情報科学への誘い高校数学を学んできた諸君に

2006-06-14国島丈生

自己紹介• 知能メディア工学研究室（横田研究室）助教授• 情報通信工学演習I(1年次)・情報通信工学実験B(2年次)

• 計算機言語I(2年次)

• コンパイラ・計算機言語II(3年次)

• 形式言語理論(修士1年次)

自己紹介• 京都大学工学部情報工学科(今の情報学部) (1989, M1991, D1994)

• 奈良先端科学技術大学院大学情報科学研究科助手(1994～1997)

• 岡山県立大学助教授(1997～)

興味のある分野• ソフトウェア技術• 構造化文書(XML)処理技術

• データベース• プログラミング言語• WWW技術

今日の内容• 高校数学から情報科学への橋渡し• 自分の（大学時代の）経験をもとに

• 注意• 私の経験が皆に役立つとは限らない• 私≠皆さん、皆さんも全員違う人間• 大学は（他の誰とも違う）自分を見つけていく場

学科を選んだ理由• 高校までコンピュータとは無縁• 友達のコンピュータでゲームをした程度

• 数学が好きだった• 理学部数学科だと就職に困りそう• {数理, 情報}工学科の偏差値の高い方を選択

友達のコンピュータ

メモリ2～16KB

ディスクなし

どんな時代？• 国産パソコン NEC PC-9801

• PC-9801VX01(1987年)：CPU 8MHz, HDDなし（FDのみ）, 353,000円

• Windows なんぞ当然なし• Sun3/60(4回生配属時に導入されたWS)

• CPU 20MHz, メモリ24MB

• 数百万円

ところが

いろいろと誤算があった

誤算その１• 物理が結構必要だった…

• 電気回路・電子回路など• 物理は得意ではなかったので数学を

誤算その２• 一般教養の数学は難しかった

誤算その３• 専門でも高校数学の延長（微分とか積分とか）は出てこなかった

• どちらかというとパズルみたい

8クイーン問題 哲学者の食事問題

後悔した？• そうでもない• もともとパズルは好き• 高校数学とは別物と考えれば、結構おもしろい

• プログラムを書くのがおもしろい

未来は神のみぞ知る• 研究者としては割と回り道をしている• 有限オートマトン(B4～M2)• データ工学、論理(D)• HTML, WWW(助手)• 関数型言語, Java, 形式言語(県立大)

• しかし• すべてが今の興味の対象(XML)に関連

• 教訓：せめて興味を持ったものには打ち込もう(後で何がいるか分からない)

今にして思えば

• 情報工学の二面性• 計算機科学• コンピュータの構成に関する学問• 物理現象が関わってくる

• 情報科学• コンピュータ上で問題を解く学問• 計算手順、アルゴリズム

• 情報技術者には両方の素養が必要

今、そして昔• 昔…情報技術者はオールマイティ• ハードウェアからソフトウェアまで• 学べる程度の範囲だった

• 今は？• カバーする範囲がとてつもなく広く深くなった→オールマイティになるのは難しい

• 常識程度の知識はオールマイティであってほしい

Software vs. Hardware

• 現代のコンピュータの構造• CPUはメモリ（HDD）上のデータを読み出し、計算し、結果をメモリ（HDD）に書き込む

• プログラムの動作• 変数の値を基に計算を行い、結果を変数に格納

• 変数／アルゴリズム≒メモリ(HDD)／CPU（フォン・ノイマン型計算機）

コンピュータは万能?

• プログラムが書ければええやん→否• コンピュータでは時間がかかりすぎて（事実上）解けない問題もある

• コンピュータがもっと速くなったら解けるか？→Yesの場合もNoの場合もある

• いいプログラムを書くにはハードウェアもソフトウェアも知る必要がある

例チェックボックス形式の設定項目が30個あり、これらの組み合わせが正しく動作するか検査したい。1つの検査に1分かかるとして、どのくらいの時間がかかるか。

答は

• 組み合わせの総数• 230 = 10億7374万1824 回

• 1073741824 / (60 × 24 × 365) ≒ 2037 (年)

情報科学への橋渡し

• 結城浩「プログラマの数学」

• ソフトバンク社、2200円

情報科学の数学• 離散の世界の数学• 0/1の代数（ブール代数）• 集合、剰余系、場合の数、数学的帰納法、数列、etc.

• 苦手だったんですけど→情報科学の視点から、これから理解していけばOK

問題• 今日は日曜日です。100日後は何曜日？• 1日後は月、2日後は火、…100日後は火

• 今日は日曜日。1億日後は何曜日？• とても数えられません• 7の倍数日後はいつも日曜日。1億÷7

= 14285714 あまり 2。∴火曜日• 法則の発見により計算を削減

問題

• 今日は日曜日。10100日後は何曜日？

• 10100なんてとても計算できません。7

で割った余りも計算できません

• 10nを7で割った余りを、n=1, 2, …で計算してみよう

すると• 100%7=1, 101%7=3, 102%7=2, 103%7=6,

104%7=4, 105%7=5, 106%7=1, 107%7=3, …• %：余りを求める演算子

• nが1増えると、周期6で同じ数が出てくる(1, 3, 2, 6, 4, 5)　周期7ではない!!

• 100 % 6 = 4　∴木曜日• 法則の発見により再び計算を削減

プログラムにするとvoid nannyoubi(int n){

if (n%6 == 0) {printf(“月曜日¥n”);

} else if (n%6 == 1) {printf(“水曜日¥n”);

} else if (n%6 ==2) {/* 以下省略 */

}

法則がそのままプログラムになる

問題生まれて2日経つと子を1匹産めるようになり、それ以降は毎日子を1匹産むという生き物がいる。

1日目に、生まれたての生き物を1匹もらったとすると、11日目には全部で何匹になっているか。

考え方• n日目に生きている生き物は• n-1日目までに生まれていた生き物• n-2日目までに生まれていた生き物が産んだ子供

• n日目の生き物の数をF(n)とすると• F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(1) = 1, F(2) = 1• これに従って計算すると F(11) = 89

実は• 有名な数列（フィボナッチ数列）

• 一般項は複雑• しかしプログラムは漸化式そのもの（再帰関数）

int F(int n){

if (n == 1 || n == 2) {return 1;

} else {return F(n-1)+F(n-2);

}}

F (n) =1⇥5

⇤�1 +

⇥5

2

⇥n

+

�1 −

⇥5

2

⇥n⌅

問題川岸に、狼、山羊、キャベツをつれた人がいる。川には船が一艘あるが、一度にたかだか一つの荷物しか運べない。また、狼と山羊（山羊とキャベツ）だけを川岸に置いたまま人が離れると、狼（山羊）が山羊（キャベツ）を食べてしまう。このとき、すべての荷物を反対側の岸に運ぶ最短手順を求めよ。

どうやって解こう？• 最初は山羊を連れていくしかない• ほかのものだと食べられてしまう

• 山羊を対岸に残し、人だけで戻ってくるしかない• 山羊を連れて帰ったら元に戻ってしまう

• …

場合分け• 最初にできることは• 狼を連れて行く→山羊とキャベツ…ו 山羊を連れて行く• キャベツだけ連れて行く→狼と山羊…×

• 人だけ渡る→狼と山羊、山羊とキャベツ…×

• 場合分けを繰り返す

書き方を決める• 人(P)、狼(W)、山羊(G)、キャベツ(C)

• 左岸にいるもの-右岸にいるもの• 例：最初は PWGC-Φ

• Φ：何もいないことを表す• 目標：PWGC-Φ から Φ-PWGC に至る最短経路を示すこと

図にしてみるとPWGC-Φ WC-PG PWC-G

W-PGCC-PWG

WGP-CPGC-W

G-PWCPG-WCΦ-PWGC

G Φ

G Φ

G Φ

ΦG

C

CWW

GGGG

WWC

C

枝のラベル：Pが対岸に運んだもの

結局• 最短手順は２通り• 最短手順以外の解が無数にある• 実は• 手順を示した図＝有限オートマトン• 情報科学の基本概念の一つ• 文字列検索、論理設計など• 関連科目：離散数学、コンパイラ、形式言語理論（大学院）

それでもなお学生：「先生、このプログラムの課題、分からないんですけど」私：「アルゴリズムは分かるの？」学生：「それは何となく分かります」私：「そんなら、そのままプログラムにすればええやん」学生：「どうやってプログラムにしたらいいかが分からないんです」

Algorithm = Program?

• 否• Algorithm + Data Structure = Program

(by N. Wirth)

• プログラムには両方重要• アルゴリズム（計算手順）• それに適したデータ構造（変数、配列、構造体etc.）…高校数学やパズルにはまったくなかった部分

鍵はデータ構造• 計算の局面をどう表すか• アルゴリズムの世界では…比較的自由• 線形リスト、スタック、待ち行列、木、二分木、配列、集合、…

• プログラムの世界では…単純、限定• Cだと：変数、配列、構造体、…

• データ構造をいかに翻訳するかが鍵• アルゴリズム⇔プログラムの翻訳はデータ構造の翻訳についてくる

諸君の健闘を祈る

レポート課題• 以下の問題のうち1問以上を解いてレポートにまとめよ。

• 6/20 (火) 17:00までに2610に提出

• 用紙はA4が望ましい

• なるべく自分が知らなかった問題をやってみること

問題１：ハノイの塔台の上に3本の棒A, B, Cがあり、Aにn枚の円盤がはまっている。円盤は下ほど半径が大きい。次のルールを満たしながら、円盤をすべてBに移すのに必要な手数をnで表せ。

• 一度に一枚の円盤しか移動できない• 途中で円盤の大小を逆にしてはいけない

問題２天国と地獄の分かれ道に2人の人がいる。彼らはチャーチルとヒットラーであるが、どちらがどちらかは分からない。チャーチルは、質問には必ず本当のことを答える。ヒットラーは必ず本当と反対のことを答える。1回だけ質問をして、天国への道を見分ける方法を考えよ。

問題３問題２の変形として次の状況を考える。このとき2回の質問で天国への道を見分ける方法を考えよ。

• 分かれ道にいるのはチャーチル、ヒットラー、スターリン。

• スターリンは本当と嘘(本当と反対のこと)をランダムに言う。

問題４

図のようにかかっている７本の橋を、次の条件を満たしながらすべて渡りたい。渡れるなら手順を示し、渡れないなら証明を述べよ。

• それぞれの橋は一度しか渡れない。• それぞれの土地は何度通ってもよく、どこから開始しても、どこで終わってもよい。開始点と終了点が違っていてもかまわない。

将来に向けて• どの問題も関連する講義がある• 問題１：計算機言語I、情報通信工学実験B（再帰）

• 問題２・３：人工知能（論理）• 問題４：離散数学（グラフ理論）