1326_2006_esfm_maestria_reyes_ramirez_israel.pdf

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

P R E S E N T A

ISRAEL REYES RAMREZ

2006Mxico, D.F.

INSTITUTO POLITECNICONACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE FSICAY MATEMTICAS

LA ESTABILIDAD LOCALDE MQUINAS TRMICAS

A TIEMPO FINITO

CON ESPECIALIDAD EN

FSICA

RESUMEN

En el presente trabajo se hace un anlisis de estabilidad local para mquinas

trmicas endorreversibles con cierto tipo de ley de transferencia de calor de la

forma . En un anlisis preeliminar del estado estacionario de las mquinas en

el contexto de la Termodinmica de Tiempos Finitos (TTF), se estudian sus

caractersticas trmicas de potencia y eficiencia, haciendo tambin una

comparacin entre ellas. Se encuentra que bajo los mismos almacenes trmicos,

la mquina de Stefan-Boltzmann (

kT

4k = ) es la mquina que presenta una mayor eficiencia dentro de las mquinas estudiadas (excluyendo por supuesto la

mquina de Carnot), pero tambin la que menos potencia desarrolla. Referente

a la estabilidad de las mquinas, se encuentra que en general la estabilidad

mejora para los casos 1k = y 1k = , cuando el cociente ( y conductancias trmicas) es mucho mayor a 1, con un cociente de temperaturas 2 1T T = pequeo. En el caso de la mquina de Stefan-Boltzmann, se hace un anlisis restringido para el caso en que , se observa que para el tiempo de relajacin la estabilidad es buena en los extremos

en que 0 y 1 .

ABSTRACT

In the present thesis an analysis of local stability for certain endoreversible

thermal engines whit an specific kind of heat transfer law of the form is

development. In a preliminary analysis of the steady state of the engines in the

context of Finite Time Thermodynamics (FTT), the thermal characteristic of

power an efficiency are studied, and a comparison between each other is made;

finding that under the same thermal baths, the Stefan-Boltzmann engine ( )

is the most efficient, but less powerful (excluding Carnot engine). In the

context of stability analysis, the stability improves when the ratio

kT

4k =

(with and thermal conductances) is larger than 1 and for a small temperature ratio

2 1T T = , only for the cases 1k = and 1k = . For the Stefan-Boltzmann engine, the stability analysis is restricted for the case when , it is observed that the relaxation time is small in the limits 0 and 1 , that is, the stability improves in this limits.

Tabla de Contenidos

INTRODUCCIN............................................................................................................................................ 5

CAPTULO 1. LA TERMODINMICA DE LAS MQUINAS TRMICAS........................................... 7

1.1 LA TERMODINMICA CLSICA ........................................................................................................ 7

1.1.1 La Mquina de Carnot ............................................................................................................... 9

1.2 LA TERMODINMICA DE TIEMPOS FINITOS .................................................................................... 11

1.3 LA MQUINA ENDORREVERSIBLE DE CURZON Y AHLBORN .......................................................... 13

1.4 EL MODELO DE MQUINA TIPO CURZON- AHLBORN- NOVIKOV GENERALIZADO ......................... 17

1.4.1 La Mquina Tipo CAN con 1k = ........................................................................................ 19 1.4.2 La Mquina de Stefan-Boltzmann ( 4k = ).............................................................................. 21

1.5 COMPARACIN DE LAS MQUINAS TRMICAS. .............................................................................. 26

CAPTULO 2. LA ESTABILIDAD LOCAL DE LAS MQUINAS TRMICAS .................................. 30

2.1 ANLISIS DE ESTABILIDAD LOCAL DE LA MQUINA ENDORREVERSIBLE ........................................ 30

2.2 LA ESTABILIDAD DE LA MQUINA DE CURZON Y AHLBORN.......................................................... 32

2.3 LA ESTABILIDAD DE LA MQUINA TIPO CAN CASO 1k = ........................................................ 39 2.4 LA ESTABILIDAD DE LA MQUINA DE STEFAN-BOLTZMANN ( 4k = ) .......................................... 45

CONCLUSIONES.......................................................................................................................................... 47

APNDICE A: GENERALIDADES SOBRE LA ESTABILIDAD LOCAL.......................................... 49

INTRODUCCIN............................................................................................................................................. 49

SISTEMAS LINEALES..................................................................................................................................... 50

LA ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES .......................................................................................................... 52

APNDICE B: THE EFFECT OF HEAT TRANSFER LAWS ........................................................... 57

BIBLIOGRAFA............................................................................................................................................ 68

ndice de Figuras Figura 1.1 Mquina de Carnot. ....................................................................................................................... 10 Figura 1.2 Eficiencia de la mquina de Carnot. .............................................................................................. 10 Figura 1.3 Mquina de Curzon-Ahlborn-Novikov ........................................................................................... 13 Figura 1.4 La Potencia como funcin de la Eficiencia de CA.. ....................................................................... 15 Figura 1.5 La Eficiencia como una Funcin de . ......................................................................................... 16 Figura 1.6 La Potencia de CA.......................................................................................................................... 16 Figura 1.7La Potencia como funcin de la Eficiencia para 1k = .............................................................. 20 Figura 1.8 La Eficiencia de la mquina CA..................................................................................................... 20 Figura 1.9 La Potencia de CA.......................................................................................................................... 21 Figura 1.10 Potencia de salida como funcin de la eficiencia......................................................................... 22 Figura 1.11 Eficiencia como funcin de ..................................................................................................... 23 Figura 1.12 Potencia para la mquina de Stefan-Boltzmann. ......................................................................... 24 Figura 1.13 Mquina trmica para radiacin. ................................................................................................ 25 Figura 1.14 Potencia vs Eficiencia .Caso lmite. ............................................................................................. 25 Figura 1.15 La Potencia en funcin de la Eficiencia para el caso general. .................................................... 26 Figura 1.16 Las Eficiencias de las mquinas Trmicas respecto a ............................................................. 27 Figura 1.17 Las Eficiencias de las mquinas Trmicas respecto a . ..................................................... 28 Figura 1.18 Grficas de la potencia de salida. ................................................................................................ 28 Figura 2.1 Grfica del tiempo de relajacin 2t vs para 1k = ................................................................... 34 Figura 2.2 Grfica de los tiempos de relajacin vs / para 1k = .............................................................. 35 Figura 2.3 Grfica del cociente de los tiempos de relajacin 2 1t t vs para distintos valores de .. 36 Figura 2.4 Grfica del cociente de los tiempos de relajacin 2 1t t vs para algunos valores de ... 36 Figura 2.5 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para = y 12 = . ........................................... 37 Figura 2.6 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para 0.1 = y 12 = . .................................... 38 Figura 2.7 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para 10 = y 12 = ....................................... 38 Figura 2.8 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para = y 12 = . ........................................... 40 Figura 2.9 Grfica de los tiempos de relajacin vs . ............................................................................. 41 Figura 2.10 Grfica de vs para el caso en el que 1t t2= . ............................................................... 42 Figura 2.11 Grfica del cociente de los tiempos de relajacin 2 1t t .............................................................. 42 Figura 2.12 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para = y 12 = . ........................................ 43 Figura 2.13 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para 0.1 = y 12 = . .................................. 44 Figura 2.14 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para 10 = y 12 = ..................................... 44 Figura 2.15 Grfica del tiempo de relacin vs . ........................................................................................... 46 Figura A.2 Punto critico tipo Punto Silla. ................................................................................................... 53 Figura A.3 Punto crtico circular..................................................................................................................... 54 Figura A.4 Punto Crtico tipo espiral. ............................................................................................................. 55 Figura A.5 Nodo Propio.................................................................................................................................. 55 Figura A.6 Nodo Impropio. .............................................................................................................................. 56

INTRODUCCIN

INTRODUCCIN

- 5 -

En aos recientes, los modelos de tiempos finitos que representan la operacin de

mquinas trmicas han atrado la atencin de investigadores que mediante estudios

proporcionan diferentes modelos que se aproximan a las mquinas reales. Esta nueva

disciplina, llamada termodinmica de tiempos finitos (FTT), empez con un artculo

publicado por Curzon y Alhrbon en 1975[1], en el cual proponen un modelo de mquina

trmica (la cual por razones histricas se le conoce como mquina de Curzon-Alhrbon-

Novikov CAN) que ser la base de estudio de mquinas en la TTF. Los modelos tpicos de

maquinas trmicas, como ocurre con la mquina de CAN, operan en un estado estacionario.

En este sentido, es importante discutir las propiedades dinmicas del sistema, para analizar

la manera en que responden a pequeas perturbaciones en sus temperaturas de trabajo y

discutir tiempos de relajacin necesarios para alcanzar el estado estacionario. En un trabajo

reciente, Santilln et al.[2] estudiaron la estabilidad local de una mquina de CAN

operando a mxima potencia, donde la conduccin trmica es la misma cuando se absorbe

calor como cuando se cede a sus alrededores. En este trabajo, en la direccin de los

hallazgos de Santilln et al., ahora se analiza la estabilidad de una mquina tipo CAN

tomando el caso de que la conduccin trmica es distinta tanto para absorber como para

ceder calor. Adems se estudian los efectos de distintas leyes de transferencia de calor

sobre la estabilidad del sistema.

En el Captulo 1 se hace una revisin de las mquinas trmicas de las cuales, en el

presente trabajo se analiza su estabilidad; para cada una de ellas se determina tanto su

potencia como su eficiencia cuando son sometidas a un rgimen de mxima potencia. En la

primera seccin se dan algunas generalidades acerca de la Termodinmica Clsica, as

como de la mquina reversible de Carnot. En la seccin 1.2 se hace una revisin de los

aspectos relevantes de la Termodinmica de Tiempos Finitos (TTF). En la seccin 1.3 se

inicia con una definicin de mquina endorreversible [1], [9] para despus abordar la

mquina de Curzon- Ahlborn-Novikov, se recuperan algunos de los resultados de Curzon y

Ahlborn [1] que sern de utilidad en este trabajo. En la siguiente seccin se utiliza un caso

ms general de ley de transferencia de calor [10], [11], [15], y a partir de l se derivan las

INTRODUCCIN

ltimas dos secciones del captulo, en las cuales dos leyes de transferencia ms, una ley de

tipo fenomenolgica de la termodinmica irreversible lineal (secc. 2.4) y otra del tipo ley de

Stefan-Boltzmann (secc. 2.5) son utilizadas.

Ya para el Captulo 2 se aborda el estudio de estabilidad de las mquinas trmicas que

fueron comentadas en el Captulo 1. Se inicia el capitulo con un anlisis general de

estabilidad, donde se mencionan las expresiones relevantes para las siguientes secciones. Se

contina el captulo con una seccin dedicada a la mquina de CAN para el caso de

distintas conductividades trmicas, as como su equivalencia con los trabajos de Santilln

et. al. [2]. Despus se analiza el caso de la ley fenomenolgica ( 1k = ) y el caso de la ley de Stefan-Boltzmann ( ). 4k =

Se incluye un apndice A en el que se comentan algunos hechos relevantes acerca de la

estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es decir, los casos en los que

se presenta la estabilidad de las soluciones de dicho sistema. La intencin del captulo es

tratar de manera general el tipo de sistemas de ecuaciones que se desprenden de las

mquinas trmicas, y con ello establecer cundo es que se presenta la estabilidad en las

mquinas mismas.

- 6 -

Captulo 1 La Termodinmica de las Mquinas

Captulo 1. La Termodinmica de las Mquinas Trmicas

- 7 -

1.1 La Termodinmica Clsica

Termodinmica: Parte de la Fsica en que se estudian las relaciones entre el calor y las restantes formas de Energa.[1], quiz a esta definicin de la Real Academia de la Lengua Espaola se le necesite completar con la frase cuerpos o sistemas macroscpicos. La naturaleza macroscpica de los objetos a estudiar implica que estn compuestos por muchas partes (por ejemplo tomos, molculas, etc.). Que la termodinmica estudie los objetos macroscpicos significa que con algunas cuantas variables termodinmicas se describa el comportamiento del conglomerado; no son de inters las propiedades cinticas de una molcula en un gas dentro de un contenedor, sino la suma del conjunto de constituyentes, la cual redunda en propiedades colectivas como la presin, por ejemplo.

Se est hablando de Termodinmica Clsica, y es de destacar que las leyes que esta

engloba fueron obtenidas a travs de experimentos mucho antes que el origen fsico de muchas cantidades (p.e., temperatura, calor, entropa,) involucradas fuera estudiado. Se puede concretar diciendo que las leyes de la termodinmica son independientes de los detalles del sistema, al que se le llamar en adelante Sistema Termodinmico, el cual es esencialmente un sistema grande; cualquier sistema macroscpico es un sistema termodinmico. Cada propiedad del sistema es descrita por medio de una Variable Termodinmica, habiendo en general de dos tipos; extensivas cuando dependen del tamao del sistema, e intensivas si son independientes del tamao del mismo. El conjunto de variables termodinmicas define el Estado Termodinmico del sistema. As mismo, las variables termodinmicas se relacionan entre s mediante la llamada Ecuacin de Estado.

Un Sistema Aislado es aquel que no est en contacto con el mundo exterior. Esto, que

por supuesto es una idealizacin, se puede acercar bastante a la realidad rodeando al sistema con paredes perfectas (adiabticas rgidas e impenetrables). Si se toma un sistema aislado y se espera un tiempo suficiente, las variables termodinmicas alcanzan un valor estable y no sufrirn grandes cambios. Es decir, se presenta un Estado de Equilibrio. Ahora, si se toman dos sistemas que estn en equilibrio cuando se encuentran aislados, y se ponen en contacto entre ellos separados por una pared menos perfecta (pared diatrmica), stos seguramente no continuarn en equilibrio. Entonces, sus estados cambiarn gradualmente hasta que, despus de un tiempo suficientemente largo, lleguen a un estado de equilibrio entre ellos. Puesto que esto se da a travs de estar en contacto con una pared diatrmica, se define a este estado como de Equilibrio Trmico. Esto definir la Temperatura, lo cual se hace formalmente con la siguiente afirmacin llamada Ley Cero de la Termodinmica.

Dos sistemas en equilibrio trmico con un tercero estn en equilibrio trmico

entre ellos.


La temperatura es en realidad slo una forma de cuantificar la agitacin trmica interna (es decir, el movimiento trmico de las molculas en un gas). Por lo tanto, es slo aplicable a sistemas termodinmicos.

El concepto de Trabajo es tomado de la mecnica. La mecnica dice cmo medir la

cantidad de trabajo hecho sobre un objeto. Esto se aplica igualmente si se trata de una sola partcula que si se habla de un sistema termodinmico. Es posible cambiar el estado termodinmico del sistema si se efecta trabajo mecnico sobre l. Por ejemplo, al reducir el tamao del contenedor de un gas, o mediante un sistema de agitacin mecnica. No obstante, se puede cambiar tambin el estado del sistema sin realizar trabajo alguno. Por ejemplo, mediante poner en contacto trmico al sistema con algn otro como puede ser una flama. Se dice que el estado del sistema cambia debido a que se agrega Calor; en otras palabras, Calor es lo que es absorbido por un sistema homogneo si su temperatura se incrementa mientras que no se realiza ningn trabajo. Entonces, como el efecto que causa el agregar calor es similar al que causa realizar trabajo sobre el sistema, se concluye que el calor es una forma de energa. Ntese que para que el trabajo hecho sobre el sistema haga las veces de agregar calor al mismo, es necesario que exista cierto tipo de friccin (viscosidad, friccin mecnica o en el caso elctrico, resistencia). Con lo anterior, ahora se puede precisar que un una pared adiabtica es aquella que no permite el intercambio de calor entre dos sistemas, mientras que una pared diatrmica s.

En un proceso termodinmico arbitrario, donde Q es la cantidad de calor absorbido por

el sistema y W es el trabajo total hecho por el sistema, la Primera Ley de la Termodinmica establece que la cantidad U , definida por:

= +U Q W (1.1) Es la misma para cualquier proceso que se de entre un estado inicial y un estado final

dados. Esto define una funcin de estado U llamada energa interna. Si bien las leyes microscpicas gobiernan el movimiento de los tomos si el tiempo

avanza retrocede, cuando esto pasa a una propiedad termodinmica, una marcada asimetra aparece cuando se invierte el sentido del tiempo. Tambin se sabe que proceso que satisfacen la ley de conservacin de la energa nunca ocurren. Para formalizar estas observaciones de la imposibilidad de ciertas transformaciones (aun cuando obedezcan la primera ley de la termodinmica) se introduce la segunda ley de la termodinmica va el postulado de Kelvin:

No existe un proceso termodinmico cuyo nico efecto sea tomar calor y

convertirlo enteramente en trabajo

En ocasiones la segunda ley es planteada un tanto cuanto distinta, en trminos de la imposibilidad de solamente tomar calor de un objeto con temperatura ms baja y llevarlo a un objeto que tenga temperatura ms alta; el cual es conocido como postulado de Clausius. Entonces la segunda ley dice que algunos procesos slo corren en un sentido.

- 8 -


En libros de texto clsicos[4] se verifica que los postulados de Kelvin y Clausius son equivalentes. La segunda ley de la termodinmica permite definir otra funcin de estado S llamada entropa. Se debe esta posibilidad al siguiente teorema enunciado por Clausius[4]:

En cualquier proceso cclico a travs del cual la temperatura est definida, se

mantiene la siguiente desigualdad:

0dQT

v (1.2) Donde la integral se extiende a todo un ciclo del proceso. Cuando la igualdad se

da, se dice que la transformacin cclica es reversible. Entonces, para un proceso reversible, la integral:

dQ

T es independiente de la trayectoria y depende solamente de los estados inicial y

final del proceso. Por lo que la funcin de estado, entropa, se define como:

B

A

dQS

T = Donde la trayectoria de integracin es cualquier trayectoria reversible que una los puntos

y . A BUna mquina cuyo ciclo termodinmico cumple los requisitos en el sentido de ser

reversible se llama Mquina de Carnot, la cual se abordar en el siguiente tema.

1.1.1 La Mquina de Carnot Histricamente la segunda ley de la termodinmica fue establecida a partir del estudio de las mquinas trmicas. En 1824 S. Carnot hace una publicacin donde plantea y resuelve el problema del posible incremento de la eficiencia de una mquina trmica. Carnot estableci dos teoremas sobre la eficiencia de estas mquinas, los cuales juntos equivalen a la segunda ley de la termodinmica. La eficiencia de una mquina trmica se calcula a partir del cociente del trabajo

hecho por la mquina durante un ciclo entre el calor absorbido por la misma durante este ciclo: W 1Q

1

W

Q = (1.3) A partir de la primera ley(1.1) para un ciclo de la mquina 1W Q Q2= , donde es el valor absoluto del calor cedido por la sustancia de trabajo durante un ciclo, por tanto:

2Q

1 2

1

Q Q

Q = El ciclo termodinmico de Carnot sobre el cual se calcula la eficiencia consiste de dos procesos isotrmicos y dos adiabticos. En un diagrama S-T este ciclo es representado

- 9 -


por la Figura 1.1 (a). A lo largo de la isoterma 1-2 el calor es absorbido del almacn caliente, y a lo largo de la isoterma 3-4 el calor es cedido al almacn fro. De acuerdo a la segunda ley de la termodinmica para un proceso cuasiesttico en la forma de la igualdad de Clausius (1.2), se tiene para un ciclo:

1Q

2Q

0dQT

=v (1.4) o bien:

1 2 2

1 2 1

0Q Q Q TT T Q T

= = 21

(1.5)

(a) (b) Figura 1.1 Mquina de Carnot.

(a) Esquema del ciclo de Carnot en su representacin S-T. (b) Representacin de una mquina de Carnot.

y la eficiencia del ciclo de Carnot es igual a:

2 2

1 1

1 1 = = Q TQ T

Con la intencin de comparar con los casos posteriores, se presenta la grfica de la eficiencia en funcin del cociente de temperaturas 2 1T T (en lo sucesivo se designar

2 1T T = ), donde se observa claramente que para pequeo la eficiencia aumenta.

Figura 1.2 Eficiencia de la mquina de Carnot.

En este esquema se grafica la eficiencia de Carnot contra el cociente de temperaturas .

- 10 -


Cabe destacar que, al ser la mquina de Carnot una mquina reversible, es decir, que en

el ciclo intervienen procesos cuasiestticos, el flujo de calor entre los almacenes trmicos y la sustancia de trabajo se realiza en un periodo de tiempo infinito, por lo que una mquina as no desarrollara potencia alguna, aun cuando s realice trabajo. Como se ver ms adelante, bajo ciertas suposiciones de estado estacionario, la irreversibilidad del transporte finito de calor a la mquina ser subsanado de tal forma que sea posible que la mquina de Carnot desarrolle potencia.

1.2 La Termodinmica de Tiempos Finitos

El nacimiento de la Termodinmica de Tiempos Finitos (TTF) se remonta al ao de 1975 cuando fue publicado un artculo de F. L. Curzon y B. Ahlborn titulado Efficiency of a Carnot Engine at Maximum Power Output [1] en donde se considera que el calor necesario para que una mquina de Carnot opere, fluye en un intervalo de tiempo finito entre almacenes trmicos externos y almacenes propios de la mquina.

El modelo de Curzon-Ahlborn est considerado para una ley de transferencia de calor

lineal solamente, por lo que una mquina de CA es inherente a este tipo de ley de transferencia. Curzon y Ahlborn encontraron que, para su mquina, la eficiencia en el rgimen de mxima potencia es independiente de las conductividades trmicas asociadas a los flujos de calor y solo es resultado de las temperaturas de los almacenes externos ( 2 11 = CA T T ).

Las bases para un tratamiento ms general para procesos termodinmicos que son

realizados en intervalo de tiempo finito se asientan en 1977 con una serie de artculos debidos a B. Andresen et. al.[8]. En el primero de ellos se destaca que para elaborar una TTF se debe extender el concepto de algunos parmetros restrictivos como son los coeficientes de difusin, coeficientes de transferencia de calor, coeficientes de friccin y tiempos de relajacin a diferentes grados de libertad. Tambin se menciona que para la solubilidad del problema a tratar, la sustancia de trabajo se supondr en todo instante uniforme, por lo que su presin interna, densidad y temperatura estn en todo momento bien definidas e independientes de la posicin dentro de la sustancia. Estas suposiciones permiten que el tiempo invertido en cada paso del proceso est compuesto de periodos en los cuales la sustancia de trabajo se mueve a travs de nuevos estados de equilibrio interno, mientras se mantiene en desequilibrio con sus alrededores.

Sentadas las bases generales para la termodinmica de tiempos finitos, comienzan a

plantearse nuevos estudios para el comportamiento de mquinas trmicas. Surge entonces el concepto de un tipo de mquinas trmicas llamadas endorreversibles cuando es publicado en 1979 un artculo de M. H. Rubin [9], en l se define por vez primera lo que conocemos como mquina endorreversible, la cual es la siguiente:

Una mquina endorreversible es una mquina tal que, durante su operacin la sustancia de trabajo realiza transformaciones reversibles.

- 11 -


Adems lista una serie de suposiciones acerca de la operacin de la mquina:

(i) La mquina es endorreversible. Significa que la sustancia de trabajo slo realiza transformaciones reversibles, por

consiguiente, el cambio de la entropa de la sustancia en un ciclo es cero, es decir:

00

= = W qS dtT con dqq

dt=

(ii) las paredes diatrmicas tiene una conductividad trmica constante.

En un caso real, la conductividad trmica es distinta cuando esta en contacto con diferentes almacenes trmicos.

(iii) Cuando la mquina trmica est en contacto con un almacn trmico de temperatura absoluta , el flujo de calor hacia la sustancia de trabajo est dado por una ley lineal:

RT

( )Rq T T= donde es la conductividad trmica de las paredes diatrmicas y T es la temperatura absoluta de la sustancia de trabajo. La primera suposicin asegura que, en cada instante, la sustancia de trabajo tiene una temperatura uniforme. Hay que notar que para Rubin, una mquina endorreversible es, de hecho, una mquina

de Curzon y Ahlborn. Al da de hoy el concepto de mquina endorreversible no implica que la ley de transferencia de calor sea lineal.

(iv) Cada almacn trmico tiene una temperatura constante con . RT L RT T T H

t

(v) El trabajo hecho por la mquina en un ciclo est dado por:

0W PVd

= donde y V son la presin y el volumen de la sustancia de trabajo, V es la derivada respecto al tiempo de V , y

P es un ciclo de la mquina.

En esta suposicin se asegura que no hay friccin presente, con la intencin de no

considerar un trmino de disipacin. Finalmente, Rubin menciona que la cantidad de calor que entra a la mquina es la siguiente:

( )1 0 RQ q T T d = t donde es la funcin escaln ( )x ( ) 1x = si , 0x > ( ) 0x = si 0x < .

- 12 -


En un articulo de Alexis de Vos de 1985[10] trata el caso de una mquina endorreversible donde la ley de transferencia de calor que gobierna el flujo entre los almacenes trmicos y las temperaturas de trabajo deja de ser lineal, dando la posibilidad de que incluso sean distintas las leyes de transferencia en los dos brazos de la mquina misma. Una idea similar se desarrolla en el artculo de 1989 de L. Chen y Z. Yan[11] donde adems se llega a obtener expresiones para la eficiencia y para la potencia de algunos casos particulares. Es hasta el articulo de Santilln et. al.[2] donde adems se plantea la posibilidad de que las temperaturas de trabajo sufran perturbaciones debido a la capacidad de absorber y ceder calor, dado el hecho de que se trata de almacenes de tamao finito. Estas ideas sern ampliadas en captulos posteriores.

1.3 La Mquina Endorreversible de Curzon y Ahlborn

El concepto de mquina endorreversible es introducido por vez primera en el ao de 1977 con la publicacin de un artculo debido a Morton H. Rubin [9]. A. De Vos lo describe de la siguiente forma[1]:

Una mquina endorreversible es una mquina irreversible donde todas las

irreversibilidades estn restringidas al acoplamiento de la mquina con el mundo externo La mquina de la Figura 1.3, la cual es evidentemente una maquina endorreversible, es

una representacin esquemtica del ciclo de Curzon-Ahlborn, por razones histricas es mejor conocida como mquina de Curzon-Ahlborn-Novikov CAN. Esta mquina trabaja entre los almacenes trmicos 1T y 2T . Las temperaturas de trabajo y y (x 1T > >y >x 2T ) son los almacenes para la parte reversible de la mquina, por lo que la eficiencia en trminos de estas temperaturas es:

1 = yx

(1.6)

Figura 1.3 Mquina de Curzon-Ahlborn-Novikov

Representacin esquemtica de una mquina CAN. Esta mquina consiste en una mquina de Carnot (Ca) que en cada ciclo intercambia calor en cantidades y con los almacenes y respectivamente ( ). Este intercambio de calor tiene lugar a travs de los

1J 2J 1T

2T 1T T> 2

- 13 -


conductores trmicos y , y y son, respectivamente, las temperaturas calientes y fras de los brazos isotrmicos del ciclo de Carnot.

x

P

En el concepto de mquina endorreversible Rubin[9] seala que durante su operacin

(de la mquina), la sustancia de trabajo realiza procesos reversibles, despreciando el hecho de que sta trabaje en ciclos de tiempo finito. Esto en particular, y haciendo uso de las ecuaciones (1.3) y (1.6), significa que los flujos de calor entre la mquina de Carnot y sus temperaturas de trabajo estn dados por las siguientes expresiones:

1x

J Px y

= (1.7)

2y

J Px y

= donde y , adems 1J Q= 1 22J Q= W= . Las ecuaciones (1.7) representan ahora la posibilidad de que una mquina de Carnot desarrolle potencia, adems de que el calor que fluye hacia ella se realice en un tiempo finito, puesto que a partir de la definicin de mquina endorreversible, la irreversibilidad de dicho transporte de calor es asociado a los contactos trmicos de la mquina con el mundo exterior.

La mquina de CAN trabaja en un estado estacionario. Se plantea entonces la llamada Hiptesis de Endorreversibilidad la cual asegura que el flujo de calor de 1T a x es igual a

, y que es igual al flujo de calor que va de y a 1J 2J 2T ; slo que los flujos de calor entre los almacenes trmicos y y las temperaturas de trabajo x y y lo hacen a travs de resistencias trmicas, las cuales estn gobernadas por la ley de transferencia de calor de Newton, es decir:

1T 2T

( )1 1= J T x (1.8)

( )2 2= J y T en donde y son constantes que dependen de la conductividad trmica de los contactos. Modificando la ecuacin (1.5) para un modelo de tiempos finitos se obtiene lo siguiente:

1J J

x y= 2 (1.9) Como se mencion con anterioridad, el que la mquina trabaje en un estado estacionario

significa que los flujos de calor entre los almacenes trmicos y las temperaturas de trabajo, son los mismos que aquellos que fluyen entre las temperaturas de trabajo y la mquina de Carnot, pues en la mquina de Carnot no hay disipacin alguna. Entonces, al sustituir las ecuaciones (1.8) en la ecuacin (1.9) se observa lo siguiente: ( ) ( )1T x y T

x y

= 2

- 14 -


Resolviendo la ecuacin anterior junto con la eficiencia para la parte del ciclo de Carnot (ecuacin (1.6)) se encuentran las siguientes expresiones para las temperaturas de trabajo x y y :

1 11 1T

x

= + + (1.10)

( )1 1 11 1T

y

= + +

con 2 1T T = . Al sustituir x en la ley de conduccin para (ecuacin (1.8)) se obtiene lo siguiente:

1J

( )( ) ( )1 1

11 1

J T

= +

La expresin para la potencia desarrollada por la mquina es entonces: ( )

( ) ( )1 11

1 1P J T

= = +

Cuando se grafican la potencia contra la eficiencia (Figura 1.4) se observa que ( )P es una funcin convexa, una mquina se dice que es operada en un rgimen de mxima potencia cuando se alcanza el mximo en la funcin ( )P .

Figura 1.4 La Potencia como funcin de la Eficiencia de CA..

Grfica esquemtica de la potencia de salida como una funcin de la eficiencia de la mquina, donde claramente se muestra que la funcin tiene un mximo. Aqu se grafica el caso cuando 0.25 = y distintos valores de .

La eficiencia de la mquina de CAN trabajando en un rgimen de mxima potencia se

obtiene al resolver 0dPd = para , con lo que se encuentra lo siguiente:

- 15 -


2

1

1 1 = = CAN TT

(1.11)

recordando que 2 1T T tambin puede ser escrito como . sta es la expresin encontrada por Curzon y Ahlborn[1] cuya conclusin ms importante es el hecho de que dicha eficiencia no depende de los coeficientes de conductividad trmica, hecho que tambin se muestra en la Figura 1.4 pues el mximo para los diversos valores de no se desplaza en la eficiencia. Enseguida se muestra la grfica de para la ecuacin (1.11).

Figura 1.5 La Eficiencia como una Funcin de . Grfica esquemtica de la eficiencia de la mquina como una funcin de .

La sustitucin de esta eficiencia en la anterior de la potencia arroja el siguiente

resultado:

( )21

1

1P T

= + (1.12)

(a) (b)

Figura 1.6 La Potencia de CA.

(a) Grfica esquemtica de la potencia de salida como una funcin del cociente para distintos valores de . (b) En este caso se grafica la potencia contra para distintos valores de .

- 16 -


En las grficas anteriores se observa que cuando es pequeo la potencia de la mquina aumenta (Figura 1.6 (a)), algo similar sucede cuando el cociente 0 pues tambin la potencia aumenta (Figura 1.1(b)). Para las temperaturas de trabajo se sustituye el valor de la eficiencia, observe que en el caso de que el cociente 1 = se recuperan las expresiones planteadas por Santilln et. al.:

1 11T

x

= + +

1 11T

y

= + +

Para el presente estudio es de inters escribir la potencia P como una funcin de las temperaturas de trabajo y y , por lo que los almacenes trmicos en trminos de las temperaturas de trabajo se escriben de la siguiente manera:

x

21

1T x

x y

+= +

22

1T y

x y

+= + Igual que en el caso anterior, si 1 = las ecuaciones anteriores son completamente

equivalentes a las desarrolladas por Santilln et. al. Cuando se combinan las ecuaciones anteriores, es posible expresar como una funcin de las temperaturas de trabajo:

2

2

y

x =

Esta relacin es importante por que no hay que perder de vista que los almacenes trmicos no cambian en su magnitud, por lo que se est pensando que toma el sentido de parmetro, sin embargo, como ser tratado en los captulos posteriores, tanto como y no mantendrn su constancia. Finalmente, se obtiene la potencia P como una funcin de x y

:

x

y

( ) ( )2

,x y

P x yx y

= + (1.13) Cabe sealar que, para el caso = , la potencia dada por la ecuacin (1.13) se reduce al caso tratado por Santilln et. al. [2] en el estado estacionario.

1.4 El Modelo de Mquina Tipo Curzon- Ahlborn- Novikov Generalizado

Considere la mquina endorreversible descrita en la Figura 1.3. La diferencia estriba en el hecho que la mquina de CAN es para una ley de transferencia tipo Newton, aqu se analizar un caso general de ley de transferencia como se indica en las siguientes ecuaciones: ( )1 1= k kJ T x

(1.14)

- 17 -


( )2 2= k kJ y T con 1, 1, 2 ...k =

Aqu y hacen las veces de las conductancias trmicas para los contactos superior e inferior entre los almacenes trmicos y las temperaturas de trabajo de la mquina. Igual que sucede en el caso anterior, partiendo de la ecuacin (1.9) y de la hiptesis de endorreversibilidad, la expresin correspondiente ahora es: ( ) ( )1k k k kT x y T

x y

= 2 La ecuacin anterior junto con (1.6) se resuelven para hallar expresiones para las temperaturas de trabajo x y y , las cuales se escriben de la siguiente manera:

( )( ) ( )1

11 1

kk k

kx T

+= +

(1.15) ( )( )( )2 1

1

1

kk k

k ky T

+= +

Para la potencia de salida de sustituye de las ecuaciones anteriores en de (1.14), de donde se obtiene lo siguiente:

x 1J

( )( ) ( )1 1

11 1

k kk

kP J T

= = +

Para hallar la expresin de sta eficiencia es necesario resolver la siguiente ecuacin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11 1 1 1 1 1 1k k k kk k + + + + = 0 La cual es resultado de derivar la potencia respecto de la eficiencia como debe ser en un rgimen de mxima potencia como en el que se viene manejando.

Resulta de inters expresar las temperaturas de los almacenes trmicos en trminos de

las temperaturas de trabajo de la mquina, aun cuando en ete caso general no sea posible eliminar a de dicha dependencia. De las ecuaciones (1.15) se obtiene que:

( ) ( )( )1

1 11

k

k k

kT x

+ = + (1.16)

( )( )

1

2

11

k

k k

kT y

+= +

Usando el hecho de que el ciclo es internamente reversible, es decir, que tiene una eficiencia en la parte reversible dada por la eficiencia de Carnot (ecuacin (1.6)), las ecuaciones anteriores se rescriben de la siguiente forma:

- 18 -


1

k kk

k

x y xyT

y x

+= +

2

k kk

k

x y xyT

y x

+= + Finalmente, sustituyendo las ecuaciones (1.16) en la ecuacin ltima para la potencia se llega a:

( ) ( )( ),

= +

k k k

k

x y y xP x y

y x (1.17)

1.4.1 La Mquina Tipo CAN con 1k =

Un caso tpico en la fsico qumica de ley de transferencia de calor se tiene cuando se sustituye en las ecuaciones (1.14), se trata de una ley fenomenolgica de transferencia de calor de la termodinmica irreversible:

1k =

11

1 1J

T x =

22

1 1J

y T =

Donde ahora y son negativos. Siguiendo los pasos de los casos anteriores, se sustituyen estas expresiones para los flujos de calor en la ecuacin (1.9):

1

1 1 1 1T x y T

x y

= 2

que igual que antes, se resuelve simultneamente con la ecuacin (1.6) para encontrar las expresiones para x y y de ete caso:

( )( )( )

22 1

1 1T

x

+ = +

(1.18) ( )( )

2

2

11

y T

+ = +

Para hallar la potencia en trminos de la eficiencia primero se sustituye la expresin de x en la ecuacin : 1J

( )( )1 2211

JT

= +

y entonces la potencia queda expresada como:

- 19 -


( )( )1 2111

= = +

P JT

Figura 1.7La Potencia como funcin de la Eficiencia para 1k = Grfica esquemtica de la potencia de salida como una funcin de la eficiencia de la mquina, aqu se indica claramente el mximo de la funcin ( 0.25 = ).

Para hallar la eficiencia que maximiza sta potencia (ver Figura 1.4) se tiene que resolver la ecuacin 0dPd = para la eficiencia , cuya solucin es la siguiente expresin:

21 11

+ + += + (1.19)

(a) (b)

Figura 1.8 La Eficiencia de la mquina CA.

(a) Grfica esquemtica de la eficiencia como una funcin del cociente para distintos valores de . (b) En este caso se grafica la eficiencia contra para distintos valores de .

- 20 -


La mxima potencia de salida est dada por [15],[2]:

21

2

12k

PT

= = + + +

(1.20)

(a) (b)

Figura 1.9 La Potencia de CA.

(a) Grfica esquemtica de la potencia de salida como una funcin del cociente para distintos valores de . (b) En este caso se grafica la potencia contra para distintos valores de .

Igualando las ecuaciones (1.6) y (1.19) y resolviendo para se obtiene:

2 2

2 2

22

y xy

x xy

x

y

+ = + (1.21)

Las expresiones para x y y como una funcin de y se pueden obtener mediante la sustitucin de la ecuacin (1.19) en las ecuaciones (1.6), obtenindose:

1T 2T

2

2

2 1

1

Tx

+= + + +

2

2

2 1

1

Ty

+= + + + Sustituyendo la ecuacin (1.21) en la ecuacin (1.20), es posible escribir la potencia de

salida del estado estacionario como una funcin de x y y , esto es:

( )( )

2

1( , )kx y

P x yxy x y

= = + (1.22)

1.4.2 La Mquina de Stefan-Boltzmann ( 4k = ) Si suponemos que el intercambio de calor no se realiza por conduccin sino por radiacin, se debe aplicar la ley correcta. El modelo ms simple es de radiacin de cuerpo negro. El calor radiado por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura, de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann. En este sentido tambin se dirigen

- 21 -


los trabajos de Chimal et. al.[21]. Entonces, al sustituir 4k = en las ecuaciones generales (1.14) se obtiene el siguiente sistema:

( 4 41 1J T x= ) ( )4 42 2J y T=

Usando las expresiones que fueron desarrolladas en la seccin 1.4 para el caso que

se expone ahora, la potencia en funcin de la eficiencia es descrita por la siguiente expresin:

( )

( ) ( )4 4

41 4

11 1

P T

= + (1.23)

Cuando se hace la grfica de la ecuacin anterior en funcin de la eficiencia se observa que es una curva convexa con un mximo, tanto para cada valor del cociente (ver Figura 1.10 (a)) como para cada valor de (ver Figura 1.10 (b)).

(a) (b)

Figura 1.10 Potencia de salida como funcin de la eficiencia.

(a)En estas grficas se observa claramente el mximo de la funcin para los para los diferentes valores del cociente mostrados, con un valor de 0.25 = . (b) en este caso tambin se observan los mximos ahora para los diferentes valores de con 1 = .

Ahora la eficiencia que maximiza la potencia de salida no puede ser escrita es forma concreta pues la solucin para corresponde a una ecuacin de grado 8 [5]. A continuacin se muestra la ecuacin que involucra a la eficiencia mencionada:

( ) ( ) ( )( ) ( )8 5 4 34 41 4 1 3 1 1 4 1R T + + =4 0 Se ha reportado que clculos numricos arrojan la descripcin del comportamiento de la

eficiencia de mxima potencia como una funcin de . Aqu se presenta la eficiencia propuesta por Press [16][20] para el caso de radiacin solar:

- 22 -


44 113 3

= + (1.24)

Figura 1.11 Eficiencia como funcin de .

En la grfica se observa que la eficiencia es una funcin decreciente de La sustitucin de esta eficiencia en la ecuacin (1.23) arroja la siguiente expresin para

la potencia como una funcin del cociente y : ( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )3 2 3 4 3

41 33 3 3

1 1 7 3 4 25 8

3 4 27 4P T

6 + + + +=

+

Al graficar la potencia anterior contra (Figura 1.12 (a)) se observa un mximo de la

funcin para cualquier valor del cociente , adems este mximo se recorre hacia la derecha conforme el cociente disminuye, presentndose tambin una disminucin en la potencia en dicho mximo.

(a) (b)

- 23 -


Figura 1.12 Potencia para la mquina de Stefan-Boltzmann.

(a)La primera grfica muestra que la potencia tiene un mximo para algn valor de . (b)Esta segunda grfica muestra una tendencia creciente de la potencia sin importar el valor de .

En el lmite cuando la potencia no diverge, resultando ser una cantidad finita

dependiente de ; para cuando 0 la potencia tiende a cero. Igualando las ecuaciones (1.6) con la ecuacin (1.24) y resolviendo para se obtiene:

( )( ) ( )2

, 1 4 2 2 ,2 ,2

H x yH x y

H x y = (1.25) con

( ) ( )( )2

332

133

2

3 3

3 3,

y x x yH x y

x x x y

+ + =

+

Haciendo uso de la ecuacin (1.17) es posible escribir la potencia de la mquina de

Stefan-Boltzmann en trminos de las temperaturas de trabajo y de la siguiente forma: x y

( ) ( )( )4 4 44,

= +

x y y xP x y

y x

donde est dado en trminos de las temperaturas de trabajo y segn la ecuacin (1.25).

x y

Ahora bien, si se considera el caso significativo cuando , esto es, el cociente de

las conductividades . La expresin de la potencia de salida en funcin de la eficiencia se reduce a lo siguiente:

( )4

41 41 1

P T

=

La mquina trmica a considerar ahora es la siguiente [10]:

- 24 -


Figura 1.13 Mquina trmica para radiacin.

Representacin esquemtica de una mquina CAN donde se ha supuesto . Aqu la temperatura de trabajo fra es igual al almacn fri ( 2y T= ).

La grfica de la potencia como una funcin de la eficiencia para el presente caso lmite muestra que tambin se tiene un mximo de la funcin para cada valor de , como la potencia no est ahora en trminos del cociente , slo se muestra la grfica para distintos valores de .

Figura 1.14 Potencia vs Eficiencia .Caso lmite.

En este caso la funcin no depende del cociente , se presentan entonces tres casos para distintos valores de .En cada uno de ellos se observa que tambin se presenta un mximo.

En el lmite , las ecuaciones (1.15), esto es, los valores del estado estacionario para x y y , toman la forma:

1 44 13 3

= x T

(1.26)

2y T= Hay que notar que las ecuaciones son consistentes con lo esperado, pues como se

observa en la ecuacin anterior 2=y T . Usando la ecuacin (1.17) ahora con , la expresin de la potencia de salida en trminos de las temperaturas de trabajo es la siguiente:

( ) ( )( )4 4 44, x y y xP x y x

= (1.27)

- 25 -


Cabe sealar que esta mquina fue estudiada por De Vos[10], donde adems se menciona que la temperatura de trabajo y las temperaturas de los almacenes trmicos y estn relacionados mediante la siguiente expresin:

x 1T

2T

5 4 42 1 24 3 0x T x T T =

1.5 Comparacin de las Mquinas Trmicas.

Es de inters comparar las propiedades termodinmicas de las maquinas expuestas en las secciones anteriores, tomando el caso estacionario, que es el abordado hasta el momento. Al analizar las expresiones para la potencia como una funcin de la eficiencia, cuya ecuacin general para las diferentes leyes de transferencia es la ecuacin que fue expuesta en la seccin 1.4 y es la siguiente:

( )( ) ( )1 1

11 1

k kk

kP J T

= = +

Al sustituir los valores de que se tratan en el presente trabajo, se reproduce cada una de las expresiones obtenidas con anterioridad, al graficar las potencias se observa lo siguiente:

k

Figura 1.15 La Potencia en funcin de la Eficiencia para el caso general.

Grfica esquemtica de la potencia de salida como una funcin de la eficiencia de la mquina para diferentes valores de k , en cada caso se observa que se presenta un mximo, adems que, conforme k aumenta la eficiencia mxima disminuye. Aqu se muestra el caso cuando

0.25 = y 1 =

La grfica anterior muestra que, para los casos que son de inters en ste trabajo, la potencia muestra un mximo respecto de la eficiencia. Cada potencia mostrada tiene dos puntos en los que es cero, uno de ellos por supuesto el origen, el otro resulta ser justamente cuando la eficiencia toma el valor:

- 26 -


2

1

1 1 TT

= = Que es justamente el valor de la eficiencia de una mquina de Carnot operando entre los mismos almacenes trmicos de las maquinas tratadas. Como es de esperarse entonces, una mquina de Carnot no produce potencia.

Como se coment en la seccin mencionada, el mximo de cada funcin se obtiene al derivar para cada caso la expresin de la potencia respecto a la eficiencia, los resultados para las eficiencias de cada caso fueron mostrados en las secciones correspondientes. En esta ocasin se presenta una grfica conjunta de cada caso:

Figura 1.16 Las Eficiencias de las mquinas Trmicas respecto a . Donde se ha tomado al cociente 1 = en los casos en que hay una dependencia de l.

En la Figura 1.16 se observa que cada eficiencia es una funcin decreciente de .

Adems, en todo punto la eficiencia de Carnot es mayor. Para el caso de la dependencia de la eficiencia respecto del cociente , slo la eficiencia en el caso resulta ser as, pues en los casos Newton y Stefan-Boltzmann las eficiencias son independientes de

1k = .

- 27 -


Figura 1.17 Las Eficiencias de las mquinas Trmicas respecto a . Donde se ha tomado un valor de 0.25 = .

En la grfica anterior se observa que aunque slo la eficiencia de caso depende

de 1k =

, en cada punto todas las eficiencias son menores que la de Carnot, como es de esperarse. Una vez que se usa cada eficiencia para su correspondiente potencia, se presenta la comparativa para las potencias en trminos del cociente y .

Figura 1.18 Grficas de la potencia de salida.

(a) Las potencias son funciones crecientes de . (b) En este caso solo las potencias para y son funciones montonamente decrecientes. 1k = 1k =

En ambos casos, para valores de pequeos, la mquina de Stefan-Boltzmann

desarrolla menos potencia que las otras dos. En la siguiente tabla se observan juntas las expresiones para las potencias y eficiencias de las distintas mquinas tratadas.

Tabla: Cuadro comparativo de las eficiencias y las potencias para las mquinas trmicas estudiadas.

P

- 28 -


1k = 2

1

1CANT

T = ( )2

1

1

1P T

= +

1k =

21 11

+ + += +2

12

12k

PT

= = + + +

4k = 4

4 113 3

= + ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )3 2 3 4 3

41 33 3 3

1 1 7 3 4 25 8

3 4 27 4P T

6 + + + +=

+

- 29 -

Captulo 2 La Estabilidad Local de las Mquinas Trmicas

Captulo 2. La Estabilidad Local de las Mquinas Trmicas

- 30 -

2.1 Anlisis de estabilidad local de la mquina endorreversible

En esta seccin, siguiendo los trabajos de Santilln et. al. [2]. se construye un sistema de ecuaciones diferenciales el cual dar informacin acerca de la estabilidad de la mquina endorreversible. Santilln et. al. desarrollaron un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para modelar la manera que cambian con el tiempo las temperaturas de trabajo, suponiendo que x y y son objetos macroscpicos con una capacidad calorfica C . Como ahora las temperaturas de trabajo x y y dependen de la capacidad calorfica del objeto material al que representan, es posible que su temperatura no se mantenga en cierto sentido estable ante un intercambio de calor entre los almacenes y la maquina segn corresponda, por lo que las ecuaciones dinmicas para x y y estn dadas por:

( )[ ]111 JxTCdt

dx kk = (2.1)

( )[ ]kk TyJCdt

dy22

1 = donde y son, como se mencion en el capitulo 2, los flujos de calor que fluyen de 1J 2J x a la sustancia de trabajo, y de la mquina de Carnot a y , respectivamente (ver Figura 1.3). Cuando estas ecuaciones se reducen a las propuestas por Santilln et. al.[2]. A partir de la hiptesis de endorreversibilidad es posible aplicar las ecuaciones (1.7) para estos flujos de calor; por lo que las ecuaciones (2.1) se reescriben como sigue:

1k =

( ) ( ) = yxPyx xxTCdtdx kk ,1 1 (2.2)

( ) ( ) = kk TyyxPyx yCdtdy 2,1 Una vez que se conoce la expresin de la potencia en trminos de x y y para cada caso, es posible escribir el siguiente sistema de ecuaciones:

( ),dx f x ydt

= (2.3)

( ),dy g x ydt

= El cual es un sistema de ecuaciones diferenciales del cual se da una breve descripcin en

el apndice A. Cabe destacar adems que tanto f como g no dependen explcitamente del tiempo, por lo que el sistemas es de los mencionados autnomos, sin embargo, como resulta evidente el sistema no es lineal, adems la estabilidad se da alrededor de un punto


- 31 -

de equilibrio al que se designar como ( ),x y , donde, de aqu en adelante, las cantidades con barras representarn los valores del estado estacionario. Este punto, por construccin, es tal que ( , ) 0f x y = y ( , ) 0g x y = , por lo que, como se menciona en el apndice A, es un punto critico del sistema. Para pequeas perturbaciones de este estado de equilibrio se supondr que las temperaturas de trabajo tendrn variaciones fuera del equilibrio suficientemente pequeas, por lo que x x x= + y y y y= + , donde x y y son pequeas perturbaciones alrededor del estado estacionario. Cuando se deriva x y y en el sentido anterior, uno nota lo siguiente:

( ,x x y

( )d d d d dx x x x xdt dt dt dt dt

x = = + =

( )d d d d dy y y y ydt dt dt dt dt

y = = + = Por otro lado, expandiendo las funciones de dos variables y

( ,g x x y y) + + en serie de Taylor [19] a primer orden se tiene lo siguiente: )f y+ +

( ) ( ) ( ), ,

, , , ,x y x y

f f ,f x y f x y x y R x y x yx y

= + + +

( ) ( ) ( ), ,

, , , ,x y x y

g gg x y g x y x y R x y x y

x y = + + + ,

y usando el hecho de que x y y son suficientemente pequeos para despreciar trminos de orden superior se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones para las perturbaciones:

x y

d xf x f y

dt

= + (2.4)

x y

d yg x g y

dt

= + donde

,

fx x x yf = , ,fy y x yf = , ,gx x x yg = y ,gy y x yg = en este caso el sistema s es lineal y el

punto critico se presenta en , por lo que (ver apndice A) las soluciones del sistema son de la forma (ver ecuacin (3.4)):

(0,0)tr e u =G G (2.5)

con ( )yxr ,=G y ( )yx uuu ,=G . Cuando se sustituye la solucin en el sistema (2.4) queda la siguiente ecuacin de valores propios:

A r r =G G (2.6) donde A es la matriz de coeficientes del sistema (2.4). El equivalente de la ecuacin (3.6) para el presente caso, es decir, la ecuacin caracterstica del sistema (2.4), que se obtiene al desarrollar el determinante 0A I = , es la siguiente:


- 32 -

( ) ( )2 0x y x y x yf g f g g f + + = (2.7)

Como se indica en la ecuacin (3.8), si 1 y 2 son soluciones de la ecuacin anterior, cuyos valores pueden ser obtenidos mediante la ecuacin (3.7) de manera apropiada, la solucin general del sistema es:

1 21 1 2 2

t tr c e u c e u = +G G G donde c1 y c2 son constantes arbitrarias y 1u

G y 2uG

son los vectores propios correspondientes a 1 y 2 respectivamente. Para determinar los vectores propios 1uG y 2uG de nuevo se usa la ecuacin (2.6) para cada valor propio. La informacin acerca de la estabilidad del sistema, como se comenta en el apndice A, se puede obtener de los valores propios 1 y 2 . Es de destacar por lo discutido en tal apndice que 1 y 2 pueden ser nmeros complejos. Si ambos 1 y 2 tienen parte real negativa, el punto fijo es estable. Ms aun, si ambos valores propios son reales y negativos, la perturbacin decae exponencialmente. Para este ltimo caso, los tiempos caractersticos para cada direccin propia son de la siguiente forma:

11

1t = (2.8) y

22

1t = (2.9)

2.2 La Estabilidad de la Mquina de Curzon y Ahlborn

En la seccin 1.3 se expuso el caso de la mquina de Curzon y Ahlborn que trabaja en un rgimen de mxima potencia y cuya eficiencia est dada por:

1CAN = (1.11) mientras que la mxima potencia de salida en estado estacionario en trminos de las temperaturas de trabajo est dada por:

( ) ( )2

,x y

P x yx y

= + (1.13)

Usando la suposicin de Santilln et. al. [2], en el sentido que, fuera del estado estacionario, la potencia de una mquina CAN depende de x y y de la misma forma en que depende de x y y en el estado estacionario ( ( ) ( ), ,y PP x ), es posible escribir la ecuacin dinmica para

x y

x y y segn las ecuaciones (2.2) cuando y usando la potencia mencionada:

1k =

( ) ( )11 x x ydx T xdt C x y

= +


- 33 -

( ) ( )21 y x ydy y Tdt C x y

= +

Para analizar la estabilidad del sistema cerca del estado estacionario, se procede

siguiendo los pasos descritos en la seccin 2.1. Se definen las funciones ( ),f x y y ( ),g x y como sigue (ver ecuaciones (2.3)):

( ) ( ) ( )11, x x yf x y T xC x

y

= +

( ) ( ) ( 21, y x yg x y y TC x y

= + )

Para hallar los valores propios del sistema, es necesario en primera instancia calcular las

derivadas parciales de las funciones ( ),f x y y ( ),g x y respecto a x y y y plantear el sistema equivalente al sistema (2.4); por lo que dichas derivadas parciales se mencionan a continuacin:

( ) ( )( )2,1 2

, 11

x

x y

f f x yx C

+ = = + +

( ) ( )2,1, 1

1y

x y

f f x yy C

= = + +

( ) ( )2,, 1 1x x yg g x yx C

= = + +

( ) ( )( )2,2 1

, 11

y

x y

g g x yy C

+ = = + +

Cada una de las expresiones anteriores es sustituida en la ecuacin de valores propios dada por la ecuacin (2.7). Despus de resolver la ecuacin de valores propios se obtienen los siguientes resultados:

11 1k

C

= = +

( )12 22 1

1k

C

= = + +

Como ambos valores propios son negativos ( 12k = < 11k =


- 34 -

( )11 111 1

1k

k

C Ct

=

== = =+ + (2.10)

( )( )

( )( )

2 2

12 1

2

11 122 1

k

k

C Ct

==

+ += = =+ + (2.11)

En la ecuacin (2.10) se observa que el tiempo de relajacin es independiente de 1t . En la Figura 2.1 se grafica el tiempo de relajacin contra 2t para diferentes valores del cociente . Aqu puede uno notar que disminuye su valor conforme 2t 1 siempre y cuando 1 ; en caso contrario se observa que la funcin tiene un mnimo en distinta posicin segn sea el valor del cociente . Al usar la ecuacin (2.11) para calcular el valor de dicho mnimo uno encuentra que se presenta cuando:

( )21

=

Figura 2.1 Grfica del tiempo de relajacin vs2t para 1k = Se presenta la grfica para distintos valores del cociente / . Para un valor dado de

/ 1 , es una funcin decreciente de 2t . Si / 1 , t muestra un mnimo. > 2

Se observa tambin que para 0 el tiempo de relajacin diverge, por lo que la estabilidad del sistema se pierde; por otro lado si

2t1 , se vuelve una cantidad finita

dependiente de 2t

, por lo que la estabilidad en este caso depender de los parmetros del sistema.


- 35 -

En la Figura 2.2 se grafican los tiempos de relajacin y contra 1t 2t . En ambos casos los tiempos de relajacin son una funcin decreciente del cociente sin importar el valor de , en el lmite en que 0 , tiende a 1t C , mientras que diverge, en este lmite la estabilidad del sistema se ve afectada. Para el caso en que

2t

, tiende a cero y es una cantidad finita dependiente de

1t

2t igual a 2C , por lo que el

sistema presenta una mayor estabilidad. Adems en todo momento > , por lo que se descarta que los tiempos de relajacin pudieran ser iguales para alguna combinacin de valores de

2t 1t

y .

Figura 2.2 Grfica de los tiempos de relajacin vs / para 1k = Se presentan las grficas para distintos valores de . En todos los casos se observa que las funciones son decrecientes.

Si se calcula el cociente de los tiempos de relajacin 2 1t t a partir de las ecuaciones

(2.10) y (2.11) se obtiene la siguiente expresin:

( )22

1

112

t

t

+= (2.12)

La expresin anterior resulta ser slo funcin del cociente y . En la Figura 2.3, se presenta la grfica de 2 1t t vs. . Para el intervalo 0


- 36 -

Figura 2.3 Grfica del cociente de los tiempos de relajacin 2 1t t vs para distintos valores de .

En la Figura 2.4 se muestra la dependencia del cociente 2 1t t en trminos de la relacin

para ciertos valores de . Se observa que en cada caso las curvas presentan un mnimo para el cociente 2 1t t , el cual es ms pronunciado cuando tiende a la unidad. De hecho, los mnimos se presentan en 1 = , equivalente al caso anterior, presentndose la posibilidad de observar que la mnima relacin entre los tiempos de relajacin es . 2 12t t

Figura 2.4 Grfica del cociente de los tiempos de relajacin 2 1t t vs para algunos valores de .

Los correspondientes vectores propios estn dados por:

1 1,u

= G (2.13)


- 37 -

2 1,u

= G (2.14)

De lo discutido anteriormente se destaca que 0< < , esto es, los correspondientes vectores propios pueden ser descritos como una direccin propia rpida (ecuacin (2.13)) y una direccin lenta (ecuacin (2.14)) respectivamente. Ahora, es posible describir el diagrama del espacio fase con la ayuda de las direcciones propias. En la Figura 2.5 se presenta el diagrama de fase para el caso

11=kt 12

=kt

1 = con 5.0= . En este caso, las trayectorias se aproximan al origen tangente a la direccin propia lenta. Para tiempos negativos ( t ), las trayectorias son paralelas a la direccin propia rpida.

Figura 2.5 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para = y 12 = . Ambos valores propios son negativos y tanto ( )x t como ( )y t decaen exponencialmente al origen (a los valores del estado estacionario x , y ). En este caso , con 10 t t< < 2

2 1 2.06t t . Los correspondientes vectores propios se pueden describir como la direccin rpida dada por la ecuacin (2.13) y la direccin lenta dada por (2.14), en esta grfica las direcciones son ( )11 21,u = G y ( )2 1,1u =G .

En la Figura 2.6 se presenta el caso cuando 0.1 = , esto es, la conductancia en la

parte de altas temperaturas es grande. En este caso, la direccin propia rpida est cerca al eje horizontal mientras que la direccin propia lenta est cerca del eje vertical. Por esta razn, cualquier perturbacin en los valores de x y y tiende a regresar al estado estacionario cambiando muy rpido la temperatura x en comparacin con la temperaturay .


- 38 -

Figura 2.6 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para 0.1 = y 12 = . En ste caso 2 1 8.1t t . La direccin rpida (ecuacin (2.13)) y la direccin lenta (ecuacin (2.14)) en ste caso son ( )1 1, 0.05u = G y ( )2 1,10u =G respectivamente. Claramente la direccin rpida es casi paralela al eje horizontal, algo similar sucede con la direccin lenta con el eje vertical. De acuerdo con esto, las trayectorias se aproximan al origen ( ),x y tangentes a la direccin lenta (eje y ) debido a que el decaimiento de es casi instantneo.

( )x t Una situacin muy diferente se observa cuando 10 = (ver Figura 2.7), esto es, cerca

de la liberacin reversible de calor. En este caso, la direccin propia rpida est cerca del eje vertical y la direccin propia lenta es casi paralela al eje horizontal, es decir, bajo cualquier perturbacin en x y y , la temperatura y alcanza su valor del estado estacionario ms rpido que la temperatura x .

Figura 2.7 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para 10 = y 12 = .


- 39 -

Ahora 2 1 4.6t t . La direccin rpida (ecuacin (2.13)) y la direccin lenta (ecuacin (2.14)) en este caso son y (1 1, 5u = G ) ( )2 1,0.1u =G respectivamente. En este caso se tiene la situacin opuesta que la presentada en la Figura 2.6 ; es decir, la direccin rpida es casi paralela al eje vertical y la direccin lenta al eje horizontal. Ahora, las trayectorias se aproximan al origen ( ),x y tangentes a la direccin lenta (ejex ) debido a que el decaimiento de ( )y t es casi instantneo.

2.3 La Estabilidad de la Mquina Tipo CAN caso 1k =

La mquina tipo CAN con 1=k fue descrita en la seccin 1.4.1 para el caso estacionario, donde se encontr que la eficiencia que maximiza la potencia en este caso est dada por [15]:

2

1

1 11k

=

+ + += + (1.19)

La mxima potencia de salida una vez que se toma en cuenta la eficiencia anterior, en trminos de las temperaturas de trabajo x y y est dada por [15]:

( )( )

2

1( , )kx y

P x yxy x y

= = + . (1.22)

Se aplica de nuevo el hecho de que la potencia de salida de una mquina endorreversible depende de x y y de la misma forma que la potencia en condiciones de estado estacionario ( ( ) ( ),P x y ,P x y ). Entonces las ecuaciones dinmicas para x y y (ecuaciones (2.2)) son las siguientes:

( )( )1

1 1 1 x ydxdt C T x y x y

= + +

( )( ) 2

1 1x ydxdt C y Tx x y

= + 1

De nuevo, para estudiar la estabilidad del sistema cerca de los valores del estado estacionario x y y , se siguen los pasos descritos en la seccin 2.1. Para el presente caso las funciones ( ),f x y y son ahora las siguientes: ( ,g x y )( ) ( )( )1

1 1 1,x y

f x yC T x y x y

= + +

( ) ( )( ) 21 1,

x yg x y

C yx x y = +

1T


- 40 -

Suponiendo tambin el hecho de calcular las derivadas parciales con respecto a x y y de cada funcin, para despus sustituirlas en la ecuacin de valores propios (ec. (2.7)) y resolverla, se obtienen los siguientes valores propios:

( )( )

21

1 2 21

12 1

= += +

k

C T (2.15)

( )( ) ( )( )

2 21

2 2 21

1 112 1

= + + + + + += +

k

C T (2.16)

Cabe recordar que para el presente caso de ley de transferencia, las cantidades y son negativas (ver seccin 1.4.1), por lo que ambos valores propios son nmeros reales y negativos, por lo que, como se menciona en el apndice A, la solucin converge de manera exponencial, lo que hace que el sistema sea estable para cualquier perturbacin pequea alrededor de los valores del estado estacionario de las temperaturas de trabajo x y y . Mediante el uso de la definicin de las escalas de tiempo caracterstico dadas por las ecuaciones (2.8) y (2.9) se encuentra que:

( )( )

221 1

1 2

12

1

= += +k CTt (2.17)

( )( )( ) ( )

221 1

2 2 2

12

1 1

= += + + + + + +k CTt

(2.18)

En la Figura 2.8 se grafican los tiempos de relajacin contra para diferentes valores

del cociente . Como se puede ver en la misma figura ambos tiempos de relajacin tienden a cero conforme tambin tiende a cero, esto es, la estabilidad mejora conforme

0 .

Figura 2.8 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para = y 12 = .


- 41 -

1En este caso y la relacin20 t t< < 1 2 2.1t t . Los correspondientes vectores propios se pueden describir como la direccin rpida dada por la ecuacin (2.21) y la direccin lenta dada por (2.20), en esta grfica las direcciones son ( )11 21,u = G y ( )2 1,1u =G .

En las Figura 2.9 se presentan las grficas de los tiempos de relajacin contra .En el

lmite cuando el cociente es muy grande, el tiempo de relajacin tiende a cero, mientras que es una cantidad finita dependiente del valor de

2t

1t ; ahora bien, cuando tiende a cero diverge mientras que converge a la unidad sin importar el valor de 1t 2t . Adems se observa en las grficas que para un valor dado de , existen valores del cociente que hacen que los tiempos de relajacin coincidan en dos puntos, estos cruces son en los siguientes valores:

2 3

1 33

31 3

+ += + +

Figura 2.9 Grfica de los tiempos de relajacin vs . Se observa la tendencia decreciente de ambos tiempos de relajacin conforme el cociente aumenta. Tambin se observan los cruces de las grficas de ambos tiempos de relajacin para cada valor de .

Si se calcula el cociente entre los tiempos de relajacin como una funcin de y la expresin es la siguiente:

( )( )( ) ( )

22

2 21

2 1

1 1

+= + + + + + +t

t (2.19)


- 42 -

En la Figura 2.11 se muestran las grficas de la ecuacin (2.19). En ambos casos las curvas son convexas y se puede observas en ellas el hecho ya comentado que es posible que, mediante una combinacin de valores de y los tiempos de relajacin sean iguales segn la siguiente ecuacin:

13

= La ventana de valores posibles para el cociente que cumple con entre cero y

una, es entre 1 3 = y 1 = (ver Figura 2.10).

Figura 2.10 Grfica de vs para el caso en el que 1 2t t= .

Adems, en la Figura 2.11 (b) se puede observar que en el lmite cuando tiende a

cero, el cociente de tiempos 2 1t t tambin tiende a cero, es decir, ; por otro lado, cuando

1t t 2 es mucho mayor que uno, tambin se observa que 2 1t t , por lo que

como sucede en el caso del lmite anterior. 1 2t t

(a) (b)

Figura 2.11 Grfica del cociente de los tiempos de relajacin 2 1t t .


- 43 -

Se observa en ambos casos que las curvas son convexas, adems que en todos los casos se alcanza el valor de 1, lo que hace que los tiempos de relajacin sean iguales.

Los correspondientes vectores propios estn dados por las siguientes expresiones:

( )2

11 2

11 ,

1ku

= + + + = + G (2.20)

12 1 ,ku

= = G (2.21) Los vectores propios dados por las ecuaciones (2.20) y (2.21) representan las direcciones a lo largo de las cuales los tiempos de relajacin pueden ser definidos por las ecuaciones (2.17) y (2.18). En el presente caso, 0< < , esto significa que los vectores propios correspondientes pueden ser descritos como una direccin propia lenta (ecuacin (2.17)) y una direccin propia rpida (ecuacin (2.18)). En la Figura 2.13 se presenta un diagrama de fase cualitativo para el caso

12

=kt 11=kt

= con 5.0= .

Figura 2.12 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para = y 12 = . En este caso y el cociente 20 t t< < 1 1 2 2.1t t . Los correspondientes vectores propios pueden ser descritos como la direccin lenta (ecuacin (2.20)) y la direccin rpida (ecuacin (2.21)); en este caso son ( )1 1,0.25u =G y ( )2 1, 1u = G respectivamente. ste es un caso interesante, la direccin rpida tiene una componente de magnitud -1; por esta razn, el ritmo de decaimiento es casi igual, y cerca del origen las trayectorias se aproximan tangentes a la direccin lenta.

Las trayectorias se aproximan al origen tangente a la direccin propia lenta y para

tiempos negativos las trayectorias son paralelas a la direccin propia rpida. Una situacin diferente se presenta cuando 0.1 = , esto es,


- 44 -

con la temperatura y . La situacin opuesta ocurre cuando 10 = , es decir, cuando > . Para este caso, (Figura 2.14) la temperatura y regresa al estado estacionario prcticamente de manera instantnea mientras que x regresa ms lentamente.

()

Figura 2.13 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para 0.1 = y 12 = . En este caso 1 2 3.3t t . La direccin lenta (ecuacin (2.20)) y la direccin rpida (ecuacin (2.21)) en este caso son ( )1 1, 2.3u =G y )2 1, 0.1u = G respectivamente. La direccin rpida es casi paralela al eje horizontal (eje ) y la direccin lenta tiene una componente positiva ( ). Por esta razn

x

2.3 (x t decae rpidamente mientras que lo hace ms despacio.

( )y t

Figura 2.14 Diagrama de fase cualitativo de ( )x t vs ( )y t para 10 = y 12 = .


- 45 -

En este caso 1 2 9.9t t . La direccin lenta (ecuacin (2.20)) y la direccin rpida (ecuacin (2.21)) en este caso son ( )1 1,0.02u =G y ( )2 1, 10u = G respectivamente. Como se puede observar, la direccin rpida es casi paralela al eje vertical (eje y ) y la direccin

lenta al eje horizontal (ejex ). Se concluye que ( )y t decae casi instantneamente mientras que lo hace ms despacio. ( )x t

2.4 La Estabilidad de la Mquina de Stefan-Boltzmann ( ) 4k =

En este caso la eficiencia propuesta en la seccin 1.4.2 est dada por la expresin[20]: 44 11

3 3 = + (1.24)

En el lmite cuando en dicha seccin se propuso tambin que la potencia en funcin de las temperaturas de trabajo y fuese la expresin: x y

( ) ( )( )4 4 44, x y y xP x y x

= (1.27) Donde est dado por la ecuacin (1.25). Es claro que de las ecuaciones (1.26) la

temperatura y del estado estacionario es igual a la temperatura del almacn fro . 2T Para la mquina de Stefan-Boltzmann se propone ahora un anlisis de estabilidad ms

restringido pues al colapsarse las temperaturas y (en el caso de estudio para y 2T ), las ecuaciones dinmicas (2.1) se reducen a slo una ecuacin para : x

( )4 41 11dx T x Jdt C = En trminos de la potencia y haciendo uso de la hiptesis de endorreversibilidad, la

ecuacin dinmica est dada por:

( ) ( )4 411 ,dx xT x P x ydt C x y = Al sustituir la potencia de la ecuacin (1.27) en la ecuacin anterior se tiene la siguiente

expresin:

( ) 4 4 44 41 41 = dx y x

T xdt C

(2.22) Recordando que est dado por la ecuacin (1.25). Las funciones f y para este

caso estn dadas por: g

( ) 4 4 44 41 41( )( , ) 0

=

=

y xf x T x

C

g x y

La ecuacin de valores propios que en general est dada por la ecuacin (2.7) es ahora:


- 46 -

2 0 =xf

con

( )xdf f xdx

= Por lo que

xf = Como el sistema es estable, el tiempo de relajacin en esta ocasin est dado por: 0xf

Para este caso se puede considerar el sistema: 1=x x

(3.9) 2=y y

Se discutir el caso cuando los valores propios son reales, adems 21 y 021 , las soluciones son de la forma:

11( )

= tx t u e 2

2( )= ty t u e

donde , son constantes reales arbitrarias. 1u 2u a) 1 , 2 tienen el mismo signo: 0>bcad ;

(i) Ambas races son negativas: 0

Apndice A: Generalidades Sobre la Estabilidad Local

Para el correspondiente plano fase de (3.2), los nicos cambios esenciales en el diagrama podran consistir en una rotacin, y posiblemente las trayectorias rectilneas no seran perpendiculares. Evidentemente ( )0,0 es asintticamente estable.

(ii) Ambas races son positivas: 0>+da Entonces, si 210 bcad ;

Si 12 0 u 02


a) 1 , 2 son puramente imaginarios: 0=+da Entonces in=1 y in=2 , 0=m y (3.6) se reduce a:

x ny= nyy =

Cuyas soluciones son:

(1( ) cosx t u nt )= + (2( )y t u sen nt )= +

y las trayectorias son una familia de crculos: 2 2 2

1:C x y u+ = En este caso ( es llamado un centro y es estable pero no asintticamente estable. Las trayectorias correspondientes para el sistema (3.2) sern una familia de elipses. Note en (3.2) que si , entonces , lo cual indica que la direccin de crecimiento del tiempo es en el sentido de las manecillas del reloj si

)0,00=y cxy =

0c

Figura A.3 Punto crtico circular.

b) 1 , 2 son complejos: 0+da

Las soluciones de (3.10) son:

(1( ) cosmtx t u e nt )= +)

(2( ) mty t u e sen nt = + y las trayectorias son una familia de espirales

2 2 2 21:

mtC x y u e+ =

- 54 -


- 55 -

)El punto crtico ( es llamado un punto espiral o foco y es asintticamente estable si 0,00m

( )+= ntzy tan no tiene lmite conforme t tiende a infinito.

Figura A.4 Punto Crtico tipo espiral.

Caso: ( )21 2 0; 4 02a d a d bc += = + =

Este caso es una raz doble m== 21 , donde ( ) 02 += dam pues 0bcad a) Un subcaso especial se tiene cuando 0== cb en (3.2), lo cual entonces deja el

sistema mxx = , , cusa solucin es de la forma: myy =1( )

mtx t u e=

2( )mty t u e=

Las trayectorias son una familia de lneas rectas ( )xccyC 12 : = que pasan por el origen. Entonces ( es llamado un nodo propio y es asintticamente estable si )0,0 0+da .

Figura A.5 Nodo Propio.

b) En el caso general se supone que 0b (si 0c ,0 =b , entonces (3.2) es

esencialmente de esta forma) el sistema que se considerar es de la forma

x mx= (3.11)

y x my= + cuya solucin es


1( )mtx t u e=

( )1 2( ) mty t u t u e= + Si , la trayectoria rectilnea es el eje 01 =u y . Por otro lado todas las trayectorias son asintticas al eje y , pues xy tiende a infinito cuando t se aproxima a infinito. En este caso el punto crtico ( es llamado nodo o nodo impropio; es asintticamente estable si

e inestable si . El plano fase de (3.11) se esquematiza abajo y el correspondiente a (3.2) slo difiere por una rotacin.

)0,00+da

Figura A.6 Nodo Impropio. Del anlisis antes descrito se arroja el siguiente resultado. Dado el sistema

byaxx += dycxy += con 0bcad

donde a , b , c y d son reales, entonces ( )0,0 es un punto crtico aislado y es: (i) estable si las races del polinomio caracterstico son puramente imaginarias, (ii) asintticamente estable si las races tienen parte real negativa, (iii) inestable si las races tienen parte real positiva.

- 56 -

Apndice B: The effect of heat transfer laws Artculo publicado en la revista Journal Of Physics D: Applied Physics en el ao de 2005.

- 57 -

INSTITUTE OF PHYSICS PUBLISHING JOURNAL OF PHYSICS D: APPLIED PHYSICS

J. Phys. D: Appl. Phys. 38 (2005) 12821291 doi:10.1088/0022-3727/38/8/028

The effect of heat transfer laws andthermal conductances on the localstability of an endoreversible heat engineL Guzman-Vargas1,3, I Reyes-Ramrez1 and N Sanchez2

1 Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas, InstitutoPolitecnico Nacional, Av. IPN No. 2580, L. Ticoman, Mexico D.F. 07340, Mexico2 Departamento de Fsica, Escuela Superior de Fsica y Matematicas, Instituto PolitecnicoNacional, Edif. No. 9 U.P. Zacatenco, Mexico D.F. 07738, Mexico

E-mail: [email protected]

Received 2 September 2004, in final form 18 January 2005Published 1 April 2005Online at stacks.iop.org/JPhysD/38/1282

AbstractIn a recent paper (Santillan et al 2001 J. Phys. D: Appl. Phys. 34 206872)the local stability of a CurzonAhlbornNovikov (CAN) engine with equalconductances in the coupling with thermal baths was analysed. In this work,we present a local stability analysis of an endoreversible engine operating atmaximum power output, for common heat transfer laws, and for differentheat conductances and , in the isothermal couplings of the workingsubstance with the thermal sources T1 and T2 (T1 > T2). We find that therelaxation times, in the cases analysed here, are a function of , , the heatcapacity C, T1 and T2. Besides, the eigendirections in a phase portraitare also functions of = T1/T2 and the ratio /. From these findings,phase portraits for the trajectories after a small perturbation over thesteady-state values of internal temperatures are presented, for somesignificant situations. Finally, we discuss the local stability and energeticproperties of the endoreversible CAN heat engine.(Some figures in this article are in colour only in the electronic version)

1. Introduction

In recent years, finite time models for the operation of thermalengines have attracted the attention of researchers followingvery different approaches [13]. This new discipline,called finite-time thermodynamics (FTT) has emerged as anextension of traditional equilibrium thermodynamics and isused to obtain more realistic limits for the performance of realengine models.

FTT started with a paper published by Curzon andAhlborn in 1975 [4]. In this paper an endoreversibleCurzonAlhbornNovikov (CAN) engine was introduced.This model takes into account irreversibilities due to thecoupling between the working fluid and the thermal reservoirs,and through thermal conductors governed by the linear Newton3 Author to whom any correspondence should be addressed. Presentaddress: Department of Chemical and Biological Engineering, NorthwesternUniversity, Evanston, IL 60202, USA.

heat transfer law. Furthermore, in real engines not all heattransfer obeys this law and it is consequently essential tostudy the effect of different transfer laws; several authorshave studied this issue [58]. Also, it is worth notingthat real thermal engines are built from different materials.In more realistic models, it is then natural to assume differentconductances at hot and cold branches of the thermal cycle.

Most of the studies of FTT have focused on steady-stateenergetic properties. However, all thermal engines work withmany cycles per unit of time and, however similar may be,they are never identical, that is, there exists intrinsic cyclicvariability (CV) in any sequence of cycles. For example,in internal combustion engines, the CV is produced fromincomplete combustion of fuel and other causes [9]. It is crucialto know how much each cycle allows external perturbations,while still preserving the steady-state regime that lets it carryout its function well. In order to have a well-designed system,it is important to analyse the effect of noisy perturbations on

0022-3727/05/081282+10$30.00 2005 IOP Publishing Ltd Printed in the UK 1282

58

Effect of heat transfer laws and thermal conductance

the stability of the systems steady state. This study may allowus to guarantee proper dynamical behaviour of a system likestability and small relaxation times, or to warn about possiblefailure in the performance of a thermal engine.

In a recent work [10], Santillan et al studied the localstability of a CAN engine operating at maximum power, withequal conductances in both isothermal branches of the cycle.In this work, following the direction suggested by the findingsof Santillan et al [10] and taking into account all the factsdiscussed above, we analyse the stability of a endoreversibleengine with several heat transfer laws and with differentheat conductances at the isothermal branches. The paper isorganized as follows. In section 2, we describe the localstability analysis method applied to a two-dimensional system.In section 3, a brief description of an endoreversible engine ispresented. In section 4, the local stability analysis of a CANengine with different heat transfer laws is described. Finally,in section 5, we discuss our results from a thermodynamicperspective.

2. Linearization and stability analysis

In this section, we present a brief description of boththe linearization technique for two-dimensional dynamicalsystems, and fixed point local stability analysis [11]. Considerthe dynamical system

dxdt

= f (x, y) (1)

anddydt

= g(x, y). (2)Let (x, y) be a fixed point such that f (x, y) = 0 andg(x, y) = 0. Consider a small perturbation around this fixedpoint and write x = x + x and y = y + y, where xand y are small disturbances from the corresponding fixedpoint val

1326_2006_esfm_maestria_reyes_ramirez_israel.pdf

Documents