04/11/23 C.7 A. Bettini 1

Istituzioni di Fisica SubnucleareA. Bettini 2006

Capitolo 7 Interazioni deboli

04/11/23 C.7 A. Bettini 2

Classificazione delle interazioni deboliLe ID mediate da W± prendono il (brutto) nome di “correnti cariche”, quelle mediate da Z˚ di “correnti neutre”Si riconoscono tre tipi di processi1. Processi leptonici = compaiono solo leptoni, sia nello stato iniziale sia in quello finale

CC μ− → e−νµνe; νµe− → νeµ

−

CN νµe− → νµe

−

2. Processi semi-leptonici = i leptoni compaiono solo in uno stato (finale o iniziale)

n → p+e– +νe

u→ d+e– +νe

3 Processi non-leptonici = non ci sono leptoni ma i mediatori sono W o Z

Λ0 → p + π −

s → u + u + d

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L’interazione debole•L’interazione debole, a differenza delle altre 3, non produce sistemi legati

•Le informazioni sull’interazione vennero, soprattutto all’inizio, non da processi di diffusione, ma dai decadimenti naturali

Le cause sono: la “debolezza” a basse energie e, a differenza dell’interazione gravitazionale che è molto più debole, il breve raggio d’azione

Entrambi gli effetti sono dovuti al fatto che la forza è mediata da quanti, W± e Z˚ che hanno masse (O(100 GeV)) grandi rispetto alla scala di energia dell’Universo di oggi

Caso importante perché puramente debole: il decadimento del µ. La “carica debole” (gW) ha lo stesso ordine di grandezza della carica elettromagnetica.

M ∝gWgW

MW2 −q2

Per q2<<MW2 la W il propagatore diviene 1/MW

2, la W non “riesce a muoversi”, l’interazione appare puntiforme

Così apparve ai primi ricercatori e fu descritta da Fermi come interazione puntiforme tra 4 fermioni con la costante di accoppiamento GF

GF

2=

gW2

8MW2

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La costante di Ferminon è un numero puro, ma [GF]= [E–2] = [L2]

GF

2=

gW2

8MW2

Valutiamo l’ordine di grandezza nell’ipotesi che gW2 ≈α ≈10−2 ⇒ GF ≈

αMW

2 ≈10–2

104 =10–6GeV–2

L’unico decadimento è µ+ e+ ≠νμνe (µ+ e+ ≠νμνe ) == 1/ Processo puramente debole e permette di determinare GF

(µ+ e+ ≠νμνe ) è proporzionale a GF2

Valutazione dell’ordine di grandezza con argomento dimensionale. Ricorda []=[E]

μ → eν µν e( ) = costante GF2 ⇒ costante[ ] = E[ ]

5Γ ∝GF

2mµ5

perché mµ è l’unica grandezza fisica in gioco con le dimensioni dell’energia, trascurando la piccola massa dell’elettrone

Quindi: velocità decadimento proporzionale alla 5˚ potenza della particella che decade

Facendo i calcoli si trova

μ → eν µν e( ) =1

192π 3 GF2mµ

5 1+ ε( )

misurare con la maggior accuratezza possibile la vita media e la massa

GF = 1.16637±0.00001 x 10–5 GeV–2

piccola correzione per me≠0

ΔGF

GF

= 1 ppm

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Universalità µ eIl leptone ha due canali di decadimento puramente leptonici; possiamo testare l’universalità

→ µν μν τ( )

Γ τ → eν eν τ( )=

BR τ → µν μν τ( )

BR τ → eν eν τ( )=

gµ

gτ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2SFµ

SFe

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

gµ

ge

=1.001±0.002

→ eν eν τ( )∝gτ

2

MW2

ge2

MW2 mτ

5

Trascurando le masse del µ e dell’e (ma per la precisione bisogna fare il calcolo esatto), se i leptoni avessero accoppiamenti diversi

→ µν µν τ( )∝gτ

2

MW2

gμ2

MW2 mτ

5

Le medie dei valori misurati sonoBR → µνμν( )BR → eνeν( )

=17.36 ±0.06( )%17.84 + 0.06( )%

Il rapporto è un po’ minore di 1 come dev’essere

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Universalità µ

gμ

g

=1.001±0.003

ge

gµ µ → eν eν μ( )

Γ τ → eν eν τ( )=

1

τ μ

τ τ

BR τ → eν eν τ( )

Si misura il rapporto delle velocità parziali di decadimento

µ → eν eν μ( )

Γ τ → eν eν τ( )=

ge2gμ

2

ge2gτ

2

mμ5

mτ5

SFµ

SFτ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

gμ2

gτ2

mμ5

mτ5

SFµ

SFτ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Dalla teoria

gμ2

g2 =

1 μ

BR → eνeν( )m

5

mμ5

SF

SFμ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

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Diffusione νμeSi può studiare sperimentalmente. È puramente debole, quindi fornisce informazioni pulite

Ma la sezione d’urto è piccolissima

Calcolando la sezione d’urto a √s<<MW si trova

σ νμe– → ν eμ−

( ) =GF

2

πs =

GF2

π2meEν = 1.7 ×10−45 Eν (GeV) m2

σ νμe– → ν eμ−

( ) =GF

2

π

MW2

s + MW2 s

Ricordiamo che la proporzionalità a s di σ si ricava con un argomento dimensionale, perché GF al cui quadrato essa è proporzionale, ha dimensioni fisiche

[σ ]=[L2]=[s –1]; [GF2]=[s–2] σ GF

2 s

Ma una sezione d’urto non può crescere indefinitivamente (limite di unitarietà = la probabilità di urtare non può essere > 1)

Il fatto che l’interazione non è puntiforme, ma mediata dai mesoni W elimina il problema

Per s>>MW2 σ νμe

– → νeμ−( )⇒

GF2

πMW

2

ss=

GF2

πMW

2

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L’enigma 1953, ci sono due particelle che sembrano identiche (in realtà due modi di decadere del K+) ma

• ππ0 JP (ππ0 )= 0+, 1–, 2+, …

• πππ– JP (πππ–)= 0–

L’enigma si poteva spiegare se la parità non fosse conservata nel decadimento, un’ipotesi abbastanza diffusa tra i fisici sperimentali. Ma ammetterla, per i teorici era sostanzialmente una bestemmia

La parità è una simmetria dello spazio stesso, come sono le rotazioni: doveva conservarsi

Alla Conferenza di Rochester del 1956 Feynman riportò una domanda che gli aveva fatto Martin Bloch “è possibile che la parità non sia conservata?” C. N. Yang rispose che lui e T. D. Lee ci avevano guardato, ma senza conclusioni

Pochi mesi dopo le conclusioni ci furono. Lee e Yang dimostrarono che nei dati esistenti non c’era alcuna prova sperimentale che le interazioni deboli conservassero la parità. Infatti:

•In un decadimento beta di un nucleo NN’+e+ν, ci sono tre momenti pN’, pe, pν

•Termini con prodotti interni come pN’pe sono scalari e non danno violazione di P

•Il prodotto misto pN’pe pν è pseudoscalare e violerebbe P, ma è nullo perché i tre vettori sono complanari

Lee e Yang polarizzare nuclei di 60Co in modo che abbiano un momento angolare medio <J> in una certa direzione (un vettore assiale) e misurare una quantità proporzionale a <J> pe

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Esperimento di Wu e collab. al NBSIl momento magnetico dei nuclei è piccolissimo e/mp

Fattore di Boltrzman dà probabilità di orientazione dello spin

B molto grande, T qualche mK

Tecniche allora disponibili al NBS polarizzazione nuclei di cobalto JP=5+

60 Co J P =5+( ) ⇑→ 60 Ni * * J P =4+( ) ⇑ +e– +νe

60 Ni * * J P =4+( ) ⇑→ 60 Ni * J P =2+( ) ⇑ +γ 1.173MeV( )60 Ni * J P =2+( ) ⇑→ 60 Ni J P =0+( ) ⇑ +γ 1.332MeV( )

exp −

rμ⋅

rB

kT⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

I due NaI sono scintillatori (fuori dal criostato) che rivelano i gamma

Gli elettroni sono rivelati dal piccolo scintillatore di antracene (dentro il criostato). Luce portata fuori da una guida di luce

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Esperimento di Wu e collab. al NBS

γ ≡Wγ π / 2( ) – Wγ 0˚( )

Wγ π / 2( )

L’emissione di γ è anisotropa rispetto alla direzione di polarizzazione, cioè di B, ma simmetrica (non cambia invertendo B) perché EM conserva P

misura il grado di polarizzazione presente in quell’istante

Se P è violata la distribuzione di elettroni è asimmetrica a causa di <J> peB pe

We ( ) =1+α cos

Attenzione! Non basta misurare l’asimmetria, bisogna verificare che non sia strumentale

Invertire il campo magnetico. Asimmetria deve invertirsi

Far decadere polarizzazione. Asimmetria deve decadere

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RisultatoL’anisotropia γ (non cambia invertendo B) decade in 6’L’asimmetria si inverte con B, decade in 6’

le ID violano P We ( ) =1+α cos

α negativo elettroni vanno preferibilmente nella direzione opposta a Bα grande i termini di parità opposta in M sono confrontabiliSe interazione V–xA |x|>0.7

teoria α =PeM =polarizz.×vel.e×el.matr.

5+ 4+e≠νe

Risultato α –0.4

P 0.6, e 0.7

CONCLUSIONE PRELIMINARE: ID di corrente carica è V–A

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Significato delle quattro componenti

Ci sono tre scelte diverse per dare significato fisico ai due stati di e i due di a seconda della quantità che vogliamo sia definita1. La polarizzazione. Le due proiezioni dello spin 1/2 su di un dato asse, z. Ha senso se l’asse è definito fisicamente, ad es. da un campo magnetico

ϕ + =1

0

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

e ϕ − =0

1

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

sono gli autostati della 3˚ componente dello spin

1

2σ z

10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=12

1 00 −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+12

10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟;

12σ z

01

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=12

1 00 −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

01

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−12

01

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se la particella è in moto, la sua velocità definisce una direzione2. L’elicità è la componente dello spin sulla direzione della velocitàL’elicità del fotone corrisponde alla polarizzazione circolare della luce (spin nella direzione della velocità o nella direzione opposta)L’opeartore che proietta gli stati di elicità definita è

Ad esempio per

1

2

rσ ⋅

rp

p

ψ =ϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Il bi-spinore si può esprimere tramite spinori a due componenti e , corrispondenti alla particella e all’antiparticella

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Chiralità

€

ψL =12

1− γ5( )ψ , γ5ψ L = −ψ L

ψ R =12

1+γ5( )ψ , γ5ψ R = +ψ R

3. Gli stati con chiralità definita sono gli autostati di γ5

Qualsiasi bispinore, corrispondente ad una particella con massa o no, si può scrivere come somma di una parte left e di una right (chiamati spinori di Weyl)

€

ψ =ψL + ψ R

€

Lm = m ψ Rψ L + ψ Lψ R( )

γ5 commuta con l’Hamiltoniana di una particella (libera) di Dirac senza massa, quindi ψL e ψR

sono ben definiti. Se la particella ha massa, il termine di massa dell’Hamiltoniana di Dirac connette spinori di chiralità opposta

NB. I concetti di elicità e chiralità sono utilizzati in condizioni ultrarelativistiche, cioè a v>>c, ma ricordare che questa condizione dipende (ovviamente) dal riferimento

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Chiralità ed elicità

ψ L =1

21− γ 5( )ψ =

1

2

1 −1

−1 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ

χ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1

2

ϕ −χ

χ −ϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Consideriamo gli stati chirali, per concretezza quello di chiralità negativa. Otteniamo

Esso contiene solo la combinazione – e non la +. Possiamo quindi definire lo spinore left a due componenti L= –.

L’equazione di Dirac li lega γμ pμ − m( )ψ = Eγ 0 –rp ⋅

rγ − m( )ψ = 0

ψ =ϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=σ ⋅p

E + mϕ

I due spinori e non sono indipendenti, anzi noto uno è noto l’altro

E

1 0

0 −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

0 −rp⋅

rσ

rp⋅

rσ 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−m

1 00 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=00

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

E −m −rp⋅

rσ

rp⋅

rσ − E + m( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=00

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ =σ ⋅p

E − mχ

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Chiralità ed elicità

ϕ L =1

2ϕ − χ( ) ≈

1

21− σ z( )ϕ =

0 0

0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕprendendo l’asse z nella direzione di p

se L rappresenta una particella con elicità positiva ϕ L =0 0

0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

0

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

= 0

se L rappresenta una particella con elicità negativa ϕ L =0 0

0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

1

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

≠ 0

Quindi, per una particella di spin 1/2 e di massa nulla, lo stato left è anche lo stato di elicità negativa, cioè con spin diretto in senso contrario al moto

Questo è vero approssimativamente anche per una particella ultrarelativistica (E>>m)

Ma solo approssimativamente: chiralità e elicit à sono due concetti diversi, ma attenzione agli errori nei libri

ϕ L =1

2ϕ − χ( ) =

1

21−

σ ⋅p

E + m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ

σ ⋅p

p

Se la particella ha energia E>>m (limite ultra-relativistico) (o rigorosamente se m=0), |p| E

ϕ L =1

2ϕ − χ( ) ≈

1

21−

σ ⋅p

p

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ϕ

dove compare l’operatore elicità

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Se m≠0

ϕ L =1

21−

σ ⋅p

E + m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ =1

21−

pz

E + m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ L+1/2 +

1

21+

pz

E + m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ L−1/2

Esprimiamo lo spinore left in termini delle sue componenti con elicità positiva e negativa, prendendo l’asse z nella direzione e nel verso del moto

In generale quindi uno stato di chiralità definita ha componenti di entrambe le elicità.

Particelle di massa non nulla•elicità è diversa dalla chiralità•l’elicità dipende dal sistema di riferimento. Un osservatore che si muova con velocità maggiore della particella nel suo verso la vede procedere nel verso contrario all’asse z. La direzione dell’impulso cambia, quella dello spin no

€

ϕ L ≈ ϕ L−1/2

Casi limite particella ultrarelativistica nel primo riferimento: pz E

stessa particella ultrarelativistica anche nel secondo riferimento: pz –E

€

ϕ L ≈ ϕ L+1/2

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L’interazione elettromagnetica

1. La costante d’accoppiamento è uguale in tutti i casi: universale

2. La struttura spazio-temporale della “corrente” è vettoriale

Consideriamo un processo EM tra due leptoni (2 part. cariche in generale)

a ciascuno dei due vertici c’è l’interazione di una particella carica col (quadri-) potenziale elettromagnetico Aα

γ

γ

z α fγα f

Interazione corrente-corrente, Corrente EM è vettorialeA ciascun vertice la carica dopo = carica prima, il fotone non trasporta carica si parla di “corrente neutra”

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Le correnti deboli cariche (1/2)Le correnti deboli “cariche” sono mediate dalle W±

Al vertice la carica elettrica del leptone uscente è diversa da quella entrante, la W ha carica elettrica e porta via la differenzaLa carica debole del leptone uscente è diversa da quella entrante, la W ha carica debole e porta via la differenza

Le correnti deboli cariche hanno struttura spazio-temporale è V-A γα– γαγ5

e– νe

W–

μ– νμ

W–

– ν

W–

geγµ 1−γ5( )νe

€

μνμ =μγα 1− γ5( )ν μ

€

ν =γα 1− γ5( )ν τ

Universalità. Le costanti di accoppiamento di tutte le correnti cariche dei leptoni sono identiche, lo sono anche quelle dei quark; ma i quark di tipo down che compaiono nell’interazione (quark “deboli”) non sono gli autostati della massa d, s e b, ma loro combinazioni lineari

g g g

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Le correnti deboli cariche (2/2)e– νe

W–

geγµ 1−γ5( )νe

g μ– νμ

W–

€

μνμ =μγα 1− γ5( )ν μ

g – ν

W–

€

ν =γα 1− γ5( )ν τ

g

gi γμ 1−γ5( ) f =2gi1+γ5

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γμ 1−γ5

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

f =2giRγμ fL Struttura simile a EM

Carica debole chiralità: gli stati accoppiati a W sono gli stati di chiralità definita

La chiralità del leptone entrante è uguale a quella del leptone uscente

Conservazione della chiralità: caratteristica fondamentale da verificare sperimentalmente

Chiralità non si misura, misuriamo elicità, poco diversa se m/E piccola

04/11/23 C.7 A. Bettini 20

Misura dell’elicità del νeM. Goldhaber, L. Grodznis, A. Sunyar 1957 BNL

Primo ingrediente. Emissione + assorbimento risonante di γ da nuclei

Prendiamo un materiale contenete nuclei N

Uno dei nuclei è inizialmente eccitato nel livello N* e si diseccita emettendo un γSia E=M(N*)–M(N)

N*→ γ + N

1. L’energia del γ è E–energia rinculo di N

Ci interessa il processo in cui all’emissione segue il processo inverso: assorbimento, in risonanza

γ + N → N *

2. Serve che l’energia del sia E+energia rinculo di N*, invece è <E

Prima condizione: emissione + assorbimento non avviene se nucleo iniziale è fermo

Seconda condizione: nucleo iniziale in moto: emissione + assorbimento avviene solo se γ è emesso in avanti

N*

N

γ

04/11/23 C.7 A. Bettini 21

Trasferimento dell’elicitàSecondo ingrediente. Trasferire l’elicità del neutrino (hν) prodotto in un processo debole a un γe misurare l’elicità di questo (hγ)

Dobbiamo trovare un nuclide A che decada per cattura K producendo N* con l’energia cinetica giusta e il neutrino di cui vogliamo misurare l’elicità

152 Eu J =0( )+e_ → 152 Sm* J =1( )+νe

A +e− → N * +νe

Inoltre A deve avere J=0 e N* deve avere J=1

Troppe condizioni? Due tali nuclidi A e N* ci sono: 152Eu e 152Sm* !!

1. Primo passo

asse z di quantizzazione = direzione del ν = – direzione Sm* zγ

νeSm*

152 Sm * J =1( )→ 152 Sm J =0( )+γ

2˚ passo. Prendere casi in cui 152Sm* emette γ nella sua direzione = –z (sarà rivelato da diffusione risonante)

Sz(e) Sz(Sm*) Sz(ν ) hν Sz(γ ) hγ

+1/2 1 –1/2 – 1 –

+1/2 0 +1/2 + 0 x

–1/2 –1 +1/2 + –1 +

–1/2 0 –1/2 – 0 x

I sono γ polarizzati circolarmente, hanno l’elicità del neutrino

3˚ passo. Misurare la polarizzazione circolare (elicità) dei γ (capaci di diffusione risonante)

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L’elicità del neutrinoSecondo ingrediente. Trasferire l’elicità del neutrino (hν) prodotto in un processo debole a un γe misurare l’elicità di questo (hγ)

1˚ passo. 152Eu decade a 152Sm* per cattura di un elettrone atomico in un’orbita profonda (K), presumibilmente in onda S

152 Eu J =0( )+e→ 152 Sm* J =1( )+νe

asse z di quantizzazione = = direzione del ν = – direzione Sm*

Sz(e) Sz(Sm*) Sz(ν ) hν

+1/2 1 –1/2 –

+1/2 0 +1/2 +

–1/2 –1 +1/2 +

–1/2 0 –1/2 –2˚ passo. Prendere casi in cui 152Sm* emette γ nella sua direzione = –z (sarà rivelato da diffusione risonante)

152 Sm * J =1( )→ 152 Sm J =0( )+γ

Sz(e) Sz(Sm*) Sz(ν ) hν Sz(γ ) hγ

+1/2 1 –1/2 – 1 –

+1/2 0 +1/2 + 0 x

–1/2 –1 +1/2 + –1 +

–1/2 0 –1/2 – 0 x

3˚ passo. Misurare la polarizzazione circolare (elicità) dei γ polarizzati circolarmente capaci di diffusione risonante

Hanno l’elicità del neutrino

zγ

νeSm*

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L’elicità del neutrino3˚ passo. Misurare la polarizzazione circolare dei γSpessore di Fe in campo B orientato in direzione circa z o –z. Elettroni del ferromagnetismo hanno spin in direzione –B. Se possono assorbire il momento angolare del γ flippando lo spin l’assorbimento è maggiore che nel viceversa

hγ Sz(γ) Bz Szi(e) Sz

f(e) trasmissione

+ –1 + –1/2 X alta

+ –1 – +1/2 –1/2 bassa

– +1 + –1/2 +1/2 bassa

– +1 – +1/2 X alta

R =I+ – I –

I+ + I –

Misura asimmetria invertendo il campo hν = –1

zγ

νeSm*

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Europio-Samario. Perché funziona (1/2)L’energia del livello eccitato del 152Sm e ESm = 963 keV

Calcolo dell’energia cinetica di rinculo nel decadimento (non relativistica)

EK ,Sm =

pSm2

2MSm

=pγ

2

2MSm

;ESm

2

2MSm

=0.9632 ×1012 eV2

2 ×1.52 ×1011eV=3eV

Energia cinetica del rinculo nell’assorbimento circa uguale

Energia di risonanza – energia del gamma

Larghezza naturale 20 meV <<E

Allargamento Doppler a T= 300K (25.8 meV)

E =ESm

2

M Sm

⇒ δ E = 6 eV

ΔESm termico( )

ESm

= 22 ln2 × kT

M Sm

= 21.4 × 25.8 ×10−3

1.52 ×1011 ≈ 10−6

Energia del fotone emesso da un nucleo di Sm* fermo è più piccola dell’energia di risonanza di circa sei volte la larghezza. Il processo risonante non avviene. La prima condizione necessaria per l’esperimento è soddisfatta

ΔESm termico( ) = 10−6 × 963 keV ≈ 1 eV

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Europio-Samario. Perché funziona (2/2)L’energia rilasciata nella cattura K dell’ 152Eu è EEu = 911 keV

Calcolo dell’energia cinetica del rinculo nell’assorbimento

EK ,Sm* =

pSm*2

2MSm

=pν

2

2MSm

;EEu

2

2MSm

=0.9112 ×1012 eV2

2 ×1.52 ×1011eV=2.7eV

Velocità del nucleo nel Lab Sm* =EK ,Sm*

M Sm

=2 × 2.7

1.52 ×1011 = 5.8 ×10−6

Energia del gamma emesso in avanti (Doppler)

EL −ESm* =Sm* ×ESm* =5.8 ×10−6 ×911eV=5.3eV

OK, è in risonanza, entro allargamento Doppler termico

Il bilancio è troppo delicato

Esperimento preliminare di Grodznis

Misura della sezione d’urto risonante

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Le elicità dell’elettroneV −A i γα 1−γ5( ) f =2iRγ

α fLNell’interazione è V–A intervengono particelle (spinori) di chiralità – (L) e antiparticelle di chiralità + (R)

Per particelle di massa nulla (ν)Particella L, h = –

Antiparticella R, h = +

Misura dell’elicità di e– (o e+)La σ per diffusione di e con P trasversale nei metalli ad alto Z dipende dalla direzione di PNecessario trasformare P longitudinale P trasversalefar girare gli elettroni di 90˚ in campo Banalizzarli con foglio materiale pesante

Per particelle di massa piccola = m/E<<1 componente di “elicità giusta” = = /c

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Le correnti deboli cariche sono V–A

Complessivamente gli esperimenti dannoe+ e– νe ≠νe

h – –1 +1

Le correnti deboli cariche sono V–A

h =Π+ −Π−

Π+ +Π−

=E + m−p( )2 − E + m+ p( )2

E + m−p( )2 + E + m+ p( )2 =−pE

=−

ϕ L =1

21−

σ ⋅p

E + m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ =1

21−

pz

E + m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ L+1/2 +

1

21+

pz

E + m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕ L−1/2

Misura dell’”elicità” = valore di aspettazione dell’elicità (H) = polarizzazione longitudinale

(Probabilità di trovare lo spin nel verso del moto – prob nel verso opposto)/ loro somma

04/11/23 C.7 A. Bettini 28

Violazione di C

Evidenza diretta di violazione di C si ha nelle reazioni (coniugate di carica tra loro) π–µ– e– e π+µ+ e+ nelle quali le elicità dell’elettrone e del positrone risultano essere opposte.

Il termine di correlazione (tra spin e direzione di un momento) σ.p nell’espressione di una velocità di decadimento è invariante sotto C. Infatti lo sono sia p sia σ

Nonostante questo, dato che σ.p è, a parte un fattore 1/p l’elicità, la sua presenza nella Lagrangiana seleziona spinori L (e antispinori R) e quindi comporta violazione di C

Gli esperimenti sul decadimento dei nuclei, come quello di Wu, mostrano una correlazione tra la direzione dell’elettrone e quella dello spin del nucleo. Essi mostrano indirettamente (per farlo direttamente ci vorrebbero antinuclei) che anche C è violata, se si assume CPT

Infatti sotto T: p –p, σ –σ. Sotto TP quindi σ.p –σ.p, non è invariante. Quindi σ.p deve violare C

04/11/23 C.7 A. Bettini 29

Conclusione su P e C in interazioni deboliC trasforma un processo (debole) con emissione di un neutrino left in un processo identico con

emissione di un antineutrino left. Invece sperimentalmente l’antineutrino risulta essere right.

Quindi C è violata e lo è nel modo richiesto dalla struttura V–A

νe ≠νeC≠νeνe Natura

C e P sono violate in maniera massimale dalle interazioni deboli di corrente carica

Landau 1957: gli esperimenti sono compatibili con la conservazione della “parità combinata” CP

L’ipotesi di Landau ripristinava la simmetria materia - antimateria

L’antiparticella di un fermione L è un antifermione R

Il decadimento – di un nucleo produce un elettrone L il decadimento + del suo anti-nucleo produce un positrone R

Sette anni dopo: anche CP è violata

π − → μ− +νμ ;μ − → e− +ν μ +ν e

π + → μ+ +νμ ;μ + → e+ +ν μ +ν e

04/11/23 C.7 A. Bettini 30

L’universalità di Cabibbo

ΔS=0 ΔS|=1

€

n → pe−ν e

€

Λ → pe−ν e

€

K − → μ −ν μ

€

π−→ μ−νμ

L’universalità dell’accoppiamento alla corrente carica (alle W) valido per i leptoni, non vale per gli adroni. Il problema fu risolto nel 1963 da N. Cabibbo, quando di conoscevano solo adroni non strani e strani. L’argomento in linguaggio modernoProblema: gli elementi di matrice di decadimento sia dei barioni sia dei mesoni strani (variazione della stranezza |∆S|=1) sono più piccoli di quelli dei decadimenti senza cambio di stranezza, anche quando dovrebbero essere uguali (con la stessa costante GF)

M ∝ GF ⋅μRγανμL ⋅dRγαuL M ∝ GF ⋅μRγανμL ⋅sRγ

αuL

M ∝ GF ⋅νeRγαeeL ⋅dRγαuL M ∝ GF ⋅νeRγαeeL ⋅sRγ

αuL

04/11/23 C.7 A. Bettini 31

K e π

K → μν( )

Γ π → μν( )=

mK 1− mμ / mK( )2⎡

⎣⎤⎦

2

mπ 1− mμ / mπ( )2⎡

⎣⎤⎦

2 = 8.06

Il caso dei sembra mesoni semplice

π → μν( ) =BR π → μν( )

τπ +

=1

2.6 ×10−8 s–1 K → μν( ) =BR K → μν( )

τK +

=0.64

1.24 ×10−8 s–1

K → μν( )

Γ π → μν( )= 1.34Quindi sperimentalmente

Se gli elementi di matrice sono gli stessi, il rapporto aspettato è quello dei volumi di SF

I quark però sono negli adroni e le interazioni forti presenti complicano le cose

Possiamo riassumere includere questi effetti in due fattori ignoti fπ e fK

Se SU(3) fosse esatta fK/ fπ = 1. La rottura di SU(3) implica fK/ fπ > 1

Il tener conto delle IF quindi non risolve ma peggiora il problema.

In conclusione la velocità di decadimento Kµ2 è soppressa rispetto a quella del π di un ordine di grandezza

04/11/23 C.7 A. Bettini 32

L’angolo di CabibboL’analisi dei decadimenti semileptonici degli iperoni con e senza variazione di stranezza deve tener conto della struttura della parte forte e della sua simmetria approssimata SU(3). La conclusione è che i decadimenti ∆S = 1 sono soppressi di un ordine di grandezza rispetto a ∆S=0 [inclusi quelli tra particelle strane come ad es. ±Λe±ν]

Inoltre il valore di GF ricavato da decadimenti super-permessi di nuclei o da quello del n è un po’ minore di quello dal decadimento del µ

Tutto si spiega se si assume che i quark di tipo down che partecipano alle ID (si accoppiano all W) non siano nella base d e s, ma in un’altra, anch’essa ortonormale, ruotata di un angolo C

W si accoppia ad’ = d cosC + s sinC

cosC = 0.974sinC = 0.221

ΔS=0

ΔS|=1

€

n → pe−ν e

€

Λ → pe−ν e

C = 12.8˚

M ∝ GF ⋅eRγανeL ⋅d'RγαuL

M ∝ GF cosC ⋅eRγανeL ⋅dRγαuL

M ∝ GF sinC ⋅eRγανeL ⋅sRγαuL

04/11/23 C.7 A. Bettini 33

Correnti neutre che cambiano la stranezza

La teoria di Cabibbo implica che nelle correnti neutre ci sia un termine della forma

le ampiezze per i due processi dovrebbero essere dello stesso ordine di grandezza, ma

€

K + → π +νν ( )

Γ K + → π 0e+ν e( )<1.2 ×10–5

le correnti neutre che violano la stranezza sono fortemente soppresse

Ad esempio

d 'R γαd'L =cos2 CdRγαdL +sin2 CsRγαsL +cosC sinC dRγαsL + sRγαdL⎡⎣ ⎤⎦

04/11/23 C.7 A. Bettini 34

Meccanismo GIM

s’= –d sinC + s cosC

d’= d cosC + s sinC appartiene al doppietto

€

c

s'

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Nel 1970 Glashow, Iliopoulos e Maiani (GIM) suggerirono l’esistenza di un nuovo sapore, così affascinante da sistemare il problema, il charm che formasse un secondo doppietto con s’, lo stato ortogonale a d’

u

d '

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Le correnti neutre che violano la stranezza sono eliminate (al prim’ordine)

Pochi anni dopo, come sappiamo, il 4˚ quark, con il charm fu scoperto

d '

s '

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=cosC sinC

–sinC cosC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d 'R γαd'L =cos2 CdRγαdL +sin2 CsRγαsL +cosC sinC dRγαsL + sRγαdL⎡⎣ ⎤⎦

s 'R γαs'L =sin2 CdRγαdL +cos2 CsRγαsL −cosC sinC dRγαsL + sRγαdL⎡⎣ ⎤⎦

Oltre al termine

c’è anche

s 'R γαs'L +d'Rγαd'L =dRγαdL + sRγαsLIn totale

04/11/23 C.7 A. Bettini 35

Generalizzazione a tre famiglieGli esperimenti mostrano che tutti i processi di ID di CN che violano un sapore (stranezza, charm, beauty) (FCNC) sono soppressi

Generalizzazione del meccanismo GIM di Kobaiashi e Maskawa (1972)

GIM dice che ci sono due basi dei quark di tipo down

d

s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟sarebberoglistatistazionarisepotesseroessereliberi

d '

s '

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟glistatichesiaccoppianoaW

d’ e s’ sono gli stati prodotti dalle interazioni deboli

d '

s '

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=Vud Vus

Vcd Vcs

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=cosC sinC

–sinC cosC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Generalizzando a tre: matrice di mescolamento “CKM”

Le matrici sono unitarie

d '

s '

b '

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

dsb

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

04/11/23 C.7 A. Bettini 36

La matrice di mixing. CKM

d '

s '

b '

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

dsb

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Quante sono le quantità indipendenti?La matrice V è unitaria 3x3 [in generale per N famiglie N x N], che ha 9 [N2] parametri realiSe tutti gli elementi fossero stati reali, V sarebbe stata ortogonale, con 3 [N(N–1)/2] elementi indipendenti (angoli di Eulero)I rimanenti 6 [N(N+1)/2] parametri debbono essere fasi, che rendono V complessaNon tutte queste fasi sono fisicamente significative. La Lagrangiana di corrente carica dei quark contiene il termine

VV+ = 1

uRiγμV

ikdLk

i=1

3∑uL

1 = u, uL2 = c, uL

3 = t, dL1 = d, dL

2 = s, dL3 = b

u c t( )

Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

dsb

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Nel caso di 3 famiglie, non tutti gli elementi della matrice unitaria di mescolamento, come fu notato da Kobaiashi e Maskawa, sono reali.

04/11/23 C.7 A. Bettini 37

Mescolamento dei quark

Analogamente i campi dei quark di tipo u possono assorbire ciascuno una fase di ciascuna colonna di V. Sembra che si possano eliminare altre 3 [N] fasi, ma non è così.

Se si cambiano i campi di tutti i d e di tutti gli u della stessa fase V non cambia. Quindi le 6 fasi usate per ridefinire i campi debbono ubbidire ad un vincolo. Solo 5 [N(N–1)] sono indipendenti

Il numero di fasi fisicamente significative è quindi

6–5=1 [N(N+1)/2–(2N–1)=(N–1)(N–2)/2]

In totale, se 3 famiglie e non “nuova” fisica

4 parametri = 3 angoli + 1 fase

Il fattore di fase exp[i)] compare nella funzione d’onda exp[i(t+)] quind viola T CP

Il MS spiega così la violazione di CP osservata nei K˚ e nei B˚

Se ci fossero N=2 famiglie, non ci sarebbero fasi, la matrice V è reale, con un solo parametro, l’angolo di Cabibbo

€

V =Vud Vus

Vcd Vcs

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟=

cosθC sinθC

–sinθC cosθC

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

i campi complessi dei quark di tipo d assorbono ciascuno una fase complessiva di ciascuna delle righe di V

€

dLk → eiθk dL

k Vik → e−iθkVikrimane invariato per le 3 [N] sostituzioniuRiγμV

ikdLk

i=1

3∑

04/11/23 C.7 A. Bettini 38

Gli angoli e la faseLe scelte dei tre angoli e della fase sono arbitrarie, e non standardizzate. Terna di assi cartesiani (z, x, y) e mettiamola in corrispondenza con gli stati (d, s, b). Facciamo tre rotazioniPrima rotazione: 12 attorno a zSeconda rotazione: 13 attorno al nuovo y Terza rotazione: 23 attorno a nuovo xIl tutto è descritto dal prodotto di tre matrici di rotazione (ortogonali) (cij = cosij, si = sinij)

Il fattore di fase einon può essere semplicemente a fattore (sarebbe la fase insosservabile di uno dei quark). Prendiamo

€

V =

1 0 0

0 c23 s23

0 –s23 c23

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

c13 0 s13e–iδ13

0 1 0

–s13e+iδ13 0 c13

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

c12 –s12 0

s12 c12 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

V =1 0 00 c23 s23

0 –s23 c23

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

c13 0 s13

0 1 0–s13 0 c13

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

c12 –s12 0s12 c12 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

L’angolo di mescolamento introdotto originalmente da Cabibbo è C = 12 è piccolo, s1 <<1

Sappiamo oggi che gli altri sono ancora più piccolis12= 0.2229±0.0022, s23= 0.0412±0.0002 s13=0.0036±0.0007

con la gerarchia s12 >> s23 >> s13

e che la fase è grande 13= 1.02±0.22 (59˚±13˚)

04/11/23 C.7 A. Bettini 39

V =1 0 00 c23 s23

0 –s23 c23

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

c13 0 s13

0 1 0–s13 0 c13

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

c12 –s12 0s12 c12 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

12=12.9˚

23=2.3˚

13=0.2˚

Le rotazioni dei quark

04/11/23 C.7 A. Bettini 40

La matrice di mescolamento dei quarkVud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=0.9737 ±0.0007 0.2210 ±0.0023 0.0038 ±0.00050.224 ±0.016 0.995 ±0.014 0.0415 ±0.0011

0.0092 ±0.0016 0.0406 ±0.0023 0.99913±0.00009

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

La misura degli elementi della matrice di mescolamento sono oggetto di diversi esperimenti in corso

I valori assoluti

dai decadimenti semileptonici di mesoni e iperoni da un sapore ad un altro (e calcolo degli effetti QCD)

|Vtd| e |Vts| dalle oscillazioni di B˚

Grande sforzo sperimentale è

Da fine del 1998 due beauty factories = anelli di accumulazione elettrone-positrone ad altissima luminosità (L=1036 m–2s–1) alla risonanza (43S1)

PEP2 a SLAC in California con l’esperimento BaBAR

KEKB al laboratorio KEK in Giappone con l’esperimento

Centinaia di milioni di eventi

Stati puri Bd0 + Bd

0

04/11/23 C.7 A. Bettini 41

La matrice di mescolamento dei quark

Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=0.9737 ±0.0007 0.2210 ±0.0023 0.0038 ±0.00050.224 ±0.016 0.995 ±0.014 0.0415 ±0.0011

0.0092 ±0.0016 0.0406 ±0.0023 0.99913±0.00009

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

“Nuova fisica” (es. quarta famiglia) può manifestarsi come non-unitarietà

Vud

2 + Vus2 + Vub

2 =0.9969 ±0.0017 −1.8σ

Vcd2 + Vcs

2 + Vcb2 =1.042 ±0.029 +1.5σ

Se la fase la fase 13≠0 o 13≠π violazione di CP

è grande 13= 1.02±0.22 (59˚±1.3˚)

È l’unica sorgente di violazione di CP nel modello standard

04/11/23 C.7 A. Bettini 42

Decadimenti favoriti e sfavoritiGli elementi di matrice non diagonali sono piccoli = gli angoli sono piccoli

I valori sono ordinati gerarchicamente s12 >> s23 >> s13

Gli adroni con sapore tendono a decadere nella famiglia immediatamente vicina

D0 → K +K –( )

Γ D0 → π +K –( )

,Γ D0 → π +π –

( )

Γ D0 → π +K –( )

,Γ D0 → K +π –

( )

Γ D0 → π +K –( )

ESEMPIO

D0 =cu K + =us K − =su π + =ud π − =du

D0 → π +K –( )∝ Vcs

2Vud

2

04/11/23 C.7 A. Bettini 43

Decadimenti favoriti e sfavoriti

D0 =cu K + =us K − =su π + =ud π − =du

D0 → K +K –( )

Γ D0 → π +K –( )

∝Vcs

2Vus

2

Vcs

2Vud

2 ≈ tan2 θC ≈ 0.05

Γ D0 → π +π –( )

Γ D0 → π +K –( )

∝Vcd

2Vud

2

Vcs

2Vud

2 ≈ tan2 θC ≈ 0.05

D0 → K +π –( )

Γ D0 → π +K –( )

∝Vcd

2Vus

2

Vcs

2Vud

2 ≈ tan4 θC ≈ 0.0025

D0 → K +K –( )

Γ D0 → π +K –( )

≈ 0.10;Γ D0 → π +π –

( )

Γ D0 → π +K –( )

≈ 0.04;Γ D0 → K +π –

( )

Γ D0 → π +K –( )

< 0.02

Per fare il calcolo bene tener conto di: spazio fasi, effetti adronici…Ordine di grandezza non cambia. Valori misurati

04/11/23 C.7 A. Bettini 44

Gargamelle

Garagamelle fu una grande camera a bolle “a liquido pesante” costruita al CERN per lo studio delle interazioni deboli con fasci di neutrini

15 t di CF3Br (un freon): buona probabilità di interazione di neutrini (massa grande) e materializzazione dei γ (Z grande)

Studio delle funzioni di struttura dei nucleoni

Studio delle proprietà dei neutrini

Scoperta delle correnti deboli neutre nel 1973

L’analogia con l’elettromagnetismo cresce

04/11/23 C.7 A. Bettini 45

νμN μX (Corrente carica)

νμ

Interazione del neutrino

Traccia penetrante = µ

04/11/23 C.7 A. Bettini 46

νμe νμ+adroni Non c’è il µ, solo adroni

π0γγp stop

Interaz. adronica

π–

Nπ0N’

el. Compton

04/11/23 C.7 A. Bettini 47

νμe νμe

ν μ