160 : 1stmaths.sci.ku.ac.th/angkana/160_st2015/linearsystem_fisrt...160 : 1st 2015 maths.sci.ku 7 1....

160 : 1st 2015 Maths.Sci.KU

1

ระบบสมการเชิงเส้น สมการเชิงเส้นของ n ตวัแปร nxxx ,,, 21 คือสมการท่ีอยูใ่นรูปแบบ bxaxaxa nn 2211

โดยท่ี naaa ,,, 21 และ b เป็นค่าคงท่ี

ตัวอย่าง จงพิจารณาวา่สมการต่อไปน้ีสมการใดเป็นสมการเชิงเส้น 1. 24xyz 2. 1564 zyx 3. 4321 8 xxxx 4. 92)ln( 321 xxx 5. 1)cos( yx 6. 0451473 54321 xxxxx 7. 3634 22 yx


2

ระบบสมการเชิงเส้น m สมการ n ตัวแปร คือระบบสมการท่ีประกอบดว้ยสมการเชิงเส้น n ตวัแปร จ านวนสมการทั้งหมด m สมการ นัน่คือ

11212111 bxaxaxa nn

22222121 bxaxaxa nn

mnmnmm bxaxaxa 2211

โดยท่ี ija และ ib เป็นค่าคงท่ีทุก mi 1 และ nj 1 ถา้ 021 mbbb แลว้เราจะเรียกระบบสมการเชิงเส้น * วา่ ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ ์

ถา้มี i บางตวัท่ี 0ib แลว้เราจะเรียกระบบสมการเชิงเส้น * วา่ระบบสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ ์

ผลเฉลยของระบบสมการ คือค่าของ nxxx ,,, 21 ท่ีสอดคลอ้งกบั *

(*)


3

จากระบบสมการเชิงเส้น * สามารถเขียนในรูปสมการเมทริกซ์ไดด้งัน้ี

1

2

1

12211

2222121

1212111

mmm

nmnmm

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

1

2

1

1

2

1

21

22221

11211

mmn

nnm

mnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

ถา้ก าหนดให้

mnn

nmmnmm

n

n

x

x

x

X

aaa

aaa

aaa

A

2

1

21

22221

11211

,

1

2

1

mmb

b

b

B

แลว้จะไดว้า่ BAX


4

เมทริกซ์แต่งเติม เขียนแทนดว้ยสัญลกัษณ์ ]:[ BA คือเมทริกซ์ A ท่ีเพ่ิมหลกัสุดทา้ยดว้ย B นัน่คือ

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

BA

2

1

21

22221

11211

]:[

ตัวอย่าง จงเขียนระบบสมการเชิงเส้นใหอ้ยูใ่นรูปเมทริกซ์พร้อมหาเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น

511

629

12934

32

31

321

xx

xx

xxx


5

ก่อนจะศึกษาการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น m สมการ n ตวัแปร ขอพิจารณาการหาผลเฉลยอยา่งง่ายๆ ของระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ 2 ตวัแปรดงัต่อไปน้ี ตัวอย่าง ระบบสมการเชิงเส้น 62 yx 113 yx จะไดว้า่ 4x และ 1y เป็นผลเฉลยของระบบสมการ

ตัวอย่าง ระบบสมการเชิงเส้น 15 yx

2210 yx จะไดว้า่ค่า x และ y ท่ีเป็นผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นมีอนนัต์ค่า ถา้ให ้ tx โดยท่ี t เป็นจ านวนจริงใดๆ แลว้ 15 ty ซ่ึง x และ y ขา้งตน้เป็นผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น


6

ตัวอย่าง ระบบสมการเชิงเส้น

349 yx 21227 yx

จะไดว้า่เราไม่สามารถหาค่า x และy ท่ีท าใหร้ะบบสมการเชิงเส้นขา้งตน้เป็นจริง สรุปลกัษณะของผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นได้ดงันี้ 1. ระบบสมการเชิงเส้นมีผลเฉลย 1.1 มีผลเฉลยเดียว 1.2 มีผลเฉลยอนนัตชุ์ด 2. ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีผลเฉลย วธีิการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น 1. การหาผลเฉลยโดยใชก้ฎของเครเมอร์ 2. การหาผลเฉลยโดยใชก้ารก าจดัแบบเกาส์ 3. การหาผลเฉลยโดยใชก้ารก าจดัแบบเกาส์-จอร์แดน


7

1. การหาผลเฉลยโดยใช้กฎของเครเมอร์

กฎของเครเมอร์ใชห้าผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น n สมการ n ตวัแปรเท่านั้น ทฤษฎบีท (กฎของเครเมอร์) ถา้ BAX เป็นระบบสมการเชิงเส้น n สมการ n ตวัแปร ซ่ึง

0det A แลว้ระบบสมการเชิงเส้นจะมีเพียงค าตอบเดียวคือ

,,det

det,

det

det 22

11

A

Ax

A

Ax

A

Ax nn det

det

เม่ือ jA คือเมทริกซ์ A ซ่ึงเปล่ียนสมาชิกในหลกัท่ี j ของ A ดว้ยเมทริกซ์ตั้ง B

เช่นพิจารณาระบบสมการ

22

6

43

21

y

x

ในท่ีน้ี

y

xXA ,

43

21 และ

22

6B

ดงันั้น

422

261A และ

223

612A


8

ตัวอย่าง จงใชก้ฎของเครเมอร์หาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น 62 yx 113 yx


9

ตัวอย่าง จงใชก้ฎของเครเมอร์หาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น 532 321 xxx 12 321 xxx 63 321 xxx


10

ตัวอย่าง จงใชก้ฎของเครเมอร์หาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น 652 zyx 73 zy 3324 zyx


11

2. การหาผลเฉลยโดยวธีิการก าจัดแบบเกาส์

ทฤษฎบีท ก าหนดให ้ BAX และ DCX เป็นระบบสมการเชิงเส้น m สมการ n ตวัแปร

ถา้ ]:[~]:[ DCBA แลว้ BAX และ DCX จะมีผลเฉลยแบบเดียวกนั

การหาผลเฉลยโดยวธีิก าจดัแบบเกาส์น้ีท าโดยหาเมทริกซ์แต่งเติม BA : แลว้ด าเนินการตามแถวขั้นมูลฐานจนกระทัง่ได้เมทริกซ์ขั้นบันได แลว้เขียนเมทริกซ์ขั้นบนัไดใหก้ลบัไปเป็นระบบสมการเชิงเส้น สุดทา้ยแทนค่าย้อนกลบัเพื่อหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี 1032 zyx 52 zyx 653 zyx โดยใชว้ธีิการก าจดัแบบเกาส์ พร้อมทั้งหาค่าล าดบัขั้นของเมทริกซ์แต่งเติม BA :


12

3. การหาผลเฉลยโดยใช้วธีิการก าจัดแบบเกาส์-จอร์แดน การหาผลเฉลยวธีิน้ี จะคลา้ยกบัวธีิการก าจดัแบบเกาส์ โดยการหาเมทริกซ์แต่งเติม BA : แลว้ด าเนินการตามแถวขั้นมูลฐานจนกระทัง่ได้เมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูป ตัวอย่าง1 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นดงัต่อไปน้ี 0 zyx 5623 zyx 552 zyx โดยใชว้ธีิการก าจดัแบบเกาส์-จอร์แดน พร้อมทั้งหาค่าล าดบัขั้นของเมทริกซ์แต่งเติม BA :


13

ตัวอย่าง2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี 633 321 xxx 94 321 xxx


14

ตัวอย่าง3 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี yx 3 5 w 33 wz 13693 wzyx


15

ข้อสังเกต 1. จากตวัอยา่ง1 จะไดว้า่ BArankArank :3 และสมการมี 3 ตวัแปร และผลเฉลยของตวัอยา่ง 1 มีชุดเดียว 2. จากตวัอยา่ง2 จะไดว้า่ BArankArank :2 และสมการมี 3 ตวัแปร และผลเฉลยของตวัอยา่ง 2 มีอนนัตชุ์ด 3. จากตวัอยา่ง 3 จะไดว้า่ BArankArank :32 และสมการมี 4 ตวัแปร และไม่มีผลเฉลย จากขอ้สังเกตแสดงวา่ค่าล าดบัขั้นของเมทริกซ์มีความเก่ียวขอ้งกบัผลเฉลยของระบบสมการดงัทฤษฎีบทต่อไปน้ี ทฤษฎบีท ให ้ BAX เป็นระบบสมการเชิงเส้น m สมการ n ตวัแปร 1. ระบบสมการมีผลเฉลยกต่็อเม่ือ kBArankArank : - ระบบสมการจะมีผลเฉลยชุดเดียว ถา้ nk - ระบบสมการจะมีผลเฉลยอนนัตชุ์ด ถา้ nk 2. ระบบสมการไม่มีผลเฉลยกต่็อเม่ือ BArankArank :


16

ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี 83 zyx 43 zyx 5925 zyx


17

ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ เชิงเส้นต่อไปน้ี 8321 xxx 1034 321 xxx 174165 321 xxx


18

ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ เชิงเส้นต่อไปน้ี 1x 12 3 x 27543 321 xxx 6115 321 xxx โดยใชว้ธีิการก าจดัแบบเกาส์ และวธีิการก าจดัแบบเกาส์-จอร์แดน


19

ERO

การประยุกต์ของระบบสมการเชิงเส้น

1. การหาเมทริกซ์ผกผนัโดยใช้ ERO

ให ้ A เป็นเมทริกซ์จตุัรัส ท า ERO กบัเมทริกซ์แต่งเติม IA : จนกระทัง่ A เปล่ียนเป็น I นัน่คือ

]:[~~: 1AIIA

ตัวอย่าง จงหา 1A ของเมทริกซ์

801

352

321

A


20

ตัวอย่าง จงหาเมทริกซ์ผกผนัของเมทริกซ์

987

654

321

A


21

หมายเหตุ ระบบสมการเชิงเส้น n สมการ n ตวัแปร

BAX ถา้ A มีเมทริกซ์ผกผนั 1A แลว้

BAAXA 11 เน่ืองจาก nIAA 1 ดงันั้น BAXIn

1 นัน่คือ BAX 1 นัน่คือเราสามารถแกร้ะบบสมการเชิงเส้น BAX โดยใชเ้มทริกซ์ผกผนัไดด้ว้ยสูตร

ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นดงัต่อไปน้ี 632 zyx 17352 zyx 38 zx


22

2. ปัญหาการไหลของข่ายงาน ปัญหาการไหลของกระแสน ้า การเคล่ือนท่ีของรถ ฯลฯ ปัญหาการไหลหรือการเคล่ือนท่ีของส่ิงต่างๆ โดยมีทิศทางก ากบัการไหลของปริมาณเราเรียกวา่ปัญหาการไหลของข่ายงาน

ข่ายงานจะประกอบดว้ยจุดท่ีมีเส้นตรงหรือท่ีก่ิงออกจากจุดหน่ึงไปยงัอีกจุดหน่ึง โดยมีทิศทางการเคล่ือนท่ีในแต่ละก่ิงระบุไวอ้ยา่งชดัเจน เช่น การเขียนข่ายงานของแม่น ้า 2 สายไหลผา่นจุด A หลงัจากนั้นจะรวมเป็นสายเดียวกนัเป็นดงัรูปต่อไปน้ี โดยท่ี 321 ,, xxx คือปริมาณน ้า

สมการแสดงความสัมพนัธ์ของการไหลของข่ายงานน้ีคือ

ปริมาณน ้าท่ีไหลเขา้จุด A = ปริมาณน ้าท่ีไหลออกจากจุด A

ดงันั้น 321 xxx

3x

A


23

ตัวอย่าง ถนน ณ แยกแห่งหน่ึงมีปริมาณรถเขา้ และออกในแต่ละแยกมีหน่วยเป็นคนัต่อชัว่โมงดงัรูป

จงเขียนระบบสมการเชิงเส้นแทนการเคล่ือนท่ีของข่ายงานน้ี พร้อมทั้งหาค่า 4321 ,,, xxxx และ 5x

2 20

18 13

1x

2x3x

4x

5x


24

ตัวอย่าง ระบบท่อส่งน ้ามนัเช่ือมต่อกนัท่ีจุด A, B , C , D และ E ดงัรูป น ้าไหลผา่นแต่ละจุดมีหน่วยเป็นบาร์เรลต่อนาที จงแทนระบบส่งน ้ามนัดว้ยระบบสมการเชิงเส้น พร้อมทั้งหาค่า 54321 ,,,, xxxxx และ 6x

35

41

15 44

1x

2x

3x

4x

5x6x

160 : 1stmaths.sci.ku.ac.th/angkana/160_st2015/linearsystem_fisrt...160 : 1st 2015 maths.sci.ku 7 1....

Documents