando a B*=0, si ottengono i salti di energia ∆E per le tre transizioni in assenza di campo

Rette tratteggiate = teoria di Dirac

Risultato: il livello S1/2 è spostato rispetto alla teoria di 1 GHz

Più precisamente nel 1952 E 2S1/2 − 2P1/2( ) = 1057.8 ± 0.1 MHz

Contemporaneamente, nel ‘47, P. Kusch scoprì che il fattore g dell’elettrone ≠ 2

g−22

=+1.19×10−

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Ma l’elettrone può emettere un fotone, che presto riassorbe

Sia se l’elettrone è libero sia se è legato nell’atomo

Le conseguenze

Questo “grafico di Feynman” rappresenta la linea di vita di un elettrone (il tempo scorre verso destra) che sente il campo del nucleo, scambiando con esso un fotone

Il fotone si può “materializzare” in e–e+, che subito si ricombinano ri-formando un fotone

Il processo è la “polarizzazione del vuoto” perché avviene anche nel vuoto

Enormi conseguenze teoria completa dell’ Elettrodinamica Quantistica (QED)L’equazione di Dirac rimane valida, ma l’interpretazione deve essere cambiata. Il campo non può più essere considerato come dato a priori, ma deve essere quantizzato (seconda quantizzazione)

I due processi spostano diversamente l’energia nei due casi, contribuendo al Lamb shift

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La rinormalizzazioneL’elettrone interagisce non solo con il campo esterno, ma col campo da lui stesso creato. Come nell’elettromagnetismo classico, questa auto-interazione comporta valori infiniti della massa-energia dell’elettrone

Un mese dopo il risultato di Lamb e Retherford nel 1947, Bethe diede un contributo cruciale, riconoscendo che la teoria poteva non occuparsi del valore infinito del termine di auto-interazione, perché non osservabile. Si “rinormalizza” la massa, sottraendo il termine infinito. Per un elettrone nel vuoto il contributo dell’auto-interazione è nullo. Se l’elettrone è legato, il campo esterno modifica l’effetto col risultato di uno spostamento finito dei livelli energetici, in accordo con le misure

Il processo successivo dello sviluppo teorico, che comportò la rinormalizzazione non solo della massa, ma anche della carica, si sarebbe concluso con la creazione dell’Elettrodinamica Quantistica (QED) da parte di Tomonaga, Feynman e Schwinger nel 1948-49

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La quantizzazione del campo

ψ =ϕχ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Il moto dell’elettrone nel campo elettrico di un nucleo non è relativistico (10–2)

In prima approssimazione si può considerare il campo esterno come dato a priori, non influenzato dalla presenza e dal moto dell’elettrone. ψ2 è la probabilità di trovare l’elettrone in un certo punto

Ma Lamb e Retherford hanno mostrato che ci sono effetti molto piccoli che implicano processi come la polarizzazione del vuoto. In QED

il numero di particelle è un osservabile quantistico, con una sua distribuzione di probabilità

si deve interpretare diversamente la funzione d’onda, il bispinore ψ (seconda quantizzazione): essa diviene un operatore, col seguente significato fondamentale

Spinore φ crea una particella o distrugge un’antiparticella

Spinore χ distrugge una particella o crea un’antiparticella

Le due componenti di ciascuno dei due spinori creano o distruggono stati con le due diverse terze componenti dello spin

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L’interazione come scambio di quanti

Un elettrone che viaggia nel vuoto non è in realtà solo, ma continuamente emette e riassorbe fotoni

In generale una qualsiasi particella a che interagisca col campo di mediatore V continuamente emette e riassorbe V

Se nelle vicinanze passa la particella b che interagisce col medesimo campo, essa può assorbire un mediatore

a e b interagiscono scambiando il quanto mediatore V

In generale il mediatore ha massa, m, quindi il processo di emissione aa+V viola la conservazione dell’energia di ∆E=m!

Ma questo può accadere, purché la violazione duri abbastanza poco, ∆t tale che

V quindi può propagarsi solo su distanze dell’ordine di tΔE ≤ h

R =ct=

chm

R è il raggio d’azione (range) della forza, inversamente proporzionale alla massa del mediatore. In unità naturali R=1/m

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Diffusione da potenzialeIl caso più semplice è la diffusione non relativistica di una particella (a) da parte di un potenziale ϕ(r) centrale, dovuto ad un oggetto (centro di forze) di massa molto maggiore. Sia g la “carica” di a g ϕ(r) è l’energia potenziale

l’ampiezza di diffusione f(q) è proporzionale alla trasformata di Fourier di g ϕ(r)

frq( ) =g φ r( )

spazio∫ eirq⋅

rrdV =g φ r( )

spazio∫ eiqr cosθdϕ sinθdθr2dr =

=g2π φ r( )0

∞

∫ r2dr eiqr cosθ

0

π

∫ dcosθ =g4π φ r( )0

∞

∫sinqr

qrr2dr =gg0 e−rm

0

∞

∫sinqr

qdr

φ r( ) =g0

4π rexp −

r

R⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=g0

4π rexp −rm( )

f

rq( ) =g0g e−mr

0

∞

∫eiqr −e−iqr

2iq⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟r2dr

f

rq( ) =

g0grq 2 +m2

Nella diffusione il centro di forze trasferisce alla particella il (tri)momento q = ∆p = pf – pi, ma non energia (urto elastico di pallina contro muro)

NB. la particella trasferisce al centro di forze –q

Se m è la massa del mediatore, il potenziale è quello di Yukawa, di range R=1/m

L’elemento di matrice di transizione è

ψ f gφ r( ) ψ i ∝ g exp i

rp2 ⋅

rr( )φ r( )∫ exp −i

rp1 ⋅

rr( )dV = g exp i

rq ⋅

rr[ ]φ r( )∫ dV

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Propagatore bosonicoSupponiamo ora che la diffusione sia ancora elastica, ma che la massa M del bersaglio non sia infinita. C’è trasferimento di quantità di moto ∆p = p2 – p1 come prima, ma anche di energia ∆E=E2 – E1

La norma invariante del 4-momento trasferito ∆E, ∆p è indicata con t

Si dimostra che l’ampiezza di probabilità di diffusione è f t( ) =g0g

m2 −t

È il prodotto delle cariche g e g0 (fattori di vertice) e dell’ampiezza di probabilità che ha il mediatore di massa m e 4-momento (∆p,∆E) di propagarsi, che si chiama propagatore

propagatore =1

m2 −t

Le probabilità dei processi fisici (sezioni d’urto e velocità di decadimento) sono date da |f(t)|2 moltiplicata per il fattore di spazio delle fasi, come vedremo

t =E2 −rp2 = E2 −E1( )

2−

rp2 −

rp1( )

2

•t < 0 il momento trasferito è di tipo spazio

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Diagrammi di Feynman (1/3)La QED fu la prima teoria relativistica di campo storicamente sviluppata. Feynman sviluppò una serie di regole, visivamente rappresentabili con grafici per calcolare le ampiezze di probabilità dei processi (diffusione, decadimento), dette anche “elementi di matrice”

L’ampiezza di probabilità di un processo è la somma (integrale) delle probabilità di tutte le diverse ampiezze che portano dallo stato iniziale allo stato finale

Le regole si estendono anche alla QCD e alla teoria elettrodebole EW

I grafici si disegnano sul foglio di carta, le linee sono linee-universo delle particelle

CONVENZIONE

tempo

spaz

io

Può rappresentare una qualsiasi particella di spin 1/2La freccia indica il verso, rispetto a quello del tempo, in cui fluiscono le sue carichePer concretezza sia un elettrone: con l’elettrone avanzano nel tempo la carica elettrica, il sapore leptonico di elettrone, il momento magneticoLa freccia al contrario quindi rappresenta cariche, tutte opposte che avanzano nel tempo: è un positrone (vedi poi)

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Gli elementi dei graficiParticella (ferma) che avanza tempo o antiparticella che regredisce nel tempo

Antiparticella (ferma) che avanza tempo o particella che regredisce nel tempo

Particella che si sposta verso l’alto o antiparticella che va in basso

FotoneW o Z Gluone

Vertice

Bisogna sommare su tutte le possibilità; sono lo stesso grafico

z αA fγ f fγ f = corrente elettromagnetica

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Esempio e–+µ– e–+µ–

le particelle sulle linee interne sono “virtuali”

la relazione tra energia e momento non è quella delle particelle reali, hanno se nel canale t, “massa”= √t immaginaria

Il grafico rappresenta la somma su tutte le possibili situazioni• integrale su tutti i valori del 4-momento del γ compatibili con gli stati iniziale e finale •i casi in cui il γ va indietro nel tempo, cioè sia quando l’elettrone emette il γ virtuale e il mu lo assorbe, sia quando il mu emette e l’elettrone assorbe. Il grafico di sopra comprende anche questo a destra

fattore di vertice, la carica

e libero entrante e libero uscente

propagatore

µlibero entrante

µlibero uscente

L’ampiezza è proporzionale ad α cioè al quadrato della carica

αAμ eγ μ e( ) α Aμ μγ μ μ( )

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Grafici di ordine più alto

Livello albero: l’ordine più basso nello sviluppo nella “serie perturbativa”, che converge perché i termini successivi sono proporzionali a potenze crescenti di α che è <<1

“loop” fermionico

Attenzione. Il calcolo di un loop è un integrale su tutti i valori possibili delle energie e dei momenti delle particelle del loop. Questi integrali sono infiniti. La cura: rinormalizzazione

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AnaliticitàIl grafico è una funzione analitica che può rappresentare l’ampiezza di diversi processi fisici, girando le gambe esterne (continuando analiticamente da un caso all’altro)

Canale t = diffusione elastica eµ Canale s = annichilazione e+e– in µ+µ–

+

Se gli stati iniziale e finale nel canale s e nel canale t sono i medesimi bisogna sommare le due ampiezze e poi prendere il quadrato del modulo

Massa della particella virtuale nel canale t è √t cioè immaginariaMassa della particella virtuale nel canale s è √s, reale ma in genere ≠ particella reale. Se = massa di una particella libera, in risonanza, ad esempio alla ψ, allora la particella è reale. Differenza tra reale e virtuale è solo quantitativa

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Propagatore fermionico

Il propagatore può anche essere un elettrone (virtuale). Esempio: effetto Compton

Canale s

Un solo grafico

Canale t

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Propagatore fermionico. Canale t

Fissati quantità di moto e energie di elettrone e fotone iniziali, elettroni e fotone finali, si deve integrare su tutte le possibilità, conservando energia e momento a entrambi i vertici

Il propagatore può avere qualsiasi direzione

La funzione analitica ampiezza non si annulla fuori dal cono di luce. Conseguenza dell’indeterminazione quantistica nella misura della velocità

Se AB di tipo spazio, l’elettrone viaggia più veloce della luce

In altro riferimento B prima di A. Elettrone indietro nel tempo. Questo osservatore interpreta: A: il fotone si materializza in coppia e–e+, in B positrone trova elettrone e si annichilano in fotone finale. La particella virtuale di uno è antiparticella virtuale dell’altro

Interpetazione non Lorentz invariante, grafico di Feynman Lorentz-invariante

Meccanica quantistica + Invarianza di Lorentz = antiparticelle

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e+e–µ+µ–

e+e–µ+µ– semplice perché•solo canale s, a differenza di e+e–e+e–

•µ+µ– semplici da rivelare, a differenza di ττ–

•teoricamente puro, a differenza di adroni

α α

Trascurate masse rispetto alle energie e considerato pf=pi Calcolo dell’elemento di matrice (Lorentz invariante) mostra che esso non dipende dall’energia

Gli anelli di accumulazione e+e– permettono di realizzare in laboratorio uno stato quantistico puro, di numeri quantici definiti: tutte le cariche e sapori nulli, JPC=1– –

Il fotone virtuale di massa √s si trasforma in un adrone in risonanza √s =m come per ψ o (poi) Z, ma molte informazioni anche fuori rispnanze, nel “continuo”

1

4M fi

2

spin∑ =

2 4πα( )2

s2 t2 +u2( ) = 4πα( )2 1+cos2θ( )

dσdΩ

=α 2

4s1+cos2θ( )

dσdΩ f

=1

8π( )21E2

pf

pi iniziali∑ M fi

2

finali∑ ==

18π( )2

1s14

M fi

2

spin∑

σ =4πα 2

3s

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α α

Costante d’accoppiamento adimensionale[σ] = [L2] = [E–2]Se E>>m, sola energia in gioco √s σ 1/s

Le sezioni d’urto dei processi elementari ad alte energie sono proporzionali a 1/s

Due situazioni fondamentali

propagatore ∝gW2

MW2 −s

s<<MW2

⏐ →⏐ ⏐gW2

MW2 ∝GF

σ ∝ M if

2SF ∝GF

2s2 1

s= GF

2s

propagatore ∝gW2

MW2 −s

s>>MW2

⏐ →⏐ ⏐gW2

s

gW adimensionale [GF]=[E–2]=[L2][σ] = [L2] = [E–2]propagatore costante σ s

propagatore ∝αs

σ ∝ M if

2SF ∝ α 2 1

s∝

α 2

s

σ ∝ M if

2SF ∝

gW4

s2 s ∝gW

4

s

dato che |Mif|2 = costante (αs)2 s2 (propagatore)2 s2

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Dipendenza dall’angolo. Con elicità

P θ( ) =1+cos2θ

dm,m 'J θ( ) =d1,1

1 =121+cosθ( )

d−1,11 =

121−cosθ( )

d1,−11 =

121−cosθ( )

d−1,−11 =

121+cosθ( )

+

+

+

approssimazione di masse nulle

dσdΩ

=α 2

4s1+cos2θ( )

σ e+e− → µ+µ−( ) =

=4πα 2

3s=

86.8 nb

s(GeV2 )

Il fotone (virtuale) può avere nella direzione del moto Jz=+1 o Jz=–1

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s GeV[ ]

σ (a

dro

nica

)

87(nb)/s(GeV)

La sezione d’urto adronica

σ s( ) =3π

s

Γ eΓ f

s − M R( )2

+Γ 2

4

Gli stati finali≠qq non sono in generale distinguibili sperimentalmente. Si misura la somma

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RinormalizzazioneQED risolve il problema delle divergenze con il processo di rinormalizzazione della massa e della carica. Si definiscono una carica “nuda” che non è osservabile ed una carica efficace (quella che si misura); ciò consente di introdurre nella Lagrangiana dei controtermini (infiniti) che vengono sottratti cancellando le divergenze, pur mantenendo la stessa forma della Lagrangiana originale

√αeff √α

Analogia:una carica immersa in un dielettrico ne polarizza le molecole, che la schermano. Alla misura quindi appare minore di quanto sia.

Se si misura la diffusione di una particella sonda questa “vede” la carica bersaglio tanto minore quanto più distante passa da essa

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Evoluzione della costante di accoppiamentoNel vuoto sono le coppie e+e– delle fluttuazioni quantistiche a polarizzarsi.La carica efficace è tanto più grande quanto più ci si avvicina ad essa, cioè quanto maggiore è la variazione il momento trasferito nello scatteringLa teoria della rinormalizzazione fornisce l’evoluzione delle costanti di accoppiamento al variare del 4-momento trasferito o dell’energia nel CM, a parte un fattore di scala µ che va fissato “dall’esterno”Q2=s o =t a seconda del caso

α Q2( ) =

α µ2( )

1−α µ2

( )

3πlog Q

2/ µ2

( )

Se la polarizzazione del vuoto fosse dovuta alla creazione di coppie di un solo fermione, ad esempio l’elettrone, l’evoluzione della costante “efficace” sarebbe

NB. Dipende dal valore assoluto di Q2

In realtà ci sono anche coppie µ+µ–, ττ–, ≠uu,≠dd, ecc., che contribuiscono proporzionalmente al quadrato delle loro cariche elettriche

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α Q2( ) =

α µ2( )

1− z f

α µ2( )

3πlog Q

2/ µ2

( )

Alfa non è costante

z f = leptoni( )+ colori( )×49×2 u,c( )+ ×

19× d,s,b( ) =6.67

α Q2( ) =

α µ2( )

1− 6.67α µ2

( )

3πlog Q

2/ µ2

( )

α−1 Q2( ) = α −1 µ2

( ) −6.67

3πlog Q

2/ µ2

( )

L’espressione è quindi

dove zf è il numero di carica fermionica = numero di fermioni, pesato con il quadrato della carica, che può contribuire al valore considerato di |Q|2. In buona sostanza con m<|Q|

Ad esempio per |Q|> 10 GeV contribuiscono tre leptoni carichi, due quark di tipo up, u e c, di carica 2/3 e tre quark di tipo down, d, s e b di carica 1/3. Quindi

Cioè: se il numero di fermioni eccitati non varia l’inverso della costante d’accoppiamento varia linearmente con il logaritmo del momento trasferito

Misura di precisione con effetto Hall quantizzato a Q=0

α−1 0( ) = 137.03599911± 0.00000046 3 ppb( )

Bisogna controllare l’evoluzione sia per intervalli di tipo tempo sia di tipo spazio

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Evoluzione di α per Q2>0

e+ +e– → f + + f –

Strumento: collisori e+e– ad alta energia, soprattutto LEP 90 GeV<√s<209 GeV

Misura sezione d’urto in funzione di √s

Calcola teoricamente α(s) da questa serie di grafici

Confronta misura e teoria

α−1 M Z2

( ) = 128.936 ± 0.046

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Evoluzione di α per Q2<0

€

Q2 = −t =s2

(1− cosθ )Q2 cresce con l’angolo di diffusione

LEP 1800 GeV2<Q 2<21600 1800 GeV2

e+ +e– → e+ +e–

Strumento: LEP ad energia fissa, più grande possibile, non in risonanza, √s =198GeV

Misura sezione d’urto “Bhabha” in funzione di √t

Lontano dalle risonanze perché il contributo dominante si vuole sia quello del canale t

+ + + …

Calcolo teorico della sezione d’urto differenziale assumendo α costante

e con evoluzione α(t) come prevista

dσ (0)

dtdσdt

dσdt

=dσ 0( )

dtα t( )α 0( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

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Qualche complicazione

Per la precisione. Bisogna calcolare anche i grafici

e loro termini di ordine superiore, e “sottrarne” i contributi

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Evoluzione di α nella regione tipo spazio

√s=198 GeV

α Q2( ) =

α µ2( )

1− z f

α µ2( )

3πlog Q

2/ µ2

( )