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第二章一階常微分方程式 2-1

▒2-1正合方程式與積分因子

1. 正合方程式(exact differential equation)：

定義：若 ),( yxφ∃

),(),(),( yxddyyxNdxyxM φ=+∋ ，

則稱 0),(),( =+ dyyxNdxyxM 為『正合』(exact)，

而φ cyx =),( 為 O.D.E. 0),(),( =+ dyyxNdxyxM 之解。

特徵： xN

yM

∂∂

=∂∂ ⇔ O.D.E. 0),(),( =+ dyyxNdxyxM 為正合

口訣：交換微分會相等

例如： cyx =23 ，則 023)( 32223 =+= ydyxdxyxyxd

上列方程式可以倒積回去，而得到 cyx =23 之答案，

且 yxyxx

yxy

2322 6)2()3( =∂∂

=∂∂

故稱為『正合』（exact）。

說明：(1) 所謂『正合』之觀念，其實就是微分中的『全微分』：

若 cyx =),(φ ，則 dcyxd =),(φ

x∂

∂φ+dx

y∂∂φ 0=dy

),( yxM +dx ),( yxN 0=dy

重點整理

2-2 工程數學魔法書

∵

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

=

∂∂

=

yyxN

xyxM

φ

φ

),(

),(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂

=∂∂

∂∂∂

=∂∂

xyxN

yxyM

φ

φ

2

2

xN

yM

∂∂

=∂∂

(2) 我們也可以由向量觀點來看『正合』方程式。

若→→→

+= jyxNiyxMyxF ),(),(),(

為保守向量場，則下列兩個敘述為等價：

1 0=×∇ F xN∂∂( 0) =

∂∂

−→

ky

M

xN

yM

∂∂

=∂∂

2 φ∃ (位勢函數)

φ∇=∋→

F φφ drdrdF =⋅∇=⋅→→→

φdNdyMdx =+

2. 積分因子 (Integrating factor)：

若 O.D.E. 0),(),( =+ dyyxNdxyxM 為非正合方程式

(即 )y

MxN

∂∂

≠∂∂

，但將 O.D.E.同乘上函數 ),( yxI 後

0),(),(),(),( =+ dyyxNyxIdxyxMyxI 會變為正合方程式

(即y

IMx

IN∂

∂=

∂∂ )()( )，則稱 ),( yxI 為非正合方程式

0),(),( =+ dyyxNdxyxM 之『積分因子』。


例如：若 cyx =23 則 023 322 =+ ydyxdxyx ﹙正合，可積分﹚

將上式同 yx 2÷ 得 023 =+ xdyydx ﹙非正合，不可積分﹚

除非將上式同乘上 yx 2 才會恢復正合，我們便稱影響可否

積分的關鍵因子 yx 2 為『積分因子』。

3. 非正合方程式之積分因子：

非正合方程式可透過下列公式尋找『積分因子』，讓非正合方程式

變成『正合方程式』：

條件含意積分因子

)(xfN

xN

yM

=∂∂

−∂∂

x-dependent ∫=

dxxfeI

)(

)(yfM

xN

yM

=∂∂

−∂∂

y-dependent ∫=

− dyyfeI

)(

)( yxfNM

xN

yM

+=−∂∂

−∂∂

(x+y)-dependent ∫=

++− )()( yxdyxfeI

)(xyfyNxM

xN

yM

=−∂∂

−∂∂

xy-dependent ∫=

− )()( xydxyfeI


陳立開講，觀念突破常用的積分因子公式及其證明：

公式編號條件含意積分因子

(1) )(xfN

xN

yM

=∂∂

−∂∂

x-dependent ∫=

dxxfeI

)(

(2) )(yfM

xN

yM

=∂∂

−∂∂

y-dependent ∫=

− dyyfeI

)(

(3) )( yxfNMxN

yM

+=−∂∂

−∂∂

(x+y)-dependent

∫=++− )()( yxdyxf

eI

(4) )(xyfyNxM

xN

yM

=−∂∂

−∂∂

xy-dependent ∫=

− )()( xydxyfeI

(1) 若 ∫= dxxfeI )( 為 O.D.E. 0),(),( =+ dyyxNdxyxM 之積分因子

則 0),(),()()(

=∫+∫ dyyxNedxyxMedxxfdxxf

為正合，

必滿足『交換微分會相等』的口訣：

xyxNe

yyxMe

dxxfdxxf

∂

∫∂=

∂

∫∂ )},({)},({)()(

xNeyxNexf

yMe

dxxfdxxfdxxf

∂∂∫+∫=

∂∂∫ )()()( ),()(

),()()()()(

yxNexfxN

yMe

dxxfdxxf ∫=∂∂

−∂∂∫


將上式同除以 ∫dxxf

e)(，得 Nxf

xN

yM )(=

∂∂

−∂∂

)(xfN

xN

yM

=∂∂−

∂∂

(2) 若 ∫=− dyyf

eI)(為 O.D.E. 0),(),( =+ dyyxNdxyxM 之積分因子

則 0),(),()()(

=∫+∫−−

dyyxNedxyxMedyyfdyyf

為正合，


xyxNe

yyxMe

dyyfdyyf

∂

∫∂=

∂

∫∂−−

)},({)},({)()(

xNe

yMeyxMeyf

dyyfdyyfdyyf

∂∂∫=

∂∂∫+∫−

−−− )()()(),()(

))()()()(

MeyfxN

yMe

dyyfdyyf ∫=∂∂

−∂∂∫ −−

將上式同除以 ∫− dyyf

e)(，得 Myf

xN

yM )(=

∂∂

−∂∂

)(yfM

xN

yM

=∂∂−

∂∂

(3) 若 ∫=++− )()( yxdyxf

eI 為 O.D.E. 0),(),( =+ dyyxNdxyxM 積分因子

則 0),(),()()()()(

=∫+∫++−++−

dyyxNedxyxMeyxdyxfyxdyxf

為正合，


xyxNe

yyxMe

yxdyxfyxdyxf

∂

∫∂=

∂

∫∂++−++−

)},({)},({)()()()(

y

MeyxMeyxfyxdyxfyxdyxf

∂∂∫+∫+−

++−++− )()()()(),()(

xNeyxNeyxf

yxdyxfyxdyxf

∂∂∫+∫+−=

++−++− )()()()(),()(


將上式同除以 ∫++− )()( yxdyxf

e ，得

xNyxNyxf

yMyxMyxf

∂∂

++−=∂∂

++− ),()(),()(

[ ]),(),()( yxNyxMyxfxN

yM

−+=∂∂

−∂∂

)( yxfNM

xN

yM

+=−∂∂−

∂∂

(4) 若 ∫=− )()( xydxyf

eI 為 O.D.E. 0),(),( =+ dyyxNdxyxM 積分因子

則 0),(),()()()()(

=∫+∫−−

dyyxNedxyxMexydxyfxydxyf

為正合，

必滿足『交換微分會相等』的口訣

xyxNe

yyxMe

xydxyfxydxyf

∂

∫∂=

∂

∫∂−−

)},({)},({)()()()(

yMeyxMexyxf

xydxyfxydxyf

∂∂∫+∫−

−− )()()()(),()(

xNeyxNexyyf

xydxyfxydxyf

∂∂∫+∫−=

−− )()()()(),()(

將上式同除以 ∫− )()( xydxyf

e ，得xNyxNxyyf

yMyxMxyxf

∂∂

+−=∂∂

+− ),()(),()(

)(xyfyNxM

xN

yM

=−∂∂

−∂∂


範例導引，一路領先

題型 1 正合方程式

Solve the differential equation: 0)()( 22 =++− dyyyxdxxxy

with 2)0( ==xy . (16%)【95台大化工】

【詳解】O.D.E. 0)()( 22 =++− dyyyxdxxxy

令⎩⎨⎧

+=−=

yyxyxNxxyyxM

2

2

),(),(

，則xNxy

yM

∂∂

==∂∂ 2

∴此為正合方程式

),( yxφ∃

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++=→+=∂∂

+−=→−=∂∂

∋)(

21

21

)(21

21

22222

12222

xkyyxyyxy

ykxyxxxyx

φφ

φφ

通解為 cyxyxyx =+−= 222221

21

21),(φ

由 B.C. 2)0( ==xy 1=c

121

21

21),( 2222 =+−= yxyxyxφ

Find general solution of the equation yeyxxy

dxdy

+−−

= 223

322 .(20%)【95 北科通訊】

範例 1

範例 2


【詳解】 yeyxxy

dxdy

+−−

= 223

322 0)3()22( 223 =+++ dyeyxdxxy y

令⎩⎨⎧

+=+=

yeyxyxNxyyxM

22

3

3),(22),(，則

xNxy

yM

∂∂

==∂∂ 26

∴此為正合方程

),( yxφ∃

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++=→+=∂∂

++=→+=∂∂

∋)(3

)(222

23222

1323

xkeyxeyxy

ykxyxxyx

yy φφ

φφ

通解為 cexyx y =++= 232φ

Solve the equation 02 22 =−+′ xyyxy to obtain the solution for y as a

function of x . (10%)【95中央光電】

【詳解】O.D.E. 0)(2 22 =−+′ xyyxy 0)(2 22 =−+ dxxyxydy

令⎩⎨⎧

=−=xyyxN

xyyxM2),(

),( 22，則

xNy

yM

∂∂

==∂∂ 2


),( yxφ∃ ∋

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=→=∂∂

+−=→−=∂∂

)(2

)(3

22

1

3222

xkxyxyy

ykxxyxyx

φφ

φφ

通解為 cxxyyx =−=3

),(3

2φ

範例 3


Solve 0)2()322( 223 =+−+−− dyxyxdxyxyx . (5%)【95交大土木】

【詳解】令⎩⎨⎧

+−=+−−=

)2(),(322),(

2

23

xyxyxNyxyxyxM，則

xNxy

yM

∂∂

=−−=∂∂ 22


),( yxφ∃

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−=→−−=∂∂

++−−=→+−−=∂∂

∋)(2

22

)(3222

322

2

222

1

22423

xkxyyxxyxy

ykxxyyxxyxyxx

φφ

φφ

通解為 cxxyyxx =+−−= 3222

224

φ

試解一階微分方程：32)(

+−+−

=′yxyxxy 。 (15%)【95台科營建】

【詳解】32

+−+−

=′yxyxy

32

+−+−

=yxyx

dxdy

0)3()2( =+−−+− dyyxdxyx

令⎩⎨⎧

+−−=+−=

)3(),(2),(

yxyxNyxyxM

，則xN

yM

∂∂

=−=∂∂ 1


),( yxφ∃

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+−=→−+−=∂∂

++−=→+−=∂∂

∋)(3

23

)(22

2

2

2

1

2

xkyyxyyxy

ykxxyxyxx

φφ

φφ

範例 4

範例 5


通解為 cyyxxyxyx =−++−= 32

22

),(22

φ

Solve 0)1()sin(cos 22 =−+− dyxydxxyxx

subject to 2)0( =f . (10%)【95成大水利】

【詳解】令⎩⎨⎧

−=−=)1(),(

sincos),(2

2

xyyxNxyxxyxM，則

xNxy

yM

∂∂

=−=∂∂ 2


),( yxφ∃

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=→−=∂∂

+−=→−=∂∂

∋)(

22)1(

)(2

sin21sincos

2

2222

1

2222

xkyxyxyy

ykyxxxyxxx

φφ

φφ

其通解為 cyyxx =+−=22

sin21 2222φ

題型 2 積分因子

O.D.E. .032 =′+ yxy

(a) Show that the differential equation is not exact.

(b) Find an integrating factor of the form ba yx .

(c) Find the general solution. (14%)【90海洋機械】

範例 7

範例 6


【詳解】(a) 032 =′+ yxy 032 =+ xdyydx

3)3(2)2( =∂∂

≠=∂∂ x

xy

y 非正合

(b) 將 O.D.E. 032 =+ xdyydx ，乘上積分因子 ba yxI =

可得正合方程式 032 11 =+ ++ dyyxdxyx baba

)2()3( 11 ++∂∂

=∂∂ baba yx

yyx

x

baba yxbyxa )1(2)1(3 +=+ )1(2)1(3 +=+ ba

凡是滿足 )1(2)1(3 +=+ ba 之 ba,

代回 ba yxI = 均為 O.D.E. 032 =+ xdyydx 之積分因子

例如：取 1,1 −=−= ba ，則積分因子為 11 −−= yxI

(c) 將 O.D.E. 032 =+ xdyydx

032,11 =+= −− dyy

dxx

yxI 得乘上積分因子

積分得 032 =+ ∫∫ dyydxx cyx lnln3ln2 =+

cyx lnlnln 32 =+ cyx lnln 32 = cyx =32

The integrating factor for the following differential equation is in the form of

bax yeyx =),(σ where a and b are constants. Find the values of a and

b , and use the integrating factor to fined the general solution of the

differential equation 4yyy =+′ . (20%)【95台科高分子】

範例 8


【詳解】 4yydxdy

=+ 0)( 4 =−− dydxyy

乘上積分因子 bax yeyx =),(σ

得正合方程式為 0)1( 31 =−−+ dyyedxyye baxbax

x

yey

yye baxbax

∂−∂

=∂

−∂ + )())1(( 31

baxbbax yaeybybe −=+−+ + ])1()4[( 3

bbb ayybyb −=+−+ + )1()4( 3

取 4,3 −=−= ba ，可得積分因子 43),( −−= yeyx xσ

正合方程式為 0)1( 4333 =−− −−−− dyyedxye xx

得通解 cyeyx x =−−= −− )1(31),( 33φ

Solve 02)3( 2 =++ xydydxyex . (15%)【95 北科環境】

【詳解】令⎩⎨⎧

=+=

xyyxNyeyxM x

2),(3),( 2

xxy

yN

xN

yM

224

==∂∂

−∂∂

積分因子為 22

)( xexIdx

x =∫=

乘回 O.D.E. 02)3( 2 =++ xydydxyex

得正合方程式 02)3( 322 =++ ydyxdxyex x

通解為 cyxexx x =++− 232 )22(

範例 9


0)coscos4()cossin3sin2( 234 =+−+ dyxxydxxxyxy (10%)【95 北科有機】

【詳解】令⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+=

)coscos4(),(cossin3sin2),(

23

4

xxyyxNxxyxyyxM

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=∂

−−∂=

∂∂

+=∂

+∂=

∂∂

xxyxx

xxyxN

xxyxy

xxyxyy

M

cossin8sin)coscos4(

cossin12sin2)cossin3sin2(

323

34

xx

xyxxxyx

NxN

yM

cossin

)1cos4(coscossin4sin

3

3

−=

+−+

=∂∂

−∂∂

積分因子為 xexIdx

xx

cos)( cossin

=∫= −

乘回 0)coscos4()cossin3sin2( 234 =+−+ dyxxydxxxyxy

得正合方程式

0)coscos4()cossin3cossin2( 23324 =+−+ dyxxydxxxyxxy

故通解為 cyxyx =⋅−⋅− 432 coscos

Solve the differential equation 0)sincos(sincos =−++ dyyyxxdx

(5%)【95清大電機】

【詳解】O.D.E. 0)sincos(sincos =−++ dyyyxxdx

範例 10

範例 11


令⎩⎨⎧

−+==

yyxyxNxyxM

sincossin),(cos),(

則 1cos

cos0−=

−=∂

∂−∂∂

xx

MxN

yM

積分因子為 ydy

eeyI =∫=−− )1(

)(

乘回 O.D.E. 0)sincos(sincos =−++ dyyyxxdx

得正合方程式 0)sincos(sincos =−++ dyyyxexdxe yy

φ∃

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++=→−+=∂∂

+=→=∂∂

∋)(cossin)sincos(sin

)(sincos

2

1

xkyexeyyxey

ykxexex

yyy

yy

φφ

φφ

通解為 cyexe yy =+= cossinφ

解下列微分方程式 0)1( =−+ ydxdyx 【95台大生機電、交大機械】

【詳解】令⎩⎨⎧

+=−=

xyxNyyxM

1),(),(

，則1

21

11+−

=+−−

=∂∂−

∂∂

xxNxN

yM

積分因子為 212

)1()( −+−

+=∫= xexIdy

x

乘回 O.D.E. 0)1( =−+ ydxdyx

得正合方程式 0)1(1

12 =+

−+

dxx

ydyx

通解為 cx

y=

+1 )1( += xcy

範例 12


【另解】令⎩⎨⎧

+=−=

xyxNyyxM

1),(),(

，則yyM

xN

yM

211=

−−−

=∂∂−

∂∂

積分因子為 22

)( −−

=∫

= yeyIdy

y

乘回 O.D.E. 0)1( =−+ ydxdyx

得正合方程式 0)1( 21 =++− −− dyyxdxy

通解為 kyxy =−− −− 11 kyy

x=−−

1

ky

x−=

+1

kxy 1

1−=

+ c

xy

=+1

)1( += xcy

0dyxyyxxdxyxxy1y 2222 =−++− )()( 【93清大原子】

【詳解】 0dyyxyxdxyxxyy 223322 =−++− )()(

令⎩⎨⎧

−=+−=

yxyxyxNyxxyyyxM

223

322

),(),(

，

則xy1

yNxMxN

yM

=−∂∂

−∂∂

積分因子為 11

)(),( −−

=∫

= xyeyxIdxy

xy

乘回 O.D.E. 0dyyxyxdxyxxyy 223322 =−++− )()(

得正合方程式 0dyxyxdxxyyx1 22 =−++− )()(

範例 13


其解為 cyx21xyx 22 =+−ln


Choose the correct answers (Multiple Choices)(複選題)

Consider the ordinary differential equation:

xyxyxy

dxdy

++

= 223

(A) The equation is a nonexact second order ordinary differential equation.

(B) The equation has an x-dependent integrating factor.

(C) The equation has a y-dependent integrating factor.

(D) The equation has an xy-dependent integrating factor.

(E) All the above choices are incorrect. (5%)【94中山機電】

【詳解】O.D.E. 0)()3( 22 =+++ dyxyxdxyxy

令⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

xyxyxNyxyyxM

2

2

),(3),(

(A) yxy

yxyyxx

xyx 23)3(2)(22

+=∂+∂

≠+=∂+∂

nonexact, but first order.

(B) )(1)(

xfxyxx

yxN

xN

yM

==++

=∂∂

−∂∂

Yes!

(C) )(3 2

yfyxyyx

MxN

yM

≠++

=∂∂

−∂∂

No!

範例 14


(D) )(xyfyNxM

xN

yM

≠−∂∂

−∂∂

No!

【答案】(B)

精選習題，加深印象

1. 一微分方程式為 03 122 =−+ −dxdyyxxyx αα

(1) 試求參數α可使其成為正合方程式(Exact Differential Equation)。

(2) 試根據(1)之結果求微分方程式之解 )(xy 。【94台科營建】

2. Find the value of b for which the following equation

0dyxyxdxybxxy 222 =+++ )()(

is exact, and then solve it using the value of b. 【93中央數學】

3. 0dyyy2xdxy2x23 232 =++− )sin()cos( 【93中興精密】

4. dxxxy2xdy1x 3 )()( 2 +−=+ , 1y1x == , . 【93中興土木】

5. dxdyyyxy

dxdyxyx −−=− 2323 3)3( 【93中央環工】

6. 0xyyxyy 12 =+′− −−− cos)sin( 3 【93中央光電】

7. 0xyyyxy 223 =−′− )( 【93中央光電】

8. ( ) 02 =++ dyyxedxe yy 【93台大環工】


9. 0xdy2yxydxyx22 21

221

2 =+++ )()( 【93師大工教】

10. Find all functions ),( yxφ with

1cos +++= xxyee xyxyxφ , xy

y ex2=φ . (10%)【92中央水文】

11. 若

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=∂∂

=∂∂

yeyyxyf

yxxf

23

22

2cossin2

sin3

且 3)0,2( =f ，求 ),( yxf 。【90 北科高分子】

12. 是非題：Suppose the functions ),( yxM and ),( yxN are continuous and

have continuous first partial derivative in the open rectangle S: bxa


17. If both xyyx =),(1µ and 122

2 )(),(−+= yxyxµ are integrating factors

for the differential equation ),( yxfy =′ , then what is ),( yxf ?

(10 %)【92台科電機】

18. ydyxdxx4y 2 sin)cos2( =+ 【93中興化工】

19. yxy2x xexyeyexxe −−=′+ )( (25%)【93淡江土木】

20. 0dyxyxdxy2xy 22 =+++ )2()3( 【93 北科高分子】

21. 0)23

32( 2 =++ xydxdyxy 【93中興電機】

22. 試解 yey

yedxdy

x

x

cos2sin

−= (14％)【91台科纖維】

23. xxyy

yydxdy

422

4

2

+++

= (10%)【92台大電機】

24. 試解 0)]([16)]([2)( 232 =+− xyxxyxdx

xdy (20％)【91台大電機】

25. xxxyy

dxdy

sin2cos2

++

= (10%)【92雲科電機】

參考答案

1. (1) 2−=α

(2) cyxx =+ −22321

2. cyxyx =+ 32221


3. cyyx =+− 33312cos

21

4. 45

21

41 224 −=−+− yxyxx

5. cyxyyx =+− 23321

6. cyxy =− −− 2121sin

7. cyyx =+− 42241

21

8. cyxey =+ 2

9. cxyyx =+ 232 2

33

10. cxxxexy +++ sin

11. 4sin),( 223 +−= yeyxyxf

12. 非!

13. cyxyex =+− 2sin

14. (a) yxxNyx

yM cosh2sin2cosh2sin2 =

∂∂

==∂∂ exact equation

(b) cyx +− sinh2cos

15. ceyyexy yy =++− −− )242( 23

16. cyxyx =− 2232 3

17. 3232

33),(

xxyyyxyxf

++

−=

18. cxyx =+ 42 cos


19. cxeye yx =+

20. cyxyx =+ 223

21. cyyx =+ 43261

21

22. cyyyyex =−+ sincossin2

23. cyyyx

=++− 2ln22

24. cy

xx =−− 14 24

25. cxyy

x=+ sin12


▒2-2 一階線性常微分方程式之積分因子

1. 一階線性常微分方程式：題型： )()( xQyxPy =+′

步驟：1 先求積分因子 ∫=dxxP

exI)(

)(

2 再求通解 ∫ += cdxxQxIyxI )()()( 註：我們亦可將上二式合併成

∫ +∫=∫ cdxxQeyedxxPdxxP

)}({)()(

∫+∫∫=−−

∫dxxPdxxPdxxP

ecdxxQeey)()()(

)}({

2. 非線性常微分方程式：

非線性常微分方程式 ⎯⎯⎯⎯ →⎯變數變換

線性常微分方程式

題型： )()()()( xQyfxPdxdyyf =+′

(其中 LL,cos,sin,,)( yyeeyf yy −= 等)

步驟：令變數變換 )(yfu = ，則dxdyyf

dxdu )(′=

代入 O.D.E.得 )()( xQuxPdxdu

=+ 為一線性常微分方程式

重點整理



題型 1 一階線性常微分方程式

題型： )()( xQyxPy =+′

步驟：1先求積分因子 ∫=dxxP

exI)(

)(

2再求通解 ∫ += cdxxQxIyxI )()()(

註：我們亦可將上二式合併成 (O’nil版本的寫法)

∫ +∫=∫ cdxxQeyedxxPdxxP

)}({)()(

∫+∫∫=−−

∫dxxPdxxPdxxP

ecdxxQeey)()()(

)}({


Consider the first order differential equation： )()( xQyxPy =+′

(1) Prove that ∫=dxxP

exI)(

)( is an integrating factor.

(2) Find the general solution. 【92交大電子、清大光電、91 北科電機、90 北科光電、中興機械】

【詳解】將 O.D.E. )()( xQyxPdxdy

=+

化為微分型 dxxQdyydxxP )()( =+ 0)]()([ =+− dydxxQyxP

(1) 同成上 ∫=dxxP

exI)(

)(

可得 0][)]()([)()()(

=∫+∫−∫ dyedxxQeyxPedxxPdxxPdxxP

∵ )()()()()()()(

xPeex

xQeyxPey

dxxPdxxPdxxPdxxP ∫=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∫

∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∫−∫

∂∂

此為正合方程式

∴ ∫=dxxP

exI)(

)( 為積分因子。

(2) 將 O.D.E. )()( xQyxPdxdy

=+ 同成上積分因子 ∫=dxxP

exI)(

)(

得 )()()()()(

xQeyxPedxdye

dxxPdxxPdxxP ∫=∫+∫

)()()(

xQeyedxd dxxPdxxP ∫=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∫

積分得 ∫ +∫=∫ cdxxQeyedxxPdxxP

)}({)()(

∫+∫∫=−−

∫dxxPdxxPdxxP

ecdxxQeey)()()(

)}({

範例 1


(1) Let ),( yxM and ),( yxN be defined on a region R of the plane.

Then ),( yxµ is an integrating factor for 0=+dxdyNM

if 0),( ≠yxµ for all ),( yx in R, and 0=+dxdyNM µµ is exact on R.

Therefore, we can get )()( My

Nx

µµ∂∂

=∂∂ .

Please use above equation to find the integrating factor of a

first-order linear differential equation )()()( xQyxPdx

xdy=+ .

(2) Find the solution of xeyxdxdy sin)(tan =− , 1)0( =y .

(20%)【95 北科能源與冷凍】

【分析】積分因子用 ),( yxµ 來表示，為 O’Neil與 Zill版本的寫法，

在 Kreyszig版本則以 ),( yxI 來表示。

【詳解】(1) 將 O.D.E. )()( xQyxPdxdy

=+

化為微分型 dxxQdyydxxP )()( =+

0)]()([ =+− dydxxQyxP

同成上 ∫=dxxP

ex)(

)(µ

可得 0][)]()([)()()(

=∫+∫−∫ dyedxxQeyxPedxxPdxxPdxxP

∵ )()()()()()()(

xPeex

xQeyxPey

dxxPdxxPdxxPdxxP ∫=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∫

∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∫−∫

∂∂

此為正合方程式

範例 2


∴ ∫=dxxP

ex)(

)(µ 為積分因子。

(2) 1 求積分因子：

xeexdx

xx

xdxcos)( cos

sintan

=∫=∫=−

−µ

2 求通解：

cdxexyx x +⋅= ∫ sincos)(µ

cecxdecdxexyx xxx +=+=+⋅=⋅ ∫∫ sinsinsin sincoscos

故 xcexy x secsec sin +⋅=

Solve the initial value problem

xydxdyx sincos =+ , 2)0( =y . (10%)【95清大生環】

【詳解】 xydxdyx sincos =+ xyx

dxdy tansec =⋅+

1 積分因子： xxexIxdx

tansec)(sec

+=∫=

2 通解：

∫∫ +=+= dxxxxxdxxxxyxI )tantan(sectan)tan(sec)()( 2

∫ −+= dxxxx )1sectan(sec 2 cxxx +−+= tansec

xxc

xxxxy

tansectansec1)(

++

+−=

由 I.C. 2)0( =y 1=→ c

範例 3


xxxxxxy

tansec1

tansec1)(

++

+−=

解 xxydx

xdyx 2)()( =− ? (5%)【95成大資源】

【詳解】 xydxdyx 2=− 2=−

xy

dxdy

1 積分因子： 11

)( −−

=∫= xexIdx

x

2 通解： cxdxxxyxI +== ∫ − ln22)()( 1 cxxxxy += ln2)(

Please find a (real) general solution for following differential equation. (show all details of your calculations)

xxydxdyx sin3 2=+ 【95台大生環】

【詳解】同除以 x得 xxyxdx

dy sin3 =+


)( xexIdx

x =∫=

2 通解：

∫ ∫=⋅= xdxxxdxxxIxyxI sinsin)()()( 4

cxxxxxx +−+−+−= sin)244(cos)2412( 324

323 sin)244(cos)2412()(

xcx

xx

xxxxy +−+−+−=

範例 5

範例 4


Find the particular solution of the equation 1)1()1(3)2( =

+−

−− yxx

dxdyx .

(20%)【95 北科通訊】

【詳解】同除 2−x ，得2

1)1)(2(

)1(3−

=+−

−+

xy

xxx

dxdy

1 積分因子：

2)

12

21()1)(2(

13)1)(2()( +−=∫=∫= +

+−+−

−

xxeexIdx

xxdx

xxx

2 通解：

cxdxxxyxI ++=+= ∫ 3)1()1()()(

32

2)1)(2()2(31)(

+−+

−+

=xx

cxxxy

試解 0)0(,2sin21cos ==+ yxxy

dxdy (20%)【90淡江物理】

【解題關鍵】倍角公式： xxx cossin22sin =

【詳解】 xxxxydxdy cossin2sin

21cos ==+

1 積分因子： xxdx

eexI sincos

)( =∫=

2 通解：

∫∫ ⋅=⋅= xxdexdxxeyxI xx sinsincossin)( sinsin

cexye xx +−= sinsin )1(sin xcexy sin)1(sin −+−=

由 B.C. 110)0( =⇒+−== ccy

範例 7

範例 6


∴ xexy sin1sin −+−=

Determined the solution of the differential equation )2sin(tan xxyy =+′

Subject to the initial condition of 1)0( =y . (Note that xxdx coslntan −=∫ ) 【96台科營建、北科冷凍、95 北科土木、93清大原子、

91 北科冷凍、台科化工、90台大造船】

【詳解】1 積分因子

∫=xdx

exItan

)( 1)ln(coscosln )(cos1 −− ===−

xee xx

2 通解

∫∫ ⋅== − xdxxxxdxxIyxI cossin2)(cos2sin)()( 1

∫ +−==− cxxdxyx cos2sin2)(cos 1 xcxy coscos2 2 +−=

由 B.C. 312)0( =⇒=−= ccy

故 xxy cos3cos2 2 +−=

試解 )sin(2)](sin2[]2[sin 2 xyxyx =+′

Note： ∫ = )tan()(sec2 xdxx (5％)【91 北科電機】

【詳解】 xyxyx sin2)sin2()2(sin 2 =+′

xyxyxx sin2)sin2()cossin2( 2 =+′

範例 8

範例 9


x

xyycos

1tan =+′

1 積分因子

xdxxx

xdxeeexI coslncos

sintan

)( −−

−=∫=∫=

1)ln(cos )(cos1 −==−

xe x

2 通解

∫∫ =⋅= xdxxdxxxIyxI2sec

cos1)()(

cxyx +=− tan)(cos 1

xcxxy costancos +⋅= xcx cossin +=

試用解微分方程式之方法解積分方程式(integral equation)

∫ =+x xedt

ttyxy

2

3)()( (5％)【91 北科高分子】

【詳解】 ∫ =+x xedt

ttyxy

2

3)()( ，微分得 xexxyxy 33)()( =+′

1 積分因子： xexIdx

x =∫=1

)(

2 通解： ∫∫ == dxxedxexIyxI xx 33 3)3)(()(

cexxy x +−= 3)91

31(

xce

xxy x +−= 3)

311()(

由 ∫ =+2

2

6)()2( edtttyy B.C. 6)2( ey =

範例 10


得 662

)611()2( ecey =+−=

3

6ec =

xee

xxy x

3)

311()(

63 +−=

題型 2 非線性 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯變數變換

線性

題型： )()()()( xQyfxPdxdyyf =+′

(其中 LL,cos,sin,,)( yyeeyf yy −= 等)

步驟：令變數變換 )(yfu = ，則dxdyyf

dxdu )(′=

代入 O.D.E.得 )()( xQuxPdxdu

=+ 為一線性常微分方程式。

x2yxyy =+′ )sin()cos( 【93中央電機】

【詳解】令 )sin(yu = ，則 yyu ′=′ )cos(

代入 O.D.E.得 x2xuu =+′

1 積分因子：2x

21

xdxeexI =∫=)(

2 通解： ∫ +== ce2xdx2euxI22 x

21x

21

)( 2x

21

ce2u−

+=

2x21

ce2y−

+=)sin(

範例 11


x2y

x2y

1y1 1

2 =+′+−tan 【93中央光電】

【詳解】令 yu 1−= tan ,則 y1y

1u 2 ′+=′

代入 O.D.E. 得x2u

x2u =+′

1 積分因子

2dx

x2

xexI =∫=)(

2 通解

∫ +== cxdxx2xuxI 22)( 2x

c1u +=

21

xc1y +=−tan )tan( 2x

c1y +=

0)sinh()4cosh3( =++ dyyxdxxy (10%)【92 北科高分子】

【詳解】 xydxdyyx 4cosh3sinh −=+

令 yu cosh= ，則dxdyyu sinh=′

代入 O.D.E.得 xuux 43 −=+′ 43 −=+′ ux

u

積分因子：

33

)( xexIdx

x =∫=

範例 13

範例 12


通解：

∫ −= dxxIuxI )4)(()( cxdxxux +−=−= ∫ 433 4

3xcxu +−=

3cosh xcxy +−=

題型 3 顛倒型

題型： )()( yQxyPdydx

=+

步驟：1求積分因子 ∫=dyyP

eyI)(

)(

2求通解 ∫ += cdyyQyIxyI )()()(

Solve 0)3( 2 =−+ − dyexdx y . 【95交大機械、92淡江土木】

【詳解】 0)3( 2 =−+ − dyexdx y yexdxdy

231−−

−=

yexdydx 23 −+−= yex

dydx 23 −=+

1 積分因子： ydy

eeyI 33

)( =∫=

2 通解：

cedyedyeeyxyI yyyy +==⋅= ∫∫ −23)()( yy eceyx 23)( −− +=

範例 14


xyy

−=′

sin21 (10%)【93台大生機】

【詳解】xy2

1dxdy

−=

sin xy2

dydx

−= sin y2xdydx sin=+

1求積分因子： ydy

eeyI =∫=)(

2求通解： cyyeydy2exyI yy +−== ∫ )cos(sinsin)( yceyyx −+−= )cos(sin

Find the general solution of the equation.

xedxdy

y −=

1 (20%)【95台大數學、90台科自控】

【詳解】xedx

dyy −

=1 yex

dydx

=+

1 積分因子： ydy

eeyΙ =∫=)(

2 通解： cedyeexyΙ yyy +== ∫ 221)( yy ceex −+=

21

範例 15

範例 16


精選習題，加深印象 1. 20yy =+′ 4 , 20y =)( 【93中山材料】 2. x4yy =+′ 2 , 20y =)( 【93中央土木、中興土木】 3. xyy =−′ 3 【93台大工海】

4. xyx3y 2 −=′ ; 21y =)( 【93師大應電】

5. 0xx2ydxdy

=−+ cos)sin( 【93中央太空】

6. t2tyy16t 2 =+′− )( , 0t > . 【93 北科製造】 7. 是非題：

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫

xd

xxy

1

sin11)( τττ is the solution of xxyyx sin'2 =+ , 1)1( =y ,

on the positive x -axis. 【95交大電控】 8. 假設剛開始時，某生物反應槽內有 200公升的水及溶於其內之 40公斤的生物製劑 A，之後反應槽之入口每分鐘流入 5公升的 A溶液(每公升溶有 2公斤的生物製劑 A)。反應槽以攪拌器進行充份攪伴，使得反應槽內之濃度保持均勻。反應槽之出口每分鐘亦流出 5公升的 A溶液。試求算在反應槽內之生物製劑 A的質量與時間之關係。當時間趨近於無限大時，生物製劑 A的質量為多少? 註：假設生物製劑 A可完全溶於水，且不會與水發生化學或生物反應。

A溶液指生物製劑 A溶於水之溶液。 (15%)【95台大生機電】 9. 0)coscos2(sin 22 =+−+ dxsxdx θθθθ (15%)【93台科高分子】 10. Find an integrating factor of the differential equation

xxeyxyx 63)1( 22 =+′+ (10%)【95台大機械】

11. 試解2

3)0(cos2

sin π=

−= y

yeyye

dxdy

x

x

；【90台科纖維】

12. 求 1=+ xydxdy

之一般解。 (10%)【94中山環工】


13. xexxyxxyxx −−=+−+′− )2()45()2( 3422 , 318(3) −= ey 【94 北科電機】

14. Find the general solution of )ln(

2 2

xxyx

dxdy −

= . (15%)【94台大機械】

15. A body of mass m is thrown vertically into the air with an initial velocity 0v . If the body encounters an air resistance proportional to its velocity, find (a) the velocity of the body at any time t and (b) the time at which the body reaches its maximum height.

(10%)【94台大工海】 16. A radioactive substance with decay constant “k” is produced at a constant

rate of “ a ” units of mass per unit time. (1) Assuming that 0)0( QQ = , find the mass )(tQ of the substance present

at time .t (10%)

(2) Find )(lim tQt ∞→

. (5%) 【94台大環工】

參考答案

1. x4e35y −−= 2. x2e31x2y −+−= )(

3. x3ce91x

31y ++−= )(

4. x1xy

45

43 3 +=

5. xce1x2y sin)(sin −+−=

6. 16t

c2y2 −

+=


7. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫

xd

xxy

1

sin11)( τττ

8. 400)( =ty (kg)

9. 2212

2 121cos scxx

s−+

+=θ

10. )tan(31

)( xxexI−−=

11. y

yyyex 2sin2cossin +−

=

12. 222222

)(xxx

cedxeexy−−

+= ∫

13. )2)(ln2()( 2 cxxxexy x +−−= −

14. x

cx

xxylnln

)(2

+=

15. (a) t

mk

ek

mgVk

mgtV−

++−= )()( 0

　 (b) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

0

lnV

kmg

kmg

kmt

16. (1)kae

kaQtQ kt +−= −)()( 0

(2)katQ =)(


▒ 2-3白努力(Bernoulli)與李卡迪(Riccati)方程式

1.白努力方程式 ( Bernoulli equation )：

α=+ yxQyxPdxdy )()( ( 1,0≠α )

2.李卡迪方程式 ( Riccati equation )：

2)()()( yxRxQyxPdxdy

+=+


題型 1 白努力(Bernoulli)常微分方程式

題型： αyxQyxPdxdy )()( =+ ( 1,0≠α )

)()( 1 xQyxPdxdyy =+ −− αα

解法：令 α−= 1yu ，則dxdyy

dxdu α−α−= )1(

)()(1

1 xQuxPdxdu

=+−α

為線性方程式，解法同上一單元。

重點整理


Find the general solution )(xy of this following differential equation:

5xyyy =−′ (15%)【95 北科土木】

【詳解】同除以 5y ，可得 O.D.E. xyyy =−′ −− 45

令 4−= yu ，則 yydxdu ′−= −54

代入上式為 xudxdu

=−− 41 xu

dxdu 44 −=+

1 積分因子： xdx

eexI 44

)( =∫=

2 通解： cexdxxexuxI xx ++=−= ∫ 44 )41(4)()(

xcexxu 441)( −++= xcexy 44

41 −− ++=

Solve 22 yxydxdyx += . (5%)【95成大環工】

【詳解】同除以 2y ，可得 212 xydxdyxy =+ −−

令 1−= yu ，則dxdyy

dxdu 2−−=

代入上式得 2xudxdux =+− x

xu

dxdu

−=−


)( −−

=∫= xexIdx

x

範例 2

範例 1


2 通解：

cxdxxuxI +−=−= ∫ )1()()(

cxxxu +−= 2)( cxxxy +−=− 21 )(

Find the general solution of the differential equation 21

2 xyydxdy

=− .

(10%)【95清大生環】

【詳解】同除 21

y ，可得 xyyy =−′−

21

21

2

令 21

yu = ，則 yydxdu ′=

−21

21

xudxdu

=− 22 2xu

dxdu

=−


eexI −−

=∫=1

)(

2 通解：

cexdxxexuxI xx +−−== −−∫ )21

2(

2)()(

xcexxu +−−= )21

2()( xcexy +−−= )

21

2(2

1

Solve 3xyyyx =+′ (15%)【95 北科有機】

範例 3

範例 4


【詳解】同除 3−y ，可得 xyyxy =+′ −− 23

令 2−= yu ，則 yydxdu ′−= −32

代入上式得 xudxdux

=+− 2

22 −=− uxdx

du


)( −−

=∫= xexIdx

x

2 通解：

cx

dxxxuxI +=−= ∫ −22)()( 2

22)( cxxxu += 22 2 cxxy +=−

Consider the differential equation 222 yxyyx −=+′ , 0>x .

(a) Transform the above differential equation into first-order linear

differential equation.

(b) Find the general solution. (10%)【95交大電子】

【詳解】(a) 0,2 22 >−=+′ xyxyyx

同除 2y ，得 212 2xyyxy −=+′ −−

令 1−= yu 則 yydxdu ′−= −2

代入上式得 22xudxdux −=+− xu

xdxdu 21 =−

(b) 1 積分因子： 11

)( −−

=∫= xexIdx

x

範例 5


2 通解： cxdxxuxI +== ∫ 22)()( cxxyu +== − 21 2

已知一曲線 )21,1(),( 而xy 為該曲線上之一點。若該曲線之任意點 ),( yx 的

切線均與 y軸相交於 22xy ,試求該曲線之方程式 )(xy 。【90台科營建】

【詳解】由直線之斜截式 bmxy += ： 22)( xyxxyy +′=

221 yyx

y −=−′ 為 Bernoulli方程式 21 12 −=−′ −− yx

yy

令 1−= yu ，則 yyu ′−=′ −2

代入得線性 O.D.E. 21 =+′ ux

u


x =∫=1

)(

2 通解： ∫ +== cxxdxuxΙ 22)( xcxu +=

xcx

y+=

1

B.C. 21,1 == yx 1=c

xx

xxy 11

21 +=+=−

12 +=

xxy

The Bernoulli equation is in the form of αyxRyxQyxP ⋅=⋅+′⋅ )()()( , in

which α is a constant. Please find the integrating factor ),( yxµ .

(Hint: try αµ −⋅= yxfyx )(),( ) (10%)【92 北科光電】

範例 6

範例 7


【詳解】 αyxRyxQdxdyxP )()()( =+ [ ] 0)()()( =−+ dxyxRyxQdyxP α

乘上積分因子 αµ −= yxfyx )(),(

得 [ ] 0)()()()()()( 1 =−+ −− dxxfxRyxfxQdyyxfxP αα 必為正合方程式

故 [ ] [ ])()()()()()( 1 xfxRyxfxQy

yxfxPx

−∂∂

=∂∂ −− αα

αα α −− −=∂

∂ Qfyx

Pfy )1()( QfdxPfd )1()( α−=

由分離變數法 dxPQ

PfPfd )1()( α−=

積分得 ∫−= dxxPxQPf)()()1()ln( α

故∫−

=dx

xpxQ

exfxP )()()1(

)()(α

∫−

=dx

xPxQ

exP

xf )()()1(

)(1)(

α

故積分因子為∫

=−− dx

xPxQ

exP

yyx )()()1(

)(),(

αα

µ


題型 2 李卡迪(Riccati)常微分方程式

題型： 2)()()( yxRxQyxPy +=+′

解法：1 題目須先給定一組已知解 1y ，若題目未給定，

讀者可自行先令 baxy =1 或bxaey =1

代入 2)()()( yxRxQyxPy +=+′ ，

即可得一組已知解 1y 。

2 令 1yzy += ，則 1yzy ′+′=′

代入 2)()()( yxRxQyxPy +=+′

可得 2111 ))(()())(( yzxRxQyzxPyz ++=++′+′

21 )2( RzzRyPz =−+′ 為『白努力方程式』。

另解：1 題目須先給定一組已知解 1y ，若題目未給定，

讀者可自行先令 baxy =1 或bxaey =1 代入

2)()()( yxRxQyxPy +=+′ ，

即可得一組已知解 1y 。

2 令 11 yz

y += (O’Neil版本之解法)

代入 2)()()( yxRxQyxPy +=+′

可得『線性方程式』，解法同第 2-5節。


Solve the following differential equations:

222 xyxyyx =−+′ (10%)【95台科自控】

【詳解】同除 2x ，可得 22111 yx

yx

y +=+′ 為 Riccati方程式

令 baxy =1 為上式之一組解，代入得22211 1 −−− +=+ bbb xaaxabx

取⎩⎨⎧

==

11

ba

可滿足 xy =1 為上式之一組已知解

令 xzyzy +=+= 1 ，則 1+′=′ zy

代入上式得 22 )(11)(11 xzx

xzx

z ++=+++′

221

xzz

xz =−′

同除 2z ，得 212 11

xz

xzz =−′ −−

令 1−= zu ，則 zzu ′−=′ −2 21xx

uu =−′− 21xx

uu −=+′


x =∫=1

)(

2 通解：

cxdxx

xxuxI +−=−= ∫ ln)1()()( 2

xc

xx

xu +−=ln

)(

範例 8


x

xc

xx

xzy ++−

=+=ln

1

132 2 =+− yydxdy , 1)0( =y . 【93台大土木】

【詳解】 132 2 =+− yydxdy 2y21y3

dxdy

+=+ 為 Riccati方程式

令 bx1 aey = 為上式之一組解，代入 O.D.E. 2y21y3

dxdy

+=+

得 bx22bxbx ea21aeabe +=+ 3 ，取⎩⎨⎧

==

01

ba

2a21a +=3 1a =

可得 11 =y 為上式之一組已知解

令 =y 11 +=+ zyz

則 zy ′=′ 代入 O.D.E. 2y21y3dxdy

+=+

得 )()( 1z2z211z213z3z 22 +++=++=++′

2z2zz =−′ 為 Bernoulli方程式，

同 2z÷ 得 2zzz 12 =−′ −−

令 1−= zu ，則 zzu ′−=′ −2

代入上式，得線性 O.D.E. 2uu −=+′


eexI =∫=)(

2 通解： ce2dx2euxI xx +−=−= ∫ )()(

範例 9


x1 ce2uy −− +−==∴

故 1ce2

11u1zy x1 +

+−=+=+= −

−

由 B.C. 1,0 == yx 12

1+

+−= −xce

02

1=

+− −xce ∞=c

故解答為 1=y

【後記】讀者亦可用分離變數法，更快！

試解 0)2(2

=−+−′xx

yxyy (20%)【91淡江水環】

【詳解】O.D.E. 2121 yxx

yx

y +−=−′

令 baxy =1 為上式之一組解，代入 O.D.E. 2121 y

xxy

xy +−=−′

得 122111 2b −−−− +−=− bbb xaxaxxa

12211 21)-b( −−− +−= bb xaxxa ，取⎩⎨⎧

==

01

ba

可得 11 =y 為上式之一組已知解令 =y 11 +=+ zyz

則 zy ′=′ 代入 O.D.E. 2121 yxx

yx

y +−=−′

得 2)1(1211 ++−=−−′ zxxx

zx

z

x

zx

zxxx

zx

z 121211 2 +++−=−−′⇒

213 zx

zx

z =−′⇒ 為 Bernoulli方程式，

範例 10


同 2z÷ 得x

zx

zz 13 12 =−′ −−

令 1−= zu ，則 zzu ′−=′ −2

代入上式，得線性 O.D.E.x

ux

u 13 −=+′


)( xexIdx

x =∫=

2 通解：

cxdxx

xuxI +−=−= ∫ 3)1()(

33

331

xcu +−=∴

故 1

31

1113

1 ++−

=+=+= −

xcuzy

【後記】讀者亦可用分離變數法，更快！

試解 222 yxydxdy

+−= (20%)【90台大化工】

【詳解】令 baxy =1 為上式之一組解，代入 O.D.E. 222 yxy

dxdy

+−=

得 bbb xaaxxa 2211 22b +−= +−

bbb xaaxxa 2211 22b +−=− +− ，取⎩⎨⎧

==

12

ba

可得 xy 21 = 為上式之一組已知解

令 xzy 2+= 代入得 222 444222 xxzzxxzz +++−−=+′

22 zxzz =−′ 為 Bernoulli方程式，

範例 11


12 12 =−′ −− xzzz

令 1−= zu 則 zzu ′−=′ −2

代入得線性 O.D.E. 12 =−′− xuu ⇒ 12 −=+′ xuu

1 積分因子：22

)( xxdx

eexI =∫=

2 通解：

122

)1()( cdxedxeuxI xx +−=−= ∫∫ (其中 dxex∫2

無法積分)

222

1xxx ecdxeeu −− +−= ∫

11

12

2

222

1cdxe

eecdxee

uzx

x

xxx +−=

+−==

∫∫ −−−

xcdxe

exzyx

x

221

2

2

++−

=+=∫


精選習題，加深印象

1. 試解下列微分方程式 22 42 xyyxy +=′ ; 4)2( =y . (20%)【92 北科自動化】

2. Solve 3231 yxyx

y =+′ . 【92淡江土木、91淡江化工】

3. 22 )1( xyxyyx =−′− 【93台大環工】

4. 6yydxdy

=+ (10%)【93台大生環】

5. Solve the following differential equation )1( 3 −= xyydxdy .

(hint: a Bernoulli differential equation) (10%)【93台大電機】

6. yx2yy −=+′ , 20y =)( 【93中央機械】

7. 2yy2

y =+′ 1 【93中興環工】

8. yxyyx

2

+=′ 【93台科自動化】

9. yx2y

x1y 2 +−=′ ; 41y =)( 【93台科電機】

10. 0232 =′++ yxyyyx ; 1)1( =y (10%)【94台科電子】

11. 解 ?2yxy

dxdy

+= (10%)【94成大資源】

12. 解 ?2yxydxdy

+= (10%)【94成大資源】

13. Determine the general solution of the differential equation 1' 2 +−= xyyy ,

which has a particular solution xxY =)( by inspection.


(1) ∫−

+=−

dxeCexxy

x

x

2/

2/

2

2

32)( (2)

∫−+=

dxeCexxy

x

x

2/

2/

2

2

)(

(3) ∫−

+=−

dxeCexxy

x

x

2/

2/

2

2

)( (4) ∫ −+

+=dxeC

exxyx

x

2/

2/

2

2

2)(

(5) ∫−

−=−

dxeCexxy

x

x

2/

2/

2

2

2)( (6)

∫−−=

dxeCexxy

x

x

)(

(7) ∫ −+

+=dxeC

exxyx

x2)( (8) ∫ −+

+=dxeC

exxyx

x

32)(

(9) ∫ −−

++=

dxeCexxy

x

x

)( (10) .22)(∫ −+

+=dxeC

exxyx

x

(7%) 【94清大電機】

參考答案

1. 422 24 xxy =+

2. 232 6 cxxy +−=−

3. 1xc1y 21 −+−=−

4. x55 ce1y +=−

5. x33 ce31xy ++=− )(

6. x22 e31x2y −++−= )(


7. x

21

1 ce2y +=−

8. xcx

x1y 1 +−=− ln

9. 21

x41

21y −=−

10. 24

23

xxy −=

11. xcxy +−=−

21

12. 2222222 xxx

cedxeey−−− +−= ∫

13. (2)

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