บทท 1

การหาผลเฉลยของสมการตวแปรเดยว

การหาคาราก )x(fy กคอการหาคาของ x ทสอดคลองกบสมการ

0)x(f

ฟงกชนบางฟงกชนไมสามารถหาคารากไดดวยวธวเคราะหหรออาจจะหาคารากไดแตยงยาก เชน

หรอ

เราจงจ าเปนตองหาคารากโดยวธการเชงตวเลข (Numerical Method) แมวาวธ

เชงตวเลขจะไมไดใหคารากทแทจรง แตเรากสามารถไดคาทใกลเคยงมากทสด โดยคาทไดขนอยกบการยอมรบความคลาดเคลอนของปญหา

สมมตให )x(f เปนฟงกชนตอเนองและมรากเปนจ านวนจรงท x อยางนอยหนงรากท 0)(f และ

เปนล าดบของคาประมาณ ทมความแมนสงขนเรอยๆ โดยคาของ ไมเปนศนย แตมขนาดเลกลงเรอยๆ คาทมความแมนย าทยอมรบไดอาจจะเปน ซงเราจะเลอกตามเงอนไขดงตอไปน

(1) มคานอย (2) มคานอย

เงอนไขขางตนทงสองน ในบางครงกเกดขนไมพรอมกน

เชนกรณท มความชนมาก จะไดวา เงอนไข (1) เกดขนในขณะท เงอนไข (2) อาจจะยงไมเกด หรอกลบกนเมอฟงกชนมความชนนอย เงอนไข (2) เกดขนแตเงอนไข (1) ยงไมเกด ในทางปฏบต เราจะยดเงอนไขแรกเปนหลก แลวทดสอบใหแนใจดวยเงอนไขทสองภายหลง

rxf

rxf

rx rx

ในความจรงแลวเราไมทราบคา เราจงจ าเปนตองใชเงอนไขอนแทนเงอนไขท 1 เชน หรอ

มคานอย

รไดอยางไร ?

1.1 ระเบยบวธแบงครงชวง (Bisector Method)

แนวคด

สมเลอกชวง ]b,a[ ทบรรจรากของฟงกชน )x(f ทฤษฎบท ถา )x(f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ]b,a[ และ

0)b(f)a(f แลวสมการ 0)x(f มรากจรงอยางนอย หนงรากในชวง )b,a(

ตองการลดชวง ]b,a[ ทบรรจรากใหเลกลงเรอยๆ

ให c เปนจดกงกลางของชวง ]b,a[ นนคอ 2

bac

ดงนนเราจะไดชวงยอยใหมสองชวงคอ ]c,a[ และ ]b,c[ ตรวจสอบวารากอยในชวง ]c,a[ หรอ ]b,c[ แบงครงชวงทบรรจรากอกครงและท าซ าๆเชนนไป จนจดแบงเขาใกลคาราก

มากขน

a b

ตวอยาง1 (Sheet) จงหารากของสมการ 05x2x3 บนชวง ]3,2[

วธท า พจารณาคา 610

1. ตรวจสอบวารากอยในชวง ]3,2[

15)2(22)2(f 3

165)3(23)3(f 3

เนองจาก 0)3(f)2(f และ )x(f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ดงนนจะมรากของสมการอยในชวง

2. หาคา ix โดยระเบยบวธแบงครงชวง

จะได 5.22

32x

2

bax 1i

ตรวจสอบคา )x(f 1 : ถา 0)x(f 1 และมเครองหมายเหมอน )a(f ให

1xa มฉะนนให 1xb แตถา 0)x(f 1 เราได 1x เปนคาราก

3. ในรอบแรก

0625000.55)5.2(2)5.2()5.2(f)x(f 31

ดงนนคารากจะอยในชวง )5.2,2()x,a( 1

ดงนนเราให 5.2xb 1

4. ให 1ii ยอนกลบไปท าขอ (2) – (4) จะได ,...x,x,x 432 ตามล าดบ

i a b f(a) f(b) x_i f(x_i)

1 2.0000000 3.0000000 -1.0000000 16.0000000 2.5000000 5.6250000

2 2.0000000 2.5000000 -1.0000000 5.6250000 2.2500000 1.8906250

3 2.0000000 2.2500000 -1.0000000 1.8906250 2.1250000 0.3457031

4 2.0000000 2.1250000 -1.0000000 0.3457031 2.0625000 -0.3513184

5 2.0625000 2.1250000 -0.3513184 0.3457031 2.0937500 -0.0089417

6 2.0937500 2.1250000 -0.0089417 0.3457031 2.1093750 0.1668358

7 2.0937500 2.1093750 -0.0089417 0.1668358 2.1015625 0.0785623

8 2.0937500 2.1015625 -0.0089417 0.0785623 2.0976563 0.0347143

9 2.0937500 2.0976563 -0.0089417 0.0347143 2.0957031 0.0128623

10 2.0937500 2.0957031 -0.0089417 0.0128623 2.0947266 0.0019543

11 2.0937500 2.0947266 -0.0089417 0.0019543 2.0942383 -0.0034951

12 2.0942383 2.0947266 -0.0034951 0.0019543 2.0944824 -0.0007708

13 2.0944824 2.0947266 -0.0007708 0.0019543 2.0946045 0.0005917

14 2.0944824 2.0946045 -0.0007708 0.0005917 2.0945435 -0.0000896

15 2.0945435 2.0946045 -0.0000896 0.0005917 2.0945740 0.0002511

16 2.0945435 2.0945740 -0.0000896 0.0002511 2.0945587 0.0000807

17 2.0945435 2.0945587 -0.0000896 0.0000807 2.0945511 -0.0000044

18 2.0945511 2.0945587 -0.0000044 0.0000807 2.0945549 0.0000382

19 2.0945511 2.0945549 -0.0000044 0.0000382 2.0945530 0.0000169

20 2.0945511 2.0945530 -0.0000044 0.0000169 2.0945520 0.0000062

ตวอยาง2 (Sheet) จงหารากของสมการ 04xe2 x บนชวง ]1,0[

วธท า ตรวจสอบวารากอยในชวง ]1,0[

24020f และ 4.241e21f

ดงนน 01f0f นนคอจะมรากของสมการมอยในชวง 1,0

1. โดยระเบยบวธแบงครงชวง

ให 2

bax i

จะได 5.0

2

10x1

2. ตรวจสอบคา ixf ถา 0xf i และ มเครองหมายเหมอน af ให

ixa มฉะนนให ixb แตถา 0xf i เราได ix เปนคาราก

3. ในรอบแรกน 0xf 1 ดงนนคารากจะอยในชวง 1,5.0b,x1 ดงนนเราให 5.0xa 1

4. ให 1ii

5. ยอนกลบไปท าขอ (2) – (4) จะได ,...x,x,x 432 ตามล าดบ

i a b af bf ix ixf 1 ii xx 1 000.000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 0.50000000 -2.026E-01

2 0.50000000 1.00000000 -0.20255746 2.43656366 0.75000000 9.840E-01 2.500E-01

3 0.50000000 0.75000000 -0.20255746 0.98400003 0.62500000 3.615E-01 1.250E-01

4 0.50000000 0.62500000 -0.20255746 0.36149191 0.56250000 7.261E-02 6.250E-02

5 0.50000000 0.56250000 -0.20255746 0.07260931 0.53125000 -6.664E-02 3.125E-02

6 0.53125000 0.56250000 -0.06663540 0.07260931 0.54687500 2.565E-03 1.563E-02

7 0.53125000 0.54687500 -0.06663540 0.00256511 0.53906250 -3.214E-02 7.813E-03

8 0.53906250 0.54687500 -0.03213978 0.00256511 0.54296875 -1.481E-02 3.906E-03

9 0.54296875 0.54687500 -0.01481360 0.00256511 0.54492188 -6.131E-03 1.953E-03

10 0.54492188 0.54687500 -0.00613082 0.00256511 0.54589844 -1.784E-03 9.766E-04

11 0.54589844 0.54687500 -0.00178450 0.00256511 0.54638672 3.899E-04 4.883E-04

12 0.54589844 0.54638672 -0.00178450 0.00038989 0.54614258 -6.974E-04 2.441E-04

13 0.54614258 0.54638672 -0.00069741 0.00038989 0.54626465 -1.538E-04 1.221E-04

14 0.54626465 0.54638672 -0.00015378 0.00038989 0.54632568 1.181E-04 6.104E-05

15 0.54626465 0.54632568 -0.00015378 0.00011805 0.54629517 -1.787E-05 3.052E-05

16 0.54629517 0.54632568 -0.00001787 0.00011805 0.54631042 5.009E-05 1.526E-05

17 0.54629517 0.54631042 -0.00001787 0.00005009 0.54630280 1.611E-05 7.629E-06

18 0.54629517 0.54630280 -0.00001787 0.00001611 0.54629898 -8.772E-07 3.815E-06

19 0.54629898 0.54630280 -0.00000088 0.00001611 0.54630089 7.618E-06 1.907E-06

20 0.54629898 0.54630089 -0.00000088 0.00000762 0.54629993 3.370E-06 9.537E-07

21 0.54629898 0.54629993 -0.00000088 0.00000337 0.54629946 1.246E-06 4.768E-07

22 0.54629898 0.54629946 -0.00000088 0.00000125 0.54629922 1.846E-07 2.384E-07

23 0.54629898 0.54629922 -0.00000088 0.00000018 0.54629910 -3.463E-07 1.192E-07

24 0.54629910 0.54629922 -0.00000035 0.00000018 0.54629916 -8.082E-08 5.960E-08

25 0.54629916 0.54629922 -0.00000008 0.00000018 0.54629919 5.191E-08 2.980E-08

จากตารางเราตรวจสอบการลเขาสราก 2 แบบคอ

พจารณาการลเขาผลเฉลยดวยคา 1ii xx พบวามคาลดลงเรอยๆเขาส 0 นนคอ ix มคาเขาใกลราก

พจารณาการลเขาสผลเฉลยโดยตรวจสอบวา )x(f i มคาเขาใกล 0

1.2 ระเบยบวธวางตวผดท (False Position Method)

เปนการปรบปรงระเบยบวธแบงครงชวงท าใหการลเขาสรากเรวขน

เงอนไขเรมตน 1. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง b,a

2. 0bfaf

แนวคด : ระเบยบวธการวางตวผดทจะใชจดตดแกน x ของเสนตรงทเชอมจด af,a และ bf,b เปนจดในการประมาณในขนถดไป โดยพจารณาควบค

ไปกบเงอนไขของการมคาราก

สมการเสนตรงทเชอมจด af,a และ bf,b คอ

axab

afbfafy

หรอ

afax

ab

afbfy

---(*)

af,a 11 xf,x

a b

bf,b

1x

หาจดตดแกน x ของสมการเสนตรง (*)โดยแทนคา 0y

จะได

afbf

abfbaf

afbf

abafax1

โดยการท าซ าไปเรอยๆจะได afbf

abfbafxi

ถาเครองหมายของ )x(f i เหมอนกบ )a(f จะให ixa ถาเครองหมายของ )x(f i เหมอนกบ )b(f จะให ixb สงเกตวาโดยวธนคาขอบดานหนงจะถกตรงอยกบทเสมอ

af,a 11 xf,x

y

x

a b

bf,b

1x

2x 3x

ตวอยาง3 (Sheet) จงหารากของสมการ 05x2x3 บนชวง ]3,2[ โดยระเบยบวธการวางตวผดท

วธท า เนองจาก 03f2fbfaf ดงนนรากอยในชวง ]3,2[

จากสตร afbf

abfbafxi

เมอ 1i เราได

0588235.22f3f

2f33f2x1

และ 3979999.0)x(f 1

ให 1xa ท าเชนนตอไปเรอยๆสรปคาไดดงตาราง

i a b f(a) f(b) x_i f(x_i)

1 2.0000000 3.0000000 -1.0000000 16.0000000 2.0588235 -0.3907999 2 2.0588235 3.0000000 -0.3907999 16.0000000 2.0812637 -0.1472041 3 2.0812637 3.0000000 -0.1472041 16.0000000 2.0896392 -0.0546765 4 2.0896392 3.0000000 -0.0546765 16.0000000 2.0927396 -0.0202029 5 2.0927396 3.0000000 -0.0202029 16.0000000 2.0938837 -0.0074505 6 2.0938837 3.0000000 -0.0074505 16.0000000 2.0943055 -0.0027457 7 2.0943055 3.0000000 -0.0027457 16.0000000 2.0944608 -0.0010116 8 2.0944608 3.0000000 -0.0010116 16.0000000 2.0945181 -0.0003727 9 2.0945181 3.0000000 -0.0003727 16.0000000 2.0945392 -0.0001373

10 2.0945392 3.0000000 -0.0001373 16.0000000 2.0945470 -0.0000506 11 2.0945470 3.0000000 -0.0000506 16.0000000 2.0945498 -0.0000186 12 2.0945498 3.0000000 -0.0000186 16.0000000 2.0945509 -0.0000069

ตวอยาง4 (Sheet) จงหารากของสมการ 04xe2 x บนชวง ]1,0[ โดยระเบยบวธการวางตวผดท

วธท า เนองจาก 01f0fbfaf ดงนนจะมรากในชวง ]1,0[

จาก afbf

abfbafxi

จะไดวา

07993545.00f1f

0f11f0x1

ให 1xa จากนนยอนกลบไปค านวณหา 2x

ท าซ าจนกระทงได 1rr xx มคานอยมากพอหรอ ixf มคานอยมากพอ i a b af bf ix ixf 1 ii xx 1 0.00000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 0.45079935 -4.101E-01

2 0.45079935 1.00000000 -0.41006803 2.43656366 0.52991377 -7.251E-02 7.911E-02

3 0.52991377 1.00000000 -0.07251459 2.43656366 0.54349968 -1.245E-02 1.359E-02

4 0.54349968 1.00000000 -0.01245460 2.43656366 0.54582124 -2.128E-03 2.322E-03

5 0.54582124 1.00000000 -0.00212822 2.43656366 0.54621759 -3.633E-04 3.964E-04

6 0.54629893 1.00000000 -0.00000109 2.43656366 0.54629914 -1.855E-07 8.154E-05

7 0.54629914 1.00000000 -0.00000019 2.43656366 0.54629917 -3.166E-08 3.454E-08

เราจะเหนวาระเบยบวธวางตวผดทสามารถลเขาหาคารากไดเรวกวาระเบยบวธแบงครงชวงมาก โดยท 7x ของระเบยบวธวางตวผดทใหคาเทากบ 0.54629917 ใหคา 77

67 105.0103454.0xx

นนคอมความถกตองมากถง 7 D.P. ในขณะทระเบยบวธแบงครงชวงตองค านวณมากกวา 25x

ตวอยาง จงหาจดตดของกราฟ x2ey และ xy โดยวธแบงครงชวงและวธวางตวผดท (ใหพจารณาคาเรมตนเอง) และคาผลลพธมความถกตอง 8 D.P. (two pts method)

i a b f(a) f(b) x_i f(x_i) |x_i-x_(i-1)|

1 0.1000000000 0.5000000000 0.7187307531 -0.1321205588 0.3000000000 0.24881163612 0.3000000000 0.5000000000 0.2488116361 -0.1321205588 0.4000000000 0.0493289641 0.10000000003 0.4000000000 0.5000000000 0.0493289641 -0.1321205588 0.4500000000 -0.0434303403 0.05000000004 0.4000000000 0.4500000000 0.0493289641 -0.0434303403 0.4250000000 0.0024149319 0.02500000005 0.4250000000 0.4500000000 0.0024149319 -0.0434303403 0.4375000000 -0.0206379803 0.01250000006 0.4250000000 0.4375000000 0.0024149319 -0.0206379803 0.4312500000 -0.0091445016 0.00625000007 0.4250000000 0.4312500000 0.0024149319 -0.0091445016 0.4281250000 -0.0033730808 0.00312500008 0.4250000000 0.4281250000 0.0024149319 -0.0033730808 0.4265625000 -0.0004811549 0.00156250009 0.4250000000 0.4265625000 0.0024149319 -0.0004811549 0.4257812500 0.0009663676 0.000781250010 0.4257812500 0.4265625000 0.0009663676 -0.0004811549 0.4261718750 0.0002424762 0.000390625011 0.4261718750 0.4265625000 0.0002424762 -0.0004811549 0.4263671875 -0.0001193719 0.000195312512 0.4261718750 0.4263671875 0.0002424762 -0.0001193719 0.4262695313 0.0000615440 0.0000976562 3D.P.

13 0.4262695313 0.4263671875 0.0000615440 -0.0001193719 0.4263183594 -0.0000289159 0.0000488281 4D.P.

14 0.4262695313 0.4263183594 0.0000615440 -0.0000289159 0.4262939453 0.0000163135 0.0000244141 4D.P.

15 0.4262939453 0.4263183594 0.0000163135 -0.0000289159 0.4263061523 -0.0000063013 0.0000122070 4D.P.

16 0.4262939453 0.4263061523 0.0000163135 -0.0000063013 0.4263000488 0.0000050061 0.0000061035 4D.P.

17 0.4263000488 0.4263061523 0.0000050061 -0.0000063013 0.4263031006 -0.0000006476 0.0000030518 5D.P.

18 0.4263000488 0.4263031006 0.0000050061 -0.0000006476 0.4263015747 0.0000021792 0.0000015259 5D.P.

19 0.4263015747 0.4263031006 0.0000021792 -0.0000006476 0.4263023376 0.0000007658 0.0000007629 5D.P.

20 0.4263023376 0.4263031006 0.0000007658 -0.0000006476 0.4263027191 0.0000000591 0.0000003815 6D.P.

21 0.4263027191 0.4263031006 0.0000000591 -0.0000006476 0.4263029099 -0.0000002943 0.0000001907 6D.P.

22 0.4263027191 0.4263029099 0.0000000591 -0.0000002943 0.4263028145 -0.0000001176 0.0000000954 6D.P.

23 0.4263027191 0.4263028145 0.0000000591 -0.0000001176 0.4263027668 -0.0000000293 0.0000000477 7D.P.

24 0.4263027191 0.4263027668 0.0000000591 -0.0000000293 0.4263027430 0.0000000149 0.0000000238 7D.P.

25 0.4263027430 0.4263027668 0.0000000149 -0.0000000293 0.4263027549 -0.0000000072 0.0000000119 7D.P.

26 0.4263027430 0.4263027549 0.0000000149 -0.0000000072 0.4263027489 0.0000000039 0.0000000060 7D.P.

27 0.4263027489 0.4263027549 0.0000000039 -0.0000000072 0.4263027519 -0.0000000017 0.0000000030 8D.P.

x_27 = 0.42630275

Bisector Method

f(x)=exp(-2*x)-x

i a b f(a) f(b) x_i f(x_i) |x_i-x_(i-1)|

1 0.1000000000 0.5000000000 0.7187307531 -0.1321205588 0.4378878274 -0.0213490234

2 0.1000000000 0.4378878274 0.7187307531 -0.0213490234 0.4281408037 -0.0034023096 0.0097470237 1D.P.

3 0.1000000000 0.4281408037 0.7187307531 -0.0034023096 0.4250632512 0.0022976152 0.0030775525 2D.P.

4 0.0022976152 0.4281408037 0.9931176964 -0.0034023096 0.4266868937 -0.0007115392 0.0016236425 2D.P.

5 0.0022976152 0.4266868937 0.9931176964 -0.0007115392 0.4263830492 -0.0001487554 0.0003038445 3D.P.

6 0.0022976152 0.4263830492 0.9931176964 -0.0001487554 0.4262560429 0.0000865335 0.0001270063 3D.P.

7 0.4262560429 0.4263830492 0.0000865335 -0.0001487554 0.4263027527 -0.0000000032 0.0000467098 4D.P.

8 0.4262560429 0.4263027527 0.0000865335 -0.0000000032 0.4263027510 0.0000000000 0.0000000017 8D.P.

x_8 = 0.42630275

i a b f(a) f(b) x_i f(x_i) |x_i-x_(i-1)|

1 0.1000000000 0.5000000000 0.7187307531 -0.1321205588 0.4378878274 -0.0213490234

2 0.1000000000 0.4378878274 0.7187307531 -0.0213490234 0.4281408037 -0.0034023096 0.0097470237

3 0.1000000000 0.4281408037 0.7187307531 -0.0034023096 0.4265947775 -0.0005409373 0.0015460261

4 0.1000000000 0.4265947775 0.7187307531 -0.0005409373 0.4263491579 -0.0000859717 0.0002456197

5 0.1000000000 0.4263491579 0.7187307531 -0.0000859717 0.4263101259 -0.0000136628 0.0000390319

6 0.1000000000 0.4263101259 0.7187307531 -0.0000136628 0.4263039230 -0.0000021713 0.0000062029 4D.P.

7 0.1000000000 0.4263039230 0.7187307531 -0.0000021713 0.4263029373 -0.0000003451 0.0000009858 5D.P.

8 0.1000000000 0.4263029373 0.7187307531 -0.0000003451 0.4263027806 -0.0000000548 0.0000001567 6D.P.

9 0.1000000000 0.4263027806 0.7187307531 -0.0000000548 0.4263027557 -0.0000000087 0.0000000249 7D.P.

10 0.1000000000 0.4263027557 0.7187307531 -0.0000000087 0.4263027518 -0.0000000014 0.0000000040 8D.P.

x_10 = 0.42630275

False Position Method

Modified False Position Method

f(x)=exp(-2*x)-x

f(x)=exp(-2*x)-x