2-3 多項式方程式

1. 定義 :

是一個多項式，我們稱

為多項式方程式。

1 21 2 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a x a

( ) 0f x

2. 多項方程式實根幾何意義 :

實係數多項式方程式

的實根為 k, 表示多項式

的圖形與 x軸的交點坐標是 (k, 0)

( ) 0f x

( )f x

例如 :3 2( ) 6 11 6f x x x x

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

C(3,0)A(1,0) B(2,0)

多項方程式

有三個實根 1 ， 2 ， 3

此即表示多項式函數

的圖形交 x 軸於

A(1, 0), B(2, 0), C(3, 0) 三點

( ) 0f x

( )y f x

3. 底下是本小節的幾個重要定理的簡介 :

定理 (1):

牛頓定理 ( 有理係數一次因式檢查法 ):

是一個整係數 n次多項式，

是兩個亙質的整數，

若 是

的因式，則

1 21 2 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a x a

, p q

px q ( )f x

0| , |np a q a

牛頓定理的 6個輔助辦法 :

1. 若 的係數和 = 0 ，則 有因式

2. 若 的偶次項係數和 = 奇次項係數和，則

有因式

3. 若 各項係數同號，則 必無正根( )f x

1x

( )f x

( )f x

( )f x

1x

( ) 0f x

( )f x

4.若 各項係數正負號相間隔，則 必無

負根

5. 若 是 的一根，則

6. 若 是 的一根，則

•

( ) 0f x ( )f x

q

p

q

p( ) 0f x ( ) | (1)p q f

( ) 0f x ( ) | ( 1)p q f

•定理(2)韋達定理:

Viete ， Francoic ， 1540年生于法國， 1603年卒

于巴黎 。年輕時當律師，後來從事政治，在

法國對西班牙的戰争中曾為政府破譯敵軍密

碼。他

致力于數學研究，是第一個有系统地使用字

母來表示已知數、未知數，帶來了代數的重

大進步。被尊稱為“現代數學之父”。著有

《分析方法入門》、《論方程的識别與訂正

》等多部著作。

定理內容 :

,

3 2 0ax bx cx d , ,

2 0ax bx c

多項方程式

諸根

根與係數的關係

b

a

c

a

b

a

c

a

d

a

定理 (3): 代數基本定理•

一個複係數 n 次多項式，至少有一個複數根。

【推理】一個複係數 n 次多項式，恰有 n 個複數根 ( 重根以重數計算 ) 。

【多項式完全分解定理】

一個複係數 n 次多項式

可以分解成

其中 是複數

( )f x

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf x a x c x c x c

1 2, ,..., nc c c

定理 (4): 根的成雙定理 :(

一 ) 虛根成雙定理 :

(1) 是實係數 n 次多項式， z 是一個複數，則有

(2) 是實係數 n 次多項式， 是實數，

若 ，則

( )f x

( )f x

( ) ( )f z f z

,a b

( ) 0f a bi ( ) 0f a bi

( 二 ) 無理根成雙定理 :

是有理係數方程式， 是有理數，且

若 ，則

証明請參閱 :

http://math1.ck.tp.edu.tw/%E9%99%B3%E5%98%AF%E8%99%8E/teaching_materials_exercises.html

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99 課綱教學重點整理 1-2-3 多項式函數 - 多項式方程式

一文中的 p.45

( )f x , ,a b c c是無理數

) 0c f(a+b ) 0c f(a-b

【推論】實係數多項式分解定理 :每

一個實係數多項式 ( 次數 n 1) 都可以分解成一次或二次實係數多項式的乘積。

【推論】奇次實係數多項式方程式的實根定理 :

一個奇次實係數多項式方程式，至少有一個實數根。

定理 (4): 勘根定理•

是一個實係數多項式 ， 是實數，

若 ， 則存在 c 介於 之間，使

更詳細的論述，請參閱 :

( )f x ,a b a b

( ) ( ) 0f a f b ,a b ( ) 0f c

教育部數位教學資源入口網 :•https://isp.moe.edu.tw/resources/search_content.jsp?rno=1442197

最後，在教育部高中數學學科中心提供各校段考題，可供同學們參考其他學校的段考題目 :

教育部高中數學學科中心 :

•http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/MCenter/Center/Default.aspx

http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/MCenter/Center/ExamationResources.aspx