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Andres G. Abad, Ph.D. Investigacion de Operaciones II

Ejercicios de Apoyo

Ingeniera y Administracion de la Produccion Industrial

1. Sodaco esta considerando producir un nuevo producto: Chocovan Soda. Sodaco estima quela demanda anual para Chocovan, D (en miles de cajas), tiene la siguiene funcion de proba-bilidad: P(D= 30) = 0.30,P(D= 50) = 0.40,P(D= 80) = 0.30. Cada caja de Chocovan se

vende por 5 e incurre en un costo variable de 3. Cuesta 800,000 construir una planta paraproducir Chocovan. Asuma que si se recibe 1 cada ano (por siempre), esto es equivalenteque recibir 10 ahora. Considere la paga de cada estado dada en terminos del valor presente.

(a) Construya la tabla de pago correspondiente

(b) Determine la decision optima utilizando el criterio de la maxima verosimilitud.

(c) Determine la decision optima utilizando el criterio de MAXIMIN.

(d) Determine la decision optima utilizando la regla de decision bayesiana.

(e) Construya el arbol de decision correspondiente y resuelvalo.

2. Alden Construction esta participando en la licitacion de cierto proyecto, donde el unico otroparticipante es Forbes Construction. Alden cree que la postura de ForbesB es una variablealeatoria con la siguiente funcion de probabilidad: P(B = $6, 000) = 0.40, P(B= $8, 000) =0.30,P(B = $11, 000) = 0.30. A Alden le costara 6,000 en completar el proyecto. Se asumeque en caso de empates, Alden gana la licitacion.

(a) Construya la tabla de pago correspondiente

(b) Determine la postura optima de Alden utilizando el criterio de la maxima verosimilitud.

(c) Determine la postura optima de Alden utilizando el criterio de MAXIMIN.

(d) Determine la postura optima de Alden utilizando la regla de decision bayesiana.

(e) Construya el arbol de decision correspondiente y resuelvalo.

3. Un coleccionista de arte desea comprar cierta pintura evaluada en 50,000. El coleccionistapuede comprar la pintura hoy en 40,000 o esperar un da y comprarla manana (si es queno ha sido vendida aun por 30,000. El coleccionista puede tambien esperar un da mas ycomprar la pintura (si todava esta disponible) por 26,000. Al final del tercer da, la pinturano estara mas disponbile para la venta. Cada da, existe una probabilidad de 0.60 de que lapintura sea vendida.

(a) Construya el arbol de decision correspondiente y resuelvalo.

4. La Facultad esta tratando de determinar cual de dos fotocopiadoras adquirir. Ambos equipos

satisfaceran las necesidades de la facultad durante los proximos diez anos. La maquina 1cuesta 2,000 y tiene un acuerdo de mantenimiento que, por una tarifa anual de 150, cubretodos los costos de mantenimiento. La maquina 2 tiene un costo de 3,000, y sus costosanuales por mantenimiento son una variable aleatoria. Actualmente, la facultad cree queexiste una probabilidad de 40% de que los costos anuales para la m aquina 2 sean de 0, unaprobabilidad de 40% de que sean de 100, y una probabilidad de 20% de que sean de 200.

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Antes de tomar una decision de compra, la facultad puede solicitarle a un tecnico su evaluacionde la calidad de la maquina 2. Si el tecnico cree que la maquina 2 es satisfactoria, entonces hayuna probabilidad del 60% de que sus costos anuales de mantenimiento sean de 0 y un 40%de que sean de 100. Si por le contrario, el tecnico cree que la maquina 2 es insatisfactoria,existe una probabilidad del 20% de que el costo anual de mantenimiento sea de 0, un 40%

de que sea de 100, y un 40% de que su costo anual sea de 200. La probabilidad de que elreporte del tecnico sea insatisfactorio es del 50%.

(a) Determine el valor esperado de un experimento perfecto.

(b) Construya el arbol de decision correspondiente y resuelvalo.

(c) Si el tecnico cobra 40 por dar un reporte, Que debera hacer la facultad?

(d) Cuanto es lo maximo que podra cobrar el tecnico para que la facultad decida con-tratarlo?

5. Pete esta considerando hacer una apuesta en un partido de basket universitario entre Michigane Indiana. Sin informacion adicional, el creo que ambos equipos tienen igual probabilidad deganar. Si gana la apuesta ganara 10,000, y si pierde, perdera 11,000. Antes de apostar,Pete puede pagarle a su amigo Bobby 1,000 por su prediccion del juego: 60% de las veces,Bobby predice que Michigan ganara, y 40% de las veces, que Indiana ganara. Cuando Bobbydice que Michigan ganara, Michigan gana un 70% de las veces, y cuando Bobby dice queIndiana ganara, Michigan tiene un 20% chance de ganar.

(a) Determine como Pete puede maximizar sus ingresos.

(b) Determine el valor esperado de la informacion perfecta.

(c) Determine el valor esperado del experimento.

6. La Nitro Fertilizer Company se encuentra desarrollando un nuevo fertilizante. Si Nitro mer-cadea el producto y es exitoso, la companna recibira utilidades por 50,000; si no es exitoso,la companna pierde 35,000. En el pasado, productos similares han sido exitosos un 60% delas veces. A un costo de 5,000, la efectividad del nuevo fertilizante puede ser medida. Si losresultados son favorables, existe un 80% de chance de que el fertilizante sea exitoso. Si losresultados son infavorables, solo existe un 30% de chance de que el fertilizante sea exitoso.Hay un 60% de chance de que el resultado sea favorable y un 40% de que no lo sea.

(a) Determine la estratega optima que Nitro debera seguir.

7. Una empresa organizadora de conciertos tiene que elegir la ubicacion del evento y duda entreun polideportivo cubierto o por un campo de futbol al aire libre. Dependiendo del tiempo

que haga y de la ubicacion elegida, esperan obtener los siguientes beneficios en euros: (1) simontan el concierto en el polideportivo: 30.000 euros si hace fro, 20.000 euros si el clima estemplado y 10.000 euros si hace calor, y (2) si montan el concierto en el campo de futbol:-12.000 euros si hace fro, 1.000 euros si el clima es templado y 43.000 euros si hace calor. Pordatos historicos, se estima que la probabilidad de que haga fro es del 45% y la de que hagacalor es del 25%.

Determine la decision optima en cada uno de los siguientes casos:

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(a) Utilizando el criterio de la maxima verosimilitud.

(b) Utilizando el criterio de MAXIMIN.

(c) Utilizando la regla de decision bayesiana.

(d) Construya el arbol de decision correspondiente y resuelvalo.

8. Un importador estudia la posibilidad de alquilar por 20 a nos un terreno de 1000 ha. ysembrarlo de soya. Este cultivo necesita un clima templado y por ello divide al pas en treszonas: norte, centro y sur. Al considerar los estados climaticos, ha evaluado las posiblesganancias anuales para cada una de las zonas geograficas segun la siguiente matriz de pagos:

ClimaZona Calido Normal Fro

Norte 1000 800 600Centro 700 2000 1800

Sur 400 1700 3000

Asuma que la probabilidad de que el clima sea normal es del 40% y fro del 20%.





9. Una empresa que fabrica un determinado producto esta pensando en aumentar su capacidad.Sus principales alternativas son: construir una planta pequena, construir una planta mediana,construir una planta grande o no hacer nada. La nueva instalacion fabricara un nuevo tipo de

producto, cuyo potencial de comercializacion actualmente es desconocido. Si se construye unaplanta grande y existe un mercado favorable, se podra obtener un beneficio de 20 mil dolares.Un mercado desfavorable supondra una perdida de 18 mil dolares. Sin embargo, con unaplanta mediana se obtendra un beneficio de 12 mil si el mercado fuera favorable, mientrasque la perdida sera de 2 mil si el mercado fuera desfavorable. Por otro lado, una plantapequena dara un beneficio de 8 mil dolares si el mercado fuera favorable, y una perdida demil si fuera desfavorable. Recientes estudios de mercado indican que existe una probabilidadde 0.4 de que el mercado sea favorable.



(c) Utilizando la regla de decision bayesiana.(d) Construya el arbol de decision correspondiente y resuelvalo.

10. Como director de operaciones de Muebles & Madera, usted debe tomar una decisi on sobrela ampliacion de la lnea de mobiliario infantil (cunas, cajas para juguetes, camas, etc.).Estudia las posibilidades con la directora de ventas y ambos estan de acuerdo en que vaa haber mercado y que la compana debe entrar en el. Sin embargo, como el mobiliario

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infantil a menudo se debe pintar en lugar de barnizar, usted decide que necesita otra lnea deproduccion. No tiene duda alguna sobre su decision, y esta seguro que necesita un segundoproceso. Pero la cuestion es saber cual ha de ser su tamano. Una l nea de produccion grandecostara 30 mil dolares; una lnea de produccion pequena costara 20 mil dolares. Por tanto,es importante saber la demanda que habra de mobiliario infantil. Despues de una extensa

discusion con los representantes de una empresa de marketing que se contrato para que hicierael estudio de mercado, se determino que la mejor estimacion que se puede hacer es que hayun 66.5% de probabilidades de que la demanda sea alta, y un 33.5% de probabilidades de quela demanda sea baja.

Con una lnea de produccion grande y una demanda alta puede obtener ganancias de 40 mil.Si la demanda es baja obtendra beneficios de 20 mil. Con una lnea de produccion pequena nopodra cubrir una demanda alta, por lo que la empresa se ver a en la necesidad de expandirse;despues de la expansion las ganancias seran de 33 mil. Si no se expande, las ganancias sequedaran en 28 mil. Si se decide por un proceso pequeno y la demanda es baja, podr asatisfacerla sin ningun problema con una ganancia de 20 mil.

(a) Utilizando el criterio de la maxima verosimilitud.(b) Utilizando el criterio de MAXIMIN.



11. Una empresa dedicada a la fabricacion de muebles, ha decidido aumentar su capacidad. Estaconsiderando dos alternativas: construir una planta mediana o construir una planta grande.Si se construye una planta mediana y la demanda es alta, los directivos deben decidir sitrabajar doble turno para poder cubrir la demanda o no hacer nada. Con la primera opcionse esperan beneficios de 30000 u.m. y con la segunda los beneficios seran de 31000 u.m. Sila demanda es baja una planta mediana podra generar un beneficio de 31500 u.m. Por otra

parte, si la demanda es alta y se construye una planta grande, los beneficios seran de 46000u.m. Si la demanda es baja la empresa debe decidir si llevar a cabo una contraccion, lo quedara un beneficio de 23000 u.m., o no actuar, en cuyo caso el beneficio sera de 6000 u.m.Considere que la probabilidad de que la demanda sea alta es del 58%. Que recomendaraud. a esta empresa, abrir una planta grande o una mediana? Utilice un arbol de decisionpara responder.

12. Susana es duena de un restaurant situado en la costa. Sus costos diarios para sueldos delpersonal de planta, mozos y local son US 400. Su costo se incrementa en un 50% porconcepto de compra de vveres, costos directos de limpieza y por el pago de impuestos. Ellasabe que la demanda es variable deacuerdo al clima. En los das nublados llegan 15 clientescada hora y vende en promedio US 8 por pedido. En los das con sol, al menos 30 clientes

entran al restaurant cada hora. Si Susana contrata dos cocineros part-time todos los clientestendran un servicio satisfactorio. Si ella solo contrata 1 cocinero part-time, el 20% de losclientes (de los das con sol) abandonan el lugar. Si ella decide trabajar unicamente con laayuda de empleados tiempo completo, la mitad de los clientes (de los das con sol) se van.Los clientes de los das de verano compran en promedio US 6 por pedido. En cualquier caso,cualquier cocinero part-time se contrata por da. Cada cocinero part-time cobra US 80 por8 horas al da que el restaurant este abierto.

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(a) Cual sera su decision si sigue el criterio de la maxima verosimilitud?

(b) Cual sera su decision si sigue el criterio MAXIMIN?

(c) Cual sera su decision si sigue la regla de decision bayesiana?

(d) Suponga que Susana se hizo asesorar por un meteorologo el cual le asegura que habran

200 das con sol al ano. Que consideraciones debera tomar en cuenta Susana si ellasabe que el meteorologo se equivoca el 65% de las veces? En pocas palabras cual es ladecision que debe tomar? Construya un arbol de decision para responder esta pregunta.

13. Existen dos diferentes rutas para viajar entre dos comunas. La ruta A normalmente toma60 minutos, mientras que la ruta B dura 45 minutos. Si el trafico es pesado, en la rutaA la duracion del trayecto se incrementa a 70 minutos, y en la ruta B a 90 minutos. Laprobabilidad de tener trafico normal es de 80% para la ruta A y 70% parala ruta B. Dibujeel arbol de decisiones asociado al ejercicio y determine que ruta es mas conveniente.

14. El propietario de un supermercado esta estudiando la posibilidad de ofrecer a su clientelaun servicio de entregas a domicilio. La decision dependera de la afluencia de clientela y del

aumento en las cifras de ventas despues de la implementacion del servicio. El propietariopuede elegir entre dos tipos de equipos: El equipo A y el equipo B. Despues del estudiode mercado y el analisis de costos se pudo reunir la siguiente informacion:

Sin servicio Con servicio

Ingreso Probabilidad Ingreso Probabilidad

600,000 60% 810,000 70% 750,000 30% 900,000 20% 810,000 10% 1,060,000 10%

EquipoA B

Fijos por ano 5,000 100,000Variables por ingresos 1,5% 1%

Construya el arbol de decisiones asociado a este problema.

15. An individual makes decisions according to Bayes decision rule. For her current problem, shehas constructed the following payoff table shown in Figure 1, and she now wishes to maximizethe expected payoff.

The value ofx currently is 50, but there is an opportunity to increase x by spending somemoney now. What is the maximum amount that should be spent to increase x to 75?

16. You are given the payoff table in Figure 2 (in units of thousands of dollars) for a decisionanalysis problem:

(a) According to Bayes decision rule, which alternative should be chosen?

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Figure 1: Payoff table


(b) Find EVPI.

(c) You are given the opportunity to spend 1,000 to obtain more information about whichstate of nature is likely to occur. Given your answer to part (b), might it be worthwhileto spend this money?

17. You are given the payoff table shown in Figure 3 (in units of dollars):


You have the option of paying 100 to have research done to better predict which state ofnature will occur. When the true state of nature is S1, the research will accurately predictS1 60 percent of the time (but will inaccurately predictS2 40 percent of the time). When thetrue state of nature is S2, the research will accurately predict S2 80 percent of the time (butwill inaccurately predict S1 20 percent of the time).

(a) Given that the research is not done, use Bayes decision rule to determine which decisionalternative should be chosen.

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(b) Find EVPI. Does this answer indicate that it might be worthwhile to do the research?

(c) Given that the research is done, find the joint probability of each of the following pairsof outcomes: (i) the state of nature is S1 and the research predicts S1, (ii) the state ofnature is S1 and the research predicts S2, (iii) the state of nature is S2 and the researchpredictsS1, and (iv) the state of nature is S2 and the research predicts S2.

(d) Find the unconditional probability that the research predicts S1. Also find the uncon-ditional probability that the research predicts S2

(e) Given that the research is done, use your answers in parts (c) and (d) to determine theposterior probabilities of the states of nature for each of the two possible predictions ofthe research.

(f) Given that the research predictsS1, use Bayes decision rule to determine which decisionalternative should be chosen and the resulting expected payoff.

(g) Repeat part (f) when the research predictsS2.

(h) Given that research is done, what is the expected payoff when using Bayes decisionrule?

(i) Use the preceding results to determine the optimal policy regarding whether to do theresearch and the choice of the decision alternative.

18. You are given the opportunity to guess whether a coin is fair or two-headed, where the priorprobabilities are 0.5 for each of these possibilities. If you are correct, you win 5; otherwise,you lose 5. You are also given the option of seeing a demonstration flip of the coin beforemaking your guess. You wish to use Bayes decision rule to maximize expected profit.

(a) Develop a decision analysis formulation of this problem by identifying the alternativeactions, states of nature, and payoff table.

(b) What is the optimal action, given that you decline the op-tion of seeing a demonstrationflip?

(c) Find EVPI.

(d) Calculate the posterior distribution if the demonstration flip is a tail. Do the same ifthe flip is a head.

(e) Determine your optimal policy.

(f) Now suppose that you must pay to see the demonstration flip. What is the most thatyou should be willing to pay?

19. Vincent Cuomo is the credit manager for the Fine Fabrics Mill. He is currently faced withthe question of whether to extend 100,000 credit to a potential new customer, a dress man-

ufacturer. Vincent has three categories for the credit-worthiness of a company: poor risk,average risk, and good risk, but he does not know which category fits this potential customer.Experience indicates that 20 percent of companies similar to this dress manufacturer are poorrisks, 50 percent are average risks, and 30 percent are good risks. If credit is extended, theexpected profit for poor risks is 15,000, for average risks 10,000, and for good risks 20,000.If credit is not extended, the dress manufacturer will turn to another mill. Vincent is able toconsult a creditrating organization for a fee of 5,000 per company evaluated. For companies

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whose actual credit record with the mill turns out to fall into each of the three categories,the table in Figure 4 shows the percentages that were given each of the three possible creditevaluations by the credit-rating organization.

Figure 4: Prediction probabilities table

(a) Develop a decision analysis formulation of this problem by identifying the alternativeactions, the states of nature, and the payoff table when the credit-rating organization is

not used.(b) Assuming the credit-rating organization is not used, use Bayes decision rule to determine

which decision alternative should be chosen.

(c) Find EVPI. Does this answer indicate that consideration should be given to using thecredit-rating organization?

(d) Assume now that the credit-rating organization is used. Develop a probability treediagram to find the posterior probabilities of the respective states of nature for each ofthe three possible credit evaluations of this potential customer.

(e) Determine Vincents optimal policy.

20. El ascensor de un edificio con planta baja y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El pisoen el que finaliza el viaje n-esimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que lamitad de los viajes que parten de la planta baja se dirigen a cada uno de los otros dos pisos,mientras que si un viaje comienza en el primer piso, s olo el 25% de las veces finaliza en elsegundo. Por ultimo, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo.

Se pide:

(a) Calcular la matriz de probabilidades de transicion de la cadena

(b) Dibujar el grafo asociado

(c) Cual es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno delos tres pisos.

21. Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientosinnecesarios esta todo el da en la misma ciudad y all pernocta, desplazandose a otra ciudadal da siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Despues de estar trabajando un da en C, laprobabilidad de tener que seguir trabajando en ella al da siguiente es 0.4, la de tener queviajar a B es 0.4 y la de tener que ir a A es 0.2. Si el viajante duerme un da en B, conprobabilidad de un 20% tendra que seguir trabajando en la misma ciudad al da siguiente, en

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el 60% de los casos viajara a C, mientras que ira a A con probabilidad 0.2. Por ultimo si elagente comercial trabaja todo un da en A, permanecera en esa misma ciudad, al da siguiente,con una probabilidad 0.1, ira a B con una probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de0.6.

(a) Si hoy el viajante esta en C, cual es la probabilidad de que tambien tenga que trabajaren C al cabo de cuatro das?

(b) Cuales son los porcentajes de das en los que el agente comercial esta en cada una delas tres ciudades?

22. La cervecera mas importante del mundo (Guiness) ha contratado a un analista de investi-gacion de operaciones para analizar su posicion en el mercado. Estan preocupados en especialpor su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que el cambio de marca se puedemodelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados, los estados G y H representana los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cerveceras y el estado I rep-resenta todas las demas marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la

siguiente matriz de transicion de los datos historicos.

G H I

G 0.7 0.2 0.1H 0.2 0.75 0.05I 0.1 0.1 0.8

Cuales son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cerveceras grandes?

23. En una comunidad hay 3 supermercados (S1,S2,S3) existe la movilidad de un cliente de unoa otro. El 1 de septiembre, 1/4 de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y 5/12 alS3 de un total de10.000 personas. Cada mes elS1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al

S2. Se averiguo que el S2 solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el resto se va a S3,elS3 retiene solo el 40%, pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2.

(a) Establecer la matriz de transicion

(b) Cual es la proporcion de clientes para los supermercados el 1 de noviembre?

(c) Hallar el vector de probabilidad estable.

24. Los consumidores de cafe en el area de Pontevedra usan tres marcas A, B, C. En marzo de2005 se hizo una encuesta en lo que entrevisto a las 8450 personas que compran cafe y losresultados fueron:

(a) Si las compras se hacen mensualmente, cual sera la distribucion del mercado de cafe enPontevedra en el mes de junio?

(b) A la larga, como se distribuiran los clientes de cafe?

(c) En junio, cual es la proporcion de clientes leales a sus marcas de cafe?

25. Seap(m+n)ij la probabilidad de pasar del estadoi al estadoj emm + npasos. Demostrar que

p(m+n)ij =

kIp

(m)ik p

(n)kj

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Compra en el siguiente mesCompra actual Marca A Marca B Marca C TOTALES

Marca A = 1690 507 845 338 1690Marca B = 3380 676 2028 676 3380Marca C = 3380 845 845 1690 3380

TOTALES 2028 3718 2704 8450

26. Una moneda se tira sucesivamente un numero indefinidos de veces con probabilidad de caraigual ap. Luego den tiradas sea el estado de la cadena el numero de caras menos el numerode sellos. Escribir las probabilidades de transicion.

27. Una rata se mueve en el laberinto de la figura. Estando en cualquier compartimento sale porcualquiera de sus puertas con la misma probabilidad. Escribir la matriz de probabilidades detransicion.

28. Determinar las clases y periodicidades de los estados de las cadenas con matrices de transicion:

P1 =

0 0 1 01 0 0 0

1/2 1/2 0 01/3 1/3 1/3 0

P2=

0 1 0 00 0 0 10 1 0 0

1/3 0 2/3 0

29. Dos jugadores A y B juegan una sucesion de partidas. En cada partida, A tiene probabilidadp de ganar y B tiene probabilidad qde ganar (p + q= 1). Si A gana, B le paga un dolar a Ay viceversa. Inicialmente A y B disponen de un capital de a y b d olares, respectivamente. Eljuego termina cuando uno de los 2 jugadores se arruina.

(a) Escriba una matriz de transicion de probabilidades asociado a esta situacion.

(b) En la cadena del juego de A y B la ruina de cada jugador representa la absorcion en unode los dos estados recurrentes. Calcule la ruina de ambos jugadores.

30. Una carrera de estudio tiene 5 anos. Cualquier alumno tiene 3 posibilidades en cada ano:pasa al siguiente, repite o abandona la carrera. Se conocen las probabilidades de transicion

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para cada ano. Como calculara las probabilidades que un alumno cualquiera se reciba oabandone la carrera usando como modelo una cadena de Markov.

31. Una matriz se dice doblemente estocastica si la suma todas sus columnas es 1. Sea unacadena con un numero finito de estados cuya matriz de transicion es doblemente estocastica.

Demostrar que el vector de su distribucion estacionaria tiene componentes constantes.

32. Considere una caminata aleatoria con pk,k+1 = p, y pk,k1 = q (k = 2, 3, . . . ) y p12 = p yp11= q(q > p). Halle la distribucion estacionaria.

33. Una cadena tiene Nestados. Probar lo siguiente:

(a) Si a un estado k puede llegarse desde un estado j, entonces puede llegarse en N 1 omenos pasos.

(b) Si un estadoj es recurrente, existe (0 < < 1) tal que para n > N la probabilidadde un primer retorno a j ocurra luego de n transiciones es n.

34. Obtener el espacio de estados, la distribucion inicial y la matriz de probabilidades de transicionde las Cadenas de Markov que se definen a continuacion:

(a) Un grupo de cuatro ninos juega a un juego que consiste en lanzarse una pelota de unoa otro. En cada momento el nino que tiene la pelota tiene la misma predisposicion paralanzar la pelota a cualquiera de los otros tres ninos. Sea X0 la variable que describe elnino que tiene la pelota inicialmente, y para n 1, Xn es el nino que tiene la pelotadespues del enesimo lanzamiento.

i. Obtener la probabilidad de que despues del tercer lanzamiento la pelota este enmanos del nino que la tena al iniciarse el juego.

ii. Obtener la probabilidad de que despues del tercer lanzamiento la pelota este en

manos del nino que la tena despues del primer lanzamiento.(b) Se colocan dos bolas blancas y dos bolas negras en dos urnas de forma que cada urna

contenga dos bolas. En cada extraccion se saca al azar una bola de cada urna. Las dosbolas extradas se intercambian de urna. Sea X0 el numero de bolas blancas que hayinicialmente en la primera urna. Para n 1, se define Xn como el numero de bolasblancas que hay en la primera urna despues de haberse efectuadonextracciones, y porlo tanto n intercambios.

i. Obtener P{Xn = 1|X0= 1}y P{Xn= 1}

ii. ObtenerP{Xn = 1, Xn1 = 2, Xn2 = 1|X0= 1}, E{Xn},E{Xn|Xn1 = 1}

(c) Considerese una partcula que realiza un recorrido aleatorio sobre una circunferencia en

la que se han marcado 4 puntos (representados por 0,1,2 y 3) en el sentido de las agujasdel reloj. La partcula tiene una probabilidad p de moverse al punto de su izquierda y1pde moverse al punto de su derecha(sentido contrario a las agujas del reloj). SeaX0la posicion inicial de la partcula y, para n 1, Xn describe la posicion de la partculadespues de nmovimientos.

(d) Una fabrica tiene dos maquinas, de las que solo utiliza una en cada uno de los periodosde tiempos considerados. La probabilidad de que se avere una maquina en un da

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determinado es p. Solo hay un operario encargado de la reparacion, que tarda dos dasen repara una maquina, el operario encargado de su reparacion no acude a repararlahasta el da siguiente. Sea (Xn, Yn) el par de variables que describen, respectivamente,el numero de maquinas en condiciones de trabajar al acabar el dan e Yn la variable quedescribe si el trabajo de este da se ha utilizado en repara una maquina averiada que no

ha sido totalmente reparada o no.

35. Un petrolero realiza las travesas entre una Plataforma Petrolfera y una refinera y viceversade forma interrumpida tardando 12 horas en cada viaje. El barco es propulsado por dos mo-tores, cada uno de los cuales puede sufrir una avera durante el trayecto con una probabilidadde 0.1. El barco puede navegar con un motor averiado. En este caso, el mec anico de a bordointenta reparar el motor averiado, con una probabilidad de exito de 0.6 en cada travesa. Si seaveran los dos motores, el barco es remolcado a su destino y debe permanecer amarrado enel puerto durante 24 horas (el tiempo de realizar dos viajes) para ser reparado por completo.Inicialmente el barco navega en perfectas condiciones.

(a) Comprobar que el sistema se puede modelizar mediante una cadena de Markov. Definirlos estados de la cadena, hallar la matriz de probabilidades de transicion.

(b) Clasificar los estados de la cadena y hallar las clases de equivalencia.

36. Consideremos sucesivos lanzamientos independientes de una moneda con probabilidad p desalir cara y probabilidadq= 1pde salir cruz. Consideremos el proceso estocastico {Xn, n 3} donde Xn es una variable aleatoria que registra el numero total de caras obtenidas en loslanzamientos (n 2), (n 1) yn-esimo de la moneda. Discutir si este proceso estocastico eso no una cadena de Markov

37. Se realiza una sucesion de experimentos que consiste cada uno de ellos en lanzar una bola enuna de tres cajas. La bola no puede caer fuera de alguna de estas cajas y la probabilidad

de que la bola caiga en cada una de ellas es 1/3. Sea Xn, n 1 la variable aleatoria quedescribe el numero de cajas no vacas despues del n-esimo lanzamiento. Obtener la matrizde probabilidades de transicion y la matriz de probabilidades de transicion de n pasos de lacadena.

38. Graficar las cadenas de markov definidas por las siguientes matrices de transicion.

P1=

0.4 0.6 00.2 0.8 0

0.3 0.2 0.5

P2= 0 1 01/4 1/4 1/2

0 1/2 1/2

P3=

0.4 0.1 0.5 00 0.5 0.2 0.3

0.4 0.2 0 0.40.5 0.1 0.3 0.1

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P4=

0.4 0.1 0.4 0.10.1 0.2 0.2 0.50.6 0 0.2 0.20.2 0.4 0.1 0.3

P5=

1/4 0 3/41/4 1/2 1/4

1/2 0 1/2

39. Considerar un proceso markoviano con la siguiente matriz de probabilidades de transicion:

P =

1/8 1/8 3/41/2 1/4 1/4

3/4 0 1/4

(a) Cual es el tiempo promedio del primer paso de 3 a 2?

(b) Cuales deberan ser las probabilidades iniciales de estado P{X0} = [P{X0 = 1} P{X0=2} P{X0= 3}] para que el proceso entrase en estado estacionario despues de una tran-sicion?

40. Un taller de reparaciones puede efectuar el trabajo A o el trabajo B pero no los dos si-multaneamente; la tarea A requiere 2 das y la B, 1 da. Los posibles estados del taller sonpues: 1=ninguna tarea, 2=primer da de la tarea A, 3=segundo da de la tarea A, 4=tareaB.

La probabilidad de una nueva demanda de tarea A al principio de cada da es a; la de latarea B es b. No hay colas, si el taller esta a mitad de ejecucion de una tarea A, la llegada deuna nueva demanda se pierde. La unica ambiguedad se plantea cuando el taller termina untrabajo al final de un da y tiene la posibilidad de empezar al da siguiente con una tarea A ouna B. Las dos polticas son posibles: (1) Empezar siempre con una tarea A con preferenciaa una B; (2) Empezar siempre con una tarea B con preferencia a una A.

(a) Demostrar que para la poltica 1 la matriz de probabilidades de transicion es:

P=

(1 a)(1 b) a 0 b(1 a)0 0 1 0

(1 a)(1 b) a 0 b(1 a)(1 a)(1 b) a 0 b(1 a)

(b) Encontrar las probabilidades lmite de estados para este proceso(c) Encontrar la matriz de probabilidades de transicion para la poltica 2

(d) Cual es la relacion entre los porcentajes lmite de das de desocupacion de ambaspolticas?

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41. El siguiente proceso de Markov empieza en el estado 1

P=

0 0.5 0.50.4 0 0.60 0.2 0.8

Encontrar las probabilidades de que:

(a) El proceso este en el estado 3 despues de tres transiciones

(b) Despues de la tercera transicion desde el estado 3 hasta el 2 las dos transiciones siguientessean 2 1 3 o 2 3 3.

(c) El proceso entre en el estado 2 exactamente una vez en las tres primeras transiciones

(d) El proceso realice la transicion 1 2 exactamente una vez en las tres primeras transi-ciones

(e) El numero esperado de veces que el proceso entrara en el estado 2 durante las tresprimeras transiciones

42. Supongamos que la probabilidad de que manana llueva si hoy esta lloviendo es 0.6, y que laprobabilidad de que manana haga buen tiempo si hoy hace buen tiempo es 0.4.

(a) Determinar la matriz de probabilidades de transicion de la cadena de Markov correspon-diente.

(b) Hallar la distribucion de probabilidad del estado estacionario.

43. Determinar las clases de las siguientes cadenas de Markov y decir si son o no recurrentes

(a)

P1=

0 0 1/3 2/31 0 0 00 1 0 00 1 0 0

(b)

P2=

1 0 0 00 1/2 1/2 00 1/2 1/2 0

1/2 0 0 1/2

44. Consideremos el siguiente juego: un jugador apuesta una unidad en cada partida. Tiene una

probabilidadp de ganar yq= 1pde perder. Seguira jugando hasta que se arruina o alcanzauna fortuna de T unidades.

SeaXn la fortuna del jugador en la n-esima partida.

Xn+1=

Xn+ 1 con probabilidadpy si 0< Xn < T;Xn 1 con probabilidadq= 1 p y si 0 < Xn < T;Xn siXn= 0 o Xn = T

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As, {Xn} es una cadena de Markov. Supongamos que las sucesivas partidas del juego sonindependientes y que la fortuna inicial del jugador es X0.

(a) Determinar la matriz de probabilidades de transicion de 1 paso de la cadena de Markov

(b) Hallar las clases de la cadena de Markov

45. Supongamos que una red de comunicaciones transmite dgitos binarios 0 o 1. Al recorrer lared, existe una probabilidad q de que el dgito binario se reciba de forma incorrecta en elsiguiente paso. SiX0 denota un dgito binario que entra en el sistema, X1 el dgito recibidodespues de la primera transicion,X2 el dgito recibido despues de la segunda transicion,. . . ,Xn, entonces es una cadena de Markov.

Hallar la matriz de probabilidades de transicion y la distribucion de probabilidad del estadoestacionario.

46. Considerar la siguiente poltica (k, Q) de gestion de inventarios. Sean D1, D2, . . . las demandasde un producto en los perodos 1, 2, . . . , respectivamente. Si la demanda durante un periodo

excede el numero de items disponibles, la demanda insatisfecha es retenida, de manera quese satisface cuando llega el siguiente pedido de reposicion del inventario. Denotemos por Zn(n= 0, 1, 2, . . . ) la cantidad de inventario disponible menos el numero de unidades retenidasantes de efectuar un pedido de reposicion de inventario al final del periodo n (Z0 = 0). SiZn es cero o positivo, no se retienen ordenes. SiZn es negativo, entonces Zn representa elnumero de unidades de demanda retrasada y no queda inventario disponible. Si al principiodel periodon,Zn < k= 1, se efectua un pedido de reposicion de 2m(Qmen el caso general)unidades, dondem es el menor entero tal que Zn+ 2m 1. (La cantidad pedida es el menormultiplo entero de 2, que lleva el nivel de inventario hasta al menos una unidad). SeanDnvariables aleatorias independientes e identicamente distribuidas que toman cada uno de losvalores 0, 1, 2, 3, 4 con probabilidad 1/5.

Denotemos por Xn el valor del stock disponible despues de efectuar el pedido al final delperiodon(X0= 2). Resulta entonces:

Xn =

Xn1 Dn+ 2m si Xn1 Dn < 1;Xn1 Dn si Xn1 Dn 1.

paran = 1, 2, 3, . . . yXn es una cadena de Markov con solo dos estados: 1 y 2.

(a) Encontrar la Matriz de Transiciones.

(b) Encontrar las probabilidades del estado estacionario

(c) Suponer que el coste de efectuar un pedido de reposicion es (3 + 3m). El coste de

mantenimiento del stock es Zn, siZn 0, y cero en caso contrario. El coste de rupturadel stock es 4Zn, siZn < 0. Encontrar el coste medio esperado por unidad de tiempo.

(d) Comprobar que, en general, para una poltica (k, Q) los estados posibles sonk, k + 1, k +2,......,k+ Q 1.

47. El Servicio Hidrologico de la Comunidad Autonoma de X planea construir un embalse pararegular la cuenca de uno de sus ros con el objetivo de satisfacer los requerimientos de agua

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Aportacion semanal en unidades de agua 2 3 4 5

Probabilidad 0.3 0.4 0.2 0.1

para regado. La capacidad maxima del embalse previsto sera de 4.000.000m3, o, de manera

abreviada 4 unidades de agua (1 unidad de agua = 1.000.000 m3

).Antes de proceder a la construccion el Servicio deseara tener alguna idea sobre la efectividaddel mismo a largo plazo. Para ello se ha llevado a cabo un estudio sobre los volumenessemanales de agua aportados por el ro, encontrandose con que pueden aproximarse pormedio de la siguiente distribucion de probabilidad discreta:

El Servicio esta considerando la posibilidad de contratos de regado que requeriran el consumode 2 unidades de agua por semana, pero adicionalmente, para mantener los estandares decalidad del agua para otros usos, debera dejar salir al menos 1 unidad de agua por semana.

Por lo tanto el objetivo semanal sera dejar salir 3 unidades de agua. Si el estado del embalse(nivel del embalse) mas la aportacion de agua del ro es menor que esta cantidad se tendra quedejar salir menos agua, afectando la carencia a los regados. Si el embalse esta lleno, cualquierexceso sera vertido por los aliviaderos. El nivel mnimo admitido del embalse (estado mnimo)no podra ser inferior a una unidad de agua.

(a) Encontrar la matriz de probabilidades de transicion, y comprobar que se trata de unproceso markoviano.

(b) Cual sera el numero medio de semanas transcurrido desde que el embalse se encuentraen el estado con 2 unidades de agua hasta que este totalmente lleno?

(c) Supuesto el embalse en el estado mnimo con 1 unidad de agua, Cuantas semanastardara, en promedio, en volver a estar en la misma situaci on?

(d) Suponiendo que la primera semana partimos de una situacion en la que se embalsaban3 unidades de agua Cual es la probabilidad de que dos semanas despues se encuentreal mnimo?.

48. Una tienda de venta de ordenadores personales tiene un modelo particular cuyo stock puedereponerse semanalmente.

Representemos por D1, D2, . . . , la demanda de este modelo durante la primera semana, lasegunda, etc. Suponemos que las demandas Di son variables aleatorias independientes eidenticamente distribuidas, que tienen una distribucion de Poisson de parametro = 2.

Supongamos que X0 representa el numero de unidades del modelo en el momento inicial, X1el numero de unidades disponibles al final de la primera semana, X2 el numero de unidadesdisponibles al final de la segunda semana, y as sucesivamente. Supongamos queX0= 3.

El sabado por la noche la tienda efectua un pedido al almacen central que le es servido el lunespor la manana a primera hora. La tienda utiliza la siguiente poltica de gestion de stocks:si el numero de unidades disponibles al final de la semana es menor de 2 unidades, la tiendaefectua un pedido de reposicion de 3 unidades. En caso contrario no efectua ningun pedido.

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Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda es superior al inventario disponible.Los posibles estados del proceso son los enteros Xt que representan el numero de unidadesdisponibles al final de cada semana. Se pide:

(a) Encontrar una expresion que permita evaluar iterativamente las variables aleatorias Xt.

(b) Comprobar que las Xt, t = 0, 1, 2, . . . , constituyen una cadena de Markov.

(c) Calcular la matriz de probabilidades de transicion.

(d) Partiendo de un estado con tres unidades disponibles, Cual es el tiempo medio hastaque el stock es cero?

(e) Suponiendo que cada unidad en stock comporta un coste semanal de 300 pts., Cualsera el coste medio semanal esperado a largo plazo?

49. Una maquina tiene dos piezas colocadas en paralelo de manera que para funcionar utiliza solouna de ellas, quedando la otra de repuesto para reemplazar a la que trabaja cuando esta seestropea, si esta en condiciones de trabajar. Las piezas trabajan de manera que se estropean

durante un periodo de tiempo dado con una probabilidad q.Supongamos que la pieza que esta trabajando, en caso de que se estropee, lo hace al final deun periodo, de manera que la pieza de repuesto empieza a trabajar, si est a en condicionesde hacerlo, al principio del periodo siguiente. Hay un unico mecanico para reparar las piezasestropeadas, que tarda dos periodos en reparar una pieza estropeada.

El proceso puede describirse mediante un vector Xt de dos componentes U y V, donde Urepresenta el numero de piezas habiles, trabajando o en condiciones de trabajar, al final delperiodot-esimo, yVtoma el valor 1 si el mecanico requiere unicamente un periodo adicionalpara completar una reparacion, si ya esta procediendo a ella, y 0 en caso contrario. Por lotanto, el espacio de estados consta de cuatro estados:

(2, 0), (1, 0), (0, 1), y(1, 1)

Por ejemplo, el estado (1, 1) implica que una componente opera y la otra necesita un periodoadicional para acabar de ser reparada.

Denotemos los cuatro estados por 0, 1, 2 y 3 respectivamente (Es decir Xt = 0 quiere decirXt= (2, 0), por ejemplo.

(a) Comprobar que {Xt}, t = 0, 1, 2, . . . , es una cadena de Markov. Hallar la matriz deprobabilidades de transicion

(b) Hallar la distribucion de probabilidad del estado estacionario.

50. Las familias de cierto pas se clasifican segun residan en areas rurales, urbanas o suburbanas.Los estudios de movilidad demografica estiman que, en promedio, en el curso de un ano, el15% de las familias urbanas cambia de residencia y se traslada a un area suburbana, y el 5%a un area rural; mientras que el 6% de las familias residentes en areas suburbanas se trasladaa areas urbanas, y el 4% a areas rurales, y finalmente el 4% de las familias rurales migra alas areas urbanas y el 6% a las suburbanas.

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(a) Cual es la probabilidad de que una familia que vive ahora en un area urbana sigaviviendo en un area urbana dentro de dos anos? Y en una suburbana? Y en unarural?

(b) Supongamos que en el presente el 40% de las familias del pas viven en areas urbanas,el 35% en suburbanas y el 25% en rurales. Que porcentaje de familias vivira en areasurbanas dentro de dos anos?

(c) Que distribucion de poblacion es de prever en el futuro si las tendencias no cambian?

51. Un bosque consta de dos tipos de arboles: jovenes (entre 0 y 3 mts de altura) y adultos (masde 3 mts). Cada ano, el 30% de los arboles jovenes muere, el 10% se vende por 20 cada uno,el 20% se mantiene entre 0 y 3 mts y el 40% crece superando los 3 mts. Cada ano, el 40% delos arboles adultos se vende por 50, el 20% se vende por 20, el 30% permanece en el bosquey un 10% muere.

(a) Cual es la probabilidad de que un arbol joven muera antes de ser vendido?

(b) Si plantar un arbol joven cuesta 5, cual es el beneficio esperado para cada arbol jovenplantado?

52. En cada uno de los casos siguientes, determine la frecuencia promedio de llegadas por hora,,y el tiempo promedio entre llegadas, en horas.

(a) Una llegada cada 10 minutos.

(b) Dos llegadas cada 6 minutos.

(c) La cantidad de llegadas en un perodo de 30 minutos es de 5.

(d) El intervalo promedio entre las llegadas sucesivas es 0.5 horas.

53. En cada uno de los casos siguientes, determine la frecuencia promedio de servicio por hora,

, y el tiempo promedio de servicio, en horas.

(a) Se termina un servicio cada 12 minutos.

(b) Hay dos salidas cada 15 minutos.

(c) La cantidad de clientes atendidos en un perodo de 30 minutos es de 5.

(d) El tiempo promedio de servicio es de 0.3 horas.

54. Una maquina de servicio tiene una unidad de reserva para sustituirla de inmediato cuandofalle. El Tiempo a la falla (tiempo entre fallas) de la m aquina (o de su unidad de reserva)es exponencial, y sucede cada 40 minutos en promedio.

(a) El operador de la maquina dice que esta tiene la costumbre de descomponerse cada nochea eso de las 8:30 P.M. Analizar lo que dice el operador.

(b) La cantidad promedio de fallas en una semana, suponiendo que el servicio se ofrece 24horas por da y 7 das por semana.

(c) La probabilidad de que haya al menos una falla en un perodo de 2 horas.

(d) La probabilidad de que la proxima falla no suceda en menos de 3 horas.

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(e) Si no ha sucedido falla en 3 horas despues de la ultima falla, cual es la probabilidad deque el tiempo entre fallas sea de 4 horas cuando mucho?

55. El tiempo entre llegadas en una dependencia del Banco Mercan es exponencial con valormedio de 0.05 hora. La oficina abre a las 8:00 A.M.

(a) Escriba la distribucion exponencial que describa el tiempo entre llegadas.

(b) Determine la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina hasta las 8:15 A.M.

(c) Son las 8:35 A.M. El ultimo cliente entro a las 8:26. Cual es la probabilidad de que elsiguiente cliente llegue antes de las 8:38 A.M.? Y de que no llegue hasta las 8:40?

(d) Cual es la cantidad promedio de clientes que llegan entre las 8:10 y las 8:45 A.M.?

56. Suponga que el tiempo entre descomposturas de una maquina es exponencial, con promediode 6 horas. Si la maquina ha trabajado sin fallar durante las ultimas tres horas, cual es laprobabilidad de que continue sin fallar durante la pr oxima hora? De que se descompongadurante la siguiente 0.5 hora?.

57. El tiempo entre llegadas a una sala de juego en la sociedad de alumnos es exponencial, conuna media de 10 minutos.

(a) Cual es la frecuencia de llegadas por hora?

(b) Cual es la probabilidad de que no lleguen alumnos a esa sala durante los 15 minutossiguientes?.

(c) Cual es la probabilidad de que al menos un alumno visite la sala de juegos durante losproximos 20 minutos?

58. El gerente de un nuevo restaurante de comida rapida desea cuantificar el proceso de llegadas

de clientes, estimando la fraccion del intervalo de tiempo entre llegadas que sea a) menor que 2minutos, b) entre 2 y 3 minutos y c) m as de 3 minutos. Las llegadas en restaurantes parecidostienen una frecuencia de 35 clientes por hora. El tiempo entre llegadas tiene distribucionexponencial.

59. Ana y Pedro, dos empleados de un restaurante de comida rapida, juegan lo siguiente mientrasesperan la llegada de clientes. Pedro le paga 2 Bs. a Ana si el proximo cliente no llega enmenos de 1 minuto; en caso contrario, Ana le paga a Pedro 2 Bs. Calcule la recompensapromedio de Pedro en un perodo de 8 horas. El tiempo entre llegadas es exponencial, conuna media de 1.5 minutos.

60. Si un cliente llega a McDonalds en menos de 4 minutos despues del cliente inmediato anterior,

recibira un descuento del 10%. Si el tiempo entre llegadas es entre 4 y 5 minutos, el descuento,es del 6%. Si el tiempo entre llegadas es mayor que 5 minutos, el cliente tiene 2% de descuento.El tiempo entre llegadas es exponencial, con media de 6 minutos.

(a) Determine la probabilidad de que un cliente que llegue reciba el maximo descuento.

(b) Determine el descuento promedio a cada cliente que llega.

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61. Se sabe que el tiempo entre fallas de un refrigerador Kencore es exponencial, con una mediade 9000 horas (mas o menos 1 ano de funcionamiento), y la empresa otorga una garanta de1 ano con el refrigerador. Cual es la probabilidad de que la garanta cubra una reparacionpor descompostura?

62. La U de A administra dos lneas de autobuses en el campus: roja y verde. La lnea roja daservicio al campus norte, y la verde al sur, y hay una estacion de transbordo que enlaza alas dos lneas. Los autobuses verdes llegan al azar (tiempo exponencial entre llegadas) a laestacion de transferencia cada 10 minutos. Los rojos tambien llegan al azar, cada 7 minutosen promedio.

(a) Cual es la distribucion de probabilidades de tiempo de espera para que un alumno quellega en la lnea roja se suba a la lnea verde?

(b) Cual es la distribucion de probabilidades de tiempo de espera para que un alumno quellega en la lnea verde se suba a la lnea roja?

63. Demuestre que la media y la desviacion estandar de la distribucion exponencial son iguales.

64. Los ninos nacen en un estado poco poblado, con una frecuencia de un nacimiento cada 12minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribucion exponencial. Determinar:

(a) La cantidad promedio de nacimientos por ano.

(b) La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier da.

(c) La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimientos en 3 horas, cuando se emitieron40 certificados durante las primeras 2 horas del perodo de 3 horas.

(d) Suponga que el empleado que pasa la informacion de los certificados de nacimiento ala computadora suele esperar hasta que se hayan acumulado 5 certificados. Calcule la

probabilidad de que el empleado capture un nuevo lote en cada hora.

65. Un coleccionista de arte viaja una vez al mes, en promedio, para asistir a subastas. En cadaviaje se garantiza una compra. El tiempo entre los viajes tiene distribucion exponencial.determine lo siguiente:

(a) La probabilidad de que el coleccionista no compre obras de arte en un perodo de 3meses.

(b) La probabilidad de que el coleccionista no compre mas de 8 obras de arte por ano.

(c) La probabilidad de que el tiempo entre viajes sucesivos sea mayor que 1 mes.

66. En un banco, la frecuencia de llegadas es de 2 clientes por minuto. Determine lo siguiente:

(a) La cantidad promedio de llegadas durante 5 minutos.

(b) La probabilidad de que no haya llegadas durante el proximo 0.5 minuto.

(c) La probabilidad de que haya al menos una llegada durante el siguiente 0.5 minuto.

(d) La probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sucesivas sea de 3 minutos, cuandomenos.

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67. El tiempo entre llegadas al restaurante Juan Arepa es exponencial con media de 5 minutos.El restaurante abre a las 11:00 A.M. Determine:

(a) La probabilidad de tener 10 llegadas al restaurante hasta las 11:12 A.M. si hubo 8llegadas hasta las 11:05.

(b) La probabilidad de que un cliente llegue entre las 11:28 y las 11:33 A.M. si el ultimocliente llego a las 11:25 A.M

68. La biblioteca de FACES recibe libros de acuerdo con una distribucion Poisson con una mediade 25 libros diarios. Cada estante de la biblioteca contiene 100 libros. Calcule lo siguiente:

(a) La cantidad promedio de estantes que se llenaran de libros cada mes (de 30 das)

(b) La probabilidad de que se necesiten mas de 10 secciones para libros cada mes, si unaseccion contiene 5 estantes.

69. La seccion de florera de un supermercado tiene 18 docenas de rosas al iniciar cada semana.En promedio, el florista vende 3 docenas por da (una docena cada vez), pero la demandasigue en realidad una distribucion Poisson. Siempre que la existencia llega a 5 docenas omenos, se coloca un pedido nuevo de 18 docenas, para entregar al principio de la semanasiguiente. Por la naturaleza de la mercanca, todas las rosas que quedan al final de la semanase desechan. Determinar lo siguiente:

(a) La probabilidad de colocar un pedido en cualquier da de la semana.

(b) La cantidad promedio de docenas de rosas que se desechan al final de la semana.

(c) La probabilidad de que el inventario se agote despues de 3 das.

(d) La cantidad promedio de docenas de rosas que quedan despues del segundo da.

(e) La probabilidad de que al menos se compre una docena de rosas hasta que se termina el

cuarto da, si se compro la ultima docena al terminar el tercer da.

70. La banda de una escuela dara un concierto de jazz, de beneficencia, en su auditorio de400 butacas. Las empresas locales compran los boletos en bloques de 10 y los donan aorganizaciones juveniles. Los boletos se ponen a la venta solo durante 4 horas en el daanterior al concierto. El proceso de compra de boletos tiene una distribucion de Poisson conmedia de 10 llamadas por hora. Todos los bloques de boletos sobrantes al cerrar la oficinase venden con un descuento como boletos de ultimo momento una hora antes de comenzar elconcierto. Calcule:

(a) La probabilidad de que se puedan comprar boletos de ultimo momento.

(b) La cantidad promedio de boletos de ultimo momento disponibles

71. Cada manana, el refrigerador de un taller pequeno es abastecido con dos cajas (24 latas porcaja) de gaseosas, para consumo de los 10 empleados. Estos empleados pueden saciar su seda cualquier hora, durante el da de trabajo de 8 horas (de 8:00 A.M. a 4:00 P.M.), y se sabeque cada empleado consume aproximadamente 4 latas diarias, pero el proceso es totalmentealeatorio (distribucion Poisson). Cual es la probabilidad de que un empleado no encuentrelatas a medioda (el inicio de la hora del almuerzo)? Y para cuando cierra el taller?

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72. Un alumno de primer ano recibe de su familia un deposito bancario de 100000 Bs. cada mes,para sus gastos imprevistos. Los cheques para retirar, de 20000 Bs. cada uno, puede emitirseal azar durante el mes, a intervalos de acuerdo con una distribucion exponencial con unamedia de una semana. Calcule la probabilidad de que se le agote el dinero, antes que terminela cuarta semana.

73. La demanda de un artculo sigue una distribucion Poisson, con una media de 3 por da. Laexistencia maxima de piezas es 25 piezas, y se abastece cada lunes, inmediatamente despuesde recibir un pedido. El tamano del pedido depende de la cantidad de unidades que quedanel sabado, al finalizar la semana (el negocio cierra los Domingos). Determine lo siguiente:

(a) El tamano promedio del pedido semanal;

(b) La probabilidad de que haya escasez cuando el negocio abra el viernes por la manana; y

(c) La probabilidad de que el tamano del pedido semanal sea mayor que 10 unidades.

74. El departamento de caballeros de un gran almacen tiene a un sastre para ajustes a la medida.

Parece que el numero de clientes que solicitan ajustes sigue una distribucion de Poisson contasa media de llegadas de 24 por hora. Los ajustes se realizan con un orden del tipo primeroen llegar, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar, ya que las modificacionesson gratis. Aparentemente el tiempo que toma realizar el ajuste para un cliente se distribuyeexponencialmente, con media de 2 minutos.

(a) Cual es el numero promedio de clientes en la sala de ajustes?;

(b) cuanto tiempo de permanencia en la sala de ajustes debera planear un cliente?;

(c) que porcentaje del tiempo permanece ocioso el sastre?;

(d) cual es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre m as de 10minutos?

75. Determnese, para el sistema del problema 1:

(a) la espera promedio que por los servicios del sastre efectuan todos los clientes, y

(b) la espera promedio que por los servicios del sastre realizan solo aquellos clientes quedeban aguardar.

76. Una tienda de manjares delicados es operada por una persona, el propietario. Aparentementeel patron de llegada de clientes durante el s abado se comporta siguiendo una distribucionde Poisson, con una tasa promedio de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes seles atiende siguiendo un orden de tipo FIFO y debido al prestigio de la tienda, una vez quellegan estan dispuestos a esperar por el servicio. Se estima que el tiempo que toma atender

a un cliente se distribuye exponencialmente, con tiempo promedio de servicio de 4 minutos.Determnense:

(a) la probabilidad de que haya una lnea de espera;

(b) la longitud promedio de la lnea de espera;

(c) el tiempo esperado de permanencia en la lnea de espera, por cliente, y

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(d) la probabilidad de que un cliente permanezca menos de 12 minutos en la tienda.

77. Para un sistema M/M/1, Lq =Ls 1?

78. Por lo general a la gente no le gustan las colas en los bancos, por lo que un gerente del banco

B esta interesado en encontrar:(a) el promedio de la gente esperando en el banco, y

(b) cuanto tiempo un cajero se encuentra desocupado.

Dependiendo de cuantos cajeros se emplean durante el tiempo de descanso. Est a dispuesto aemplean hasta 5 cajeros, pero no menos de 1.

Suponiendo que:

La distribucion del tiempo que le toma al cajero llevar a cabo su trabajo es exponencial,con media de 2 minutos y una desviacion estandar de 5/4 minutos.

Virtualmente un lmite para el largo de la cola, segun el largo del area del suelo del

banco.

Los clientes llegan con una distribucion de Poisson, con media de 25 por hora.

El servicio es hecho con una base de primero en llegar, primero en atender.

Esto es una cola M/M/c, donde 1 c 5.

79. Se tienen dos ruteadores, y se sabe que:

El ruteador A enva 8 paquetes por segundo, en promedio, al ruteador B.

El tamano promedio del paquete es de 400 bytes (distribuidos exponencialmente).

La velocidad de la lnea es de 64 kbit/s.

Cuantos paquetes hay en promedio en el encaminador A esperando ser transmitidos o siendotransmitidos y cual es la probabilidad de que el numero sea 10 o mas?

80. Considere una cola FIFO M/M/1 (tasa de arribo = 10 por hora) usada para modelar unatienda de electronicos con un dependiente. Uno de dos aspirantes puede ser contratado: Juan,que atiende cada trabajo como un servicio exponencial con media de 1/20 horas, y Mara que(siendo mas rapida) atiende cada trabajo como un servicio exponencial con media de 1/30horas. Juan cobra $b1 por hora, y Mara cobra $b2 por hora; b1 < b2. El costo para la tiendapor tener clientes es de $9.00 por hora por cliente en promedio.

(a) Cual es el costo total (promedio) por hora para la tienda en caso de contratar a Juan,

y en caso de contratar a Mara?(b) Suponga que Juan cobrab1= $10.00 por hora. Cual sera un valor justo para el salario

de Marab22?

81. Frente a una ventanilla del Banco Estatal se presentan 560 personas diarias (jornada de 8horas); el cajero puede dar servicio a 100 personas como promedio por hora. Con la hipotesisde llegadas Poissonianas y servicios exponenciales, encontrar el factor promedio de utilizaci on

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del sistema, el tiempo ocioso promedio en el sistema, la probabilidad que haya 3 clientes enel sistema, el numero promedio de personas en el sistema, la cantidad promedio de clientesen la cola, el tiempo promedio que permanece una persona en el sistema, el tiempo promediode un cliente en la fila, el tiempo promedio que tarda un servicio, la probabilidad que existan4 personas.

82. A un taller llegan los pedidos de reparaciones en forma de distribucion Poisson a un promediode 4 clientes/hora. El operario que los inspecciona para diagnosticar las reparaciones a hacerefectua dicha actividad en una forma normal; en promedio tal inspecci on le toma 6 minutos.Realizando la evaluacion de tiempos y movimientos se encontro que el tiempo de servicionormalmente distribuido tiene una = 0.125. Calcular las caractersticas de operacion delsistema.

83. El Banco Departamental ha decidido instalar un cajero automatizado de atencion a auto-movilistas para las personas que deseen hacer un solo deposito; el fabricante le ha informadoal Banco que en estos casos el tiempo de servicio es constante con 7,5 minutos. Para deter-minar las caractersticas de operacion de este nuevo sistema se han evaluado las llegadas de

los automoviles y se ha encontrado que se comportan en forma de distribucion Poisson a unallegada de 4 automoviles/hora. Encontrar la congestion en el sistema.

84. En una empresa la reparacion de un cierto tipo de maquinaria existente en el mercado serealiza en 5 operaciones basicas que se efectuan de una manera secuencial; si le tiempo quese lleva en realizar cada uno de los 5 pasos tiene una distribucion exponencial con media de5 minutos. Estas maquinas se descomponen segun una distribucion Poisson con una razonmedia de 2 maquinas/hora y en la fabrica solo hay un mecanico que las repara. Calcular lascaractersticas de operacion de la empresa.

85. Al Taller El Recambio para cambio de aceite, los autos llegan a un promedio de 18 carros porhora en forma Poisson. La poblacion es infinita pero el espacio fsico en el sistema alcanza

solamente para 3 vehculos; puede servir a un promedio de 6 carros por hora de acuerdo auna distribucion exponencial; determinar las estadsticas de congestion de este taller.

86. Una maquina fotocopiadora es utilizada por 3 secretarias de una oficina para obtener lascopias que su seccion requiere; como la magnitud del trabajo difiere de acuerdo al numero decopias que cada quien traiga, se hizo un analisis el cual dejo concluir que la maquina tiendea un proceso de Poisson con un promedio de 8 trabajos por hora. Los requerimientos deutilizacion son tambien aleatorios de acuerdo a un proceso Poissoniano con una tasa mediade 5 trabajos por hora. Calcular las caractersticas de utilizacion de la fotocopiadora.

87. El Banco Departamental desea operar una nueva sucursal; luego de realizados los estudios elBanco considera que con 4 servidores es suficiente. Los clientes llegan en promedio a una tasa

de 20 por hora de acuerdo a una distribucion Poisson y se sabe que se requieren en promedio2 minutos para atender a cada cliente con una distribucion aproximadamente exponencial.Calcular las estadsticas de operacion del Banco.

88. Una Compana debe tomar una decision con respecto a su poltica de contratar un mecanicopara reparar un mecanismo que se descompone con una tasa promedio de 4 por hora deacuerdo con una distribucion Poisson; el tiempo improductivo de cualquiera de los mecanismos

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esta costando $5000 por hora a la Empresa. La Compana puede contratar dos tipos distintosde mecanicos: uno lento, pero poco costoso a $2500 por hora y el otro rapido, pero mascostoso a $4500 por hora; el mecanico lento puede reparar exponencialmente los mecanismosa una tasa promedio de 6 por hora, mientras que el mecanico rapido repara exponencialmentea razon de 8 por hora. Basandose en los datos anteriores cual mecanico debe contratarse?

89. Se tiene un sistema de colas con dos servidores en una condicion de estado estable en donde elnumero de clientes en el sistema vara entre cero y cuatro. Para n= 0, 1, 2, 3, 4, la probabilidadPn que haya exactamente n clientes en el sistema es

P0= 1/16; P1= 1/4; P2= 3/8; P3= 1/4; P4= 1/16;

determine:

(a) El numero de clientes esperado en el sistema

(b) El numero de clientes esperado en la fila

(c) El numero esperado de clientes que estan siendo servidos.

(d) Dado que los tiempos entre llegada son exponenciales con tasa media de llegadas de 2clientes por hora, determine le tiempo de espera en el sistema y en la lnea de espera.

(e) Dado que ambos servidores tienen el mismo tiempo esperado de servicio, utilice losresultados de d) para determinar este tiempo esperado de servicio.

90. Un sistema de filas tiene dos servidores, un distribucion de tiempos entre llegadas exponencialcon media de 2 horas y una distribucion de tiempos de servicio exponencial con media de 2horas para cada servidor; lo que es mas a las 12:00 del da acaba de llegar un cliente.

(a) Cual es la probabilidad que la siguiente llegada ocurra

i. Antes de la 1:00 p.m.?

ii. Entre la 1:00 y las 2:00 p.m.?

iii. Despues de las 2:00 p.m.?

(b) Suponga que no llegan mas clientes antes de la 1: p.m. ahora Cual es la probabilidadque la siguiente llegada tenga lugar entre la 1:00 p.m. y las 2:00 p.m.?

(c) Cual es la probabilidad que le numero de llegadas entre la 1:00 p.m. y las 2:00 p.m.sea 0, 1, 2, o mas ?

(d) Suponga que ambos servidores estan atendiendo clientes a la 1:00 p.m. Cual es laprobabilidad que ningun cliente haya completado su servicio

i. Antes de las 2:00 p.m.?

ii. Antes de la 1.10 p.m.?

iii. Antes de la 1:01 p.m.?91. Un sistema de lneas de espera tiene dos servidores, cuyos tiempos de servicio son variables

aleatorias independientes e identicamente distribuidas con una distribucion exponencial conmedia de 15 minutos. El cliente X llega cuando ambos servidores estan ociosos; cinco minutosdespues llega el cliente Y, mientras que el cliente X esta siendo atendido. Otros diez minutosmas tarde, llega el cliente Z y los dos clientes X y Y est an todava siendo servidos; no lleganmas clientes durante este intervalo de quince minutos.

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(a) Cual es la probabilidad que el cliente X complete su servicio antes que el cliente Y ?

(b) Cual es la probabilidad que el cliente Z complete su servicio antes que el cliente X ?

(c) Cual es la probabilidad que el cliente Z complete su servicio antes que el cliente Y ?

(d) Determine la funcion de distribucion acumulada del tiempo de espera en el sistema para

el cliente X; encuentre ademas la media y la desviacion estandar ?(e) Repita d) para el cliente Y.

(f) Determine el valor esperado y la desviacion estandar del tiempo de espera en el sistemapara el cliente Z.

(g) Determine la probabilidad que lleguen exactamente dos clientes mas durante el proximointervalo de quince minutos.

92. En la compana Seguros Atalaya, las funciones de deposito y retiro asociadas con ciertoproducto de inversion estan separadas entre dos dependientes; las formas de deposito lleganaleatoriamente al escritorio de Clara con una tasa media de 16 por hora; las formas de retirollegan tambien de manera aleatoria al escritorio de Claricia con una tasa media de 14 por hora.El tiempo requerido para procesar cualquiera de las dos transacciones tiene una distribucionexponencial con tasa media de 3 minutos. Para reducir el tiempo de espera en el sistema paraambas formas el Departamento de Actuara ha hecho las siguientes recomendaciones: (1)capacitar a las dos dependientes para que puedan manejar depositos y retiros, y (2) colocara los dos tipos de transacciones en la misma cola con acceso a las dos dependientes.

(a) Determine el tiempo esperado en el sistema bajo los procedimientos actuales para cadatipo de transaccion. Despues combine estos resultados para calcular el tiempo esperadoen el sistema para una llegada aleatoria de cualquier tipo.

(b) Si se adoptan las recomendaciones, determine el tiempo esperado en le sistema para lastransacciones que llegan.

93. La Lincoln Insurance Company tiene tres ajustadores de reclamos en una de sus grandesoficinas. Se sabe que los clientes llegan en una forma Poisson, con una tasa promedio de 32por cada da de 8 horas para presentar reclamos en contra de la compana. El tiempo deservicio tiene una distribucion exponencial y un tiempo de servicio promedio de 30 minutos.Los reclamos se atienden a base del primero que llega, primero que se sirve.

(a) Cuantas horas a la semana se espera que pase cada ajustador con los reclamos?

(b) La administracion tambien quiere saber en promedio cuanto tiempo pasa un reclamo enlas oficinas de la empresa.

94. Los materiales llegan a un muelle de recepcion con una tasa promedio de 5 por hora (dis-tribucion de Poisson), y se manejan con un camion elevador cuyo tiempo de servicio esexponencial, con una tasa promedio de servicio de 7 cargas por hora. La administracion deproduccion quiere saber lo siguiente:

(a) El promedio de las cargas que esperan su transporte en el muelle.

(b) El promedio del tiempo que una carga que llega pasara esperando servicio.

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(c) Cual debera ser la tasa de servicio del camion elevador a fin de tener un tiempo esperadode espera de 20 minutos por carga?

95. Un call center tiene dos agentes atendiendo las llamadas entrantes. Adicionalmente, unallamada puede ser puesta en espera hasta que alguno de los agentes este disponible para

tomar la llamada. Si las tres lneas (la de los dos agentes y la de la llamada en espera) estanocupadas, los clientes potenciales reciben una senal de ocupado, y se asume que el clientecuelga y el servicio no se realizo. Las llamadas e intentos de llamadas ocurren aleatoriamente(de acuerdo a un proceso de Poisson) con una tasa promedio de 12 por hora. La duraci on delas conversaciones telefonicas tienen una distribucion exponencial con media de 4 minutos.Encuentre las siguientes probabilidades:

(a) Una llamada puede contactar a un agente inmediatamente;

(b) La llamada sea puesta en espera; y,

(c) La llamada reciba una senal de ocupado.

96. Computronics is a manufacturer of calculators, currently producing 200 per week. One com-ponent for every calculator is a liquid crystal display (LCD), which the company purchasesfrom Displays, Inc. (DI) for 1 per LCD. Computronics management wants to avoid anyshortage of LCDs, since this would disrupt production, so DI guarantees a delivery time of 12week on each order.

The placement of each order is estimated to require 1 hour of clerical time, with a directcost of 15 per hour plus overhead costs of another 5 per hour. A rough estimate has beenmade that the annual cost of capital tied up in Computronics inventory is 15 percent of thevalue (measured by purchase cost) of the inventory. Other costs associated with storing andprotecting the LCDs in inventory amount to 5 cents per LCD per year.

(a) What should the order quantity and reorder point be for the LCDs? What is thecorresponding total variable inventory cost per year (holding costs plus administrativecosts for placing orders)?

(b) Suppose the true annual cost of capital tied up in Computronics inventory actually is 10percent of the value of the inventory. Then what should the order quantity be? Whatis the difference between this order quantity and the one obtained in part (a)? Whatwould the total variable inventory cost per year (TVC) be? How much more would TVCbe if the order quantity obtained in part (a) still were used here because of the incorrectestimate of the cost of capital tied up in inventory?

(c) Repeat part (b) if the true annual cost of capital tied up in Computronics inventoryactually is 20 percent of the value of the inventory.

97. For the basic EOQ model, use the square root formula to determine how Q would changefor each of the following changes in the costs or the demand rate. (Unless otherwise noted,consider each change by itself.)

(a) The setup cost is reduced to 25 percent of its original value.

(b) The annual demand rate becomes four times as large as its original value.

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(c) Both changes in parts (a) and (b).

(d) The unit holding cost is reduced to 25 percent of its original value.

(e) Both changes in parts (a) and (d )

98. Cindy Stewart and Misty Whitworth graduated from business school together. They noware inventory managers for competing wholesale distributors, making use of the scientificinventory management techniques they learned in school. Both of them are purchasing 85-horsepower speedboat engines for their inventories from the same manufacturer. Cindy hasfound that the setup cost for initiating each order is 200 and the unit holding cost is 400.

Cindy has learned that Misty is ordering 10 engines each time. Cindy assumes that Mistyis using the basic EOQ model and has the same setup cost and unit holding cost as Cindy.Show how Cindy can use this information to deduce what the annual demand rate must befor Mistys company for these engines.

99. Speedy Wheels is a wholesale distributor of bicycles. Its Inventory Manager, Ricky Sapolo,is currently reviewing the inventory policy for one popular model that is selling at the rate

of 250 per month. The administrative cost for placing an order for this model from themanufacturer is 200 and the purchase price is 70 per bicycle. The annual cost of the capitaltied up in inventory is 20 percent of the value (based on purchase price) of these bicycles. Theadditional cost of storing the bicycles, including leasing warehouse space, insurance, taxes,and so on, is 6 per bicycle per year.

(a) Use the basic EOQ model to determine the optimal order quantity and the total variableinventory cost per year.

(b) Speedy Wheel s customers (retail outlets) generally do not object to short delays inhaving their orders filled. Therefore, management has agreed to a new policy of havingsmall planned shortages occasionally to reduce the variable inventory cost. After consul-

tations with management, Ricky estimates that the annual shortage cost (including lostfuture business) would be 30 times the average number of bicycles short throughoutthe year. Use the EOQ model with planned shortages to determine the new optimalinventory policy.

100. You have been hired as an operations research consultant by a company to reevaluate theinventory policy forone of its products. The company currently uses the basic EOQ model.Under this model, the optimal order quantity for this product is 1,000 units, so the maximuminventory level also is 1,000 units and the maximum shortage is 0.

You have decided to recommend that the company switch to using the EOQ model withplanned shortages instead after determining how large the unit shortage cost (p) is compared

to the unit holding cost (h). Prepare a table for management that shows what the optimalorder quantity, maximum inventory level, and maximum shortage would be under this modelfor each of the following ratios ofp to h: 13 , 1, 10.

101. Consider the EOQ model with planned shortages. Suppose, however, that the constraintS/Q= 0.8 is added to the model. Derive the expression for the optimal value ofQ.

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102. In the basic EOQ model, suppose the stock is replenished uniformly (rather than instanta-neously) at the rate ofb items per unit time until the order quantity Q is fulfilled. Withdrawalsfrom the inventory are made at the rate ofa items per unit time, where a < b. Replenish-ments and withdrawals of the inventory are made simultaneously. For example, ifQ is 60, bis 3 per day, and a is 2 per day, then 3 units of stock arrive each day for days 1 to 20, 31 to

50, and so on, whereas units are withdrawn at the rate of 2 per day every day. The diagramof inventory level versus time is given below for this example.

(a) Find the total cost per unit time in terms of the setup costK, production quantityQ,unit cost c, holding cost h, withdrawal rate a, and replenishment rate b.

(b) Determine the economic order quantityQ.

103. Considere el modelo estocastico de inventario para periodo unico visto en el curso para deter-minar el volumen de produccion optimo para un libro de uso escolar durante la temporadade regreso a clases. El costo unitario de producir cada libro es de 5, mientras que su costo

de almacenamiento durante la temporada de regreso a clases es de 1 por libro. As mismo,el costo de no satisfacer las necesidades de los pequenos estudiantes durante la temporada deregreso a clases es de 10 por libro. Se considera que la demanda de estos libros durante estatemporada puede ser bien descrita por una distribucion uniforme entre 20 y 40 mil libros.

(a) Determine el volumen de produccion optimo y que minimice los costos totales.

(b) Calcule los costos totales correspondientes a este volumen de produccion optimo y.

104. Una gasolinera tiene una bomba de gasolina. Los carros llegan segun un proceso de Poisson.La tasa promedio de llegada es de 10 carros por hora. Los carros son servidos segun su ordende llegada. El tiempo necesario para bombear gasolina y pagar (el tiempo de servicio) es

distribuido exponencialmente con una media de 2 minutos.(a) Determine el numero promedio de carros en la gasolinera.

105. Considere la misma gasolinera del literal anterior, pero ahora considere que si un carro almomento de llegar encuentrancarros en la gasolinera inmediatamente abandona la gasolineracon prbabilidad qn = n/4 y se una a la gasolinera con probabilidad pn = 1qn, paran= 0, 1, 2, 3, 4.

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(a) Grafique el proceso de nacimiento y muerte asociado a esta situacion.

(b) Utilizando las ecuaciones de balance, encuentre las probabilidades Pn de que hayan ncarros en la gasolinera, para n= 0, 1, 2, 3, 4.

(c) Determine el numero promedio de carros en la gasolinera.

106. Miguel esta en prision y tiene 3 dolares; el puede salir en libertad pagando una fianza de 8dolares. Un guardia acepta jugar un serie de apuestas con el. Si Miguel apuestaA dolares,el gana A dolares con probabilidad de 0.4 y pierde A dolares con probabilidad de 0.6.

(a) Grafique la cadena de markov resultante si Miguel apuesta 1 d olar en cada juego.

(b) Grafique la cadena de markov resultante si Miguel apuesta tanto como le es posible perono mas de lo necesario para hacer que su fortuna llegue a los 8 d olares para pagar lafianza.

107. WESTSIDE AUTO adquiere directamente de su proveedor un componente que se utiliza enla manufactura de generadores para automovil. La operacion de produccion de generadores

de WESTSIDE, que funciona a tasa constante, requerira de 1000 componentes mensualesdurante todo el ano. Suponga que los costos de pedir son 25 dolares por pedido, el costounitario es de 2.50 por componente y los costos de posesion anuales son 20% del valor delinventario. WESTSIDE tiene 250 das laborales al ano y el plazo de entrega es de 5 das.

(a) Cual es la cantidad EOQ para esta componente?

(b) Cual es el tiempo de ciclo?

(c) Suponga que la administracion de WESTSIDE gusta de la eficiencia operacional de pediruna vez todos los meses y en cantidades de 1000 unidades. Cuanto mas costoso seramensualmente esta poltica, en comparacion con el costo de EOQ?

108. Se ha observado que en la garita de ingreso de ESPOL la cantidad de automoviles que llegan ala garita puede ser bien modelado con una distribucion de poisson con media de 40 automovilespor hora. El tiempo que demoran en pasar por la garita puede ser descrito con una funcionexponencial, con 30 segundos de promedio.

(a) Calcule la longitud promedio de la cola de espera en esta situacion.

(b) Se esta considerando colocar un rompe-velocidades justo en la garita, lo que hara que eltiempo promedio de pasar por la garita se duplique. Calcule la longitud promedio de lacola de espera en esta nueva situacion.

(c) Construya un cuadro comparativo entre las dos situaciones y discuta la seleccion entrelas alternativas.

109. Se esta disenando el consultorio de un medico. Por experiencia previa, se ha observado quesi, al momento de llegada, un paciente ve que no hay sillas disponibles entonces decide noesperar e irse. Se considera que cada paciente que no ingresa representa perdidas promediopor 20. Los pacientes llegan con una tasa promedio de 10 por hora y la consulta toma unamedia de 10 minutos. Ambos tiempos entre llegada y de servicio pueden ser bien modeladospor una distribucion exponencial.

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(a) Determinar los costos promedios (por hora) por perdida de pacientes al poner 3 sillas enel consultorio.

(b) Determinar los costos promedios (por hora) por perdida de pacientes al poner 4 sillas enel consultorio.

110. Las piezas llegan a una maquina de manera determinstica a una tasa de una por minuto.Cada pieza es inspeccionada antes de ser cargada en la maquina. Una pieza es encontrada no-defectuosa con una probabilidad p y defectuosas con una probabilidad 1 p. Si una pieza esencontrada defectuosa, es descartada; en el caso contrario, la pieza es cargada en la maquina.A la maquina le toma exactamente 1 minuto procesar cada pieza, despues de lo cual esta listapara procesar la siguiente pieza. Considere que Xn sea 0 si la maquina esta ociosa (vaca) alinicio del minutony 1 si esta empezando a procesar una pieza.

(a) Determinar la matriz de transicion de la cadena de markov {Xn, n 0}.

111. Considere el sistema del problema anterior. Ahora suponga que la maquina puede procesar dos

piezas simultaneamente y considere que le toma 2 minutos completar el procesamiento. Hayun recipiente a un lado de la maquina en donde hay espacio para dos piezas no-defectuosas.Tan pronto hayan dos piezas en el reciente, son cargadas en la m aquina y la maquina empiezaa procesarlas.

Modele esta situacion como una cadena de markov determinando:

(a) Definicion de estados.

(b) Valores que pueden tomar estos estados.

(c) Vector de estados iniciales. Asuma que el sistema arranca vaco.

(d) Matriz de transiciones.

112. El clima del balnearioPlaya Arrecife, en la costa ecuatoriana, puede ser categorizado como:soleado (S), nublado (N), o lluvioso (L). Suponga que el clima de manana depende solamentedel clima de hoy de la siguiente manera: si hoy es soleado, manana sera nublado con probabili-dad.3 y lluvioso con probabilidad.2; si es nublado hoy, manana sera soleado con probabilidad.5 y lluvioso con probabilidad .3; y finalmente, si hoy es lluvioso, manana sera soleado conprobabilidad .4 y nublado con probabilidad .5.

Modele esta situacion como una cadena de markov determinando:

(a) Definicion de estados.

(b) Valores que pueden tomar estos estados.

(c) Vector de estados iniciales. Asuma que no se conoce el clima del da inicial.

(d) Matriz de transiciones.

113. Una pareja planea tomarse unas vacaciones en Playa Arrecife. Contando a hoy como elprimer da, se supone que estaran alla en los das 3 y 4. Estan considerando comprar unseguro vacacional que ofrece el reembolso del costo total de las vacaciones, que es de $2500, sies que llueve durante ambos das; caso contrario, no se les reembolsa nada. El seguro cuesta$200.

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(a) Asumiendo que hoy es soleado enPlaya Arrecife, Deberan adquirir el seguro? El climade Playa Arrecife puede ser modelado segun el problema anterior.

114. Un productor de cine esta considerando invertir en la realizacion de un documental sobre ungenio matematico perteneciente a un grupo no contactado en la selva amazonica. El productor

sabe que si el documental es un fracaso, perdera $4MM, y si el documental es un exito, ganara$15MM. De antemano cree que hay un 10% de probabilidad de que este documental sea unexito. Antes de filmar, el productor tiene la oportunidad de pagarle $1MM a un notablecrtico de cine por sus comentarios sobre el posible exito del proyecto. En el pasado, estecrtico ha predicho 60% de todos los exitos reales que seran exitos y 90% de todos los fracasosreales que seran fracasos. El productor desea maximizar sus ganancias esperadas.

(a) Constuya un arbol de decision que describa esta situacion.

(b) Resuelva el arbol.

(c) Cual es el valor esperado de la experimentacion?

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